નીચેના સમીકરણો ધ્યાનમાં લો:

1. 2*x + 3*y = 15;

2. x 2 + y 2 = 4;

4. 5*x 3 + y 2 = 8.

ઉપર પ્રસ્તુત દરેક સમીકરણ એ બે ચલો સાથેનું સમીકરણ છે. કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પરના બિંદુઓનો સમૂહ કે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતામાં ફેરવે છે તે કહેવામાં આવે છે બે અજાણ્યામાં સમીકરણનો આલેખ.

બે ચલોમાં સમીકરણ આલેખવું

બે ચલો સાથેના સમીકરણોમાં આલેખની વિશાળ વિવિધતા હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ 2*x + 3*y = 15 માટે આલેખ એક સીધી રેખા હશે, સમીકરણ x 2 + y 2 = 4 માટે આલેખ ત્રિજ્યા 2 સાથેનું વર્તુળ હશે, સમીકરણ y* નો ગ્રાફ x = 1 હાયપરબોલા હશે, વગેરે.

બે ચલો સાથેના સંપૂર્ણ સમીકરણો પણ ડિગ્રી જેવા ખ્યાલ ધરાવે છે. આ ડિગ્રી એક ચલ સાથેના સમગ્ર સમીકરણની જેમ જ નક્કી કરવામાં આવે છે. આ કરવા માટે, સમીકરણને એવા સ્વરૂપમાં લાવો જ્યાં ડાબી બાજુ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપની બહુપદી છે અને જમણી બાજુ શૂન્ય છે. આ સમકક્ષ પરિવર્તનો દ્વારા કરવામાં આવે છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ

ચાલો સમજીએ કે બે ચલ સાથેના બે સમીકરણો ધરાવતી સમીકરણોની સિસ્ટમ કેવી રીતે ઉકેલવી. ચાલો આવી સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો વિચાર કરીએ.

ઉદાહરણ 1. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

( x 2 + y 2 = 25

(y = -x 2 + 2*x + 5.

ચાલો સમાન સંકલન પ્રણાલીમાં પ્રથમ અને બીજા સમીકરણોના ગ્રાફ બનાવીએ. પ્રથમ સમીકરણનો આલેખ મૂળ અને ત્રિજ્યા 5 પર કેન્દ્ર ધરાવતું વર્તુળ હશે. બીજા સમીકરણનો આલેખ એક પેરાબોલા હશે જેની શાખાઓ નીચે જશે.

ગ્રાફ પરના તમામ બિંદુઓ દરેક પોતપોતાના સમીકરણને સંતોષશે. આપણે એવા મુદ્દા શોધવાની જરૂર છે જે પ્રથમ અને બીજા બંને સમીકરણોને સંતોષે. દેખીતી રીતે, આ તે બિંદુઓ હશે જ્યાં આ બે ગ્રાફ એકબીજાને છેદે છે.

અમારા ડ્રોઇંગનો ઉપયોગ કરીને, અમે કોઓર્ડિનેટ્સના અંદાજિત મૂલ્યો શોધીએ છીએ કે જેના પર આ બિંદુઓ છેદે છે. અમને નીચેના પરિણામો મળે છે:

A(-2.2;-4.5), B(0;5), C(2.2;4.5), D(4,-3).

આનો અર્થ એ છે કે આપણી સમીકરણોની સિસ્ટમમાં ચાર ઉકેલો છે.

x1 ≈ -2.2; y1 ≈ -4.5;

x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;

x3 ≈ 2.2; y3 ≈ 4.5;

x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.

જો આપણે આ મૂલ્યોને આપણી સિસ્ટમના સમીકરણોમાં બદલીએ, તો આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પ્રથમ અને ત્રીજા ઉકેલો અંદાજિત છે, અને બીજા અને ચોથા સચોટ છે. ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ઘણીવાર મૂળની સંખ્યા અને તેમની અંદાજિત સીમાઓનો અંદાજ કાઢવા માટે થાય છે. ઉકેલો ઘણીવાર સચોટ હોવાને બદલે અંદાજિત હોય છે.

પ્રવેશ સ્તર

ફંક્શન ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો, અસમાનતાઓ, સિસ્ટમો ઉકેલવા. વિઝ્યુઅલ ગાઈડ (2019)

ઘણા કાર્યો કે જે આપણે સંપૂર્ણ રીતે બીજગણિતની ગણતરી કરવા માટે વપરાય છે તે કાર્ય આલેખનો ઉપયોગ કરીને ખૂબ સરળ અને ઝડપી ઉકેલી શકાય છે; તમે કહો, "એવું કેવી રીતે?" કંઈક દોરો, અને શું દોરવું? મારા પર વિશ્વાસ કરો, કેટલીકવાર તે વધુ અનુકૂળ અને સરળ હોય છે. શું આપણે શરૂઆત કરીશું? ચાલો સમીકરણો સાથે પ્રારંભ કરીએ!

સમીકરણોનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન

રેખીય સમીકરણોનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન

જેમ તમે પહેલાથી જ જાણો છો, રેખીય સમીકરણનો ગ્રાફ એક સીધી રેખા છે, તેથી આ પ્રકારનું નામ. રેખીય સમીકરણો બીજગણિતીય રીતે ઉકેલવા માટે એકદમ સરળ છે - અમે તમામ અજાણ્યાઓને સમીકરણની એક બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ, જે બધું આપણે જાણીએ છીએ તે બીજી તરફ અને વોઇલા! અમને મૂળ મળ્યું. હવે હું તમને બતાવીશ કે તે કેવી રીતે કરવું ગ્રાફિકલી.

તેથી તમારી પાસે સમીકરણ છે:

તેને કેવી રીતે ઉકેલવું?
વિકલ્પ 1, અને સૌથી સામાન્ય એ છે કે અજ્ઞાતને એક બાજુ અને જ્ઞાતને બીજી તરફ ખસેડવું, આપણને મળે છે:

હવે ચાલો બાંધીએ. તમને શું મળ્યું?

તમને લાગે છે કે આપણા સમીકરણનું મૂળ શું છે? તે સાચું છે, આલેખના આંતરછેદ બિંદુનું સંકલન છે:

અમારો જવાબ છે

તે ગ્રાફિક સોલ્યુશનની સંપૂર્ણ શાણપણ છે. જેમ તમે સરળતાથી ચકાસી શકો છો, અમારા સમીકરણનું મૂળ એક સંખ્યા છે!

મેં ઉપર કહ્યું તેમ, આ સૌથી સામાન્ય વિકલ્પ છે, જે બીજગણિતીય ઉકેલની નજીક છે, પરંતુ તમે તેને બીજી રીતે હલ કરી શકો છો. વૈકલ્પિક ઉકેલને ધ્યાનમાં લેવા, ચાલો આપણા સમીકરણ પર પાછા જઈએ:

આ વખતે આપણે કંઈપણ બાજુથી બીજી બાજુ ખસેડીશું નહીં, પરંતુ સીધા આલેખ બનાવીશું, કારણ કે તે હવે અસ્તિત્વમાં છે:

બિલ્ટ? ચાલો જોઈએ!

