3. આ રીતે blondes સમીકરણો ઉકેલે છે!

આ શિલાલેખ, જે મેં થોડા વર્ષો પહેલા બનાવ્યો હતો, તે કદાચ સૌથી ટૂંકો પુરાવો છે કે... 2 = 3. તેની ટોચ પર એક અરીસો મૂકો (અથવા તેને પ્રકાશ દ્વારા જુઓ), અને તમે જોશો કે "બે" કેવી રીતે વળે છે. "ત્રણ" માં

અન્ય અસામાન્ય સૂત્ર:

અગિયાર + બે = બાર + એક.

તે તારણ આપે છે કે અંગ્રેજીમાં સમાનતા 11 + 2 = 12 + 1 સાચી છે, જો શબ્દોમાં લખવામાં આવે તો પણ - ડાબી અને જમણી બાજુના અક્ષરોનો "સરવાળા" સમાન છે! આનો અર્થ એ છે કે આ સમાનતાની જમણી બાજુ ડાબી બાજુનું એનાગ્રામ છે, એટલે કે, તે અક્ષરોને ફરીથી ગોઠવીને તેમાંથી મેળવવામાં આવે છે.

સમાન, ઓછી રસપ્રદ હોવા છતાં, શાબ્દિક સમાનતા રશિયનમાં મેળવી શકાય છે:

પંદર + છ = સોળ + પાંચ.

1960 થી 1970 સુધી, મુખ્ય રાષ્ટ્રીય પીણું, જેને "મોસ્કો સ્પેશિયલ વોડકા" કહેવાય છે, કિંમત: અડધો લિટર 2.87, અને એક ક્વાર્ટર લિટર 1.49. આ આંકડાઓ કદાચ યુએસએસઆરની લગભગ સમગ્ર પુખ્ત વસ્તી માટે જાણીતા હતા. સોવિયેત ગણિતશાસ્ત્રીઓએ નોંધ્યું છે કે જો અડધા લિટરની કિંમત એક ક્વાર્ટરની કિંમતની બરાબર પાવર સુધી વધારવામાં આવે છે, તો "પાઇ" નંબર પ્રાપ્ત થાય છે:

1,49 2,87 ??

(બી. એસ. ગોરોબેટ્સ દ્વારા અહેવાલ).

પુસ્તકની પ્રથમ આવૃત્તિના પ્રકાશન પછી, મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટીના રસાયણશાસ્ત્રના ફેકલ્ટીના એસોસિયેટ પ્રોફેસર લીનઝોન આઈ. એ. એ મને આ સૂત્ર પર નીચેની રસપ્રદ ટિપ્પણી મોકલી: “...ઘણા વર્ષો પહેલા, જ્યારે કેલ્ક્યુલેટર નહોતા, અને ભૌતિકશાસ્ત્ર વિભાગમાં અમે સ્લાઇડના નિયમ (!) પર એક મુશ્કેલ પરીક્ષા લીધી ( તમારે કેટલી વાર મૂવેબલ રુલરને ડાબે અને જમણે ખસેડવાની જરૂર છે?), મેં, મારા પિતાના સૌથી સચોટ કોષ્ટકોની મદદથી (તે સર્વેયર હતા, તેણે આખી જીંદગી ઉચ્ચ જીઓડીસીમાં પરીક્ષાનું સ્વપ્ન જોયું), તેને જાણવા મળ્યું કે રૂપિયા-ઓગણચાલીસથી બે-એંસી-સાતની શક્તિ બરાબર 3, 1408. આનાથી મને સંતોષ ન થયો. અમારી સોવિયેત રાજ્ય આયોજન સમિતિ આટલું અસંસ્કારી વર્તન કરી શકી ન હતી. કિરોવસ્કાયા પર વેપાર મંત્રાલય સાથેના પરામર્શ દર્શાવે છે કે રાષ્ટ્રીય ધોરણે તમામ કિંમતોની ગણતરીઓ એક પૈસોના સોમા ભાગની ચોકસાઈ સાથે કરવામાં આવી હતી. પરંતુ તેઓએ ગુપ્તતાને ટાંકીને મને ચોક્કસ નંબરો કહેવાનો ઇનકાર કર્યો (તે પછી મને આશ્ચર્ય થયું - એક પૈસોના દસમા અને સોમા ભાગમાં કેવા પ્રકારની ગુપ્તતા હોઈ શકે છે). 1990 ના દાયકાની શરૂઆતમાં, મેં આર્કાઇવ્સમાંથી વોડકાની કિંમતના ચોક્કસ આંકડાઓ મેળવવામાં વ્યવસ્થાપિત કર્યું, જે તે સમય સુધીમાં વિશેષ હુકમનામું દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવ્યું હતું. અને આ તે બહાર આવ્યું છે: ક્વાર્ટર: 1 રૂબલ 49.09 કોપેક્સ. વેચાણ પર - 1.49 રુબેલ્સ. અડધો લિટર: 2 રુબેલ્સ 86.63 કોપેક્સ. વેચાણ પર - 2.87 રુબેલ્સ. કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને, મેં સરળતાથી શોધી કાઢ્યું કે આ કિસ્સામાં, અડધા લિટરની શક્તિનો એક ક્વાર્ટર (5 નોંધપાત્ર આંકડાઓ પર રાઉન્ડ કર્યા પછી) બરાબર 3.1416 આપે છે! સોવિયેત સ્ટેટ પ્લાનિંગ કમિટીના કામદારોની ગાણિતિક ક્ષમતાઓ જોઈને જ કોઈ આશ્ચર્યચકિત થઈ શકે છે, જેમણે (મને એક સેકન્ડ માટે પણ આ અંગે શંકા નથી) ખાસ કરીને સૌથી લોકપ્રિય પીણાની અંદાજિત કિંમતને અગાઉના જાણીતા પરિણામમાં સમાયોજિત કરી હતી.

કયા ગણિતશાસ્ત્રી, જે શાળામાંથી પ્રખ્યાત છે, આ રીબસમાં એન્ક્રિપ્ટેડ છે?

એક ગણિતશાસ્ત્રી, ભૌતિકશાસ્ત્રી અને એન્જિનિયરને નીચેની સમસ્યા આપવામાં આવી હતી: “એક છોકરો અને એક છોકરી હોલની વિરુદ્ધ દિવાલો પર ઉભા છે. અમુક સમયે, તેઓ એકબીજા તરફ ચાલવાનું શરૂ કરે છે અને દર દસ સેકન્ડે તેમની વચ્ચેનું અડધું અંતર કાપે છે. પ્રશ્ન એ છે કે તેમને એકબીજા સુધી પહોંચવામાં કેટલો સમય લાગશે?

ગણિતશાસ્ત્રીએ ખચકાટ વિના જવાબ આપ્યો:

ક્યારેય નહીં.

ભૌતિકશાસ્ત્રીએ થોડો વિચાર કર્યા પછી કહ્યું:

અનંત સમય દ્વારા.

ઈજનેરે, લાંબી ગણતરીઓ પછી, જારી કર્યું:

લગભગ બે મિનિટ પછી તેઓ તમામ વ્યવહારિક હેતુઓ માટે પૂરતા પ્રમાણમાં બંધ થઈ જશે.

લેન્ડાઉને આભારી નીચેનું પ્રચંડ સૂત્ર, જે સુંદર જાતિના મહાન પ્રેમી છે, તે પ્રખ્યાત લેન્ડૌવેડ પ્રોફેસર ગોરોબેટ્સ દ્વારા મારા ધ્યાન પર લાવવામાં આવ્યું હતું.

MSUIE એસોસિયેટ પ્રોફેસર એ.આઈ. ઝુલ્કોવે અમને કહ્યું તેમ, તેમણે સાંભળ્યું કે લેન્ડૌએ સ્ત્રી આકર્ષણના સૂચક માટે નીચેનું સૂત્ર મેળવ્યું છે:

જ્યાં કે- બસ્ટ પરિઘ; એમ- હિપ્સ પર; એન- કમરની આસપાસ, ટી- ઊંચાઈ, બધા સેમીમાં; પી- કિલોમાં વજન.

તેથી, જો આપણે મોડેલ (1960) માટે આશરે પરિમાણો લઈએ: 80-80-60-170-60 (મૂલ્યોના ઉપરના ક્રમમાં), તો સૂત્ર મુજબ આપણને 5 મળે છે. જો આપણે “ના પરિમાણો લઈએ. એન્ટિ-મોડલ”, ઉદાહરણ તરીકે: 120 -120-120-170-60, પછી આપણને 2 મળે છે. તે શાળાના ગ્રેડની આ શ્રેણીમાં છે, જે લગભગ કહીએ તો, “લેન્ડાઉ ફોર્મ્યુલા” કામ કરે છે.

(પુસ્તકમાંથી અવતરિત: ગોરોબેટ્સ બી. લેન્ડૌ વર્તુળ. એક પ્રતિભાશાળી જીવન. એમ.: પબ્લિશિંગ હાઉસ LKI/URSS, 2008.)

સ્ત્રી આકર્ષણ વિશેની બીજી વૈજ્ઞાનિક દલીલ ડાઉને આભારી છે.

ચાલો સ્ત્રીના આકર્ષણને તેના માટેના અંતરના કાર્ય તરીકે નક્કી કરીએ. જ્યારે દલીલ અનંત હોય છે, ત્યારે આ કાર્ય શૂન્ય બની જાય છે. બીજી બાજુ, બિંદુ શૂન્ય પર તે શૂન્ય પણ છે (અમે બાહ્ય આકર્ષણ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, સ્પર્શેન્દ્રિય આકર્ષણની નહીં). લેગ્રેન્જના પ્રમેય મુજબ, બિન-નકારાત્મક સતત કાર્ય કે જે સેગમેન્ટના છેડે શૂન્ય મૂલ્યો લે છે તે આ સેગમેન્ટ પર મહત્તમ હોય છે. આથી:

1. એક અંતર છે જ્યાંથી સ્ત્રી સૌથી વધુ આકર્ષક હોય છે.

2. દરેક સ્ત્રી માટે આ અંતર અલગ છે.

3. તમારે મહિલાઓથી તમારું અંતર રાખવાની જરૂર છે.

પ્રમેય: બધા ઘોડા સમાન રંગના છે.

પુરાવો. ચાલો પ્રમેયના નિવેદનને ઇન્ડક્શન દ્વારા સાબિત કરીએ.

મુ n= 1, એટલે કે, એક ઘોડાના સમૂહ માટે, નિવેદન દેખીતી રીતે સાચું છે.

માટે પ્રમેય સાચું રહેવા દો n = k. ચાલો સાબિત કરીએ કે તે માટે પણ સાચું છે n = k+ 1. આ કરવા માટે, મનસ્વી સમૂહને ધ્યાનમાં લો k+ 1 ઘોડા. જો તમે તેમાંથી એક ઘોડો દૂર કરો છો, તો ત્યાં જ હશે k. ઇન્ડક્શન પૂર્વધારણા દ્વારા તેઓ બધા સમાન રંગના છે. હવે આપણે દૂર કરેલા ઘોડાને તેના સ્થાને પરત કરીએ અને બીજો કોઈ ઘોડો લઈએ. ફરીથી, પ્રેરક પૂર્વધારણા દ્વારા, આ kબાકીના ઘોડા સમાન રંગના છે. પરંતુ પછી તે બધુ જ છે k+ 1 ઘોડા સમાન રંગના હશે.

