સમીકરણોની સિસ્ટમોનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓનું નિરાકરણ. સમીકરણોની સિસ્ટમને મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતરિત કરવાના નિયમો

માસ્લોવા એસ. વી.

મોસ્કો સ્ટેટ પેડાગોજિકલ ઇન્સ્ટિટ્યુટ નામ આપવામાં આવ્યું છે. M. E. Evsevieva, વિભાગ. પ્રાથમિક શિક્ષણ પદ્ધતિઓ

સમીકરણોની સિસ્ટમોનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

હાલમાં, સમીકરણોની પ્રણાલીઓનો અભ્યાસ અને તેમની મદદથી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ એ હાઇસ્કૂલ બીજગણિત અભ્યાસક્રમોનો વિશેષાધિકાર છે. મૂળભૂત રીતે, સમીકરણોની સિસ્ટમને બે અથવા વધુ સમીકરણો તરીકે ગણવામાં આવે છે જેમાં સમાન અક્ષરો સમાન સંખ્યાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ચાલો બીજગણિત કોર્સમાં સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરીને હલ કરવામાં આવેલી કેટલીક સમસ્યાઓના ઉદાહરણો આપીએ. પરિણામે, સમીકરણોની સિસ્ટમને હલ કરવાથી એક ચતુર્ભુજ સમીકરણને ઉકેલવામાં ઘટાડો થાય છે. ચાલો આપણે સિસ્ટમને જ સંકલન કરવાની પદ્ધતિ પર વિશેષ ધ્યાન આપીએ.

1. ભૌમિતિક સામગ્રી સાથે સમસ્યા: “કાટકોણ ત્રિકોણનું કર્ણાકાર 13 સેમી છે અને તેનો વિસ્તાર 30 સેમી 2 છે. પગ શોધો."

ઉકેલ: પગને સમાન થવા દો એક્સઅને ખાતેસેન્ટીમીટર પાયથાગોરિયન પ્રમેય અને કાટકોણ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમે સમસ્યાની સ્થિતિ નીચે પ્રમાણે લખીએ છીએ:

સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાં બીજાને 4 વડે ગુણાકાર કરવાથી, આપણને મળે છે: જ્યાં અથવા ત્યારથી એક્સઅને ખાતેહકારાત્મક સંખ્યાઓ છે, તો પછી આ સમીકરણમાંથી આપણે વ્યક્ત કરીએ છીએ ખાતેદ્વારા એક્સઅને સિસ્ટમના સમીકરણોમાંથી એકમાં બદલો, ઉદાહરણ તરીકે બીજામાં: ચાલો પરિણામી સમીકરણ હલ કરીએ:

આ મૂલ્યોને આપણે જે ફોર્મ્યુલા શોધીએ છીએ તેમાં બદલીને બંને કિસ્સાઓમાં, એક પગ 5 સે.મી., બીજો 12 સે.મી.

જવાબ: કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ 5 સેમી અને 12 સેમી છે.

2. ક્રમાંકિત સામગ્રી સાથે સમસ્યા: “જ્યારે બે-અંકની સંખ્યાને તેના અંકોના સરવાળાથી ભાગવામાં આવે છે, ત્યારે ભાગાંક 6 હોય છે, અને બાકીનો 4 હોય છે. જ્યારે સમાન સંખ્યાને તેના અંકોના ગુણાંકથી વિભાજિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે ભાગાંક 2 હોય છે અને બાકીનો ભાગ 16 હોય છે. આ નંબર શોધો.

ઉકેલ: બે-અંકની સંખ્યાને 10x+y તરીકે લખવા દો. શેષ સાથે વિભાજન દરમિયાન ઘટકોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા વિશેના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, અમે સમસ્યાની સ્થિતિ નીચે પ્રમાણે લખીએ છીએ:

પ્રથમ સમીકરણમાં કૌંસ ખોલીને, અમે તેમાંથી મૂલ્ય વ્યક્ત કરીએ છીએ ખાતે: અવેજી મૂલ્ય ખાતેસિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાં, આપણે એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ મેળવીએ છીએ: - સમસ્યાની શરતોને સંતોષતું નથી.

પરિણામી મૂલ્યને આપણે જે ફોર્મ્યુલા શોધીએ છીએ તેમાં બદલીને

જવાબ: બે અંકનો નંબર 64.

3. વિસ્તારની સમસ્યા: “લંબચોરસ પ્લોટને 1 કિમી લાંબી વાડ સાથે વાડ કરવાની જરૂર છે. જો પ્લોટનો વિસ્તાર 6 હેક્ટર હોય તો તેની લંબાઈ અને પહોળાઈ કેટલી હોવી જોઈએ?

ઉકેલ: લંબચોરસ વિભાગની લંબાઈ અને પહોળાઈ સમાન રહેવા દો એક્સઅને ખાતેમીટર લંબચોરસની પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળ તેમજ ગુણોત્તર 1 km = 1000 m અને 1 ha = 10000 m શોધવા માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, અમે સમસ્યાની સ્થિતિ નીચે પ્રમાણે લખીએ છીએ:

ચાલો બીજા સમીકરણમાંથી મૂલ્ય વ્યક્ત કરીએ ખાતે: અવેજી મૂલ્ય ખાતેસિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાં, આપણે એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

પરિણામી મૂલ્યોને ફોર્મ્યુલામાં બદલીને

જવાબ: પ્લોટની લંબાઈ અને પહોળાઈ 300 મીટર અને 200 મીટર છે.

જો, સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર, ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવે છે, જે ઉકેલવાની પ્રક્રિયામાં એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ દેખાતું નથી, તો પછી સમસ્યા પોતે જ નીચલા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા ઉકેલી શકાય છે. પ્રારંભિક ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં સમીકરણોની પ્રણાલીઓનો ઉપયોગ કરવાની સ્વતંત્રતાનો એકમાત્ર પ્રોગ્રામ એલ.વી. ઝાંકોવ દ્વારા વિકાસલક્ષી શિક્ષણની સિસ્ટમ છે.ચાલો ગણિતના પ્રારંભિક અભ્યાસક્રમમાંથી સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ ઉકેલવાના કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ.

1. ચળવળ કાર્ય: “શહેરો વચ્ચેનું અંતર 564 કિમી છે. એક જ સમયે એકબીજાને મળવા માટે ટ્રેનો શહેરોથી નીકળી હતી અને 6 કલાક પછી મળી હતી. એક ટ્રેનની સ્પીડ બીજી ટ્રેનની સ્પીડ કરતા 10 કિમી વધુ ઝડપી છે. દરેક ટ્રેનની ઝડપ કેટલી છે?

ઉકેલ: પ્રથમ ટ્રેનની ઝડપ x કિમી/કલાક અને y કિમી/કલાક બીજી ટ્રેનની ઝડપ ગણો. સમસ્યાની સ્થિતિ અનુસાર, ટ્રેનો 6 કલાક પછી મળી. પછી, 6 કિમી - પ્રથમ ટ્રેન મીટિંગ પહેલા પસાર થશે, 6 કિમી - બીજી ટ્રેન મીટિંગ પહેલા પસાર થશે. તેમની મીટિંગનો અર્થ એ છે કે કુલ મળીને તેઓએ મીટિંગ પહેલાં 564 કિમીનું અંતર કાપ્યું હતું, એટલે કે, 6x+6y=564 - પ્રથમ સમીકરણ.

પ્રથમ ટ્રેનની ઝડપ બીજીની ઝડપ કરતા 10 કિમી/કલાક વધારે છે, એટલે કે ઝડપ વચ્ચેનો તફાવત 10 છે. આપણને બીજું સમીકરણ મળે છે: x-y = 10

જવાબ: 52 કિમી/કલાક, 42 કિમી/કલાક.

2. બે વસ્તીને સમાન કરવાની સમસ્યા: “બે છાજલીઓ પર 84 પુસ્તકો છે. જો તમે એક શેલ્ફમાંથી 12 પુસ્તકો કાઢી નાખો, તો બંને છાજલીઓ પર સમાન સંખ્યામાં પુસ્તકો હશે. દરેક શેલ્ફ પર કેટલા પુસ્તકો હશે? શરૂઆતમાં તે કેટલું હતું?

ઉકેલ: x પુસ્તકોને પ્રથમ શેલ્ફ પર રહેવા દો, અને x પુસ્તકોને બીજા શેલ્ફ પર રહેવા દો. સમસ્યાની શરતો અનુસાર, બે છાજલીઓ પર કુલ 84 પુસ્તકો છે, એટલે કે, x + y = 84 - પ્રથમ સમીકરણ.

જો તમે પ્રથમ શેલ્ફમાંથી 12 પુસ્તકો કાઢી નાખો, તો બંને છાજલીઓ પરના પુસ્તકોની સંખ્યા સમાન હશે. આપણને બીજું સમીકરણ મળે છે: x-12=y.

પરિણામે, અમે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

(પુસ્તકો) - પ્રથમ શેલ્ફ પર હતી.

84-48=36 (k.) - બીજા શેલ્ફ પર હતું.

48-12=36 (k.) - દરેક શેલ્ફ પર હશે.

જવાબ: 36 પુસ્તકો, 48 પુસ્તકો અને 36 પુસ્તકો.

3. અનુમાન લગાવવાનું કાર્ય: “છોકરાના સંગ્રહમાં ભૃંગ અને કરોળિયા છે - કુલ 8. જો તમે સંગ્રહમાંના બધા પગની ગણતરી કરો છો. પછી તેમાંથી 54 ભૃંગ અને કેટલા કરોળિયા હશે?”

ઉકેલ: x એ ભૃંગની સંખ્યા છે અને y કરોળિયાની સંખ્યા છે. કુલ 8 ટુકડાઓ. આપણને પ્રથમ સમીકરણ મળે છે - x+y=8.

અને ભમરાને 6 પગ હોવાથી કુલ 6 પગ હશે. કરોળિયાને 8 પગ હોય છે, તો 8y એ કરોળિયાના પગની કુલ સંખ્યા છે. કુલ 54 છે. પછી આપણે બીજા સમીકરણ પર આવીએ: 6x+8y=54.

પાઠ વિષય: "સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા"

ધ્યેય: સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા તે શીખવો.

કાર્યો:

શૈક્ષણિક

સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવાનું શીખો અને આ જ્ઞાનને એકીકૃત કરો

વિકાસલક્ષી.

વિચારસરણીની કામગીરીનો વિકાસ (સામાન્યીકરણ, વિશ્લેષણ, આવશ્યકને પ્રકાશિત કરવું). ધ્યાનનો વિકાસ.

સહકાર કુશળતાનો વિકાસ.

શૈક્ષણિક.

બીજગણિતના અભ્યાસ પ્રત્યે સભાન વલણ કેળવવું.

સ્વ-સુધારણા માટેની ઇચ્છાને પ્રોત્સાહન આપવું.

પાઠનો પ્રકાર - સંયુક્ત.

