વર્ણપટની ઘનતાની ગણતરી કેવી રીતે કરવી. ફોરિયરની જોડી પરિવર્તન કરે છે

સિગ્નલ સ્પેક્ટ્રમ પર ઊર્જાના વિતરણને દર્શાવતો જથ્થો અને ઊર્જા કહેવાય છે વર્ણપટની ઘનતા, ફક્ત એવા સંકેતો માટે જ અસ્તિત્વમાં છે કે જેની ઊર્જા અનંત સમય અંતરાલ પર મર્યાદિત હોય છે અને તેથી, ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ તેમને લાગુ પડે છે.

સમયસર ક્ષીણ થતા નથી તેવા સંકેતો માટે, ઉર્જા અનંત મોટી છે અને અભિન્ન (1.54) અલગ પડે છે. કંપનવિસ્તાર સ્પેક્ટ્રમ સ્પષ્ટ કરવું શક્ય નથી. જો કે, સરેરાશ શક્તિ Рср, સંબંધ દ્વારા નિર્ધારિત

મર્યાદિત હોવાનું બહાર આવ્યું છે. તેથી, વધુ વ્યાપક ખ્યાલ"પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા". ચાલો તેને આવર્તનના સંદર્ભમાં સરેરાશ સિગ્નલ પાવરના વ્યુત્પન્ન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ અને તેને Сk(п) તરીકે દર્શાવીએ:

ઇન્ડેક્સ k ભાર મૂકે છે કે અહીં આપણે પાવર સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટીને સિગ્નલના અમલીકરણનું વર્ણન કરતા નિર્ધારિત કાર્ય u(t) ની લાક્ષણિકતા તરીકે ગણીએ છીએ.

આ સિગ્નલ લાક્ષણિકતા કંપનવિસ્તાર વર્ણપટની ઘનતા કરતાં ઓછી અર્થપૂર્ણ છે, કારણ કે તે તબક્કાની માહિતીથી વંચિત છે [જુઓ. (1.38)]. તેથી, તેમાંથી મૂળ સિગ્નલ અમલીકરણને અસ્પષ્ટપણે પુનઃનિર્માણ કરવું અશક્ય છે. જો કે, તબક્કાની માહિતીની ગેરહાજરી અમને આ ખ્યાલને સંકેતો પર લાગુ કરવાની મંજૂરી આપે છે જેના માટે તબક્કો વ્યાખ્યાયિત નથી.

વર્ણપટની ઘનતા Сk(ш) અને કંપનવિસ્તાર સ્પેક્ટ્રમ વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરવા માટે, અમે મર્યાદિત સમય અંતરાલ (-T) પર હાજર u(t) સિગ્નલનો ઉપયોગ કરીશું.<. t

સમય-મર્યાદિત સિગ્નલની પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા ક્યાં છે.

તે પછીથી બતાવવામાં આવશે (જુઓ § 1.11) કે ઘણી અનુભૂતિઓ પર આ લાક્ષણિકતાને સરેરાશ કરીને, રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના મોટા વર્ગ માટે પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા પ્રાપ્ત કરવી શક્ય છે.

નિર્ધારિત સંકેતનું સ્વતઃસંબંધ કાર્ય

ફ્રીક્વન્સી ડોમેનમાં હવે બે લાક્ષણિકતાઓ છે: સ્પેક્ટ્રલ રિસ્પોન્સ અને પાવર સ્પેક્ટરલ ડેન્સિટી. સ્પેક્ટ્રલ લાક્ષણિકતા, જે સિગ્નલ u(t) વિશે સંપૂર્ણ માહિતી ધરાવે છે, તે સમય કાર્યના સ્વરૂપમાં ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મને અનુરૂપ છે. ચાલો જાણીએ કે પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા, તબક્કાની માહિતીથી વંચિત, સમયના ડોમેનમાં શું અનુલક્ષે છે.

એવું માની લેવું જોઈએ કે સમાન પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા ઘણા સમયના કાર્યોને અનુરૂપ છે જે તબક્કામાં અલગ પડે છે. સોવિયેત વૈજ્ઞાનિક L.Ya. ખિંચિન અને અમેરિકન વૈજ્ઞાનિક એન. વિનરને લગભગ એકસાથે સ્પેક્ટ્રલ પાવર ડેન્સિટીનું ઇન્વર્સ ફ્યુરિયર રૂપાંતરણ મળ્યું:

ચાલો સામાન્યકૃત સમય ફંક્શન r() કહીએ, જેમાં તબક્કાની માહિતી નથી, સમય ઓટોકોરિલેશન ફંક્શન. તે સમય અંતરાલ દ્વારા અલગ કરાયેલ ફંક્શન u(t) ના મૂલ્યો વચ્ચેના સહસંબંધની ડિગ્રી દર્શાવે છે અને સહસંબંધ ગુણાંકની વિભાવના વિકસાવીને આંકડાકીય સિદ્ધાંતમાંથી મેળવી શકાય છે. નોંધ કરો કે સમયના સહસંબંધ કાર્યમાં, એવરેજિંગ પૂરતા લાંબા સમયગાળાની એક અનુભૂતિની અંદર સમય સાથે કરવામાં આવે છે.

સંપૂર્ણતા માટે, અમે નીચે સ્પેક્ટ્રમ અને વર્ણપટની ઘનતાના ખ્યાલોની ટૂંકમાં ચર્ચા કરીએ છીએ. આ મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલોનો ઉપયોગ વધુ વિગતવાર માં વર્ણવેલ છે. અમે આ પુસ્તકમાં સમય શ્રેણી વિશ્લેષણ માટે તેનો ઉપયોગ કરતા નથી, તેથી આ વિભાગ તમારા પ્રથમ વાંચન પર છોડી શકાય છે.

