સંભાવના ઉમેરા અને ગુણાકાર પ્રમેય.
આશ્રિત અને સ્વતંત્ર ઘટનાઓ

શીર્ષક ડરામણી લાગે છે, પરંતુ વાસ્તવમાં બધું ખૂબ સરળ છે. આ પાઠમાં આપણે ઘટનાની સંભાવનાઓના સરવાળો અને ગુણાકારના પ્રમેયથી પરિચિત થઈશું, અને સામાન્ય સમસ્યાઓનું પણ વિશ્લેષણ કરીશું જે, સંભાવનાના શાસ્ત્રીય નિર્ધારણ પર સમસ્યાચોક્કસપણે મળશો અથવા, સંભવત,, તમારા માર્ગમાં પહેલેથી જ મળી ચૂક્યા છો. આ લેખમાંની સામગ્રીનો અસરકારક રીતે અભ્યાસ કરવા માટે, તમારે મૂળભૂત શરતોને જાણવાની અને સમજવાની જરૂર છે સંભાવના સિદ્ધાંતઅને સરળ અંકગણિત કામગીરી કરવા સક્ષમ બનો. જેમ તમે જોઈ શકો છો, ખૂબ જ ઓછી જરૂરી છે, અને તેથી સંપત્તિમાં ચરબી વત્તા લગભગ બાંયધરી આપવામાં આવે છે. પરંતુ બીજી બાજુ, હું ફરીથી વ્યવહારિક ઉદાહરણો પ્રત્યેના સુપરફિસિયલ વલણ સામે ચેતવણી આપું છું - ત્યાં પુષ્કળ સૂક્ષ્મતા પણ છે. શુભેચ્છા:

અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરવા માટેનો પ્રમેય: બેમાંથી એકની ઘટનાની સંભાવના અસંગતઘટનાઓ અથવા (કોઈ વાંધો નહીં), આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા સમાન છે:

એક સમાન હકીકત મોટી સંખ્યામાં અસંગત ઘટનાઓ માટે સાચી છે, ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ અસંગત ઘટનાઓ માટે અને:

પ્રમેય એક સ્વપ્ન છે =) જો કે, આવા સ્વપ્ન પુરાવાને આધીન છે, જે શોધી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, V.E દ્વારા પાઠ્યપુસ્તકમાં. ગર્મન.

ચાલો નવા, અત્યાર સુધીના અજાણ્યા ખ્યાલોથી પરિચિત થઈએ:

આશ્રિત અને સ્વતંત્ર ઘટનાઓ

ચાલો સ્વતંત્ર ઘટનાઓથી શરૂઆત કરીએ. ઘટનાઓ છે સ્વતંત્ર , જો ઘટનાની સંભાવના તેમાંથી કોઈપણ આધાર રાખતો નથીવિચારણા હેઠળના સેટની અન્ય ઘટનાઓના દેખાવ/બિન-દેખાવ પર (તમામ સંભવિત સંયોજનોમાં). ...પરંતુ સામાન્ય શબ્દસમૂહોથી શા માટે પરેશાન થવું:

સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ગુણાકાર માટે પ્રમેય: સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંયુક્ત ઘટનાની સંભાવના અને આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉત્પાદનની સમાન છે:

ચાલો 1લા પાઠના સૌથી સરળ ઉદાહરણ પર પાછા ફરીએ, જેમાં બે સિક્કા ફેંકવામાં આવે છે અને નીચેની ઘટનાઓ:

- પ્રથમ સિક્કા પર હેડ દેખાશે;
- બીજા સિક્કા પર હેડ દેખાશે.

ચાલો ઘટનાની સંભાવના શોધીએ (હેડ 1 લી સિક્કા પર દેખાશે અને 2જી સિક્કા પર ગરુડ દેખાશે - કેવી રીતે વાંચવું તે યાદ રાખો ઘટનાઓનું ઉત્પાદન!) . એક સિક્કા પર માથાની સંભાવના અન્ય સિક્કો ફેંકવાના પરિણામ પર કોઈપણ રીતે નિર્ભર નથી, તેથી, ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે.

તેવી જ રીતે:
- 1મો સિક્કો માથા પર ઉતરશે તેવી સંભાવના અને 2જી પૂંછડીઓ પર;
- 1લા સિક્કા પર હેડ દેખાશે તેવી સંભાવના અને 2જી પૂંછડીઓ પર;
- 1 લી સિક્કો હેડ બતાવશે તેવી સંભાવના અને 2જી ગરુડ પર.

નોંધ કરો કે ઘટનાઓ રચાય છે સંપૂર્ણ જૂથઅને તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સમાન છે: .

ગુણાકાર પ્રમેય દેખીતી રીતે મોટી સંખ્યામાં સ્વતંત્ર ઘટનાઓ સુધી વિસ્તરે છે, ઉદાહરણ તરીકે, જો ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે, તો તેમની સંયુક્ત ઘટનાની સંભાવના સમાન છે: . ચાલો ચોક્કસ ઉદાહરણો સાથે પ્રેક્ટિસ કરીએ:

સમસ્યા 3

ત્રણ બૉક્સમાંના દરેકમાં 10 ભાગો છે. પ્રથમ બોક્સમાં 8 પ્રમાણભૂત ભાગો છે, બીજો - 7, ત્રીજો - 9. દરેક બોક્સમાંથી એક ભાગ અવ્યવસ્થિત રીતે દૂર કરવામાં આવે છે. તમામ ભાગો પ્રમાણભૂત હશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ: કોઈપણ બૉક્સમાંથી પ્રમાણભૂત અથવા બિન-માનક ભાગ કાઢવાની સંભાવના અન્ય બૉક્સમાંથી કયા ભાગો લેવામાં આવે છે તેના પર નિર્ભર નથી, તેથી સમસ્યા સ્વતંત્ર ઘટનાઓ સાથે સંબંધિત છે. નીચેની સ્વતંત્ર ઘટનાઓને ધ્યાનમાં લો:

- પ્રથમ બોક્સમાંથી પ્રમાણભૂત ભાગ દૂર કરવામાં આવે છે;
- 2 જી બોક્સમાંથી પ્રમાણભૂત ભાગ દૂર કરવામાં આવ્યો હતો;
- ત્રીજા બોક્સમાંથી પ્રમાણભૂત ભાગ દૂર કરવામાં આવે છે.

શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા અનુસાર:
અનુરૂપ સંભાવનાઓ છે.

અમારા માટે રસપ્રદ ઘટના (1 લી બોક્સમાંથી પ્રમાણભૂત ભાગ દૂર કરવામાં આવશે અનેબીજા ધોરણથી અને 3જા ધોરણથી)ઉત્પાદન દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ગુણાકારના પ્રમેય અનુસાર:

- ત્રણ બોક્સમાંથી એક પ્રમાણભૂત ભાગ દૂર કરવામાં આવશે તેવી સંભાવના.

જવાબ આપો: 0,504

બૉક્સ સાથેની કસરતોને ઉત્સાહિત કર્યા પછી, ઓછા રસપ્રદ ભઠ્ઠીઓ અમારી રાહ જોતા નથી:

સમસ્યા 4

ત્રણ ભઠ્ઠીમાં 6 સફેદ અને 4 કાળા દડા હોય છે. દરેક કલશમાંથી એક બોલ રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે: a) ત્રણેય દડા સફેદ હશે; b) ત્રણેય બોલ એક જ રંગના હશે.

પ્રાપ્ત માહિતીના આધારે, અનુમાન કરો કે "be" બિંદુ સાથે કેવી રીતે વ્યવહાર કરવો ;-) ઉકેલનું અંદાજિત ઉદાહરણ તમામ ઇવેન્ટ્સના વિગતવાર વર્ણન સાથે શૈક્ષણિક શૈલીમાં ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યું છે.

આશ્રિત ઘટનાઓ. ઘટના કહેવાય છે આશ્રિત , જો તેની સંભાવના છે આધાર રાખે છેપહેલેથી જ બનેલી એક અથવા વધુ ઘટનાઓમાંથી. તમારે ઉદાહરણો માટે દૂર જવાની જરૂર નથી - ફક્ત નજીકના સ્ટોર પર જાઓ:

- આવતીકાલે 19.00 વાગ્યે તાજી બ્રેડ વેચાણ પર હશે.

આ ઘટનાની સંભાવના અન્ય ઘણી ઘટનાઓ પર આધારિત છે: શું તાજી બ્રેડ આવતીકાલે વિતરિત કરવામાં આવશે, શું તે સાંજે 7 વાગ્યા પહેલા વેચવામાં આવશે કે નહીં, વગેરે. વિવિધ સંજોગો પર આધાર રાખીને, આ ઘટના ક્યાં તો વિશ્વસનીય અથવા અશક્ય હોઈ શકે છે. તો ઘટના છે આશ્રિત.

