અથવા અંકગણિત એ ક્રમબદ્ધ સંખ્યાત્મક ક્રમનો એક પ્રકાર છે, જેના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ શાળાના બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાં કરવામાં આવે છે. આ લેખ અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો કેવી રીતે શોધવો તે પ્રશ્નની વિગતવાર ચર્ચા કરે છે.

આ કેવા પ્રકારની પ્રગતિ છે?

પ્રશ્ન પર આગળ વધતા પહેલા (અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો કેવી રીતે શોધવો), તે સમજવા યોગ્ય છે કે આપણે શું વાત કરી રહ્યા છીએ.

વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો કોઈપણ ક્રમ જે દરેક પાછલી સંખ્યામાંથી અમુક મૂલ્ય ઉમેરીને (બાદબાકી કરીને) મેળવવામાં આવે છે તેને બીજગણિત (અંકગણિત) પ્રગતિ કહેવાય છે. આ વ્યાખ્યા, જ્યારે ગાણિતિક ભાષામાં અનુવાદિત થાય છે, ત્યારે તે સ્વરૂપ લે છે:

અહીં i એ પંક્તિ a i ના ઘટકનો સીરીયલ નંબર છે. આમ, માત્ર એક પ્રારંભિક સંખ્યા જાણીને, તમે સરળતાથી સમગ્ર શ્રેણી પુનઃસ્થાપિત કરી શકો છો. સૂત્રમાં પરિમાણ d ને પ્રગતિ તફાવત કહેવામાં આવે છે.

તે સરળતાથી બતાવી શકાય છે કે વિચારણા હેઠળની સંખ્યાઓની શ્રેણી માટે નીચેની સમાનતા ધરાવે છે:

a n = a 1 + d * (n - 1).

એટલે કે, ક્રમમાં nમા ઘટકનું મૂલ્ય શોધવા માટે, તમારે પ્રથમ ઘટકમાં 1 n-1 વખત તફાવત d ઉમેરવો જોઈએ.

અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો શું છે: સૂત્ર

સૂચવેલ રકમ માટે સૂત્ર આપતા પહેલા, એક સરળ વિશેષ કેસ ધ્યાનમાં લેવા યોગ્ય છે. 1 થી 10 સુધીની કુદરતી સંખ્યાઓની પ્રગતિ જોતાં, તમારે તેમનો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે. પ્રોગ્રેસન (10) માં થોડા શબ્દો હોવાથી, સમસ્યાનું નિરાકરણ શક્ય છે, એટલે કે ક્રમમાં તમામ ઘટકોનો સરવાળો કરો.

એસ 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

એક રસપ્રદ બાબત ધ્યાનમાં લેવી યોગ્ય છે: કારણ કે દરેક શબ્દ આગામી શબ્દથી સમાન મૂલ્ય d = 1 દ્વારા અલગ પડે છે, તો પછી દસમા સાથે પ્રથમનો જોડીવાર સરવાળો, નવમા સાથેનો બીજો, અને તેથી વધુ સમાન પરિણામ આપશે. ખરેખર:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આ રકમોમાંથી માત્ર 5 છે, એટલે કે, શ્રેણીના ઘટકોની સંખ્યા કરતા બરાબર બે ગણા ઓછા છે. પછી દરેક રકમ (11) ના પરિણામ દ્વારા સરવાળો (5) ની સંખ્યાને ગુણાકાર કરવાથી, તમે પ્રથમ ઉદાહરણમાં મેળવેલા પરિણામ પર પહોંચશો.

જો આપણે આ દલીલોને સામાન્ય બનાવીએ, તો આપણે નીચેની અભિવ્યક્તિ લખી શકીએ છીએ:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

આ અભિવ્યક્તિ દર્શાવે છે કે એક પંક્તિમાં તમામ ઘટકોનો સરવાળો કરવો જરૂરી નથી; પ્રથમ a 1 અને છેલ્લા a n, તેમજ n ની કુલ સંખ્યા જાણવા માટે તે પૂરતું છે.

એવું માનવામાં આવે છે કે ગૌસે સૌપ્રથમ આ સમાનતા વિશે વિચાર્યું જ્યારે તેઓ તેમના શાળાના શિક્ષક દ્વારા આપવામાં આવેલી સમસ્યાનું સમાધાન શોધી રહ્યા હતા: પ્રથમ 100 પૂર્ણાંકોનો સરવાળો.

m થી n સુધીના તત્વોનો સરવાળો: સૂત્ર

પાછલા ફકરામાં આપેલ સૂત્ર અંકગણિત પ્રગતિ (પ્રથમ તત્વો) નો સરવાળો કેવી રીતે શોધવો તે પ્રશ્નનો જવાબ આપે છે, પરંતુ ઘણીવાર સમસ્યાઓમાં તે પ્રગતિની મધ્યમાં સંખ્યાઓની શ્રેણીનો સરવાળો કરવો જરૂરી છે. આ કેવી રીતે કરવું?

આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો નીચેના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લેવાનો છે: mth થી nth સુધીના શબ્દોનો સરવાળો શોધવાનું જરૂરી છે. સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, તમારે નવી સંખ્યા શ્રેણીના સ્વરૂપમાં પ્રગતિના m થી n સુધીના આપેલા સેગમેન્ટને રજૂ કરવા જોઈએ. આ રજૂઆતમાં, mth શબ્દ a m પ્રથમ હશે, અને a n ને n-(m-1) ક્રમાંકિત કરવામાં આવશે. આ કિસ્સામાં, સરવાળા માટે પ્રમાણભૂત સૂત્ર લાગુ કરવાથી, નીચેની અભિવ્યક્તિ પ્રાપ્ત થશે:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

સૂત્રોના ઉપયોગનું ઉદાહરણ

અંકગણિતની પ્રગતિનો સરવાળો કેવી રીતે શોધવો તે જાણીને, ઉપરોક્ત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાના એક સરળ ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લેવું યોગ્ય છે.

નીચે એક સંખ્યાત્મક ક્રમ છે, તમારે તેની શરતોનો સરવાળો મેળવવો જોઈએ, 5મીથી શરૂ થઈને 12મી સાથે સમાપ્ત થાય છે:

આપેલ સંખ્યાઓ સૂચવે છે કે તફાવત d 3 ની બરાબર છે. nમા તત્વ માટે અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરીને, તમે પ્રગતિના 5મા અને 12મા પદોના મૂલ્યો શોધી શકો છો. તે તારણ આપે છે:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

વિચારણા હેઠળની બીજગણિત પ્રગતિના અંતે સંખ્યાઓના મૂલ્યોને જાણતા, અને શ્રેણીમાં કઈ સંખ્યાઓ તેઓ કબજે કરે છે તે પણ જાણીને, તમે અગાઉના ફકરામાં મેળવેલા સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો. તે બહાર આવશે:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

તે નોંધવું યોગ્ય છે કે આ મૂલ્ય અલગ રીતે મેળવી શકાય છે: પ્રથમ પ્રમાણભૂત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ 12 ઘટકોનો સરવાળો શોધો, પછી સમાન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ 4 ઘટકોના સરવાળાની ગણતરી કરો, પછી પ્રથમ સરવાળામાંથી બીજાને બાદ કરો.

હા, હા: અંકગણિત પ્રગતિ તમારા માટે રમકડું નથી :)

સારું, મિત્રો, જો તમે આ લખાણ વાંચી રહ્યા છો, તો આંતરિક કેપ-પુરાવા મને કહે છે કે તમે હજી સુધી નથી જાણતા કે અંકગણિત પ્રગતિ શું છે, પરંતુ તમે ખરેખર (ના, આના જેવું: SOOOOO!) જાણવા માગો છો. તેથી, હું તમને લાંબા પરિચય સાથે ત્રાસ આપીશ નહીં અને સીધા મુદ્દા પર પહોંચીશ.

પ્રથમ, ઉદાહરણો એક દંપતિ. ચાલો સંખ્યાઓના કેટલાક સેટ જોઈએ:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

આ બધા સેટમાં શું સામ્ય છે? પ્રથમ નજરમાં, કંઈ નથી. પરંતુ વાસ્તવમાં કંઈક છે. જેમ કે: દરેક આગલું તત્વ અગાઉના એકથી સમાન સંખ્યા દ્વારા અલગ પડે છે.

તમારા માટે ન્યાયાધીશ. પ્રથમ સેટ ફક્ત સળંગ સંખ્યાઓ છે, દરેક આગળની સંખ્યા પાછલા એક કરતા વધુ છે. બીજા કિસ્સામાં, અડીને આવેલી સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત પહેલેથી જ પાંચ છે, પરંતુ આ તફાવત હજુ પણ સ્થિર છે. ત્રીજા કિસ્સામાં, એકસાથે મૂળ છે. જો કે, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, અને $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, એટલે કે. અને આ કિસ્સામાં, દરેક આગામી તત્વ ફક્ત $\sqrt(2)$ દ્વારા વધે છે (અને ડરશો નહીં કે આ સંખ્યા અતાર્કિક છે).

તેથી: આવા તમામ ક્રમને અંકગણિત પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે. ચાલો કડક વ્યાખ્યા આપીએ:

વ્યાખ્યા. સંખ્યાઓનો ક્રમ કે જેમાં દરેક આગલી સંખ્યા અગાઉના એકથી બરાબર સમાન રકમથી અલગ હોય તેને અંકગણિત પ્રગતિ કહેવાય છે. સંખ્યાઓ જે પ્રમાણમાં અલગ પડે છે તેને પ્રગતિ તફાવત કહેવામાં આવે છે અને મોટાભાગે $d$ અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

નોટેશન: $\left(((a)_(n)) \right)$ એ પોતે જ પ્રગતિ છે, $d$ તેનો તફાવત છે.

અને માત્ર થોડી મહત્વપૂર્ણ નોંધો. પ્રથમ, પ્રગતિ માત્ર ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે આદેશ આપ્યોસંખ્યાઓનો ક્રમ: તેઓ જે ક્રમમાં લખ્યા છે તે પ્રમાણે તેમને સખત રીતે વાંચવાની મંજૂરી છે - અને બીજું કંઈ નહીં. સંખ્યાઓ ફરીથી ગોઠવી શકાતી નથી અથવા સ્વેપ કરી શકાતી નથી.

બીજું, ક્રમ પોતે મર્યાદિત અથવા અનંત હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમૂહ (1; 2; 3) દેખીતી રીતે મર્યાદિત અંકગણિત પ્રગતિ છે. પરંતુ જો તમે ભાવનામાં કંઈક લખો છો (1; 2; 3; 4; ...) - આ પહેલેથી જ એક અનંત પ્રગતિ છે. ચાર પછીના અંડાકાર સંકેત આપે છે કે હજુ પણ થોડા વધુ નંબરો આવવાના છે. અનંત ઘણા, ઉદાહરણ તરીકે :)

હું એ પણ નોંધવા માંગુ છું કે પ્રગતિઓ વધી અથવા ઘટી શકે છે. આપણે પહેલેથી જ વધતા જતા જોયા છે - સમાન સમૂહ (1; 2; 3; 4; ...). અહીં ઘટતી પ્રગતિના ઉદાહરણો છે:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

ઠીક છે, ઠીક છે: છેલ્લું ઉદાહરણ વધુ પડતું જટિલ લાગે છે. પરંતુ બાકીનું, મને લાગે છે, તમે સમજો છો. તેથી, અમે નવી વ્યાખ્યાઓ રજૂ કરીએ છીએ:

વ્યાખ્યા. અંકગણિત પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે:

જો દરેક આગલું તત્વ પાછલા એક કરતા વધારે હોય તો વધારો;

જો તેનાથી વિપરિત, દરેક અનુગામી તત્વ પાછલા એક કરતા ઓછું હોય તો ઘટે છે.

વધુમાં, ત્યાં કહેવાતા "સ્થિર" સિક્વન્સ છે - તે સમાન પુનરાવર્તિત સંખ્યા ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, (3; 3; 3; ...).

માત્ર એક જ પ્રશ્ન રહે છે: વધતી જતી પ્રગતિને ઘટતી પ્રગતિથી કેવી રીતે અલગ કરવી? સદનસીબે, અહીં બધું ફક્ત $d$ નંબરના ચિહ્ન પર આધારિત છે, એટલે કે. પ્રગતિ તફાવતો:

જો $d \gt 0$, તો પ્રગતિ વધે છે;
જો $d \lt 0$, તો પછી પ્રગતિ દેખીતી રીતે ઘટી રહી છે;
છેલ્લે, કેસ $d=0$ છે - આ કિસ્સામાં સમગ્ર પ્રગતિ સમાન સંખ્યાઓના સ્થિર ક્રમમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે: (1; 1; 1; 1; ...), વગેરે.