નમૂના સ્પેક્ટ્રમ. પિરિઓડોગ્રામ (2.2.5) ને વ્યાખ્યાયિત કરતી વખતે, એવું માનવામાં આવે છે કે ફ્રીક્વન્સીઝ મૂળભૂત આવર્તનની હાર્મોનિક્સ છે. સ્પેક્ટ્રમ રજૂ કરીને, અમે આ ધારણાને હળવી કરીએ છીએ અને આવર્તનને 0-0.5 Hz ની રેન્જમાં સતત બદલાવાની મંજૂરી આપીએ છીએ. પિરિયડગ્રામની વ્યાખ્યા નીચે પ્રમાણે સુધારી શકાય છે:

, , (2.2.7)

જ્યાં સેમ્પલ સ્પેક્ટ્રમ કહેવાય છે. પિરિયડગ્રામની જેમ, તેનો ઉપયોગ અવાજમાં છુપાયેલા અજાણ્યા આવર્તનના સાઇનસૉઇડલ ઘટકના કંપનવિસ્તારને શોધવા અને અંદાજ કાઢવા માટે કરી શકાય છે, અને ખરેખર તે વધુ અનુકૂળ છે સિવાય કે આવર્તન શ્રેણીની લંબાઈ સાથે સુમેળમાં સંબંધિત હોવાનું જાણીતું હોય, એટલે કે. વધુમાં, પરિશિષ્ટ A2.1 માં આપેલ મહત્વપૂર્ણ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને વર્ણપટ વિશ્લેષણના સિદ્ધાંત માટે તે પ્રારંભિક બિંદુ છે. આ સંબંધ સેમ્પલ સ્પેક્ટ્રમ વિશ્લેષણ અને ઓટોકોવેરિઅન્સ ફંક્શનના અંદાજો વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે:

. (2.2.8)

આમ, સેમ્પલ સ્પેક્ટ્રમ એ સેમ્પલ ઓટોકોવરીઅન્સ ફંક્શનનું ફોરિયર કોસાઇન ટ્રાન્સફોર્મ છે.

સ્પેક્ટ્રમ. પિરિયોડોગ્રામ અને સેમ્પલ સ્પેક્ટ્રમ અવાજમાં છુપાયેલા સતત ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે સાઈન અને કોસાઈન તરંગોના મિશ્રણ દ્વારા રચાયેલી સમય શ્રેણીનું વિશ્લેષણ કરવા માટે અનુકૂળ ખ્યાલો છે. જો કે, સંપ્રદાયમાં વર્ણવેલ પ્રકારની સ્થિર સમય શ્રેણી. 2.1, આવર્તન, કંપનવિસ્તાર અને તબક્કામાં રેન્ડમ ફેરફારો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. આવી શ્રેણી માટે, નમૂનાના સ્પેક્ટ્રમમાં મોટા પ્રમાણમાં વધઘટ થાય છે અને કોઈપણ વ્યાજબી અર્થઘટનને મંજૂરી આપતું નથી.

ધારો કે, જો કે, નમૂનાના સ્પેક્ટ્રમની ગણતરી અવલોકનોમાંથી સમય શ્રેણી માટે કરવામાં આવી હતી જે સ્થિર સામાન્ય પ્રક્રિયાની અનુભૂતિ છે. ઉપર જણાવ્યા મુજબ, આવી પ્રક્રિયામાં કોઈ નિર્ણાયક સાઈન અથવા કોસાઈન ઘટકો હોતા નથી, પરંતુ અમે ઔપચારિક રીતે ફોરિયર વિશ્લેષણ કરી શકીએ છીએ અને કોઈપણ આવર્તન માટે , માટે મૂલ્યો મેળવી શકીએ છીએ. જો પુનરાવર્તિત અવલોકનો સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે, તો આપણે મૂલ્યોની વસ્તી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને. પછી આપણે લંબાઈની પુનરાવર્તિત અનુભૂતિ કરતાં સરેરાશ શોધી શકીએ છીએ, એટલે કે

. (2.2.9)

મોટા મૂલ્યો માટે, તે બતાવી શકાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, જુઓ) કે પુનરાવર્તિત અમલીકરણમાં ઑટોકોવરિઅન્સનું સરેરાશ મૂલ્ય સૈદ્ધાંતિક ઑટોકોવરિઅન્સ તરફ વલણ ધરાવે છે, એટલે કે.

માટે (2.2.9) માં મર્યાદાને પાર કરીને, અમે પાવર સ્પેક્ટ્રમને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ

, . (2.2.10)

ત્યારથી નોંધ કરો

પછી સ્પેક્ટ્રમ એકરૂપ થવા માટે, તે વૃદ્ધિ સાથે એટલી ઝડપથી ઘટવું જોઈએ કે તે શ્રેણીના કન્વર્જન્સની ખાતરી કરે (2.2.11). પાવર સ્પેક્ટ્રમ એ ઓટોકોવેરિઅન્સ ફંક્શનનું કોસાઈન ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ હોવાથી, ઓટોકોવેરિઅન્સ ફંક્શનને જાણવું એ પાવર સ્પેક્ટ્રમ જાણવા અને તેનાથી વિપરિત ગાણિતિક રીતે સમકક્ષ છે. હવેથી આપણે ફક્ત પાવર સ્પેક્ટ્રમને સ્પેક્ટ્રમ તરીકે ઓળખીશું.

