ગોડેલની અપૂર્ણતા પ્રમેય ફિલસૂફી. રસપ્રદ તથ્યો અને ઉપયોગી ટીપ્સ

ગોડેલનું અપૂર્ણતા પ્રમેય

યુસ્પેન્સકી વી.એ.

કદાચ ગોડેલનું અપૂર્ણતા પ્રમેય ખરેખર અનન્ય છે. તે અનન્ય છે કે જ્યારે તેઓ "વિશ્વની દરેક વસ્તુ" સાબિત કરવા માંગતા હોય ત્યારે તેનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે - દેવતાઓની હાજરીથી લઈને બુદ્ધિની ગેરહાજરી સુધી. મને હંમેશા વધુ "પ્રાથમિક પ્રશ્ન" માં રસ રહ્યો છે - અપૂર્ણતા પ્રમેયનો ઉલ્લેખ કરનારાઓમાંથી કયો તે માત્ર તેને ઘડી શક્યો નહીં, પણ તેને સાબિત પણ કરી શકે? હું આ લેખ એટલા માટે પ્રકાશિત કરી રહ્યો છું કે તે ગોડેલના પ્રમેયનું સંપૂર્ણ સુલભ ફોર્મ્યુલેશન સેટ કરે છે. હું ભલામણ કરું છું કે તમે પહેલા તુલિયો રેગ કર્ટ ગોડેલનો લેખ અને તેમના પ્રખ્યાત પ્રમેય વાંચો

સત્યના સાર્વત્રિક માપદંડની અશક્યતા વિશેના નિષ્કર્ષ એ ગોડેલના પોતાના સત્યના સિદ્ધાંત સાથે અનિશ્ચિતતા પરના પ્રમેયને જોડીને તાર્સ્કી દ્વારા મેળવેલા પરિણામનું સીધું પરિણામ છે, જે મુજબ પ્રમાણમાં સંકુચિત હોવા છતાં સત્યનો સાર્વત્રિક માપદંડ હોઈ શકતો નથી. સંખ્યા સિદ્ધાંતનું ક્ષેત્ર, અને તેથી અંકગણિતનો ઉપયોગ કરીને કોઈપણ વિજ્ઞાન માટે. સ્વાભાવિક રીતે, આ પરિણામ જ્ઞાનના કોઈપણ બિન-ગાણિતિક ક્ષેત્ર કે જેમાં અંકગણિતનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે તેમાં સત્યની વિભાવનાને લાગુ પડે છે.

કાર્લ પોપર

યુસ્પેન્સકી વ્લાદિમીર એન્ડ્રીવિચનો જન્મ 27 નવેમ્બર, 1930 ના રોજ મોસ્કોમાં થયો હતો. મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટી (1952) ના મિકેનિક્સ અને ગણિતની ફેકલ્ટીમાંથી સ્નાતક થયા. ભૌતિક અને ગાણિતિક વિજ્ઞાનના ડૉક્ટર (1964). પ્રોફેસર, ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્ર અને અલ્ગોરિધમ્સના સિદ્ધાંત વિભાગના વડા, મિકેનિક્સ અને ગણિતની ફેકલ્ટી (1966). "ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્રનો પરિચય", "કમ્પ્યુટેબલ ફંક્શન્સ", "પૂર્ણતા પર ગોડેલનું પ્રમેય" પ્રવચનોનો કોર્સ આપે છે. 25 ઉમેદવારો અને વિજ્ઞાનના 2 ડોકટરો તૈયાર કર્યા

1. સમસ્યાનું નિવેદન

અપૂર્ણતા પ્રમેય, જેનું ચોક્કસ સૂત્ર અમે આ પ્રકરણના અંતે આપીશું, અને કદાચ પછીથી (જો વાચકને આમાં રસ હોય તો) અને સાબિતી, લગભગ નીચે મુજબ જણાવે છે: કોઈપણ ભાષામાં અમુક શરતો હેઠળ સાચું હોય છે પરંતુ અયોગ્ય નિવેદનો.

જ્યારે આપણે આ રીતે પ્રમેય ઘડીએ છીએ, ત્યારે લગભગ દરેક શબ્દને અમુક સમજૂતીની જરૂર પડે છે. તેથી અમે આ ફોર્મ્યુલેશનમાં જે શબ્દોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ તેનો અર્થ સમજાવીને શરૂ કરીશું.

1.1. ભાષા

અમે ભાષાની સૌથી સામાન્ય સંભવિત વ્યાખ્યા આપીશું નહીં, આપણી જાતને તે ભાષાના ખ્યાલો સુધી મર્યાદિત રાખવાનું પસંદ કરીએ છીએ જેની આપણને પછીથી જરૂર પડશે. આવી બે વિભાવનાઓ છે: "ભાષાના મૂળાક્ષરો" અને "ભાષાના સાચા વિધાનોનો સમૂહ."

1.1.1. આલ્ફાબેટ

મૂળાક્ષરો દ્વારા અમારો અર્થ પ્રાથમિક ચિહ્નોનો મર્યાદિત સમૂહ છે (એટલે કે, વસ્તુઓ કે જે તેમના ઘટક ભાગોમાં વિભાજિત કરી શકાતી નથી). આ ચિહ્નોને મૂળાક્ષરોના અક્ષરો કહેવામાં આવે છે. મૂળાક્ષરોના એક શબ્દ દ્વારા અમારો અર્થ અક્ષરોનો મર્યાદિત ક્રમ છે. ઉદાહરણ તરીકે, અંગ્રેજીમાં સામાન્ય શબ્દો (યોગ્ય નામો સહિત) એ 54-અક્ષરોના મૂળાક્ષરો (26 નાના અક્ષરો, 26 મોટા અક્ષરો, એક ડૅશ અને એપોસ્ટ્રોફી) ના શબ્દો છે. બીજું ઉદાહરણ એ છે કે દશાંશ સંકેતમાં કુદરતી સંખ્યાઓ 10-અક્ષરના મૂળાક્ષરોના શબ્દો છે, જેના અક્ષરો ચિહ્નો છે: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. મૂળાક્ષરો દર્શાવવા માટે, અમે ઉપયોગ કરીશું સામાન્ય કેપિટલ અક્ષરો. જો L એ મૂળાક્ષર છે, તો L? એલ મૂળાક્ષરના તમામ શબ્દોના સમૂહને દર્શાવશે - તેના અક્ષરોમાંથી બનેલા શબ્દો. અમે ધારીશું કે કોઈપણ ભાષાના પોતાના મૂળાક્ષરો છે, જેથી આ ભાષાના તમામ અભિવ્યક્તિઓ (એટલે કે - વિવિધ પદાર્થોના નામ, આ પદાર્થો સંબંધિત નિવેદનો વગેરે) આ મૂળાક્ષરોના શબ્દો છે. ઉદાહરણ તરીકે, અંગ્રેજીમાં કોઈપણ વાક્ય, તેમજ અંગ્રેજીમાં લખાયેલ કોઈપણ લખાણ, 54 અક્ષરોના વિસ્તૃત મૂળાક્ષરોમાં એક શબ્દ ગણી શકાય, જેમાં વિરામચિહ્નો, ઇન્ટરવર્ડ સ્પેસ, લાલ લીટીનું ચિહ્ન અને કદાચ કેટલાક અન્ય ઉપયોગી અક્ષરોનો પણ સમાવેશ થાય છે. . ભાષાના અભિવ્યક્તિઓ અમુક મૂળાક્ષરોના શબ્દો છે એમ ધારી રહ્યા છીએ, તેથી અમે ???f(x)dx જેવા "બહુસ્તરીય" અભિવ્યક્તિઓને વિચારણામાંથી બાકાત રાખીએ છીએ. જો કે, આ મર્યાદા બહુ મહત્વની નથી, કારણ કે આવી કોઈપણ અભિવ્યક્તિ, યોગ્ય સંમેલનોનો ઉપયોગ કરીને, એક રેખીય સ્વરૂપમાં "ખેંચાઈ" શકાય છે. L માં સમાયેલ કોઈપણ સમૂહ M? L મૂળાક્ષરોનો શબ્દ સમૂહ કહેવાય છે. જો આપણે ફક્ત એમ કહીએ કે M એ શબ્દ સમૂહ છે, તો અમારો અર્થ એ છે કે તે અમુક મૂળાક્ષરોનો શબ્દ છે. હવે ભાષા વિશેની ઉપરોક્ત ધારણાને નીચે પ્રમાણે ફરીથી રજૂ કરી શકાય છે: કોઈપણ ભાષામાં, કોઈપણ અભિવ્યક્તિનો સમૂહ એ શબ્દ સમૂહ છે.

1.1.2. ઘણા સાચા નિવેદનો

અમે ધારીએ છીએ કે અમને સેટ L નો સબસેટ T આપવામાં આવ્યો છે? (જ્યાં L એ અમુક ભાષાના મૂળાક્ષરો છે જે આપણે વિચારી રહ્યા છીએ), જેને "સાચા નિવેદનો" (અથવા ફક્ત "સત્ય") નો સમૂહ કહેવામાં આવે છે. સબસેટ T પર સીધા જ આગળ વધીને, અમે તર્કના નીચેના મધ્યવર્તી પગલાંને છોડી દઈએ છીએ: પ્રથમ, L મૂળાક્ષરના કયા શબ્દો ભાષાના યોગ્ય રીતે રચાયેલા અભિવ્યક્તિઓ છે, એટલે કે, આ ભાષાના આપણા અર્થઘટનમાં ચોક્કસ અર્થ છે (ઉદાહરણ તરીકે, 2 + 3, x + 3, x=y, x=3, 2=3, 2=2 સારી રીતે રચાયેલી સમીકરણો છે, જ્યારે +=x જેવી સમીકરણો નથી); બીજું, કયા અભિવ્યક્તિઓ સૂત્રો છે, એટલે કે. પરિમાણ પર આધાર રાખે છે (ઉદાહરણ તરીકે, x=3, x=y, 2=3, 2=2); ત્રીજે સ્થાને, કયા ફોર્મ્યુલા બંધ ફોર્મ્યુલા છે, એટલે કે વિધાન કે જે પરિમાણો પર આધાર રાખતા નથી (ઉદાહરણ તરીકે, 2=3, 2=2); અને છેલ્લે, કયા બંધ સૂત્રો સાચા નિવેદનો છે (ઉદાહરણ તરીકે, 2=2).

1.1.3. ભાષાની મૂળભૂત જોડી

1.2. "અયોગ્ય"

"અપ્રુવેબલ" એટલે પુરાવા વગર.

1.3. પુરાવો

જો કે "સાબિતી" શબ્દ કદાચ ગણિતમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ પૈકીનો એક છે (બોરબાકીઓ તેમના પુસ્તક "ગણિતના પાયા"ની શરૂઆત આ શબ્દોથી કરે છે: "પ્રાચીન ગ્રીકોના સમયથી, 'ગણિત' કહેવાનો અર્થ એ જ છે કે કહો 'સાબિતી'"), તેની પોતાની ચોક્કસ વ્યાખ્યા નથી. સામાન્ય રીતે, તેની તમામ સિમેન્ટીક શાખાઓ સાથે સાબિતીની વિભાવના ગણિતને બદલે મનોવિજ્ઞાનના ક્ષેત્રની છે. પરંતુ તે બની શકે તે રીતે, સાબિતી એ ફક્ત એક દલીલ છે જે આપણે પોતાને બીજા બધાને સમજાવવા માટે એકદમ ખાતરીપૂર્વક શોધીએ છીએ.