આ વખતે ઉકેલ શું છે? તે સાચું છે. સમાન વસ્તુ - આલેખના આંતરછેદ બિંદુનું સંકલન:

અને, ફરીથી, અમારો જવાબ છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, રેખીય સમીકરણો સાથે બધું અત્યંત સરળ છે. કંઈક વધુ જટિલ જોવાનો આ સમય છે... ઉદાહરણ તરીકે, ચતુર્ભુજ સમીકરણોનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન.

ચતુર્ભુજ સમીકરણોનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન

તો, હવે ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવાનું શરૂ કરીએ. ચાલો કહીએ કે તમારે આ સમીકરણના મૂળ શોધવાની જરૂર છે:

અલબત્ત, તમે હવે ભેદભાવના માધ્યમથી અથવા વિયેટાના પ્રમેય મુજબ ગણતરી કરવાનું શરૂ કરી શકો છો, પરંતુ ઘણા લોકો, જ્ઞાનતંતુઓની બહાર, ગુણાકાર અથવા વર્ગીકરણ કરતી વખતે ભૂલો કરે છે, ખાસ કરીને જો ઉદાહરણ મોટી સંખ્યામાં હોય, અને, જેમ તમે જાણો છો, તમે જીતી ગયા છો. પરીક્ષા માટે તમારી પાસે કેલ્ક્યુલેટર નથી... તેથી, ચાલો આ સમીકરણ ઉકેલતી વખતે થોડો આરામ કરવાનો અને દોરવાનો પ્રયાસ કરીએ.

આ સમીકરણના ઉકેલો ગ્રાફિકલી વિવિધ રીતે શોધી શકાય છે. ચાલો વિવિધ વિકલ્પો જોઈએ, અને તમે પસંદ કરી શકો છો કે તમને કયો શ્રેષ્ઠ ગમે છે.

પદ્ધતિ 1. સીધી

અમે આ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ફક્ત એક પેરાબોલા બનાવીએ છીએ:

આ ઝડપથી કરવા માટે, હું તમને એક નાનો સંકેત આપીશ: પેરાબોલાના શિરોબિંદુને નિર્ધારિત કરીને બાંધકામ શરૂ કરવું અનુકૂળ છે.નીચેના સૂત્રો પેરાબોલાના શિરોબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવામાં મદદ કરશે:

તમે કહેશો “રોકો! માટેનું સૂત્ર ભેદભાવ કરનારને શોધવાના સૂત્ર જેવું જ છે," હા, તે છે, અને તેના મૂળ શોધવા માટે પેરાબોલાને "સીધી રીતે" બાંધવાનો આ એક મોટો ગેરલાભ છે. જો કે, ચાલો અંત સુધી ગણતરી કરીએ, અને પછી હું તમને બતાવીશ કે તે કેવી રીતે (ખૂબ!) સરળ રીતે કરવું!

શું તમે ગણતરી કરી? પેરાબોલાના શિરોબિંદુ માટે તમને કયા કોઓર્ડિનેટ્સ મળ્યા? ચાલો તેને એકસાથે શોધી કાઢીએ:

બરાબર એ જ જવાબ? શાબાશ! અને હવે આપણે પહેલાથી જ શિરોબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણીએ છીએ, પરંતુ પેરાબોલા બનાવવા માટે આપણને વધુ... બિંદુઓની જરૂર છે. તમને લાગે છે કે અમને કેટલા ન્યૂનતમ પોઈન્ટની જરૂર છે? સાચું, .

તમે જાણો છો કે પેરાબોલા તેના શિરોબિંદુ વિશે સપ્રમાણ છે, ઉદાહરણ તરીકે:

તદનુસાર, આપણને પેરાબોલાની ડાબી અથવા જમણી શાખા પર વધુ બે બિંદુઓની જરૂર છે, અને ભવિષ્યમાં આપણે આ બિંદુઓને વિરુદ્ધ બાજુ પર સમપ્રમાણરીતે પ્રતિબિંબિત કરીશું:

ચાલો આપણા પેરાબોલા પર પાછા ફરીએ. અમારા કેસ માટે, સમયગાળો. આપણને વધુ બે પોઈન્ટની જરૂર છે, જેથી આપણે પોઝીટીવ લઈ શકીએ કે નેગેટીવ લઈ શકીએ? તમારા માટે કયા બિંદુઓ સૌથી અનુકૂળ છે? સકારાત્મક લોકો સાથે કામ કરવું મારા માટે વધુ અનુકૂળ છે, તેથી હું અને પર ગણતરી કરીશ.

હવે આપણી પાસે ત્રણ બિંદુઓ છે, આપણે તેના શિરોબિંદુને સંબંધિત છેલ્લા બે બિંદુઓને પ્રતિબિંબિત કરીને આપણું પેરાબોલાને સરળતાથી બનાવી શકીએ છીએ:

તમને શું લાગે છે કે સમીકરણનો ઉકેલ શું છે? તે સાચું છે, બિંદુઓ જેના પર, એટલે કે, અને. કારણ કે.

અને જો આપણે એમ કહીએ, તો તેનો અર્થ એ છે કે તે પણ સમાન હોવું જોઈએ, અથવા.

બસ? અમે જટિલ ગ્રાફિકલ રીતે સમીકરણ ઉકેલવાનું સમાપ્ત કર્યું છે, અથવા ત્યાં વધુ હશે!

અલબત્ત, તમે બીજગણિતીય રીતે અમારા જવાબને ચકાસી શકો છો - તમે વિએટાના પ્રમેય અથવા ભેદભાવનો ઉપયોગ કરીને મૂળની ગણતરી કરી શકો છો. તમને શું મળ્યું? એ જ? તમે જુઓ! હવે ચાલો એક ખૂબ જ સરળ ગ્રાફિક ઉકેલ જોઈએ, મને ખાતરી છે કે તમને તે ખરેખર ગમશે!

પદ્ધતિ 2. કેટલાક કાર્યોમાં વિભાજિત

ચાલો આપણું સમાન સમીકરણ લઈએ: , પરંતુ આપણે તેને થોડું અલગ રીતે લખીશું, એટલે કે:

શું આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ? અમે કરી શકીએ છીએ, કારણ કે પરિવર્તન સમાન છે. ચાલો આગળ જોઈએ.

ચાલો બે કાર્યોને અલગથી બનાવીએ:

1. - ગ્રાફ એ એક સરળ પેરાબોલા છે, જે તમે ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને શિરોબિંદુને વ્યાખ્યાયિત કર્યા વિના અને અન્ય બિંદુઓ નક્કી કરવા માટે કોષ્ટક દોર્યા વિના પણ સરળતાથી બનાવી શકો છો.
2. - ગ્રાફ એ એક સીધી રેખા છે, જેને તમે કેલ્ક્યુલેટરનો આશરો લીધા વિના પણ તમારા માથામાંના મૂલ્યોનો અંદાજ લગાવીને સરળતાથી બનાવી શકો છો.