ચાલો ઉપર આપેલ ત્રણ ઘટતી પ્રગતિ માટે $d$ તફાવતની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. આ કરવા માટે, કોઈપણ બે અડીને તત્વો (ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ અને બીજું) લેવા અને જમણી બાજુની સંખ્યામાંથી ડાબી બાજુની સંખ્યાને બાદ કરવા માટે તે પૂરતું છે. તે આના જેવો દેખાશે:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

જેમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ, ત્રણેય કેસોમાં તફાવત ખરેખર નકારાત્મક હોવાનું બહાર આવ્યું છે. અને હવે જ્યારે આપણે વધુ કે ઓછી વ્યાખ્યાઓ શોધી કાઢી છે, તે સમજવાનો સમય છે કે પ્રગતિ કેવી રીતે વર્ણવવામાં આવે છે અને તેમની પાસે શું ગુણધર્મો છે.

પ્રગતિની શરતો અને પુનરાવૃત્તિ સૂત્ર

અમારા સિક્વન્સના ઘટકોને સ્વેપ કરી શકાતા નથી, તેથી તેઓને ક્રમાંકિત કરી શકાય છે:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \right$\]

આ સમૂહના વ્યક્તિગત ઘટકોને પ્રગતિના સભ્યો કહેવામાં આવે છે. તેઓ સંખ્યા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે: પ્રથમ સભ્ય, બીજા સભ્ય, વગેરે.

વધુમાં, જેમ આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ, પ્રગતિની પડોશી શરતો સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

ટૂંકમાં, પ્રગતિના $n$th શબ્દને શોધવા માટે, તમારે $n-1$th શબ્દ અને $d$નો તફાવત જાણવાની જરૂર છે. આ સૂત્રને આવર્તક કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તેની સહાયથી તમે કોઈપણ સંખ્યાને ફક્ત અગાઉના (અને હકીકતમાં, અગાઉના બધા) જાણીને શોધી શકો છો. આ ખૂબ જ અસુવિધાજનક છે, તેથી ત્યાં વધુ ઘડાયેલું સૂત્ર છે જે કોઈપણ ગણતરીઓને પ્રથમ ટર્મ અને તફાવતમાં ઘટાડે છે:

\[(a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \જમણે)d\]

તમે કદાચ પહેલાથી જ આ ફોર્મ્યુલામાં આવ્યા છો. તેઓ તેને તમામ પ્રકારના સંદર્ભ પુસ્તકો અને સમસ્યા પુસ્તકોમાં આપવાનું પસંદ કરે છે. અને કોઈપણ સમજદાર ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકમાં તે પ્રથમમાંનું એક છે.

જો કે, હું તમને થોડી પ્રેક્ટિસ કરવાની સલાહ આપું છું.

કાર્ય નંબર 1. અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ ત્રણ પદો લખો $\left(((a)_(n)) \right)$ જો $((a)_(1))=8,d=-5$.

ઉકેલ. તેથી, અમે પ્રથમ શબ્દ $((a)_(1))=8$ અને પ્રગતિ $d=-5$નો તફાવત જાણીએ છીએ. ચાલો હમણાં આપેલ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીએ અને $n=1$, $n=2$ અને $n=3$ ને બદલીએ:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

જવાબ: (8; 3; -2)

બસ! મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: અમારી પ્રગતિ ઘટી રહી છે.

અલબત્ત, $n=1$ બદલી શકાયું નથી - પ્રથમ શબ્દ અમને પહેલેથી જ જાણીતો છે. જો કે, એકતાને બદલીને, અમને ખાતરી થઈ કે પ્રથમ ટર્મ માટે પણ અમારી ફોર્મ્યુલા કામ કરે છે. અન્ય કિસ્સાઓમાં, બધું મામૂલી અંકગણિત પર નીચે આવ્યું.

કાર્ય નંબર 2. અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ ત્રણ પદો લખો જો તેનું સાતમું પદ −40 ની બરાબર હોય અને તેની સત્તરમી પદ −50 ની બરાબર હોય.

ઉકેલ. ચાલો સમસ્યાની સ્થિતિને પરિચિત શબ્દોમાં લખીએ:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(સંરેખિત કરો) \જમણે.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(સંરેખિત કરો) \અધિકાર.\]

મેં સિસ્ટમ ચિહ્ન મૂક્યું કારણ કે આ આવશ્યકતાઓ એકસાથે મળવી આવશ્યક છે. હવે ચાલો નોંધ લઈએ કે જો આપણે બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ બાદ કરીએ (આપણી પાસે સિસ્ટમ હોવાથી આ કરવાનો અધિકાર છે), તો આપણને આ મળશે:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

પ્રગતિના તફાવતને શોધવાનું તે કેટલું સરળ છે! જે બાકી છે તે સિસ્ટમના કોઈપણ સમીકરણોમાં મળેલ સંખ્યાને બદલવાનું છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમમાં:

\[\begin(મેટ્રિક્સ) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(મેટ્રિક્સ)\]

હવે, પ્રથમ શબ્દ અને તફાવતને જાણીને, બીજા અને ત્રીજા શબ્દો શોધવાનું બાકી છે:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

તૈયાર! સમસ્યા હલ થાય છે.

જવાબ: (−34; −35; −36)

અમે શોધેલી પ્રગતિના રસપ્રદ ગુણધર્મ પર ધ્યાન આપો: જો આપણે $n$th અને $m$th શબ્દો લઈએ અને તેમને એકબીજામાંથી બાદ કરીએ, તો આપણને $n-m$ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીને પ્રગતિનો તફાવત મળે છે:

\[(a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

એક સરળ પરંતુ ખૂબ જ ઉપયોગી મિલકત કે જે તમારે ચોક્કસપણે જાણવાની જરૂર છે - તેની સહાયથી તમે ઘણી પ્રગતિ સમસ્યાઓના ઉકેલને નોંધપાત્ર રીતે ઝડપી કરી શકો છો. અહીં આનું સ્પષ્ટ ઉદાહરણ છે:

કાર્ય નંબર 3. અંકગણિત પ્રગતિની પાંચમી અવધિ 8.4 છે, અને તેની દસમી પદ 14.4 છે. આ પ્રગતિની પંદરમી મુદત શોધો.

ઉકેલ. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, અને અમારે $((a)_(15))$ શોધવાની જરૂર હોવાથી, અમે નીચેની નોંધ કરીએ છીએ:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

પરંતુ શરત દ્વારા $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, તેથી $5d=6$, જેમાંથી અમારી પાસે છે:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

જવાબ: 20.4

બસ! અમારે સમીકરણોની કોઈપણ પ્રણાલી બનાવવાની અને પ્રથમ પદ અને તફાવતની ગણતરી કરવાની જરૂર નહોતી - બધું માત્ર બે લીટીઓમાં ઉકેલાઈ ગયું હતું.

હવે ચાલો બીજા પ્રકારની સમસ્યા જોઈએ - પ્રગતિના નકારાત્મક અને હકારાત્મક શબ્દોની શોધ. તે કોઈ રહસ્ય નથી કે જો પ્રગતિ વધે છે, અને તેની પ્રથમ મુદત નકારાત્મક છે, તો વહેલા અથવા પછીના હકારાત્મક શબ્દો તેમાં દેખાશે. અને ઊલટું: ઘટતી પ્રગતિની શરતો વહેલા કે પછી નકારાત્મક બની જશે.

તે જ સમયે, તત્વોમાંથી ક્રમિક રીતે જઈને આ ક્ષણને "હેડ-ઓન" શોધવાનું હંમેશા શક્ય નથી. ઘણીવાર, સમસ્યાઓ એવી રીતે લખવામાં આવે છે કે સૂત્રોને જાણ્યા વિના, ગણતરીઓ કાગળની ઘણી શીટ્સ લે છે - જ્યારે અમને જવાબ મળે ત્યારે અમે ખાલી ઊંઘી જઈએ છીએ. તેથી, ચાલો આ સમસ્યાઓને ઝડપી રીતે હલ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ.

કાર્ય નંબર 4. અંકગણિત પ્રગતિમાં કેટલા નકારાત્મક શબ્દો છે −38.5; −35.8; ...?

ઉકેલ. તેથી, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, જ્યાંથી આપણે તરત જ તફાવત શોધીએ છીએ:

નોંધ કરો કે તફાવત હકારાત્મક છે, તેથી પ્રગતિ વધે છે. પ્રથમ શબ્દ નકારાત્મક છે, તેથી ખરેખર અમુક સમયે આપણે હકારાત્મક સંખ્યાઓ પર ઠોકર ખાઈશું. આ ક્યારે થશે તે એક જ પ્રશ્ન છે.

ચાલો એ શોધવાનો પ્રયત્ન કરીએ કે કેટલા સમય સુધી (એટલે કે કઈ કુદરતી સંખ્યા $n$ સુધી) શરતોની નકારાત્મકતા રહે છે:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

છેલ્લી પંક્તિ થોડી સમજૂતીની જરૂર છે. તેથી આપણે જાણીએ છીએ કે $n \lt 15\frac(7)(27)$. બીજી બાજુ, અમે સંખ્યાના માત્ર પૂર્ણાંક મૂલ્યોથી સંતુષ્ટ છીએ (વધુમાં: $n\in \mathbb(N)$), તેથી સૌથી મોટી અનુમતિપાત્ર સંખ્યા ચોક્કસપણે $n=15$ છે, અને કોઈ પણ સંજોગોમાં 16 નથી .

કાર્ય નંબર 5. અંકગણિત પ્રગતિમાં $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. આ પ્રગતિના પ્રથમ હકારાત્મક પદની સંખ્યા શોધો.

આ બરાબર અગાઉની સમસ્યા જેવી જ હશે, પરંતુ અમે $((a)_(1))$ જાણતા નથી. પરંતુ પડોશી શબ્દો જાણીતા છે: $((a)_(5))$ અને $((a)_(6))$, જેથી આપણે પ્રગતિનો તફાવત સરળતાથી શોધી શકીએ:

વધુમાં, ચાલો પ્રમાણભૂત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ અને તફાવત દ્વારા પાંચમા શબ્દને વ્યક્ત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

હવે આપણે અગાઉના કાર્ય સાથે સામ્યતા દ્વારા આગળ વધીએ છીએ. ચાલો જોઈએ કે આપણા ક્રમમાં કયા બિંદુએ હકારાત્મક સંખ્યાઓ દેખાશે:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

આ અસમાનતાનો લઘુત્તમ પૂર્ણાંક ઉકેલ નંબર 56 છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: છેલ્લા કાર્યમાં બધું સખત અસમાનતા પર આવ્યું, તેથી $n=55$ વિકલ્પ અમને અનુકૂળ નહીં આવે.

હવે જ્યારે આપણે સરળ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કેવી રીતે કરવું તે શીખ્યા, ચાલો વધુ જટિલ મુદ્દાઓ તરફ આગળ વધીએ. પરંતુ પ્રથમ, ચાલો અંકગણિત પ્રગતિની બીજી ખૂબ જ ઉપયોગી મિલકતનો અભ્યાસ કરીએ, જે ભવિષ્યમાં આપણને ઘણો સમય અને અસમાન કોષો બચાવશે :)

અંકગણિત સરેરાશ અને સમાન ઇન્ડેન્ટેશન

ચાલો અંકગણિતની વધતી જતી પ્રગતિના કેટલાક સળંગ પદોને ધ્યાનમાં લઈએ $\left(((a)_(n)) \right)$. ચાલો તેમને નંબર લાઇન પર ચિહ્નિત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ:

સંખ્યા રેખા પર અંકગણિત પ્રગતિની શરતો

મેં ખાસ કરીને મનસ્વી શબ્દો $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ ચિહ્નિત કર્યા છે, અને કેટલાક $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, વગેરે. કારણ કે હવે હું તમને જે નિયમ વિશે કહીશ તે કોઈપણ "સેગમેન્ટ્સ" માટે સમાન કાર્ય કરે છે.

અને નિયમ ખૂબ જ સરળ છે. ચાલો આવર્તક સૂત્રને યાદ રાખીએ અને તેને તમામ ચિહ્નિત શબ્દો માટે લખીએ:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

જો કે, આ સમાનતાને અલગ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

તો શું? અને હકીકત એ છે કે $((a)_(n-1))$ અને $((a)_(n+1))$ $((a)_(n)) $ થી સમાન અંતરે આવેલા છે. . અને આ અંતર $d$ જેટલું છે. આ જ શબ્દો $((a)_(n-2))$ અને $((a)_(n+2))$ વિશે કહી શકાય - તે $((a)_(n) માંથી પણ દૂર કરવામાં આવ્યા છે. )$ સમાન અંતરે $2d$. અમે જાહેરાત અનંત ચાલુ રાખી શકીએ છીએ, પરંતુ અર્થ ચિત્ર દ્વારા સારી રીતે દર્શાવવામાં આવ્યો છે

પ્રગતિની શરતો કેન્દ્રથી સમાન અંતરે આવેલી છે

આ આપણા માટે શું અર્થ છે? આનો અર્થ એ છે કે જો પડોશી સંખ્યાઓ જાણીતી હોય તો $((a)_(n))$ શોધી શકાય છે:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

અમે એક ઉત્તમ વિધાન મેળવ્યું છે: અંકગણિત પ્રગતિના દરેક પદ તેના પડોશી પદોના અંકગણિત સરેરાશ સમાન છે! વધુમાં: અમે અમારા $((a)_(n))$ થી ડાબી અને જમણી તરફ એક ડગલાથી નહીં, પરંતુ $k$ પગલાંથી પાછળ જઈ શકીએ છીએ - અને સૂત્ર હજુ પણ સાચું રહેશે:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

તે. જો આપણે $((a)_(100))$ અને $((a)_(200))$ જાણીએ તો અમે કેટલાક $((a)_(150))$ સરળતાથી શોધી શકીએ છીએ, કારણ કે $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. પ્રથમ નજરમાં, એવું લાગે છે કે આ હકીકત આપણને કંઈપણ ઉપયોગી આપતી નથી. જો કે, વ્યવહારમાં, ઘણી સમસ્યાઓ ખાસ કરીને અંકગણિત સરેરાશનો ઉપયોગ કરવા માટે તૈયાર કરવામાં આવે છે. એક નજર નાખો:

કાર્ય નંબર 6. $x$ ના તમામ મૂલ્યો શોધો કે જેના માટે $-6((x)^(2))$, $x+1$ અને $14+4((x)^(2))$ ની સળંગ શરતો છે એક અંકગણિત પ્રગતિ (દશાવેલ ક્રમમાં).