0 થી 1/2 ની રેન્જમાં (2.2.10) ને એકીકૃત કરવાથી, અમે પ્રક્રિયાના વિખેરીને શોધીએ છીએ

. (2.2.12)

તેથી, જેમ પિરિયડગ્રામ બતાવે છે કે કેવી રીતે સાઈન અને કોસાઈન તરંગોના મિશ્રણની શ્રેણીનું વિક્ષેપ (2.2.6) વિવિધ હાર્મોનિક ઘટકોમાં વિતરિત કરવામાં આવે છે, તેમ સ્પેક્ટ્રમ બતાવે છે કે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાના વિક્ષેપ સતત પર કેવી રીતે વિતરિત થાય છે. ફ્રીક્વન્સીઝની શ્રેણી. થી ફ્રિક્વન્સી રેન્જમાં પ્રોસેસ વેરિઅન્સના અંદાજિત મૂલ્ય તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે.

સામાન્યકૃત સ્પેક્ટ્રમ. કેટલીકવાર ઓટોકોવરિઅન્સને બદલે સ્વતઃસંબંધોનો ઉપયોગ કરીને સ્પેક્ટ્રમ (2.2.10) ને વ્યાખ્યાયિત કરવું વધુ અનુકૂળ છે. પરિણામી કાર્ય

, (2.2.13). જો કે, તે બતાવી શકાય છે (જુઓ) કે સ્થિર સમય શ્રેણીના નમૂના સ્પેક્ટ્રમ સૈદ્ધાંતિક સ્પેક્ટ્રમની આસપાસ મજબૂત રીતે વધઘટ કરે છે. આ હકીકત માટે સાહજિક સમજૂતી એ છે કે નમૂનારૂપ સ્પેક્ટ્રમ ફ્રીક્વન્સી ડોમેનમાં ખૂબ સાંકડા અંતરાલનો ઉપયોગ કરવાને અનુરૂપ છે. સંશોધિત, અથવા સુંવાળી, અનુમાનકનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય સંભાવના વિતરણનો અંદાજ કાઢતી વખતે હિસ્ટોગ્રામ માટે ખૂબ સાંકડા બિનિંગ અંતરાલનો ઉપયોગ કરવા માટે આ સમાન છે.

, (2.2.14)

જ્યાં - ખાસ પસંદ કરેલ વજન, જેને સહસંબંધ વિન્ડો કહેવાય છે, તે અંદાજની "બેન્ડવિડ્થ" વધારી શકે છે અને સ્પેક્ટ્રમનો સરળ અંદાજ મેળવી શકે છે.

ફિગ માં. આકૃતિ 2.8 ઉત્પાદન બેચ ડેટાના સ્પેક્ટ્રમનું નમૂના મૂલ્યાંકન દર્શાવે છે. તે જોઈ શકાય છે કે શ્રેણીનું વિક્ષેપ મુખ્યત્વે ઉચ્ચ ફ્રીક્વન્સીઝ પર કેન્દ્રિત છે. આ ફિગમાં બતાવેલ મૂળ શ્રેણીના ઝડપી ઓસિલેશનને કારણે થાય છે. 2.1.

ફંક્શન સામયિક નથી, તેથી તેને ફોરિયર શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરી શકાતું નથી. બીજી બાજુ, ફંક્શન, તેની અમર્યાદિત અવધિને કારણે, એકીકૃત કરી શકાતું નથી અને તેથી તેને ફ્યુરિયર ઇન્ટિગ્રલ દ્વારા રજૂ કરી શકાતું નથી. આ મુશ્કેલીઓ ટાળવા માટે, એક સહાયક કાર્ય રજૂ કરવામાં આવ્યું છે, જે અંતરાલ પરના કાર્ય સાથે એકરુપ છે અને આ અંતરાલની બહાર શૂન્યની બરાબર છે:

(5.15)

ફંક્શન અવિભાજ્ય છે અને તેના માટે ડાયરેક્ટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ છે (ફુરિયર ઇન્ટિગ્રલ):

(5.16)

પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતારેન્ડમ સિગ્નલ (અથવા માત્ર વર્ણપટની ઘનતા ) ને ફોર્મનું કાર્ય કહેવામાં આવે છે:

(5.17)

સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટી એ સિગ્નલ હાર્મોનિક્સના સ્ક્વેર એમ્પ્લીટ્યુડ્સના સરેરાશ મૂલ્યોના વિતરણને દર્શાવતું કાર્ય છે. સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે:

1. સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયા જેટલી ઝડપથી બદલાય છે, તેટલો ગ્રાફ પહોળો થાય છે .

2. સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટી ગ્રાફ પર વ્યક્તિગત શિખરો રેન્ડમ સિગ્નલમાં સામયિક ઘટકોની હાજરી સૂચવે છે.

3. સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા એ એક સમાન કાર્ય છે:

(5.18)

સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા નીચે પ્રમાણે સિગ્નલ વિખેરવા સાથે સંબંધિત છે:

(5.19)

પ્રાયોગિક રીતે, નીચેની યોજના અનુસાર વર્ણપટની ઘનતા નક્કી કરવામાં આવે છે (ગણતરી કરવામાં આવે છે):

ચોખા. 5.6.

સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા નીચેના અભિવ્યક્તિ દ્વારા સહસંબંધ કાર્ય સાથે સંબંધિત છે (ખિનચિન-વિનર પ્રમેય અનુસાર):

(5.20)

(5.21)

જો આપણે પરિબળોને વિસ્તૃત કરીએ અને યુલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ અને ધ્યાનમાં લઈએ કે , અને સમાન કાર્યો છે, અને એક વિચિત્ર કાર્ય છે, તો અભિવ્યક્તિઓ (5.20), (5.21) નીચેના સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે:

(5.22)

(5.23)

અભિવ્યક્તિઓ (5.23), (5.24) વ્યવહારિક ગણતરીઓમાં વપરાય છે. તે જોવાનું સરળ છે કે જ્યારે અભિવ્યક્તિ (5.24) સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાના વિક્ષેપને નિર્ધારિત કરે છે:

(5.24)

કોરિલેશન ફંક્શન અને વર્ણપટની ઘનતાને જોડતા સંબંધોમાં ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મમાં અંતર્ગત તમામ ગુણધર્મો હોય છે અને તે નીચેની તુલનાત્મક લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરે છે: આલેખ જેટલો પહોળો, ગ્રાફ જેટલો સાંકડો, અને ઊલટું, ફંક્શન જેટલું ઝડપી ઘટે છે, તેટલું ધીમા કાર્ય ઘટે છે. . આ સંબંધ ફિગ (5.7), (5.8) માં ગ્રાફિક્સ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

ચોખા. 5.7.

ચોખા. 5.8.

બંને આકૃતિઓમાં લીટી 1 ધીમે ધીમે બદલાતા રેન્ડમ સિગ્નલને અનુરૂપ છે, જેનું વર્ણપટ ઓછી-આવર્તન હાર્મોનિક્સ દ્વારા પ્રભુત્વ ધરાવે છે. લાઇન્સ 2 ઝડપથી બદલાતા સિગ્નલને અનુરૂપ છે, જેનો સ્પેક્ટ્રમ ઉચ્ચ-આવર્તન હાર્મોનિક્સ દ્વારા પ્રભુત્વ ધરાવે છે.

જો રેન્ડમ સિગ્નલ સમય જતાં ખૂબ જ તીવ્રપણે બદલાય છે અને તેના અગાઉના અને અનુગામી મૂલ્યો વચ્ચે વ્યવહારીક રીતે કોઈ સંબંધ નથી, તો સહસંબંધ કાર્ય ડેલ્ટા ફંક્શન (લાઇન 3) નું સ્વરૂપ ધરાવે છે. આ કિસ્સામાં સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા ગ્રાફ શ્રેણીમાં આડી રેખા દર્શાવે છે. આ સૂચવે છે કે હાર્મોનિક કંપનવિસ્તાર સમગ્ર આવર્તન શ્રેણીમાં સમાન છે. આ સિગ્નલ કહેવાય છે સફેદ અવાજ (સફેદ પ્રકાશ સાથે સામ્યતા દ્વારા, જેમાં, જેમ જાણીતું છે, તમામ ઘટકોની તીવ્રતા સમાન છે).

"સફેદ અવાજ" ની વિભાવના એ ગાણિતિક અમૂર્ત છે. ભૌતિક રીતે, સફેદ ઘોંઘાટના રૂપમાં સંકેતો શક્ય નથી, કારણ કે અનંત વિશાળ સ્પેક્ટ્રમ અનંત વિશાળ વિક્ષેપને અનુલક્ષે છે, અને તેથી અનંત મોટી શક્તિ છે. જો કે, ઘણીવાર મર્યાદિત સ્પેક્ટ્રમ ધરાવતી વાસ્તવિક સિસ્ટમોને લગભગ સફેદ અવાજ તરીકે ગણી શકાય. આ સરળીકરણ એવા કિસ્સાઓમાં માન્ય છે કે જ્યાં સિગ્નલનું સ્પેક્ટ્રમ સિસ્ટમની બેન્ડવિડ્થ કરતાં ઘણું વિશાળ છે જેના પર સિગ્નલ કાર્ય કરે છે.

સિગ્નલ દો s(t) નોન-સામયિક કાર્ય તરીકે ઉલ્લેખિત છે, અને તે માત્ર અંતરાલ પર જ અસ્તિત્વમાં છે ( t 1 ,t 2) (ઉદાહરણ - એક પલ્સ). ચાલો મનસ્વી સમયગાળો પસંદ કરીએ ટી, અંતરાલ સહિત ( t 1 ,t 2) (ફિગ 1 જુઓ).

ચાલો આપણે મેળવેલ સામયિક સંકેતને સૂચિત કરીએ s(t), ફોર્મમાં ( t). પછી આપણે તેના માટે ફોરિયર શ્રેણી લખી શકીએ છીએ

ફંક્શનમાં જવા માટે s(t) અભિવ્યક્તિમાં અનુસરે છે ( t) સમયગાળાને અનંત તરફ દિશામાન કરો. આ કિસ્સામાં, ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે હાર્મોનિક ઘટકોની સંખ્યા ડબલ્યુ=n 2પી/ટીઅનંતપણે મોટું હશે, તેમની વચ્ચેનું અંતર શૂન્ય (અનંત મૂલ્ય સુધી:

ઘટકોના કંપનવિસ્તાર પણ અનંત હશે. તેથી, આવા સિગ્નલના સ્પેક્ટ્રમ વિશે વાત કરવી હવે શક્ય નથી, કારણ કે સ્પેક્ટ્રમ સતત બને છે.

આંતરિક અભિન્ન એ આવર્તનનું કાર્ય છે. તેને સિગ્નલની વર્ણપટની ઘનતા અથવા સિગ્નલની આવર્તન પ્રતિભાવ કહેવામાં આવે છે અને તેને નિયુક્ત કરવામાં આવે છે એટલે કે.

સામાન્યતા માટે, એકીકરણની મર્યાદા અનંત પર સેટ કરી શકાય છે, કારણ કે તે બધું સમાન છે જ્યાં s(t) શૂન્યની બરાબર છે, અને પૂર્ણાંક શૂન્યની બરાબર છે.