એકવાર લખી લીધા પછી, પુરાવા અમુક મૂળાક્ષરો P માં એક શબ્દ બની જાય છે, જેમ કે કોઈપણ અંગ્રેજી લખાણ એ મૂળાક્ષર L માં એક શબ્દ છે, જેનું ઉદાહરણ ઉપર આપવામાં આવ્યું હતું. તમામ પુરાવાઓનો સમૂહ P સેટનો સબસેટ (અને તદ્દન વ્યાપક સબસેટ) બનાવે છે?. અમે આની એક સાથે "નિષ્કપટ" અને "નિરપેક્ષ" વિભાવનાની ચોક્કસ વ્યાખ્યા આપવાનો પ્રયાસ કરીશું નહીં, અથવા - શું સમકક્ષ છે - P ના અનુરૂપ સબસેટની વ્યાખ્યા આપવા માટે. તેના બદલે, અમે આ અસ્પષ્ટ ખ્યાલના ઔપચારિક એનાલોગને ધ્યાનમાં લઈશું, જેના માટે ભવિષ્યમાં આપણે હજી પણ "સાબિતી" શબ્દનો ઉપયોગ કરીશું. આ એનાલોગમાં બે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ લક્ષણો છે જે તેને સાહજિક ખ્યાલથી અલગ પાડે છે (જોકે પુરાવાનો સાહજિક વિચાર હજી પણ આ લક્ષણોને અમુક અંશે પ્રતિબિંબિત કરે છે). સૌ પ્રથમ, આપણે કબૂલ કરીશું કે પુરાવાના જુદા જુદા ખ્યાલો છે, એટલે કે, P માં પુરાવાના જુદા જુદા ઉપગણો સ્વીકાર્ય છે, અને તેનાથી પણ વધુ: અમે, હકીકતમાં, સ્વીકારીશું કે પુરાવાના મૂળાક્ષરો P પોતે બદલી શકે છે? . અમે આગળ જરૂર કરીશું કે પુરાવાના આવા દરેક ખ્યાલ માટે એક કાર્યક્ષમ પદ્ધતિ અસ્તિત્વમાં છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એક અલ્ગોરિધમ, જે આવશ્યકપણે નિર્ધારિત કરશે કે P મૂળાક્ષરનો આપેલો શબ્દ સાબિતી છે કે નહીં. અમે એ પણ ધારીશું કે એક અલ્ગોરિધમ છે જે હંમેશા નક્કી કરી શકે છે કે આપેલ સાબિતી કયું નિવેદન સાબિત કરે છે. (ઘણી પરિસ્થિતિઓમાં, નિવેદન સાબિત થઈ રહ્યું છે તે પગલાઓના ક્રમમાં છેલ્લું નિવેદન છે જે સાબિતી બનાવે છે.)

આમ, અમારી અંતિમ વ્યાખ્યા નીચે મુજબ છે:

(1) અમારી પાસે એક મૂળાક્ષર L (ભાષા મૂળાક્ષર) અને એક મૂળાક્ષર P (પ્રૂફ મૂળાક્ષર) છે.

(2) અમને સેટ P આપવામાં આવે છે, જે P નો સબસેટ છે? અને જેના તત્વોને "પ્રૂફ" કહેવામાં આવે છે. ભવિષ્યમાં, અમે ધારીશું કે અમારી પાસે એક અલ્ગોરિધમ પણ છે જે અમને એ નિર્ધારિત કરવાની મંજૂરી આપે છે કે P મૂળાક્ષરનો મનસ્વી શબ્દ એ P સમૂહનો એક તત્વ છે, એટલે કે સાબિતી છે કે નહીં.

(3) શું આપણી પાસે પણ કાર્ય છે? (ચોક્કસ શું સાબિત થયું છે તે શોધવા માટે), તે કોનો અવકાશ છે? P???P? સ્થિતિને સંતોષે છે, અને કિંમતોની શ્રેણી P? માં છે. અમે ધારીએ છીએ કે અમારી પાસે એક અલ્ગોરિધમ છે જે આ ફંક્શનની ગણતરી કરે છે ("એલ્ગોરિધમ ફંક્શનની ગણતરી કરે છે" શબ્દોનો ચોક્કસ અર્થ છે: ફંક્શનના મૂલ્યો આ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે - વિશિષ્ટ પરિવર્તન નિયમોનો સમૂહ). આપણે કહીશું કે તત્વ p? P એ શબ્દનો પુરાવો છે?(p) મૂળાક્ષર L.

ટ્રોઇકા<Р, Р, ?>, સંતોષકારક સ્થિતિઓ (1)-(3) એ મૂળાક્ષર L પરની અનુમાણિક પ્રણાલી કહેવાય છે.

"સ્વતત્ય" અને "અનુમાનના નિયમ" ના સંદર્ભમાં "સાબિતી" ને વ્યાખ્યાયિત કરવાની સામાન્ય રીતથી પરિચિત વાચક માટે, અમે હવે સમજાવીશું કે આ પદ્ધતિને વિભાગ 1.3.2 માં આપેલ વ્યાખ્યાના વિશિષ્ટ કેસ તરીકે કેવી રીતે ગણી શકાય. એટલે કે, પ્રૂફને સામાન્ય રીતે આવી ભાષાના અભિવ્યક્તિઓના ક્રમ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેમાંથી દરેક કાં તો સ્વયંસિદ્ધ છે અથવા અનુમાનના નિયમોમાંના એકનો ઉપયોગ કરીને પહેલાથી અસ્તિત્વમાં રહેલા નિવેદનોમાંથી મેળવવામાં આવે છે. જો આપણે આપણી ભાષાના મૂળાક્ષરોમાં નવો શબ્દ * ઉમેરીએ, તો આપણે પરિણામી મૂળાક્ષરોના ફેરફારનો ઉપયોગ કરીને બનેલા શબ્દના રૂપમાં આવી સાબિતી લખી શકીએ છીએ: અભિવ્યક્તિઓનો ક્રમ C1*C2*...*Cn શબ્દ બની જાય છે. . આ કિસ્સામાં, ફંક્શન કે જે નક્કી કરે છે કે બરાબર શું સાબિત થયું છે તેનો અર્થ ક્રમમાં છેલ્લા અક્ષર * પછી તરત જ આ શબ્દના ભાગમાં છે. એક અલ્ગોરિધમ કે જેનું અસ્તિત્વ ભાગ 1.3.2 માં જરૂરી છે. વ્યાખ્યા, જ્યારે આપણે "સ્વયંતિ" અને "અનુમાનના નિયમો" શબ્દોના કોઈપણ સ્વીકૃત અર્થોને ચોક્કસપણે વ્યાખ્યાયિત કરી લઈએ ત્યારે સરળતાથી બનાવી શકાય છે.

1.4. અપૂર્ણતા પ્રમેયને ચોક્કસ રીતે ઘડવાનો પ્રયાસ

1.4.1. પ્રથમ પ્રયાસ

"આલ્ફાબેટીક લેંગ્વેજ L અને ડિડક્ટિવ સિસ્ટમની મૂળભૂત જોડી માટે અમુક શરતો હેઠળ<Р, Р, ?>L ઉપર - T માં હંમેશા એવો શબ્દ હોય છે જેની કોઈ સાબિતી હોતી નથી." આ વિકલ્પ હજી પણ અસ્પષ્ટ લાગે છે. ખાસ કરીને, અમે કોઈપણ સંખ્યાબંધ ડિડક્ટિવ સિસ્ટમ્સ સાથે સરળતાથી આવી શકીએ છીએ જેમાં ખૂબ ઓછા સાબિત શબ્દો હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ખાલી આનુમાનિકમાં સિસ્ટમ (જ્યાં P =?) એવા કોઈ શબ્દો નથી કે જેના પુરાવા હોય.

1.4.2. બીજો પ્રયાસ

ત્યાં અન્ય, વધુ કુદરતી અભિગમ છે. ધારો કે આપણને એક ભાષા આપવામાં આવી છે - એ અર્થમાં કે આપણને આ ભાષાની મૂળભૂત જોડી આપવામાં આવી છે. હવે આપણે L (સાહજિક રીતે, અમે સાબિતી ટેકનિક શોધી રહ્યા છીએ) પર આવી આનુમાનિક પ્રણાલી શોધીશું જેની મદદથી આપણે T માંથી શક્ય તેટલા શબ્દો સાબિત કરી શકીએ, મર્યાદામાં T. Gödelના પ્રમેયના તમામ શબ્દોનું વર્ણન કરે છે. પરિસ્થિતિ કે જેમાં આવી આનુમાનિક પ્રણાલી (જેના માધ્યમથી T માં દરેક શબ્દ સાબિત થશે) અસ્તિત્વમાં નથી. આમ, અમે નીચેનું વિધાન ઘડવા માંગીએ છીએ:

"મૂળભૂત જોડીને લગતી કેટલીક શરતો હેઠળ, ત્યાં કોઈ અનુમાનિત પ્રણાલી અસ્તિત્વમાં નથી જેમાં T ના દરેક શબ્દનો પુરાવો હોય."

જો કે, આવા નિવેદન દેખીતી રીતે ખોટું છે, કારણ કે તે માત્ર એક આનુમાનિક સિસ્ટમ લેવી જરૂરી છે જેમાં P = L, P = P? u?(p) = p બધા p માટે P?; પછી L માંથી દરેક શબ્દ? તુચ્છ સાબિત છે. તેથી, આપણે કઈ ડિડક્ટિવ સિસ્ટમ્સનો ઉપયોગ કરીએ છીએ તેના પર અમુક મર્યાદા સ્વીકારવાની જરૂર છે.

1.5. સુસંગતતા

માત્ર "સાચા નિવેદનો", એટલે કે, માત્ર T ના શબ્દો જ સાબિત થઈ શકે તેવી માંગ કરવી એકદમ સ્વાભાવિક છે. અમે કહીશું કે કપાતાત્મક પદ્ધતિ<Р, Р, ?>મૂળભૂત જોડીના સંદર્ભમાં સુસંગત છે જો?(P)?T. બધી અનુગામી ચર્ચાઓમાં અમને ફક્ત આવી સુસંગત અનુમાનિત પ્રણાલીઓમાં જ રસ હશે. જો આપણને કોઈ ભાષા આપવામાં આવે, તો તે એક સુસંગત અનુમાણિક પ્રણાલી શોધવાનું અત્યંત આકર્ષક હશે જેમાં દરેક સાચા નિવેદનનો પુરાવો હશે. ગોડેલના પ્રમેયનું સંસ્કરણ જે અમને રુચિ ધરાવે છે તે ચોક્કસપણે જણાવે છે કે મૂળભૂત જોડીને લગતી કેટલીક શરતો હેઠળ, આવી અનુમાણિક સિસ્ટમ શોધવી અશક્ય છે.

