કાર્ય વિગતવાર ઉકેલની મર્યાદા. ડમી માટે ઉચ્ચ ગણિત

સતત સંખ્યા એકહેવાય છે મર્યાદા સિક્વન્સ(x n ), જો કોઈ મનસ્વી રીતે નાની ધન સંખ્યા માટે હોયε > 0 ત્યાં એક સંખ્યા N છે જેમાં તમામ મૂલ્યો છે x n, જેના માટે n>N, અસમાનતાને સંતોષે છે

|x n - a|< ε. (6.1)

તેને નીચે પ્રમાણે લખો: અથવા x n → a

અસમાનતા (6.1) એ બેવડી અસમાનતાની સમકક્ષ છે

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

જેનો અર્થ છે કે પોઈન્ટ x n, અમુક સંખ્યા n>N થી શરૂ કરીને, અંતરાલની અંદર રહે છે (a-ε, a+ ε ), એટલે કે કોઈપણ નાનામાં પડવુંε -બિંદુની પડોશ એ.

મર્યાદા ધરાવતો ક્રમ કહેવાય છે કન્વર્જન્ટ, અન્યથા - અલગ.

કાર્ય મર્યાદાનો ખ્યાલ એ ક્રમ મર્યાદાના ખ્યાલનું સામાન્યીકરણ છે, કારણ કે ક્રમની મર્યાદાને પૂર્ણાંક દલીલના ફંક્શન x n = f(n) ની મર્યાદા તરીકે ગણી શકાય. n.

ફંક્શન f(x) આપવા દો અને દો a - મર્યાદા બિંદુઆ કાર્ય D(f) ની વ્યાખ્યાનું ડોમેન, એટલે કે. આવા બિંદુ, જેની કોઈપણ પડોશમાં સેટ D(f) સિવાયના બિંદુઓ હોય છે a. ડોટ aસેટ D(f) સાથે સંબંધ ધરાવે છે અથવા ન પણ હોઈ શકે.

વ્યાખ્યા 1.અચલ નંબર A કહેવાય છે મર્યાદા કાર્યો f(x) ખાતે x→a, જો દલીલ મૂલ્યોના કોઈપણ ક્રમ (x n ) માટે વલણ ધરાવે છે એ, અનુરૂપ ક્રમ (f(x n)) ની સમાન મર્યાદા A છે.

આ વ્યાખ્યા કહેવામાં આવે છે હેઈન અનુસાર કાર્યની મર્યાદા વ્યાખ્યાયિત કરીને,અથવા " અનુક્રમની ભાષામાં”.

વ્યાખ્યા 2. અચલ નંબર A કહેવાય છે મર્યાદા કાર્યો f(x) ખાતે x→a, જો, મનસ્વી રીતે નાની ધન સંખ્યા ε નો ઉલ્લેખ કરીને, કોઈ આવા δ શોધી શકે છે>0 (ε પર આધાર રાખીને), જે દરેક માટે છે x, માં પડેલોε-સંખ્યાના પડોશ એ, એટલે કે માટે x, અસમાનતાને સંતોષે છે
0 < x-a< ε , ફંક્શન f(x) ની કિંમતો હશેε-સંખ્યા Aની પડોશ, એટલે કે.|f(x)-A|< ε.

આ વ્યાખ્યા કહેવામાં આવે છે કોચી અનુસાર કાર્યની મર્યાદા વ્યાખ્યાયિત કરીને,અથવા “ભાષામાં ε - δ “.

વ્યાખ્યાઓ 1 અને 2 સમાન છે. જો ફંક્શન f(x) x તરીકે →a ધરાવે છે મર્યાદા, A ની બરાબર, આ ફોર્મમાં લખાયેલું છે

. (6.3)

એવી ઘટનામાં કે અનુક્રમ (f(x n)) અંદાજની કોઈપણ પદ્ધતિ માટે મર્યાદા વિના વધે (અથવા ઘટે). xતમારી મર્યાદા સુધી એ, તો આપણે કહીશું કે ફંક્શન f(x) પાસે છે અનંત મર્યાદા,અને તેને ફોર્મમાં લખો:

ચલ (એટલે ​​​​કે ક્રમ અથવા કાર્ય) જેની મર્યાદા શૂન્ય છે તેને કહેવામાં આવે છે અનંત નાના.

ચલ જેની મર્યાદા અનંત જેટલી હોય તેને કહેવામાં આવે છે અનંત વિશાળ.

વ્યવહારમાં મર્યાદા શોધવા માટે, નીચેના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

પ્રમેય 1 . જો દરેક મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે

(6.4)

(6.5)

(6.6)

ટિપ્પણી. 0/0 જેવા અભિવ્યક્તિઓ, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - અનિશ્ચિત છે, ઉદાહરણ તરીકે, બે અમર્યાદિત અથવા અનંત મોટા જથ્થાનો ગુણોત્તર, અને આ પ્રકારની મર્યાદા શોધવાને "અનિશ્ચિતતાઓને અનકવરિંગ" કહેવામાં આવે છે.

પ્રમેય 2. (6.7)

તે કોઈ સતત ઘાતાંક સાથેની શક્તિના આધારે મર્યાદા સુધી જઈ શકે છે, ખાસ કરીને, ;

(6.8)

(6.9)

પ્રમેય 3.

(6.10)

(6.11)

જ્યાં ઇ » 2.7 - કુદરતી લઘુગણકનો આધાર. ફોર્મ્યુલા (6.10) અને (6.11) ને પ્રથમ કહેવામાં આવે છે અદ્ભુત મર્યાદાઅને બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા.

સૂત્ર (6.11) ના પરિણામોનો ઉપયોગ વ્યવહારમાં પણ થાય છે:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

ખાસ કરીને મર્યાદા,

જો એક્સ → a અને તે જ સમયે x > a, પછી x લખો→a + 0. જો, ખાસ કરીને, a = 0, તો 0+0 ને બદલે +0 લખો. તેવી જ રીતે જો x→a અને તે જ સમયે x a-0. સંખ્યાઓ અને તે મુજબ બોલાવવામાં આવે છે યોગ્ય મર્યાદાઅને ડાબી મર્યાદા કાર્યો f(x) બિંદુ પર એ. x→ તરીકે ફંક્શન f(x) ની મર્યાદા હોવી જોઈએa જરૂરી અને પૂરતું છે જેથી . ફંક્શન f(x) કહેવાય છે સતત બિંદુ પર x 0 જો મર્યાદા

. (6.15)

શરત (6.15) આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે:

,

એટલે કે, ફંક્શનની નિશાની હેઠળ મર્યાદા સુધી પસાર થવું શક્ય છે જો તે આપેલ બિંદુ પર સતત હોય.

