મુખ્ય શબ્દો:

કાર્યનો હેતુ: એક અજાણ્યા સાથે બિનરેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કરો અને પ્રાયોગિક કાર્યમાં તેનું પરીક્ષણ કરો.

નોકરીના ઉદ્દેશ્યો:

1. વિશિષ્ટ સાહિત્યનું પૃથ્થકરણ કરો અને બિનરેખીય સમીકરણોને ઉકેલવા માટે સૌથી વધુ તર્કસંગત પદ્ધતિઓ પસંદ કરો, જેનાથી તમામ હાઇસ્કૂલના સ્નાતકો આ વિષયનો ઊંડો અભ્યાસ કરી શકે અને આત્મસાત કરી શકે.
2. ICT નો ઉપયોગ કરીને બિનરેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિના કેટલાક પાસાઓ વિકસાવો.
3. બિનરેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓનું અન્વેષણ કરો:

- પગલું પદ્ધતિ

- અડધી કરવાની પદ્ધતિ

- ન્યુટનની પદ્ધતિ

પરિચય.

ગાણિતિક સાક્ષરતા વિના, ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર, જીવવિજ્ઞાન અને અન્ય વિષયોમાં સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ સફળતાપૂર્વક માસ્ટર કરવી અશક્ય છે. પ્રાકૃતિક વિજ્ઞાનનું સમગ્ર સંકુલ ગાણિતિક જ્ઞાનના આધારે બનાવવામાં આવ્યું છે અને વિકસાવવામાં આવ્યું છે. ઉદાહરણ તરીકે, ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં સંખ્યાબંધ સ્થાનિક સમસ્યાઓનો અભ્યાસ બિનરેખીય સમીકરણોને ઉકેલવાની જરૂરિયાત તરફ દોરી જાય છે. નોનલાઇનર ઓપ્ટિક્સ, પ્લાઝ્મા ફિઝિક્સ, સુપરકન્ડક્ટિવિટી થિયરી અને લો-ટેમ્પેરેચર ફિઝિક્સમાં બિનરેખીય સમીકરણોનો ઉકેલ જરૂરી છે. આ વિષય પર સાહિત્યનો પૂરતો જથ્થો છે, પરંતુ ઘણા પાઠ્યપુસ્તકો અને લેખો હાઈસ્કૂલના વિદ્યાર્થી માટે સમજવા મુશ્કેલ છે. આ પેપર બિનરેખીય સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓની ચર્ચા કરે છે જેનો ઉપયોગ ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રમાં લાગુ પડતી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે થઈ શકે છે. એક રસપ્રદ પાસું ગણિતમાં સમીકરણો અને સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે માહિતી ટેકનોલોજીનો ઉપયોગ છે.

પગલું પદ્ધતિ.

F(x)=0 ફોર્મના બિનરેખીય સમીકરણને ઉકેલવા માટે તે જરૂરી છે. ચાલો એ પણ માની લઈએ કે આપણને ચોક્કસ શોધ અંતરાલ આપવામાં આવ્યો છે. શોધ અંતરાલની ડાબી કિનારીથી શરૂ કરીને, સમીકરણનું પ્રથમ મૂળ ધરાવતું, h લંબાઈનું અંતરાલ [a,b] શોધવાનું જરૂરી છે.

ચોખા. 1. પગલું પદ્ધતિ

આવી સમસ્યા હલ કરવાની ઘણી રીતો છે. અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓમાં પગલું પદ્ધતિ એ સૌથી સરળ છે, પરંતુ ઉચ્ચ ચોકસાઈ પ્રાપ્ત કરવા માટે પગલાને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડવું જરૂરી છે, અને આ ગણતરીના સમયને મોટા પ્રમાણમાં વધારે છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ બે તબક્કા ધરાવે છે.

આઈસ્ટેજ રુટ અલગ.

આ તબક્કે, વિભાગો નક્કી કરવામાં આવે છે, જેમાંના દરેકમાં સમીકરણનું માત્ર એક જ મૂળ હોય છે. આ તબક્કાના અમલીકરણ માટે ઘણા વિકલ્પો છે:

• અમે X ના મૂલ્યોને બદલીએ છીએ (પ્રાધાન્યમાં કેટલાક એકદમ નાના પગલા સાથે) અને જુઓ કે કાર્યમાં ક્યાં ફેરફાર થાય છે. જો ફંક્શને તેનું ચિહ્ન બદલ્યું હોય, તો તેનો અર્થ એ છે કે X ના પહેલાના અને વર્તમાન મૂલ્યની વચ્ચેના ક્ષેત્રમાં એક રુટ છે (જો ફંક્શન તેના વધારા/ઘટાડાની પ્રકૃતિને બદલતું નથી, તો આપણે કહી શકીએ કે ત્યાં માત્ર એક જ છે. આ અંતરાલમાં રુટ).
• ગ્રાફિક પદ્ધતિ. અમે ગ્રાફ બનાવીએ છીએ અને મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ કે કયા અંતરાલ પર એક મૂળ રહેલું છે.
• ચાલો ચોક્કસ ફંક્શનના ગુણધર્મોનું અન્વેષણ કરીએ.

IIસ્ટેજ મૂળની શુદ્ધિકરણ.

આ તબક્કે, અગાઉ નિર્ધારિત સમીકરણના મૂળનો અર્થ સ્પષ્ટ થાય છે. એક નિયમ તરીકે, આ તબક્કે પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અર્ધભાગની પદ્ધતિ (દ્વિભાષા) અથવા ન્યૂટનની પદ્ધતિ.

અર્ધ વિભાજન પદ્ધતિ

સમીકરણો ઉકેલવા માટેની એક ઝડપી અને એકદમ સરળ સંખ્યાત્મક પદ્ધતિ, જ્યાં સુધી નિર્દિષ્ટ ચોકસાઈ E પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી સમીકરણ F(x) = 0 ના એકમાત્ર રુટ ધરાવતા અંતરાલના ક્રમિક સંકુચિતતા પર આધારિત આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલતી વખતે થાય છે ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણો. જો કે, આ પદ્ધતિમાં નોંધપાત્ર ખામી છે - જો સેગમેન્ટ [a,b] માં એક કરતાં વધુ રુટ હોય, તો તે સારા પરિણામો પ્રાપ્ત કરી શકશે નહીં.

ચોખા. 2. ડિકોટોમી પદ્ધતિ

આ પદ્ધતિ માટે અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ છે:

‒ સેગમેન્ટ [a;b] ની મધ્યમાં રુટ x નો નવો અંદાજ નક્કી કરો: x=(a+b)/2.

‒ પોઈન્ટ a અને x પર ફંક્શનની કિંમતો શોધો: F(a) અને F(x).

‒ સ્થિતિ F(a)*F(x) તપાસો

‒ સ્ટેપ 1 પર જાઓ અને ફરીથી સેગમેન્ટને અડધા ભાગમાં વહેંચો. શરત |F(x)| સુધી અલ્ગોરિધમ ચાલુ રાખો

ન્યુટનની પદ્ધતિ

સંખ્યાત્મક ઉકેલ પદ્ધતિઓમાં સૌથી સચોટ; ખૂબ જટિલ સમીકરણો ઉકેલવા માટે યોગ્ય છે, પરંતુ દરેક પગલા પર ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરવાની જરૂરિયાતને કારણે તે જટિલ છે. તે છે કે જો x n એ સમીકરણના મૂળની થોડી નજીક છે , પછી આગામી અંદાજને x n બિંદુ પર દોરેલા ફંક્શન f(x) માટે સ્પર્શકના મૂળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

બિંદુ x n પર ફંક્શન f(x) માટે સ્પર્શક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

સ્પર્શક સમીકરણમાં આપણે y = 0 અને x = x n +1 મુકીએ છીએ.

પછી ન્યૂટનની પદ્ધતિમાં અનુક્રમિક ગણતરીઓ માટેનું અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ છે:

સ્પર્શક પદ્ધતિનું કન્વર્જન્સ ચતુર્ભુજ છે, કન્વર્જન્સનો ક્રમ 2 છે.

આમ, ન્યૂટનની સ્પર્શક પદ્ધતિનું સંપાત ખૂબ જ ઝડપી છે.

કોઈપણ ફેરફારો વિના, પદ્ધતિને જટિલ કેસમાં સામાન્ય કરવામાં આવે છે. જો રૂટ x i બીજા ગુણાકારનું મૂળ હોય અથવા વધુ હોય, તો કન્વર્જન્સનો ક્રમ ઘટીને રેખીય બને છે.

ન્યૂટનની પદ્ધતિના ગેરફાયદામાં તેની સ્થાનિકતાનો સમાવેશ થાય છે, કારણ કે જો સ્થિતિ દરેક જગ્યાએ સંતુષ્ટ હોય તો જ તે એક મનસ્વી શરૂઆતના અંદાજ માટે કન્વર્જ થવાની ખાતરી આપે છે. , વિપરીત પરિસ્થિતિમાં, કન્વર્જન્સ માત્ર મૂળના ચોક્કસ પડોશમાં જ થાય છે.

ન્યૂટનની પદ્ધતિ (ટેન્જેન્ટ પદ્ધતિ) નો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે સમીકરણ વખતે થાય છે f(x) = 0રુટ ધરાવે છે અને નીચેની શરતો પૂરી થાય છે:

1) કાર્ય y=f(x)પર વ્યાખ્યાયિત અને સતત છે;

2) f(a) f(b) (ફંક્શન સેગમેન્ટના છેડે વિવિધ ચિહ્નોના મૂલ્યો લે છે [ a;b]);

3) ડેરિવેટિવ્ઝ f"(x)અને f""(x)અંતરાલ પર નિશાની સાચવો [ a;b] (એટલે ​​​​કે કાર્ય f(x)કાં તો સેગમેન્ટ પર વધે છે અથવા ઘટે છે [ a;b], બહિર્મુખતાની દિશા જાળવી રાખતી વખતે);

પદ્ધતિનો અર્થ નીચે મુજબ છે: સેગમેન્ટ પર [ a;b] આવી સંખ્યા પસંદ કરેલ છે x 0 ,જેના પર f(x 0)જેવી જ નિશાની ધરાવે છે f""(x 0),એટલે કે સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે f(x 0) f""(x) > 0. આમ, abscissa સાથે બિંદુ પસંદ થયેલ છે x 0, જેમાં વક્રની સ્પર્શક છે y=f(x)સેગમેન્ટ પર [ a;b] ધરીને છેદે છે બળદ. બિંદુ દીઠ x 0પ્રથમ સેગમેન્ટના છેડાઓમાંથી એક પસંદ કરવાનું અનુકૂળ છે.

ચાલો ચોક્કસ ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આ અલ્ગોરિધમનો વિચાર કરીએ.

ચાલો આપણે એક વધતું કાર્ય આપીએ y = f(x) =x 2– 2,સેગમેન્ટ પર સતત (0;2), અને ધરાવે છે f "(x) =2x>0અને f ""(x) = 2> 0.

અમારા કિસ્સામાં, સ્પર્શક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: y-y 0 =2x 0 · (x-x 0). IN બિંદુ x 0 તરીકે આપણે બિંદુ પસંદ કરીએ છીએ B 1 (b; f(b)) = (2,2).કાર્ય માટે સ્પર્શક દોરો y = f(x)બિંદુ B 1 પર, અને સ્પર્શક અને અક્ષના આંતરછેદના બિંદુને દર્શાવો બળદબિંદુ x 1. આપણને પ્રથમ સ્પર્શકનું સમીકરણ મળે છે: y-2=2·2(x-2), y=4x-6. બળદ: x 1 =

ચોખા. 3. ફંક્શન f(x) ના ગ્રાફ માટે પ્રથમ સ્પર્શકનું નિર્માણ

y=f(x) બળદબિંદુ દ્વારા x 1, અમને મુદ્દો મળે છે B 2 =(1.5; 0.25). ફંક્શન માટે ફરીથી સ્પર્શક દોરો y = f(x)બિંદુ B 2 પર, અને સ્પર્શકના આંતરછેદના બિંદુને દર્શાવો અને બળદબિંદુ x 2.

બીજા સ્પર્શકનું સમીકરણ: y-2.25=2*1.5(x-1.5), y = 3x - 4.25.સ્પર્શક અને અક્ષનું આંતરછેદ બિંદુ બળદ: x 2 =.

પછી આપણે ફંક્શનનું આંતરછેદ બિંદુ શોધીએ છીએ y=f(x)અને અક્ષ તરફ દોરવામાં આવેલ કાટખૂણે બળદબિંદુ x 2 દ્વારા, આપણને બિંદુ B 3 અને તેથી વધુ મળે છે.