વર્ણપટની ઘનતા માટેની અભિવ્યક્તિને ડાયરેક્ટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ કહેવામાં આવે છે. વ્યસ્ત ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ તેના વર્ણપટની ઘનતા પરથી સિગ્નલનું સમય કાર્ય નક્કી કરે છે

ડાયરેક્ટ (*) અને ઇન્વર્સ (**) ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સને એકસાથે ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સની જોડી કહેવામાં આવે છે. સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા મોડ્યુલ

સિગ્નલના કંપનવિસ્તાર-આવર્તન પ્રતિભાવ (એએફસી) અને તેની દલીલ નક્કી કરે છે સિગ્નલનો ફેઝ-ફ્રિકવન્સી રિસ્પોન્સ (PFC) કહેવાય છે. સિગ્નલનો આવર્તન પ્રતિભાવ એક સમાન કાર્ય છે, અને તબક્કા પ્રતિભાવ એક વિચિત્ર છે.

મોડ્યુલનો અર્થ એસ(ડબલ્યુ) એ અનંત સાંકડા ફ્રીક્વન્સી બેન્ડમાં 1 હર્ટ્ઝ દીઠ સિગ્નલ (વર્તમાન અથવા વોલ્ટેજ) ના કંપનવિસ્તાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમાં પ્રશ્નમાં આવર્તનનો સમાવેશ થાય છે ડબલ્યુ. તેનું પરિમાણ [સિગ્નલ/ફ્રિકવન્સી] છે.

સિગ્નલનું એનર્જી સ્પેક્ટ્રમ.જો ફંક્શન s(t) પાસે ફોરિયર સિગ્નલ પાવર ડેન્સિટી ( સંકેત ઊર્જા સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા) અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2  |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)

પાવર સ્પેક્ટ્રમ એ W()-વાસ્તવિક બિન-નેગેટિવ ઇવન ફંક્શન છે, જેને સામાન્ય રીતે એનર્જી સ્પેક્ટ્રમ કહેવામાં આવે છે. પાવર સ્પેક્ટ્રમ, સિગ્નલની સ્પેક્ટ્રલ ઘનતાના મોડ્યુલસના ચોરસ તરીકે, તેના આવર્તન ઘટકો વિશે તબક્કાની માહિતી ધરાવતું નથી, અને તેથી, પાવર સ્પેક્ટ્રમમાંથી સિગ્નલનું પુનર્નિર્માણ અશક્ય છે. આનો અર્થ એ પણ થાય છે કે વિવિધ તબક્કાની લાક્ષણિકતાઓવાળા સિગ્નલોમાં સમાન પાવર સ્પેક્ટ્રા હોઈ શકે છે. ખાસ કરીને, સિગ્નલ શિફ્ટ તેના પાવર સ્પેક્ટ્રમને અસર કરતું નથી. બાદમાં આપણને અભિવ્યક્તિ (5.2.7) માંથી સીધા જ ઊર્જા સ્પેક્ટ્રમ માટે અભિવ્યક્તિ મેળવવાની મંજૂરી આપે છે. મર્યાદામાં, શિફ્ટ t 0 સાથે સમાન સંકેતો u(t) અને v(t) માટે, સ્પેક્ટ્રમ Wuv () નો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય મૂલ્યો તરફ વલણ ધરાવે છે, અને વાસ્તવિક ભાગ સ્પેક્ટ્રમ મોડ્યુલસના મૂલ્યો તરફ વલણ ધરાવે છે. . સંકેતોના સંપૂર્ણ ટેમ્પોરલ સંયોજન સાથે અમારી પાસે છે:

તે સિગ્નલ એનર્જી તેના ફ્રીક્વન્સી સ્પેક્ટ્રમના સ્ક્વેર્ડ મોડ્યુલસના ઇન્ટિગ્રલ જેટલી હોય છે - તેના આવર્તન ઘટકોની ઊર્જાનો સરવાળો, અને તે હંમેશા વાસ્તવિક મૂલ્ય હોય છે.

મનસ્વી સંકેત s(t) માટે સમાનતા

સામાન્ય રીતે પારસેવલની સમાનતા કહેવાય છે (ગણિતમાં - પ્લાનચેરેલનું પ્રમેય, ભૌતિકશાસ્ત્રમાં - રેલેનું સૂત્ર). સમાનતા સ્પષ્ટ છે, કારણ કે સંકલન અને આવર્તન રજૂઆતો આવશ્યકપણે સમાન સિગ્નલની માત્ર અલગ ગાણિતિક રજૂઆતો છે. એ જ રીતે બે સંકેતોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાની ઊર્જા માટે:

પાર્સેવલની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે સિગ્નલોનું સ્કેલર ઉત્પાદન અને ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મના સંદર્ભમાં ધોરણ અપરિવર્તનશીલ છે:

સિગ્નલના રેકોર્ડિંગ અને ટ્રાન્સમિટિંગની અસંખ્ય શુદ્ધ વ્યવહારિક સમસ્યાઓમાં, સિગ્નલનું ઉર્જા સ્પેક્ટ્રમ ખૂબ જ નોંધપાત્ર છે. સામયિક સંકેતોને સ્પેક્ટ્રલ પ્રદેશમાં ફ્યુરિયર શ્રેણીના સ્વરૂપમાં અનુવાદિત કરવામાં આવે છે. ચાલો જટિલ સ્વરૂપમાં ફોરિયર શ્રેણીના સ્વરૂપમાં પીરિયડ T સાથે સામયિક સંકેત લખીએ:

અંતરાલ 0-T માં તમામ પૂર્ણાંક ઘાતાંકના સમયગાળાની પૂર્ણાંક સંખ્યા હોય છે, અને તે k = -m પરના ઘાતાંકીયના અપવાદ સાથે શૂન્યની બરાબર હોય છે, જેના માટે પૂર્ણાંક T ની બરાબર હોય છે. તદનુસાર, a ની સરેરાશ ઘાત સામયિક સિગ્નલ તેની ફોરિયર શ્રેણીના ગુણાંકના ચોરસ મોડ્યુલોના સરવાળા સમાન છે:

સિગ્નલનું એનર્જી સ્પેક્ટ્રમ - આ મૂળભૂત સિગ્નલોની ઊર્જાનું વિતરણ છે જે ફ્રીક્વન્સી અક્ષ પર બિન-હાર્મોનિક સિગ્નલ બનાવે છે. ગાણિતિક રીતે, સિગ્નલનું ઊર્જા વર્ણપટ સ્પેક્ટ્રલ ફંક્શનના મોડ્યુલસના ચોરસ જેટલું છે:

તદનુસાર, કંપનવિસ્તાર-આવર્તન સ્પેક્ટ્રમ આવર્તન ધરી પરના મૂળભૂત સંકેતોના ઘટકોના કંપનવિસ્તારનો સમૂહ બતાવે છે, અને તબક્કા-આવર્તન સ્પેક્ટ્રમ તબક્કાઓનો સમૂહ દર્શાવે છે.

સ્પેક્ટ્રલ ફંક્શનના મોડ્યુલસને ઘણીવાર કહેવામાં આવે છે કંપનવિસ્તાર સ્પેક્ટ્રમ, અને તેની દલીલ છે તબક્કો સ્પેક્ટ્રમ.

વધુમાં, ત્યાં એક ઇન્વર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ છે જે તમને તેના વર્ણપટના કાર્યને જાણીને મૂળ સિગ્નલને પુનઃસ્થાપિત કરવાની મંજૂરી આપે છે:

ઉદાહરણ તરીકે, એક લંબચોરસ આવેગ લો:

સ્પેક્ટ્રાનું બીજું ઉદાહરણ:

Nyquist આવર્તન, Kotelnikov પ્રમેય .

Nyquist આવર્તન - ડિજિટલ સિગ્નલ પ્રોસેસિંગમાં, સેમ્પલિંગ ફ્રિક્વન્સીના અડધા જેટલી આવર્તન. હેરી Nyquist પછી નામ આપવામાં આવ્યું. કોટેલનિકોવના પ્રમેયમાંથી તે અનુસરે છે કે જ્યારે એનાલોગ સિગ્નલનું નમૂના લેતી વખતે, સિગ્નલનું સ્પેક્ટ્રમ (સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા) Nyquist ફ્રિકવન્સી કરતાં બરાબર અથવા ઓછું હોય તો જ માહિતીની ખોટ થશે નહીં. નહિંતર, એનાલોગ સિગ્નલને પુનઃસ્થાપિત કરતી વખતે, સ્પેક્ટ્રલ "પૂંછડીઓ" (ફ્રીક્વન્સી અવેજી, ફ્રીક્વન્સી માસ્કિંગ) નું ઓવરલેપ હશે અને પુનઃસ્થાપિત સિગ્નલનો આકાર વિકૃત થશે. જો સિગ્નલ સ્પેક્ટ્રમમાં Nyquist આવર્તનથી ઉપર કોઈ ઘટકો નથી, તો તે (સૈદ્ધાંતિક રીતે) નમૂના લઈ શકાય છે અને પછી વિકૃતિ વિના પુનઃનિર્માણ કરી શકાય છે. વાસ્તવમાં, સિગ્નલનું "ડિજિટાઇઝેશન" (એનાલોગ સિગ્નલનું ડિજિટલમાં રૂપાંતર) એ નમૂનાઓના પરિમાણ સાથે સંકળાયેલું છે - દરેક નમૂના મર્યાદિત બીટ ઊંડાઈના ડિજિટલ કોડના રૂપમાં લખાયેલ છે, જેના પરિણામે ક્વોન્ટાઈઝેશન (રાઉન્ડિંગ) ભૂલો નમૂનાઓમાં ઉમેરવામાં આવે છે, અમુક શરતો હેઠળ "ક્વોન્ટાઇઝેશન અવાજ" તરીકે ગણવામાં આવે છે.

મર્યાદિત અવધિના વાસ્તવિક સંકેતોમાં હંમેશા અનંત વિશાળ સ્પેક્ટ્રમ હોય છે, જે વધતી આવર્તન સાથે વધુ કે ઓછા ઝડપથી ઘટે છે. તેથી, સિગ્નલ સેમ્પલિંગ હંમેશા માહિતીની ખોટ તરફ દોરી જાય છે (સેમ્પલિંગ અને પુનઃનિર્માણ દરમિયાન સિગ્નલના આકારની વિકૃતિ), પછી ભલેને નમૂનાની આવર્તન કેટલી ઊંચી હોય. પસંદ કરેલ નમૂનાના દરે, Nyquist આવર્તનથી ઉપરના એનાલોગ સિગ્નલ (પ્રી-સેમ્પલિંગ) ના સ્પેક્ટ્રલ ઘટકોને દબાવીને વિકૃતિ ઘટાડી શકાય છે, જેને એલિયાસિંગ ટાળવા માટે ખૂબ જ ઉચ્ચ-ક્રમના ફિલ્ટરની જરૂર છે. આવા ફિલ્ટરનું વ્યવહારુ અમલીકરણ ખૂબ જ જટિલ છે, કારણ કે ફિલ્ટર્સની કંપનવિસ્તાર-આવર્તન લાક્ષણિકતાઓ લંબચોરસ નથી, પરંતુ સરળ છે, અને પાસબેન્ડ અને સપ્રેસન બેન્ડ વચ્ચે ચોક્કસ સંક્રમણ આવર્તન બેન્ડ રચાય છે. તેથી, નમૂનાની આવર્તન માર્જિન સાથે પસંદ કરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ઑડિઓ સીડીમાં 44,100 હર્ટ્ઝની નમૂનાની આવર્તનનો ઉપયોગ થાય છે, જ્યારે ઑડિઓ સિગ્નલોના સ્પેક્ટ્રમમાં સૌથી વધુ આવર્તન 20,000 હર્ટ્ઝ ગણવામાં આવે છે. 44100 / 2 - 20000 = 2050 Hz નો Nyquist આવર્તન માર્જિન તમને અમલમાં મૂકાયેલ લો-ઓર્ડર ફિલ્ટરનો ઉપયોગ કરતી વખતે આવર્તન અવેજીકરણને ટાળવા દે છે.

