પેરાબોલાનું સૌથી સરળ સમીકરણ. ચતુર્ભુજ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને પેરાબોલા કેવી રીતે બનાવવું

ચાલો એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ રજૂ કરીએ, જ્યાં. ધરીને ફોકસમાંથી પસાર થવા દો એફ પેરાબોલા અને ડાયરેક્ટ્રિક્સ પર લંબરૂપ છે, અને અક્ષ ફોકસ અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ વચ્ચે મધ્યમાં પસાર થાય છે. ચાલો ફોકસ અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ વચ્ચેના અંતર દ્વારા દર્શાવીએ. પછી ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણ.

સંખ્યાને પેરાબોલાના ફોકલ પેરામીટર કહેવામાં આવે છે. ચાલો પેરાબોલાના વર્તમાન બિંદુ હોઈએ. હાઇપરબોલાના બિંદુની કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા હોવા દો બિંદુથી ડાયરેક્ટ્રિક્સ સુધીનું અંતર. પછી( રેખાંકન 27.)

રેખાંકન 27.

પેરાબોલાની વ્યાખ્યા દ્વારા. આથી,

ચાલો સમીકરણનો વર્ગ કરીએ અને મેળવીએ:

(15)

જ્યાં (15) એ પેરાબોલાનું પ્રામાણિક સમીકરણ છે જે ધરી વિશે સપ્રમાણ છે અને મૂળમાંથી પસાર થાય છે.

પેરાબોલાના ગુણધર્મોની તપાસ

1) પેરાબોલાના શિરોબિંદુ:

સમીકરણ (15) સંખ્યાઓ દ્વારા સંતુષ્ટ છે અને તેથી, પેરાબોલા મૂળમાંથી પસાર થાય છે.

2) પેરાબોલાની સમપ્રમાણતા:

ચાલો પેરાબોલાને અનુસરીએ, એટલે કે સાચી સમાનતા. બિંદુ એ અક્ષની સાપેક્ષ બિંદુ સાથે સપ્રમાણ છે, તેથી, પેરાબોલા એબ્સિસા અક્ષની તુલનામાં સપ્રમાણ છે.

પેરાબોલા વિલક્ષણતા:

વ્યાખ્યા 4.2.પેરાબોલાની વિલક્ષણતા એ એક સમાન સંખ્યા છે.

પેરાબોલાની વ્યાખ્યા દ્વારા.

4) પેરાબોલાની સ્પર્શક:

સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુ પર પરાવલાને સ્પર્શક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે

ક્યાં ( રેખાંકન 28.)

રેખાંકન 28.

પેરાબોલાની છબી

રેખાંકન 29.

ESO-Mathcad નો ઉપયોગ કરવો:

રેખાંકન 30.)

રેખાંકન 30.

a) ICT નો ઉપયોગ કર્યા વિના બાંધકામ: પેરાબોલા બનાવવા માટે, અમે બિંદુ O અને એક એકમ સેગમેન્ટ પર કેન્દ્ર સાથે લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલી સેટ કરીએ છીએ. અમે OX અક્ષ પર ફોકસને ચિહ્નિત કરીએ છીએ, કારણ કે આપણે એવું દોરીએ છીએ, અને પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ. આપણે સીધી રેખાથી પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ સુધીના અંતરની સમાન ત્રિજ્યા સાથે એક બિંદુ પર વર્તુળ બનાવીએ છીએ. વર્તુળ રેખાને બિંદુઓ પર છેદે છે. અમે પેરાબોલા બનાવીએ છીએ જેથી તે મૂળમાંથી અને બિંદુઓમાંથી પસાર થાય.( રેખાંકન 31.)

રેખાંકન 31.

b)ESO-Mathcad નો ઉપયોગ કરવો:

પરિણામી સમીકરણ આના જેવું દેખાય છે: . Mathcad પ્રોગ્રામમાં સેકન્ડ-ઓર્ડર લાઇન બનાવવા માટે, અમે ફોર્મમાં સમીકરણ ઘટાડીએ છીએ: .( રેખાંકન 32.)

રેખાંકન 32.

પ્રાથમિક ગણિતમાં બીજા ક્રમની રેખાઓના સિદ્ધાંત પરના કાર્યનો સારાંશ આપવા અને સમસ્યાઓ ઉકેલતી વખતે રેખાઓ વિશેની માહિતીનો ઉપયોગ કરવાની સગવડતા માટે, અમે કોષ્ટક નંબર 1 માં બીજા ક્રમની રેખાઓ પરના તમામ ડેટાનો સમાવેશ કરીશું.

કોષ્ટક નં. 1.

પ્રાથમિક ગણિતમાં બીજી ક્રમ રેખાઓ

બીજા ક્રમની રેખાઓના અભ્યાસમાં ICT નો ઉપયોગ કરવાની શક્યતાઓ

માહિતીકરણની પ્રક્રિયા, જે આજે આધુનિક સમાજના જીવનના તમામ પાસાઓને આવરી લે છે, તેમાં ઘણા અગ્રતા ક્ષેત્રો છે, જેમાં, અલબત્ત, શિક્ષણનું માહિતીકરણ શામેલ હોવું જોઈએ. માહિતી અને સંચાર તકનીકો (ICT) ના ઉપયોગ દ્વારા માનવ બૌદ્ધિક પ્રવૃત્તિના વૈશ્વિક તર્કસંગતકરણ માટે તે મૂળભૂત આધાર છે.

છેલ્લી સદીના 90 ના દાયકાના મધ્યભાગથી આજ સુધી રશિયામાં વ્યક્તિગત કમ્પ્યુટર્સના વ્યાપક ઉપયોગ અને ઉપલબ્ધતા દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, દૂરસંચારનો વ્યાપક ઉપયોગ, જે શૈક્ષણિક પ્રક્રિયામાં વિકસિત શૈક્ષણિક માહિતી તકનીકોનો પરિચય, તેને સુધારવા અને આધુનિકીકરણ, સુધારણા અને સુધારણાને મંજૂરી આપે છે. જ્ઞાનની ગુણવત્તા, શીખવાની પ્રેરણા વધારવી, શિક્ષણના વ્યક્તિગતકરણના સિદ્ધાંતનો મહત્તમ ઉપયોગ કરવો. શિક્ષણના માહિતીકરણના આ તબક્કે શિક્ષણ માટેની માહિતી તકનીકો આવશ્યક સાધન છે.

માહિતી પ્રૌદ્યોગિકીઓ માત્ર માહિતીની ઍક્સેસને સરળ બનાવે છે અને શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓમાં પરિવર્તનશીલતા, તેમના વ્યક્તિગતકરણ અને ભિન્નતા માટેની તકો ખોલે છે, પરંતુ તે શિક્ષણના તમામ વિષયોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને નવી રીતે પુનઃસંગઠિત કરવાનું પણ શક્ય બનાવે છે, એક શૈક્ષણિક પ્રણાલીનું નિર્માણ કરે છે જેમાં વિદ્યાર્થી શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓમાં સક્રિય અને સમાન સહભાગી બનશે.

