કૃષિ-ઔદ્યોગિક સંકુલની સંસ્થાઓમાં નાણાકીય સાધનોનો ઉપયોગ. શિશ્કિન વી., કુદ્ર્યાવત્સેવા જી.

પર્યાવરણના પ્રદૂષણ અને મનોરંજનની પ્રક્રિયાઓનું વર્ણન કરતી બિનરેખીય સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓનો અભ્યાસ કરતી વખતે, પ્રસરણ, શોષણ અને રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાઓ સાથે પ્રતિબિંબિત કરતી વખતે, મુક્ત સીમા સાથે સ્ટેફન-પ્રકારની સમસ્યાઓ અને ઇચ્છિત સાંદ્રતા ક્ષેત્ર પર નોંધપાત્ર રીતે આધાર રાખતા સ્ત્રોતો ખાસ કરીને છે. વ્યાજ

પર્યાવરણીય સમસ્યાઓમાં મુક્ત સીમાઓ સાથેની બિનરેખીય સમસ્યાઓ પર્યાવરણીય પ્રદૂષણ (મનોરંજન) પ્રક્રિયાઓના વાસ્તવમાં અવલોકન કરાયેલ સ્થાનિકીકરણનું વર્ણન કરવાનું શક્ય બનાવે છે. અહીં બિનરેખીયતા અશાંત પ્રસરણ ટેન્સર K અને પ્રદૂષણના પ્રવાહો / સાંદ્રતા c પર બંનેની અવલંબનને કારણે છે. પ્રથમ કિસ્સામાં, અવકાશી સ્થાનિકીકરણ અધોગતિને કારણે પ્રાપ્ત થાય છે, જ્યારે c = O અને K = 0 પર હોય છે. જો કે, તે માત્ર r ની આપેલ ક્ષણે જ થાય છે અને z પર ગેરહાજર હોય છે.

પ્રતિક્રિયા સાથે પ્રસરણ પ્રક્રિયાઓની ઉત્ક્રાંતિ, સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત અવકાશી સ્થાનિકીકરણ સાથે સ્થિર સ્થિતિઓને મર્યાદિત કરવા માટે સ્થિરતા, સિંકની વિશેષ અવલંબન સાથે ગાણિતિક મોડેલો દ્વારા વર્ણવી શકાય છે /(c). બાદમાં અપૂર્ણાંક ક્રમની રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાઓને કારણે પદાર્થના વપરાશને દર્શાવે છે, જ્યારે /(c) = . આ કિસ્સામાં, પ્રસરણ ગુણાંકની અધોગતિને ધ્યાનમાં લીધા વિના, માધ્યમના પ્રસરણ વિક્ષેપનું સ્પેટીઓટેમ્પોરલ સ્થાનિકીકરણ છે. કોઈપણ સમયે /, સ્થાનિક રીતે પ્રસરણ વિક્ષેપ ચોક્કસ પ્રદેશ 0(7) પર કબજો કરે છે, જે અગાઉની અજાણી મુક્ત સપાટી Г(7) દ્વારા અગાઉથી મર્યાદિત છે. આ કિસ્સામાં એકાગ્રતા ક્ષેત્ર c(p, /) એ ફ્રન્ટ Г(/) સાથેનું પ્રસરણ તરંગ છે, જે એક અવ્યવસ્થિત માધ્યમ દ્વારા ફેલાય છે, જ્યાં c = O.

તે તદ્દન સ્વાભાવિક છે કે આ ગુણાત્મક અસરો માત્ર મોડેલિંગ પ્રતિક્રિયા પ્રક્રિયાઓ માટે બિનરેખીય અભિગમના આધારે મેળવી શકાય છે.

જો કે, આ અભિગમ નોંધપાત્ર ગાણિતિક મુશ્કેલીઓ સાથે સંકળાયેલ છે જ્યારે મુક્ત સીમાઓ સાથેની બિનરેખીય સમસ્યાઓનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે જે અહીં ઉદ્ભવે છે, જ્યારે કાર્યોની જોડી નક્કી કરવી આવશ્યક છે - એકાગ્રતા ક્ષેત્ર c(p,t) અને મુક્ત સીમા Г(/) = ( (p,t): c(p,t) = O). આવી સમસ્યાઓ, જેમ કે પહેલેથી જ નોંધ્યું છે, ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રની વધુ જટિલ, ઓછી-અભ્યાસિત સમસ્યાઓની છે.

તેમની જટિલતાને કારણે મુક્ત સીમાઓ સાથેની સીમા મૂલ્યની સમસ્યાઓ માટે નોંધપાત્ર રીતે ઓછા સંશોધન હાથ ધરવામાં આવ્યા છે, જે તેમની બિનરેખીયતા અને હકીકત એ છે કે તેઓને માંગવામાં આવતા ક્ષેત્રોની ટોપોલોજીકલ લાક્ષણિકતાઓના પ્રાથમિક સ્પષ્ટીકરણની જરૂર છે. આવી સમસ્યાઓના ઉકેલને ધ્યાનમાં લેતા કાર્યોમાં, એ.એ.ના કાર્યોને ધ્યાનમાં લેવા યોગ્ય છે. સમર્સ્કી, ઓ.એ. ઓલેનિક, S.A. Kamenomostkoy, વગેરે. A.A. બેરેઝોવ્સ્કીના કાર્યોમાં આપેલ કાર્યો પર કેટલાક પ્રતિબંધો સાથે, E.S. સબિનીનાએ ઉષ્મા સમીકરણ માટે મુક્ત સીમા સાથે સીમા મૂલ્યની સમસ્યાના ઉકેલ માટે અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતાના પ્રમેય સાબિત કર્યા.

આ વર્ગની સમસ્યાઓના અંદાજિત ઉકેલ માટે અસરકારક પદ્ધતિઓનો વિકાસ એટલો જ મહત્વપૂર્ણ છે, જે ઇનપુટ ડેટા પર પ્રક્રિયાના મુખ્ય પરિમાણોની કાર્યાત્મક નિર્ભરતાને સ્થાપિત કરવાનું શક્ય બનાવશે, પ્રક્રિયાના ઉત્ક્રાંતિની ગણતરી અને આગાહી કરવાનું શક્ય બનાવશે. વિચારણા હેઠળ.

કોમ્પ્યુટર ટેક્નોલોજીના ઝડપી સુધારાને લીધે, આવી સમસ્યાઓના નિરાકરણ માટે અસરકારક સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ વધુને વધુ વિકસિત થઈ રહી છે. આમાં સીધી રેખાઓની પદ્ધતિ, પ્રક્ષેપણ-ગ્રીડ પદ્ધતિનો સમાવેશ થાય છે, જે G.I. માર્ચુક, V.I. તાજેતરમાં, નિશ્ચિત ક્ષેત્ર પદ્ધતિનો સફળતાપૂર્વક ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે, જેનો મુખ્ય વિચાર એ છે કે ફરતી સીમા નિશ્ચિત છે અને જાણીતી સીમાની સ્થિતિનો એક ભાગ તેના પર સેટ કરવામાં આવે છે, પરિણામી સીમા મૂલ્યની સમસ્યા હલ થાય છે, અને પછી, ઉપયોગ કરીને બાકીની બાઉન્ડ્રી શરતો અને પરિણામી સોલ્યુશન, નવી, વધુ સચોટ સ્થિતિ ફ્રી બાઉન્ડ્રી વગેરે મળી આવે છે. ફ્રી બાઉન્ડ્રી શોધવાની સમસ્યા સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો માટે સંખ્યાબંધ શાસ્ત્રીય સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓના અનુગામી ઉકેલમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે.

કારણ કે મુક્ત સીમાઓ સાથેની સમસ્યાઓનો સંપૂર્ણ અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો નથી, અને તેનું નિરાકરણ નોંધપાત્ર મુશ્કેલીઓ સાથે સંકળાયેલું છે, તેમના સંશોધન અને ઉકેલ માટે નવા વિચારોની સંડોવણીની જરૂર છે, બિનરેખીય વિશ્લેષણની રચનાત્મક પદ્ધતિઓના સમગ્ર શસ્ત્રાગારનો ઉપયોગ, ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રની આધુનિક સિદ્ધિઓ, કોમ્પ્યુટેશનલ ગણિત અને આધુનિક કોમ્પ્યુટીંગ ટેકનોલોજીની ક્ષમતાઓ. સૈદ્ધાંતિક દ્રષ્ટિએ, અસ્તિત્વ, વિશિષ્ટતા, સકારાત્મકતા, સ્થિરીકરણ અને ઉકેલોના અવકાશી સ્થાનિકીકરણના પ્રશ્નો આવી સમસ્યાઓ માટે સુસંગત રહે છે.

નિબંધનું કાર્ય મુક્ત સીમાઓ સાથે નવી સમસ્યાઓના નિર્માણ માટે સમર્પિત છે જે પર્યાવરણીય સમસ્યાઓમાં પ્રદૂષિત પદાર્થોની પ્રતિક્રિયા સાથે પરિવહન અને પ્રસરણની પ્રક્રિયાઓને મોડેલ કરે છે, તેમનો ગુણાત્મક અભ્યાસ અને મુખ્યત્વે, આવા અંદાજિત ઉકેલો બનાવવા માટે રચનાત્મક પદ્ધતિઓનો વિકાસ. સમસ્યાઓ

પ્રથમ પ્રકરણ સક્રિય માધ્યમોમાં પ્રસરણ સમસ્યાઓનું સામાન્ય વર્ણન પૂરું પાડે છે, એટલે કે, માધ્યમો જેમાં પ્રવાહ નોંધપાત્ર રીતે એકાગ્રતા પર આધાર રાખે છે. પ્રવાહો પર ભૌતિક રૂપે આધારિત પ્રતિબંધો સૂચવવામાં આવે છે, જે હેઠળ સમસ્યા ક્વોસિલિનિયર પેરાબોલિક સમીકરણ માટે મુક્ત સીમાઓ સાથે નીચેની સમસ્યામાં ઘટાડો થાય છે: с, = div(K(p, t, с) ગ્રેડ) - div(cu) - f ( с)+ Q માં w (/) =t> 0, c(p,0) = e0(p) cm c)ગ્રેડમાં, n)+ac = accp on S(t), c)gradc,n) = 0 પર Г if) , જ્યાં K(p,t,c) એ તોફાની પ્રસરણ ટેન્સર છે; ü એ માધ્યમનો વેગ વેક્ટર છે, c(p,t) એ માધ્યમની સાંદ્રતા છે.

જ્યારે એકાગ્રતા અને અવકાશી કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર હોય ત્યારે નિર્દેશિત પ્રસરણ પ્રક્રિયાઓના કિસ્સામાં એકાગ્રતા સ્તરની સપાટીઓ માટે પ્રારંભિક સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓના નિર્માણ પર પ્રથમ પ્રકરણમાં નોંધપાત્ર ધ્યાન આપવામાં આવે છે. z પર c(x,y,z,t) ની મોનોટોનિક અવલંબન આપણને વિભેદક સમીકરણ, એકાગ્રતા ક્ષેત્ર માટેની સમસ્યાની પ્રારંભિક અને સીમાની સ્થિતિઓને વિભેદક સમીકરણમાં અને તેના ક્ષેત્ર માટે અનુરૂપ વધારાની શરતોને પરિવર્તિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. સ્તરની સપાટીઓ - z = z(x,y,c, t). આ વિપરિત કાર્યોને અલગ કરીને, જાણીતી સપાટી S: Ф (x,y,z,t)=0->z=zs(x,y,t) ના સમીકરણને ઉકેલીને અને (x) સાથે ઓળખને પાછા વાંચીને પ્રાપ્ત થાય છે. ,y,zs, t)=c(x,y,t). c માટે વિભેદક સમીકરણ (1) પછી z- Az=zt-f (c)zc માટેના સમીકરણમાં પરિવર્તિત થાય છે, જ્યાં

2 ^ Az=vT (K*t*)-[K-b Vz = lzx + jz +k, VT = V-k- . zc dz

જ્યારે સ્વતંત્ર ચલ x, y, z થી સ્વતંત્ર ચલ x>y, cમાં પસાર થાય છે, ત્યારે ભૌતિક ક્ષેત્ર Q(i) એ બિન-ભૌતિક પ્રદેશ Qc(/) માં રૂપાંતરિત થાય છે, જે પ્લેન c = 0 ના ભાગ દ્વારા મર્યાદિત છે, જેમાં મુક્ત સપાટી Г પસાર થાય છે, અને સામાન્ય કિસ્સામાં મફતમાં, એક અજાણી સપાટી c=c(x,y,t), જેમાં જાણીતી સપાટી S(t) જાય છે.

ડાયરેક્ટ પ્રોબ્લેમના ઓપરેટર divKgrad ■થી વિપરીત, વ્યસ્ત સમસ્યાનો ઓપરેટર A અનિવાર્યપણે બિનરેખીય છે. થીસીસ ઓપરેટર A ને અનુરૂપ e+rf+yf-latf-lßrt ની સકારાત્મકતા સાબિત કરે છે, અને ત્યાં તેની લંબગોળતા સ્થાપિત કરે છે, જે આપણને તેના માટે સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓના ફોર્મ્યુલેશનને ધ્યાનમાં લેવાની મંજૂરી આપે છે. ભાગો દ્વારા સંકલિત કરીને, અમે ઓપરેટર A c(x,yt) c(t) cbcdy \uAzdc= Jdc d u(KVTz,n)iï- \\viyrv,VTz)dxdy માટે ગ્રીનના પ્રથમ સૂત્રનું એનાલોગ મેળવ્યું.

Vzf x,y,t) 0 c(x,y,t) - í *

અમે એકાગ્રતા ક્ષેત્ર c = c(x,y,z,1) માટે મુક્ત સીમા સાથેની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, જ્યારે Dirichlet શરત div(Kgradc) - c, = /(c) - Re g c(P,0) = c0 સપાટી પર સ્પષ્ટ થયેલ છે (P), ReShto), c = (p(p,0, ReB^), ¿>0, (2)

ReG(4 ¿>0. s = 0, K- = 0, dp

આ કિસ્સામાં, સ્તરની સપાટી r = r(x,y,c^) સંબંધિત સંક્રમણથી અમને મુક્ત સપાટી c=c(x,y,?) થી છૂટકારો મેળવવાની મંજૂરી મળી, કારણ કે તે સંપૂર્ણપણે ડિરિચલેટ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. શરત c(x,y^) = d >(x,y,rx(x,y^),O- પરિણામે, મજબૂત બિનરેખીય પેરાબોલિક ઓપરેટર માટે નીચેની પ્રારંભિક-સીમા મૂલ્ય સમસ્યા ^ - - એક સમયમાં- અલગ અલગ પરંતુ પહેલાથી જ જાણીતું ડોમેન C2c(0:<9/

Az = z(~zc, x,yED(t), 0 0, z(x,y,c,0) = z0(x,y,c), x,y,sePc(O), z(x, y,c,t) = zs (x, y, c, t), c = c(x, y, t), X, y G D(t), t > 0, zc(x,y,0,t )=-co, x,y&D(t), t>0.

અહીં આપણે સમસ્યાના ઉકેલની વિશિષ્ટતાના પ્રશ્નનો પણ અભ્યાસ કરીએ છીએ (3). ઓપરેટર A માટે ગ્રીનના પ્રથમ સૂત્રના મેળવેલા એનાલોગના આધારે, યંગની અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીને પ્રાથમિક પરંતુ તેના બદલે બોજારૂપ પરિવર્તન પછીની સીમાની સ્થિતિને ધ્યાનમાં લેતા, સમસ્યાના ઉકેલો zx અને z2 પર ઑપરેટર Aની એકવિધતા સ્થાપિત થાય છે.

Ar2 - Ar1)(r2 -)(bcc1us1c< 0 . (4)

બીજી બાજુ, વિભેદક સમીકરણ, સીમા અને પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓનો ઉપયોગ કરીને તે બતાવવામાં આવે છે કે

પરિણામી વિરોધાભાસ c(x,y,t) એકાગ્રતા સ્તરની સપાટીઓ માટે ડિરિચલેટ સમસ્યાના ઉકેલ માટે વિશિષ્ટતા પ્રમેયને સાબિત કરે છે.

પ્રમેય 1. જો સ્ત્રોત ફંક્શન w કોન્સ્ટ છે, તો સિંક ફંક્શન f(c) એકવિધ રીતે વધે છે અને /(0) = 0, તો લેવલ સપાટીઓ માટે ડિરિચલેટ સમસ્યા (2) નો ઉકેલ હકારાત્મક અને અનન્ય છે.

પ્રથમ પ્રકરણનો ત્રીજો ફકરો શોષણ અને રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાઓ સાથે પ્રસરણ પ્રક્રિયાઓની ગુણાત્મક અસરોની ચર્ચા કરે છે. આ અસરો રેખીય સિદ્ધાંતના આધારે વર્ણવી શકાતી નથી. જો બાદમાં પ્રસરણની ગતિ અનંત હોય છે અને આમ કોઈ અવકાશી સ્થાનિકીકરણ નથી, તો પ્રતિક્રિયા સાથેના બિનરેખીય મોડેલો વિચારણા હેઠળ, તોફાની પ્રસરણ K ના ગુણાંકની કાર્યાત્મક અવલંબન અને પ્રવાહોની ઘનતા (રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાઓની ગતિશાસ્ત્ર) સાથે. ) / કાર્યમાં સ્થાપિત એકાગ્રતા c પર, પ્રદૂષકોના મર્યાદિત સમય (મનોરંજન) પર પ્રસારની મર્યાદિત ગતિ, અવકાશી સ્થાનિકીકરણ અને સ્થિરીકરણની વાસ્તવમાં અવલોકન કરાયેલ અસરોનું વર્ણન કરવાનું શક્ય બનાવો. કાર્યએ સ્થાપિત કર્યું કે જો w 1 સાથે અયોગ્ય સંકલન હોય તો સૂચિબદ્ધ અસરો સૂચિત મોડેલોનો ઉપયોગ કરીને વર્ણવી શકાય છે.

K(w)dzdt = -\Q(t)dt, t>0;

00 dc с(сс^) = 0,К(с)- = 0, z = oo,t>0. dz

સંકલન-મુક્ત સ્વરૂપમાં સ્થિર સમસ્યા Q\P (0) માં div(K(c)ગ્રેડ) = f(c) સ્વરૂપ ધરાવે છે< с < оо},

K(cgradc,n)) + ac = 0 પર 5 = 5Q П Ж, (7) с = 0, (К(с) ગ્રેડ,п) = 0 પર Г s (с = 0) = dQ. પી ડી,

JJJ/(c)dv + cds = q. એક એસ

બિંદુ Pe Г ના eQ સાથે અર્ધ-પડોશમાં, નોટેશનના અર્ધ-સંકલન સ્વરૂપમાં સંક્રમણથી Cauchy સમસ્યા drj મેળવવાનું શક્ય બન્યું.

K(c) dc dt] divT (K(c)gradTc) = f(c) in co rj<0

8) dc c = 0, K(c)~ = 0.77 = 0,

OT] જ્યાં m] એ સામાન્ય સાથે Γ બિંદુ P પર માપવામાં આવેલ સંકલન છે, અને અન્ય બે કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ m1, m2 બિંદુ P પર Γ સુધી સ્પર્શક સમતલમાં આવેલા છે. co માં આપણે ધારી શકીએ કે c(m1, m2) , r/) ટેન્જેન્શિયલ કોઓર્ડિનેટ્સ પર નબળા આધાર રાખે છે, એટલે કે, c (mx, m2,1]) = c(t]), પછી c(m]) માંથી નક્કી કરવા માટે (8) કોચી સમસ્યા drj drj f(c) ), TJ અનુસરે છે< О, dc c = 0, K(c) - = 0,77 = 0. drj

સમસ્યાનો ચોક્કસ ઉકેલ મેળવવામાં આવ્યો છે (9)

77(ઓ)= 2 s [ o s1m?< 00 (10) и доказана следующая теорема

પ્રમેય 2. વિચારણા હેઠળની મુક્ત સીમાઓ સાથે બિન-સ્થાનિક સમસ્યાઓના અવકાશી સ્થાનિક ઉકેલના અસ્તિત્વ માટે એક આવશ્યક સ્થિતિ એ અયોગ્ય અભિન્ન (b) નું અસ્તિત્વ છે.

વધુમાં, તે સાબિત થયું છે કે ફ્રી બાઉન્ડ્રી r(c), 0 સાથે નીચેની એક-પરિમાણીય સ્થિર સમસ્યાના અવકાશી સ્થાનિક ઉકેલના અસ્તિત્વ માટે શરત (6) જરૂરી અને પર્યાપ્ત 1 છે.

00 O tsk = ^- si) o 2 c1c c(oo) = 0, K(c)- = 0, g = oo, c1g એટલે કે, તે થાય છે

પ્રમેય 3. જો કાર્ય /(c) શરતોને સંતોષે છે f(c) = c^, ^< // < 1, при с-» О, а К{с)-непрерывная положительная функция, то при любом д>0 નોનલોકલ બાઉન્ડ્રી વેલ્યુ પ્રોબ્લેમ (11) નો સકારાત્મક ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે અને અનન્ય છે.

અહીં અમે પર્યાવરણીય મનોરંજનના મુદ્દાઓને મર્યાદિત સમયમાં ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જે અભ્યાસ માટે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. વી.વી. કલાશ્નિકોવ અને એ.એ.ના કાર્યોમાં, સરખામણી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આ સમસ્યાને વિભેદક અસમાનતાના ઉકેલ માટે ઘટાડવામાં આવે છે.< -/(с), где с - пространственно однородное (т.е. не зависящие от коей1 ординаты) решение.

તે જ સમયે, મનોરંજનના સમય માટે અંદાજ ડબલ્યુ

ટી<]. ск х)

આ અભિગમોથી વિપરીત, થીસીસે વધુ સચોટ અંદાજો મેળવવાનો પ્રયાસ કર્યો હતો જે એકાગ્રતા સહ (x) અને તેના વાહક “(0) ના પ્રારંભિક વિતરણને ધ્યાનમાં લેશે. આ હેતુ માટે, કાર્યમાં મેળવેલા પ્રાથમિક અંદાજોનો ઉપયોગ કરીને, ઉકેલના વર્ગના ધોરણ માટે વિભેદક અસમાનતા મળી.

13) જેમાંથી T t માટે વધુ સચોટ અંદાજ આવે છે<

1+ /?>(())] જ્યાં c એ સમીકરણનું મૂળ છે

Уг^-Р)/ с /1 =(р, = КМГ > = ^-Ш+Р)^1 ■

બીજો પ્રકરણ સ્તરીકૃત માધ્યમોમાં નિષ્ક્રિય અશુદ્ધિઓના સ્થાનાંતરણ અને પ્રસારની પ્રક્રિયાઓના મોડેલિંગના મુદ્દાઓને સમર્પિત છે. અહીં પ્રારંભિક બિંદુ સમસ્યા છે (1) સાથે /(c) = 0 અને ડિરિચલેટ બાઉન્ડ્રી શરત અથવા બિન-સ્થાનિક સ્થિતિ c, = (I\(K(p,G,c)%gais)-0 c(p,0) = c0(p) માં 0(0),

C(P>*) = φ(р,0 ઓન અથવા = ()((), с(р, Г) = 0, (К(р^, с)%?аес,н) = 0 પર Г(Г) ).

સ્કેલ, સમય અને સાંદ્રતા પર પ્રસરણ ગુણાંકની અવલંબનને ધ્યાનમાં લેતા, અશાંત પ્રસરણની એક-પરિમાણીય સમસ્યાઓ ગણવામાં આવે છે. તેઓ ક્વાસિલિનિયર ડીએસ સમીકરણ માટે સ્થાનિક અને બિન સ્થાનિક સમસ્યાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે

1 d dt g"-1 dg p-\

K(r,t,c) ds dg p = 1,2,3,

16) જ્યાં K(r,t,c) = K0(p(t)rmck; બિરખોફ ફોર્મમાં c(r,t) = f(t)B(T1), tj = r7t P>0,

17) જ્યાં (16) માં ચલોને અલગ કરવાની પ્રક્રિયામાં ફંક્શન અને પેરામીટર p નક્કી કરવામાં આવે છે. પરિણામે, અમે B(t]) at] અને પ્રતિનિધિત્વ માટે એક સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ મેળવ્યું

ON+m+p-2)/pBk £® drj

C.B-ij-dtl, ઓહ

મનસ્વી સ્થિરાંકના બે મૂલ્યો માટે C( - C, = અને

С1 = ^Ур સમીકરણ (18) એક મનસ્વી સ્થિરાંક પર આધાર રાખીને ચોક્કસ ઉકેલોને મંજૂરી આપે છે. બાદમાં અમુક વધારાની શરતોને સંતોષીને નક્કી કરી શકાય છે. ડીરીચલેટ બાઉન્ડ્રી કન્ડીશન c(0,0 = B0[f^)]"n/p (20) ના કિસ્સામાં, k > 0, m કિસ્સામાં ચોક્કસ અવકાશી સ્થાનિક ઉકેલ મેળવવામાં આવે છે.< 2:

2-t Gf\h;

L/k 0<г <гф(/),

Vd^0(2-m\ p = pk + 2-m, અને k ના કિસ્સામાં ચોક્કસ બિન-સ્થાનિક ઉકેલ<0, т <2:

1/k 0< г < 00.

22) = [k^2 - t)/?/^1 p = 2-t- p\k\.

અહીં φ(1) = \(p(r)yt; φ(/) = [^(O]^ o

k -» 0 માટે, મેળવેલ ઉકેલોમાંથી રેખીય સમસ્યાના ઉકેલને અનુસરે છે с(r,0 = ВйШт-т) exp[- /(1 - m)2k0f(1)\, જે f(1) માટે રૂપાંતરિત થાય છે. પ્રસરણ સમીકરણના મૂળભૂત ઉકેલમાં = 1 અને m = 0.

જ્યારે ફોર્મની વધારાની બિન-સ્થાનિક સીમાની સ્થિતિ

23) જ્યાં o)n એ એકમ ગોળાનું ક્ષેત્રફળ છે (co1 = 2, a>2 = 2i, a>3 = 4z).

ફોર્મ (21) ના k>0 માટે મળેલા ચોક્કસ ઉકેલો મર્યાદિત ગતિ સાથે અવિક્ષેપિત માધ્યમ દ્વારા પ્રસરી રહેલા પ્રસરણ તરંગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ખાતે કે< О такой эффект пространственной локализации возмущения исчезает.

જ્યારે એકાગ્રતા નક્કી કરવા માટે અર્ધ-રેખીય સમીકરણનો ઉપયોગ કરવામાં આવે ત્યારે ગતિશીલ માધ્યમમાં સતત અભિનય બિંદુ અને રેખીય સ્ત્રોતોમાંથી પ્રસરણની સમસ્યાઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.

Vdivc = -^S(r),

24) જ્યાં K(g,x,s) = K0k(x)gtsk, 8(g) એ ડિરેક ડેલ્ટા ફંક્શન છે, O એ સ્ત્રોતની શક્તિ છે. કોઓર્ડિનેટ x નું સમય/ તરીકે અર્થઘટન પણ અહીં ફોર્મ (21) r 2/(2+2 k) 2 o, 1 ની બિન-સ્થાનિક સમસ્યાના ચોક્કસ આંશિક ઉકેલો મેળવવાનું શક્ય બનાવે છે.

2С2 (2 + 2к)К0 к

ઉકેલ (25) પ્રસરણ વિક્ષેપના અવકાશી સ્થાનિકીકરણનું વર્ણન કરવાનું સિદ્ધાંતમાં શક્ય બનાવે છે. આ કિસ્સામાં, વિસર્જિત તરંગનો આગળનો ભાગ નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે, શૂન્ય અને બિન-શૂન્ય સાંદ્રતાવાળા પ્રદેશોને અલગ કરે છે. k -»0 માટે, તે જાણીતું રોબર્ટ્સ સોલ્યુશન સૂચવે છે, જે, જો કે, કોઈને અવકાશી સ્થાનિકીકરણનું વર્ણન કરવાની મંજૂરી આપતું નથી.

નિબંધનો ત્રીજો પ્રકરણ સ્તરીકૃત હવાના વાતાવરણમાં પ્રતિક્રિયા સાથે પ્રસરણની ચોક્કસ સમસ્યાઓના અભ્યાસ માટે સમર્પિત છે, જે મુક્ત સીમા સાથે નીચેની એક-પરિમાણીય સમસ્યા છે uxx-ut = / (u), 0< х < s(t), t>O, u(x,0) = Uq(X), 0< х < 5(0), (26) ux-hu = -h(p, х = 0, t >0, u = 0, તેમના = 0, x = s(t), t > 0.

રોથે પદ્ધતિના આધારે સમસ્યા (26) નું સંખ્યાત્મક-વિશ્લેષણાત્મક અમલીકરણ હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું, જેણે સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો માટે સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓની સિસ્ટમના સ્વરૂપમાં સમસ્યાના નીચેના સાત-અંકના અંદાજને મેળવવાનું શક્ય બનાવ્યું હતું. અંદાજિત મૂલ્ય u(x) = u(x,1k), અને 5 =) V u(x)-u(x^k1): V u"-m~xy = y - m~1 u, 0< х < 5, и"-ки = х = 0, (27) ф) = 0 |ф) = 0.

સોલ્યુશન (27) ને વોલ્ટેરા પ્રકારના બિનરેખીય અભિન્ન સમીકરણો અને x = 0 5 u(x) ~ 4m [i/r-^--* s/r + k^tek -¿r n V માટે બિનરેખીય સમીકરણમાં ઘટાડવામાં આવે છે. l/ g l/g

0 < X < 5, к(р.

સંખ્યાત્મક ગણતરીઓ માટે, સીમિત-પરિમાણીય અંદાજનો ઉપયોગ કરીને સોલ્વિંગ સિસ્ટમ (28) નોડલ મૂલ્યોના સંદર્ભમાં બિનરેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલો શોધવા માટે ઘટાડવામાં આવે છે. = u(x)) અને i-.

પ્રદૂષણની સમસ્યામાં મુક્ત સીમાઓ અને બિંદુ સ્ત્રોતો દ્વારા વાતાવરણના સ્વ-શુદ્ધિકરણની સમસ્યાઓ પણ અહીં ધ્યાનમાં લેવામાં આવી છે. પ્રદૂષણના સપાટ, નળાકાર અથવા બિંદુ સ્ત્રોતોના કિસ્સામાં શોષક સપાટી 5(0 (ટાઈ&3 = 0) ની ગેરહાજરીમાં, જ્યારે એકાગ્રતા એક અવકાશી સંકલન પર આધાર રાખે છે - સ્ત્રોત અને સમયનું અંતર, સૌથી સરળ એક-પરિમાણીય મફત સીમા સાથે બિન-સ્થાનિક સમસ્યા પ્રાપ્ત થાય છે

-- = /(s), 00, dt gp~x 8g \ 8g, f,0) = 0, 00; આહ

1 I bg + /(c) Г~1£/г=- (30) о о ^ ; ^

સમસ્યાના ઉકેલનું નિર્માણ (29), (30) રોથે પદ્ધતિ દ્વારા બિનરેખીય અભિન્ન સમીકરણોની પદ્ધતિ સાથે સંયોજનમાં હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું.

આશ્રિત અને સ્વતંત્ર ચલોને રૂપાંતરિત કરીને, બિંદુ સ્ત્રોત વિશે મુક્ત સીમા સાથેની બિન-સ્થાનિક સમસ્યા કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે.

5l:2 8t u(x,0) = 0, 0< л; < 5(0), (5(0) = 0), (31) м(5(г),т) = мх(5(т),т) = 0,

Pmg + = d(r), m > 0, ફંક્શન d(r) ને વ્યાખ્યાયિત કરતું માત્ર એક ફંક્શન ધરાવે છે.

ખાસ કિસ્સાઓમાં, 12 અને 1 માં l સાથે Emden-Fowler સમીકરણ માટે મુક્ત સીમા સાથે સંબંધિત બિન-સ્થાનિક સ્થિર સમસ્યાઓના ચોક્કસ ઉકેલો મેળવવામાં આવે છે.

2=х иН, 0<Х<5, с!х ф) = м,(5) = 0, \х1~/*и1*сЬс = 4. (32) о

ખાસ કરીને, ક્યારે /? = 0 m(l:) = (1/6)(25 + x)(5-x)2, જ્યાં* = (Зз)1/3.

રોથે પદ્ધતિની સાથે, બિનરેખીય અભિન્ન સમીકરણોની પદ્ધતિ સાથે સંયોજનમાં, નોન-સ્ટેશનરી સમસ્યા (32) નો ઉકેલ સમકક્ષ રેખીયકરણની પદ્ધતિ દ્વારા બનાવવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિ અનિવાર્યપણે સ્થિર સમસ્યાના ઉકેલના નિર્માણનો ઉપયોગ કરે છે. પરિણામે, સમસ્યા સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ માટે કોચી સમસ્યામાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે, જેનો ઉકેલ અંદાજિત પદ્ધતિઓમાંથી એક દ્વારા મેળવી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, રંજ-કુટ્ટા પદ્ધતિ.

નીચેના પરિણામો સંરક્ષણ માટે સબમિટ કરવામાં આવ્યા છે:

સ્પેટીઓટેમ્પોરલ સ્થાનિકીકરણની ગુણાત્મક અસરોનો અભ્યાસ;

સ્થિર સ્થિતિઓને મર્યાદિત કરવા માટે અવકાશી સ્થાનિકીકરણ માટે જરૂરી શરતોની સ્થાપના;

જાણીતી સપાટી પર ડિરિચલેટ શરતોના કિસ્સામાં મુક્ત સીમા સાથે સમસ્યાના ઉકેલની વિશિષ્ટતા પર પ્રમેય;

ડિજનરેટ ક્વાસિલિનિયર પેરાબોલિક સમીકરણોના આંશિક ઉકેલોના ચોક્કસ અવકાશી સ્થાનિક પરિવારોના ચલોને અલગ કરીને પ્રાપ્ત કરવું;

અભિન્ન સમીકરણોની પદ્ધતિ સાથે સંયોજનમાં રોથે પદ્ધતિના ઉપયોગના આધારે મુક્ત સીમાઓ સાથે એક-પરિમાણીય બિન-સ્થિર સ્થાનિક અને બિન-સ્થાનિક સમસ્યાઓના અંદાજિત ઉકેલ માટે અસરકારક પદ્ધતિઓનો વિકાસ;

પ્રતિક્રિયા સાથે સ્થિર પ્રસરણ સમસ્યાઓના ચોક્કસ અવકાશી સ્થાનિક ઉકેલો મેળવવા.

નિબંધ કાર્યના મુખ્ય પરિણામો નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે.

1. અવકાશી-ટેમ્પોરલ સ્થાનિકીકરણની ગુણાત્મક રીતે નવી અસરોનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે.

2. સ્થિર રાજ્યોને મર્યાદિત કરવા માટે અવકાશી સ્થાનિકીકરણ અને સ્થિરીકરણ માટે જરૂરી શરતો સ્થાપિત કરવામાં આવી છે.

3. જાણીતી સપાટી પર ડિરિચલેટ શરતોના કિસ્સામાં મુક્ત સીમા સાથે સમસ્યાના ઉકેલની વિશિષ્ટતા પર એક પ્રમેય સાબિત થાય છે.

4. ચલોના વિભાજનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, ડિજનરેટ ક્વોસિલિનિયર પેરાબોલિક સમીકરણોના આંશિક ઉકેલોના ચોક્કસ અવકાશી સ્થાનિક પરિવારો મેળવવામાં આવ્યા હતા.

5. બિન-રેખીય અભિન્ન સમીકરણોની પદ્ધતિ સાથે સંયોજનમાં રોથે પદ્ધતિના ઉપયોગના આધારે મુક્ત સીમાઓ સાથે એક-પરિમાણીય સ્થિર સમસ્યાઓના અંદાજિત ઉકેલ માટે અસરકારક પદ્ધતિઓ વિકસાવવામાં આવી છે.

6. પ્રતિક્રિયા સાથે પ્રસરણની સ્થિર સમસ્યાઓના ચોક્કસ અવકાશી સ્થાનિક ઉકેલો મેળવવામાં આવ્યા હતા.

રોથે પદ્ધતિ સાથે સંયોજનમાં વૈવિધ્યસભર પદ્ધતિના આધારે, બિનરેખીય અભિન્ન સમીકરણોની પદ્ધતિ, કમ્પ્યુટર પર સંખ્યાત્મક ગણતરીઓ માટે અલ્ગોરિધમ્સ અને પ્રોગ્રામ્સના વિકાસ સાથે અસરકારક ઉકેલ પદ્ધતિઓ વિકસાવવામાં આવી છે અને એક-પરિમાણીય બિન-સ્થિર સ્થાનિકના અંદાજિત ઉકેલો. અને મુક્ત સીમાઓ સાથેની બિન-સ્થાનિક સમસ્યાઓ પ્રાપ્ત કરવામાં આવી છે, જે પ્રદૂષણની સમસ્યાઓમાં અવકાશી સ્થાનિકીકરણ અને સ્તરીકૃત પાણી અને હવાના વાતાવરણના સ્વ-શુદ્ધિકરણનું વર્ણન કરવાની મંજૂરી આપે છે.

નિબંધ કાર્યના પરિણામોનો ઉપયોગ આધુનિક પ્રાકૃતિક વિજ્ઞાનની વિવિધ સમસ્યાઓ, ખાસ કરીને ધાતુશાસ્ત્ર અને ક્રાયોમેડિસિન બનાવવા અને ઉકેલવા માટે થઈ શકે છે.

નિષ્કર્ષ

1. આર્સેનિન વી.યા. ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર અને વિશેષ કાર્યોની સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓ. -M.: NaukaD 984.-384s.

2. અક્રોમીવા ટી. એસ., કુર્દ્યુમોવ એસ.પી., માલિનેત્સ્કી જી. જી., સમર્સ્કી એ.એ. દ્વિભાજન બિંદુની નજીકમાં બે-ઘટક વિસર્જન પ્રણાલીઓ // ગાણિતિક મોડેલિંગ. બિનરેખીય મીડિયામાં પ્રક્રિયાઓ. -એમ.: નૌકા, 1986. -એસ. 7-60.

3. બે-તબક્કાના સ્ટેફન સમસ્યાના ઉકેલના અસ્તિત્વના એક પુરાવા પર બઝાલી બી.વી. // ગાણિતિક વિશ્લેષણ અને સંભાવના સિદ્ધાંત. -કિવ: યુક્રેનિયન એસએસઆર એકેડેમી ઓફ સાયન્સની ગણિતની સંસ્થા, 1978.-પી. 7-11.

4. બઝાલી બી.વી., શેલેપોવ વી.યુ. -કિવ: યુક્રેનિયન એસએસઆરની એકેડેમી ઓફ સાયન્સની ગણિતની સંસ્થા, 1978. પૃષ્ઠ 39-58.

5. બેરેનબ્લાટ G.I., Entov V.M., Ryzhik V.M. પ્રવાહી અને ગેસના બિન-સ્થિર શુદ્ધિકરણનો સિદ્ધાંત. એમ.: નૌકા, 1972.-277 પૃષ્ઠ.

6. Belyaev V.I. કાળો સમુદ્રમાં હાઇડ્રોજન સલ્ફાઇડના વિતરણ અને તેના જળ/યુકેનાલોગિયા.-1980.-14ના વર્ટિકલ ટ્રાન્સપોર્ટ વચ્ચેના જોડાણ પર, અંક Z.-S. 34-38.

7. બેરેઝોસ્કા એલ.એમ., ડોગુચેવા એસ.એમ. સમસ્યાઓમાં સાંદ્રતા ક્ષેત્રની સપાટીના સ્તર માટે જૂની સીમા સાથે સમસ્યા! ઘરથી દૂર//Crajov1 કાર્યો! જીવન જેવી p!nannies.-Vip. 1(17).-ક્ષ્વ: 1n-t ગણિત HAH યુક્રેશ, 1998. પૃષ્ઠ 38-43.

8. બેરેઝોવકા L.M., Doguchaeva S.M. સાંદ્રતા ક્ષેત્રની સપાટી માટે D1r1hle સમસ્યા // વૈજ્ઞાનિક અને તકનીકી પ્રગતિમાં ગાણિતિક પદ્ધતિઓ. -ક્ષ્વ: 1n-t ગણિત એચએએચ યુક્રેશ, 1996. પૃષ્ઠ 9-14.

9. બેરેઝોવસ્કાયા જી.આઈ. એમ., ડોકુચેવા એસ.એમ. પ્રતિક્રિયા સાથે પ્રસરણ પ્રક્રિયાઓમાં અવકાશી સ્થાનિકીકરણ અને સ્થિરીકરણ //Dopovts HAH ડેકોરેશન.-1998.-નં. 7-10.

10. યુ બેરેઝોવ્સ્કી એ.એ. ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રની બિનરેખીય સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓ પર પ્રવચનો. વી. 2 ભાગો - કિવ: નૌકોવા ડુમા, 1976.- ભાગ 1. 252 સે.

11. એમ. બેરેઝોવ્સ્કી એ.એ. લાગુ સમસ્યાઓમાં આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે પાતળા નળાકાર શેલોમાં વાહક અને તેજસ્વી હીટ ટ્રાન્સફરના બિનરેખીય અભિન્ન સમીકરણો//વિભેદક સમીકરણો. કિવ, 1982. - પૃષ્ઠ 3-14.

12. બેરેઝોવ્સ્કી એ.એ. સ્ટેફન સમસ્યાઓના ક્લાસિકલ અને વિશેષ ફોર્મ્યુલેશન્સ // બિન-સ્થિર સ્ટેફન સમસ્યાઓ. કિવ, 1988. - પૃષ્ઠ 3-20. - (Prepr./AN યુક્રેનિયન SSR. ગણિતની સંસ્થા; 88.49).

13. બેરેઝોવ્સ્કી એ.એ., બોગુસ્લાવસ્કી એસ.જી. કાળો સમુદ્રના જળવિજ્ઞાનના મુદ્દાઓ // કાળો સમુદ્રનો વ્યાપક સમુદ્રી અભ્યાસ. કિવ: નૌકોવા દુમકા, 1980. - પૃષ્ઠ 136-162.

14. બેરેઝોવ્સ્કી એ.એ., બોગુસ્લાવસ્કી એસ./"કાળો સમુદ્રની વર્તમાન સમસ્યાઓના નિરાકરણમાં ગરમી અને માસ ટ્રાન્સફરની સમસ્યાઓ. કિવ, 1984. - 56 પૃષ્ઠ. (યુક્રેનિયન એસએસઆરના પહેલાનું /એએસ. ગણિતની સંસ્થા; 84.49).

15. બેરેઝોવ્સ્કી M.A., Doguchaeva S.M. એલિયન મિડલના દૂષિત સ્વ-શુદ્ધિકરણનું ગાણિતિક મોડેલ //વ્યુનિક ક્ષવસ્કોગો ઉશ્ર્વિસિટુ. -વીઆઈપી 1.- 1998.-એસ. 13-16.

16. Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. બિનરેખીય ઓસિલેશનના સિદ્ધાંતમાં એસિમ્પ્ટોટિક પદ્ધતિઓ. એમ.: નૌકા, 1974. - 501 પૃષ્ઠ.

17. એન.એલ., વાતાવરણીય સીમા સ્તરમાં અશુદ્ધિઓનું વિક્ષેપ. એલ.: ગિડ્રોમેટિઓઇઝડટ, 1974. - 192 પૃષ્ઠ 21. બુડોક બી.એમ., સમર્સ્કી એ.એ., તિખોનોવ એ.એન. ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં સમસ્યાઓનો સંગ્રહ. એમ.: નૌકા, 1972. - 687 પૃષ્ઠ.

18. વેનબર્ગ એમ. એમ. વેરિએશનલ મેથડ અને મોનોટોન ઓપરેટર્સની પદ્ધતિ. એમ.: નૌકા, 1972.-415 પૃષ્ઠ.

19. વ્લાદિમીરોવ વી.એસ. ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રના સમીકરણો. એમ.: નૌકા, 1976. 512 પૃષ્ઠ.

20. ગલેક્ટીનોવ વી.એ., કુર્દ્યુમોવ એસ.પી., મિખૈલોવ એ.પી., સમર્સ્કી એ.એ. બિનરેખીય માધ્યમોમાં ગરમીનું સ્થાનિકીકરણ // તફાવત. સમીકરણો. 1981. - અંક. 42. -એસ. 138-145.31 ડેનિલ્યુક I.I. સ્ટેફનની સમસ્યા વિશે//Uspekhi Mat. વિજ્ઞાન 1985. - 10. - અંક. 5(245)-એસ. 133-185.

21. ડેનિલ્યુક આઇ., કશ્કાખા વી.ઇ. લગભગ એક બિનરેખીય રિટ્ઝ સિસ્ટમ. //ડૉક. યુક્રેનિયન SSR ની એકેડેમી ઓફ સાયન્સ. સલ્ફર. 1973. - નંબર 40. - પૃષ્ઠ 870-873.

22. કોમર્સન્ટડોગુચૈવા એસ.એમ. પર્યાવરણીય સમસ્યાઓમાં મુક્ત સીમા સમસ્યાઓ // બિનરેખીય સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓ ગણિત. ભૌતિકશાસ્ત્ર અને તેમના કાર્યક્રમો. કિવ: યુક્રેનની એચએએચ ગણિતની સંસ્થા, 1995. - પૃષ્ઠ 87-91.

23. ડોગુચેવા સ્વેત્લાના એમ. બેરેઝોવ્સ્કી આર્નોલ્ડ એ. અશાંત વાતાવરણમાં ગેસ, ધુમાડો અને અન્ય પ્રકારના પ્રદૂષણના વિખેરાઈ, વિઘટન અને વિસર્જનના ગાણિતિક મોડેલ્સ //Internat. કોન્ફ. બિનરેખીય તફાવત/સમીકરણો? કિવ, ઓગસ્ટ 21-27, 1995, પૃષ્ઠ. 187.

24. કોમર્સન્ટડોગુચૈવા એસ.એમ. પર્યાવરણીય સમસ્યામાં ડિજનરેટ પેરાબોલિક સમીકરણ માટે સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓના ઉકેલોનું અવકાશી સ્થાનિકીકરણ // બિનરેખીય સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓ ગણિત. ભૌતિકશાસ્ત્ર અને તેમના કાર્યક્રમો. -કિવ: યુક્રેનની ગણિતની સંસ્થા HAH, 1996. પૃષ્ઠ 100-104.

25. BbDoguchaeva S.M. એકાગ્રતા ક્ષેત્રની સપાટીઓ માટે એક-પરિમાણીય કોચી સમસ્યા // મુક્ત સીમાઓ સાથે સમસ્યાઓ અને બિનરેખીય પેરાબોલિક સમીકરણો માટે બિન-સ્થાનિક સમસ્યાઓ. કિવ: યુક્રેનની એચએએચ ગણિતની સંસ્થા, 1996. - પૃષ્ઠ 27-30.

26. કોમર્સન્ટ.ડોગુચૈવા એસ.એમ. પર્યાવરણીય સમસ્યામાં ડિજનરેટ પેરાબોલિક સમીકરણ માટે સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓના ઉકેલોનું અવકાશી સ્થાનિકીકરણ // બિનરેખીય સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓ ગણિત. ભૌતિકશાસ્ત્ર અને તેમના કાર્યક્રમો. -કિવ: યુક્રેનની ગણિતની સંસ્થા HAH, 1996. પૃષ્ઠ 100-104.

27. ડોગુચૈવા એસ.એમ. પર્યાવરણીય સમસ્યામાં અધોગતિવાળા પેરાબોલિક સમીકરણ માટે મુક્ત સીમાઓ સાથે સમસ્યાઓ // ડોપોવડા એચએએચ ડેકોરેશન. 1997. - નંબર 12. - પૃષ્ઠ 21-24.

28. કલાશ્નિકોવ A. S. શોષણ સાથે બિનરેખીય ઉષ્મા વહનની સમસ્યાઓમાં વિક્ષેપના પ્રસારની પ્રકૃતિ પર // મેટ. નોંધો 1974. - 14, નંબર 4. - પૃષ્ઠ 891-905. (56)

29. કલાશ્નિકોવ એ.એસ. બીજા ક્રમના બિનરેખીય ડિજનરેટ પેરાબોલિક સમીકરણોના ગુણાત્મક સિદ્ધાંતના કેટલાક પ્રશ્નો // Uspekhi Mat. વિજ્ઞાન 1987. - 42, અંક 2 (254). - પૃષ્ઠ 135-164.

30. કલાશ્નિકોવ A. S. "પ્રતિક્રિયા-પ્રસરણ" પ્રકારની સિસ્ટમના વર્ગ પર // સેમિનારની કાર્યવાહી નામ આપવામાં આવ્યું. આઈ.જી. પેટ્રોવ્સ્કી. 1989. - અંક. 11. - પૃષ્ઠ 78-88.

31. કલાશ્નિકોવ એ.એસ. સેમિલિનિયર પેરાબોલિક સમીકરણો અને સિસ્ટમોના ઉકેલોના ત્વરિત સંક્ષિપ્તીકરણ માટેની શરતો પર // મેટ. નોંધો 1990. - 47, નં. 1. - પૃષ્ઠ 74-78.

32. કલાશ્નિકોવ એ. એસ. લોંગ-રેન્જ એક્શનની હાજરીમાં મિશ્રણના પ્રસાર પર // જર્નલ. કોમ્પ્યુટ. ગણિત અને ગણિત ભૌતિકશાસ્ત્ર એમ., 1991. - 31, નંબર 4. - એસ. 424436.

33. સ્ટેફનની સમસ્યા પર કામેનોમોસ્ટસ્કાયા એસ.એલ. // મેટ. સંગ્રહ 1961. -53, નંબર 4, -એસ. 488-514.

34. કામકે ઇ. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોની હેન્ડબુક - એમ.: નૌકા, 1976. 576 પૃષ્ઠ.

35. લેડીઝેન્સ્કાયા O.A., Solonnikov V.A., Uraltseva N.N. પેરાબોલિક પ્રકારના રેખીય અને ક્વોસિલિનિયર સમીકરણો. એમ.: નૌકા, 1967. - 736 પૃષ્ઠ. (78)

36. લેડીઝેન્સ્કાયા ઓ.એ., ઉરલત્સેવા એન.એન. લંબગોળ પ્રકારના રેખીય અને અર્ધ રેખાકીય સમીકરણો. એમ.: નૌકા, 1964. - 736 પૃષ્ઠ.

37. લિકોવ એ.બી. થર્મલ વાહકતાનો સિદ્ધાંત. એમ.: ઉચ્ચ. શાળા, 1967. 599 પૃષ્ઠ.

38. માર્ટિન્સન એલ.કે. સતત થર્મલ વાહકતા ગુણાંક સાથે મીડિયામાં થર્મલ વિક્ષેપના પ્રચારની મર્યાદિત ગતિ પર // જર્નલ. કોમ્પ્યુટ. ગણિત અને સાદડી. ભૌતિકશાસ્ત્ર એમ., 1976. - 16, નંબર 6. - પૃષ્ઠ 1233-1241.

39. માર્ચુક જી.એમ., એગોશકોવ વી.આઈ. પ્રોજેક્શન મેશ પદ્ધતિઓનો પરિચય. -એમ.: નૌકા, 1981. -416 પૃષ્ઠ.

40. Mitropolsky Yu.A., Berezovsky A.A. સ્પેશિયલ ઈલેક્ટ્રોમેટલર્જી, ક્રાયોસર્જરી અને મરીન ફિઝિક્સમાં મર્યાદિત સ્થિર સ્થિતિ સાથે સ્ટેફન સમસ્યાઓ // મેટ. ભૌતિકશાસ્ત્ર અને નોનલિન. મિકેનિક્સ. 1987. - અંક. 7. - પૃષ્ઠ 50-60.

41. મિટ્રોપોલસ્કી યુ.એ., બેરેઝોવસ્કી એ.એ., સેકન્ડ-ઓર્ડર નોનલાઇનર સમીકરણ //Ukr માટે મુક્ત સીમાઓ સાથેની સમસ્યાઓમાં સ્પેટિયો-ટેમ્પોરલ સ્થાનિકીકરણ. સાદડી મેગેઝિન 1996. - 48, નંબર 2 - એસ. 202211.

42. મીટ્રોપોલસ્કી યુ એ., શખાનુકોવ એમ.કે.એચ., બેરેઝોવસ્કી એ.એ. પેરાબોલિક સમીકરણ માટે બિન-સ્થાનિક સમસ્યા પર //Ukr. સાદડી મેગેઝિન 1995. -47, નંબર 11.- પૃષ્ઠ 790-800.

43. ઓઝમિડોવ આર.વી. સમુદ્રમાં આડી અશાંતિ અને તોફાની વિનિમય. એમ.: નૌકા, 1968. - 196 પૃ.

44. ઓઝમિડોવ આર.વી. સમુદ્રમાં અશુદ્ધિઓના પ્રસારના અભ્યાસના કેટલાક પરિણામો // સમુદ્રશાસ્ત્ર. 1969. - 9. - નંબર 1. - પૃષ્ઠ 82-86.66 .ઓકુબો એ.એ. દરિયામાં તોફાની પ્રસરણ માટેના સૈદ્ધાંતિક મોડેલોની સમીક્ષા. -સમુદ્રશાસ્ત્ર. સોસી. જાપાન, 1962, પૃષ્ઠ. 38-44.

45. ઓલેનિક ઓ.એ. સામાન્ય સ્ટેફન સમસ્યાને ઉકેલવા માટેની એક પદ્ધતિ પર // ડોકલ. યુએસએસઆરની એકેડેમી ઓફ સાયન્સ. સેર. એ. 1960. - નંબર 5. - પૃષ્ઠ 1054-1058.

46. ​​ઓલેનિક ઓ.એ. સ્ટેફનની સમસ્યા વિશે // પ્રથમ સમર મેથેમેટિકલ સ્કૂલ. T.2. કિવ: નૌક, દુમકા, 1964. - પૃષ્ઠ 183-203.

47. રોબર્ટ્સ ઓ. એફ. ધ થિયોરોટિકલ સ્કેટરિંગ ઓફ સ્મોક ઇન એ ટર્બ્યુલન્ટ એટમોસ્ફિયર. પ્રોક. રોય., લંડન, સેર. એ., વિ. 104.1923. - પી.640-654.

48. યુ.સબીનીના ઇ.એસ. બિનરેખીય ડીજનરેટ પેરાબોલિક સમીકરણોના એક વર્ગ પર // ડોકલ. ÀH યુએસએસઆર. 1962. - 143, નંબર 4. - પૃષ્ઠ 494-797.

49. Kh.Sabinina E.S. ક્વોસિલિનિયર પેરાબોલિક સમીકરણોના એક વર્ગ પર જે સમય વ્યુત્પન્ન // સિબિર્સ્કના સંદર્ભમાં ઉકેલી શકાય તેવા નથી. સાદડી મેગેઝિન 1965. - 6, નંબર 5. - પૃષ્ઠ 1074-1100.

50. સમરા એ.એ. બિનરેખીય માધ્યમોમાં ગરમીનું સ્થાનિકીકરણ // Uspekhi Mat. વિજ્ઞાન 1982. - 37, નં. 4 - પૃષ્ઠ 1084-1088.

51. સમરા એ.એ. સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓનો પરિચય. એમ.: નૌકા, 1986. - 288 પૃષ્ઠ.

52. એ. સમર્સ્કી એ.એ., કુર્દ્યુમોવ એસ.પી., ગાલાક્તિનોવ વી.એ. ગાણિતિક મોડેલિંગ. નોનલિનમાં પ્રક્રિયાઓ. વાતાવરણ એમ.: નૌકા, 1986. - 309 પૃષ્ઠ.

53. સેન્સોન જી. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો. M.:IL, 1954.-416 p.

54. સ્ટીફન જે. ઉબેર ડાયથિયોરી ડેર વેઇસબિલ્ડંગ, ઇન્સબેસોંડરે über ડાઇ ઇસ્બિલ્ડંગ ઇમ પોલાર્મેરી //સિટ્ઝબર. વિએન. અકડ. નાટ. naturw., Bd. 98, IIa, 1889. P.965-983

55. સટન ઓ.જી. સૂક્ષ્મ હવામાનશાસ્ત્ર. નવી. યોર્ક-ટોરોન્ટો-લંડન. 1953. 333p.1% ફ્રિડમેન એ. પેરાબોલિક પ્રકારના આંશિક વિભેદક સમીકરણો. -એમ.: મીર, 1968.-427 પૃષ્ઠ.

56. ફ્રીડમેન એ. મુક્ત સીમાઓ સાથેની સમસ્યાઓમાં વિવિધતાના સિદ્ધાંતો. એમ.: નૌકા, 1990. -536 પૃષ્ઠ.