મૂળભૂત ભૌમિતિક બાંધકામોનું જ્ઞાન દરેક કેસ માટે સૌથી વધુ તર્કસંગત તકનીકો પસંદ કરીને, યોગ્ય રીતે અને ઝડપથી દોરવાનું શક્ય બનાવે છે.

2.1. એક સેગમેન્ટને સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરવું

તમે મધ્ય કાટખૂણે (ફિગ. 18, a) બનાવીને હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરીને સેગમેન્ટને અડધા ભાગમાં વહેંચી શકો છો. આ કરવા માટે, સેગમેન્ટની અડધાથી વધુ લંબાઈને માપતો ત્રિજ્યા લો અને તેના છેડાથી બંને બાજુએથી ગોળાકાર ચાપ દોરો જ્યાં સુધી તેઓ એકબીજાને છેદે નહીં. અમે ચાપના આંતરછેદ બિંદુઓ દ્વારા મધ્ય કાટખૂણે દોરીએ છીએ.

કોઈપણ સંખ્યામાં સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરવા માટે આપણે ફા-પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ

સ્કેફોલ્ડિંગ: જો કોણની એક બાજુએ સમાન સેગમેન્ટ્સ નાખવામાં આવ્યા હોય અને તેમના છેડા દ્વારા સમાંતર સીધી રેખાઓ દોરવામાં આવે, તો સમાન સેગમેન્ટ્સ કોણની બીજી બાજુ પર પણ નાખવામાં આવશે (ફિગ. 18, b). તરફી હેઠળ-

એક સહાયક કિરણ AC ને AB સેગમેન્ટમાં મનસ્વી કોણ પર દોરો, જેના પર આપણે આ સેગમેન્ટને જેટલા ભાગોમાં વિભાજિત કરવાની જરૂર છે તેટલી વખત મનસ્વી લંબાઈના સેગમેન્ટને મૂકીએ છીએ. અમે છેલ્લા સેગમેન્ટના અંતને બિંદુ B સાથે જોડીએ છીએ અને બાકીના ભાગોના છેડા દ્વારા BC ની સમાંતર સીધી રેખાઓ દોરીએ છીએ.

2.2. વર્તુળને સમાન ભાગોની મનસ્વી સંખ્યામાં વિભાજીત કરવું

નિયમિત બહુકોણ બનાવવા માટે વર્તુળને સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરવાની ક્ષમતા જરૂરી છે. ચાલો સૌપ્રથમ વર્તુળને વિભાજીત કરવા માટેની વિશિષ્ટ તકનીકોનો વિચાર કરીએ.

ત્રણ ભાગોમાં વિભાજન (ફિગ. 19)

આપણે હોકાયંત્રના પગને વર્તુળના પરસ્પર લંબ વ્યાસના એક છેડે મૂકીએ છીએ. વર્તુળની ત્રિજ્યાના સમાન હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમે વ્યાસના આ છેડાની બંને બાજુએ તેના પર ખાંચો બનાવીએ છીએ. આપણને નિયમિત ત્રિકોણના બે શિરોબિંદુ મળે છે. ત્રીજો શિરોબિંદુ એ વ્યાસનો વિરુદ્ધ છેડો છે.

ચાર ભાગોમાં વિભાજન (ફિગ. 20)

બે પરસ્પર લંબ વ્યાસ વર્તુળને ચાર સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરે છે. જો સીધી રેખાઓ વર્તુળના મધ્યમાં 45ᵒ ના ખૂણા પર અક્ષો તરફ દોરવામાં આવે, તો તે વર્તુળને ચાર સમાન ભાગોમાં પણ વિભાજિત કરશે. અંકિત ચોરસની બાજુઓ વર્તુળની અક્ષોની સમાંતર હશે. આ બે ચોરસ મળીને વર્તુળને આઠ સમાન ભાગોમાં વહેંચે છે.

પાંચ ભાગોમાં વિભાજિત (ફિગ. 21)

● 1). ત્રિજ્યાની સમાન હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે વર્તુળ પર એક નોચ બનાવીએ છીએ. આપણને પોઈન્ટ2 મળે છે.

● બિંદુ 2 થી આપણે કાટખૂણેને વ્યાસ સુધી નીચે કરીએ છીએ જેના છેડાથી નોચ બનાવવામાં આવી હતી. આપણને પોઈન્ટ 3 મળે છે.

● અમે હોકાયંત્રનો પગ બિંદુ પર મૂકીએ છીએ 3. બિંદુ 3 થી ઊભી વ્યાસ (બિંદુ 4) ના અંત સુધીના અંતરની બરાબર ત્રિજ્યા લો અને જ્યાં સુધી તે આડા વ્યાસ સાથે છેદે નહીં ત્યાં સુધી એક ચાપ દોરો. આપણને પોઈન્ટ 5 મળે છે.

● પોઇન્ટ 4 અને 5 ને કનેક્ટ કરો. તાર 4-5 વર્તુળનો 1/5 હશે.

● અમે હોકાયંત્ર વડે તારની લંબાઈ માપીએ છીએ 4-5 અને તેને વ્યાસના એક છેડેથી મૂકવાનું શરૂ કરો (પેન્ટાગોન કેવી રીતે અક્ષોની તુલનામાં લક્ષી હોવું જોઈએ તેના આધારે). જેના અંતથી આપણે સેગમેન્ટ નાખવાનું શરૂ કરીએ છીએ તે વ્યાસ આકૃતિની સપ્રમાણતાની ધરી હશે.

એક જ સમયે બંને બાજુએ ટુકડાઓ મૂકવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે. બાકીનો સેગમેન્ટ સમપ્રમાણતાની ધરી પર લંબરૂપ હોવો જોઈએ. જો તેની લંબાઈ બાકીના ભાગોની લંબાઈ જેટલી ન હોય, તો તેનો અર્થ એ છે કે બાંધકામ અચોક્કસ રીતે હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું અથવા તાર 4-5 અચોક્કસ રીતે માપવામાં આવ્યું હતું. તમારે સેગમેન્ટની લંબાઈમાં ગોઠવણ કરવી જોઈએ અને વર્તુળને ફરીથી વિભાજીત કરવાનું પુનરાવર્તન કરવું જોઈએ.

છ ભાગોમાં વિભાજન (ફિગ. 22)

વર્તુળની ત્રિજ્યાની બરાબર હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમે તેમાંથી બંને દિશામાં સમાન વ્યાસના બંને છેડાથી ખાંચો બનાવીએ છીએ. આપણને નિયમિત ષટ્કોણના ચાર શિરોબિંદુઓ મળે છે. અન્ય બે શિરોબિંદુઓ વ્યાસના છેડા છે, જેમાંથી સેરીફ બનાવવામાં આવે છે.

સાત ભાગોમાં વિભાજન (ફિગ. 23)

● અમે હોકાયંત્રના પગને વ્યાસના એક છેડે (બિંદુ 1). વર્તુળની ત્રિજ્યાના સમાન હોકાયંત્ર સોલ્યુશનનો ઉપયોગ કરીને, અમે તેના પર એક નોચ બનાવીએ છીએ. આપણને પોઈન્ટ2 મળે છે.

● બિંદુ 2 થી આપણે કાટખૂણેને વ્યાસ સુધી નીચે કરીએ છીએ જેના છેડાથી નોચ બનાવવામાં આવી હતી. આપણને પોઈન્ટ 3 મળે છે. સેગમેન્ટ 2–3 વર્તુળનો 1/7 છે.

● અમે કેલિપર સાથે સેગમેન્ટની લંબાઈને માપીએ છીએ 2-3 અને ક્રમશઃ તેને એકસાથે બંને બાજુએ વ્યાસના બંને છેડેથી બાજુ પર સેટ કરો. છેલ્લો સેગમેન્ટ વ્યાસ માટે લંબરૂપ હોવો જોઈએ જેના અંતથી સેગમેન્ટ્સ નાખવાનું શરૂ થયું. આ વ્યાસ અંકિત હેપ્ટાગોનની સમપ્રમાણતા હશે.

દસ ભાગોમાં વિભાજન (ફિગ. 24)

● ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે વર્તુળને 5 ભાગોમાં વિભાજીત કરો. 21. અમને નિયમિત પેન્ટાગોન મળે છે.