ચોખા. 4. ફંક્શન f(x) ના ગ્રાફના બીજા સ્પર્શકનું નિર્માણ

મૂળનો પ્રથમ અંદાજ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

= 1.5.

મૂળનો બીજો અંદાજ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

=

મૂળનો ત્રીજો અંદાજ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

આમ , iમૂળની અંદાજિતતા સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

ગણતરીઓ જ્યાં સુધી જવાબમાં જરૂરી હોય તેવા દશાંશ સ્થાનો સાથે મેળ ન ખાય અથવા નિર્દિષ્ટ ચોકસાઇ ઇ પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી - અસમાનતા સંતોષાય ત્યાં સુધી |xi-xi-1|

અમારા કિસ્સામાં, ચાલો વાસ્તવિક જવાબ સાથે ત્રીજા પગલામાં મેળવેલા અંદાજની તુલના કરીએ. જેમ તમે જોઈ શકો છો, પહેલાથી જ ત્રીજા પગલા પર અમને 0.000002 કરતા ઓછી ભૂલ મળી છે.

CAD નો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ ઉકેલવુંMathCAD

ફોર્મના સરળ સમીકરણો માટે f(x) = 0 ગણિતમાં ઉકેલ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે મૂળ.

મૂળ(f (એક્સ 1 , x 2 , … ) , એક્સ 1 , a, b ) - મૂલ્ય પરત કરે છે એક્સ 1 , સેગમેન્ટથી સંબંધિત છે [ a, b ] , જેમાં અભિવ્યક્તિ અથવા કાર્ય f (એક્સ ) 0 પર જાય છે. આ ફંક્શનની બંને દલીલો સ્કેલર હોવી જોઈએ. ફંક્શન સ્કેલર પરત કરે છે.

ચોખા. 5. MathCAD (રુટ ફંક્શન) માં બિનરેખીય સમીકરણ ઉકેલવું

જો આ ફંક્શન લાગુ કરવાના પરિણામે કોઈ ભૂલ થાય છે, તો તેનો અર્થ એ થઈ શકે છે કે સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી, અથવા સમીકરણના મૂળ પ્રારંભિક અંદાજથી દૂર સ્થિત છે, અભિવ્યક્તિમાં સ્થાનિક છે મહત્તમઅને મિનિટપ્રારંભિક અંદાજ અને મૂળ વચ્ચે.

ભૂલનું કારણ સ્થાપિત કરવા માટે, કાર્યના ગ્રાફની તપાસ કરવી જરૂરી છે f(x). તે સમીકરણના મૂળની હાજરી શોધવામાં મદદ કરશે f(x) = 0 અને, જો તેઓ અસ્તિત્વ ધરાવે છે, તો પછી તેમના મૂલ્યો લગભગ નક્કી કરો. રુટનો પ્રારંભિક અંદાજ જેટલો વધુ સચોટ રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે, તેટલી ઝડપથી તેનું ચોક્કસ મૂલ્ય શોધી શકાશે.

જો પ્રારંભિક અંદાજ અજ્ઞાત હોય, તો ફંક્શનનો ઉપયોગ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે હલ કરો . વધુમાં, જો સમીકરણમાં અનેક ચલો હોય, તો તમારે ઉકેલ કીવર્ડ પછી ચલોની યાદી સ્પષ્ટ કરવાની જરૂર છે કે જેના સંદર્ભમાં સમીકરણ ઉકેલાય છે.

ચોખા. 6. MathCAD માં બિનરેખીય સમીકરણ ઉકેલવું (કાર્ય ઉકેલો)

નિષ્કર્ષ

અભ્યાસમાં CAD સિસ્ટમ MathCAD માં પ્રોગ્રામિંગનો ઉપયોગ કરીને ગાણિતિક પદ્ધતિઓ અને સમીકરણો ઉકેલવા બંનેની તપાસ કરવામાં આવી હતી. વિવિધ પદ્ધતિઓના પોતાના ફાયદા અને ગેરફાયદા છે. એ નોંધવું જોઇએ કે ચોક્કસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ આપેલ સમીકરણની પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ પર આધારિત છે. તે સમીકરણો કે જે શાળામાં જાણીતા ફેક્ટરાઇઝેશન વગેરે પદ્ધતિઓ દ્વારા સારી રીતે ઉકેલી શકાય છે, તે વધુ જટિલ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવાનો અર્થ નથી. એપ્લાઇડ ગણિતની સમસ્યાઓ કે જે ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર માટે મહત્વપૂર્ણ છે અને જ્યારે સમીકરણો સફળતાપૂર્વક હલ કરવામાં આવે ત્યારે જટિલ કોમ્પ્યુટેશનલ ઓપરેશન્સની જરૂર પડે છે, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રોગ્રામિંગનો ઉપયોગ કરીને. ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તેમને ઉકેલવું સારું છે.

મૂળને સ્પષ્ટ કરવા માટે, તમે સમાન સમીકરણને ઉકેલવા માટે ઘણી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરી શકો છો. તે આ સંશોધન હતું જેણે આ કાર્યનો આધાર બનાવ્યો. તે જ સમયે, સમીકરણના દરેક તબક્કાને હલ કરતી વખતે કઈ પદ્ધતિ સૌથી સફળ છે તે જોવાનું સરળ છે અને આ તબક્કે કઈ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ન કરવો તે વધુ સારું છે.

અભ્યાસ કરેલ સામગ્રી, એક તરફ, ગાણિતિક જ્ઞાનને વિસ્તૃત અને ગહન કરવામાં અને ગણિતમાં રસ જગાડવામાં મદદ કરે છે. બીજી બાજુ, જેઓ ટેકનિકલ અને એન્જિનિયરિંગ વ્યવસાયો હસ્તગત કરવાની યોજના બનાવી રહ્યા છે તેમના માટે વાસ્તવિક ગણિતની સમસ્યાઓ હલ કરવામાં સક્ષમ બનવું મહત્વપૂર્ણ છે. તેથી, આ કાર્ય વધુ શિક્ષણ માટે મહત્વપૂર્ણ છે (ઉદાહરણ તરીકે, ઉચ્ચ શૈક્ષણિક સંસ્થામાં).

સાહિત્ય:

1. મિત્યાકોવ એસ.એન. ઇન્ફોર્મેટિક્સ. શૈક્ષણિક અને પદ્ધતિસરની સામગ્રીનો સમૂહ. - એન. નોવગોરોડ: નિઝની નોવગોરોડ. રાજ્ય ટેક યુનિવર્સિટી, 2006
2. વેનબર્ગ એમ. એમ., ટ્રેનોગિન વી. એ. નોનલાઇનર સમીકરણોના બ્રાન્ચિંગ સોલ્યુશનનો સિદ્ધાંત. એમ.: નૌકા, 1969. - 527 પૃષ્ઠ.
3. બ્રોન્શટેઈન આઈ.એન., સેમેન્દ્યાયેવ કે.એ. ટેક્નિકલ કોલેજોના ઈજનેરો અને વિદ્યાર્થીઓ માટે ગણિતની હેન્ડબુક - એમ.: નૌકા, 1986.
4. ઓમેલચેન્કો વી.પી., કુર્બાટોવા ઇ.વી. ગણિત: પાઠ્યપુસ્તક. - રોસ્ટોવ એન/ડી.: ફોનિક્સ, 2005.
5. સેવિન એ.પી. યુવા ગણિતશાસ્ત્રીનો જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ. - એમ.: શિક્ષણ શાસ્ત્ર, 1989.
6. કોર્ન જી., કોર્ન ટી. વૈજ્ઞાનિકો અને એન્જિનિયરો માટે ગણિતની હેન્ડબુક. - એમ.: નૌકા, 1973.
7. કિર્યાનોવ ડી. મેથકેડ 15/મેથકેડપ્રાઈમ 1.0. - સેન્ટ પીટર્સબર્ગ: BHV-પીટર્સબર્ગ, 2012.
8. ચેર્નાયક એ., ચેર્નાયક ઝેડ., ડોમેનોવા યુ. મેથકેડ પર આધારિત ઉચ્ચ ગણિત. સામાન્ય અભ્યાસક્રમ. - સેન્ટ પીટર્સબર્ગ: BHV-પીટર્સબર્ગ, 2004.
9. પોર્શનેવ એસ., બેલેન્કોવા I. મેથકેડ પર આધારિત સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ. - સેન્ટ પીટર્સબર્ગ: BHV-પીટર્સબર્ગ, 2012.

મુખ્ય શબ્દો: બિનરેખીય સમીકરણો, લાગુ ગણિત, CAD MathCAD, ન્યૂટનની પદ્ધતિ, પગલું પદ્ધતિ, દ્વિભાષી પદ્ધતિ..

ટીકા: લેખ MathCAD કોમ્પ્યુટર-સહાયિત ડિઝાઇન સિસ્ટમનો ઉપયોગ સહિત બિનરેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓના અભ્યાસ માટે સમર્પિત છે. સ્ટેપ મેથડ, અર્ધભાગ અને ન્યૂટન પદ્ધતિઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, આ પદ્ધતિઓ લાગુ કરવા માટે વિગતવાર અલ્ગોરિધમ્સ આપવામાં આવે છે, અને આ પદ્ધતિઓનું તુલનાત્મક વિશ્લેષણ હાથ ધરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે:

ચાલો શોધવા માટે કાર્ય સેટ કરીએ માન્યઆ સમીકરણના મૂળ.

અને ત્યાં ચોક્કસપણે છે! - વિશેના લેખોમાંથી કાર્ય આલેખઅને ઉચ્ચ ગણિતના સમીકરણોતમે સારી રીતે જાણો છો કે શેડ્યૂલ શું છે બહુપદી કાર્ય વિચિત્ર ડિગ્રીઅક્ષને ઓછામાં ઓછા એક વખત છેદે છે, તેથી આપણું સમીકરણ છે ઓછામાં ઓછુંએક વાસ્તવિક મૂળ. એક. અથવા બે. અથવા ત્રણ.

પ્રથમ, તે ઉપલબ્ધતા તપાસવા માટે વિનંતી કરે છે તર્કસંગતમૂળ અનુસાર અનુરૂપ પ્રમેય, ફક્ત 1, -1, 3, -3 નંબરો આ "શીર્ષક" નો દાવો કરી શકે છે, અને સીધા અવેજીકરણ દ્વારા તે ખાતરી કરવી સરળ છે કે તેમાંથી કોઈ પણ "સુટ" નથી. આમ, અતાર્કિક મૂલ્યો રહે છે. ડિગ્રી 3 ના બહુપદીના અતાર્કિક મૂળ(ઓ) શોધી શકાય છે બરાબર (રેડિકલ દ્વારા વ્યક્ત કરો)કહેવાતા ઉપયોગ કરીને કાર્ડાનો સૂત્રો જો કે, આ પદ્ધતિ તદ્દન બોજારૂપ છે. પરંતુ 5મી અને ઉચ્ચ ડિગ્રીના બહુપદીઓ માટે કોઈ સામાન્ય વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ નથી, અને વધુમાં, વ્યવહારમાં અન્ય ઘણા સમીકરણો છે જેમાં ચોક્કસ મૂલ્યોવાસ્તવિક મૂળ મેળવવાનું અશક્ય છે (જો કે તેઓ અસ્તિત્વમાં છે).

જો કે, અરજીમાં (ઉદાહરણ તરીકે, એન્જિનિયરિંગ)સમસ્યાઓ, ગણતરી કરેલ અંદાજિત મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરવો તે સ્વીકાર્ય કરતાં વધુ છે ચોક્કસ ચોકસાઈ સાથે.

ચાલો આપણા ઉદાહરણ માટે ચોકસાઈ સેટ કરીએ. તેનો અર્થ શું છે? આનો અર્થ એ છે કે આપણે રૂટની આટલી અંદાજિત કિંમત શોધવાની જરૂર છે (મૂળ)જેમાં અમે અમે 0.001 કરતા વધારે ખોટા હોવાની ખાતરી આપીએ છીએ (એક હજારમો) .

તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે સોલ્યુશન "રેન્ડમ" શરૂ કરી શકાતું નથી અને તેથી પ્રથમ પગલામાં મૂળ અલગ. મૂળને અલગ કરવાનો અર્થ એ છે કે પૂરતા પ્રમાણમાં નાના (સામાન્ય રીતે સિંગલ) સેગમેન્ટ શોધવાનું કે જેના પર આ રુટ છે અને જેના પર અન્ય કોઈ મૂળ નથી. સૌથી સરળ અને સૌથી વધુ સુલભ રુટ અલગ કરવાની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ. ચાલો બાંધીએ બિંદુ દ્વારા બિંદુકાર્યનો ગ્રાફ :

ડ્રોઇંગ પરથી તે અનુસરે છે કે સમીકરણ, દેખીતી રીતે, સેગમેન્ટ સાથે સંબંધિત એક વાસ્તવિક મૂળ ધરાવે છે. આ અંતરાલના અંતે કાર્ય વિવિધ ચિહ્નોના મૂલ્યો લે છે: , અને હકીકતમાંથી સેગમેન્ટ પર કાર્યની સાતત્યમૂળને સ્પષ્ટ કરવાની પ્રાથમિક રીત તરત જ દેખાય છે: અમે અંતરાલને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરીએ છીએ અને છેડે તે સેગમેન્ટ પસંદ કરીએ છીએ જેના છેડે ફંક્શન વિવિધ ચિહ્નો લે છે. આ કિસ્સામાં, તે દેખીતી રીતે એક સેગમેન્ટ છે. અમે પરિણામી અંતરાલને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરીએ છીએ અને ફરીથી "વિવિધ ચિહ્ન" સેગમેન્ટ પસંદ કરીએ છીએ. અને તેથી વધુ. આવી ક્રમિક ક્રિયાઓ કહેવામાં આવે છે પુનરાવર્તનો. આ કિસ્સામાં, જ્યાં સુધી સેગમેન્ટની લંબાઈ ગણતરીની ચોકસાઈ કરતા બમણી કરતા ઓછી ન થઈ જાય ત્યાં સુધી તે હાથ ધરવામાં આવવી જોઈએ, અને છેલ્લા "વિવિધ-ચિહ્ન" સેગમેન્ટની મધ્યને મૂળના અંદાજિત મૂલ્ય તરીકે પસંદ કરવી જોઈએ.

માનવામાં આવેલ યોજનાને કુદરતી નામ પ્રાપ્ત થયું - અર્ધ વિભાજન પદ્ધતિ. અને આ પદ્ધતિનો ગેરલાભ એ ઝડપ છે. ધીમે ધીમે. ખૂબ ધીમું. અમે જરૂરી ચોકસાઈ હાંસલ કરીએ તે પહેલાં ઘણી બધી પુનરાવર્તનો થશે. કોમ્પ્યુટર ટેક્નોલોજીના વિકાસ સાથે, આ, અલબત્ત, કોઈ સમસ્યા નથી, પરંતુ ગણિત એ સૌથી વધુ તર્કસંગત ઉકેલો શોધવા માટે ગણિત છે.

અને રુટના અંદાજિત મૂલ્યને ચોક્કસપણે શોધવાની વધુ અસરકારક રીતોમાંની એક છે સ્પર્શક પદ્ધતિ. પદ્ધતિનો સંક્ષિપ્ત ભૌમિતિક સાર નીચે મુજબ છે: પ્રથમ, વિશિષ્ટ માપદંડનો ઉપયોગ કરીને (થોડી વાર પછી તેના પર વધુ)સેગમેન્ટનો એક છેડો પસંદ કરેલ છે. આ અંત કહેવાય છે પ્રારંભિકઅમારા ઉદાહરણમાં રુટનો અંદાજ: . હવે આપણે ફંક્શનના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરીએ છીએ abscissa ખાતે (વાદળી બિંદુ અને જાંબલી સ્પર્શક):

આ સ્પર્શક પીળા બિંદુ પર એક્સ-અક્ષને પાર કરે છે, અને નોંધ લો કે પ્રથમ પગલામાં આપણે લગભગ "મૂળને હિટ" કર્યું છે! હશે પ્રથમમૂળ અભિગમ. આગળ, આપણે ફંક્શનના ગ્રાફ પર પીળા લંબને નીચે કરીએ છીએ અને નારંગી બિંદુ પર "ગેટ" કરીએ છીએ. અમે ફરીથી નારંગી બિંદુ દ્વારા સ્પર્શક દોરીએ છીએ, જે અક્ષને મૂળની નજીક પણ છેદે છે! અને તેથી વધુ. તે સમજવું મુશ્કેલ નથી કે સ્પર્શક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, આપણે કૂદકે ને ભૂસકે લક્ષ્ય સુધી પહોંચી રહ્યા છીએ, અને ચોકસાઈ હાંસલ કરવા માટે તે શાબ્દિક રીતે અનેક પુનરાવર્તનો લેશે.

કારણ કે સ્પર્શક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કાર્યનું વ્યુત્પન્ન, પછી આ પાઠ "ડેરિવેટિવ્ઝ" વિભાગમાં તેની એક એપ્લિકેશન તરીકે સમાપ્ત થયો. અને વિગતમાં ગયા વિના પદ્ધતિનું સૈદ્ધાંતિક સમર્થન, હું મુદ્દાની તકનીકી બાજુને ધ્યાનમાં લઈશ. વ્યવહારમાં, ઉપર વર્ણવેલ સમસ્યા લગભગ નીચેની રચનામાં જોવા મળે છે:

ઉદાહરણ 1

ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, તે અંતરાલ શોધો કે જેના પર સમીકરણનું વાસ્તવિક મૂળ સ્થિત છે. ન્યુટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, 0.001 ની ચોકસાઈ સાથે રૂટનું અંદાજિત મૂલ્ય મેળવો

અહીં કાર્યનું "સ્પેરિંગ વર્ઝન" છે, જેમાં એક જ માન્ય રુટની હાજરી તરત જ જણાવવામાં આવે છે.

ઉકેલ: પ્રથમ પગલા પરરુટને ગ્રાફિકલી અલગ કરવું જોઈએ. આ કાવતરું કરીને કરી શકાય છે (ઉપરના ચિત્રો જુઓ), પરંતુ આ અભિગમમાં સંખ્યાબંધ ગેરફાયદા છે. પ્રથમ, તે હકીકત નથી કે ગ્રાફ સરળ છે (અમે અગાઉથી જાણતા નથી), અને સોફ્ટવેર હંમેશા હાથમાં હોતું નથી. અને બીજું (1લી થી પરિણામ), નોંધપાત્ર સંભાવના સાથે પરિણામ યોજનાકીય રેખાંકન પણ નહીં હોય, પરંતુ રફ ડ્રોઇંગ હશે, જે, અલબત્ત, સારું નથી.

સારું, શા માટે આપણને બિનજરૂરી મુશ્કેલીઓની જરૂર છે? ચાલો કલ્પના કરીએ સમીકરણફોર્મમાં, કાળજીપૂર્વક ગ્રાફ દોરો અને ડ્રોઇંગમાં મૂળને ચિહ્નિત કરો (આલેખના આંતરછેદના બિંદુનું "X" સંકલન):

સ્પષ્ટ ફાયદો આ પદ્ધતિતે છે કે આ કાર્યોના આલેખ હાથ દ્વારા વધુ સચોટ અને વધુ ઝડપી બનાવવામાં આવે છે. માર્ગ દ્વારા, તે નોંધો સીધાપાર ક્યુબિક પેરાબોલાએક બિંદુ પર, જેનો અર્થ છે કે સૂચિત સમીકરણમાં વાસ્તવમાં માત્ર એક વાસ્તવિક મૂળ છે. વિશ્વાસ કરો, પણ ચકાસો ;-)

તેથી, અમારો "ક્લાયન્ટ" સેગમેન્ટનો છે અને "આંખ દ્વારા" લગભગ 0.65-0.7 ની બરાબર છે.

બીજા પગલા પરપસંદ કરવાની જરૂર છે પ્રારંભિક અંદાજમૂળ સામાન્ય રીતે આ સેગમેન્ટના છેડાઓમાંથી એક છે. પ્રારંભિક અંદાજે નીચેની શરતને સંતોષવી આવશ્યક છે:

ચાલો શોધીએ પ્રથમઅને બીજુંવ્યુત્પન્ન કાર્યો :

અને સેગમેન્ટનો ડાબો છેડો તપાસો:

આમ, શૂન્ય "ફિટ ન થયું."

સેગમેન્ટનો જમણો છેડો તપાસી રહ્યું છે:

- બધું સારું છે! અમે પ્રારંભિક અંદાજ તરીકે પસંદ કરીએ છીએ.

ત્રીજા પગલા પરમૂળ સુધીનો રસ્તો આપણી રાહ જુએ છે. દરેક અનુગામી રૂટ અંદાજની ગણતરી નીચેનાનો ઉપયોગ કરીને અગાઉના ડેટામાંથી કરવામાં આવે છે આવર્તકસૂત્રો:

જ્યારે શરત પૂરી થાય ત્યારે પ્રક્રિયા સમાપ્ત થાય છે, જ્યાં પૂર્વનિર્ધારિત ગણતરીની ચોકસાઈ હોય છે. પરિણામે, "nth" અંદાજને મૂળના અંદાજિત મૂલ્ય તરીકે લેવામાં આવે છે: .

આગળ નિયમિત ગણતરીઓ છે:

(સામાન્ય રીતે રાઉન્ડિંગ 5-6 દશાંશ સ્થાનો પર કરવામાં આવે છે)

મેળવેલ મૂલ્ય કરતાં વધારે હોવાથી, અમે મૂળના 1લા અંદાજ પર આગળ વધીએ છીએ:

અમે ગણતરી કરીએ છીએ:

, તેથી 2જી અંદાજ પર જવાની જરૂર છે:

ચાલો આગળના રાઉન્ડમાં આગળ વધીએ:

, આમ, પુનરાવૃત્તિઓ પૂર્ણ થાય છે, અને 2જી અંદાજને મૂળના અંદાજિત મૂલ્ય તરીકે લેવું જોઈએ, જે આપેલ ચોકસાઈ અનુસાર, એક હજારમાં ગોળાકાર હોવું જોઈએ:

વ્યવહારમાં, ગણતરીના પરિણામોને કંઈક અંશે ટૂંકી કરવા માટે કોષ્ટકમાં દાખલ કરવું અનુકૂળ છે, અપૂર્ણાંક ઘણીવાર આના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે:

જો શક્ય હોય તો, એક્સેલમાં ગણતરીઓ જાતે હાથ ધરવાનું વધુ સારું છે - તે વધુ અનુકૂળ અને ઝડપી છે:

જવાબ આપો: 0.001 માટે સચોટ

ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે આ વાક્ય એ હકીકત સૂચવે છે કે અમે અમારા મૂલ્યાંકનમાં ભૂલ કરી છે સાચો અર્થરૂટ 0.001 કરતાં વધુ નહીં. જેમને શંકા છે તેઓ માઇક્રોકેલ્ક્યુલેટર લઈ શકે છે અને ફરી એકવાર સમીકરણની ડાબી બાજુએ 0.674 ની અંદાજિત કિંમત બદલી શકે છે.

હવે ટેબલના જમણા સ્તંભને ઉપરથી નીચે સુધી "સ્કેન" કરીએ અને નોંધ લો કે મૂલ્યો સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં સતત ઘટી રહ્યા છે. આ અસર કહેવાય છે કન્વર્જન્સએક પદ્ધતિ જે આપણને મનસ્વી રીતે ઉચ્ચ ચોકસાઈ સાથે રૂટની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. પરંતુ કન્વર્જન્સ હંમેશા થતું નથી - તે સુનિશ્ચિત થાય છે સંખ્યાબંધ શરતો, જેના વિશે મેં મૌન સેવ્યું. ખાસ કરીને, સેગમેન્ટ કે જેના પર રુટ અલગ છે તે હોવું આવશ્યક છે પર્યાપ્ત નાના- અન્યથા મૂલ્યો અવ્યવસ્થિત રીતે બદલાશે અને અમે અલ્ગોરિધમ પૂર્ણ કરી શકીશું નહીં.

આવા કિસ્સાઓમાં શું કરવું? તપાસો કે ઉલ્લેખિત શરતો પૂરી થઈ છે (ઉપરની લિંક જુઓ), અને, જો જરૂરી હોય તો, સેગમેન્ટમાં ઘટાડો. તેથી, પ્રમાણમાં કહીએ તો, જો વિશ્લેષણ કરેલ ઉદાહરણમાં અંતરાલ આપણા માટે યોગ્ય ન હતો, તો આપણે ઉદાહરણ તરીકે, સેગમેન્ટને ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ. વ્યવહારમાં, મેં આવા કિસ્સાઓનો સામનો કર્યો છે, અને આ તકનીક ખરેખર મદદ કરે છે! જો "વિશાળ" સેગમેન્ટના બંને છેડા સ્થિતિને સંતોષતા ન હોય તો તે જ કરવું આવશ્યક છે (એટલે ​​કે, તેમાંથી કોઈ પણ પ્રારંભિક અંદાજ તરીકે યોગ્ય નથી).

