ઘાતાંકીય સમીકરણો અને અસમાનતાઓની પસંદગી અને ઉકેલ. ઘાતાંકીય સમીકરણોની નિરાકરણ પ્રણાલી

ઘાતાંકીય સમીકરણો અને અસમાનતાઓ તે છે જેમાં અજ્ઞાત ઘાતાંકમાં સમાયેલ છે.

ઘાતાંકીય સમીકરણો ઉકેલવાથી ઘણીવાર સમીકરણ a x = a b ઉકેલવામાં આવે છે, જ્યાં a > 0, a ≠ 1, x અજ્ઞાત છે. આ સમીકરણમાં એક જ મૂળ x = b છે, કારણ કે નીચેનું પ્રમેય સાચું છે:

પ્રમેય. જો a > 0, a ≠ 1 અને a x 1 = a x 2, તો x 1 = x 2.

ચાલો ધ્યાનમાં લીધેલા નિવેદનને સાબિત કરીએ.

ચાલો ધારીએ કે સમાનતા x 1 = x 2 ધરાવતું નથી, એટલે કે. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, પછી ઘાતાંકીય કાર્ય y = a x વધે છે અને તેથી અસમાનતા a x 1 સંતોષવી આવશ્યક છે< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. બંને કિસ્સાઓમાં અમને શરત a x 1 = a x 2 નો વિરોધાભાસ પ્રાપ્ત થયો છે.

ચાલો ઘણી સમસ્યાઓ ધ્યાનમાં લઈએ.

સમીકરણ 4 ∙ 2 x = 1 ઉકેલો.

ઉકેલ.

ચાલો 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 સ્વરૂપમાં સમીકરણ લખીએ, જેમાંથી આપણને x + 2 = 0 મળે છે, એટલે કે. x = -2.

જવાબ આપો. x = -2.

સમીકરણ 2 3x ∙ 3 x = 576 ઉકેલો.

ઉકેલ.

2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2 થી, સમીકરણ 8 x ∙ 3 x = 24 2 અથવા 24 x = 24 2 તરીકે લખી શકાય.

અહીંથી આપણને x = 2 મળે છે.

જવાબ આપો. x = 2.

3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 સમીકરણ ઉકેલો.

ઉકેલ.

ડાબી બાજુના કૌંસમાંથી સામાન્ય અવયવ 3 x - 2 લેવાથી, આપણને 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25 મળે છે.

જ્યાંથી 3 x - 2 = 1, એટલે કે x – 2 = 0, x = 2.

જવાબ આપો. x = 2.

સમીકરણ 3 x = 7 x ઉકેલો.

ઉકેલ.

7 x ≠ 0 થી, સમીકરણ 3 x /7 x = 1 તરીકે લખી શકાય છે, જ્યાંથી (3/7) x = 1, x = 0.

જવાબ આપો. x = 0.

9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 સમીકરણ ઉકેલો.

ઉકેલ.

3 x = a ને બદલીને, આ સમીકરણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ a 2 – 4a – 45 = 0 સુધી ઘટે છે.

આ સમીકરણને ઉકેલતા, આપણે તેના મૂળ શોધીએ છીએ: a 1 = 9, અને 2 = -5, જ્યાંથી 3 x = 9, 3 x = -5.

સમીકરણ 3 x = 9 માં મૂળ 2 છે, અને સમીકરણ 3 x = -5 માં કોઈ મૂળ નથી, કારણ કે ઘાતાંકીય કાર્ય નકારાત્મક મૂલ્યો લઈ શકતું નથી.

જવાબ આપો. x = 2.

ઘાતાંકીય અસમાનતાઓને ઉકેલવાથી ઘણીવાર અસમાનતાઓ a x > a b અથવા xને ઉકેલવામાં આવે છે< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

ચાલો કેટલીક સમસ્યાઓ જોઈએ.

અસમાનતા 3 x ઉકેલો< 81.

ઉકેલ.

ચાલો અસમાનતાને 3 x સ્વરૂપમાં લખીએ< 3 4 . Так как 3 >1, પછી કાર્ય y = 3 x વધી રહ્યું છે.

તેથી, એક્સ માટે< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

આમ, એક્સ પર< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 એક્સ< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

જવાબ આપો. એક્સ< 4.

અસમાનતા 16 x +4 x – 2 > 0 ઉકેલો.

ઉકેલ.

ચાલો 4 x = t સૂચવીએ, પછી આપણે ચતુર્ભુજ અસમાનતા t2 + t – 2 > 0 મેળવીએ છીએ.