● પેન્ટાગોનના દરેક શિરોબિંદુથી આપણે વિરુદ્ધ બાજુઓ તરફ લંબ નીચે કરીએ છીએ. તે બધા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થશે અને બાજુ અને ચાપને અડધા ભાગમાં વહેંચશે. અમને 5 વધુ શિરોબિંદુઓ મળે છે.

બાર ભાગોમાં વિભાજન (ફિગ. 25)

વર્તુળની ત્રિજ્યાની સમાન હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમે તેમની બંને બાજુએ બંને વ્યાસના છેડાથી ખાંચો બનાવીએ છીએ.

વર્તુળને કોઈપણ ભાગોમાં વિભાજીત કરવા માટે એક સામાન્ય તકનીક પણ છે. ચાલો નિયમિત ષટ્કોણ બાંધવાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને તેને ધ્યાનમાં લઈએ (ફિગ. 27).

● અમે બે પરસ્પર લંબ વ્યાસ (આડા અને વર્ટિકલ) દોરીએ છીએ.

● આપણે આકૃતિની સમપ્રમાણતાની ધરી બનાવવા માંગીએ છીએ તે વ્યાસને આપણે વર્તુળને વિભાજીત કરવા જેટલા ભાગોમાં જોઈએ છે તેટલા ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ છીએ. ફિગ માં. 27 વ્યાસ AB 9 ભાગોમાં વહેંચાયેલું છે. અમે પરિણામી વિભાજન બિંદુઓની સંખ્યા કરીએ છીએ.

● અમે હોકાયંત્રનો પગ બિંદુ પર મૂકીએ છીએઅને વર્તુળના વ્યાસની સમાન ત્રિજ્યા સાથે, એક ચાપ દોરો જ્યાં સુધી તે વર્ટિકલ વ્યાસની ચાલુતા સાથે છેદે નહીં. અમને બિંદુ C મળે છે.

● અમે વ્યાસના વિભાજનના બિંદુઓ સાથે એક દ્વારા બિંદુ C ને જોડીએ છીએ અને જ્યાં સુધી તે વર્તુળની વિરુદ્ધ ચાપ સાથે I, II, III, IV પર છેદે નહીં ત્યાં સુધી ચાલુ રાખીએ છીએ. જો નોનાગોનના શિરોબિંદુઓમાંથી એક બિંદુ A હોવો જોઈએ, તો પછી કિરણોને વ્યાસના તમામ સમાન વિભાગો દ્વારા દોરો (ફિગ. 27, a). જો બિંદુ B શિરોબિંદુઓમાંથી એક બનવું જોઈએ, તો કિરણો વ્યાસના તમામ વિચિત્ર વિભાગો (ફિગ. 27, b) દ્વારા દોરવા જોઈએ.

● અમે આડા વ્યાસની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે બાંધેલા બિંદુઓને પ્રદર્શિત કરીએ છીએ. આપણે આકૃતિના બાકીના શિરોબિંદુઓ મેળવીએ છીએ.

2.2.1. કાર્ય નંબર 4. વર્તુળનું વિભાજન

ધ્યેય: વર્તુળને સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરવા માટેની તકનીકોનો અભ્યાસ કરવો.

A3 ફોર્મેટ પર, પ્રથમ હરોળમાં, નિયમિત બહુકોણ દોરો (ત્રણ-, ચાર-, પાંચ-, છ-, સાત- અને નવ-ગોન), 60 મીમીના વ્યાસવાળા વર્તુળોમાં અંકિત. સહાયક રેખાઓ તરીકે વર્તુળો પાતળા હોવા જોઈએ. જાડા રેખાઓ સાથે બહુકોણની રૂપરેખા બનાવો.

ત્રિકોણ.

§ 28. કંપાસ અને શાસક સાથેના બાંધકામો.

અત્યાર સુધી, બાંધકામની સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, અમે હોકાયંત્ર, શાસક, ડ્રોઇંગ ત્રિકોણ અને પ્રોટ્રેક્ટરનો ઉપયોગ કર્યો છે.

ચાલો હવે ફક્ત બે સાધનોનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાબંધ બાંધકામ સમસ્યાઓ હલ કરીએ - એક હોકાયંત્ર અને શાસક.

કાર્ય 1.આ સેગમેન્ટને અડધા ભાગમાં વહેંચો.

એક સેગમેન્ટ AB જોતાં, તમારે તેને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.

ઉકેલ. સેગમેન્ટ AB ના અડધા કરતાં વધુ ત્રિજ્યા સાથે, અમે કેન્દ્રો (ફિગ. 161) ની જેમ, બિંદુઓ A અને B માંથી છેદતી ચાપનું વર્ણન કરીએ છીએ. આ ચાપના આંતરછેદ બિંદુઓ દ્વારા આપણે એક સીધી રેખા સીડી દોરીએ છીએ, જે અમુક બિંદુ K પર સેગમેન્ટ AB ને છેદે છે અને તેને આ બિંદુ સાથે અડધા ભાગમાં વિભાજિત કરશે: AK = KV.

ચાલો તે સાબિત કરીએ. ચાલો બિંદુઓ A અને B ને બિંદુ C અને D સાથે જોડીએ. /\ CAD = /\ SVD, કારણ કે બાંધકામ દ્વારા AC = CB, AD = BD, CD એ સામાન્ય બાજુ છે.

આ ત્રિકોણની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે / ACK = / VSK, એટલે કે SK એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ ASV ના શિરોબિંદુ પરના ખૂણાનો દ્વિભાજક છે. અને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુ પરના ખૂણાનો દ્વિભાજક પણ તેનો મધ્યક છે, એટલે કે સીધી રેખા CD સેગમેન્ટ AB ને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે.

કાર્ય 2.આ રેખા પર સ્થિત બિંદુ O દ્વારા આપેલ રેખા AB પર લંબ દોરો.

આ રેખા પર પડેલો એક રેખા AB અને બિંદુ O આપેલ છે. બિંદુ O માંથી પસાર થતી રેખા AB પર લંબ દોરવાની જરૂર છે.

ઉકેલ. ચાલો બિંદુ O થી AB રેખા પર OM અને ON બે સરખા સેગમેન્ટ બનાવીએ
(રેખાંકન 162). બિંદુઓ M અને N પરથી, કેન્દ્રોમાંથી, અમે સમાન ત્રિજ્યાવાળા બે ચાપનું વર્ણન કરીશું, OM કરતાં વધુ. અમે તેમના આંતરછેદ K ના બિંદુને O બિંદુ સાથે જોડીએ છીએ. KO એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ MKN માં મધ્ય છે, તેથી, KO_|_A B (§ 18).

કાર્ય 3.આ રેખાની બહાર સ્થિત બિંદુ C દ્વારા આપેલ રેખા AB પર લંબ દોરો.

આ રેખાની બહાર એક રેખા AB અને બિંદુ C જોતાં, બિંદુ Cમાંથી પસાર થતી રેખા AB પર લંબ જરૂરી છે.

ઉકેલ. બિંદુ C પરથી, કેન્દ્રમાંથી, અમે એક ચાપનું વર્ણન કરીએ છીએ જેમાં ડાયસ છે કે તે સીધી રેખા AB ને છેદે છે, ઉદાહરણ તરીકે, M અને N બિંદુઓ પર (ફિગ. 163). બિંદુઓ M અને N પરથી, કેન્દ્રોમાંથી, અમે સમાન ત્રિજ્યા સાથે, અડધા MN કરતાં વધુ, આર્ક્સનું વર્ણન કરીશું. અમે તેમના આંતરછેદ બિંદુ E ને બિંદુ C સાથે અને બિંદુ M અને N સાથે જોડીએ છીએ. ત્રિકોણ CME અને CNE ત્રણ બાજુઓ પર સમાન છે. અર્થ, / 1 = / 2 અને CE એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ MCN માં કોણ C નું દ્વિભાજક છે અને તેથી સીધી રેખા AB (§ 18) ને લંબરૂપ છે.

બધી છબીઓના રૂપરેખા વિવિધ રેખાઓ દ્વારા રચાય છે. મુખ્ય રેખાઓ એક સીધી રેખા, એક વર્તુળ અને વળાંકોની શ્રેણી છે. છબીઓના રૂપરેખા દોરતી વખતે, ભૌમિતિક બાંધકામો અને જોડાણોનો ઉપયોગ થાય છે.

"વર્ણનાત્મક ભૂમિતિ અને એન્જિનિયરિંગ ગ્રાફિક્સ" શિસ્તનો અભ્યાસ કરતી વખતે, વિદ્યાર્થીઓએ ભૌમિતિક બાંધકામો અને જોડાણો કરવાના નિયમો અને ક્રમ શીખવા જોઈએ.