પરંતુ સામાન્ય રીતે બધું ઘડિયાળની જેમ કામ કરે છે, જોકે મુશ્કેલીઓ વિના નહીં:

ઉદાહરણ 2

સમીકરણના વાસ્તવિક મૂળની સંખ્યા ગ્રાફિકલી નક્કી કરો, આ મૂળોને અલગ કરો અને, ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, મૂળના અંદાજિત મૂલ્યો સચોટતા સાથે શોધો

સમસ્યાની સ્થિતિ નોંધપાત્ર રીતે કડક બની છે: પ્રથમ, તેમાં એક મજબૂત સંકેત છે કે સમીકરણમાં એક પણ મૂળ નથી, બીજું, ચોકસાઈની જરૂરિયાત વધી છે, અને ત્રીજું, કાર્યના ગ્રાફ સાથે. સામનો કરવો વધુ મુશ્કેલ.

અને તેથી ઉકેલચાલો બચતની યુક્તિથી શરૂઆત કરીએ: ફોર્મમાં સમીકરણની કલ્પના કરો અને આલેખ દોરો:


ડ્રોઇંગ પરથી તે અનુસરે છે કે આપણા સમીકરણના બે વાસ્તવિક મૂળ છે:

અલ્ગોરિધમ, જેમ તમે સમજો છો, તેને બે વાર "ક્રેન્ક" કરવાની જરૂર છે. પરંતુ આ સૌથી ગંભીર કિસ્સાઓમાં પણ છે; કેટલીકવાર તમારે 3-4 મૂળની તપાસ કરવી પડે છે.

1) માપદંડનો ઉપયોગ કરવો ચાલો શોધી કાઢીએ કે પ્રથમ રુટના પ્રારંભિક અંદાજ તરીકે સેગમેન્ટનો કયો છેડો પસંદ કરવો. કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવી :

સેગમેન્ટના ડાબા છેડાનું પરીક્ષણ:

- ઉપર આવ્યા!

આમ, પ્રારંભિક અંદાજ છે.

અમે રિકરન્ટ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મૂળને શુદ્ધ કરીશું:
- અપૂર્ણાંક સુધી મોડ્યુલોજરૂરી ચોકસાઈ કરતાં ઓછી નહીં હોય:

અને અહીં "મોડ્યુલ" શબ્દ બિન-ભ્રામક મહત્વ મેળવે છે, કારણ કે મૂલ્યો નકારાત્મક છે:


આ જ કારણસર, દરેક આગલા અંદાજ પર જતી વખતે વિશેષ ધ્યાન આપવું જોઈએ:

ચોકસાઈ માટે એકદમ ઉચ્ચ આવશ્યકતા હોવા છતાં, પ્રક્રિયા ફરીથી 2જી અંદાજ પર સમાપ્ત થઈ: , તેથી:

0.0001 સુધી સચોટ

2) ચાલો મૂળની અંદાજિત કિંમત શોધીએ.

અમે જૂ માટે સેગમેન્ટના ડાબા છેડાને તપાસીએ છીએ:

, તેથી, તે પ્રારંભિક અંદાજ તરીકે યોગ્ય નથી.

n બિનરેખીય બીજગણિત અથવા n અજ્ઞાત સ્વરૂપ સાથેના ગુણાતીત સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલો શોધવાની સમસ્યા

કમ્પ્યુટિંગ પ્રેક્ટિસમાં વ્યાપકપણે ગણવામાં આવે છે. સમીકરણોની સમાન પ્રણાલીઓ ઊભી થઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, તેમની સ્થિર અવસ્થાઓ શોધવાના તબક્કે બિનરેખીય ભૌતિક સિસ્ટમોના આંકડાકીય મોડેલિંગ દરમિયાન. સંખ્યાબંધ કેસોમાં, ફોર્મની સિસ્ટમ્સ (6.1) પરોક્ષ રીતે, કેટલીક અન્ય કોમ્પ્યુટેશનલ સમસ્યાને ઉકેલવાની પ્રક્રિયામાં મેળવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે અનેક ચલોના ફંક્શનને ન્યૂનતમ કરવાનો પ્રયાસ કરો, ત્યારે તમે બહુપરીમાણીય જગ્યામાં તે બિંદુઓ શોધી શકો છો જ્યાં ફંક્શનનું ગ્રેડિયન્ટ શૂન્ય છે. આ કિસ્સામાં, સમીકરણોની સિસ્ટમ (6.1) ને ડાબી બાજુઓ સાથે હલ કરવી જરૂરી છે - સંકલન અક્ષો પર ઢાળના અંદાજો.

વેક્ટર નોટેશનમાં, સિસ્ટમ (6.1) વધુ કોમ્પેક્ટ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે

વિધેયોની વેક્ટર કૉલમ, પ્રતીક () T ટ્રાન્સપોનિશન ઑપરેશન સૂચવે છે

બિનરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલો શોધવા એ એક જ બિનરેખીય સમીકરણ ઉકેલવા કરતાં વધુ જટિલ કાર્ય છે. તેમ છતાં, બિનરેખીય સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની સંખ્યાબંધ પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ બિનરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો સુધી વિસ્તારી શકાય છે.

સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ

બિનરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો માટેની સરળ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિ એ આવશ્યકપણે એક સમીકરણ માટે સમાન નામની પદ્ધતિનું સામાન્યીકરણ છે. તે એ હકીકત પર આધારિત છે કે સમીકરણોની સિસ્ટમ (6.1) ફોર્મમાં ઘટાડો થાય છે

x 1= g 1(x 1, x 2, … , x n) , x 2 = g 2(x 1, x 2, … , x n) ,

……………………

x n = g n(x 1 , x 2 , … , x n) ,

અને પુનરાવર્તનો સૂત્રો અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે

x 1 (k + 1 ) = g 1 (x 1 (k), x 2 (k), ... , x n (k )), x 2 (k + 1 ) = g 2 (x 1 (k) ), x 2 (k), … , x n (k)) ,

……………………………

x n (k + 1) = g n (x 1 (k), x 2 (k), ..., x n (k)).

અહીં સુપરસ્ક્રિપ્ટ અંદાજિત સંખ્યા દર્શાવે છે. પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા (6.3) કેટલાક પ્રારંભિક અંદાજ સાથે શરૂ થાય છે

(x 1 (0) ,x 2 (0) ,… ,x n (0) ) અને ઇન્ક્રીમેન્ટ મોડ્યુલો સુધી ચાલુ રાખો

એક k-પુનરાવૃત્તિ પછીની બધી દલીલો ઉલ્લેખિત મૂલ્ય કરતાં ઓછી નહીં બને ε : x i (k + 1 ) − x i (k )< ε дляi = 1,2,… ,n .

જોકે સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ સીધા ઉકેલ તરફ દોરી જાય છે અને પ્રોગ્રામ કરવા માટે સરળ છે, તેના બે નોંધપાત્ર ગેરફાયદા છે. તેમાંથી એક ધીમી સંપાત છે. બીજું એ છે કે જો પ્રારંભિક અંદાજ સાચા ઉકેલ (X 1,X 2,…,X n) થી દૂર પસંદ કરવામાં આવે, તો કન્વર્જન્સ

પદ્ધતિની ખાતરી નથી. તે સ્પષ્ટ છે કે પ્રારંભિક અંદાજ પસંદ કરવાની સમસ્યા, જે એક સમીકરણ માટે પણ સરળ નથી, બિનરેખીય સિસ્ટમો માટે ખૂબ જટિલ બની જાય છે.

બિનરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

સામાન્ય સ્વરૂપની બિનરેખીય સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે કોઈ સીધી પદ્ધતિઓ નથી. માત્ર કેટલાક કિસ્સાઓમાં સિસ્ટમ (4.1) સીધા ઉકેલી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે સમીકરણોના કિસ્સામાં, કેટલીકવાર એક અજાણ્યાને બીજાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરવું શક્ય બને છે અને આ રીતે એક અજાણ્યાના સંદર્ભમાં એક બિનરેખીય સમીકરણ ઉકેલવામાં સમસ્યા ઘટાડી શકાય છે.

પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે બિનરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે થાય છે.

ન્યુટનની પદ્ધતિ

એક સમીકરણ F(x) = 0 ના કિસ્સામાં, ન્યૂટનની પદ્ધતિનો અલ્ગોરિધમ વક્ર y = F(x) પર સ્પર્શક સમીકરણો લખીને સરળતાથી મેળવી શકાય છે. સમીકરણોની પ્રણાલીઓ માટેની ન્યૂટન પદ્ધતિ ટેલર શ્રેણીમાં ફંક્શન F 1 (x 1 ...x n) ના વિસ્તરણના ઉપયોગ પર આધારિત છે, અને તેમાંના શબ્દો

હાલના બીજા (અને ઉચ્ચ ક્રમના) ડેરિવેટિવ્ઝ કાઢી નાખવામાં આવે છે. સિસ્ટમના અજાણ્યા અંદાજિત મૂલ્યો (4.1) સમાન થવા દો

જવાબદાર a 1,a 2,....,a n. કાર્ય એ ઇન્ક્રીમેન્ટ્સ શોધવાનું છે (દ્વારા

ચાલો ટેલર શ્રેણીના વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લઈને સમીકરણોની ડાબી બાજુઓ (4.1) ને વિસ્તૃત કરીએ, પોતાને ફક્ત સંબંધિતની રેખીય શરતો સુધી મર્યાદિત કરીએ.

સિસ્ટમ (4.1) માં અવેજીમાં, અમે વધારા માટે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની નીચેની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

x 2 = a 2, …x n = a n.

સિસ્ટમનો નિર્ણાયક (4.3) જેકોબિયન છે:

… … … …

∂ F n… … ∂ F n∂ x 1 ∂ x n

x 1 = a 1,

સિસ્ટમના અનન્ય ઉકેલ માટે અસ્તિત્વમાં છે, જેકોબિયન દરેક પુનરાવૃત્તિ પર બિનશૂન્ય હોવું આવશ્યક છે.

આમ, ન્યૂટનની પદ્ધતિ દ્વારા સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલવાની પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયામાં રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલીને દરેક પુનરાવૃત્તિ પર અજાણ્યાના મૂલ્યોમાં x 1, x 2, ..., x n નો વધારો નક્કી કરવામાં આવે છે ( 4.3). જો તમામ ઇન્ક્રીમેન્ટ સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં નાનાં થઈ જાય તો ગણતરી અટકે છે: maxx i< ε . В ме-

ન્યૂટનની પદ્ધતિમાં, સારા સંગમની ખાતરી કરવા માટે પ્રારંભિક અંદાજની સફળ પસંદગી પણ મહત્વપૂર્ણ છે. સિસ્ટમમાં સમીકરણોની સંખ્યામાં વધારો થતાં કન્વર્જન્સ બગડે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, બે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટે ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાનું વિચારો:

∂ ∂ F 1. x

જમણી બાજુના જથ્થાની ગણતરી x = a,y = b પર થાય છે.

રાજ્ય શૈક્ષણિક સંસ્થા

"ટ્રાન્સનિસ્ટ્રિયન સ્ટેટ યુનિવર્સિટી નામ આપવામાં આવ્યું છે. ટી.જી. શેવચેન્કો"

Rybnitsa શાખા

ભૌતિકશાસ્ત્ર, ગણિત અને માહિતીશાસ્ત્ર વિભાગ

અભ્યાસક્રમ

શિસ્તમાં: "કોમ્પ્યુટર પર સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની વર્કશોપ"

"ન્યુટનની બિનરેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિ"

પૂર્ણ:

3 જી વર્ષનો વિદ્યાર્થી;

330મું જૂથ

વિશેષતા: "ઇન્ફોર્મેટિક્સ"

વધારાના સાથે અંગ્રેજીમાં મેજરિંગ

નિસ્ટર એ.જી.

તપાસેલ:

શિક્ષક પંચેન્કો ટી. એ.