આથી, ગાણિતિક ઇન્ડક્શનના સિદ્ધાંત મુજબ, બધા ઘોડા સમાન રંગના છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પ્રાણીશાસ્ત્રમાં ગાણિતિક પદ્ધતિઓના ઉપયોગનું બીજું અદ્ભુત ઉદાહરણ.

પ્રમેય: મગર પહોળા કરતાં લાંબો છે.

પુરાવો. ચાલો એક મનસ્વી મગર લઈએ અને બે સહાયક લેમ્મા સાબિત કરીએ.

લેમ્મા 1: મગર લીલા કરતા લાંબો છે.

પુરાવો. ચાલો ઉપરથી મગરને જોઈએ - તે લાંબો અને લીલો છે. ચાલો નીચેથી મગરને જોઈએ - તે લાંબો છે, પરંતુ તે લીલો નથી (તે ખરેખર ઘેરો રાખોડી છે).

તેથી, લેમ્મા 1 સાબિત થાય છે.

લેમ્મા 2: મગર પહોળા કરતા લીલો હોય છે.

પુરાવો.ચાલો ઉપરથી ફરી મગરને જોઈએ. તે લીલો અને પહોળો છે. ચાલો બાજુથી મગરને જોઈએ: તે લીલો છે, પરંતુ પહોળો નથી. આ લેમ્મા 2 સાબિત કરે છે.

પ્રમેયનું નિવેદન દેખીતી રીતે સાબિત થયેલા લેમ્માનું અનુસરણ કરે છે.

કન્વર્ઝ પ્રમેય ("એક મગર લાંબા કરતા પહોળો હોય છે") એ જ રીતે સાબિત કરી શકાય છે.

પ્રથમ નજરમાં, તે બંને પ્રમેયમાંથી અનુસરે છે કે મગર ચોરસ છે. જો કે, તેમના ફોર્મ્યુલેશનમાં અસમાનતાઓ કડક હોવાથી, એક વાસ્તવિક ગણિતશાસ્ત્રી એકમાત્ર સાચો નિષ્કર્ષ કાઢશે: મગર અસ્તિત્વમાં નથી!

પ્રમેય: બધી કુદરતી સંખ્યાઓ એકબીજાની સમાન છે.

પુરાવો. કોઈપણ બે કુદરતી સંખ્યાઓ માટે તે સાબિત કરવું જરૂરી છે એઅને બીસમાનતા સંતુષ્ટ છે એ = બી. ચાલો તેને આ રીતે સુધારીએ: કોઈપણ માટે એન> 0 અને કોઈપણ એઅને બી, સમાનતા મહત્તમ ( એ, બી) = એન, સમાનતા પણ સંતુષ્ટ હોવી જોઈએ એ = બી.

ચાલો આને ઇન્ડક્શન દ્વારા સાબિત કરીએ. જો એન= 1, પછી એઅને બી, કુદરતી હોવાથી, બંને સમાન 1. તેથી એ = બી.

ચાલો હવે ધારીએ કે નિવેદન કેટલાક મૂલ્ય માટે સાબિત થયું છે k. ચાલો લઈએ એઅને બીજેમ કે મહત્તમ( એ, બી) = k+ 1. પછી મહત્તમ( એ–1, બી–1) = k. ઇન્ડક્શન પૂર્વધારણા દ્વારા તે અનુસરે છે કે ( એ–1) = (બી-1). અર્થ, એ = બી.

ભાષાકીય અને ગાણિતિક કોયડાઓના ચાહકો કદાચ રીફ્લેક્સિવ અથવા સ્વ-વર્ણન (કંઈપણ ખરાબ ન વિચારતા), સ્વ-સંદર્ભિત શબ્દો, શબ્દસમૂહો અને સંખ્યાઓ વિશે જાણે છે. બાદમાં, ઉદાહરણ તરીકે, 2100010006 નંબરનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં પ્રથમ અંક આ નંબરના રેકોર્ડિંગમાંની સંખ્યાની બરાબર છે, બીજો - બેની સંખ્યા, ત્રીજો - ત્રણની સંખ્યા, ..., દસમો - શૂન્યની સંખ્યા.

સ્વ-વર્ણન કરતા શબ્દોમાં કહો, શબ્દનો સમાવેશ થાય છે એકવીસ અક્ષર, ઘણા વર્ષો પહેલા મારા દ્વારા શોધાયેલ. તેમાં ખરેખર 21 અક્ષરો છે!

ઘણા સ્વ-વર્ણનકારી શબ્દસમૂહો જાણીતા છે. રશિયન ભાષાના પ્રથમ ઉદાહરણોમાંના એકની શોધ ઘણા વર્ષો પહેલા પ્રખ્યાત કાર્ટૂનિસ્ટ અને મૌખિક સમજશક્તિ વાગ્રિચ બખ્ચાન્યાન દ્વારા કરવામાં આવી હતી: આ વાક્યમાં બત્રીસ અક્ષરો છે. અહીં થોડા અન્ય છે, જેની શોધ ખૂબ પાછળથી થઈ છે: 1. સત્તર અક્ષરો. 2. આ વાક્યના અંતે ભૂલ છે. 3. આ વાક્ય સાત શબ્દોનું હશે જો તે સાત શબ્દો ટૂંકા હોય. 4. તમે મારા નિયંત્રણ હેઠળ છો કારણ કે જ્યાં સુધી તમે વાંચવાનું સમાપ્ત કરો ત્યાં સુધી તમે મને વાંચશો. 5. ...આ વાક્ય ત્રણ બિંદુઓથી શરૂ થાય છે અને સમાપ્ત થાય છે..

ત્યાં વધુ જટિલ ડિઝાઇન પણ છે. ઉદાહરણ તરીકે, આ રાક્ષસની પ્રશંસા કરો (જુઓ S. Tabachnikov ની નોંધ “Kvant”, No. 6, 1989 મેગેઝિનમાં “The priest has a dog”): આ વાક્યમાં, શબ્દ "માં" બે વાર આવે છે, "આ" શબ્દ બે વાર આવે છે, શબ્દ "શબ્દ" બે વાર આવે છે, શબ્દ "ઘટતો" ચૌદ વખત આવે છે, શબ્દ "શબ્દ" ચૌદ વખત આવે છે, અને "શબ્દ" શબ્દ રાઝ છ વખત આવે છે, શબ્દ "રઝા" નવ વખત આવે છે, "બે" શબ્દ સાત વખત આવે છે, "ચૌદ" શબ્દ ત્રણ વખત આવે છે, "ત્રણ" શબ્દ બે વખત આવે છે. , શબ્દ "સાત" બે વાર આવે છે, બે શબ્દ "છ" ઘણી વખત દેખાય છે.

ક્વાન્ટમાં પ્રકાશન પછી એક વર્ષ પછી, આઇ. અકુલિચ એક સ્વ-વર્ણનકારી શબ્દસમૂહ સાથે આવ્યા જે ફક્ત તેમાં સમાવિષ્ટ શબ્દો જ નહીં, પણ વિરામચિહ્નોનું પણ વર્ણન કરે છે: તમે જે વાક્ય વાંચી રહ્યા છો તેમાં: બે શબ્દો “શબ્દ”, બે શબ્દો “જે”, બે શબ્દો “તમે”, બે શબ્દો “વાંચો”, બે શબ્દો “સમાવેશ”, પચીસ શબ્દો “શબ્દો”, બે શબ્દો “શબ્દો” , બે શબ્દો “કોલોન”, બે શબ્દો “અલ્પવિરામ”, બે શબ્દો “દ્વારા”, બે શબ્દો “ડાબે”, બે શબ્દો “અને”, બે શબ્દો “જમણે”, બે શબ્દો “અવતરણ”, બે શબ્દો “એ”, બે શબ્દો “પણ”, બે શબ્દો “બિંદુ”, બે શબ્દો “એક”, બે શબ્દો “એક”, બાવીસ શબ્દો “બે”, ત્રણ શબ્દો “ત્રણ”, બે શબ્દો “ચાર”, ત્રણ શબ્દો “પાંચ”, ચાર શબ્દો “વીસ”, બે શબ્દો “ત્રીસ”, એક કોલોન, ત્રીસ અલ્પવિરામ, પચીસ ડાબા અને જમણા અવતરણ ચિહ્નો અને એક પીરિયડ.

છેવટે, થોડા વર્ષો પછી, એ જ “ક્વાન્ટ” માં એ. ખાન્યાનની એક નોંધ દેખાઈ, જેમાં એક વાક્ય આપવામાં આવ્યું હતું જેમાં તેના તમામ અક્ષરોનું વિવેકપૂર્વક વર્ણન કરવામાં આવ્યું હતું: આ વાક્યમાં બાર વી, બે ઇ, સત્તર ટી, ત્રણ ઓ, બે વાય, બે એફ, સાત આર, ચૌદ એ, બે 3, બાર ઇ, સોળ ડી, સાત એચ, સાત સી, તેર બી, આઠ સી, છ M, પાંચ I, બે H, બે S, ત્રણ I, ત્રણ Sh, બે P.

"એ સ્પષ્ટપણે અનુભવાય છે કે વધુ એક વાક્ય ખૂટે છે - એક જે તેના તમામ અક્ષરો અને વિરામચિહ્નો વિશે જણાવે છે," I. અકુલિચે લખ્યું, જેમણે અગાઉ ટાંકેલા રાક્ષસોમાંથી એકને જન્મ આપ્યો, મને એક ખાનગી પત્રમાં. કદાચ અમારા વાચકોમાંથી એક આ ખૂબ જ મુશ્કેલ સમસ્યાને હલ કરશે.

પાછલા વિષયની સાતત્યમાં, તે રીફ્લેક્સિવ વિરોધાભાસનો ઉલ્લેખ કરવા યોગ્ય છે.

જે. લિટલવુડ દ્વારા અગાઉ ઉલ્લેખિત પુસ્તક, "એ મેથેમેટિકલ મિક્ષ્ચર" માં, તે યોગ્ય રીતે કહેવામાં આવ્યું છે કે "બધા રીફ્લેક્સિવ વિરોધાભાસ, અલબત્ત, ઉત્તમ જોક્સ છે." તેમાંના બે પણ છે, જે હું મારી જાતને અવતરણ કરવાની મંજૂરી આપીશ:

1. ત્યાં (ધન) પૂર્ણાંકો હોવા જોઈએ જે સોળથી ઓછા શબ્દોના શબ્દસમૂહોમાં વ્યક્ત ન થઈ શકે. સકારાત્મક પૂર્ણાંકોના કોઈપણ સમૂહમાં સૌથી નાની સંખ્યા હોય છે, અને તેથી ત્યાં સંખ્યા છે એન, "સૌથી નાનો પૂર્ણાંક જે સોળ કરતાં ઓછા શબ્દોના શબ્દસમૂહ દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાતો નથી." પરંતુ આ શબ્દસમૂહ 15 શબ્દો ધરાવે છે અને વ્યાખ્યાયિત કરે છે એન.