વિષયના પાઠોના માળખામાં નવી માહિતી તકનીકોની રચના, પાઠની અસરકારકતાને ગુણાત્મક રીતે વધારવાના હેતુથી નવા સૉફ્ટવેર અને પદ્ધતિસરના સંકુલ બનાવવાની જરૂરિયાતને ઉત્તેજિત કરે છે. તેથી, શૈક્ષણિક પ્રક્રિયામાં માહિતી પ્રૌદ્યોગિક સાધનોના સફળ અને હેતુપૂર્ણ ઉપયોગ માટે, શિક્ષકોએ ઓપરેશનના સિદ્ધાંતો અને સોફ્ટવેર એપ્લીકેશનની ઉપદેશાત્મક ક્ષમતાઓનું સામાન્ય વર્ણન જાણવું જોઈએ, અને પછી, તેમના અનુભવ અને ભલામણોના આધારે, તેમને "બિલ્ડ" કરવું જોઈએ. શૈક્ષણિક પ્રક્રિયામાં.

ગણિતનો અભ્યાસ હાલમાં આપણા દેશમાં શાળા શિક્ષણના વિકાસમાં સંખ્યાબંધ લક્ષણો અને મુશ્કેલીઓ સાથે સંકળાયેલો છે.

ગણિતના શિક્ષણમાં કહેવાતી કટોકટી ઊભી થઈ છે. આના કારણો નીચે મુજબ છે.

સમાજમાં અને વિજ્ઞાનમાં બદલાતી પ્રાથમિકતાઓમાં, એટલે કે, માનવતાની પ્રાથમિકતા હાલમાં વધી રહી છે;

શાળામાં ગણિતના પાઠોની સંખ્યા ઘટાડવામાં;

જીવનમાંથી ગાણિતિક શિક્ષણની સામગ્રીનું અલગતા;

વિદ્યાર્થીઓની લાગણીઓ અને લાગણીઓ પર ઓછી અસર પડે છે.

આજે પ્રશ્ન ખુલ્લો રહે છે: "શાળાના બાળકોને ભણાવતી વખતે, ગણિત શીખવતી વખતે આધુનિક માહિતી અને સંચાર તકનીકોની સંભવિત ક્ષમતાઓનો સૌથી અસરકારક રીતે ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો?"

"ક્વાડ્રેટિક ફંક્શન" જેવા વિષયના અભ્યાસમાં કમ્પ્યુટર એક ઉત્તમ સહાયક છે, કારણ કે વિશિષ્ટ પ્રોગ્રામ્સનો ઉપયોગ કરીને તમે વિવિધ કાર્યોના ગ્રાફ બનાવી શકો છો, કાર્યનું અન્વેષણ કરી શકો છો, આંતરછેદ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ સરળતાથી નક્કી કરી શકો છો, બંધ આકૃતિઓના ક્ષેત્રોની ગણતરી કરી શકો છો, વગેરે. ઉદાહરણ તરીકે, ગ્રાફ ટ્રાન્સફોર્મેશન (સ્ટ્રેચિંગ, કોમ્પ્રેસિંગ, મૂવિંગ કોઓર્ડિનેટ એક્સેસ) માટે સમર્પિત 9મા ધોરણના બીજગણિત પાઠમાં તમે માત્ર બાંધકામનું સ્થિર પરિણામ જોઈ શકો છો, જ્યારે શિક્ષક અને વિદ્યાર્થીની ક્રમિક ક્રિયાઓની સમગ્ર ગતિશીલતા જોઈ શકાય છે. મોનિટર સ્ક્રીન પર.

કમ્પ્યુટર, અન્ય કોઈ તકનીકી સાધનની જેમ, ચોક્કસ, દૃષ્ટિની અને ઉત્તેજક રીતે વિદ્યાર્થીને આદર્શ ગાણિતિક મોડેલો જાહેર કરે છે, એટલે કે. બાળકે તેની વ્યવહારિક ક્રિયાઓમાં શું પ્રયત્ન કરવો જોઈએ.

વિદ્યાર્થીઓને સમજાવવા માટે ગણિતના શિક્ષકને કેટલી મુશ્કેલીઓમાંથી પસાર થવું પડે છે કે સ્પર્શક બિંદુ પર ચતુર્ભુજ ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક કાર્યના ગ્રાફ સાથે વ્યવહારીક રીતે ભળી જાય છે. કમ્પ્યુટર પર આ હકીકત દર્શાવવી ખૂબ જ સરળ છે - ઓક્સ અક્ષ સાથેના અંતરાલને સાંકડી કરવા અને સ્પર્શ બિંદુના ખૂબ જ નાના પડોશમાં, કાર્યનો ગ્રાફ અને સ્પર્શરેખા એકરૂપ થાય છે તે શોધવા માટે તે પૂરતું છે. આ બધી ક્રિયાઓ વિદ્યાર્થીઓની સામે થાય છે. આ ઉદાહરણ પાઠમાં સક્રિય પ્રતિબિંબ માટે પ્રોત્સાહન પૂરું પાડે છે. કોમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ વર્ગમાં નવી સામગ્રીની સમજૂતી દરમિયાન અને નિયંત્રણના તબક્કે બંને શક્ય છે. આ પ્રોગ્રામ્સની મદદથી, ઉદાહરણ તરીકે "મારી કસોટી", વિદ્યાર્થી સ્વતંત્ર રીતે તેના જ્ઞાનના સ્તરને સિદ્ધાંતમાં ચકાસી શકે છે અને સૈદ્ધાંતિક અને વ્યવહારુ કાર્યોને પૂર્ણ કરી શકે છે. પ્રોગ્રામ્સ તેમની વૈવિધ્યતાને કારણે અનુકૂળ છે. તેનો ઉપયોગ સ્વ-નિયંત્રણ અને શિક્ષક નિયંત્રણ બંને માટે થઈ શકે છે.

ગણિત અને કોમ્પ્યુટર ટેક્નોલોજીનું વાજબી સંકલન આપણને સમસ્યાને ઉકેલવાની પ્રક્રિયા અને ગાણિતિક કાયદાઓને સમજવાની પ્રક્રિયાને વધુ સમૃદ્ધ અને ઊંડાણપૂર્વક જોવાની મંજૂરી આપશે. વધુમાં, કોમ્પ્યુટર વિદ્યાર્થીઓની ગ્રાફિક, ગાણિતિક અને માનસિક સંસ્કૃતિ બનાવવામાં મદદ કરશે અને કોમ્પ્યુટરની મદદથી તમે ડિડેક્ટિક સામગ્રી તૈયાર કરી શકો છો: કાર્ડ્સ, સર્વે શીટ્સ, ટેસ્ટ વગેરે. તે જ સમયે, બાળકોને આપો. સ્વતંત્ર રીતે વિષય પર પરીક્ષણો વિકસાવવાની તક, જે દરમિયાન રસ અને સર્જનાત્મક અભિગમ.

આમ, ગણિતના પાઠોમાં બને તેટલા વ્યાપકપણે કમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. માહિતી ટેકનોલોજીનો ઉપયોગ જ્ઞાનની ગુણવત્તામાં સુધારો કરવામાં મદદ કરશે, ચતુર્ભુજ કાર્યના અભ્યાસની ક્ષિતિજને વિસ્તૃત કરશે અને તેથી વિષય અને વિષયમાં વિદ્યાર્થીઓની રુચિ જાળવવા માટે નવી સંભાવનાઓ શોધવામાં મદદ કરશે અને તેથી વધુ સારા, વધુ સચેત વલણ માટે. તે આજે, આધુનિક માહિતી તકનીકો સમગ્ર શાળાના આધુનિકીકરણ માટે - મેનેજમેન્ટથી શિક્ષણ સુધી અને શિક્ષણની સુલભતા સુનિશ્ચિત કરવા માટે સૌથી મહત્વપૂર્ણ સાધન બની રહી છે.

