લઘુગણકનો સરવાળો અને બાદબાકી. લઘુગણકના ગુણધર્મો અને તેમના ઉકેલોના ઉદાહરણો

• કોલ્મોગોરોવ એ.એન., અબ્રામોવ એ.એમ., ડુડનિટ્સિન યુ.પી. અને અન્ય બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના ધોરણ 10 - 11 માટે પાઠ્યપુસ્તક.
• ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી. ગણિત (તકનીકી શાળાઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે માર્ગદર્શિકા).

સંખ્યાનો લઘુગણક એન પર આધારિત છે એ ઘાતાંક કહેવાય છે એક્સ , જે તમારે બિલ્ડ કરવાની જરૂર છે એ નંબર મેળવવા માટે એન

તે પૂરું પાડ્યું
,
,

લઘુગણકની વ્યાખ્યામાંથી તે અનુસરે છે
, એટલે કે
- આ સમાનતા એ મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ છે.

આધાર 10 પર આધારિત લઘુગણકને દશાંશ લઘુગણક કહેવાય છે. ની જગ્યાએ
લખો
.

આધાર માટે લઘુગણક ઇ કુદરતી કહેવાય છે અને નિયુક્ત કરવામાં આવે છે
.

લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો.

એકનો લઘુગણક કોઈપણ આધાર માટે શૂન્ય બરાબર છે.

ઉત્પાદનનો લઘુગણક પરિબળના લઘુગણકના સરવાળા સમાન છે.

3) ભાગનો લઘુગણક લઘુગણકના તફાવત જેટલો છે

પરિબળ
લઘુગણકથી આધાર સુધીના સંક્રમણનું મોડ્યુલસ કહેવાય છે a આધાર પર લઘુગણક માટે b .

પ્રોપર્ટીઝ 2-5 નો ઉપયોગ કરીને, લોગરીધમ્સ પરની સરળ અંકગણિત ક્રિયાઓના પરિણામમાં જટિલ અભિવ્યક્તિના લઘુગણકને ઘટાડવાનું ઘણીવાર શક્ય છે.

ઉદાહરણ તરીકે,

લઘુગણકના આવા પરિવર્તનને લઘુગણક કહેવાય છે. લઘુગણકમાં વિપરીત પરિવર્તનને પોટેન્શિએશન કહેવામાં આવે છે.

પ્રકરણ 2. ઉચ્ચ ગણિતના તત્વો.

1. મર્યાદાઓ

કાર્યની મર્યાદા
એક મર્યાદિત સંખ્યા A છે જો, જેમ xx 0 દરેક પૂર્વનિર્ધારિત માટે
, આવી સંખ્યા છે
કે જલદી
, તે
.

એક ફંક્શન કે જેની મર્યાદા હોય છે તે અનંત રકમ દ્વારા તેનાથી અલગ પડે છે:
, જ્યાં- b.m.v., i.e.
.

ઉદાહરણ. કાર્યને ધ્યાનમાં લો
.

જ્યારે પ્રયત્નશીલ
, કાર્ય y શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે:

1.1. મર્યાદા વિશે મૂળભૂત પ્રમેય.

સ્થિર મૂલ્યની મર્યાદા આ સ્થિર મૂલ્યની બરાબર છે

.

વિધેયોની મર્યાદિત સંખ્યાના સરવાળા (તફાવત) ની મર્યાદા આ કાર્યોની મર્યાદાના સરવાળા (તફાવત) જેટલી છે.

વિધેયોની મર્યાદિત સંખ્યાના ઉત્પાદનની મર્યાદા આ વિધેયોની મર્યાદાના ગુણાંક જેટલી છે.

જો છેદની મર્યાદા શૂન્ય ન હોય તો બે વિધેયોના ભાગની મર્યાદા આ વિધેયોની મર્યાદાના ભાગાંક જેટલી હોય છે.