2. એક સામયિકમાં દર્શક"જ્યારે તમે તમારું સવારનું અખબાર ખોલશો ત્યારે તમને શું વાંચવામાં સૌથી વધુ આનંદ આવશે?" વિષય પર એક સ્પર્ધાની જાહેરાત કરવામાં આવી હતી. પ્રથમ ઇનામનો જવાબ મળ્યો:

આ વર્ષની બીજી સ્પર્ધામાં પ્રથમ ઇનામ શ્રી આર્થર રોબિન્સનને એનાયત કરવામાં આવ્યું હતું, જેનો વિનોદી જવાબ સરળતાથી શ્રેષ્ઠ ગણવો જોઈએ. પ્રશ્નનો તેમનો જવાબ: "જ્યારે તમે તમારું સવારનું અખબાર ખોલો છો ત્યારે તમને શું વાંચવામાં સૌથી વધુ આનંદ થશે?" "અમારી બીજી સ્પર્ધા" નું શીર્ષક હતું, પરંતુ કાગળની મર્યાદાઓને લીધે અમે તેને સંપૂર્ણ છાપી શકતા નથી.

એવા અદ્ભુત શબ્દસમૂહો છે જે ડાબેથી જમણે અને જમણેથી ડાબે એકસરખા વાંચવામાં આવે છે. દરેક વ્યક્તિ ખાતરી માટે એક વસ્તુ જાણે છે: અને ગુલાબ અઝોરના પંજા પર પડ્યું. તેણીને જ તરંગી માલવિના દ્વારા અજ્ઞાન પિનોચિઓના શ્રુતલેખનમાં લખવાનું કહેવામાં આવ્યું હતું. આવા પારસ્પરિક શબ્દસમૂહોને પેલિન્ડ્રોમ્સ કહેવામાં આવે છે, જેનો ગ્રીક ભાષાંતર થાય છે જેનો અર્થ થાય છે "પાછળ દોડવું, પરત આવવું." અહીં કેટલાક વધુ ઉદાહરણો છે: 1. પુલ પર લિલિપ્યુટિયન કેટફિશ કરવત. 2. હું બાથરૂમ પર ચઢી ગયો. 3. તે મંદિર પર સૂઈ ગયો, અને મુખ્ય દેવદૂત અદ્ભુત અને અદ્રશ્ય છે. 4. રીંગણ પર દબાવવામાં આવેલ ભૂંડ. 5. મ્યુઝ, અનુભવના ઘોંઘાટથી ઘાયલ, તમે કારણ માટે પ્રાર્થના કરશો. (ડી. અવલિયાની). 6. હું ભાગ્યે જ મારા હાથથી સિગારેટની બટ પકડી રાખું છું... (બી. ગોલ્ડસ્ટેઇન) 7. જ્યારે મને દૂધની ગંધ આવે છે, ત્યારે હું આસપાસ મ્યાઉં કરું છું. (જી. લુકોમનિકોવ). 8. તે વિલો છે, પરંતુ તે લોગ છે. (S.F.)

મને આશ્ચર્ય થાય છે કે શું ગણિતમાં પેલિન્ડ્રોમ્સ છે? આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, ચાલો પારસ્પરિક, સપ્રમાણ વાંચનના વિચારને સંખ્યાઓ અને સૂત્રોમાં સ્થાનાંતરિત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. તે તારણ આપે છે કે તે એટલું મુશ્કેલ નથી. ચાલો આ પેલિન્ડ્રોમિક ગણિતના માત્ર થોડા લાક્ષણિક ઉદાહરણો જોઈએ: પેલિન્ડ્રોમેટિક્સ. પેલિન્ડ્રોમિક નંબરોને બાજુ પર રાખીને - ઉદાહરણ તરીકે, 1991 , 666 વગેરે - ચાલો તરત જ સપ્રમાણ સૂત્રો તરફ વળીએ.

ચાલો પહેલા નીચેની સમસ્યા હલ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ: આવી બે-અંકની સંખ્યાઓની તમામ જોડી શોધો

(x 1 - પ્રથમ અંક, y 1 - બીજો અંક) અને

જેથી જમણેથી ડાબે સરવાળા વાંચવાના પરિણામે તેમના ઉમેરણનું પરિણામ બદલાતું નથી, એટલે કે.

ઉદાહરણ તરીકે, 42 + 35 = 53 + 24.

સમસ્યાને તુચ્છ રીતે હલ કરી શકાય છે: સંખ્યાઓની આવી તમામ જોડીના પ્રથમ અંકોનો સરવાળો તેમના બીજા અંકોના સરવાળા જેટલો છે. હવે તમે સમાન ઉદાહરણો સરળતાથી બનાવી શકો છો: 76 + 34 = 43 + 67, 25 + 63 = 36 + 52 અને તેથી વધુ.

એ જ રીતે તર્ક કરીને, અન્ય અંકગણિત કામગીરી માટે સમાન સમસ્યાને સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે.

તફાવતના કિસ્સામાં, એટલે કે.

નીચેના ઉદાહરણો મેળવવામાં આવ્યા છે: 41 – 32 = 23 –14, 46 – 28 = 82 – 64, ... - આવી સંખ્યાઓના અંકોના સરવાળો સમાન છે ( x 1 + y 1 = x 2 + y 2 ).

ગુણાકારના કિસ્સામાં આપણી પાસે છે: 63 48 = 84 36, 82 14 = 41 28, ... - આ કિસ્સામાં સંખ્યાઓના પ્રથમ અંકોનું ઉત્પાદન એન 1 અને એન 2 તેમના બીજા અંકોના ગુણાંક સમાન ( x 1 x 2 = y 1 y 2 ).

અંતે, વિભાજન માટે આપણને નીચેના ઉદાહરણો મળે છે:

આ કિસ્સામાં, સંખ્યાના પ્રથમ અંકનું ઉત્પાદન એન 1 નંબરના બીજા અંક સુધી એન 2 તેમના અન્ય બે અંકોના ઉત્પાદનની સમાન, એટલે કે. x 1 y 2 = x 2 y 1 .

નીચેના "પ્રમેય" નો પુરાવો, જે "અવિકસિત સમાજવાદ" ના યુગમાં દેખાયો હતો, તે સામ્યવાદી પક્ષની ભૂમિકા અંગેના તે વર્ષોના લોકપ્રિય થીસીસ પર આધારિત છે.

પ્રમેય. પક્ષની ભૂમિકા નકારાત્મક છે.

પુરાવો. તે જાણીતું છે કે:

1. પાર્ટીની ભૂમિકા સતત વધી રહી છે.

2. સામ્યવાદ હેઠળ, વર્ગવિહીન સમાજમાં, પક્ષની ભૂમિકા શૂન્ય હશે.

આમ, આપણી પાસે સતત વધી રહેલું કાર્ય 0 તરફ વલણ ધરાવે છે. તેથી, તે નકારાત્મક છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

નીચેની સમસ્યાની દેખીતી વાહિયાતતા હોવા છતાં, તેમ છતાં તેનો સંપૂર્ણ સખત ઉકેલ છે.

કાર્ય.મમ્મી તેના પુત્ર કરતા 21 વર્ષ મોટી છે. છ વર્ષમાં તે તેની ઉંમરથી પાંચ ગણી થઈ જશે. પ્રશ્ન એ છે: પપ્પા ક્યાં છે?!

ઉકેલ. દો એક્સ- પુત્રની ઉંમર, અને વાય- માતાની ઉંમર. પછી સમસ્યાની સ્થિતિ બે સરળ સમીકરણોની સિસ્ટમ તરીકે લખવામાં આવે છે:

અવેજીમાં વાય = એક્સબીજા સમીકરણમાં + 21, આપણને 5 મળે છે એક્સ + 30 = એક્સ+ 21 + 6, ક્યાંથી એક્સ= –3/4. આમ, હવે પુત્ર માઈનસ 3/4 વર્ષનો છે, એટલે કે. માઈનસ 9 મહિના. મતલબ કે પપ્પા અત્યારે મમ્મીની ઉપર છે!

માર્મિક અભિવ્યક્તિ "જો તમે આટલા સ્માર્ટ છો, તો પછી તમે આટલા ગરીબ કેમ છો?" તે જાણીતું છે અને, અરે, ઘણા લોકોને લાગુ પડે છે. તે તારણ આપે છે કે આ ઉદાસી ઘટના સમાન નિર્વિવાદ સત્યો પર આધારિત સખત ગાણિતિક સમર્થન ધરાવે છે.

એટલે કે, ચાલો બે જાણીતા ધારણાઓથી પ્રારંભ કરીએ:

અનુમાન 1: જ્ઞાન = શક્તિ.

અનુમાન 2: સમય = પૈસા.

વધુમાં, કોઈપણ શાળાના બાળક તે જાણે છે

પાથ s = ઝડપ x સમય = કાર્ય: બળ,

કાર્ય: સમય = બળ x ઝડપ (*)

"સમય" અને "બળ" માટેના મૂલ્યોને (*) બંને ધારણામાંથી બદલીને, આપણને મળે છે:

કાર્ય: (જ્ઞાન x ગતિ) = પૈસા (**)

પરિણામી સમાનતા (**) પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે "જ્ઞાન" અથવા "ગતિ" ને શૂન્ય પર નિર્દેશિત કરીને, આપણે કોઈપણ "કાર્ય" માટે ગમે તેટલા પૈસા મેળવી શકીએ છીએ.

તેથી નિષ્કર્ષ: વ્યક્તિ જેટલી મૂર્ખ અને આળસુ છે, તે વધુ પૈસા કમાઈ શકે છે.

