પાવર ફંક્શન અને તેના આલેખ. મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યો: તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ

મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યો, તેમના સહજ ગુણધર્મો અને અનુરૂપ આલેખ એ ગાણિતિક જ્ઞાનની મૂળભૂત બાબતોમાંની એક છે, જે ગુણાકાર કોષ્ટકની સમાન મહત્વ ધરાવે છે. પ્રાથમિક કાર્યો એ તમામ સૈદ્ધાંતિક મુદ્દાઓના અભ્યાસ માટે આધાર, આધાર છે.

નીચેનો લેખ મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના વિષય પર મુખ્ય સામગ્રી પ્રદાન કરે છે. અમે શરતો રજૂ કરીશું, તેમને વ્યાખ્યાઓ આપીશું; ચાલો દરેક પ્રકારના પ્રાથમિક કાર્યોનો વિગતવાર અભ્યાસ કરીએ અને તેમના ગુણધર્મોનું વિશ્લેષણ કરીએ.

નીચેના પ્રકારના મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોને અલગ પાડવામાં આવે છે:

વ્યાખ્યા 1

• સતત કાર્ય (સતત);
• nth મૂળ;
• પાવર કાર્ય;
• ઘાતાંકીય કાર્ય;
• લઘુગણક કાર્ય;
• ત્રિકોણમિતિ કાર્યો;
• ભ્રાતૃ ત્રિકોણમિતિ કાર્યો.

સ્થિર કાર્ય સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: y = C (C ચોક્કસ વાસ્તવિક સંખ્યા છે) અને તેનું નામ પણ છે: સતત. આ ફંક્શન સ્વતંત્ર ચલ x ના કોઈપણ વાસ્તવિક મૂલ્યના ચલ y - C ની કિંમતના સમાન મૂલ્ય સાથે પત્રવ્યવહાર નક્કી કરે છે.

અચળનો ગ્રાફ એ એક સીધી રેખા છે જે એબ્સીસા અક્ષની સમાંતર છે અને કોઓર્ડિનેટ્સ (0, C) ધરાવતા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. સ્પષ્ટતા માટે, અમે y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (જે અનુક્રમે ડ્રોઇંગમાં કાળા, લાલ અને વાદળી રંગોમાં દર્શાવેલ છે) સતત કાર્યોના ગ્રાફ રજૂ કરીએ છીએ.

વ્યાખ્યા 2

આ પ્રાથમિક કાર્ય સૂત્ર y = x n (n એ એક કરતાં મોટી કુદરતી સંખ્યા છે) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

ચાલો ફંક્શનની બે ભિન્નતાઓને ધ્યાનમાં લઈએ.

1. nth મૂળ, n – સમ સંખ્યા

સ્પષ્ટતા માટે, અમે એક ડ્રોઇંગ સૂચવીએ છીએ જે આવા કાર્યોના ગ્રાફ બતાવે છે: y = x, y = x 4 અને y = x8. આ લક્ષણો રંગ કોડેડ છે: અનુક્રમે કાળો, લાલ અને વાદળી.

સમ ડિગ્રીના કાર્યના આલેખ ઘાતાંકના અન્ય મૂલ્યો માટે સમાન દેખાવ ધરાવે છે.

વ્યાખ્યા 3

nમા રુટ ફંક્શનના ગુણધર્મો, n એ એક સમાન સંખ્યા છે

• વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર - તમામ બિન-નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ [ 0 , + ∞);
• જ્યારે x = 0, કાર્ય y = x n ની કિંમત શૂન્યની બરાબર છે;
• આ ફંક્શન સામાન્ય સ્વરૂપનું કાર્ય છે (તે ન તો સમ કે વિષમ નથી);
• શ્રેણી: [ 0 , + ∞);
• આ કાર્ય y = x n સમ રુટ ઘાતાંક માટે સમગ્ર વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનમાં વધે છે;
• ફંક્શન સમગ્ર વ્યાખ્યાના સમગ્ર ક્ષેત્રમાં ઉપરની દિશા સાથે બહિર્મુખતા ધરાવે છે;
• ત્યાં કોઈ વળાંક બિંદુઓ નથી;
• ત્યાં કોઈ એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી;
• સમ n માટે ફંક્શનનો ગ્રાફ પોઈન્ટ (0; 0) અને (1; 1)માંથી પસાર થાય છે.

1. nth મૂળ, n – બેકી સંખ્યા

આવા કાર્યને વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમગ્ર સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સ્પષ્ટતા માટે, કાર્યોના આલેખને ધ્યાનમાં લો y = x 3 , y = x 5 અને x 9 ડ્રોઇંગમાં તેઓ રંગો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે: કાળો, લાલ અને વાદળી અનુક્રમે વણાંકોના રંગો છે.

ફંક્શન y = x n ના મૂળ ઘાતાંકના અન્ય વિચિત્ર મૂલ્યો સમાન પ્રકારનો ગ્રાફ આપશે.

વ્યાખ્યા 4

nમા મૂળ કાર્યના ગુણધર્મો, n એ એક વિષમ સંખ્યા છે

• વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર - બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ;
• આ કાર્ય વિચિત્ર છે;
• મૂલ્યોની શ્રેણી - તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ;
• વિષમ મૂળ ઘાતાંક માટેનું કાર્ય y = x n વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર વધે છે;
• ફંક્શનમાં અંતરાલ પર અંતર્મુખતા હોય છે (- ∞ ; 0 ] અને અંતરાલ પર બહિર્મુખતા [ 0 , + ∞);
• ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટમાં કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે (0; 0);
• ત્યાં કોઈ એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી;
• વિષમ n માટે ફંક્શનનો ગ્રાફ પોઈન્ટ (- 1 ; - 1), (0 ; 0) અને (1 ; 1)માંથી પસાર થાય છે.

પાવર કાર્ય

પાવર ફંક્શન સૂત્ર y = x a દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

આલેખનો દેખાવ અને કાર્યના ગુણધર્મો ઘાતાંકના મૂલ્ય પર આધારિત છે.

• જ્યારે પાવર ફંક્શનમાં પૂર્ણાંક ઘાતાંક a હોય છે, ત્યારે પાવર ફંક્શનના ગ્રાફનો પ્રકાર અને તેના ગુણધર્મો ઘાતાંક સમાન છે કે વિષમ છે, તેમજ ઘાતાંકની કઈ નિશાની છે તેના પર આધાર રાખે છે. ચાલો આ બધા વિશેષ કેસોને નીચે વધુ વિગતવાર ધ્યાનમાં લઈએ;
• ઘાતાંક અપૂર્ણાંક અથવા અતાર્કિક હોઈ શકે છે - આના આધારે, આલેખનો પ્રકાર અને કાર્યના ગુણધર્મો પણ બદલાય છે. અમે કેટલીક શરતો સેટ કરીને વિશેષ કેસોનું વિશ્લેષણ કરીશું: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• પાવર ફંક્શનમાં શૂન્ય ઘાતાંક હોઈ શકે છે; અમે નીચે આ કેસનું વધુ વિગતમાં વિશ્લેષણ કરીશું.

ચાલો પાવર ફંક્શનનું વિશ્લેષણ કરીએ y = x a, જ્યારે a એક વિષમ હકારાત્મક સંખ્યા હોય, ઉદાહરણ તરીકે, a = 1, 3, 5...

સ્પષ્ટતા માટે, અમે આવા પાવર ફંક્શન્સના આલેખને સૂચવીએ છીએ: y = x (ગ્રાફિક રંગ કાળો), y = x 3 (ગ્રાફનો વાદળી રંગ), y = x 5 (ગ્રાફનો લાલ રંગ), y = x 7 (ગ્રાફિક રંગ લીલો). જ્યારે a = 1, ત્યારે આપણને રેખીય કાર્ય y = x મળે છે.

વ્યાખ્યા 6

જ્યારે ઘાતાંક વિષમ ધન હોય ત્યારે પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો

• x ∈ (- ∞ ; + ∞) માટે કાર્ય વધી રહ્યું છે;
• ફંક્શનમાં x ∈ (- ∞; 0 ] માટે બહિર્મુખતા અને x ∈ [ 0 ; + ∞) (રેખીય કાર્યને બાદ કરતાં) માટે અંતર્મુખતા છે;
• ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટમાં કોઓર્ડિનેટ્સ (0 ; 0) છે (રેખીય કાર્ય સિવાય);
• ત્યાં કોઈ એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી;
• ફંક્શનના પસાર થવાના બિંદુઓ: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

ચાલો પાવર ફંક્શનનું વિશ્લેષણ કરીએ y = x a, જ્યારે a એ સમ ધન સંખ્યા છે, ઉદાહરણ તરીકે, a = 2, 4, 6...

સ્પષ્ટતા માટે, અમે આવા પાવર કાર્યોના આલેખને સૂચવીએ છીએ: y = x 2 (ગ્રાફિક રંગ કાળો), y = x 4 (ગ્રાફનો વાદળી રંગ), y = x 8 (ગ્રાફનો લાલ રંગ). જ્યારે a = 2, આપણે એક ચતુર્ભુજ ફંક્શન મેળવીએ છીએ, જેનો આલેખ એક ચતુર્ભુજ પેરાબોલા છે.

વ્યાખ્યા 7

જ્યારે ઘાતાંક સકારાત્મક હોય ત્યારે પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો:

• વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર: x ∈ (- ∞ ; + ∞);
• x ∈ (- ∞ ; 0 ] માટે ઘટે છે;
• ફંક્શનમાં x ∈ (- ∞ ; + ∞) માટે અવતરણ છે;
• ત્યાં કોઈ વળાંક બિંદુઓ નથી;
• ત્યાં કોઈ એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી;
• ફંક્શનના પેસેજના બિંદુઓ: (- 1 ; 1), (0 ; 0) , (1 ; 1) .

નીચેની આકૃતિ પાવર ફંક્શન ગ્રાફના ઉદાહરણો બતાવે છે y = x a જ્યારે a એ એક વિષમ નકારાત્મક સંખ્યા છે: y = x - 9 (ગ્રાફિક રંગ કાળો); y = x - 5 (ગ્રાફનો વાદળી રંગ); y = x - 3 (ગ્રાફનો લાલ રંગ); y = x - 1 (ગ્રાફિક રંગ લીલો). જ્યારે a = - 1, આપણે વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા મેળવીએ છીએ, જેનો આલેખ અતિપરવલય છે.

વ્યાખ્યા 8

જ્યારે ઘાતાંક વિચિત્ર નકારાત્મક હોય ત્યારે પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો:

જ્યારે x = 0, ત્યારે આપણે બીજા પ્રકારનું વિરામ મેળવીએ છીએ, કારણ કે lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ a = - 1, - 3, - 5, …. આમ, સીધી રેખા x = 0 એ વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે;

• શ્રેણી: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• કાર્ય વિચિત્ર છે કારણ કે y (- x) = - y (x);
• x ∈ - ∞ માટે ફંક્શન ઘટી રહ્યું છે; 0 ∪ (0 ; + ∞);
• ફંક્શનમાં x ∈ (- ∞ ; 0) માટે બહિર્મુખતા અને x ∈ (0 ; + ∞) માટે અંતર્મુખતા છે;
• ત્યાં કોઈ વળાંક બિંદુઓ નથી;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, જ્યારે a = - 1, - 3, - 5, . . . .

• ફંક્શનના પેસેજના બિંદુઓ: (- 1 ; - 1), (1 ; 1) .

નીચેની આકૃતિ પાવર ફંક્શન y = x a ના આલેખના ઉદાહરણો બતાવે છે જ્યારે a એ એક સમાન નકારાત્મક સંખ્યા છે: y = x - 8 (ગ્રાફિક રંગ કાળો); y = x - 4 (ગ્રાફનો વાદળી રંગ); y = x - 2 (ગ્રાફનો લાલ રંગ).

વ્યાખ્યા 9

જ્યારે ઘાત પણ નકારાત્મક હોય ત્યારે પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો:

• વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

જ્યારે x = 0, ત્યારે આપણે બીજા પ્રકારનું વિરામ મેળવીએ છીએ, કારણ કે lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ a = - 2, - 4, - 6, …. આમ, સીધી રેખા x = 0 એ વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે;

• કાર્ય એ પણ છે કારણ કે y(-x) = y(x);
• x ∈ (- ∞; 0) માટે ફંક્શન વધી રહ્યું છે અને x ∈ 0 માટે ઘટી રહ્યું છે; + ∞;
• ફંક્શનમાં x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• ત્યાં કોઈ વળાંક બિંદુઓ નથી;
• આડી એસિમ્પ્ટોટ – સીધી રેખા y = 0, કારણ કે:

k = લિમ x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 જ્યારે a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• ફંક્શનના પેસેજના બિંદુઓ: (- 1 ; 1), (1 ; 1) .

શરૂઆતથી જ, નીચેના પાસાઓ પર ધ્યાન આપો: જ્યારે a એ વિષમ છેદ સાથેનો ધન અપૂર્ણાંક હોય, ત્યારે કેટલાક લેખકો અંતરાલ લે છે - ∞ આ પાવર ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેન તરીકે; + ∞ , ઘાતાંક a એ અફર અપૂર્ણાંક છે તે નક્કી કરીને. આ ક્ષણે, બીજગણિત અને વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતો પરના ઘણા શૈક્ષણિક પ્રકાશનોના લેખકો પાવર ફંક્શન્સને વ્યાખ્યાયિત કરતા નથી, જ્યાં ઘાતાંક એ દલીલના નકારાત્મક મૂલ્યો માટે એક વિચિત્ર છેદ સાથેનો અપૂર્ણાંક છે. આગળ આપણે આ સ્થિતિનું બરાબર પાલન કરીશું: અમે સેટ લઈશું [ 0 ; + ∞). વિદ્યાર્થીઓ માટે ભલામણ: મતભેદ ટાળવા માટે આ મુદ્દા પર શિક્ષકનો દૃષ્ટિકોણ શોધો.

તો, ચાલો પાવર ફંક્શન જોઈએ y = x a , જ્યારે ઘાતાંક એક તર્કસંગત અથવા અતાર્કિક સંખ્યા હોય, જો કે 0< a < 1 .

ચાલો ગ્રાફ વડે પાવર ફંક્શન સમજાવીએ y = x a જ્યારે a = 11 12 (ગ્રાફિક રંગ કાળો); a = 5 7 (ગ્રાફનો લાલ રંગ); a = 1 3 (ગ્રાફનો વાદળી રંગ); a = 2 5 (ગ્રાફનો લીલો રંગ).

ઘાતાંક a ના અન્ય મૂલ્યો (પૂરાવેલ 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

વ્યાખ્યા 10

0 પર પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો< a < 1:

• શ્રેણી: y ∈ [ 0 ; + ∞);
• x ∈ [ 0 માટે ફંક્શન વધી રહ્યું છે; + ∞);
• x ∈ (0 ; + ∞) માટે ફંક્શન બહિર્મુખ છે;
• ત્યાં કોઈ વળાંક બિંદુઓ નથી;
• ત્યાં કોઈ એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી;

ચાલો પાવર ફંક્શનનું વિશ્લેષણ કરીએ y = x a, જ્યારે ઘાતાંક બિન-પૂર્ણાંક તર્કસંગત અથવા અતાર્કિક સંખ્યા હોય, જો કે a > 1 હોય.

ચાલો પાવર ફંક્શનને ગ્રાફ વડે સમજાવીએ y = x a આપેલ શરતો હેઠળ નીચેના કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને ઉદાહરણ તરીકે: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (અનુક્રમે કાળો, લાલ, વાદળી, લીલો આલેખ).

ઘાતાંક a ના અન્ય મૂલ્યો, આપેલ a > 1, સમાન ગ્રાફ આપશે.

વ્યાખ્યા 11

a > 1 માટે પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો:

• વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર: x ∈ [ 0 ; + ∞);
• શ્રેણી: y ∈ [ 0 ; + ∞);
• આ કાર્ય સામાન્ય સ્વરૂપનું કાર્ય છે (તે ન તો વિચિત્ર છે કે ન તો સમાન છે);
• x ∈ [ 0 માટે ફંક્શન વધી રહ્યું છે; + ∞);
• ફંક્શનમાં x ∈ (0 ; + ∞) (જ્યારે 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• ત્યાં કોઈ વળાંક બિંદુઓ નથી;
• ત્યાં કોઈ એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી;
• ફંક્શનના પાસિંગ પોઈન્ટ: (0 ; 0), (1 ; 1) .

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે જ્યારે a એ વિષમ છેદ સાથે નકારાત્મક અપૂર્ણાંક હોય છે, ત્યારે કેટલાક લેખકોના કાર્યોમાં એવો મત છે કે આ કિસ્સામાં વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર અંતરાલ છે - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) ચેતવણી સાથે કે ઘાતાંક a એ અફર અપૂર્ણાંક છે. આ ક્ષણે, બીજગણિત અને વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતો પર શૈક્ષણિક સામગ્રીના લેખકો દલીલના નકારાત્મક મૂલ્યો માટે વિચિત્ર છેદ સાથેના અપૂર્ણાંકના રૂપમાં ઘાતાંક સાથે શક્તિ કાર્યોને વ્યાખ્યાયિત કરતા નથી. આગળ, અમે આ દૃષ્ટિકોણનું બરાબર પાલન કરીએ છીએ: અમે સમૂહ (0 ; + ∞) ને અપૂર્ણાંક નકારાત્મક ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેન તરીકે લઈએ છીએ. વિદ્યાર્થીઓ માટે ભલામણ: મતભેદ ટાળવા માટે આ સમયે તમારા શિક્ષકની દ્રષ્ટિ સ્પષ્ટ કરો.

ચાલો વિષય ચાલુ રાખીએ અને પાવર ફંક્શનનું વિશ્લેષણ કરીએ y = x a પ્રદાન કરેલ છે: - 1< a < 0 .

ચાલો નીચેના કાર્યોના ગ્રાફનું ચિત્ર રજૂ કરીએ: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (કાળો, લાલ, વાદળી, લીલો રંગ રેખાઓ, અનુક્રમે).

વ્યાખ્યા 12

પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ જ્યારે - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• શ્રેણી: y ∈ 0 ; + ∞;
• આ કાર્ય સામાન્ય સ્વરૂપનું કાર્ય છે (તે ન તો વિચિત્ર છે કે ન તો સમાન છે);
• ત્યાં કોઈ વળાંક બિંદુઓ નથી;

નીચેનું ચિત્ર y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (અનુક્રમે વળાંકોના કાળા, લાલ, વાદળી, લીલા રંગો) પાવર ફંક્શનના આલેખ બતાવે છે.

વ્યાખ્યા 13

a માટે પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો< - 1:

• વ્યાખ્યાનું ડોમેન: x ∈ 0 ; + ∞;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ જ્યારે a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• શ્રેણી: y ∈ (0 ; + ∞);
• આ કાર્ય સામાન્ય સ્વરૂપનું કાર્ય છે (તે ન તો વિચિત્ર છે કે ન તો સમાન છે);
• x ∈ 0 માટે ફંક્શન ઘટી રહ્યું છે; + ∞;
• ફંક્શનમાં x ∈ 0 માટે અવતરણ છે; + ∞;
• ત્યાં કોઈ વળાંક બિંદુઓ નથી;
• આડી એસિમ્પ્ટોટ – સીધી રેખા y = 0;
• ફંક્શનના પેસેજ બિંદુ: (1; 1) .

