વિભિન્નતાની ગણતરીના ઉદાહરણો. એક અલગ રેન્ડમ ચલનો ભિન્નતા

આંકડાઓમાં ભિન્નતાના મુખ્ય સામાન્યીકરણ સૂચકાંકો વિખેરાઈ અને પ્રમાણભૂત વિચલનો છે.

વિખેરી નાખવું આ અંકગણિત સરેરાશ એકંદર સરેરાશમાંથી દરેક લાક્ષણિક મૂલ્યના વર્ગ વિચલનો. વિચલનને સામાન્ય રીતે વિચલનોનો સરેરાશ વર્ગ કહેવામાં આવે છે અને તેને  2 દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે. સ્ત્રોત ડેટા પર આધાર રાખીને, તફાવતની ગણતરી સરળ અથવા ભારિત અંકગણિત સરેરાશનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે:

 વજન વિનાનું (સરળ) ભિન્નતા;

 વેરિઅન્સ વેઇટેડ.

પ્રમાણભૂત વિચલન આ નિરપેક્ષ કદની સામાન્ય લાક્ષણિકતા છે વિવિધતા એકંદરમાં ચિહ્નો. તે એટ્રિબ્યુટ (મીટર, ટન, ટકાવારી, હેક્ટર, વગેરેમાં) તરીકે માપનના સમાન એકમોમાં વ્યક્ત થાય છે.

પ્રમાણભૂત વિચલન એ ભિન્નતાનું વર્ગમૂળ છે અને તેને  દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે:

 પ્રમાણભૂત વિચલન વજન વિનાનું;

 ભારિત પ્રમાણભૂત વિચલન.

પ્રમાણભૂત વિચલન એ સરેરાશની વિશ્વસનીયતાનું માપ છે. પ્રમાણભૂત વિચલન જેટલું નાનું છે, તેટલું સારું અંકગણિત સરેરાશ સમગ્ર પ્રતિનિધિત્વ વસ્તીને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી વિભિન્નતાની ગણતરી દ્વારા આગળ આવે છે.

ભારિત વિભિન્નતાની ગણતરી કરવાની પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:

1) ભારિત અંકગણિત સરેરાશ નક્કી કરો:

2) સરેરાશમાંથી વિકલ્પોના વિચલનોની ગણતરી કરો:

3) સરેરાશમાંથી દરેક વિકલ્પના વિચલનનો વર્ગ કરો:

4) વિચલનોના વર્ગોને વજન (આવર્તન) દ્વારા ગુણાકાર કરો:

5) પરિણામી ઉત્પાદનોનો સારાંશ આપો:

6) પરિણામી રકમ વજનના સરવાળા દ્વારા વિભાજિત થાય છે:

ઉદાહરણ 2.1

ચાલો ભારિત અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરીએ:

સરેરાશ અને તેમના ચોરસમાંથી વિચલનોના મૂલ્યો કોષ્ટકમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. ચાલો તફાવત વ્યાખ્યાયિત કરીએ:

પ્રમાણભૂત વિચલન સમાન હશે:

જો સ્રોત ડેટા અંતરાલના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે વિતરણ શ્રેણી , તો તમારે પહેલા એટ્રિબ્યુટનું અલગ મૂલ્ય નક્કી કરવાની જરૂર છે, અને પછી વર્ણવેલ પદ્ધતિ લાગુ કરો.

ઉદાહરણ 2.2

ચાલો ઘઉંની ઉપજ અનુસાર સામૂહિક ખેતરના વાવણી વિસ્તારના વિતરણ પરના ડેટાનો ઉપયોગ કરીને અંતરાલ શ્રેણી માટે તફાવતની ગણતરી બતાવીએ.

અંકગણિતનો અર્થ છે:

ચાલો વિભિન્નતાની ગણતરી કરીએ:

6.3. વ્યક્તિગત ડેટા પર આધારિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વિચલનની ગણતરી

ગણતરી તકનીક ભિન્નતા જટિલ, અને વિકલ્પો અને ફ્રીક્વન્સીઝના મોટા મૂલ્યો સાથે તે બોજારૂપ હોઈ શકે છે. વિક્ષેપના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓને સરળ બનાવી શકાય છે.

વિક્ષેપમાં નીચેના ગુણધર્મો છે.

1. વિભિન્ન લાક્ષણિકતાના વજન (ફ્રિકવન્સી)ને અમુક ચોક્કસ સંખ્યામાં ઘટાડવાથી અથવા વધારવાથી વિક્ષેપ બદલાતો નથી.

2. સમાન સ્થિર રકમ દ્વારા લાક્ષણિકતાના દરેક મૂલ્યમાં ઘટાડો અથવા વધારો એવિક્ષેપ બદલાતો નથી.

3. દરેક એટ્રિબ્યુટ વેલ્યુને અમુક ચોક્કસ સંખ્યામાં ઘટાડો અથવા વધારો kમાં ભિન્નતા અનુક્રમે ઘટાડે છે અથવા વધે છે k 2 વખત અને પ્રમાણભૂત વિચલન  માં kએકવાર

4. સરેરાશ અને મનસ્વી મૂલ્યો વચ્ચેના તફાવતના ચોરસ દીઠ અંકગણિત સરેરાશને સંબંધિત વિક્ષેપ કરતાં મનસ્વી મૂલ્યની તુલનામાં લાક્ષણિકતાનું વિક્ષેપ હંમેશા વધારે હોય છે:

જો એ 0, પછી આપણે નીચેની સમાનતા પર પહોંચીએ છીએ:

એટલે કે, લાક્ષણિકતાનો તફાવત એ લાક્ષણિક મૂલ્યોના સરેરાશ વર્ગ અને સરેરાશના વર્ગ વચ્ચેના તફાવત જેટલો છે.

ભિન્નતાની ગણતરી કરતી વખતે દરેક મિલકતનો સ્વતંત્ર રીતે અથવા અન્ય લોકો સાથે સંયોજનમાં ઉપયોગ કરી શકાય છે.

વિભિન્નતાની ગણતરી કરવાની પ્રક્રિયા સરળ છે:

1) નક્કી કરો અંકગણિત સરેરાશ :

2) અંકગણિત સરેરાશનો વર્ગ કરો:

3) શ્રેણીના દરેક પ્રકારના વિચલનનો વર્ગ કરો:

એક્સ i 2 .

4) વિકલ્પોના ચોરસનો સરવાળો શોધો:

5) વિકલ્પોના ચોરસના સરવાળાને તેમની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરો, એટલે કે સરેરાશ ચોરસ નક્કી કરો:

6) લાક્ષણિકતાના સરેરાશ ચોરસ અને સરેરાશના ચોરસ વચ્ચેનો તફાવત નક્કી કરો:

ઉદાહરણ 3.1કામદારોની ઉત્પાદકતા પર નીચેનો ડેટા ઉપલબ્ધ છે:

ચાલો નીચેની ગણતરીઓ કરીએ:

અગાઉના એકમાં, અમે સંખ્યાબંધ સૂત્રો રજૂ કર્યા હતા જે અમને ફંક્શનની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધવાની મંજૂરી આપે છે જ્યારે દલીલોના વિતરણના નિયમો જાણીતા હોય છે. જો કે, ઘણા કિસ્સાઓમાં, વિધેયોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધવા માટે, દલીલોના વિતરણના નિયમોને જાણવું પણ જરૂરી નથી, પરંતુ ફક્ત તેમની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓમાંની કેટલીક જાણવા માટે તે પૂરતું છે; તે જ સમયે, અમે સામાન્ય રીતે વિતરણના કોઈપણ કાયદા વિના કરીએ છીએ. દલીલોની આપેલ સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓમાંથી કાર્યોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરવી એ સંભાવના સિદ્ધાંતમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે અને સંખ્યાબંધ સમસ્યાઓના ઉકેલને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવી શકે છે. આમાંની મોટાભાગની સરળ પદ્ધતિઓ રેખીય કાર્યો સાથે સંબંધિત છે; જો કે, કેટલાક પ્રાથમિક બિનરેખીય કાર્યો પણ સમાન અભિગમને મંજૂરી આપે છે.

વર્તમાનમાં આપણે કાર્યોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ પર સંખ્યાબંધ પ્રમેય રજૂ કરીશું, જે એકસાથે આ લાક્ષણિકતાઓની ગણતરી કરવા માટે ખૂબ જ સરળ ઉપકરણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જે વિશાળ શ્રેણીમાં લાગુ પડે છે.

1. બિન-રેન્ડમ મૂલ્યની ગાણિતિક અપેક્ષા

ઘડવામાં આવેલી મિલકત તદ્દન સ્પષ્ટ છે; તે બિન-રેન્ડમ ચલને ખાસ પ્રકારના રેન્ડમ તરીકે ધ્યાનમાં લઈને સાબિત કરી શકાય છે, જેમાં એક સંભાવના સાથે એક સંભવિત મૂલ્ય છે; પછી ગાણિતિક અપેક્ષા માટે સામાન્ય સૂત્ર અનુસાર:

.

2. બિન-રેન્ડમ ચલનું વિક્ષેપ

જો બિન-રેન્ડમ મૂલ્ય છે, તો પછી

3. ગાણિતિક અપેક્ષાના ચિહ્ન માટે બિન-રેન્ડમ મૂલ્યની અવેજીમાં

, (10.2.1)

એટલે કે, બિન-રેન્ડમ મૂલ્યને ગાણિતિક અપેક્ષાના સંકેત તરીકે લઈ શકાય છે.

પુરાવો.

એ) અસંતુલિત જથ્થા માટે

b) સતત માત્રા માટે

.

4. વિક્ષેપ અને પ્રમાણભૂત વિચલનના ચિહ્ન માટે બિન-રેન્ડમ મૂલ્યની અવેજીમાં

જો બિન-રેન્ડમ જથ્થો છે, અને રેન્ડમ છે, તો પછી

, (10.2.2)

એટલે કે, અવ્યવસ્થિત મૂલ્યને સ્ક્વેર કરીને વિક્ષેપના ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે.

પુરાવો. વિભિન્નતાની વ્યાખ્યા દ્વારા

પરિણામ

,

એટલે કે, બિન-રેન્ડમ મૂલ્યને તેના સંપૂર્ણ મૂલ્ય દ્વારા પ્રમાણભૂત વિચલનની નિશાનીમાંથી બહાર લઈ શકાય છે. અમે ફોર્મ્યુલા (10.2.2) માંથી વર્ગમૂળ લઈને સાબિતી મેળવીએ છીએ અને તે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ કે r.s.o. - નોંધપાત્ર રીતે હકારાત્મક મૂલ્ય.

5. રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની ગાણિતિક અપેક્ષા

ચાલો સાબિત કરીએ કે કોઈપણ બે રેન્ડમ ચલ માટે અને

એટલે કે, બે રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના સરવાળા જેટલી છે.

આ ગુણધર્મને ગાણિતિક અપેક્ષાઓના વધારાના પ્રમેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

પુરાવો.

એ) અવ્યવસ્થિત રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ બનવા દો. ચાલો બે દલીલોના કાર્યની ગાણિતિક અપેક્ષા માટે રેન્ડમ ચલોના સરવાળા પર સામાન્ય સૂત્ર (10.1.6) લાગુ કરીએ:

.

Ho એ કુલ સંભાવના કરતાં વધુ કંઈ રજૂ કરતું નથી કે જથ્થો મૂલ્ય લેશે :

;

તેથી,

.

અમે તે જ રીતે સાબિત કરીશું

,

અને પ્રમેય સાબિત થાય છે.

b) ચાલો સતત રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ બનીએ. સૂત્ર મુજબ (10.1.7)

. (10.2.4)

ચાલો પ્રથમ અભિન્ન (10.2.4) ને રૂપાંતરિત કરીએ:

;

તેવી જ રીતે

,

અને પ્રમેય સાબિત થાય છે.

તે ખાસ નોંધવું જોઈએ કે ગાણિતિક અપેક્ષાઓ ઉમેરવા માટેનું પ્રમેય કોઈપણ રેન્ડમ ચલ - આશ્રિત અને સ્વતંત્ર બંને માટે માન્ય છે.

ગાણિતિક અપેક્ષાઓ ઉમેરવા માટેના પ્રમેયને મનસ્વી સંખ્યાના શબ્દોમાં સામાન્યીકરણ કરવામાં આવે છે:

, (10.2.5)

એટલે કે, કેટલાક રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના સરવાળા જેટલી હોય છે.

તેને સાબિત કરવા માટે, સંપૂર્ણ ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટે તે પૂરતું છે.

6. રેખીય કાર્યની ગાણિતિક અપેક્ષા

ઘણી રેન્ડમ દલીલોના રેખીય કાર્યને ધ્યાનમાં લો:

જ્યાં બિન-રેન્ડમ ગુણાંક છે. ચાલો તે સાબિત કરીએ

, (10.2.6)

એટલે કે રેખીય કાર્યની ગાણિતિક અપેક્ષા દલીલોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના સમાન રેખીય કાર્યની બરાબર છે.

પુરાવો. m.o ના વધારાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને અને m.o.ના ચિહ્નની બહાર બિન-રેન્ડમ જથ્થો મૂકવાનો નિયમ, અમે મેળવીએ છીએ:

.

7. ડિસ્પઇપીરેન્ડમ ચલોનો આ સરવાળો

બે રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનો ભિન્નતા તેમના ભિન્નતાના સરવાળા વત્તા સહસંબંધ ક્ષણના બમણા સમાન છે:

પુરાવો. ચાલો સૂચિત કરીએ

ગાણિતિક અપેક્ષાઓના વધારાના પ્રમેય મુજબ

ચાલો રેન્ડમ ચલમાંથી અનુરૂપ કેન્દ્રીત ચલોમાં જઈએ. સમાનતા (10.2.8) માંથી પદ દ્વારા સમાનતા (10.2.9) શબ્દને બાદ કરીને, અમારી પાસે છે:

વિભિન્નતાની વ્યાખ્યા દ્વારા

Q.E.D.

સરવાળાના ભિન્નતા માટેનું સૂત્ર (10.2.7) ગમે તેટલા શબ્દોમાં સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે:

, (10.2.10)

જથ્થાના સહસંબંધ ક્ષણ ક્યાં છે, સરવાળા હેઠળના ચિહ્નનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ રેન્ડમ ચલોના તમામ સંભવિત જોડીવાર સંયોજનો સુધી વિસ્તરે છે .

સાબિતી અગાઉના એક જેવી જ છે અને બહુપદીના વર્ગ માટેના સૂત્રમાંથી અનુસરે છે.

ફોર્મ્યુલા (10.2.10) બીજા સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે:

, (10.2.11)

જ્યાં ડબલ સરવાળો જથ્થાની સિસ્ટમના સહસંબંધ મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો સુધી વિસ્તરે છે , સહસંબંધ ક્ષણો અને ભિન્નતા બંને સમાવે છે.

જો બધા રેન્ડમ ચલો , સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ, અસંબંધિત છે (એટલે ​​​​કે, જ્યારે ), સૂત્ર (10.2.10) ફોર્મ લે છે:

, (10.2.12)

એટલે કે, અસંબંધિત રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનો તફાવત એ શરતોના ભિન્નતાના સરવાળા જેટલો છે.

આ સ્થિતિને ભિન્નતાના ઉમેરાના પ્રમેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

8. રેખીય કાર્યનું વિચલન

ચાલો કેટલાક રેન્ડમ ચલોના રેખીય કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ.