આ સંદર્ભમાં, બાંધકામ કૌશલ્ય પ્રાપ્ત કરવાની શ્રેષ્ઠ રીત એ જટિલ ભાગોના રૂપરેખા દોરવાના કાર્યો દ્વારા છે.

તમે પરીક્ષણ કાર્ય શરૂ કરો તે પહેલાં, તમારે પદ્ધતિસરની માર્ગદર્શિકા અનુસાર ભૌમિતિક બાંધકામો અને જોડાણો કરવાની તકનીકનો અભ્યાસ કરવાની જરૂર છે.

1. વિભાગો અને ખૂણાઓનું વિભાજન

1.1. સેગમેન્ટને અડધા ભાગમાં વહેંચવું

આપેલ સેગમેન્ટ AB ને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરો.

સેગમેન્ટ AB ના છેડાથી, કેન્દ્રોમાંથી, આપણે ત્રિજ્યા R સાથે વર્તુળોના ચાપ દોરીએ છીએ, જેનું કદ સેગમેન્ટ AB (ફિગ. 1) ના અડધા કરતા થોડું મોટું હોવું જોઈએ. આ ચાપ M અને N બિંદુઓ પર છેદે છે, ચાલો બિંદુ C શોધીએ કે જેના પર સીધી રેખાઓ AB અને MN છેદે છે. બિંદુ C સેગમેન્ટ AB ને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરશે.

નોંધ. બધા જરૂરી બાંધકામો માત્ર હોકાયંત્ર અને શાસક (વિભાગો વિના) ની મદદથી જ હાથ ધરવામાં આવે છે અને કરી શકાય છે.

1.2. સેગમેન્ટને n સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરવું

આપેલ સેગમેન્ટને n સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરો.

સેગમેન્ટના અંતથી - બિંદુ A, આપણે મનસ્વી કોણ α પર એક સહાયક કિરણ દોરીશું (ફિગ. 2 a) આ કિરણ પર આપણે મનસ્વી લંબાઈના 4 સમાન ભાગો મૂકીશું (ફિગ. 2b). છેલ્લા, ચોથા, સેગમેન્ટનો છેડો (બિંદુ 4) બિંદુ B સાથે જોડાયેલ છે. આગળ, અગાઉના તમામ બિંદુઓ 1...3 થી, અમે સેગમેન્ટ B4 ની સમાંતર સેગમેન્ટ્સ દોરીએ છીએ જ્યાં સુધી તેઓ સેગમેન્ટ AB સાથે પોઇન્ટ 1", 2 પર છેદે નહીં. ", 3" આ રીતે મેળવેલ પોઈન્ટ સેગમેન્ટને સમાન ચાર સેગમેન્ટમાં વિભાજિત કરે છે

1.3. એક ખૂણોને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરવો

આપેલ કોણ BAC ને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરો.

કોણ A ના શિરોબિંદુથી, આપણે એક મનસ્વી ત્રિજ્યા સાથે ચાપ દોરીએ છીએ જ્યાં સુધી તે બિંદુ B અને C (ફિગ. 3 a) પર ખૂણાની બાજુઓ સાથે છેદે છે. પછી બિંદુઓ B અને C પરથી આપણે BC ના અડધા અંતર કરતાં વધુ ત્રિજ્યા સાથે બે ચાપ દોરીએ છીએ જ્યાં સુધી તેઓ બિંદુ D (ફિગ. 3 b) પર છેદે નહીં. બિંદુ A અને D ને સીધી રેખા સાથે જોડીને, આપણે કોણનો દ્વિભાજક મેળવીએ છીએ, જે આપેલ કોણને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરે છે (ફિગ. 3 c)

a) b) c)

2. વર્તુળને સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરવું અને નિયમિત બહુકોણ બનાવવું

2.1. વર્તુળને ત્રણ સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરવું

વ્યાસના અંતથી, ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ A (ફિગ. 4), આપેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા સમાન ત્રિજ્યા R ની ચાપ દોરો. પ્રથમ અને બીજા વિભાગો મેળવવામાં આવે છે - પોઇન્ટ 1 અને 2. ત્રીજો વિભાગ, બિંદુ 3, સમાન વ્યાસના વિરુદ્ધ છેડે સ્થિત છે. પોઈન્ટ 1,2,3 ને તાર સાથે જોડવાથી, તમને નિયમિત અંકિત ત્રિકોણ મળે છે.

2.2. વર્તુળને છ સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરવું

કોઈપણ વ્યાસના છેડાથી, ઉદાહરણ તરીકે AB (ફિગ. 5), ત્રિજ્યા Rના ચાપનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે. બિંદુઓ A, 1,3, B,4,2 વર્તુળને છ સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરે છે. તેમને તાર સાથે જોડીને, નિયમિત અંકિત ષટ્કોણ મેળવવામાં આવે છે.

નોંધ. સહાયક ચાપ સંપૂર્ણપણે દોરવા જોઈએ નહીં, તે વર્તુળ પર ખાંચો બનાવવા માટે પૂરતું છે.

2.3. વર્તુળને પાંચ સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરવું

બે પરસ્પર લંબ વ્યાસ AB અને CD દોરવામાં આવ્યા છે (ફિગ. 6). બિંદુ O 1 પરની OS ત્રિજ્યા અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલી છે.
બિંદુ O1 થી, કેન્દ્રની જેમ, ત્રિજ્યા O1A ની ચાપ દોરો જ્યાં સુધી તે બિંદુ E પર વ્યાસ CD સાથે છેદે નહીં.
સેગમેન્ટ AE એ નિયમિત અંકિત પેન્ટાગોનની બાજુની બરાબર છે, અને સેગમેન્ટ OE નિયમિત અંકિત દશકોણની બાજુની બરાબર છે.
બિંદુ A ને કેન્દ્ર તરીકે લેતા, ત્રિજ્યા R1 = AE બિંદુ 1 અને 4 પર વર્તુળ પર ચિહ્નિત કરે છે, કેન્દ્રોમાંથી સમાન ત્રિજ્યા R1 ની ચાપ બિંદુઓ 3 અને 2. બિંદુઓ A, 1, 2, 3, 4 વર્તુળને પાંચ સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરો.

2.4. વર્તુળને સાત સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરવું

વ્યાસના અંતથી, ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ A વર્તુળની ત્રિજ્યા (ફિગ. 7) ની બરાબર ત્રિજ્યા R નો ચાપ દોરો. તાર સીડી નિયમિત અંકિત ત્રિકોણની બાજુની બરાબર છે. તાર સીડીનો અડધો ભાગ, પર્યાપ્ત અંદાજે, નિયમિત અંકિત હેપ્ટાગોનની બાજુની બરાબર છે, એટલે કે. વર્તુળને સાત સમાન ભાગોમાં વહેંચે છે.

ચોખા. 7

સાહિત્ય

બોગોલ્યુબોવ એસ.કે. એન્જિનિયરિંગ ગ્રાફિક્સ: માધ્યમિક વિશિષ્ટ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક. - 3જી આવૃત્તિ., રેવ. અને વધારાના - એમ.: મિકેનિકલ એન્જિનિયરિંગ, 2006. - પૃષ્ઠ 392: બીમાર.
કુપ્રિકોવ એમ.યુ. એન્જિનિયરિંગ ગ્રાફિક્સ: માધ્યમિક શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક - એમ.: બસ્ટાર્ડ, 2010 - 495 પૃષ્ઠ.: ઇલ.
ફેડોરેન્કો વી.એ., શોશીન એ.આઈ. મિકેનિકલ એન્જિનિયરિંગ ડ્રોઇંગની હેન્ડબુક એલ.: મિકેનિકલ એન્જિનિયરિંગ. 1976. 336 પૃ.

જાણવું; ત્રિકોણ બંને બાજુઓ પર સમાન છે અને તેમની વચ્ચેનો કોણ છે, આપણે આ સેગમેન્ટને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરવા માટે હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

જો, ઉદાહરણ તરીકે, તમારે સેગમેન્ટને અડધા ભાગમાં વહેંચવાની જરૂર છે એ બી(ફિગ. 69), પછી હોકાયંત્રની ટોચને બિંદુઓ પર મૂકો A I B અનેતેઓ તેમની આસપાસનું વર્ણન કરે છે, જાણે કેન્દ્રોની નજીક, સમાન ત્રિજ્યાના બે છેદતી ચાપ (ફિગ. 70). તેમના આંતરછેદ બિંદુઓ સાથેઅને ડીસીધી રેખા દ્વારા જોડાયેલ છે, જે એબીઅડધા ભાગમાં: જેએસસી= ઓબી.