બિલ્ટ? ચાલો મને જે મળ્યું તેની સાથે સરખામણી કરીએ:

તમને શું લાગે છે કે આ કિસ્સામાં સમીકરણના મૂળ શું છે? અધિકાર! બે ગ્રાફના આંતરછેદ દ્વારા મેળવેલ કોઓર્ડિનેટ્સ અને, એટલે કે:

તદનુસાર, આ સમીકરણનો ઉકેલ છે:

તમે શું કહો છો? સંમત થાઓ, ઉકેલની આ પદ્ધતિ અગાઉના કરતાં ઘણી સરળ છે અને ભેદભાવ કરનાર દ્વારા મૂળ શોધવા કરતાં પણ સરળ છે! જો એમ હોય તો, આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને નીચેના સમીકરણને હલ કરવાનો પ્રયાસ કરો:

તમને શું મળ્યું? ચાલો આપણા ગ્રાફની તુલના કરીએ:

આલેખ બતાવે છે કે જવાબો છે:

શું તમે મેનેજ કર્યું? શાબાશ! હવે ચાલો સમીકરણોને થોડા વધુ જટિલ જોઈએ, એટલે કે, મિશ્ર સમીકરણો ઉકેલવા, એટલે કે વિવિધ પ્રકારનાં કાર્યો ધરાવતાં સમીકરણો.

મિશ્ર સમીકરણોનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન

હવે ચાલો નીચેની સમસ્યાઓ હલ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ:

અલબત્ત, તમે ODZ ને ધ્યાનમાં લેવાનું ભૂલ્યા વિના, પરિણામી સમીકરણના મૂળ શોધી શકો છો, પરંતુ ફરીથી, અમે તેને ગ્રાફિકલી હલ કરવાનો પ્રયાસ કરીશું, જેમ આપણે અગાઉના તમામ કેસોમાં કર્યું હતું.

આ વખતે ચાલો નીચેના 2 ગ્રાફ બનાવીએ:

1. - આલેખ અતિપરવલય છે
2. - ગ્રાફ એ એક સીધી રેખા છે, જેને તમે કેલ્ક્યુલેટરનો આશરો લીધા વિના પણ તમારા માથામાંના મૂલ્યોનો અંદાજ લગાવીને સરળતાથી બનાવી શકો છો.

સમજાયું? હવે બાંધકામ શરૂ કરો.

મને જે મળ્યું તે અહીં છે:

આ ચિત્ર જોઈને કહો કે આપણા સમીકરણના મૂળ શું છે?

તે સાચું છે, અને. અહીં પુષ્ટિકરણ છે:

અમારા મૂળને સમીકરણમાં જોડવાનો પ્રયાસ કરો. તે કામ કર્યું?

તે સાચું છે! સંમત થાઓ, આવા સમીકરણોને ગ્રાફિકલી ઉકેલવા એ આનંદની વાત છે!

સમીકરણને જાતે ગ્રાફિકલી હલ કરવાનો પ્રયાસ કરો:

હું તમને એક સંકેત આપીશ: સમીકરણના ભાગને જમણી બાજુએ ખસેડો જેથી બાંધવા માટેના સરળ કાર્યો બંને બાજુ હોય. શું તમને સંકેત મળ્યો? પગલાં લો!

હવે ચાલો જોઈએ કે તમને શું મળ્યું:

અનુક્રમે:

1. - ક્યુબિક પેરાબોલા.
2. - સામાન્ય સીધી રેખા.

સારું, ચાલો બનાવીએ:

જેમ તમે લાંબા સમય પહેલા લખ્યું છે, આ સમીકરણનું મૂળ છે -.

આટલી મોટી સંખ્યામાં ઉદાહરણો પર કામ કર્યા પછી, મને ખાતરી છે કે તમને સમજાયું હશે કે સમીકરણોને ગ્રાફિકલી રીતે ઉકેલવું કેટલું સરળ અને ઝડપી છે. આ રીતે સિસ્ટમોને કેવી રીતે હલ કરવી તે શોધવાનો આ સમય છે.

સિસ્ટમ્સનું ગ્રાફિક સોલ્યુશન

ગ્રાફિકલી સોલ્વિંગ સિસ્ટમ્સ આવશ્યકપણે ગ્રાફિકલી સોલ્વિંગ સમીકરણોથી અલગ નથી. અમે બે ગ્રાફ પણ બનાવીશું, અને તેમના આંતરછેદ બિંદુઓ આ સિસ્ટમના મૂળ હશે. એક ગ્રાફ એ એક સમીકરણ છે, બીજો ગ્રાફ એ બીજું સમીકરણ છે. બધું અત્યંત સરળ છે!

ચાલો સૌથી સરળ વસ્તુથી શરૂ કરીએ - રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓ હલ કરવી.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી

ચાલો કહીએ કે અમારી પાસે નીચેની સિસ્ટમ છે:

પ્રથમ, ચાલો તેને રૂપાંતરિત કરીએ જેથી ડાબી બાજુએ તે બધું છે જે સાથે જોડાયેલ છે, અને જમણી બાજુએ - દરેક વસ્તુ જેની સાથે જોડાયેલ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ચાલો આ સમીકરણોને આપણા સામાન્ય સ્વરૂપમાં ફંક્શન તરીકે લખીએ:

હવે આપણે ફક્ત બે સીધી રેખાઓ બનાવીએ છીએ. અમારા કિસ્સામાં ઉકેલ શું છે? અધિકાર! તેમના આંતરછેદનો મુદ્દો! અને અહીં તમારે ખૂબ, ખૂબ કાળજી લેવાની જરૂર છે! તે વિશે વિચારો, શા માટે? ચાલો હું તમને એક સંકેત આપું: અમે સિસ્ટમ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ: સિસ્ટમમાં બંને છે, અને... સંકેત મળ્યો?

તે સાચું છે! સિસ્ટમ ઉકેલતી વખતે, આપણે બંને કોઓર્ડિનેટ્સ જોવું જોઈએ, અને સમીકરણો ઉકેલતી વખતે નહીં! બીજો મહત્વનો મુદ્દો એ છે કે તેમને યોગ્ય રીતે લખો અને મૂંઝવણ ન કરો કે આપણી પાસે ક્યાં અર્થ છે અને અર્થ ક્યાં છે! શું તમે તે લખી નાખ્યું? હવે ચાલો ક્રમમાં દરેક વસ્તુની તુલના કરીએ:

અને જવાબો: અને. તપાસ કરો - મળેલા મૂળને સિસ્ટમમાં બદલો અને ખાતરી કરો કે અમે તેને ગ્રાફિકલી રીતે યોગ્ય રીતે હલ કર્યો છે કે કેમ?

બિનરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી

જો, એક સીધી રેખાને બદલે, આપણી પાસે ચતુર્ભુજ સમીકરણ હોય તો? તે ઠીક છે! તમે સીધી રેખાને બદલે માત્ર એક પેરાબોલા બનાવો! મારા પર વિશ્વાસ નથી થતો? નીચેની સિસ્ટમને હલ કરવાનો પ્રયાસ કરો:

અમારું આગળનું પગલું શું છે? તે સાચું છે, તેને લખો જેથી અમને આલેખ બનાવવા માટે તે અનુકૂળ હોય:

અને હવે તે બધી નાની વસ્તુઓની બાબત છે - તેને ઝડપથી બનાવો અને અહીં તમારો ઉકેલ છે! અમે બનાવીએ છીએ:

શું આલેખ સમાન બહાર આવ્યું છે? હવે આકૃતિમાં સિસ્ટમના ઉકેલોને ચિહ્નિત કરો અને ઓળખાયેલા જવાબોને યોગ્ય રીતે લખો!