બ્રેડ... અને, જેમ કે રોમનોએ માંગણી કરી, સર્કસ:

- પરીક્ષા સમયે, વિદ્યાર્થીને સાદી ટિકિટ મળશે.

જો તમે ખૂબ જ પ્રથમ ન હોવ, તો પછી ઇવેન્ટ નિર્ભર રહેશે, કારણ કે તેની સંભાવના તેના પર નિર્ભર રહેશે કે ક્લાસના મિત્રો દ્વારા પહેલેથી કઈ ટિકિટો દોરવામાં આવી છે.

ઘટનાઓની અવલંબન/સ્વતંત્રતા કેવી રીતે નક્કી કરવી?

કેટલીકવાર આ સમસ્યાના નિવેદનમાં સીધું જ જણાવવામાં આવે છે, પરંતુ મોટાભાગે તમારે સ્વતંત્ર વિશ્લેષણ કરવું પડે છે. અહીં કોઈ અસ્પષ્ટ માર્ગદર્શિકા નથી, અને ઘટનાઓની અવલંબન અથવા સ્વતંત્રતાની હકીકત કુદરતી તાર્કિક તર્કને અનુસરે છે.

દરેક વસ્તુને એક ખૂંટોમાં ન નાખવા માટે, આશ્રિત ઘટનાઓ માટે કાર્યોહું નીચેના પાઠને પ્રકાશિત કરીશ, પરંતુ હમણાં માટે આપણે વ્યવહારમાં પ્રમેયના સૌથી સામાન્ય સમૂહને ધ્યાનમાં લઈશું:

અસંગત સંભાવનાઓ માટે વધારાના પ્રમેય પર સમસ્યાઓ
અને સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો ગુણાકાર

આ ટેન્ડમ, મારા વ્યક્તિલક્ષી મૂલ્યાંકન મુજબ, વિચારણા હેઠળના વિષય પર લગભગ 80% કાર્યોમાં કામ કરે છે. હિટ ઓફ હિટ અને સંભાવના સિદ્ધાંતનો વાસ્તવિક ક્લાસિક:

સમસ્યા 5

બે શૂટરોએ દરેકે લક્ષ્ય પર એક-એક ગોળી ચલાવી હતી. પ્રથમ શૂટર માટે હિટની સંભાવના 0.8 છે, બીજા માટે - 0.6. સંભાવના શોધો કે:

a) માત્ર એક શૂટર લક્ષ્યને હિટ કરશે;
b) ઓછામાં ઓછા એક શૂટર્સ લક્ષ્યને હિટ કરશે.

ઉકેલ: એક શૂટરનો હિટ/મિસ રેટ દેખીતી રીતે બીજા શૂટરના પ્રદર્શનથી સ્વતંત્ર છે.

ચાલો ઘટનાઓને ધ્યાનમાં લઈએ:
- 1 લી શૂટર લક્ષ્યને હિટ કરશે;
- 2જી શૂટર લક્ષ્યને હિટ કરશે.

શરત અનુસાર: .

ચાલો વિરોધી ઘટનાઓની સંભાવનાઓ શોધીએ - કે અનુરૂપ તીરો ચૂકી જશે:

a) ઘટનાને ધ્યાનમાં લો: - માત્ર એક શૂટર લક્ષ્યને હિટ કરશે. આ ઇવેન્ટમાં બે અસંગત પરિણામોનો સમાવેશ થાય છે:

પહેલો શૂટર હિટ કરશે અને 2જી એક ચૂકી જશે
અથવા
1લી એક ચૂકી જશે અને 2જી હિટ કરશે.

જીભ પર ઘટના બીજગણિતઆ હકીકત નીચેના સૂત્ર દ્વારા લખવામાં આવશે:

પ્રથમ, અમે અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરવા માટે પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, પછી સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓને ગુણાકાર કરવા માટે પ્રમેય:

- માત્ર એક જ હિટ થવાની સંભાવના.

b) ઘટનાને ધ્યાનમાં લો: - ઓછામાં ઓછા એક શૂટર લક્ષ્યને હિટ કરે છે.

સૌ પ્રથમ, ચાલો વિચારીએ - "ઓછામાં ઓછા એક" નો અર્થ શું છે? આ કિસ્સામાં, આનો અર્થ એ છે કે કાં તો પહેલો શૂટર હિટ કરશે (બીજો ચૂકી જશે) અથવા 2જી (1લી ચૂકી જશે) અથવાએક સાથે બંને શૂટર્સ - કુલ 3 અસંગત પરિણામો.

પદ્ધતિ એક: અગાઉના બિંદુની તૈયાર સંભાવનાને ધ્યાનમાં લેતા, ઘટનાને નીચેની અસંગત ઘટનાઓના સરવાળા તરીકે રજૂ કરવાનું અનુકૂળ છે:

કોઈ ત્યાં પહોંચશે (2 અસંગત પરિણામોના બદલામાં સમાવિષ્ટ ઇવેન્ટ) અથવા
જો બંને તીર વાગે છે, તો અમે આ ઘટનાને અક્ષરથી સૂચિત કરીએ છીએ.

આમ:

સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ગુણાકારના પ્રમેય અનુસાર:
- 1 લી શૂટર હિટ કરશે તેવી સંભાવના અને 2જી શૂટર હિટ કરશે.

અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉમેરાના પ્રમેય અનુસાર:
- લક્ષ્ય પર ઓછામાં ઓછા એક હિટની સંભાવના.

પદ્ધતિ બે: વિપરીત ઘટનાને ધ્યાનમાં લો: - બંને શૂટર્સ ચૂકી જશે.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ગુણાકારના પ્રમેય અનુસાર:

પરિણામે:

બીજી પદ્ધતિ પર વિશેષ ધ્યાન આપો - સામાન્ય રીતે, તે વધુ તર્કસંગત છે.

આ ઉપરાંત, સંયુક્ત ઘટનાઓના ઉમેરાના પ્રમેયના આધારે તેને હલ કરવાની વૈકલ્પિક, ત્રીજી રીત છે, જેનો ઉપર ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો નથી.

! જો તમે પ્રથમ વખત સામગ્રી સાથે પરિચિત થઈ રહ્યા છો, તો પછી મૂંઝવણ ટાળવા માટે, આગળના ફકરાને અવગણવાનું વધુ સારું છે.

પદ્ધતિ ત્રણ : ઇવેન્ટ્સ સુસંગત છે, જેનો અર્થ છે કે તેમનો સરવાળો ઇવેન્ટને વ્યક્ત કરે છે "ઓછામાં ઓછો એક શૂટર લક્ષ્યને હિટ કરશે" (જુઓ. ઘટનાઓનું બીજગણિત). દ્વારા સંયુક્ત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરવા માટેનો પ્રમેયઅને સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ગુણાકારનું પ્રમેય:

ચાલો તપાસીએ: ઘટનાઓ અને (અનુક્રમે 0, 1 અને 2 હિટ)સંપૂર્ણ જૂથ બનાવો, તેથી તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સમાન હોવો જોઈએ:
, જે તપાસવાની જરૂર હતી.

જવાબ આપો:

સંભાવના સિદ્ધાંતના સંપૂર્ણ અભ્યાસ સાથે, તમે લશ્કરી સામગ્રી સાથે ડઝનેક સમસ્યાઓનો સામનો કરશો, અને, લાક્ષણિક રીતે, આ પછી તમે કોઈને શૂટ કરવા માંગતા નથી - સમસ્યાઓ લગભગ ભેટ છે. શા માટે નમૂનાને પણ સરળ બનાવતા નથી? ચાલો એન્ટ્રી ટૂંકી કરીએ:

ઉકેલ: શરત દ્વારા: , અનુરૂપ શૂટર્સને ફટકારવાની સંભાવના છે. પછી તેમની ચૂકી જવાની સંભાવનાઓ:

a) અસંગતની સંભાવનાઓના ઉમેરા અને સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ગુણાકારના પ્રમેય અનુસાર:
- માત્ર એક શૂટર લક્ષ્યને હિટ કરશે તેવી સંભાવના.

b) સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ગુણાકારના પ્રમેય અનુસાર:
- બંને શૂટર્સ ચૂકી જશે તેવી સંભાવના.

પછી: - શૂટર્સમાંથી ઓછામાં ઓછું એક લક્ષ્યને હિટ કરશે તેવી સંભાવના.

જવાબ આપો:

વ્યવહારમાં, તમે કોઈપણ ડિઝાઇન વિકલ્પનો ઉપયોગ કરી શકો છો. અલબત્ત, ઘણી વાર તેઓ ટૂંકો માર્ગ અપનાવે છે, પરંતુ આપણે 1લી પદ્ધતિને ભૂલવી ન જોઈએ - જો કે તે લાંબી છે, તે વધુ અર્થપૂર્ણ છે - તે સ્પષ્ટ છે, શું, શા માટે અને શા માટેઉમેરે છે અને ગુણાકાર કરે છે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, વર્ણસંકર શૈલી યોગ્ય છે, જ્યારે માત્ર કેટલીક ઘટનાઓ સૂચવવા માટે મોટા અક્ષરોનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ હોય છે.