જ્યારે a = 0 અને x ≠ 0, ત્યારે આપણે ફંક્શન y = x 0 = 1 મેળવીએ છીએ, જે તે રેખાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જેમાંથી બિંદુ (0; 1) બાકાત રાખવામાં આવે છે (તે સંમત થયું હતું કે અભિવ્યક્તિ 0 0 નો કોઈ અર્થ આપવામાં આવશે નહીં. ).

ઘાતાંકીય કાર્યનું સ્વરૂપ છે y = a x, જ્યાં a > 0 અને a ≠ 1, અને આ ફંક્શનનો ગ્રાફ આધાર a ની કિંમતના આધારે અલગ દેખાય છે. ચાલો ખાસ કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ.

પ્રથમ, ચાલો પરિસ્થિતિ જોઈએ જ્યારે ઘાતાંકીય કાર્યનો આધાર શૂન્યથી એક (0) સુધીનું મૂલ્ય ધરાવે છે< a < 1) . એક સારું ઉદાહરણ એ = 1 2 (વળાંકનો વાદળી રંગ) અને a = 5 6 (વળાંકનો લાલ રંગ) માટેના કાર્યોના આલેખ છે.

ઘાતાંકીય કાર્યના આલેખનો શરત 0 હેઠળ આધારના અન્ય મૂલ્યો માટે સમાન દેખાવ હશે< a < 1 .

વ્યાખ્યા 14

જ્યારે આધાર એક કરતા ઓછો હોય ત્યારે ઘાતાંકીય કાર્યના ગુણધર્મો:

• શ્રેણી: y ∈ (0 ; + ∞);
• આ કાર્ય સામાન્ય સ્વરૂપનું કાર્ય છે (તે ન તો વિચિત્ર છે કે ન તો સમાન છે);
• એક ઘાતાંકીય કાર્ય કે જેનો આધાર એક કરતા ઓછો છે તે વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર ઘટી રહ્યો છે;
• ત્યાં કોઈ વળાંક બિંદુઓ નથી;
• આડી એસિમ્પ્ટોટ – સીધી રેખા y = 0 ચલ x સાથે + ∞ તરફ વલણ ધરાવે છે;

હવે જ્યારે ઘાતાંકીય ફંક્શનનો આધાર એક (a > 1) કરતા મોટો હોય ત્યારે કેસને ધ્યાનમાં લો.

ચાલો આ ખાસ કેસને ઘાતાંકીય કાર્યો y = 3 2 x (વળાંકનો વાદળી રંગ) અને y = e x (ગ્રાફનો લાલ રંગ) ના ગ્રાફ સાથે સમજાવીએ.

આધારના અન્ય મૂલ્યો, મોટા એકમો, ઘાતાંકીય કાર્યના ગ્રાફને સમાન દેખાવ આપશે.

વ્યાખ્યા 15

જ્યારે આધાર એક કરતા વધારે હોય ત્યારે ઘાતાંકીય કાર્યના ગુણધર્મો:

• વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર - વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ;
• શ્રેણી: y ∈ (0 ; + ∞);
• આ કાર્ય સામાન્ય સ્વરૂપનું કાર્ય છે (તે ન તો વિચિત્ર છે કે ન તો સમાન છે);
• એક ઘાતાંકીય કાર્ય જેનો આધાર એક કરતા મોટો છે તે x ∈ - ∞ તરીકે વધી રહ્યો છે; + ∞;
• ફંક્શન x ∈ - ∞ પર અવતરણ ધરાવે છે; + ∞;
• ત્યાં કોઈ વળાંક બિંદુઓ નથી;
• આડી એસિમ્પ્ટોટ – સીધી રેખા y = 0 ચલ x સાથે - ∞;
• ફંક્શનના પેસેજ બિંદુ: (0; 1) .

લઘુગણક કાર્ય y = log a (x) સ્વરૂપ ધરાવે છે, જ્યાં a > 0, a ≠ 1.

આવા કાર્યને ફક્ત દલીલના હકારાત્મક મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: x ∈ 0 માટે; + ∞

લોગરીધમિક ફંક્શનનો ગ્રાફ બેઝ a ના મૂલ્યના આધારે અલગ દેખાવ ધરાવે છે.

ચાલો પહેલા પરિસ્થિતિને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

આધારના અન્ય મૂલ્યો, મોટા એકમો નહીં, સમાન પ્રકારનો ગ્રાફ આપશે.

વ્યાખ્યા 16

જ્યારે આધાર એક કરતા ઓછો હોય ત્યારે લઘુગણક કાર્યના ગુણધર્મો:

• વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર: x ∈ 0 ; + ∞ જેમ x જમણી બાજુથી શૂન્ય તરફ વળે છે, ફંક્શન મૂલ્યો +∞ તરફ વલણ ધરાવે છે;
• મૂલ્યોની શ્રેણી: y ∈ - ∞ ; + ∞;
• આ કાર્ય સામાન્ય સ્વરૂપનું કાર્ય છે (તે ન તો વિચિત્ર છે કે ન તો સમાન છે);
• લઘુગણક
• ફંક્શનમાં x ∈ 0 માટે અવતરણ છે; + ∞;
• ત્યાં કોઈ વળાંક બિંદુઓ નથી;
• ત્યાં કોઈ એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી;

હવે ચાલો વિશિષ્ટ કેસ જોઈએ જ્યારે લઘુગણક કાર્યનો આધાર એક કરતા મોટો હોય: a > 1 . નીચેનું ચિત્ર લઘુગણક કાર્યો y = log 3 2 x અને y = ln x (આલેખના વાદળી અને લાલ રંગો, અનુક્રમે) ના આલેખ બતાવે છે.

એક કરતા વધુ આધારના અન્ય મૂલ્યો સમાન પ્રકારનો ગ્રાફ આપશે.

વ્યાખ્યા 17

જ્યારે બેઝ એક કરતા વધારે હોય ત્યારે લઘુગણક કાર્યના ગુણધર્મો:

• વ્યાખ્યાનું ડોમેન: x ∈ 0 ; + ∞ જેમ x જમણી બાજુથી શૂન્ય તરફ વળે છે, કાર્ય મૂલ્યો - ∞ ;
• મૂલ્યોની શ્રેણી: y ∈ - ∞ ; + ∞ (વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ);
• આ કાર્ય સામાન્ય સ્વરૂપનું કાર્ય છે (તે ન તો વિચિત્ર છે કે ન તો સમાન છે);
• લઘુગણક કાર્ય x ∈ 0 માટે વધી રહ્યું છે; + ∞;
• x ∈ 0 માટે ફંક્શન બહિર્મુખ છે; + ∞;
• ત્યાં કોઈ વળાંક બિંદુઓ નથી;
• ત્યાં કોઈ એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી;
• ફંક્શનના પેસેજ બિંદુ: (1; 0) .

ત્રિકોણમિતિ વિધેયો સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ છે. ચાલો તેમાંના દરેકના ગુણધર્મો અને તેને અનુરૂપ ગ્રાફિક્સ જોઈએ.

સામાન્ય રીતે, તમામ ત્રિકોણમિતિ કાર્યો સામયિકતાની મિલકત દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, એટલે કે. જ્યારે ફંક્શનના મૂલ્યોને દલીલના વિવિધ મૂલ્યો માટે પુનરાવર્તિત કરવામાં આવે છે, જે સમયગાળા દ્વારા એકબીજાથી અલગ હોય છે f (x + T) = f (x) (T એ સમયગાળો છે). આમ, આઇટમ "સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો" ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ગુણધર્મોની સૂચિમાં ઉમેરવામાં આવે છે. વધુમાં, અમે દલીલના મૂલ્યો સૂચવીશું કે જેના પર અનુરૂપ કાર્ય શૂન્ય બને છે.

1. સાઈન ફંક્શન: y = sin(x)

આ કાર્યના ગ્રાફને સાઈન વેવ કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 18

સાઈન ફંક્શનના ગુણધર્મો:

• વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર: વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ x ∈ - ∞ ; + ∞;
• કાર્ય અદૃશ્ય થઈ જાય છે જ્યારે x = π · k, જ્યાં k ∈ Z (Z એ પૂર્ણાંકોનો સમૂહ છે);
• x ∈ - π 2 + 2 π · k માટે કાર્ય વધી રહ્યું છે; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z અને x ∈ π 2 + 2 π · k માટે ઘટતું; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• સાઈન ફંક્શનમાં પોઈન્ટ π 2 + 2 π · k પર સ્થાનિક મેક્સિમા છે; 1 અને પોઈન્ટ પર સ્થાનિક મિનિમા - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• જ્યારે x ∈ - π + 2 π · k હોય ત્યારે સાઈન ફંક્શન અંતર્મુખ હોય છે; 2 π · k, k ∈ Z અને બહિર્મુખ જ્યારે x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• ત્યાં કોઈ એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી.

1. કોસાઇન કાર્ય: y = cos(x)

આ કાર્યના ગ્રાફને કોસાઇન વેવ કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 19

કોસાઇન ફંક્શનના ગુણધર્મો:

• વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર: x ∈ - ∞ ; + ∞;
• સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો: T = 2 π;
• મૂલ્યોની શ્રેણી: y ∈ - 1 ; 1;
• આ કાર્ય સમ છે, કારણ કે y (- x) = y (x);
• x ∈ - π + 2 π · k માટે કાર્ય વધી રહ્યું છે; 2 π · k, k ∈ Z અને x ∈ 2 π · k માટે ઘટતું; π + 2 π k, k ∈ Z;
• કોસાઇન ફંક્શનમાં પોઈન્ટ 2 π · k પર સ્થાનિક મેક્સિમા હોય છે; 1, k ∈ Z અને પોઈન્ટ પર સ્થાનિક મિનિમા π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
• જ્યારે x ∈ π 2 + 2 π · k હોય ત્યારે કોસાઇન ફંક્શન અંતર્મુખ છે; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z અને બહિર્મુખ જ્યારે x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટમાં કોઓર્ડિનેટ્સ π 2 + π · k હોય છે; 0 , k ∈ Z
• ત્યાં કોઈ એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી.

1. સ્પર્શક કાર્ય: y = t g (x)

આ કાર્યનો ગ્રાફ કહેવામાં આવે છે સ્પર્શક

વ્યાખ્યા 20

સ્પર્શક કાર્યના ગુણધર્મો:

• વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, જ્યાં k ∈ Z (Z એ પૂર્ણાંકોનો સમૂહ છે);
• વ્યાખ્યા lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . આમ, સીધી રેખાઓ x = π 2 + π · k k ∈ Z એ વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ છે;
• જ્યારે k ∈ Z માટે x = π · k (Z એ પૂર્ણાંકોનો સમૂહ છે) ત્યારે કાર્ય અદૃશ્ય થઈ જાય છે;
• મૂલ્યોની શ્રેણી: y ∈ - ∞ ; + ∞;
• આ કાર્ય વિચિત્ર છે, કારણ કે y (- x) = - y (x) ;
• કાર્ય આ રીતે વધી રહ્યું છે - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• સ્પર્શક કાર્ય x ∈ [π · k માટે અંતર્મુખ છે; π 2 + π · k) , k ∈ Z અને x ∈ માટે બહિર્મુખ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટમાં કોઓર્ડિનેટ્સ π · k હોય છે; 0 , k ∈ Z ;

1. કોટેન્જેન્ટ ફંક્શન: y = c t g (x)

આ કાર્યના ગ્રાફને કોટેન્જેન્ટોઇડ કહેવામાં આવે છે. .

વ્યાખ્યા 21

કોટેન્જેન્ટ ફંક્શનના ગુણધર્મો:

• વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર: x ∈ (π · k; π + π · k), જ્યાં k ∈ Z (Z એ પૂર્ણાંકોનો સમૂહ છે);

વ્યાખ્યા લિમ x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . આમ, સીધી રેખાઓ x = π · k k ∈ Z એ વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ છે;

• સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો: T = π;
• જ્યારે x = π 2 + π · k માટે k ∈ Z (Z એ પૂર્ણાંકોનો સમૂહ છે) ત્યારે કાર્ય અદૃશ્ય થઈ જાય છે;
• મૂલ્યોની શ્રેણી: y ∈ - ∞ ; + ∞;
• આ કાર્ય વિચિત્ર છે, કારણ કે y (- x) = - y (x) ;
• x ∈ π · k માટે ફંક્શન ઘટી રહ્યું છે; π + π k, k ∈ Z;
• x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z અને x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
• ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટમાં કોઓર્ડિનેટ્સ π 2 + π · k હોય છે; 0 , k ∈ Z ;
• ત્યાં કોઈ ત્રાંસી અથવા આડા એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી.

વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ વિધેયો આર્કસાઇન, આર્કોસિન, આર્કટેન્જેન્ટ અને આર્કોટેન્જેન્ટ છે. ઘણીવાર, નામમાં ઉપસર્ગ "આર્ક" ની હાજરીને કારણે, વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યોને આર્ક ફંક્શન કહેવામાં આવે છે. .

1. આર્ક સાઈન ફંક્શન: y = a r c sin (x)

વ્યાખ્યા 22

આર્ક્સીન કાર્યના ગુણધર્મો:

• આ કાર્ય વિચિત્ર છે, કારણ કે y (- x) = - y (x) ;
• આર્કસાઇન ફંક્શન x ∈ 0 પર અવતરણ ધરાવે છે; 1 અને x ∈ - 1 માટે બહિર્મુખતા; 0;
• ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટમાં કોઓર્ડિનેટ્સ (0; 0) હોય છે, જે ફંક્શનનું શૂન્ય પણ છે;
• ત્યાં કોઈ એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી.

1. આર્ક કોસાઇન કાર્ય: y = a r c cos (x)

વ્યાખ્યા 23

આર્ક કોસાઇન ફંક્શનના ગુણધર્મો:

• વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર: x ∈ - 1 ; 1;
• શ્રેણી: y ∈ 0 ; π;
• આ કાર્ય સામાન્ય સ્વરૂપનું છે (ન તો સમ કે વિષમ);
• કાર્ય વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર ઘટી રહ્યું છે;
• આર્ક કોસાઇન ફંક્શન x ∈ - 1 પર અવતરણ ધરાવે છે; x ∈ 0 માટે 0 અને બહિર્મુખતા; 1;
• ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટમાં કોઓર્ડિનેટ્સ 0 હોય છે; π 2;
• ત્યાં કોઈ એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી.

1. આર્કટેન્જેન્ટ ફંક્શન: y = a r c t g (x)

વ્યાખ્યા 24

આર્કટેન્જેન્ટ ફંક્શનના ગુણધર્મો:

• વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર: x ∈ - ∞ ; + ∞;
• મૂલ્યોની શ્રેણી: y ∈ - π 2 ; π 2;
• આ કાર્ય વિચિત્ર છે, કારણ કે y (- x) = - y (x) ;
• કાર્ય વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર વધી રહ્યું છે;
• આર્કટેન્જેન્ટ ફંક્શનમાં x ∈ (- ∞ ; 0 ] માટે અંતર્મુખતા હોય છે અને x ∈ [ 0 ; + ∞ માટે બહિર્મુખતા હોય છે);
• ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટમાં કોઓર્ડિનેટ્સ (0; 0) હોય છે, જે ફંક્શનનું શૂન્ય પણ છે;
• આડી એસિમ્પ્ટોટ્સ સીધી રેખાઓ y = - π 2 તરીકે x → - ∞ અને y = π 2 તરીકે x → + ∞ (આકૃતિમાં, એસિમ્પ્ટોટ્સ લીલી રેખાઓ છે).

1. ચાપ સ્પર્શક કાર્ય: y = a r c c t g (x)

વ્યાખ્યા 25

આર્કોટેન્જેન્ટ ફંક્શનના ગુણધર્મો:

• વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર: x ∈ - ∞ ; + ∞;
• શ્રેણી: y ∈ (0; π);
• આ કાર્ય સામાન્ય સ્વરૂપનું છે;
• કાર્ય વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર ઘટી રહ્યું છે;
• આર્ક કોટેન્જેન્ટ ફંક્શનમાં x ∈ [ 0 ; + ∞) અને x ∈ (- ∞ ; 0 ] માટે બહિર્મુખતા
• ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટમાં કોઓર્ડિનેટ્સ 0 હોય છે; π 2;
• આડા એસિમ્પ્ટોટ્સ સીધી રેખાઓ y = π પર x → - ∞ (ડ્રોઇંગમાં લીલી રેખા) અને y = 0 અને x → + ∞ છે.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

પાવર ફંક્શન y = x p ની વ્યાખ્યાના ડોમેન પર નીચેના સૂત્રો ધરાવે છે:
; ;
;
; ;
; ;
; .

પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો અને તેમના આલેખ

શૂન્ય, p = 0 ના ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન

જો પાવર ફંક્શન y = x p નું ઘાત શૂન્ય, p = 0 ની બરાબર હોય, તો પાવર ફંક્શન બધા x ≠ 0 માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને તે એકની બરાબર છે:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

કુદરતી વિષમ ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન, p = n = 1, 3, 5, ...

કુદરતી વિષમ ઘાતાંક n = 1, 3, 5, ... સાથે પાવર ફંક્શન y = x p = x n ને ધ્યાનમાં લો.

આ સૂચક ફોર્મમાં પણ લખી શકાય છે: n = 2k + 1, જ્યાં k = 0, 1, 2, 3, ... એ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક છે. નીચે આવા કાર્યોના ગુણધર્મો અને આલેખ છે.

ઘાતાંક n = 1, 3, 5, ....ના વિવિધ મૂલ્યો માટે કુદરતી વિષમ ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન y = x n નો આલેખ. -∞ < x < ∞
અવકાશ: -∞ < y < ∞
બહુવિધ અર્થો:સમાનતા:
વિચિત્ર, y(-x) = - y(x)મોનોટોન:
એકવિધ રીતે વધે છેઆત્યંતિક:
ના
બહિર્મુખ:< x < 0 выпукла вверх
ખાતે -∞< x < ∞ выпукла вниз
0 પરઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ:
ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ:
x = 0, y = 0
;
મર્યાદા:
ખાનગી મૂલ્યો:
x = -1 પર,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
x = 0, y(0) = 0 n = 0 પર
x = 1, y(1) = 1 n = 1 માટે
વિપરીત કાર્ય:
n = 1 માટે, ફંક્શન તેનું વ્યસ્ત છે: x = y

n ≠ 1 માટે, વ્યસ્ત કાર્ય એ ડિગ્રી n નું મૂળ છે:

પ્રાકૃતિક સમ ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન, p = n = 2, 4, 6, ...

કુદરતી સમ ઘાતાંક n = 2, 4, 6, ... સાથે પાવર ફંક્શન y = x p = x n ને ધ્યાનમાં લો.