તમે બધું કર્યું? મારી નોંધો સાથે સરખામણી કરો:

બધું બરાબર છે ને? શાબાશ! તમે પહેલાથી જ બદામ જેવા કાર્યો આ પ્રકારના ક્રેકીંગ છે! જો એમ હોય, તો ચાલો તમને વધુ જટિલ સિસ્ટમ આપીએ:

અમે શું કરી રહ્યા છીએ? અધિકાર! અમે સિસ્ટમ લખીએ છીએ જેથી તે બિલ્ડ કરવા માટે અનુકૂળ હોય:

હું તમને થોડો સંકેત આપીશ, કારણ કે સિસ્ટમ ખૂબ જ જટિલ લાગે છે! ગ્રાફ બનાવતી વખતે, તેમને "વધુ" બનાવો, અને સૌથી અગત્યનું, આંતરછેદ બિંદુઓની સંખ્યાથી આશ્ચર્ય પામશો નહીં.

તો, ચાલો જઈએ! શ્વાસ બહાર કાઢ્યો? હવે મકાન શરૂ કરો!

તો કેવી રીતે? સુંદર? તમને કેટલા આંતરછેદ બિંદુઓ મળ્યા? મારી પાસે ત્રણ છે! ચાલો આપણા ગ્રાફની તુલના કરીએ:

પણ? હવે અમારી સિસ્ટમના તમામ ઉકેલો કાળજીપૂર્વક લખો:

હવે ફરીથી સિસ્ટમ જુઓ:

શું તમે કલ્પના કરી શકો છો કે તમે આ માત્ર 15 મિનિટમાં ઉકેલી લીધું છે? સંમત થાઓ, ગણિત હજી પણ સરળ છે, ખાસ કરીને જ્યારે કોઈ અભિવ્યક્તિને જોતા હોય ત્યારે તમે ભૂલ કરતા ડરતા નથી, પરંતુ ફક્ત તેને લો અને તેને હલ કરો! તમે મહાન છો!

અસમાનતાના ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન

રેખીય અસમાનતાઓનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન

છેલ્લા ઉદાહરણ પછી, તમે કંઈપણ કરી શકો છો! હવે શ્વાસ બહાર કાઢો - અગાઉના વિભાગોની તુલનામાં, આ એક ખૂબ જ સરળ હશે!

અમે હંમેશની જેમ, રેખીય અસમાનતાના ગ્રાફિકલ ઉકેલ સાથે પ્રારંભ કરીશું. ઉદાહરણ તરીકે, આ એક:

પ્રથમ, ચાલો સૌથી સરળ પરિવર્તનો કરીએ - સંપૂર્ણ ચોરસના કૌંસ ખોલો અને સમાન શબ્દો રજૂ કરીએ:

અસમાનતા કડક નથી, તેથી તે અંતરાલમાં સમાવિષ્ટ નથી, અને ઉકેલ એ તમામ બિંદુઓ હશે જે જમણી તરફ છે, કારણ કે વધુ, વધુ, અને તેથી વધુ:

જવાબ:

બસ! સરળતાથી? ચાલો બે ચલો સાથે એક સરળ અસમાનતાને હલ કરીએ:

ચાલો કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ફંક્શન દોરીએ.

શું તમને આવું શેડ્યૂલ મળ્યું છે? હવે આપણે ધ્યાનથી જોઈએ કે આપણે ત્યાં કઈ અસમાનતા છે? ઓછું? આનો અર્થ એ છે કે આપણે આપણી સીધી રેખાની ડાબી બાજુની દરેક વસ્તુ પર પેઇન્ટ કરીએ છીએ. જો ત્યાં વધુ હોત તો? તે સાચું છે, તો પછી અમે અમારી સીધી રેખાની જમણી બાજુની દરેક વસ્તુ પર પેઇન્ટ કરીશું. તે સરળ છે.

આ અસમાનતાના તમામ ઉકેલો નારંગી રંગમાં છાંયો છે. બસ, બે ચલો સાથેની અસમાનતા ઉકેલાય છે. આનો અર્થ એ છે કે છાંયેલા વિસ્તારમાંથી કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ એ ઉકેલો છે.

ચતુર્ભુજ અસમાનતાઓનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન

હવે આપણે સમજીશું કે ચતુર્ભુજ અસમાનતાઓને ગ્રાફિકલી કેવી રીતે હલ કરવી.

પરંતુ અમે વ્યવસાય પર ઉતરીએ તે પહેલાં, ચાલો ચતુર્ભુજ કાર્યને લગતી કેટલીક સામગ્રીની સમીક્ષા કરીએ.

ભેદભાવ કરનાર શા માટે જવાબદાર છે? તે સાચું છે, અક્ષને સંબંધિત ગ્રાફની સ્થિતિ માટે (જો તમને આ યાદ ન હોય, તો ચતુર્ભુજ કાર્યો વિશેનો સિદ્ધાંત ચોક્કસપણે વાંચો).

કોઈ પણ સંજોગોમાં, અહીં તમારા માટે થોડું રીમાઇન્ડર છે:

હવે અમે અમારી મેમરીમાં તમામ સામગ્રીને તાજી કરી દીધી છે, ચાલો વ્યવસાય પર ઉતરીએ - અસમાનતાને ગ્રાફિકલી ઉકેલો.

હું તમને તરત જ કહીશ કે તેને ઉકેલવા માટે બે વિકલ્પો છે.

વિકલ્પ 1

અમે અમારા પેરાબોલાને ફંક્શન તરીકે લખીએ છીએ:

સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, અમે પેરાબોલાના શિરોબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ છીએ (ચતુર્ભુજ સમીકરણો હલ કરતી વખતે બરાબર એ જ છે):

શું તમે ગણતરી કરી? તમને શું મળ્યું?

હવે ચાલો વધુ બે જુદા જુદા મુદ્દાઓ લઈએ અને તેમના માટે ગણતરી કરીએ:

ચાલો પેરાબોલાની એક શાખા બનાવવાનું શરૂ કરીએ:

અમે સમપ્રમાણરીતે અમારા બિંદુઓને પેરાબોલાની બીજી શાખા પર પ્રતિબિંબિત કરીએ છીએ:

હવે આપણે આપણી અસમાનતા પર પાછા ફરીએ.

અમને તે અનુક્રમે શૂન્ય કરતા ઓછું હોવું જરૂરી છે:

અમારી અસમાનતામાં ચિહ્ન તેના કરતા સખત રીતે ઓછું હોવાથી, અમે અંતિમ બિંદુઓને બાકાત રાખીએ છીએ - "પંચર આઉટ".

જવાબ:

લાંબો રસ્તો, બરાબર ને? હવે હું તમને સમાન અસમાનતાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને ગ્રાફિકલ સોલ્યુશનનું સરળ સંસ્કરણ બતાવીશ:

વિકલ્પ 2

અમે અમારી અસમાનતા પર પાછા ફરીએ છીએ અને અમને જરૂરી અંતરાલોને ચિહ્નિત કરીએ છીએ:

સંમત થાઓ, તે ખૂબ ઝડપી છે.