પાઠ પ્રગતિ

શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓ માટે પ્રેરણા.

ધ્યેય: શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓના સંદર્ભમાં વિદ્યાર્થી માટેની આવશ્યકતાઓને અપડેટ કરવાનું આયોજન કરવું.

– શુભ બપોર, મિત્રો! અમારા પાઠનો એપિગ્રાફ શબ્દો હશે "અમારી શક્તિ એકતામાં છે."

અમારા પાઠનો વિષય છે “સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા. તમને શું લાગે છે કે અમે વર્ગમાં શું કરીશું? (વિદ્યાર્થીઓના જવાબો). ચાલો આપણે સિસ્ટમોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા વિશે મેળવેલા જ્ઞાનને સામાન્ય બનાવીએ અને એકીકૃત કરીએ.

હું. હોમવર્ક તપાસી રહ્યું છે.

ધ્યેય: નવા જ્ઞાનના નિર્માણ માટે પર્યાપ્ત ક્રિયાની અભ્યાસ પદ્ધતિઓના અપડેટનું આયોજન કરવું.

કૃપા કરીને નોટબુકની આપ-લે કરો અને તપાસો કે એકબીજાએ કેવી રીતે કાર્ય પૂર્ણ કર્યું.

"હું આ વિષય વિશે જાણું છું...", "હું આ વિષય વિશે જાણું છું..." વાક્ય ચાલુ રાખો. મને કહો, "જાણવું" અને "કેન" વિભાવનાઓ વચ્ચે શું તફાવત છે?

III. સમસ્યાનું સ્થાન અને કારણ ઓળખવું

ધ્યેય: પુનઃસ્થાપનનું આયોજન કરવું, મુશ્કેલીના સ્થાનનું ફિક્સેશન, ઉપયોગમાં લેવાતા ધોરણો સાથે વ્યક્તિની ક્રિયાઓનો સહસંબંધ - આપેલ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે જે જ્ઞાન અને કુશળતાનો અભાવ છે તે નક્કી કરવા.

હું તમને નીચેના સમીકરણને હલ કરવાની સલાહ આપું છું

કૃપા કરીને મને કહો કે આપણે સમીકરણ કોને કહીએ છીએ? ( સમીકરણ એ ગાણિતિક સંબંધ છે જે બે બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓની સમાનતાને વ્યક્ત કરે છે)

સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ શું છે? ( સમીકરણ ઉકેલો - એટલે તેના તમામ મૂળ, એટલે કે તે મૂલ્યો શોધવા x, જે સમીકરણને ઓળખમાં ફેરવે છે અથવા સાબિત કરે છે કે ત્યાં કોઈ મૂળ નથી)

IV. સમસ્યામાંથી બહાર આવવા માટે પ્રોજેક્ટ બનાવવો

ધ્યેય: મુશ્કેલીમાંથી બહાર આવવા માટે પ્રોજેક્ટના નિર્માણનું આયોજન કરો.

સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરણને ઉકેલવા માટે તમને શું લાગે છે? (ચોરસ) સાચો. આ સમીકરણ ઉકેલવા માટે તમે કઈ પદ્ધતિ જાણો છો? (સંભવિત જવાબો: ચોરસ અને તપાસો, પરંતુ આ વધારાના મૂળમાં પરિણમી શકે છે; ના, અમે કરી શકતા નથી). આ સમીકરણને ઉકેલતી વખતે, તેની જમણી બાજુ 2 કરતા મોટી અથવા બરાબર છે તે ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે.

આપણને શું સમીકરણ મળ્યું? (ચોરસ). અનુમાન કરો, મિત્રો, શું એક જ સમયે અને સંપૂર્ણ રીતે સમીકરણને યોગ્ય રીતે અને સક્ષમ રીતે હલ કરવું શક્ય છે? (ના) જો આપણે તેને તેના ઘટક ભાગોમાં તોડી નાખીએ અને તેને અલગથી હલ કરીએ તો? (હા, તમે કરી શકો છો) એટલે કે, આપણે કહી શકીએ કે સમીકરણોમાં પણ એકતામાં તાકાત છે. વિચારો અને મને કહો, એકતા અને શક્તિનું ઉદાહરણ શું છે? (જવાબો: યુદ્ધ દરમિયાન, લોકો એક થાય છે).

આ સમીકરણના મૂળ 3 અને -23/7 છે. પ્રથમ મૂળ અસમાનતા x>2ને સંતોષે છે, પરંતુ બીજું મૂળ નથી કરતું. સમીકરણનો ઉકેલ માત્ર એક મૂળ છે. (જવાબ x=3)

મિત્રો, હવે આ સમીકરણ ઉકેલતી વખતે અમે પ્રમેયનો ઉપયોગ કર્યો:

સમાન સમીકરણો ઉકેલતી વખતે આપણે આ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું. કૃપા કરીને પૃષ્ઠ 243 પર તમારી પાઠ્યપુસ્તક ખોલો. પ્રમેય ફરીથી વાંચો.

V. પ્રાથમિક એકત્રીકરણ.

હવે હું તમને નીચેના સમીકરણોને હલ કરવાની સલાહ આપું છું.

જેઓ “5” પર અભ્યાસ કરે છે, સમીકરણ નંબર એક, બાકીના માટે, કાર્ય નંબર 2.

(દરેક વ્યક્તિ નોટબુકમાં સોલ્યુશન લખે છે. એક વિદ્યાર્થી બોર્ડ પર સોલ્યુશન લખે છે. સોલ્વ કર્યા પછી, હું કાર્ય નંબર 1 માટે સાચા જવાબ સાથેની સ્લાઇડ ખોલું છું)

વી. સ્વ-પરીક્ષણ સાથે સ્વતંત્ર કાર્ય.

ધ્યેય: કાર્યની નવી રીત માટે વિદ્યાર્થીઓના પ્રમાણભૂત કાર્યોની સ્વતંત્ર પૂર્ણતાને ગોઠવવા.

કમ્પ્યુટર્સ પર પરીક્ષણ.

VI. જ્ઞાન પ્રણાલીમાં સમાવેશ અને પુનરાવર્તન.

ધ્યેય: કાર્યના પ્રકારોની ઓળખ ગોઠવવા માટે જ્યાં નવી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

કદાચ તમે પહેલાથી જ ક્યાંક સમાન સમીકરણોનો સામનો કર્યો હશે? (આ કાર્ય B5 છે,

તો, આજે આપણે શું મળ્યા? તમે કઈ નવી વસ્તુઓ શીખી છે? (જવાબો)

હવે હું ફરીથી અમારા પાઠના એપિગ્રાફ તરફ વળવા માંગુ છું "અમારી શક્તિ એકતામાં છે." મિત્રો, તમને કેમ લાગે છે કે મેં પાઠ માટે આ વિશિષ્ટ એપિગ્રાફ પસંદ કર્યો છે? (વિદ્યાર્થીઓના જવાબો).

VII . શીખવાની પ્રવૃત્તિઓ પર પ્રતિબિંબ.

ધ્યેય: પાઠમાં વિદ્યાર્થીઓની પોતાની પ્રવૃત્તિઓનું મૂલ્યાંકન ગોઠવવા.

"ગાય્સ, કૃપા કરીને "ક્લાસમાં હું વ્યવસ્થાપિત થયો..." વાક્ય ચાલુ રાખો (વિદ્યાર્થીઓના જવાબો.)

VIII . હોમવર્ક.

વિવિધ પ્રક્રિયાઓના ગાણિતિક મોડેલિંગ માટે આર્થિક ક્ષેત્રમાં સમીકરણોની સિસ્ટમોનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રોડક્શન મેનેજમેન્ટ અને પ્લાનિંગ, લોજિસ્ટિક્સ રૂટ્સ (ટ્રાન્સપોર્ટ પ્રોબ્લેમ) અથવા ઇક્વિપમેન્ટ પ્લેસમેન્ટની સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે.

સમીકરણોની પ્રણાલીઓનો ઉપયોગ માત્ર ગણિતમાં જ નહીં, પણ ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર અને જીવવિજ્ઞાનમાં પણ થાય છે, જ્યારે વસ્તીનું કદ શોધવાની સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં આવે છે.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ એ બે અથવા વધુ સમીકરણો છે જેમાં અનેક ચલ હોય છે જેના માટે સામાન્ય ઉકેલ શોધવો જરૂરી છે. સંખ્યાઓનો આવો ક્રમ કે જેના માટે તમામ સમીકરણો સાચી સમાનતા બને અથવા સાબિત કરે કે ક્રમ અસ્તિત્વમાં નથી.

રેખીય સમીકરણ

ax+by=c ફોર્મના સમીકરણોને રેખીય કહેવામાં આવે છે. હોદ્દો x, y એ અજાણ્યા છે જેનું મૂલ્ય મળવું આવશ્યક છે, b, a એ ચલોના ગુણાંક છે, c એ સમીકરણનો મુક્ત શબ્દ છે.
કાવતરું ઘડીને સમીકરણ ઉકેલવું તે એક સીધી રેખા જેવું દેખાશે, જેનાં તમામ બિંદુઓ બહુપદીના ઉકેલો છે.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના પ્રકાર

સૌથી સરળ ઉદાહરણો બે ચલ X અને Y સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો તરીકે ગણવામાં આવે છે.

F1(x, y) = 0 અને F2(x, y) = 0, જ્યાં F1,2 ફંક્શન છે અને (x, y) ફંક્શન વેરિયેબલ છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો - આનો અર્થ એ છે કે મૂલ્યો (x, y) શોધવા કે જેના પર સિસ્ટમ સાચી સમાનતામાં ફેરવાય છે અથવા સ્થાપિત કરે છે કે x અને y ના યોગ્ય મૂલ્યો અસ્તિત્વમાં નથી.

બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે લખેલા મૂલ્યોની જોડી (x, y), રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ કહેવાય છે.

જો સિસ્ટમમાં એક સામાન્ય ઉકેલ હોય અથવા કોઈ ઉકેલ અસ્તિત્વમાં ન હોય, તો તેને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે.

રેખીય સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીઓ એવી પ્રણાલીઓ છે જેની જમણી બાજુ શૂન્યની બરાબર છે. જો સમાન ચિહ્ન પછીના જમણા ભાગમાં મૂલ્ય હોય અથવા ફંક્શન દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે, તો આવી સિસ્ટમ વિજાતીય છે.

ચલોની સંખ્યા બે કરતા ઘણી વધારે હોઈ શકે છે, પછી આપણે ત્રણ અથવા વધુ ચલો સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણ વિશે વાત કરવી જોઈએ.

જ્યારે પ્રણાલીઓનો સામનો કરવો પડે છે, ત્યારે શાળાના બાળકો ધારે છે કે સમીકરણોની સંખ્યા અનિવાર્યપણે અજાણ્યાઓની સંખ્યા સાથે સુસંગત હોવી જોઈએ, પરંતુ આવું નથી. સિસ્ટમમાં સમીકરણોની સંખ્યા ચલ પર આધારિત નથી;

સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની સરળ અને જટિલ પદ્ધતિઓ

આવી સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે કોઈ સામાન્ય વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ નથી; બધી પદ્ધતિઓ સંખ્યાત્મક ઉકેલો પર આધારિત છે. શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં ક્રમચય, બીજગણિત ઉમેરો, અવેજીકરણ, તેમજ ગ્રાફિકલ અને મેટ્રિક્સ પદ્ધતિઓ, ગૌસીયન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલ જેવી પદ્ધતિઓનું વિગતવાર વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે.

ઉકેલ પદ્ધતિઓ શીખવતી વખતે મુખ્ય કાર્ય એ શીખવવાનું છે કે કેવી રીતે સિસ્ટમનું યોગ્ય રીતે વિશ્લેષણ કરવું અને દરેક ઉદાહરણ માટે શ્રેષ્ઠ ઉકેલ અલ્ગોરિધમ શોધવું. મુખ્ય વસ્તુ એ દરેક પદ્ધતિ માટે નિયમો અને ક્રિયાઓની સિસ્ટમને યાદ રાખવાની નથી, પરંતુ ચોક્કસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાના સિદ્ધાંતોને સમજવાની છે.

7મા ધોરણના સામાન્ય શિક્ષણ અભ્યાસક્રમમાં રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓના ઉદાહરણોનું નિરાકરણ એકદમ સરળ છે અને ખૂબ જ વિગતવાર સમજાવવામાં આવ્યું છે. કોઈપણ ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકમાં આ વિભાગ પર પૂરતું ધ્યાન આપવામાં આવે છે. ગૌસ અને ક્રેમર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉદાહરણોને ઉકેલવા માટે ઉચ્ચ શિક્ષણના પ્રથમ વર્ષોમાં વધુ વિગતવાર અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોનું નિરાકરણ

અવેજી પદ્ધતિની ક્રિયાઓ બીજાની દ્રષ્ટિએ એક ચલના મૂલ્યને વ્યક્ત કરવાનો છે. અભિવ્યક્તિને બાકીના સમીકરણમાં બદલવામાં આવે છે, પછી તેને એક ચલ સાથેના સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે. સિસ્ટમમાં અજાણ્યાઓની સંખ્યાના આધારે ક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરવામાં આવે છે

ચાલો અવેજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વર્ગ 7 ની રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણનો ઉકેલ આપીએ:

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, ચલ x એ F(X) = 7 + Y દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવ્યો હતો. પરિણામી અભિવ્યક્તિ, X ની જગ્યાએ સિસ્ટમના 2જા સમીકરણમાં બદલાઈ, 2જી સમીકરણમાં એક ચલ Y મેળવવામાં મદદ કરી. . આ ઉદાહરણને ઉકેલવું સરળ છે અને તમને Y મૂલ્ય મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે.

અવેજી દ્વારા રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણને ઉકેલવું હંમેશા શક્ય નથી. સમીકરણો જટિલ હોઈ શકે છે અને બીજા અજ્ઞાતના સંદર્ભમાં ચલને વ્યક્ત કરવું વધુ ગણતરીઓ માટે ખૂબ બોજારૂપ હશે. જ્યારે સિસ્ટમમાં 3 થી વધુ અજાણ્યા હોય, ત્યારે અવેજી દ્વારા ઉકેલવું પણ અવ્યવહારુ છે.

રેખીય અસંગત સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉદાહરણનો ઉકેલ:

બીજગણિત ઉમેરાનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ

વધારાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોના ઉકેલો માટે શોધ કરતી વખતે, સમીકરણો શબ્દ દ્વારા શબ્દ ઉમેરવામાં આવે છે અને વિવિધ સંખ્યાઓ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. ગાણિતિક ક્રિયાઓનું અંતિમ ધ્યેય એ એક ચલમાં સમીકરણ છે.

આ પદ્ધતિના ઉપયોગ માટે પ્રેક્ટિસ અને અવલોકન જરૂરી છે. જ્યારે 3 અથવા વધુ ચલો હોય ત્યારે વધારાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી સરળ નથી. જ્યારે સમીકરણોમાં અપૂર્ણાંક અને દશાંશ હોય ત્યારે બીજગણિત ઉમેરણ વાપરવા માટે અનુકૂળ છે.

ઉકેલ અલ્ગોરિધમ:

સમીકરણની બંને બાજુઓને ચોક્કસ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો. અંકગણિત કામગીરીના પરિણામે, ચલના ગુણાંકોમાંથી એક 1 ની બરાબર થવો જોઈએ.
શબ્દ દ્વારા પરિણામી અભિવ્યક્તિ શબ્દ ઉમેરો અને અજ્ઞાતમાંથી એક શોધો.
બાકીના ચલ શોધવા માટે પરિણામી મૂલ્યને સિસ્ટમના 2જા સમીકરણમાં બદલો.

નવું ચલ રજૂ કરીને ઉકેલની પદ્ધતિ

જો સિસ્ટમને બે કરતાં વધુ સમીકરણો માટે ઉકેલ શોધવાની જરૂર હોય તો એક નવું ચલ રજૂ કરી શકાય છે.

પદ્ધતિનો ઉપયોગ નવા ચલ રજૂ કરીને સમીકરણોમાંથી એકને સરળ બનાવવા માટે થાય છે. નવા સમીકરણને રજૂ કરાયેલ અજાણ્યા માટે ઉકેલવામાં આવે છે, અને પરિણામી મૂલ્યનો ઉપયોગ મૂળ ચલ નક્કી કરવા માટે થાય છે.

ઉદાહરણ બતાવે છે કે નવું ચલ t રજૂ કરીને, સિસ્ટમના 1લા સમીકરણને પ્રમાણભૂત ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીમાં ઘટાડી શકાય તેવું શક્ય હતું. તમે ભેદભાવ શોધીને બહુપદી ઉકેલી શકો છો.

જાણીતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ભેદભાવનું મૂલ્ય શોધવાનું જરૂરી છે: D = b2 - 4*a*c, જ્યાં D એ ઇચ્છિત ભેદભાવ છે, b, a, c એ બહુપદીના પરિબળો છે. આપેલ ઉદાહરણમાં, a=1, b=16, c=39, તેથી D=100. જો ભેદભાવ શૂન્ય કરતાં મોટો હોય, તો બે ઉકેલો છે: t = -b±√D / 2*a, જો ભેદભાવ શૂન્ય કરતાં ઓછો હોય, તો ત્યાં એક ઉકેલ છે: x = -b / 2*a.

પરિણામી સિસ્ટમો માટેનો ઉકેલ ઉમેરણ પદ્ધતિ દ્વારા મળી આવે છે.

સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે વિઝ્યુઅલ પદ્ધતિ

3 સમીકરણ સિસ્ટમો માટે યોગ્ય. પદ્ધતિમાં કોઓર્ડિનેટ અક્ષ પર સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ દરેક સમીકરણના ગ્રાફ બનાવવાનો સમાવેશ થાય છે. વળાંકોના આંતરછેદ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ હશે.

ગ્રાફિકલ પદ્ધતિમાં સંખ્યાબંધ ઘોંઘાટ છે. ચાલો દ્રશ્ય રીતે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવાના કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે, દરેક લીટી માટે બે પોઈન્ટ બનાવવામાં આવ્યા હતા, x ચલના મૂલ્યો મનસ્વી રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા: 0 અને 3. x ના મૂલ્યોના આધારે, y માટેના મૂલ્યો મળ્યા હતા: 3 અને 0. કોઓર્ડિનેટ્સ (0, 3) અને (3, 0) સાથેના બિંદુઓને ગ્રાફ પર ચિહ્નિત કરવામાં આવ્યા હતા અને એક રેખા દ્વારા જોડાયેલા હતા.

બીજા સમીકરણ માટે પગલાંઓનું પુનરાવર્તન કરવું આવશ્યક છે. રેખાઓના આંતરછેદનો બિંદુ એ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે.

નીચેના ઉદાહરણ માટે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે ગ્રાફિકલ ઉકેલ શોધવાની જરૂર છે: 0.5x-y+2=0 અને 0.5x-y-1=0.

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી, કારણ કે આલેખ સમાંતર છે અને તેમની સમગ્ર લંબાઈ સાથે છેદે નથી.

ઉદાહરણો 2 અને 3 માંથી સિસ્ટમો સમાન છે, પરંતુ જ્યારે બનાવવામાં આવે છે ત્યારે તે સ્પષ્ટ બને છે કે તેમના ઉકેલો અલગ છે. તે યાદ રાખવું જોઈએ કે સિસ્ટમમાં ઉકેલ છે કે નહીં તે કહેવું હંમેશા શક્ય નથી;

મેટ્રિક્સ અને તેની જાતો

મેટ્રિસિસનો ઉપયોગ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને સંક્ષિપ્તમાં લખવા માટે થાય છે. મેટ્રિક્સ એ સંખ્યાઓથી ભરેલું એક વિશિષ્ટ પ્રકારનું કોષ્ટક છે. n*m માં n - પંક્તિઓ અને m - કૉલમ છે.

જ્યારે કૉલમ અને પંક્તિઓની સંખ્યા સમાન હોય ત્યારે મેટ્રિક્સ ચોરસ હોય છે. મેટ્રિક્સ-વેક્ટર એ એક કૉલમનું મેટ્રિક્સ છે જેમાં પંક્તિઓની અસંખ્ય સંભવિત સંખ્યા છે. એક કર્ણ અને અન્ય શૂન્ય તત્વો સાથેના મેટ્રિક્સને ઓળખ કહેવામાં આવે છે.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ એ એક મેટ્રિક્સ છે જેના દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે મૂળ એક એકમ મેટ્રિક્સમાં ફેરવાય છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમને મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતરિત કરવાના નિયમો

સમીકરણોની સિસ્ટમોના સંબંધમાં, સમીકરણોના ગુણાંક અને મુક્ત શરતો મેટ્રિક્સ નંબરો તરીકે લખવામાં આવે છે, એક સમીકરણ મેટ્રિક્સની એક પંક્તિ છે.

જો પંક્તિનું ઓછામાં ઓછું એક ઘટક શૂન્ય ન હોય તો મેટ્રિક્સ પંક્તિ બિનશૂન્ય હોવાનું કહેવાય છે. તેથી, જો કોઈપણ સમીકરણોમાં ચલોની સંખ્યા અલગ હોય, તો ગુમ થયેલ અજાણ્યાની જગ્યાએ શૂન્ય દાખલ કરવું જરૂરી છે.

મેટ્રિક્સ કૉલમ ચલોને સખત રીતે અનુરૂપ હોવા જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે ચલ x ના ગુણાંક ફક્ત એક કૉલમમાં લખી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે પ્રથમ, અજાણ્યા y નો ગુણાંક - ફક્ત બીજામાં.

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરતી વખતે, મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો ક્રમિક રીતે સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટેના વિકલ્પો

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટેનું સૂત્ર એકદમ સરળ છે: K -1 = 1 / |K|, જ્યાં K -1 એ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ છે, અને |K| મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક છે. |કે| શૂન્યની બરાબર ન હોવી જોઈએ, તો સિસ્ટમ પાસે ઉકેલ છે.

નિર્ણાયકને બે-બાય-બે મેટ્રિક્સ માટે સરળતાથી ગણવામાં આવે છે, તમારે ફક્ત વિકર્ણ તત્વોને એકબીજા દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. “ત્રણ બાય ત્રણ” વિકલ્પ માટે એક સૂત્ર છે |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . તમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો, અથવા તમે યાદ રાખી શકો છો કે તમારે દરેક પંક્તિ અને દરેક કૉલમમાંથી એક ઘટક લેવાની જરૂર છે જેથી કરીને કાર્યમાં કૉલમ અને પંક્તિઓની સંખ્યાઓનું પુનરાવર્તન ન થાય.

મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉદાહરણો ઉકેલવા

સોલ્યુશન શોધવાની મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ તમને મોટી સંખ્યામાં ચલ અને સમીકરણો સાથે સિસ્ટમ ઉકેલતી વખતે બોજારૂપ એન્ટ્રીઓને ઘટાડવાની મંજૂરી આપે છે.

ઉદાહરણમાં, a nm એ સમીકરણોના ગુણાંક છે, મેટ્રિક્સ એ વેક્ટર છે x n ચલ છે, અને b n એ મુક્ત પદો છે.

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોનું નિરાકરણ

ઉચ્ચ ગણિતમાં, ગૌસિયન પદ્ધતિનો ક્રેમર પદ્ધતિ સાથે અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, અને સિસ્ટમોના ઉકેલો શોધવાની પ્રક્રિયાને ગૌસ-ક્રેમર સોલ્યુશન પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ મોટી સંખ્યામાં રેખીય સમીકરણો ધરાવતી સિસ્ટમોના ચલોને શોધવા માટે થાય છે.

ગૌસ પદ્ધતિ અવેજી અને બીજગણિત ઉમેરા દ્વારા ઉકેલો જેવી જ છે, પરંતુ વધુ વ્યવસ્થિત છે. શાળાના અભ્યાસક્રમમાં, 3 અને 4 સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે ગૌસીયન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલનો ઉપયોગ થાય છે. પદ્ધતિનો હેતુ સિસ્ટમને ઊંધી ટ્રેપેઝોઇડના સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનો છે. બીજગણિત પરિવર્તન અને અવેજીના માધ્યમથી, એક ચલનું મૂલ્ય સિસ્ટમના સમીકરણોમાંના એકમાં જોવા મળે છે. બીજું સમીકરણ 2 અજ્ઞાત સાથેની અભિવ્યક્તિ છે, જ્યારે 3 અને 4 અનુક્રમે 3 અને 4 ચલ સાથે છે.

સિસ્ટમને વર્ણવેલ સ્વરૂપમાં લાવ્યા પછી, વધુ ઉકેલને સિસ્ટમના સમીકરણોમાં જાણીતા ચલોના અનુક્રમિક અવેજીમાં ઘટાડવામાં આવે છે.

ગ્રેડ 7 માટે શાળાના પાઠ્યપુસ્તકોમાં, ગૌસ પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલનું ઉદાહરણ નીચે પ્રમાણે વર્ણવવામાં આવ્યું છે:

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, સ્ટેપ (3) પર બે સમીકરણો પ્રાપ્ત થયા: 3x 3 -2x 4 =11 અને 3x 3 +2x 4 =7. કોઈપણ સમીકરણો ઉકેલવાથી તમે એક ચલ x n શોધી શકશો.

પ્રમેય 5, જે ટેક્સ્ટમાં ઉલ્લેખિત છે, તે જણાવે છે કે જો સિસ્ટમના સમીકરણોમાંથી એકને સમકક્ષ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, તો પરિણામી સિસ્ટમ પણ મૂળ સમકક્ષ હશે.

ગૌસીયન પદ્ધતિ મધ્યમ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે સમજવી મુશ્કેલ છે, પરંતુ ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રના વર્ગોમાં અદ્યતન શિક્ષણ કાર્યક્રમોમાં નોંધાયેલા બાળકોની ચાતુર્ય વિકસાવવાની તે સૌથી રસપ્રદ રીતો પૈકીની એક છે.

રેકોર્ડીંગની સરળતા માટે, ગણતરીઓ સામાન્ય રીતે નીચે મુજબ કરવામાં આવે છે:

સમીકરણો અને મુક્ત શબ્દોના ગુણાંક મેટ્રિક્સના સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે, જ્યાં મેટ્રિક્સની દરેક પંક્તિ સિસ્ટમના સમીકરણોમાંથી એકને અનુરૂપ હોય છે. સમીકરણની ડાબી બાજુને જમણી બાજુથી અલગ કરે છે. રોમન અંકો સિસ્ટમમાં સમીકરણોની સંખ્યા દર્શાવે છે.

પ્રથમ, જેની સાથે કામ કરવું છે તે મેટ્રિક્સ લખો, પછી એક પંક્તિ સાથે કરવામાં આવેલી બધી ક્રિયાઓ. પરિણામી મેટ્રિક્સ "તીર" ચિહ્ન પછી લખવામાં આવે છે અને પરિણામ પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી જરૂરી બીજગણિત કામગીરી ચાલુ રાખવામાં આવે છે.

પરિણામ એક મેટ્રિક્સ હોવું જોઈએ જેમાં એક કર્ણ 1 ની બરાબર હોય, અને અન્ય તમામ ગુણાંક શૂન્ય સમાન હોય, એટલે કે, મેટ્રિક્સને એકમ સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે. આપણે સમીકરણની બંને બાજુએ સંખ્યાઓ સાથે ગણતરી કરવાનું ભૂલવું જોઈએ નહીં.

આ રેકોર્ડિંગ પદ્ધતિ ઓછી બોજારૂપ છે અને અસંખ્ય અજાણ્યાઓને સૂચિબદ્ધ કરીને તમને વિચલિત ન થવા દે છે.

કોઈપણ ઉકેલ પદ્ધતિના મફત ઉપયોગ માટે કાળજી અને કેટલાક અનુભવની જરૂર પડશે. બધી પદ્ધતિઓ લાગુ પ્રકૃતિની નથી. ઉકેલો શોધવાની કેટલીક પદ્ધતિઓ માનવ પ્રવૃત્તિના ચોક્કસ ક્ષેત્રમાં વધુ પ્રાધાન્યક્ષમ છે, જ્યારે અન્ય શૈક્ષણિક હેતુઓ માટે અસ્તિત્વમાં છે.

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

જ્યારે તમે સાઇટ પર અરજી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા રશિયન ફેડરેશનના પ્રદેશમાં સરકારી સત્તાવાળાઓની જાહેર વિનંતીઓ અથવા વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા માટે. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓને હલ કરવામાં સક્ષમ બનવું એ ખૂબ જ સારું છે, પરંતુ સમીકરણોની પ્રણાલીઓને હલ કરવી એ વધુ જટિલ સમસ્યાઓ માટે માત્ર એક પદ્ધતિ છે. સમીકરણોની પ્રણાલીઓનો ઉપયોગ કરીને, આપણે જીવનમાં આવતી વિવિધ સમસ્યાઓ હલ કરી શકીએ છીએ.

બીજગણિત એ સમીકરણો અને સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવાનું વિજ્ઞાન છે. 20મી સદીના અંત સુધીમાં વૈજ્ઞાનિકોએ ઉપયોગમાં લીધેલી વ્યાખ્યા આ બરાબર છે. પ્રખ્યાત વૈજ્ઞાનિક રેને ડેસકાર્ટેસ તેમની એક કૃતિ માટે પ્રખ્યાત છે, જેને "ડેસકાર્ટેસ મેથડ" કહેવામાં આવે છે. ડેસકાર્ટેસ માનતા હતા કે કોઈપણ સમસ્યાને ગાણિતિકમાં ઘટાડી શકાય છે, કોઈપણ ગાણિતિક સમસ્યાને સમીકરણોની બીજગણિત પદ્ધતિમાં ઘટાડી શકાય છે. અને કોઈપણ સિસ્ટમને એક સમીકરણ ઉકેલવા માટે ઘટાડી શકાય છે.

કમનસીબે, ડેસકાર્ટેસ પાસે તેની પદ્ધતિને સંપૂર્ણ રીતે પૂર્ણ કરવાનો સમય નહોતો અને તેણે તેના તમામ મુદ્દાઓ લખ્યા ન હતા, પરંતુ વિચાર ખૂબ જ સારો છે.

અને હવે આપણે, ડેસકાર્ટેસની જેમ, સમીકરણોની પ્રણાલીઓનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ હલ કરીશું, અલબત્ત, કોઈપણ નહીં, પરંતુ ફક્ત તે જ જે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને હલ કરવા માટે ઘટાડી શકાય છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમોનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાને ઉકેલવા માટેની સામાન્ય યોજના

ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમોનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની સામાન્ય યોજનાનું વર્ણન કરીએ:

1. અજ્ઞાત જથ્થાઓ માટે, અમે ચોક્કસ સંકેતો રજૂ કરીએ છીએ અને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ કંપોઝ કરીએ છીએ.
2. રેખીય સમીકરણોની પરિણામી સિસ્ટમ ઉકેલો.
3. હું દાખલ કરેલ સંકેતોનો ઉપયોગ કરું છું અને જવાબ લખું છું.

ચાલો આ યોજનાને ચોક્કસ સમસ્યા પર લાગુ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ.

તે જાણીતું છે કે બે પેન્સિલો અને ત્રણ નોટબુકની કિંમત 35 રુબેલ્સ છે, અને બે નોટબુક અને ત્રણ પેન્સિલની કિંમત 40 રુબેલ્સ છે. તમારે પાંચ પેન્સિલ અને છ નોટબુકની કિંમત કેટલી છે તે શોધવાની જરૂર છે.

ઉકેલ:

આપણે એક પેન્સિલ અને એક નોટબુકની કિંમત અલગથી શોધવાની જરૂર છે. જો આપણી પાસે આવો ડેટા હોય, તો પાંચ પેન્સિલ અને છ નોટબુકની કિંમત કેટલી છે તે નક્કી કરવું મુશ્કેલ નહીં હોય.

ચાલો x દ્વારા રૂબલમાં એક પેન્સિલની કિંમત દર્શાવીએ. અને y એ રૂબલમાં એક નોટબુકની કિંમત છે. હવે આપણે શરત કાળજીપૂર્વક વાંચીએ છીએ અને એક સમીકરણ બનાવીએ છીએ.

"બે પેન્સિલો અને ત્રણ નોટબુકની કિંમત 35 રુબેલ્સ છે" એટલે