ઘાતાંક n = 1, 3, 5, ....ના વિવિધ મૂલ્યો માટે કુદરતી વિષમ ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન y = x n નો આલેખ. -∞ < x < ∞
અવકાશ:આ સૂચક ફોર્મમાં પણ લખી શકાય છે: n = 2k, જ્યાં k = 1, 2, 3, ... - કુદરતી. આવા કાર્યોના ગુણધર્મો અને આલેખ નીચે આપેલ છે.< ∞
બહુવિધ અર્થો:ઘાતાંક n = 2, 4, 6, ....ના વિવિધ મૂલ્યો માટે કુદરતી સમ ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન y = x n નો ગ્રાફ.
વિચિત્ર, y(-x) = - y(x)
0 ≤ y
સમ, y(-x) = y(x)
એકવિધ રીતે વધે છે x ≤ 0 માટે એકવિધ રીતે ઘટે છે
ના x ≥ 0 માટે એકવિધ રીતે વધે છે
0 પરઆત્યંતિક:
ન્યૂનતમ, x = 0, y = 0ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ:
x = 0, y = 0
;
મર્યાદા:
બહિર્મુખ નીચે સંકલન અક્ષો સાથે આંતરછેદ બિંદુઓ:
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
x = 0, y(0) = 0 n = 0 પર
x = 1, y(1) = 1 n = 1 માટે
x = -1 પર,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1

n = 2 માટે, વર્ગમૂળ:

પૂર્ણાંક નકારાત્મક ઘાતાંક n = -1, -2, -3, ... સાથે પાવર ફંક્શન y = x p = x n ને ધ્યાનમાં લો.

જો આપણે n = -k મૂકીએ, જ્યાં k = 1, 2, 3, ... એ કુદરતી સંખ્યા છે, તો તેને આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે:

ઘાતાંક n = -1, -2, -3, ....ના વિવિધ મૂલ્યો માટે ઋણ પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન y = x n નો ગ્રાફ.

વિષમ ઘાતાંક, n = -1, -3, -5, ...

ઘાતાંક n = 1, 3, 5, ....ના વિવિધ મૂલ્યો માટે કુદરતી વિષમ ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન y = x n નો આલેખ.નીચે એક વિષમ ઋણ ઘાત n = -1, -3, -5, .... સાથે ફંક્શન y = x n ના ગુણધર્મો છે.
અવકાશ: x ≠ 0
બહુવિધ અર્થો:સમાનતા:
વિચિત્ર, y(-x) = - y(x) y ≠ 0
એકવિધ રીતે વધે છેઆત્યંતિક:
ના
એકવિધ રીતે ઘટે છે< 0 : выпукла вверх
x પર
0 પરઆત્યંતિક:
ન્યૂનતમ, x = 0, y = 0આત્યંતિક:
x > 0 માટે: બહિર્મુખ નીચેની તરફ
એકવિધ રીતે ઘટે છે< 0, y < 0
ચિહ્ન:
x = 0, y = 0
; ; ;
મર્યાદા:
x = 0, y(0) = 0 n = 0 પર
x = 1, y(1) = 1 n = 1 માટે
x > 0, y > 0 માટે
જ્યારે n = -1,< -2 ,

n પર

સમ ઘાતાંક, n = -2, -4, -6, ...

ઘાતાંક n = 1, 3, 5, ....ના વિવિધ મૂલ્યો માટે કુદરતી વિષમ ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન y = x n નો આલેખ.નીચે એક વિષમ ઋણ ઘાત n = -1, -3, -5, .... સાથે ફંક્શન y = x n ના ગુણધર્મો છે.
અવકાશ:નીચે એક સમાન ઋણ ઘાતાંક n = -2, -4, -6, .... સાથે ફંક્શન y = x n ના ગુણધર્મો છે.
બહુવિધ અર્થો:ઘાતાંક n = 2, 4, 6, ....ના વિવિધ મૂલ્યો માટે કુદરતી સમ ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન y = x n નો ગ્રાફ.
વિચિત્ર, y(-x) = - y(x)
એકવિધ રીતે ઘટે છે< 0 : монотонно возрастает
y > 0
એકવિધ રીતે વધે છેઆત્યંતિક:
ના x ≥ 0 માટે એકવિધ રીતે વધે છે
0 પરઆત્યંતિક:
ન્યૂનતમ, x = 0, y = 0આત્યંતિક:
x > 0 માટે: બહિર્મુખ નીચેની તરફનીચે એક સમાન ઋણ ઘાતાંક n = -2, -4, -6, .... સાથે ફંક્શન y = x n ના ગુણધર્મો છે.
x = 0, y = 0
; ; ;
મર્યાદા:
x = 0, y(0) = 0 n = 0 પર
x = 1, y(1) = 1 n = 1 માટે
x > 0 માટે: એકવિધ રીતે ઘટે છે
જ્યારે n = -1,< -2 ,

n = -2 પર,

તર્કસંગત (અપૂર્ણાંક) ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન

તર્કસંગત (અપૂર્ણાંક) ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન y = x p ને ધ્યાનમાં લો, જ્યાં n એ પૂર્ણાંક છે, m > 1 એ કુદરતી સંખ્યા છે. વધુમાં, n, m પાસે સામાન્ય વિભાજકો નથી.

અપૂર્ણાંક સૂચકનો છેદ વિષમ છે

અપૂર્ણાંક ઘાતાંકનો છેદ વિષમ હોવા દો: m = 3, 5, 7, ... . આ કિસ્સામાં, પાવર ફંક્શન x p એ દલીલ x ના હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.< 0

જ્યારે ઘાતાંક p ચોક્કસ મર્યાદામાં હોય ત્યારે ચાલો આવા પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ.

p-મૂલ્ય નકારાત્મક છે, p

તર્કસંગત ઘાતાંક (વિષમ છેદ m = 3, 5, 7, ... સાથે) શૂન્ય કરતા ઓછા થવા દો: .

ઘાતાંકના વિવિધ મૂલ્યો માટે તર્કસંગત નકારાત્મક ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શનનો આલેખ, જ્યાં m = 3, 5, 7, ... - વિચિત્ર.

ઘાતાંક n = 1, 3, 5, ....ના વિવિધ મૂલ્યો માટે કુદરતી વિષમ ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન y = x n નો આલેખ.નીચે એક વિષમ ઋણ ઘાત n = -1, -3, -5, .... સાથે ફંક્શન y = x n ના ગુણધર્મો છે.
અવકાશ: x ≠ 0
બહુવિધ અર્થો:સમાનતા:
વિચિત્ર, y(-x) = - y(x) y ≠ 0
એકવિધ રીતે વધે છેઆત્યંતિક:
ના
એકવિધ રીતે ઘટે છે< 0 : выпукла вверх
x પર
0 પરઆત્યંતિક:
ન્યૂનતમ, x = 0, y = 0આત્યંતિક:
x > 0 માટે: બહિર્મુખ નીચેની તરફ
એકવિધ રીતે ઘટે છે< 0, y < 0
ચિહ્ન:
x = 0, y = 0
; ; ;
મર્યાદા:
વિષમ અંશ, n = -1, -3, -5, ...
x = 0, y(0) = 0 n = 0 પર
x = 1, y(1) = 1 n = 1 માટે

અમે પાવર ફંક્શન y = x p ના ગુણધર્મોને તર્કસંગત ઋણ ઘાત સાથે રજૂ કરીએ છીએ, જ્યાં n = -1, -3, -5, ... એ એક વિચિત્ર ઋણ પૂર્ણાંક છે, m = 3, 5, 7 ... એ એક છે. વિચિત્ર કુદરતી પૂર્ણાંક.

x = -1 પર, y(-1) = (-1) n = -1

ઘાતાંક n = 1, 3, 5, ....ના વિવિધ મૂલ્યો માટે કુદરતી વિષમ ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન y = x n નો આલેખ.નીચે એક વિષમ ઋણ ઘાત n = -1, -3, -5, .... સાથે ફંક્શન y = x n ના ગુણધર્મો છે.
અવકાશ:નીચે એક સમાન ઋણ ઘાતાંક n = -2, -4, -6, .... સાથે ફંક્શન y = x n ના ગુણધર્મો છે.
બહુવિધ અર્થો:ઘાતાંક n = 2, 4, 6, ....ના વિવિધ મૂલ્યો માટે કુદરતી સમ ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન y = x n નો ગ્રાફ.
વિચિત્ર, y(-x) = - y(x)
એકવિધ રીતે ઘટે છે< 0 : монотонно возрастает
y > 0
એકવિધ રીતે વધે છેઆત્યંતિક:
ના x ≥ 0 માટે એકવિધ રીતે વધે છે
0 પરઆત્યંતિક:
ન્યૂનતમ, x = 0, y = 0આત્યંતિક:
x > 0 માટે: બહિર્મુખ નીચેની તરફનીચે એક સમાન ઋણ ઘાતાંક n = -2, -4, -6, .... સાથે ફંક્શન y = x n ના ગુણધર્મો છે.
x = 0, y = 0
; ; ;
મર્યાદા:
સમ અંશ, n = -2, -4, -6, ...
x = 0, y(0) = 0 n = 0 પર
x = 1, y(1) = 1 n = 1 માટે

તર્કસંગત ઋણ ઘાત સાથે પાવર ફંક્શન y = x p ના ગુણધર્મો, જ્યાં n = -2, -4, -6, ... એ એક સમાન ઋણ પૂર્ણાંક છે, m = 3, 5, 7 ... એક વિચિત્ર કુદરતી પૂર્ણાંક છે .< p < 1

x = -1 પર, y(-1) = (-1) n = 1< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

p-મૂલ્ય ધન છે, એક કરતાં ઓછું, 0

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

ઘાતાંક n = 1, 3, 5, ....ના વિવિધ મૂલ્યો માટે કુદરતી વિષમ ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન y = x n નો આલેખ. -∞ < x < +∞
અવકાશ: -∞ < y < +∞
બહુવિધ અર્થો:સમાનતા:
વિચિત્ર, y(-x) = - y(x)મોનોટોન:
એકવિધ રીતે વધે છેઆત્યંતિક:
ના
એકવિધ રીતે ઘટે છે< 0 : выпукла вниз
તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શનનો આલેખ (0
0 પરઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ:
ન્યૂનતમ, x = 0, y = 0ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ:
x > 0 માટે: બહિર્મુખ નીચેની તરફ
એકવિધ રીતે ઘટે છે< 0, y < 0
ચિહ્ન:
x = 0, y = 0
;
મર્યાદા:
વિષમ અંશ, n = 1, 3, 5, ...
x > 0 માટે: બહિર્મુખ ઉપરની તરફ
x = -1, y(-1) = -1 પર
x = 1, y(1) = 1 n = 1 માટે

x = 0, y(0) = 0 પર

x = 1, y(1) = 1 માટે< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

ઘાતાંક n = 1, 3, 5, ....ના વિવિધ મૂલ્યો માટે કુદરતી વિષમ ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન y = x n નો આલેખ. -∞ < x < +∞
અવકાશ:આ સૂચક ફોર્મમાં પણ લખી શકાય છે: n = 2k, જ્યાં k = 1, 2, 3, ... - કુદરતી. આવા કાર્યોના ગુણધર્મો અને આલેખ નીચે આપેલ છે.< +∞
બહુવિધ અર્થો:ઘાતાંક n = 2, 4, 6, ....ના વિવિધ મૂલ્યો માટે કુદરતી સમ ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન y = x n નો ગ્રાફ.
વિચિત્ર, y(-x) = - y(x)
એકવિધ રીતે ઘટે છે< 0 : монотонно убывает
x > 0 માટે: એકવિધ રીતે વધે છે
એકવિધ રીતે વધે છેન્યૂનતમ x = 0, y = 0 પર
ના x ≠ 0 માટે બહિર્મુખ ઉપરની તરફ
0 પરઆત્યંતિક:
ન્યૂનતમ, x = 0, y = 0ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ:
x > 0 માટે: બહિર્મુખ નીચેની તરફ x ≠ 0, y > 0 માટે
x = 0, y = 0
;
મર્યાદા:
x = -1, y(-1) = 1 પર
x > 0 માટે: બહિર્મુખ ઉપરની તરફ
x = -1, y(-1) = -1 પર
x = 1, y(1) = 1 n = 1 માટે

p અનુક્રમણિકા એક કરતાં મોટી છે, p > 1

ઘાતાંકના વિવિધ મૂલ્યો માટે તર્કસંગત ઘાતાંક (p > 1) સાથે પાવર ફંક્શનનો ગ્રાફ, જ્યાં m = 3, 5, 7, ... વિચિત્ર છે.

વિષમ અંશ, n = 5, 7, 9, ...

એક કરતા વધુ તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન y = x p ના ગુણધર્મો: .

ઘાતાંક n = 1, 3, 5, ....ના વિવિધ મૂલ્યો માટે કુદરતી વિષમ ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન y = x n નો આલેખ. -∞ < x < ∞
અવકાશ: -∞ < y < ∞
બહુવિધ અર્થો:સમાનતા:
વિચિત્ર, y(-x) = - y(x)મોનોટોન:
એકવિધ રીતે વધે છેઆત્યંતિક:
ના
બહિર્મુખ:< x < 0 выпукла вверх
ખાતે -∞< x < ∞ выпукла вниз
0 પરઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ:
ન્યૂનતમ, x = 0, y = 0ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ:
x = 0, y = 0
;
મર્યાદા:
વિષમ અંશ, n = 1, 3, 5, ...
x > 0 માટે: બહિર્મુખ ઉપરની તરફ
x = -1, y(-1) = -1 પર
x = 1, y(1) = 1 n = 1 માટે

જ્યાં n = 5, 7, 9, ... - વિચિત્ર કુદરતી, m = 3, 5, 7 ... - વિચિત્ર કુદરતી.

સમ અંશ, n = 4, 6, 8, ...

ઘાતાંક n = 1, 3, 5, ....ના વિવિધ મૂલ્યો માટે કુદરતી વિષમ ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન y = x n નો આલેખ. -∞ < x < ∞
અવકાશ:આ સૂચક ફોર્મમાં પણ લખી શકાય છે: n = 2k, જ્યાં k = 1, 2, 3, ... - કુદરતી. આવા કાર્યોના ગુણધર્મો અને આલેખ નીચે આપેલ છે.< ∞
બહુવિધ અર્થો:ઘાતાંક n = 2, 4, 6, ....ના વિવિધ મૂલ્યો માટે કુદરતી સમ ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન y = x n નો ગ્રાફ.
વિચિત્ર, y(-x) = - y(x)
એકવિધ રીતે ઘટે છે< 0 монотонно убывает
એક કરતા વધુ તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન y = x p ના ગુણધર્મો: .
એકવિધ રીતે વધે છેન્યૂનતમ x = 0, y = 0 પર
ના x ≥ 0 માટે એકવિધ રીતે વધે છે
0 પરઆત્યંતિક:
ન્યૂનતમ, x = 0, y = 0ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ:
x = 0, y = 0
;
મર્યાદા:
x = -1, y(-1) = 1 પર
x > 0 માટે: બહિર્મુખ ઉપરની તરફ
x = -1, y(-1) = -1 પર
x = 1, y(1) = 1 n = 1 માટે

જ્યાં n = 4, 6, 8, ... - પણ કુદરતી, m = 3, 5, 7 ... - વિચિત્ર કુદરતી.

x > 0 માટે એકવિધ રીતે વધે છે

અપૂર્ણાંક સૂચકનો છેદ સમ છે

અપૂર્ણાંક ઘાતાંકના છેદને સમાન થવા દો: m = 2, 4, 6, ... . આ કિસ્સામાં, પાવર ફંક્શન x p દલીલના નકારાત્મક મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત નથી. તેના ગુણધર્મો અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો સાથે મેળ ખાય છે (આગળનો વિભાગ જુઓ).

અતાર્કિક ઘાતાંક p સાથે પાવર ફંક્શન y = x p ને ધ્યાનમાં લો.< 0

ઘાતાંક n = 1, 3, 5, ....ના વિવિધ મૂલ્યો માટે કુદરતી વિષમ ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન y = x n નો આલેખ.આવા વિધેયોના ગુણધર્મો ઉપર ચર્ચા કરાયેલા કરતા અલગ છે કે તેઓ દલીલ x ના નકારાત્મક મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત નથી.
અવકાશ:નીચે એક સમાન ઋણ ઘાતાંક n = -2, -4, -6, .... સાથે ફંક્શન y = x n ના ગુણધર્મો છે.
વિચિત્ર, y(-x) = - y(x) y ≠ 0
ના x ≥ 0 માટે એકવિધ રીતે વધે છે
0 પરઆત્યંતિક:
ન્યૂનતમ, x = 0, y = 0આત્યંતિક:
x = 0, y = 0 ;
દલીલના સકારાત્મક મૂલ્યો માટે, ગુણધર્મો માત્ર ઘાતાંક p ના મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે અને p પૂર્ણાંક, તર્કસંગત અથવા અતાર્કિક છે તેના પર નિર્ભર નથી.ઘાતાંક p ના વિવિધ મૂલ્યો માટે y = x p.

ઋણ ઘાત સાથે પાવર ફંક્શન p

x > 0< p < 1

ઘાતાંક n = 1, 3, 5, ....ના વિવિધ મૂલ્યો માટે કુદરતી વિષમ ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન y = x n નો આલેખ.ખાનગી અર્થ:
અવકાશ: x = 1, y(1) = 1 p = 1 માટે
વિચિત્ર, y(-x) = - y(x)મોનોટોન:
નાહકારાત્મક ઘાતાંક p > 0 સાથે પાવર ફંક્શન
0 પરઆત્યંતિક:
ન્યૂનતમ, x = 0, y = 0ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ:
x = 0, y = 0
મર્યાદા:એક 0 કરતા ઓછો સૂચક
ઘાતાંક p ના વિવિધ મૂલ્યો માટે y = x p.

x ≥ 0

ઘાતાંક n = 1, 3, 5, ....ના વિવિધ મૂલ્યો માટે કુદરતી વિષમ ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન y = x n નો આલેખ.ખાનગી અર્થ:
અવકાશ: x = 1, y(1) = 1 p = 1 માટે
વિચિત્ર, y(-x) = - y(x)મોનોટોન:
ના x ≥ 0 માટે એકવિધ રીતે વધે છે
0 પરઆત્યંતિક:
ન્યૂનતમ, x = 0, y = 0ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ:
x = 0, y = 0
મર્યાદા:એક 0 કરતા ઓછો સૂચક
ઘાતાંક p ના વિવિધ મૂલ્યો માટે y = x p.

y ≥ 0
બહિર્મુખ ઉપરની તરફ

સૂચક એક p > 1 કરતા વધારે છે વપરાયેલ સાહિત્ય:આઈ.એન. બ્રોન્સ્ટીન, કે.એ. સેમેન્દ્યાયેવ, ઇજનેરો અને કોલેજના વિદ્યાર્થીઓ માટે ગણિતની હેન્ડબુક, "લેન", 2009.

આ પણ જુઓ: જ્ઞાનમૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યો, તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ

• ગુણાકાર કોષ્ટકો જાણવા કરતાં ઓછું મહત્વનું નથી. તેઓ પાયા જેવા છે, બધું તેમના પર આધારિત છે, બધું તેમનાથી બનેલું છે અને બધું તેમના પર આવે છે.
• આ લેખમાં અમે તમામ મુખ્ય પ્રાથમિક કાર્યોની યાદી કરીશું, તેમના આલેખ આપીશું અને નિષ્કર્ષ કે પુરાવા વિના આપીશું.
• બહિર્મુખતા (ઉપરની તરફ બહિર્મુખ) અને બહિર્મુખતા (નીચેની તરફ) ના અંતરાલો, વક્રતા બિંદુઓ (જો જરૂરી હોય તો, કાર્યની બહિર્મુખતા લેખ જુઓ, બહિર્મુખતાની દિશા, વળાંક બિંદુઓ, બહિર્મુખતા અને વળાંકની સ્થિતિઓ);
• ત્રાંસી અને આડી એસિમ્પ્ટોટ્સ;
• કાર્યોના એકવચન બિંદુઓ;
• કેટલાક કાર્યોના વિશેષ ગુણધર્મો (ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિકોણમિતિ કાર્યોનો સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો).