માનવીય પ્રવૃત્તિના તમામ ક્ષેત્રોમાં કમ્પ્યુટરની રજૂઆત માટે કમ્પ્યુટર તકનીકનો ઉપયોગ કરવાની કુશળતા મેળવવા માટે વિવિધ પ્રોફાઇલના નિષ્ણાતોની જરૂર છે. યુનિવર્સિટીના વિદ્યાર્થીઓની તાલીમનું સ્તર વધી રહ્યું છે, જેમને પ્રથમ વર્ષથી કમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ અને સૌથી સરળ સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓનો પરિચય આપવામાં આવે છે, એ હકીકતનો ઉલ્લેખ ન કરવો કે કોર્સવર્ક અને ડિપ્લોમા પ્રોજેક્ટ્સનું અમલીકરણ, કમ્પ્યુટર તકનીકનો ઉપયોગ સામાન્ય બની જાય છે. મોટાભાગની યુનિવર્સિટીઓમાં.

કોમ્પ્યુટર ટેક્નોલોજીનો ઉપયોગ હવે માત્ર ઈજનેરી ગણતરીઓ અને આર્થિક વિજ્ઞાનમાં જ નહીં, પરંતુ પરંપરાગત રીતે બિન-ગાણિતિક વિશેષતાઓ જેમ કે દવા, ભાષાશાસ્ત્ર અને મનોવિજ્ઞાનમાં પણ થાય છે. આ સંદર્ભે, એવું કહી શકાય કે કમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ વ્યાપક બન્યો છે. નિષ્ણાતોની એક મોટી શ્રેણી ઉભરી આવી છે - કોમ્પ્યુટર વપરાશકર્તાઓ કે જેમને તેમના ઉદ્યોગમાં કમ્પ્યુટરના ઉપયોગ વિશે જ્ઞાનની જરૂર છે - હાલના સોફ્ટવેર સાથે કામ કરવાની કુશળતા, તેમજ ચોક્કસ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે અનુકૂળ પોતાનું સોફ્ટવેર બનાવવાની કુશળતા. અને અહીં ઉચ્ચ-સ્તરની પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓ અને સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓના વર્ણનો વપરાશકર્તાની સહાય માટે આવે છે.

સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ વિકસિત અને સંશોધન કરવામાં આવે છે, એક નિયમ તરીકે, ઉચ્ચ લાયકાત ધરાવતા ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા. મોટાભાગના વપરાશકર્તાઓ માટે, મુખ્ય કાર્ય મૂળભૂત વિચારો અને પદ્ધતિઓ, સુવિધાઓ અને એપ્લિકેશનોને સમજવાનું છે. જો કે, વપરાશકર્તાઓ કમ્પ્યુટર સાથે માત્ર અત્યંત બુદ્ધિશાળી કેલ્ક્યુલેટર તરીકે જ નહીં, પણ રોજિંદા કામમાં મદદનીશ તરીકે, ઝડપી અને વ્યવસ્થિત ઍક્સેસ સાથે માહિતીના ભંડાર, તેમજ ગ્રાફિકલ માહિતીના સ્ત્રોત અને પ્રોસેસર તરીકે પણ કામ કરવા માંગે છે. હું આ કોર્સ વર્કમાં આધુનિક કોમ્પ્યુટરના આ તમામ કાર્યોને દર્શાવવા માંગુ છું.

ધ્યેયો અને ઉદ્દેશ્યો.

આ કોર્સ વર્કનો હેતુ ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બિનરેખીય સમીકરણોના ઉકેલનો અભ્યાસ અને સોફ્ટવેર ઉત્પાદનમાં અમલ કરવાનો છે. આ કાર્યમાં ત્રણ વિભાગો, નિષ્કર્ષ અને પરિશિષ્ટનો સમાવેશ થાય છે. પ્રથમ વિભાગ સૈદ્ધાંતિક છે અને તેમાં ન્યૂટનની પદ્ધતિ વિશે સામાન્ય માહિતી છે. બીજો વ્યવહારુ ભાગ છે. અહીં અમે ન્યૂટનની પદ્ધતિનું વર્ણન કરીએ છીએ, જેનું ચોક્કસ ઉદાહરણો સાથે વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું છે. ત્રીજું પ્રોગ્રામનું પરીક્ષણ કરવા અને પરિણામોનું વિશ્લેષણ કરવા માટે સમર્પિત છે. અંતે, કરેલ કાર્ય વિશે નિષ્કર્ષ રજૂ કરવામાં આવે છે.

આ કોર્સ વર્કનો હેતુ બિનરેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટે ન્યૂટનની પદ્ધતિનો સોફ્ટવેર અમલીકરણ છે.

આ કરવા માટે, તમારે નીચેના કાર્યો પૂર્ણ કરવા આવશ્યક છે:

1. જરૂરી સાહિત્યનો અભ્યાસ કરો.

2. બિનરેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટે હાલની પદ્ધતિઓની સમીક્ષા કરો.

3. બિનરેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટે ન્યૂટનની પદ્ધતિનો અભ્યાસ કરો.

4. વિશિષ્ટ ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને ન્યુટનની પદ્ધતિ દ્વારા બિનરેખીય સમીકરણોના ઉકેલને ધ્યાનમાં લો.

5. ન્યૂટનની પદ્ધતિ દ્વારા બિનરેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટે એક પ્રોગ્રામ વિકસાવો.

6. પરિણામોનું વિશ્લેષણ કરો.

બિનરેખીય સમીકરણના મૂળ શોધવાની સમસ્યાનો વિચાર કરો

સમીકરણ (1) ના મૂળ એ x ના તે મૂલ્યો છે જે, જ્યારે અવેજી કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેને ઓળખમાં ફેરવે છે. માત્ર સરળ સમીકરણો માટે સૂત્રોના સ્વરૂપમાં ઉકેલ શોધવાનું શક્ય છે, એટલે કે. વિશ્લેષણાત્મક સ્વરૂપ. વધુ વખત અંદાજિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા જરૂરી છે, જેમાં સૌથી વધુ વ્યાપક છે, જેમાં કમ્પ્યુટરના આગમનને કારણે, સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ છે.

અંદાજિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને મૂળ શોધવા માટેના અલ્ગોરિધમને બે તબક્કામાં વિભાજિત કરી શકાય છે. પ્રથમ તબક્કે, મૂળના સ્થાનનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે અને તેમના વિભાજન હાથ ધરવામાં આવે છે. તે પ્રદેશ જોવા મળે છે જેમાં સમીકરણનું રુટ હોય અથવા મૂળ x 0 નું પ્રારંભિક અંદાજ હોય. આ સમસ્યાને હલ કરવાનો સૌથી સરળ રસ્તો ફંક્શન f(x) ના ગ્રાફનો અભ્યાસ કરવાનો છે. સામાન્ય કિસ્સામાં, તેને હલ કરવા માટે ગાણિતિક વિશ્લેષણના તમામ માધ્યમોનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે.

મળેલા સેગમેન્ટ પર સમીકરણ (1) ના ઓછામાં ઓછા એક મૂળનું અસ્તિત્વ બોલઝાનોની સ્થિતિને અનુસરે છે:

f(a)*f(b)<0 (2)

આ સૂચવે છે કે ફંક્શન f(x) આ અંતરાલ પર સતત છે. જો કે, આ સ્થિતિ આપેલ અંતરાલ પર સમીકરણના મૂળની સંખ્યા વિશેના પ્રશ્નનો જવાબ આપતી નથી. જો ફંક્શનની સાતત્યની આવશ્યકતા તેની એકવિધતાની જરૂરિયાત સાથે પૂરક છે, અને આ પ્રથમ વ્યુત્પન્નના ચિહ્નની સ્થિરતાથી અનુસરે છે, તો આપણે આપેલ સેગમેન્ટ પર એક જ મૂળના અસ્તિત્વનો દાવો કરી શકીએ છીએ.

મૂળનું સ્થાનીકરણ કરતી વખતે, આ પ્રકારના સમીકરણના મૂળભૂત ગુણધર્મોને જાણવું પણ મહત્વપૂર્ણ છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો બીજગણિત સમીકરણોના કેટલાક ગુણધર્મોને યાદ કરીએ:

વાસ્તવિક ગુણાંક ક્યાં છે.

a) ડિગ્રી n ના સમીકરણ n મૂળ ધરાવે છે, જેમાંથી વાસ્તવિક અને જટિલ બંને હોઈ શકે છે. જટિલ મૂળ જટિલ સંયોજક જોડી બનાવે છે અને તેથી, સમીકરણમાં આવા મૂળની સમાન સંખ્યા હોય છે. જો n વિચિત્ર હોય, તો ઓછામાં ઓછું એક વાસ્તવિક મૂળ હોય છે.

b) સકારાત્મક વાસ્તવિક મૂળની સંખ્યા ગુણાંકના ક્રમમાં ચલ ચિન્હોની સંખ્યા કરતા ઓછી અથવા સમાન છે. સમીકરણ (3) માં x ને –x સાથે બદલવાથી આપણે એ જ રીતે નકારાત્મક મૂળની સંખ્યાનો અંદાજ લગાવી શકીએ છીએ.

સમીકરણ (1) ઉકેલવાના બીજા તબક્કે, પ્રાપ્ત પ્રારંભિક અંદાજનો ઉપયોગ કરીને, પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા બનાવવામાં આવે છે જે ચોક્કસ પૂર્વનિર્ધારિત ચોકસાઈ સાથે મૂળના મૂલ્યને રિફાઇન કરવાનું શક્ય બનાવે છે. પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયામાં પ્રારંભિક અંદાજના ક્રમિક શુદ્ધિકરણનો સમાવેશ થાય છે. આવા દરેક પગલાને પુનરાવર્તન કહેવામાં આવે છે. પુનરાવર્તન પ્રક્રિયાના પરિણામે, સમીકરણના મૂળના અંદાજિત મૂલ્યોનો ક્રમ જોવા મળે છે. જો આ ક્રમ n વધે તેમ રુટ x ની સાચી કિંમત સુધી પહોંચે, તો પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા કન્વર્જ થાય છે. જો નીચેની શરત પૂરી થઈ હોય તો પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાને ઓછામાં ઓછા ક્રમ m માં કન્વર્જ થવાનું કહેવાય છે:

, (4)

જ્યાં C>0 અમુક સ્થિર છે. જો m=1, તો આપણે પ્રથમ-ક્રમના કન્વર્જન્સની વાત કરીએ છીએ; m=2 - લગભગ ચતુર્ભુજ, m=3 - ક્યુબિક કન્વર્જન્સ વિશે.

પુનરાવર્તિત ચક્ર સમાપ્ત થાય છે જો, આપેલ અનુમતિપાત્ર ભૂલ માટે, નિરપેક્ષ અથવા સંબંધિત વિચલનો માટેના માપદંડો પૂર્ણ થાય છે:

અથવા નાની વિસંગતતા:

આ કાર્ય ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બિનરેખીય સમીકરણોને ઉકેલવા માટેના અલ્ગોરિધમના અભ્યાસને સમર્પિત છે.

1.1 બિનરેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટે હાલની પદ્ધતિઓની સમીક્ષા

બિનરેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટે ઘણી વિવિધ પદ્ધતિઓ છે, તેમાંથી કેટલીક નીચે પ્રસ્તુત છે:

1)પુનરાવર્તન પદ્ધતિ. પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બિનરેખીય સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, આપણે x=f(x) સ્વરૂપમાં લખેલા સમીકરણનો ઉપયોગ કરીશું. દલીલનું પ્રારંભિક મૂલ્ય x 0 અને ચોકસાઈ ε ઉલ્લેખિત છે. ઉકેલ x 1 નો પ્રથમ અંદાજ x 1 =f(x 0), બીજો - x 2 =f(x 1), વગેરે અભિવ્યક્તિમાંથી જોવા મળે છે. સામાન્ય કિસ્સામાં, આપણે સૂત્ર xi+1 =f(xi) નો ઉપયોગ કરીને i+1 અંદાજ શોધીએ છીએ. અમે |f(xi)|>ε સુધી આ પ્રક્રિયાનું પુનરાવર્તન કરીએ છીએ. પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિ |f"(x)|ના કન્વર્જન્સ માટેની સ્થિતિ<1.