ઉકેલ. આ સંખ્યાઓ પ્રગતિના સભ્યો હોવાથી, તેમના માટે અંકગણિત સરેરાશ સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે: કેન્દ્રીય તત્વ $x+1$ ને પડોશી તત્વોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-(x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

પરિણામ એ ક્લાસિક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે. તેના મૂળ: $x=2$ અને $x=-3$ જવાબો છે.

જવાબ: -3; 2.

કાર્ય નંબર 7. $$ ના મૂલ્યો શોધો જેના માટે $-1;4-3;()^(2))+1$ અંકગણિત પ્રગતિ બનાવે છે (તે ક્રમમાં).

ઉકેલ. ચાલો પડોશી શબ્દોના અંકગણિત માધ્યમ દ્વારા મધ્યમ પદને ફરીથી વ્યક્ત કરીએ:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+(x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=(x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

ફરીથી ચતુર્ભુજ સમીકરણ. અને ફરીથી ત્યાં બે મૂળ છે: $x=6$ અને $x=1$.

જવાબ: 1; 6.

જો કોઈ સમસ્યા હલ કરવાની પ્રક્રિયામાં તમે કેટલાક ક્રૂર નંબરો સાથે આવો છો, અથવા તમને મળેલા જવાબોની સાચીતા વિશે સંપૂર્ણ ખાતરી નથી, તો એક અદ્ભુત તકનીક છે જે તમને તપાસવાની મંજૂરી આપે છે: શું અમે સમસ્યાનો યોગ્ય રીતે ઉકેલ લાવી દીધો છે?

ચાલો કહીએ કે સમસ્યા નંબર 6 માં અમને −3 અને 2 જવાબો મળ્યા છે. અમે કેવી રીતે ચકાસી શકીએ કે આ જવાબો સાચા છે? ચાલો તેમને મૂળ સ્થિતિમાં પ્લગ કરીએ અને જોઈએ કે શું થાય છે. હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે અમારી પાસે ત્રણ સંખ્યાઓ છે ($-6(()^(2))$, $+1$ અને $14+4(()^(2))$), જે અંકગણિત પ્રગતિ બનાવવી જોઈએ. ચાલો $x=-3$ ને બદલીએ:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \અંત(સંરેખિત કરો)\]

અમને −54 નંબરો મળ્યા; −2; 50 જે 52 થી ભિન્ન છે તે નિઃશંકપણે અંકગણિતની પ્રગતિ છે. આ જ વસ્તુ $x=2$ માટે થાય છે:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \અંત(સંરેખિત કરો)\]

ફરી એક પ્રગતિ, પરંતુ 27 ના તફાવત સાથે. આમ, સમસ્યા યોગ્ય રીતે હલ થઈ. જેઓ ઈચ્છે છે તેઓ બીજી સમસ્યા જાતે તપાસી શકે છે, પરંતુ હું તરત જ કહીશ: ત્યાં પણ બધું બરાબર છે.

સામાન્ય રીતે, છેલ્લી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, અમે બીજી એક રસપ્રદ તથ્ય તરફ આવી જે પણ યાદ રાખવાની જરૂર છે:

જો ત્રણ સંખ્યાઓ એવી હોય કે બીજી પ્રથમ અને છેલ્લીનો અંકગણિત સરેરાશ હોય, તો આ સંખ્યાઓ અંકગણિત પ્રગતિ બનાવે છે.

ભવિષ્યમાં, આ વિધાનને સમજવાથી અમને સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓના આધારે જરૂરી પ્રગતિ શાબ્દિક રીતે "રચના" કરવાની મંજૂરી મળશે. પરંતુ આપણે આવા "બાંધકામ" માં જોડાતા પહેલા, આપણે એક વધુ હકીકત પર ધ્યાન આપવું જોઈએ, જે પહેલાથી જ ચર્ચા કરવામાં આવી છે તેના પરથી સીધું અનુસરે છે.

તત્વોનું જૂથીકરણ અને સારાંશ

ચાલો ફરીથી નંબર અક્ષ પર પાછા ફરીએ. ચાલો આપણે ત્યાં પ્રગતિના કેટલાક સભ્યોની નોંધ લઈએ, જે વચ્ચે, કદાચ. અન્ય ઘણા સભ્યો માટે મૂલ્યવાન છે:

સંખ્યા રેખા પર 6 તત્વો ચિહ્નિત થયેલ છે

ચાલો "ડાબી પૂંછડી" ને $((a)_(n))$ અને $d$ દ્વારા અને "જમણી પૂંછડી" ને $((a)_(k))$ અને $d$ દ્વારા વ્યક્ત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. તે ખૂબ જ સરળ છે:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

હવે નોંધ લો કે નીચેની રકમ સમાન છે:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= એસ; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= એસ. \અંત(સંરેખિત કરો)\]

સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, જો આપણે પ્રગતિના બે ઘટકોને શરૂઆત તરીકે ધ્યાનમાં લઈએ, જે કુલ મળીને અમુક સંખ્યા $S$ જેટલી હોય છે, અને પછી આ ઘટકોમાંથી વિરુદ્ધ દિશામાં (એકબીજા તરફ અથવા તેનાથી વિપરિત દૂર જવા માટે) આગળ વધવાનું શરૂ કરીએ છીએ. પછી જે તત્વો પર આપણે ઠોકર ખાઈશું તેનો સરવાળો પણ સમાન હશે$S$. આ સૌથી સ્પષ્ટ રીતે ગ્રાફિકલી રજૂ કરી શકાય છે:

સમાન ઇન્ડેન્ટેશન સમાન રકમ આપે છે

આ તથ્યને સમજવાથી આપણે ઉપર વિચાર્યું હોય તેના કરતાં મૂળભૂત રીતે ઉચ્ચ સ્તરની જટિલતાની સમસ્યાઓ હલ કરવામાં મદદ મળશે. ઉદાહરણ તરીકે, આ:

કાર્ય નંબર 8. અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત નક્કી કરો જેમાં પ્રથમ પદ 66 છે, અને બીજા અને બારમા પદનો ગુણાંક શક્ય તેટલો નાનો છે.

ઉકેલ. ચાલો આપણે જે જાણીએ છીએ તે બધું લખીએ:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \અંત(સંરેખિત કરો)\]

તેથી, અમે પ્રગતિ તફાવત $d$ જાણતા નથી. વાસ્તવમાં, સમગ્ર સોલ્યુશન તફાવતની આસપાસ બનાવવામાં આવશે, કારણ કે ઉત્પાદન $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ ને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \જમણે). \અંત(સંરેખિત કરો)\]

ટાંકીમાં રહેલા લોકો માટે: મેં બીજા કૌંસમાંથી કુલ 11 નો ગુણક લીધો. આમ, જરૂરી ઉત્પાદન એ ચલ $d$ના સંદર્ભમાં એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે. તેથી, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ ને ધ્યાનમાં લો - તેનો આલેખ ઉપરની શાખાઓ સાથેનો પેરાબોલા હશે, કારણ કે જો આપણે કૌંસને વિસ્તૃત કરીએ, તો આપણને મળશે:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

જેમ તમે જોઈ શકો છો, સર્વોચ્ચ પદનો ગુણાંક 11 છે - આ એક સકારાત્મક સંખ્યા છે, તેથી અમે ખરેખર ઉપરની શાખાઓ સાથે પેરાબોલા સાથે વ્યવહાર કરી રહ્યા છીએ:

ચતુર્ભુજ કાર્યનો આલેખ - પેરાબોલા
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: આ પેરાબોલા તેના શિરોબિંદુ પર abscissa $((d)_(0))$ સાથે તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય લે છે. અલબત્ત, અમે સ્ટાન્ડર્ડ સ્કીમનો ઉપયોગ કરીને આ એબ્સીસાની ગણતરી કરી શકીએ છીએ (ત્યાં સૂત્ર $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ છે), પરંતુ તે નોંધવું વધુ વ્યાજબી હશે કે ઇચ્છિત શિરોબિંદુ પેરાબોલાના ધરીની સમપ્રમાણતા પર આવેલું છે, તેથી બિંદુ $((d)_(0))$ સમીકરણ $f\left(d \right)=0$ ના મૂળથી સમાન છે:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

તેથી જ મને કૌંસ ખોલવાની કોઈ ખાસ ઉતાવળ નહોતી: તેમના મૂળ સ્વરૂપમાં, મૂળ શોધવામાં ખૂબ જ સરળ હતા. તેથી, એબ્સીસા એ સંખ્યા −66 અને −6 ના અંકગણિત સરેરાશ સમાન છે:

\[(d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

શોધાયેલ નંબર આપણને શું આપે છે? તેની સાથે, જરૂરી ઉત્પાદન સૌથી નાનું મૂલ્ય લે છે (માર્ગ દ્વારા, અમે ક્યારેય $((y)_(\min ))$ની ગણતરી કરી નથી - આ અમને જરૂરી નથી). તે જ સમયે, આ સંખ્યા મૂળ પ્રગતિનો તફાવત છે, એટલે કે. અમને જવાબ મળ્યો :)

જવાબ: -36

કાર્ય નંબર 9. $-\frac(1)(2)$ અને $-\frac(1)(6)$ વચ્ચે ત્રણ સંખ્યાઓ દાખલ કરો જેથી આ સંખ્યાઓ સાથે મળીને તેઓ અંકગણિત પ્રગતિ બનાવે.

ઉકેલ. અનિવાર્યપણે, આપણે પાંચ સંખ્યાઓનો ક્રમ બનાવવાની જરૂર છે, જેમાં પ્રથમ અને છેલ્લી સંખ્યા પહેલેથી જ જાણીતી છે. ચાલો ખૂટતી સંખ્યાઓને $x$, $y$ અને $z$ દ્વારા દર્શાવીએ:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

નોંધ કરો કે $y$ એ આપણા ક્રમનો "મધ્યમ" છે - તે $x$ અને $z$, અને $-\frac(1)(2)$ અને $-\frac નંબરોથી સમાન છે (1)(6)$. અને જો આપણે હાલમાં $x$ અને $z$ નંબરોમાંથી $y$ મેળવી શકતા નથી, તો પ્રગતિના અંત સાથે પરિસ્થિતિ અલગ છે. ચાલો અંકગણિતનો અર્થ યાદ રાખીએ:

હવે, $y$ જાણીને, આપણે બાકીની સંખ્યાઓ શોધીશું. નોંધ કરો કે $x$ એ $-\frac(1)(2)$ અને $y=-\frac(1)(3)$ અમે હમણાં જ શોધેલા નંબરો વચ્ચે છે. તેથી જ

સમાન તર્કનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બાકીની સંખ્યા શોધીએ છીએ:

તૈયાર! અમને ત્રણેય નંબરો મળ્યા. ચાલો તેમને જવાબમાં મૂળ સંખ્યાઓ વચ્ચે જે ક્રમમાં દાખલ કરવા જોઈએ તે ક્રમમાં લખીએ.

જવાબ: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

કાર્ય નંબર 10. નંબરો 2 અને 42 ની વચ્ચે, ઘણી સંખ્યાઓ દાખલ કરો જે, આ સંખ્યાઓ સાથે મળીને, એક અંકગણિત પ્રગતિ બનાવે છે, જો તમે જાણો છો કે દાખલ કરેલ સંખ્યાઓમાંથી પ્રથમ, બીજા અને છેલ્લાનો સરવાળો 56 છે.