આ અસમાનતા ટી માટે ધરાવે છે< -2 и при t > 1.

t = 4 x હોવાથી, આપણને બે અસમાનતા 4 x મળે છે< -2, 4 х > 1.

પ્રથમ અસમાનતાનો કોઈ ઉકેલ નથી, કારણ કે તમામ x € R માટે 4 x > 0.

આપણે બીજી અસમાનતા 4 x > 4 0 ફોર્મમાં લખીએ છીએ, જ્યાંથી x > 0.

જવાબ આપો. x > 0.

ગ્રાફિકલી સમીકરણ (1/3) x = x – 2/3 ઉકેલો.

ઉકેલ.

1) ચાલો ફંક્શન y = (1/3) x અને y = x – 2/3 ના ગ્રાફ બનાવીએ.

2) અમારી આકૃતિના આધારે, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે માનવામાં આવેલ કાર્યોના આલેખ એબ્સીસા x ≈ 1 સાથે બિંદુ પર છેદે છે. તપાસ કરવાથી સાબિત થાય છે કે

x = 1 આ સમીકરણનું મૂળ છે:

(1/3) 1 = 1/3 અને 1 – 2/3 = 1/3.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે સમીકરણના મૂળમાંથી એક શોધી કાઢ્યું છે.

3) ચાલો અન્ય મૂળ શોધીએ અથવા સાબિત કરીએ કે ત્યાં કોઈ નથી. ફંક્શન (1/3) x ઘટી રહ્યું છે, અને ફંક્શન y = x – 2/3 વધી રહ્યું છે. તેથી, x > 1 માટે, પ્રથમ કાર્યની કિંમતો 1/3 કરતાં ઓછી છે, અને બીજી - 1/3 કરતાં વધુ; x પર< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 અને x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

જવાબ આપો. x = 1.

નોંધ કરો કે આ સમસ્યાના ઉકેલમાંથી, ખાસ કરીને, તે અનુસરે છે કે અસમાનતા (1/3) x > x – 2/3 x માટે સંતુષ્ટ છે< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

વિષય પર પાઠ અને પ્રસ્તુતિ: "ઘાતાંકીય સમીકરણો અને ઘાતાંકીય અસમાનતાઓ"

વધારાની સામગ્રી
પ્રિય વપરાશકર્તાઓ, તમારી ટિપ્પણીઓ, સમીક્ષાઓ, શુભેચ્છાઓ આપવાનું ભૂલશો નહીં! એન્ટી-વાયરસ પ્રોગ્રામ દ્વારા તમામ સામગ્રીની તપાસ કરવામાં આવી છે.

ગ્રેડ 11 માટે ઈન્ટિગ્રલ ઓનલાઈન સ્ટોરમાં ટીચિંગ એઈડ્સ અને સિમ્યુલેટર
ગ્રેડ 9-11 માટે ઇન્ટરેક્ટિવ મેન્યુઅલ "ત્રિકોણમિતિ"
ગ્રેડ 10-11 "લોગરીધમ્સ" માટે ઇન્ટરેક્ટિવ મેન્યુઅલ

ઘાતાંકીય સમીકરણોની વ્યાખ્યા

વ્યાખ્યા. ફોર્મના સમીકરણો: $a^(f(x))=a^(g(x))$, જ્યાં $a>0$, $a≠1$ ને ઘાતાંકીય સમીકરણો કહેવામાં આવે છે.

અમે "ઘાતાંકીય કાર્ય" વિષયમાં અભ્યાસ કરેલા પ્રમેયને યાદ કરીને, અમે એક નવું પ્રમેય રજૂ કરી શકીએ છીએ:
પ્રમેય. ઘાતાંકીય સમીકરણ $a^(f(x))=a^(g(x))$, જ્યાં $a>0$, $a≠1$ એ સમીકરણ $f(x)=g(x)ની સમકક્ષ છે $.

ઘાતાંકીય સમીકરણોના ઉદાહરણો

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
પછી આપણું સમીકરણ ફરીથી લખી શકાય છે: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0.2)$.
$2х+0.2=0.2$.
$x=0$.
જવાબ: $x=0$.

C) મૂળ સમીકરણ સમીકરણની સમકક્ષ છે: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ અને $x_2=-3$.
જવાબ: $x_1=6$ અને $x_2=-3$.

ઉદાહરણ.
સમીકરણ ઉકેલો: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
ઉકેલ:
ચાલો ક્રમિક રીતે ક્રિયાઓની શ્રેણી કરીએ અને આપણા સમીકરણની બંને બાજુઓને સમાન પાયા પર લાવીએ.
ચાલો ડાબી બાજુએ સંખ્યાબંધ કામગીરી કરીએ:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
ચાલો જમણી બાજુએ આગળ વધીએ:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
મૂળ સમીકરણ સમીકરણની સમકક્ષ છે:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
જવાબ: $x=0$.