ચાલો હવે જવાબ લખીએ:

ચાલો બીજા ઉકેલને ધ્યાનમાં લઈએ જે બીજગણિત ભાગને સરળ બનાવે છે, પરંતુ મુખ્ય વસ્તુ મૂંઝવણમાં ન આવવાની છે.

ડાબી અને જમણી બાજુઓને આના દ્વારા ગુણાકાર કરો:

તમને ગમે તે રીતે નીચેની ચતુર્ભુજ અસમાનતાને જાતે હલ કરવાનો પ્રયાસ કરો: .

શું તમે મેનેજ કર્યું?

મારો ગ્રાફ કેવો નીકળ્યો તે જુઓ:

જવાબ: .

મિશ્ર અસમાનતાઓનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન

હવે ચાલો વધુ જટિલ અસમાનતાઓ તરફ આગળ વધીએ!

તમને આ કેવી રીતે ગમ્યું:

તે વિલક્ષણ છે, તે નથી? પ્રામાણિકપણે, મને આને બીજગણિત રીતે કેવી રીતે ઉકેલવું તે અંગે કોઈ ખ્યાલ નથી... પરંતુ તે જરૂરી નથી. ગ્રાફિકલી આમાં કંઈ જટિલ નથી! આંખો ડરે છે, પણ હાથ કરે છે!

પ્રથમ વસ્તુ જેની સાથે આપણે શરૂઆત કરીશું તે છે બે ગ્રાફ બનાવીને:

હું દરેક માટે એક ટેબલ લખીશ નહીં - મને ખાતરી છે કે તમે તે તમારી જાતે કરી શકો છો (વાહ, ઉકેલવા માટે ઘણા ઉદાહરણો છે!).

શું તમે તેને પેઇન્ટ કર્યું? હવે બે ગ્રાફ બનાવો.

ચાલો આપણા રેખાંકનોની તુલના કરીએ?

શું તમારી સાથે પણ એવું જ છે? સરસ! હવે ચાલો આંતરછેદ બિંદુઓને ગોઠવીએ અને રંગનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરીએ કે કયો ગ્રાફ સિદ્ધાંતમાં મોટો હોવો જોઈએ, એટલે કે. જુઓ અંતે શું થયું:

હવે ચાલો જોઈએ કે આપણો પસંદ કરેલ ગ્રાફ ગ્રાફ કરતા ક્યાં વધારે છે? આ વિસ્તાર પર પેન્સિલ લેવા અને પેઇન્ટ કરવા માટે મફત લાગે! તે આપણી જટિલ અસમાનતાનો ઉકેલ હશે!

આપણે અક્ષ સાથે કયા અંતરાલથી ઉંચા છીએ? સાચું, . આ જવાબ છે!

ઠીક છે, હવે તમે કોઈપણ સમીકરણ, કોઈપણ સિસ્ટમ અને તેનાથી પણ વધુ કોઈપણ અસમાનતાને સંભાળી શકો છો!

મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં

ફંક્શન ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ:

1. ચાલો તેના દ્વારા વ્યક્ત કરીએ
2. ચાલો ફંક્શન પ્રકાર વ્યાખ્યાયિત કરીએ
3. ચાલો પરિણામી કાર્યોના ગ્રાફ બનાવીએ
4. ચાલો આલેખના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધીએ
5. ચાલો જવાબ સાચો લખીએ (ODZ અને અસમાનતા ચિહ્નોને ધ્યાનમાં રાખીને)
6. ચાલો જવાબ તપાસીએ (મૂળને સમીકરણ અથવા સિસ્ટમમાં બદલીએ)

ફંક્શન ગ્રાફ બનાવવા વિશે વધુ માહિતી માટે, વિષય "" જુઓ.

બેક ફોરવર્ડ

ધ્યાન આપો! સ્લાઇડ પૂર્વાવલોકનો ફક્ત માહિતીના હેતુ માટે છે અને તે પ્રસ્તુતિની તમામ સુવિધાઓને રજૂ કરી શકશે નહીં. જો તમને આ કાર્યમાં રસ હોય, તો કૃપા કરીને સંપૂર્ણ સંસ્કરણ ડાઉનલોડ કરો.

પાઠના લક્ષ્યો અને ઉદ્દેશ્યો:

• ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવામાં કુશળતા વિકસાવવાનું કામ ચાલુ રાખો;
• સંશોધન કરો અને બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલોની સંખ્યા વિશે તારણો કાઢો;
• નાટક દ્વારા વિષયમાં રસ કેળવો.

પાઠની પ્રગતિ

1. સંસ્થાકીય ક્ષણ (આયોજન બેઠક)- 2 મિનિટ

- શુભ બપોર! અમે અમારી પરંપરાગત આયોજન બેઠક શરૂ કરી રહ્યા છીએ. આજે અમારી પ્રયોગશાળામાં (હું મહેમાનોનું પ્રતિનિધિત્વ કરું છું) અમારી મુલાકાત લેનાર દરેકને આવકારતાં અમને આનંદ થાય છે. અમારી પ્રયોગશાળા કહેવામાં આવે છે: "રસ અને આનંદ સાથે કામ કરો"(સ્લાઇડ 2 બતાવી રહ્યું છે). નામ આપણા કાર્યમાં સૂત્ર તરીકે કામ કરે છે. “રુચિ અને આનંદ સાથે બનાવો, નક્કી કરો, શીખો, પ્રાપ્ત કરો" પ્રિય મહેમાનો, હું તમને અમારી પ્રયોગશાળાના વડાઓ રજૂ કરું છું (સ્લાઇડ 3).
અમારી પ્રયોગશાળા વૈજ્ઞાનિક કાર્યો, સંશોધન, પરીક્ષા અને સર્જનાત્મક પ્રોજેક્ટ્સના નિર્માણ પરના કામના અભ્યાસમાં રોકાયેલ છે.
આજે અમારી ચર્ચાનો વિષય છે: "રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન." (હું પાઠનો વિષય લખવાનું સૂચન કરું છું)

દિવસનો કાર્યક્રમ:(સ્લાઇડ 4)

1. આયોજન બેઠક
2. વિસ્તૃત શૈક્ષણિક પરિષદ:

• વિષય પર ભાષણો
• કામ કરવાની પરવાનગી

3. નિપુણતા
4. સંશોધન અને શોધ
5. સર્જનાત્મક પ્રોજેક્ટ
6. રિપોર્ટ
7. આયોજન

2. પ્રશ્ન અને મૌખિક કાર્ય (વિસ્તૃત શૈક્ષણિક પરિષદ)- 10 મિનિટ

- આજે અમે એક વિસ્તૃત શૈક્ષણિક પરિષદ યોજી રહ્યા છીએ, જેમાં માત્ર વિભાગના વડાઓ જ નહીં, પણ અમારી ટીમના તમામ સભ્યો પણ હાજરી આપે છે. પ્રયોગશાળાએ હમણાં જ વિષય પર કામ શરૂ કર્યું છે: "રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન." આપણે આ બાબતમાં સર્વોચ્ચ સિદ્ધિઓ હાંસલ કરવાનો પ્રયાસ કરવો જોઈએ. અમારી પ્રયોગશાળા આ વિષય પર તેના સંશોધનની ગુણવત્તા માટે પ્રખ્યાત હોવી જોઈએ. વરિષ્ઠ સંશોધક તરીકે, હું દરેકને શુભેચ્છા પાઠવું છું!