થોડા વર્ષો પહેલા, મેગેઝિન “સાયન્સ એન્ડ લાઈફ” (નં. 1, 2000) એ પ્રોફેસર બી. ગોરોબેટ્સની એક નોંધ પ્રકાશિત કરી, જેણે વાચકોમાં ભારે રસ જગાવ્યો, જે અદ્ભુત પઝલ ગેમને સમર્પિત છે જેની શોધ વિદ્વાન લેન્ડૌએ મુસાફરી દરમિયાન કંટાળાને ટાળવા માટે કરી હતી. કારમાં તે ઘણીવાર તેના સાથીઓને આ રમત રમવા માટે આમંત્રિત કરતો હતો, જેમાં પસાર થતી કારની લાયસન્સ પ્લેટો રેન્ડમ નંબર સેન્સર તરીકે સેવા આપતી હતી (તે સમયે આ નંબરોમાં બે અક્ષરો અને સંખ્યાઓની બે જોડી હતી). રમતનો સાર એ હતો કે અંકગણિત કામગીરીના ચિહ્નો અને પ્રાથમિક કાર્યોના ચિહ્નો (એટલે ​​કે +, –, x, :, v, sin, cos, arcsin, arctg, lg, વગેરે) એક અને સમાન તરફ દોરી જવા માટે. જેનો અર્થ પસાર થતી કારના નંબર પરથી આ બે બે-અંકની સંખ્યાઓ તરીકે થાય છે. આ કિસ્સામાં, તેને ફેક્ટોરિયલનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી છે ( n! = 1 x 2 x ... x n), પરંતુ સેકન્ટ, કોસેકન્ટ અને ડિફરન્સિએશનનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, જોડી 75-33 માટે, ઇચ્છિત સમાનતા નીચે પ્રમાણે પ્રાપ્ત થાય છે:

અને જોડી માટે 00-38 - આના જેવું:

જો કે, બધી સમસ્યાઓ એટલી સરળ રીતે હલ થતી નથી. તેમાંના કેટલાક (ઉદાહરણ તરીકે, 75-65) રમતના લેખક, લેન્ડૌની ક્ષમતાની બહાર હતા. તેથી, કેટલાક સાર્વત્રિક અભિગમ વિશે પ્રશ્ન ઊભો થાય છે, કેટલાક એક સૂત્ર કે જે તમને સંખ્યાઓની કોઈપણ જોડીને "ઉકેલ" કરવાની મંજૂરી આપે છે. આ જ પ્રશ્ન લેન્ડૌ અને તેમના વિદ્યાર્થી પ્રો. કાગનોવ. આ તે છે જે તે લખે છે, ખાસ કરીને: "શું લાઇસન્સ પ્લેટથી સમાનતા બનાવવી હંમેશા શક્ય છે?" - મેં લેન્ડાઉને પૂછ્યું. "ના," તેણે ખૂબ જ નિશ્ચિતપણે જવાબ આપ્યો. - "શું તમે ઉકેલના બિન-અસ્તિત્વ વિશે પ્રમેય સાબિત કર્યો છે?" - મને આશ્ચર્ય થયું. "ના," લેવ ડેવિડોવિચે વિશ્વાસ સાથે કહ્યું, "પણ હું બધી સંખ્યામાં સફળ થયો નથી."

જો કે, આવા ઉકેલો મળી આવ્યા હતા, તેમાંથી એક પોતે લેન્ડૌના જીવનકાળ દરમિયાન.

ખાર્કોવ ગણિતશાસ્ત્રી યુ પલાન્ટે સંખ્યાઓની જોડી સમાન કરવા માટે એક સૂત્ર પ્રસ્તાવિત કર્યું

પુનરાવર્તિત ઉપયોગના પરિણામે, કોઈપણ નાની સંખ્યા દ્વારા કોઈપણ સંખ્યાને વ્યક્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે. કાગનોવ આ નિર્ણય વિશે લખે છે, "હું લેન્ડૌનો પુરાવો લાવ્યો છું." - "તેને ખરેખર તે ગમ્યું ..., અને અમે અડધા-મજાકમાં, અડધા-ગંભીરતાથી ચર્ચા કરી કે તેને કોઈ વૈજ્ઞાનિક જર્નલમાં પ્રકાશિત કરવું કે નહીં."

જો કે, પલાંટનું સૂત્ર હવે "પ્રતિબંધિત" સેકન્ટનો ઉપયોગ કરે છે (તે 20 વર્ષથી વધુ સમયથી શાળાના અભ્યાસક્રમમાં સામેલ નથી), અને તેથી તેને સંતોષકારક ગણી શકાય નહીં. જો કે, હું સુધારેલા ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને આને સરળતાથી ઠીક કરવામાં સક્ષમ હતો

પરિણામી સૂત્ર (ફરીથી, જો જરૂરી હોય તો, તે ઘણી વખત લાગુ કરવું આવશ્યક છે) તમને અન્ય સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કર્યા વિના કોઈપણ મોટી સંખ્યાના સંદર્ભમાં કોઈપણ સંખ્યાને વ્યક્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે, જે દેખીતી રીતે લેન્ડૌની સમસ્યાને સમાપ્ત કરે છે.

1. સંખ્યાઓ વચ્ચે કોઈ શૂન્ય ન હોવા દો. ચાલો તેમાંથી બે સંખ્યાઓ બનાવીએ abઅને સીડી, (આ, અલબત્ત, કામ નથી). ચાલો બતાવીએ કે ક્યારે n ? 6:

પાપ[( ab)!]° = પાપ[( સીડી)!]° = 0.

ખરેખર, પાપ( n!)° = 0 જો n? 6, ત્યારથી sin(6!)° = sin720° = sin(2 x 360°) = 0. પછી 6નો ગુણાકાર કરીને કોઈપણ અવયવ પ્રાપ્ત થાય છે! અનુગામી પૂર્ણાંકો માટે: 7! = 6! x 7, 8! = 6! x 7 x 8, વગેરે, સાઈનની દલીલમાં 360°નો ગુણાંક આપીને, તેને (અને સ્પર્શક પણ) શૂન્યની બરાબર બનાવે છે.

2. સંખ્યાઓની કેટલીક જોડીમાં શૂન્ય હોવા દો. આપણે તેને અડીને આવેલા અંકથી ગુણાકાર કરીએ છીએ અને તેને સંખ્યાના બીજા ભાગમાં સંખ્યામાંથી લીધેલ ડિગ્રીમાં ફેક્ટોરિયલની સાઈન સાથે સરખાવીએ છીએ.

3. સંખ્યાની બંને બાજુએ શૂન્ય થવા દો. જ્યારે અડીને અંકો દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેઓ તુચ્છ સમાનતા 0 = 0 આપે છે.

પોઈન્ટ 2 અને 3 માં શૂન્ય દ્વારા ગુણાકાર સાથે ત્રણ બિંદુઓમાં સામાન્ય ઉકેલનું વિભાજન એ હકીકતને કારણે છે કે પાપ( n!)° ? 0 જો n < 6».

અલબત્ત, આવા સામાન્ય ઉકેલો લેન્ડાઉના નાટકને તેના મૂળ વશીકરણથી વંચિત કરે છે, જે માત્ર અમૂર્ત રસનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. તેથી સાર્વત્રિક સૂત્રોનો ઉપયોગ કર્યા વિના વ્યક્તિગત મુશ્કેલ સંખ્યાઓ સાથે રમવાનો પ્રયાસ કરો. અહીં તેમાંથી કેટલાક છે: 59-58; 47-73; 47-97; 27-37; 00-26.

નિર્ધારકો વિશે વધુ.

મને કહેવામાં આવ્યું હતું કે એક સમયે મિકેનિક્સ અને ગણિતની ફેકલ્ટીના પ્રથમ વર્ષના વિદ્યાર્થીઓમાં પૈસા માટે "નિર્ધારક" ની રમત લોકપ્રિય હતી. બે ખેલાડીઓ ખાલી કોષો સાથે કાગળ પર 3 x 3 ઓળખકર્તા દોરે છે. પછી, એક પછી એક, 1 થી 9 સુધીની સંખ્યાઓ ખાલી કોષોમાં દાખલ કરવામાં આવે છે, જ્યારે બધા કોષો ભરાઈ જાય છે, ત્યારે નિર્ણાયકની ગણતરી કરવામાં આવે છે - જવાબ, ચિહ્નને ધ્યાનમાં લેતા, પ્રથમ ખેલાડીની જીત (અથવા હાર) છે. , રુબેલ્સમાં વ્યક્ત. એટલે કે, જો, ઉદાહરણ તરીકે, નંબર -23 હોવાનું બહાર આવ્યું છે, તો પછી પ્રથમ ખેલાડી બીજા 23 રુબેલ્સ ચૂકવે છે, અને જો, કહો, 34, તો, તેનાથી વિપરીત, બીજો ખેલાડી પ્રથમ 34 રુબેલ્સ ચૂકવે છે.

રમતના નિયમો સલગમ જેવા સરળ હોવા છતાં, યોગ્ય વિજેતા વ્યૂહરચના સાથે આવવું ખૂબ મુશ્કેલ છે.

આ નોંધ મને ગણિતશાસ્ત્રી અને લેખક એ. ઝુકોવ દ્વારા મોકલવામાં આવી હતી, જે અદ્ભુત પુસ્તક “ધ યુબિક્વિટસ નંબર પી” ના લેખક છે.

મોસ્કોની બે યુનિવર્સિટીઓમાં ગણિત ભણાવતા પ્રોફેસર બોરિસ સોલોમોનોવિચ ગોરોબેટ્સે મહાન ભૌતિકશાસ્ત્રી લેવ ડેવિડોવિચ લેન્ડૌ (1908-1968) વિશે એક પુસ્તક લખ્યું - "લેન્ડૌનું વર્તુળ". અહીં એક રસપ્રદ વાર્તા છે જે તેમણે અમને ભૌતિકશાસ્ત્ર અને તકનીકી પ્રારંભિક સમસ્યાઓમાંથી એક વિશે કહી હતી.

એવું બન્યું કે લેન્ડૌના સાથીદાર અને સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રના દસ-વોલ્યુમ કોર્સના સહ-લેખક, એકેડેમિશિયન એવજેની મિખાઈલોવિચ લિફશિટ્ઝ (1915-1985), 1959 માં, શાળાના સ્નાતક બોરા ગોરોબેટ્સને મોઓવ યુનિવર્સિટીમાં એક અગ્રણી ભૌતિકશાસ્ત્રમાં પ્રવેશ માટે તૈયાર કરવામાં મદદ કરી.

મોસ્કો ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઑફ ફિઝિક્સ એન્ડ મેથેમેટિક્સમાં ગણિતની લેખિત પરીક્ષામાં, નીચેની સમસ્યાની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી: “પિરામિડ SABC ના પાયા પર એક જમણો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ ABC આવેલો છે, જેમાં કોણ C = 90°, બાજુ AB = l છે. પાર્શ્વીય ચહેરાઓ પાયાના સમતલ સાથે ?, ?, ? પિરામિડમાં અંકિત બોલની ત્રિજ્યા શોધો.”

ભાવિ પ્રોફેસરે તે સમયે કાર્યનો સામનો કર્યો ન હતો, પરંતુ તેની સ્થિતિને યાદ કરી અને પછીથી એવજેની મિખાયલોવિચને જાણ કરી. તેણે એક વિદ્યાર્થીની હાજરીમાં આ સમસ્યાનો ઉકેલ ન લાવી શક્યો હોવાથી તે તેને પોતાની સાથે ઘરે લઈ ગયો હતો અને સાંજે તેણે ફોન કરીને કહ્યું હતું કે, એક કલાકમાં તેનો ઉકેલ ન આવતાં તેણે આ સમસ્યાની ઓફર કરી હતી. લેવ ડેવિડોવિચને.