1.6. પૂર્ણતા

એવું કહેવાય છે કે કપાત પદ્ધતિ<Р,Р,?>મૂળભૂત જોડીના સંદર્ભમાં પૂર્ણ છે, જો કે?(P)?T. પછી અપૂર્ણતા પ્રમેયની અમારી રચના નીચેનું સ્વરૂપ લે છે:

મૂળભૂત જોડીને લગતી કેટલીક શરતો હેઠળ, આવી કોઈ કપાતાત્મક સિસ્ટમ નથી<Р,Р,?>L ઉપર, જે સંપૂર્ણ અને પ્રમાણમાં સુસંગત બંને હશે.

સંદર્ભો

આ કાર્ય તૈયાર કરવા માટે, http://filosof.historic.ru સાઇટ પરથી સામગ્રીનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો

ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્રમાં સૌથી પ્રસિદ્ધ પ્રમેયમાંનું એક એક જ સમયે નસીબદાર અને કમનસીબ છે. આમાં તે આઈન્સ્ટાઈનના સાપેક્ષતાના વિશેષ સિદ્ધાંત સમાન છે. એક તરફ, લગભગ દરેક વ્યક્તિએ તેમના વિશે કંઈક સાંભળ્યું છે. બીજી બાજુ, લોકપ્રિય અર્થઘટનમાં, આઈન્સ્ટાઈનનો સિદ્ધાંત, જેમ કે જાણીતો છે, "કહે છે કે વિશ્વની દરેક વસ્તુ સાપેક્ષ છે". અને અપૂર્ણતા પર ગોડેલનું પ્રમેય (ત્યારબાદ ફક્ત TGN), લગભગ સમાન મુક્ત લોક રચનામાં, "સાબિત કરે છે કે માનવ મન માટે અગમ્ય વસ્તુઓ છે". અને તેથી કેટલાક તેને ભૌતિકવાદ સામે દલીલ તરીકે સ્વીકારવાનો પ્રયાસ કરે છે, જ્યારે અન્ય, તેનાથી વિપરીત, તેની મદદથી સાબિત કરે છે કે કોઈ ભગવાન નથી. મજાની વાત તો એ છે કે બંને પક્ષો એક જ સમયે સાચા હોઈ શકતા નથી, પરંતુ એ પણ છે કે આ પ્રમેય વાસ્તવમાં શું જણાવે છે તે સમજવાની એક કે બીજી કોઈ ચિંતા કરતું નથી.

તો શું? નીચે હું તમને તેના વિશે "આંગળીઓ પર" કહેવાનો પ્રયત્ન કરીશ. મારી રજૂઆત, અલબત્ત, બિન-કઠોર અને સાહજિક હશે, પરંતુ હું ગણિતશાસ્ત્રીઓને કહીશ કે તેઓ મારો કડક નિર્ણય ન કરે. શક્ય છે કે બિન-ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે (જેમાંથી, હકીકતમાં, હું એક છું), નીચે વર્ણવેલ છે તેમાં કંઈક નવું અને ઉપયોગી હશે.

ગાણિતિક તર્ક ખરેખર એક જટિલ વિજ્ઞાન છે, અને સૌથી અગત્યનું, ખૂબ પરિચિત નથી. તેને સાવચેત અને કડક દાવપેચની જરૂર છે, જેમાં "પહેલેથી જ સ્પષ્ટ" શું છે તેની સાથે ખરેખર જે સાબિત થયું છે તે મૂંઝવણમાં ન મૂકવું મહત્વપૂર્ણ છે. જો કે, હું આશા રાખું છું કે નીચે આપેલ "TGN ના પુરાવાની રૂપરેખા" સમજવા માટે વાચકને માત્ર ઉચ્ચ શાળાના ગણિત/કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન, તાર્કિક વિચારસરણીની કુશળતા અને 15-20 મિનિટના સમયની જરૂર પડશે.

કંઈક અંશે સરળ બનાવતા, TGN ભારપૂર્વક જણાવે છે કે પૂરતી જટિલ ભાષાઓમાં અયોગ્ય નિવેદનો છે. પરંતુ આ વાક્યમાં લગભગ દરેક શબ્દને સમજૂતીની જરૂર છે.

ચાલો સાબિતી શું છે તે શોધવાનો પ્રયાસ કરીને પ્રારંભ કરીએ. ચાલો શાળાના અંકગણિતની કેટલીક સમસ્યા લઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો કહીએ કે તમારે નીચેના સરળ સૂત્રની સાચીતા સાબિત કરવાની જરૂર છે: " " (હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે પ્રતીક "કોઈપણ માટે" વાંચે છે અને તેને "યુનિવર્સલ ક્વોન્ટિફાયર" કહેવામાં આવે છે). તમે તેને સમાન રીતે રૂપાંતરિત કરીને સાબિત કરી શકો છો, કહો, આના જેવું:

એક સૂત્રમાંથી બીજામાં સંક્રમણ અમુક જાણીતા નિયમો અનુસાર થાય છે. 4 થી ફોર્મ્યુલાથી 5 માં સંક્રમણ થયું, કહો, કારણ કે દરેક સંખ્યા તેના પોતાના માટે સમાન છે - આ અંકગણિતનું સ્વયંસિદ્ધ છે. અને સમગ્ર સાબિતી પ્રક્રિયા, આમ, સૂત્રને બુલિયન મૂલ્ય TRUE માં અનુવાદિત કરે છે. પરિણામ જૂઠાણું પણ હોઈ શકે છે - જો આપણે અમુક ફોર્મ્યુલાને રદિયો આપીએ. આ કિસ્સામાં, અમે તેનો ઇનકાર સાબિત કરીશું. કોઈ એક પ્રોગ્રામની કલ્પના કરી શકે છે (અને આવા પ્રોગ્રામ્સ ખરેખર લખવામાં આવ્યા છે) જે માનવ હસ્તક્ષેપ વિના સમાન (અને વધુ જટિલ) નિવેદનો સાબિત કરશે.

ચાલો એ જ વાતને થોડી વધુ ઔપચારિક રીતે જણાવીએ. ધારો કે આપણી પાસે અમુક મૂળાક્ષરોના અક્ષરોના તારનો સમૂહ છે, અને એવા નિયમો છે કે જેના દ્વારા આપણે આ શબ્દમાળાઓમાંથી કહેવાતા ઉપગણને પસંદ કરી શકીએ. નિવેદનો- એટલે કે, વ્યાકરણની રીતે અર્થપૂર્ણ શબ્દસમૂહો, જેમાંથી દરેક સાચા કે ખોટા છે. અમે કહી શકીએ કે ત્યાં એક કાર્ય છે જે નિવેદનોને બેમાંથી એક મૂલ્ય સાથે સાંકળે છે: TRUE અથવા FALSE (એટલે કે, તેમને બે ઘટકોના બુલિયન સમૂહમાં મેપ કરવું).

ચાલો આવી જોડીને કૉલ કરીએ - નિવેદનોનો સમૂહ અને ફંક્શન થી - "વિધાનોની ભાષા". નોંધ કરો કે રોજિંદા અર્થમાં ભાષાનો ખ્યાલ કંઈક અંશે વ્યાપક છે. ઉદાહરણ તરીકે, રશિયન શબ્દસમૂહ "અહીં આવો!"ન તો સાચું કે ખોટું, એટલે કે ગાણિતિક તર્કના દૃષ્ટિકોણથી, તે નિવેદન નથી.

આગળ વધવા માટે આપણને અલ્ગોરિધમના ખ્યાલની જરૂર પડશે. હું અહીં તેની ઔપચારિક વ્યાખ્યા આપીશ નહીં - તે આપણને ખૂબ જ ભટકી જશે. હું મારી જાતને અનૌપચારિક સુધી મર્યાદિત કરીશ: "એલ્ગોરિધમ"અસંદિગ્ધ સૂચનાઓનો ક્રમ છે (“પ્રોગ્રામ”) જે પગલાંઓની મર્યાદિત સંખ્યામાંસ્ત્રોત ડેટાને પરિણામોમાં રૂપાંતરિત કરે છે. ઇટાલિકમાં શું છે તે મૂળભૂત રીતે મહત્વપૂર્ણ છે - જો પ્રોગ્રામ કેટલાક પ્રારંભિક ડેટા પર લૂપ કરે છે, તો તે અલ્ગોરિધમનું વર્ણન કરતું નથી. સરળતા માટે અને અમારા કેસમાં લાગુ કરવા માટે, વાચક વિચારી શકે છે કે અલ્ગોરિધમ એ તેને જાણીતી કોઈપણ પ્રોગ્રામિંગ ભાષામાં લખાયેલ પ્રોગ્રામ છે, જે આપેલ વર્ગના કોઈપણ ઇનપુટ ડેટા માટે, બુલિયન પરિણામ ઉત્પન્ન કરીને તેનું કાર્ય પૂર્ણ કરવાની ખાતરી આપે છે.

ચાલો આપણે આપણી જાતને પૂછીએ: દરેક કાર્ય માટે "સાબિત અલ્ગોરિધમનો" (અથવા ટૂંકમાં, "આનુમાનિક"), આ ફંક્શનની સમકક્ષ, એટલે કે, દરેક વિધાનને તેના જેવા જ બુલિયન મૂલ્યમાં રૂપાંતરિત કરવું? સમાન પ્રશ્નને વધુ સંક્ષિપ્ત રીતે નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે: વિધાનોના સમૂહ પર દરેક કાર્ય છે ગણતરીપાત્ર? તમે પહેલેથી જ અનુમાન લગાવ્યું છે તેમ, TGN ની માન્યતા પરથી તે અનુસરે છે કે ના, દરેક ફંક્શન નથી - આ પ્રકારના અસંગત કાર્યો છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેક સાચું નિવેદન સાબિત કરી શકાતું નથી.

તે ખૂબ જ શક્ય છે કે આ નિવેદન તમારામાં આંતરિક વિરોધનું કારણ બને. આ અનેક સંજોગોને કારણે છે. સૌપ્રથમ, જ્યારે આપણને શાળાનું ગણિત શીખવવામાં આવે છે, ત્યારે આપણે કેટલીકવાર ખોટી છાપ મેળવીએ છીએ કે "પ્રમેય સાચું છે" અને "પ્રમેય સાબિત અથવા ચકાસી શકાય છે" લગભગ સંપૂર્ણપણે સમાન છે. પરંતુ, જો તમે તેના વિશે વિચારો છો, તો આ બિલકુલ સ્પષ્ટ નથી. કેટલાક પ્રમેય તદ્દન સરળ રીતે સાબિત થાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, થોડા વિકલ્પો અજમાવીને), જ્યારે અન્ય ઘણા મુશ્કેલ છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફર્મેટના પ્રખ્યાત છેલ્લા પ્રમેયને ધ્યાનમાં લો:

જેનો પુરાવો પ્રથમ રચના પછી માત્ર સાડા ત્રણ સદીઓ પછી મળી આવ્યો હતો (અને તે પ્રાથમિકથી દૂર છે). નિવેદનની સત્યતા અને તેની સાબિતી વચ્ચે તફાવત કરવો જરૂરી છે. તે ક્યાંયથી અનુસરતું નથી કે ત્યાં કોઈ સાચા પરંતુ અપ્રુવેબલ (અને સંપૂર્ણ રીતે ચકાસી શકાય તેવા નથી) નિવેદનો નથી.