2)ન્યુટનની પદ્ધતિ. ન્યૂટન પદ્ધતિ દ્વારા બિનરેખીય સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, દલીલ x 0 અને ચોકસાઈ ε નું પ્રારંભિક મૂલ્ય નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. પછી બિંદુ (x 0 ,F(x 0)) પર આપણે ગ્રાફ F(x) પર સ્પર્શક દોરીએ છીએ અને x 1 અક્ષ સાથે સ્પર્શકના આંતરછેદના બિંદુને નિર્ધારિત કરીએ છીએ. બિંદુ (x 1 ,F(x 1)) પર આપણે ફરીથી સ્પર્શક બનાવીએ છીએ, ઇચ્છિત ઉકેલ x 2, વગેરેનો આગળનો અંદાજ શોધીએ છીએ. અમે |F(xi)| સુધી આ પ્રક્રિયાનું પુનરાવર્તન કરીએ છીએ > ε. એબ્સીસા અક્ષ સાથે સ્પર્શકના આંતરછેદના બિંદુ (i+1)ને નિર્ધારિત કરવા માટે, અમે નીચેના સૂત્ર x i+1 =x i -F(x i)\ F’(x i) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. સ્પર્શક પદ્ધતિ F(x 0)∙F""(x)>0, વગેરેના કન્વર્જન્સ માટેની સ્થિતિ.

3). ડિકોટોમી પદ્ધતિ.સોલ્યુશન તકનીક C k = a k + b k /2 સૂત્ર અનુસાર પ્રારંભિક અનિશ્ચિતતા અંતરાલને અડધા ભાગમાં ધીમે ધીમે વિભાજીત કરવા માટે નીચે આવે છે.

બે પરિણામી સેગમેન્ટ્સમાંથી જરૂરી એક પસંદ કરવા માટે, પરિણામી સેગમેન્ટ્સના છેડે ફંક્શનનું મૂલ્ય શોધવું જરૂરી છે અને તે ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે કે જેના પર ફંક્શન તેની નિશાની બદલશે, એટલે કે શરત f ( a k) * f (k માં) સંતુષ્ટ હોવું આવશ્યક છે<0.

વર્તમાન અનિશ્ચિતતા અંતરાલની લંબાઈ નિર્દિષ્ટ ચોકસાઈ કરતા ઓછી ન થાય ત્યાં સુધી સેગમેન્ટને વિભાજિત કરવાની પ્રક્રિયા હાથ ધરવામાં આવે છે, એટલે કે

in to - a to< E. Тогда в качестве приближенного решения уравнения будет точка, соответствующая середине интервала неопределённости.

4). તાર પદ્ધતિ. પદ્ધતિનો વિચાર એ છે કે સેગમેન્ટ પર તાર બાંધવામાં આવે છે, ફંક્શન y=f(x) ના ગ્રાફના ચાપના છેડાને અને બિંદુ c, x- સાથે તારનું આંતરછેદ. axis, રુટનું અંદાજિત મૂલ્ય ગણવામાં આવે છે

c = a - (f(a)Х (a-b)) / (f(a) - f(b)),

c = b - (f(b)Х (a-b)) / (f(a) - f(b)).

આગામી અંદાજ અંતરાલ પર અથવા બિંદુ a, b, c પર ફંક્શન મૂલ્યોના સંકેતોના આધારે માંગવામાં આવે છે

x* O, જો f(c)H f(a) > 0;

x* O જો f(c)Х f(b)< 0 .

જો f"(x) ચિહ્નને બદલતું નથી, તો પછી c=x 1 સૂચવીને અને a અથવા b ને પ્રારંભિક અંદાજ તરીકે ધ્યાનમાં લેતા, અમે નિશ્ચિત જમણા અથવા ડાબા બિંદુ સાથે તાર પદ્ધતિના પુનરાવર્તિત સૂત્રો મેળવીએ છીએ.

x 0 =a, x i+1 = x i - f(x i)(b-x i) / (f(b)-f(x i), f "(x)Х f "(x) > 0 સાથે;

x 0 =b, x i+1 = x i - f(x i)(x i -a) / (f(x i)-f(a), f "(x)Х f "(x) સાથે< 0 .

તાર પદ્ધતિનું કન્વર્જન્સ રેખીય છે.

1.2 ન્યૂટનની પદ્ધતિ અલ્ગોરિધમ

ચાલો સમીકરણના મૂળની ગણતરી કરવા માટે એક અસરકારક અલ્ગોરિધમ બનાવીએ. પ્રારંભિક અંદાજ આપી દો. ચાલો આ બિંદુએ ફંક્શનની કિંમત અને તેના ડેરિવેટિવની ગણતરી કરીએ. ચાલો પદ્ધતિનું ગ્રાફિકલ ચિત્ર જોઈએ:

.

(8)

આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખીને, અમે પ્રખ્યાત ન્યૂટન સૂત્ર મેળવીએ છીએ:

(9)

અહીં સૌથી સરળ પુનરાવર્તિત સબરૂટિન કાર્ય છે:

કાર્ય X_Newt(x,eps:real):real;

y:=x-f(x)/f1(x);

જો abs(f(x)) > eps

પછી X_Newt:=X_Newt(y,eps)

ન્યૂટનની પદ્ધતિ (સ્પર્શકો) એ કન્વર્જન્સના ચતુર્ભુજ દર દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે, એટલે કે. દરેક પુનરાવર્તન પર, સાચા ચિહ્નોની સંખ્યા બમણી થાય છે. જો કે, આ પદ્ધતિ હંમેશા ઇચ્છિત પરિણામ તરફ દોરી જતી નથી. ચાલો આ મુદ્દાને વધુ વિગતવાર ધ્યાનમાં લઈએ.

ચાલો સમીકરણ (1) ને ફોર્મના સમકક્ષ સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કરીએ:

સ્પર્શક પદ્ધતિના કિસ્સામાં . જો મૂળ x=x 0 નો પ્રારંભિક અંદાજ જાણીતો હોય, તો પછી આપણે સમીકરણ x 1 =g(x 0), પછી x 2 =g(x 1),... આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખીને, અમે સરળ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિનું આવર્તક સૂત્ર મેળવીએ છીએ

x k+1 =g(x k) (11)

શરતો (5-7) પૂરી ન થાય ત્યાં સુધી પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા ચાલુ રહે છે.

શું વર્ણવેલ કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રક્રિયા હંમેશા ઇચ્છિત ઉકેલ તરફ દોરી જાય છે? તે કઈ પરિસ્થિતિઓમાં એકરૂપ થશે? આ પ્રશ્નોના જવાબ આપવા માટે, ચાલો ફરીથી પદ્ધતિના ભૌમિતિક ચિત્ર તરફ વળીએ.

સમીકરણનું મૂળ ફંક્શન y=x અને y=g(x) ના આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. ફિગમાંથી જોઈ શકાય છે. 3(a), જો શરત સંતોષાય છે, તો પ્રક્રિયા કન્વર્જ થાય છે, અન્યથા તે અલગ પડે છે (ફિગ. 3(b)).

તેથી, પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાને એકરૂપ થવા માટે અને ઇચ્છિત પરિણામ તરફ દોરી જવા માટે, નીચેની શરત પૂરી કરવી આવશ્યક છે:

સમીકરણ f(x)=0 થી સમીકરણ x=g(x) માં સંક્રમણ વિવિધ રીતે કરી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, તે મહત્વનું છે કે પસંદ કરેલ કાર્ય g(x) સ્થિતિ (12) ને સંતોષે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો ફંક્શન f(x) ને મનસ્વી સ્થિર q વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે અને ચલ x સમીકરણ (1) ની બંને બાજુ ઉમેરવામાં આવે, તો g(x)=q*f(x)+x. ચાલો આપણે સતત q પસંદ કરીએ કે અલ્ગોરિધમનો કન્વર્જન્સ રેટ સૌથી વધુ હોય. જો 1

ન્યૂટનની પદ્ધતિમાં ઉંચો કન્વર્જન્સ રેટ છે, પરંતુ તે હંમેશા કન્વર્જ નથી થતો. કન્વર્જન્સ શરત, જ્યાં g(x) = x – f(x)/ f’(x), જરૂરિયાતમાં ઘટાડો થાય છે.

પ્રાયોગિક ગણતરીઓમાં, ઇચ્છિત મૂલ્યની શક્ય તેટલી નજીક પ્રારંભિક મૂલ્ય પસંદ કરવું અને પ્રોગ્રામમાં "લૂપિંગ ગાર્ડ" ઇન્સ્ટોલ કરવું મહત્વપૂર્ણ છે.

પદ્ધતિનો ગેરલાભ એ છે કે દરેક પગલા પર માત્ર કાર્યની જ નહીં, પણ તેના વ્યુત્પન્નની પણ ગણતરી કરવી જરૂરી છે. આ હંમેશા અનુકૂળ નથી. ન્યુટનની પદ્ધતિમાંના એક ફેરફાર એ છે કે માત્ર પ્રથમ પુનરાવર્તન પર જ વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવી:

(13)

અન્ય ફેરફાર પદ્ધતિ એ ડેરિવેટિવને મર્યાદિત તફાવત સાથે બદલવાની છે

(14)

પછી (15)

ન્યૂટનના અલ્ગોરિધમમાં આ ફેરફારનો ભૌમિતિક અર્થ એ છે કે સ્પર્શકમાંથી આપણે સેકન્ટ પર આવીએ છીએ. સેકન્ટ મેથડ કન્વર્જન્સ સ્પીડના સંદર્ભમાં ન્યૂટનની પદ્ધતિથી હલકી ગુણવત્તાવાળી છે, પરંતુ તેને ડેરિવેટિવની ગણતરીની જરૂર નથી. નોંધ કરો કે સેકન્ટ પદ્ધતિમાં પ્રારંભિક અંદાજો રુટની જુદી જુદી બાજુઓ પર અથવા એક જ બાજુ પર સ્થિત હોઈ શકે છે.

ચાલો ન્યૂટનની પદ્ધતિના અલ્ગોરિધમને સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખીએ.

1. પ્રારંભિક અંદાજ x (0) સેટ કરો જેથી સ્થિતિ સંતુષ્ટ થાય

f(x (0))*f’(x (0))>0. (16)

ગણતરીઓની સચોટતા તરીકે નાની ધન સંખ્યા ε સેટ કરો. k = 0 સેટ કરો.

2. સૂત્ર (9) નો ઉપયોગ કરીને x (k+1) ની ગણતરી કરો:

.

3. જો | x (k+1) - x (k) |< ε, то процесс вычисления прекратить и положить х* = x (k+1) . નહિંતર, k ને 1 (k = k + 1) વડે વધારો અને સ્ટેપ 2 પર જાઓ.

ચાલો ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને કેટલાક બિનરેખીય સમીકરણો જાતે હલ કરીએ, અને પછી સોફ્ટવેર પ્રોડક્ટ અમલમાં મૂકતી વખતે મેળવેલા પરિણામો સાથે સરખામણી કરીએ.

ઉદાહરણ 1

sin x 2 + cosx 2 - 10x. = 0.

F’(x)=2x cosx 2 - 2x sinx 2 - 10.

F’(x)=2cosx 2 - 4x 2 sinx 2 - 2sinx 2 - 4x 2 cosx 2 = cosx 2 (2-4x 2) - sinx 2 (2+4x 2).

હવે, ગ્રાફના આધારે, ચાલો પ્રથમ અંદાજિત મૂળ લઈએ અને સ્થિતિ (16): f(x (0)) * f’(x (0)) > 0.

ચાલો x (0) = 0. 565, પછી f(0. 565)*f’(0. 565) = -4. 387 * (-0.342) = 1.5 > 0,

શરત પૂરી થઈ છે, તેથી આપણે x (0) = 0.565 લઈએ છીએ.

તે અનુસરે છે કે સમીકરણનું મૂળ x = 0.101 છે.

ઉદાહરણ 2

ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ ઉકેલો.

cos x – e -x2/2 + x - 1 = 0

ગણતરીઓ ε = 0.001 ની ચોકસાઈ સાથે હાથ ધરવામાં આવવી જોઈએ.

ચાલો ફંક્શનના પ્રથમ વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ.

F’(x) = 1 – sin x + x*e -x2/2 .

હવે ફંક્શનના બીજા ડેરિવેટિવની ગણતરી કરીએ.

F’(x) = e -x2/2 *(1-x 2) – cos x.

ચાલો આ ફંક્શનનો અંદાજિત ગ્રાફ બનાવીએ.

હવે, ગ્રાફના આધારે, ચાલો પ્રથમ અંદાજિત મૂળ લઈએ અને સ્થિતિ (16): f(x (0)) * f’(x (0)) > 0.

ચાલો x (0) = 2, પછી f(2)*f’(2) = 0.449 * 0.010 = 0.05 > 0,

શરત પૂરી થઈ છે, તેથી આપણે x (0) = 2 લઈએ છીએ.

હવે આ સમીકરણ ઉકેલવા માટે મૂલ્યોનું કોષ્ટક બનાવીએ.

તે અનુસરે છે કે સમીકરણનું મૂળ x = 1.089 છે.