તેની ખાતરી કરવા માટે કે સેગમેન્ટ્સ જેએસસીઅને ઓબીસમાન હોવું જોઈએ, બિંદુઓને જોડો સીઅને ડીછેડા સાથે એઅને INસેગમેન્ટ (ફિગ. 71). તમને બે ત્રિકોણ મળશે એસીડીઅને BCD, જેની ત્રણ બાજુઓ અનુક્રમે સમાન છે: એસી= સૂર્ય; ઈ.સ= બીડી; સીડી -સામાન્ય, એટલે કે બંને ત્રિકોણથી સંબંધિત છે. આ આ ત્રિકોણની સંપૂર્ણ સમાનતા સૂચવે છે, અને તેથી તમામ ખૂણાઓની સમાનતા. તેથી, માર્ગ દ્વારા, ખૂણા સમાન છે એસીડીઅને BCD. હવે ત્રિકોણની સરખામણી કરો એસોઅને વીએસઓ, આપણે જોઈએ છીએ કે તેમની પાસે એક બાજુ છે OS -સામાન્ય A.C.= સીબી, અને તેમની વચ્ચેનો કોણ ASO = ug વીએસઓ. ત્રિકોણ બે બાજુઓ સાથે સમાન છે અને તેમની વચ્ચેનો કોણ છે; તેથી બાજુઓ સમાન છે જેએસસીઅને ઓબી, એટલે કે બિંદુ વિશેએક મધ્યબિંદુ છે એબી.

§ 22. બાજુ અને બે ખૂણાઓનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણ કેવી રીતે બનાવવું

છેલ્લે, એવી સમસ્યાનો વિચાર કરો કે જેના ઉકેલથી બાજુ અને બે ખૂણાઓનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું નિર્માણ થાય છે:

નદીની બીજી બાજુ (ફિગ. 72) એક માઇલસ્ટોન દેખાય છે એ. તે જરૂરી છે, નદીને પાર કર્યા વિના, માઇલસ્ટોનથી તેનું અંતર શોધવા માટે INઆ કિનારે.

ચાલો આ કરીએ. ચાલો બિંદુ પરથી માપવા દો INસીધી રેખામાં કોઈપણ અંતર સૂર્યઅને તેના છેડે INઅને સાથેચાલો ખૂણા 1 અને 2 (ફિગ. 73) માપીએ. જો આપણે હવે અનુકૂળ વિસ્તાર પર અંતર માપીએ DE,સમાન સૂર્ય, અને તેના છેડે ખૂણા બનાવો એઅને b(ફિગ. 74), કોણ 1 અને 2 ની બરાબર છે, પછી તેમની બાજુઓના આંતરછેદના બિંદુ પર આપણને ત્રીજો શિરોબિંદુ મળે છે. એફત્રિકોણ DEF.તે ચકાસવું સરળ છે કે ત્રિકોણ DEFત્રિકોણ સમાન ABC; ખરેખર, જો આપણે કલ્પના કરીએ કે ત્રિકોણ DEFપર આયોજિત ABCજેથી તે બાજુ ડી.ઇતેની સમાન બાજુ સાથે સુસંગત સૂર્ય, પછી ug. એકોણ 1, કોણ સાથે સુસંગત રહેશે b -કોણ 2 અને બાજુ સાથે ડીએફબાજુ પર જશે વી.એ, અને બાજુ ઇ.એફ.બાજુ પર એસ.એ.કારણ કે બે રેખાઓ માત્ર એક બિંદુ પર છેદે છે, પછી શિરોબિંદુ એફટોચ સાથે સુસંગત હોવું જોઈએ એ. તેથી અંતર ડીએફજરૂરી અંતર જેટલું વી.એ.

સમસ્યા, જેમ આપણે જોઈએ છીએ, ફક્ત એક જ ઉકેલ છે. સામાન્ય રીતે, એક બાજુ અને આ બાજુને અડીને આવેલા બે ખૂણાઓનો ઉપયોગ કરીને, ફક્ત એક ત્રિકોણ બનાવી શકાય છે; એક જ સ્થાને તેની બાજુમાં એક જ બાજુ અને સમાન બે ખૂણાવાળા અન્ય ત્રિકોણ હોઈ શકતા નથી. બધા ત્રિકોણ કે જેની એક સરખી બાજુ અને બે સરખા ખૂણાઓ એક જ સ્થાને તેને અડીને હોય તેને સુપરપોઝિશન દ્વારા સંપૂર્ણ સંયોગમાં લાવી શકાય છે. આનો અર્થ એ છે કે આ એક સંકેત છે જેના દ્વારા વ્યક્તિ ત્રિકોણની સંપૂર્ણ સમાનતા સ્થાપિત કરી શકે છે.

ત્રિકોણની સમાનતાના અગાઉ સ્થાપિત ચિહ્નો સાથે, હવે આપણે નીચેના ત્રણ જાણીએ છીએ:

ત્રિકોણ:

ત્રણ બાજુઓ પર;

બે બાજુઓ પર અને તેમની વચ્ચેના ખૂણા પર;

બાજુ અને બે બાજુઓ પર.

સંક્ષિપ્તતા ખાતર, અમે ત્રિકોણની સમાનતાના આ ત્રણ કિસ્સાઓને નીચે પ્રમાણે સૂચિત કરીશું:

ત્રણ બાજુઓ પર: એસએસએસ;

બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેનો કોણ: એસયુએસ;

બાજુ અને બે ખૂણાઓ સાથે: USU.

અરજીઓ

14. બિંદુનું અંતર શોધવા માટે એબિંદુથી નદીની બીજી બાજુએ INઆ કાંઠે (ફિગ. 5), કેટલીક રેખાને સીધી રેખામાં માપો સૂર્યપછી બિંદુ પર INસમાન કોણ બનાવો ABC, બીજી બાજુ સૂર્ય, અને બિંદુ પર સાથે- તે જ રીતે, સમાન કોણ ડીઆઈએબિંદુ અંતર ડીબિંદુ સુધીના ખૂણાઓની બંને બાજુઓની બાજુઓનું આંતરછેદ INજરૂરી અંતર જેટલું એબી. શા માટે?

ઉકેલ: ત્રિકોણ ABCઅને BDCએક બાજુ સમાન ( સૂર્ય) અને બે ખૂણા (ang. ડીસીબી= ug. ડીઆઈએ; ug ડીબીસી= ug. ABC.) તેથી, એબી= ВD,સમાન ખૂણાઓ સામે સમાન ત્રિકોણમાં પડેલી બાજુઓ તરીકે.

§ 23. સમાંતરગ્રામ

ત્રિકોણમાંથી આપણે ચતુષ્કોણ તરફ આગળ વધીએ છીએ, એટલે કે 4 બાજુઓ દ્વારા મર્યાદિત આકૃતિઓ તરફ. ચતુષ્કોણનું ઉદાહરણ ચોરસ છે - એક ચતુર્ભુજ જેમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય છે અને બધા ખૂણા સાચા હોય છે (ફિગ. 76). ચતુષ્કોણનો બીજો પ્રકાર, જે ઘણીવાર જોવા મળે છે, તે લંબચોરસ છે:

આ 4 કાટકોણ (ફિગ. 77 અને 78) વાળા કોઈપણ ચતુષ્કોણનું નામ છે. ચોરસ પણ એક લંબચોરસ છે, પરંતુ સમાન બાજુઓ સાથે.

લંબચોરસ (અને ચોરસ) ની ખાસિયત એ છે કે તેની વિરુદ્ધ બાજુઓની બંને જોડી સમાંતર હોય છે. એક લંબચોરસ માં એબીસીડી,ઉદાહરણ તરીકે (ફિગ. 78), એબીસમાંતર ડીસી, એ ઈ.સસમાંતર સૂર્ય.આ એ હકીકતને અનુસરે છે કે બંને વિરુદ્ધ બાજુઓ એક જ રેખાને લંબરૂપ છે, અને આપણે જાણીએ છીએ કે એક રેખાના બે લંબ એકબીજાના સમાંતર છે (§ 16).

દરેક લંબચોરસની બીજી મિલકત એ છે કે તેની વિરુદ્ધ બાજુઓ એકબીજાની સમાન હોય છે. જો તમે લંબચોરસના વિરોધી શિરોબિંદુઓને સીધી રેખા સાથે જોડો છો, એટલે કે, તેમાં કર્ણ દોરો તો તમે આ ચકાસી શકો છો. કનેક્ટિંગ એસાથે સાથે(ડ્રોન 79) આપણને બે ત્રિકોણ મળે છે ABCઅને એડીસી.તે બતાવવાનું સરળ છે કે આ ત્રિકોણ એકબીજાની સમાન છે: બાજુ એસી -કુલ, ug. 1 = કોણ 2, કારણ કે આ સમાંતર સાથે ક્રોસ કોણ છે એબીઅને સીડીઆ જ કારણસર, ખૂણા 3 અને 4 સમાન બાજુ પર અને બે ખૂણા, ત્રિકોણ છે ABCઅને એસીડીસમાન તેથી બાજુ એબી= બાજુ ડીસી,અને બાજુ ઈ.સ= બાજુ સૂર્ય.

આવા ચતુષ્કોણ, જેમાં, લંબચોરસની જેમ, વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાંતર હોય, તેને સમાંતરગ્રામ કહેવામાં આવે છે. ધિક્કાર. 80 સમાંતરગ્રામનું ઉદાહરણ બતાવે છે: એબીસમાંતર ડીસી,એ ઈ.સસમાંતર પૂર્વે.ડૅમ.80

લંબચોરસ એ સમાંતરગ્રામોમાંથી એક છે, એટલે કે એક જેમાં તમામ ખૂણાઓ સાચા હોય છે. તે ચકાસવું સરળ છે કે દરેક સમાંતરગ્રામમાં નીચેના ગુણધર્મો છે:

વિરોધી કોણ સમાંતર વ્યાકરણ સમાન; વિરુદ્ધ બાજુઓ

P a r l l e l o g r a m a v y s

આને ચકાસવા માટે, ચાલો સમાંતર ચતુષ્કોણ દોરીએ એબીસીડી(ફિગ. 81) સીધા ВD(ત્રાંસા) અને ત્રિકોણની તુલના કરો એબીડીઅને વીડીસી.આ ત્રિકોણ સમાન છે (કેસ USU): બી.ડી- સામાન્ય બાજુ; ug 1 = કોણ 2, ખૂણો 3 = કોણ 4 (શા માટે?). અગાઉ સૂચિબદ્ધ મિલકતો આને અનુસરે છે.

ચાર સમાન બાજુઓ સાથેના સમાંતરગ્રામને સમચતુર્ભુજ કહેવામાં આવે છે.

પ્રશ્નોનું પુનરાવર્તન કરો

કયા આકારને ચોરસ કહેવામાં આવે છે? લંબચોરસ? – કર્ણ કોને કહેવાય? - કઇ આકૃતિને સમાંતરગ્રામ કહેવામાં આવે છે? હીરા? - કોઈપણ સમાંતરગ્રામના ખૂણાઓ અને બાજુઓના ગુણધર્મો સૂચવો. - કયા લંબચોરસને ચોરસ કહેવામાં આવે છે? – કયા સમાંતરગ્રામને લંબચોરસ કહેવામાં આવે છે? – ચોરસ અને સમચતુર્ભુજ વચ્ચે સમાનતા અને તફાવતો શું છે.

તેની ખાતરી કરવા માટે કે સેગમેન્ટ્સ જેએસસીઅને ઓબીસમાન હોવું જોઈએ, બિંદુઓને જોડો સીઅને ડીછેડા સાથે એઅને INસેગમેન્ટ (ફિગ. 71). તમને બે ત્રિકોણ મળશે એસીડીઅને BCD, જેની ત્રણ બાજુઓ અનુક્રમે સમાન છે: એસી= સૂર્ય; ઈ.સ = બીડી; સીડી -સામાન્ય, એટલે કે બંને ત્રિકોણથી સંબંધિત છે. આ આ ત્રિકોણની સંપૂર્ણ સમાનતા સૂચવે છે, અને તેથી તમામ ખૂણાઓની સમાનતા. તેથી, માર્ગ દ્વારા, ખૂણા સમાન છે એસીડીઅને BCD. હવે ત્રિકોણની સરખામણી કરો એસોઅને વીએસઓ, આપણે જોઈએ છીએ કે તેમની પાસે એક બાજુ છે OS -સામાન્ય A.C. = સીબી, અને તેમની વચ્ચેનો કોણ ASO = ug વીએસઓ. ત્રિકોણ બે બાજુઓ સાથે સમાન છે અને તેમની વચ્ચેનો કોણ છે; તેથી બાજુઓ સમાન છે જેએસસીઅને ઓબી, એટલે કે બિંદુ વિશેએક મધ્યબિંદુ છે એબી.

એક બાજુ અને બે ખૂણાઓનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણ કેવી રીતે બનાવવું

ચાલો આ કરીએ. ચાલો બિંદુ પરથી માપવા દો INસીધી રેખામાં કોઈપણ અંતર સૂર્યઅને તેના છેડે INઅને સાથેચાલો ખૂણા 1 અને 2 (ફિગ. 73) માપીએ. જો આપણે હવે અનુકૂળ વિસ્તાર પર અંતર માપીએ DE,સમાન સૂર્ય, અને તેના છેડે ખૂણા બનાવો એઅને b(ફિગ. 74), કોણ 1 અને 2 સમાન છે, પછી તેમની બાજુઓના આંતરછેદના બિંદુએ આપણને ત્રીજો શિરોબિંદુ મળે છે. એફત્રિકોણ DEF.તે ચકાસવું સરળ છે કે ત્રિકોણ DEFત્રિકોણ સમાન ABC; ખરેખર, જો આપણે કલ્પના કરીએ કે ત્રિકોણ DEFપર આયોજિત ABCજેથી તે બાજુ ડી.ઇતેની સમાન બાજુ સાથે સુસંગત સૂર્ય, પછી ug. એકોણ 1, કોણ સાથે સુસંગત રહેશે b -કોણ 2 અને બાજુ સાથે ડીએફબાજુ પર જશે વી.એ, અને બાજુ ઇ.એફ.બાજુ પર એસ.એ.કારણ કે બે રેખાઓ માત્ર એક બિંદુ પર છેદે છે, પછી શિરોબિંદુ એફટોચ સાથે સુસંગત હોવું જોઈએ એ. તેથી અંતર ડીએફજરૂરી અંતર જેટલું વી.એ.

ત્રિકોણ:

ત્રણ બાજુઓ પર;

બે બાજુઓ પર અને તેમની વચ્ચેના ખૂણા પર;

બાજુ અને બે બાજુઓ પર.

ત્રણ બાજુઓ પર: એસએસએસ;

બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેનો કોણ: એસયુએસ;

બાજુ અને બે ખૂણાઓ સાથે: USU.

અરજીઓ

સમાંતરગ્રામ

વિરોધી કોણ સમાંતર વ્યાકરણ સમાન; વિરુદ્ધ બાજુઓ

P a r l l e l o g r a m a v y s

ચાર સમાન બાજુઓ સાથેના સમાંતરગ્રામને સમચતુર્ભુજ કહેવામાં આવે છે.

પ્રશ્નોનું પુનરાવર્તન કરો

અરજીઓ

15. એક ચોરસ આ રીતે દોરવામાં આવે છે: એક બાજુ એક બાજુ મૂકીને, તેના છેડા પર લંબ દોરો, તેના પર સમાન લંબાઈ મૂકો અને છેડાને સીધી રેખા સાથે જોડો (ડ્રોઇંગ 82). તમે કેવી રીતે ખાતરી કરી શકો કે દોરેલા ચતુષ્કોણની ચોથી બાજુ અન્ય ત્રણની બરાબર છે અને તેના તમામ ખૂણા કાટખૂણો છે?