અદ્ભુત મર્યાદાઓ

,
, ક્યાં

1.2. મર્યાદા ગણતરીના ઉદાહરણો

જો કે, બધી મર્યાદાઓની ગણતરી એટલી સરળતાથી થતી નથી. વધુ વખત, મર્યાદાની ગણતરી એ પ્રકારની અનિશ્ચિતતા જાહેર કરવા માટે નીચે આવે છે: અથવા

.

2. કાર્યનું વ્યુત્પન્ન

ચાલો એક કાર્ય કરીએ
, સેગમેન્ટ પર સતત
.

દલીલ થોડો વધારો થયો
. પછી ફંક્શનને ઇન્ક્રીમેન્ટ મળશે
.

દલીલ મૂલ્ય કાર્ય મૂલ્યને અનુરૂપ છે
.

દલીલ મૂલ્ય
કાર્ય મૂલ્યને અનુરૂપ છે.

આથી, .

ચાલો આ ગુણોત્તરની મર્યાદા અહીં શોધીએ
. જો આ મર્યાદા અસ્તિત્વમાં હોય, તો તેને આપેલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 3 આપેલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન
દલીલ દ્વારા જ્યારે દલીલની વૃદ્ધિ મનસ્વી રીતે શૂન્ય તરફ વળે છે ત્યારે ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને દલીલના વધારાના ગુણોત્તરની મર્યાદા કહેવાય છે.

કાર્યનું વ્યુત્પન્ન
નીચે પ્રમાણે નિયુક્ત કરી શકાય છે:

; ; ; .

વ્યાખ્યા 4 ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવાની કામગીરી કહેવામાં આવે છે તફાવત

2.1. વ્યુત્પન્નનો યાંત્રિક અર્થ.

ચાલો અમુક કઠોર શરીર અથવા ભૌતિક બિંદુની રેક્ટિલિનિયર ગતિને ધ્યાનમાં લઈએ.

સમય અમુક સમયે દો ગતિશીલ બિંદુ
ના અંતરે હતી પ્રારંભિક સ્થિતિથી
.

થોડા સમય પછી
તેણીએ દૂર ખસેડ્યું
. વલણ =- સામગ્રી બિંદુની સરેરાશ ગતિ
. ચાલો આ ગુણોત્તરની મર્યાદા શોધીએ, તે ધ્યાનમાં લઈએ
.

પરિણામે, સમયના સંદર્ભમાં પાથના વ્યુત્પન્નને શોધવા માટે ભૌતિક બિંદુની ગતિની ત્વરિત ગતિ નક્કી કરવામાં આવે છે.

2.2. વ્યુત્પન્નનું ભૌમિતિક મૂલ્ય

ચાલો ગ્રાફિકલી વ્યાખ્યાયિત કાર્ય કરીએ
.

ચોખા. 1. વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ

જો
, પછી બિંદુ
, બિંદુની નજીક જતા વળાંક સાથે આગળ વધશે
.

આથી
, એટલે કે દલીલના આપેલ મૂલ્ય માટે વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય અક્ષની સકારાત્મક દિશા સાથે આપેલ બિંદુ પર સ્પર્શક દ્વારા રચાયેલા ખૂણાના સ્પર્શકની સંખ્યાત્મક રીતે સમાન
.

2.3. મૂળભૂત વિભેદક સૂત્રોનું કોષ્ટક.

પાવર કાર્ય

ઘાતાંકીય કાર્ય

લઘુગણક કાર્ય

ત્રિકોણમિતિ કાર્ય

વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્ય

2.4. ભિન્નતાના નિયમો.

નું વ્યુત્પન્ન

વિધેયોના સરવાળા (તફાવત)નું વ્યુત્પન્ન

બે કાર્યોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન

બે કાર્યોના ભાગનું વ્યુત્પન્ન

2.5. જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન.

ફંક્શન આપવા દો
જેમ કે તે ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે

અને
, જ્યાં ચલ પછી મધ્યવર્તી દલીલ છે

જટિલ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ મધ્યવર્તી દલીલના સંદર્ભમાં આપેલ કાર્યના વ્યુત્પન્નના ગુણાંક અને x ના સંદર્ભમાં મધ્યવર્તી દલીલના વ્યુત્પન્નના ગુણાંક જેટલું છે.