પેરાબોલા એ સમતલમાં બિંદુઓનું સ્થાન છે જે આપેલ બિંદુ F થી સમાન અંતરે છે અને આપેલ સીધી રેખા d જે આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતી નથી. આ ભૌમિતિક વ્યાખ્યા વ્યક્ત કરે છે પેરાબોલાની નિર્દેશક મિલકત.

પેરાબોલાની નિર્દેશક મિલકત

બિંદુ F ને પેરાબોલાનું ફોકસ કહેવામાં આવે છે, રેખા d એ પેરાબોલાનું ડાયરેક્ટ્રીક્સ છે, ફોકસથી ડાયરેક્ટ્રીક્સ તરફ નીચે આવેલ લંબનો મધ્યબિંદુ O એ પેરાબોલાના શિરોબિંદુ છે, ફોકસથી ડાયરેક્ટ્રીક્સ સુધીનું અંતર p. પેરાબોલાના પરિમાણ છે, અને પેરાબોલાના શિરોબિંદુથી તેના ફોકસ સુધીનું અંતર \frac(p)(2) એ કેન્દ્રીય લંબાઈ છે (ફિગ. 3.45a). ડાયરેક્ટ્રિક્સ પર લંબરૂપ અને ફોકસમાંથી પસાર થતી રેખાને પેરાબોલાની અક્ષ (પેરાબોલાની કેન્દ્રીય ધરી) કહેવામાં આવે છે. પેરાબોલાના મનસ્વી બિંદુ M ને તેના ફોકસ સાથે જોડતો FM સેગમેન્ટ M બિંદુની કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા કહેવાય છે. પેરાબોલાના બે બિંદુઓને જોડતા સેગમેન્ટને પેરાબોલાના તાર કહેવામાં આવે છે.

પેરાબોલાના મનસ્વી બિંદુ માટે, ફોકસના અંતર અને ડાયરેક્ટ્રીક્સના અંતરનો ગુણોત્તર એક સમાન છે. , અને પેરાબોલાસના નિર્દેશક ગુણધર્મોની તુલના કરીને, અમે તે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ પેરાબોલા તરંગીતાવ્યાખ્યા પ્રમાણે એક સમાન (e=1).

પેરાબોલાની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા, તેની નિર્દેશક મિલકતને વ્યક્ત કરતી, તેની વિશ્લેષણાત્મક વ્યાખ્યાની સમકક્ષ છે - પેરાબોલાના પ્રામાણિક સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખા:

ખરેખર, ચાલો એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ રજૂ કરીએ (ફિગ. 3.45, b). અમે પેરાબોલાના શિરોબિંદુ O ને સંકલન પ્રણાલીના મૂળ તરીકે લઈએ છીએ; અમે ડાયરેક્ટ્રિક્સ પર લંબરૂપ ફોકસમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાને એબ્સીસા અક્ષ તરીકે લઈએ છીએ (તેના પરની હકારાત્મક દિશા બિંદુ O થી બિંદુ F સુધી છે); ચાલો આપણે એબ્સીસા અક્ષની લંબરૂપ સીધી રેખા લઈએ અને પેરાબોલાના શિરોબિંદુમાંથી ઓર્ડિનેટ અક્ષ તરીકે પસાર થઈએ (ઓર્ડિનેટ અક્ષ પરની દિશા પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ ઑક્સી યોગ્ય હોય).

ચાલો તેની ભૌમિતિક વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને પેરાબોલા માટે એક સમીકરણ બનાવીએ, જે પેરાબોલાના નિર્દેશક ગુણધર્મને વ્યક્ત કરે છે. પસંદ કરેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, અમે ફોકસના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ છીએ F\!\left(\frac(p)(2);\,0\જમણે)અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણ x=-\frac(p)(2) . પેરાબોલાના મનસ્વી બિંદુ M(x,y) માટે, અમારી પાસે છે:

FM=MM_d,

જ્યાં M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\જમણે)- ડાયરેક્ટ્રીક્સ પર M(x,y) બિંદુનું ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ. અમે આ સમીકરણ સંકલન સ્વરૂપમાં લખીએ છીએ:

\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\જમણે)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}

અમે સમીકરણની બંને બાજુઓને ચોરસ કરીએ છીએ: (\ડાબે(x-\frac(p)(2)\જમણે)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. સમાન શરતો લાવીને, અમને મળે છે પ્રામાણિક પેરાબોલા સમીકરણ

y^2=2\cdot p\cdot x,તે પસંદ કરેલ સંકલન પ્રણાલી કેનોનિકલ છે.

રિવર્સ ક્રમમાં તર્કને હાથ ધરવાથી, અમે બતાવી શકીએ છીએ કે તમામ બિંદુઓ કે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે (3.51), અને માત્ર તે જ, પેરાબોલા તરીકે ઓળખાતા બિંદુઓના સ્થાન સાથે સંબંધિત છે. આમ, પેરાબોલાની વિશ્લેષણાત્મક વ્યાખ્યા તેની ભૌમિતિક વ્યાખ્યાની સમકક્ષ છે, જે પેરાબોલાના નિર્દેશક ગુણધર્મને વ્યક્ત કરે છે.

ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીમાં પેરાબોલા સમીકરણ

ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલી Fr\varphi (ફિગ. 3.45, c) માં પેરાબોલાના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),જ્યાં p એ પેરાબોલાનું પરિમાણ છે, અને e=1 તેની તરંગીતા છે.

વાસ્તવમાં, ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીના ધ્રુવ તરીકે આપણે પેરાબોલાના ફોકસ F પસંદ કરીએ છીએ, અને ધ્રુવીય અક્ષ તરીકે - બિંદુ F પર શરૂઆત સાથેનો કિરણ, જે ડાયરેક્ટ્રીક્સને લંબરૂપ છે અને તેને છેદતી નથી (ફિગ. 3.45, c) . પછી પેરાબોલાની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા (દિશાકીય ગુણધર્મ) અનુસાર, પેરાબોલાના મનસ્વી બિંદુ M(r,\varphi) માટે, આપણી પાસે MM_d=r છે. કારણ કે MM_d=p+r\cos\varphi, અમે સંકલન સ્વરૂપમાં પેરાબોલા સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),

Q.E.D. નોંધ કરો કે ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં અંડાકારના સમીકરણો, હાયપરબોલા અને પેરાબોલા એકરૂપ થાય છે, પરંતુ વિવિધ રેખાઓનું વર્ણન કરો, કારણ કે તેઓ વિષમતામાં ભિન્ન છે (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>માટે 1).

પેરાબોલાના સમીકરણમાં પરિમાણનો ભૌમિતિક અર્થ

ચાલો સમજાવીએ પરિમાણનો ભૌમિતિક અર્થપ્રામાણિક પેરાબોલાના સમીકરણમાં p. x=\frac(p)(2) ને સમીકરણ (3.51) માં બદલીને, આપણે y^2=p^2 મેળવીએ છીએ, એટલે કે. y=\pm p. તેથી, પેરામીટર p એ પેરાબોલાના તારની અડધી લંબાઈ છે જે તેના ફોકસમાંથી પેરાબોલાની ધરી પર લંબરૂપ છે.

પેરાબોલાના ફોકલ પેરામીટર, તેમજ લંબગોળ અને અતિપરવલય માટે, તેના ફોકલ અક્ષને લંબરૂપ તારમાંથી પસાર થતી તારની અડધી લંબાઈ કહેવાય છે (જુઓ. ફિગ. 3.45, c). પર ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટમાં પેરાબોલાના સમીકરણમાંથી \varphi=\frac(\pi)(2)આપણને r=p મળે છે, એટલે કે. પેરાબોલાના પરિમાણ તેના કેન્દ્રીય પરિમાણ સાથે એકરુપ છે.