ઉકેલ. એક વધુ જટિલ સમસ્યા, જે, જો કે, અગાઉના મુદ્દાઓ જેવી જ યોજના અનુસાર હલ કરવામાં આવે છે - અંકગણિત સરેરાશ દ્વારા. સમસ્યા એ છે કે આપણે બરાબર જાણતા નથી કે કેટલા નંબરો નાખવાની જરૂર છે. તેથી, ચાલો નિશ્ચિતતા માટે માની લઈએ કે બધું દાખલ કર્યા પછી બરાબર $n$ સંખ્યાઓ હશે, અને તેમાંથી પ્રથમ 2 છે, અને છેલ્લો 42 છે. આ કિસ્સામાં, જરૂરી અંકગણિત પ્રગતિ ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right$\]

\[(a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

જો કે, નોંધ કરો કે $((a)_(2))$ અને $((a)_(n-1))$ એ અંકો 2 અને 42 માંથી કિનારે એક બીજા તરફ એક પગથિયાંથી મેળવવામાં આવે છે, એટલે કે ક્રમના કેન્દ્રમાં. અને આનો અર્થ એ છે કે

\[(a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

પરંતુ પછી ઉપર લખેલ અભિવ્યક્તિ નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

\[\begin(સંરેખિત કરો) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

$((a)_(3))$ અને $((a)_(1))$ ને જાણીને, આપણે પ્રગતિનો તફાવત સરળતાથી શોધી શકીએ છીએ:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

બાકીના શબ્દો શોધવાનું બાકી છે:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

આમ, પહેલાથી જ 9મા પગલા પર આપણે ક્રમના ડાબા છેડે આવીશું - નંબર 42. કુલ, ફક્ત 7 નંબરો દાખલ કરવાના હતા: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

જવાબ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

પ્રગતિ સાથે શબ્દ સમસ્યાઓ

નિષ્કર્ષમાં, હું કેટલીક પ્રમાણમાં સરળ સમસ્યાઓ ધ્યાનમાં લેવા માંગુ છું. ઠીક છે, તેટલું સરળ: મોટાભાગના વિદ્યાર્થીઓ કે જેઓ શાળામાં ગણિતનો અભ્યાસ કરે છે અને ઉપર લખેલું વાંચ્યું નથી, આ સમસ્યાઓ અઘરી લાગે છે. તેમ છતાં, આ સમસ્યાઓના પ્રકારો છે જે ગણિતમાં OGE અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં દેખાય છે, તેથી હું ભલામણ કરું છું કે તમે તેમની સાથે પોતાને પરિચિત કરો.

કાર્ય નંબર 11. ટીમે જાન્યુઆરીમાં 62 ભાગોનું ઉત્પાદન કર્યું હતું, અને પછીના દરેક મહિનામાં તેઓએ પાછલા મહિના કરતાં 14 વધુ ભાગોનું ઉત્પાદન કર્યું હતું. નવેમ્બરમાં ટીમે કેટલા ભાગો બનાવ્યા?

ઉકેલ. દેખીતી રીતે, મહિના દ્વારા સૂચિબદ્ધ ભાગોની સંખ્યા વધતી અંકગણિત પ્રગતિનું પ્રતિનિધિત્વ કરશે. વધુમાં:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

નવેમ્બર એ વર્ષનો 11મો મહિનો છે, તેથી આપણે $((a)_(11))$ શોધવાની જરૂર છે:

\[(a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

તેથી નવેમ્બરમાં 202 ભાગોનું ઉત્પાદન કરવામાં આવશે.

કાર્ય નંબર 12. બુકબાઈન્ડિંગ વર્કશોપ જાન્યુઆરીમાં 216 પુસ્તકોને બંધનકર્તા છે, અને તે પછીના દરેક મહિનામાં તે અગાઉના પુસ્તક કરતાં 4 વધુ પુસ્તકોને બંધનકર્તા છે. ડિસેમ્બરમાં વર્કશોપમાં કેટલા પુસ્તકો બંધાયા?

ઉકેલ. બધું સમાન છે:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

ડિસેમ્બર એ વર્ષનો છેલ્લો, 12મો મહિનો છે, તેથી અમે $((a)_(12))$ શોધી રહ્યા છીએ:

\[(a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

આ છે જવાબ - ડિસેમ્બરમાં 260 પુસ્તકો બંધાશે.

સારું, જો તમે આટલું વાંચ્યું હોય, તો હું તમને અભિનંદન આપવા ઉતાવળ કરું છું: તમે અંકગણિત પ્રગતિમાં "યુવાન ફાઇટરનો કોર્સ" સફળતાપૂર્વક પૂર્ણ કર્યો છે. તમે સુરક્ષિત રીતે આગળના પાઠ પર જઈ શકો છો, જ્યાં અમે પ્રગતિના સરવાળા માટેના સૂત્રનો અભ્યાસ કરીશું, તેમજ તેમાંથી મહત્વપૂર્ણ અને ખૂબ જ ઉપયોગી પરિણામોનો અભ્યાસ કરીશું.

ધ્યાન આપો!
ત્યાં વધારાના છે
વિશેષ કલમ 555 માં સામગ્રી.
જેઓ ખૂબ "ખૂબ નથી..." છે તેમના માટે
અને જેઓ "ખૂબ જ...")

અંકગણિત પ્રગતિ એ સંખ્યાઓની શ્રેણી છે જેમાં દરેક સંખ્યા સમાન રકમ દ્વારા અગાઉના એક કરતા મોટી (અથવા ઓછી) હોય છે.

આ વિષય ઘણીવાર જટિલ અને અગમ્ય લાગે છે. અક્ષરોના સૂચકાંકો, પ્રગતિનો nમો શબ્દ, પ્રગતિનો તફાવત - આ બધું કોઈક રીતે ગૂંચવણમાં મૂકે છે, હા... ચાલો અંકગણિત પ્રગતિનો અર્થ સમજીએ અને બધું તરત જ સારું થઈ જશે.)

અંકગણિત પ્રગતિનો ખ્યાલ.

અંકગણિત પ્રગતિ એ ખૂબ જ સરળ અને સ્પષ્ટ ખ્યાલ છે. શું તમને કોઈ શંકા છે? નિરર્થક.) તમારા માટે જુઓ.

હું સંખ્યાઓની અપૂર્ણ શ્રેણી લખીશ:

1, 2, 3, 4, 5, ...

શું તમે આ શ્રેણીને વિસ્તારી શકો છો? પાંચ પછી કયા નંબરો આવશે? દરેક વ્યક્તિ... ઉહ... ટૂંકમાં, દરેકને ખ્યાલ આવશે કે 6, 7, 8, 9, વગેરે નંબરો આગળ આવશે.

ચાલો કાર્યને જટિલ બનાવીએ. હું તમને સંખ્યાઓની અપૂર્ણ શ્રેણી આપું છું:

2, 5, 8, 11, 14, ...

તમે પેટર્નને પકડી શકશો, શ્રેણીને વિસ્તૃત કરી શકશો અને નામ મેળવી શકશો સાતમુંપંક્તિ નંબર?

જો તમને સમજાયું કે આ સંખ્યા 20 છે, તો અભિનંદન! તને લાગ્યું એટલું જ નહિ અંકગણિત પ્રગતિના મુખ્ય મુદ્દાઓ,પણ બિઝનેસમાં સફળતાપૂર્વક તેનો ઉપયોગ કર્યો! જો તમે તેને શોધી શક્યા નથી, તો આગળ વાંચો.

હવે ચાલો સંવેદનામાંથી મુખ્ય મુદ્દાઓને ગણિતમાં અનુવાદિત કરીએ.)

પ્રથમ મુખ્ય મુદ્દો.

અંકગણિત પ્રગતિ સંખ્યાઓની શ્રેણી સાથે સંબંધિત છે.આ શરૂઆતમાં મૂંઝવણભર્યું છે. આપણે સમીકરણો ઉકેલવા, ગ્રાફ દોરવા અને આ બધું કરવા માટે ટેવાયેલા છીએ... પરંતુ અહીં આપણે શ્રેણીને લંબાવીએ છીએ, શ્રેણીની સંખ્યા શોધીએ છીએ...

તે બરાબર છે. તે માત્ર એટલું જ છે કે પ્રગતિ એ ગણિતની નવી શાખા સાથેનો પ્રથમ પરિચય છે. વિભાગને "શ્રેણી" કહેવામાં આવે છે અને તે ખાસ કરીને સંખ્યાઓ અને અભિવ્યક્તિઓની શ્રેણી સાથે કામ કરે છે. તેની આદત પાડો.)

બીજો મુખ્ય મુદ્દો.

અંકગણિતની પ્રગતિમાં, કોઈપણ સંખ્યા અગાઉના એક કરતા અલગ હોય છે સમાન રકમ દ્વારા.

પ્રથમ ઉદાહરણમાં, આ તફાવત એક છે. તમે જે પણ નંબર લો છો, તે અગાઉના એક કરતા એક વધુ છે. બીજામાં - ત્રણ. કોઈપણ સંખ્યા અગાઉના એક કરતા ત્રણ વધુ છે. વાસ્તવમાં, તે આ ક્ષણ છે જે આપણને પેટર્નને સમજવાની અને અનુગામી સંખ્યાઓની ગણતરી કરવાની તક આપે છે.

ત્રીજો મુખ્ય મુદ્દો.

આ ક્ષણ આશ્ચર્યજનક નથી, હા... પરંતુ તે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. તે અહીં છે: દરેક પ્રગતિ નંબર તેની જગ્યાએ છે.ત્યાં પ્રથમ નંબર છે, ત્યાં સાતમો છે, ત્યાં ચાલીસ-પાંચમો છે, વગેરે. જો તમે તેમને અવ્યવસ્થિત રીતે મિશ્રિત કરો છો, તો પેટર્ન અદૃશ્ય થઈ જશે. અંકગણિતની પ્રગતિ પણ અદૃશ્ય થઈ જશે. જે બાકી છે તે માત્ર સંખ્યાઓની શ્રેણી છે.

તે સમગ્ર મુદ્દો છે.

અલબત્ત, નવા વિષયમાં નવી શરતો અને હોદ્દો દેખાય છે. તમારે તેમને જાણવાની જરૂર છે. નહિંતર, તમે કાર્યને સમજી શકશો નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, તમારે કંઈક નક્કી કરવું પડશે:

અંકગણિત પ્રગતિ (a n) ના પ્રથમ છ પદો લખો, જો a 2 = 5, d = -2.5 હોય.

પ્રેરણાદાયક?) પત્રો, કેટલાક અનુક્રમણિકાઓ... અને કાર્ય, માર્ગ દ્વારા, સરળ ન હોઈ શકે. તમારે ફક્ત શરતો અને હોદ્દાઓનો અર્થ સમજવાની જરૂર છે. હવે અમે આ બાબતમાં નિપુણતા મેળવીશું અને કાર્ય પર પાછા આવીશું.

શરતો અને હોદ્દો.

અંકગણિત પ્રગતિસંખ્યાઓની શ્રેણી છે જેમાં દરેક સંખ્યા પાછલા એક કરતા અલગ છે સમાન રકમ દ્વારા.

આ જથ્થો કહેવામાં આવે છે . ચાલો આ ખ્યાલને વધુ વિગતવાર જોઈએ.

અંકગણિત પ્રગતિ તફાવત.

અંકગણિત પ્રગતિ તફાવતતે રકમ છે જેના દ્વારા કોઈપણ પ્રગતિ સંખ્યા વધુઅગાઉનું એક.

એક મહત્વનો મુદ્દો. કૃપા કરીને શબ્દ પર ધ્યાન આપો "વધુ".ગાણિતિક રીતે, આનો અર્થ એ છે કે દરેક પ્રગતિ સંખ્યા છે ઉમેરીનેપાછલી સંખ્યા સાથે અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત.

ગણતરી કરવા માટે, ચાલો કહીએ બીજુંશ્રેણીની સંખ્યા, તમારે જરૂર છે પ્રથમસંખ્યા ઉમેરોઅંકગણિત પ્રગતિનો આ ખૂબ જ તફાવત. ગણતરી માટે પાંચમું- તફાવત જરૂરી છે ઉમેરોથી ચોથું,સારું, વગેરે.

અંકગણિત પ્રગતિ તફાવતહોઈ શકે છે હકારાત્મક,પછી શ્રેણીની દરેક સંખ્યા વાસ્તવિક હશે અગાઉના એક કરતાં વધુ.આ પ્રગતિ કહેવાય છે વધારોઉદાહરણ તરીકે:

8; 13; 18; 23; 28; .....

અહીં દરેક નંબર મેળવવામાં આવે છે ઉમેરીનેસકારાત્મક સંખ્યા, પહેલાના એકથી +5.

તફાવત હોઈ શકે છે નકારાત્મકપછી શ્રેણીમાં દરેક સંખ્યા હશે પાછલા એક કરતા ઓછું.આ પ્રગતિ કહેવાય છે (તમે તેના પર વિશ્વાસ કરશો નહીં!) ઘટતું

ઉદાહરણ તરીકે:

8; 3; -2; -7; -12; .....

અહીં દરેક નંબર પણ મેળવવામાં આવે છે ઉમેરીનેપાછલા એક માટે, પરંતુ પહેલેથી જ નકારાત્મક સંખ્યા, -5.

