તર્કસંગત અને અતાર્કિક ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓના ઉદાહરણો. સંખ્યા શક્તિ: વ્યાખ્યાઓ, સંકેત, ઉદાહરણો

તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિ

ખાસ્યાનોવા ટી.જી.,

ગણિત શિક્ષક

પ્રસ્તુત સામગ્રી ગણિતના શિક્ષકોને “તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ઘાતાંક” વિષયનો અભ્યાસ કરતી વખતે ઉપયોગી થશે.

પ્રસ્તુત સામગ્રીનો હેતુ: "ગણિત" શિસ્તના કાર્ય કાર્યક્રમના "તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી" વિષય પર પાઠ ચલાવવાના મારા અનુભવને જાહેર કરવા.

પાઠ ચલાવવા માટેની પદ્ધતિ તેના પ્રકારને અનુરૂપ છે - નવા જ્ઞાનનો અભ્યાસ અને પ્રારંભમાં એકીકૃત કરવાનો પાઠ. મૂળભૂત જ્ઞાન અને કૌશલ્યો અગાઉ મેળવેલ અનુભવના આધારે અપડેટ કરવામાં આવ્યા હતા; પ્રાથમિક યાદ, એકત્રીકરણ અને નવી માહિતીનો ઉપયોગ. એકત્રીકરણ અને નવી સામગ્રીનો ઉપયોગ સમસ્યાઓના નિરાકરણના સ્વરૂપમાં થયો હતો જે મેં વિવિધ જટિલતાઓનું પરીક્ષણ કર્યું હતું, જે વિષયમાં નિપુણતા મેળવવામાં સકારાત્મક પરિણામ આપે છે.

પાઠની શરૂઆતમાં, મેં વિદ્યાર્થીઓ માટે નીચેના લક્ષ્યો નક્કી કર્યા છે: શૈક્ષણિક, વિકાસલક્ષી, શૈક્ષણિક. પાઠ દરમિયાન મેં પ્રવૃત્તિની વિવિધ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કર્યો: આગળનો, વ્યક્તિગત, જોડી, સ્વતંત્ર, પરીક્ષણ. કાર્યોને અલગ પાડવામાં આવ્યા હતા અને પાઠના દરેક તબક્કે, જ્ઞાન પ્રાપ્તિની ડિગ્રીને ઓળખવાનું શક્ય બનાવ્યું હતું. કાર્યોની માત્રા અને જટિલતા વિદ્યાર્થીઓની વય લાક્ષણિકતાઓને અનુરૂપ છે. મારા અનુભવ પરથી, હોમવર્ક, વર્ગખંડમાં હલ કરવામાં આવતી સમસ્યાઓની જેમ, તમને હસ્તગત જ્ઞાન અને કુશળતાને વિશ્વસનીય રીતે એકીકૃત કરવાની મંજૂરી આપે છે. પાઠના અંતે, પ્રતિબિંબ હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું અને વ્યક્તિગત વિદ્યાર્થીઓના કાર્યનું મૂલ્યાંકન કરવામાં આવ્યું હતું.

ધ્યેયો સિદ્ધ થયા. વિદ્યાર્થીઓએ તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની વિભાવના અને ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કર્યો, અને વ્યવહારિક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે આ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવાનું શીખ્યા. સ્વતંત્ર કાર્ય માટે, આગામી પાઠ પર ગ્રેડની જાહેરાત કરવામાં આવે છે.

હું માનું છું કે ગણિત શીખવવા માટે હું જે પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરું છું તેનો ગણિતના શિક્ષકો ઉપયોગ કરી શકે છે.

પાઠનો વિષય: તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિ

પાઠનો ઉદ્દેશ્ય:

જ્ઞાન અને કૌશલ્યોના સંકુલમાં વિદ્યાર્થીઓની નિપુણતાના સ્તરને ઓળખવા અને તેના આધારે, શૈક્ષણિક પ્રક્રિયાને સુધારવા માટે ચોક્કસ ઉકેલો લાગુ કરવા.

પાઠ હેતુઓ:

શૈક્ષણિક:મૂળભૂત વિભાવનાઓ, નિયમો, તર્કસંગત સૂચક સાથે ડિગ્રી નક્કી કરવા માટેના કાયદાના વિદ્યાર્થીઓમાં નવું જ્ઞાન રચવું, પ્રમાણભૂત પરિસ્થિતિઓમાં, સુધારેલી અને બિન-માનક પરિસ્થિતિઓમાં સ્વતંત્ર રીતે જ્ઞાનને લાગુ કરવાની ક્ષમતા;

વિકાસશીલ:તાર્કિક રીતે વિચારો અને સર્જનાત્મક ક્ષમતાઓનો અહેસાસ કરો;

ઉછેર:ગણિતમાં રસ કેળવો, તમારી શબ્દભંડોળને નવા શબ્દોથી ભરો અને તમારી આસપાસની દુનિયા વિશે વધારાની માહિતી મેળવો. ધીરજ, ખંત અને મુશ્કેલીઓ દૂર કરવાની ક્ષમતા કેળવો.