જો સમાનતા (6.15) નું ઉલ્લંઘન થાય છે, તો અમે તે કહીએ છીએ ખાતે x = xo કાર્ય f(x) ધરાવે છે અંતરફંક્શન y = 1/x ધ્યાનમાં લો. આ કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન સેટ છે આર, x = 0 સિવાય. બિંદુ x = 0 એ સમૂહ D(f) ની મર્યાદા બિંદુ છે, કારણ કે તેની કોઈપણ પડોશમાં, એટલે કે. બિંદુ 0 ધરાવતા કોઈપણ ખુલ્લા અંતરાલમાં, D(f) ના પોઈન્ટ હોય છે, પરંતુ તે પોતે આ સમૂહ સાથે સંબંધિત નથી. મૂલ્ય f(x o)= f(0) વ્યાખ્યાયિત નથી, તેથી બિંદુ x o = 0 પર ફંક્શનમાં વિરામ છે.

ફંક્શન f(x) કહેવાય છે બિંદુ પર જમણી બાજુએ સતત x o જો મર્યાદા

,

અને બિંદુ પર ડાબી બાજુ સતત x o, જો મર્યાદા

.

એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય x ઓઆ બિંદુએ જમણી અને ડાબી બંને બાજુએ તેની સાતત્યતાની સમકક્ષ છે.

કાર્ય એક બિંદુ પર સતત રહેવા માટે x ઓ, ઉદાહરણ તરીકે, જમણી બાજુએ, તે જરૂરી છે, પ્રથમ, ત્યાં મર્યાદિત મર્યાદા હોવી જોઈએ, અને બીજું, કે આ મર્યાદા f(x o) ની બરાબર છે. તેથી, જો આ બે શરતોમાંથી ઓછામાં ઓછી એક પૂરી ન થાય, તો કાર્યમાં વિરામ હશે.

1. જો મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે અને f(x o) ની બરાબર નથી, તો તેઓ કહે છે કે કાર્ય f(x) બિંદુ પર x o પાસે છે પ્રથમ પ્રકારનું ભંગાણ,અથવા કૂદકો.

2. જો મર્યાદા છે+∞ અથવા -∞ અથવા અસ્તિત્વમાં નથી, પછી તેઓ કહે છે કે માં બિંદુ x ઓ કાર્યમાં વિરામ છે બીજા પ્રકાર.

ઉદાહરણ તરીકે, કાર્ય y = cot x અને x→ +0 ની મર્યાદા +∞ જેટલી છે, જેનો અર્થ છે કે બિંદુ x=0 પર તે બીજા પ્રકારનું વિરામ ધરાવે છે. કાર્ય y = E(x) (નો પૂર્ણાંક ભાગ x) સંપૂર્ણ એબ્સીસાસ સાથેના બિંદુઓ પર પ્રથમ પ્રકારની વિરામ અથવા કૂદકા હોય છે.

અંતરાલના દરેક બિંદુએ સતત રહેતું કાર્ય કહેવાય છે સતતવી. સતત કાર્ય ઘન વળાંક દ્વારા રજૂ થાય છે.

અમુક જથ્થાની સતત વૃદ્ધિ સાથે સંકળાયેલી ઘણી સમસ્યાઓ બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા તરફ દોરી જાય છે. આવા કાર્યોમાં, ઉદાહરણ તરીકે, સમાવેશ થાય છે: ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજના કાયદા અનુસાર થાપણોની વૃદ્ધિ, દેશની વસ્તી વૃદ્ધિ, કિરણોત્સર્ગી પદાર્થોનો સડો, બેક્ટેરિયાનો પ્રસાર વગેરે.

ચાલો વિચાર કરીએ યા આઇ. પેરેલમેનનું ઉદાહરણ, નંબરનું અર્થઘટન આપીને ઇચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની સમસ્યામાં. નંબર ઇએક મર્યાદા છે . બચત બેંકોમાં, વ્યાજના નાણાં વાર્ષિક ધોરણે સ્થિર મૂડીમાં ઉમેરવામાં આવે છે. જો જોડાણ વધુ વખત કરવામાં આવે છે, તો મૂડી ઝડપથી વધે છે, કારણ કે વ્યાજની રચનામાં મોટી રકમ સામેલ છે. ચાલો એક સંપૂર્ણ સૈદ્ધાંતિક, ખૂબ જ સરળ ઉદાહરણ લઈએ. 100 નકારીઓને બેંકમાં જમા કરાવવા દો. એકમો વાર્ષિક 100% પર આધારિત. જો વ્યાજના નાણાં એક વર્ષ પછી જ નિશ્ચિત મૂડીમાં ઉમેરવામાં આવે, તો આ સમયગાળા સુધીમાં 100 ડેન. એકમો 200 નાણાકીય એકમોમાં ફેરવાશે. હવે ચાલો જોઈએ કે 100 denize શું માં ફેરવાશે. એકમો, જો વ્યાજના નાણાં દર છ મહિને નિશ્ચિત મૂડીમાં ઉમેરવામાં આવે છે. છ મહિના પછી, 100 ડેન. એકમો વધીને 100 થશે× 1.5 = 150, અને બીજા છ મહિના પછી - 150× 1.5 = 225 (ડેન. એકમો). જો પ્રવેશ વર્ષમાં દર 1/3 માં કરવામાં આવે છે, તો પછી એક વર્ષ પછી 100 ડેન. એકમો 100 માં ફેરવાશે× (1 +1/3) 3 " 237 (ડેન. એકમો). અમે વ્યાજના નાણાં ઉમેરવા માટેની શરતોને 0.1 વર્ષ સુધી, 0.01 વર્ષ સુધી, 0.001 વર્ષ સુધી, વગેરે વધારીશું. પછી 100 ડેનમાંથી. એકમો એક વર્ષ પછી તે હશે:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ડેન. એકમો),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (ડેન. એકમો),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ડેન. એકમો).

વ્યાજ ઉમેરવા માટેની શરતોમાં અમર્યાદિત ઘટાડા સાથે, સંચિત મૂડી અનિશ્ચિત કાળ સુધી વધતી નથી, પરંતુ આશરે 271 ની બરાબર ચોક્કસ મર્યાદા સુધી પહોંચે છે. વાર્ષિક 100% પર જમા કરાયેલ મૂડી 2.71 ગણાથી વધુ વધી શકતી નથી, ભલે ઉપાર્જિત વ્યાજ હોય. દર સેકન્ડે મૂડીમાં ઉમેરવામાં આવ્યા હતા કારણ કે મર્યાદા

ઉદાહરણ 3.1.સંખ્યા ક્રમની મર્યાદાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, સાબિત કરો કે ક્રમ x n =(n-1)/n ની મર્યાદા 1 ની બરાબર છે.