સંશોધનના પરિણામોની જાણ લેબોરેટરીના વડાને કરવામાં આવશે.

સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા અંગેના અહેવાલ માટેનું માળખું છે... (હું વિદ્યાર્થીને બોર્ડમાં બોલાવું છું). હું કાર્યને કાર્ય આપું છું (કાર્ડ 1).

અને લેબોરેટરી આસિસ્ટન્ટ... (હું તેનું છેલ્લું નામ આપું છું) તમને યાદ અપાવશે કે મોડ્યુલસ વડે ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવી રીતે બનાવવો. હું તમને કાર્ડ 2 આપું છું.

કાર્ડ 1(સ્લાઇડ 7 પરના કાર્યનો ઉકેલ)

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

કાર્ડ 2(સ્લાઇડ 9 પરના કાર્યનો ઉકેલ)

કાર્યનો આલેખ કરો: y = | 1.5x – 3 |

જ્યારે સ્ટાફ રિપોર્ટ માટે તૈયારી કરી રહ્યો હોય, ત્યારે હું તપાસ કરીશ કે તમે સંશોધન પૂર્ણ કરવા માટે કેટલા તૈયાર છો. તમારામાંના દરેકને કામ કરવાની પરવાનગી મેળવવી આવશ્યક છે. (અમે નોટબુકમાં જવાબો લખીને મૌખિક ગણતરી શરૂ કરીએ છીએ)

કામ કરવાની પરવાનગી(સ્લાઇડ્સ 5 અને 6 પરના કાર્યો)

1) એક્સપ્રેસ ખાતેદ્વારા x:

3x + y = 4 (y = 4 – 3x)
5x – y = 2 (y = 5x – 2)
1/2y – x = 7 (y = 2x + 14)
2x + 1/3y – 1 = 0 (y = – 6x + 3)

2) સમીકરણ ઉકેલો:

5x + 2 = 0 (x = – 2/5)
4x – 3 = 0 (x = 3/4)
2 – 3x = 0 (x = 2/3)
1/3x + 4 = 0 (x = – 12)

3) સમીકરણોની સિસ્ટમ આપેલ છે:

સંખ્યાઓની જોડીમાંથી કઈ (– 1; 1) અથવા (1; – 1) સમીકરણોની આ પદ્ધતિનો ઉકેલ છે?

જવાબ: (1; - 1)

મૌખિક ગણતરીના દરેક ભાગ પછી તરત જ, વિદ્યાર્થીઓ નોટબુકની આપ-લે કરે છે (એક જ વિભાગમાં તેમની બાજુમાં બેઠેલા વિદ્યાર્થી સાથે), સાચા જવાબો સ્લાઇડ્સ પર દેખાય છે; ઈન્સ્પેક્ટર વત્તા કે માઈનસ આપે છે. કાર્યના અંતે, વિભાગના વડા સારાંશ કોષ્ટકમાં પરિણામો દાખલ કરે છે (નીચે જુઓ); દરેક ઉદાહરણ માટે 1 પોઇન્ટ આપવામાં આવે છે (9 પોઇન્ટ મેળવવાનું શક્ય છે).
જેઓ 5 કે તેથી વધુ પોઈન્ટ મેળવે છે તેમને કામ કરવાની છૂટ છે. બાકીના શરતી પ્રવેશ મેળવે છે, એટલે કે. વિભાગના વડાની દેખરેખ હેઠળ કામ કરવાની જરૂર પડશે.

ટેબલ (બોસ દ્વારા ભરેલું)

(પાઠની શરૂઆત પહેલાં કોષ્ટકો જારી કરવામાં આવે છે)

પ્રવેશ મેળવ્યા પછી, અમે બ્લેકબોર્ડ પર વિદ્યાર્થીઓના જવાબો સાંભળીએ છીએ. જવાબ માટે, જો જવાબ પૂરો હોય તો વિદ્યાર્થીને 9 પોઈન્ટ (પ્રવેશ માટેની મહત્તમ સંખ્યા), જો જવાબ પૂર્ણ ન હોય તો 4 પોઈન્ટ્સ મળે છે. પોઈન્ટ "પ્રવેશ" કૉલમમાં દાખલ કરવામાં આવે છે.
જો બોર્ડ પરનો ઉકેલ સાચો હોય, તો સ્લાઇડ્સ 7 અને 9 બતાવવાની જરૂર નથી. જો ઉકેલ સાચો છે, પરંતુ સ્પષ્ટ રીતે અમલમાં નથી, અથવા ઉકેલ ખોટો છે, તો સ્લાઇડ્સ સ્પષ્ટીકરણો સાથે દર્શાવવી આવશ્યક છે.
હું હંમેશા કાર્ડ 1 પર વિદ્યાર્થીના જવાબ પછી સ્લાઇડ 8 બતાવું છું. આ સ્લાઇડ પર, પાઠ માટે તારણો મહત્વપૂર્ણ છે.

સિસ્ટમોને ગ્રાફિકલી ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ:

• સિસ્ટમના દરેક સમીકરણમાં x ની દ્રષ્ટિએ y વ્યક્ત કરો.
• સિસ્ટમના દરેક સમીકરણનો ગ્રાફ બનાવો.
• આલેખના આંતરછેદ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો.
• તપાસ કરો (હું વિદ્યાર્થીઓનું ધ્યાન એ હકીકત તરફ દોરું છું કે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ સામાન્ય રીતે અંદાજિત ઉકેલ આપે છે, પરંતુ જો આલેખનું આંતરછેદ સમગ્ર કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુને અથડાતું હોય, તો તમે તપાસ કરી શકો છો અને ચોક્કસ જવાબ મેળવી શકો છો).
• જવાબ લખો.

3. કસરતો (પરીક્ષા)- 5 મિનિટ

ગઈકાલે કેટલાક કર્મચારીઓના કામમાં ગંભીર ભૂલો થઈ હતી. આજે તમે ગ્રાફિક સોલ્યુશનની બાબતમાં પહેલાથી જ વધુ સક્ષમ છો. તમને સૂચિત ઉકેલોની પરીક્ષા લેવા માટે આમંત્રિત કરવામાં આવ્યા છે, એટલે કે. ઉકેલોમાં ભૂલો શોધો. સ્લાઇડ 10 બતાવવામાં આવી છે.
વિભાગોમાં કામગીરી ચાલી રહી છે. (ભૂલો સાથેની સોંપણીઓની ફોટોકોપી દરેક ડેસ્કને આપવામાં આવે છે; દરેક વિભાગમાં, કર્મચારીઓએ ભૂલો શોધીને તેને પ્રકાશિત કરવી અથવા તેને સુધારવી જોઈએ; ફોટોકોપીઓ વરિષ્ઠ સંશોધક, એટલે કે શિક્ષકને સોંપવી આવશ્યક છે). જેઓ ભૂલ શોધીને સુધારે છે તેમના માટે બોસ 2 પોઈન્ટ ઉમેરે છે. પછી અમે કરેલી ભૂલોની ચર્ચા કરીએ છીએ અને તેમને સ્લાઇડ 10 પર સૂચવીએ છીએ.