નોંધો 3.11.

1. પેરાબોલાના પરિમાણ p તેના આકારને દર્શાવે છે. જેટલો મોટો p, પેરાબોલાની શાખાઓ જેટલી વિશાળ, p શૂન્યની નજીક છે, તેટલી જ પેરાબોલાની શાખાઓ સાંકડી (ફિગ. 3.46).

2. સમીકરણ y^2=-2px (p>0 માટે) પેરાબોલાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જે ઓર્ડિનેટ અક્ષની ડાબી બાજુએ સ્થિત છે (ફિગ. 3.47,a). આ સમીકરણ x-અક્ષ (3.37) ની દિશા બદલીને પ્રમાણભૂત સમીકરણમાં ઘટાડો થાય છે. ફિગ માં. 3.47,a આપેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ Oxy અને પ્રમાણભૂત Ox"y" બતાવે છે.

3. સમીકરણ (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0શિરોબિંદુ O"(x_0,y_0) સાથે પેરાબોલાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેનો અક્ષ એબ્સીસા અક્ષ (ફિગ. 3.47,6) ની સમાંતર છે. સમાંતર અનુવાદ (3.36) નો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરણને પ્રમાણભૂત સમીકરણમાં ઘટાડવામાં આવે છે.

સમીકરણ (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, શિરોબિંદુ O"(x_0,y_0) સાથે પેરાબોલાને પણ વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેનો અક્ષ ઓર્ડિનેટ અક્ષ (ફિગ. 3.47, c) ની સમાંતર છે. આ સમીકરણને સમાંતર અનુવાદ (3.36) નો ઉપયોગ કરીને પ્રમાણભૂત સમીકરણમાં ઘટાડવામાં આવે છે અને તેનું નામ બદલીને કોઓર્ડિનેટ અક્ષ (3.38). આકૃતિ 3.47, b, c આપેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સ ઓક્સી અને કેનોનિકલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સ Ox"y" દર્શાવે છે.

4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0બિંદુ પર શિરોબિંદુ સાથેનો પેરાબોલા છે O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\જમણે), જેની ધરી ઓર્ડિનેટ અક્ષની સમાંતર છે, પેરાબોલાની શાખાઓ ઉપરની તરફ (a>0 માટે) અથવા નીચે તરફ (a<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\જમણે)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\જમણે)\!,

જે પ્રામાણિક સ્વરૂપ (y")^2=2px" , જ્યાં ઘટાડવામાં આવે છે p=\left|\frac(1)(2a)\right|, રિપ્લેસમેન્ટનો ઉપયોગ કરીને y"=x+\frac(b)(2a)અને x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\જમણે).

ચિહ્ન એ અગ્રણી ગુણાંક a ના ચિહ્ન સાથે સુસંગત થવા માટે પસંદ કરવામાં આવે છે. આ રિપ્લેસમેન્ટ રચનાને અનુલક્ષે છે: સાથે સમાંતર ટ્રાન્સફર (3.36). x_0=-\frac(b)(2a)અને y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), કોઓર્ડિનેટ અક્ષનું નામ બદલીને (3.38), અને a ના કિસ્સામાં<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 અને એ<0 соответственно.

5. કેનોનિકલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમનો x-અક્ષ છે પેરાબોલાની સપ્રમાણતાની અક્ષ, કારણ કે ચલ y ને -y સાથે બદલવાથી સમીકરણ બદલાતું નથી (3.51). બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બિંદુ M(x,y) ના કોઓર્ડિનેટ્સ, જે પેરાબોલા સાથે જોડાયેલા છે, અને બિંદુ M"(x,-y) ના કોઓર્ડિનેટ્સ, x-અક્ષની સાપેક્ષ M બિંદુના સપ્રમાણતા, સમીકરણને સંતોષે છે (3.S1) કેનોનિકલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની અક્ષો કહેવાય છે પેરાબોલાના મુખ્ય અક્ષો.

ઉદાહરણ 3.22.

કેનોનિકલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ Oxy માં પેરાબોલા y^2=2x દોરો. ફોકલ પેરામીટર, ફોકલ કોઓર્ડિનેટ્સ અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણ શોધો.ઉકેલ. અમે એબ્સિસા અક્ષ (ફિગ. 3.49) સાથે સંબંધિત તેની સમપ્રમાણતાને ધ્યાનમાં લઈને, પેરાબોલા બનાવીએ છીએ. જો જરૂરી હોય તો, પેરાબોલાના કેટલાક બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો. ઉદાહરણ તરીકે, x=2 ને પેરાબોલાના સમીકરણમાં બદલવાથી, આપણને મળે છે y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2

. પરિણામે, કોઓર્ડિનેટ્સ (2;2),\,(2;-2) સાથેના બિંદુઓ પેરાબોલાના છે. આપેલ સમીકરણને પ્રમાણભૂત એક (3.S1) સાથે સરખાવીને, અમે ફોકલ પેરામીટર નક્કી કરીએ છીએ: p=1. ફોકસ કોઓર્ડિનેટ્સ x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0 , એટલે કે F\!\left(\frac(1)(2),\,0\જમણે)

. અમે ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણ x=-\frac(p)(2) કંપોઝ કરીએ છીએ, એટલે કે. x=-\frac(1)(2) .

એલિપ્સ, હાયપરબોલા, પેરાબોલાના સામાન્ય ગુણધર્મો 1. ડાયરેક્ટરીયલ પ્રોપર્ટીનો ઉપયોગ એલિપ્સ, હાઇપરબોલા, પેરાબોલાની એક જ વ્યાખ્યા તરીકે કરી શકાય છે (જુઓ આકૃતિ 3.50):

પ્લેનમાં પોઈન્ટનું ભૌમિતિક લોકસ, જેમાંના દરેક માટે આપેલ બિંદુ F (ફોકસ) અને આપેલ સીધી રેખા d (ડાયરેક્ટ્રીક્સ) સુધીના અંતરનો ગુણોત્તર આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતો નથી તે સ્થિર અને વિષમતા સમાન છે e, કહેવાય છે:<1 ;

a) જો 0\leqslant e

b) જો e>1;

c) પેરાબોલા જો e=1. 2. ગોળાકાર શંકુના ભાગોમાં એક લંબગોળ, અતિપરવલય અને પેરાબોલા સમતલ તરીકે મેળવવામાં આવે છે અને તેથી તેને કહેવામાં આવે છે.કોનિક વિભાગો

. આ ગુણધર્મ એલિપ્સ, હાઇપરબોલા અને પેરાબોલાની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા તરીકે પણ કામ કરી શકે છે. 3. એલિપ્સ, હાઇપરબોલા અને પેરાબોલાના સામાન્ય ગુણધર્મોનો સમાવેશ થાય છેદ્વિવિભાગીય મિલકત તેમના સ્પર્શક હેઠળસ્પર્શક અમુક બિંદુએ રેખાને K એ સેકન્ટ KM ની મર્યાદિત સ્થિતિ તરીકે સમજવામાં આવે છે જ્યારે બિંદુ M, વિચારણા હેઠળની રેખા પર રહેલો, બિંદુ K તરફ વળે છે. એક રેખાના સ્પર્શકને લંબરૂપ અને સ્પર્શક બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા કહેવામાં આવે છેસામાન્ય