માર્ગ દ્વારા, પ્રગતિ સાથે કામ કરતી વખતે, તેની પ્રકૃતિને તરત જ નક્કી કરવા માટે તે ખૂબ જ ઉપયોગી છે - પછી ભલે તે વધી રહ્યું હોય કે ઘટતું હોય. આ નિર્ણયને નેવિગેટ કરવામાં, તમારી ભૂલોને શોધવા અને મોડું થાય તે પહેલાં તેને સુધારવામાં ઘણી મદદ કરે છે.

અંકગણિત પ્રગતિ તફાવતસામાન્ય રીતે અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે ડી.

કેવી રીતે શોધવું ડી? ખૂબ જ સરળ. શ્રેણીની કોઈપણ સંખ્યામાંથી બાદબાકી કરવી જરૂરી છે અગાઉનાસંખ્યા બાદબાકી કરો. માર્ગ દ્વારા, બાદબાકીના પરિણામને "તફાવત" કહેવામાં આવે છે.)

ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, ડીઅંકગણિત પ્રગતિ વધારવા માટે:

2, 5, 8, 11, 14, ...

અમે શ્રેણીમાં કોઈપણ સંખ્યા લઈએ છીએ જે અમને જોઈએ છે, ઉદાહરણ તરીકે, 11. અમે તેમાંથી બાદ કરીએ છીએ અગાઉની સંખ્યાતે 8:

આ સાચો જવાબ છે. આ અંકગણિત પ્રગતિ માટે, તફાવત ત્રણ છે.

તમે તેને લઈ શકો છો કોઈપણ પ્રગતિ નંબર,કારણ કે ચોક્કસ પ્રગતિ માટે ડી-હંમેશા સમાન.ઓછામાં ઓછું ક્યાંક પંક્તિની શરૂઆતમાં, ઓછામાં ઓછું મધ્યમાં, ઓછામાં ઓછું ગમે ત્યાં. તમે ફક્ત પ્રથમ નંબર જ લઈ શકતા નથી. માત્ર કારણ કે ખૂબ જ પ્રથમ નંબર અગાઉનું કોઈ નથી.)

બાય ધ વે, એ જાણીને d=3, આ પ્રગતિની સાતમી સંખ્યા શોધવી ખૂબ જ સરળ છે. ચાલો પાંચમા નંબરમાં 3 ઉમેરીએ - આપણને છઠ્ઠો મળે છે, તે 17 થશે. ચાલો છઠ્ઠા નંબરમાં ત્રણ ઉમેરીએ, આપણને સાતમો નંબર મળશે - વીસ.

ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ ડીઉતરતા અંકગણિત પ્રગતિ માટે:

8; 3; -2; -7; -12; .....

હું તમને યાદ કરાવું છું કે, સંકેતોને ધ્યાનમાં લીધા વિના, નક્કી કરવા ડીકોઈપણ નંબર પરથી જરૂર છે પાછલાને દૂર કરો.કોઈપણ પ્રગતિ નંબર પસંદ કરો, ઉદાહરણ તરીકે -7. તેનો અગાઉનો નંબર -2 છે. પછી:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત કોઈપણ સંખ્યા હોઈ શકે છે: પૂર્ણાંક, અપૂર્ણાંક, અતાર્કિક, કોઈપણ સંખ્યા.

અન્ય શરતો અને હોદ્દો.

શ્રેણીના દરેક નંબરને કહેવામાં આવે છે અંકગણિત પ્રગતિના સભ્ય.

પ્રગતિના દરેક સભ્ય તેનો પોતાનો નંબર છે.નંબરો કડક ક્રમમાં છે, કોઈપણ યુક્તિઓ વિના. પ્રથમ, બીજો, ત્રીજો, ચોથો, વગેરે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રગતિમાં 2, 5, 8, 11, 14, ... બે પ્રથમ પદ છે, પાંચ બીજા છે, અગિયાર ચોથું છે, સારું, તમે સમજો છો...) કૃપા કરીને સ્પષ્ટપણે સમજો - નંબરો પોતેસંપૂર્ણપણે કંઈપણ હોઈ શકે છે, સંપૂર્ણ, અપૂર્ણાંક, નકારાત્મક, કોઈપણ, પરંતુ સંખ્યાઓની સંખ્યા- સખત ક્રમમાં!

સામાન્ય સ્વરૂપમાં પ્રગતિ કેવી રીતે લખવી? કોઈ પ્રશ્ન નથી! શ્રેણીમાં દરેક નંબર એક અક્ષર તરીકે લખવામાં આવે છે. અંકગણિતની પ્રગતિ દર્શાવવા માટે, અક્ષરનો સામાન્ય રીતે ઉપયોગ થાય છે a. સભ્ય સંખ્યા નીચે જમણી બાજુએ ઇન્ડેક્સ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. અમે અલ્પવિરામ (અથવા અર્ધવિરામ) દ્વારા વિભાજિત શબ્દો લખીએ છીએ, જેમ કે:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- આ પહેલો નંબર છે, a 3- ત્રીજું, વગેરે. ફેન્સી કંઈ નથી. આ શ્રેણી ટૂંકમાં આ રીતે લખી શકાય છે: (એ એન).

પ્રગતિ થાય છે મર્યાદિત અને અનંત.

અલ્ટીમેટપ્રગતિમાં સભ્યોની મર્યાદિત સંખ્યા છે. પાંચ, આડત્રીસ, ગમે તે. પરંતુ તે એક મર્યાદિત સંખ્યા છે.

અનંતપ્રગતિ - તમે ધારી શકો તેમ સભ્યોની અસંખ્ય સંખ્યા છે.)

તમે આના જેવી શ્રેણી, તમામ શરતો અને અંતે એક બિંદુ દ્વારા અંતિમ પ્રગતિ લખી શકો છો:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

અથવા આની જેમ, જો ત્યાં ઘણા સભ્યો છે:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

ટૂંકી એન્ટ્રીમાં તમારે સભ્યોની સંખ્યા પણ દર્શાવવી પડશે. ઉદાહરણ તરીકે (વીસ સભ્યો માટે), આના જેવું:

(a n), n = 20

આ પાઠમાંના ઉદાહરણોની જેમ, પંક્તિના અંતે અંડાકાર દ્વારા અનંત પ્રગતિને ઓળખી શકાય છે.

હવે તમે કાર્યો હલ કરી શકો છો. કાર્યો સરળ છે, કેવળ અંકગણિત પ્રગતિના અર્થને સમજવા માટે.

અંકગણિત પ્રગતિ પરના કાર્યોના ઉદાહરણો.

ચાલો ઉપર આપેલ કાર્યને વિગતવાર જોઈએ:

1. અંકગણિત પ્રગતિ (a n) ના પ્રથમ છ પદો લખો, જો a 2 = 5, d = -2.5 હોય.

અમે કાર્યને સમજી શકાય તેવી ભાષામાં અનુવાદિત કરીએ છીએ. એક અનંત અંકગણિત પ્રગતિ આપવામાં આવે છે. આ પ્રગતિનો બીજો નંબર જાણીતો છે: a 2 = 5.પ્રગતિ તફાવત જાણીતો છે: d = -2.5.આપણે આ પ્રગતિના પ્રથમ, ત્રીજા, ચોથા, પાંચમા અને છઠ્ઠા પદો શોધવાની જરૂર છે.

સ્પષ્ટતા માટે, હું સમસ્યાની શરતો અનુસાર શ્રેણી લખીશ. પ્રથમ છ પદો, જ્યાં બીજી મુદત પાંચ છે:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....

a 3 = a 2 + ડી

અભિવ્યક્તિમાં બદલો a 2 = 5અને d = -2.5. માઈનસ વિશે ભૂલશો નહીં!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

ત્રીજી ટર્મ બીજી ટર્મ કરતા નાની નીકળી. બધું તાર્કિક છે. જો સંખ્યા પાછલા એક કરતા વધારે હોય નકારાત્મકમૂલ્ય, જેનો અર્થ છે કે સંખ્યા પોતે જ અગાઉના એક કરતા ઓછી હશે. પ્રગતિ ઘટી રહી છે. ઠીક છે, ચાલો તેને ધ્યાનમાં લઈએ.) અમે અમારી શ્રેણીની ચોથી પદની ગણતરી કરીએ છીએ:

a 4 = a 3 + ડી

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + ડી

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + ડી

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

તેથી, ત્રીજાથી છઠ્ઠા પદની ગણતરી કરવામાં આવી હતી. પરિણામ નીચેની શ્રેણી છે:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

તે પ્રથમ શબ્દ શોધવાનું બાકી છે a 1જાણીતા બીજા અનુસાર. આ બીજી દિશામાં એક પગલું છે, ડાબી તરફ.) તેથી, અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત ડીમાં ઉમેરવું જોઈએ નહીં a 2, એ દૂર લઈ જાઓ

a 1 = a 2 - ડી

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

બસ. સોંપણીનો જવાબ:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

પસાર થવામાં, હું નોંધવા માંગુ છું કે અમે આ કાર્યને હલ કર્યું છે આવર્તકમાર્ગ આ ભયંકર શબ્દનો અર્થ ફક્ત પ્રગતિના સભ્યની શોધ છે અગાઉના (સંલગ્ન) નંબર અનુસાર.અમે નીચે પ્રગતિ સાથે કામ કરવાની અન્ય રીતો જોઈશું.

આ સરળ કાર્યમાંથી એક મહત્વપૂર્ણ નિષ્કર્ષ કાઢી શકાય છે.

યાદ રાખો:

જો આપણે ઓછામાં ઓછા એક પદ અને અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત જાણીએ, તો આપણે આ પ્રગતિનો કોઈપણ શબ્દ શોધી શકીએ છીએ.

શું તમને યાદ છે? આ સરળ નિષ્કર્ષ તમને આ વિષય પરના શાળા અભ્યાસક્રમની મોટાભાગની સમસ્યાઓ હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે. બધા કાર્યો ત્રણ મુખ્ય પરિમાણોની આસપાસ ફરે છે: અંકગણિત પ્રગતિના સભ્ય, પ્રગતિનો તફાવત, પ્રગતિના સભ્યની સંખ્યા.બધા.

અલબત્ત, અગાઉના તમામ બીજગણિત રદ થયા નથી.) અસમાનતાઓ, સમીકરણો અને અન્ય બાબતો પ્રગતિ સાથે જોડાયેલ છે. પણ પ્રગતિ પોતે અનુસાર- બધું ત્રણ પરિમાણોની આસપાસ ફરે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો આ વિષય પરના કેટલાક લોકપ્રિય કાર્યો જોઈએ.

2. n=5, d = 0.4, અને a 1 = 3.6 હોય તો મર્યાદિત અંકગણિત પ્રગતિને શ્રેણી તરીકે લખો.

અહીં બધું સરળ છે. બધું પહેલેથી જ આપવામાં આવ્યું છે. તમારે યાદ રાખવાની જરૂર છે કે અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યોની ગણતરી કેવી રીતે કરવામાં આવે છે, તેમની ગણતરી કરો અને તેમને લખો. કાર્યની સ્થિતિમાં શબ્દો ચૂકી ન જવાની સલાહ આપવામાં આવે છે: “અંતિમ” અને “ n=5". જેથી જ્યાં સુધી તમે ચહેરા પર સંપૂર્ણપણે વાદળી ન થઈ જાઓ ત્યાં સુધી ગણતરી ન કરો.) આ પ્રગતિમાં ફક્ત 5 (પાંચ) સભ્યો છે:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

a 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

જવાબ લખવાનું બાકી છે:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

બીજું કાર્ય:

3. નક્કી કરો કે શું નંબર 7 અંકગણિત પ્રગતિ (a n) નો સભ્ય હશે, જો a 1 = 4.1; d = 1.2.

હમ્મ... કોણ જાણે? કંઈક કેવી રીતે નક્કી કરવું?

કેવી રીતે... શ્રેણીના રૂપમાં પ્રગતિ લખો અને જુઓ કે ત્યાં સાત હશે કે નહીં! અમે ગણતરી કરીએ છીએ:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

હવે સ્પષ્ટ દેખાય છે કે આપણે માત્ર સાત જ છીએ દ્વારા સરકી ગયો 6.5 અને 7.7 ની વચ્ચે! સાત અમારી સંખ્યાઓની શ્રેણીમાં આવતા નથી, અને તેથી, સાત આપેલ પ્રગતિના સભ્ય નહીં હોય.

જવાબ: ના.

અને અહીં GIA ના વાસ્તવિક સંસ્કરણ પર આધારિત સમસ્યા છે:

4. અંકગણિત પ્રગતિના કેટલાક સળંગ પદો લખેલા છે:

...; 15; એક્સ; 9; 6; ...

અહીં અંત અને શરૂઆત વિના લખાયેલી શ્રેણી છે. કોઈ સભ્ય સંખ્યા નથી, કોઈ તફાવત નથી ડી. તે બરાબર છે. સમસ્યાને હલ કરવા માટે, અંકગણિત પ્રગતિનો અર્થ સમજવા માટે તે પૂરતું છે. ચાલો જોઈએ અને જોઈએ કે શું શક્ય છે જાણવા માટેઆ શ્રેણીમાંથી? ત્રણ મુખ્ય પરિમાણો શું છે?