ઉદાહરણ.
સમીકરણ ઉકેલો: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
ઉકેલ:
ચાલો આપણા સમીકરણને ફરીથી લખીએ: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
ચાલો ચલોમાં ફેરફાર કરીએ, ચાલો $a=3^x$.
નવા ચલોમાં, સમીકરણ ફોર્મ લેશે: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ અને $a_2=3$.
ચાલો ચલોના વિપરીત ફેરફાર કરીએ: $3^x=-12$ અને $3^x=3$.
છેલ્લા પાઠમાં આપણે શીખ્યા કે ઘાતાંકીય સમીકરણો માત્ર હકારાત્મક મૂલ્યો લઈ શકે છે, આલેખ યાદ રાખો. આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ સમીકરણમાં કોઈ ઉકેલ નથી, બીજા સમીકરણમાં એક ઉકેલ છે: $x=1$.
જવાબ: $x=1$.

ચાલો ઘાતાંકીય સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા તે માટે એક રીમાઇન્ડર બનાવીએ:
1. ગ્રાફિક પદ્ધતિ.અમે સમીકરણની બંને બાજુઓને ફંક્શનના સ્વરૂપમાં રજૂ કરીએ છીએ અને તેમના આલેખ બનાવીએ છીએ, આલેખના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધીએ છીએ. (અમે છેલ્લા પાઠમાં આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો હતો).
2. સૂચકોની સમાનતાનો સિદ્ધાંત.સિદ્ધાંત એ હકીકત પર આધારિત છે કે સમાન પાયા સાથેના બે અભિવ્યક્તિઓ સમાન હોય છે જો અને માત્ર જો આ પાયાની ડિગ્રી (ઘાતાંક) સમાન હોય. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. વેરિયેબલ રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિ.આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ થવો જોઈએ જો સમીકરણ, જ્યારે ચલોને બદલતી વખતે, તેના સ્વરૂપને સરળ બનાવે છે અને ઉકેલવા માટે ખૂબ સરળ છે.

ઉદાહરણ.
સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો: $\begin (કેસ) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \અંત (કેસો)$.
ઉકેલ.
ચાલો સિસ્ટમના બંને સમીકરણોને અલગથી ધ્યાનમાં લઈએ:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
બીજા સમીકરણને ધ્યાનમાં લો:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
ચાલો ચલોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ, ચાલો $y=2^(x+y)$.
પછી સમીકરણ ફોર્મ લેશે:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ અને $y_2=-3$.
ચાલો પ્રારંભિક ચલો તરફ આગળ વધીએ, પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણને $x+y=2$ મળે છે. બીજા સમીકરણમાં કોઈ ઉકેલ નથી. પછી સમીકરણોની અમારી પ્રારંભિક સિસ્ટમ સિસ્ટમની સમકક્ષ છે: $\begin (કેસ) x+3y=0, \\ x+y=2. \અંત (કેસો)$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરીએ, આપણને મળશે: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \અંત (કેસો)$.
$\begin (કેસ) y=-1, \\ x=3. \અંત (કેસો)$.
જવાબ: $(3;-1)$.

ઘાતાંકીય અસમાનતાઓ

પ્રમેય. જો $a>1$, તો ઘાતાંકીય અસમાનતા $a^(f(x))>a^(g(x))$ એ અસમાનતા $f(x)>g(x)$ની સમકક્ષ છે.
જો $0 a^(g(x))$ એ અસમાનતા $f(x) ની સમકક્ષ છે

ઉદાહરણ.
અસમાનતાઓ ઉકેલો:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0.3)^(x^2+6x)≤(0.3)^(4x+15)$ .
ઉકેલ.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
આપણી અસમાનતા અસમાનતાની સમકક્ષ છે:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0.5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) આપણા સમીકરણમાં, આધાર એ છે જ્યારે ડિગ્રી 1 કરતા ઓછું છે, પછી જ્યારે અસમાનતાને સમકક્ષ સાથે બદલો ત્યારે, ચિહ્ન બદલવું જરૂરી છે.
$2x-4>2$.
$x>3$.

સી) આપણી અસમાનતા અસમાનતાની સમકક્ષ છે:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
ચાલો અંતરાલ ઉકેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ:
જવાબ: $(-∞;-5]U \ \

જવાબ: $(-4,6)$.

ઉદાહરણ 2