જો રચના એવી રીતે હાથ ધરવામાં આવી હતી કે બાજુ પર એબીબિંદુઓ પર એઅને INકાટખૂણે દોરવામાં આવ્યા હતા જેના પર મૂકવામાં આવ્યા હતા: AC = ABઅને ડીવી= એબી, પછી તે સાબિત કરવાનું રહે છે કે કોણ સાથેઅને ડીસીધા અને શું સીડીબરાબર એબી.આ કરવા માટે, ચાલો (ફિગ. 83) એક કર્ણ દોરીએ એ.ડી.ઉહ. CAD = એ.ડી.બી.અનુરૂપ તરીકે (કયા સમાંતર રાશિઓ માટે?); એસી= ડી.બી., અને તેથી ત્રિકોણ CADઅને ખરાબસમાન (આધારિત SUS).આના પરથી આપણે તે અનુમાન કરીએ છીએ સીડી = એબીઅને ug. સી =જમણો ખૂણો IN. કેવી રીતે સાબિત કરવું કે ચોથો કોણ સીડીબીશું તે પણ સીધું છે?

16. લંબચોરસ કેવી રીતે દોરવા? દોરેલી આકૃતિને લંબચોરસ કેમ કહી શકાય? (બતાવો કે દોરેલી આકૃતિના બધા ખૂણા સાચા છે).

ઉકેલ અગાઉની સમસ્યાના ઉકેલ જેવો જ છે.

17. સાબિત કરો કે લંબચોરસના બંને કર્ણ સમાન છે.

ઉકેલ (ફિગ. 84) ત્રિકોણની સમાનતામાંથી અનુસરે છે ABCઅને એબીડી(આધારિત SUS).

18. સાબિત કરો કે સમાંતરગ્રામના કર્ણ એકબીજાને દ્વિભાજિત કરે છે.

ઉકેલ: સરખામણી (ફિગ. 85) ત્રિકોણ ABOઅને ડીસીઓ,અમે ખાતરી કરીએ છીએ કે તેઓ સમાન છે (આધારિત USU).અહીંથી જેએસસી= OS, 0V= ઓડી.

19. બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેના સામાન્ય લંબની લંબાઈને તેમની વચ્ચેનું અંતર કહેવામાં આવે છે. સાબિત કરો કે સમાંતર વચ્ચેનું અંતર દરેક જગ્યાએ સમાન છે.

સંકેત: સમાંતર રેખાઓ તેમની વચ્ચે બે કાટખૂણેથી કયો આકાર બને છે?

IV. વિસ્તારનું માપન

ચોરસ માપ. પેલેટ

આકૃતિઓમાં, ઘણીવાર ફક્ત રેખાઓની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાઓ જ નહીં, પણ તેઓ જે વિસ્તારને આવરી લે છે તેનું કદ પણ માપવા જરૂરી છે - એટલે કે, તેમનો વિસ્તાર. વિસ્તાર કયા એકમોમાં માપવામાં આવે છે? ચોક્કસ લંબાઈ (મીટર, સેન્ટિમીટર) લંબાઈના માપ તરીકે લેવામાં આવે છે, અને ચોક્કસ કોણ (1°) ખૂણાના માપ તરીકે લેવામાં આવે છે; ચોક્કસ વિસ્તારને વિસ્તારના માપ તરીકે લેવામાં આવે છે, એટલે કે, 1 મીટર, 1 સે.મી., વગેરેની બાજુવાળા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ. આવા ચોરસને "ચોરસ મીટર", "ચોરસ સેન્ટિમીટર" વગેરે કહેવામાં આવે છે. વિસ્તારને માપવાનો અર્થ એ છે કે તેમાં માપના કેટલા ચોરસ એકમો છે.

જો માપવામાં આવેલ વિસ્તાર મોટો ન હોય (કાગળની શીટ પર બંધબેસે છે), તો તે નીચે પ્રમાણે માપી શકાય છે. પારદર્શક કાગળ સેન્ટીમીટર ચોરસમાં કાપવામાં આવે છે અને માપવામાં આવતી આકૃતિ પર મૂકવામાં આવે છે. પછી આકૃતિની સીમાઓમાં કેટલા ચોરસ સેન્ટિમીટર સમાયેલ છે તેની સીધી ગણતરી કરવી મુશ્કેલ નથી. આ કિસ્સામાં, સરહદની નજીકના અપૂર્ણ ચોરસ અડધા ચોરસ, એક ક્વાર્ટર ચોરસ, વગેરે માટે (આંખ દ્વારા) લેવામાં આવે છે, અથવા માનસિક રીતે તેમને એક સમયે ઘણા બધા ચોરસમાં જોડે છે. આ રીતે દોરેલા પારદર્શક કાગળને પેલેટ કહેવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ મોટાભાગે યોજના પર અનિયમિત વિસ્તારોના વિસ્તારોને માપવા માટે થાય છે.

પરંતુ માપેલ આકૃતિ પર ચોરસનું નેટવર્ક લાદવું હંમેશા શક્ય અથવા અનુકૂળ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ફ્લોર અથવા જમીનના પ્લોટના વિસ્તારને આ રીતે માપવું અશક્ય છે. આવા કિસ્સાઓમાં, વિસ્તારને સીધો માપવાને બદલે, તેઓ અપ્રિય એકનો આશરો લે છે, જેમાં માત્ર અમુક રેખીય આકૃતિઓની લંબાઈને માપવામાં અને પરિણામી સંખ્યાઓ પર ચોક્કસ ક્રિયાઓ કરવામાં આવે છે. પછીથી અમે બતાવીશું કે આ કેવી રીતે થાય છે.

પ્રશ્નોનું પુનરાવર્તન કરો

આંકડાઓનો વિસ્તાર નક્કી કરવા માટે કયા ઉપાયોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે? - પેલેટ શું છે અને તેનો ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે?

લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ

ધારો કે તમારે અમુક લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવાની જરૂર છે, ઉદાહરણ તરીકે, એબીડીસી(રેખાંકન 86). રેખીય એકમ સાથે માપવામાં આવે છે, દા.ત. મીટર, આ વિભાગની લંબાઈ. ચાલો ધારીએ કે મીટર લંબાઈમાં 5 ગણો નાખ્યો છે. ચાલો, ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે વિસ્તારને એક મીટર પહોળા ટ્રાંસવર્સ સ્ટ્રિપ્સમાં વિભાજીત કરીએ. 87. દેખીતી રીતે, આવી 5 પટ્ટાઓ હશે, ચાલો એક મીટર વડે વિસ્તારની પહોળાઈ માપીએ; તેને 3 મીટર જેટલું થવા દો. ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે અમે વિસ્તારને 1 મીટર પહોળા રેખાંશ સ્ટ્રીપ્સમાં વિભાજીત કરીશું. 88; અલબત્ત, તેમાંના 3 હશે, દરેક પાંચ ટ્રાંસવર્સ સ્ટ્રીપ્સને 3 ચોરસ મીટરમાં કાપવામાં આવશે, અને સમગ્ર પ્લોટને 1 મીટરની બાજુ સાથે 5 x 3 = 15 ચોરસમાં વહેંચવામાં આવશે: અમે શીખ્યા કે પ્લોટ. 15 ચોરસ મીટર સમાવે છે. મીટર પરંતુ આપણે વિસ્તારનો આલેખ કર્યા વિના સમાન નંબર 15 મેળવી શકીએ છીએ, પરંતુ તેની લંબાઈને તેની પહોળાઈ દ્વારા ગુણાકાર કરીને જ મેળવી શકીએ છીએ. તેથી, લંબચોરસમાં કેટલા ચોરસ મીટર છે તે શોધવા માટે, તમારે તેની લંબાઈ, તેની પહોળાઈ માપવાની અને બંને સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

ધ્યાનમાં લેવાયેલા કિસ્સામાં, લંબાઈનું એકમ - મીટર - લંબચોરસની બંને બાજુએ એક પૂર્ણાંક સંખ્યાની સંખ્યામાં મૂકવામાં આવ્યું હતું. વિગતવાર ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકો સાબિત કરે છે કે હવે સ્થાપિત થયેલ નિયમ પણ સાચો છે જ્યારે લંબચોરસની બાજુઓમાં લંબાઈના એકમોની પૂર્ણાંક સંખ્યા ન હોય. બધા કિસ્સાઓમાં:

લંબચોરસ વિસ્તારનો વિસ્તાર

પહોળાઈ દ્વારા લંબાઈનું ઉત્પાદન,

અથવા, જેમ તેઓ કહે છે, ભૂમિતિમાં, - તે

"ઊંચાઈ" પર "આધાર"

જો લંબચોરસના આધારની લંબાઈ અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે એ, અને ઊંચાઈની લંબાઈ એ અક્ષર છે bપછી તેનો વિસ્તાર એસની સમાન

S = a? b

અથવા માત્ર એસ = ab, કારણ કે ગુણાકાર ચિહ્ન અક્ષરો વચ્ચે મૂકવામાં આવતું નથી.