ઉકેલ.આપણે તે સાબિત કરવાની જરૂર છે, ભલે ગમે તે હોયε > 0, ભલે આપણે શું લઈએ, તેના માટે કુદરતી સંખ્યા N છે જેમ કે બધા n N માટે અસમાનતા ધરાવે છે.|x n -1|< ε.

ચાલો કોઈપણ e > 0 લઈએ. ત્યારથી ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, પછી N શોધવા માટે તે અસમાનતા 1/n ઉકેલવા માટે પૂરતું છે< ઇ. આથી n>1/ e અને તેથી, N ને 1/ ના પૂર્ણાંક ભાગ તરીકે લઈ શકાય છે e , N = E(1/ e ). અમે આમ સાબિત કર્યું છે કે મર્યાદા.

ઉદાહરણ 3.2 . સામાન્ય પદ દ્વારા આપવામાં આવેલ ક્રમની મર્યાદા શોધો .

ઉકેલ.ચાલો સરવાળા પ્રમેયની મર્યાદા લાગુ કરીએ અને દરેક પદની મર્યાદા શોધીએ. જ્યારે એન→ ∞ દરેક પદના અંશ અને છેદ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, અને આપણે સીધો જ ભાગ મર્યાદા પ્રમેય લાગુ કરી શકતા નથી. તેથી, પ્રથમ આપણે પરિવર્તન કરીએ છીએ x n, પ્રથમ પદના અંશ અને છેદને વડે વિભાજિત કરીને n 2, અને બીજા પર n. પછી, ભાગની મર્યાદા અને સરવાળા પ્રમેયની મર્યાદા લાગુ કરીને, આપણે શોધીએ છીએ:

.

ઉદાહરણ 3.3. . શોધો.

ઉકેલ. .

અહીં આપણે ડિગ્રી પ્રમેયની મર્યાદાનો ઉપયોગ કર્યો છે: ડિગ્રીની મર્યાદા આધારની મર્યાદાની ડિગ્રી જેટલી છે.

ઉદાહરણ 3.4 . શોધો ( ).

ઉકેલ.તફાવત પ્રમેયની મર્યાદા લાગુ કરવી અશક્ય છે, કારણ કે આપણી પાસે ફોર્મની અનિશ્ચિતતા છે ∞-∞ . ચાલો સામાન્ય શબ્દ સૂત્રને પરિવર્તિત કરીએ:

.

ઉદાહરણ 3.5 . ફંક્શન f(x)=2 1/x આપેલ છે. સાબિત કરો કે ત્યાં કોઈ મર્યાદા નથી.

ઉકેલ.ચાલો ક્રમ દ્વારા કાર્યની મર્યાદાની વ્યાખ્યા 1 નો ઉપયોગ કરીએ. ચાલો એક ક્રમ ( x n ) લઈએ જે 0 માં કન્વર્જ થાય છે, એટલે કે. ચાલો બતાવીએ કે મૂલ્ય f(x n)= વિવિધ ક્રમ માટે અલગ રીતે વર્તે છે. ચાલો x n = 1/n. દેખીતી રીતે, પછી મર્યાદા ચાલો હવે તરીકે પસંદ કરીએ x nસામાન્ય શબ્દ x n = -1/n સાથેનો ક્રમ, શૂન્ય તરફ પણ વલણ ધરાવે છે. તેથી કોઈ મર્યાદા નથી.

ઉદાહરણ 3.6 . સાબિત કરો કે ત્યાં કોઈ મર્યાદા નથી.

ઉકેલ.ચાલો x 1 , x 2 ,..., x n ,... જેના માટે ક્રમ છે
. ક્રમ (f(x n)) = (sin x n) વિવિધ x n → ∞ માટે કેવી રીતે વર્તે છે

જો x n = p n, તો sin x n = sin p n = 0 બધા માટે nઅને મર્યાદા જો
x n =2 p n+ p /2, પછી sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 બધા માટે nઅને તેથી મર્યાદા. તેથી તે અસ્તિત્વમાં નથી.

ઓનલાઈન મર્યાદાની ગણતરી માટે વિજેટ

ઉપરની વિન્ડોમાં, sin(x)/x ને બદલે, ફંક્શન દાખલ કરો જેની મર્યાદા તમે શોધવા માંગો છો. નીચલી વિન્ડોમાં, x જે તરફ વળે છે તે નંબર દાખલ કરો અને કેલ્ક્યુલર બટનને ક્લિક કરો, ઇચ્છિત મર્યાદા મેળવો. અને જો પરિણામ વિંડોમાં તમે ઉપરના જમણા ખૂણે બતાવો પગલાં પર ક્લિક કરો છો, તો તમને વિગતવાર ઉકેલ મળશે.

કાર્યો દાખલ કરવા માટેના નિયમો: sqrt(x) - વર્ગમૂળ, cbrt(x) - ઘનમૂળ, exp(x) - ઘાતાંક, ln(x) - કુદરતી લઘુગણક, sin(x) - સાઈન, cos(x) - કોસાઈન, tan (x) - સ્પર્શક, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. ચિહ્નો: * ગુણાકાર, / ભાગાકાર, ^ ઘાત, તેના બદલે અનંતઅનંત. ઉદાહરણ: ફંક્શન sqrt(tan(x/2)) તરીકે દાખલ થયેલ છે.

મર્યાદાનો સિદ્ધાંત એ ગાણિતિક વિશ્લેષણની એક શાખા છે. મર્યાદા ઉકેલવાનો પ્રશ્ન ખૂબ વ્યાપક છે, કારણ કે વિવિધ પ્રકારની મર્યાદાઓને ઉકેલવા માટે ડઝનેક પદ્ધતિઓ છે. ત્યાં ડઝનેક ઘોંઘાટ અને યુક્તિઓ છે જે તમને આ અથવા તે મર્યાદાને હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે. તેમ છતાં, અમે હજી પણ મુખ્ય પ્રકારની મર્યાદાઓને સમજવાનો પ્રયત્ન કરીશું જે મોટાભાગે વ્યવહારમાં આવે છે.