જ્યાં બિન-રેન્ડમ જથ્થો છે.

ચાલો સાબિત કરીએ કે આ રેખીય કાર્યનું વિક્ષેપ સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત થાય છે

, (10.2.13)

જથ્થાનો સહસંબંધ ક્ષણ ક્યાં છે , .

પુરાવો. ચાલો નોટેશન રજૂ કરીએ:

. (10.2.14)

અભિવ્યક્તિ (10.2.14) ની જમણી બાજુએ સરવાળાને વિખેરવા માટે સૂત્ર (10.2.10) લાગુ કરવું અને તે ધ્યાનમાં લેતા, આપણે મેળવીએ છીએ:

જથ્થાનો સહસંબંધ ક્ષણ ક્યાં છે:

.

ચાલો આ ક્ષણની ગણતરી કરીએ. અમારી પાસે છે:

;

તેવી જ રીતે

આ અભિવ્યક્તિને (10.2.15) માં બદલીને, અમે સૂત્ર (10.2.13) પર પહોંચીએ છીએ.

ખાસ કિસ્સામાં જ્યારે બધી માત્રા અસંબંધિત છે, સૂત્ર (10.2.13) ફોર્મ લે છે:

, (10.2.16)

એટલે કે, અસંબંધિત રેન્ડમ ચલોના રેખીય કાર્યનું વિચલન એ ગુણાંકના વર્ગોના ઉત્પાદનના સરવાળા અને અનુરૂપ દલીલોના ભિન્નતાના સરવાળા જેટલું છે.

9. રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા

બે રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ વત્તા સહસંબંધ ક્ષણના ઉત્પાદનની સમાન છે:

પુરાવો. અમે સહસંબંધ ક્ષણની વ્યાખ્યાથી આગળ વધીશું:

ચાલો ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને આ અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરીએ:

જે દેખીતી રીતે ફોર્મ્યુલા (10.2.17) ની સમકક્ષ છે.

જો રેન્ડમ ચલો અસંબંધિત હોય, તો સૂત્ર (10.2.17) ફોર્મ લે છે:

એટલે કે, બે અસંબંધિત રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ઉત્પાદન સમાન છે.

આ સ્થિતિને ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ગુણાકારના પ્રમેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

ફોર્મ્યુલા (10.2.17) એ બીજી મિશ્ર પ્રારંભિક ક્ષણ અને ગાણિતિક અપેક્ષાઓ દ્વારા સિસ્ટમની બીજી મિશ્ર કેન્દ્રીય ક્ષણની અભિવ્યક્તિ સિવાય બીજું કંઈ નથી:

. (10.2.19)

આ અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ વ્યવહારમાં સહસંબંધ ક્ષણની ગણતરી કરતી વખતે કરવામાં આવે છે તે જ રીતે કે જે રીતે એક રેન્ડમ ચલ માટે ભિન્નતાની ગણતરી બીજી પ્રારંભિક ક્ષણ અને ગાણિતિક અપેક્ષા દ્વારા કરવામાં આવે છે.

ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ગુણાકારના પ્રમેયને પરિબળોની મનસ્વી સંખ્યામાં સામાન્યીકરણ કરવામાં આવે છે, ફક્ત આ કિસ્સામાં, તેના ઉપયોગ માટે, તે પૂરતું નથી કે જથ્થાઓ અસંબંધિત હોય, પરંતુ તે જરૂરી છે કે કેટલીક ઉચ્ચ મિશ્ર ક્ષણો, જેની સંખ્યા આધાર રાખે છે. ઉત્પાદનમાં શરતોની સંખ્યા પર, અદૃશ્ય થઈ જાય છે. જો ઉત્પાદનમાં સમાવિષ્ટ રેન્ડમ ચલો સ્વતંત્ર હોય તો આ શરતો ચોક્કસપણે સંતુષ્ટ છે. આ કિસ્સામાં

, (10.2.20)

એટલે કે, સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ઉત્પાદનની બરાબર છે.

આ પ્રસ્તાવને સંપૂર્ણ ઇન્ડક્શન દ્વારા સરળતાથી સાબિત કરી શકાય છે.

10. સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનનો તફાવત

ચાલો તે સ્વતંત્ર માત્રા માટે સાબિત કરીએ

પુરાવો. ચાલો સૂચિત કરીએ. વિભિન્નતાની વ્યાખ્યા દ્વારા

કારણ કે જથ્થાઓ સ્વતંત્ર છે, અને

જ્યારે સ્વતંત્ર હોય, ત્યારે જથ્થાઓ પણ સ્વતંત્ર હોય છે; તેથી,

,

પરંતુ તીવ્રતાના બીજા પ્રારંભિક ક્ષણ કરતાં વધુ કંઈ નથી, અને તેથી, વિખેરાઈ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

;

તેવી જ રીતે

.

આ અભિવ્યક્તિઓને સૂત્ર (10.2.22) માં બદલીને અને સમાન શબ્દો લાવીને, અમે સૂત્ર (10.2.21) પર પહોંચીએ છીએ.