તે સમજવું સરળ છે કે ચોરસનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવા માટે, તમારે તેની બાજુની લંબાઈને જાતે જ ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, "તેને ચોરસ દ્વારા વધારવો." બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો:

ચોરસનું ક્ષેત્રફળ ચોરસ બાજુ જેટલું છે. જો ચોરસની બાજુની લંબાઈ એ,પછી તેનો વિસ્તાર એસની સમાન

એસ= a? a = a 2.

આ જાણીને, વિવિધ ચોરસ એકમો વચ્ચે સંબંધ સ્થાપિત કરવાનું શક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચોરસ મીટરમાં ચોરસ ડેસિમીટર 10 X 10, એટલે કે 100, અને ચોરસ સેન્ટિમીટર 100 X 100, એટલે કે 10,000 હોય છે - કારણ કે એક રેખીય સેન્ટીમીટર ચોરસ ડેસિમીટરની બાજુ પર 10 વખત ફિટ થાય છે, અને ચોરસ મીટર - 100 એકવાર.

જમીનના પ્લોટને માપવા માટે, ખાસ માપનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે - હેક્ટર, જેમાં 10,000 ચોરસ મીટર છે. 100 મીટરની બાજુવાળા ચોરસ પ્લોટનું ક્ષેત્રફળ 1 હેક્ટર છે; 200 મીટરના પાયા અને 150 મીટરની ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ પ્લોટનું ક્ષેત્રફળ 200 x 150 છે, એટલે કે 30,000 ચોરસ મીટર. મીટર અથવા 3 હેક્ટર. મોટા વિસ્તારો - જેમ કે કાઉન્ટીઓ અને જિલ્લાઓ - માપવામાં આવે છે

ચોરસ કિલોમીટર.

ચોરસ માપ માટે સંક્ષિપ્ત હોદ્દો છે:

ચોરસ મીટર………………………………. ચો. m અથવા m2

ચોરસ ડેસિમીટર …………………………. ચો. dm અથવા dm2

ચોરસ સેન્ટીમીટર……………………… ચો. cm અથવા cm2

ચોરસ મિલીમીટર……………………….. ચો. mm અથવા mm2

હેક્ટર……………………………………….. હે

પ્રશ્નોનું પુનરાવર્તન કરો

લંબચોરસના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કેવી રીતે કરવામાં આવે છે? ચોરસ? - કેટલા ચો. સેમી થી ચો. m? કેટલા ચો. ચોરસમાં મીમી. m? - હેક્ટર શું છે? - ચોરસમાં કેટલા હેક્ટર છે? કિમી? ચોરસ માપનો સંક્ષેપ શું છે?

અરજીઓ

20. ડ્રોઇંગમાં દર્શાવેલ રૂમના આંતરિક ભાગને રંગવાનું જરૂરી છે. 6. પરિમાણો મીટરમાં દર્શાવેલ છે. આ માટે કેટલી સામગ્રી અને શ્રમની જરૂર પડશે, જો તે જાણીતું હોય કે એક ચોરસ મીટર રંગવાનું છે? અગાઉ પેઇન્ટેડ ઉપર તિરાડો અને શાખાઓના પુટ્ટી સાથે લાકડાના માળના મીટર, બે માટે, જરૂરી છે (અર્જન્ટ રેગ્યુલેશન્સ અનુસાર):

મલ્યારોવ………………………………….. ૦.૦૪૪

સૂકવણી તેલ, કિલોગ્રામ……………………….… 0.18

આછું ઓચર, કિગ્રા……………………………… 0;099

પુટીસ, કિગ્રા……………………………… 0.00225

પ્યુમિસ, કિગ્રા………………………………….. 0.0009.

ઉકેલ: શું ફ્લોર એરિયા 8 છે? 12 = 96 ચો. m

સામગ્રી અને શ્રમનો વપરાશ નીચે મુજબ છે

માલ્યારોવ........ 0.044? 96 = 4.2

સૂકવણી તેલ......0.18? 96 = 17 કિગ્રા

ઓચર......... 0.099? 96 - 9.9 કિગ્રા

પુટીઝ......0.00225? 96 = 0.22 કિગ્રા

પ્યુમિસ.........0.0009? 96 = 0.09 કિગ્રા.

21. અગાઉના રૂમને વૉલપેપર કરવા માટે શ્રમ અને સામગ્રીના વપરાશનું નિવેદન બનાવો. કાર્યો કિનારીઓ સાથે સરળ વૉલપેપર સાથે દિવાલોને આવરી લેવા માટે, તે પ્રતિ ચોરસ મીટર (સ્થાનિક નિયમો અનુસાર) જરૂરી છે. મીટર:

ચિત્રકારો અથવા અપહોલ્સ્ટર્સ ………………………… 0.044

વૉલપેપર (44 સે.મી. પહોળા) ટુકડાઓ……………………… 0.264

કર્બ (ગણતરી મુજબ)

સ્ટાર્ચ ગ્રામ………………………………. 90.

ઉકેલ - અગાઉની સમસ્યામાં દર્શાવેલ નમૂના અનુસાર. ચાલો માત્ર એટલું જ નોંધીએ કે વોલપેપરની જરૂરી રકમની ગણતરી કરતી વખતે, વ્યવહારમાં, દિવાલોના મુખને તેમના વિસ્તારમાંથી બાદબાકી કરવામાં આવતી નથી (કારણ કે જ્યારે અડીને આવેલા પેનલમાં આકૃતિઓ ફિટ કરવામાં આવે છે, ત્યારે કેટલાક વૉલપેપર ખોવાઈ જાય છે).

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ

ચાલો પહેલા ધ્યાનમાં લઈએ કે કાટકોણ ત્રિકોણનો વિસ્તાર કેવી રીતે ગણવામાં આવે છે. ધારો કે આપણે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવાની જરૂર છે ABC(ફિગ. 89), જેમાં કોણ IN- સીધા. ચાલો તમને શિખરો પર લઈ જઈએ એઅને સાથેવિરુદ્ધ બાજુઓની સમાંતર સીધી રેખાઓ. અમને (ફિગ. 90) એક લંબચોરસ મળે છે એબીસીડી(આ આકૃતિ શા માટે લંબચોરસ છે?), જે કર્ણ દ્વારા વિભાજિત છે એસીબે સમાન ત્રિકોણમાં (શા માટે?). આ લંબચોરસનો વિસ્તાર છે આહ;આપણા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ લંબચોરસના ક્ષેત્રફળ કરતાં અડધું છે, એટલે કે 1/2 જેટલું આહતેથી, કોઈપણ કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કાટખૂણાને ઘેરી લેતી તેની બાજુઓના ઉત્પાદનના અડધા ભાગ જેટલું છે.

ધારો કે હવે તમારે ત્રાંસી (એટલે કે, લંબચોરસ નહીં) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવાની જરૂર છે - ઉદાહરણ તરીકે. ABC(રેખાંકન 91). આપણે તેના એક શિરોબિંદુ દ્વારા વિરુદ્ધ બાજુએ લંબ દોરીએ છીએ; આવા લંબને આ ત્રિકોણની ઊંચાઈ કહેવામાં આવે છે, અને જે બાજુ તે દોરવામાં આવે છે તે ત્રિકોણનો આધાર છે. ચાલો આપણે ઊંચાઈને વડે દર્શાવીએ h, અને સેગમેન્ટ કે જેમાં તે આધારને વિભાજિત કરે છે તે છે પીઅને q. કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એબીડી,જેમ આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ, તે 1/2 ની બરાબર છે પીએચ; ચોરસ VDC = 1/2 qh. ચોરસ એસત્રિકોણ ABCઆ વિસ્તારોના સરવાળા સમાન: એસ= 1/2 પીએચ + 1/2 qh = 1/2 h (આર+ q). પણ આર+ q = a; તેથી એસ = 1/2 આહ.

આ તર્કને સ્થૂળ કોણ (ફિગ. 92) ધરાવતા ત્રિકોણ પર સીધો લાગુ કરી શકાતો નથી, કારણ કે લંબરૂપ સીડી આધારને પૂર્ણ કરતી નથી. એબી, અને તેની ચાલુતા. આ કિસ્સામાં, આપણે અલગ રીતે વિચારવું પડશે. ચાલો સેગમેન્ટ સૂચવીએ ઈ.સદ્વારા p, BD- દ્વારા, q, તેથી આધાર એત્રિકોણ સમાન છે પી – q. આપણા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ABCબે ત્રિકોણના ક્ષેત્રોમાં તફાવત સમાન એડીસી – BDC = 1/2 પીએચ – 1/2 qh = 1/2 h (પી – q) = 1/2 આહ.