સભ્ય સંખ્યા? અહીં એક પણ સંખ્યા નથી.

પરંતુ ત્યાં ત્રણ નંબરો છે અને - ધ્યાન! - શબ્દ "સતત"સ્થિતિમાં. આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યાઓ સખત રીતે ક્રમમાં છે, અંતર વિના. શું આ પંક્તિમાં બે છે? પડોશીજાણીતી સંખ્યાઓ? હા, મારી પાસે છે! આ 9 અને 6 છે. તેથી, આપણે અંકગણિત પ્રગતિના તફાવતની ગણતરી કરી શકીએ છીએ! છમાંથી બાદ કરો અગાઉનાસંખ્યા, એટલે કે નવ:

માત્ર નાની નાની બાબતો બાકી છે. X માટે પહેલાની સંખ્યા કઈ હશે? પંદર. આનો અર્થ એ છે કે X સરળ ઉમેરા દ્વારા સરળતાથી શોધી શકાય છે. અંકગણિત પ્રગતિના તફાવતને 15 માં ઉમેરો:

બસ. જવાબ: x=12

અમે નીચેની સમસ્યાઓ જાતે હલ કરીએ છીએ. નોંધ: આ સમસ્યાઓ સૂત્રો પર આધારિત નથી. કેવળ અંકગણિત પ્રગતિનો અર્થ સમજવા માટે.) અમે ફક્ત સંખ્યાઓ અને અક્ષરોની શ્રેણી લખીએ છીએ, તેને જુઓ અને આકૃતિ કરો.

5. અંકગણિત પ્રગતિનો પ્રથમ હકારાત્મક શબ્દ શોધો જો 5 = -3 હોય; d = 1.1.

6. તે જાણીતું છે કે સંખ્યા 5.5 એ અંકગણિત પ્રગતિ (a n) નો સભ્ય છે, જ્યાં a 1 = 1.6; d = 1.3. આ સભ્યની સંખ્યા n નક્કી કરો.

7. તે જાણીતું છે કે અંકગણિત પ્રગતિમાં 2 = 4; a 5 = 15.1. 3 શોધો.

8. અંકગણિત પ્રગતિના કેટલાક સળંગ પદો લખેલા છે:

...; 15.6; એક્સ; 3.4; ...

x અક્ષર દ્વારા દર્શાવેલ પ્રગતિનો શબ્દ શોધો.

9. ટ્રેને સ્ટેશનથી આગળ વધવાનું શરૂ કર્યું, એકસરખી ગતિમાં 30 મીટર પ્રતિ મિનિટનો વધારો કર્યો. પાંચ મિનિટમાં કેટલી હશે ટ્રેનની સ્પીડ? તમારો જવાબ કિમી/કલાકમાં આપો.

10. તે જાણીતું છે કે અંકગણિત પ્રગતિમાં 2 = 5; a 6 = -5. 1 શોધો.

જવાબો (અવ્યવસ્થિતમાં): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

શું બધું કામ કર્યું? અમેઝિંગ! તમે નીચેના પાઠોમાં ઉચ્ચ સ્તરે અંકગણિત પ્રગતિમાં નિપુણતા મેળવી શકો છો.

બધું કામ નથી કર્યું? કોઈ સમસ્યા નથી. સ્પેશિયલ સેક્શન 555 માં, આ બધી સમસ્યાઓને ટુકડા દ્વારા અલગ પાડવામાં આવે છે.) અને, અલબત્ત, એક સરળ વ્યવહારુ તકનીકનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે જે તરત જ આવા કાર્યોના ઉકેલને સ્પષ્ટપણે, સ્પષ્ટ રીતે, એક નજરમાં પ્રકાશિત કરે છે!

બાય ધ વે, ટ્રેન પઝલમાં એવી બે સમસ્યાઓ છે કે જેનાથી લોકો વારંવાર ઠોકર ખાય છે. એક કેવળ પ્રગતિની દ્રષ્ટિએ છે, અને બીજું ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં કોઈપણ સમસ્યાઓ માટે સામાન્ય છે. આ એકથી બીજામાં પરિમાણનો અનુવાદ છે. તે દર્શાવે છે કે આ સમસ્યાઓ કેવી રીતે ઉકેલવી જોઈએ.

આ પાઠમાં આપણે અંકગણિતની પ્રગતિના પ્રાથમિક અર્થ અને તેના મુખ્ય પરિમાણોને જોયા. આ વિષય પર લગભગ તમામ સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે આ પૂરતું છે. ઉમેરો ડીનંબરો પર, શ્રેણી લખો, બધું હલ થઈ જશે.

ફિંગર સોલ્યુશન પંક્તિના ખૂબ જ ટૂંકા ટુકડાઓ માટે સારી રીતે કામ કરે છે, જેમ કે આ પાઠમાંના ઉદાહરણોમાં. જો શ્રેણી લાંબી હોય, તો ગણતરીઓ વધુ જટિલ બની જાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો પ્રશ્ન 9 માં સમસ્યા હોય તો તમે બદલો છો "પાંચ મિનિટ"ચાલુ "પાંત્રીસ મિનિટ"સમસ્યા નોંધપાત્ર રીતે વધુ ખરાબ થશે.)

અને એવા કાર્યો પણ છે જે સારમાં સરળ છે, પરંતુ ગણતરીઓની દ્રષ્ટિએ વાહિયાત છે, ઉદાહરણ તરીકે:

એક અંકગણિત પ્રગતિ (a n) આપવામાં આવે છે. 121 શોધો જો a 1 =3 અને d=1/6.

તો શું, આપણે 1/6 ઘણી, ઘણી વખત ઉમેરવા જઈ રહ્યા છીએ?! તમે તમારી જાતને મારી શકો છો!?

તમે કરી શકો છો.) જો તમે એક સરળ ફોર્મ્યુલા જાણતા નથી જેના દ્વારા તમે આવા કાર્યોને એક મિનિટમાં હલ કરી શકો છો. આ સૂત્ર આગામી પાઠમાં હશે. અને આ સમસ્યા ત્યાં જ ઉકેલાય છે. એક મિનિટમાં.)

જો તમને આ સાઈટ ગમે તો...

માર્ગ દ્વારા, મારી પાસે તમારા માટે કેટલીક વધુ રસપ્રદ સાઇટ્સ છે.)

તમે ઉદાહરણો ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો અને તમારું સ્તર શોધી શકો છો. ત્વરિત ચકાસણી સાથે પરીક્ષણ. ચાલો શીખીએ - રસ સાથે!)

તમે કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝથી પરિચિત થઈ શકો છો.

અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિ

સૈદ્ધાંતિક માહિતી

સૈદ્ધાંતિક માહિતી

	અંકગણિત પ્રગતિ	ભૌમિતિક પ્રગતિ
વ્યાખ્યા	અંકગણિત પ્રગતિ એક એનએક એવો ક્રમ છે જેમાં દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, સમાન સંખ્યામાં ઉમેરાયેલા અગાઉના સભ્યની બરાબર હોય છે. ડી (ડી- પ્રગતિ તફાવત)	ભૌમિતિક પ્રગતિ b nબિન-શૂન્ય સંખ્યાઓનો ક્રમ છે, જેમાંથી પ્રત્યેક પદ, બીજાથી શરૂ થાય છે, સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરાયેલ અગાઉના પદની બરાબર છે q (q- પ્રગતિનો છેદ)
પુનરાવૃત્તિ સૂત્ર	કોઈપણ કુદરતી માટે n a n + 1 = a n + d	કોઈપણ કુદરતી માટે n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
ફોર્મ્યુલા nમી પદ	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
લાક્ષણિક મિલકત
પ્રથમ n શરતોનો સરવાળો

ટિપ્પણીઓ સાથે કાર્યોના ઉદાહરણો

કાર્ય 1

અંકગણિત પ્રગતિમાં ( એક એન) a 1 = -6, a 2

nમા પદના સૂત્ર મુજબ:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 ડી

શરત અનુસાર:

a 1= -6, પછી a 22= -6 + 21 ડી .

પ્રગતિનો તફાવત શોધવા માટે તે જરૂરી છે:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

જવાબ: a 22 = -48.

કાર્ય 2

ભૌમિતિક પ્રગતિનો પાંચમો શબ્દ શોધો: -3; 6;....

1લી પદ્ધતિ (n-ટર્મ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને)

ભૌમિતિક પ્રગતિના nમા પદ માટેના સૂત્ર મુજબ:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

કારણ કે b 1 = -3,

2જી પદ્ધતિ (આવર્તક સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને)

કારણ કે પ્રગતિનો છેદ -2 (q = -2), તો:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

જવાબ: b 5 = -48.

કાર્ય 3

અંકગણિત પ્રગતિમાં ( a n) a 74 = 34; a 76= 156. આ પ્રગતિની સિત્તેરમી મુદત શોધો.

અંકગણિત પ્રગતિ માટે, લાક્ષણિક ગુણધર્મનું સ્વરૂપ છે .

આમાંથી તે નીચે મુજબ છે:

ચાલો ડેટાને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ:

જવાબ: 95.

કાર્ય 4

અંકગણિત પ્રગતિમાં ( a n ) a n= 3n - 4. પ્રથમ સત્તર પદોનો સરવાળો શોધો.

અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ n શબ્દોનો સરવાળો શોધવા માટે, બે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:

તેમાંથી કયું આ કિસ્સામાં વાપરવા માટે વધુ અનુકૂળ છે?

શરત દ્વારા, મૂળ પ્રગતિના nમા પદ માટેનું સૂત્ર જાણીતું છે ( એક એન) એક એન= 3n - 4. તમે તરત જ શોધી શકો છો અને a 1, અને a 16શોધ્યા વિના ડી. તેથી, અમે પ્રથમ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.

જવાબ: 368.

કાર્ય 5

અંકગણિત પ્રગતિમાં( એક એન) a 1 = -6; a 2= -8. પ્રગતિની બાવીસમી મુદત શોધો.

nમા પદના સૂત્ર મુજબ:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 ડી.

શરત દ્વારા, જો a 1= -6, પછી a 22= -6 + 21d . પ્રગતિનો તફાવત શોધવા માટે તે જરૂરી છે:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

જવાબ: a 22 = -48.

કાર્ય 6

ભૌમિતિક પ્રગતિના કેટલાક સળંગ પદો લખેલા છે:

x લેબલવાળી પ્રગતિનો શબ્દ શોધો.

ઉકેલતી વખતે, આપણે nth શબ્દ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું b n = b 1 ∙ q n - 1ભૌમિતિક પ્રગતિ માટે. પ્રગતિની પ્રથમ મુદત. પ્રગતિ q ના છેદ શોધવા માટે, તમારે પ્રગતિની આપેલ કોઈપણ શરતો લેવાની અને અગાઉના એક વડે ભાગાકાર કરવાની જરૂર છે. અમારા ઉદાહરણમાં, આપણે લઈ શકીએ અને વિભાજીત કરી શકીએ. આપણે તે q = 3 મેળવીએ છીએ. n ને બદલે, આપણે સૂત્રમાં 3 ને બદલીએ છીએ, કારણ કે આપેલ ભૌમિતિક પ્રગતિની ત્રીજી પદ શોધવી જરૂરી છે.

મળેલા મૂલ્યોને સૂત્રમાં બદલીને, આપણને મળે છે:

જવાબ:.

કાર્ય 7

nમા પદના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવેલ અંકગણિત પ્રગતિમાંથી, તે એક પસંદ કરો જેના માટે શરત સંતુષ્ટ છે a 27 > 9:

આપેલ શરત પ્રગતિની 27મી મુદત માટે સંતોષવી આવશ્યક હોવાથી, અમે દરેક ચાર પ્રગતિમાં n ને બદલે 27 બદલીએ છીએ. 4 થી પ્રગતિમાં અમને મળે છે:

જવાબ: 4.

કાર્ય 8

અંકગણિત પ્રગતિમાં a 1= 3, ડી = -1.5. n નું સૌથી મોટું મૂલ્ય સ્પષ્ટ કરો કે જેના માટે અસમાનતા છે એક એન > -6.