ઉદાહરણ 3

ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ ઉકેલો.

ગણતરીઓ ε = 0.001 ની ચોકસાઈ સાથે હાથ ધરવામાં આવવી જોઈએ.

ચાલો ફંક્શનના પ્રથમ વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ.

F’(x) = 2*x + e -x .

હવે ફંક્શનના બીજા ડેરિવેટિવની ગણતરી કરીએ.

F’(x) = 2 - e -x .

ચાલો આ ફંક્શનનો અંદાજિત ગ્રાફ બનાવીએ.

હવે, ગ્રાફના આધારે, ચાલો પ્રથમ અંદાજિત મૂળ લઈએ અને સ્થિતિ (16): f(x (0)) * f’(x (0)) > 0.

ચાલો x (0) = 1, પછી f(2)*f’(2) = 0. 632 * 1, 632 = 1, 031 > 0,

હવે આ સમીકરણ ઉકેલવા માટે મૂલ્યોનું કોષ્ટક બનાવીએ.

તે અનુસરે છે કે સમીકરણનું મૂળ x = 0.703 છે.

ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ ઉકેલો.

cos x –e -x/2 +x-1=0.

ચાલો ફંક્શનના પ્રથમ વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ.

F’(x) = -sin x + e -x/2 /2+1.

હવે ફંક્શનના બીજા ડેરિવેટિવની ગણતરી કરીએ.

F’(x) = -cos x - e -x/2/4.

ચાલો આ ફંક્શનનો અંદાજિત ગ્રાફ બનાવીએ.

હવે, ગ્રાફના આધારે, ચાલો પ્રથમ અંદાજિત મૂળ લઈએ અને સ્થિતિ (16): f(x (0)) * f’(x (0)) > 0.

ચાલો x (0) = 1, પછી f(2)*f’(2) = -0. 066 * (-0.692) = 0.046 > 0,

શરત પૂરી થઈ છે, તેથી આપણે x (0) = 1 લઈએ છીએ.

હવે આ સમીકરણ ઉકેલવા માટે મૂલ્યોનું કોષ્ટક બનાવીએ.

તે અનુસરે છે કે સમીકરણનું મૂળ x = 1.162 છે.

ઉદાહરણ 5

ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ ઉકેલો.

2+e x - e -x =0.

ચાલો ફંક્શનના પ્રથમ વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ.

F’(x) = e x +e -x .

હવે ફંક્શનના બીજા ડેરિવેટિવની ગણતરી કરીએ.

F''(x) = e x -e -x .

ચાલો આ ફંક્શનનો અંદાજિત ગ્રાફ બનાવીએ.

હવે, ગ્રાફના આધારે, ચાલો પ્રથમ અંદાજિત મૂળ લઈએ અને સ્થિતિ (16): f(x (0)) * f’(x (0)) > 0.

ચાલો x (0) = 1, પછી f(2)*f’(2) = 0. 350 * 2, 350 = 0. 823 > 0,

શરત પૂરી થઈ છે, તેથી આપણે x (0) = 1 લઈએ છીએ.

હવે આ સમીકરણ ઉકેલવા માટે મૂલ્યોનું કોષ્ટક બનાવીએ.

તે અનુસરે છે કે સમીકરણનું મૂળ x = 0.881 છે.

3.1 પ્રોગ્રામનું વર્ણન

આ પ્રોગ્રામ ટેક્સ્ટ અને ગ્રાફિક મોડમાં કામ કરવા માટે રચાયેલ છે. તેમાં ગ્રાફ મોડ્યુલ, Crt, ત્રણ કાર્યો અને ત્રણ પ્રક્રિયાઓનો સમાવેશ થાય છે.

1. Crt મોડ્યુલ સ્ક્રીન ટેક્સ્ટ મોડ્સ, વિસ્તૃત કીબોર્ડ કોડ્સ, રંગો, વિંડોઝ અને ધ્વનિ પર નિયંત્રણ પ્રદાન કરવા માટે રચાયેલ છે;

2. ગ્રાફ મોડ્યુલ ગ્રાફિક ઑબ્જેક્ટ્સ પર નિયંત્રણ પ્રદાન કરવા માટે રચાયેલ છે;

3. પ્રક્રિયા GrafInit - ગ્રાફિક્સ મોડને પ્રારંભ કરે છે;

4. ફંક્શન VF – ફંક્શનના મૂલ્યની ગણતરી કરે છે;

5. ફંક્શન f1 – ફંક્શનના પ્રથમ ડેરિવેટિવની કિંમતની ગણતરી કરે છે;

6. ફંક્શન X_Newt - ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમનો અમલ કરે છે.

7. પ્રક્રિયા FGraf – આપેલ ફંક્શન f(x) ના ગ્રાફના નિર્માણને અમલમાં મૂકે છે;

Ots=35 - સતત કે જે મોનિટરની સીમાઓમાંથી ઇન્ડેન્ટેશન માટે પોઈન્ટની સંખ્યા નક્કી કરે છે;

fmin, fmax - કાર્યના મહત્તમ અને લઘુત્તમ મૂલ્યો;

SetColor(4) - એક પ્રક્રિયા જે પેલેટનો ઉપયોગ કરીને ગ્રાફિક ઑબ્જેક્ટનો વર્તમાન રંગ સેટ કરે છે, આ કિસ્સામાં તે લાલ છે;

SetBkColor(9) એ એક પ્રક્રિયા છે જે પેલેટનો ઉપયોગ કરીને વર્તમાન પૃષ્ઠભૂમિ રંગને સેટ કરે છે, આ કિસ્સામાં આછો વાદળી રંગ.

8. પ્રક્રિયા MaxMinF – ફંક્શન f(x) ના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યોની ગણતરી કરશે.

રેખા - એક પ્રક્રિયા જે કોઓર્ડિનેટ્સ (x1, y1) સાથેના બિંદુથી કોઓર્ડિનેટ્સ (x2, y2) સાથેના બિંદુ સુધી રેખા દોરે છે;

MoveTo – એક પ્રક્રિયા જે નિર્દેશક (CP) ને કોઓર્ડિનેટ્સ (x, y) સાથેના બિંદુ પર ખસેડે છે;

TextColor(5) – એક પ્રક્રિયા જે અક્ષરોના વર્તમાન રંગને સેટ કરે છે, આ કિસ્સામાં તે ગુલાબી છે;

આઉટટેક્સ્ટી(x, y, 'સ્ટ્રિંગ') – એક પ્રક્રિયા જે પોઝિશન (x, y) થી શરૂ થતી સ્ટ્રિંગને આઉટપુટ કરે છે

ક્લોઝગ્રાફ એ એક પ્રક્રિયા છે જે ગ્રાફિક્સ સિસ્ટમને બંધ કરે છે.

3.2 પ્રોગ્રામનું પરીક્ષણ

પ્રોગ્રામને ચકાસવા માટે, અમે પરિણામોની તુલના કરવા અને પ્રોગ્રામના યોગ્ય સંચાલનને તપાસવા માટે કાર્યના વ્યવહારુ ભાગમાં ઉકેલાયેલા ઉદાહરણો લઈશું.

1) sin x 2 + cosx 2 - 10x. = 0.

a = -1 દાખલ કરો

b=1 દાખલ કરો

= [-1, 1]

(ફંક્શન ગ્રાફ આઉટપુટ)

અમને મળે છે: x=0.0000002

2) cos x – e -x2/2 + x - 1 = 0.

આ પ્રોગ્રામ ઇપીએસ ચોકસાઈ સાથે ન્યુટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બિનરેખીય સમીકરણના મૂળની ગણતરી કરે છે અને સેગમેન્ટ પર ફંક્શનનો અંદાજિત ગ્રાફ દોરે છે.

a = -3 દાખલ કરો

b=3 દાખલ કરો

= [-3, 3]

(ફંક્શન ગ્રાફ આઉટપુટ)

ન્યૂટનની પદ્ધતિ દ્વારા મળેલા સમીકરણનું મૂળ:

ચાલો પરિણામી જવાબને સમીકરણમાં બદલીને તપાસીએ.

અમને મળે છે: x=-0.0000000

3) x 2 - e -x = 0.

આ પ્રોગ્રામ ઇપીએસ ચોકસાઈ સાથે ન્યુટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બિનરેખીય સમીકરણના મૂળની ગણતરી કરે છે અને સેગમેન્ટ પર ફંક્શનનો અંદાજિત ગ્રાફ દોરે છે.

a = -1 દાખલ કરો

b=1 દાખલ કરો

= [-1, 1]

ગણતરીની ચોકસાઇ eps=0 દાખલ કરો. 01

(ફંક્શન ગ્રાફ આઉટપુટ)

ન્યૂટનની પદ્ધતિ દ્વારા મળેલા સમીકરણનું મૂળ:

ચાલો પરિણામી જવાબને સમીકરણમાં બદલીને તપાસીએ.

અમને મળે છે: x=0.0000000

4) cos x –e -x/2 +x-1=0.

આ પ્રોગ્રામ ઇપીએસ ચોકસાઈ સાથે ન્યુટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બિનરેખીય સમીકરણના મૂળની ગણતરી કરે છે અને સેગમેન્ટ પર ફંક્શનનો અંદાજિત ગ્રાફ દોરે છે.

a = -1.5 દાખલ કરો

b=1.5 દાખલ કરો

= [-1,5, 1,5 ]

ગણતરીની ચોકસાઇ eps=0 દાખલ કરો. 001

(ફંક્શન ગ્રાફ આઉટપુટ)

ન્યૂટનની પદ્ધતિ દ્વારા મળેલા સમીકરણનું મૂળ:

ચાલો પરિણામી જવાબને સમીકરણમાં બદલીને તપાસીએ.

અમને મળે છે: x=0.0008180

5) -2+e x - e -x =0.

આ પ્રોગ્રામ ઇપીએસ ચોકસાઈ સાથે ન્યુટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બિનરેખીય સમીકરણના મૂળની ગણતરી કરે છે અને સેગમેન્ટ પર ફંક્શનનો અંદાજિત ગ્રાફ દોરે છે.

a = -0.9 દાખલ કરો

b=0.9 દાખલ કરો

= [-0,9, 0,9]

ગણતરીની ચોકસાઇ eps=0 દાખલ કરો. 001

(ફંક્શન ગ્રાફ આઉટપુટ)

ન્યૂટનની પદ્ધતિ દ્વારા મળેલા સમીકરણનું મૂળ:

ચાલો પરિણામી જવાબને સમીકરણમાં બદલીને તપાસીએ.

કાર્યનો ધ્યેય એક પ્રોગ્રામ બનાવવાનો હતો જે ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બિનરેખીય સમીકરણના મૂળની ગણતરી કરે છે. તેના આધારે, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે લક્ષ્ય પ્રાપ્ત થયું હતું, કારણ કે તેના અમલીકરણ માટે નીચેના કાર્યો હલ કરવામાં આવ્યા હતા:

1. જરૂરી સાહિત્યનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે.

2. બિનરેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટેની હાલની પદ્ધતિઓની સમીક્ષા કરવામાં આવે છે.

3. બિનરેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટે ન્યૂટનની પદ્ધતિનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો.

4. ન્યુટનની પદ્ધતિ દ્વારા બિનરેખીય સમીકરણોના ઉકેલને ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે.

5. પ્રોગ્રામનું પરીક્ષણ અને ડીબગ કરવામાં આવ્યું હતું.

વપરાયેલ સાહિત્યની સૂચિ

1. બી.પી. ડેમિડોવિચ, આઈ.એ. કોમ્પ્યુટેશનલ મેથેમેટિક્સના ફંડામેન્ટલ્સ. - મોસ્કો, ઇડી. "વિજ્ઞાન"; 1970.

2. વી.એમ. વર્ઝબિટ્સકી. સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ (રેખીય બીજગણિત અને બિનરેખીય સમીકરણો). - મોસ્કો, "ઉચ્ચ શાળા"; 2000.

3. N.S.Bakhvalov, A.V.Lapin, E.V.Chizhonkov. સમસ્યાઓ અને કસરતોમાં સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ. - મોસ્કો, "ઉચ્ચ શાળા"; 2000.

4. મેથ્યુઝ, જ્હોન, જી., ફિંક, કર્ટિસ, ડી. સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ MATLAB, 3જી આવૃત્તિ - મોસ્કો, "વિલાસ"; 2001.