TGN સામે બીજી સાહજિક દલીલ વધુ સૂક્ષ્મ છે. ચાલો કહીએ કે અમારી પાસે કેટલાક અપ્રુવેબલ (આ આનુમાનિક માળખાની અંદર) નિવેદન છે. તેને એક નવા સ્વયંસિદ્ધ તરીકે સ્વીકારવામાં આપણને શું રોકે છે? આમ, અમે પુરાવાની અમારી સિસ્ટમને થોડી જટિલ બનાવીશું, પરંતુ આ ડરામણી નથી. જો અસંખ્ય અપ્રુવેબલ વિધાનો હોય તો આ દલીલ સંપૂર્ણપણે સાચી હશે. વ્યવહારમાં, નીચેની બાબતો થઈ શકે છે: એક નવો સ્વયંસિદ્ધ ધારણા કર્યા પછી, તમે એક નવા અયોગ્ય નિવેદન પર ઠોકર ખાશો. જો તમે તેને અન્ય સ્વયંસિદ્ધ તરીકે સ્વીકારો છો, તો તમે ત્રીજા પર ઠોકર ખાશો. અને તેથી જાહેરાત અનંત પર. તેઓ કહે છે કે કપાત રહેશે અપૂર્ણ. અમે ભાષાના કોઈપણ ઉચ્ચારણ માટે અમુક પરિણામ સાથે મર્યાદિત સંખ્યામાં પગલાંઓ પૂરા કરવા માટે સાબિત અલ્ગોરિધમને દબાણ પણ કરી શકીએ છીએ. પરંતુ તે જ સમયે, તે જૂઠું બોલવાનું શરૂ કરશે - ખોટા નિવેદનો માટે સત્ય તરફ દોરી જશે, અથવા જૂઠાણું - વિશ્વાસુ લોકો માટે. આવા કિસ્સાઓમાં તેઓ કહે છે કે કપાત વિરોધાભાસી. આમ, TGN નું બીજું સૂત્ર આના જેવું સંભળાય છે: "ત્યાં પ્રસ્તાવિત ભાષાઓ છે કે જેના માટે સંપૂર્ણ સુસંગત કપાત અશક્ય છે" - તેથી પ્રમેયનું નામ.

કેટલીકવાર "ગોડેલનું પ્રમેય" કહેવાય છે, નિવેદન એ છે કે કોઈપણ સિદ્ધાંતમાં એવી સમસ્યાઓ હોય છે કે જે સિદ્ધાંતના માળખામાં જ ઉકેલી શકાતી નથી અને તેના સામાન્યીકરણની જરૂર છે. એક અર્થમાં આ સાચું છે, જો કે આ ફોર્મ્યુલેશન મુદ્દાને સ્પષ્ટ કરવાને બદલે અસ્પષ્ટ બનાવે છે.

હું એ પણ નોંધીશ કે જો આપણે પરિચિત વિધેયો વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ જે તેમાં વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહને મેપ કરે છે, તો ફંક્શનની "નોન-કમ્પ્યુટીબિલિટી" કોઈને પણ આશ્ચર્યચકિત કરશે નહીં (ફક્ત "કમ્પ્યુટેબલ ફંક્શન્સ" અને "કમ્પ્યુટેબલ નંબર્સ" ને ગૂંચવશો નહીં. ” - આ અલગ વસ્તુઓ છે). કોઈપણ શાળાના બાળક જાણે છે કે, કહો, ફંક્શનના કિસ્સામાં, તમારે આ ફંકશનના મૂલ્યની ચોક્કસ દશાંશ રજૂઆતની ગણતરીની પ્રક્રિયાને મર્યાદિત સંખ્યામાં પગલાંઓમાં પૂર્ણ કરવા માટે દલીલ સાથે ખૂબ નસીબદાર હોવું જોઈએ. પરંતુ મોટે ભાગે તમે અનંત શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને તેની ગણતરી કરશો, અને આ ગણતરી ક્યારેય ચોક્કસ પરિણામ તરફ દોરી જશે નહીં, જો કે તે તમને ગમે તેટલું નજીક આવી શકે છે - ફક્ત એટલા માટે કે મોટાભાગની દલીલોની સાઈનનું મૂલ્ય અતાર્કિક છે. TGN અમને સરળ રીતે કહે છે કે ફંક્શન્સમાં પણ જેમની દલીલો શબ્દમાળાઓ છે અને જેની કિંમતો શૂન્ય અથવા એક છે, ત્યાં બિન-ગણતરીય કાર્યો પણ છે, જો કે તેમની રચના સંપૂર્ણપણે અલગ છે.

વધુ હેતુઓ માટે, અમે "ઔપચારિક અંકગણિતની ભાષા" નું વર્ણન કરીશું. મર્યાદિત લંબાઈના ટેક્સ્ટ શબ્દમાળાઓના વર્ગને ધ્યાનમાં લો, જેમાં અરબી અંકો, ચલો (લેટિન મૂળાક્ષરોના અક્ષરો) કુદરતી મૂલ્યો, જગ્યાઓ, અંકગણિત ચિહ્નો, સમાનતા અને અસમાનતા, ક્વોન્ટિફાયર ("અસ્તિત્વ") અને ("કોઈપણ માટે") અને , કદાચ , કેટલાક અન્ય પ્રતીકો (તેમની ચોક્કસ સંખ્યા અને રચના આપણા માટે બિનમહત્વપૂર્ણ છે). તે સ્પષ્ટ છે કે આવી બધી રેખાઓ અર્થપૂર્ણ નથી (ઉદાહરણ તરીકે, “ ” નોનસેન્સ છે). આ વર્ગમાંથી અર્થપૂર્ણ અભિવ્યક્તિઓનો સબસેટ (એટલે કે, સામાન્ય અંકગણિતના દૃષ્ટિકોણથી સાચા અથવા ખોટા એવા શબ્દમાળાઓ) એ અમારા વિધાનોનો સમૂહ હશે.

ઔપચારિક અંકગણિત નિવેદનોના ઉદાહરણો:

વગેરે હવે ચાલો “ફ્રી પેરામીટર સાથેના ફોર્મ્યુલા” (FSP) ને એક સ્ટ્રિંગ કહીએ જે એક સ્ટેટમેન્ટ બની જાય છે જો તેમાં આ પેરામીટર તરીકે કુદરતી સંખ્યાને બદલે છે. FSP ના ઉદાહરણો (પેરામીટર સાથે):

વગેરે બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, FSP એ બુલિયન મૂલ્યો સાથે કુદરતી દલીલ કાર્યોની સમકક્ષ છે.

ચાલો પત્ર દ્વારા તમામ FSP ના સમૂહને સૂચિત કરીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે તે ઓર્ડર કરી શકાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, પહેલા આપણે મૂળાક્ષરો અનુસાર એક-અક્ષરના સૂત્રો લખીએ છીએ, ત્યારબાદ બે-અક્ષરના સૂત્રો વગેરે. આમ, કોઈપણ FSP ઓર્ડર કરેલ સૂચિમાં તેના નંબરને અનુરૂપ છે, અને અમે તેને સૂચિત કરીશું.

ચાલો હવે નીચેની રચનામાં TGN ના પુરાવાના સ્કેચ તરફ આગળ વધીએ:

ઔપચારિક અંકગણિતની પ્રસ્તાવિત ભાષા માટે કોઈ સંપૂર્ણ સુસંગત અનુમાણિક સિસ્ટમ નથી.

અમે તેને વિરોધાભાસથી સાબિત કરીશું.

તેથી, ચાલો માની લઈએ કે આવી કપાતાત્મક સિસ્ટમ અસ્તિત્વમાં છે. ચાલો આપણે નીચેના સહાયક અલ્ગોરિધમનું વર્ણન કરીએ, જે નીચે પ્રમાણે કુદરતી સંખ્યાને બુલિયન મૂલ્ય અસાઇન કરે છે:

સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, અલ્ગોરિધમ મૂલ્ય TRUE માં પરિણમે છે જો અને માત્ર જો અમારી સૂચિમાં FSP માં તેના પોતાના નંબરને બદલવાનું પરિણામ ખોટું નિવેદન આપે.

અહીં અમે એક જ જગ્યાએ આવીએ છીએ જ્યાં હું વાચકને તેના માટે મારી વાત લેવાનું કહીશ.

તે સ્પષ્ટ છે કે, ઉપરોક્ત ધારણા હેઠળ, કોઈપણ FSP ની તુલના ઇનપુટ પર કુદરતી સંખ્યા અને આઉટપુટ પર બુલિયન મૂલ્ય ધરાવતા અલ્ગોરિધમ સાથે કરી શકાય છે. વાતચીત ઓછી સ્પષ્ટ છે:

આ લેમ્માના પુરાવા માટે અલ્ગોરિધમની વિભાવનાની સાહજિક બદલે, ઓછામાં ઓછી ઔપચારિક વ્યાખ્યાની જરૂર પડશે. જો કે, જો તમે તેના વિશે થોડો વિચાર કરો છો, તો તે તદ્દન બુદ્ધિગમ્ય છે. વાસ્તવમાં, એલ્ગોરિધમ્સ એલ્ગોરિધમિક ભાષાઓમાં લખવામાં આવે છે, જેમાંથી આવા વિચિત્ર છે, ઉદાહરણ તરીકે, બ્રેઈનફક, જેમાં આઠ એકલ-અક્ષર શબ્દોનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં, કોઈપણ અલ્ગોરિધમનો અમલ કરી શકાય છે. તે વિચિત્ર હશે જો આપણે વર્ણવેલ ઔપચારિક અંકગણિતના સૂત્રોની સમૃદ્ધ ભાષા ગરીબ હોવાનું બહાર આવ્યું - જો કે, કોઈ શંકા વિના, તે સામાન્ય પ્રોગ્રામિંગ માટે ખૂબ યોગ્ય નથી.

આ લપસણો સ્થાન પસાર કર્યા પછી, અમે ઝડપથી અંત સુધી પહોંચીએ છીએ.

તેથી, ઉપર આપણે અલ્ગોરિધમનું વર્ણન કર્યું છે. લેમ્મા અનુસાર મેં તમને માનવાનું કહ્યું, ત્યાં એક સમકક્ષ FSP છે. તે સૂચિમાં કેટલાક નંબર ધરાવે છે - કહો, . ચાલો આપણી જાતને પૂછીએ, શું સમાન છે? આ સત્ય થવા દો. પછી, અલ્ગોરિધમ (અને તેથી તેના સમકક્ષ કાર્ય) ના નિર્માણ અનુસાર, આનો અર્થ એ થાય કે ફંક્શનમાં સંખ્યાને બદલવાનું પરિણામ FALSE છે. વિરુદ્ધ એ જ રીતે તપાસવામાં આવે છે: FALSE થી TRUE ને અનુસરે છે. અમે એક વિરોધાભાસ પર પહોંચી ગયા છીએ, જેનો અર્થ એ છે કે મૂળ ધારણા ખોટી છે. આમ, ઔપચારિક અંકગણિત માટે કોઈ સંપૂર્ણ સુસંગત અનુમાણિક સિસ્ટમ નથી. Q.E.D.