સંસ્થાકીય ક્ષણ

સંદર્ભ જ્ઞાન અપડેટ કરવું

જ્યારે સમાન પાયા સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઘાતાંક ઉમેરવામાં આવે છે, પરંતુ આધાર સમાન રહે છે:

ઉદાહરણ તરીકે,

2. સમાન પાયા સાથે ડિગ્રીને વિભાજિત કરતી વખતે, ડિગ્રીના ઘાતાંક બાદ કરવામાં આવે છે, પરંતુ આધાર સમાન રહે છે:

ઉદાહરણ તરીકે,

3. ઘાતની ડિગ્રી વધારતી વખતે, ઘાતાંકનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, પરંતુ આધાર સમાન રહે છે:

ઉદાહરણ તરીકે,

4. ઉત્પાદનની ડિગ્રી પરિબળોની ડિગ્રીના ઉત્પાદનની બરાબર છે:

ઉદાહરણ તરીકે,

5. ભાગાકારની ડિગ્રી ડિવિડન્ડ અને વિભાજકની ડિગ્રીના ભાગાકાર જેટલી છે:

ઉદાહરણ તરીકે,

ઉકેલો સાથે કસરતો

અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

ઉકેલ:

આ કિસ્સામાં, કુદરતી ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના કોઈપણ ગુણધર્મો સ્પષ્ટપણે લાગુ કરી શકાતા નથી, કારણ કે તમામ ડિગ્રીના આધાર અલગ-અલગ હોય છે. ચાલો અમુક શક્તિઓને અલગ સ્વરૂપમાં લખીએ:

(ઉત્પાદનની ડિગ્રી પરિબળોની ડિગ્રીના ઉત્પાદનની બરાબર છે);

(જ્યારે સમાન પાયા સાથે ઘાતોનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઘાત ઉમેરવામાં આવે છે, પરંતુ આધાર સમાન રહે છે; જ્યારે ઘાતની ડિગ્રી વધારતા, ઘાતનો ગુણાકાર થાય છે, પરંતુ આધાર સમાન રહે છે).

પછી આપણને મળે છે:

આ ઉદાહરણમાં, કુદરતી ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના પ્રથમ ચાર ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો.

અંકગણિત વર્ગમૂળ
બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા છે જેનો વર્ગ બરાબર છેa,
. મુ
- અભિવ્યક્તિ
વ્યાખ્યાયિત નથી, કારણ કે એવી કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી કે જેનો વર્ગ નકારાત્મક સંખ્યાના બરાબર હોયa.

ગાણિતિક શ્રુતલેખન(8-10 મિનિટ.)

વિકલ્પ

II. વિકલ્પ

1. અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો

એ)

b)

1. અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો

એ)

b)

2. ગણતરી કરો

એ)

b)

માં)

2. ગણતરી કરો

એ)

b)

વી)

સ્વ-પરીક્ષણ(લેપલ બોર્ડ પર):

પ્રતિભાવ મેટ્રિક્સ:

№ વિકલ્પ/કાર્ય

સમસ્યા 1

સમસ્યા 2

વિકલ્પ 1

a) 2

b) 2

a) 0.5

b)

વી)

વિકલ્પ 2

a) 1.5

b)

એ)

b)

c) 4

II. નવા જ્ઞાનની રચના

ચાલો વિચાર કરીએ કે અભિવ્યક્તિનો અર્થ શું છે, ક્યાં છે - હકારાત્મક સંખ્યા- અપૂર્ણાંક સંખ્યા અને m-પૂર્ણાંક, n-કુદરતી (n›1)

વ્યાખ્યા: તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે a›0 ની શક્તિઆર = , m-સમગ્ર, n- કુદરતી ( n› 1) નંબર કહેવામાં આવે છે.

તેથી:

ઉદાહરણ તરીકે:

નોંધો:

1. કોઈપણ ધન a અને કોઈપણ તર્કસંગત r સંખ્યા માટે હકારાત્મક રીતે

2. ક્યારે
સંખ્યાની તર્કસંગત શક્તિaનક્કી નથી.

જેવા અભિવ્યક્તિઓ
અર્થ નથી.

3.જો અપૂર્ણાંક હકારાત્મક સંખ્યા છે
.

જો અપૂર્ણાંક નકારાત્મક સંખ્યા, પછી -અર્થ નથી.

ઉદાહરણ તરીકે: - અર્થ નથી.

ચાલો તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ.

ચાલો a >0, b>0; r, s - કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાઓ. પછી કોઈપણ તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે:

1.
2.
3.
4.
5.

III. એકત્રીકરણ. નવી કુશળતા અને ક્ષમતાઓની રચના.

ટાસ્ક કાર્ડ્સ પરીક્ષણના સ્વરૂપમાં નાના જૂથોમાં કાર્ય કરે છે.