પ્રવેશ સ્તર

અંકગણિત પ્રગતિ. ઉદાહરણો સાથે વિગતવાર સિદ્ધાંત (2019)

સંખ્યા ક્રમ

તો, ચાલો બેસીએ અને અમુક સંખ્યાઓ લખવાનું શરૂ કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે:
તમે કોઈપણ નંબરો લખી શકો છો, અને તમને ગમે તેટલા તેમાંથી ઘણા હોઈ શકે છે (અમારા કિસ્સામાં, તે છે). ભલે આપણે કેટલી સંખ્યાઓ લખીએ, આપણે હંમેશા કહી શકીએ છીએ કે કઈ પ્રથમ છે, કઈ બીજી છે, અને તેથી છેલ્લી સુધી, એટલે કે, આપણે તેમને નંબર આપી શકીએ છીએ. આ સંખ્યા ક્રમનું ઉદાહરણ છે:

સંખ્યા ક્રમ
ઉદાહરણ તરીકે, અમારા ક્રમ માટે:

અસાઇન કરેલ નંબર અનુક્રમમાં માત્ર એક નંબર માટે વિશિષ્ટ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ક્રમમાં કોઈ ત્રણ બીજી સંખ્યાઓ નથી. બીજી સંખ્યા (મી સંખ્યાની જેમ) હંમેશા સમાન હોય છે.
સંખ્યા સાથેની સંખ્યાને ક્રમની મી પદ કહેવામાં આવે છે.

અમે સામાન્ય રીતે સમગ્ર ક્રમને અમુક અક્ષર (ઉદાહરણ તરીકે,) દ્વારા કૉલ કરીએ છીએ, અને આ ક્રમનો દરેક સભ્ય આ સભ્યની સંખ્યાની સમાન અનુક્રમણિકા સાથે સમાન અક્ષર છે: .

અમારા કિસ્સામાં:

ચાલો કહીએ કે આપણી પાસે સંખ્યા ક્રમ છે જેમાં સંલગ્ન સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત સમાન અને સમાન છે.
ઉદાહરણ તરીકે:

વગેરે
આ સંખ્યા ક્રમને અંકગણિત પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે.
"પ્રોગ્રેસન" શબ્દ 6ઠ્ઠી સદીમાં રોમન લેખક બોઇથિયસ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો અને તેને વ્યાપક અર્થમાં અનંત સંખ્યાત્મક ક્રમ તરીકે સમજવામાં આવ્યો હતો. "અંકગણિત" નામ સતત પ્રમાણના સિદ્ધાંતમાંથી સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવ્યું હતું, જેનો પ્રાચીન ગ્રીક લોકો દ્વારા અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો.

આ એક સંખ્યા ક્રમ છે, જેનો દરેક સભ્ય સમાન સંખ્યામાં ઉમેરાયેલા પહેલાના સભ્ય જેટલો છે. આ સંખ્યાને અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત કહેવામાં આવે છે અને તેને નિયુક્ત કરવામાં આવે છે.

કઈ સંખ્યા ક્રમ એ અંકગણિત પ્રગતિ છે અને કઈ નથી તે નક્કી કરવાનો પ્રયાસ કરો:

a)
b)
c)
ડી)

સમજાયું? ચાલો અમારા જવાબોની તુલના કરીએ:
છેઅંકગણિત પ્રગતિ - b, c.
નથીઅંકગણિત પ્રગતિ - a, d.

ચાલો આપેલ પ્રગતિ () પર પાછા જઈએ અને તેના મી શબ્દનું મૂલ્ય શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ. અસ્તિત્વ ધરાવે છે બેતેને શોધવાની રીત.

1. પદ્ધતિ

જ્યાં સુધી આપણે પ્રગતિની મી મુદત સુધી ન પહોંચીએ ત્યાં સુધી આપણે અગાઉના મૂલ્યમાં પ્રગતિ નંબર ઉમેરી શકીએ છીએ. તે સારું છે કે અમારી પાસે સારાંશ આપવા માટે વધુ નથી - ફક્ત ત્રણ મૂલ્યો:

તેથી, વર્ણવેલ અંકગણિત પ્રગતિનો મી શબ્દ બરાબર છે.

2. પદ્ધતિ

જો આપણે પ્રગતિની મી મુદતનું મૂલ્ય શોધવાની જરૂર હોય તો શું? સારાંશમાં અમને એક કલાકથી વધુ સમય લાગશે, અને તે હકીકત નથી કે સંખ્યાઓ ઉમેરતી વખતે અમે ભૂલો કરતા નથી.
અલબત્ત, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ એવી રીત શોધી કાઢી છે જેમાં અગાઉના મૂલ્યમાં અંકગણિતની પ્રગતિનો તફાવત ઉમેરવાની જરૂર નથી. દોરેલા ચિત્રને નજીકથી જુઓ... ચોક્કસ તમે પહેલેથી જ એક ચોક્કસ પેટર્ન નોંધ્યું હશે, એટલે કે:

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો જોઈએ કે આ અંકગણિત પ્રગતિના મી શબ્દનું મૂલ્ય શું છે:

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો:

આ રીતે આપેલ અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યનું મૂલ્ય જાતે શોધવાનો પ્રયાસ કરો.

શું તમે ગણતરી કરી? જવાબ સાથે તમારી નોંધોની તુલના કરો:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે જ્યારે અમે અનુક્રમે પાછલા મૂલ્યમાં અંકગણિતની પ્રગતિની શરતો ઉમેરી ત્યારે તમને અગાઉની પદ્ધતિની જેમ બરાબર એ જ નંબર મળ્યો છે.
ચાલો આ સૂત્રને "વ્યક્તિગત" કરવાનો પ્રયાસ કરીએ - ચાલો તેને સામાન્ય સ્વરૂપમાં મૂકીએ અને મેળવીએ:

અંકગણિત પ્રગતિ સમીકરણ.

અંકગણિત પ્રગતિમાં વધારો અથવા ઘટાડો થઈ શકે છે.

વધી રહી છે- પ્રગતિ કે જેમાં શરતોનું દરેક અનુગામી મૂલ્ય પાછલા એક કરતા વધારે છે.
ઉદાહરણ તરીકે:

ઉતરતા- પ્રગતિ કે જેમાં શરતોનું દરેક અનુગામી મૂલ્ય પાછલા એક કરતા ઓછું છે.
ઉદાહરણ તરીકે:

વ્યુત્પન્ન સૂત્રનો ઉપયોગ અંકગણિત પ્રગતિના વધતા અને ઘટતા બંને શબ્દોમાં શરતોની ગણતરીમાં થાય છે.
ચાલો વ્યવહારમાં આ તપાસીએ.
અમને નીચેની સંખ્યાઓનો સમાવેશ કરતી એક અંકગણિત પ્રગતિ આપવામાં આવી છે: ચાલો તપાસીએ કે આ અંકગણિત પ્રગતિની મી સંખ્યા શું હશે જો આપણે તેની ગણતરી કરવા માટે અમારા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:

ત્યારથી:

આમ, અમને ખાતરી છે કે સૂત્ર અંકગણિતની પ્રગતિ ઘટતા અને વધતા બંનેમાં કાર્ય કરે છે.
આ અંકગણિતની પ્રગતિની મી અને મી શરતો જાતે શોધવાનો પ્રયાસ કરો.

ચાલો પરિણામોની તુલના કરીએ:

અંકગણિત પ્રગતિ ગુણધર્મ

ચાલો સમસ્યાને જટિલ બનાવીએ - અમે અંકગણિત પ્રગતિની મિલકત મેળવીશું.
ચાલો કહીએ કે અમને નીચેની શરત આપવામાં આવી છે:
- અંકગણિત પ્રગતિ, મૂલ્ય શોધો.
સરળ, તમે કહો અને તમે પહેલાથી જ જાણો છો તે સૂત્ર અનુસાર ગણતરી કરવાનું શરૂ કરો:

ચાલો, આહ, પછી:

બિલકુલ સાચું. તે તારણ આપે છે કે આપણે પહેલા શોધીએ છીએ, પછી તેને પ્રથમ નંબરમાં ઉમેરીએ છીએ અને આપણે જે શોધી રહ્યા છીએ તે મેળવીએ છીએ. જો પ્રગતિ નાના મૂલ્યો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, તો તેમાં કંઈ જટિલ નથી, પરંતુ જો આપણને શરતમાં સંખ્યાઓ આપવામાં આવે તો શું? સંમત થાઓ, ગણતરીમાં ભૂલ થવાની સંભાવના છે.
હવે વિચારો કે શું કોઈ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને આ સમસ્યાને એક પગલામાં ઉકેલવી શક્ય છે? અલબત્ત હા, અને તે જ અમે હવે બહાર લાવવાનો પ્રયત્ન કરીશું.

ચાલો આપણે અંકગણિત પ્રગતિના જરૂરી શબ્દને સૂચવીએ કારણ કે, તેને શોધવાનું સૂત્ર આપણને જાણીતું છે - આ તે જ સૂત્ર છે જે આપણે શરૂઆતમાં મેળવ્યું છે:
, પછી:

પ્રગતિની પાછલી મુદત છે:
પ્રગતિની આગામી મુદત છે:

ચાલો પ્રગતિની અગાઉની અને અનુગામી શરતોનો સરવાળો કરીએ:

તે તારણ આપે છે કે પ્રગતિની અગાઉની અને અનુગામી શરતોનો સરવાળો એ તેમની વચ્ચે સ્થિત પ્રગતિ શબ્દનું ડબલ મૂલ્ય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અગાઉના અને અનુગામી મૂલ્યો સાથે પ્રગતિ શબ્દનું મૂલ્ય શોધવા માટે, તમારે તેમને ઉમેરવાની અને વડે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.

તે સાચું છે, અમને સમાન નંબર મળ્યો. ચાલો સામગ્રીને સુરક્ષિત કરીએ. પ્રગતિ માટેના મૂલ્યની જાતે ગણતરી કરો, તે બિલકુલ મુશ્કેલ નથી.

શાબાશ! તમે પ્રગતિ વિશે લગભગ બધું જ જાણો છો! તે ફક્ત એક જ સૂત્ર શોધવાનું બાકી છે, જે, દંતકથા અનુસાર, બધા સમયના મહાન ગણિતશાસ્ત્રીઓમાંના એક, "ગણિતશાસ્ત્રીઓના રાજા" - કાર્લ ગૌસ દ્વારા સરળતાથી પોતાના માટે અનુમાનિત કરવામાં આવ્યું હતું.

જ્યારે કાર્લ ગૌસ 9 વર્ષનો હતો, ત્યારે એક શિક્ષક, અન્ય વર્ગોમાં વિદ્યાર્થીઓનું કાર્ય તપાસવામાં વ્યસ્ત હતો, તેણે વર્ગમાં નીચેનું કાર્ય પૂછ્યું: "બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાની ગણતરી કરો (અન્ય સ્રોતો અનુસાર) થી લઈને." શિક્ષકના આશ્ચર્યની કલ્પના કરો જ્યારે તેના એક વિદ્યાર્થીએ (આ કાર્લ ગૌસ હતો) એક મિનિટ પછી કાર્યનો સાચો જવાબ આપ્યો, જ્યારે ડેરડેવિલના મોટાભાગના સહપાઠીઓને, લાંબી ગણતરીઓ પછી, ખોટું પરિણામ મળ્યું...

યુવાન કાર્લ ગૌસે એક ચોક્કસ પેટર્ન નોંધ્યું જે તમે સરળતાથી નોંધી શકો છો.
ચાલો કહીએ કે આપણી પાસે -th પદો ધરાવતી અંકગણિત પ્રગતિ છે: આપણે અંકગણિત પ્રગતિના આ શબ્દોનો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે. અલબત્ત, આપણે મેન્યુઅલી તમામ મૂલ્યોનો સરવાળો કરી શકીએ છીએ, પરંતુ જો કાર્યને તેની શરતોનો સરવાળો શોધવાની જરૂર હોય તો શું, જેમ કે ગૌસ શોધી રહ્યા હતા?

અમને આપવામાં આવેલ પ્રગતિનું નિરૂપણ કરીએ. પ્રકાશિત સંખ્યાઓ પર નજીકથી નજર નાખો અને તેમની સાથે વિવિધ ગાણિતિક ક્રિયાઓ કરવાનો પ્રયાસ કરો.

શું તમે તેનો પ્રયાસ કર્યો છે? તમે શું નોંધ્યું? અધિકાર! તેમની રકમ સમાન છે

હવે મને કહો, અમને આપેલી પ્રગતિમાં કુલ આવી કેટલી જોડી છે? અલબત્ત, બધી સંખ્યાઓનો બરાબર અડધો, એટલે કે.
એ હકીકતને આધારે કે અંકગણિત પ્રગતિના બે પદોનો સરવાળો સમાન છે, અને સમાન જોડીઓ સમાન છે, અમે મેળવીએ છીએ કે કુલ સરવાળો બરાબર છે:
.
આમ, કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર આ હશે:

કેટલીક સમસ્યાઓમાં આપણે મી શબ્દ જાણતા નથી, પરંતુ આપણે પ્રગતિનો તફાવત જાણીએ છીએ. મી શબ્દના સૂત્રને સરવાળા સૂત્રમાં બદલવાનો પ્રયાસ કરો.
તમને શું મળ્યું?

શાબાશ! હવે ચાલો તે સમસ્યા પર પાછા ફરીએ જે કાર્લ ગૌસને પૂછવામાં આવી હતી: તમારા માટે ગણતરી કરો કે th થી શરૂ થતી સંખ્યાઓનો સરવાળો અને th થી શરૂ થતી સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો છે.