જો તમને રસ હોય અથવા, તો પછી તમે સિદ્ધાંતના આ વિભાગોમાં જઈ શકો છો.

મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોછે: સતત કાર્ય (સતત), nth મૂળ, પાવર ફંક્શન, ઘાતાંકીય, લઘુગણક કાર્ય, ત્રિકોણમિતિ અને વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

કાયમી કાર્ય.

એક સ્થિર કાર્ય સૂત્ર દ્વારા તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં C એ કેટલીક વાસ્તવિક સંખ્યા છે. એક સ્થિર કાર્ય સ્વતંત્ર ચલ x ના દરેક વાસ્તવિક મૂલ્યને નિર્ભર ચલ y - મૂલ્ય C ના સમાન મૂલ્ય સાથે સાંકળે છે. અચળ કાર્યને અચલ પણ કહેવાય છે.

સતત કાર્યનો ગ્રાફ એ x-અક્ષની સમાંતર અને કોઓર્ડિનેટ્સ (0,C) સાથે બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો સતત કાર્યો y=5, y=-2 અને, જે નીચેની આકૃતિમાં અનુક્રમે કાળી, લાલ અને વાદળી રેખાઓને અનુરૂપ છે તેનો આલેખ બતાવીએ.

સતત કાર્યના ગુણધર્મો.

• ડોમેન: વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ.
• સતત કાર્ય સમ છે.
• મૂલ્યોની શ્રેણી: એકવચન સંખ્યા C નો સમાવેશ કરતો સમૂહ.
• સતત કાર્ય એ બિન-વધતું અને ઘટતું નથી (તેથી તે સતત છે).
• કોન્સ્ટન્ટની બહિર્મુખતા અને અંતર્મુખતા વિશે વાત કરવાનો કોઈ અર્થ નથી.
• ત્યાં કોઈ એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી.
• ફંક્શન કોઓર્ડિનેટ પ્લેનના બિંદુ (0,C)માંથી પસાર થાય છે.

nth મૂળ.

ચાલો મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ, જે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં n એ એક કરતાં મોટી કુદરતી સંખ્યા છે.

nમી ડિગ્રીનું મૂળ, n એ એક સમાન સંખ્યા છે.

ચાલો રુટ ઘાતાંક n ના સમ મૂલ્યો માટે nમા રુટ ફંક્શનથી શરૂઆત કરીએ.

ઉદાહરણ તરીકે, અહીં ફંક્શન ગ્રાફની છબીઓ સાથેનું ચિત્ર છે અને , તેઓ કાળી, લાલ અને વાદળી રેખાઓને અનુરૂપ છે.

સમ-ડિગ્રી રુટ ફંક્શનના આલેખ ઘાતાંકના અન્ય મૂલ્યો માટે સમાન દેખાવ ધરાવે છે.

સમ n માટે nth રુટ ફંક્શનના ગુણધર્મો.

nમી ડિગ્રીનું મૂળ, n એ એક વિષમ સંખ્યા છે.

વિષમ મૂળ ઘાતાંક n સાથેનું nમું મૂળ કાર્ય વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમગ્ર સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. ઉદાહરણ તરીકે, અહીં ફંક્શન ગ્રાફ્સ છે અને , તેઓ કાળા, લાલ અને વાદળી વણાંકોને અનુરૂપ છે.

રુટ ઘાતાંકના અન્ય વિષમ મૂલ્યો માટે, ફંક્શન ગ્રાફનો દેખાવ સમાન હશે.

વિચિત્ર n માટે nth રુટ ફંક્શનના ગુણધર્મો.

પાવર કાર્ય.

પાવર ફંક્શન ફોર્મના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.

ચાલો ઘાતાંકના મૂલ્યના આધારે પાવર ફંક્શનના ગ્રાફના સ્વરૂપ અને પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ.

ચાલો પૂર્ણાંક ઘાતાંક a સાથે પાવર ફંક્શનથી શરૂઆત કરીએ. આ કિસ્સામાં, પાવર ફંક્શનના આલેખનો દેખાવ અને વિધેયોના ગુણધર્મો ઘાતાંકની સમાનતા અથવા વિષમતા, તેમજ તેની નિશાની પર આધારિત છે. તેથી, આપણે સૌપ્રથમ ઘાતાંક a ના વિષમ હકારાત્મક મૂલ્યો માટે પાવર ફંક્શનને ધ્યાનમાં લઈશું, પછી સમ ધન ઘાતાંક માટે, પછી વિષમ નકારાત્મક ઘાતાંક માટે અને છેલ્લે, સમ ઋણ a માટે.

અપૂર્ણાંક અને અતાર્કિક ઘાતાંક (તેમજ આવા પાવર કાર્યોના આલેખનો પ્રકાર) સાથેના પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો ઘાતાંક a ના મૂલ્ય પર આધારિત છે. અમે તેમને ધ્યાનમાં લઈશું, પ્રથમ, શૂન્યથી એક માટે, બીજું, એક કરતા વધુ માટે, ત્રીજું, માઈનસ વનથી શૂન્ય માટે, ચોથું, ઓછા એક કરતા ઓછા માટે.

આ વિભાગના અંતે, પૂર્ણતા માટે, અમે શૂન્ય ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શનનું વર્ણન કરીશું.

વિષમ ધન ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન.

ચાલો વિષમ હકારાત્મક ઘાતાંક સાથેના પાવર ફંક્શનને ધ્યાનમાં લઈએ, એટલે કે, = 1,3,5,.... સાથે.

નીચેની આકૃતિ પાવર ફંક્શનના આલેખ બતાવે છે - કાળી રેખા, - વાદળી રેખા, - લાલ રેખા, - લીલી રેખા. a=1 માટે અમારી પાસે છે રેખીય કાર્ય y=x.

વિષમ હકારાત્મક ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો.

સકારાત્મક ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન.

ચાલો એક સમાન હકારાત્મક ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શનને ધ્યાનમાં લઈએ, એટલે કે, a = 2,4,6,.... માટે

ઉદાહરણ તરીકે, અમે પાવર ફંક્શનના ગ્રાફ આપીએ છીએ - કાળી રેખા, - વાદળી રેખા, - લાલ રેખા. a=2 માટે આપણી પાસે એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે, જેનો આલેખ છે ચતુર્ભુજ પેરાબોલા.

સમાન હકારાત્મક ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો.

વિષમ નકારાત્મક ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન.

ઘાતાંકના વિચિત્ર નકારાત્મક મૂલ્યો માટે પાવર ફંક્શનના આલેખને જુઓ, એટલે કે, = -1, -3, -5,.... માટે.

આકૃતિ પાવર ફંક્શન્સના ગ્રાફને ઉદાહરણ તરીકે બતાવે છે - કાળી રેખા, - વાદળી રેખા, - લાલ રેખા, - લીલી રેખા. a=-1 માટે અમારી પાસે છે વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા, જેનો ગ્રાફ છે અતિશય.

વિષમ નકારાત્મક ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો.

ઋણ ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન.

ચાલો a=-2,-4,-6,…. માટે પાવર ફંક્શન પર આગળ વધીએ.

આકૃતિ પાવર ફંક્શનના આલેખ બતાવે છે - કાળી રેખા, - વાદળી રેખા, - લાલ રેખા.

સમાન નકારાત્મક ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો.

તર્કસંગત અથવા અતાર્કિક ઘાતાંક સાથેનું પાવર ફંક્શન જેનું મૂલ્ય શૂન્ય કરતા વધારે અને એક કરતા ઓછું છે.

ધ્યાન આપો!જો a એ વિષમ છેદ સાથેનો ધન અપૂર્ણાંક છે, તો કેટલાક લેખકો પાવર ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનને અંતરાલ માને છે. તે નિર્ધારિત છે કે ઘાતાંક a એ અપૂર્ણ અપૂર્ણાંક છે. હવે બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત પરના ઘણા પાઠ્યપુસ્તકોના લેખકો દલીલના નકારાત્મક મૂલ્યો માટે વિષમ છેદ સાથેના અપૂર્ણાંકના રૂપમાં ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શનને વ્યાખ્યાયિત કરતા નથી. અમે ચોક્કસપણે આ દૃષ્ટિકોણનું પાલન કરીશું, એટલે કે, અમે સેટને અપૂર્ણાંક હકારાત્મક ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન્સની વ્યાખ્યાના ડોમેન્સ તરીકે ધ્યાનમાં લઈશું. અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે વિદ્યાર્થીઓ મતભેદ ટાળવા માટે આ સૂક્ષ્મ મુદ્દા પર તમારા શિક્ષકનો અભિપ્રાય શોધે.

ચાલો તર્કસંગત અથવા અતાર્કિક ઘાતાંક a, અને સાથે પાવર ફંક્શનને ધ્યાનમાં લઈએ.

ચાલો a=11/12 (કાળી રેખા), a=5/7 (લાલ રેખા), (વાદળી રેખા), a=2/5 (લીલી રેખા) માટે પાવર ફંક્શનના ગ્રાફ રજૂ કરીએ.

એક કરતાં વધુ બિન-પૂર્ણાંક તર્કસંગત અથવા અતાર્કિક ઘાતાંક સાથેનું પાવર ફંક્શન.

ચાલો બિન-પૂર્ણાંક તર્કસંગત અથવા અતાર્કિક ઘાતાંક a, અને સાથે પાવર ફંક્શનને ધ્યાનમાં લઈએ.

ચાલો સૂત્રો દ્વારા આપવામાં આવેલા પાવર ફંક્શનના આલેખ રજૂ કરીએ (અનુક્રમે કાળી, લાલ, વાદળી અને લીલી રેખાઓ).

ઘાતાંક a ના અન્ય મૂલ્યો માટે, ફંક્શનના ગ્રાફ સમાન દેખાવ ધરાવશે.

પર પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો.

વાસ્તવિક ઘાતાંક સાથેનું પાવર ફંક્શન જે માઈનસ એક કરતા વધારે અને શૂન્ય કરતા ઓછું હોય.

ધ્યાન આપો!જો a એ વિષમ છેદ સાથે નકારાત્મક અપૂર્ણાંક છે, તો કેટલાક લેખકો પાવર ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનને અંતરાલ માને છે. . તે નિર્ધારિત છે કે ઘાતાંક a એ અપૂર્ણ અપૂર્ણાંક છે. હવે બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત પરના ઘણા પાઠ્યપુસ્તકોના લેખકો દલીલના નકારાત્મક મૂલ્યો માટે વિષમ છેદ સાથેના અપૂર્ણાંકના રૂપમાં ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શનને વ્યાખ્યાયિત કરતા નથી. અમે ચોક્કસપણે આ દૃષ્ટિકોણનું પાલન કરીશું, એટલે કે, અમે અનુક્રમે અપૂર્ણાંક અપૂર્ણાંક નકારાત્મક ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેન્સને સમૂહ તરીકે ધ્યાનમાં લઈશું. અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે વિદ્યાર્થીઓ મતભેદ ટાળવા માટે આ સૂક્ષ્મ મુદ્દા પર તમારા શિક્ષકનો અભિપ્રાય શોધે.

ચાલો પાવર ફંક્શન પર આગળ વધીએ, kgod.

પાવર ફંક્શનના ગ્રાફના સ્વરૂપનો સારો ખ્યાલ રાખવા માટે, અમે ફંક્શન્સના ગ્રાફના ઉદાહરણો આપીએ છીએ (અનુક્રમે કાળો, લાલ, વાદળી અને લીલા વણાંકો).

ઘાતાંક a, સાથે પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો.

બિન-પૂર્ણાંક વાસ્તવિક ઘાતાંક સાથેનું પાવર ફંક્શન જે માઈનસ એક કરતા ઓછું હોય.

ચાલો પાવર ફંક્શનના ગ્રાફના ઉદાહરણો આપીએ , તેઓ અનુક્રમે કાળી, લાલ, વાદળી અને લીલી રેખાઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યા છે.

માઈનસ એક કરતા ઓછા બિન-પૂર્ણાંક નકારાત્મક ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો.

જ્યારે a = 0 અને આપણી પાસે કાર્ય હોય છે - આ એક સીધી રેખા છે જેમાંથી બિંદુ (0;1) બાકાત રાખવામાં આવે છે (તે અભિવ્યક્તિ 0 0 સાથે કોઈ મહત્વ ન જોડવા માટે સંમત થયું હતું).

ઘાતાંકીય કાર્ય.

મુખ્ય પ્રાથમિક કાર્યોમાંનું એક ઘાતાંકીય કાર્ય છે.

ઘાતાંકીય કાર્યનો ગ્રાફ, જ્યાં અને આધાર a ના મૂલ્યના આધારે વિવિધ સ્વરૂપો લે છે. ચાલો આ બહાર કાઢીએ.

પ્રથમ, જ્યારે ઘાતાંકીય ફંક્શનનો આધાર શૂન્યથી એક મૂલ્ય લે છે, એટલે કે .

ઉદાહરણ તરીકે, અમે = 1/2 – વાદળી રેખા, a = 5/6 – લાલ રેખા માટે ઘાતાંકીય કાર્યના ગ્રાફ રજૂ કરીએ છીએ. ઘાતાંકીય કાર્યના આલેખ અંતરાલથી આધારના અન્ય મૂલ્યો માટે સમાન દેખાવ ધરાવે છે.

એક કરતા ઓછા આધાર સાથે ઘાતાંકીય કાર્યના ગુણધર્મો.

ચાલો જ્યારે ઘાતાંકીય ફંક્શનનો આધાર એક કરતા વધારે હોય, એટલે કે, કેસ તરફ આગળ વધીએ.

એક ઉદાહરણ તરીકે, અમે ઘાતાંકીય કાર્યોના આલેખ રજૂ કરીએ છીએ - વાદળી રેખા અને - લાલ રેખા. એક કરતાં વધુ આધારના અન્ય મૂલ્યો માટે, ઘાતાંકીય કાર્યના આલેખનો દેખાવ સમાન હશે.

એક કરતાં વધુ આધાર સાથે ઘાતાંકીય કાર્યના ગુણધર્મો.

લઘુગણક કાર્ય.

આગામી મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્ય લઘુગણક કાર્ય છે, જ્યાં , . લઘુગણક કાર્ય માત્ર દલીલના હકારાત્મક મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, એટલે કે, માટે.

લઘુગણક કાર્યનો ગ્રાફ આધાર a ના મૂલ્યના આધારે વિવિધ સ્વરૂપો લે છે.

ચાલો કેસ સાથે પ્રારંભ કરીએ જ્યારે .

ઉદાહરણ તરીકે, અમે એક = 1/2 – વાદળી રેખા, a = 5/6 – લાલ રેખા માટે લઘુગણક કાર્યના ગ્રાફ રજૂ કરીએ છીએ. એક કરતાં વધુ ન હોય તેવા આધારના અન્ય મૂલ્યો માટે, લઘુગણક કાર્યના ગ્રાફ સમાન દેખાવ ધરાવશે.

એક કરતા ઓછા આધાર સાથે લઘુગણક કાર્યના ગુણધર્મો.

ચાલો કેસ તરફ આગળ વધીએ જ્યારે લઘુગણક કાર્યનો આધાર એક () કરતા વધારે હોય.

ચાલો લઘુગણક કાર્યોના આલેખ બતાવીએ - વાદળી રેખા, - લાલ રેખા. એક કરતાં વધુ આધારના અન્ય મૂલ્યો માટે, લઘુગણક કાર્યના ગ્રાફ સમાન દેખાવ ધરાવશે.

એક કરતાં વધુ આધાર સાથે લઘુગણક કાર્યના ગુણધર્મો.

ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ.

તમામ ત્રિકોણમિતિ કાર્યો (સાઇન, કોસાઇન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ) મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોથી સંબંધિત છે. હવે આપણે તેમના આલેખ જોઈશું અને તેમની મિલકતોની યાદી કરીશું.

ત્રિકોણમિતિ કાર્યોનો ખ્યાલ છે આવર્તન(પીરિયડ દ્વારા એકબીજાથી ભિન્ન દલીલના વિવિધ મૂલ્યો માટે ફંક્શન મૂલ્યોની પુનરાવૃત્તિ , જ્યાં T સમયગાળો છે), તેથી, ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ગુણધર્મોની સૂચિમાં એક આઇટમ ઉમેરવામાં આવી છે. "સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો". ઉપરાંત, દરેક ત્રિકોણમિતિ કાર્ય માટે, અમે દલીલના મૂલ્યો સૂચવીશું કે જેના પર અનુરૂપ કાર્ય અદૃશ્ય થઈ જાય છે.

હવે ચાલો બધા ત્રિકોણમિતિ વિધેયો સાથે ક્રમમાં વ્યવહાર કરીએ.

સાઈન ફંક્શન y = sin(x) .

ચાલો સાઈન ફંક્શનનો ગ્રાફ દોરીએ, તેને "સાઈન વેવ" કહેવામાં આવે છે.

સાઈન ફંક્શન y = sinx ના ગુણધર્મો.

કોસાઇન ફંક્શન y = cos(x) .

કોસાઇન ફંક્શનનો ગ્રાફ (જેને "કોસાઇન" કહેવાય છે) આના જેવો દેખાય છે:

કોસાઇન ફંક્શનના ગુણધર્મો y = cosx.

સ્પર્શક કાર્ય y = tan(x) .

સ્પર્શક કાર્યનો ગ્રાફ (જેને "ટેન્જેન્ટોઇડ" કહેવાય છે) આના જેવો દેખાય છે:

સ્પર્શક કાર્ય y = tanx ના ગુણધર્મો.

કોટેન્જેન્ટ ફંક્શન y = ctg(x) .

ચાલો કોટેન્જેન્ટ ફંક્શનનો ગ્રાફ દોરીએ (તેને "કોટેન્જેન્ટોઇડ" કહેવામાં આવે છે):

કોટેન્જેન્ટ ફંક્શનના ગુણધર્મો y = ctgx.

વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ.

વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો (આર્ક સાઈન, આર્ક કોસાઈન, આર્ક ટેન્જેન્ટ અને આર્ક કોટેન્જેન્ટ) મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યો છે. ઘણી વખત, ઉપસર્ગ "આર્ક" ને કારણે, વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ વિધેયોને આર્ક ફંક્શન કહેવામાં આવે છે. હવે આપણે તેમના આલેખ જોઈશું અને તેમની મિલકતોની યાદી કરીશું.

આર્ક્સીન ફંક્શન y = આર્ક્સીન(x) .

ચાલો આર્ક્સાઈન ફંક્શનને પ્લોટ કરીએ:

સંદર્ભો.

• કોલ્મોગોરોવ એ.એન., અબ્રામોવ એ.એમ., ડુડનિટ્સિન યુ.પી. અને અન્ય બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત: પાઠ્યપુસ્તક. 10-11 ગ્રેડ માટે. સામાન્ય શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ.
• Vygodsky M.Ya. પ્રાથમિક ગણિતની હેન્ડબુક.
• નોવોસેલોવ S.I. બીજગણિત અને પ્રાથમિક કાર્યો.
• તુમાનોવ S.I. પ્રાથમિક બીજગણિત. સ્વ-શિક્ષણ માટે એક માર્ગદર્શિકા.

શું તમે કાર્યોથી પરિચિત છો y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/xવગેરે. આ તમામ ફંક્શન પાવર ફંક્શનના ખાસ કિસ્સા છે, એટલે કે ફંક્શન y=x પી, જ્યાં p એ આપેલ વાસ્તવિક સંખ્યા છે. પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો અને ગ્રાફ નોંધપાત્ર રીતે વાસ્તવિક ઘાતાંક સાથેના પાવરના ગુણધર્મો પર અને ખાસ કરીને મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે જેના માટે xઅને પીડિગ્રી અર્થપૂર્ણ છે x પી. ચાલો ઘાતાંકના આધારે વિવિધ કેસોની સમાન વિચારણા તરફ આગળ વધીએ પી.

સૂચક p=2n-એક સમાન કુદરતી સંખ્યા.

આ કિસ્સામાં, પાવર કાર્ય y=x 2 એન, ક્યાં n- એક કુદરતી સંખ્યા, જેમાં નીચેના છે

ગુણધર્મો:

વ્યાખ્યાનું ડોમેન - બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, એટલે કે સેટ R;

મૂલ્યોનો સમૂહ - બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ, એટલે કે y 0 કરતાં મોટી અથવા તેની બરાબર છે;

કાર્ય y=x 2 એનપણ, કારણ કે x 2 એન =(-x) 2 એન

કાર્ય અંતરાલ પર ઘટી રહ્યું છે x<0 અને અંતરાલ પર વધે છે x>0.

કાર્યનો આલેખ y=x 2 એનઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શનના ગ્રાફ જેવું જ સ્વરૂપ ધરાવે છે y=x 4 .

2. સૂચક p=2n-1- વિચિત્ર કુદરતી સંખ્યા આ કિસ્સામાં, પાવર કાર્ય y=x 2n-1, જ્યાં કુદરતી સંખ્યા છે, તેમાં નીચેના ગુણધર્મો છે:

વ્યાખ્યાનું ડોમેન - સેટ આર;

મૂલ્યોનો સમૂહ - સેટ આર;

કાર્ય y=x 2n-1વિચિત્ર કારણ કે (- x) 2n-1 =x 2n-1 ;

કાર્ય સમગ્ર વાસ્તવિક ધરી પર વધી રહ્યું છે.

કાર્યનો આલેખ y=x2n-1ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શનના ગ્રાફ જેવું જ સ્વરૂપ ધરાવે છે y=x3.

3.સૂચક p=-2n, ક્યાં n-કુદરતી સંખ્યા.

આ કિસ્સામાં, પાવર કાર્ય y=x -2 એન =1/x 2 એન નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે:

મૂલ્યોનો સમૂહ - હકારાત્મક સંખ્યાઓ y>0;

કાર્ય y =1/x 2 એનપણ, કારણ કે 1/(-x) 2 એન =1/x 2 એન ;

કાર્ય અંતરાલ x પર વધી રહ્યું છે<0 и убывающей на промежутке x>0.

કાર્ય y નો ગ્રાફ =1/x 2 એનઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન y ના ગ્રાફ જેવું જ સ્વરૂપ ધરાવે છે =1/x 2 .

4.સૂચક p=-(2n-1), ક્યાં n- કુદરતી સંખ્યા. આ કિસ્સામાં, પાવર કાર્ય y=x -(2n-1)નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે:

વ્યાખ્યાનું ડોમેન - સેટ R, x=0 સિવાય;

મૂલ્યોનો સમૂહ - R સેટ કરો, સિવાય કે y=0;

કાર્ય y=x -(2n-1)વિચિત્ર કારણ કે (- x) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;

કાર્ય અંતરાલો પર ઘટી રહ્યું છે x<0 અને x>0.

કાર્યનો આલેખ y=x -(2n-1)ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શનના ગ્રાફ જેવું જ સ્વરૂપ ધરાવે છે y=1/x 3 .

1. વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ.

વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ.વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો (પરિપત્ર કાર્યો, ચાપ કાર્યો) - ગાણિતિક કાર્યો કે જે ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના વ્યસ્ત છે.

1. આર્ક્સીન કાર્ય

કાર્યનો આલેખ .

આર્ક્સીનસંખ્યાઓ mઆ કોણ મૂલ્ય કહેવાય છે x, જેના માટે

કાર્ય સતત છે અને તેની સંપૂર્ણ સંખ્યા રેખા સાથે બંધાયેલ છે. કાર્ય સખત રીતે વધી રહી છે.

1. આર્ક્સીન ફંક્શનની પ્રોપર્ટીઝ[ફેરફાર કરો

1. આર્ક્સીન ફંક્શન મેળવવું

તેના સમગ્ર દરમ્યાન ફંક્શન આપેલ છે વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્રતેણી છે ટુકડા પ્રમાણે એકવિધ, અને, તેથી, વ્યસ્ત પત્રવ્યવહાર કાર્ય નથી. તેથી, અમે તે સેગમેન્ટને ધ્યાનમાં લઈશું કે જેના પર તે સખત રીતે વધે છે અને તમામ મૂલ્યો લે છે મૂલ્યોની શ્રેણી- કારણ કે અંતરાલ પરના ફંક્શન માટે દલીલનું દરેક મૂલ્ય ફંક્શનના એક મૂલ્યને અનુરૂપ છે, તો આ અંતરાલ પર ત્યાં છે વ્યસ્ત કાર્ય

જેનો ગ્રાફ સીધી રેખાના સંબંધમાં સેગમેન્ટ પરના ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે સપ્રમાણ છે

પાવર ફંક્શન્સનો અભ્યાસ ગ્રેડ 7 માં ખાસ કેસ સાથે શરૂ થાય છે અને સમગ્ર બીજગણિત અભ્યાસક્રમ દરમિયાન ચાલુ રહે છે. ગ્રેડ 11 સુધી, પાવર ફંક્શન વિશે જ્ઞાન સામાન્ય, વિસ્તૃત અને વ્યવસ્થિત છે.

શૈક્ષણિક સાહિત્યના આ વિશ્લેષણના આધારે ઉપદેશાત્મક માર્ગદર્શિકાની સામગ્રી બનાવવા માટે 9મા ધોરણ માટે શૈક્ષણિક સાહિત્યનું વિશ્લેષણ કરવું આવશ્યક છે.

પાઠ્યપુસ્તક: “બીજગણિત. 9મો ધોરણ.” મોર્ડકોવિચ એ.જી., સેમેનોવ પી.વી. (મેનેમોસીન, 2009)

પાઠ્યપુસ્તક પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે પાવર કાર્યોની ચર્ચા કરે છે. "પાવર ફંક્શન" વિષય પરની સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી અલગ ફકરામાં "સંખ્યાત્મક કાર્યો" પ્રકરણમાં સમાવવામાં આવેલ છે, જે બંને કાર્યો અને તેમના ગુણધર્મો અને આલેખની ચર્ચા કરે છે.

સામગ્રીની રજૂઆત શાળાના બાળકો માટે સુલભ છે, વિગતવાર અને સંપૂર્ણ ઉકેલો સાથે મોટી સંખ્યામાં ઉદાહરણો 1લા ભાગમાં (પાઠ્યપુસ્તકમાં) શામેલ છે, અને સ્વતંત્ર કાર્ય માટેની કસરતો બીજા ભાગમાં (સમસ્યા પુસ્તકમાં) મૂકવામાં આવી છે.

અભ્યાસ સામગ્રીનું માળખું:

પ્રકરણ 3. સંખ્યાત્મક કાર્યો

§12. કાર્યો, તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ.

§13. કાર્યો, તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ.

§14. કાર્ય, તેના ગુણધર્મો અને આલેખ.

આગળ, પાવર ફંક્શન્સને પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેના કાર્યો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (પ્રથમ, પાવર ફંક્શન્સના વિશેષ કેસો આપવામાં આવે છે, પછી સામાન્ય સૂત્ર જાહેર કરવામાં આવે છે). સમ ઘાતાંક અને તેમના આલેખ સાથેના પાવર ફંક્શનને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, જેમાંથી ગુણધર્મો પાછળથી જાહેર કરવામાં આવે છે (મૂલ્યની શ્રેણી અને કાર્યની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર, સમ અને વિષમ, એકવિધતા, સાતત્ય, કાર્યનું સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય, બહિર્મુખતા ). આગળ, અમે વિષમ ઘાતાંક સાથેના પાવર ફંક્શન્સ તેમજ તેમના આલેખ અને ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.

§ 13 માં નકારાત્મક ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા છે: પહેલા સમ ફંક્શન, પછી વિષમ. પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેના પાવર ફંક્શન્સની જેમ, ખાસ કેસો આપવામાં આવે છે:

જે પછી સામાન્ય સૂત્ર જાહેર થાય છે, આલેખ અને ગુણધર્મો પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે

§ 14 માં કાર્ય રજૂ કરવામાં આવ્યું છે

તેના ગુણધર્મો અને આલેખ, તર્કસંગત ઘાતાંક n = સાથે પાવર ફંક્શનના વિશિષ્ટ કેસ તરીકે

આલેખનું રૂપાંતર (સપ્રમાણતા) એ હકીકત પર આવે છે કે સમ ફંક્શનનો ગ્રાફ ઓર્ડિનેટ અક્ષના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે અને મૂળના સંદર્ભમાં એક વિષમ કાર્યનો આલેખ છે. તેથી, સ્ટેપ ફંક્શન્સ માટે, આપેલ ફંક્શનને ચોક્કસ કિરણ પર ગણવામાં આવે છે, તેનો ગ્રાફ બનાવવામાં આવે છે અને, સમપ્રમાણતાનો ઉપયોગ કરીને, સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર ગ્રાફ બનાવવામાં આવે છે. આગળ, ગ્રાફ વાંચવામાં આવે છે, એટલે કે ગ્રાફ યોજના અનુસાર કાર્યના ગુણધર્મોને સૂચિબદ્ધ કરે છે:

1) વ્યાખ્યાનો અવકાશ;

2) સમાન, વિચિત્ર;

3) એકવિધતા;

4) નીચેથી, ઉપરથી મર્યાદા;

5) કાર્યના સૌથી નાના અને સૌથી મોટા મૂલ્યો;

6) સાતત્ય;

7) મૂલ્યોની શ્રેણી;

8) બહિર્મુખતા.

a) જે બિંદુએ x = 0 અને y = 0 પરના મૂલ્યો પ્રાપ્ત થાય છે તે બિંદુ પરના મૂળ સાથે સહાયક સંકલન પ્રણાલી પર જાય છે.

b) ફંક્શનને નવી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ સાથે "બાંધે છે".

ઉદાહરણ 3. ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવો

ઉકેલ. ચાલો મૂળ બિંદુ (-1;-2) (ફિગ. 117 માં ડૅશ કરેલી રેખાઓ) સાથે સહાયક સંકલન સિસ્ટમ તરફ આગળ વધીએ અને નવી સંકલન સિસ્ટમ સાથે કાર્યને "લિંક" કરીએ. અમને જરૂરી ગ્રાફ મળે છે (ફિગ. 117)

સમસ્યા પુસ્તકમાં “બીજગણિત. 9મો ધોરણ.” મોર્ડકોવિચ એ.જી. અને સેમેનોવ પી.વી. દ્વારા સંપાદિત વ્યાયામની વિવિધ સિસ્ટમ રજૂ કરવામાં આવી છે. કસરતનો સમૂહ બે બ્લોકમાં વહેંચાયેલો છે: પ્રથમમાં બે મૂળભૂત સ્તરના કાર્યો છે: મૌખિક (અર્ધ-મૌખિક) અને મધ્યમ મુશ્કેલીના કાર્યો; બીજા બ્લોકમાં સરેરાશથી ઉપરના સ્તરના અથવા વધેલી મુશ્કેલીના કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે. બીજા અને ત્રીજા સ્તરની મોટાભાગની સમસ્યાઓ માટે જવાબો આપવામાં આવે છે. પ્રોબ્લેમ બુકમાં વિવિધ પ્રકારના પાવર ફંક્શનના ગ્રાફ બનાવવા અને તેના ગ્રાફમાંથી ફંક્શનના ગુણધર્મો નક્કી કરવા માટે મોટી સંખ્યામાં વિવિધ કાર્યો છે. ઉદાહરણ તરીકે:

નંબર 12.10. કાર્યનો ગ્રાફ કરો:

નંબર 12.15. સમીકરણને ગ્રાફિકલી ઉકેલો

નંબર 12.19. ફંક્શનનો આલેખ બનાવો અને વાંચો

ફંક્શનનો આલેખ બનાવો અને વાંચો

પાઠ્યપુસ્તક: “બીજગણિત. 9મો ધોરણ.” નિકોલ્સ્કી એસ.એમ., પોટાપોવ એમ.કે., રેશેટનિકોવ એન.એન., શેવકિન એ.વી. (બોધ, 2006)

આ પાઠ્યપુસ્તક સામાન્ય શિક્ષણ વર્ગો માટે પણ બનાવાયેલ છે, જેમાં વધારાની સામગ્રી અને જટિલ કાર્યોને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર નથી. જો ત્યાં પૂરતા કલાકો છે, જો વર્ગ ગણિતમાં રસ બતાવે છે, તો પાઠ્યપુસ્તકના પ્રકરણોના અંતે ઉમેરાઓ, તેમજ પોઈન્ટ અને ફૂદડી સાથેના વ્યક્તિગત કાર્યોને કારણે, જે નિયમિત સામાન્ય શિક્ષણ વર્ગોમાં વૈકલ્પિક છે, તે છે ગણિતના ગહન અભ્યાસ સાથેના વર્ગો માટે કાર્યક્રમ દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવેલ હદ સુધી અભ્યાસ કરવામાં આવતી સામગ્રીની સામગ્રીને વિસ્તૃત અને ઊંડી કરવી શક્ય છે. એટલે કે, પાઠ્યપુસ્તકનો ઉપયોગ ગણિતના ગહન અભ્યાસ સાથે નિયમિત અને વર્ગો બંનેમાં થઈ શકે છે.

અભ્યાસ સામગ્રીનું માળખું:

પ્રકરણ II. સંખ્યાની શક્તિ

§4. રુટ ડિગ્રી

4.1 કાર્ય ગુણધર્મો

4.2 ફંક્શનનો ગ્રાફ

4.3 ડિગ્રીના મૂળનો ખ્યાલ

4.4 સમ અને વિષમ ડિગ્રીના મૂળ

4.5 અંકગણિત મૂળ

4.6 ડિગ્રીના મૂળના ગુણધર્મો

4.7 *કુદરતી સંખ્યાનું મૂળ

4.8 *કાર્ય

વિષયનો અભ્યાસ ફંક્શનના ગુણધર્મો (n = 2 અને n = 3 ના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને) અને તેના ગ્રાફથી શરૂ થાય છે. આગળ, n મૂળ, અંકગણિત મૂળ અને n મૂળના ગુણધર્મો તેમજ અભિવ્યક્તિ રૂપાંતરણ માટે તેમની એપ્લિકેશનની શોધ કરવામાં આવે છે. ગણિતના ગહન અભ્યાસ સાથેના વર્ગોમાં, નીચેના મુદ્દાઓ પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે: “કાર્ય”, “તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ઘાતાંક અને તેના ગુણધર્મો”.

એવી દલીલ કરવામાં આવે છે કે કાર્યોમાં સંખ્યાબંધ સમાન ગુણધર્મો હોય છે (વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર, કાર્યના શૂન્ય, સમાનતા, વિચિત્રતા, સાતત્ય, એકવિધતા અંતરાલ). તેથી, સામાન્ય કિસ્સામાં કાર્યને ધ્યાનમાં લેવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, જ્યાં કેટલીક કુદરતી સંખ્યા છે. ફંક્શનના ગ્રાફની વ્યાખ્યા પેરાબોલાની વ્યાખ્યા દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે. એટલે કે, જાણીતી હકીકત મુજબ ફંક્શનનો ગ્રાફ પેરાબોલા છે, તો પછી આ આલેખને બીજી ડિગ્રીનો પેરાબોલા કહેવામાં આવે છે, ફંક્શનના આલેખને 1 લી ડિગ્રીનો પેરાબોલા કહેવામાં આવે છે અથવા ટૂંકમાં, એક પેરાબોલા. ફંક્શન પ્રોપર્ટીઝ અમુક પુરાવાઓ સાથે બિન-નકારાત્મક માટે જ ગણવામાં આવે છે.

ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવવાનો અભ્યાસ ફક્ત બિન-નકારાત્મક મૂલ્યો માટે એક સંકલન પ્લેન પર ફંક્શનના આલેખને દર્શાવવા સાથે શરૂ થાય છે.

ફંક્શનનો અભ્યાસ ડિગ્રીના અંકગણિત મૂળ વિશે અગાઉ મેળવેલ જ્ઞાન પર આધારિત છે. ફંક્શનનો ગ્રાફ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં રચાયેલ છે. શરૂ કરવા માટે, અમે O કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં પાવર ફંક્શન અને તેના ગ્રાફના નિર્માણને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ આમ, તે સાબિત થાય છે કે ફંક્શનનો ગ્રાફ પાવર પેરાબોલાનો ભાગ છે.

1) જો x = 0, તો y = 0.

2) જો, તો.

3) કાર્ય વધે છે.

4) જો, તો.

5) કાર્ય સતત છે.

"પાવર ફંક્શન" વિષય પર કસરતોની સિસ્ટમ વૈવિધ્યસભર છે. તેમાં મૌખિક અને લેખિત બંને તાલીમ કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે:

નંબર 316. કાર્ય આપેલ છે

આ કાર્યનું અન્વેષણ કરો અને તેનો આલેખ કરો.

નંબર 318. કાર્યનો આલેખ કરો

નંબર 321. એક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, ફંક્શનનો આલેખ બનાવો

નંબર 441. આ માટે ફંક્શનનો આલેખ બનાવો:

નંબર 442. આ માટે ફંક્શનનો આલેખ બનાવો:

પાઠ્યપુસ્તક: “બીજગણિત. 9મો ધોરણ." યુ. એન. મકરીચેવ, એન. જી. મિંડ્યુક, કે. આઈ. નેશકોવ, એસ. બી. સુવેરોવા (એનલાઈટનમેન્ટ, 2009)

આ પાઠ્યપુસ્તક માધ્યમિક શાળાઓ માટે બનાવાયેલ છે.

અભ્યાસ સામગ્રીનું માળખું:

પ્રકરણ IV. તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિ

§9. પાવર કાર્ય

21. સમ અને વિષમ કાર્યો

22. કાર્ય

§10. nમું મૂળ

23. nમા મૂળનું નિર્ધારણ

24. nમી ડિગ્રીના અંકગણિત મૂળના ગુણધર્મો

§11. તર્કસંગત ઘાતાંક અને તેના ગુણધર્મો સાથેની શક્તિ

25. અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીનું નિર્ધારણ

26. તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેના ગુણધર્મ

27. અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે શક્તિઓ ધરાવતી સમીકરણોનું રૂપાંતર

પાવર ફંક્શનનો અભ્યાસ દલીલના બે વિરોધી મૂલ્યો સાથે ફંક્શનના મૂલ્યોની તુલના કરવાના ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને સમ અને વિષમ કાર્યોની વિભાવનાઓની રજૂઆત સાથે શરૂ થાય છે. આગળ, સમાન અને વિષમ કાર્યોની વ્યાખ્યા અનુરૂપ આલેખના નિર્માણ સાથે આપવામાં આવે છે.

એવું કહેવાય છે કે = 1, 2 અને 3 (એટલે ​​​​કે કાર્યો) માટે પાવર ફંક્શન્સ, તેમના ગુણધર્મો અને આલેખનો અગાઉ અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. આગળ, પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો અને કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા માટે તેના ગ્રાફના લક્ષણો સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે. વિધેયોને ધ્યાનમાં લો જ્યારે ઘાતાંક n એ સમ સંખ્યા હોય, તો n એ એક વિષમ સંખ્યા હોય. સ્કીમ મુજબ, ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને ગુણધર્મોનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે:

1. વ્યાખ્યાનો અવકાશ;

2. અર્થની શ્રેણી;

3. કાર્ય શૂન્ય;

4. સમાનતા;

5. વિચિત્ર સમાનતા;

6. કાર્યની એકવિધતા.

પ્રકરણનો આગળનો ફકરો nમા મૂળને સમર્પિત છે, જેમાં વ્યાખ્યા રજૂ કરવામાં આવી છે અને ગુણધર્મોની ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

વ્યાખ્યા પુનરાવર્તિત થાય છે: સંખ્યાનું વર્ગમૂળ એવી સંખ્યા છે જેનો વર્ગ a બરાબર છે. કોઈપણ કુદરતી શક્તિ n નું મૂળ સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: સંખ્યા a નું nth રુટ એ સંખ્યા છે જેની nth શક્તિ a ની બરાબર છે. આ કરવા માટે, આપણે સૌપ્રથમ વિષમ ઘાતાંક n અને તેના ગ્રાફ સાથેના પાવર ફંક્શનને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, જે દર્શાવે છે કે કોઈપણ સંખ્યા a માટે x નું અનન્ય મૂલ્ય છે, જેની nમી ઘાત a ની બરાબર છે. પછી આપણે એક સમાન ઘાતાંક n સાથેના પાવર ફંક્શનને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, અને, જો, x ના બે વિરોધી મૂલ્યો છે, કારણ કે ત્યાં આવી એક સંખ્યા છે (સંખ્યા 0), કારણ કે આવી કોઈ સંખ્યાઓ નથી.

પ્રકરણના અંતે, તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી અને તેના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.

કસરતની પદ્ધતિ વૈવિધ્યસભર છે. ઉદાહરણ તરીકે:

નંબર 503. ફંક્શનનો ગ્રાફ સ્કેચ કરો

નંબર 508. સમીકરણને ગ્રાફિકલી ઉકેલો

નંબર 513. ફંક્શનના ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને, સમીકરણ ઉકેલો

નંબર 580. કાર્યનો આલેખ કરો

નંબર 644. ફંક્શન f નો આલેખ બનાવો, તે જાણીને કે તે વિચિત્ર છે અને તેનું મૂલ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે

નંબર 643. કાર્યનો આલેખ કરો

નંબર 663. કાર્યનો આલેખ કરો. ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને, મૂળના મૂલ્યોની તુલના કરો

નંબર 669. કાર્યનો આલેખ કરો

પાઠ્યપુસ્તક: “બીજગણિત. 9મો ધોરણ." શ.એ. અલીમોવ, યુ. એમ. કોલ્યાગિન, યુ. વી. સિદોરોવ અને અન્યો (એનલાઈટનમેન્ટ, 2009)

આ વિષયનો અભ્યાસ કરતી વખતે, કાર્યોના ગુણધર્મો અને ગ્રાફ પર આ ગુણધર્મોના પ્રદર્શન પર વિશેષ ધ્યાન આપવામાં આવે છે. તે જ સમયે, ફંક્શન ગ્રાફના સરળ પરિવર્તન કરવા માટે પ્રારંભિક કુશળતા વિકસાવવામાં આવે છે.

અભ્યાસ સામગ્રીનું માળખું:

પ્રકરણ III. પાવર કાર્ય

§12. કાર્ય ડોમેન

§13. કાર્યમાં વધારો અને ઘટાડો

§14. સમ અને વિષમ કાર્ય

§15. કાર્ય

§16. ડિગ્રી ધરાવતી અસમાનતા અને સમીકરણો

આ પ્રકરણનો મુખ્ય ધ્યેય માત્ર વિદ્યાર્થીઓને પાવર ફંક્શનનો પરિચય કરાવવાનો નથી, પરંતુ ક્ષમતા વિકસાવવા માટે સમગ્ર ફંક્શનના ગુણધર્મો વિશેની જાણીતી માહિતીને વિસ્તૃત કરવાનો પણ છે. આપેલ ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને કાર્યોનો અભ્યાસ કરવા માટે,

આ પ્રકરણની સામગ્રીનો અભ્યાસ કરતી વખતે, વિદ્યાર્થીઓની કાર્યાત્મક સમજ ઊંડી અને નોંધપાત્ર રીતે વિસ્તૃત થાય છે.

§12 માં ફંક્શનની વ્યાખ્યા, દલીલ અને ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન ઘડવામાં આવે છે. ફંક્શનના ગ્રાફની વ્યાખ્યા અને તેના નિર્માણ માટેની પદ્ધતિઓ, જેમાં પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ શામેલ છે, યાદ કરવામાં આવે છે.

§13 માં અમે પાવર ફંક્શનનો ખ્યાલ રજૂ કરીએ છીએ. ઉદાહરણો વ્યાખ્યાનો અવકાશ દર્શાવે છે; વધતા અને ઘટતા કાર્યોની વ્યાખ્યાઓ યાદ કરવામાં આવે છે, અને વધતા અને ઘટતા શક્તિ કાર્યોની વ્યાખ્યાઓ આપવામાં આવે છે.

સમ અને વિષમ કાર્યોનો વિચાર વિદ્યાર્થીઓને દ્રશ્ય સ્તરે આપવામાં આવે છે. પાઠ્યપુસ્તક બે સમસ્યાઓની ચર્ચા કરે છે જેમાં તમારે ફંક્શનના ગ્રાફ બનાવવાની જરૂર છે અને. આ કાર્યોના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે અને, સમપ્રમાણતાના આધારે, કાર્યની સમાનતા અથવા વિચિત્રતા વિશેના ખ્યાલો આપવામાં આવે છે.

§15 માં, વિદ્યાર્થીઓ k ના વિવિધ મૂલ્યો માટે ફંક્શનની સમજ મેળવે છે, ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવતા શીખે છે અને તેને વાંચે છે (એટલે ​​​​કે, તેના ગ્રાફમાંથી ફંક્શનના ગુણધર્મો નક્કી કરો). ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને, વ્યસ્ત પ્રમાણની વિભાવના, જેનો ઉલ્લેખ માત્ર 8મા ધોરણના બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાં કરવામાં આવ્યો હતો, તે સ્પષ્ટ થાય છે.

k > 0 માટે ફંક્શનનો અભ્યાસ કરતી વખતે, ફંક્શનને પ્રથમ પાવર ફંક્શનના વિશિષ્ટ કેસ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે: k પરિમાણમાં થતા ફેરફારોને ધ્યાનમાં લેતા.

આ વિભાગ ચાર સમસ્યાઓની ચર્ચા કરે છે જેમાં ફંક્શનના આલેખ બાંધવા જરૂરી છે. સમસ્યા 1 માં, ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવવા માટે, અગાઉના ફકરામાં અભ્યાસ કરેલ ફંક્શનના તમામ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. કાર્ય 2 માં, ફંક્શન ગ્રાફ બનાવતી વખતે, એબ્સીસા અક્ષ સાથે ફંક્શન ગ્રાફના પહેલાથી જ જાણીતા સ્ટ્રેચિંગનો 2 ગણો ઉપયોગ થાય છે. અને, આ બે સમસ્યાઓના આધારે, ફંક્શનના ગુણધર્મો માટે અને ઘડવામાં આવે છે.

કાર્ય 4 માં, ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવવો જરૂરી છે (કાર્યો 1-2 પર આધારિત), એટલે કે, આ ફંક્શનનો ગ્રાફ ઓક્સ અક્ષ સાથે ફંક્શનના ગ્રાફને એક દ્વારા જમણી તરફ ખસેડીને બનાવી શકાય છે અને ઓય અક્ષ સાથે 2 એકમો નીચે.

કસરત પ્રણાલી વિવિધ પ્રકારના કાર્યો રજૂ કરે છે: વધેલી જટિલતાના ફરજિયાત અને વધારાના કાર્યો બંને.

પાવર ફંક્શન્સના ગ્રાફ બનાવવા માટેના કાર્યોમાં, નીચેની કસરતોને અલગ કરી શકાય છે:

નંબર 164. આલેખ બનાવો અને વધતા અને ઘટતા કાર્યોના અંતરાલો શોધો

નંબર 166. પર ફંક્શનના ગ્રાફનો સ્કેચ દોરો

નંબર 171. આલેખ બનાવો અને વધતા અને ઘટતા કાર્યોના અંતરાલો શોધો

નંબર 174. ફંક્શનનો ગ્રાફ સ્કેચ કરો

નંબર 179. ફંક્શનના ગુણધર્મો શોધો અને તેનો ગ્રાફ બનાવો

નંબર 180. કાર્યનો આલેખ કરો

નંબર 191. કાર્યનો આલેખ કરો

નંબર 218. ફંક્શન સમ છે કે વિષમ છે તે શોધો

જે વિદ્યાર્થીઓ મટીરીયલનો અભ્યાસ કરે છે તેઓ વ્યાખ્યાના ડોમેન, સમ અને વિષમ કાર્યો, અંતરાલ પર વધતા અને ઘટતા કાર્યો જેવા વિભાવનાઓને માસ્ટર કરે છે.

8મા ધોરણના બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાં વિદ્યાર્થીઓને કાર્યોમાં વધારો અને ઘટાડો કરવાની વિભાવનાનો સામનો કરવો પડ્યો, પરંતુ જ્યારે આ વિષયનો અભ્યાસ કરવામાં આવે ત્યારે જ આ ખ્યાલોની વ્યાખ્યાઓ રચાય છે, અને તેથી, અંતરાલ પર ચોક્કસ કાર્યમાં વધારો અથવા ઘટાડો વિશ્લેષણાત્મક રીતે સાબિત કરવું શક્ય બને છે. (જો કે, આવા પુરાવાઓ હાથ ધરવા એ જરૂરી કૌશલ્યોમાંથી એક નથી). વિદ્યાર્થીઓ પ્રશ્નમાં ફંક્શનના ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનના વધતા અંતરાલોને શોધવાનું શીખે છે.

વિષયનો અભ્યાસ કરતી વખતે, અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેના પાવર ફંક્શનના ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લેવામાં આવતા નથી, કારણ કે આ અભ્યાસક્રમમાં તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિની વિભાવના રજૂ કરવામાં આવી નથી.

દરેક ચોક્કસ ફંક્શનનો અભ્યાસ કરતી વખતે (વિધેયો સહિત), વિદ્યાર્થીઓ પ્રશ્નમાં ફંક્શનના ગ્રાફનો સ્કેચ દોરવા અને ગ્રાફના આધારે તેના ગુણધર્મોની સૂચિ બનાવી શકશે.

પાઠ્યપુસ્તક: “બીજગણિત. ગહન અભ્યાસ. 9મો ધોરણ.” મોર્ડકોવિચ એ.જી. (મેનેમોસીન, 2006)

અમે 2006 માટે પાઠ્યપુસ્તક લીધું, કારણ કે આ પાઠ્યપુસ્તક, પછીની આવૃત્તિઓથી વિપરીત, તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી વિષયનો સમાવેશ કરે છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, હાલમાં, આ વિષય હાઇસ્કૂલમાં અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, પરંતુ મલ્ટીમીડિયા મેન્યુઅલમાં અમે તેને પ્રોપેડ્યુટિક સામગ્રી તરીકે સામેલ કર્યો છે.

આ પુસ્તક હાઈસ્કૂલના 9મા ધોરણમાં ગણિતના ગહન અભ્યાસ માટે બનાવાયેલ છે. આ પાઠ્યપુસ્તક સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ (A. G. Mordkovich. Algebra-9) માટે 9મા ધોરણના પાઠ્યપુસ્તકના આધારે લખવામાં આવ્યું છે. તે સમાન પ્રોગ્રામનો અમલ કરે છે, પરંતુ તફાવત એ કોર્સના સંબંધિત મુદ્દાઓનો વધુ ઊંડાણપૂર્વકનો અભ્યાસ છે: સરળ ઉદાહરણો વધુ જટિલ અને રસપ્રદ મુદ્દાઓ દ્વારા બદલવામાં આવે છે.

અભ્યાસ સામગ્રીનું માળખું:

પ્રકરણ 4. પાવર કાર્યો. શક્તિઓ અને મૂળ

§17. ઋણ પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે પાવર

§18. કાર્યો, તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ

§19. વાસ્તવિક સંખ્યાના nમા મૂળનો ખ્યાલ

§20. કાર્યો, તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ

§21. nમા મૂળના ગુણધર્મો

§22. રેડિકલ ધરાવતા અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર

§23. ઘાતાંકની વિભાવનાનું સામાન્યીકરણ

§24. કાર્યો, તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ

§ 18 માં આપણે પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શન્સ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, એટલે કે કાર્યો, વગેરે. આ વિભાગ ફકરાઓમાં વહેંચાયેલો છે:

લેખક યાદ કરે છે કે આવા કાર્યનો સૌથી સરળ કેસ 7 મા ધોરણમાં માનવામાં આવતો હતો - તે એક કાર્ય હતું. આ ફકરો કાર્યની વિચારણા સાથે શરૂ થાય છે. એક ગ્રાફ બનાવવામાં આવે છે અને આ કાર્યના ગુણધર્મો ચોક્કસ ક્રમમાં સૂચિબદ્ધ થાય છે: 1) વ્યાખ્યાનું ડોમેન; 2) સમાન, વિચિત્ર; 3) એકવિધતા; 4) નીચેથી, ઉપરથી મર્યાદા; 5) કાર્યના સૌથી નાના અને સૌથી મોટા મૂલ્યો; 6) સાતત્ય; 7) મૂલ્યોની શ્રેણી; 8) બહિર્મુખતા.

પ્રોપર્ટીઝને ગ્રાફિકલી વાંચવામાં આવી છે.

લેખક નિષ્કર્ષ પર આવે છે કે કોઈપણ પાવર ફંક્શનનો ગ્રાફ ફંક્શનના ગ્રાફ જેવો જ હોય ​​છે, માત્ર તેની શાખાઓ ઉપર તરફ દિશામાન થાય છે અને સેગમેન્ટ પરના x-અક્ષ તરફ વધુ દબાવવામાં આવે છે અને નોંધે છે કે વળાંક બિંદુ પર x-અક્ષને સ્પર્શે છે. (0;0).

ફકરાના અંતે ફંક્શન કન્સ્ટ્રક્શનનો ગ્રાફ બનાવવાનું ઉદાહરણ છે: 1) બિંદુ (1; -2) પર શરૂઆત સાથે સહાયક સંકલન સિસ્ટમમાં સંક્રમણ; 2) વળાંકનું કાવતરું.

1) કાર્ય

વિષમ ઘાતાંક સાથેના પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો અને ગ્રાફને પ્રથમ ફંક્શનના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને તપાસવામાં આવે છે જેનો ગ્રાફ ક્યુબિક પેરાબોલા છે.

લેખક નિષ્કર્ષ પર આવે છે કે કોઈપણ પાવર ફંક્શનનો ગ્રાફ ફંક્શનના ગ્રાફ જેવો જ હોય ​​છે, ઘાતાંક જેટલો મોટો હોય, તેટલી જ વધારે ઉપરની તરફ (અને તે મુજબ, નીચે તરફ) ગ્રાફની શાખાઓ નિર્દેશિત થાય છે અને નોંધ કરે છે કે વળાંક બિંદુ પર x-અક્ષ (0;0).

નીચે આપેલ એક સમીકરણને ઉકેલવા માટે પાવર ફંક્શનના ગ્રાફનો ઉપયોગ કરવાનું ઉદાહરણ છે: 1) બે કાર્યો ગણવામાં આવે છે: અને; 2) કાર્યનું કાવતરું બનાવવું; 2) એક રેખીય કાર્ય કાવતરું; 4) આંતરછેદ બિંદુ શોધો અને તપાસ કરો.

2) કાર્ય

અમે નકારાત્મક પૂર્ણાંક ઘાતાંક (પણ) સાથે પાવર ફંક્શન્સ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. પ્રથમ આપણે ઉદાહરણ ફંક્શન જોઈએ. એક ગ્રાફ બનાવવામાં આવે છે અને આ કાર્યના ગુણધર્મો સૂચિબદ્ધ છે. ખાસ કરીને, અમે ગુણધર્મને સાબિત કરીએ છીએ કે જેના પર કાર્ય ઘટે છે.

મલ્ટીમીડિયા વિઝ્યુઅલ ફંક્શન સ્કૂલ મેથેમેટિક્સ

3) કાર્ય

આ કિસ્સામાં, અમે ઋણ પૂર્ણાંક ઘાતાંક (વિષમ) સાથે પાવર ફંક્શનને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ: વગેરે. લેખક યાદ કરે છે કે આવા એક ફંક્શનનો 8મા ધોરણમાં અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો - આ. તેના ગુણધર્મો અને ગ્રાફ (હાયપરબોલા) યાદ કરવામાં આવે છે, અને નિષ્કર્ષ દોરવામાં આવે છે કે કોઈપણ કાર્યનો આલેખ હાયપરબોલા જેવો જ છે.

§ 19 માં વાસ્તવિક સંખ્યાના nમા મૂળની વિભાવના આપવામાં આવી છે અને, ખાસ કરીને, તે નોંધ્યું છે કે કોઈપણ બિન-નકારાત્મક સંખ્યામાંથી વ્યક્તિ કોઈપણ ડિગ્રી (બીજા, ત્રીજા, ચોથા, વગેરે) નું મૂળ કાઢી શકે છે, અને ઋણ સંખ્યામાંથી એક કોઈપણ વિષમ ડિગ્રીનું મૂળ કાઢી શકે છે.

§ 20 માં આપણે આપેલ ફંક્શન વિશે વાત કરીએ છીએ, અને ચોક્કસ ઉદાહરણ (at) નો ઉપયોગ કરીને તેના ગ્રાફ અને ગુણધર્મોનું પરીક્ષણ કરીએ છીએ. ફંક્શનનો ગ્રાફ અને ફંક્શનનો ગ્રાફ દર્શાવતી આકૃતિના આધારે, આ આલેખની સમપ્રમાણતા નક્કી કરવામાં આવે છે અને પછી વિશ્લેષણાત્મક રીતે પુષ્ટિ કરવામાં આવે છે.

આ વિભાગ કોઈપણ મૂલ્યો માટે વિષમના કિસ્સામાં કાર્યની પણ ચર્ચા કરે છે. આ કાર્યના ગુણધર્મોની ચર્ચા કરવામાં આવે છે અને ગ્રાફ દોરવામાં આવે છે.

· જો એક સમાન સંખ્યા હોય, તો ફંક્શનના ગ્રાફમાં ફિગમાં બતાવેલ ફોર્મ છે. 1;

· જો એક વિષમ સંખ્યા છે, તો ફંકશનના ગ્રાફમાં ફિગમાં બતાવેલ ફોર્મ છે. 2.