સંખ્યા a ના પૂર્ણાંક ઘાતાંકમાંથી, તર્કસંગત ઘાતાંકમાં સંક્રમણ પોતે સૂચવે છે. નીચે આપણે તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીને વ્યાખ્યાયિત કરીશું, અને અમે આને એવી રીતે કરીશું કે પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીના તમામ ગુણધર્મો સાચવવામાં આવે. આ જરૂરી છે કારણ કે પૂર્ણાંકો તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ભાગ છે.

તે જાણીતું છે કે તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહમાં પૂર્ણાંકો અને અપૂર્ણાંકનો સમાવેશ થાય છે, અને દરેક અપૂર્ણાંકને હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. અમે પાછલા ફકરામાં પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી વ્યાખ્યાયિત કરી છે, તેથી, તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની વ્યાખ્યા પૂર્ણ કરવા માટે, આપણે સંખ્યાની ડિગ્રીનો અર્થ આપવો જરૂરી છે. aઅપૂર્ણાંક સૂચક સાથે m/n, ક્યાં mપૂર્ણાંક છે, અને n- કુદરતી. ચાલો આ કરીએ.

ચાલો ફોર્મના અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીને ધ્યાનમાં લઈએ. પાવર-ટુ-પાવર મિલકત માન્ય રહેવા માટે, સમાનતા હોવી આવશ્યક છે . જો આપણે પરિણામી સમાનતાને ધ્યાનમાં લઈએ અને આપણે ડિગ્રીનું nમું મૂળ કેવી રીતે નક્કી કર્યું, તો તે સ્વીકારવું તાર્કિક છે, જો આપેલ આપેલ m, nઅને aઅભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ છે.

તે તપાસવું સરળ છે કે પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના તમામ ગુણધર્મો માન્ય છે (આ તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના વિભાગ ગુણધર્મોમાં કરવામાં આવ્યું હતું).

ઉપરોક્ત તર્ક અમને નીચેના બનાવવા માટે પરવાનગી આપે છે નિષ્કર્ષ: જો ડેટા આપવામાં આવે m, nઅને aઅભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ બને છે, પછી સંખ્યાની શક્તિ aઅપૂર્ણાંક સૂચક સાથે m/nમૂળ કહેવાય છે nની મી ડિગ્રી aએક ડિગ્રી સુધી m.

આ વિધાન આપણને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની વ્યાખ્યાની નજીક લાવે છે. જે બાકી છે તે શું છે તેનું વર્ણન કરવાનું છે m, nઅને aઅભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ છે. પર લાદવામાં આવેલા નિયંત્રણો પર આધાર રાખે છે m, nઅને aત્યાં બે મુખ્ય અભિગમો છે.

1. સૌથી સહેલો રસ્તો એ છે કે પર પ્રતિબંધ લાદવો a, સ્વીકારીને a≥0હકારાત્મક માટે mઅને a>0નકારાત્મક માટે m(ક્યારેથી m≤0ડિગ્રી 0 મીવ્યાખ્યાયિત નથી). પછી આપણને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની નીચેની વ્યાખ્યા મળે છે.

વ્યાખ્યા.

ધન સંખ્યાની શક્તિ aઅપૂર્ણાંક સૂચક સાથે m/n , ક્યાં m- સંપૂર્ણ, અને n- એક કુદરતી સંખ્યા, જેને મૂળ કહેવાય છે n-સંખ્યાનો મો aએક ડિગ્રી સુધી m, એટલે કે .

શૂન્યની અપૂર્ણાંક શક્તિ પણ એકમાત્ર ચેતવણી સાથે નક્કી કરવામાં આવે છે કે સૂચક હકારાત્મક હોવો જોઈએ.

વ્યાખ્યા.

અપૂર્ણાંક હકારાત્મક ઘાતાંક સાથે શૂન્યની શક્તિ m/n , ક્યાં mહકારાત્મક પૂર્ણાંક છે, અને n- કુદરતી સંખ્યા, તરીકે વ્યાખ્યાયિત .
જ્યારે ડિગ્રી નિર્ધારિત ન હોય, એટલે કે, અપૂર્ણાંક નકારાત્મક ઘાતાંક સાથે સંખ્યા શૂન્યની ડિગ્રીનો કોઈ અર્થ નથી.

એ નોંધવું જોઈએ કે અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીની આ વ્યાખ્યા સાથે, એક ચેતવણી છે: કેટલાક નકારાત્મક માટે aઅને કેટલાક mઅને nઅભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ છે, પરંતુ અમે શરત રજૂ કરીને આ કિસ્સાઓને છોડી દીધા છે a≥0. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રવેશો અર્થપૂર્ણ છે અથવા , અને ઉપર આપેલ વ્યાખ્યા આપણને એમ કહેવા દબાણ કરે છે કે ફોર્મના અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓ અર્થ નથી, કારણ કે આધાર નકારાત્મક ન હોવો જોઈએ.

2. અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી નક્કી કરવા માટેનો બીજો અભિગમ m/nમૂળના સમ અને વિષમ ઘાતાંકને અલગથી ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. આ અભિગમને વધારાની સ્થિતિની જરૂર છે: સંખ્યાની શક્તિ a, જેનો ઘાતાંક ઘટાડી શકાય એવો સામાન્ય અપૂર્ણાંક છે, તે સંખ્યાની શક્તિ ગણાય છે a, જેનું સૂચક અનુરૂપ અફર અપૂર્ણાંક છે (આ સ્થિતિનું મહત્વ નીચે સમજાવવામાં આવશે). એટલે કે, જો m/nઅપૂર્ણ અપૂર્ણાંક છે, પછી કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા માટે kડિગ્રી પ્રાથમિક રીતે દ્વારા બદલવામાં આવે છે.

સમ માટે nઅને હકારાત્મક mઅભિવ્યક્તિ કોઈપણ બિન-નકારાત્મક માટે અર્થપૂર્ણ છે a(નકારાત્મક સંખ્યાના સમાન મૂળનો કોઈ અર્થ નથી), નકારાત્મક માટે mસંખ્યા aહજુ પણ શૂન્યથી અલગ હોવું જોઈએ (અન્યથા શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર થશે). અને વિચિત્ર માટે nઅને હકારાત્મક mસંખ્યા aકોઈપણ હોઈ શકે છે (કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે વિષમ મૂળ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે), અને નકારાત્મક માટે mસંખ્યા aબિન-શૂન્ય હોવું જોઈએ (જેથી શૂન્ય દ્વારા કોઈ ભાગાકાર ન હોય).

ઉપરોક્ત તર્ક આપણને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની આ વ્યાખ્યા તરફ દોરી જાય છે.

વ્યાખ્યા.

દો m/n- અપૂર્ણ અપૂર્ણાંક, m- સંપૂર્ણ, અને n- કુદરતી સંખ્યા. કોઈપણ ઘટાડી શકાય તેવા અપૂર્ણાંક માટે, ડિગ્રી દ્વારા બદલવામાં આવે છે. સંખ્યાની શક્તિ aઅપૂર્ણ અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે m/n- આ માટે છે

o કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા a, સંપૂર્ણ હકારાત્મક mઅને વિચિત્ર કુદરતી n, ઉદાહરણ તરીકે, ;

o કોઈપણ બિન-શૂન્ય વાસ્તવિક સંખ્યા a, ઋણ પૂર્ણાંક mઅને વિચિત્ર nઉદાહરણ તરીકે, ;

o કોઈપણ બિન-નકારાત્મક સંખ્યા a, સંપૂર્ણ હકારાત્મક mઅને પણ n, ઉદાહરણ તરીકે, ;

o કોઈપણ હકારાત્મક a, ઋણ પૂર્ણાંક mઅને પણ nઉદાહરણ તરીકે, ;

o અન્ય કિસ્સાઓમાં, અપૂર્ણાંક સૂચક સાથેની ડિગ્રી નક્કી કરવામાં આવતી નથી, કારણ કે, ઉદાહરણ તરીકે, ડિગ્રી વ્યાખ્યાયિત નથી .અમે એન્ટ્રી સાથે કોઈ અર્થ જોડતા નથી; m/nકેવી રીતે , નકારાત્મક અપૂર્ણાંક ઘાતાંક માટે શૂન્ય સંખ્યાની શક્તિ નિર્ધારિત નથી.

આ ફકરાના નિષ્કર્ષમાં, ચાલો એ હકીકત તરફ ધ્યાન દોરીએ કે અપૂર્ણાંક ઘાતાંકને દશાંશ અપૂર્ણાંક અથવા મિશ્ર સંખ્યા તરીકે લખી શકાય, ઉદાહરણ તરીકે, . આ પ્રકારના સમીકરણોના મૂલ્યોની ગણતરી કરવા માટે, તમારે ઘાતાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકના રૂપમાં લખવાની જરૂર છે, અને પછી અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ઘાતાંકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરો. ઉપરોક્ત ઉદાહરણો માટે અમારી પાસે છે અને

વિડિઓ પાઠ "તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ઘાતાંક" આ વિષય પર પાઠ શીખવવા માટે દ્રશ્ય શૈક્ષણિક સામગ્રી ધરાવે છે. વિડીયો પાઠમાં તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની વિભાવના, આવી ડિગ્રીના ગુણધર્મો તેમજ વ્યવહારુ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે શૈક્ષણિક સામગ્રીના ઉપયોગનું વર્ણન કરતા ઉદાહરણો વિશેની માહિતી છે. આ વિડિયો પાઠનો હેતુ શૈક્ષણિક સામગ્રીને સ્પષ્ટ અને સ્પષ્ટ રીતે રજૂ કરવાનો, વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા તેના વિકાસ અને યાદ રાખવાની સુવિધા આપવાનો અને શીખેલા ખ્યાલોનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ હલ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવવાનો છે.

વિડિયો પાઠના મુખ્ય ફાયદાઓ દૃષ્ટિની રીતે પરિવર્તન અને ગણતરીઓ કરવાની ક્ષમતા, શીખવાની કાર્યક્ષમતામાં સુધારો કરવા માટે એનિમેશન અસરોનો ઉપયોગ કરવાની ક્ષમતા છે. અવાજનો સાથ યોગ્ય ગાણિતિક ભાષણ વિકસાવવામાં મદદ કરે છે, અને શિક્ષકની સમજૂતીને બદલવાનું પણ શક્ય બનાવે છે, તેને વ્યક્તિગત કાર્ય હાથ ધરવા માટે મુક્ત કરે છે.

વિડિયો પાઠ વિષયનો પરિચય આપીને શરૂ થાય છે. નવા વિષયના અભ્યાસને અગાઉ અભ્યાસ કરેલ સામગ્રી સાથે જોડતી વખતે, એ યાદ રાખવાનું સૂચન કરવામાં આવે છે કે n √a ને અન્યથા કુદરતી n અને હકારાત્મક a માટે 1/n સૂચવવામાં આવે છે. આ n-રુટ રજૂઆત સ્ક્રીન પર પ્રદર્શિત થાય છે. આગળ, અમે m/n અભિવ્યક્તિનો અર્થ શું છે તે ધ્યાનમાં લેવાનું સૂચન કરીએ છીએ, જેમાં a એ હકારાત્મક સંખ્યા છે અને m/n એ અપૂર્ણાંક છે. m/n = n √a m તરીકે તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીની વ્યાખ્યા આપવામાં આવી છે, જે ફ્રેમમાં પ્રકાશિત થાય છે. એ નોંધ્યું છે કે n એ કુદરતી સંખ્યા હોઈ શકે છે, અને m એ પૂર્ણાંક હોઈ શકે છે.

તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી વ્યાખ્યાયિત કર્યા પછી, તેનો અર્થ ઉદાહરણો દ્વારા પ્રગટ થાય છે: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. તે એક ઉદાહરણ પણ બતાવે છે જેમાં દશાંશ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતી શક્તિને રુટ તરીકે દર્શાવવા માટે અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 અને નકારાત્મક શક્તિ સાથેનું ઉદાહરણ: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

જ્યારે ડિગ્રીનો આધાર શૂન્ય હોય ત્યારે વિશિષ્ટ કેસની વિશિષ્ટતા અલગથી સૂચવવામાં આવે છે. તે નોંધ્યું છે કે આ ડિગ્રી માત્ર હકારાત્મક અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે જ અર્થપૂર્ણ બને છે. આ કિસ્સામાં, તેનું મૂલ્ય શૂન્ય છે: 0 m/n =0.

તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીની બીજી વિશેષતા નોંધવામાં આવે છે - કે અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ગણી શકાય નહીં. ડિગ્રીના ખોટા સંકેતના ઉદાહરણો આપવામાં આવ્યા છે: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

આગળ વિડિયો પાઠમાં આપણે તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના ગુણધર્મોની ચર્ચા કરીશું. તે નોંધવામાં આવે છે કે પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીના ગુણધર્મો તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી માટે પણ માન્ય રહેશે. આ કિસ્સામાં પણ માન્ય મિલકતોની સૂચિને યાદ કરવાનો પ્રસ્તાવ છે:

1. જ્યારે સમાન આધારો સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેમના ઘાતાંકનો ઉમેરો થાય છે: a p a q =a p+q.
2. સમાન પાયા સાથેની ડિગ્રીઓનું વિભાજન આપેલ આધાર અને ઘાતાંકમાં તફાવત સાથે ડિગ્રી સુધી ઘટાડી દેવામાં આવે છે: a p:a q =a p-q.
3. જો આપણે ડિગ્રીને ચોક્કસ શક્તિ સુધી વધારીએ, તો પછી આપણે આપેલ આધાર અને ઘાતાંકના ગુણાંક સાથેની ડિગ્રી સાથે સમાપ્ત કરીએ છીએ: (a p) q =a pq.

આ તમામ ગુણધર્મો તર્કસંગત ઘાતાંક p, q અને હકારાત્મક આધાર a>0 સાથેની શક્તિઓ માટે માન્ય છે. ઉપરાંત, કૌંસ ખોલતી વખતે ડિગ્રી પરિવર્તન સાચું રહે છે:

1. (ab) p =a p b p - તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે અમુક ઘાતમાં વધારો કરવાથી બે સંખ્યાના ગુણાંકને સંખ્યાના ગુણાંકમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે, જેમાંથી પ્રત્યેકને આપેલ ઘાત સુધી વધારવામાં આવે છે.
2. (a/b) p =a p /b p - તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે અપૂર્ણાંકને ઘાતમાં વધારતા અપૂર્ણાંકમાં ઘટાડો થાય છે જેના અંશ અને છેદને આપેલ ઘાત સુધી વધારવામાં આવે છે.