ન્યુટનની પદ્ધતિ (સ્પર્શી પદ્ધતિ)

સમીકરણ f(x)=0 ના મૂળને સેગમેન્ટ પર પ્રથમ અને બીજા ડેરિવેટિવ્સ f’(x) અને સાથે અલગ કરવા દો f""(x) xÎ માટે સતત અને સતત ચિહ્ન છે.

ધારો કે રુટને રિફાઇન કરવાના અમુક તબક્કે, રુટ x n નું આગલું અંદાજ પ્રાપ્ત થાય છે (પસંદ કરેલ) . પછી ધારો કે સુધારણા h n નો ઉપયોગ કરીને મેળવેલ આગામી અંદાજ , મૂળના ચોક્કસ મૂલ્ય તરફ દોરી જાય છે

x = xn + hn. (1.2.3-6)

ગણતરી h nનાનું મૂલ્ય, અમે ટેલર શ્રેણીના સ્વરૂપમાં f(х n + h n) રજૂ કરીએ છીએ, પોતાને રેખીય શબ્દો સુધી મર્યાદિત કરીએ છીએ

f(x n + h n) »f(x n) + h n f’(x n). (1.2.3-7)

f(x) = f(x n + h n) = 0 ધ્યાનમાં લેતા, આપણે f(x n) + h n f ’ (x n) » 0 મેળવીએ છીએ.

તેથી h n » - f(x n)/ f’(x n). ચાલો મૂલ્યને બદલીએ h n in (1.2.3-6) અને રૂટના ચોક્કસ મૂલ્યને બદલે xઅમને બીજો અંદાજ મળે છે

ફોર્મ્યુલા (1.2.3-8) અમને અંદાજિત x 1, x 2, x 3 ... નો ક્રમ મેળવવાની મંજૂરી આપે છે, જે ચોક્કસ શરતો હેઠળ, મૂળના ચોક્કસ મૂલ્યમાં કન્વર્જ થાય છે. x,તે છે

ન્યૂટનની પદ્ધતિનું ભૌમિતિક અર્થઘટનનીચે મુજબ છે
(ફિગ.1.2.3-6). ચાલો આપણે સેગમેન્ટ b નો જમણો છેડો x 0 પ્રારંભિક અંદાજ તરીકે લઈએ અને ફંક્શન y = f(x) ના ગ્રાફ પર અનુરૂપ બિંદુ B 0 પર સ્પર્શક બનાવીએ. એક્સ-અક્ષ સાથેના સ્પર્શકના આંતરછેદના બિંદુને નવા, વધુ સચોટ અંદાજ x 1 તરીકે લેવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયાને ઘણી વખત પુનરાવર્તિત કરવાથી અમને આશરે x 0, x 1, x 2 નો ક્રમ પ્રાપ્ત થાય છે. , . . ., જે મૂળના ચોક્કસ મૂલ્ય તરફ વલણ ધરાવે છે x

ન્યૂટનની પદ્ધતિ (1.2.3-8) નું ગણતરી સૂત્ર ભૌમિતિક બાંધકામમાંથી મેળવી શકાય છે. તેથી કાટકોણ ત્રિકોણમાં x 0 B 0 x 1 પગ
x 0 x 1 = x 0 V 0 /tga. તે બિંદુને ધ્યાનમાં લેતા B 0 ફંક્શનના ગ્રાફ પર છે f(x),અને કર્ણ B 0 બિંદુ પર ગ્રાફ f(x) ના સ્પર્શક દ્વારા રચાય છે, આપણને મળે છે

(1.2.3-9)

(1.2.3-10)

આ સૂત્ર nમી અંદાજ માટે (1.2.3-8) સાથે એકરુપ છે.

ફિગ. 1.2.3-6 થી તે સ્પષ્ટ છે કે પ્રારંભિક અંદાજ તરીકે બિંદુ a પસંદ કરવાથી એ હકીકત તરફ દોરી જાય છે કે આગામી અંદાજ x 1 એ સેગમેન્ટની બહાર હશે જેના પર મૂળ અલગ છે. x. આ કિસ્સામાં, પ્રક્રિયાના કન્વર્જન્સની ખાતરી આપવામાં આવતી નથી. સામાન્ય કિસ્સામાં, પ્રારંભિક અંદાજની પસંદગી નીચેના નિયમ અનુસાર કરવામાં આવે છે: પ્રારંભિક અંદાજને બિંદુ x 0 О તરીકે લેવો જોઈએ, જેના પર f(x 0)×f''(x 0)>0 , એટલે કે, ફંક્શનના ચિહ્નો અને તેના બીજા ડેરિવેટિવ મેચ.

ન્યુટનની પદ્ધતિના કન્વર્જન્સ માટેની શરતો નીચેના પ્રમેયમાં ઘડવામાં આવી છે.

જો સમીકરણના મૂળને સેગમેન્ટ પર અલગ કરવામાં આવે, અને f’(x 0) અને f’(x) શૂન્યથી અલગ હોય છે અને જ્યારે તેમના ચિહ્નો જાળવી રાખે છે xО, પછી જો આપણે પ્રારંભિક અંદાજ તરીકે આવા બિંદુને પસંદ કરીએ x 0 ઓ , શું f(x 0).f¢(x 0)>0 , પછી સમીકરણનું મૂળ f(x)=0 ચોકસાઈની કોઈપણ ડિગ્રી સાથે ગણતરી કરી શકાય છે.

ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ભૂલનો અંદાજ નીચેના અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

(1.2.3-11)

સૌથી નાનું મૂલ્ય ક્યાં છે ખાતે

સર્વોચ્ચ મૂલ્ય ખાતે

ગણતરી પ્રક્રિયા અટકી જાય છે જો ,

ઉલ્લેખિત ચોકસાઈ ક્યાં છે.

વધુમાં, ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મૂળને શુદ્ધ કરતી વખતે આપેલ ચોકસાઈ હાંસલ કરવા માટે નીચેના અભિવ્યક્તિઓ શરત તરીકે સેવા આપી શકે છે:

ન્યુટન મેથડ અલ્ગોરિધમનો ડાયાગ્રામ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 1.2.3-7.

મૂળ સમીકરણ f(x) ની ડાબી બાજુ અને અલ્ગોરિધમમાં તેના વ્યુત્પન્ન f’(x) ને અલગ સોફ્ટવેર મોડ્યુલ તરીકે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યા છે.

ચોખા. 1.2.3-7. ન્યૂટન પદ્ધતિ અલ્ગોરિધમ ડાયાગ્રામ

ઉદાહરણ 1.2.3-3 ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ x-ln(x+2) = 0 ના મૂળને શુદ્ધ કરો, જો કે આ સમીકરણના મૂળ સેગમેન્ટ્સ x 1 О[-1.9;-1.1] અને x 2 О [-0.9;2].

પ્રથમ વ્યુત્પન્ન f’(x) = 1 – 1/(x+2) દરેક સેગમેન્ટ પર તેની નિશાની જાળવી રાખે છે:

f'(x)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],

f’(x)>0 પર xО [-0.9; 2].

બીજું વ્યુત્પન્ન f"(x) = 1/(x+2) 2 > 0 કોઈપણ x માટે.

આમ, કન્વર્જન્સ શરતો સંતુષ્ટ છે. અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની સમગ્ર શ્રેણી પર f""(x)>0 હોવાથી, પછી પ્રારંભિક અંદાજ માટે મૂળને સ્પષ્ટ કરવા માટે x 1 x 0 = -1.9 પસંદ કરો (f(-1.9)×f”(-1.9)>0 થી). અમે અંદાજોનો ક્રમ મેળવીએ છીએ:

ગણતરીઓ ચાલુ રાખીને, અમે પ્રથમ ચાર અંદાજોનો નીચેનો ક્રમ મેળવીએ છીએ: -1.9; -1.8552, -1.8421; -1.8414 . x=-1.8414 બિંદુ પર ફંક્શન f(x)નું મૂલ્ય f(-1.8414)=-0.00003 બરાબર છે. .

મૂળ x 2 О[-0.9;2] ને સ્પષ્ટ કરવા માટે અમે પ્રારંભિક અંદાજ તરીકે 0 =2 (f(2)×f”(2)>0) પસંદ કરીએ છીએ. x 0 = 2 ના આધારે, અમે અંદાજોનો ક્રમ મેળવીએ છીએ: 2.0;1.1817; 1.1462; 1.1461. x=1.1461 બિંદુ પર ફંક્શન f(x) ની કિંમત f(1.1461)= -0.00006 બરાબર છે.

ન્યૂટનની પદ્ધતિમાં ઉચ્ચ કન્વર્જન્સ રેટ છે, પરંતુ દરેક પગલા પર તેને ફંક્શનના મૂલ્યની જ નહીં, પરંતુ તેના વ્યુત્પન્નની પણ ગણતરી કરવાની જરૂર છે.

તાર પદ્ધતિ

તાર પદ્ધતિનું ભૌમિતિક અર્થઘટનનીચે મુજબ છે
(ફિગ.1.2.3-8).

ચાલો બિંદુઓ A અને B દ્વારા રેખાખંડ દોરીએ. આગામી અંદાજ x 1 એ 0x અક્ષ સાથેના તારનાં આંતરછેદના બિંદુનો એબ્સીસા છે. ચાલો સીધી રેખા ખંડનું સમીકરણ બનાવીએ:

ચાલો y=0 સેટ કરીએ અને x=x 1 મૂલ્ય શોધીએ (આગલું અંદાજ):

ચાલો ગણતરીની પ્રક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરીએ અને રુટ - x 2 નું આગલું અનુમાન મેળવવા માટે :

અમારા કિસ્સામાં (ફિગ. 1.2.11) અને તાર પદ્ધતિના ગણતરી સૂત્રમાં ફોર્મ હશે

આ સૂત્ર માન્ય છે જ્યારે બિંદુ b ને નિશ્ચિત બિંદુ તરીકે લેવામાં આવે છે, અને બિંદુ a પ્રારંભિક અંદાજ તરીકે કાર્ય કરે છે.

ચાલો બીજા કેસને ધ્યાનમાં લઈએ (ફિગ. 1.2.3-9), જ્યારે .

આ કેસ માટે સીધી રેખા સમીકરણ ફોર્મ ધરાવે છે

આગામી અંદાજ x 1 પર y = 0

પછી આ કેસ માટે તાર પદ્ધતિના આવર્તક સૂત્રમાં ફોર્મ છે

એ નોંધવું જોઈએ કે તાર પદ્ધતિમાં નિશ્ચિત બિંદુ એ સેગમેન્ટના અંત તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે જેના માટે શરત f (x)∙f¢¢ (x)>0 સંતુષ્ટ છે.

આમ, જો બિંદુ a ને નિશ્ચિત બિંદુ તરીકે લેવામાં આવે , પછી x 0 = b એ પ્રારંભિક અંદાજ તરીકે કાર્ય કરે છે અને ઊલટું.

પર્યાપ્ત શરતો કે જે તાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ f(x) = 0 ના મૂળની ગણતરીની ખાતરી કરે છે તે સ્પર્શક પદ્ધતિ (ન્યુટનની પદ્ધતિ) જેવી જ હશે, માત્ર પ્રારંભિક અંદાજને બદલે, એક નિશ્ચિત બિંદુ પસંદ કરવામાં આવે છે. તાર પદ્ધતિ એ ન્યૂટનની પદ્ધતિમાં ફેરફાર છે. તફાવત એ છે કે ન્યૂટનની પદ્ધતિમાં આગામી અંદાજ એ 0X અક્ષ સાથે સ્પર્શકના આંતરછેદનું બિંદુ છે, અને તાર પદ્ધતિમાં - 0X અક્ષ સાથે તારનું છેદન બિંદુ - અંદાજો જુદી જુદી બાજુઓથી મૂળમાં એકરૂપ થાય છે. .

તાર પદ્ધતિ માટે ભૂલનો અંદાજ અભિવ્યક્તિ દ્વારા આપવામાં આવે છે

(1.2.3-15)

તાર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન પ્રક્રિયાને સમાપ્ત કરવાની શરત

(1.2.3-16)

કિસ્સામાં M 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£ઇ.

ઉદાહરણ 1.2.3-4. 10 -4 ની ચોકસાઈ સાથે સેગમેન્ટ પર વિભાજિત સમીકરણ e x – 3x = 0 ના મૂળને સ્પષ્ટ કરો.

ચાલો કન્વર્જન્સ શરત તપાસીએ:

પરિણામે, a=0 ને નિશ્ચિત બિંદુ તરીકે પસંદ કરવું જોઈએ, અને x 0 =1 પ્રારંભિક અંદાજ તરીકે લેવું જોઈએ, કારણ કે f(0)=1>0 અને f(0)*f"(0)>0.