§ 24 માં આપણે ફોર્મના કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ - કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા (અમે તમારી જાતને તર્કસંગત ઘાતાંકના કિસ્સાઓમાં મર્યાદિત કરીએ છીએ).

1. જો કુદરતી સંખ્યા છે, તો આપણને એક કાર્ય મળે છે (ગ્રાફિક્સ અને ગુણધર્મો જાણીતા છે)

2. જો, તો આપણને ફંક્શન મળે છે, એટલે કે. સમના કિસ્સામાં, ગ્રાફમાં ફિગમાં બતાવેલ સ્વરૂપ છે. 3a, વિષમ કિસ્સામાં, ગ્રાફમાં ફિગમાં બતાવેલ સ્વરૂપ છે. 3 બી

ચોખા

3. જો, એટલે કે, આપણે ફંક્શન વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, તો આ એક ફંક્શન છે જ્યાં

ફોર્મના કોઈપણ પાવર ફંક્શન માટે પરિસ્થિતિ લગભગ સમાન છે, જ્યાં:

1. - અયોગ્ય અપૂર્ણાંક (અંશ છેદ કરતા મોટો છે). તેનો ગ્રાફ પેરાબોલાની શાખા જેવો જ વળાંક છે. સૂચક જેટલું ઊંચું હશે, તેટલું “સ્ટીપર” આ વળાંક ઉપરની તરફ નિર્દેશિત થશે. એક ગ્રાફ બનાવવામાં આવે છે અને ગુણધર્મો આપવામાં આવે છે.

2. - યોગ્ય અપૂર્ણાંક () (§ 20). એક ગ્રાફ બનાવવામાં આવે છે અને ગુણધર્મો આપવામાં આવે છે.

એક ગ્રાફ બનાવવામાં આવે છે અને ગુણધર્મો આપવામાં આવે છે.

સમસ્યા પુસ્તકમાં “બીજગણિત. ગહન અભ્યાસ. 9મો ધોરણ.” ઝાવિચ એલ.આઈ., રાયઝાનોવ્સ્કી એ.આર. કસરતની વિવિધ સિસ્ટમ રજૂ કરે છે. જેમ જેમ તેમની સીરીયલ નંબરો વધે છે તેમ તેમ કાર્યોની જટિલતા વધે છે. સમસ્યા પુસ્તકમાં વિવિધ પ્રકારનાં પાવર ફંક્શન્સના ગ્રાફ બનાવવા, તેના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવા અને લાગુ કરવા પર મોટી સંખ્યામાં વિવિધ કસરતો શામેલ છે.

ઉદાહરણ તરીકે:

નંબર 17.05. એક ડ્રોઇંગ પર ફંક્શન ગ્રાફ બનાવો

પ્લોટ ફંક્શન ગ્રાફ્સ

નંબર 17.35. કાર્યનો આલેખ કરો

અને આલેખનો ઉપયોગ કરીને, તેની એકવિધતા, અંતિમ બિંદુઓ, અંતિમ અને તેના શૂન્યની સંખ્યાના અંતરાલો દર્શાવે છે.

કાર્યોનો આલેખ કરો:

નંબર 19.01. એક ડ્રોઇંગ પર ફંક્શન ગ્રાફ્સ બનાવો

નંબર 19.04. પ્લોટ કાર્ય આલેખ

નંબર 19.22. આલેખ બનાવો અને કાર્ય સંશોધન કરો

નંબર 21.01. એક ડ્રોઇંગ પર ફંક્શનના આલેખ બનાવો, માટે અને, માટે અને ફંક્શનના ગુણધર્મોને સૂચિબદ્ધ કરો: a) વ્યાખ્યા D(y) નું ડોમેન; b) મૂલ્યોનો સમૂહ E(y); c) કાર્યના શૂન્ય; ડી) એકવિધતાના અંતરાલો; e) બહિર્મુખ અંતરાલ; f) એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ; g) ચરમસીમાઓ; h) સમાન અથવા વિષમ; i) સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો.

નંબર 21.03. નીચેના કાર્યોનું પ્લોટ અને અન્વેષણ કરો

નંબર 21.11. એક ડ્રોઇંગ પર ફંક્શન ગ્રાફ બનાવો

સેગમેન્ટ પર

નંબર 21.17. પ્લોટ ફંક્શન ગ્રાફ્સ

નંબર 25.01. સમાન ડ્રોઇંગ પર નીચેના કાર્યોની જોડીના ગ્રાફ સ્કેચ બનાવો

નં. 25.05. ફંક્શનના આલેખ બનાવો અને તેમના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરો

નંબર 25.06. નજીકના રેખાંકનો પર ફંક્શન ગ્રાફ્સ બનાવો

નંબર 25.18. પ્લોટ ફંક્શન ગ્રાફ્સ

નં. 25.30. પ્લોટ ફંક્શન ગ્રાફ્સ

શૈક્ષણિક સાહિત્યનું વિશ્લેષણ આપણને કેટલાક તારણો કાઢવા દે છે

ગણિતમાં મૂળભૂત સામાન્ય શિક્ષણના ધોરણને ધ્યાનમાં લેતા, આપણે જોઈએ છીએ કે વિદ્યાર્થીઓએ નીચેના પ્રકારના પાવર ફંક્શનનો અભ્યાસ કરવો જોઈએ:

ખાસ કિસ્સાઓ (સીધા, વ્યસ્ત પ્રમાણસરતા, ચતુર્ભુજ કાર્ય),

કુદરતી સૂચક સાથે,

સંપૂર્ણ સૂચક સાથે

સકારાત્મક તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે,

તર્કસંગત સૂચક સાથે,

અતાર્કિક સૂચક સાથે,

માન્ય સૂચક સાથે.

આ વિષયમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ફંક્શન ગ્રાફની છબીની રચના દ્વારા ભજવવામાં આવે છે. વિદ્યાર્થીઓ પણ સક્ષમ હોવા જોઈએ: ફંક્શનના ગુણધર્મો તેના આલેખમાંથી નક્કી કરવા; અભ્યાસ કરેલા કાર્યોના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરો, તેમના આલેખ બનાવો. ધોરણની વિચારણા અમને નિષ્કર્ષ પર આવવા દે છે કે "પાવર ફંક્શન" વિષય શાળાના બાળકોના ફરજિયાત ન્યૂનતમ જ્ઞાન, કુશળતા અને ક્ષમતાઓમાં શામેલ છે અને તેથી, તેના પર અમારું ધ્યાન સંપૂર્ણપણે ન્યાયી છે.

પાવર ફંક્શન વિશે મજબૂત કુશળતા વિકસાવવા માટે, "પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો" વિષયની પદ્ધતિનો અભ્યાસ કરવો જરૂરી છે, જેના પર આપણે આગળ વધી રહ્યા છીએ.

2. શાળામાં "પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો" વિષયના અભ્યાસ માટે પદ્ધતિસરનો આધાર

પાવર ફંક્શન એ પ્રાથમિક કાર્યોના વર્ગનું છે.

તેના અભ્યાસનો હેતુ માત્ર પાવર ફંક્શનથી વિદ્યાર્થીઓને પરિચિત કરવાનો નથી, પરંતુ સામાન્ય રીતે ફંક્શનના ગુણધર્મો વિશે તેઓ જાણે છે તે માહિતીને વિસ્તૃત કરવાનો પણ છે.

"પાવર ફંક્શન" વિષયનો અભ્યાસ કરતી વખતે, તેઓ મુખ્યત્વે કાર્યોના અભ્યાસની વિશ્લેષણાત્મક અને ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરે છે. વિદ્યાર્થીઓ માટે વિશ્લેષણાત્મક સંશોધનને સમજવું મુશ્કેલ હોય તેવા કિસ્સામાં, ગ્રાફિકલ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, પરંતુ બાદમાં પુરાવા તરીકે સેવા આપી શકતું નથી.

વિદ્યાર્થીઓ મોટી સંખ્યામાં ગ્રાફિક કાર્યો કરે છે, અને તેમના અમલીકરણની ચોકસાઈ અને ચોકસાઈ પર જ નહીં, પણ ગ્રાફ બનાવવા માટેની તર્કસંગત તકનીકો પર પણ ધ્યાન આપવામાં આવે છે.

પાવર ફંક્શન્સના ગ્રાફ બનાવવા અને વાંચવામાં મજબૂત કૌશલ્ય વિકસાવવાનું શક્ય છે અને જો વિદ્યાર્થીઓ પૂરતી સંખ્યામાં તાલીમ કસરતો પૂર્ણ કરે તો જ દરેક વિદ્યાર્થી મૂળભૂત પ્રકારનાં કાર્યો સ્વતંત્ર રીતે કરી શકે તેની ખાતરી કરવી.

ઉદાહરણ તરીકે, "શાળામાં ગણિત" મેગેઝિનમાં લોપાટિના, એલ.વી. નીચેના વર્કશોપ પાઠ આપે છે:

પાઠ-વર્કશોપનો હેતુ વિદ્યાર્થીઓને તેમના પોતાના કાર્ય દ્વારા જ્ઞાન મેળવવાનો છે. વિકાસલક્ષી શિક્ષણ શાસ્ત્રનું આ મુખ્ય સૂત્ર છે. "પાવર ફંક્શન" વિષય આખા વર્ગના સર્જનાત્મક કાર્ય માટે ખૂબ જ યોગ્ય છે, કારણ કે પાવર ફંક્શન (કોઈ પણ તર્કસંગત સંખ્યા ક્યાં છે) વાસ્તવમાં વિધેયોનો સમૂહ છે જે ઘાતાંકના આધારે વિવિધ ગુણધર્મો ધરાવે છે.

આ ગુણધર્મોની ચર્ચા જૂથોમાં શ્રેષ્ઠ રીતે ગોઠવવામાં આવે છે. આ કરવા માટે, વર્ગને છ જૂથોમાં વિભાજીત કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

સૌ પ્રથમ, શિક્ષકે "વર્કશોપ" માં કાર્યના ક્રમની કલ્પના કરવાની જરૂર છે:

સ્ટેજ I - ઇન્ડક્શન - અગાઉના અનુભવ માટે અપીલ;

સ્ટેજ III - ગેપ - તે ક્ષણ જ્યારે વિદ્યાર્થીઓએ સમજવું જોઈએ કે તેમના જ્ઞાનમાં અંતર છે જે તેમણે પોતે ભરવા જોઈએ;

સ્ટેજ IV - પ્રતિબિંબ - એસિમિલેશનની ડિગ્રી નક્કી કરવી.

ચાલો પાઠના દરેક તબક્કાનું વધુ વિગતમાં વર્ણન કરીએ.

સ્ટેજ I - ઇન્ડક્શન. શિક્ષક યાદ કરાવે છે કે ફંક્શન્સ, તેમની પ્રોપર્ટીઝ અને આલેખનો વર્ગમાં પહેલેથી જ અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. આ કાર્યોને સામાન્ય રીતે સૂત્ર દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે: , જ્યાં - અમુક પૂર્ણાંક છે. આવા કાર્યને પાવર ફંક્શન કહેવામાં આવે છે. વર્ગને નીચેનું કાર્ય આપવામાં આવ્યું છે: નવી સુવિધા શીખતી વખતે અમારે જવાબ આપવાના હોય તેવા પ્રશ્નોની યાદી બનાવો.

વર્ગ જૂથોમાં આ પ્રશ્નોની ચર્ચા કરે છે, અને પછી જૂથમાંથી બધા પ્રશ્નો એક યાદીમાં એકત્રિત કરવામાં આવે છે:

· આ કાર્યમાં કયા ગુણધર્મો છે?

તેણીનું શેડ્યુલ શું છે?

· કઈ પરિસ્થિતિઓમાં તેનો ઉપયોગ થાય છે?

ચાલો છેલ્લા પ્રશ્નનો જવાબ આપીને શરૂઆત કરીએ. ચાલો ઘણી પરિસ્થિતિઓના ઉદાહરણો આપીએ જેમાં પાવર ફંક્શન દેખાય છે.

ત્રણ વિદ્યાર્થીઓ વારાફરતી બોર્ડ પર આવે છે અને ઘરે તૈયાર કરેલા સંદેશાઓ બનાવે છે.

પ્રથમ વિદ્યાર્થી વાયર વ્યાસનો ક્રોસ-વિભાગીય વિસ્તાર ક્યાં છે તે કાર્યને ધ્યાનમાં લે છે. વિદ્યાર્થીઓ જોશે કે આ પાવર ફંક્શન વાસ્તવમાં એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે, પરંતુ દલીલના મૂલ્ય પર પ્રતિબંધો સાથે.

બીજો વિદ્યાર્થી એ હકીકત વિશે વાત કરે છે કે સમૂહ સાથેના બે શરીર વચ્ચેના આકર્ષણનું બળ સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત થાય છે. આ આ સંસ્થાઓ વચ્ચેના અંતરનું કાર્ય છે. વર્ગમાં એક વિદ્યાર્થી હશે જે જોશે કે અમે પહેલેથી જ આ પ્રકારનું કાર્ય રચ્યું છે, જો કે અમે તેનો વિશેષ અભ્યાસ કર્યો નથી.

ત્રીજો વિદ્યાર્થી નિરીક્ષકથી ક્ષિતિજના અંતરનું વિશ્લેષણ કરે છે: . આ ઊંચાઈનું એક કાર્ય છે કે જેના પર નિરીક્ષકને સમુદ્ર સપાટીથી ઉપર ઉઠાવવામાં આવે છે. જો બાળકોએ પોતે આની નોંધ લીધી ન હોય, તો શિક્ષકે ભાર મૂકવો જોઈએ કે અહીં મૂલ્ય અનિશ્ચિતપણે વધી શકતું નથી. ખરેખર, નિરીક્ષક ગમે તેટલો ઊંચો હોય, તે તેની દ્રષ્ટિની ક્ષમતાઓ અને વિશ્વની બહિર્મુખતાને મંજૂરી આપે છે તે કરતાં વધુ જોઈ શકતો નથી. આ ઉદાહરણ ખાસ કરીને સૂચક છે, કારણ કે તે અમને ફંક્શનના મૂલ્યો પરના પ્રતિબંધોની યોગ્યતા નક્કી કરવા દે છે. અહીં આપણે ફંક્શનના મૂલ્યો પર કેટલાક નિયંત્રણો લાદવા જોઈએ, જો કે સૈદ્ધાંતિક રીતે કહીએ તો, મૂલ્યો અમર્યાદિત રીતે વધી શકે છે.

સ્ટેજ II - વિષયની ચર્ચા. વિદ્યાર્થીઓને તેમના પસંદ કરેલા પાવર ફંક્શનમાંથી એકના ગુણધર્મોને તપાસવા માટે થોડો સમય આપવામાં આવે છે. અહીં મુખ્ય સમસ્યા કાર્યની પસંદગી છે. એક જૂથ સમસ્યાને સરળ બનાવવાનું વલણ ધરાવે છે, પોતાને એક પ્રકાર કાર્ય સુધી મર્યાદિત કરે છે જે તમામ વિદ્યાર્થીઓ માટે સારી રીતે જાણીતું છે. અન્ય જૂથ પ્રજાતિઓના કાર્ય અથવા તો બંને પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીને તેમના કાર્યને ખૂબ જટિલ બનાવે છે, જો કે પ્રશ્નનો સામાન્ય અભિગમ વિદ્યાર્થીઓ માટે હજી સ્પષ્ટ નથી.

અંતે, એવા જૂથો છે કે જેમણે ફંક્શન્સ પસંદ કર્યા છે જેમના ગ્રાફ પહેલાથી જ ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યા છે, જો કે તેમના પર જરૂરી ભાર મૂકવામાં આવ્યો ન હતો.

પ્રથમ જૂથે પ્રજાતિના કાર્ય પર જોયું; તેની વ્યાખ્યાના ડોમેનને નોંધ્યું: અને પર કાર્યનું શૂન્ય મૂલ્ય. લોકોએ ખાસ કરીને એ હકીકત પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કર્યું કે વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનમાં કાર્ય વધે છે. અમે એવા અંતરાલોને ઓળખ્યા જ્યાં ફંક્શન શૂન્ય કરતા વધારે અથવા ઓછું છે. વક્તાઓએ ભારપૂર્વક જણાવ્યું હતું કે આ કાર્ય વિચિત્ર છે અને તેનું મૂલ્ય સૌથી મોટું કે સૌથી ઓછું નથી.

આ જૂથમાંથી એક વિદ્યાર્થી વર્ગ સાથે વાત કરે છે અને જૂથના સંશોધનના પરિણામો વિશે વાત કરે છે.

બીજા જૂથે ધ્યાનમાં લેવા માટે એક લક્ષણ પસંદ કર્યું. લોકોએ નોંધ્યું કે હવે તેઓએ ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાંથી 0 નંબરને બાકાત રાખવો પડશે, એટલે કે. . અગાઉના એકથી વિપરીત, આ કાર્યમાં શૂન્ય નથી. પરંતુ, ઉપર ચર્ચા કરેલની જેમ, આ કાર્ય at હકારાત્મક અને નકારાત્મક at છે. તે વ્યાખ્યાના સમગ્ર ક્ષેત્રમાં ઘટે છે.

આ જૂથના પ્રતિનિધિ કાર્યો અને વચ્ચેના તફાવતો પર ભાર મૂકે છે.

વધુ બે વિદ્યાર્થીઓ કાર્યો વિશે વાત કરે છે.

તેમની પ્રસ્તુતિઓ દરમિયાન, બધા પ્રસ્તુતકર્તાઓએ ચર્ચા કરેલ કાર્યોના ગ્રાફનું નિદર્શન કરવું આવશ્યક છે.

પાઠના ત્રીજા તબક્કા દરમિયાન, વિદ્યાર્થીઓએ તેમના જ્ઞાનનો સારાંશ આપવો જોઈએ. અને તેઓએ આ તેમના પોતાના પર કરવું જોઈએ, ધ્યાનમાં લેવામાં આવતા વિવિધ કાર્યોથી આશ્ચર્યચકિત. "જો તેમાંના ઘણા બધા હોય અને તેઓ અલગ હોય તો તેમને એક જ નામ કેમ આપવામાં આવે છે?" - આ એવો પ્રશ્ન છે જે વિદ્યાર્થીઓએ પોતાને પૂછવો જોઈએ. શિક્ષકનું કાર્ય શાંતિથી વિદ્યાર્થીઓને આ મુદ્દા તરફ દોરી જવાનું છે. કહેવાતા અંતરની એક ક્ષણ આવે છે, જ્યારે લોકોએ તેમના જ્ઞાનની ખામીઓ, તેની મર્યાદાઓ અથવા અપૂર્ણતાનો અહેસાસ કરવો જ જોઇએ. ખરેખર, ધ્યાનમાં લેવાયેલ કાર્યોમાંના એકમાં શૂન્ય છે, બીજામાં નથી. એક વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર વધે છે, અન્ય વધે છે અને ઘટે છે. સમગ્ર પાવર ફંક્શનને આપણે કયું પાત્રાલેખન આપવું જોઈએ જેથી તે શક્ય તેટલા વિશેષ કેસોને આવરી લે?

આ પ્રશ્નના જવાબની શોધમાં, એક વ્યક્તિ આખરે અનુમાન કરે છે કે પાવર ફંક્શનનો પ્રકાર ઘાતાંકની સમાનતા અથવા વિચિત્રતા સાથે અનુકૂળ રીતે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે.