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે સમાન કાર્યો:

સમસ્યા 6

આગને સંકેત આપવા માટે, બે સ્વતંત્ર રીતે કાર્યરત સેન્સર ઇન્સ્ટોલ કરેલા છે. આગ લાગવાની ઘટનામાં સેન્સર કાર્ય કરશે તેવી સંભાવનાઓ પ્રથમ અને બીજા સેન્સર માટે અનુક્રમે 0.5 અને 0.7 છે. આગ લાગવાની સંભાવના શોધો:

એ) બંને સેન્સર નિષ્ફળ જશે;
b) બંને સેન્સર કામ કરશે.
c) ઉપયોગ કરીને સંપૂર્ણ જૂથ બનાવતી ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરવા માટેનો પ્રમેય, સંભાવના શોધો કે આગમાં માત્ર એક સેન્સર કામ કરશે. આ સંભાવનાની સીધી ગણતરી કરીને પરિણામ તપાસો (ઉમેરો અને ગુણાકાર પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને).

અહીં, ઉપકરણોના સંચાલનની સ્વતંત્રતા સીધી સ્થિતિમાં જણાવવામાં આવી છે, જે, માર્ગ દ્વારા, એક મહત્વપૂર્ણ સ્પષ્ટતા છે. નમૂના ઉકેલ શૈક્ષણિક શૈલીમાં ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યો છે.

શું જો સમાન સમસ્યામાં સમાન સંભાવનાઓ આપવામાં આવે, ઉદાહરણ તરીકે, 0.9 અને 0.9? તમારે બરાબર એ જ નક્કી કરવાની જરૂર છે! (જે, હકીકતમાં, બે સિક્કાઓ સાથે ઉદાહરણમાં પહેલેથી જ દર્શાવવામાં આવ્યું છે)

સમસ્યા 7

પ્રથમ શૂટર દ્વારા એક શોટ વડે લક્ષ્યને હિટ કરવાની સંભાવના 0.8 છે. પ્રથમ અને બીજા શૂટરોએ એક-એક ગોળી માર્યા પછી લક્ષ્યને ફટકો ન પડે તેવી સંભાવના 0.08 છે. બીજા શૂટર એક શોટ વડે લક્ષ્યને અથડાવે તેની સંભાવના કેટલી છે?

અને આ એક નાનકડી કોયડો છે, જે ટૂંકી રીતે તૈયાર કરવામાં આવી છે. સ્થિતિને વધુ સંક્ષિપ્ત રીતે સુધારી શકાય છે, પરંતુ હું મૂળ ફરીથી કરીશ નહીં - વ્યવહારમાં, મારે વધુ સુશોભિત બનાવટમાં શોધવું પડશે.

તેને મળો - તે તે છે જેણે તમારા માટે વિપુલ પ્રમાણમાં વિગતોનું આયોજન કર્યું છે =):

સમસ્યા 8

એક કામદાર ત્રણ મશીન ચલાવે છે. શિફ્ટ દરમિયાન પ્રથમ મશીનને ગોઠવણની જરૂર પડશે તેવી સંભાવના 0.3 છે, બીજી - 0.75, ત્રીજી - 0.4. સંભવિતતા શોધો કે શિફ્ટ દરમિયાન:

a) તમામ મશીનોને ગોઠવણની જરૂર પડશે;
b) માત્ર એક મશીનને ગોઠવણની જરૂર પડશે;
c) ઓછામાં ઓછા એક મશીનને ગોઠવણની જરૂર પડશે.

ઉકેલકારણ કે શરત એક તકનીકી પ્રક્રિયા વિશે કંઈપણ કહેતી નથી, તેથી દરેક મશીનની કામગીરી અન્ય મશીનોની કામગીરીથી સ્વતંત્ર ગણવી જોઈએ.

સમસ્યા નંબર 5 સાથે સામ્યતા દ્વારા, અહીં તમે તે ઘટનાઓને ધ્યાનમાં લઈ શકો છો કે જે અનુરૂપ મશીનોને શિફ્ટ દરમિયાન ગોઠવણોની જરૂર પડશે, સંભાવનાઓ લખી શકો છો, વિપરીત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ શોધી શકો છો, વગેરે. પરંતુ ત્રણ ઑબ્જેક્ટ્સ સાથે, હું ખરેખર હવે આના જેવા કાર્યને ફોર્મેટ કરવા માંગતો નથી - તે લાંબુ અને કંટાળાજનક બનશે. તેથી, અહીં "ઝડપી" શૈલીનો ઉપયોગ કરવો તે નોંધપાત્ર રીતે વધુ નફાકારક છે:

શરત અનુસાર: - સંભવિતતા કે શિફ્ટ દરમિયાન સંબંધિત મશીનોને ટ્યુનિંગની જરૂર પડશે. પછી સંભાવનાઓ છે કે તેઓને ધ્યાન આપવાની જરૂર રહેશે નહીં:

વાચકોમાંના એકને અહીં એક સરસ ટાઈપો મળી, હું તેને સુધારીશ પણ નહીં =)

a) સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ગુણાકારના પ્રમેય અનુસાર:
- શિફ્ટ દરમિયાન ત્રણેય મશીનોને ગોઠવણોની જરૂર પડશે તેવી સંભાવના.

b) ઇવેન્ટ "શિફ્ટ દરમિયાન, ફક્ત એક મશીનને ગોઠવણની જરૂર પડશે" ત્રણ અસંગત પરિણામો ધરાવે છે:

1) પ્રથમ મશીન જરૂર પડશેધ્યાન અને 2જી મશીન જરૂર પડશે નહીં અને 3જી મશીન જરૂર પડશે નહીં
અથવા:
2) પ્રથમ મશીન જરૂર પડશે નહીંધ્યાન અને 2જી મશીન જરૂર પડશે અને 3જી મશીન જરૂર પડશે નહીં
અથવા:
3) પ્રથમ મશીન જરૂર પડશે નહીંધ્યાન અને 2જી મશીન જરૂર પડશે નહીં અને 3જી મશીન જરૂર પડશે.

અસંગતની સંભાવનાઓના ઉમેરા અને સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ગુણાકારના પ્રમેય અનુસાર:

- એવી સંભાવના કે શિફ્ટ દરમિયાન માત્ર એક મશીનને ગોઠવણની જરૂર પડશે.

મને લાગે છે કે અત્યાર સુધીમાં તમારે સમજવું જોઈએ કે અભિવ્યક્તિ ક્યાંથી આવે છે

c) ચાલો સંભવિતતાની ગણતરી કરીએ કે મશીનોને ગોઠવણની જરૂર નથી, અને પછી વિપરીત ઘટનાની સંભાવના:
- કે ઓછામાં ઓછા એક મશીનને ગોઠવણની જરૂર પડશે.

જવાબ આપો:

"ve" બિંદુ સરવાળા દ્વારા પણ ઉકેલી શકાય છે, જ્યાં એવી સંભાવના છે કે શિફ્ટ દરમિયાન ફક્ત બે મશીનોને ગોઠવણની જરૂર પડશે. આ ઘટના, બદલામાં, 3 અસંગત પરિણામોનો સમાવેશ કરે છે, જેનું વર્ણન “be” બિંદુ સાથે સામ્યતા દ્વારા કરવામાં આવે છે. સમાનતાનો ઉપયોગ કરીને સમગ્ર સમસ્યાને તપાસવા માટે સંભવિતતા જાતે શોધવાનો પ્રયાસ કરો.

સમસ્યા 9

લક્ષ્ય પર ત્રણ બંદૂકોમાંથી એક સાલ્વો ફાયર કરવામાં આવ્યો હતો. ફક્ત પ્રથમ બંદૂકમાંથી એક શોટ સાથે હિટની સંભાવના 0.7 છે, બીજીથી - 0.6, ત્રીજીથી - 0.8. સંભાવના શોધો કે: 1) ઓછામાં ઓછું એક અસ્ત્ર લક્ષ્યને હિટ કરશે; 2) ફક્ત બે શેલ લક્ષ્યને હિટ કરશે; 3) લક્ષ્ય ઓછામાં ઓછા બે વાર હિટ કરવામાં આવશે.

ઉકેલ અને જવાબ પાઠના અંતે છે.

અને ફરીથી સંયોગો વિશે: જો, સ્થિતિ અનુસાર, પ્રારંભિક સંભાવનાઓના બે અથવા તો બધા મૂલ્યો એકરૂપ થાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, 0.7, 0.7 અને 0.7), તો બરાબર એ જ સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમનું પાલન કરવું જોઈએ.