ભૂલ 1

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

જવાબ: ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી.

વિદ્યાર્થીઓએ જ્યાં સુધી તેઓ એકબીજાને છેદે નહીં અને જવાબ ન મેળવે ત્યાં સુધી લીટીઓ ચાલુ રાખવી જોઈએ: (– 2; 1).

ભૂલ 2.

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

જવાબ: (1; 4).

વિદ્યાર્થીઓએ પ્રથમ સમીકરણના રૂપાંતરણમાં ભૂલ શોધી કાઢવી જોઈએ અને તેને ફિનિશ્ડ ડ્રોઈંગ પર સુધારવી જોઈએ. બીજો જવાબ મેળવો: (2; 5).

4. નવી સામગ્રી સમજાવવી (સંશોધન અને શોધ)- 12 મિનિટ

હું સૂચન કરું છું કે વિદ્યાર્થીઓ ત્રણ સિસ્ટમોને ગ્રાફિકલી હલ કરે. દરેક વિદ્યાર્થી સ્વતંત્ર રીતે નોટબુકમાં ઉકેલે છે. માત્ર શરતી મંજૂરી ધરાવતા લોકો જ સલાહ લઈ શકે છે.

ઉકેલ

આલેખ દોર્યા વિના, તે સ્પષ્ટ છે કે સીધી રેખાઓ એકરૂપ થશે.

સ્લાઇડ 11 સિસ્ટમ્સ સોલ્યુશન બતાવે છે; એવી અપેક્ષા રાખવામાં આવે છે કે વિદ્યાર્થીઓને ઉદાહરણ 3 માં જવાબ લખવામાં મુશ્કેલી પડશે. વિભાગોમાં કામ કર્યા પછી, અમે ઉકેલ તપાસીએ છીએ (બોસ સાચા માટે 2 પોઈન્ટ ઉમેરે છે). હવે તે ચર્ચા કરવાનો સમય છે કે બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં કેટલા ઉકેલો હોઈ શકે છે.
વિદ્યાર્થીઓએ પોતાની જાતે તારણો કાઢવો જોઈએ અને પ્લેન પરની રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિના કેસોની યાદી બનાવીને તેમને સમજાવવા જોઈએ (સ્લાઈડ 12).

5. સર્જનાત્મક પ્રોજેક્ટ (કસરત)- 12 મિનિટ

વિભાગ માટે કામગીરી આપવામાં આવી છે. બોસ દરેક પ્રયોગશાળા સહાયકને, તેની ક્ષમતાઓ અનુસાર, તેના પ્રદર્શનનો ટુકડો આપે છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમોને ગ્રાફિકલી ઉકેલો:

કૌંસ ખોલ્યા પછી, વિદ્યાર્થીઓએ સિસ્ટમ પ્રાપ્ત કરવી જોઈએ:

કૌંસ ખોલ્યા પછી, પ્રથમ સમીકરણ આના જેવું દેખાય છે: y = 2/3x + 4.

6. અહેવાલ (કાર્ય પૂર્ણ થયું છે તે તપાસી રહ્યું છે)- 2 મિનિટ

સર્જનાત્મક પ્રોજેક્ટ પૂર્ણ કર્યા પછી, વિદ્યાર્થીઓ તેમની નોટબુકમાં ફેરવે છે. સ્લાઇડ 13 પર હું બતાવું છું કે શું થવું જોઈએ. બોસ ટેબલ પર હાથ આપે છે. છેલ્લી કૉલમ શિક્ષક દ્વારા ભરવામાં આવે છે અને ચિહ્નિત કરવામાં આવે છે (આગલા પાઠમાં વિદ્યાર્થીઓને ગુણની જાણ કરી શકાય છે). પ્રોજેક્ટમાં, પ્રથમ સિસ્ટમના ઉકેલનું મૂલ્યાંકન ત્રણ પોઇન્ટ સાથે કરવામાં આવે છે, અને બીજા - ચાર સાથે.

7. આયોજન (સારાંશ અને હોમવર્ક)- 2 મિનિટ

ચાલો આપણા કામનો સારાંશ આપીએ. અમે સારું કામ કર્યું. અમે આવતીકાલે આયોજન બેઠકમાં પરિણામો વિશે ખાસ વાત કરીશું. અલબત્ત, બધા પ્રયોગશાળા સહાયકો, અપવાદ વિના, સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવાની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિમાં નિપુણતા પ્રાપ્ત કરી અને સિસ્ટમમાં કેટલા ઉકેલો હોઈ શકે તે શીખ્યા. આવતીકાલે તમારામાંના દરેક પાસે વ્યક્તિગત પ્રોજેક્ટ હશે. વધારાની તૈયારી માટે: ફકરો 36; 647-649(2); સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓનું પુનરાવર્તન કરો. 649(2) અને વિશ્લેષણાત્મક રીતે ઉકેલો.

પ્રયોગશાળાના ડાયરેક્ટર નૌમન નૌ માનોવિચ દ્વારા દિવસભર અમારા કામની દેખરેખ રાખવામાં આવી હતી. તેની પાસે ફ્લોર છે. (અંતિમ સ્લાઇડ બતાવી રહ્યું છે).

અંદાજિત ગ્રેડિંગ સ્કેલ

આ પાઠમાં આપણે બે ચલોમાં બે સમીકરણોના ઉકેલની પ્રણાલીઓ જોઈશું. પ્રથમ, ચાલો બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન અને તેમના આલેખના સમૂહની વિશિષ્ટતાઓ જોઈએ. આગળ, અમે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઘણી સિસ્ટમોને હલ કરીશું.

વિષય: સમીકરણોની સિસ્ટમો

પાઠ: સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટેની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ

સિસ્ટમ ધ્યાનમાં લો

સંખ્યાઓની એક જોડી જે સિસ્ટમના પ્રથમ અને બીજા બંને સમીકરણોનો એક સાથે ઉકેલ છે તેને કહેવામાં આવે છે. સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરવી.

સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે તેના તમામ ઉકેલો શોધવા, અથવા સ્થાપિત કરવું કે ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી. અમે મૂળભૂત સમીકરણોના આલેખ જોયા છે, ચાલો સિસ્ટમો પર વિચાર કરવા આગળ વધીએ.

ઉદાહરણ 1. સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ:

આ રેખીય સમીકરણો છે, તેમાંના દરેકનો ગ્રાફ એક સીધી રેખા છે. પ્રથમ સમીકરણનો ગ્રાફ પોઈન્ટ (0; 1) અને (-1; 0)માંથી પસાર થાય છે. બીજા સમીકરણનો ગ્રાફ પોઈન્ટ (0; -1) અને (-1; 0)માંથી પસાર થાય છે. રેખાઓ બિંદુ (-1; 0) પર છેદે છે, આ સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ છે ( ચોખા. 1).