કિસ્સામાં જ્યારે કેન્દ્રિત રેન્ડમ ચલો (શૂન્ય સમાન ગાણિતિક અપેક્ષાઓ સાથેના ચલ) ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે સૂત્ર (10.2.21) ફોર્મ લે છે:

, (10.2.23)

એટલે કે, સ્વતંત્ર કેન્દ્રિત રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનનો ભિન્નતા તેમના ભિન્નતાઓના ઉત્પાદન સમાન છે.

11. રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની ઉચ્ચ ક્ષણો

કેટલાક કિસ્સાઓમાં, સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની ઉચ્ચતમ ક્ષણોની ગણતરી કરવી જરૂરી છે. ચાલો કેટલાક સંબંધિત સંબંધો સાબિત કરીએ.

1) જો જથ્થાઓ સ્વતંત્ર હોય, તો

પુરાવો.

જ્યાંથી, ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ગુણાકારના પ્રમેય અનુસાર

પરંતુ કોઈપણ જથ્થા માટે પ્રથમ કેન્દ્રિય ક્ષણ શૂન્ય છે; બે મધ્યમ પદો અદૃશ્ય થઈ જાય છે, અને ફોર્મ્યુલા (10.2.24) સાબિત થાય છે.

સંબંધ (10.2.24) ને સ્વતંત્ર શબ્દોની મનસ્વી સંખ્યામાં ઇન્ડક્શન દ્વારા સરળતાથી સામાન્યીકરણ કરવામાં આવે છે:

. (10.2.25)

2) બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની ચોથી કેન્દ્રીય ક્ષણ સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે

જથ્થાના ભિન્નતા ક્યાં છે અને .

પુરાવા અગાઉના એક સાથે સંપૂર્ણપણે સમાન છે.

સંપૂર્ણ ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, ફોર્મ્યુલા (10.2.26) ના સામાન્યીકરણને સ્વતંત્ર શરતોની મનસ્વી સંખ્યામાં સાબિત કરવું સરળ છે.

જો વસ્તીને અભ્યાસ કરવામાં આવતી લાક્ષણિકતા અનુસાર જૂથોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, તો પછી આ વસ્તી માટે નીચેના પ્રકારના વિભિન્નતાની ગણતરી કરી શકાય છે: કુલ, જૂથ (જૂથની અંદર), જૂથની સરેરાશ (જૂથની અંદરની સરેરાશ), આંતર જૂથ.

શરૂઆતમાં, તે નિર્ધારણના ગુણાંકની ગણતરી કરે છે, જે દર્શાવે છે કે અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલા લક્ષણની કુલ વિવિધતાનો કયો ભાગ આંતરજૂથ વિવિધતા છે, એટલે કે. જૂથની લાક્ષણિકતાને કારણે:

પ્રયોગમૂલક સહસંબંધ સંબંધ જૂથ (ફેક્ટોરિયલ) અને પ્રદર્શન લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના જોડાણની નિકટતાને દર્શાવે છે.

પ્રયોગમૂલક સહસંબંધ ગુણોત્તર 0 થી 1 સુધીના મૂલ્યો લઈ શકે છે.

પ્રયોગમૂલક સહસંબંધ ગુણોત્તરના આધારે જોડાણની નિકટતાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, તમે ચૅડૉક સંબંધોનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

ઉદાહરણ 4.માલિકીના વિવિધ સ્વરૂપોની ડિઝાઇન અને સર્વેક્ષણ સંસ્થાઓ દ્વારા કામના પ્રદર્શન પર નીચેનો ડેટા ઉપલબ્ધ છે:

વ્યાખ્યાયિત કરો:

1) કુલ વિચલન;

2) જૂથ ભિન્નતા;

3) જૂથ તફાવતોની સરેરાશ;

4) આંતરજૂથ તફાવત;

5) ભિન્નતા ઉમેરવા માટેના નિયમના આધારે કુલ વિચલન;

6) નિર્ધારણનો ગુણાંક અને પ્રયોગમૂલક સહસંબંધ ગુણોત્તર.

તારણો દોરો.

ઉકેલ:

1. ચાલો માલિકીના બે સ્વરૂપોના સાહસો દ્વારા કરવામાં આવતા કામનું સરેરાશ પ્રમાણ નક્કી કરીએ:

ચાલો કુલ ભિન્નતાની ગણતરી કરીએ:

2. જૂથ સરેરાશ નક્કી કરો:

મિલિયન રુબેલ્સ;

મિલિયન રુબેલ્સ

જૂથ તફાવતો:

;

3. જૂથ ભિન્નતાઓની સરેરાશની ગણતરી કરો:

4. ચાલો આંતરજૂથ તફાવત નક્કી કરીએ:

5. ભિન્નતા ઉમેરવા માટેના નિયમના આધારે કુલ ભિન્નતાની ગણતરી કરો:

6. ચાલો નિર્ધારણનો ગુણાંક નક્કી કરીએ:

.

આમ, ડિઝાઇન અને મોજણી સંસ્થાઓ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યનું પ્રમાણ એન્ટરપ્રાઇઝની માલિકીના સ્વરૂપ પર 22% દ્વારા નિર્ભર છે.

પ્રયોગમૂલક સહસંબંધ ગુણોત્તર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે

.

ગણતરી કરેલ સૂચકનું મૂલ્ય સૂચવે છે કે એન્ટરપ્રાઇઝની માલિકીના સ્વરૂપ પર કામના વોલ્યુમની અવલંબન નાની છે.