કોટેલનિકોવનું પ્રમેય

નાના વિકૃતિઓ (ભૂલો) સાથેના નમૂનામાંથી મૂળ સતત સિગ્નલને પુનઃસ્થાપિત કરવા માટે, નમૂના લેવાનું પગલું તર્કસંગત રીતે પસંદ કરવું જરૂરી છે. તેથી, જ્યારે એનાલોગ સિગ્નલને અલગમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે સેમ્પલિંગ સ્ટેપના કદનો પ્રશ્ન સાહજિક રીતે ઉદ્ભવે છે, નીચેના વિચારને સમજવો મુશ્કેલ નથી. જો એનાલોગ સિગ્નલમાં ચોક્કસ ઉપલા આવર્તન Fe દ્વારા મર્યાદિત ઓછી-આવર્તન સ્પેક્ટ્રમ હોય (એટલે ​​​​કે, ફંક્શન u(t) કંપનવિસ્તારમાં તીવ્ર ફેરફારો વિના, સરળ રીતે બદલાતા વળાંકનું સ્વરૂપ ધરાવે છે), તો તે અસંભવિત છે કે આ કાર્ય કરી શકે છે. કેટલાક નાના નમૂના સમય અંતરાલ પર નોંધપાત્ર રીતે બદલો. તે તદ્દન સ્પષ્ટ છે કે તેના નમૂનાઓના ક્રમમાંથી એનાલોગ સિગ્નલને પુનઃનિર્માણ કરવાની ચોકસાઈ સેમ્પલિંગ અંતરાલના કદ પર આધારિત છે, તે જેટલું ઓછું હશે, તેટલું ઓછું કાર્ય u(t) નમૂનામાંથી પસાર થતા સરળ વળાંકથી અલગ હશે. પોઈન્ટ જો કે, જેમ જેમ સેમ્પલિંગ અંતરાલ ઘટે છે તેમ, પ્રોસેસિંગ સાધનોની જટિલતા અને વોલ્યુમ નોંધપાત્ર રીતે વધે છે. જો સેમ્પલિંગ અંતરાલ પૂરતો મોટો હોય, તો એનાલોગ સિગ્નલનું પુનર્નિર્માણ કરતી વખતે વિકૃતિ અથવા માહિતી ગુમાવવાની સંભાવના વધે છે. નમૂનાના અંતરાલનું શ્રેષ્ઠ મૂલ્ય કોટેલનિકોવના પ્રમેય દ્વારા સ્થાપિત કરવામાં આવે છે (અન્ય નામો સેમ્પલિંગ પ્રમેય, કે. શેનોનનું પ્રમેય, X. નાયક્વિસ્ટનું પ્રમેય છે: પ્રમેય પ્રથમ વખત ઓ. કોચીના ગણિતમાં શોધાયો હતો, અને પછી ડી દ્વારા ફરીથી વર્ણવવામાં આવ્યો હતો. કાર્સન અને આર. હાર્ટલી), તેમના દ્વારા 1933 માં સાબિત થયેલ વી. એ. કોટેલનિકોવના પ્રમેયમાં મહત્વપૂર્ણ સૈદ્ધાંતિક અને વ્યવહારિક મહત્વ છે: તે એનાલોગ સિગ્નલને યોગ્ય રીતે નમૂના લેવાનું શક્ય બનાવે છે અને નમૂનાના મૂલ્યોમાંથી પ્રાપ્ત થતા અંતે તેને પુનઃસ્થાપિત કરવાની શ્રેષ્ઠ રીત નક્કી કરે છે.

કોટેલનિકોવના પ્રમેયના સૌથી પ્રસિદ્ધ અને સરળ અર્થઘટનમાંના એક અનુસાર, એક મનસ્વી સંકેત u(t), જેનું સ્પેક્ટ્રમ ચોક્કસ આવર્તન Fe દ્વારા મર્યાદિત હોય છે, તેને તેના સંદર્ભ મૂલ્યોના ક્રમથી સંપૂર્ણપણે પુનઃનિર્માણ કરી શકાય છે. અંતરાલ

રેડિયો એન્જિનિયરિંગમાં સેમ્પલિંગ ઈન્ટરવલ અને ફ્રીક્વન્સી Fe(1)ને અનુક્રમે ઈન્ટરવલ અને Nyquist ફ્રીક્વન્સી કહેવામાં આવે છે. વિશ્લેષણાત્મક રીતે, કોટેલનિકોવનું પ્રમેય આગળ પ્રસ્તુત છે

જ્યાં k નમૂના નંબર છે; - સંદર્ભ બિંદુઓ પર સિગ્નલ મૂલ્ય - સિગ્નલ સ્પેક્ટ્રમની ઉપરની આવર્તન.

અલગ સિગ્નલોની આવર્તન રજૂઆત .

મોટાભાગના સિગ્નલોને ફોરિયર શ્રેણી તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:

આંકડાકીય રેડિયો એન્જિનિયરિંગ અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, જ્યારે નિર્ણાયક સંકેતો અને રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, ત્યારે સ્પેક્ટરલ ઘનતાના સ્વરૂપમાં તેમની સ્પેક્ટ્રલ રજૂઆત, જે ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ પર આધારિત છે, તેનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.

જો પ્રક્રિયા $x(t)$મર્યાદિત ઊર્જા ધરાવે છે અને તે ચતુર્ભુજ રીતે એકીકૃત છે (અને આ એક બિન-સ્થિર પ્રક્રિયા છે), તો પછી પ્રક્રિયાના એક અમલીકરણ માટે ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મને આવર્તનના રેન્ડમ જટિલ કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે:

કાર્ય $S\_x(f)=|X(f)|^2$આમ આવર્તન અક્ષ સાથે અમલીકરણ ઊર્જાના વિતરણને લાક્ષણિકતા આપે છે અને તેને અમલીકરણની સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા કહેવામાં આવે છે. તમામ અમલીકરણો પર આ કાર્યની સરેરાશ કરીને, પ્રક્રિયાની વર્ણપટની ઘનતા મેળવી શકાય છે.

ચાલો હવે સ્થિર, વ્યાપક અર્થમાં, કેન્દ્રિત રેન્ડમ પ્રક્રિયા તરફ વળીએ $x(t)$, જેની અનુભૂતિઓ સંભાવના 1 સાથે અનંત ઊર્જા ધરાવે છે અને તેથી, ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ નથી. આવી પ્રક્રિયાની પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા વિનર-ખિનચિન પ્રમેયના આધારે સહસંબંધ કાર્યના ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ તરીકે શોધી શકાય છે:

જો આપણે અનુક્રમે (3) અને (4) સૂત્રોમાં ધારીએ $f=0$અને $\backslash tau=0$, અમારી પાસે છે

ફોર્મ્યુલા (6), (2) ને ધ્યાનમાં લેતા, બતાવે છે કે વિક્ષેપ સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાની કુલ ઉર્જા નક્કી કરે છે, જે સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા વળાંક હેઠળના વિસ્તારની બરાબર છે. પરિમાણીય મૂલ્ય $S\_x(f)df$થી નાની આવર્તન શ્રેણીમાં કેન્દ્રિત ઊર્જાના અપૂર્ણાંક તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે $f-df/2$થી $f+df/2$. જો આપણે દ્વારા અર્થ થાય છે $x(t)$રેન્ડમ (વધઘટ) વર્તમાન અથવા વોલ્ટેજ, પછી મૂલ્ય $S\_x(f)$ઊર્જા પરિમાણ [V 2 /Hz] = [V 2 s] હશે. તેથી જ $S\_x(f)$ક્યારેક કહેવાય છે ઊર્જા સ્પેક્ટ્રમ. સાહિત્યમાં તમે ઘણીવાર અન્ય અર્થઘટન શોધી શકો છો: $\backslash sigma\_x^2$- 1 ઓહ્મના પ્રતિકારમાં વર્તમાન અથવા વોલ્ટેજ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી સરેરાશ શક્તિ તરીકે ગણવામાં આવે છે. તે જ સમયે, મૂલ્ય $S\_x(f)$કહેવાય છે પાવર સ્પેક્ટ્રમરેન્ડમ પ્રક્રિયા.

સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા ગુણધર્મો

• સ્થિર પ્રક્રિયા (વાસ્તવિક અથવા જટિલ) નું ઊર્જા વર્ણપટ એ બિન-નકારાત્મક જથ્થો છે:

• સહસંબંધ કાર્ય $k\_x(\backslash tau)$અને ઊર્જા સ્પેક્ટ્રમ $S\_x(f)$વ્યાપક અર્થમાં અવ્યવસ્થિત પ્રક્રિયામાં સ્થિરમાં મ્યુચ્યુઅલ ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સની જોડીની તમામ લાક્ષણિકતાઓ હોય છે. ખાસ કરીને, "વિશાળ" સ્પેક્ટ્રમ $S\_x(f)$"સંકુચિત" સહસંબંધ કાર્ય $k\_x(\backslash tau)$, અને ઊલટું. આ પરિણામને સિદ્ધાંત અથવા અનિશ્ચિતતા સંબંધ તરીકે માપવામાં આવે છે.

પણ જુઓ

લેખ "સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટી" વિશે સમીક્ષા લખો

સાહિત્ય

1. ઝ્યુકો, એ. જી.સિગ્નલ ટ્રાન્સમિશનનો સિદ્ધાંત / એ. જી. ઝ્યુકો [એટ અલ.]. - એમ.: કોમ્યુનિકેશન, 1980. - 288 પૃષ્ઠ.
2. ટીખોનોવ, વી. આઈ.આંકડાકીય વિશ્લેષણ અને રેડિયો એન્જિનિયરિંગ ઉપકરણો અને સિસ્ટમોનું સંશ્લેષણ / V. I. Tikhonov, V. N. Kharisov. - એમ.: રેડિયો અને સંચાર, 2004. - 608 પૃષ્ઠ. - ISBN 5-256-01701-2.
3. ટીખોનોવ, વી. આઈ.રેડિયો એન્જિનિયરિંગ ઉપકરણોનો આંકડાકીય સિદ્ધાંત / V. I. Tikhonov, N. Bakaev. - એમ.: એકેડેમી નામ આપવામાં આવ્યું છે. પ્રો. એન.ઇ. ઝુકોવ્સ્કી, 1978. - 420 પૃ.

સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટીને દર્શાવતો એક અવતરણ