લેન્ડાઉને એવી સમસ્યાઓ હલ કરવાનું પસંદ હતું જે અન્ય લોકો માટે મુશ્કેલીઓનું કારણ બને છે. તરત જ તેણે લિફશિટ્સને પાછો બોલાવ્યો અને સંતુષ્ટ થઈને કહ્યું: “મેં સમસ્યા હલ કરી દીધી. નક્કી કરવામાં બરાબર એક કલાક લાગ્યો. મેં ઝેલ્ડોવિચને ફોન કર્યો, હવે તે નક્કી કરે છે. ચાલો સમજાવીએ: યાકોવ બોરીસોવિચ ઝેલ્ડોવિચ (1914-1987), એક પ્રખ્યાત વૈજ્ઞાનિક કે જેઓ પોતાને લેન્ડૌના વિદ્યાર્થી માનતા હતા, તે વર્ષોમાં ટોચના ગુપ્ત સોવિયેત અણુ પ્રોજેક્ટમાં મુખ્ય સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રી હતા (જેના વિશે, અલબત્ત, થોડા લોકો જાણતા હતા. પછી). લગભગ એક કલાક પછી, E.M. લિફશિટ્સે ફરીથી ફોન કર્યો અને કહ્યું: ઝેલ્ડોવિચે હમણાં જ તેને બોલાવ્યો હતો અને ગર્વ કર્યા વિના કહ્યું: “મેં તમારી સમસ્યા હલ કરી છે. મેં ચાલીસ મિનિટમાં નક્કી કર્યું!”

આ કાર્ય પૂર્ણ કરવામાં તમને કેટલો સમય લાગશે?

ભૌતિકશાસ્ત્ર અને તકનીકી રમૂજ "ઝેની સાયન્ટિફિક હ્યુમર" (મોસ્કો, 2000) ના વિનોદી સંગ્રહમાં ઘણા ગાણિતિક જોક્સ છે. અહીં તેમાંથી માત્ર એક છે.

એક ઉત્પાદનના પરીક્ષણ દરમિયાન એક નિષ્ફળતા આવી. ઉત્પાદનની નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીની સંભાવના કેટલી છે?

પ્રમેય. બધી કુદરતી સંખ્યાઓ રસપ્રદ છે.

પુરાવો. ચાલો વિપરીત ધારીએ. પછી ત્યાં સૌથી નાનો રસહીન કુદરતી નંબર હોવો જોઈએ. હા, આ ખૂબ જ રસપ્રદ છે!

1 + 1 = 3 જ્યારે 1 ની કિંમત પૂરતી મોટી હોય.

E = m c 2 = m(a 2 + b 2).

મારા વિદ્યાર્થી જીવનની આ રમુજી વાર્તા સંભાવના સિદ્ધાંત પરના સેમિનારોમાં સમસ્યા તરીકે સારી રીતે ઓફર કરી શકાય છે.

ઉનાળામાં, હું અને મારા મિત્રો પર્વતોમાં હાઇકિંગ કરવા ગયા. અમે ચાર હતા: વોલોડ્યા, બે ઓલેગ્સ અને હું. અમારી પાસે એક તંબુ અને ત્રણ સ્લીપિંગ બેગ હતી, જેમાંથી એક વોલોડ્યા અને મારા માટે ડબલ હતી. આ ખૂબ જ સ્લીપિંગ બેગમાં સમસ્યા હતી, અથવા વધુ સ્પષ્ટ રીતે તંબુમાં તેમના સ્થાન સાથે. હકીકત એ છે કે વરસાદ પડી રહ્યો હતો, તંબુ ખેંચાઈ ગયો હતો, તે બાજુઓમાંથી લીક થઈ રહ્યો હતો, અને તે ધાર પર પડેલા લોકો માટે ખૂબ આરામદાયક ન હતું. તેથી, મેં ઘણાં બધાંનો ઉપયોગ કરીને આ સમસ્યાને "પ્રમાણિકપણે" હલ ​​કરવાનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો.

જુઓ, મેં ઓલેગ્સને કહ્યું, વોલોડ્યા અને મારી પાસે કાં તો ધાર પર અથવા મધ્યમાં ડબલ બેડ હોઈ શકે છે. તેથી, અમે એક સિક્કો ફેંકીશું: જો તે "હેડ" ઉપર આવે છે, તો આપણો ડબલ બેડ ધાર પર હશે, જો "પૂંછડીઓ" - મધ્યમાં.

ઓલેગ્સ સંમત થયા, પરંતુ ધાર પર ઘણી રાતો પછી (કુલ સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવી સરળ છે કે વોલોડ્યા અને મારા દરેક માટે તંબુની ધાર પર ન સૂવાની સંભાવના 0.75 છે), ઓલેગ્સને શંકા છે કે કંઈક ખોટું છે અને કરાર પર પુનર્વિચાર કરવાની દરખાસ્ત કરી.

ખરેખર, મેં કહ્યું, શક્યતાઓ અસમાન હતી. હકીકતમાં, અમારા ડબલ બેડ માટે ત્રણ શક્યતાઓ છે: ડાબી ધાર પર, જમણી બાજુએ અને મધ્યમાં. તેથી, દરરોજ સાંજે આપણે ત્રણમાંથી એક લાકડી ખેંચીશું - જો આપણે ટૂંકી લાકડી ખેંચીશું, તો આપણું ડબલ કેન્દ્રમાં હશે.

ઓલેગ્સ ફરીથી સંમત થયા, જોકે આ વખતે અમારી રાત ધારની નજીક ન વિતાવવાની તકો (હવે સંભાવના 0.66 છે, વધુ ચોક્કસપણે, બે તૃતીયાંશ) તેમાંથી દરેક કરતાં વધુ પ્રાધાન્યક્ષમ હતા. ધાર પર બે રાત પછી (અમારી બાજુમાં અમારી પાસે શ્રેષ્ઠ તકો અને નસીબ હતા), ઓલેગ્સને ફરીથી સમજાયું કે તેઓ છેતરાયા હતા. પરંતુ તે પછી, સદનસીબે, વરસાદ બંધ થઈ ગયો, અને સમસ્યા પોતે જ અદૃશ્ય થઈ ગઈ.

પરંતુ હકીકતમાં, અમારો ડબલ બેડ હંમેશા ધાર પર હોવો જોઈએ, અને વોલોડ્યા અને હું દરેક વખતે નસીબદાર કોણ છે તે નક્કી કરવા માટે સિક્કાનો ઉપયોગ કરીશું. ઓલેગ્સે પણ એવું જ કર્યું હશે. આ કિસ્સામાં, ધાર પર સૂવાની શક્યતા દરેક માટે સમાન અને 0.5 જેટલી હશે.

નોંધો:

કેટલીકવાર જીન ચાર્લ્સ ફ્રાન્કોઇસ સ્ટર્મ વિશે સમાન વાર્તા કહેવામાં આવે છે.

ઘણી વાર, જ્યારે ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ સાથે ગણિતમાં સંશોધન કાર્ય વિશે વાત કરવામાં આવે છે, ત્યારે હું નીચે મુજબ સાંભળું છું: "ગણિતમાં નવું શું શોધી શકાય છે?" પરંતુ ખરેખર: કદાચ બધી મહાન શોધો કરવામાં આવી છે અને પ્રમેય સાબિત થયા છે?

8 ઓગસ્ટ, 1900 ના રોજ, પેરિસમાં ગણિતશાસ્ત્રની આંતરરાષ્ટ્રીય કોંગ્રેસમાં, ગણિતશાસ્ત્રી ડેવિડ હિલ્બર્ટે સમસ્યાઓની સૂચિની રૂપરેખા આપી હતી કે જે તેઓ માનતા હતા કે વીસમી સદીમાં ઉકેલાઈ જશે. યાદીમાં 23 વસ્તુઓ હતી. તેમાંથી એકવીસ ઉકેલાઈ ગયા છે. હલ કરવા માટેની હિલ્બર્ટની યાદીમાં છેલ્લી સમસ્યા ફર્મેટની પ્રખ્યાત પ્રમેય હતી, જેને વૈજ્ઞાનિકો 358 વર્ષથી હલ કરવામાં અસમર્થ હતા. 1994 માં, બ્રિટન એન્ડ્રુ વાઈલ્સે તેના ઉકેલનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો. તે સાચું બહાર આવ્યું.

ગિલ્બર્ટના ઉદાહરણને અનુસરીને, છેલ્લી સદીના અંતમાં, ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓએ 21મી સદી માટે સમાન વ્યૂહાત્મક કાર્યો ઘડવાનો પ્રયાસ કર્યો. બોસ્ટનના અબજોપતિ લેન્ડન ટી. ક્લેને કારણે આ યાદીઓમાંથી એક વ્યાપકપણે જાણીતી બની. 1998 માં, તેમના ભંડોળથી, કેમ્બ્રિજ (મેસેચ્યુસેટ્સ, યુએસએ) માં ક્લે મેથેમેટિક્સ ઇન્સ્ટિટ્યુટની સ્થાપના કરવામાં આવી હતી અને આધુનિક ગણિતની ઘણી મહત્વપૂર્ણ સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે ઇનામોની સ્થાપના કરવામાં આવી હતી. 24 મે, 2000 ના રોજ, સંસ્થાના નિષ્ણાતોએ સાત સમસ્યાઓ પસંદ કરી - ઇનામ માટે ફાળવેલ લાખો ડોલરની સંખ્યા અનુસાર. સૂચિને મિલેનિયમ પ્રાઈઝ પ્રોબ્લેમ્સ કહેવામાં આવે છે:

1. કૂકની સમસ્યા (1971માં ઘડવામાં આવી)

ચાલો કહીએ કે તમે, એક મોટી કંપનીમાં હોવાથી, ખાતરી કરવા માંગો છો કે તમારો મિત્ર પણ ત્યાં છે. જો તેઓ તમને કહે કે તે ખૂણામાં બેઠો છે, તો પછી એક વિભાજીત સેકન્ડ તમારા માટે એક નજર કરવા અને માહિતીની સત્યતાની ખાતરી કરવા માટે પૂરતું હશે. આ માહિતી વિના, તમને મહેમાનોને જોતા, આખા ઓરડામાં ફરવા માટે ફરજ પાડવામાં આવશે. આ સૂચવે છે કે સમસ્યાનું નિરાકરણ ઘણીવાર ઉકેલની શુદ્ધતા તપાસવા કરતાં વધુ સમય લે છે.

સ્ટીફન કૂકે સમસ્યાની રચના કરી: ચકાસણી અલ્ગોરિધમને ધ્યાનમાં લીધા વિના, સમસ્યાના ઉકેલની શુદ્ધતા તપાસવામાં ઉકેલ મેળવવા કરતાં વધુ સમય લાગી શકે છે. આ સમસ્યા પણ તર્કશાસ્ત્ર અને કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનના ક્ષેત્રમાં વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓમાંની એક છે. તેનું સોલ્યુશન ડેટા ટ્રાન્સમિશન અને સ્ટોરેજમાં ઉપયોગમાં લેવાતા ક્રિપ્ટોગ્રાફીના ફંડામેન્ટલ્સમાં ક્રાંતિ લાવી શકે છે.