વિડિયો ટ્યુટોરીયલ એવા ઉદાહરણોની ચર્ચા કરે છે કે જે તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે સત્તાના ગણવામાં આવતા ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરે છે. પ્રથમ ઉદાહરણમાં, અપૂર્ણાંક શક્તિમાં x વેરિયેબલ્સ ધરાવતી અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધવાનો પ્રસ્તાવ છે: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). અભિવ્યક્તિની જટિલતા હોવા છતાં, શક્તિઓના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને તે એકદમ સરળ રીતે ઉકેલી શકાય છે. સમસ્યાનું નિરાકરણ અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવાથી શરૂ થાય છે, જે એક શક્તિના તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે શક્તિ વધારવાના નિયમનો ઉપયોગ કરે છે, તેમજ સમાન આધાર સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરે છે. આપેલ મૂલ્ય x=8 ને સરળ અભિવ્યક્તિ x 1/3 +48 માં બદલ્યા પછી, મૂલ્ય - 50 મેળવવાનું સરળ છે.

બીજા ઉદાહરણમાં, તમારે એવા અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાની જરૂર છે કે જેના અંશ અને છેદમાં તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓ હોય. ડિગ્રીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે તફાવતમાંથી પરિબળ x 1/3 કાઢીએ છીએ, જે પછી અંશ અને છેદમાં ઘટાડવામાં આવે છે, અને વર્ગોના તફાવત માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અંશનું અવયવીકરણ કરવામાં આવે છે, જે સમાનતાના વધુ ઘટાડા આપે છે. અંશ અને છેદમાં પરિબળો. આવા પરિવર્તનનું પરિણામ ટૂંકા અપૂર્ણાંક x 1/4 +3 છે.

શિક્ષક દ્વારા પાઠનો નવો વિષય સમજાવવાને બદલે વિડિયો પાઠ "તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ઘાતાંક" નો ઉપયોગ કરી શકાય છે. આ માર્ગદર્શિકામાં વિદ્યાર્થી માટે સ્વતંત્ર રીતે અભ્યાસ કરવા માટે પૂરતી સંપૂર્ણ માહિતી પણ છે. સામગ્રી અંતર શિક્ષણ માટે પણ ઉપયોગી થઈ શકે છે.

આ લેખમાં આપણે શોધીશું કે તે શું છે સંખ્યાની શક્તિ. અહીં આપણે સંખ્યાની શક્તિની વ્યાખ્યા આપીશું, જ્યારે આપણે પ્રાકૃતિક ઘાતાંકથી શરૂ કરીને અને અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે સમાપ્ત થતા તમામ સંભવિત ઘાતાંકનો વિગતવાર વિચાર કરીશું. સામગ્રીમાં તમને ઉદભવતી તમામ સૂક્ષ્મતાને આવરી લેતા ડિગ્રીના ઘણા ઉદાહરણો મળશે.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેની ઘાત, સંખ્યાનો વર્ગ, સંખ્યાનો ઘન

સાથે શરૂઆત કરીએ. આગળ જોઈને, ચાલો કહીએ કે કુદરતી ઘાતાંક n સાથે સંખ્યા a ની શક્તિની વ્યાખ્યા a માટે આપવામાં આવી છે, જેને આપણે કહીશું. ડિગ્રીના આધારે, અને n, જેને આપણે કહીશું ઘાત. અમે એ પણ નોંધીએ છીએ કે પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી ઉત્પાદન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, તેથી નીચેની સામગ્રીને સમજવા માટે તમારે સંખ્યાઓના ગુણાકારની સમજ હોવી જરૂરી છે.

વ્યાખ્યા.

કુદરતી ઘાતાંક n સાથે સંખ્યાની શક્તિએ n સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ છે, જેનું મૂલ્ય n પરિબળના ઉત્પાદન જેટલું છે, જેમાંથી દરેક a ની બરાબર છે, એટલે કે, .
ખાસ કરીને, ઘાતાંક 1 સાથેની સંખ્યા a ની શક્તિ એ સંખ્યા પોતે છે, એટલે કે, 1 =a.

ડિગ્રી વાંચવાના નિયમો વિશે તરત જ ઉલ્લેખ કરવો યોગ્ય છે. નોટેશન a n ને વાંચવાની સાર્વત્રિક રીત છે: “a to the power of n”. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, નીચેના વિકલ્પો પણ સ્વીકાર્ય છે: “a થી nth ઘાત” અને “a ની nth શક્તિ”. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો પાવર 8 12 લઈએ, આ છે “બારમા ઘાતની આઠ”, અથવા “આઠની બારમી ઘાત” અથવા “આઠની બારમી ઘાત”.

સંખ્યાની બીજી શક્તિ, તેમજ સંખ્યાની ત્રીજી શક્તિના પોતાના નામ છે. સંખ્યાની બીજી શક્તિ કહેવાય છે નંબરનો વર્ગ કરો, ઉદાહરણ તરીકે, 7 2 "સાત વર્ગ" અથવા "સાત નંબરનો વર્ગ" તરીકે વાંચવામાં આવે છે. સંખ્યાની ત્રીજી શક્તિ કહેવાય છે ઘન સંખ્યા, ઉદાહરણ તરીકે, 5 3 ને "પાંચ ઘન" તરીકે વાંચી શકાય છે અથવા તમે "નંબર 5 નો ઘન" કહી શકો છો.