સિસ્ટમનો ઉકેલ એ સંખ્યાઓની જોડી છે, દરેક સમીકરણમાં સંખ્યાઓની આ જોડીને બદલીને, આપણે સાચી સમાનતા મેળવીએ છીએ.

અમે રેખીય સિસ્ટમ માટે અનન્ય ઉકેલ મેળવ્યો છે.

યાદ કરો કે જ્યારે રેખીય પ્રણાલીને હલ કરતી વખતે, નીચેના કિસ્સાઓ શક્ય છે:

સિસ્ટમમાં એક અનન્ય ઉકેલ છે - રેખાઓ છેદે છે,

સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલો નથી - રેખાઓ સમાંતર છે,

સિસ્ટમમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે - સીધી રેખાઓ એકરૂપ થાય છે.

જ્યારે p(x; y) અને q(x; y) એ x અને y ના રેખીય સમીકરણો હોય ત્યારે અમે સિસ્ટમના વિશિષ્ટ કેસને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.

ઉદાહરણ 2. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ:

પ્રથમ સમીકરણનો ગ્રાફ એક સીધી રેખા છે, બીજા સમીકરણનો ગ્રાફ એક વર્તુળ છે. ચાલો પ્રથમ ગ્રાફ પોઈન્ટ દ્વારા બનાવીએ (ફિગ. 2).

વર્તુળનું કેન્દ્ર બિંદુ O(0; 0) પર છે, ત્રિજ્યા 1 છે.

આલેખ બિંદુ A(0; 1) અને બિંદુ B(-1; 0) પર છેદે છે.

ઉદાહરણ 3. સિસ્ટમને ગ્રાફિકલી ઉકેલો

ઉકેલ: ચાલો પ્રથમ સમીકરણનો ગ્રાફ બનાવીએ - તે t.O(0; 0) અને ત્રિજ્યા 2 પર કેન્દ્ર ધરાવતું વર્તુળ છે. બીજા સમીકરણનો આલેખ પેરાબોલા છે. તે મૂળની તુલનામાં 2 દ્વારા ઉપરની તરફ ખસેડવામાં આવે છે, એટલે કે. તેનું શિરોબિંદુ બિંદુ (0; 2) છે (ફિગ. 3).

આલેખમાં એક સામાન્ય બિંદુ છે - એટલે કે A(0; 2). તે સિસ્ટમનો ઉકેલ છે. ચાલો તે સાચા છે કે કેમ તે તપાસવા માટે સમીકરણમાં કેટલાક નંબરો પ્લગ કરીએ.

ઉદાહરણ 4. સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ: ચાલો પ્રથમ સમીકરણનો ગ્રાફ બનાવીએ - આ એક વર્તુળ છે જેનું કેન્દ્ર t.O(0; 0) અને ત્રિજ્યા 1 (ફિગ. 4) પર છે.

ચાલો ફંક્શનને પ્લોટ કરીએ આ એક તૂટેલી લાઇન છે (ફિગ. 5).

હવે ચાલો તેને ઓય અક્ષ સાથે 1 નીચે ખસેડીએ. આ ફંક્શનનો ગ્રાફ હશે

ચાલો બંને આલેખને સમાન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં મૂકીએ (ફિગ. 6).

આપણને ત્રણ આંતરછેદ બિંદુઓ મળે છે - બિંદુ A(1; 0), બિંદુ B(-1; 0), બિંદુ C(0; -1).

અમે સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ જોઈ. જો તમે દરેક સમીકરણનો ગ્રાફ બનાવી શકો અને આંતરછેદ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી શકો, તો આ પદ્ધતિ એકદમ પર્યાપ્ત છે.

પરંતુ ઘણીવાર ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ સિસ્ટમનો અંદાજિત ઉકેલ શોધવાનું અથવા ઉકેલોની સંખ્યા વિશેના પ્રશ્નનો જવાબ આપવાનું શક્ય બનાવે છે. તેથી, અન્ય પદ્ધતિઓ જરૂરી છે, વધુ સચોટ, અને અમે નીચેના પાઠોમાં તેમની સાથે વ્યવહાર કરીશું.

1. મોર્ડકોવિચ એ.જી. અને અન્ય બીજગણિત 9 મી ગ્રેડ: પાઠ્યપુસ્તક. સામાન્ય શિક્ષણ માટે સંસ્થાઓ.- ચોથી આવૃત્તિ. - એમ.: નેમોસીન, 2002.-192 પૃષ્ઠ: બીમાર.

2. મોર્ડકોવિચ એ.જી. અને અન્ય બીજગણિત 9 મી ગ્રેડ: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે સમસ્યા પુસ્તક / એ. જી. મોર્ડકોવિચ, ટી. એન. મિશુસ્ટીના, વગેરે. - 4 થી આવૃત્તિ. - એમ.: નેમોસીન, 2002.-143 પૃષ્ઠ: બીમાર.

3. મકરીચેવ યુ. બીજગણિત. 9 મી ગ્રેડ: શૈક્ષણિક. સામાન્ય શિક્ષણના વિદ્યાર્થીઓ માટે. સંસ્થાઓ / યુ. એન. મકરીચેવ, એન. જી. મિંડ્યુક, કે. આઇ. નેશકોવ, આઇ. ઇ. ફેઓક્ટીસ્ટોવ. — 7મી આવૃત્તિ., રેવ. અને વધારાના - એમ.: નેમોસીન, 2008.

4. અલીમોવ શ.એ., કોલ્યાગિન યુ.એમ., સિદોરોવ યુ.વી. બીજગણિત. 9મા ધોરણ. 16મી આવૃત્તિ. - એમ., 2011. - 287 પૃ.

5. મોર્ડકોવિચ એ. જી. બીજગણિત. 9મા ધોરણ. 2 કલાકમાં ભાગ 1. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12મી આવૃત્તિ, ભૂંસી નાખેલી. - એમ.: 2010. - 224 પૃષ્ઠ: બીમાર.

6. બીજગણિત. 9મા ધોરણ. 2 ભાગોમાં ભાગ 2. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે સમસ્યા પુસ્તક / એ. જી. મોર્ડકોવિચ, એલ. એ. એલેકસાન્ડ્રોવા, ટી. એન. મિશુસ્ટીના અને અન્ય; એડ. એ.જી. મોર્ડકોવિચ. — 12મી આવૃત્તિ, રેવ. - એમ.: 2010.-223 પૃષ્ઠ: બીમાર.

1. ગણિત પર કૉલેજ.ru વિભાગ ().

2. ઇન્ટરનેટ પ્રોજેક્ટ "કાર્યો" ().

3. શૈક્ષણિક પોર્ટલ "હું યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા હલ કરીશ" ().

1. મોર્ડકોવિચ એ.જી. અને અન્ય બીજગણિત 9 મી ગ્રેડ: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે સમસ્યા પુસ્તક / એ. જી. મોર્ડકોવિચ, ટી. એન. મિશુસ્ટીના, વગેરે. - 4 થી આવૃત્તિ. - એમ.: નેમોસીન, 2002.-143 પૃષ્ઠ: બીમાર. નંબર 105, 107, 114, 115.