તેથી, તમામ કિસ્સાઓમાં, ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ તેના કોઈપણ પાયા અને અનુરૂપ ઊંચાઈના અડધા ગુણાંક જેટલું છે.

તે અનુસરે છે કે સમાન પાયા અને ઊંચાઈવાળા ત્રિકોણમાં સમાન ક્ષેત્રો હોય છે, અથવા, જેમ તેઓ કહે છે,

બરાબર

સામાન્ય રીતે, સમાન ક્ષેત્રો ધરાવતા આંકડાઓને સમાન કદના કહેવામાં આવે છે, ભલે આકૃતિઓ પોતે સમાન ન હોય (એટલે કે, જ્યારે સુપરઇમ્પોઝ કરવામાં આવે ત્યારે તેઓ એકરૂપ નહોતા).

પ્રશ્નોનું પુનરાવર્તન કરો

ત્રિકોણની ઊંચાઈને શું કહે છે? ત્રિકોણનો આધાર? - એક ત્રિકોણમાં કેટલી ઊંચાઈઓ દોરી શકાય? - એક અસ્પષ્ટ કોણ સાથે ત્રિકોણ દોરો અને તેમાં બધી ઊંચાઈઓ દોરો. - ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કેવી રીતે થાય છે? આ નિયમને સૂત્રમાં કેવી રીતે વ્યક્ત કરવો? - કયા આંકડાઓને કદમાં સમાન કહેવામાં આવે છે?

અરજીઓ

22. વનસ્પતિના બગીચામાં 13.4 મીટરનો આધાર અને 37.2 મીટરની ઊંચાઈ સાથે ત્રિકોણનો આકાર હોય છે... કોબી સાથે રોપવા માટે કેટલા બીજ (વજન દ્વારા) જરૂરી છે, જો પ્રતિ ચો. m બીજ 0.5 ગ્રામ છે?

ઉકેલ: શું શાકભાજીના બગીચાનો વિસ્તાર 13.4 છે? 37.2 = 498 ચો. m

તમારે 250 ગ્રામ બીજની જરૂર પડશે.

23. સમાંતર ચતુષ્કોણને 4 ત્રિકોણાકાર ભાગોમાં કર્ણ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. કયો સૌથી મોટો વિસ્તાર ધરાવે છે?

ઉકેલ બધા 4 ત્રિકોણ કદમાં સમાન છે, કારણ કે તેઓ સમાન પાયા અને ઊંચાઈ ધરાવે છે.

સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળ

સમાંતરગ્રામના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાનો નિયમ ખૂબ જ સરળ રીતે સ્થાપિત થાય છે જો તમે તેને કર્ણ દ્વારા બે ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરો છો. ઉદાહરણ તરીકે, સમાંતરગ્રામનો વિસ્તાર એબીસીડી(ફિગ. 93) બે સમાન ત્રિકોણમાંથી દરેકના ક્ષેત્રફળના બમણા જેટલું છે જેમાં તેને કર્ણ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. એસી.ત્રિકોણના આધારને ચિહ્નિત કરવું એડીસીદ્વારા એ, અને દ્વારા ઊંચાઈ h, અમને વિસ્તાર મળે છે એસસમાંતરગ્રામ

લંબરૂપ h"સમાંતર ચતુષ્કોણ ઊંચાઈ" અને બાજુ કહેવાય છે એ,જેના પર તે દોરવામાં આવે છે - "સમાંતરગ્રામનો આધાર". તેથી, હવે સ્થાપિત નિયમ નીચે મુજબ કહી શકાય:

સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળ કોઈપણ નવી ઊંચાઈના ગુણાંક જેટલું છે.

પ્રશ્નોનું પુનરાવર્તન કરો

સમાંતરગ્રામનો આધાર અને ઊંચાઈ શું છે? સમાંતરગ્રામના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કેવી રીતે કરવામાં આવે છે? - આ નિયમને સૂત્રમાં વ્યક્ત કરો. – સમાન આધાર અને ઊંચાઈ ધરાવતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ કરતાં સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળ કેટલી વાર વધારે છે? – સમાન ઊંચાઈ અને પાયા જોતાં, કઈ આકૃતિનો વિસ્તાર સૌથી વધુ છે: લંબચોરસ કે સમાંતર?

અરજી

24. 12.4 સે.મી.ની બાજુ સાથેનો ચોરસ 8.8 સે.મી.ની ઉંચાઈવાળા સમાંતર ચતુષ્કોણ સમાન છે.

ઉકેલ આ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ, અને તેથી સમાંતર ચતુષ્કોણ, 12.42 = 154 ચોરસ મીટર છે. cm જરૂરી આધાર 154: 8.8 = 18 cm છે.

ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર

સમાંતર ચતુષ્કોણ ઉપરાંત, ચાલો બીજા પ્રકારના ચતુષ્કોણને ધ્યાનમાં લઈએ - એટલે કે જેની સમાંતર બાજુઓની માત્ર એક જોડી હોય (ફિગ. 94). આવા આંકડાઓને ટ્રેપેઝોઇડ કહેવામાં આવે છે. ટ્રેપેઝોઇડની સમાંતર બાજુઓને તેના પાયા કહેવામાં આવે છે, અને બિન-સમાંતર બાજુઓને તેની બાજુઓ કહેવામાં આવે છે.

વાહિયાત. 94 ડૅમ. 95

ચાલો ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટે એક નિયમ સ્થાપિત કરીએ. ધારો કે આપણે ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાની જરૂર છે એબીસીડી(ફિગ. 95), જેના પાયાની લંબાઈ aઅને b. ચાલો એક કર્ણ દોરીએ એસી,જે ટ્રેપેઝોઇડને બે ત્રિકોણમાં કાપે છે એસીડીઅને ABC. તે આપણે જાણીએ છીએ

વિસ્તાર એસીડી = 1/2 આહ

વિસ્તાર ABC = 1/2 bh.

વિસ્તાર એબીસીડી= 1/2 આહ+ 1/2 bh= 1/2 (a+ b) h.

અંતર થી hટ્રેપેઝોઈડના પાયા વચ્ચે તેની ઊંચાઈ કહેવાય છે, પછી ટ્રેપેઝોઈડના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટેનો નિયમ નીચે મુજબ કહી શકાય:

ટ્રેપેઝોઇડનું ક્ષેત્રફળ લગભગ t સાથે ગુણાકાર કરેલ અને તમારામાં અડધા સરવાળા જેટલું છે.

પ્રશ્નોનું પુનરાવર્તન કરો

ટ્રેપેઝોઇડ કયા આકારને કહેવાય છે? ટ્રેપેઝોઈડના પાયા, તેની બાજુઓ અને તેની ઊંચાઈ શું છે? - ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર કેવી રીતે ગણવામાં આવે છે?

અરજીઓ

25. શેરીનો એક ભાગ 180 મીટર અને 170 મીટરના પાયા અને 8.5 મીટરની ઉંચાઈ સાથે ટ્રેપેઝોઈડનો આકાર ધરાવે છે, જો પ્રતિ ચો.મી. m ત્યાં 48 ચેકર્સ છે?

સોલ્યુશન પ્લોટનું ક્ષેત્રફળ 8.5 H = (180 + 170)/ 2 = 1490 ચોરસ મીટર છે. m. ચેકર્સની સંખ્યા = 72,000.

26. છતનો ઢોળાવ ટ્રેપેઝોઇડનો આકાર ધરાવે છે, જેનો આધાર 23.6 મીટર અને 19.8 મીટર છે, અને ઊંચાઈ 8.2 મીટર છે, જો પ્રતિ ચો.મી. m જરૂરી છે:

લોખંડની ચાદર...... 1.23

રૂફિંગ નખ કિગ્રા.... 0.032

સૂકવણી તેલ કિગ્રા........0.036

છત...... 0.45.

ઉકેલ: શું ઢાળનું ક્ષેત્રફળ 8.2 બરાબર છે? (23.6 + 19.8)/ 2 = 178 ચો. m. તે ટેબ્લેટ પરની બધી સંખ્યાઓને 178 વડે ગુણાકાર કરવાનું બાકી છે.