લેખ સમાપ્ત કરવા માટે, ચાલો બીજી સામાન્ય કોયડો જોઈએ:

સમસ્યા 10

શૂટર દરેક શોટ સાથે સમાન સંભાવના સાથે લક્ષ્યને હિટ કરે છે. જો ત્રણ શોટ સાથે ઓછામાં ઓછી એક હિટની સંભાવના 0.973 હોય તો આ સંભાવના શું છે.

ઉકેલ: ચાલો દરેક શોટ સાથે લક્ષ્યને હિટ કરવાની સંભાવના - દ્વારા સૂચવીએ.
અને મારફતે - દરેક શોટ સાથે ચૂકી જવાની સંભાવના.

અને ચાલો ઘટનાઓ લખીએ:
- 3 શોટ સાથે શૂટર ઓછામાં ઓછા એક વખત લક્ષ્યને હિટ કરશે;
- શૂટર 3 વખત ચૂકી જશે.

શરત દ્વારા, પછી વિપરીત ઘટનાની સંભાવના:

બીજી બાજુ, સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ગુણાકારના પ્રમેય અનુસાર:

આમ:

- દરેક શોટ સાથે ચૂકી જવાની સંભાવના.

પરિણામે:
- દરેક શોટ સાથે હિટની સંભાવના.

જવાબ આપો: 0,7

સરળ અને ભવ્ય.

ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલી સમસ્યામાં, માત્ર એક હિટની સંભાવના, માત્ર બે હિટ અને લક્ષ્ય પર ત્રણ હિટની સંભાવના વિશે વધારાના પ્રશ્નો પૂછી શકાય છે. ઉકેલ યોજના અગાઉના બે ઉદાહરણોની જેમ જ હશે:

જો કે, મૂળભૂત મૂળ તફાવત એ છે કે અહીં છે પુનરાવર્તિત સ્વતંત્ર પરીક્ષણો, જે ક્રમિક રીતે, એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે અને પરિણામોની સમાન સંભાવના સાથે કરવામાં આવે છે.

મૂળભૂત ખ્યાલો
ઇવેન્ટ્સને અસંગત કહેવામાં આવે છે જો તેમાંથી એકની ઘટના સમાન અજમાયશમાં અન્ય ઘટનાઓની ઘટનાને બાકાત રાખે છે. અન્યથા તેઓ સંયુક્ત કહેવાય છે.
સંપૂર્ણ જૂથ એ ઘટનાઓનો સમૂહ છે, જેનું સંયોજન એક વિશ્વસનીય ઘટના છે.
માત્ર બે સંભવિત ઘટનાઓ કે જે સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે તેને વિરોધી કહેવામાં આવે છે.
ઘટનાઓને નિર્ભર કહેવામાં આવે છે જો તેમાંથી એકની ઘટનાની સંભાવના અન્ય ઘટનાઓની ઘટના અથવા બિન-ઘટના પર આધારિત હોય.
ઘટનાઓને સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે જો તેમાંથી એકની સંભાવના અન્યની ઘટના અથવા બિન-ઘટના પર નિર્ભર ન હોય.
અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરવા માટેનો પ્રમેય
P(A+B)=P(A)+P(B),
જ્યાં A, B અસંગત ઘટનાઓ છે.

સંયુક્ત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરવા માટેનો પ્રમેય
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), જ્યાં A અને B સંયુક્ત ઘટનાઓ છે.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ગુણાકાર માટે પ્રમેય
,
જ્યાં A અને B સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.
આશ્રિત ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ગુણાકાર માટેનો પ્રમેય
P(AB)=P(A)P A (B),
જ્યાં P A (B) એ ઘટના B ની ઘટનાની સંભાવના છે, જો કે ઘટના A આવી હોય; A અને B આશ્રિત ઘટનાઓ છે.

કાર્ય 1.
શૂટર લક્ષ્ય પર બે ગોળી ચલાવે છે. દરેક શોટને ફટકારવાની સંભાવના 0.8 છે. ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ બનાવો અને તેમની સંભાવનાઓ શોધો. ઉકેલ.
ટેસ્ટ - લક્ષ્ય પર બે ગોળી ચલાવવામાં આવે છે.
ઘટના એ- બંને વખત ચૂકી ગયા.
ઘટના IN- એકવાર હિટ.
ઘટના સાથે- બંને વખત હિટ.
.

નિયંત્રણ: પી(એ) +પી(બી) +પી(સી) = 1.
કાર્ય 2.
હવામાનશાસ્ત્રીઓની આગાહી મુજબ, P(વરસાદ)=0.4; P(પવન)=0.7; R(વરસાદ અને પવન)=0.2. વરસાદ કે પવન આવવાની સંભાવના કેટલી છે?
ઉકેલ. સંભાવનાઓના વધારાના પ્રમેય દ્વારા અને સૂચિત ઘટનાઓની સુસંગતતાને લીધે, અમારી પાસે છે:
P(વરસાદ અથવા પવન અથવા બંને)=P(વરસાદ) +P(પવન) -P(વરસાદ અને પવન)=0.4+0.7-0.2=0.9.
કાર્ય 3. ઉકેલ.પ્રસ્થાન સ્ટેશન પર માલ મોકલવા માટે 8 ઓર્ડર છે: પાંચ સ્થાનિક શિપમેન્ટ માટે અને ત્રણ નિકાસ માટે. અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરાયેલા બે ઓર્ડર સ્થાનિક વપરાશ માટે હશે તેવી સંભાવના કેટલી છે? એઘટના IN- રેન્ડમ લેવામાં આવેલો પ્રથમ ઓર્ડર દેશની અંદર છે. ઘટના

- બીજો પણ ઘરેલું વપરાશ માટે બનાવાયેલ છે. આપણે સંભવિતતા શોધવાની જરૂર છે પછી, આશ્રિત ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ગુણાકાર પર પ્રમેય દ્વારા, આપણી પાસે છે
કાર્ય 4.
ઉત્પાદનોના બેચમાંથી, વેપારી રેન્ડમલી ઉચ્ચતમ ગ્રેડ ઉત્પાદનો પસંદ કરે છે. પસંદ કરેલ આઇટમ ઉચ્ચતમ ગુણવત્તાની હશે તેવી સંભાવના 0.8 છે; પ્રથમ ગ્રેડ - 0.7; બીજો ગ્રેડ - 0.5. સંભવિતતા શોધો કે રેન્ડમલી પસંદ કરેલ ત્રણ ઉત્પાદનોમાંથી ત્યાં હશે:
a) માત્ર બે પ્રીમિયમ ગ્રેડ; ઉકેલ. b) દરેક વ્યક્તિ અલગ છે.
સમસ્યાની શરતો અનુસાર; ; ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે.
એ) ઘટના એ- ત્યારે માત્ર બે ઉચ્ચ-ગ્રેડ ઉત્પાદનો આના જેવા દેખાશે

b) ઘટના IN- ત્રણેય ઉત્પાદનો અલગ છે - ચાલો તેને આ રીતે મૂકીએ: , પછી .
કાર્ય 5.
ત્રણ બંદૂકોમાંથી ગોળીબાર કરતી વખતે લક્ષ્યને હિટ કરવાની સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે: p1= 0,8; p2=0,7; p3=0.9. ઓછામાં ઓછી એક હિટની સંભાવના શોધો (ઇવેન્ટ એ) બધી બંદૂકોમાંથી એક સાલ્વો સાથે. ઉકેલ.દરેક બંદૂકના લક્ષ્યને અથડાવાની સંભાવના અન્ય બંદૂકોના ગોળીબારના પરિણામો પર આધારિત નથી, તેથી વિચારણા હેઠળની ઘટનાઓ (પ્રથમ બંદૂક દ્વારા ફટકારવામાં આવી છે), (બીજી બંદૂક દ્વારા ફટકારવામાં આવી છે) અને (ત્રીજી બંદૂક દ્વારા હિટ) સ્વતંત્ર છે. એકંદરે.
ઘટનાઓની વિરુદ્ધ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ (એટલે ​​​​કે, ચૂકી જવાની સંભાવના) અનુક્રમે સમાન છે:

જરૂરી સંભાવના
કાર્ય 6.
પ્રિન્ટિંગ હાઉસમાં 4 પ્રિન્ટિંગ મશીન છે. દરેક મશીન માટે, તે હાલમાં ચાલી રહ્યું છે તેની સંભાવના 0.9 છે. સંભાવના શોધો કે ઓછામાં ઓછું એક મશીન હાલમાં કાર્યરત છે (ઇવેન્ટ એ). ઉકેલ."મશીન કામ કરી રહ્યું છે" અને "મશીન કામ કરી રહ્યું નથી" (આ ક્ષણે) ઘટનાઓ વિરુદ્ધ છે, તેથી તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સમાન છે:
આથી મશીન હાલમાં કામ કરતું નથી તેવી સંભાવના સમાન છે
જરૂરી સંભાવના.

ઉકેલ.સમસ્યા 7. રીડિંગ રૂમમાં સંભાવના સિદ્ધાંત પર 6 પાઠયપુસ્તકો છે, જેમાંથી ત્રણ બંધાયેલા છે. ગ્રંથપાલે બે પાઠ્યપુસ્તકો રેન્ડમ લીધા. સંભાવના શોધો કે બંને પાઠ્યપુસ્તકો બંધાયેલા હશે.
નીચેની ઘટનાઓ ધ્યાનમાં લો:
A1 - પ્રથમ બંધાયેલ પાઠ્યપુસ્તક લેવામાં આવે છે;
A2 એ લેવાયેલ બીજું બંધાયેલ પાઠ્યપુસ્તક છે.
એક ઘટના જેમાં હકીકત એ છે કે બંને લીધેલા પાઠ્યપુસ્તકો બંધાયેલા છે. ઘટના A1 અને A2 નિર્ભર છે, કારણ કે ઘટના A2 ની સંભાવના ઘટના A1 ની ઘટના પર આધારિત છે. આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, અમે આશ્રિત ઘટનાઓની સંભાવનાઓને ગુણાકાર કરવા માટે પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: .
સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા અનુસાર ઘટના A1 p(A1) ની ઘટનાની સંભાવના:
P(A1)=m/n=3/6=0.5.
ઘટના A2 ની ઘટનાની સંભાવના ઘટના A1 ની ઘટનાને આધીન ઘટના A2 ની ઘટનાની શરતી સંભાવના દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, એટલે કે. (A2)==0.4.
પછી ઘટના બનવાની ઇચ્છિત સંભાવના:

P(A)=0.5*0.4=0.2. એઘટનાઓ દો INઅને

- અસંગત, અને આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ જાણીતી છે. પ્રશ્ન: આમાંની એક અસંગત ઘટના બનવાની સંભાવના કેવી રીતે શોધવી? આ પ્રશ્નનો જવાબ ઉમેરણ પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે.પ્રમેય.

બે અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક બનવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:(એ + IN) = બે અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક બનવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:(એ) + બે અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક બનવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:(IN) (1.6)

પી પુરાવો. ખરેખર, દો- બધા સમાન રીતે શક્ય અને અસંગત (એટલે ​​​​કે પ્રાથમિક) પરિણામોની કુલ સંખ્યા. ઘટના દો એતરફેણ m 1 પરિણામો અને ઘટના IN – m 2 પરિણામો. પછી, શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા અનુસાર, આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ સમાન છે: બે અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક બનવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:(એ) = m 1 / પુરાવો. ખરેખર, દો, બે અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક બનવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:(બી) = m 2 / પુરાવો. ખરેખર, દો .

ઘટનાઓ થી એઘટનાઓ દો INઅસંગત, તો પછી કોઈ પણ પરિણામ ઘટના માટે અનુકૂળ નથી એ, ઘટના માટે અનુકૂળ નથી IN(નીચે આકૃતિ જુઓ).

તેથી ઘટના એ+INઅનુકૂળ રહેશે m 1 + m 2 પરિણામો. તેથી, સંભાવના માટે બે અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક બનવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:(A + B) અમને મળે છે:

કોરોલરી 1. સંપૂર્ણ જૂથ બનાવતી ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સમાન છે:

બે અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક બનવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:(એ) + બે અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક બનવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:(IN) + બે અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક બનવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:(સાથે) + … + બે અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક બનવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:(ડી) = 1.

ખરેખર, ઘટનાઓ દો એ,IN,સાથે, … , ડીસંપૂર્ણ જૂથ બનાવો. આ કારણે, તેઓ અસંગત છે અને એકમાત્ર શક્ય છે. તેથી ઘટના A + B + C + …+ડી, આ ઘટનાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના (પરીક્ષણના પરિણામે) માં સમાવિષ્ટ, વિશ્વસનીય છે, એટલે કે. A+B+C+…+ડી = ઘટનાઓ દો બે અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક બનવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:(A+B+C+ …+ડી) = 1.

ઘટનાઓની અસંગતતાને કારણે એ,IN,સાથે, … , ડીસૂત્ર સાચું છે:

બે અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક બનવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:(A+B+C+ …+ડી) = બે અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક બનવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:(એ) + બે અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક બનવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:(IN) + બે અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક બનવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:(સાથે) + … + બે અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક બનવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:(ડી) = 1.

ઉદાહરણ.એક ભઠ્ઠીમાં 30 દડા હોય છે, જેમાંથી 10 લાલ, 5 વાદળી અને 15 સફેદ હોય છે. લાલ અથવા વાદળી બોલ દોરવાની સંભાવના શોધો, જો કે ભઠ્ઠીમાંથી માત્ર એક જ બોલ દોરવામાં આવે.

ઉકેલ. ઘટના દો એ 1 – લાલ બોલ દોરો અને ઘટના એ 2 - વાદળી બોલનું નિષ્કર્ષણ. આ ઘટનાઓ અસંગત છે, અને બે અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક બનવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:(એ 1) = 10 / 30 = 1 / 3; બે અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક બનવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:(એ 2) = 5/30 = 1/6. વધારાના પ્રમેય દ્વારા આપણને મળે છે:

બે અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક બનવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:(એ 1 + એ 2) = બે અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક બનવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:(એ 1) + બે અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક બનવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:(એ 2) = 1 / 3 + 1 / 6 = 1 / 2.

નોંધ 1.અમે ભારપૂર્વક જણાવીએ છીએ કે, સમસ્યાના અર્થ અનુસાર, તે જરૂરી છે, સૌ પ્રથમ, વિચારણા હેઠળની ઘટનાઓની પ્રકૃતિ સ્થાપિત કરવી - શું તે અસંગત છે. જો ઉપરોક્ત પ્રમેય સંયુક્ત ઘટનાઓ પર લાગુ કરવામાં આવે છે, તો પરિણામ ખોટું હશે.

ઘટનાની સંભાવના A એ પરીક્ષણ પરિણામોની સંખ્યા m નો ગુણોત્તર છે જે ઘટના A ની ઘટનાની તરફેણ કરે છે અને તમામ સમાન અસંગત પરિણામોની કુલ સંખ્યા n છે: P(A)=m/n.

ઘટનાની શરતી સંભાવના A (અથવા ઘટના A ની સંભાવના, જો તે ઘટના B બને તો), એ સંખ્યા P B (A) = P (AB) / P (B) છે, જ્યાં A અને B એ એક જ કસોટીની બે રેન્ડમ ઘટનાઓ છે.

ઘટનાઓની મર્યાદિત સંખ્યાનો સરવાળો તેમાંના ઓછામાં ઓછા એકની ઘટનાનો સમાવેશ કરતી ઘટના કહેવામાં આવે છે. બે ઘટનાઓનો સરવાળો A+B દર્શાવેલ છે.

સંભાવનાઓ ઉમેરવાના નિયમો :

• સંયુક્ત ઘટનાઓ A અને B:
  P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB), જ્યાં P(A) એ ઘટના A ની સંભાવના છે, P(B) એ ઘટના B, P(A+B) ની સંભાવના છે ) એ બે ઘટનાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ઘટનાની સંભાવના છે, P(AB) એ બે ઘટનાઓની સંયુક્ત ઘટનાની સંભાવના છે.
• સંભાવનાઓ ઉમેરવાનો નિયમ અસંગત ઘટનાઓ A અને B:
  P(A+B) = P(A)+P(B), જ્યાં P(A) એ ઘટના A ની સંભાવના છે, P(B) ઘટના B ની સંભાવના છે.

મર્યાદિત સંખ્યામાં ઘટનાઓનું ઉત્પાદન તે ઘટના કહેવાય છે કે તેમાંથી દરેક બનશે. બે ઘટનાઓનું ઉત્પાદન AB સૂચવવામાં આવે છે.

સંભાવના ગુણાકાર નિયમો :

• આશ્રિત ઘટનાઓ A અને B:
  Р(АВ)= Р(А)*Р А (В)= Р(В)*Р В (А), જ્યાં Р А (В) એ ઘટના B ની ઘટનાની શરતી સંભાવના છે, જો ઘટના A પહેલેથી જ આવી હોય , Р В (А ) એ ઘટના A ની ઘટનાની શરતી સંભાવના છે જો ઘટના B પહેલેથી જ આવી હોય;
• સંભાવના ગુણાકાર નિયમ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ A અને B:
  P(AB) = P(A)*P(B), જ્યાં P(A) એ ઘટના A ની સંભાવના છે, P(B) ઘટના B ની સંભાવના છે.