અહીં એપિમેનાઇડ્સને યાદ કરવું યોગ્ય છે (શીર્ષકમાં પોટ્રેટ જુઓ), જેમણે, જેમ જાણીતું છે, જાહેર કર્યું કે બધા ક્રેટન્સ જૂઠા છે, પોતે ક્રેટન છે. વધુ સંક્ષિપ્ત ફોર્મ્યુલેશનમાં, તેમનું નિવેદન (જેને "જૂઠાણું વિરોધાભાસ" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે) નીચે પ્રમાણે કહી શકાય: "હું જૂઠું બોલું છું." તે ચોક્કસપણે આવા નિવેદન છે, જે પોતે જ તેની ખોટીતા જાહેર કરે છે, જેનો અમે પુરાવા માટે ઉપયોગ કર્યો છે.

નિષ્કર્ષમાં, હું એ નોંધવા માંગુ છું કે TGN ખાસ કરીને આશ્ચર્યજનક કંઈપણ દાવો કરતું નથી. અંતે, દરેક વ્યક્તિ લાંબા સમયથી એ હકીકત માટે ટેવાયેલું છે કે બધી સંખ્યાઓ બે પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તર તરીકે રજૂ કરી શકાતી નથી (યાદ રાખો, આ નિવેદનમાં એક ખૂબ જ ભવ્ય પુરાવો છે જે બે હજાર વર્ષથી વધુ જૂનો છે?). અને બધી સંખ્યાઓ તર્કસંગત ગુણાંક સાથે બહુપદીના મૂળ નથી. અને હવે તે તારણ આપે છે કે કુદરતી દલીલના તમામ કાર્યો ગણતરીપાત્ર નથી.

આપેલ પુરાવાનું સ્કેચ ઔપચારિક અંકગણિત માટે હતું, પરંતુ તે જોવાનું સરળ છે કે TGN અન્ય ઘણી પ્રસ્તાવિત ભાષાઓને લાગુ પડે છે. અલબત્ત, બધી ભાષાઓ આવી હોતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો નીચે પ્રમાણે ભાષાને વ્યાખ્યાયિત કરીએ:

"ચીની ભાષામાં કોઈપણ શબ્દસમૂહ એ સાચું નિવેદન છે જો તે કોમરેડ માઓ ઝેડોંગના અવતરણ પુસ્તકમાં સમાયેલ હોય, અને જો તે સમાવિષ્ટ ન હોય તો તે ખોટું છે."

પછી અનુરૂપ સંપૂર્ણ અને સુસંગત સાબિત અલ્ગોરિધમ (કોઈ તેને "કથિત આનુમાનિક" કહી શકે છે) કંઈક આના જેવું લાગે છે:

"કોમરેડ માઓ ઝેડોંગના અવતરણ પુસ્તકમાંથી ફ્લિપ કરો જ્યાં સુધી તમે જે કહેવત શોધી રહ્યાં છો તે ન મળે. જો તે મળી જાય, તો તે સાચું છે, પરંતુ જો અવતરણ પુસ્તક સમાપ્ત થઈ ગયું છે અને નિવેદન મળ્યું નથી, તો તે ખોટું છે."

અહીં જે આપણને બચાવે છે તે એ છે કે કોઈપણ અવતરણ પુસ્તક દેખીતી રીતે મર્યાદિત છે, તેથી "સાબિત" કરવાની પ્રક્રિયા અનિવાર્યપણે સમાપ્ત થશે. આમ, TGN કટ્ટર નિવેદનોની ભાષાને લાગુ પડતું નથી. પરંતુ અમે જટિલ ભાષાઓ વિશે વાત કરી રહ્યા હતા, બરાબર?

ગાણિતિક સ્વયંસિદ્ધની કોઈપણ સિસ્ટમ, જટિલતાના ચોક્કસ સ્તરથી શરૂ થાય છે, તે આંતરિક રીતે વિરોધાભાસી અથવા અપૂર્ણ છે.

1900 માં, ગણિતશાસ્ત્રીઓની વિશ્વ પરિષદ પેરિસમાં યોજાઈ હતી, જેમાં ડેવિડ હિલ્બર્ટ (1862-1943) એ તેમના મતે, આગામી વીસમી સદીના સિદ્ધાંતવાદીઓએ હલ કરવાની 23 સૌથી મહત્વપૂર્ણ થીસીસના રૂપમાં રજૂ કર્યા હતા. તેમની યાદીમાં નંબર બે તે સરળ સમસ્યાઓમાંની એક હતી જેનો જવાબ જ્યાં સુધી તમે થોડો ઊંડો ખોદશો નહીં ત્યાં સુધી સ્પષ્ટ લાગે છે. આધુનિક શબ્દોમાં, આ પ્રશ્ન હતો: શું ગણિત આત્મનિર્ભર છે? હિલ્બર્ટનું બીજું કાર્ય સખત રીતે સાબિત કરવાની જરૂરિયાતને ધ્યાનમાં રાખીને ઉકળ્યું હતું કે ગૃહીતોની સિસ્ટમ - પુરાવા વિના આધાર તરીકે ગણિતમાં સ્વીકૃત મૂળભૂત નિવેદનો - સંપૂર્ણ અને સંપૂર્ણ છે, એટલે કે, તે અસ્તિત્વમાં છે તે દરેક વસ્તુનું ગાણિતિક રીતે વર્ણન કરવાની મંજૂરી આપે છે. તે સાબિત કરવું જરૂરી હતું કે સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલીને વ્યાખ્યાયિત કરવી શક્ય છે કે તેઓ, પ્રથમ, પરસ્પર સુસંગત હશે, અને બીજું, તેમાંથી કોઈપણ નિવેદનની સત્યતા અથવા અસત્યતા વિશે નિષ્કર્ષ દોરી શકાય છે.

ચાલો શાળા ભૂમિતિમાંથી એક ઉદાહરણ લઈએ. પ્રમાણભૂત યુક્લિડિયન પ્લાનિમેટ્રી (પ્લેન પરની ભૂમિતિ) માં, તે શંકાની બહાર સાબિત થઈ શકે છે કે "ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે" વિધાન સાચું છે, અને વિધાન "ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 137 છે. °” ખોટું છે. અનિવાર્યપણે કહીએ તો, યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં કોઈપણ નિવેદન કાં તો ખોટું અથવા સાચું છે, અને ત્યાં કોઈ ત્રીજો વિકલ્પ નથી. અને વીસમી સદીની શરૂઆતમાં, ગણિતશાસ્ત્રીઓ નિષ્કપટપણે માનતા હતા કે કોઈપણ તાર્કિક રીતે સુસંગત સિસ્ટમમાં સમાન પરિસ્થિતિનું અવલોકન કરવું જોઈએ.

અને પછી, 1931 માં, કેટલાક નજરે ચડેલા વિયેનીઝ ગણિતશાસ્ત્રી કર્ટ ગોડેલે એક નાનો લેખ પ્રકાશિત કર્યો જેણે કહેવાતા "ગાણિતિક તર્ક" ની આખી દુનિયાને ફક્ત અસ્વસ્થ કરી દીધી. લાંબી અને જટિલ ગાણિતિક અને સૈદ્ધાંતિક પ્રસ્તાવનાઓ પછી, તેમણે શાબ્દિક રીતે નીચેની સ્થાપના કરી. ચાલો કોઈપણ વિધાન લઈએ જેમ કે: "આ ગૃહીત પ્રણાલીમાં ધારણા નંબર 247 તાર્કિક રીતે અયોગ્ય છે" અને તેને "વિધાન A" કહીએ. તેથી, ગોડેલે કોઈપણ સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલીની નીચેની અદ્ભુત મિલકતને સરળ રીતે સાબિત કરી:

"જો વિધાન A સાબિત થઈ શકે છે, તો નિવેદન નથી-A સાબિત થઈ શકે છે."

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો “ધારણા 247 અપ્રુવેબલ છે” વિધાનની સત્યતા સાબિત થઈ શકે છે, તો “ધારણા 247 સાબિત થઈ શકે છે” વિધાનની સત્યતા પણ સાબિત થઈ શકે છે. એટલે કે, હિલ્બર્ટની બીજી સમસ્યાની રચના પર પાછા ફરવું, જો સ્વયંસિદ્ધ સિસ્ટમ પૂર્ણ છે (એટલે કે, તેમાં કોઈપણ નિવેદન સાબિત થઈ શકે છે), તો તે વિરોધાભાસી છે.

આ પરિસ્થિતિમાંથી બહાર નીકળવાનો એકમાત્ર રસ્તો એ છે કે સ્વયંસિદ્ધની અપૂર્ણ સિસ્ટમ સ્વીકારવી. એટલે કે, આપણે એ હકીકતને સહન કરવી પડશે કે કોઈપણ તાર્કિક પ્રણાલીના સંદર્ભમાં આપણી પાસે હજુ પણ "ટાઈપ A" નિવેદનો હશે જે દેખીતી રીતે સાચા કે ખોટા છે - અને અમે તેમની સત્યતાનો માત્ર આપણી પાસેના અક્ષયશાસ્ત્રના માળખાની બહાર જ નિર્ણય કરી શકીએ છીએ. સ્વીકાર્યું. જો આવા કોઈ નિવેદનો ન હોય, તો પછી અમારા અક્ષીયશાસ્ત્ર વિરોધાભાસી છે, અને તેના માળખામાં અનિવાર્યપણે એવા ફોર્મ્યુલેશન હશે જે સાબિત અને અસ્વીકાર્ય બંને હોઈ શકે છે.

તેથી, ગોડેલના પ્રથમ, અથવા નબળા, અપૂર્ણતા પ્રમેયની રચના: "કોઈપણ ઔપચારિક સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલીમાં વણઉકેલાયેલી ધારણાઓ હોય છે." પરંતુ ગોડેલ ત્યાં અટક્યા ન હતા, ગોડેલના બીજા, અથવા મજબૂત, અપૂર્ણતા પ્રમેયને ઘડતા અને સાબિત કરતા હતા: “કોઈપણ સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલીની તાર્કિક પૂર્ણતા (અથવા અપૂર્ણતા) આ સિસ્ટમના માળખામાં સાબિત થઈ શકતી નથી. તેને સાબિત કરવા અથવા ખોટા સાબિત કરવા માટે, વધારાના સિદ્ધાંતો જરૂરી છે (સિસ્ટમને મજબૂત બનાવવી).

તે વિચારવું વધુ સલામત રહેશે કે ગોડેલના પ્રમેય પ્રકૃતિમાં અમૂર્ત છે અને આપણને ચિંતા કરતા નથી, પરંતુ માત્ર ઉત્કૃષ્ટ ગાણિતિક તર્કના ક્ષેત્રો છે, પરંતુ હકીકતમાં તે બહાર આવ્યું છે કે તેઓ માનવ મગજની રચના સાથે સીધા સંબંધિત છે. અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રી અને ભૌતિકશાસ્ત્રી રોજર પેનરોઝ (b. 1931) એ બતાવ્યું કે Gödelના પ્રમેયનો ઉપયોગ માનવ મગજ અને કમ્પ્યુટર વચ્ચેના મૂળભૂત તફાવતોના અસ્તિત્વને સાબિત કરવા માટે થઈ શકે છે. તેના તર્કનો અર્થ સરળ છે. કોમ્પ્યુટર સખત તાર્કિક રીતે કાર્ય કરે છે અને વિધાન A સાચું છે કે ખોટું એ નક્કી કરવામાં સક્ષમ નથી જો તે અક્ષીયશાસ્ત્રની બહાર જાય, અને આવા નિવેદનો, Gödelના પ્રમેય મુજબ, અનિવાર્યપણે અસ્તિત્વમાં છે. એક વ્યક્તિ, જેમ કે તાર્કિક રીતે અયોગ્ય અને અકાટ્ય નિવેદન A નો સામનો કરે છે, તે હંમેશા તેના સત્ય અથવા ખોટા - રોજિંદા અનુભવના આધારે નક્કી કરવામાં સક્ષમ છે. ઓછામાં ઓછું આ સંદર્ભમાં માનવ મગજ શુદ્ધ લોજિકલ સર્કિટ દ્વારા બંધાયેલા કમ્પ્યુટર કરતાં શ્રેષ્ઠ છે. માનવ મગજ ગોડેલના પ્રમેયમાં સમાયેલ સત્યની સંપૂર્ણ ઊંડાણને સમજવા માટે સક્ષમ છે, પરંતુ કમ્પ્યુટર મગજ ક્યારેય સમજી શકતું નથી. તેથી, માનવ મગજ એ કમ્પ્યુટર સિવાય બીજું કંઈ છે. તે નિર્ણય લેવામાં સક્ષમ છે અને ટ્યુરિંગ ટેસ્ટ પાસ કરશે.

મને આશ્ચર્ય થાય છે કે શું હિલ્બર્ટને કોઈ ખ્યાલ હતો કે તેના પ્રશ્નો આપણને ક્યાં સુધી લઈ જશે?

કર્ટ GÖDEL
કર્ટ ગોડેલ, 1906-78

ઑસ્ટ્રિયન, પછી અમેરિકન ગણિતશાસ્ત્રી. બ્રુન (હવે બ્રાનો, ચેક રિપબ્લિક) માં જન્મેલા. તેમણે વિયેના યુનિવર્સિટીમાંથી સ્નાતક થયા, જ્યાં તેઓ ગણિતના વિભાગમાં શિક્ષક રહ્યા (1930 થી - પ્રોફેસર). 1931 માં તેમણે એક પ્રમેય પ્રકાશિત કર્યો જેને પાછળથી તેમનું નામ મળ્યું. એક સંપૂર્ણ અરાજકીય વ્યક્તિ હોવાને કારણે, તેને નાઝી વિદ્યાર્થી દ્વારા તેના મિત્ર અને વિભાગના સાથીદારની હત્યા સાથે ખૂબ જ મુશ્કેલ સમય હતો અને તે ઊંડા ડિપ્રેશનમાં સરી પડ્યો હતો, જેનાથી તે આખી જીંદગી માટે ત્રાસી ગયો હતો. 1930 ના દાયકામાં તે યુએસએ સ્થળાંતર થયો, પરંતુ તેના વતન ઑસ્ટ્રિયા પાછો ફર્યો અને લગ્ન કર્યા. 1940 માં, યુદ્ધની ઊંચાઈએ, તેમને યુએસએસઆર અને જાપાન દ્વારા પરિવહનમાં અમેરિકા ભાગી જવાની ફરજ પડી હતી. તેમણે પ્રિન્સટન ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ફોર એડવાન્સ્ડ સ્ટડીમાં થોડો સમય કામ કર્યું. કમનસીબે, વૈજ્ઞાનિકનું માનસ તેને સહન કરી શક્યું નહીં, અને તે ભૂખથી માનસિક ચિકિત્સકમાં મૃત્યુ પામ્યો, ખાવાનો ઇનકાર કર્યો, કારણ કે તેને ખાતરી હતી કે તેઓ તેને ઝેર આપશે.

ટિપ્પણીઓ: 0

કુદરતી વિજ્ઞાનમાં વૈજ્ઞાનિક મોડેલ કેવી રીતે વિકસિત થાય છે? રોજિંદા અથવા વૈજ્ઞાનિક અનુભવો સંચિત થાય છે, તેના લક્ષ્યો કાળજીપૂર્વક પોસ્ટ્યુલેટ્સના સ્વરૂપમાં ઘડવામાં આવે છે અને મોડેલનો આધાર બનાવે છે: આ મોડેલના માળખામાં કામ કરતા દરેક વ્યક્તિ દ્વારા સ્વીકારવામાં આવેલા નિવેદનોનો સમૂહ.

એનાટોલી વાસરમેન

1930 માં, કર્ટ ગોડેલે બે પ્રમેય સાબિત કર્યા હતા, જેનો ગાણિતિક ભાષામાંથી માનવ ભાષામાં અનુવાદ થાય છે, જેનો અર્થ અંદાજે નીચે મુજબ થાય છે: અંકગણિતને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે ઉપયોગમાં લઈ શકાય તેટલી સમૃદ્ધ સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલી કાં તો અપૂર્ણ અથવા વિરોધાભાસી હશે. સંપૂર્ણ સિસ્ટમ નથી - આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમમાં એક નિવેદન ઘડવાનું શક્ય છે જે આ સિસ્ટમ દ્વારા સાબિત અથવા અસ્વીકાર્ય કરી શકાતું નથી. પરંતુ ભગવાન, વ્યાખ્યા દ્વારા, બધા કારણોનું અંતિમ કારણ છે. ગણિતના દૃષ્ટિકોણથી, આનો અર્થ એ થાય છે કે ભગવાન વિશે સ્વયંસિદ્ધ પરિચય આપણા સમગ્ર સ્વયંસિદ્ધને પૂર્ણ બનાવે છે. જો ત્યાં ભગવાન છે, તો પછી કોઈપણ નિવેદન કાં તો સાબિત અથવા રદિયો આપી શકાય છે, એક રીતે અથવા બીજી રીતે, ભગવાનનો ઉલ્લેખ કરી શકાય છે. પરંતુ ગોડેલના મતે, સ્વયંસિદ્ધની સંપૂર્ણ સિસ્ટમ અનિવાર્યપણે વિરોધાભાસી છે. એટલે કે, જો આપણે માનીએ છીએ કે ભગવાન અસ્તિત્વમાં છે, તો આપણે એવા નિષ્કર્ષ પર આવવાની ફરજ પાડીએ છીએ કે પ્રકૃતિમાં વિરોધાભાસ શક્ય છે. અને કારણ કે ત્યાં કોઈ વિરોધાભાસ નથી, અન્યથા આ વિરોધાભાસથી આપણું આખું વિશ્વ ક્ષીણ થઈ જશે, આપણે એવા નિષ્કર્ષ પર પહોંચવું પડશે કે ભગવાનનું અસ્તિત્વ પ્રકૃતિના અસ્તિત્વ સાથે અસંગત છે.

સોસિન્સ્કી એ.બી.

સાપેક્ષતા, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ અને ડીએનએની શોધ સાથે ગોડેલના પ્રમેયને સામાન્ય રીતે 20મી સદીની સૌથી મોટી વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધિ તરીકે ગણવામાં આવે છે. શા માટે? તેનો સાર શું છે? તેનું મહત્વ શું છે? આ પ્રશ્નોને એલેક્સી બ્રોનિસ્લાવોવિચ સોસિન્સકી, ગણિતશાસ્ત્રી, સ્વતંત્ર મોસ્કો યુનિવર્સિટીના પ્રોફેસર, ફ્રેન્ચ રિપબ્લિકના ઓર્ડર ઓફ એકેડેમિક પામ્સના અધિકારી, ફ્રાન્સના વિજેતા, "પબ્લિક લેક્ચર્સ "Polit.ru" પ્રોજેક્ટના માળખામાં તેમના વ્યાખ્યાનમાં સંબોધવામાં આવ્યા છે. 2012 માં શિક્ષણ ક્ષેત્રે રશિયન સરકાર પુરસ્કાર. ખાસ કરીને, તેના ઘણા જુદા જુદા ફોર્મ્યુલેશન આપવામાં આવ્યા હતા, તેના પુરાવા માટે ત્રણ અભિગમો વર્ણવવામાં આવ્યા હતા (કોલ્મોગોરોવ, ચૈટીન અને ગોડેલ પોતે), અને ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર, કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન અને ફિલસૂફી માટે તેનું મહત્વ સમજાવવામાં આવ્યું હતું.

યુસ્પેન્સકી વી. એ.

આ વ્યાખ્યાન ગોડેલના અપૂર્ણતા પ્રમેયના સિન્ટેક્ટિક સંસ્કરણને સમર્પિત છે. ગોડેલે પોતે સુસંગતતા કરતાં વધુ મજબૂત ધારણાનો ઉપયોગ કરીને સિન્ટેક્ટિક સંસ્કરણ સાબિત કર્યું, એટલે કે કહેવાતા ઓમેગા સુસંગતતા.

યુસ્પેન્સકી વી. એ.

ઉનાળાની શાળા "આધુનિક ગણિત", ડુબના ખાતે પ્રવચનો.

ગોડેલના અપૂર્ણતા પ્રમેય

ગોડેલના અપૂર્ણતા પ્રમેય- ઔપચારિક અંકગણિતની મૂળભૂત મર્યાદાઓ વિશે ગાણિતિક તર્કના બે પ્રમેય અને પરિણામે, કોઈપણ પૂરતા મજબૂત પ્રથમ-ક્રમના સિદ્ધાંતના.

પ્રથમ પ્રમેય જણાવે છે કે જો ઔપચારિક અંકગણિત સુસંગત છે, તો તે અફર અને અકાટ્ય સૂત્ર ધરાવે છે.

બીજું પ્રમેય જણાવે છે કે જો ઔપચારિક અંકગણિત સુસંગત હોય, તો તેમાં ચોક્કસ સૂત્ર હોય છે જે આ સિદ્ધાંતની સુસંગતતાને અર્થપૂર્ણપણે ભારપૂર્વક જણાવે છે.

ગોડેલનું પ્રથમ અપૂર્ણતા પ્રમેય

ગોડેલના પ્રથમ અપૂર્ણતા પ્રમેયનું નિવેદન નીચે પ્રમાણે કહી શકાય:

જો ઔપચારિક અંકગણિતએસ સુસંગત છે, તો તેમાં બંધ સૂત્ર G સમાવે છે જેમ કે ન તો G કે તેનો નકાર ¬Gએસ .