ઉદાહરણ 1.

ઉદાહરણ 2.

3. વિભેદક કાર્ય.

ત્યાં રહેવા દો
, અમુક અંતરાલ પર અલગ
અને દો ખાતે આ કાર્યમાં વ્યુત્પન્ન છે

,

પછી આપણે લખી શકીએ

(1),

જ્યાં - અનંત જથ્થો,

ક્યારથી

સમાનતાની તમામ શરતો (1) દ્વારા ગુણાકાર
અમારી પાસે છે:

જ્યાં
- b.m.v. ઉચ્ચ ઓર્ડર.

તીવ્રતા
કાર્યના વિભેદક કહેવાય છે
અને નિયુક્ત થયેલ છે

.

3.1. વિભેદકનું ભૌમિતિક મૂલ્ય.

ફંક્શન આપવા દો
.

ફિગ.2. વિભેદકનો ભૌમિતિક અર્થ.

.

દેખીતી રીતે, કાર્યનો તફાવત
આપેલ બિંદુ પર સ્પર્શકના ઓર્ડિનેટની વૃદ્ધિ સમાન છે.

3.2. વિવિધ ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ અને ડિફરન્સિયલ્સ.

જો ત્યાં છે
, પછી
પ્રથમ વ્યુત્પન્ન કહેવાય છે.

પ્રથમ વ્યુત્પન્નના વ્યુત્પન્નને બીજા ક્રમના વ્યુત્પન્ન કહેવામાં આવે છે અને તે લખવામાં આવે છે
.

કાર્યના nમા ક્રમનું વ્યુત્પન્ન
તેને (n-1)મું ક્રમ વ્યુત્પન્ન કહેવામાં આવે છે અને લખેલું છે:

.

ફંક્શનના ડિફરન્સલના ડિફરન્સલને સેકન્ડ ડિફરન્સલ અથવા સેકન્ડ ઑર્ડર ડિફરન્સલ કહેવામાં આવે છે.

.

.

3.3 ભિન્નતાનો ઉપયોગ કરીને જૈવિક સમસ્યાઓનું નિરાકરણ.

કાર્ય 1. અભ્યાસોએ દર્શાવ્યું છે કે સુક્ષ્મસજીવોની વસાહતની વૃદ્ધિ કાયદાનું પાલન કરે છે
, ક્યાં એન - સુક્ષ્મસજીવોની સંખ્યા (હજારોમાં), t - સમય (દિવસો).

b) આ સમયગાળા દરમિયાન વસાહતની વસ્તી વધશે કે ઘટશે?

જવાબ આપો. વસાહતનું કદ વધશે.

કાર્ય 2. રોગકારક બેક્ટેરિયાની સામગ્રીને મોનિટર કરવા માટે તળાવમાં પાણીની સમયાંતરે પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે. દ્વારા t પરીક્ષણના દિવસો પછી, બેક્ટેરિયાની સાંદ્રતા ગુણોત્તર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

.

તળાવમાં બેક્ટેરિયાની ન્યૂનતમ સાંદ્રતા ક્યારે હશે અને તેમાં તરવું શક્ય બનશે?

ઉકેલ: જ્યારે તેનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય હોય ત્યારે ફંક્શન મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ સુધી પહોંચે છે.

,

ચાલો નિર્ધારિત કરીએ કે મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ 6 દિવસમાં હશે. આ કરવા માટે, ચાલો બીજું ડેરિવેટિવ લઈએ.

જવાબ: 6 દિવસ પછી બેક્ટેરિયાની ન્યૂનતમ સાંદ્રતા હશે.

કુદરતી લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો, ગ્રાફ, વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર, મૂલ્યોનો સમૂહ, મૂળભૂત સૂત્રો, વ્યુત્પન્ન, અવિભાજ્ય, શક્તિ શ્રેણીનું વિસ્તરણ અને જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને ln x કાર્યનું પ્રતિનિધિત્વ આપવામાં આવ્યું છે.