આ લાઇન પર. અંડાકાર, અતિપરવલય અને પેરાબોલાના સ્પર્શકો (અને સામાન્ય) ની દ્વિભાજીય મિલકત નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવી છે:સ્પર્શક (સામાન્ય) લંબગોળ અથવા અતિપરવલય સ્પર્શ બિંદુના કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે (ફિગ. 3.51, એ, બી);(ફિગ. 3.51, સી). બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બિંદુ K પર લંબગોળ તરફનો સ્પર્શક એ ત્રિકોણ F_1KF_2 ના બાહ્ય કોણનો દ્વિભાજક છે (અને સામાન્ય ત્રિકોણના આંતરિક કોણ F_1KF_2 નો દ્વિભાજક છે); અતિપરવલાની સ્પર્શક એ ત્રિકોણ F_1KF_2 ના આંતરિક કોણનો દ્વિભાજક છે (અને સામાન્ય એ બાહ્ય કોણનો દ્વિભાજક છે); પેરાબોલાની સ્પર્શક એ ત્રિકોણ FKK_d ના આંતરિક કોણનો દ્વિભાજક છે (અને સામાન્ય એ બાહ્ય કોણનો દ્વિભાજક છે). પેરાબોલાના સ્પર્શકની દ્વિભાષીય ગુણધર્મ એલિપ્સ અને હાઇપરબોલાની જેમ જ ઘડી શકાય છે, જો આપણે ધારીએ કે પેરાબોલાને અનંતના બિંદુ પર બીજું ફોકસ છે.

4. દ્વિવિભાગીય ગુણધર્મોમાંથી તે અનુસરે છે એલિપ્સ, હાઇપરબોલા અને પેરાબોલાના ઓપ્ટિકલ ગુણધર્મો, "ફોકસ" શબ્દનો ભૌતિક અર્થ સમજાવીને. ચાલો આપણે કેન્દ્રીય ધરીની ફરતે અંડાકાર, હાયપરબોલા અથવા પેરાબોલાને ફેરવીને રચાયેલી સપાટીઓની કલ્પના કરીએ. જો આ સપાટીઓ પર પ્રતિબિંબીત કોટિંગ લાગુ કરવામાં આવે તો, લંબગોળ, હાયપરબોલિક અને પેરાબોલિક મિરર્સ પ્રાપ્ત થાય છે. ઓપ્ટિક્સના નિયમ મુજબ, અરીસા પર પ્રકાશ કિરણની ઘટનાનો કોણ પ્રતિબિંબના કોણ સમાન છે, એટલે કે. ઘટના અને પ્રતિબિંબિત કિરણો સપાટીના સામાન્ય સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે, અને બંને કિરણો અને પરિભ્રમણની અક્ષ સમાન સમતલમાં છે. અહીંથી અમને નીચેના ગુણધર્મો મળે છે:

– જો પ્રકાશનો સ્ત્રોત લંબગોળ અરીસાના એક કેન્દ્રમાં સ્થિત હોય, તો પછી અરીસામાંથી પ્રતિબિંબિત થતા પ્રકાશના કિરણો બીજા ફોકસ પર એકત્રિત થાય છે (ફિગ. 3.52, a);

– જો પ્રકાશનો સ્ત્રોત હાઇપરબોલિક મિરરના ફોકસમાંના એકમાં સ્થિત હોય, તો અરીસામાંથી પ્રતિબિંબિત થતા પ્રકાશના કિરણો બીજા ફોકસમાંથી આવતા હોય તેમ અલગ પડે છે (ફિગ. 3.52, b);

– જો પ્રકાશનો સ્ત્રોત પેરાબોલિક મિરરના ફોકસ પર હોય, તો અરીસામાંથી પ્રતિબિંબિત થતા પ્રકાશ કિરણો ફોકલ અક્ષની સમાંતર જાય છે (ફિગ. 3.52, c).

5. ડાયમેટ્રિક પ્રોપર્ટીએલિપ્સ, હાયપરબોલા અને પેરાબોલા નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે:

– અંડાકાર (હાયપરબોલા) ના સમાંતર તારોના મધ્યબિંદુઓ એલિપ્સ (હાયપરબોલા) ના મધ્યમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા પર આવેલા છે.;

– પેરાબોલાના સમાંતર તારોના મધ્યબિંદુઓ પેરાબોલાની સપ્રમાણતાની સીધી, સમરેખા અક્ષ પર સ્થિત છે.

લંબગોળ (હાયપરબોલા, પેરાબોલા) ના તમામ સમાંતર તારોના મધ્યબિંદુઓના ભૌમિતિક સ્થાનને કહેવામાં આવે છે. અંડાકારનો વ્યાસ (હાયપરબોલા, પેરાબોલા), આ તારોને જોડો.

આ સંકુચિત અર્થમાં વ્યાસની વ્યાખ્યા છે (ઉદાહરણ 2.8 જુઓ). અગાઉ, વ્યાસની વ્યાખ્યા વ્યાપક અર્થમાં આપવામાં આવી હતી, જ્યાં એક અંડાકાર, અતિપરવલય, પેરાબોલા અને અન્ય બીજી-ક્રમની રેખાઓનો વ્યાસ એ તમામ સમાંતર તારોના મધ્યબિંદુઓ ધરાવતી સીધી રેખા છે. સંકુચિત અર્થમાં, લંબગોળનો વ્યાસ તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી કોઈપણ તાર છે (ફિગ. 3.53,a); હાયપરબોલાનો વ્યાસ એ હાયપરબોલાના મધ્યમાંથી પસાર થતી કોઈપણ સીધી રેખા છે (અસિમ્પ્ટોટ્સના અપવાદ સાથે), અથવા આવી સીધી રેખાનો ભાગ (ફિગ. 3.53,6); પેરાબોલાના વ્યાસ એ સમપ્રમાણતાના અક્ષ (ફિગ. 3.53, c) પર પેરાબોલાના ચોક્કસ બિંદુ અને સમરેખામાંથી નીકળતી કોઈપણ કિરણ છે.

બે વ્યાસ, જેમાંથી દરેક અન્ય વ્યાસની સમાંતર તમામ તારોને દ્વિભાજિત કરે છે, તેને સંયોજક કહેવામાં આવે છે. ફિગ. 3.53 માં, બોલ્ડ રેખાઓ એલિપ્સ, હાઇપરબોલા અને પેરાબોલાના સંયુક્ત વ્યાસ દર્શાવે છે.

બિંદુ K પર લંબગોળ (હાયપરબોલા, પેરાબોલા) ની સ્પર્શકને સમાંતર સેકન્ટ્સ M_1M_2 ની મર્યાદા સ્થિતિ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, જ્યારે બિંદુ M_1 અને M_2, વિચારણા હેઠળની રેખા પર બાકી રહે છે, ત્યારે K બિંદુ તરફ વલણ ધરાવે છે. આ વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે તારોની સમાંતર સ્પર્શક આ તારોને વ્યાસના જોડાણના અંતમાંથી પસાર થાય છે.

6. એલિપ્સ, હાયપરબોલા અને પેરાબોલામાં, ઉપર આપેલ ઉપરાંત, અસંખ્ય ભૌમિતિક ગુણધર્મો અને ભૌતિક ઉપયોગો છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફિગ. 3.50 ગુરુત્વાકર્ષણ F કેન્દ્રની નજીકમાં સ્થિત અવકાશ પદાર્થોના માર્ગના ચિત્ર તરીકે સેવા આપી શકે છે.

પેરાબોલા એ અનંત વળાંક છે જેમાં આપેલ રેખાથી સમાન અંતરના બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે, જેને પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ કહેવાય છે, અને આપેલ બિંદુ, પેરાબોલાનું કેન્દ્રબિંદુ છે. પેરાબોલા એ શંકુ વિભાગ છે, એટલે કે, તે પ્લેન અને ગોળાકાર શંકુના આંતરછેદને રજૂ કરે છે.

સામાન્ય રીતે, પેરાબોલાના ગાણિતિક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: y=ax^2+bx+c, જ્યાં a શૂન્યની બરાબર નથી, b એ મૂળની તુલનામાં ફંક્શન ગ્રાફના આડા વિસ્થાપનને પ્રતિબિંબિત કરે છે, અને c એ વર્ટિકલ છે મૂળની તુલનામાં ફંક્શન ગ્રાફનું વિસ્થાપન. તદુપરાંત, જો a>0 હોય, તો આલેખ બનાવતી વખતે તેઓ ઉપરની તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવશે, અને જો પેરાબોલાના ગુણધર્મો

પેરાબોલા એ દ્વિતીય ક્રમનો વળાંક છે જે પેરાબોલાના ફોકસમાંથી પસાર થતી સમપ્રમાણતાની અક્ષ ધરાવે છે અને પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સને લંબરૂપ છે.

પેરાબોલામાં એક ખાસ ઓપ્ટિકલ ગુણધર્મ હોય છે, જેમાં પ્રકાશ કિરણોને તેની સમપ્રમાણતાની ધરીની સમાંતર ફોકસ કરવામાં આવે છે અને પેરાબોલાના શિરોબિંદુ પર પેરાબોલામાં નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે અને પેરાબોલાના શિરોબિંદુ પર નિર્દેશિત પ્રકાશના કિરણોને સમાંતર પ્રકાશ કિરણોમાં ડિફોકસ કરવામાં આવે છે. સમાન ધરી.

જો તમે કોઈપણ સ્પર્શકને સંબંધિત પેરાબોલાને પ્રતિબિંબિત કરો છો, તો પેરાબોલાની છબી તેના ડાયરેક્ટ્રીક્સ પર દેખાશે. બધા પેરાબોલાસ એકબીજા સાથે સમાન છે, એટલે કે, એક પેરાબોલાના દરેક બે બિંદુઓ A અને B માટે, ત્યાં A1 અને B1 બિંદુઓ છે જેના માટે નિવેદન |A1,B1| = |A,B|*k, જ્યાં k એ સમાનતા ગુણાંક છે, જે સંખ્યાત્મક મૂલ્યમાં હંમેશા શૂન્ય કરતા વધારે હોય છે.

જીવનમાં પેરાબોલાના અભિવ્યક્તિ

ધૂમકેતુઓ અથવા એસ્ટરોઇડ્સ જેવા કેટલાક કોસ્મિક બોડીઓ, જે મોટા કોસ્મિક પદાર્થોની નજીકથી વધુ ઝડપે પસાર થાય છે, તેમાં પેરાબોલા-આકારનો માર્ગ હોય છે. નાના કોસ્મિક બોડીની આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ અવકાશયાનના ગુરુત્વાકર્ષણના દાવપેચમાં થાય છે.

ભાવિ અવકાશયાત્રીઓને તાલીમ આપવા માટે, ખાસ વિમાનની ઉડાન જમીન પર પેરાબોલિક માર્ગ સાથે કરવામાં આવે છે, જેનાથી પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં વજનહીનતાની અસર પ્રાપ્ત થાય છે.

રોજિંદા જીવનમાં, પેરાબોલાસ વિવિધ લાઇટિંગ ફિક્સરમાં મળી શકે છે. આ પેરાબોલાની ઓપ્ટિકલ પ્રોપર્ટીને કારણે છે. પ્રકાશ કિરણોને ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવા અને ડિફોકસ કરવાના તેના ગુણધર્મોના આધારે પેરાબોલાના ઉપયોગની નવીનતમ રીતોમાંની એક છે સૌર પેનલ્સ, જે રશિયાના દક્ષિણ પ્રદેશોમાં ઊર્જા પુરવઠા ક્ષેત્રમાં વધુને વધુ સમાવવામાં આવે છે.

સ્તર III

3.1. હાઇપરબોલે લીટીઓ 5 ને સ્પર્શે છે x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y– – 48 = 0. હાઇપરબોલાનું સમીકરણ લખો, જો કે તેની અક્ષો સંકલન અક્ષો સાથે સુસંગત હોય.

3.2. અતિપરવલય માટે સ્પર્શક માટે સમીકરણો લખો

1) બિંદુમાંથી પસાર થવું એ(4, 1), બી(5, 2) અને સી(5, 6);

2) સીધી રેખા 10 ની સમાંતર x – 3y + 9 = 0;

3) સીધી રેખા 10 ને લંબરૂપ x – 3y + 9 = 0.

પેરાબોલાપ્લેનમાં પોઈન્ટનું ભૌમિતિક સ્થાન છે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે

પેરાબોલા પરિમાણો:

ડોટ એફ(પી/2, 0) કહેવાય છે ફોકસ પેરાબોલાસ, તીવ્રતા પી – પરિમાણ , બિંદુ વિશે(0, 0) – ટોચ . આ કિસ્સામાં, સીધી રેખા ઓફ, જેના વિશે પેરાબોલા સપ્રમાણ છે, આ વળાંકની ધરીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

તીવ્રતા જ્યાં એમ(x, y) – પેરાબોલાના મનસ્વી બિંદુ, કહેવાય છે ફોકલ ત્રિજ્યા , સીધા ડી: x = –પી/2 – મુખ્ય શિક્ષિકા (તે પેરાબોલાના આંતરિક વિસ્તારને છેદતું નથી). તીવ્રતા પેરાબોલાની તરંગીતા કહેવાય છે.

પેરાબોલાની મુખ્ય લાક્ષણિકતા: પેરાબોલાના તમામ બિંદુઓ ડાયરેક્ટ્રીક્સ અને ફોકસથી સમાન અંતરે છે (ફિગ. 24).

પ્રામાણિક પેરાબોલા સમીકરણના અન્ય સ્વરૂપો છે જે સંકલન પ્રણાલીમાં તેની શાખાઓની અન્ય દિશાઓ નક્કી કરે છે (ફિગ. 25):

માટે પેરાબોલાની પેરામેટ્રિક વ્યાખ્યા પરિમાણ તરીકે tપેરાબોલા બિંદુનું ઓર્ડિનેટ મૂલ્ય લઈ શકાય છે:

જ્યાં tએક મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

ઉદાહરણ 1.તેના પ્રામાણિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને પેરાબોલાના પરિમાણો અને આકાર નક્કી કરો:

ઉકેલ. 1. સમીકરણ y 2 = –8xબિંદુ પર શિરોબિંદુ સાથે પેરાબોલાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે વિશે ઓહ. તેની શાખાઓ ડાબી તરફ નિર્દેશિત છે. આ સમીકરણને સમીકરણ સાથે સરખાવી y 2 = –2px, અમે શોધીએ છીએ: 2 પી = 8, પી = 4, પી/2 = 2. તેથી, ધ્યાન બિંદુ પર છે એફ(–2; 0), ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણ ડી: x= 2 (ફિગ. 26).

2. સમીકરણ x 2 = –4yબિંદુ પર શિરોબિંદુ સાથે પેરાબોલાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે ઓ(0; 0), ધરી વિશે સપ્રમાણ ઓય. તેની શાખાઓ નીચે તરફ નિર્દેશિત છે. આ સમીકરણને સમીકરણ સાથે સરખાવી x 2 = –2py, અમે શોધીએ છીએ: 2 પી = 4, પી = 2, પી/2 = 1. તેથી, ધ્યાન બિંદુ પર છે એફ(0; –1), ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણ ડી: y= 1 (ફિગ. 27).

ઉદાહરણ 2.પરિમાણો અને વળાંકનો પ્રકાર નક્કી કરો x 2 + 8x – 16y– 32 = 0. એક ચિત્ર બનાવો.

ઉકેલ.ચાલો સંપૂર્ણ ચોરસ નિષ્કર્ષણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની ડાબી બાજુનું રૂપાંતર કરીએ:

x 2 + 8x– 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

પરિણામે આપણને મળે છે

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

આ બિંદુ (–4, –3) પર શિરોબિંદુ સાથેના પેરાબોલાનું પ્રામાણિક સમીકરણ છે, પરિમાણ પી= 8, ઉપર તરફ નિર્દેશ કરતી શાખાઓ (), અક્ષ x= –4. ફોકસ પોઈન્ટ પર છે એફ(–4; –3 + પી/2), એટલે કે. એફ(-4; 1) મુખ્ય શિક્ષિકા ડીસમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે y = –3 – પી/2 અથવા y= –7 (ફિગ. 28).

ઉદાહરણ 4.બિંદુ પર તેના શિરોબિંદુ સાથે પેરાબોલા માટે સમીકરણ લખો વી(3; -2) અને બિંદુ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરો એફ(1; –2).

ઉકેલ.આપેલ પેરાબોલાના શિરોબિંદુ અને ફોકસ અક્ષની સમાંતર સીધી રેખા પર આવેલું છે બળદ(સમાન ઓર્ડિનેટ્સ), પેરાબોલાની શાખાઓ ડાબી તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે (ફોકસની એબ્સીસા શિરોબિંદુના એબ્સીસા કરતા ઓછી છે), ફોકસથી શિરોબિંદુ સુધીનું અંતર છે પી/2 = 3 – 1 = 2, પી= 4. તેથી, જરૂરી સમીકરણ

(y+ 2) 2 = –2 4( x– 3) અથવા ( y + 2) 2 = = –8(x – 3).

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે કાર્યો

હું સ્તર

1.1. પેરાબોલાના પરિમાણો નક્કી કરો અને તેને બનાવો:

1) y 2 = 2x; 2) y 2 = –3x;

3) x 2 = 6y; 4) x 2 = –y.

1.2. પેરાબોલાના સમીકરણને મૂળ પર તેના શિરોબિંદુ સાથે લખો જો તમને ખબર હોય કે:

1) પેરાબોલા અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે બળદઅને પી = 4;

2) પેરાબોલા અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે સ્થિત છે ઓયઅને બિંદુ પરથી પસાર થાય છે એમ(4; –2).

3) ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણ 3 દ્વારા આપવામાં આવે છે y + 4 = 0.

1.3. એક વળાંક માટે એક સમીકરણ લખો જેનાં તમામ બિંદુઓ બિંદુ (2; 0) અને સીધી રેખાથી સમાન છે x = –2.

સ્તર II

2.1. વળાંકના પ્રકાર અને પરિમાણો નક્કી કરો.

આ સમગ્ર પ્રકરણમાં એવું માનવામાં આવે છે કે પ્લેનમાં ચોક્કસ સ્કેલ પસંદ કરવામાં આવ્યો છે (જેમાં નીચે ગણવામાં આવેલા તમામ આંકડાઓ આવેલા છે); આ સ્કેલ સાથે માત્ર લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.

§ 1. પેરાબોલા

શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાંથી વાચકને પેરાબોલાને વળાંક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જે ફંક્શનનો ગ્રાફ છે.

(ફિગ. 76). (1)

કોઈપણ ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીનો આલેખ

પેરાબોલા પણ છે; ફક્ત સંકલન પ્રણાલીને સ્થાનાંતરિત કરીને (કેટલાક વેક્ટર OO દ્વારા), એટલે કે રૂપાંતર કરીને શક્ય છે

ખાતરી કરો કે ફંક્શનનો ગ્રાફ (બીજી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં) ગ્રાફ (2) (પ્રથમ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં) સાથે એકરુપ છે.

હકીકતમાં, ચાલો (3) ને સમાનતા (2) માં બદલીએ. અમને મળે છે

અમે પસંદ કરવા માંગીએ છીએ જેથી આ સમાનતાની જમણી બાજુએ બહુપદીનો ગુણાંક અને મુક્ત પદ (ના સંદર્ભમાં) શૂન્ય સમાન હોય. આ કરવા માટે, અમે સમીકરણ પરથી નક્કી કરીએ છીએ

જે આપે છે

હવે અમે સ્થિતિ પરથી નક્કી કરીએ છીએ

જેમાં આપણે પહેલાથી મળેલી કિંમતને બદલીએ છીએ. અમને મળે છે

તેથી, શિફ્ટ (3) ના માધ્યમથી, જેમાં

અમે એક નવી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ગયા, જેમાં પેરાબોલાના સમીકરણ (2)એ સ્વરૂપ લીધું

(ફિગ. 77).

ચાલો સમીકરણ (1) પર પાછા ફરીએ. તે પેરાબોલાની વ્યાખ્યા તરીકે સેવા આપી શકે છે. ચાલો તેના સરળ ગુણધર્મોને યાદ કરીએ. વળાંકમાં સમપ્રમાણતાની અક્ષ હોય છે: જો કોઈ બિંદુ સમીકરણ (1) ને સંતોષે છે, તો પછી અર્ધ અક્ષની તુલનામાં બિંદુ M માટે સપ્રમાણતા ધરાવતો બિંદુ પણ સમીકરણને સંતોષે છે (1) - વળાંક ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સપ્રમાણ છે (ફિગ. 76) .

જો , તો પેરાબોલા (1) ઉપલા અર્ધ-વિમાનમાં આવેલું છે, જેમાં એબ્સીસા અક્ષ સાથે એક સામાન્ય બિંદુ O છે.

એબ્સીસાના સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં અમર્યાદિત વધારા સાથે, ઓર્ડિનેટ પણ મર્યાદા વિના વધે છે. વળાંકનું સામાન્ય દૃશ્ય ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 76, એ.

જો (ફિગ. 76, બી), તો વળાંક એબ્સિસા અક્ષને વળાંકની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે નીચલા અર્ધ-પ્લેનમાં સ્થિત છે.

જો આપણે ઓર્ડિનેટ અક્ષની સકારાત્મક દિશાને વિરુદ્ધ દિશામાં બદલીને જૂનીમાંથી મેળવેલી નવી સંકલન પ્રણાલીમાં જઈએ, તો પેરાબોલા, જે જૂની સિસ્ટમમાં y સમીકરણ ધરાવે છે, તે નવામાં y સમીકરણ પ્રાપ્ત કરશે. સંકલન સિસ્ટમ. તેથી, પેરાબોલાસનો અભ્યાસ કરતી વખતે, આપણે આપણી જાતને સમીકરણો (1) સુધી મર્યાદિત કરી શકીએ છીએ, જેમાં .

ચાલો આપણે છેલ્લે અક્ષોના નામ બદલીએ, એટલે કે, આપણે નવી સંકલન પ્રણાલી પર જઈશું, જેમાં ઓર્ડિનેટ અક્ષ એ જૂની એબ્સીસા અક્ષ હશે, અને એબ્સીસા અક્ષ એ જૂની ઓર્ડિનેટ અક્ષ હશે. આ નવી સિસ્ટમમાં સમીકરણ (1) ફોર્મમાં લખવામાં આવશે

અથવા, જો નંબર ફોર્મમાં , દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે

સમીકરણ (4) ને વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિમાં પેરાબોલાના પ્રમાણભૂત સમીકરણ કહેવામાં આવે છે; લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલી કે જેમાં આપેલ પેરાબોલામાં સમીકરણ (4) હોય છે તેને પ્રામાણિક સંકલન પ્રણાલી (આ પેરાબોલા માટે) કહેવાય છે.

હવે આપણે ગુણાંકનો ભૌમિતિક અર્થ સ્થાપિત કરીશું. આ કરવા માટે અમે બિંદુ લઈએ છીએ

સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત, પેરાબોલાના ફોકસ (4), અને સીધી રેખા d કહેવાય છે

આ રેખાને પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ કહેવામાં આવે છે (4) (ફિગ 78 જુઓ).

પેરાબોલા (4) નું મનસ્વી બિંદુ બનવા દો. સમીકરણ (4) પરથી તે અનુસરે છે કે તેથી, ડાયરેક્ટ્રીક્સ d થી બિંદુ M નું અંતર એ સંખ્યા છે

ફોકસ F થી બિંદુ M નું અંતર છે

પરંતુ, તેથી

તેથી, પેરાબોલાના તમામ બિંદુઓ M તેના ફોકસ અને ડાયરેક્ટ્રીક્સથી સમાન છે:

તેનાથી વિપરીત, દરેક બિંદુ M સંતોષકારક સ્થિતિ (8) પેરાબોલા (4) પર રહે છે.

હકીકતમાં,

આથી,

અને, કૌંસ ખોલ્યા પછી અને સમાન શરતો લાવ્યા પછી,

અમે સાબિત કર્યું છે કે દરેક પેરાબોલા (4) એ ફોકસ F અને આ પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ d થી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનું સ્થાન છે.

તે જ સમયે, અમે સમીકરણ (4) માં ગુણાંકનો ભૌમિતિક અર્થ સ્થાપિત કર્યો છે: સંખ્યા ફોકસ અને પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ વચ્ચેના અંતર જેટલી છે.

ચાલો હવે ધારીએ કે બિંદુ F અને રેખા d આ બિંદુમાંથી પસાર થતા નથી તે પ્લેન પર મનસ્વી રીતે આપવામાં આવે છે. ચાલો સાબિત કરીએ કે ફોકસ F અને ડાયરેક્ટ્રિક્સ d સાથે પેરાબોલા અસ્તિત્વમાં છે.

આ કરવા માટે, બિંદુ F (ફિગ. 79) દ્વારા એક રેખા g દોરો, જે રેખા d ને લંબરૂપ છે; ચાલો D દ્વારા બંને રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને દર્શાવીએ; અંતર (એટલે ​​​​કે બિંદુ F અને સીધી રેખા d વચ્ચેનું અંતર) દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવશે.

ચાલો સીધી રેખા g ને ધરીમાં ફેરવીએ, તેના પરની દિશા DF ને ધન તરીકે લઈએ. ચાલો આ અક્ષને લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની એબ્સીસા અક્ષ બનાવીએ, જેનું મૂળ સેગમેન્ટનો મધ્ય O છે.

પછી સીધી રેખા d પણ સમીકરણ મેળવે છે.

હવે આપણે પસંદ કરેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં પેરાબોલાના પ્રામાણિક સમીકરણ લખી શકીએ છીએ:

જ્યાં બિંદુ F ફોકસ હશે, અને સીધી રેખા d એ પેરાબોલા (4) ની ડાયરેક્ટ્રીક્સ હશે.

અમે ઉપર સ્થાપિત કર્યું છે કે પેરાબોલા એ બિંદુ F અને રેખા d થી સમાન અંતરે આવેલા M બિંદુઓનું સ્થાન છે. તેથી, આપણે પેરાબોલાની આવી ભૌમિતિક (એટલે ​​​​કે, કોઈપણ સંકલન પ્રણાલીથી સ્વતંત્ર) વ્યાખ્યા આપી શકીએ છીએ.

વ્યાખ્યા. પેરાબોલા એ અમુક નિશ્ચિત બિંદુ (પેરાબોલાના "ફોકસ") અને અમુક નિશ્ચિત રેખા (પેરાબોલાના "ડાયરેક્ટ્રીક્સ") થી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનું સ્થાન છે.

દ્વારા ફોકસ અને પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ વચ્ચેનું અંતર દર્શાવતા, આપણે હંમેશા એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ શોધી શકીએ છીએ જે આપેલ પેરાબોલા માટે પ્રમાણભૂત હોય છે, એટલે કે, જેમાં પેરાબોલાના સમીકરણનું પ્રામાણિક સ્વરૂપ હોય છે:

તેનાથી વિપરિત, કોઈપણ વળાંક કે જે અમુક લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં આવા સમીકરણ ધરાવે છે તે પેરાબોલા છે (ભૌમિતિક અર્થમાં હમણાં જ સ્થાપિત).

પેરાબોલાના ફોકસ અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ વચ્ચેના અંતરને ફોકલ પેરામીટર અથવા ફક્ત પેરાબોલાના પેરામીટર કહેવાય છે.

પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રિક્સ તરફ લંબરૂપ ફોકસમાંથી પસાર થતી રેખાને તેની ફોકલ અક્ષ (અથવા ખાલી અક્ષ) કહેવાય છે; તે પેરાબોલાની સપ્રમાણતાની અક્ષ છે - આ એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે પેરાબોલાની અક્ષ એ સંકલન પ્રણાલીમાં એબ્સીસા અક્ષ છે, જેની સાપેક્ષમાં પેરાબોલાના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે (4).

જો કોઈ બિંદુ સમીકરણ (4) ને સંતોષે છે, તો પછી એબ્સીસા અક્ષની તુલનામાં બિંદુ M સાથે સપ્રમાણતા ધરાવતો બિંદુ પણ આ સમીકરણને સંતોષે છે.

તેની ધરી સાથે પેરાબોલાના આંતરછેદના બિંદુને પેરાબોલાના શિરોબિંદુ કહેવામાં આવે છે; તે આપેલ પેરાબોલા માટે કેનોનિકલ સંકલન પ્રણાલીનું મૂળ છે.

ચાલો પેરાબોલા પરિમાણનું બીજું ભૌમિતિક અર્થઘટન આપીએ.

ચાલો પેરાબોલાના ફોકસ દ્વારા એક સીધી રેખા દોરીએ, જે પેરાબોલાની ધરીને લંબ છે; તે પેરાબોલાને બે બિંદુઓ પર છેદે છે (જુઓ. આકૃતિ 79) અને પેરાબોલાના કહેવાતા ફોકલ તાર નક્કી કરશે (એટલે ​​​​કે, પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સની સમાંતર ફોકસમાંથી પસાર થતી તાર). ફોકલ કોર્ડની અડધી લંબાઈ પેરાબોલાના પરિમાણ છે.

વાસ્તવમાં, ફોકલ કોર્ડની અડધી લંબાઈ એ કોઈપણ પોઈન્ટના ઓર્ડિનેટનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે, જેમાંથી પ્રત્યેકનો એબ્સીસા ફોકસના એબ્સીસા સમાન છે, એટલે કે. તેથી, દરેક બિંદુના ઓર્ડિનેટ માટે અમારી પાસે છે

Q.E.D.