પ્રમેય સાબિત કરતી વખતે, ગોડેલે સૂત્ર બનાવ્યું જીસ્પષ્ટ રીતે, તેને કેટલીકવાર ગોડેલિયન અનિર્ણિત સૂત્ર કહેવામાં આવે છે. પ્રમાણભૂત અર્થઘટનમાં, વાક્ય જી S માં તેની પોતાની અરિડ્યુસિબિલિટીનો દાવો કરે છે. તેથી, ગોડેલના પ્રમેય દ્વારા, જો સિદ્ધાંત S સુસંગત હોય, તો આ સૂત્ર ખરેખર S માં અરિડ્યુસિબલ છે અને તેથી પ્રમાણભૂત અર્થઘટનમાં સાચું છે. આમ, કુદરતી સંખ્યાઓ માટે, સૂત્ર જીસાચું છે, પરંતુ S માં વ્યુત્પન્ન નથી.

ગોડેલનો પુરાવો S માંથી મેળવેલા કોઈપણ સિદ્ધાંત માટે નવા સ્વયંસિદ્ધ ઉમેરીને હાથ ધરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, સૂત્ર જીસ્વયંસિદ્ધ તરીકે. તેથી, કોઈપણ સુસંગત સિદ્ધાંત કે જે ઔપચારિક અંકગણિતનું વિસ્તરણ છે તે અપૂર્ણ હશે.

પ્રથમ અપૂર્ણતા પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે, ગોડેલે ઔપચારિક અંકગણિતમાં દરેક પ્રતીક, અભિવ્યક્તિ અને અભિવ્યક્તિના ક્રમને ચોક્કસ સંખ્યા સોંપી. કારણ કે સૂત્રો અને પ્રમેય અંકગણિતના વાક્યો છે, અને પ્રમેયની ઔપચારિક વ્યુત્પત્તિ એ સૂત્રોના ક્રમ છે, તેથી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સંદર્ભમાં પ્રમેય અને પુરાવાઓ વિશે વાત કરવી શક્ય બન્યું છે. ઉદાહરણ તરીકે, ગોડેલિયન અનિર્ણિત સૂત્ર દો જીનંબર ધરાવે છે m, તો તે અંકગણિતની ભાષામાં નીચેના વિધાનની સમકક્ષ છે: “આવી કોઈ કુદરતી સંખ્યા નથી n, શું nસંખ્યા સાથે સૂત્ર આઉટપુટ નંબર છે m". સૂત્રો અને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની આવી સરખામણીને ગણિતનું અંકગણિતીકરણ કહેવામાં આવે છે અને તે પ્રથમ વખત ગોડેલ દ્વારા હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું. આ વિચાર પાછળથી ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્રની ઘણી મહત્વપૂર્ણ સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે ચાવીરૂપ બન્યો.

પુરાવાનું સ્કેચ

ચાલો આપણે કેટલીક ઔપચારિક PM સિસ્ટમને ઠીક કરીએ જેમાં પ્રાથમિક ગાણિતિક ખ્યાલો રજૂ કરી શકાય.

ઔપચારિક પ્રણાલીના અભિવ્યક્તિઓ, બહારથી જોવામાં આવે છે, આદિમ પ્રતીકોના મર્યાદિત ક્રમ (ચલ, તાર્કિક સ્થિરાંકો, અને કૌંસ અથવા બિંદુઓ), અને તે સખત રીતે સ્પષ્ટ કરવું મુશ્કેલ નથી કે આદિમ પ્રતીકોના કયા ક્રમ સૂત્રો છે અને કયા નથી. તેવી જ રીતે, ઔપચારિક દૃષ્ટિકોણથી, પુરાવા એ સૂત્રોના મર્યાદિત ક્રમ (કડક રીતે વ્યાખ્યાયિત ગુણધર્મો સાથે) કરતાં વધુ કંઈ નથી. ગાણિતિક વિચારણા માટે, આપણે કઈ વસ્તુઓને આદિમ પ્રતીકો તરીકે લઈએ છીએ તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી, અને અમે આ હેતુઓ માટે કુદરતી સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરવાનું નક્કી કરીએ છીએ. તદનુસાર, સૂત્ર એ કુદરતી સંખ્યાઓનો મર્યાદિત ક્રમ છે, સૂત્રનો નિષ્કર્ષ એ કુદરતી સંખ્યાઓના મર્યાદિત ક્રમનો મર્યાદિત ક્રમ છે. ગાણિતિક વિભાવનાઓ (નિવેદનો) આમ કુદરતી સંખ્યાઓ અથવા તેમના અનુક્રમો વિશેની વિભાવનાઓ (નિવેદનો) બની જાય છે, અને તેથી પોતાને PM સિસ્ટમના પ્રતીકવાદમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે (ઓછામાં ઓછા ભાગમાં). તે ખાસ કરીને બતાવી શકાય છે કે વિભાવનાઓ “સૂત્ર”, “ઉત્પાદન”, “વ્યુત્પન્ન સૂત્ર” પીએમ સિસ્ટમમાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, એટલે કે, પુનઃસ્થાપિત કરવું શક્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે, સૂત્ર એફ(વિ) એક ફ્રી વેરીએબલ સાથે PM માં વિ(જેનો પ્રકાર સંખ્યા ક્રમ છે) જેમ કે એફ(વિ), સાહજિક અર્થઘટનમાં, અર્થ થાય છે: વિ- વ્યુત્પન્ન સૂત્ર. હવે ચાલો PM સિસ્ટમનું એક અનિર્ણાયક વાક્ય એટલે કે વાક્ય બનાવીએ એ, જેના માટે ના એ, ન તો બિન-એબિન-વ્યુત્પન્ન, નીચે પ્રમાણે:

PM માં એક સૂત્ર બરાબર એક મુક્ત ચલ સાથે જેનો પ્રકાર કુદરતી સંખ્યા છે (વર્ગોનો વર્ગ) તેને અભિવ્યક્તિ વર્ગ કહેવામાં આવશે. ચાલો વર્ગ-અભિવ્યક્તિને અમુક રીતે ક્રમમાં ગોઠવીએ, સૂચવો n-e દ્વારા આર(n), અને નોંધ કરો કે "વર્ગ-અભિવ્યક્તિ" ની વિભાવના, તેમજ ઓર્ડરિંગ સંબંધ આર PM સિસ્ટમમાં નક્કી કરી શકાય છે. ચાલો α ને મનસ્વી વર્ગ અભિવ્યક્તિ હોઈએ; દ્વારા [α; n] એક કુદરતી સંખ્યાના પ્રતીક સાથે મુક્ત ચલને બદલીને α વર્ગ અભિવ્યક્તિમાંથી બનેલા સૂત્રને દર્શાવો n. તૃતીય સંબંધ x = [y;z] પણ PM માં વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય તેવું બહાર આવ્યું છે. હવે આપણે વર્ગને વ્યાખ્યાયિત કરીશું કેનીચે પ્રમાણે કુદરતી સંખ્યાઓ:

n ∈ કે≡ ¬Bew[ આર(n);n] (*)

(જ્યાં બેવ xઅર્થ: x- વ્યુત્પન્ન સૂત્ર). આ વ્યાખ્યામાં જોવા મળેલી તમામ વિભાવનાઓ PM માં વ્યક્ત કરી શકાય છે, તે જ ખ્યાલ માટે સાચું છે કે, જે તેમની પાસેથી બનાવવામાં આવે છે, એટલે કે, આવી અભિવ્યક્તિ વર્ગ છે એસ, કે સૂત્ર [ એસ;n], સાહજિક રીતે અર્થઘટન થાય છે, એટલે કે કુદરતી સંખ્યા nસંબંધ ધરાવે છે કે. અભિવ્યક્તિ વર્ગ તરીકે, એસઅમુક ચોક્કસ માટે સમાન આર(q) અમારા નંબરિંગમાં, એટલે કે

એસ = આર(q)

અમુક ચોક્કસ કુદરતી સંખ્યા માટે સંતુષ્ટ છે q. હવે આપણે બતાવીશું કે વાક્ય [ આર(q);q] PM માં અનિર્ણાયક. તેથી, જો વાક્ય [ આર(q);q] વ્યુત્પન્ન હોવાનું ધારવામાં આવે છે, પછી તે સાચું હોવાનું બહાર આવ્યું છે, એટલે કે, ઉપર જણાવેલ પ્રમાણે, qસંબંધિત હશે કે, એટલે કે (*), ¬Bew[ અનુસાર આર(q);q] ચલાવવામાં આવશે, જે અમારી ધારણાનો વિરોધાભાસ કરે છે. બીજી બાજુ, જો નકાર [ આર(q);q] અગમ્ય હતું, પછી ¬ n ∈ કે, એટલે કે, Bew[ આર(q);q] સાચું હશે. આથી, [ આર(q);q] એકસાથે તેની નકારી કાઢી શકાય તેવું હશે, જે ફરીથી અશક્ય છે.

બહુપદી સ્વરૂપ

દરેક સુસંગત સિદ્ધાંત માટેટી એક પરિમાણ K નું પૂર્ણાંક મૂલ્ય સ્પષ્ટ કરી શકે છે જેમ કે સમીકરણ (θ + 2 z − b 5) 2 + (u + tθ − l) 2 + (y + mθ − ઇ) 2 + (n − q 16) 2 + ((g + ઇq 3 + lq 5 + (2(ઇ − zλ)(1 + g) 4 + λ b 5 + λ b 5 q 4)q 4)(n 2 − n) + (q 3 − bl + l + θλ q 3 + (b 5 − 2)q 5)(n 2 − 1) − આર) 2 + (પી − 2ડબલ્યુs 2 આર 2 n 2) 2 + (પી 2 k 2 − k 2 + 1 − τ 2) 2 + (4(c − ksn 2) 2 + η − k 2) 2 + (આર + 1 + hપી − h − k) 2 + (a − (ડબલ્યુn 2 + 1)આરsn 2) 2 + (2આર+ 1 + φ − c) 2 + (bડબલ્યુ + ca − 2c+ 4αγ − 5γ − ડી) 2 + ((a 2 − 1)c 2 + 1 − ડી 2) 2 + ((a 2 − 1)i 2 c 4 + 1 − f 2) 2 + (((a + f 2 (ડી 2 − a)) 2 − 1)(2આર + 1 + jc) 2 + 1 − (ડી + ઓf) 2) 2 + (((z + u + y) 2 + u) 2 + y − કે) 2 = 0 બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકોમાં કોઈ ઉકેલો નથી, પરંતુ આ હકીકત સિદ્ધાંતમાં સાબિત થઈ શકતી નથીટી . તદુપરાંત, દરેક સુસંગત સિદ્ધાંત માટે, આ ગુણધર્મ ધરાવતા પરિમાણ K ના મૂલ્યોનો સમૂહ અનંત અને અલ્ગોરિધમિક રીતે બિન-ગણતરીય છે.

ગોડેલનું બીજું અપૂર્ણતા પ્રમેય

ઔપચારિક અંકગણિત S માં, કોઈ એક સૂત્ર બનાવી શકે છે જે, પ્રમાણભૂત અર્થઘટનમાં, જો અને માત્ર જો સિદ્ધાંત S સુસંગત હોય તો જ સાચું છે. આ સૂત્ર માટે, ગોડેલના બીજા પ્રમેયનું નિવેદન સાચું છે:

જો ઔપચારિક અંકગણિતએસ સુસંગત છે, પછી તે એક અફર સૂત્ર ધરાવે છે જે અર્થપૂર્ણ રીતે સુસંગતતા પર ભાર મૂકે છેએસ .