લાવવાનો સમય છે કુદરતી ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના ઉદાહરણો. ચાલો ડિગ્રી 5 7 થી શરૂઆત કરીએ, અહીં 5 એ ડિગ્રીનો આધાર છે, અને 7 એ ઘાતાંક છે. ચાલો બીજું ઉદાહરણ આપીએ: 4.32 એ આધાર છે, અને કુદરતી સંખ્યા 9 એ ઘાતાંક (4.32) 9 છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે છેલ્લા ઉદાહરણમાં, પાવર 4.32 નો આધાર કૌંસમાં લખાયેલ છે: વિસંગતતાઓને ટાળવા માટે, અમે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓથી અલગ હોય તેવા પાવરના તમામ પાયા કૌંસમાં મૂકીશું. ઉદાહરણ તરીકે, અમે કુદરતી ઘાતાંક સાથે નીચેની ડિગ્રી આપીએ છીએ , તેમના પાયા કુદરતી સંખ્યાઓ નથી, તેથી તેઓ કૌંસમાં લખેલા છે. ઠીક છે, સંપૂર્ણ સ્પષ્ટતા માટે, આ બિંદુએ આપણે ફોર્મ (−2) 3 અને −2 3 ના રેકોર્ડમાં સમાયેલ તફાવત બતાવીશું. અભિવ્યક્તિ (−2) 3 એ 3 ના કુદરતી ઘાતાંક સાથે −2 ની ઘાત છે, અને અભિવ્યક્તિ −2 3 (તે −(2 3) તરીકે લખી શકાય છે) સંખ્યાને અનુરૂપ છે, ઘાત 2 3 નું મૂલ્ય .

નોંધ કરો કે a^n ફોર્મના ઘાતાંક n સાથે સંખ્યા a ની ઘાત માટે એક સંકેત છે. વધુમાં, જો n એ બહુ-મૂલ્ય ધરાવતી કુદરતી સંખ્યા છે, તો ઘાત કૌંસમાં લેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 4^9 એ 4 9 ની શક્તિ માટે અન્ય સંકેત છે. અને અહીં “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) ચિહ્નનો ઉપયોગ કરીને ડિગ્રી લખવાના કેટલાક વધુ ઉદાહરણો છે. નીચેનામાં, આપણે મુખ્યત્વે n ફોર્મના ડિગ્રી નોટેશનનો ઉપયોગ કરીશું.

પ્રાકૃતિક ઘાતાંક વડે ઘાત વધારવાની વિપરિત સમસ્યાઓ પૈકીની એક એ છે કે પાવરના જાણીતા મૂલ્ય અને જાણીતા ઘાતાંકમાંથી પાવરનો આધાર શોધવાની સમસ્યા. આ કાર્ય તરફ દોરી જાય છે.

તે જાણીતું છે કે તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહમાં પૂર્ણાંકો અને અપૂર્ણાંકનો સમાવેશ થાય છે, અને દરેક અપૂર્ણાંકને હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. અમે પાછલા ફકરામાં પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી વ્યાખ્યાયિત કરી છે, તેથી, તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની વ્યાખ્યા પૂર્ણ કરવા માટે, આપણે અપૂર્ણાંક ઘાતાંક m/n સાથે સંખ્યા a ની શક્તિનો અર્થ આપવો જરૂરી છે, જ્યાં m એ પૂર્ણાંક છે અને n એ કુદરતી સંખ્યા છે. ચાલો આ કરીએ.

ચાલો ફોર્મના અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીને ધ્યાનમાં લઈએ. પાવર-ટુ-પાવર મિલકત માન્ય રહેવા માટે, સમાનતા હોવી આવશ્યક છે . જો આપણે પરિણામી સમાનતાને ધ્યાનમાં લઈએ અને આપણે કેવી રીતે નક્કી કર્યું, તો તેને સ્વીકારવું તાર્કિક છે, જો એમ, n અને a આપવામાં આવે તો, અભિવ્યક્તિનો અર્થ થાય છે.

તે તપાસવું સરળ છે કે પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના તમામ ગુણધર્મો માન્ય છે (આ તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના વિભાગ ગુણધર્મોમાં કરવામાં આવ્યું હતું).

ઉપરોક્ત તર્ક અમને નીચેના બનાવવા માટે પરવાનગી આપે છે નિષ્કર્ષ: જો m, n અને a આપવામાં આવે તો અભિવ્યક્તિનો અર્થ થાય છે, તો અપૂર્ણાંક ઘાતાંક m/n સાથે a ની ઘાતને m ની ઘાત a નું nમું મૂળ કહેવાય છે.

આ વિધાન આપણને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની વ્યાખ્યાની નજીક લાવે છે. માત્ર m, n અને a અભિવ્યક્તિનો અર્થ શું છે તેનું વર્ણન કરવાનું બાકી છે. m, n અને a પર મુકવામાં આવેલા પ્રતિબંધોના આધારે, ત્યાં બે મુખ્ય અભિગમો છે.