ચાલો એક મર્યાદાના ખ્યાલથી શરૂઆત કરીએ. પરંતુ પ્રથમ, સંક્ષિપ્ત ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ. ત્યાં 19મી સદીમાં એક ફ્રેંચમેન, ઓગસ્ટિન લુઈસ કોચી રહેતો હતો, જેણે મટનની ઘણી વિભાવનાઓને કડક વ્યાખ્યા આપી હતી અને તેનો પાયો નાખ્યો હતો. એવું કહેવું જ જોઇએ કે આ આદરણીય ગણિતશાસ્ત્રી ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિત વિભાગના તમામ વિદ્યાર્થીઓના દુઃસ્વપ્નોમાં હતા, છે અને હશે, કારણ કે તેમણે ગાણિતિક વિશ્લેષણના પ્રમેયની વિશાળ સંખ્યા સાબિત કરી છે, અને એક પ્રમેય બીજા કરતાં વધુ ઘાતક છે. આ સંદર્ભે, અમે હજી ધ્યાનમાં લઈશું નહીં કોચી મર્યાદાનું નિર્ધારણ, પરંતુ ચાલો બે વસ્તુઓ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ:

1. મર્યાદા શું છે તે સમજો.
2. મુખ્ય પ્રકારની મર્યાદાઓને ઉકેલતા શીખો.

હું કેટલાક અવૈજ્ઞાનિક ખુલાસાઓ માટે ક્ષમા ચાહું છું, તે મહત્વનું છે કે સામગ્રી ચાની કીટલી માટે પણ સમજી શકાય તેવું છે, જે હકીકતમાં, પ્રોજેક્ટનું કાર્ય છે.

તો મર્યાદા શું છે?

અને દાદીમાને શા માટે શેગી કરવી તેનું માત્ર એક ઉદાહરણ...

કોઈપણ મર્યાદા ત્રણ ભાગો ધરાવે છે:

1) જાણીતું મર્યાદા આયકન.
2) આ કિસ્સામાં, મર્યાદા આયકન હેઠળની એન્ટ્રીઓ. એન્ટ્રી "X એક તરફ વલણ ધરાવે છે" વાંચે છે. મોટેભાગે - બરાબર, જોકે વ્યવહારમાં "X" ને બદલે અન્ય ચલો છે. વ્યવહારુ કાર્યોમાં, એકનું સ્થાન એકદમ કોઈપણ સંખ્યા, તેમજ અનંત () હોઈ શકે છે.
3) આ કિસ્સામાં, મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળના કાર્યો.

રેકોર્ડિંગ પોતે આના જેવું વાંચે છે: "x તરીકે કાર્યની મર્યાદા એકતા તરફ વલણ ધરાવે છે."

ચાલો આગળનો મહત્વનો પ્રશ્ન જોઈએ - "x" શબ્દનો અર્થ શું છે? પ્રયત્ન કરે છેએકને"? અને "પ્રયત્ન" નો અર્થ શું છે?
મર્યાદાનો ખ્યાલ એ એક ખ્યાલ છે, તેથી વાત કરવા માટે, ગતિશીલ. ચાલો એક ક્રમ બનાવીએ: પહેલા , પછી , , …, , ….
એટલે કે, અભિવ્યક્તિ "x પ્રયત્ન કરે છેએક માટે” નીચે પ્રમાણે સમજવું જોઈએ: “x” સતત મૂલ્યો લે છે જે એકતાને અનંત નજીક અને વ્યવહારિક રીતે તેની સાથે મેળ ખાય છે.

ઉપરોક્ત ઉદાહરણ કેવી રીતે હલ કરવું? ઉપરના આધારે, તમારે મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળ ફંક્શનમાં ફક્ત એકને બદલવાની જરૂર છે:

તેથી, પ્રથમ નિયમ: જ્યારે કોઈપણ મર્યાદા આપવામાં આવે છે, ત્યારે પહેલા આપણે ફંક્શનમાં નંબરને પ્લગ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ.

અમે સૌથી સરળ મર્યાદા ધ્યાનમાં લીધી છે, પરંતુ આ વ્યવહારમાં પણ થાય છે, અને ભાગ્યે જ નહીં!

અનંત સાથેનું ઉદાહરણ:

ચાલો આકૃતિ કરીએ કે તે શું છે? આ તે કેસ છે જ્યારે તે મર્યાદા વિના વધે છે, એટલે કે: પ્રથમ, પછી, પછી, પછી અને તેથી જાહેરાત અનંત.

આ સમયે કાર્યનું શું થાય છે?
, , , …

તેથી: જો , તો ફંક્શન માઈનસ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે:

સામાન્ય રીતે કહીએ તો, અમારા પ્રથમ નિયમ મુજબ, "X" ને બદલે આપણે ફંક્શનમાં અનંતતાને બદલીએ છીએ અને જવાબ મેળવીએ છીએ.

અનંત સાથેનું બીજું ઉદાહરણ:

ફરીથી આપણે અનંત સુધી વધવાનું શરૂ કરીએ છીએ અને કાર્યની વર્તણૂક જોઈએ છીએ:

નિષ્કર્ષ: જ્યારે કાર્ય મર્યાદા વિના વધે છે:

અને ઉદાહરણોની બીજી શ્રેણી:

કૃપા કરીને તમારા માટે નીચેનાનું માનસિક વિશ્લેષણ કરવાનો પ્રયાસ કરો અને સરળ પ્રકારની મર્યાદાઓ યાદ રાખો:

, , , , , , , , ,
જો તમને ગમે ત્યાં શંકા હોય, તો તમે કેલ્ક્યુલેટર લઈ શકો છો અને થોડી પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો.
તે ઘટનામાં , ક્રમ બનાવવાનો પ્રયાસ કરો , . જો , તો , , .

! નોંધ: કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, સંખ્યાબંધ સંખ્યાઓનો ક્રમ બાંધવાનો આ અભિગમ ખોટો છે, પરંતુ સરળ ઉદાહરણો સમજવા માટે તે એકદમ યોગ્ય છે.

નીચેની બાબત પર પણ ધ્યાન આપો. જો ટોચ પર મોટી સંખ્યા સાથે અથવા એક મિલિયન સાથે પણ મર્યાદા આપવામાં આવી હોય તો: , તો તે બધું સમાન છે , કારણ કે વહેલા અથવા પછીના "X" આવા વિશાળ મૂલ્યો લેવાનું શરૂ કરશે કે જેની સરખામણીમાં એક મિલિયન વાસ્તવિક સૂક્ષ્મજીવાણુ હશે.

તમારે ઉપરોક્તમાંથી શું યાદ રાખવા અને સમજવાની જરૂર છે?

1) જ્યારે કોઈપણ મર્યાદા આપવામાં આવે છે, ત્યારે પહેલા આપણે ફંક્શનમાં સંખ્યાને બદલવાનો પ્રયત્ન કરીએ છીએ.

2) તમારે સરળ મર્યાદાઓને સમજવી અને તરત જ ઉકેલવી જોઈએ, જેમ કે .