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ સિદ્ધાંત દ્વારા ઔપચારિક અંકગણિતની સુસંગતતા સાબિત કરી શકાતી નથી. જો કે, એવા માધ્યમોનો ઉપયોગ કરીને ઔપચારિક અંકગણિતની સુસંગતતાના પુરાવા છે જે તેમાં અભિવ્યક્ત નથી.

પુરાવાનું સ્કેચ

પ્રથમ ફોર્મ્યુલા બનાવવામાં આવે છે કોન, જે સૈદ્ધાંતિક S ના કોઈપણ સૂત્રને તેના નકાર સાથે મેળવવાની અશક્યતાને અર્થપૂર્ણ રીતે વ્યક્ત કરે છે. પછી ગોડેલના પ્રથમ પ્રમેયનું નિવેદન સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે કોન ⊃ જી, ક્યાં જી- ગોડેલનું વણઉકેલ્યું સૂત્ર. પ્રથમ પ્રમેયને સાબિત કરવા માટેના તમામ તર્કને S દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે અને હાથ ધરવામાં આવે છે, એટલે કે, સૂત્ર S માં કપાતપાત્ર છે. કોન ⊃ જી. તેથી, જો S માં વ્યુત્પન્ન છે કોન, પછી તે કપાતપાત્ર છે અને જી. જો કે, ગોડેલના પ્રથમ પ્રમેય મુજબ, જો S સુસંગત હોય, તો જીતેમાં કપાતપાત્ર નથી. પરિણામે, જો S સુસંગત હોય, તો તેમાંનું સૂત્ર પણ અફર છે કોન.

નોંધો

પણ જુઓ

લિંક્સ

વી. એ. યુસ્પેન્સકીગોડેલનું અપૂર્ણતા પ્રમેય. - એમ.: નૌકા, 1982. - 110 પૃષ્ઠ. - (ગણિત પરના લોકપ્રિય પ્રવચનો).
વિદ્વાન યુ. એલ. એર્શોવ "ગણિતમાં સાબિતી", એ. ગોર્ડન પ્રોગ્રામ તારીખ 16 જૂન, 2003
એ.બી. સોસિન્સ્કીગોડેલનું પ્રમેય // સમર સ્કૂલ "આધુનિક ગણિત". - ડબના: 2006.
પી.જે. કોહેનસેટ થિયરીના પાયા પર // ગાણિતિક વિજ્ઞાનમાં પ્રગતિ. - 1974. - ટી. 29. - નંબર 5 (179). - પૃષ્ઠ 169–176.
એમ. કોર્ડોન્સકીસત્યનો અંત. - ISBN 5-946448-001-04
વી. એ. યુસ્પેન્સકીઅપૂર્ણતા અને ચાર રસ્તાઓ પર ગોડેલનું પ્રમેય // સમર સ્કૂલ "આધુનિક ગણિત". - ડબના: 2007.
ઝેનકીન એ. એ.સમય વિભાજનનો સિદ્ધાંત અને અર્ધ-મર્યાદિત બુદ્ધિગમ્ય તર્કના એક વર્ગનું વિશ્લેષણ (અસંખ્યતા પર જી. કેન્ટરના પ્રમેયના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને) // DAN. - 1997. - ટી. 356. - નંબર 6. - પૃષ્ઠ 733-735.
ચેચુલિન વી. એલ.ગોડેલના પ્રમેયના પુરાવાના ટૂંકા સંસ્કરણ પર // “ગણિત અને માહિતી વિજ્ઞાનની મૂળભૂત સમસ્યાઓ”, XXXIV ફાર ઈસ્ટર્ન મેથેમેટિકલ સ્કૂલ-સેમિનારની સામગ્રી જેનું નામ એકેડેમિશિયન ઈ.વી. ઝોલોટોવા. - ખાબોરોવસ્ક, રશિયા: 2009. - પૃષ્ઠ 60-61.

વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન.

2010.

અન્ય શબ્દકોશોમાં "અપૂર્ણતા પર ગોડેલના પ્રમેય" શું છે તે જુઓ:

આ શબ્દના અન્ય અર્થો છે, જુઓ ગોડેલનું પ્રમેય. અપૂર્ણતા પર ગોડેલનું પ્રમેય અને ગોડેલનું બીજું પ્રમેય [1] ઔપચારિક અંકગણિતની મૂળભૂત મર્યાદાઓ વિશે ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્રના બે પ્રમેય અને પરિણામે, કોઈપણ ... ... વિકિપીડિયા

ગોડેલના અપૂર્ણતાના પ્રમેય એ ચોક્કસ પ્રકારની ઔપચારિક પ્રણાલીઓની અપૂર્ણતા વિશે ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્રના બે પ્રમેય છે. વિષયવસ્તુ 1 ગોડેલનું પ્રથમ અપૂર્ણતા પ્રમેય 2 ગોડેલનું બીજું અપૂર્ણતા પ્રમેય ... વિકિપીડિયા

આ શબ્દના અન્ય અર્થો છે, જુઓ ગોડેલનું પ્રમેય. પ્રેડિકેટ કેલ્ક્યુલસની સંપૂર્ણતા પર ગોડેલનું પ્રમેય ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયમાંનું એક છે: તે તાર્કિક સત્ય વચ્ચે અસ્પષ્ટ જોડાણ સ્થાપિત કરે છે... ... વિકિપીડિયા કે. ગોડેલ દ્વારા સ્થાપિત બે પ્રમેય માટેનું સામાન્ય નામ. પ્રથમ જી. ટી. જણાવે છે કે ન્યૂનતમ અંકગણિત ધરાવતી કોઈપણ સુસંગત ઔપચારિક પ્રણાલીમાં (ચિહ્નો અને તેમને નિયંત્રિત કરવા માટેના સામાન્ય નિયમો), ત્યાં ઔપચારિક રીતે અનિર્ણાયક છે... ...

યુસ્પેન્સકી વી.એ.

ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ

ગોડેલનું અપૂર્ણતા પ્રમેય.1994.

સૈદ્ધાંતિક કોમ્પ્યુટર સાયન્સ 130, 1994, pp.273-238.

તાર્સ્કી દ્વારા સંયોજન દ્વારા મેળવેલા પરિણામનું સીધું પરિણામ

ગોડેલના પોતાના સત્યના સિદ્ધાંત સાથે અનિશ્ચિતતા પ્રમેય, અનુસાર

જેના માટે સાપેક્ષ રીતે પણ સત્યનો સાર્વત્રિક માપદંડ હોઈ શકતો નથી

નંબર થિયરીનું સાંકડું ક્ષેત્ર, અને તેથી કોઈપણ વિજ્ઞાન જે વાપરે છે

અંકગણિત સ્વાભાવિક રીતે, આ પરિણામ સત્યની વિભાવનાને ફોર્ટીઓરી લાગુ કરે છે

જ્ઞાનના કોઈપણ બિન-ગાણિતિક ક્ષેત્રમાં કે જેમાં તે વ્યાપકપણે છે

અંકગણિતનો ઉપયોગ થાય છે.

કાર્લ પોપર

1. સમસ્યાનું નિવેદન

1.1.1. આલ્ફાબેટ

1.1.2. ઘણા સાચા નિવેદનો

1.1.3. ભાષાની મૂળભૂત જોડી

1.2. "અયોગ્ય"

"અપ્રુવેબલ" એટલે પુરાવા વગર.

1.3. પુરાવો

આમ, અમારી અંતિમ વ્યાખ્યા નીચે મુજબ છે:

ટ્રિપલ સંતોષકારક પરિસ્થિતિઓ (1)-(3) એ મૂળાક્ષરો L પરની અનુમાણિક સિસ્ટમ કહેવાય છે.

1.4. અપૂર્ણતા પ્રમેયને ચોક્કસ રીતે ઘડવાનો પ્રયાસ

1.4.1. પ્રથમ પ્રયાસ

"આલ્ફાબેટીક લેંગ્વેજ L ની મૂળભૂત જોડી અને L પર ડિડક્ટિવ સિસ્ટમ માટે અમુક શરતો હેઠળ, T માં હંમેશા એવો શબ્દ હોય છે જેનો કોઈ પુરાવો નથી." આ વિકલ્પ હજુ પણ અસ્પષ્ટ લાગે છે. ખાસ કરીને, અમે ઇચ્છીએ છીએ તેટલી ડિડક્ટિવ સિસ્ટમ્સ સાથે સરળતાથી આવી શકીશું જેમાં બહુ ઓછા સાબિત શબ્દો છે. ઉદાહરણ તરીકે, ખાલી આનુમાનિક પ્રણાલીમાં (જ્યાં P =?) એવા કોઈ શબ્દો નથી કે જેમાં પુરાવા હોય.

1.4.2. બીજો પ્રયાસ

જો કે, આવા નિવેદન દેખીતી રીતે ખોટું છે, કારણ કે તે માત્ર એક આનુમાનિક સિસ્ટમ લેવી જરૂરી છે જેમાં P = L, P = P? u?(p) = p બધા p માટે P?; પછી L માંથી દરેક શબ્દ? તુચ્છ સાબિત છે. તેથી, આપણે કઈ ડિડક્ટિવ સિસ્ટમ્સનો ઉપયોગ કરીએ છીએ તેના પર આપણે અમુક મર્યાદા સ્વીકારવાની જરૂર છે.

1.5. સુસંગતતા

માત્ર "સાચા નિવેદનો", એટલે કે, માત્ર T ના શબ્દો જ સાબિત થઈ શકે તેવી માંગ કરવી એકદમ સ્વાભાવિક છે. અમે કહીશું કે આનુમાનિક પ્રણાલી મૂળભૂત જોડીના સંદર્ભમાં સુસંગત છે જો?(P)?T. બધી અનુગામી ચર્ચાઓમાં અમને ફક્ત આવી સુસંગત અનુમાનિત પ્રણાલીઓમાં જ રસ હશે. જો આપણને કોઈ ભાષા આપવામાં આવે, તો તે એક સુસંગત અનુમાણિક પ્રણાલી શોધવાનું અત્યંત આકર્ષક હશે જેમાં દરેક સાચા નિવેદનનો પુરાવો હશે. ગોડેલના પ્રમેયનું સંસ્કરણ જે અમને રુચિ ધરાવે છે તે ચોક્કસપણે જણાવે છે કે મૂળભૂત જોડીને લગતી કેટલીક શરતો હેઠળ, આવી અનુમાણિક સિસ્ટમ શોધવી અશક્ય છે.

1.6. પૂર્ણતા

એવું કહેવાય છે કે મૂળભૂત જોડીના સંદર્ભમાં કપાતાત્મક સિસ્ટમ પૂર્ણ છે, જો કે?(P)?T. પછી અપૂર્ણતા પ્રમેયની અમારી રચના નીચેનું સ્વરૂપ લે છે:

મૂળભૂત જોડીને લગતી અમુક શરતો હેઠળ, L પર કોઈ આનુમાનિક પ્રણાલી નથી જે સંપૂર્ણ અને પ્રમાણમાં સુસંગત હોય.