સકારાત્મક m માટે a≥0 અને નકારાત્મક m માટે a>0 લઈને a પર અવરોધ લાદવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો છે (કારણ કે m≤0 માટે m ની ડિગ્રી 0 વ્યાખ્યાયિત નથી). પછી આપણને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની નીચેની વ્યાખ્યા મળે છે.

વ્યાખ્યા.

અપૂર્ણાંક ઘાતાંક m/n સાથે ધન સંખ્યા a ની શક્તિ, જ્યાં m એ પૂર્ણાંક છે અને n એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે, એ m ની ઘાતની સંખ્યા a નું nth મૂળ કહેવાય છે, એટલે કે, .

શૂન્યની અપૂર્ણાંક શક્તિ પણ એકમાત્ર ચેતવણી સાથે નક્કી કરવામાં આવે છે કે સૂચક હકારાત્મક હોવો જોઈએ.

વ્યાખ્યા.

અપૂર્ણાંક હકારાત્મક ઘાતાંક m/n સાથે શૂન્યની શક્તિ, જ્યાં m એ ધન પૂર્ણાંક છે અને n એ કુદરતી સંખ્યા છે, તે તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે .
જ્યારે ડિગ્રી નિર્ધારિત ન હોય, એટલે કે, અપૂર્ણાંક નકારાત્મક ઘાતાંક સાથે સંખ્યા શૂન્યની ડિગ્રીનો કોઈ અર્થ નથી.

એ નોંધવું જોઈએ કે અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીની આ વ્યાખ્યા સાથે, એક ચેતવણી છે: કેટલાક નકારાત્મક a અને કેટલાક m અને n માટે, અભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ છે, અને અમે a≥0 શરત રજૂ કરીને આ કિસ્સાઓને છોડી દીધા છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રવેશો અર્થપૂર્ણ છે અથવા , અને ઉપર આપેલ વ્યાખ્યા આપણને એમ કહેવા દબાણ કરે છે કે ફોર્મના અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓ અર્થ નથી, કારણ કે આધાર નકારાત્મક ન હોવો જોઈએ.

અપૂર્ણાંક ઘાતાંક m/n સાથે ડિગ્રી નક્કી કરવા માટેનો બીજો અભિગમ એ છે કે મૂળના સમાન અને વિષમ ઘાતાંકને અલગથી ધ્યાનમાં લેવાનો. આ અભિગમ માટે વધારાની શરતની જરૂર છે: સંખ્યા a ની શક્તિ, જેનો ઘાતાંક છે , તે સંખ્યા a ની શક્તિ માનવામાં આવે છે, જેનો ઘાતાંક અનુરૂપ અપૂર્ણ અપૂર્ણાંક છે (અમે નીચે આ સ્થિતિનું મહત્વ સમજાવીશું. ). એટલે કે, જો m/n એ અફર અપૂર્ણાંક છે, તો પછી કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા k માટે ડિગ્રી પ્રથમ દ્વારા બદલવામાં આવે છે.

સમ n અને ધન m માટે, અભિવ્યક્તિ કોઈપણ બિન-નકારાત્મક a માટે અર્થપૂર્ણ બને છે (ઋણાત્મક સંખ્યાનું સમ રુટ અર્થમાં નથી હોતું); શૂન્ય દ્વારા). અને વિષમ n અને ધન m માટે, સંખ્યા a કોઈપણ હોઈ શકે છે (કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે વિષમ ડિગ્રીનું મૂળ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે), અને ઋણ m માટે, સંખ્યા a બિન-શૂન્ય હોવી જોઈએ (જેથી કોઈ ભાગાકાર ન હોય શૂન્ય).

ઉપરોક્ત તર્ક આપણને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની આ વ્યાખ્યા તરફ દોરી જાય છે.

વ્યાખ્યા.

m/n ને અફર અપૂર્ણાંક, m પૂર્ણાંક અને n ને કુદરતી સંખ્યા થવા દો. કોઈપણ ઘટાડી શકાય તેવા અપૂર્ણાંક માટે, ડિગ્રી દ્વારા બદલવામાં આવે છે. અપૂર્ણ અપૂર્ણાંક ઘાતાંક m/n સાથે સંખ્યાની શક્તિ માટે છે



ચાલો આપણે સમજાવીએ કે શા માટે ઘટાડી શકાય તેવા અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીને પહેલા અફર કરી શકાય તેવા ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી દ્વારા બદલવામાં આવે છે. જો આપણે ડિગ્રીને માત્ર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ, અને અપૂર્ણાંક m/n ની અસ્પષ્ટતા વિશે કોઈ આરક્ષણ ન કર્યું, તો પછી આપણને નીચેની જેવી પરિસ્થિતિઓનો સામનો કરવો પડશે: 6/10 = 3/5 થી, પછી સમાનતા હોવી જોઈએ , પરંતુ , એ.