"ઇવેન્ટ્સ પરના ઓપરેશન્સ" વિષય પર સમસ્યાઓ હલ કરવાના ઉદાહરણો. સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકાર માટેના નિયમો"

સમસ્યા 1 . બોક્સમાં 250 લાઇટ બલ્બ છે, જેમાંથી 100 90W, 50 60W, 50 25W અને 50 15W છે. કોઈપણ અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલ લાઇટ બલ્બની શક્તિ 60W કરતાં વધુ નહીં હોય તેવી સંભાવના નક્કી કરો.

ઉકેલ.

A = (લાઇટ બલ્બ પાવર 90 W છે), સંભાવના P(A) = 100/250 = 0.4;
B = (બલ્બ પાવર 60W છે);
C = (બલ્બ પાવર 25W છે);
D = (બલ્બ પાવર 15W છે).

2. ઘટનાઓ A, B, C, D ફોર્મ સંપૂર્ણ સિસ્ટમ , કારણ કે તે બધા અસંગત છે અને તેમાંથી એક ચોક્કસપણે આ પ્રયોગમાં આવશે (લાઇટ બલ્બ પસંદ કરીને). તેમાંથી એક બનવાની સંભાવના ચોક્કસ ઘટના છે, પછી P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1.

3. ઘટનાઓ (લાઇટ બલ્બ પાવર 60W કરતાં વધુ નહીં) (એટલે ​​​​કે 60W કરતાં ઓછી અથવા તેની બરાબર), અને (લાઇટ બલ્બ પાવર 60W કરતાં વધુ) (આ કિસ્સામાં – 90W) વિરુદ્ધ છે. વિરોધી સંખ્યાઓના ગુણધર્મ અનુસાર, P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A).

4. ધ્યાનમાં લેતા કે P(B)+P(C)+P(D)=P(B+C+D), અમે P(B+C+D)= 1-P(A)=1-0 મેળવીએ છીએ, 4=0.6.

સમસ્યા 2 . પ્રથમ શૂટર દ્વારા એક શોટ વડે લક્ષ્યને ફટકારવાની સંભાવના 0.7 છે, અને બીજા શૂટર દ્વારા - 0.9. તેની સંભાવના શોધો
a) લક્ષ્ય માત્ર એક શૂટર દ્વારા હિટ કરવામાં આવશે;
b) લક્ષ્ય ઓછામાં ઓછા એક શૂટર દ્વારા હિટ કરવામાં આવશે.

ઉકેલ.
1. નીચેની ઘટનાઓને ધ્યાનમાં લો:
A1 = (પ્રથમ શૂટર લક્ષ્યને ફટકારે છે), P(A1) = 0.7 સમસ્યાની સ્થિતિમાંથી;
Ā1 = (પ્રથમ શૂટર ચૂકી ગયો), જ્યારે P(A1)+P(Ā1) = 1, કારણ કે A1 અને Ā1 વિરોધી ઘટનાઓ છે.
તેથી P(Ā1)=1-0.7=0.3;
A2 = (બીજો શૂટર લક્ષ્યને હિટ કરે છે), P(A2) = 0.9 સમસ્યાની સ્થિતિમાંથી;

Ā2 = (બીજો શૂટર ચૂકી ગયો), જ્યારે P(Ā2) = 1-0.9 = 0.1.
2. ઘટના A=(લક્ષ્ય માત્ર એક શૂટર દ્વારા અથડાયું છે) નો અર્થ એ છે કે બે અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક આવી છે: ક્યાં તો A1A2 અથવા A1A2.

P(A)= P(A1A2)+P(A1A2) સંભાવના ઉમેરવાના નિયમ અનુસાર.
Р(А1А̄2)= Р(А1)*Р(А̄2)= 0.7*0.1=0.07;
P(A1A2)= P(A1)*P(A2)=0.3*0.9=0.27.

3. ઘટના B=(ઓછામાં ઓછા એક શૂટર દ્વારા ટાર્ગેટ હિટ) નો અર્થ એ છે કે કાં તો પ્રથમ શૂટર દ્વારા લક્ષ્યને હિટ કરવામાં આવ્યું હતું, અથવા લક્ષ્ય બીજા શૂટર દ્વારા અથડાયું હતું, અથવા લક્ષ્ય બંને શૂટર દ્વારા હિટ થયું હતું.

ઘટના B̄=(લક્ષ્ય કોઈ શૂટર દ્વારા અથડાતું નથી) ઘટના B ની વિરુદ્ધ છે, જેનો અર્થ થાય છે P(B)=1-P(B̄).
ઘટના B̄ એટલે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ Ā1 અને Ā2 ની એક સાથે ઘટના, તેથી P(B̄)=P(Ā1Ā2)= P(Ā1)*P(Ā2)=0.3*0.1=0.3.
પછી P(B)= 1-P(B̄)=1-0.3=0.7.

સમસ્યા 3 . પરીક્ષા ટિકિટમાં ત્રણ પ્રશ્નો હોય છે. વિદ્યાર્થી પ્રથમ પ્રશ્નનો જવાબ આપશે તેવી સંભાવના 0.7 છે; બીજા પર - 0.9; ત્રીજા પર - 0.6. સંભાવના શોધો કે વિદ્યાર્થી, ટિકિટ પસંદ કર્યા પછી, જવાબ આપશે:
એ) બધા પ્રશ્નો માટે;
ડી) ઓછામાં ઓછા બે પ્રશ્નો.

ઉકેલ. 1. નીચેની ઘટનાઓને ધ્યાનમાં લો:
A1 = (વિદ્યાર્થીએ પ્રથમ પ્રશ્નનો જવાબ આપ્યો), P(A1) = 0.7 સમસ્યા પરિસ્થિતિમાંથી;
Ā1 = (વિદ્યાર્થીએ પ્રથમ પ્રશ્નનો જવાબ આપ્યો ન હતો), જ્યારે P(A1)+P(Ā1) = 1, કારણ કે A1 અને Ā1 વિરોધી ઘટનાઓ છે. તેથી P(Ā1)=1-0.7=0.3;
A2 = (વિદ્યાર્થીએ બીજા પ્રશ્નનો જવાબ આપ્યો), P(A2) = 0.9 સમસ્યા પરિસ્થિતિમાંથી;
Ā2 = (વિદ્યાર્થીએ બીજા પ્રશ્નનો જવાબ આપ્યો ન હતો), જ્યારે P(Ā2) = 1-0.9 = 0.1;
A3 = (વિદ્યાર્થીએ ત્રીજા પ્રશ્નનો જવાબ આપ્યો), P(A3) = 0.6 સમસ્યા પરિસ્થિતિમાંથી;
Ā3 = (વિદ્યાર્થીએ ત્રીજા પ્રશ્નનો જવાબ આપ્યો ન હતો), જ્યારે P(Ā3) = 1-0.6 = 0.4.

2. ઘટના A = (વિદ્યાર્થીએ તમામ પ્રશ્નોના જવાબ આપ્યા) એટલે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ A1, A2 અને A3 ની એક સાથે ઘટના, એટલે કે. P(A)= P(A1A2A3).
પછી P(A)= P(A1A2A3)=0.378.

3. ઘટના D = (વિદ્યાર્થીએ ઓછામાં ઓછા બે પ્રશ્નોના જવાબ આપ્યા) નો અર્થ છે કે કોઈપણ બે પ્રશ્નો અથવા ત્રણેયના જવાબ આપવામાં આવ્યા હતા, એટલે કે. ચાર અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક આવી: ક્યાં તો A1A2Ā3, અથવા A1Ā2A3, અથવા Ā1A2A3, અથવા A1A2A3.
અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરવા માટેના નિયમ અનુસાર: P(D)= P(A1A2Ā3)+ P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3).

સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓને ગુણાકાર કરવાના નિયમ અનુસાર:
P(A1A2Ā3)= P(A1)*P(A2)*P(Ā3)= 0.7*0.9*0.4=0.252;
P(A1Ā2A3)= P(A1)*P(Ā2)*P(A3)= 0.7*0.1*0.6=0.042;
P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0.3*0.9*0.6=0.162;
P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0.7*0.9*0.6=0.378.
પછી P(D)= 0.252+0.042+0.162+0.378= 0.834.

સંભાવના સિદ્ધાંતનો અભ્યાસ સંભવિતતાઓના સરવાળા અને ગુણાકાર સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓ ઉકેલવા સાથે શરૂ થાય છે. તે તરત જ ઉલ્લેખનીય છે કે જ્ઞાનના આ ક્ષેત્રમાં નિપુણતા પ્રાપ્ત કરતી વખતે વિદ્યાર્થીને સમસ્યા આવી શકે છે: જો ભૌતિક અથવા રાસાયણિક પ્રક્રિયાઓને દૃષ્ટિની રીતે રજૂ કરી શકાય છે અને અનુભવપૂર્વક સમજી શકાય છે, તો ગાણિતિક અમૂર્તતાનું સ્તર ખૂબ ઊંચું છે, અને અહીં સમજણ ફક્ત આવે છે. અનુભવ સાથે.

