રેન્ડમ પ્રયોગ. p-adic સંભાવના જગ્યા

પ્રકરણ 1 સંભાવના સિદ્ધાંત

સંભાવના પ્રયોગ. સંભાવના સિદ્ધાંતનો વિષય અને કાર્યો.

કોઈપણ પ્રયોગના પરિણામો એક ડિગ્રી અથવા બીજી સ્થિતિ S ના સમૂહ પર આધાર રાખે છે કે જેના હેઠળ પ્રયોગ હાથ ધરવામાં આવે છે. આ શરતો કાં તો ઉદ્દેશ્ય રૂપે અસ્તિત્વમાં છે અથવા કૃત્રિમ રીતે બનાવવામાં આવી છે (એટલે ​​​​કે, પ્રયોગનું આયોજન કરવામાં આવ્યું છે).

પ્રયોગના પરિણામોની અવલંબન ની ડિગ્રી અનુસાર જે શરતો હેઠળ તે હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું, બધા પ્રયોગોને બે વર્ગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: નિર્ણાયક અને સંભવિત.

ઓ નિર્ધારિત પ્રયોગો-આ એવા પ્રયોગો છે કે જેના પરિણામો આપેલ શરતોના સમૂહના આધારે કુદરતી વિજ્ઞાનના નિયમોના આધારે અગાઉથી અનુમાન કરી શકાય છે.

નિર્ધારિત પ્રયોગનું ઉદાહરણ એ બળ F ના પ્રભાવ હેઠળ દળ m ના શરીર દ્વારા પ્રાપ્ત પ્રવેગકનું નિર્ધારણ છે, એટલે કે, ઇચ્છિત મૂલ્ય પ્રાયોગિક પરિસ્થિતિઓના સમૂહ દ્વારા વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે (એટલે ​​​​કે, શરીર m નો સમૂહ. અને બળ F).

નિર્ણાયક છે, ઉદાહરણ તરીકે, ક્લાસિકલ મિકેનિક્સના નિયમોના ઉપયોગ પર આધારિત તમામ પ્રક્રિયાઓ, જે મુજબ શરીરની હિલચાલ શરીર પર કાર્ય કરતી પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ અને દળો દ્વારા વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે.

ઓ સંભવિત પ્રયોગો (સ્ટોકેસ્ટિક અથવા રેન્ડમ) -પ્રયોગો કે જે સમાન સ્થિર પરિસ્થિતિઓને આધીન મનસ્વી સંખ્યામાં વારંવાર પુનરાવર્તિત થઈ શકે છે, પરંતુ, નિર્ણાયક પ્રયોગથી વિપરીત, સંભવિત પ્રયોગનું પરિણામ અસ્પષ્ટ અને રેન્ડમ છે. તે. શરતોના સમૂહના આધારે સંભવિત પ્રયોગના પરિણામની અગાઉથી આગાહી કરવી અશક્ય છે. જો કે, જો સંભવિત પ્રયોગ સમાન પરિસ્થિતિઓમાં ઘણી વખત પુનરાવર્તિત થાય છે, તો આવા પ્રયોગોના પરિણામોની સંપૂર્ણતા ચોક્કસ પેટર્નનું પાલન કરે છે. સંભાવના સિદ્ધાંત આ પેટર્નનો અભ્યાસ છે (અથવા તેના બદલે, તેમના ગાણિતિક મોડેલો). ચાલો સંભવિત પ્રયોગોના ઘણા ઉદાહરણો આપીએ, જેને ભવિષ્યમાં આપણે ફક્ત પ્રયોગો કહીશું.

ઉદાહરણ 1

પ્રયોગમાં એક વખત સપ્રમાણ સિક્કો ફેંકવાનો સમાવેશ થવા દો. આ પ્રયોગ પરસ્પર વિશિષ્ટ પરિણામોમાંના એકમાં સમાપ્ત થઈ શકે છે: આર્મ્સનો કોટ અથવા જાળી (પૂંછડીઓ) બહાર પડી જાય છે. જો તમે અનુવાદ અને રોટેશનલ ગતિની પ્રારંભિક ગતિ અને ફેંકવાની ક્ષણે સિક્કાની પ્રારંભિક સ્થિતિને બરાબર જાણો છો, તો તમે ક્લાસિકલ મિકેનિક્સના નિયમો અનુસાર આ પ્રયોગના પરિણામની આગાહી કરી શકો છો. તે. તે નિર્ણાયક હશે. જો કે, પ્રયોગનો પ્રારંભિક ડેટા નિશ્ચિત કરી શકાતો નથી અને તે સતત બદલાતા રહે છે. તેથી, તેઓ કહે છે કે પ્રયોગનું પરિણામ અસ્પષ્ટ છે, રેન્ડમ. જો કે, જો આપણે એક જ સપ્રમાણ સિક્કાને પર્યાપ્ત લાંબા માર્ગ સાથે વારંવાર ફેંકીએ, એટલે કે. જો શક્ય હોય તો, જો આપણે પ્રયોગની અમુક શરતોને સ્થિર રાખીએ, તો તેના પરિણામોની કુલ સંખ્યા ચોક્કસ પેટર્નને આધીન છે: શસ્ત્રોના કોટની સાપેક્ષ આવર્તન, ફેંકવાની આવર્તન (એન-થ્રોની સંખ્યા, એમ 1 - બહાર પડતા શસ્ત્રોના કોટની સંખ્યા, એમ 2 - પૂંછડીઓ).

ઉદાહરણ 2

ચાલો ધારીએ કે આપણે સ્પોર્ટ્સ લોટ્ટો કાર્ડ ભરી રહ્યા છીએ. વિજેતા ડ્રો પહેલા, કેટલી સંખ્યાઓ સાચી રીતે અનુમાન લગાવવામાં આવશે તેની આગાહી કરવી અશક્ય છે. જો કે, સ્પોર્ટ્સ લોટ્ટો ડ્રો યોજવાનો અનુભવ સૂચવે છે કે m (1≤m≤6) નંબરોનું અનુમાન લગાવનારા ખેલાડીઓની સરેરાશ ટકાવારી ચોક્કસ સ્થિર મૂલ્યની આસપાસ વધઘટ થાય છે. આ "પેટર્ન" (નંબરોની આપેલ સંખ્યાને યોગ્ય રીતે અનુમાન લગાવવાની સરેરાશ ટકાવારી) નો ઉપયોગ વિજેતા ભંડોળની ગણતરી કરવા માટે થાય છે.

સંભવિત પ્રયોગોમાં નીચેના સામાન્ય લક્ષણો છે: પરિણામની અણધારીતા; ચોક્કસ જથ્થાત્મક પેટર્નની હાજરી જ્યારે તે સમાન પરિસ્થિતિઓમાં ઘણી વખત પુનરાવર્તિત થાય છે; ઘણા સંભવિત પરિણામો.

ઓ સંભાવના સિદ્ધાંતનો વિષયસંભવિત પ્રયોગોના ગાણિતિક મોડલનું માત્રાત્મક અને ગુણાત્મક વિશ્લેષણ છે, જેને પ્રાયોગિક ડેટાની સ્થિર પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે.

ઓ સંભાવના સિદ્ધાંત-વિજ્ઞાન કે જે અનિશ્ચિતતાની સ્થિતિમાં નિર્ણય લેવા માટે ગાણિતિક મોડલના વિશ્લેષણ સાથે કામ કરે છે.

ઘટનાઓ અને તેમના પર કામગીરી.

સંબંધિત ફ્રીક્વન્સીઝ અને તેમના ગુણધર્મો

સંભાવના સિદ્ધાંતની પ્રાથમિક વિભાવના, અન્ય વિભાવનાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત નથી, પ્રાથમિક પરિણામોની જગ્યા Ω છે. સામાન્ય રીતે, પ્રયોગના માત્ર સંભવિત અવિભાજ્ય પરિણામોને પ્રાથમિક પરિણામોની જગ્યા તરીકે લેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ

1. ધારો કે સપ્રમાણ સિક્કો ફેંકવામાં આવ્યો છે. પછી (હથિયારો અને પૂંછડીઓનો કોટ).

2. ડાઇસ .

3. બે સિક્કા ફેંકવામાં આવે છે.

4. બે ડાઇસ ફેંકવામાં આવે છે. પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા 36 છે.

5. નંબર અક્ષ w પર રેન્ડમ પર એક બિંદુ ફેંકવામાં આવે છે.

6. બે બિંદુઓ પર ફેંકવામાં આવે છે.

y

વ્યાખ્યા.ઘટનાપ્રાથમિક પરિણામો Ω ની જગ્યાનો મનસ્વી સબસેટ A છે. તે પ્રાથમિક પરિણામો કે જે ઘટના A બનાવે છે તેને કહેવામાં આવે છે અનુકૂળઘટના એ.

એક ઘટના A બની હોવાનું કહેવાય છે, જો પ્રયોગના પરિણામે, પ્રાથમિક પરિણામ w A આવે છે, એટલે કે. અનુકૂળ ઘટના એ.

ચાલો ઉદાહરણ 2 જોઈએ. , – પોઈન્ટની વિષમ સંખ્યા ધરાવતી ઘટના; - રોલ કરવામાં આવતા પોઈન્ટની સમાન સંખ્યાનો સમાવેશ કરતી ઇવેન્ટ.

o પ્રાથમિક પરિણામોની સમગ્ર જગ્યા Ω, જો ઘટના તરીકે લેવામાં આવે તો, કહેવાય છે વિશ્વસનીયઘટના, કારણ કે તે કોઈપણ પ્રયોગમાં થાય છે (હંમેશાં).

o ખાલી સેટ (એટલે ​​કે એક સેટ કે જેમાં એક પણ પ્રાથમિક પરિણામ ન હોય) કહેવામાં આવે છે. અશક્યએક ઘટના કારણ કે તે ક્યારેય બનતું નથી.

Ω અને , સિવાયની અન્ય તમામ ઘટનાઓ કહેવામાં આવે છે રેન્ડમ

ઘટનાઓ પર કામગીરી

0.1 રકમઘટના A અને B ને આ સમૂહ A B નું જોડાણ કહેવામાં આવે છે.

- એક ઘટના કે જે બને છે જો અને માત્ર જો ઓછામાં ઓછી એક ઘટના A અથવા B બને.

0.2 કામઘટના A અને B એ સમૂહ A અને B ના આંતરછેદ કહેવાય છે, એટલે કે. A B. AB તરીકે નિયુક્ત.

AB એ એક ઘટના છે જ્યારે A અને B એક સાથે થાય છે.

0.3 તફાવત દ્વારાઘટના A અને B એ સેટ A\B નો તફાવત કહેવાય છે.

A\B એ એક ઘટના છે જે થાય છે<=>જ્યારે A થાય છે અને B થતું નથી.

o ઘટનાઓ A અને B કહેવાય છે અસંગત, જો . જો A અને B અસંગત હોય, તો અમે સૂચવીશું .

o ઘટના A એ ઘટના B નો સમાવેશ કરે છે જો A એ B નો સબસેટ છે, એટલે કે. (જ્યારે A થાય છે, B થાય છે).

o ઘટના કહેવાય છે વિરુદ્ધઘટના એ.

ઉદાહરણ 2. . જ્યારે A ન થાય ત્યારે થાય છે.

o તેઓ કહે છે કે ઘટનાઓ Н 1, Н 2,…, Н n સંપૂર્ણ જૂથ બનાવો, જો Н 1 +Н 2 +…+Н n =Ω (એટલે ​​​​કે Н 1 , Н 2 , Н n અસંગત છે, એટલે કે Н i Н j = જો i≠j).

ઉદાહરણ તરીકે, A અને સંપૂર્ણ જૂથ બનાવો: .

ચાલો ધારીએ કે કેટલાક અવ્યવસ્થિત પ્રયોગો હાથ ધરવામાં આવે છે, જેનું પરિણામ અવકાશ Ω દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. ચાલો N પ્રયોગો કરીએ. Aને અમુક ઘટના ગણવા દો (), N(A) એ તે પ્રયોગોની સંખ્યા છે જેમાં A ઘટના બની હતી.

પછી નંબર પર ફોન કરવામાં આવે છે ઘટના A ની સંબંધિત આવર્તન.

સંભાવના સિદ્ધાંતના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો

Ω એ પ્રાથમિક પરિણામોની જગ્યા બનવા દો. ધારો કે F એ Ω ના સબસેટનો અમુક વર્ગ છે.

o ઘટના એ વર્ગ F થી સંબંધિત Ω નો સબસેટ છે. દરેક ઘટના વાસ્તવિક સંખ્યા P(A) સાથે સંકળાયેલ છે, જેને કહેવાય છે. સંભાવના એ , જેથી ધરીઓ સંતુષ્ટ છે:

સ્વયંસિદ્ધ 1.

Axiom 2., તે. ચોક્કસ ઘટનાની સંભાવના 1 છે.

Axiom 3.(ગણતરીયોગ્ય ઉમેરણ) જો અને , પછી (અસંગત ઘટનાઓ માટે).

સંયોજનશાસ્ત્રના તત્વો

લેમ્મા 1. પ્રથમ જૂથના m તત્વો a 1,…,a m અને બીજા જૂથના n તત્વો b 1, …,b nમાંથી, એક તત્વ ધરાવતા ફોર્મની બરાબર m∙n ક્રમાંકિત જોડી (a i, b j) કંપોઝ કરવાનું શક્ય છે. દરેક જૂથમાંથી.

પુરાવો:

કુલ મળીને અમારી પાસે m∙n જોડીઓ છે.

ઉદાહરણ.ડેકમાં 4 સૂટ છે (હૃદય, સ્પેડ્સ, ક્લબ્સ, હીરા), દરેક સૂટમાં 9 કાર્ડ છે. કુલ n=4∙9=36.

લેમ્મા 2. પ્રથમ જૂથના n 1 તત્વોમાંથી a 1, a 2,…, અને n 1,

n બીજા જૂથના 2 તત્વો b 1, b 2,…, b n 2,

n k-th જૂથના 3 તત્વો x 1 , x 2 ,…, x nk

ફોર્મના n 1 ∙ n 2 ∙…∙n k વિવિધ ક્રમાંકિત સંયોજનો બરાબર કંપોઝ કરવું શક્ય છે દરેક જૂથમાંથી એક તત્વ ધરાવે છે.

1. k=2 માટે, વિધાન સાચું છે (લેમ્મા 1).

2. ધારો કે લેમ્મા 2 k માટે ધરાવે છે. ચાલો તત્વોના k+1 જૂથ માટે સાબિત કરીએ . સંયોજન ધ્યાનમાં લો કેવી રીતે અને . ધારણા k તત્વોના સંયોજનોની સંખ્યા, તેમના n 1 n 2 n k ની ગણતરી કરવાનું શક્ય બનાવે છે. લેમ્મા 1 મુજબ, k+1 તત્વોના સંયોજનોની સંખ્યા n 1 n 2 … n k +1 છે.

ઉદાહરણ.બે ડાઇસ ફેંકતી વખતે N=6∙6=36. ત્રણ ડાઇસ ફેંકતી વખતે N=6∙6∙6=216.

ભૌમિતિક સંભાવનાઓ

ધારો કે સંખ્યા રેખા પર ચોક્કસ સેગમેન્ટ છે અને આ સેગમેન્ટ પર એક બિંદુ રેન્ડમ પર ફેંકવામાં આવ્યો છે. આ બિંદુ પર પડવાની સંભાવના શોધો.

- સીધી રેખા પર ભૌમિતિક સંભાવના.

સમતલ આકૃતિ g ને સમતલ આકૃતિ G નો ભાગ બનવા દો. એક બિંદુ આકૃતિ G પર રેન્ડમ રીતે ફેંકવામાં આવે છે. આકૃતિ g માં આવતા બિંદુની સંભાવના સમાનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

-પ્લેન પર ભૌમિતિક સંભાવના.

અવકાશમાં એક આકૃતિ v છે જે આકૃતિ V નો ભાગ છે. એક બિંદુ આકૃતિ V પર રેન્ડમ રીતે ફેંકવામાં આવે છે. આકૃતિ v માં બિંદુ મેળવવાની સંભાવના સમાનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

- અવકાશમાં ભૌમિતિક સંભાવના.

સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યાનો ગેરલાભ એ છે કે તે અસંખ્ય પરિણામો સાથેના પરીક્ષણોને લાગુ પડતું નથી. આ ખામીને દૂર કરવા માટે, તેઓ પરિચય આપે છે ભૌમિતિક સંભાવનાઓ.

સંભાવનાના ગુણધર્મો

મિલકત 1.અશક્ય ઘટનાની સંભાવના 0 છે, એટલે કે. . .

મિલકત 2.વિશ્વસનીય ઘટનાની સંભાવના 1 છે, એટલે કે. , .

મિલકત 3.કોઈપણ ઘટના માટે . , કારણ કે , પછી અને તેથી .

મિલકત 4.જો ઘટનાઓ A અને B અસંગત છે, તો સરવાળાની સંભાવના સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:

રેન્ડમ ચલો

ઓ રેન્ડમ ચલ Xએક કાર્ય X(w) છે જે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ R ના સમૂહમાં પ્રાથમિક પરિણામો Ω ની જગ્યાને મેપ કરે છે.

ઉદાહરણ.એક સિક્કો બે વાર ઉછાળવા દો. પછી .

ચાલો રેન્ડમ ચલ X ને ધ્યાનમાં લઈએ - પ્રાથમિક પરિણામો Ω ની જગ્યા પર કોટ ઓફ આર્મ્સની ઘટનાઓની સંખ્યા. રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોનો સમૂહ છે: 2,1,0.

રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોનો સમૂહ Ω x દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. રેન્ડમ ચલની મહત્વની લાક્ષણિકતાઓમાંની એક રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય છે.

ઓ રેન્ડમ ચલ Xનું વિતરણ કાર્યવાસ્તવિક ચલ x નું ફંક્શન F(x) કહેવાય છે, જે રેન્ડમ ચલ X, પ્રયોગના પરિણામે, ચોક્કસ નિશ્ચિત સંખ્યા x કરતાં ઓછું મૂલ્ય લેશે તેવી સંભાવના નક્કી કરે છે.

જો આપણે X ને એક્સ-અક્ષ પર રેન્ડમ બિંદુ તરીકે ગણીએ, તો ભૌમિતિક દૃષ્ટિકોણથી F(x) એ સંભાવના છે કે પ્રયોગના પરિણામે રેન્ડમ બિંદુ X બિંદુ x ની ડાબી બાજુએ આવશે.

ઘટનાઓનો સૌથી સરળ પ્રવાહ.

ચાલો રેન્ડમ સમયે બનતી ઘટનાઓને ધ્યાનમાં લઈએ.

ઓ ઘટનાઓનો પ્રવાહરેન્ડમ સમયે બનતી ઘટનાઓનો ક્રમ બોલાવો.

પ્રવાહના ઉદાહરણો છે: ટેલિફોન એક્સચેન્જમાં કૉલ્સનું આગમન, ઇમરજન્સી મેડિકલ એઇડ સ્ટેશન પર, એરપોર્ટ પર એરક્રાફ્ટનું આગમન, ગ્રાહક સેવા એન્ટરપ્રાઇઝ પર ગ્રાહકોનું આગમન, તત્વોની નિષ્ફળતાનો ક્રમ અને અન્ય ઘણા બધા.

પ્રવાહમાં જે ગુણધર્મો હોઈ શકે છે તેમાં, અમે સ્થિરતા, પરિણામોની ગેરહાજરી અને સામાન્યતાના ગુણધર્મોને પ્રકાશિત કરીએ છીએ.

o ઘટનાઓનો પ્રવાહ કહેવાય છે સ્થિર, જો t સમયગાળા દરમિયાન k ઘટનાઓ બનવાની સંભાવના માત્ર k અને t પર આધાર રાખે છે.

આમ, સ્થિરતાની મિલકત એ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે કે કોઈપણ સમયે k ઘટનાઓની સંભાવના માત્ર k સંખ્યા અને અંતરાલની અવધિ t પર આધારિત છે અને તેની ગણતરીની શરૂઆત પર આધાર રાખતી નથી; આ કિસ્સામાં, અલગ-અલગ સમય અંતરાલને અસંબંધિત માનવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમાન સમયગાળાના t=6 સમયના એકમોના સમય અંતરાલ (1, 7), (10, 16), (T, T+6) પર k ઘટનાઓની ઘટનાની સંભાવનાઓ એકબીજાની સમાન છે.

o ઘટનાઓનો પ્રવાહ કહેવાય છે સામાન્ય, જો સમયના અનંત નાના સમયગાળામાં એક કરતાં વધુ ઘટનાઓ ન બની શકે.

આમ, સામાન્યતાની મિલકત એ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે કે ટૂંકા ગાળામાં બે અથવા વધુ ઘટનાઓની ઘટના વ્યવહારીક રીતે અશક્ય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એક જ સમયે એક કરતાં વધુ ઘટના બનવાની સંભાવના વ્યવહારીક રીતે શૂન્ય છે.

o ઘટનાઓના પ્રવાહમાં મિલકત હોવાનું કહેવાય છે કોઈ પરિણામ નથી, જો બિન-ઓવરલેપિંગ સમય અંતરાલોમાં એક અથવા બીજી સંખ્યાની ઘટનાઓની ઘટનાઓની પરસ્પર સ્વતંત્રતા હોય. આમ, કોઈ પરિણામની મિલકત એ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે કે કોઈપણ સમયના અંતરાલ પર k ઘટનાઓની ઘટનાની સંભાવના તેના પર નિર્ભર નથી કે ઘટનાઓ વિચારણા હેઠળના સમયગાળાની શરૂઆત પહેલાના સમયે દેખાય છે કે નહીં. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમયના કોઈપણ સમયગાળામાં k ઘટનાઓની ઘટનાની શરતી સંભાવના, પ્રશ્નના સમયગાળાની શરૂઆત પહેલાં શું થયું તે અંગેની મનસ્વી ધારણા હેઠળ ગણતરી કરવામાં આવે છે (એટલે ​​​​કે, કેટલી ઘટનાઓ દેખાઈ, કયા ક્રમમાં), સમાન છે. બિનશરતી સંભાવના માટે. પરિણામે, પ્રવાહનો ઇતિહાસ નજીકના ભવિષ્યમાં બનતી ઘટનાઓની સંભાવનાને અસર કરતું નથી.

o ઘટનાઓનો પ્રવાહ કહેવાય છે સરળ અથવા પોઈસન, જો તે સ્થિર, સામાન્ય, પરિણામો વિના હોય.

ઓ પ્રવાહની તીવ્રતા λએકમ સમય દીઠ બનતી ઘટનાઓની સરેરાશ સંખ્યા છે.

જો પ્રવાહની સતત તીવ્રતા જાણીતી હોય, તો t સમયગાળા દરમિયાન સરળ પ્રવાહની k ઘટનાઓ બનવાની સંભાવના સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

, . પોઈસનનું સૂત્ર.

આ સૂત્ર સૌથી સરળ પ્રવાહના તમામ ગુણધર્મોને પ્રતિબિંબિત કરે છે, તેથી તેને સૌથી સરળ પ્રવાહનું ગાણિતિક મોડેલ ગણી શકાય.

ઉદાહરણ. PBX દ્વારા પ્રતિ મિનિટ સરેરાશ બે કોલ્સ પ્રાપ્ત થાય છે. સંભાવના શોધો કે 5 મિનિટમાં તમને પ્રાપ્ત થશે: a) બે કૉલ્સ; b) બે કરતા ઓછા કોલ; c) ઓછામાં ઓછા બે કૉલ. કોલ ફ્લો સરળ હોવાનું માનવામાં આવે છે.

સ્થિતિ દ્વારા λ=2, t=5, k=2. પોઈસનના સૂત્ર મુજબ

એ) - આ ઘટના વ્યવહારીક રીતે અશક્ય છે.

બી) - ઘટના વ્યવહારીક રીતે અશક્ય છે, કારણ કે "કોઈ કૉલ પ્રાપ્ત થયો નથી" અને "એક કૉલ પ્રાપ્ત થયો છે" ઘટનાઓ અસંગત છે.

બી) - આ ઘટના લગભગ નિશ્ચિત છે.

વિખેરવાના ગુણધર્મો.

મિલકત 1.સ્થિર મૂલ્ય C નું વિચલન 0.DC=0 છે.

મિલકત 2.અચળ પરિબળને વિક્ષેપ ચિન્હમાંથી વર્ગીકરણ કરીને બહાર લઈ શકાય છે:

મિલકત 3.બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનો તફાવત આ ચલોના ચલોના સરવાળા જેટલો છે:

પરિણામ.કેટલાક સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનો તફાવત આ ચલોના ચલોના સરવાળા જેટલો છે.

પ્રમેય 2. n સ્વતંત્ર અજમાયશમાં ઘટના A ની ઘટનાઓની સંખ્યાનો તફાવત, જેમાંના દરેકમાં ઘટનાની ઘટનાની સંભાવના p સ્થિર હોય છે, તે ઘટનાની સંભાવના દ્વારા અને બિન- એક અજમાયશમાં ઘટનાની ઘટના: .

રેન્ડમ ચલ X એ n સ્વતંત્ર ટ્રાયલ્સમાં ઘટના A ની ઘટનાઓની સંખ્યા છે. , જ્યાં X i એ i-th અજમાયશમાં ઘટનાઓની સંખ્યા છે, પરસ્પર સ્વતંત્ર, કારણ કે દરેક અજમાયશનું પરિણામ અન્યના પરિણામોથી સ્વતંત્ર છે.

કારણ કે MX 1 =p. , તે . દેખીતી રીતે, બાકીના રેન્ડમ ચલોનો ભિન્નતા પણ pq ની બરાબર છે, જ્યાંથી .

ઉદાહરણ. 10 સ્વતંત્ર ટ્રાયલ હાથ ધરવામાં આવે છે, જેમાંના દરેકમાં ઘટના બનવાની સંભાવના 0.6 છે. રેન્ડમ ચલ X નું વિચલન શોધો - આ ટ્રાયલ્સમાં ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા.

n=10; p=0.6; q=0.4.

ઓ રેન્ડમ ચલ X માટે ઓર્ડરની પ્રારંભિક ક્ષણરેન્ડમ ચલ X k ની ગાણિતિક અપેક્ષા કહેવાય છે:

. ખાસ કરીને, .

આ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને, ભિન્નતાની ગણતરી માટેનું સૂત્ર આ રીતે લખી શકાય છે: .

રેન્ડમ ચલ X ની ક્ષણો ઉપરાંત, વિચલન X-XM ની ક્ષણો ધ્યાનમાં લેવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

ઓ ઓર્ડરની કેન્દ્રીય ક્ષણ કેરેન્ડમ ચલ X એ મૂલ્યની ગાણિતિક અપેક્ષા (X-MX) k કહેવાય છે.

ખાસ કરીને

આથી, .

કેન્દ્રીય ક્ષણની વ્યાખ્યાના આધારે અને ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સૂત્રો મેળવી શકીએ છીએ:

ઉચ્ચ ઓર્ડર પળોનો ભાગ્યે જ ઉપયોગ થાય છે.

ટિપ્પણી.ઉપર નિર્ધારિત ક્ષણો કહેવામાં આવે છે સૈદ્ધાંતિક. સૈદ્ધાંતિક ક્ષણોથી વિપરીત, અવલોકન ડેટામાંથી ગણતરી કરવામાં આવતી ક્ષણોને કહેવામાં આવે છે. પ્રયોગમૂલક

રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમો.

o વેક્ટર, જ્યાં -રેન્ડમ ચલોને n- કહેવાય છે પરિમાણીય રેન્ડમ વેક્ટર.

આમ, રેન્ડમ વેક્ટર પ્રાથમિક પરિણામો Ω→IR n ની જગ્યાને n-પરિમાણીય વાસ્તવિક જગ્યા IR n સાથે મેપ કરે છે.

o કાર્ય

કહેવાય છે રેન્ડમ વેક્ટર વિતરણ કાર્યઅથવા સંયુક્ત વિતરણ કાર્યરેન્ડમ ચલો.

મિલકત 4.

o રેન્ડમ વેક્ટર કહેવાય છે અલગ, જો તેના તમામ ઘટકો અલગ રેન્ડમ ચલો છે.

o રેન્ડમ વેક્ટર કહેવાય છે સતત, જો ત્યાં બિન-નકારાત્મક કાર્ય હોય, તો તેને રેન્ડમ ચલોની વિતરણ ઘનતા કહેવામાં આવે છે જેમ કે વિતરણ કાર્ય .

સહસંબંધ ગુણધર્મો.

મિલકત 1.સહસંબંધ ગુણાંકનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય એકતા કરતાં વધી જતું નથી, એટલે કે. .

મિલકત 2.રેન્ડમ ચલ X અને Y એક રેખીય સંબંધ દ્વારા સંબંધિત હોવા માટે તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત હોવા માટે. તે. સંભાવના સાથે 1.

મિલકત 3.જો રેન્ડમ ચલો સ્વતંત્ર છે, તો તે અસંબંધિત છે, એટલે કે. r=0.

X અને Y ને સ્વતંત્ર રહેવા દો, પછી ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મ દ્વારા

o બે રેન્ડમ ચલ X અને Y કહેવામાં આવે છે સહસંબંધિત, જો તેમનો સહસંબંધ ગુણાંક શૂન્યથી અલગ હોય.

ઓ રેન્ડમ ચલ X અને Y ને અસંબંધિત કહેવામાં આવે છેજો તેમનો સહસંબંધ ગુણાંક 0 છે.

ટિપ્પણી.બે રેન્ડમ ચલોનો સહસંબંધ તેમની અવલંબન સૂચવે છે, પરંતુ અવલંબન હજુ સુધી સહસંબંધને સૂચિત કરતું નથી. બે અવ્યવસ્થિત ચલોની સ્વતંત્રતા પરથી તે અનુસરે છે કે તેઓ અસંબંધિત છે, પરંતુ અસંબંધિતતાથી તે નિષ્કર્ષ કાઢવો હજુ પણ અશક્ય છે કે આ ચલો સ્વતંત્ર છે.

સહસંબંધ ગુણાંક રેન્ડમ ચલોની રેખીય અવલંબન તરફના વલણને દર્શાવે છે. સહસંબંધ ગુણાંકનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય જેટલું વધારે છે, રેખીય અવલંબન તરફનું વલણ વધારે છે.

ઓ અસમપ્રમાણતા ગુણાંકરેન્ડમ ચલ X એ સંખ્યા છે

અસમપ્રમાણતા ગુણાંકનું ચિહ્ન જમણી બાજુની અથવા ડાબી બાજુની અસમપ્રમાણતા દર્શાવે છે.

o રેન્ડમ વેરીએબલ X નું કર્ટોસિસ એ સંખ્યા છે .

સામાન્ય વિતરણ વળાંકના સંબંધમાં વિતરણ વળાંકની સરળતાને લાક્ષણિકતા આપે છે.

જનરેટીંગ ફંક્શન્સ

o હેઠળ પૂર્ણાંકરેન્ડમ વેરીએબલ દ્વારા અમારો મતલબ એક અલગ રેન્ડમ ચલ છે જે મૂલ્યો 0,1,2,... લઈ શકે છે.

આમ, જો રેન્ડમ ચલ X એ પૂર્ણાંક છે, તો તેની એક વિતરણ શ્રેણી છે

તેના જનરેટીંગ ફંક્શનને ફંક્શન કહેવામાં આવે છે

x-ચોરસ વિતરણ

X i ને સામાન્ય સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ રહેવા દો, અને તેમાંના દરેકની ગાણિતિક અપેક્ષા શૂન્યની બરાબર છે, અને પ્રમાણભૂત વિચલન (અથવા વિચલન) એક સમાન છે. પછી આ જથ્થાઓના વર્ગોનો સરવાળો સ્વતંત્રતાના k=n ડિગ્રી સાથે X 2 કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે. જો આ જથ્થાઓ X i એક રેખીય સંબંધ દ્વારા સંબંધિત હોય, ઉદાહરણ તરીકે, તો સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા k=n-1.

આ વિતરણની ઘનતા , ક્યાં - ગામા કાર્ય; ખાસ કરીને, Г(n+1)=n!

આ બતાવે છે કે "x અને ચોરસ" વિતરણ એક પરિમાણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે - સ્વતંત્રતા k ની ડિગ્રીની સંખ્યા. જેમ જેમ સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યામાં વધારો થાય છે તેમ, વિતરણ ધીમે ધીમે સામાન્યની નજીક આવે છે.

વિદ્યાર્થી વિતરણ

Z-સામાન્ય રીતે વિતરિત જથ્થો, અને M(Z)=0, G 2 =1, એટલે કે. Z~N(0,1), અને V એ Z થી સ્વતંત્ર જથ્થો છે, જે સ્વતંત્રતાના k ડિગ્રી સાથે X 2 કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે. પછી જથ્થામાં એક વિતરણ હોય છે, જેને t-વિતરણ અથવા વિદ્યાર્થી વિતરણ (અંગ્રેજી આંકડાશાસ્ત્રી ડબલ્યુ. ગોસેટનું ઉપનામ), સ્વતંત્રતાની k ડિગ્રી સાથે કહેવામાં આવે છે. જેમ જેમ સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યામાં વધારો થાય છે તેમ, વિદ્યાર્થીઓનું વિતરણ ઝડપથી સામાન્ય થાય છે.

રેન્ડમ ચલ t ની વિતરણ ઘનતા ફોર્મ ધરાવે છે , .

રેન્ડમ ચલ t પાસે ગાણિતિક અપેક્ષા Mt=0, (k>2) છે.

ફિશર વિતરણ

જો U અને V સ્વતંત્રતા k 1 અને k 2 ની ડિગ્રી સાથે કાયદા X 2 અનુસાર વિતરિત સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ છે, તો મૂલ્યમાં સ્વતંત્રતા k 1 અને k 2 ની ડિગ્રી સાથે ફિશર વિતરણ F છે. આ વિતરણની ઘનતા , ક્યાં

.

ફિશર વિતરણ F બે પરિમાણો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે - સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા.

લાક્ષણિક કાર્યો

0. 1 રેન્ડમ ચલ , જ્યાં i એ કાલ્પનિક એકમ છે, એટલે કે. , અને X અને Y વાસ્તવિક રેન્ડમ ચલ છે, તેને કહેવાય છે જટિલ-મૂલ્યવાનરેન્ડમ ચલ. (i 2 = –1).

0. 2 જટિલ-મૂલ્યવાળા રેન્ડમ ચલ Zની ગાણિતિક અપેક્ષા કહેવામાં આવે છે. ગાણિતિક અપેક્ષાના તમામ ગુણધર્મો જટિલ-મૂલ્યવાળા રેન્ડમ ચલો માટે માન્ય રહે છે.

0. 3 જટિલ-મૂલ્ય ધરાવતા રેન્ડમ ચલ Z 1 =X 1 +iY 1 અને Z 2 =X 2 +iY 2 અનુક્રમે સ્વતંત્ર હોય તો તેને સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે.

મોટી સંખ્યાના કાયદા

રેન્ડમ લક્ષણો

ઓ રેન્ડમ કાર્યએક ફંક્શન X(t), જેનું મૂલ્ય દલીલ t ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે રેન્ડમ ચલ છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, રેન્ડમ ફંક્શન એ એક કાર્ય છે જે, પ્રયોગના પરિણામે, એક અથવા અન્ય ચોક્કસ સ્વરૂપ લઈ શકે છે, જો કે તે અગાઉથી જાણીતું નથી કે કયું.

o પ્રયોગના પરિણામે રેન્ડમ ચલ દ્વારા લેવાયેલ ચોક્કસ સ્વરૂપને કહેવામાં આવે છે રેન્ડમ ફંક્શનનો અમલ.

કારણ કે વ્યવહારમાં, દલીલ t મોટાભાગે અસ્થાયી હોય છે, પછી રેન્ડમ ફંક્શનને અન્યથા કહેવામાં આવે છે રેન્ડમ પ્રક્રિયા.

આકૃતિ રેન્ડમ પ્રક્રિયાના ઘણા અમલીકરણો દર્શાવે છે.

જો આપણે દલીલ t ની કિંમત નક્કી કરીએ, તો રેન્ડમ ફંક્શન X(t) રેન્ડમ ચલમાં ફેરવાઈ જશે, જેને કહેવામાં આવે છે. રેન્ડમ ફંક્શનનો ક્રોસ સેક્શન, સમયને અનુરૂપ ટી. અમે ધારીશું કે ક્રોસ સેક્શનનું વિતરણ સતત છે. પછી આપેલ ટી માટે X(t) વિતરણ ઘનતા p(x; t) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

દેખીતી રીતે, p(x; t) એ રેન્ડમ ફંક્શન X(t) ની સંપૂર્ણ લાક્ષણિકતા નથી, કારણ કે તે T અલગ-અલગ સમયે X(t) ના વિભાગો વચ્ચે અવલંબન વ્યક્ત કરતું નથી. કાર્ય દ્વારા વધુ સંપૂર્ણ વર્ણન આપવામાં આવ્યું છે - રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમની સંયુક્ત વિતરણ ઘનતા , જ્યાં t 1 અને t 2 એ રેન્ડમ ફંક્શનની દલીલ t ના મનસ્વી મૂલ્યો છે. રેન્ડમ ફંક્શન X(t) નું વધુ સંપૂર્ણ પાત્રાલેખન ત્રણ રેન્ડમ ચલ વગેરેની સિસ્ટમની સુસંગત વિતરણ ઘનતા દ્વારા આપવામાં આવશે.

o તેઓ કહે છે કે રેન્ડમ પ્રક્રિયા છે ઓર્ડર n છે, જો તે પ્રક્રિયાના n મનસ્વી વિભાગોના સુસંગત વિતરણની ઘનતા દ્વારા સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે. n રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ, જ્યાં X(t i) એ સમય t i ની ક્ષણને અનુરૂપ પ્રક્રિયાનો ક્રોસ-સેક્શન છે, પરંતુ ક્રોસ-સેક્શનની n કરતાં ઓછી સંખ્યાના સંયુક્ત વિતરણનો ઉલ્લેખ કરીને નિર્ધારિત નથી.

o જો પ્રક્રિયાના મનસ્વી બે ક્રોસ વિભાગોના સંયુક્ત વિતરણની ઘનતા તેને સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત કરે છે, તો આવી પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે. માર્કોવ્સ્કી.

એક રેન્ડમ ફંક્શન X(t) રહેવા દો. કાર્ય એક અથવા વધુ બિન-રેન્ડમ લાક્ષણિકતાઓનો ઉપયોગ કરીને તેનું વર્ણન કરવાનું ઉદ્ભવે છે. તેમાંના પ્રથમ તરીકે, કાર્ય લેવાનું સ્વાભાવિક છે - રેન્ડમ પ્રક્રિયાની ગાણિતિક અપેક્ષા. બીજાને રેન્ડમ પ્રક્રિયાના પ્રમાણભૂત વિચલન તરીકે લેવામાં આવે છે.

આ લાક્ષણિકતાઓ ટીના કેટલાક કાર્યો છે. આમાંથી પ્રથમ તમામ સંભવિત અમલીકરણો માટે સરેરાશ માર્ગ છે. બીજું સરેરાશ માર્ગની આસપાસ રેન્ડમ ફંક્શનની અનુભૂતિના સંભવિત ફેલાવાને દર્શાવે છે. પરંતુ આ લક્ષણો પૂરતા નથી. X(t 1) અને X(t 2) જથ્થાઓની અવલંબન જાણવી મહત્વપૂર્ણ છે. આ અવલંબનને સહસંબંધ કાર્ય અથવા સહસંબંધ ક્ષણનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવી શકાય છે.

બે અવ્યવસ્થિત પ્રક્રિયાઓ થવા દો, જેનાં ઘણા અમલીકરણ આકૃતિઓમાં બતાવવામાં આવ્યા છે.

આ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓમાં લગભગ સમાન ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને પ્રમાણભૂત વિચલનો હોય છે. જો કે, આ વિવિધ પ્રક્રિયાઓ છે. રેન્ડમ ફંક્શન X 1 (t) માટે કોઈપણ અમલીકરણ ધીમે ધીમે t માં ફેરફાર સાથે તેના મૂલ્યોમાં ફેરફાર કરે છે, જે રેન્ડમ ફંક્શન X 2 (t) વિશે કહી શકાય નહીં. પ્રથમ પ્રક્રિયા માટે, ક્રોસ વિભાગો X 1 (t) વચ્ચેની અવલંબન અને ક્રોસ વિભાગો X 2 (t) અને બીજી પ્રક્રિયાની અવલંબન કરતાં વધુ હશે, એટલે કે. કરતાં વધુ ધીમે ધીમે ઘટે છે , વધતા Δt સાથે. બીજા કિસ્સામાં, પ્રક્રિયા તેના ભૂતકાળને ઝડપથી "ભૂલી જાય છે".

ચાલો સહસંબંધ કાર્યના ગુણધર્મો પર ધ્યાન આપીએ, જે રેન્ડમ ચલોની જોડીના સહસંબંધ ક્ષણના ગુણધર્મોને અનુસરે છે.

મિલકત 1.સમપ્રમાણતાની મિલકત.

મિલકત 2.જો રેન્ડમ ફંક્શન X(t) માં નોન-રેન્ડમ ટર્મ ઉમેરવામાં આવે, તો કોરિલેશન ફંક્શન બદલાશે નહીં, એટલે કે. .

§1. સંભાવના સિદ્ધાંત શું અભ્યાસ કરે છે અને તે ક્યારે ઉદ્ભવ્યો? રેન્ડમ પ્રયોગનો ખ્યાલ. પ્રાથમિક પરિણામોની જગ્યા. પ્રકારો અને ઉદાહરણો. સંયોજનશાસ્ત્રના તત્વો. ઘટનાનો ખ્યાલ.

ઐતિહાસિક માહિતી:

ઐતિહાસિક રીતે, સંભાવના સિદ્ધાંત જુગાર (રૂલેટ, ડાઇસ, કાર્ડ્સ, વગેરે) ના સિદ્ધાંત તરીકે ઉદભવ્યો. 17મી સદીના અંતમાં. તેના વિકાસની શરૂઆત પાસ્કલ, બર્નૌલી, મોઇવર, લેપ્લેસ અને પછીથી (19મી સદીની શરૂઆતમાં) ગાઉસ અને પોઈસનના નામો સાથે સંકળાયેલી છે.

રશિયામાં સંભાવના સિદ્ધાંત પરના પ્રથમ અભ્યાસો 19મી સદીના મધ્યભાગના છે અને N.I. જેવા ઉત્કૃષ્ટ ગણિતશાસ્ત્રીઓના નામ સાથે સંકળાયેલા છે. લોબાચેવ્સ્કી, એમ.વી. ઓસ્ટ્રોગ્રેડસ્કી, વી.યા. બુન્યાકોવ્સ્કી (વીમા અને વસ્તી વિષયક એપ્લિકેશન સાથે પાઠ્યપુસ્તક પ્રકાશિત કરનાર પ્રથમમાંથી એક).

સંભાવના સિદ્ધાંતનો વધુ વિકાસ (20મી સદીના 19મી અને વીસના દાયકાના અંતમાં) મુખ્યત્વે રશિયન વૈજ્ઞાનિકો ચેબીશેવ, લ્યાપુનોવ અને મકારોવના નામ સાથે સંકળાયેલો છે. 20મી સદીના 30 ના દાયકાથી, ગણિતની આ શાખાએ વિજ્ઞાન અને ટેક્નોલોજીના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં અરજીઓ શોધીને વિકાસશીલ સમયગાળાનો અનુભવ કર્યો છે. આ સમયે, રશિયન વૈજ્ઞાનિકો બર્નસ્ટેઇન, ખિંચિન અને કોલમોગોરોવે સંભાવના સિદ્ધાંતના વિકાસમાં નોંધપાત્ર યોગદાન આપ્યું હતું. તે 1933 માં 30 વર્ષની ઉંમરે કોલમોગોરોવ હતા, જેમણે ગણિતની અન્ય શાખાઓ (સેટ થિયરી, મેઝર થિયરી, ફંક્શનલ એનાલિસિસ) સાથે તેનું જોડાણ સ્થાપિત કરીને સંભાવના સિદ્ધાંતના સ્વયંસિદ્ધ બાંધકામનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો.

સંભાવના સિદ્ધાંત એ ગણિતની એક શાખા છે જે અભ્યાસ કરે છે રેન્ડમ પ્રયોગોના ગાણિતિક મોડલ, એટલે કે પ્રયોગો, જેના પરિણામો પ્રયોગની શરતો દ્વારા અસ્પષ્ટપણે નક્કી કરી શકાતા નથી. એવું માનવામાં આવે છે કે પ્રયોગનું પુનરાવર્તન (ઓછામાં ઓછું સૈદ્ધાંતિક રીતે) પરિસ્થિતિઓના અપરિવર્તિત સમૂહ હેઠળ ગમે તેટલી વખત થઈ શકે છે, અને પ્રયોગના પરિણામો આંકડાકીય રીતે સ્થિર છે.

રેન્ડમ પ્રયોગનો ખ્યાલ

રેન્ડમ પ્રયોગોના ઉદાહરણો:

1. એકવાર સિક્કો ફેંકો.

2. એકવાર ડાઇસ ટૉસ કરો.

3. કલગીમાંથી બોલની રેન્ડમ પસંદગી.

4. લાઇટ બલ્બના અપટાઇમને માપવા.

5. સમયના એકમ દીઠ PBX પર આવતા કૉલ્સની સંખ્યાને માપવા.

એક પ્રયોગ રેન્ડમ છે જો માત્ર પ્રથમ પ્રયોગના પરિણામની આગાહી કરવી અશક્ય છે, પણ આગળ પણ. ઉદાહરણ તરીકે, કેટલીક રાસાયણિક પ્રતિક્રિયા હાથ ધરવામાં આવે છે, જેનું પરિણામ અજ્ઞાત છે. જો તમે તેને એકવાર હાથ ધરો છો અને ચોક્કસ પરિણામ મેળવો છો, તો પછી સમાન પરિસ્થિતિઓમાં વધુ પ્રયોગો સાથે, રેન્ડમનેસ અદૃશ્ય થઈ જાય છે.

તમે ગમે તેટલા આ પ્રકારના ઉદાહરણો આપી શકો છો. રેન્ડમ પરિણામો સાથેના પ્રયોગોની સમાનતા શું છે? તે તારણ આપે છે કે ઉપરોક્ત દરેક પ્રયોગોના પરિણામોની આગાહી કરવી અશક્ય હોવા છતાં, વ્યવહારમાં તેમના માટે ચોક્કસ પ્રકારની પેટર્ન લાંબા સમયથી જોવામાં આવી છે, એટલે કે: મોટી સંખ્યામાં પરીક્ષણો કરતી વખતે અવલોકન કરેલ ફ્રીક્વન્સીઝદરેક રેન્ડમ ઘટનાની ઘટના સ્થિર થાય છે,તે ઘટનાની સંભાવના તરીકે ઓળખાતી ચોક્કસ સંખ્યાથી ઓછા અને ઓછા તફાવતો.

ઘટના A () ની અવલોકન કરેલ આવર્તન એ ઘટના A () ની ઘટનાઓની સંખ્યા અને ટ્રાયલ્સની કુલ સંખ્યા (N) નો ગુણોત્તર છે:

ઉદાહરણ તરીકે, વાજબી સિક્કો ફેંકતી વખતે, અપૂર્ણાંક

ખાતે

(
-ગરુડની સંખ્યા, એન- ફેંકવાની કુલ સંખ્યા)

આવર્તન સ્થિરતાનો આ ગુણધર્મ, એક પ્રયોગના પરિણામની આગાહી કરવામાં સમર્થ થયા વિના, પ્રશ્નમાં અનુભવ સાથે સંકળાયેલી ઘટનાના ગુણધર્મોની ચોક્કસ આગાહી કરવા માટે પરવાનગી આપે છે. તેથી, આધુનિક જીવનમાં સંભાવના સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓ માનવ પ્રવૃત્તિના તમામ ક્ષેત્રોમાં પ્રવેશી છે, માત્ર કુદરતી વિજ્ઞાન, અર્થશાસ્ત્રમાં જ નહીં, પણ માનવતામાં પણ, જેમ કે ઇતિહાસ, ભાષાશાસ્ત્ર વગેરે. આ અભિગમ પર આધારિત છે સંભાવનાનું આંકડાકીય નિર્ધારણ.

ખાતે
(એક ઘટનાની અવલોકન કરેલ આવર્તન તેની સંભાવના તરફ વળે છે કારણ કે પ્રયોગોની સંખ્યા વધે છે, એટલે કે, n સાથે
).

વ્યાખ્યા 1.1: પ્રાથમિક પરિણામ (અથવા પ્રાથમિક ઘટના)પ્રયોગના કોઈપણ સરળ (એટલે ​​​​કે આપેલ અનુભવના માળખામાં અવિભાજ્ય) પરિણામને કૉલ કરો. અમે તમામ પ્રાથમિક પરિણામોના સમૂહને કૉલ કરીશું પ્રાથમિક પરિણામોની જગ્યા.

પ્રાથમિક પરિણામોની જગ્યા બનાવવાનું ઉદાહરણ:

ચાલો નીચેના અવ્યવસ્થિત પ્રયોગને ધ્યાનમાં લઈએ: એક વાર ડાઇસ ફેંકીને, ઉપરની બાજુએ પડેલા પોઈન્ટની સંખ્યાનું અવલોકન કરો. ચાલો તેના માટે પ્રાથમિક પરિણામોની જગ્યા બનાવીએ:

બધા વિકલ્પો સમાવે છે, દરેક વિકલ્પનો દેખાવ અન્યના દેખાવને બાકાત રાખે છે, બધા વિકલ્પો અવિભાજ્ય છે.

પ્રાથમિક પરિણામોની જગ્યા (દરેક પ્રકાર માટેના પ્રકારો અને ઉદાહરણો):

નીચેના ડાયાગ્રામને ધ્યાનમાં લો

અલગ જગ્યાઓ- આ એવી જગ્યાઓ છે જેમાં વ્યક્તિગત પરિણામોને ઓળખી શકાય છે . અલગ મર્યાદિત માંતમે તેમની સંખ્યા ચોક્કસપણે સૂચવી શકો છો.

પ્રાથમિક પરિણામોની અલગ જગ્યાઓના ઉદાહરણો

પ્રયોગ:એક સિક્કો ટૉસ

, ક્યાં

e.i ના ઉત્પાદનમાં સમાવેશ કરી શકાય છે. તેની ધાર પર પડતા સિક્કાનો વિકલ્પ, પરંતુ અમે તેને અસંભવિત તરીકે મોડેલમાંથી બાકાત રાખીએ છીએ (દરેક મોડેલ અમુક અંદાજિત છે)

જો સિક્કો સાચો છે, એટલે કે. કારણ કે તેની સર્વત્ર ઘનતા સમાન છે અને ગુરુત્વાકર્ષણનું અવિસ્થાપિત કેન્દ્ર છે, તેથી પરિણામો "શસ્ત્રોનો કોટ" અને "પૂંછડીઓ" દેખાવાની સમાન તકો ધરાવે છે. જો સિક્કાનું ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર સ્થાનાંતરિત થાય છે, તો તે મુજબ, પરિણામો આવવાની વિવિધ તકો હોય છે.

ટિપ્પણી: જો સમસ્યા સિક્કા વિશે કશું કહેતી નથી, તો તે સાચું હોવાનું માની લેવામાં આવે છે.

પ્રયોગ:બે સિક્કાનો એક ટૉસ.

નોંધ: જો સિક્કા સમાન હોય, તો RG અને GR પરિણામો દૃષ્ટિની રીતે અસ્પષ્ટ છે. તમે એક સિક્કાને પેઇન્ટથી ચિહ્નિત કરી શકો છો અને પછી તે દૃષ્ટિની રીતે અલગ હશે.

મોડેલ વિવિધ રીતે બનાવી શકાય છે:

અથવા આપણે RG, GR ના પરિણામો વચ્ચે તફાવત કરીએ છીએ અને પછી આપણને 4 vars મળે છે

, ક્યાં

આ કિસ્સામાં, જો બંને સિક્કા સાચા હોય, તો બધા વિકલ્પોમાં દેખાવાની સમાન તક હોય છે.

અથવા અમે RG અને GR વિકલ્પો વચ્ચે તફાવત કરતા નથી અને પછી અમે 3 વિકલ્પો સાથે સમાપ્ત કરીએ છીએ.

, ક્યાં

આ કિસ્સામાં, જો બંને સિક્કા સાચા હોય, તો GG અને RR વિકલ્પો કરતાં RG વિકલ્પ દેખાવાની વધુ તક ધરાવે છે, કારણ કે તે બે રીતે લાગુ કરવામાં આવે છે: પ્રથમ સિક્કા પર હથિયારોનો કોટ અને બીજા પર પૂંછડી અને તેનાથી વિપરીત.

પ્રયોગ: 20 વિદ્યાર્થીઓના જૂથમાંથી રેન્ડમ પસંદગી, 5 કોન્ફરન્સમાં મુસાફરી કરવા માટે વ્યક્તિ. પ્રયોગ પરિણામ:ચોક્કસ પાંચ.

પસંદ કરતી વખતે, ફક્ત રચના જ અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે, એટલે કે. આપણે પ્રથમ કોને પસંદ કર્યું, બીજું કોણ પસંદ કર્યું, વગેરેથી કોઈ ફરક પડતો નથી. તે જ સમયે

(20 લોકો પાસેથી વિવિધ રચનાના કેટલા "પાંચ" મેળવી શકાય છે) (ફેક્ટેરિયલ)

(

આ પ્રશ્નનો જવાબ ફરીથી સંયોજનશાસ્ત્રના વિજ્ઞાન દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે.

બધા 15504 વિકલ્પોમાં દેખાવાની સમાન તક છે, કારણ કે પસંદગી રેન્ડમ છે. પ્રયોગ: વિવિધ રકમના બોનસ મેળવવા માટે 20 લોકો, 5 લોકો ધરાવતા વિદ્યાર્થીઓના જૂથમાંથી રેન્ડમ પસંદગી.પ્રયોગનું પરિણામ

1860480 (: ચોક્કસ ઓર્ડર કરેલ ક્વિન્ટપલેટ. પસંદ કરતી વખતે, ફક્ત રચના જ અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ નથી, પણ પસંદગીનો ક્રમ પણ, કારણ કે બોનસનું કદ વ્યક્તિ કેવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે તેના પર આધાર રાખે છે.

20 લોકો પાસેથી કેટલા ઓર્ડર કરેલા વિવિધ "ફાઇવ્સ" મેળવી શકાય છે).

(

આ પ્રશ્નનો જવાબ ફરીથી સંયોજનશાસ્ત્રના વિજ્ઞાન દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે. 1860480 બધા

વિકલ્પો દેખાવાની સમાન તકો છે, કારણ કે પસંદગી રેન્ડમ છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે બિનક્રમાંકિત કરતાં વધુ ઓર્ડરવાળા "ફાઇવ્સ" હશે, કારણ કે સમાન રચના સાથે ઘણા ઓર્ડર વિકલ્પો હોઈ શકે છે: આ કિસ્સામાં, 5 લોકોની દરેક રચનામાં 120 વિવિધ ઓર્ડર વિકલ્પો શક્ય છે.

સંયોજનશાસ્ત્રના તત્વો

સામાન્ય ગુણાકાર નિયમ:તે પ્રતિબદ્ધ કરવા માટે જરૂરી છે દોm સ્વતંત્ર ક્રિયાઓ અને પ્રથમ ક્રિયા કરી શકાય છે માર્ગો, બીજો -તે પ્રતિબદ્ધ કરવા માટે જરૂરી છે દોમાર્ગો, વગેરે. ….
-મી ક્રિયા

માર્ગો પછી ક્રિયાઓનો સંપૂર્ણ ક્રમ હાથ ધરવામાં આવી શકે છે

માર્ગો.

થી ક્રમચયnતત્વોઆ તત્વોના કોઈપણ ઓર્ડર કરેલ સમૂહને કહેવામાં આવે છે.

-n તત્વોના ક્રમચયોની સંખ્યા

સમજૂતી: પ્રથમ તત્વ n રીતે પસંદ કરી શકાય છે, બીજું n-1 રીતે, વગેરે. છેલ્લું તત્વ એક રીતે કરવામાં આવે છે, અને તે સામાન્ય ગુણાકારના નિયમના આધારે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે

પ્લેસમેન્ટ.

થી આવાસnદ્વારાતે પ્રતિબદ્ધ કરવા માટે જરૂરી છે દોકોઈપણ કહેવાય છે ઓર્ડર કરેલ સેટ n તત્વો (m

m દ્વારા n તત્વોના પ્લેસમેન્ટની સંખ્યા (આવી ઓર્ડર કરેલી પસંદગી માટેના વિકલ્પોની સંખ્યા).

સમજૂતી: પ્રથમ તત્વ n રીતે પસંદ કરી શકાય છે, બીજું n-1 રીતે, વગેરે. , અને તેઓ સામાન્ય ગુણાકારના નિયમના આધારે ગુણાકાર થાય છે.

સંયોજનો.

નું સંયોજનnદ્વારાતે પ્રતિબદ્ધ કરવા માટે જરૂરી છે દોકોઈપણ કહેવાય છે અવ્યવસ્થિત સમૂહ n તત્વો ધરાવતી વસ્તીમાંથી અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલ m તત્વો.

સંયોજનો અને પ્લેસમેન્ટ નીચે પ્રમાણે સંબંધિત છે:

(m તત્વોની દરેક રચના માટે અમારી પાસે m! ઓર્ડર કરેલ સેટ છે). આમ,

m ના n તત્વોના સંયોજનોની સંખ્યા (આવી અવ્યવસ્થિત પસંદગી માટેના વિકલ્પોની સંખ્યા

પ્રાથમિક પરિણામોની સતત જગ્યાનું ઉદાહરણ

પ્રયોગ:બે લોકો 12 થી 13 વાગ્યાની વચ્ચે કોઈ ચોક્કસ જગ્યાએ એપોઈન્ટમેન્ટ લે છે અને તેમાંથી દરેક કોઈ પણ રેન્ડમ ક્ષણે આ સમયની અંદર આવી શકે છે. અમે તેમના આગમનની ક્ષણોને ટ્રેક કરીએ છીએ. 2 લોકો આવવા માટેનો દરેક વિકલ્પ 60 ની બાજુવાળા ચોરસમાંથી એક બિંદુ છે (કારણ કે એક કલાકમાં 60 મિનિટ હોય છે).

(પ્રથમ 12 વાગીને x મિનિટે, બીજો 12 વાગીને y મિનિટે આવી શકે છે). સ્ક્વેરમાંના તમામ બિંદુઓને ગણી શકાય નહીં અને ફરીથી નંબર આપી શકાય. આ તેનું સતત માળખું છે અને તેથી, આ પ્રયોગમાં પ્રાથમિક પરિણામોની સતત જગ્યા છે.

તેમના પરની ઘટનાઓ અને કામગીરી:

વ્યાખ્યા 1.2

કોઈપણ પ્રાથમિક પરિણામોના સમૂહને ઘટના કહેવામાં આવે છે. સાથેઇવેન્ટ્સ કેપિટલ લેટિન અક્ષરો A, B, C અથવા સૂચકાંકો A 1, A 2, A 3, વગેરે સાથેના અક્ષરો દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે.

નીચેની પરિભાષાનો વારંવાર ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: તેઓ કહે છે કે ઘટના A બની છે (અથવા આવી છે) જો અનુભવના પરિણામે પ્રાથમિક પરિણામોમાંથી કોઈપણ દેખાય છે
.

ઘટનાઓના ઉદાહરણો

ચાલો ડાઇ ફેંકવાના પ્રયોગ પર પાછા ફરીએ. નીચેની ઘટનાઓ ધ્યાનમાં લો:

A=(બિંદુઓની સમાન સંખ્યામાં રોલિંગ)

B=(બિંદુઓની વિષમ સંખ્યામાં રોલિંગ)

C=(બિંદુઓની સંખ્યાને રોલિંગ જે 3 નો ગુણાંક છે)

પછી, અગાઉ રજૂ કરાયેલ નોટેશન મુજબ,

વ્યાખ્યા 1.3

એક ઇવેન્ટ જેમાં તમામ પ્રાથમિક પરિણામોનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે. આપેલ અનુભવમાં આવશ્યકપણે બનેલી ઘટના કહેવાય છે વિશ્વસનીય. તે નિયુક્ત થયેલ છે
તેમજ પ્રાથમિક પરિણામોની જગ્યા.

વિશ્વસનીય ઘટનાનું ઉદાહરણ: ડાઇસ ફેંકતી વખતે, 6 થી વધુ બિંદુઓ દેખાશે નહીં, અથવા ડાઇસ ફેંકતી વખતે, ઓછામાં ઓછો એક બિંદુ દેખાશે.

વ્યાખ્યા 1.4

એક ઇવેન્ટ કે જેમાં એક પણ પ્રાથમિક પરિણામ નથી, એટલે કે. આપેલ અનુભવમાં ક્યારેય ન બને તેવી ઘટનાને અશક્ય કહેવાય છે. તે પ્રતીક દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે  .

અશક્ય ઘટનાનું ઉદાહરણ:બે ડાઇસ ફેંકતી વખતે, વળેલા પોઈન્ટની કુલ સંખ્યા 20 હશે.

ઘટનાઓ પર કામગીરી:

શબ્દસમૂહ, ઓછામાં ઓછી એક ઘટના A અથવા B આવી).

વ્યાખ્યા 1.5ઘટનાઓ A અને B કહેવામાં આવે છે અસંગત,જો તેમનું આંતરછેદ એક અશક્ય ઘટના છે, એટલે કે. AB=  .

ઇવેન્ટ્સ પરની કામગીરી પરના કાર્યનું ઉદાહરણ:

લક્ષ્ય પર ત્રણ ગોળી ચલાવવામાં આવે છે. ઘટનાઓ ધ્યાનમાં લો

(i-th શોટ સાથે હિટ), i=1..3

સમૂહ-સૈદ્ધાંતિક કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને, નીચેની ઘટનાઓને ઘટના A i ના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરો:

A=(ત્રણ હિટ)=

B=(ત્રણ ચૂકી જાય છે)=

C=(ઓછામાં ઓછી એક હિટ)=

D=(ઓછામાં ઓછી એક ચૂકી)=

E=(ઓછામાં ઓછા બે હિટ)=
+
+
+

F=(એક કરતાં વધુ હિટ નહીં)=
++
+

G=(લક્ષ્યને ત્રીજા શૉટ કરતાં વહેલું નહીં ફટકારો)=

આઈડિયા: આગળ આ પ્રકારના કાર્યો હશે: ઘટનાઓની સંભાવનાઓ આપવામાં આવે છે અને તે જરૂરી છે, આ સંભાવનાઓને જાણીને, ઘટના A, B, C, D, E, F, G ની સંભાવનાઓ શોધવા માટે

§2. સંભાવનાનો ખ્યાલ

ઘટનાઓની શક્યતાઓની જથ્થાત્મક રીતે તુલના કરવા માટે, સંભાવનાની વિભાવના રજૂ કરવામાં આવી છે.

વ્યાખ્યા 2.1દરેક ઘટના દો એવિતરિત અનુસારસંખ્યા પી(એ). સંખ્યાત્મક કાર્ય P કહેવાય છે સંભાવના અથવા સંભાવના માપ, જો તે નીચેના સિદ્ધાંતોને સંતોષે છે:

બિન-નકારાત્મકતાનો સ્વતઃ

નોર્મલાઇઝેશનનું સ્વયંસિદ્ધ

ઉમેરાનું સ્વયંસિદ્ધ (વિસ્તૃત)કેટલાકનો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહ્યો છે રેન્ડમ ઘટના ...

જેના પરિણામની ચોક્કસ આગાહી કરી શકાતી નથી. ગાણિતિક મોડેલ આવશ્યકતાઓને પૂર્ણ કરે છે:

અવલોકન કરેલ પરિણામ.

- પ્રયોગ અમલીકરણની સંબંધિત આવર્તન.

રેન્ડમ પ્રયોગની પ્રકૃતિનું સચોટ વર્ણન પ્રાથમિક પરિણામો, રેન્ડમ ઘટનાઓ અને તેમની સંભાવના, રેન્ડમ ચલો વગેરેની વ્યાખ્યાનો સમાવેશ કરે છે.

વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન.

અન્ય શબ્દકોશોમાં "રેન્ડમ પ્રયોગ" શું છે તે જુઓ:

આ શબ્દના અન્ય અર્થો છે, જુઓ પ્રયોગ (અર્થો). માહિતી તપાસો. આ લેખમાં પ્રસ્તુત માહિતીની તથ્યો અને વિશ્વસનીયતાની ચોકસાઈ તપાસવી જરૂરી છે. ચર્ચા પૃષ્ઠ પર સમજૂતી હોવી જોઈએ... વિકિપીડિયા

એર્વિન શ્રોડિન્જર શ્રોડિન્જરની બિલાડી (શ્રોડિંગરની બિલાડી) એ એર્વિન શ્રોડિન્જર દ્વારા દેખીતી રીતે વિરોધાભાસી વિચાર પ્રયોગનો હીરો છે, જેની સાથે તે સબએટોમિક સિસ્ટમ્સમાંથી મેક્રોસ્કોપિક સિસ્ટમ્સમાં સંક્રમણમાં ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સની અપૂર્ણતા દર્શાવવા માંગતો હતો ... વિકિપીડિયા

પ્રયોગ- (લેટ. પ્રયોગાત્મક અનુભવ, પુરાવા) 1) તપાસ, સ્વતંત્ર તપાસ ક્રિયા. તે ચોક્કસ ઘટનાની પરિસ્થિતિ અને અન્ય સંજોગોનું પુનઃઉત્પાદન કરે છે અને ચકાસવા માટે જરૂરી પ્રાયોગિક ક્રિયાઓ કરે છે... ... ફોરેન્સિક જ્ઞાનકોશ

સામાજિક વિજ્ઞાનમાં પ્રયોગ- કારણભૂત સંબંધોનો અભ્યાસ કરવા અથવા પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે વપરાતી પ્રયોગમૂલક સંશોધનની એક પદ્ધતિ. તે કહેવાતા કારણદર્શક સંશોધનનો આધાર છે. ઇ.નો ઇતિહાસ જે.એસ.ના કાર્યોથી શરૂ થાય છે. મિલ મિલ માનતી હતી કે... સમાજશાસ્ત્ર: જ્ઞાનકોશ

આપેલ સમૂહ, મર્યાદિત અથવા અનંત. કોઈપણ રેન્ડમ પ્રયોગને અનંત જી. સિસ્ટમમાંથી વ્યક્તિની રેન્ડમ પસંદગી તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. સંભાવના વિતરણ કાર્ય દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ આંકડાકીય સિસ્ટમમાંથી આંકડાકીય અભ્યાસમાં,... ... ભૂસ્તરશાસ્ત્રીય જ્ઞાનકોશ

રેન્ડમ ઇવેન્ટ એ રેન્ડમ પ્રયોગના પરિણામોના સમૂહનો સબસેટ છે; જ્યારે રેન્ડમ પ્રયોગ ઘણી વખત પુનરાવર્તિત થાય છે, ત્યારે ઘટનાની ઘટનાની આવૃત્તિ તેની સંભાવનાના અંદાજ તરીકે કામ કરે છે. એક અવ્યવસ્થિત ઘટના જે ક્યારેય સાકાર થતી નથી... ... વિકિપીડિયા

સંભાવના કાર્ય ... વિકિપીડિયા

આઈન્સ્ટાઈન પોડોલ્સ્કી રોઝેનનો વિરોધાભાસ (ઇપીઆર પેરાડોક્સ) એ આને પ્રભાવિત કર્યા વિના, પરોક્ષ રીતે, સૂક્ષ્મ-ઓબ્જેક્ટના પરિમાણોને માપવાના સમાવિષ્ટ વિચાર પ્રયોગનો ઉપયોગ કરીને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સની અપૂર્ણતાને દર્શાવવાનો પ્રયાસ છે... ... વિકિપીડિયા

GOST 24026-80: સંશોધન પરીક્ષણો. પ્રયોગ આયોજન. શરતો અને વ્યાખ્યાઓ- પરિભાષા GOST 24026 80: સંશોધન પરીક્ષણો. પ્રયોગનું આયોજન. શરતો અને વ્યાખ્યાઓ મૂળ દસ્તાવેજ: 34. ગાણિતિક મોડેલની પર્યાપ્તતા મોડેલની પર્યાપ્તતા પ્રાયોગિક ડેટા માટે ગાણિતિક મોડેલનો પત્રવ્યવહાર... ...

RDMU 109-77: માર્ગદર્શિકા. તકનીકી પ્રક્રિયાઓના નિયંત્રિત પરિમાણોને પસંદ કરવા અને ઑપ્ટિમાઇઝ કરવા માટેની પદ્ધતિ- પરિભાષા RDMU 109 77: માર્ગદર્શિકા. તકનીકી પ્રક્રિયાઓના નિયંત્રિત પરિમાણોને પસંદ કરવા અને ઑપ્ટિમાઇઝ કરવા માટેની પદ્ધતિ: 73. મોડેલની પર્યાપ્તતા પસંદ કરેલ ઑપ્ટિમાઇઝેશન પેરામીટર પર પ્રાયોગિક ડેટા સાથે મોડેલનું પાલન... ... પ્રમાણભૂત અને તકનીકી દસ્તાવેજીકરણની શરતોની શબ્દકોશ-સંદર્ભ પુસ્તક

વ્યાખ્યા 1. રેન્ડમ પ્રયોગ એ ક્રિયાઓનો સ્પષ્ટ રીતે વર્ણવેલ ક્રમ છે જે ઇચ્છિત તરીકે ઘણી વખત પુનરાવર્તિત થઈ શકે છે, પરંતુ જેનાં પરિણામની ચોક્કસ આગાહી કરી શકાતી નથી. પ્રયોગના પરિણામની ચોક્કસ આગાહી કરવામાં અસમર્થતા આપણા નિયંત્રણની બહારના પરિબળોની મોટી સંખ્યાને કારણે થાય છે. બધા પ્રાયોગિક પરિણામો પત્ર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 2. રેન્ડમ ઘટના રેન્ડમ પ્રયોગના તમામ સંભવિત પરિણામોનો કોઈપણ સબસેટ છે.

ઉદાહરણ(રેન્ડમ પ્રયોગ):

1. પ્રવાહી શેરના નવીનતમ ભાવ શોધવા માટે સ્ટોક એક્સચેન્જ ટર્મિનલની સ્ક્રીન જુઓ, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રયોગના પરિણામ તરીકે RAO UES ના શેર.
2. ડાઇસ ફેંકો અને પ્રયોગના પરિણામ જુઓ - વળેલા પોઈન્ટની સંખ્યા.

ઉદાહરણ(રેન્ડમ ઘટના):

1. રેન્ડમ ઘટના A = - સ્ટોક મોનિટરની સ્ક્રીન જોઈને જુઓ, આ રેન્જમાં RAO UES શેરનો ક્વોટ.
2. રેન્ડમ ઘટના B = (2, 3) - પડી ગયેલા મૃત્યુને જોઈને આમાંની એક સંખ્યા જુઓ.

એક્સચેન્જ સ્કૂલ દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવેલ FCSM સમસ્યા પુસ્તકનું મૂળ નંબર સાચવવામાં આવ્યું છે. તેને કોઈ મહત્વ આપવું જોઈએ નહીં; તે સિક્યોરિટીઝ પરીક્ષા લેવાની તૈયારી કરી રહેલા વ્યક્તિઓની સુવિધા માટે રાખવામાં આવે છે.

1.4.1.11 સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, રેન્ડમ ઘટનાને ચોક્કસ હકીકત તરીકે સમજવામાં આવે છે, જે નીચેના લક્ષણો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે:
મેં એકવાર અવલોકન કર્યું
II વારંવાર અવલોકન કરી શકાય છે
III તે ફરીથી થશે કે નહીં તે સંપૂર્ણ નિશ્ચિતતા સાથે કહેવું અશક્ય છે
IV પ્રાયોગિક પરિસ્થિતિઓના નિયંત્રણને આધિન, તે થશે કે નહીં તે સંપૂર્ણ નિશ્ચિતતા સાથે કહી શકાય

A) માત્ર I અને IV સાચા છે
*B) માત્ર II અને III સાચા છે
C) માત્ર II, III અથવા IV સાચો છે
ડી) માત્ર III સાચો છે

ઉકેલ. વ્યાખ્યાઓ 1, 2 પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે માત્ર II અને III જ સાચા વિધાન છે, એટલે કે. સાચો જવાબ B છે.

વ્યાખ્યા 3. પ્રયોગના તમામ પરિણામો મનસ્વી પ્રકૃતિના બિંદુઓનો ચોક્કસ સમૂહ છે, જેને કહેવાય છે વિશ્વસનીય ઘટના , કારણ કે અવ્યવસ્થિત પ્રયોગ હાથ ધરતી વખતે, પ્રયોગના કેટલાક પરિણામો આવવા માટે બંધાયેલા છે.

વ્યાખ્યા 4. અશક્ય ઘટના - આ તે છે જેમાં પ્રયોગનું કોઈ પરિણામ નથી, અને જે, તેથી, પ્રયોગ દરમિયાન દેખાઈ શકતું નથી.

શૈક્ષણિક હેતુઓ માટે, અમે વર્તુળમાં વિશ્વસનીય ઘટનાનું નિરૂપણ કરીએ છીએ.

વ્યાખ્યા 5. પછી રેન્ડમ ઇવેન્ટ એ તેના કેટલાક સબડોમેન છે, અને વધારાની ઘટના (અથવા એ માટે નકારાત્મક ઘટના A કહેવામાં આવે છે "નહીં A" નો સમૂહ - આ બધા બિંદુઓ છે જેમાંથી A માં સમાવિષ્ટ નથી (એટલે ​​​​કે A અને "Not A" છેદતા નથી, પરંતુ એકસાથે બધું બનાવે છે).

વ્યાખ્યા 6."સરવાળા" અથવા "એકીકરણ" અથવા ઇવેન્ટ "A અથવા B" - તે સેટ કે જેમાં બંને સેટના તમામ પોઈન્ટ અને માત્ર તે જ સામેલ હોય

વ્યાખ્યા 7."કામ" અથવા "છેદન" અથવા ઇવેન્ટ "A અને B" - તે સમૂહ જેમાં ફક્ત તે જ બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે જે A અને સમૂહ B બંનેમાં સમાવવામાં આવેલ છે. જો આવા કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ ન હોય, એટલે કે, ઘટના A અને B એક અશક્ય ઘટના છે, તો ઘટના A અને B કહેવામાં આવે છે. અસંગત.

ટિપ્પણી.ખાસ કરીને, તે સ્પષ્ટ છે કે ઘટનાઓ A અને "નહીં A" એ એક અશક્ય ઘટના છે, કારણ કે આ સમૂહો, વ્યાખ્યા દ્વારા, કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ નથી.

1.4.1.15.1 રેન્ડમ ઇવેન્ટ અને આ ઇવેન્ટની વધારાની ઇવેન્ટનું ઉત્પાદન શું હશે?

એ) એક વિશ્વસનીય ઘટના
*બી) અશક્ય ઘટના
બી) ઘટના પોતે

ઉકેલ.ટિપ્પણીથી વ્યાખ્યા 7 સુધી તે અનુસરે છે કે સાચો જવાબ B છે.

1.4.1.15.2 રેન્ડમ ઇવેન્ટનો સરવાળો અને આ ઇવેન્ટની વધારાની ઇવેન્ટ શું હશે?

*A) એક વિશ્વસનીય ઘટના
બી) એક અશક્ય ઘટના
બી) વધારાની ઘટના

ઉકેલ.વ્યાખ્યા 5 થી તે અનુસરે છે કે સાચો જવાબ A છે.

1.4.1.13.1 જો ઘટના A એ છે કે આવતીકાલના ટ્રેડિંગમાં કંપનીના શેરની કિંમત 25 રુબેલ્સથી ઓછી નહીં હોય, અને ઘટના B એ છે કે શેરની કિંમતમાં સંબંધિત ફેરફાર અગાઉના દિવસના શેરની કિંમતની તુલનામાં 3% કરતા વધુ નહીં હોય, તો પછી શું થશે ઘટના A અને B ના ઉત્પાદન સમાન ઘટના છે?

એ) આવતીકાલના ટ્રેડિંગમાં કંપનીના શેરની કિંમત 25 રુબેલ્સથી ઓછી રહેશે નહીં. અથવા શેરની કિંમતમાં સાપેક્ષ ફેરફાર પાછલા દિવસના શેરની કિંમતની સરખામણીમાં 3% થી વધુ નહીં હોય
*B) આવતીકાલના ટ્રેડિંગમાં કંપનીના શેરની કિંમત 25 રુબેલ્સથી ઓછી નહીં હોય. અને શેરની કિંમતમાં સાપેક્ષ ફેરફાર પાછલા દિવસના શેરની કિંમતની સરખામણીમાં 3% થી વધુ નહીં હોય

ઉકેલ.વ્યાખ્યા 7 થી તે અનુસરે છે કે "ઘટના A અને B નું ઉત્પાદન" કહેવું "ઇવેન્ટ A અને B" કહેવા જેવું જ છે, એટલે કે. સાચો જવાબ B છે.

1.4.1.13.2 જો ઘટના A એ છે કે આવતીકાલના ટ્રેડિંગમાં કંપનીના શેરની કિંમત 25 રુબેલ્સથી ઓછી નહીં હોય, અને ઘટના B એ છે કે શેરની કિંમતમાં સંબંધિત ફેરફાર અગાઉના દિવસના શેરની કિંમતની તુલનામાં 3% કરતા વધુ નહીં હોય, તો પછી શું થશે ઘટના A અને B ના સરવાળા સમાન ઘટના છે?

*A) આવતીકાલના ટ્રેડિંગમાં કંપનીના શેરની કિંમત 25 રુબેલ્સથી ઓછી નહીં હોય. અથવા શેરની કિંમતમાં સાપેક્ષ ફેરફાર પાછલા દિવસના શેરની કિંમતની સરખામણીમાં 3% થી વધુ નહીં હોય
બી) આવતીકાલના ટ્રેડિંગમાં કંપનીના શેરની કિંમત 25 રુબેલ્સથી ઓછી રહેશે નહીં. અને શેરની કિંમતમાં સાપેક્ષ ફેરફાર પાછલા દિવસના શેરની કિંમતની સરખામણીમાં 3% થી વધુ નહીં હોય

ઉકેલ. વ્યાખ્યા 6 થી તે અનુસરે છે કે "ઘટના A અને B નો સરવાળો" કહેવું "ઇવેન્ટ A અથવા B" કહેવા જેવું જ છે, એટલે કે. સાચો જવાબ એ છે.

1.4.1.13.3 રેન્ડમ ઇવેન્ટ A એ છે કે આવતીકાલના ટ્રેડિંગમાં કંપનીના શેરની કિંમત 25 રુબેલ્સ કરતાં ઓછી નહીં હોય. નીચેનામાંથી, રેન્ડમ ઘટના A થી વધારાની રેન્ડમ ઇવેન્ટ્સ સૂચવો
I આવતીકાલના ટ્રેડિંગમાં કંપનીના શેરની કિંમત 26 રુબેલ્સ હશે.
II આવતીકાલના ટ્રેડિંગમાં કંપનીના શેરની કિંમત 26 રુબેલ્સથી વધુ નહીં હોય.
III આવતીકાલના ટ્રેડિંગમાં કંપનીના શેરની કિંમત 26 રુબેલ્સ કરતાં વધી જશે.

એ) ફક્ત હું
બી) માત્ર II
B) માત્ર I અને III
*D) ઉપરોક્તમાંથી કોઈ નહીં

ઉકેલ. સાચો જવાબ જાતે લખવો અને પછી કયા અક્ષર હેઠળ સાચો જવાબ આપવામાં આવ્યો છે તે જોવું ઘણીવાર સરળ હોય છે.

શાળાના ગણિતના પ્રતીકોમાં, અમારી ઇવેન્ટ A = (કાલની હરાજીમાં સ્ટોકની કિંમત 25 રુબેલ્સથી ઓછી નહીં હોય) =

તે સ્પષ્ટ છે કે આમાંથી કોઈ પણ ઘટના B, C, D ઘટના સાથે સુસંગત નથી “ એ નથી” = }