વ્યાખ્યા

કુદરતી લઘુગણકફંક્શન y = છે ln x, ઘાતાંકીયનો વ્યસ્ત, x = e y, અને e સંખ્યાના આધારનો લઘુગણક છે: ln x = log e x.

પ્રાકૃતિક લઘુગણકનો ગણિતમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે કારણ કે તેનું વ્યુત્પન્ન સૌથી સરળ સ્વરૂપ ધરાવે છે: (ln x)′ = 1/ x.

પર આધારિત છે વ્યાખ્યાઓ, કુદરતી લઘુગણકનો આધાર સંખ્યા છે ઇ:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

કાર્ય y = નો ગ્રાફ ln x.

કુદરતી લઘુગણકનો આલેખ (કાર્યો y = ln x) સીધી રેખા y = x ની તુલનામાં અરીસાના પ્રતિબિંબ દ્વારા ઘાતાંકીય ગ્રાફમાંથી મેળવવામાં આવે છે.

કુદરતી લઘુગણક ચલ x ના હકારાત્મક મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

તે તેની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં એકવિધ રીતે વધે છે. 0 x → પર

કુદરતી લઘુગણકની મર્યાદા માઈનસ અનંત (-∞) છે.

x → + ∞ તરીકે, કુદરતી લઘુગણકની મર્યાદા વત્તા અનંત (+ ∞) છે. મોટા x માટે, લઘુગણક એકદમ ધીમેથી વધે છે. ધન ઘાતાંક સાથેનું કોઈપણ પાવર ફંક્શન x a લઘુગણક કરતાં વધુ ઝડપથી વધે છે.

કુદરતી લઘુગણકના ગુણધર્મો

વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર, મૂલ્યોનો સમૂહ, આત્યંતિક, વધારો, ઘટાડો

પ્રાકૃતિક લઘુગણક એ એકવિધ રીતે વધતું કાર્ય છે, તેથી તેની કોઈ સીમા નથી. કુદરતી લઘુગણકના મુખ્ય ગુણધર્મો કોષ્ટકમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે.

ln x મૂલ્યો

ln 1 = 0

કુદરતી લઘુગણક માટે મૂળભૂત સૂત્રો

વ્યસ્ત કાર્યની વ્યાખ્યામાંથી નીચેના સૂત્રો:

લઘુગણકની મુખ્ય મિલકત અને તેના પરિણામો

બેઝ રિપ્લેસમેન્ટ ફોર્મ્યુલા

કોઈપણ લઘુગણકને મૂળ અવેજી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કુદરતી લઘુગણકના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે:

આ સૂત્રોના પુરાવા વિભાગ "લોગરીધમ" માં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે.

વ્યસ્ત કાર્ય

કુદરતી લઘુગણકનો વ્યસ્ત એ ઘાતાંક છે.

જો, તો પછી

જો, તો.

વ્યુત્પન્ન ln x
.
કુદરતી લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન:
.
nમા ક્રમનું વ્યુત્પન્ન:
.
વ્યુત્પન્ન સૂત્રો >>>

અભિન્ન

ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી ભાગો દ્વારા એકીકરણ દ્વારા કરવામાં આવે છે:
.
તેથી,

જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને અભિવ્યક્તિઓ

જટિલ ચલ z ના કાર્યને ધ્યાનમાં લો:
.
ચાલો જટિલ ચલ વ્યક્ત કરીએ zમોડ્યુલ દ્વારા આરઅને દલીલ φ :
.
લોગરીધમના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, અમારી પાસે છે:
.
અથવા
.
દલીલ φ અનન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી. જો તમે મૂકો
, જ્યાં n એ પૂર્ણાંક છે,
તે વિવિધ n માટે સમાન સંખ્યા હશે.

તેથી, કુદરતી લઘુગણક, જટિલ ચલના કાર્ય તરીકે, એકલ-મૂલ્યવાળું કાર્ય નથી.