જો કે, આ રમત મીણબત્તીની કિંમતની છે, કારણ કે સૂત્રો - આ લેખમાં જેની ચર્ચા કરવામાં આવી છે અને વધુ જટિલ - બંને - આજે દરેક જગ્યાએ ઉપયોગમાં લેવાય છે અને કાર્યમાં સારી રીતે ઉપયોગી થઈ શકે છે.

મૂળ

વિચિત્ર રીતે, ગણિતની આ શાખાના વિકાસની પ્રેરણા હતી... જુગાર. ખરેખર, ડાઇસ, કોઇન ટોસ, પોકર, રૂલેટ એ લાક્ષણિક ઉદાહરણો છે જે સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકારનો ઉપયોગ કરે છે. કોઈપણ પાઠ્યપુસ્તકમાં સમસ્યાઓના ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને આ સ્પષ્ટપણે જોઈ શકાય છે. લોકોને તેમની જીતવાની તકો કેવી રીતે વધારવી તે શીખવામાં રસ હતો, અને એવું કહેવું જ જોઇએ કે કેટલાક આમાં સફળ થયા.

ઉદાહરણ તરીકે, પહેલેથી જ 21મી સદીમાં, એક વ્યક્તિ, જેનું નામ આપણે જાહેર કરીશું નહીં, સદીઓથી સંચિત આ જ્ઞાનનો ઉપયોગ કેસિનોને શાબ્દિક રીતે "સાફ" કરવા માટે કર્યો, રુલેટમાં કરોડો ડોલર જીત્યા.

જો કે, આ વિષયમાં રસ વધ્યો હોવા છતાં, માત્ર 20મી સદી સુધીમાં એક સૈદ્ધાંતિક માળખું વિકસાવવામાં આવ્યું હતું જેણે "પ્રમેય"ને સંપૂર્ણ બનાવ્યું હતું, આજે લગભગ કોઈપણ વિજ્ઞાનમાં સંભવિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ શોધી શકાય છે.

પ્રયોજ્યતા

સંભાવનાઓ અને શરતી સંભાવના ઉમેરવા અને ગુણાકાર કરવા માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતી વખતે મહત્વનો મુદ્દો એ કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયની સંતોષકારકતા છે. નહિંતર, જો કે વિદ્યાર્થીને તેનો ખ્યાલ ન હોય, બધી ગણતરીઓ, ભલે તે ગમે તેટલી બુદ્ધિગમ્ય લાગે, ખોટી હશે.

હા, એક ખૂબ જ પ્રેરિત વિદ્યાર્થી દરેક તક પર નવા જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરવા લલચાય છે. પરંતુ આ કિસ્સામાં તે થોડું ધીમું કરવું અને લાગુ પાડવાના અવકાશને સખત રીતે રૂપરેખા આપવો જરૂરી છે.

સંભાવના સિદ્ધાંત રેન્ડમ ઘટનાઓ સાથે વ્યવહાર કરે છે, જે પ્રયોગમૂલક દ્રષ્ટિએ પ્રયોગોના પરિણામોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે: આપણે છ-બાજુવાળા ડાઇને રોલ કરી શકીએ છીએ, ડેકમાંથી કાર્ડ દોરી શકીએ છીએ, બેચમાં ખામીયુક્ત ભાગોની સંખ્યાની આગાહી કરી શકીએ છીએ. જો કે, કેટલાક પ્રશ્નોમાં ગણિતના આ વિભાગમાંથી સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાની સખત મનાઈ છે. અમે લેખના અંતે ઘટનાની સંભાવનાઓ, ઘટનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકારના પ્રમેયને ધ્યાનમાં લેવાના લક્ષણોની ચર્ચા કરીશું, પરંતુ હમણાં માટે ચાલો ઉદાહરણો તરફ વળીએ.

મૂળભૂત ખ્યાલો

અવ્યવસ્થિત ઘટના એ અમુક પ્રક્રિયા અથવા પરિણામનો ઉલ્લેખ કરે છે જે પ્રયોગના પરિણામે દેખાઈ શકે છે અથવા ન પણ હોઈ શકે. ઉદાહરણ તરીકે, અમે સેન્ડવીચને ટૉસ કરીએ છીએ - તે માખણની બાજુ ઉપર અથવા માખણની બાજુ નીચે ઉતરી શકે છે. બેમાંથી કોઈ એક પરિણામ રેન્ડમ હશે અને તેમાંથી કયું પરિણામ આવશે તે આપણે અગાઉથી જાણતા નથી.

સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકારનો અભ્યાસ કરતી વખતે, આપણને વધુ બે ખ્યાલોની જરૂર પડશે.

આવી ઘટનાઓને સંયુક્ત કહેવામાં આવે છે, જેમાંથી એકની ઘટના બીજાની ઘટનાને બાકાત રાખતી નથી. જણાવી દઈએ કે એક જ સમયે બે લોકો નિશાન પર ગોળીબાર કરે છે. જો તેમાંથી એક સફળ ઉત્પાદન કરે છે, તો તે કોઈ પણ રીતે બીજાની બુલ્સ આઈ અથવા ચૂકી જવાની ક્ષમતાને અસર કરશે નહીં.

અસંગત ઘટનાઓ તે ઘટનાઓ હશે જેની ઘટના એક જ સમયે અશક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે બોક્સમાંથી માત્ર એક જ બોલ કાઢો છો, તો તમે એક સાથે વાદળી અને લાલ બંને મેળવી શકતા નથી.

હોદ્દો

સંભાવનાનો ખ્યાલ લેટિન કેપિટલ અક્ષર P દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આગળ કૌંસમાં અમુક ઘટનાઓને દર્શાવતી દલીલો છે.

વધારાના પ્રમેય, શરતી સંભાવના અને ગુણાકાર પ્રમેયના સૂત્રોમાં, તમે કૌંસમાં સમીકરણો જોશો, ઉદાહરણ તરીકે: A+B, AB અથવા A|B. તેમની ગણતરી વિવિધ રીતે કરવામાં આવશે, અને હવે અમે તેમની તરફ વળીશું.

ઉમેરણ

ચાલો એવા કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ કે જેમાં સંભાવનાઓને ઉમેરવા અને ગુણાકાર કરવા માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

અસંગત ઘટનાઓ માટે, સૌથી સરળ ઉમેરણ સૂત્ર સુસંગત છે: કોઈપણ રેન્ડમ પરિણામની સંભાવના આ દરેક પરિણામોની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી હશે.

ધારો કે 2 વાદળી, 3 લાલ અને 5 પીળા આરસ સાથે એક બોક્સ છે. બોક્સમાં કુલ 10 વસ્તુઓ છે. આપણે વાદળી કે લાલ બોલ દોરીશું એ વિધાનનું સત્ય શું છે? તે 2/10 + 3/10 બરાબર હશે, એટલે કે પચાસ ટકા.

અસંગત ઘટનાઓના કિસ્સામાં, સૂત્ર વધુ જટિલ બની જાય છે, કારણ કે વધારાના શબ્દ ઉમેરવામાં આવે છે. ચાલો બીજા સૂત્રને ધ્યાનમાં લીધા પછી, એક ફકરામાં તેના પર પાછા ફરીએ.

ગુણાકાર

સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકારનો ઉપયોગ વિવિધ કેસોમાં થાય છે. જો, પ્રયોગની શરતો અનુસાર, અમે બે સંભવિત પરિણામોમાંથી કોઈપણથી સંતુષ્ટ છીએ, તો અમે સરવાળાની ગણતરી કરીશું; જો આપણે એક પછી એક બે ચોક્કસ પરિણામો મેળવવા માંગીએ છીએ, તો અમે એક અલગ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીશું.

પાછલા વિભાગના ઉદાહરણ પર પાછા ફરીને, આપણે પહેલા વાદળી બોલ અને પછી લાલ બોલ દોરવા માંગીએ છીએ. આપણે પ્રથમ નંબર જાણીએ છીએ - તે 2/10 છે. આગળ શું થશે? ત્યાં 9 બોલ બાકી છે, અને હજી પણ સમાન સંખ્યામાં લાલ છે - ત્રણ. ગણતરી મુજબ, તે 3/9 અથવા 1/3 હશે. પણ હવે બે નંબરનું શું કરવું? સાચો જવાબ 2/30 મેળવવા માટે ગુણાકાર કરવાનો છે.

સંયુક્ત ઘટનાઓ

હવે આપણે ફરીથી સંયુક્ત ઘટનાઓ માટેના સરવાળા સૂત્ર તરફ વળી શકીએ છીએ. શા માટે આપણે વિષયથી વિચલિત થયા? સંભાવનાઓ કેવી રીતે ગુણાકાર થાય છે તે શોધવા માટે. હવે આપણને આ જ્ઞાનની જરૂર પડશે.

આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે પ્રથમ બે શબ્દો શું હશે (અગાઉ ચર્ચા કરેલ ઉમેરણ સૂત્રની જેમ જ), પરંતુ હવે આપણે સંભાવનાઓના ઉત્પાદનને બાદ કરવાની જરૂર છે, જે આપણે હમણાં જ ગણતરી કરવાનું શીખ્યા. સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો સૂત્ર લખીએ: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). તે તારણ આપે છે કે સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકાર બંનેનો ઉપયોગ એક અભિવ્યક્તિમાં થાય છે.

ચાલો કહીએ કે ક્રેડિટ મેળવવા માટે આપણે બેમાંથી કોઈપણ સમસ્યાનો ઉકેલ લાવવો પડશે. આપણે પ્રથમ 0.3 ની સંભાવના સાથે અને બીજાને 0.6 ની સંભાવના સાથે હલ કરી શકીએ છીએ. ઉકેલ: 0.3 + 0.6 - 0.18 = 0.72. નોંધ કરો કે અહીં ફક્ત સંખ્યાઓ ઉમેરવાનું પૂરતું નથી.

શરતી સંભાવના

છેલ્લે, શરતી સંભાવનાની વિભાવના છે, જેની દલીલો કૌંસમાં દર્શાવેલ છે અને ઊભી પટ્ટી દ્વારા અલગ કરવામાં આવી છે. એન્ટ્રી P(A|B) નીચે પ્રમાણે વાંચે છે: "ઇવેન્ટ A આપેલ ઇવેન્ટ B ની સંભાવના."

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ: એક મિત્ર તમને કોઈ ઉપકરણ આપે છે, તે એક ટેલિફોન છે. તે તૂટી (20%) અથવા અખંડ (80%) હોઈ શકે છે. તમે 0.4 ની સંભાવના સાથે તમારા હાથમાં આવતા કોઈપણ ઉપકરણને સુધારવા માટે સક્ષમ છો, અથવા તમે આમ કરવામાં અસમર્થ છો (0.6). અંતે, જો ઉપકરણ કાર્યકારી ક્રમમાં છે, તો તમે 0.7 ની સંભાવના સાથે યોગ્ય વ્યક્તિ સુધી પહોંચી શકો છો.

આ કિસ્સામાં શરતી સંભાવના કેવી રીતે ચાલે છે તે જોવાનું સરળ છે: જો ફોન તૂટી ગયો હોય તો તમે કોઈ વ્યક્તિ સુધી પહોંચી શકશો નહીં, પરંતુ જો તે કામ કરી રહ્યું છે, તો તમારે તેને ઠીક કરવાની જરૂર નથી. આમ, "બીજા સ્તર" પર કોઈપણ પરિણામો મેળવવા માટે, તમારે તે શોધવાની જરૂર છે કે કઈ ઇવેન્ટ પહેલા એક્ઝિક્યુટ કરવામાં આવી હતી.

ગણતરીઓ

ચાલો પાછલા ફકરામાંથી ડેટાનો ઉપયોગ કરીને સંભાવનાઓના સરવાળો અને ગુણાકાર સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓ ઉકેલવાના ઉદાહરણો જોઈએ.

પ્રથમ, ચાલો સંભવિતતા શોધીએ કે તમે તમને આપેલા ઉપકરણને રિપેર કરશો. આ કરવા માટે, પ્રથમ, તે ખામીયુક્ત હોવું જોઈએ, અને બીજું, તમારે તેને ઠીક કરવામાં સમર્થ હોવા જોઈએ. ગુણાકારનો ઉપયોગ કરીને આ એક લાક્ષણિક સમસ્યા છે: આપણને 0.2 * 0.4 = 0.08 મળે છે.

તમે તરત જ યોગ્ય વ્યક્તિ સુધી પહોંચશો એવી સંભાવના કેટલી છે? તે એટલું જ સરળ છે: 0.8*0.7 = 0.56. આ કિસ્સામાં, તમે જોયું કે ફોન કામ કરી રહ્યો છે અને સફળતાપૂર્વક કૉલ કર્યો.

છેલ્લે, આ દૃશ્યને ધ્યાનમાં લો: તમને તૂટેલા ફોન મળે છે, તેને ઠીક કરો, પછી નંબર ડાયલ કરો અને બીજી બાજુની વ્યક્તિ ઉપાડે છે. અહીં આપણે પહેલાથી જ ત્રણ ઘટકોનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે: 0.2*0.4*0.7 = 0.056.

જો તમારી પાસે એક સાથે બે કામ ન કરતા ફોન હોય તો શું કરવું? તમે તેમાંના ઓછામાં ઓછા એકને ઠીક કરી શકો છો? સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકાર પર, કારણ કે સંયુક્ત ઘટનાઓનો ઉપયોગ થાય છે. ઉકેલ: 0.4 + 0.4 - 0.4*0.4 = 0.8 - 0.16 = 0.64. આમ, જો તમને બે તૂટેલા ઉપકરણો મળે, તો તમે તેને 64% કેસોમાં ઠીક કરી શકશો.

સાવચેત ઉપયોગ

લેખની શરૂઆતમાં જણાવ્યા મુજબ, સંભાવના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ ઇરાદાપૂર્વક અને સભાન હોવો જોઈએ.

પ્રયોગોની શ્રેણી જેટલી મોટી હોય છે, સૈદ્ધાંતિક રીતે અનુમાનિત મૂલ્ય વ્યવહારમાં મેળવેલા મૂલ્યની નજીક આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અમે સિક્કો ફેંકીએ છીએ. સૈદ્ધાંતિક રીતે, સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકાર માટેના સૂત્રોના અસ્તિત્વને જાણીને, જો આપણે 10 વખત પ્રયોગ કરીશું તો કેટલી વખત "હેડ" અને "પૂંછડીઓ" દેખાશે તેની આગાહી કરી શકીએ છીએ. અમે એક પ્રયોગ કર્યો, અને સંયોગથી દોરેલી બાજુઓનો ગુણોત્તર 3 થી 7 હતો. પરંતુ જો આપણે 100, 1000 અથવા વધુ પ્રયત્નોની શ્રેણી ચલાવીએ, તો તે તારણ આપે છે કે વિતરણ ગ્રાફ સૈદ્ધાંતિક એકની નજીક અને નજીક આવી રહ્યો છે: 44 થી 56, 482 થી 518, અને તેથી વધુ.

હવે કલ્પના કરો કે આ પ્રયોગ સિક્કા વડે નહીં, પરંતુ કેટલાક નવા રાસાયણિક પદાર્થના ઉત્પાદન સાથે કરવામાં આવે છે, જેની સંભાવના આપણે જાણતા નથી. અમે 10 પ્રયોગો કરીશું અને, સફળ પરિણામ પ્રાપ્ત કર્યા વિના, અમે સામાન્યીકરણ કરી શકીએ: "પદાર્થ મેળવવો અશક્ય છે." પણ કોણ જાણે, જો આપણે અગિયારમો પ્રયાસ કર્યો હોત, તો આપણે લક્ષ્ય પ્રાપ્ત કર્યું હોત કે નહીં?

તેથી જો તમે અજ્ઞાત, અન્વેષિત વિસ્તારમાં જઈ રહ્યા છો, તો સંભાવના સિદ્ધાંત લાગુ ન થઈ શકે. આ કિસ્સામાં દરેક અનુગામી પ્રયાસ સફળ થઈ શકે છે અને "X અસ્તિત્વમાં નથી" અથવા "X અશક્ય છે" જેવા સામાન્યીકરણો અકાળ હશે.

અંતિમ શબ્દ

તેથી, અમે બે પ્રકારના સરવાળા, ગુણાકાર અને શરતી સંભાવનાઓ જોયા. આ વિસ્તારના વધુ અભ્યાસ સાથે, દરેક ચોક્કસ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવામાં આવે ત્યારે પરિસ્થિતિઓને અલગ પાડવાનું શીખવું જરૂરી છે. વધુમાં, તમારે કલ્પના કરવાની જરૂર છે કે શું સંભવિત પદ્ધતિઓ તમારી સમસ્યાને ઉકેલવા માટે સામાન્ય રીતે લાગુ પડે છે.

જો તમે પ્રેક્ટિસ કરો છો, તો થોડા સમય પછી તમે ફક્ત તમારા મગજમાં જ તમામ જરૂરી ઓપરેશનો કરવા લાગશો. જેઓ પત્તાની રમતોમાં રસ ધરાવતા હોય તેમના માટે, આ કૌશલ્ય અત્યંત મૂલ્યવાન ગણી શકાય - તમે ફક્ત કોઈ ચોક્કસ કાર્ડ અથવા સૂટ બહાર પડવાની સંભાવનાની ગણતરી કરીને જીતવાની તમારી તકોમાં નોંધપાત્ર વધારો કરશો. જો કે, તમે પ્રવૃત્તિના અન્ય ક્ષેત્રોમાં હસ્તગત જ્ઞાનનો ઉપયોગ સરળતાથી શોધી શકો છો.