વધુમાં, મર્યાદાનો ખૂબ જ સારો ભૌમિતિક અર્થ છે. વિષયની વધુ સારી સમજણ માટે, હું ભલામણ કરું છું કે તમે શિક્ષણ સામગ્રી વાંચો પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ અને ગુણધર્મો. આ લેખ વાંચ્યા પછી, તમે માત્ર આખરે સમજી શકશો નહીં કે મર્યાદા શું છે, પરંતુ રસપ્રદ કિસ્સાઓથી પણ પરિચિત થશો જ્યારે સામાન્ય રીતે કાર્યની મર્યાદા અસ્તિત્વમાં નથી!

વ્યવહારમાં, કમનસીબે, ત્યાં થોડી ભેટો છે. અને તેથી અમે વધુ જટિલ મર્યાદાઓ ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધીએ છીએ. માર્ગ દ્વારા, આ વિષય પર છે સઘન અભ્યાસક્રમ pdf ફોર્મેટમાં, જે ખાસ કરીને ઉપયોગી છે જો તમારી પાસે તૈયાર કરવા માટે ઘણો ઓછો સમય હોય. પરંતુ સાઇટ સામગ્રી, અલબત્ત, વધુ ખરાબ નથી:

હવે આપણે મર્યાદાઓના જૂથને ધ્યાનમાં લઈશું જ્યારે , અને કાર્ય એ અપૂર્ણાંક છે જેના અંશ અને છેદમાં બહુપદી હોય છે

ઉદાહરણ:

મર્યાદાની ગણતરી કરો

અમારા નિયમ મુજબ, અમે ફંક્શનમાં અનંતને બદલવાનો પ્રયત્ન કરીશું. આપણે ટોચ પર શું મેળવીએ છીએ? અનંત. અને નીચે શું થાય છે? અનંત પણ. આમ, આપણી પાસે પ્રજાતિની અનિશ્ચિતતા કહેવાય છે. કોઈ એવું વિચારી શકે છે , અને જવાબ તૈયાર છે, પરંતુ સામાન્ય કિસ્સામાં આ બિલકુલ નથી, અને કેટલીક સોલ્યુશન તકનીક લાગુ કરવી જરૂરી છે, જેને આપણે હવે ધ્યાનમાં લઈશું.

આ પ્રકારની મર્યાદાઓને કેવી રીતે હલ કરવી?

પ્રથમ આપણે અંશને જોઈએ છીએ અને ઉચ્ચતમ શક્તિ શોધીએ છીએ:

અંશમાં અગ્રણી શક્તિ બે છે.

હવે આપણે છેદને જોઈએ છીએ અને તેને સર્વોચ્ચ શક્તિમાં પણ શોધીએ છીએ:

છેદની ઉચ્ચતમ ડિગ્રી બે છે.

પછી આપણે અંશ અને છેદની સર્વોચ્ચ શક્તિ પસંદ કરીએ છીએ: આ ઉદાહરણમાં, તેઓ બે સમાન અને સમાન છે.

તેથી, ઉકેલની પદ્ધતિ નીચે મુજબ છે: અનિશ્ચિતતાને જાહેર કરવા માટે, અંશ અને છેદને સર્વોચ્ચ શક્તિ દ્વારા વિભાજિત કરવું જરૂરી છે.

અહીં તે છે, જવાબ, અને અનંત બિલકુલ નથી.

નિર્ણયની રચનામાં મૂળભૂત રીતે શું મહત્વનું છે?

પ્રથમ, અમે અનિશ્ચિતતા સૂચવીએ છીએ, જો કોઈ હોય તો.

બીજું, મધ્યવર્તી સમજૂતીઓ માટે ઉકેલને વિક્ષેપિત કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. હું સામાન્ય રીતે ચિહ્નનો ઉપયોગ કરું છું, તેનો કોઈ ગાણિતિક અર્થ નથી, પરંતુ તેનો અર્થ એ છે કે મધ્યવર્તી સમજૂતી માટે ઉકેલ અવરોધાય છે.

ત્રીજે સ્થાને, મર્યાદામાં તે ક્યાં જઈ રહ્યું છે તે ચિહ્નિત કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. જ્યારે કામ હાથથી દોરવામાં આવે છે, ત્યારે તે આ રીતે કરવું વધુ અનુકૂળ છે:

નોંધો માટે સરળ પેન્સિલનો ઉપયોગ કરવો વધુ સારું છે.

અલબત્ત, તમારે આમાંથી કંઈ કરવાની જરૂર નથી, પરંતુ પછી, કદાચ, શિક્ષક ઉકેલમાં ખામીઓ દર્શાવશે અથવા સોંપણી વિશે વધારાના પ્રશ્નો પૂછવાનું શરૂ કરશે. શું તમને તેની જરૂર છે?

ઉદાહરણ 2

મર્યાદા શોધો
ફરીથી અંશ અને છેદમાં આપણે ઉચ્ચતમ ડિગ્રીમાં શોધીએ છીએ:

અંશમાં મહત્તમ ડિગ્રી: 3
છેદમાં મહત્તમ ડિગ્રી: 4
પસંદ કરો મહાનમૂલ્ય, આ કિસ્સામાં ચાર.
અમારા અલ્ગોરિધમ મુજબ, અનિશ્ચિતતા પ્રગટ કરવા માટે, અમે અંશ અને છેદને . વડે વિભાજીત કરીએ છીએ.
સંપૂર્ણ સોંપણી આના જેવી દેખાઈ શકે છે:

અંશ અને છેદને વડે વિભાજિત કરો

ઉદાહરણ 3

મર્યાદા શોધો
અંશમાં "X" ની મહત્તમ ડિગ્રી: 2
છેદમાં "X" ની મહત્તમ ડિગ્રી: 1 (આ રીતે લખી શકાય છે)
અનિશ્ચિતતાને છતી કરવા માટે, અંશ અને છેદને વડે વિભાજિત કરવું જરૂરી છે. અંતિમ ઉકેલ આના જેવો દેખાઈ શકે છે:

અંશ અને છેદને વડે વિભાજિત કરો

નોટેશનનો અર્થ શૂન્ય વડે ભાગાકાર થતો નથી (તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી), પરંતુ અનંત સંખ્યા વડે વિભાજન.

આમ, પ્રજાતિઓની અનિશ્ચિતતાને ઉજાગર કરીને, આપણે સક્ષમ થઈ શકીએ છીએ અંતિમ સંખ્યા, શૂન્ય અથવા અનંત.

તેમને ઉકેલવા માટેના પ્રકાર અને પદ્ધતિની અનિશ્ચિતતા સાથેની મર્યાદાઓ

મર્યાદાઓનું આગલું જૂથ હમણા ધ્યાનમાં લેવાયેલી મર્યાદાઓ જેવું જ છે: અંશ અને છેદ બહુપદી ધરાવે છે, પરંતુ "x" હવે અનંતતા તરફ વળે છે નહીં, પરંતુ મર્યાદિત સંખ્યા.

ઉદાહરણ 4

મર્યાદા ઉકેલો
પ્રથમ, ચાલો -1 ને અપૂર્ણાંકમાં બદલવાનો પ્રયાસ કરીએ:

આ કિસ્સામાં, કહેવાતી અનિશ્ચિતતા પ્રાપ્ત થાય છે.

સામાન્ય નિયમ: જો અંશ અને છેદમાં બહુપદી હોય, અને ફોર્મની અનિશ્ચિતતા હોય, તો તેને જાહેર કરવા તમારે અંશ અને છેદને અવયવિત કરવાની જરૂર છે.

આ કરવા માટે, મોટાભાગે તમારે ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવાની અને/અથવા સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. જો આ વસ્તુઓ ભૂલી ગયા હોય, તો પૃષ્ઠની મુલાકાત લો ગાણિતિક સૂત્રો અને કોષ્ટકોઅને શિક્ષણ સામગ્રી વાંચો શાળા ગણિત અભ્યાસક્રમ માટે ગરમ સૂત્રો. માર્ગ દ્વારા, તેને છાપવું શ્રેષ્ઠ છે; તે ઘણી વાર જરૂરી છે, અને માહિતી કાગળમાંથી વધુ સારી રીતે શોષાય છે.

તો ચાલો આપણી મર્યાદા ઉકેલીએ

અંશ અને છેદને અવયવ કરો

અંશને પરિબળ કરવા માટે, તમારે ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ કરવાની જરૂર છે:

પ્રથમ આપણે ભેદભાવ શોધીએ છીએ:

અને તેનું વર્ગમૂળ: .

જો ભેદભાવ મોટો હોય, ઉદાહરણ તરીકે 361, અમે કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીએ છીએ વર્ગમૂળ કાઢવાનું કાર્ય સૌથી સરળ કેલ્ક્યુલેટર પર છે.

! જો રુટ તેની સંપૂર્ણતામાં કાઢવામાં ન આવે (અલ્પવિરામ સાથે અપૂર્ણાંક નંબર મેળવવામાં આવે છે), તો તે ખૂબ જ સંભવ છે કે ભેદભાવ કરનારની ગણતરી ખોટી રીતે કરવામાં આવી હતી અથવા કાર્યમાં કોઈ ભૂલ હતી.

આગળ આપણે મૂળ શોધીએ છીએ:

આમ:

બધા. અંશ અવયવિત છે.

છેદ. છેદ પહેલેથી જ સૌથી સરળ પરિબળ છે, અને તેને સરળ બનાવવાની કોઈ રીત નથી.

દેખીતી રીતે, તેને ટૂંકી કરી શકાય છે:

હવે આપણે -1 ને અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ છીએ જે મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળ રહે છે:

સ્વાભાવિક રીતે, કસોટી, કસોટી અથવા પરીક્ષામાં, ઉકેલ ક્યારેય આટલી વિગતવાર લખવામાં આવતો નથી. અંતિમ સંસ્કરણમાં, ડિઝાઇન કંઈક આના જેવી હોવી જોઈએ:

ચાલો અંશનું અવયવીકરણ કરીએ.

ઉદાહરણ 5

મર્યાદાની ગણતરી કરો

પ્રથમ, ઉકેલનું "સમાપ્ત" સંસ્કરણ

ચાલો અંશ અને છેદનું અવયવ કરીએ.

અંશ:
છેદ:



,

આ ઉદાહરણમાં શું મહત્વનું છે?
પ્રથમ, તમારે અંશ કેવી રીતે પ્રગટ થાય છે તેની સારી સમજ હોવી જોઈએ, પહેલા આપણે કૌંસમાંથી 2 લીધા, અને પછી વર્ગોના તફાવત માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કર્યો. આ તે ફોર્મ્યુલા છે જે તમારે જાણવાની અને જોવાની જરૂર છે.

ભલામણ: જો મર્યાદામાં (લગભગ કોઈપણ પ્રકારની) કૌંસમાંથી સંખ્યા લેવાનું શક્ય છે, તો અમે હંમેશા તે કરીએ છીએ.
તદુપરાંત, આવી સંખ્યાઓને મર્યાદા ચિહ્નની બહાર ખસેડવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. શેના માટે? હા, ફક્ત જેથી તેઓ રસ્તામાં ન આવે. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે સોલ્યુશન દરમિયાન પાછળથી આ સંખ્યાઓ ગુમાવવી નહીં.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે સોલ્યુશનના અંતિમ તબક્કે, મેં બેને મર્યાદા આઇકોનમાંથી બહાર કાઢ્યા, અને પછી બાદબાકી.

! મહત્વપૂર્ણ
ઉકેલ દરમિયાન, પ્રકારનો ટુકડો ઘણી વાર થાય છે. આ અપૂર્ણાંક ઘટાડોતે પ્રતિબંધિત છે . પ્રથમ તમારે અંશ અથવા છેદનું ચિહ્ન બદલવાની જરૂર છે (કૌંસની બહાર -1 મૂકો).
, એટલે કે, બાદબાકીનું ચિહ્ન દેખાય છે, જે મર્યાદાની ગણતરી કરતી વખતે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે અને તેને ગુમાવવાની બિલકુલ જરૂર નથી.

સામાન્ય રીતે, મેં નોંધ્યું છે કે મોટાભાગે આ પ્રકારની મર્યાદાઓ શોધવા માટે તમારે બે ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા પડે છે, એટલે કે, અંશ અને છેદ બંનેમાં ચતુર્ભુજ ત્રિનોમિયા હોય છે.

સંયુક્ત અભિવ્યક્તિ દ્વારા અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરવાની પદ્ધતિ

અમે ફોર્મની અનિશ્ચિતતાને ધ્યાનમાં લેવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ

આગલા પ્રકારની મર્યાદા પાછલા પ્રકારની સમાન છે. એકમાત્ર વસ્તુ, બહુપદી ઉપરાંત, આપણે મૂળ ઉમેરીશું.

ઉદાહરણ 6

મર્યાદા શોધો

ચાલો નક્કી કરવાનું શરૂ કરીએ.

પ્રથમ આપણે મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિમાં 3 ને બદલવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ
હું ફરી એક વાર પુનરાવર્તન કરું છું - આ પહેલી વસ્તુ છે જે તમારે કોઈપણ મર્યાદા માટે કરવાની જરૂર છે. આ ક્રિયા સામાન્ય રીતે માનસિક રીતે અથવા ડ્રાફ્ટ સ્વરૂપમાં કરવામાં આવે છે.

ફોર્મની અનિશ્ચિતતા પ્રાપ્ત થઈ છે જેને દૂર કરવાની જરૂર છે.

જેમ તમે કદાચ નોંધ્યું હશે, અમારા અંશમાં મૂળનો તફાવત છે. અને ગણિતમાં જો શક્ય હોય તો મૂળમાંથી છૂટકારો મેળવવાનો રિવાજ છે. શેના માટે? અને તેમના વિના જીવન સરળ છે.

પ્રકાર અને પ્રજાતિઓની અનિશ્ચિતતા એ સૌથી સામાન્ય અનિશ્ચિતતા છે જેને મર્યાદા ઉકેલતી વખતે જાહેર કરવાની જરૂર છે.

વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા આવતી મોટાભાગની મર્યાદા સમસ્યાઓમાં આવી અનિશ્ચિતતાઓ હોય છે. તેમને જાહેર કરવા અથવા, વધુ સ્પષ્ટ રીતે, અનિશ્ચિતતાઓને ટાળવા માટે, મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિના પ્રકારને રૂપાંતરિત કરવા માટે ઘણી કૃત્રિમ તકનીકો છે. આ તકનીકો નીચે મુજબ છે: ચલની સર્વોચ્ચ શક્તિ દ્વારા અંશ અને છેદનો શબ્દવાર ભાગાકાર, સંયોજક અભિવ્યક્તિ દ્વારા ગુણાકાર અને ચતુર્ભુજ સમીકરણો અને સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોના ઉકેલોનો ઉપયોગ કરીને અનુગામી ઘટાડા માટે અવયવીકરણ.

પ્રજાતિઓની અનિશ્ચિતતા

ઉદાહરણ 1.

n 2 ની બરાબર છે. તેથી, અમે અંશ અને છેદ શબ્દને શબ્દ દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ:

.

અભિવ્યક્તિની જમણી બાજુ પર ટિપ્પણી કરો. તીર અને સંખ્યાઓ સૂચવે છે કે અવેજીકરણ પછી અપૂર્ણાંક શું વલણ ધરાવે છે nઅર્થ અનંત. અહીં, ઉદાહરણ તરીકે 2, ડિગ્રી nઅંશ કરતાં છેદમાં વધુ છે, જેના પરિણામે સમગ્ર અપૂર્ણાંક અનંત અથવા "સુપર-સ્મોલ" થવાનું વલણ ધરાવે છે.

અમને જવાબ મળે છે: અનંત તરફ વલણ ધરાવતા ચલ સાથેના આ કાર્યની મર્યાદા બરાબર છે.

ઉદાહરણ 2. .

ઉકેલ. અહીં ચલની સૌથી વધુ શક્તિ છે x 1 ની બરાબર છે. તેથી, આપણે અંશ અને છેદ શબ્દને પદ દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ x:

નિર્ણયની પ્રગતિ પર ટિપ્પણી. અંશમાં આપણે ત્રીજી ડિગ્રીના મૂળ હેઠળ “x” ચલાવીએ છીએ, અને જેથી તેની મૂળ ડિગ્રી (1) યથાવત રહે, અમે તેને રૂટની સમાન ડિગ્રી સોંપીએ છીએ, એટલે કે, 3. ત્યાં કોઈ તીર અથવા વધારાની સંખ્યાઓ નથી. આ એન્ટ્રીમાં, તેથી તેને માનસિક રીતે અજમાવો, પરંતુ અગાઉના ઉદાહરણ સાથે સામ્યતા દ્વારા, નિર્ધારિત કરો કે અંશ અને છેદમાં "x" ને બદલે અનંતની અવેજીમાં અભિવ્યક્તિઓ શું વલણ ધરાવે છે.

અમને જવાબ મળ્યો: અનંત તરફ વલણ ધરાવતા ચલ સાથેના આ કાર્યની મર્યાદા શૂન્યની બરાબર છે.

પ્રજાતિઓની અનિશ્ચિતતા

ઉદાહરણ 3.અનિશ્ચિતતાને ઉજાગર કરો અને મર્યાદા શોધો.

ઉકેલ. અંશ એ ક્યુબ્સનો તફાવત છે. ચાલો શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાંથી સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેને પરિબળ બનાવીએ:

છેદમાં એક ચતુર્ભુજ ત્રિપદીનો સમાવેશ થાય છે, જેને આપણે ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ કરીને પરિબળ બનાવીશું (ફરી એક વાર ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની લિંક):

ચાલો રૂપાંતરણના પરિણામે પ્રાપ્ત થયેલ અભિવ્યક્તિ લખીએ અને કાર્યની મર્યાદા શોધીએ:

ઉદાહરણ 4.અનિશ્ચિતતાને અનલૉક કરો અને મર્યાદા શોધો

ઉકેલ. ભાગની મર્યાદા પ્રમેય અહીં લાગુ પડતું નથી, ત્યારથી

તેથી, અમે અપૂર્ણાંકને સમાન રીતે રૂપાંતરિત કરીએ છીએ: અંશ અને છેદને દ્વિપદી સંયોજક દ્વારા છેદ સાથે ગુણાકાર કરીને, અને તેનાથી ઘટાડીને x+1. પ્રમેય 1 ની કોરોલરી અનુસાર, અમે એક અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ, જેને હલ કરીને અમને ઇચ્છિત મર્યાદા મળે છે:

ઉદાહરણ 5.અનિશ્ચિતતાને અનલૉક કરો અને મર્યાદા શોધો

ઉકેલ. ડાયરેક્ટ મૂલ્ય અવેજી xઆપેલ કાર્યમાં = 0 ફોર્મ 0/0 ની અનિશ્ચિતતા તરફ દોરી જાય છે. તેને જાહેર કરવા માટે, અમે સમાન પરિવર્તનો કરીએ છીએ અને આખરે ઇચ્છિત મર્યાદા મેળવીએ છીએ:

ઉદાહરણ 6.ગણતરી કરો

ઉકેલ:ચાલો પ્રમેયનો ઉપયોગ મર્યાદા પર કરીએ

જવાબ: 11

ઉદાહરણ 7.ગણતરી કરો

ઉકેલ:આ ઉદાહરણમાં અંશ અને છેદની મર્યાદા 0 ની બરાબર છે:

; . અમને પ્રાપ્ત થયું છે, તેથી, ભાગની મર્યાદા પરનું પ્રમેય લાગુ કરી શકાતું નથી.

ચાલો શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવતા સામાન્ય પરિબળ દ્વારા અપૂર્ણાંકને ઘટાડવા માટે અંશ અને છેદનું અવયવીકરણ કરીએ, અને તેથી, પ્રમેય 3 લાગુ કરવાનું શક્ય બનાવીએ.

આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અંશમાં ચોરસ ત્રિપદીનો વિસ્તાર કરીએ છીએ, જ્યાં x 1 અને x 2 ત્રિનોમીના મૂળ છે. ફેક્ટરાઇઝ્ડ અને છેદ ધરાવતાં, અમે અપૂર્ણાંકને (x-2) ઘટાડીએ છીએ, પછી પ્રમેય 3 લાગુ કરીએ છીએ.

જવાબ:

ઉદાહરણ 8.ગણતરી કરો

ઉકેલ:જ્યારે અંશ અને છેદ અનંતતા તરફ વલણ ધરાવે છે, તેથી, જ્યારે પ્રમેય 3 સીધો લાગુ કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ, જે અનિશ્ચિતતાને રજૂ કરે છે. આ પ્રકારની અનિશ્ચિતતાથી છુટકારો મેળવવા માટે, તમારે દલીલની સર્વોચ્ચ શક્તિ દ્વારા અંશ અને છેદને વિભાજિત કરવું જોઈએ. આ ઉદાહરણમાં, તમારે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે એક્સ:

જવાબ:

ઉદાહરણ 9.ગણતરી કરો

ઉકેલ: x 3:

જવાબ: 2

ઉદાહરણ 10.ગણતરી કરો

ઉકેલ:જ્યારે અંશ અને છેદ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે. ચાલો અંશ અને છેદને દલીલની સર્વોચ્ચ શક્તિ દ્વારા વિભાજીત કરીએ, એટલે કે. x 5:

=

અપૂર્ણાંકનો અંશ 1 તરફ વલણ ધરાવે છે, છેદ 0 તરફ વલણ ધરાવે છે, તેથી અપૂર્ણાંક અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે.

જવાબ:

ઉદાહરણ 11.ગણતરી કરો

ઉકેલ:જ્યારે અંશ અને છેદ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે. ચાલો અંશ અને છેદને દલીલની સર્વોચ્ચ શક્તિ દ્વારા વિભાજીત કરીએ, એટલે કે. x 7:

જવાબ: 0

વ્યુત્પન્ન.

દલીલ xના સંદર્ભમાં ફંક્શન y = f(x) નું વ્યુત્પન્નદલીલ x ના ઇન્ક્રીમેન્ટ x અને તેના ઇન્ક્રીમેન્ટ y ના ગુણોત્તરની મર્યાદા કહેવાય છે, જ્યારે દલીલનો વધારો શૂન્ય તરફ વળે છે: . જો આ મર્યાદા મર્યાદિત હોય, તો કાર્ય y = f(x) x પર વિભેદક હોવાનું કહેવાય છે. જો આ મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે, તો તેઓ કહે છે કે કાર્ય y = f(x)બિંદુ x પર અનંત વ્યુત્પન્ન છે.

મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના વ્યુત્પન્ન:

1. (const)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

ભિન્નતાના નિયમો:

a)

વી)

ઉદાહરણ 1.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ:જો બીજા શબ્દનું વ્યુત્પન્ન અપૂર્ણાંકના તફાવતના નિયમનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે, તો પ્રથમ પદ એક જટિલ કાર્ય છે, જેનું વ્યુત્પન્ન સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:

પછી ક્યાં

ઉકેલ કરતી વખતે નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો: 1,2,10,a,c,d.

જવાબ:

ઉદાહરણ 21.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ:બંને શબ્દો જટિલ કાર્યો છે, જ્યાં પ્રથમ માટે , , અને બીજા માટે , , પછી

જવાબ:

વ્યુત્પન્ન એપ્લિકેશન્સ.

1. ઝડપ અને પ્રવેગક

ફંક્શન s(t) ને વર્ણવવા દો સ્થિતિઅમુક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ઑબ્જેક્ટ સમયે t. પછી ફંક્શન s(t) નું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન ત્વરિત છે ઝડપપદાર્થ:
v=s′=f′(t)
ફંક્શનનું બીજું વ્યુત્પન્ન s(t) ત્વરિતનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે પ્રવેગકપદાર્થ:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. સ્પર્શક સમીકરણ
y−y0=f′(x0)(x−x0),
જ્યાં (x0,y0) સ્પર્શક બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ છે, f′(x0) એ સ્પર્શ બિંદુ પર f(x) ફંક્શનના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય છે.

3. સામાન્ય સમીકરણ
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

જ્યાં (x0,y0) એ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ છે કે જેના પર સામાન્ય દોરવામાં આવે છે, f′(x0) એ આ બિંદુ પર f(x) ફંક્શનના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય છે.

4. કાર્યમાં વધારો અને ઘટાડો
જો f′(x0)>0, તો કાર્ય x0 બિંદુ પર વધે છે. નીચેની આકૃતિમાં ફંક્શન x તરીકે વધી રહ્યું છે x2.
જો f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1જો f′(x0)=0 અથવા વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી, તો પછી આ માપદંડ આપણને બિંદુ x0 પર કાર્યની એકવિધતાની પ્રકૃતિ નક્કી કરવાની મંજૂરી આપતું નથી.

5. ફંક્શનની સ્થાનિક સીમા
ફંક્શન f(x) પાસે છે સ્થાનિક મહત્તમબિંદુ x1 પર, જો બિંદુ x1 ની પડોશી હોય કે જે આ પડોશમાંથી તમામ x માટે અસમાનતા f(x1)≥f(x) ધરાવે છે.
તેવી જ રીતે, ફંક્શન f(x) પાસે છે સ્થાનિક લઘુત્તમબિંદુ x2 પર, જો બિંદુ x2 ની પડોશી હોય કે જે આ પડોશમાંથી તમામ x માટે અસમાનતા f(x2)≤f(x) ધરાવે છે.

6. જટિલ મુદ્દાઓ
બિંદુ x0 છે નિર્ણાયક બિંદુફંક્શન f(x), જો તેમાં વ્યુત્પન્ન f′(x0) શૂન્યની બરાબર હોય અથવા અસ્તિત્વમાં ન હોય.

7. એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વની પ્રથમ પર્યાપ્ત નિશાની
જો ફંક્શન f(x) અમુક અંતરાલમાં બધા x માટે (f′(x)>0) વધે છે (a,x1] અને ઘટે છે (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) અંતરાલમાંથી તમામ x માટે)