હવે વિધેયોના ગુણધર્મોની ચર્ચા કરવા માટે જૂથોને ફરીથી કાર્ય કરવાનું યોગ્ય છે

જ્યાં - વિચિત્ર;

જ્યાં -- પણ;

જ્યાં -- વિચિત્ર;

ક્યાં સમ છે.

ફરી એકવાર અમે કાર્ય સંશોધન યોજનાની નોંધ લઈએ છીએ:

વ્યાખ્યાનો અવકાશ સ્પષ્ટ કરો.

ફંક્શન સમ કે વિષમ છે તે નિર્ધારિત કરો (અથવા નોંધ કરો કે તે બે તો સમાન કે વિષમ નથી).

1. ફંક્શનના શૂન્ય શોધો, જો કોઈ હોય તો.

2. ચિહ્નની સ્થિરતાના અંતરાલોને ચિહ્નિત કરો.

3. વધતા અને ઘટતા અંતરાલો શોધો.

4. ફંક્શનનું સૌથી મોટું અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય સ્પષ્ટ કરો.

અંતે, વિદ્યાર્થીઓને ધ્યાનમાં લેવાયેલ કાર્યોના ગ્રાફ સાથે રજૂ કરવામાં આવે છે, = -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. આ આલેખ છે દરેક જૂથના પ્રતિનિધિઓ દ્વારા કરવામાં આવે છે.

હવે, વર્ગ સાથે મળીને, આપણે ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવીએ છીએ, જ્યાં કુદરતી સંખ્યા છે અને.

આ વિધેયોની સામાન્ય મિલકત નોંધવામાં આવે છે: તે બંનેની વ્યાખ્યાનું ડોમેન છે - એક અંતરાલ. તેઓ એક પણ નથી કે વિષમ પણ નથી. તે બંને શૂન્ય કરતા વધારે છે.

પરંતુ આ કાર્યોમાં પણ તફાવત છે. ગાય્સ તેમને વિશેષ રીતે બોલાવે છે: જાતિનું કાર્ય તેની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં વધે છે, અને તે જ ડોમેનમાં જાતિનું કાર્ય ઘટે છે. ફોર્મના ફંક્શનમાં શૂન્ય મૂલ્ય છે, અને ફોર્મનું કાર્ય અને તેમાં કોઈ શૂન્ય નથી.

સ્ટેજ IV પર, વિદ્યાર્થીઓએ પ્રતિબિંબમાં જોડાવું જોઈએ, એટલે કે. સામગ્રીની નિપુણતાની ડિગ્રી નક્કી કરવી. આખો વર્ગ ફિગ અનુસાર નીચેનું કાર્ય મેળવે છે. 3.

ફિગ માં. 3, a-h, ફંક્શનના ગ્રાફ કે જે સૂત્રો દ્વારા આપવામાં આવે છે તે યોજનાકીય રીતે દર્શાવવામાં આવે છે

આ સૂચિમાંથી કયું સૂત્ર લગભગ દરેક આલેખ a-z ને અનુરૂપ છે તે નક્કી કરો.

જર્નલમાં "શાળામાં ગણિત" પેટ્રોવા, એન.પી. પ્રોજેક્ટ ઓફર કરે છે "એક્સેલનો ઉપયોગ કરીને પાવર કાર્યોના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવો":

"એક્સેલ સ્પ્રેડશીટ્સનો ઉપયોગ કરીને કાર્યોના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ" વિષય પરના લેખમાં વર્ણવેલ શૈક્ષણિક પ્રોજેક્ટ 9મા ધોરણમાં અમારા લિસિયમના ગણિત અને કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન શિક્ષકો દ્વારા હાથ ધરવામાં આવ્યો હતો અને તે પાંચ પાઠ માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યો હતો.

પ્રોજેક્ટનો ધ્યેય વિદ્યાર્થીઓને નવા વિષયનો અભ્યાસ કરતી વખતે અને અગાઉ અભ્યાસ કરેલી સામગ્રીને વ્યવહારમાં લાગુ કરતી વખતે સ્વતંત્રતા અને પહેલ પ્રદાન કરવાનો હતો.

પ્રોજેક્ટ દરમિયાન, નવમા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓએ બતાવવાનું હતું:

· પ્રોજેક્ટના ઉદ્દેશ્યોને યોગ્ય રીતે ઘડવાની ક્ષમતા;

· માહિતીનું વિશ્લેષણ કરવાની અને તારણો કાઢવાની ક્ષમતા;

· પ્રાપ્ત પરિણામોનું નિપુણતાથી અર્થઘટન કરવાની અને તેને વ્યવહારિક પ્રવૃત્તિઓમાં લાગુ કરવાની ક્ષમતા.

વિદ્યાર્થીઓને એક્સેલનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શન આલેખની વર્તણૂકનું પરીક્ષણ કરવાનું અને પછી, મેળવેલા ડેટાના આધારે, કાર્યોના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરવાનું કાર્ય સામનો કરવો પડ્યો.

પ્રોજેક્ટના પરિણામોના આધારે, નવમા-ગ્રેડર્સે ફંક્શનના આલેખનું સામાન્ય સ્વરૂપ શીખવાનું હતું અને આ આલેખ કેવી રીતે બનાવવું અને "વાંચવું" તે શીખવું પડ્યું, તેમજ ફોર્મ = f(x) ના સમીકરણોને ગ્રાફિકલી ઉકેલવા.

નોંધ કરો કે આ પ્રોજેક્ટ પરનું કાર્ય શાળાના બાળકોની તુલના કરવાની ક્ષમતાના વિકાસને પ્રોત્સાહન આપવા માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યું હતું, સામાન્ય લક્ષણોને ઓળખવા અને વિવિધ મૂલ્યો માટે પાવર ફંક્શનના ગ્રાફમાં તફાવત.

અહીં પ્રોજેક્ટનું પગલું-દર-પગલાં વર્ણન છે.

સ્ટેજ I. તૈયારી (શોધ સ્ટેજ)

વાર્તાલાપ દરમિયાન પ્રોજેક્ટના વિષયમાં વિદ્યાર્થીઓની રુચિ જાગૃત થાય છે. વિદ્યાર્થીઓને તેમની જાણીતી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા માટે કહેવામાં આવે છે

તે તારણ આપે છે કે છોકરાઓ સમીકરણને બે રીતે હલ કરી શકે છે: વિશ્લેષણાત્મક અને ગ્રાફિકલ, સમીકરણ - ગ્રાફિકલી. બાકીના સમીકરણોને ઉકેલવામાં તેમને મુશ્કેલ લાગે છે, પરંતુ જો તેઓ ફંક્શનના ગ્રાફથી પરિચિત હોય, તો તેઓ ગ્રાફિકલી સમસ્યાને હલ કરશે.

વાતચીતનું પરિણામ એ સમસ્યારૂપ પ્રશ્નની રચના છે: કાર્યોના ગ્રાફ કેવા દેખાય છે અને ક્યાં? આ પછી, આગળના કાર્ય માટે દિશા નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે અને કાર્યો ઘડવામાં આવે છે:

1. એક્સેલનો ઉપયોગ કરીને, જ્યારે n સમ હોય ત્યારે ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવો દેખાય છે તે શોધો અને આ ફંક્શનના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરો.

2. એક્સેલનો ઉપયોગ કરીને, જ્યારે n વિષમ હોય ત્યારે ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવો દેખાય છે તે શોધો અને આ ફંક્શનના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરો.

3. એક્સેલનો ઉપયોગ કરીને, જ્યારે n સમ હોય ત્યારે ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવો દેખાય છે તે શોધો અને આ ફંક્શનના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરો.

4. એક્સેલનો ઉપયોગ કરીને, જ્યારે n વિષમ હોય ત્યારે ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવો દેખાય છે તે શોધો અને આ ફંક્શનના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરો.

પછી વર્ગને કાર્યકારી જૂથોમાં વહેંચવામાં આવે છે. શિક્ષક વિદ્યાર્થીઓને સ્વતંત્ર રીતે ચાર જૂથોમાં (વૈકલ્પિક) વિભાજીત કરવા અને દરેક જૂથમાં એક નેતા પસંદ કરવા આમંત્રણ આપે છે. જ્યારે જૂથો રચાય છે, ત્યારે તેઓ પ્રોજેક્ટમાં કામના ક્ષેત્રોમાંથી એક પસંદ કરે છે (ઉપર સૂચિબદ્ધ કાર્યો અનુસાર).

સ્ટેજ II. આયોજન (વિશ્લેષણાત્મક તબક્કો)

શિક્ષક જૂથોને પસંદ કરેલી સમસ્યાને ઉકેલવા માટે કાર્ય યોજના બનાવવામાં મદદ કરે છે અને માહિતીના સ્ત્રોતોની ભલામણ કરે છે. વિદ્યાર્થીઓ સ્વતંત્ર રીતે જૂથોમાં ભૂમિકાઓ સોંપે છે. જૂથમાં ભૂમિકાઓનું અંદાજિત વિતરણ નીચેના કોષ્ટકમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. જૂથમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા પર આધારિત છે.

તે જ તબક્કે, કાર્યના પરિણામો રજૂ કરવા માટેના ફોર્મની ચર્ચા કરવામાં આવી છે. આ કિસ્સામાં, પાવરપોઈન્ટનો ઉપયોગ કરીને કમ્પ્યુટર પ્રસ્તુતિ પસંદ કરવામાં આવી હતી.

સ્ટેજ III. સંશોધન (વ્યવહારિક તબક્કો)

વિદ્યાર્થીઓ આયોજિત કાર્ય યોજના અનુસાર સોંપણીઓ પૂર્ણ કરે છે. શિક્ષક તેમની પ્રવૃત્તિઓનું નિરીક્ષણ કરે છે અને, જો જરૂરી હોય તો, વિદ્યાર્થીઓને સલાહ આપે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો જૂથ નંબર 1 ની કાર્ય યોજના લઈએ.

1. એક્સેલનો ઉપયોગ કરીને કાર્યોના ગ્રાફનું પ્લોટિંગ.

2. પ્રાકૃતિક સમ સંખ્યા માટે ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવવા માટે આલેખની સરખામણી, ભલામણોના ચલોની રચના.

3. ગ્રાફ પરથી ફંક્શનના ગુણધર્મો નક્કી કરવા.

4. ફંક્શનના ગ્રાફના વ્યવહારુ ઉપયોગના ઉદાહરણોનું વિશ્લેષણ.

સંશોધનના આધારે, વિદ્યાર્થીઓ નિષ્કર્ષ પર આવે છે કે પ્રાકૃતિક સમ n માટેના સ્વરૂપના કાર્યોના આલેખ એ પેરાબોલાના સમાન વણાંકો છે, અને ગ્રાફ બનાવવા માટે ભલામણો આપે છે: તે ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ કે આલેખ ઓય અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે, તેથી દલીલ X ના સકારાત્મક મૂલ્યો માટે કાર્ય મૂલ્યોનું કોષ્ટક બનાવવા માટે તે પૂરતું છે.

વધુમાં, આ તબક્કે, એક સામાન્ય પ્રેઝન્ટેશન સ્ક્રિપ્ટ બનાવવામાં આવે છે, જે પ્રોજેક્ટની પ્રગતિ સાથે રિફાઇન કરવામાં આવશે. આ સ્ક્રિપ્ટમાં, ખાસ કરીને, સ્લાઇડ્સની સંખ્યા, તેમાંથી દરેકનો હેતુ અને મુખ્ય ઑબ્જેક્ટ્સ કે જે સ્લાઇડ્સ પર મૂકવા જોઈએ તે નક્કી કરવામાં આવે છે.

તબક્કા IV અને V. પ્રોજેક્ટ સંરક્ષણ, પરિણામોનું મૂલ્યાંકન (પ્રસ્તુતિ અને નિયંત્રણ તબક્કાઓ)

પ્રોજેક્ટ સંરક્ષણ (જૂથોમાં) સુનિશ્ચિત પાઠના છેલ્લા ભાગમાં થાય છે.

ચાલો હવે આ પ્રોજેક્ટ પર કામ કરવા માટે પાઠ શેડ્યૂલ અને દરેક પાઠની સામગ્રી રજૂ કરીએ.

પાઠ 1 (ગણિત)

· પ્રોજેક્ટ સમસ્યાનું નિવેદન. કાર્યના ક્ષેત્રો નક્કી કરવા, પ્રોજેક્ટના ઉદ્દેશ્યો ઘડવા.

· કાર્યકારી જૂથોમાં વિભાજન, જૂથોમાં નેતાની પસંદગી.

· સોંપેલ કાર્યોને ઉકેલવા માટે કાર્ય યોજના બનાવવી, જૂથોમાં ભૂમિકાઓનું વિતરણ કરવું, પરિણામો પ્રસ્તુત કરવા માટે ફોર્મ પસંદ કરવું.

પાઠ 2 (કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન)

એક્સેલ સ્પ્રેડશીટ્સના હેતુ વિશે વાત કરો.

· એક્સેલનો ઉપયોગ કરીને વિવિધ કાર્યોના ગ્રાફના નિર્માણનું પુનરાવર્તન કરવું.

· એક્સેલનો ઉપયોગ કરીને અભ્યાસ કરેલા કાર્યોના ગ્રાફનું પ્લોટિંગ. પ્રાપ્ત માહિતીનું વિશ્લેષણ, તારણો દોરો.

પાઠ 3 (ગણિત)

· કાર્યોના આલેખનું બાંધકામ અને "વાંચન" અને

· ફોર્મના સમીકરણો ઉકેલવા જ્યાં ગ્રાફિકલી.

· પ્રસ્તુતિ સ્ક્રિપ્ટ બનાવવી.

પાઠ 4 (કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન)

પાવર પોઈન્ટ પ્રોગ્રામની કામગીરીના હેતુ અને સિદ્ધાંતોનું પુનરાવર્તન.

· પ્રસ્તુતિ બનાવવી.

પાઠ 5 (ગણિત)

· પ્રોજેક્ટ સંરક્ષણ.

અમે પ્રોજેક્ટના બચાવ માટે સામાન્ય પાઠ યોજના પણ પ્રદાન કરીએ છીએ.

1. સંસ્થાકીય ક્ષણ.

2. સમસ્યાને ઓળખીને જ્ઞાનને લાગુ કરવાની પ્રેરણા.

શિક્ષકનું પ્રારંભિક ભાષણ

આજના પાઠમાં, અભ્યાસનો મુખ્ય ઉદ્દેશ્ય કાર્યો અને, ક્યાં, તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ છે. તમે પહેલાથી જ જાણો છો કે રુટ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને ફર્સ્ટ-ડિગ્રી (રેખીય) અને સેકન્ડ-ડિગ્રી (ક્વાડ્રેટિક) સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા. 3 જી ડિગ્રીના સમીકરણો માટે મૂળ માટેના વિશેષ સૂત્રો પણ છે, પરંતુ તે ખૂબ જ બોજારૂપ છે અને વ્યવહારમાં ભાગ્યે જ ઉપયોગમાં લેવાય છે. સમીકરણો માટે જેની ડિગ્રી ત્રીજા કરતા વધારે છે, ત્યાં મૂળ માટે કોઈ સામાન્ય સૂત્રો નથી. સમસ્યા ઊભી થાય છે: આવા સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલી શકાય? તે તારણ આપે છે, જો વિશ્લેષણાત્મક રીતે નહીં, તો ગ્રાફિકલી. અને ફોર્મના સમીકરણોને ઉકેલવા માટે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટે અને, તમારે ફંક્શનના આલેખ બનાવવા માટે સમર્થ હોવા જોઈએ અને, ક્યાં.

ચાર જૂથોએ આ કાર્યોના ગ્રાફનો અભ્યાસ કર્યો. હવે તેમાંથી દરેક અમને કરેલા કાર્યના પરિણામો સાથે પરિચય આપશે.

3. જૂથ પ્રદર્શન.

દરેક જૂથ દ્વારા પ્રોજેક્ટની પ્રસ્તુતિ (સંરક્ષણ), વિરોધીઓના પ્રશ્નોના જવાબો.

4. અન્ય જૂથો (પાંચ-પોઇન્ટ સ્કેલ પર) દ્વારા દરેક પ્રદર્શનનું સ્વ-મૂલ્યાંકન અને મૂલ્યાંકન.

અમે મુખ્ય મૂલ્યાંકન માપદંડોની સૂચિબદ્ધ કરીએ છીએ:

· જણાવેલ વિષય સાથે સામગ્રીનો પત્રવ્યવહાર, ચોકસાઈ, પ્રસ્તુતિની સંપૂર્ણતા;

· કોઈ ભૂલો નથી;

· ડિઝાઇન (ડિઝાઇન): સ્લાઇડ લેઆઉટ કેટલી હદ સુધી સૌંદર્યલક્ષી આવશ્યકતાઓને પૂર્ણ કરે છે;

શું લખાણ વાંચવા માટે સરળ છે? શું છબી સામગ્રીને અનુરૂપ છે, વગેરે.;

· સમજાવટ, વાણીની દલીલ; વાણી સાક્ષરતા, પરિભાષાનું જ્ઞાન;

· પ્રશ્નોના જવાબોની સંપૂર્ણતા.

જૂથમાં ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનું અલગથી મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે: સંચાર કૌશલ્ય, અન્ય સહભાગીઓ પ્રત્યે આદર અને ધ્યાન, પ્રવૃત્તિ.

મેળવેલ પોઈન્ટ્સની કુલ સંખ્યા અને રેટિંગ સ્કોર (અંકગણિત સરેરાશ સ્કોર) ગણવામાં આવે છે; તેમના આધારે, પ્રોજેક્ટમાં ભાગીદારી માટે ગ્રેડ આપવામાં આવે છે.

5. પ્રોજેક્ટ અને ગ્રેડિંગમાં દરેક વિદ્યાર્થીના યોગદાનની ચર્ચા.

6. સારાંશ (પ્રતિબિંબ).

7. શિક્ષકના અંતિમ શબ્દો

આ વિષય પરની પ્રોજેક્ટ પ્રવૃત્તિઓ દરમિયાન, તમે ફંક્શનના ગ્રાફ અને શું છે તે પ્રશ્નનો જવાબ આપ્યો અને તેના નિર્માણ માટે ભલામણો આપી. હવે તમે ફોર્મના કેટલાક સમીકરણો અને ગ્રાફિકલી હલ કરી શકો છો. અમે તમામ વિદ્યાર્થીઓને તેમના સર્જનાત્મક અને ફળદાયી કાર્ય માટે આભાર માનીએ છીએ, જેમણે પ્રોજેક્ટના લક્ષ્યોને પ્રાપ્ત કરવામાં યોગદાન આપ્યું.

ઉપરોક્તને ધ્યાનમાં લેતા, અમારા માર્ગદર્શિકામાં અમે પાવર ફંક્શન્સના અભ્યાસ માટે વ્યવસ્થિત અભિગમને પ્રતિબિંબિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો. કમ્પ્યુટર સાથે કામ કરવાની મુશ્કેલીઓ ઘટાડવા માટે, અમે અનુકૂળ અને કુદરતી નેવિગેશન કરવાનો પ્રયાસ કર્યો અને ડિડેક્ટિક સૉફ્ટવેર માટેની આવશ્યકતાઓને ધ્યાનમાં લીધી.