2. રીમેન પૂર્વધારણા (1859 માં ઘડવામાં આવી)

કેટલાક પૂર્ણાંકોને બે નાના પૂર્ણાંકોના ગુણાંક તરીકે વ્યક્ત કરી શકાતા નથી, જેમ કે 2, 3, 5, 7 અને તેથી વધુ. આવી સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે અને શુદ્ધ ગણિત અને તેના ઉપયોગોમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની શ્રેણીમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનું વિતરણ કોઈપણ પેટર્નને અનુસરતું નથી. જો કે, જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી રીમેને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ક્રમના ગુણધર્મો વિશે અનુમાન લગાવ્યું હતું. જો રીમેન પૂર્વધારણા સાબિત થાય છે, તો તે એન્ક્રિપ્શનના અમારા જ્ઞાનમાં ક્રાંતિકારી પરિવર્તન અને ઇન્ટરનેટ સુરક્ષામાં અભૂતપૂર્વ પ્રગતિ તરફ દોરી જશે.

3. બિર્ચ અને સ્વિનર્ટન-ડાયરની પૂર્વધારણા (1960માં ઘડવામાં આવેલ)

પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે કેટલાક ચલોમાં કેટલાક બીજગણિત સમીકરણોના ઉકેલોના સમૂહના વર્ણન સાથે સંકળાયેલ. આવા સમીકરણનું ઉદાહરણ x2 + y2 = z2 અભિવ્યક્તિ છે. યુક્લિડે આ સમીકરણના ઉકેલોનું સંપૂર્ણ વર્ણન આપ્યું હતું, પરંતુ વધુ જટિલ સમીકરણો માટે, ઉકેલો શોધવાનું અત્યંત મુશ્કેલ બની જાય છે.

4. હોજની પૂર્વધારણા (1941માં ઘડવામાં આવેલ)

વીસમી સદીમાં, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ જટિલ પદાર્થોના આકારનો અભ્યાસ કરવા માટે એક શક્તિશાળી પદ્ધતિ શોધી કાઢી. મુખ્ય વિચાર ઑબ્જેક્ટને બદલે સરળ "ઇંટો" નો ઉપયોગ કરવાનો છે, જે એકસાથે ગુંદર ધરાવતા હોય છે અને તેની સમાનતા બનાવે છે. હોજની પૂર્વધારણા આવા "બિલ્ડીંગ બ્લોક્સ" અને ઑબ્જેક્ટ્સના ગુણધર્મોને લગતી કેટલીક ધારણાઓ સાથે સંકળાયેલી છે.

5. નેવિઅર - સ્ટોક્સ સમીકરણો (1822 માં ઘડવામાં આવેલ)

જો તમે સરોવર પર હોડીમાં સફર કરો છો, તો મોજા ઉછળશે, અને જો તમે વિમાનમાં ઉડશો, તો હવામાં તોફાની પ્રવાહો આવશે. એવું માનવામાં આવે છે કે આ અને અન્ય ઘટનાઓ નેવિઅર-સ્ટોક્સ સમીકરણો તરીકે ઓળખાતા સમીકરણો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. આ સમીકરણોના ઉકેલો અજ્ઞાત છે, અને તેમને કેવી રીતે ઉકેલવા તે પણ ખબર નથી. તે દર્શાવવું જરૂરી છે કે ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે અને તે પૂરતું સરળ કાર્ય છે. આ સમસ્યાને ઉકેલવાથી હાઇડ્રો- અને એરોડાયનેમિક ગણતરીઓ હાથ ધરવાની પદ્ધતિઓમાં નોંધપાત્ર ફેરફાર થશે.

6. પોઈનકેરે સમસ્યા (1904 માં ઘડવામાં આવી)

જો તમે સફરજન પર રબર બેન્ડ ખેંચો છો, તો તમે તેને સપાટી પરથી ઉપાડ્યા વિના ધીમે ધીમે બેન્ડને ખસેડીને, તેને એક બિંદુ સુધી સંકુચિત કરી શકો છો. બીજી બાજુ, જો એ જ રબર બેન્ડ મીઠાઈની આસપાસ યોગ્ય રીતે ખેંચાયેલું હોય, તો ટેપ ફાડ્યા વિના અથવા મીઠાઈને તોડ્યા વિના બેન્ડને એક બિંદુ સુધી સંકુચિત કરવાનો કોઈ રસ્તો નથી. તેઓ કહે છે કે સફરજનની સપાટી ફક્ત જોડાયેલ છે, પરંતુ મીઠાઈની સપાટી નથી. તે સાબિત કરવું એટલું મુશ્કેલ હતું કે ફક્ત ગોળા જ જોડાયેલ છે કે ગણિતશાસ્ત્રીઓ હજી પણ સાચો જવાબ શોધી રહ્યા છે.

7. યાંગ-મિલ્સના સમીકરણો (1954માં ઘડવામાં આવેલ)

ક્વોન્ટમ ભૌતિકશાસ્ત્રના સમીકરણો પ્રાથમિક કણોની દુનિયાનું વર્ણન કરે છે. ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ યંગ અને મિલ્સ, ભૂમિતિ અને કણ ભૌતિકશાસ્ત્ર વચ્ચેના જોડાણની શોધ કર્યા પછી, તેમના સમીકરણો લખ્યા. આમ, તેઓએ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક, નબળા અને મજબૂત ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓના સિદ્ધાંતોને એકીકૃત કરવાનો માર્ગ શોધી કાઢ્યો. યાંગ-મિલ્સના સમીકરણો એ કણોના અસ્તિત્વને સૂચિત કરે છે જે વાસ્તવમાં સમગ્ર વિશ્વની પ્રયોગશાળાઓમાં જોવામાં આવ્યા હતા, તેથી યાંગ-મિલ્સના સિદ્ધાંતને મોટાભાગના ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ દ્વારા સ્વીકારવામાં આવે છે તે હકીકત હોવા છતાં કે આ સિદ્ધાંતના માળખામાં હજુ પણ આગાહી કરવી શક્ય નથી. પ્રાથમિક કણોનો સમૂહ.

ભવ્ય પ્રસંગ

ટોસ્ટ્સ કેવી રીતે બનાવવું તે વિશેના નવા વર્ષના ન્યૂઝલેટરમાં એકવાર, મેં આકસ્મિક રીતે ઉલ્લેખ કર્યો કે વીસમી સદીના અંતમાં, એક મહાન ઘટના બની, જે ઘણા લોકોએ નોંધ્યું ન હતું - કહેવાતા. ફર્મેટનું છેલ્લું પ્રમેય. આના સંદર્ભમાં, મને મળેલા પત્રોમાંથી, મને છોકરીઓ તરફથી બે જવાબો મળ્યા (તેમાંથી એક, જ્યાં સુધી મને યાદ છે, ઝેલેનોગ્રાડની નવમા ધોરણની વીકા હતી), જેઓ આ હકીકતથી આશ્ચર્યચકિત થઈ ગયા.

મને આશ્ચર્ય થયું કે છોકરીઓ આધુનિક ગણિતની સમસ્યાઓમાં કેટલી ઉત્સુકતાથી રસ લેતી હતી. તેથી, મને લાગે છે કે માત્ર છોકરીઓ જ નહીં, પણ તમામ ઉંમરના છોકરાઓ - હાઈસ્કૂલના વિદ્યાર્થીઓથી લઈને પેન્શનરો સુધી, પણ મહાન પ્રમેયનો ઇતિહાસ શીખવામાં રસ ધરાવશે.

ફર્મેટના પ્રમેયનો પુરાવો એ એક મહાન ઘટના છે. અને કારણ કે "મહાન" શબ્દ સાથે મજાક કરવાનો રિવાજ નથી, પરંતુ મને લાગે છે કે દરેક સ્વાભિમાની વક્તા (અને જ્યારે આપણે બોલીએ છીએ ત્યારે આપણે બધા વક્તા છીએ) ફક્ત પ્રમેયનો ઇતિહાસ જાણવા માટે બંધાયેલા છે.

જો એવું બને કે તમે ગણિતને એટલું પસંદ નથી કરતા જેટલું હું તેને ચાહું છું, તો પછી કેટલીક વિગતો તપાસો. અમારા ન્યૂઝલેટરના તમામ વાચકો ગાણિતિક જંગલમાં ભટકવામાં રસ ધરાવતા નથી તે સમજીને, મેં કોઈપણ ફોર્મ્યુલા ન આપવાનો પ્રયાસ કર્યો (ફર્મેટના પ્રમેયના સમીકરણ સિવાય) અને શક્ય તેટલું કેટલાક ચોક્કસ મુદ્દાઓના કવરેજને સરળ બનાવવાનો પ્રયાસ કર્યો.

કેવી રીતે ફર્મેટે ગડબડ કરી

ફ્રેન્ચ વકીલ અને 17મી સદીના અંશકાલિક મહાન ગણિતશાસ્ત્રી પિયર ફર્મેટ (1601-1665) એ સંખ્યા સિદ્ધાંતના ક્ષેત્રમાંથી એક રસપ્રદ નિવેદન રજૂ કર્યું, જે પાછળથી ફર્મેટના મહાન (અથવા મહાન) પ્રમેય તરીકે જાણીતું બન્યું. આ સૌથી પ્રખ્યાત અને અસાધારણ ગાણિતિક પ્રમેયમાંનું એક છે. સંભવતઃ, તેની આસપાસની ઉત્તેજના એટલી પ્રબળ ન હોત જો એલેક્ઝાન્ડ્રિયાના ડાયોફન્ટસ (ત્રીજી સદી)ના પુસ્તક "અંકગણિત" માં, જેનો ફર્મટ વારંવાર અભ્યાસ કરે છે, તેના વિશાળ માર્જિનમાં નોંધો બનાવે છે, અને જે તેના પુત્ર સેમ્યુઅલે કૃપા કરીને વંશજો માટે સાચવી રાખ્યું છે, મહાન ગણિતશાસ્ત્રી દ્વારા લગભગ નીચેની નોંધ મળી ન હતી:

"મારી પાસે કેટલાક ખૂબ જ ચોંકાવનારા પુરાવા છે, પરંતુ તે માર્જિનમાં ફિટ કરવા માટે ખૂબ મોટું છે."

તે આ રેકોર્ડિંગ હતું જે પ્રમેયની આસપાસના પછીના જબરદસ્ત હલફલનું કારણ હતું.

તેથી, પ્રખ્યાત વૈજ્ઞાનિકે જાહેર કર્યું કે તેણે તેનું પ્રમેય સાબિત કર્યું છે. ચાલો આપણી જાતને પૂછીએ: શું તેણે ખરેખર તે સાબિત કર્યું હતું અથવા ફક્ત જૂઠું બોલ્યું હતું? અથવા એવા અન્ય સંસ્કરણો છે જે હાંસિયામાં તે નોંધના દેખાવને સમજાવે છે, જેણે પછીની પેઢીના ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓને શાંતિથી સૂવા દીધા ન હતા?

મહાન પ્રમેયની વાર્તા સમયના સાહસની જેમ આકર્ષક છે. 1636 માં, ફર્મટે જણાવ્યું કે Xn+Yn=Zn ફોર્મના સમીકરણમાં ઘાતાંક n>2 સાથે પૂર્ણાંકોમાં કોઈ ઉકેલ નથી. આ વાસ્તવમાં ફર્મેટનું છેલ્લું પ્રમેય છે. આ મોટે ભાગે સરળ ગાણિતિક સૂત્રમાં, બ્રહ્માંડ અકલ્પનીય જટિલતાને છૂપાવે છે.

તે કંઈક અંશે વિચિત્ર છે કે કોઈ કારણસર પ્રમેય તેના દેખાવમાં મોડું થયું હતું, કારણ કે પરિસ્થિતિ લાંબા સમયથી ઉભી થઈ રહી હતી, કારણ કે તેનો n = 2 સાથેનો વિશેષ કેસ - અન્ય પ્રખ્યાત ગાણિતિક સૂત્ર - પાયથાગોરિયન પ્રમેય, બાવીસ સદીઓથી ઉદ્ભવ્યો હતો. અગાઉ ફર્મેટના પ્રમેયથી વિપરીત, પાયથાગોરિયન પ્રમેયમાં અસંખ્ય પૂર્ણાંક ઉકેલો છે, ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના પાયથાગોરિયન ત્રિકોણ: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15) ,17) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

મહાન પ્રમેય સિન્ડ્રોમ

કોણે ફર્મેટના પ્રમેયને સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો નથી? કોઈપણ તાજા ભણેલા વિદ્યાર્થીએ પોતાને મહાન પ્રમેયને લાગુ પાડવાનું તેની ફરજ માન્યું, પરંતુ કોઈ તેને સાબિત કરવામાં સક્ષમ ન હતું. શરૂઆતમાં તે સો વર્ષ સુધી કામ કરતું ન હતું. પછી બીજા સો. ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં સામૂહિક સિન્ડ્રોમ વિકસિત થવાનું શરૂ થયું: "આ કેવી રીતે સાબિત થઈ શકે છે, પરંતુ શું, હું તે કરી શકતો નથી?" અને તેમાંના કેટલાક શબ્દના સંપૂર્ણ અર્થમાં આ આધારે પાગલ થઈ ગયા.

પ્રમેયની કેટલી વાર પરીક્ષણ કરવામાં આવ્યું હતું તે મહત્વનું નથી, તે હંમેશા સાચું બહાર આવ્યું છે. હું એક ઉત્સુક પ્રોગ્રામરને જાણતો હતો જે હાઇ-સ્પીડ કોમ્પ્યુટર (તે સમયે સામાન્ય રીતે મેઇનફ્રેમ તરીકે ઓળખાતું હતું) નો ઉપયોગ કરીને પૂર્ણાંકો દ્વારા શોધ કરીને ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ શોધવાનો પ્રયાસ કરીને મહાન પ્રમેયને ખોટો સાબિત કરવાનો ઝનૂન ધરાવતા હતા. તે તેના એન્ટરપ્રાઇઝની સફળતામાં વિશ્વાસ કરતો હતો અને કહેવાનું પસંદ કરતો હતો: "થોડું વધુ - અને એક ઉત્તેજના ફાટી જશે!" મને લાગે છે કે આપણા ગ્રહ પર વિવિધ સ્થળોએ આ પ્રકારના બહાદુર સાધકોની નોંધપાત્ર સંખ્યા હતી. તેને, અલબત્ત, એક પણ ઉકેલ મળ્યો ન હતો. અને કોઈ પણ કોમ્પ્યુટર, કલ્પિત ગતિ સાથે પણ, પ્રમેયને ક્યારેય ચકાસી શક્યું નથી, કારણ કે આ સમીકરણના તમામ ચલો (ઘાતાંક સહિત) અનંત સુધી વધી શકે છે.

18મી સદીના સૌથી સદ્ગુણી અને ફળદાયી ગણિતશાસ્ત્રી, લિયોનાર્ડ યુલર, જેમના રેકોર્ડ્સનું આર્કાઇવ માનવજાત લગભગ એક સદીથી આગળ ધપી રહ્યું છે, તેણે સત્તા 3 અને 4 માટે ફર્મેટનું પ્રમેય સાબિત કર્યું (અથવા તેના બદલે, તેણે પોતે પિયર ફર્મેટના ખોવાયેલા પુરાવાઓનું પુનરાવર્તન કર્યું) ; સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં તેના અનુયાયી, લિજેન્ડ્રે - સત્તા 5 માટે; ડીરીચલેટ - ડિગ્રી 7 માટે. પરંતુ સામાન્ય રીતે પ્રમેય અપ્રમાણિત રહ્યો.

20મી સદી (1907)ની શરૂઆતમાં, વુલ્ફસ્કેલ નામના ગણિતના એક શ્રીમંત જર્મન કલાપ્રેમીએ ફર્મેટના પ્રમેયનો સંપૂર્ણ પુરાવો રજૂ કરનારને એક લાખ ગુણ આપ્યા. ઉત્તેજના શરૂ થઈ. ગણિતના વિભાગો હજારો પુરાવાઓથી ભરેલા હતા, પરંતુ તે બધામાં, જેમ તમે ધારી શકો, તેમાં ભૂલો હતી. તેઓ કહે છે કે જર્મનીની કેટલીક યુનિવર્સિટીઓમાં, જેમણે ફર્મેટના પ્રમેયના મોટા જથ્થામાં "સાબિતીઓ" પ્રાપ્ત કરી હતી, લગભગ નીચેની સામગ્રી સાથે ફોર્મ તૈયાર કરવામાં આવ્યા હતા:

પ્રિય __________________________!

તમારા ફર્મેટના પ્રમેયના પુરાવામાં ____ પૃષ્ઠ પર ટોચ પર ____ લીટીમાં
સૂત્રમાં નીચેની ભૂલ મળી આવી હતી:__________________________:,

જે કમનસીબ એવોર્ડ અરજદારોને મોકલવામાં આવ્યા હતા.

તે સમયે, ગણિતશાસ્ત્રીઓ - ફાર્મિસ્ટમાં એક અર્ધ-તુચ્છ ઉપનામ દેખાયો. આ કોઈ પણ આત્મવિશ્વાસુ અપસ્ટાર્ટને આપવામાં આવેલ નામ હતું કે જેમની પાસે જ્ઞાનનો અભાવ હતો, પરંતુ તે મહાન પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે ઉતાવળમાં પોતાનો શ્રેષ્ઠ પ્રયાસ કરવા માટે પૂરતી મહત્વાકાંક્ષા ધરાવે છે, અને પછી, પોતાની ભૂલોની નોંધ લીધા વિના, ગર્વથી છાતી પર થપ્પડ મારીને, મોટેથી જાહેર કરે છે. : "હું ફર્મેટનું પ્રમેય સાબિત કરનાર પ્રથમ હતો!" દરેક ખેડૂત, ભલે તે દસ હજારમો હોય, પોતાને પ્રથમ માને - આ રમુજી હતું. મહાન પ્રમેયના સરળ દેખાવે ખેડૂતોને એક સરળ લક્ષ્યની યાદ અપાવી કે તેઓ જરાય શરમ અનુભવતા ન હતા કે યુલર અને ગૌસ પણ તેનો સામનો કરી શક્યા ન હતા.

(ફર્મેટિસ્ટ, વિચિત્ર રીતે, આજે પણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. જોકે તેમાંના એકને લાગતું ન હતું કે તેણે પ્રમેય સાબિત કર્યો છે, ક્લાસિકલ ફર્મેટિસ્ટની જેમ, તેણે તાજેતરમાં સુધી પ્રયત્નો કર્યા - જ્યારે મેં તેને કહ્યું કે ફર્મેટનું પ્રમેય પહેલેથી જ સાબિત થઈ ચૂક્યું છે ત્યારે તેણે મારા પર વિશ્વાસ કરવાનો ઇનકાર કર્યો. સાબિત).

સૌથી શક્તિશાળી ગણિતશાસ્ત્રીઓ, કદાચ, તેમની ઓફિસની શાંત સ્થિતિમાં, પણ આ અશક્ય બરબેલનો કાળજીપૂર્વક સંપર્ક કરવાનો પ્રયાસ કર્યો, પરંતુ તેના વિશે મોટેથી વાત કરી ન હતી, જેથી તેઓને ફાર્મિસ્ટ તરીકે ઓળખવામાં ન આવે અને આમ, તેમની ઉચ્ચ સત્તાને નુકસાન ન થાય. .

તે સમય સુધીમાં, ઘાતાંક n માટે પ્રમેયનો પુરાવો દેખાયો હતો

પ્રમેય- એક નિવેદન, જેની શુદ્ધતા તર્ક, પુરાવા દ્વારા સ્થાપિત થાય છે. પ્રમેયનું ઉદાહરણ એ વિધાન હશે કે મનસ્વી ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 180° જેટલો છે આને પ્રાયોગિક રીતે ચકાસી શકાય છે: ત્રિકોણ દોરો, તેના ખૂણાના મૂલ્યોને પ્રોટ્રેક્ટર વડે માપો અને તેમને ઉમેરીને. , ખાતરી કરો કે સરવાળો 180° ની બરાબર છે (કોઈપણ સંજોગોમાં, માપન ચોકસાઈની મર્યાદામાં જે પ્રોટ્રેક્ટર પરવાનગી આપે છે).

આ પરીક્ષણ વિવિધ ત્રિકોણ માટે ઘણી વખત પુનરાવર્તિત થઈ શકે છે. જો કે, આ વિધાનની માન્યતા ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં પ્રાયોગિક ચકાસણી દ્વારા નહીં, પરંતુ સાબિતીના માધ્યમથી સ્થાપિત થાય છે જે અમને ખાતરી આપે છે કે આ વિધાન કોઈપણ ત્રિકોણ માટે સાચું છે. આમ, ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળા વિશેનું વિધાન એ પ્રમેય છે.

પ્રમેયના ફોર્મ્યુલેશનમાં, એક નિયમ તરીકે, શબ્દો "જો" જોવા મળે છે. પછી...", "માંથી... નીચેના:- ..", વગેરે. આ કિસ્સાઓમાં, ચિહ્નનો ઉપયોગ નોટેશનને ટૂંકો કરવા માટે થાય છે => ચાલો ઉદાહરણ તરીકે પ્રમેય લઈએ કે બિંદુ M, બે બિંદુઓ A અને B થી સમાન રીતે દૂર, આ બિંદુઓ (1) ની સમપ્રમાણતાની અક્ષથી સંબંધિત છે. તે નીચે પ્રમાણે વધુ વિગતમાં ઘડી શકાય છે: (કોઈપણ પોઈન્ટ A, B, M માટે) (MA - MB) => (M એ પોઈન્ટ A અને Bની સમપ્રમાણતાની અક્ષ સાથે સંબંધિત છે).

અન્ય ભૌમિતિક પ્રમેય સમાન રીતે લખી શકાય છે: પ્રથમ પ્રમેયનો સ્પષ્ટીકરણ ભાગ આવે છે (પ્રમેયમાં કયા બિંદુઓ અથવા આકૃતિઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે તેનું વર્ણન કરે છે), અને પછી => ચિહ્ન દ્વારા જોડાયેલા બે નિવેદનો. આમાંના પ્રથમ વિધાન, સમજૂતીના ભાગ પછી અને => ચિન્હની પહેલાં ઊભેલા, પ્રમેયની સ્થિતિ કહેવાય છે, બીજું, => ચિન્હ પછી ઊભું હોય છે, તેને પ્રમેયનું નિષ્કર્ષ કહેવામાં આવે છે.

શરત અને નિષ્કર્ષની અદલાબદલી કરીને અને સમજૂતીત્મક ભાગને યથાવત છોડીને, આપણે એક નવો પ્રમેય મેળવીએ છીએ, જેને મૂળનો વ્યસ્ત કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઉપર ચર્ચા કરેલ પ્રમેય માટે, વાર્તાલાપ નીચે મુજબ હશે: (કોઈપણ બિંદુઓ A, B, M માટે) (બિંદુ M એ પોઈન્ટ A અને Bની સમપ્રમાણતાના અક્ષને અનુસરે છે) => (MA - MB). ટૂંકમાં: જો બિંદુ M એ બિંદુઓ A અને Bની સમપ્રમાણતાની અક્ષ સાથે સંબંધ ધરાવે છે, તો બિંદુ M એ બિંદુઓ A અને B થી સમાન રીતે દૂર છે. આ કિસ્સામાં, મૂળ પ્રમેય અને તેની વાતચીત બંને માન્ય છે.

જો કે, પ્રમેય સાચા હોવાને કારણે, તે હંમેશા અનુસરતું નથી કે તેની વાતચીત પણ સાચી છે.

ગણિતમાં એક મોટી ભૂમિકા કહેવાતા અસ્તિત્વ પ્રમેય દ્વારા ભજવવામાં આવે છે, જે ફક્ત સંખ્યા, આકૃતિ વગેરેનું અસ્તિત્વ જણાવે છે, પરંતુ આ સંખ્યા (અથવા આકૃતિ) કેવી રીતે શોધી શકાય તે સૂચવતા નથી. ઉદાહરણ તરીકે: દરેક સમીકરણ x" + -t-atx"-1 + a2xb~2 + ...I વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે વિષમ n માટે ઓછામાં ઓછું એક વાસ્તવિક મૂળ ધરાવે છે, એટલે કે, ત્યાં એક સંખ્યા x0eR છે જેનું મૂળ છે આ સમીકરણ.

કેટલાક પ્રકારના પ્રમેયને વિશેષ નામો આપવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, લેમ્મા, કોરોલરી. તેમની પાસે વધારાની છાંયો છે. લેમ્માને સામાન્ય રીતે સહાયક પ્રમેય કહેવામાં આવે છે, જે પોતે થોડું રસ ધરાવતું નથી, પરંતુ તે નીચેના માટે જરૂરી છે. કોરોલરી એ એક નિવેદન છે જે અગાઉ સાબિત થયેલ કંઈક પરથી સરળતાથી અનુમાનિત કરી શકાય છે.

કેટલીકવાર પ્રમેયને કંઈક એવું કહેવામાં આવે છે જેને વધુ યોગ્ય રીતે પૂર્વધારણા કહેવામાં આવશે. ઉદાહરણ તરીકે, ફર્મેટનું છેલ્લું પ્રમેય, જે જણાવે છે કે સમીકરણ x* + y" = z* પાસે n > 2 માટે કોઈ સકારાત્મક પૂર્ણાંક ઉકેલો નથી, તે હજુ સુધી સાબિત થયું નથી.

સ્વયંસિદ્ધ અને વ્યાખ્યાઓ સાથે, પ્રમેય ગાણિતિક વાક્યોના મુખ્ય પ્રકારો છે. દરેક ગાણિતિક વિજ્ઞાનના મહત્વના તથ્યો (ભૂમિતિ, બીજગણિત, કાર્ય સિદ્ધાંત, સંભાવના સિદ્ધાંત, વગેરે) પ્રમેયના સ્વરૂપમાં ઘડવામાં આવે છે.

જો કે, ગણિતમાં નિપુણતા ફક્ત શીખવા સુધી મર્યાદિત નથી સ્વયંસિદ્ધ, વ્યાખ્યાઓ અને મૂળભૂત પ્રમેય. ગણિતના શિક્ષણમાં ગાણિતિક સિદ્ધાંતના તથ્યોની સંપત્તિને નેવિગેટ કરવાની ક્ષમતા, સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની મૂળભૂત પદ્ધતિઓમાં નિપુણતા, ગણિતના અંતર્ગત વિચારોને સમજવા અને વ્યવહારિક સમસ્યાઓના ઉકેલમાં ગાણિતિક જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરવાની ક્ષમતાનો પણ સમાવેશ થાય છે.

અવકાશી પ્રતિનિધિત્વ, ગ્રાફિક "દ્રષ્ટિ" કુશળતા, ચોક્કસ ગાણિતિક ખ્યાલને સમજાવતા ઉદાહરણો શોધવાની ક્ષમતા, વગેરે ઓછા મહત્વપૂર્ણ નથી. આમ, પ્રમેય ગાણિતિક સિદ્ધાંતની માત્ર ઔપચારિક "ફ્રેમવર્ક" ની રચના કરે છે, અને પ્રમેય સાથે પરિચિતતા ગણિતની ઊંડી નિપુણતાની માત્ર શરૂઆતનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

આપણે પહેલેથી જ જોયું છે કે જો સંખ્યાત્મક ક્રમની મર્યાદા હોય, તો આ ક્રમના તત્વો શક્ય તેટલી નજીકથી તેનો સંપર્ક કરે છે. ખૂબ જ નાના અંતરે પણ, તમે હંમેશા બે તત્વો શોધી શકો છો જેનું અંતર પણ ઓછું હશે. આને મૂળભૂત ક્રમ અથવા કોચી ક્રમ કહેવામાં આવે છે. શું આપણે કહી શકીએ કે આ ક્રમની કોઈ મર્યાદા છે? જો તે પર રચાય છે

જો આપણે એક સમાન બાજુ સાથેનો ચોરસ લઈએ, તો આપણે પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી તેના કર્ણની ગણતરી કરી શકીએ છીએ: $d^2=1^2+1^2=2$, એટલે કે, કર્ણનું મૂલ્ય સમાન હશે $\sqrt 2$ થી. હવે આપણી પાસે બે સંખ્યાઓ છે, 1 અને $\sqrt 2$, જે બે રેખાખંડો દ્વારા રજૂ થાય છે. જો કે, અમે પહેલાની જેમ તેમની વચ્ચે સંબંધ સ્થાપિત કરી શકીશું નહીં. અશક્ય

બિંદુ P ક્યાં સ્થિત છે તે નક્કી કરવું - ચોક્કસ આકૃતિની અંદર અથવા બહાર - કેટલીકવાર ખૂબ જ સરળ હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે આકૃતિમાં બતાવેલ આકૃતિ માટે: જો કે, વધુ જટિલ આકૃતિઓ માટે, જેમ કે નીચે બતાવેલ એક, આ કરવું વધુ મુશ્કેલ છે. . આ કરવા માટે તમારે પેન્સિલ વડે રેખા દોરવી પડશે. જો કે, આ જેવા પ્રશ્નોના જવાબો શોધતી વખતે, આપણે એક સરળનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ,

તે સામાન્ય રીતે નીચે મુજબ ઘડવામાં આવે છે: 1 સિવાયની દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યાને અવિભાજ્ય સંખ્યાના ગુણાંક તરીકે અથવા આના જેવી રીતે રજૂ કરી શકાય છે: દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યાને વિવિધ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની શક્તિઓના ઉત્પાદન તરીકે અનન્ય રીતે રજૂ કરી શકાય છે કેનોનિકલ કહેવાય છે, જો કે હંમેશા નહીં, આ જરૂરી છે જેથી મુખ્ય પરિબળો આ વિસ્તરણમાં ચડતા ક્રમમાં પ્રવેશ કરે.

આ પ્રમેય સત્તાના બાકી રહેલા પ્રશ્નોના નિરાકરણ માટે અત્યંત ઉપયોગી છે, અને જો કે તે સંખ્યા સિદ્ધાંતથી સંપૂર્ણપણે ગંભીર પ્રમેય છે અને તે શાળાના અભ્યાસક્રમમાં સમાવિષ્ટ નથી, તેનો પુરાવો સામાન્ય શાળા સ્તરે હાથ ધરવામાં આવી શકે છે. તે વિવિધ રીતે હાથ ધરવામાં આવી શકે છે, અને એક સરળ સાબિતી દ્વિપદી સૂત્ર અથવા ન્યૂટનના દ્વિપદી પર આધારિત છે, જે

ઘણીવાર પદ્ધતિસરના સાહિત્યમાં વિરોધાભાસ દ્વારા પુરાવા તરીકે પરોક્ષ પુરાવાની સમજ મળી શકે છે. હકીકતમાં, આ આ ખ્યાલનું ખૂબ જ સંકુચિત અર્થઘટન છે. વિરોધાભાસ દ્વારા સાબિતીની પદ્ધતિ એ સાબિતીની સૌથી પ્રખ્યાત પરોક્ષ પદ્ધતિઓમાંની એક છે, પરંતુ તે માત્ર એકથી દૂર છે. પુરાવાની અન્ય પરોક્ષ પદ્ધતિઓ, જો કે ઘણી વખત સાહજિક સ્તરે ઉપયોગમાં લેવાય છે, તે ભાગ્યે જ અનુભવાય છે, અને

મોટે ભાગે, શિક્ષકો, વેક્ટર્સના સ્કેલર ઉત્પાદનનો ઉપયોગ કરીને, લગભગ તરત જ પાયથાગોરિયન પ્રમેય અને કોસાઇન પ્રમેય સાબિત કરે છે. આ ચોક્કસપણે આકર્ષક છે. જો કે, ટિપ્પણી આવશ્યક છે. પરંપરાગત પ્રસ્તુતિમાં, વેક્ટર્સના સ્કેલર ઉત્પાદનની વિતરણતા પાયથાગોરિયન પ્રમેય કરતાં પાછળથી સાબિત થાય છે, કારણ કે બાદમાંનો ઉપયોગ આ સાબિતીમાં ઓછામાં ઓછો પરોક્ષ રીતે થાય છે. આ પુરાવાના પ્રકારો શક્ય છે. શાળા ભૂમિતિના પાઠ્યપુસ્તકોમાં, જેમ કે