ઉદાહરણ 5.ઉત્પાદન ક્ષેત્રોની તકનીકી શિસ્તના સર્વેક્ષણના પરિણામે, નીચેનો ડેટા પ્રાપ્ત થયો હતો:

નિર્ધારણનો ગુણાંક નક્કી કરો

આ પૃષ્ઠ ભિન્નતા શોધવાના પ્રમાણભૂત ઉદાહરણનું વર્ણન કરે છે, તમે તેને શોધવા માટે અન્ય સમસ્યાઓ પણ જોઈ શકો છો

ઉદાહરણ 1. જૂથનું નિર્ધારણ, જૂથ સરેરાશ, આંતર-જૂથ અને કુલ તફાવત

ઉદાહરણ 2. જૂથ કોષ્ટકમાં ભિન્નતા અને ભિન્નતાના ગુણાંકને શોધવું

ઉદાહરણ 3. એક અલગ શ્રેણીમાં ભિન્નતા શોધવી

ઉદાહરણ 4. નીચેનો ડેટા 20 પત્રવ્યવહાર વિદ્યાર્થીઓના જૂથ માટે ઉપલબ્ધ છે. લાક્ષણિકતાના વિતરણની અંતરાલ શ્રેણી બનાવવી, લાક્ષણિકતાના સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરી કરવી અને તેના ફેલાવાનો અભ્યાસ કરવો જરૂરી છે.

ચાલો એક અંતરાલ જૂથ બનાવીએ. ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અંતરાલની શ્રેણી નક્કી કરીએ:

જ્યાં X max એ જૂથની લાક્ષણિકતાનું મહત્તમ મૂલ્ય છે;
X મિનિટ - જૂથની લાક્ષણિકતાનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય;
n - અંતરાલોની સંખ્યા:

અમે n=5 સ્વીકારીએ છીએ. પગલું છે: h = (192 - 159)/ 5 = 6.6

ચાલો એક અંતરાલ જૂથ બનાવીએ

વધુ ગણતરીઓ માટે, અમે સહાયક કોષ્ટક બનાવીશું:

X"i – અંતરાલનો મધ્ય ભાગ. (ઉદાહરણ તરીકે, મધ્યાંતર 159 – 165.6 = 162.3)

અમે ભારાંકિત અંકગણિત સરેરાશ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વિદ્યાર્થીઓની સરેરાશ ઊંચાઈ નક્કી કરીએ છીએ:

ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તફાવત નક્કી કરીએ:

સૂત્રને આ રીતે રૂપાંતરિત કરી શકાય છે:

આ સૂત્ર પરથી તે અનુસરે છે ભિન્નતા સમાન છે વિકલ્પોના ચોરસની સરેરાશ અને ચોરસ અને સરેરાશ વચ્ચેનો તફાવત.

વિવિધતા શ્રેણીમાં વિક્ષેપસમાન અંતરાલો સાથે પળોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વિક્ષેપના બીજા ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને નીચેની રીતે ગણતરી કરી શકાય છે (તમામ વિકલ્પોને અંતરાલના મૂલ્ય દ્વારા વિભાજીત કરીને). તફાવત નક્કી કરી રહ્યા છીએ, ક્ષણોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે, નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો ઓછો કપરું છે:

જ્યાં હું અંતરાલનું મૂલ્ય છે;
A એ પરંપરાગત શૂન્ય છે, જેના માટે સૌથી વધુ આવર્તન સાથે અંતરાલના મધ્યનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે;
m1 એ પ્રથમ ક્રમ ક્ષણનો વર્ગ છે;
m2 - બીજા ઓર્ડરની ક્ષણ

વૈકલ્પિક લક્ષણ ભિન્નતા (જો આંકડાકીય વસ્તીમાં લાક્ષણિકતા એવી રીતે બદલાય છે કે ત્યાં ફક્ત બે પરસ્પર વિશિષ્ટ વિકલ્પો છે, તો આવી પરિવર્તનશીલતાને વૈકલ્પિક કહેવામાં આવે છે) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે:

આ વિક્ષેપ સૂત્રમાં q = 1- p ને બદલીને, આપણને મળે છે:

ભિન્નતાના પ્રકારો

કુલ વિચલનઆ વિવિધતાનું કારણ બને તેવા તમામ પરિબળોના પ્રભાવ હેઠળ સમગ્ર વસ્તીમાં લાક્ષણિકતાના ભિન્નતાને માપે છે. તે x ના એકંદર સરેરાશ મૂલ્યમાંથી લાક્ષણિકતા x ના વ્યક્તિગત મૂલ્યોના વિચલનોના સરેરાશ વર્ગની બરાબર છે અને તેને સરળ વિચલન અથવા ભારિત વિચલન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.

જૂથમાં તફાવત રેન્ડમ વિવિધતા દર્શાવે છે, એટલે કે. વિવિધતાનો ભાગ જે બિનહિસાબી પરિબળોના પ્રભાવને કારણે છે અને જૂથનો આધાર બનાવે છે તે પરિબળ-લક્ષણ પર આધારિત નથી. આવા વિક્ષેપ એ જૂથના અંકગણિત સરેરાશમાંથી જૂથ X ની અંદર વિશેષતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોના વિચલનોના સરેરાશ ચોરસ સમાન છે અને તેની ગણતરી સરળ વિક્ષેપ અથવા ભારિત વિક્ષેપ તરીકે કરી શકાય છે.

આમ, જૂથની અંદર વિચલનનાં પગલાંજૂથની અંદરના લક્ષણની વિવિધતા અને સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

જ્યાં xi એ જૂથ સરેરાશ છે;
ni એ જૂથમાં એકમોની સંખ્યા છે.

ઉદાહરણ તરીકે, વર્કશોપમાં શ્રમ ઉત્પાદકતાના સ્તર પર કામદારોની લાયકાતના પ્રભાવનો અભ્યાસ કરવાના કાર્યમાં ઇન્ટ્રાગ્રુપ ભિન્નતાઓ નક્કી કરવાની જરૂર છે તે તમામ સંભવિત પરિબળો (ઉપકરણોની તકનીકી સ્થિતિ, ઉપલબ્ધતા) ને કારણે દરેક જૂથમાં ઉત્પાદનમાં ભિન્નતા દર્શાવે છે. સાધનો અને સામગ્રી, કામદારોની ઉંમર, શ્રમની તીવ્રતા, વગેરે.), લાયકાત શ્રેણીમાં તફાવતો સિવાય (એક જૂથમાં બધા કામદારો સમાન લાયકાત ધરાવે છે).

ઘણીવાર આંકડાઓમાં, જ્યારે કોઈ ઘટના અથવા પ્રક્રિયાનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે, ત્યારે માત્ર અભ્યાસ કરવામાં આવતા સૂચકાંકોના સરેરાશ સ્તરો વિશેની માહિતીને ધ્યાનમાં લેવી જરૂરી નથી, પણ સ્કેટર અથવા વ્યક્તિગત એકમોના મૂલ્યોમાં તફાવત , જે અભ્યાસ કરવામાં આવતી વસ્તીની એક મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતા છે.

ભિન્નતાનો સૌથી વધુ વિષય છે સ્ટોકની કિંમતો, પુરવઠો અને માંગ અને વિવિધ સમયગાળામાં અને વિવિધ સ્થળોએ વ્યાજ દર.

વિવિધતા દર્શાવતા મુખ્ય સૂચકાંકો , શ્રેણી, વિક્ષેપ, પ્રમાણભૂત વિચલન અને વિવિધતાના ગુણાંક છે.

વિવિધતાની શ્રેણી લાક્ષણિકતાના મહત્તમ અને લઘુત્તમ મૂલ્યો વચ્ચેના તફાવતને રજૂ કરે છે: આર = Xmax - Xmin. આ સૂચકનો ગેરલાભ એ છે કે તે માત્ર લક્ષણની વિવિધતાની સીમાઓનું મૂલ્યાંકન કરે છે અને આ સીમાઓની અંદર તેની પરિવર્તનશીલતાને પ્રતિબિંબિત કરતું નથી.

વિખેરી નાખવું આ ખામીનો અભાવ છે. તે તેમના સરેરાશ મૂલ્યમાંથી વિશેષતા મૂલ્યોના વિચલનોના સરેરાશ વર્ગ તરીકે ગણવામાં આવે છે:

ભિન્નતાની ગણતરી કરવાની એક સરળ રીત નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે (સરળ અને ભારિત):

આ સૂત્રોના ઉપયોગના ઉદાહરણો કાર્યો 1 અને 2 માં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે.

વ્યવહારમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાતું સૂચક છે પ્રમાણભૂત વિચલન :

પ્રમાણભૂત વિચલનને વિભિન્નતાના વર્ગમૂળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી લાક્ષણિકતા જેટલો જ પરિમાણ ધરાવે છે.

ધ્યાનમાં લેવાયેલા સૂચકાંકો અમને વિવિધતાનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય મેળવવાની મંજૂરી આપે છે, એટલે કે. અભ્યાસ કરવામાં આવતી લાક્ષણિકતાના માપનના એકમોમાં તેનું મૂલ્યાંકન કરો. તેમનાથી વિપરીત, વિવિધતાના ગુણાંક સંબંધિત શરતોમાં પરિવર્તનશીલતાને માપે છે - સરેરાશ સ્તરની તુલનામાં, જે ઘણા કિસ્સાઓમાં પ્રાધાન્યક્ષમ છે.

વિવિધતાના ગુણાંકની ગણતરી માટેનું સૂત્ર.

"આંકડામાં વિવિધતાના સૂચકાંકો" વિષય પર સમસ્યાઓ હલ કરવાના ઉદાહરણો

સમસ્યા 1 . પ્રદેશની બેંકોમાં સરેરાશ માસિક થાપણના કદ પર જાહેરાતના પ્રભાવનો અભ્યાસ કરતી વખતે, 2 બેંકોની તપાસ કરવામાં આવી હતી. નીચેના પરિણામો પ્રાપ્ત થયા:

વ્યાખ્યાયિત કરો:
1) દરેક બેંક માટે: a) દર મહિને સરેરાશ થાપણ; b) ફાળો ફેલાવો;
2) એકસાથે બે બેંકો માટે સરેરાશ માસિક થાપણ;
3) જાહેરાતના આધારે 2 બેંકો માટે ડિપોઝિટ વેરિઅન્સ;
4) 2 બેંકો માટે ડિપોઝિટ વેરિઅન્સ, જાહેરાત સિવાયના તમામ પરિબળો પર આધાર રાખીને;
5) વધારાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને કુલ વિચલન;
6) નિર્ધારણના ગુણાંક;
7) સહસંબંધ સંબંધ.

ઉકેલ

1) ચાલો જાહેરાત સાથે બેંક માટે ગણતરી કોષ્ટક બનાવીએ . સરેરાશ માસિક ડિપોઝિટ નક્કી કરવા માટે, અમે અંતરાલોના મધ્યબિંદુઓ શોધીશું. આ કિસ્સામાં, ખુલ્લા અંતરાલ (પ્રથમ) નું મૂલ્ય શરતી રીતે તેની બાજુના અંતરાલના મૂલ્ય (બીજા) સાથે સમાન છે.

અમે ભારિત અંકગણિત સરેરાશ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સરેરાશ જમા કદ શોધીશું:

29,000/50 = 580 ઘસવું.

અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને યોગદાનનો તફાવત શોધીએ છીએ:

23 400/50 = 468

અમે સમાન ક્રિયાઓ કરીશું જાહેરાત વિના બેંક માટે :

2) ચાલો એકસાથે બે બેંકો માટે સરેરાશ જમા કદ શોધીએ. Хср =(580×50+542.8×50)/100 = 561.4 ઘસવું.

3) અમે ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને જાહેરાતના આધારે, બે બેંકો માટે ડિપોઝિટનો તફાવત શોધીશું: σ 2 =pq (વૈકલ્પિક વિશેષતાના તફાવત માટેનું સૂત્ર). અહીં p=0.5 એ જાહેરાત પર આધારિત પરિબળોનું પ્રમાણ છે; q=1-0.5, પછી σ 2 =0.5*0.5=0.25.

4) અન્ય પરિબળોનો હિસ્સો 0.5 હોવાથી, જાહેરાત સિવાયના તમામ પરિબળોને આધારે બે બેંકો માટે ડિપોઝિટનો તફાવત પણ 0.25 છે.

5) વધારાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને કુલ તફાવત નક્કી કરો.

= (468*50+636,16*50)/100=552,08

= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96

σ 2 = σ 2 હકીકત + σ 2 બાકીના = 552.08+345.96 = 898.04

6) નિર્ધારણ ગુણાંક η 2 = σ 2 હકીકત / σ 2 = 345.96/898.04 = 0.39 = 39% - યોગદાનનું કદ 39% દ્વારા જાહેરાત પર આધારિત છે.

7) પ્રયોગમૂલક સહસંબંધ ગુણોત્તર η = √η 2 = √0.39 = 0.62 – સંબંધ તદ્દન નજીકનો છે.

સમસ્યા 2 . માર્કેટેબલ ઉત્પાદનોના કદ અનુસાર સાહસોનું જૂથ છે:

નક્કી કરો: 1) માર્કેટેબલ ઉત્પાદનોના મૂલ્યનું વિખેરવું; 2) પ્રમાણભૂત વિચલન; 3) વિવિધતાના ગુણાંક.

ઉકેલ

1) શરત દ્વારા, અંતરાલ વિતરણ શ્રેણી રજૂ કરવામાં આવે છે. તેને સ્પષ્ટ રીતે વ્યક્ત કરવું આવશ્યક છે, એટલે કે, અંતરાલ (x") ની મધ્ય શોધો. બંધ અંતરાલોના જૂથોમાં, આપણે એક સરળ અંકગણિત સરેરાશનો ઉપયોગ કરીને મધ્ય શોધીએ છીએ. ઉપલી મર્યાદાવાળા જૂથોમાં - આ ઉપલી મર્યાદા વચ્ચેના તફાવત તરીકે અને આગામી અંતરાલનું અડધું કદ (200-(400 -200):2=100).

નીચી મર્યાદા ધરાવતા જૂથોમાં - આ નીચલી મર્યાદાનો સરવાળો અને અગાઉના અંતરાલના અડધા કદ (800+(800-600):2=900).

અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને માર્કેટેબલ ઉત્પાદનોના સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરી કરીએ છીએ:

Хср = k×((Σ((x"-a):k)×f):Σf)+a. અહીં a=500 એ સૌથી વધુ આવર્તન પર વિકલ્પનું કદ છે, k=600-400=200 છે સૌથી વધુ આવર્તન પર અંતરાલનું કદ ચાલો પરિણામ કોષ્ટકમાં મૂકીએ:

તેથી, અભ્યાસ હેઠળના સમયગાળા માટે વ્યાપારી ઉત્પાદનનું સરેરાશ મૂલ્ય સામાન્ય રીતે Хср = (-5:37)×200+500=472.97 હજાર રુબેલ્સ જેટલું છે.

2) અમે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તફાવત શોધીએ છીએ:

σ 2 = (33/37)*2002-(472.97-500)2 = 35,675.67-730.62 = 34,945.05

3) પ્રમાણભૂત વિચલન: σ = ±√σ 2 = ±√34,945.05 ≈ ±186.94 હજાર રુબેલ્સ.

4) વિવિધતાનો ગુણાંક: V = (σ /Хср)*100 = (186.94 / 472.97)*100 = 39.52%