પાવર શ્રેણી વિસ્તરણ

જ્યારે વિસ્તરણ થાય છે:

વપરાયેલ સાહિત્ય:
આઈ.એન. બ્રોન્સ્ટીન, કે.એ. સેમેન્દ્યાયેવ, ઇજનેરો અને કોલેજના વિદ્યાર્થીઓ માટે ગણિતની હેન્ડબુક, "લેન", 2009.

લઘુગણક અભિવ્યક્તિઓ, ઉદાહરણો ઉકેલવા. આ લેખમાં આપણે લોગરીધમ ઉકેલવા સંબંધિત સમસ્યાઓ જોઈશું. કાર્યો અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધવાનો પ્રશ્ન પૂછે છે. એ નોંધવું જોઈએ કે લોગરીધમનો ખ્યાલ ઘણા કાર્યોમાં વપરાય છે અને તેનો અર્થ સમજવો અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની વાત કરીએ તો, સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, લાગુ સમસ્યાઓમાં અને કાર્યોના અભ્યાસ સાથે સંબંધિત કાર્યોમાં પણ લઘુગણકનો ઉપયોગ થાય છે.

ચાલો લોગરીધમનો અર્થ સમજવા માટે ઉદાહરણો આપીએ:

મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ:

લોગરીધમના ગુણધર્મો જે હંમેશા યાદ રાખવા જોઈએ:

*ઉત્પાદનનું લઘુગણક પરિબળના લઘુગણકના સરવાળા જેટલું છે.

* * *

*ભાગ્યાંક (અપૂર્ણાંક) નો લઘુગણક પરિબળના લઘુગણક વચ્ચેના તફાવત જેટલો છે.

* * *

*ઘાતનું લઘુગણક ઘાતાંકના ગુણાંક અને તેના આધારના લઘુગણક સમાન છે.

* * *

*નવા પાયામાં સંક્રમણ

* * *

વધુ ગુણધર્મો:

* * *

લઘુગણકની ગણતરી ઘાતાંકના ગુણધર્મોના ઉપયોગ સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે.

ચાલો તેમાંથી કેટલાકની સૂચિ બનાવીએ:

આ ગુણધર્મનો સાર એ છે કે જ્યારે અંશને છેદમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે અને ઊલટું, ઘાતાંકનું ચિહ્ન વિરુદ્ધમાં બદલાય છે. ઉદાહરણ તરીકે:

આ મિલકતમાંથી એક પરિણામ:

* * *

જ્યારે પાવરને પાવરમાં વધારતા હોય, ત્યારે આધાર સમાન રહે છે, પરંતુ ઘાતનો ગુણાકાર થાય છે.

* * *

તમે જોયું તેમ, લઘુગણકનો ખ્યાલ પોતે જ સરળ છે. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તમારે સારી પ્રેક્ટિસની જરૂર છે, જે તમને ચોક્કસ કુશળતા આપે છે. અલબત્ત, સૂત્રોનું જ્ઞાન જરૂરી છે. જો પ્રાથમિક લઘુગણકને રૂપાંતરિત કરવાની કુશળતા વિકસિત કરવામાં આવી નથી, તો પછી સરળ કાર્યોને હલ કરતી વખતે તમે સરળતાથી ભૂલ કરી શકો છો.

પ્રેક્ટિસ કરો, પહેલા ગણિતના કોર્સમાંથી સૌથી સરળ ઉદાહરણો ઉકેલો, પછી વધુ જટિલ મુદ્દાઓ પર આગળ વધો. ભવિષ્યમાં, હું ચોક્કસપણે બતાવીશ કે "નીચ" લઘુગણક કેવી રીતે ઉકેલાય છે; આ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં દેખાશે નહીં, પરંતુ તે રસ ધરાવે છે, તેમને ચૂકશો નહીં!

બસ એટલું જ! તમને શુભકામનાઓ!

આપની, એલેક્ઝાન્ડર ક્રુતિત્સ્કીખ

P.S: જો તમે મને સામાજિક નેટવર્ક્સ પરની સાઇટ વિશે જણાવશો તો હું આભારી થઈશ.