તમને કેટલું મળ્યું?
ગૌસે જોયું કે શરતોનો સરવાળો સમાન છે, અને શરતોનો સરવાળો છે. તે તમે નક્કી કર્યું છે?

વાસ્તવમાં, અંકગણિત પ્રગતિના શબ્દોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર 3જી સદીમાં પ્રાચીન ગ્રીક વૈજ્ઞાનિક ડાયોફેન્ટસ દ્વારા સાબિત થયું હતું, અને આ સમય દરમિયાન, વિનોદી લોકોએ અંકગણિત પ્રગતિના ગુણધર્મોનો સંપૂર્ણ ઉપયોગ કર્યો હતો.
ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાચીન ઇજિપ્ત અને તે સમયના સૌથી મોટા બાંધકામ પ્રોજેક્ટની કલ્પના કરો - પિરામિડનું બાંધકામ... ચિત્ર તેની એક બાજુ દર્શાવે છે.

અહીં પ્રગતિ ક્યાં છે, તમે કહો છો? કાળજીપૂર્વક જુઓ અને પિરામિડ દિવાલની દરેક હરોળમાં રેતીના બ્લોક્સની સંખ્યામાં એક પેટર્ન શોધો.

શા માટે અંકગણિત પ્રગતિ નથી? જો બ્લોક ઇંટો પાયા પર મૂકવામાં આવે તો એક દિવાલ બનાવવા માટે કેટલા બ્લોકની જરૂર છે તેની ગણતરી કરો. હું આશા રાખું છું કે મોનિટર પર તમારી આંગળી ખસેડતી વખતે તમે ગણતરી કરશો નહીં, તમને છેલ્લું સૂત્ર અને અંકગણિત પ્રગતિ વિશે અમે જે કહ્યું તે બધું યાદ છે?

આ કિસ્સામાં, પ્રગતિ આના જેવી લાગે છે: .
અંકગણિત પ્રગતિ તફાવત.
અંકગણિત પ્રગતિના પદોની સંખ્યા.
ચાલો આપણા ડેટાને છેલ્લા સૂત્રોમાં બદલીએ (2 રીતે બ્લોકની સંખ્યાની ગણતરી કરો).

પદ્ધતિ 1.

પદ્ધતિ 2.

અને હવે તમે મોનિટર પર ગણતરી કરી શકો છો: અમારા પિરામિડમાં રહેલા બ્લોક્સની સંખ્યા સાથે પ્રાપ્ત મૂલ્યોની તુલના કરો. સમજાયું? સારું કર્યું, તમે અંકગણિતની પ્રગતિના nમા શબ્દોના સરવાળામાં નિપુણતા મેળવી લીધી છે.
અલબત્ત, તમે બેઝ પરના બ્લોક્સમાંથી પિરામિડ બનાવી શકતા નથી, પણ ક્યાંથી? આ સ્થિતિ સાથે દિવાલ બનાવવા માટે કેટલી રેતીની ઇંટોની જરૂર છે તેની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો.
શું તમે મેનેજ કર્યું?
સાચો જવાબ બ્લોક્સ છે:

તાલીમ

કાર્યો:

માશા ઉનાળા માટે આકારમાં આવી રહી છે. દરરોજ તે સ્ક્વોટ્સની સંખ્યામાં વધારો કરે છે. જો તેણીએ પ્રથમ તાલીમ સત્રમાં સ્ક્વોટ્સ કર્યું હોય તો માશા અઠવાડિયામાં કેટલી વાર સ્ક્વોટ્સ કરશે?
સમાયેલ તમામ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો છે.
લૉગ્સ સ્ટોર કરતી વખતે, લોગર્સ તેમને એવી રીતે સ્ટેક કરે છે કે દરેક ટોચના સ્તરમાં અગાઉના એક કરતાં એક લોગ ઓછો હોય છે. એક ચણતરમાં કેટલા લોગ હોય છે, જો ચણતરનો પાયો લોગ હોય તો?

જવાબો:

ચાલો અંકગણિતની પ્રગતિના પરિમાણોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ. આ કિસ્સામાં
(અઠવાડિયા = દિવસો).
જવાબ:બે અઠવાડિયામાં, માશાએ દિવસમાં એકવાર સ્ક્વોટ્સ કરવું જોઈએ.
પ્રથમ બેકી સંખ્યા, છેલ્લી સંખ્યા.
અંકગણિત પ્રગતિ તફાવત.
માં બેકી સંખ્યાઓની સંખ્યા અડધી છે, જો કે, ચાલો અંકગણિતની પ્રગતિની મી પદ શોધવા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ હકીકતને તપાસીએ:
સંખ્યાઓમાં વિષમ સંખ્યાઓ હોય છે.
ચાલો ઉપલબ્ધ ડેટાને સૂત્રમાં બદલીએ:
જવાબ:માં સમાયેલ તમામ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો સમાન છે.
ચાલો પિરામિડ વિશેની સમસ્યાને યાદ કરીએ. અમારા કેસ માટે, a , કારણ કે દરેક ટોચનું સ્તર એક લોગ દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે, તો કુલ સ્તરોનો સમૂહ છે, એટલે કે.
ચાલો ડેટાને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ:
જવાબ:ચણતરમાં લોગ છે.

ચાલો તેનો સરવાળો કરીએ

- સંખ્યા ક્રમ જેમાં સંલગ્ન સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત સમાન અને સમાન હોય છે. તે વધી અથવા ઘટી શકે છે.
ફોર્મ્યુલા શોધવીઅંકગણિત પ્રગતિનો મી શબ્દ સૂત્ર દ્વારા લખવામાં આવે છે - , પ્રગતિમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા ક્યાં છે.
અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યોની મિલકત- - સંખ્યાઓની સંખ્યા ક્યાં પ્રગતિમાં છે.
અંકગણિતની પ્રગતિની શરતોનો સરવાળોબે રીતે શોધી શકાય છે:

, મૂલ્યોની સંખ્યા ક્યાં છે.

અંકગણિત પ્રગતિ. મધ્યમ સ્તર

સંખ્યા ક્રમ

ચાલો બેસો અને કેટલાક નંબરો લખવાનું શરૂ કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે:

તમે કોઈપણ નંબરો લખી શકો છો, અને તમને ગમે તેટલા તેમાંથી ઘણા હોઈ શકે છે. પરંતુ આપણે હંમેશા કહી શકીએ કે કયું પ્રથમ છે, કયું બીજું છે, અને તેથી વધુ, એટલે કે, આપણે તેમને નંબર આપી શકીએ છીએ. આ સંખ્યા ક્રમનું ઉદાહરણ છે.

સંખ્યા ક્રમસંખ્યાઓનો સમૂહ છે, જેમાંથી દરેકને એક અનન્ય નંબર અસાઇન કરી શકાય છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેક સંખ્યા ચોક્કસ પ્રાકૃતિક સંખ્યા અને અનન્ય સંખ્યા સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે. અને અમે આ નંબર આ સેટમાંથી અન્ય કોઈ નંબરને સોંપીશું નહીં.

સંખ્યા સાથેની સંખ્યાને ક્રમનો મી સભ્ય કહેવામાં આવે છે.

તે ખૂબ અનુકૂળ છે જો ક્રમનો મી શબ્દ અમુક સૂત્ર દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય. ઉદાહરણ તરીકે, સૂત્ર

ક્રમ સુયોજિત કરે છે:

અને સૂત્ર નીચેનો ક્રમ છે:

ઉદાહરણ તરીકે, અંકગણિત પ્રગતિ એ ક્રમ છે (અહીં પ્રથમ પદ સમાન છે, અને તફાવત છે). અથવા (, તફાવત).

nth શબ્દ સૂત્ર

અમે એક ફોર્મ્યુલાને રિકરન્ટ કહીએ છીએ જેમાં, મી શબ્દ શોધવા માટે, તમારે અગાઉના અથવા ઘણા પહેલાના મુદ્દાઓ જાણવાની જરૂર છે:

દાખલા તરીકે, આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રગતિનો મી શબ્દ શોધવા માટે, આપણે અગાઉના નવની ગણતરી કરવી પડશે. ઉદાહરણ તરીકે, તે દો. પછી:

સારું, હવે સ્પષ્ટ છે કે સૂત્ર શું છે?

દરેક લીટીમાં આપણે અમુક સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. કયો? ખૂબ જ સરળ: આ વર્તમાન સભ્યની સંખ્યા ઓછા છે:

હવે વધુ અનુકૂળ છે, બરાબર ને? અમે તપાસીએ છીએ:

તમારા માટે નક્કી કરો:

અંકગણિતની પ્રગતિમાં, nમી પદ માટે સૂત્ર શોધો અને સોમો પદ શોધો.

ઉકેલ:

પ્રથમ પદ સમાન છે. શું તફાવત છે? અહીં શું છે:

(આ કારણે તેને તફાવત કહેવામાં આવે છે કારણ કે તે પ્રગતિના ક્રમિક પદોના તફાવત સમાન છે).

તેથી, સૂત્ર:

પછી સોમો પદ સમાન છે:

થી સુધીની તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો છે?

દંતકથા અનુસાર, મહાન ગણિતશાસ્ત્રી કાર્લ ગૌસે, 9 વર્ષના છોકરા તરીકે, થોડીવારમાં આ રકમની ગણતરી કરી. તેણે નોંધ્યું કે પ્રથમ અને છેલ્લી સંખ્યાઓનો સરવાળો સમાન છે, બીજા અને ઉપાંત્યનો સરવાળો સમાન છે, ત્રીજા અને અંતથી ત્રીજા નંબરનો સરવાળો સમાન છે, વગેરે. આવી કુલ કેટલી જોડી છે? તે સાચું છે, બધી સંખ્યાઓની બરાબર અડધી સંખ્યા, એટલે કે. તેથી,

કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ પદોના સરવાળા માટેનું સામાન્ય સૂત્ર આ હશે:

ઉદાહરણ:
તમામ બે-અંકના ગુણાંકનો સરવાળો શોધો.

ઉકેલ:

આવો પહેલો નંબર આ છે. દરેક અનુગામી સંખ્યા અગાઉના નંબરમાં ઉમેરીને મેળવવામાં આવે છે. આમ, આપણને જે સંખ્યાઓમાં રસ છે તે પ્રથમ પદ અને તફાવત સાથે અંકગણિતની પ્રગતિ બનાવે છે.

આ પ્રગતિ માટે મી શબ્દનું સૂત્ર:

જો તે બધા બે-અંકના હોવા જોઈએ તો પ્રગતિમાં કેટલા પદો છે?

ખૂબ જ સરળ: .

પ્રગતિની છેલ્લી મુદત સમાન હશે. પછી સરવાળો:

જવાબ:.

હવે તમારા માટે નક્કી કરો:

દરરોજ રમતવીર પાછલા દિવસ કરતા વધુ મીટર દોડે છે. તે અઠવાડિયામાં કુલ કેટલા કિલોમીટર દોડશે, જો પ્રથમ દિવસે તે કિમી મીટર દોડશે?
સાઇકલ સવાર પાછલા દિવસ કરતાં દરરોજ વધુ કિલોમીટરની મુસાફરી કરે છે. પ્રથમ દિવસે તેણે કિ.મી. તેને એક કિલોમીટર કવર કરવા માટે કેટલા દિવસ મુસાફરી કરવાની જરૂર છે? તેની મુસાફરીના છેલ્લા દિવસ દરમિયાન તે કેટલા કિલોમીટરની મુસાફરી કરશે?
સ્ટોરમાં રેફ્રિજરેટરની કિંમત દર વર્ષે સમાન રકમ દ્વારા ઘટે છે. દર વર્ષે રેફ્રિજરેટરની કિંમત કેટલી ઘટે છે તે નક્કી કરો જો, રુબેલ્સ માટે વેચાણ માટે મૂકવામાં આવે, છ વર્ષ પછી તે રુબેલ્સમાં વેચવામાં આવે.

જવાબો:

અહીં સૌથી મહત્વની બાબત એ છે કે અંકગણિતની પ્રગતિને ઓળખવી અને તેના પરિમાણો નક્કી કરવા. આ કિસ્સામાં, (અઠવાડિયા = દિવસો). તમારે આ પ્રગતિની પ્રથમ શરતોનો સરવાળો નક્કી કરવાની જરૂર છે:
.
જવાબ:
અહીં તે આપવામાં આવ્યું છે: , મળવું આવશ્યક છે.
દેખીતી રીતે, તમારે અગાઉની સમસ્યાની જેમ સમાન સરવાળા ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે:
.
મૂલ્યો બદલો:
રુટ દેખીતી રીતે ફિટ નથી, તેથી જવાબ છે.
ચાલો ઠ્ઠી શબ્દના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને છેલ્લા દિવસે મુસાફરી કરેલ પાથની ગણતરી કરીએ:
(કિમી).
જવાબ:
આપેલ: . શોધો:.
તે સરળ ન હોઈ શકે:
(ઘસવું).
જવાબ: