§ 11. વર્તુળમાં પ્રમાણસર વિભાગો.
1. બ્રિજ ટ્રસ વર્તુળના ચાપ દ્વારા મર્યાદિત છે (ફિગ. 38); ટ્રસ ઊંચાઈ MK = h= 3 મીટર; AMB span R = 8.5 m ની ચાપ ત્રિજ્યા પુલના AB ગાળાની લંબાઈની ગણતરી કરો.
2. અર્ધ-સિલિન્ડર જેવા આકારના વોલ્ટેડ ભોંયરામાં, બે પોસ્ટ્સ મૂકવી આવશ્યક છે, દરેક નજીકની દિવાલથી સમાન અંતરે. જો તળિયે બેઝમેન્ટની પહોળાઈ 4 મીટર હોય અને રેક્સ વચ્ચેનું અંતર 2 મીટર હોય તો રેક્સની ઊંચાઈ નક્કી કરો.
3. 1) વર્તુળ પરના બિંદુ પરથી વ્યાસનો લંબ દોરવામાં આવે છે. વ્યાસના વિભાગોની નીચેની લંબાઈ સાથે તેની લંબાઈ નક્કી કરો: 1) 12 સેમી અને 3 સેમી; 2) 16 સેમી અને 9 સેમી, 3) 2 મી અને 5 ડીએમ.
2) વ્યાસના બિંદુથી વર્તુળ સાથે આંતરછેદ સુધી એક લંબ દોરવામાં આવે છે. આ કાટખૂણેની લંબાઈ નક્કી કરો જો વ્યાસ 40 સે.મી. હોય, અને દોરેલા કાટખૂણે વ્યાસના એક છેડામાંથી 8 સે.મી.
4. વ્યાસને સેગમેન્ટ્સમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: AC = 8 dm અને CB = 5 m, અને બિંદુ C થી આ લંબાઈની એક લંબ સીડી દોરવામાં આવે છે. જ્યારે CD બરાબર હોય ત્યારે વર્તુળની સાપેક્ષ બિંદુ D ની સ્થિતિ સૂચવો: 1) 15 dm; 2) 2 મી; 3) 23 ડીએમ.
5. DIA-અર્ધવર્તુળ; CD વ્યાસ AB માટે લંબ છે. આવશ્યક:
1) DB નક્કી કરો જો AD = 25 અને CD = 10;
2) AB નક્કી કરો જો AD: DB = 4: 9 અને CD = 30;
3) AD નક્કી કરો જો CD=3AD અને ત્રિજ્યા છે આર;
4) AD નક્કી કરો જો AB = 50 અને CD = 15 હોય.
6. 1) વર્તુળ પરના બિંદુથી 34 સે.મી.ની ત્રિજ્યાથી નીચે આવેલું લંબ તેને 8:9 (કેન્દ્રથી શરૂ કરીને) ના ગુણોત્તરમાં વિભાજીત કરે છે. કાટખૂણેની લંબાઈ નક્કી કરો.
2) તાર BDC ત્રિજ્યા ODA ને લંબ છે. BC નક્કી કરો જો OA = 25 cm અને AD = 10 cm.
3) બે કેન્દ્રિત વર્તુળો દ્વારા રચાયેલી રિંગની પહોળાઈ 8 ડીએમ છે; વર્તુળોની ત્રિજ્યા નક્કી કરો.
7. ભાગોની સરખામણીનો ઉપયોગ કરીને, સાબિત કરો કે બે અસમાન સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ તેમના ભૌમિતિક સરેરાશ કરતા મોટો છે.
8. સેગમેન્ટ 3 સેમી અને 5 સેમી વચ્ચે સરેરાશ પ્રમાણસર હોય તેવા સેગમેન્ટનું નિર્માણ કરો.
9. આના સમાન સેગમેન્ટ બનાવો: √15 ; √10; √6; √3.
10.ADB વ્યાસ; એસી તાર; સીડી વ્યાસ માટે લંબ છે. AC તાર નક્કી કરો: 1) જો AB = 2 m અને AD = 0.5 m; 2) જો AD = 4 cm અને DB = 5 cm; 3) જો AB=20 m અને DB= 15 m.
11. એબી વ્યાસ; એસી તાર; AD એ તેનું AB વ્યાસ પરનું પ્રક્ષેપણ છે. આવશ્યક:
1) AD નક્કી કરો જો AB = 18 cm અને AC = 12 cm;
2) ત્રિજ્યા નક્કી કરો જો AC=12 m અને AD=4 m;
3) DB નક્કી કરો જો AC = 24 cm અને DB = 7/9 AD.
12. એબી વ્યાસ; એસી તાર; AD એ તેનું AB વ્યાસ પરનું પ્રક્ષેપણ છે. આવશ્યક:
1) AC નક્કી કરો જો AB = 35 cm અને AC = 5AD;
2) એસી નક્કી કરો જો ત્રિજ્યા છે આરઅને AC=DB.
13. બે તાર વર્તુળની અંદર છેદે છે. એક તારના સેગમેન્ટ્સ 24 સેમી અને 14 સેમી છે; અન્ય તારનો એક સેગમેન્ટ 28 સેમી જેટલો છે તેનો બીજો સેગમેન્ટ નક્કી કરો.
14. બ્રિજ ટ્રસ એક વર્તુળના ચાપ દ્વારા મર્યાદિત છે (ફિગ. 38); પુલની લંબાઈ AB = 6 મીટર, ઊંચાઈ A = 1.2 મીટર ચાપની ત્રિજ્યા નક્કી કરો (OM = R).
15. બે સેગમેન્ટ્સ AB અને CD બિંદુ M પર છેદે છે જેથી MA = 7 cm, MB = 21 cm,
MC = 3 cm અને MD = 16 cm શું બિંદુઓ A, B, C અને D સમાન વર્તુળ પર આવેલા છે?
16. લોલક લંબાઈ MA = l= 1 મીટર (ફિગ. 39), તેની લિફ્ટિંગ ઊંચાઈ, જ્યારે કોણ α, CA = દ્વારા વિચલિત થાય છે h= 10 cm બિંદુ B નું MA (BC = એક્સ).
17. રેલ્વે ટ્રેક પહોળાઈ ટ્રાન્સફર કરવા b= 1.524 મી જગ્યાએ એબી (ફિગ. 40) એક રાઉન્ડિંગ બનાવવામાં આવ્યું હતું; તે બહાર આવ્યું છે કે ; તે BC = એ= 42.4 મીટર વક્રતા OA = R ની ત્રિજ્યા નક્કી કરો.
18. તાર AMB બિંદુ M ની આસપાસ ફરે છે જેથી સેગમેન્ટ MA 2 1/2 ગણો વધ્યો છે. સેગમેન્ટ MB કેવી રીતે બદલાયો છે?
19. 1) બે છેદતી તારમાંથી, એકને 48 સેમી અને 3 સેમીના ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવી હતી, અને અન્યને અડધા ભાગમાં વહેંચવામાં આવી હતી. બીજા તારની લંબાઈ નક્કી કરો.
2) બે છેદતી તારમાંથી, એકને 12 મીટર અને 18 મીટરના ભાગોમાં અને બીજીને 3:8 ના ગુણોત્તરમાં વહેંચવામાં આવી હતી. બીજા તારની લંબાઈ નક્કી કરો.
20. બે છેદતી તારમાંથી પ્રથમ 32 સેમી છે અને બીજી તારનાં ભાગો સમાન છે
12 cm અને 16 cm પ્રથમ તારનાં ભાગો નક્કી કરો.
21. સેકન્ટ ABC ને બાહ્ય બિંદુ A ની આસપાસ ફેરવવામાં આવે છે જેથી તેનો બાહ્ય ભાગ AB ત્રણ ગણો ઘટે. સેકન્ટની લંબાઈ કેવી રીતે બદલાઈ?
22. ADB અને AEC ને વર્તુળને છેદતી બે સીધી રેખાઓ થવા દો: પ્રથમ બિંદુ D અને B પર, બીજી બિંદુ E અને C પર. જરૂરી છે:
1) AE નક્કી કરો જો AD = 5 cm, DB = 15 cm અને AC = 25 cm;
2) BD નક્કી કરો જો AB = 24 m, AC = 16 m અને EC = 10 m;
3) AB અને AC નક્કી કરો, જો AB+AC = 50 m, અને AD: AE = 3:7.
23. વર્તુળની ત્રિજ્યા 7 સેમી છે કેન્દ્રથી 9 સેમી દૂર, એક સેકન્ટ દોરવામાં આવે છે જેથી તે વર્તુળને અડધા ભાગમાં વહેંચે. આ સેકન્ટની લંબાઈ નક્કી કરો.
24. MAB અને MCD એક જ વર્તુળના બે સેકન્ટ છે. આવશ્યક:
1) CD નક્કી કરો જો MV = 1 m, MD = 15 dm અને CD = MA;
2) MD નક્કી કરો જો MA = 18 cm, AB = 12 cm અને MC: CD = 5:7;
3) AB નક્કી કરો જો AB = MS, MA = 20 અને CD = 11 હોય.
25. જ્યાં સુધી તેઓ એકબીજાને છેદે નહીં ત્યાં સુધી બે તાર લંબાય છે. જો તાર સમાન હોય તો પરિણામી એક્સ્ટેન્શનની લંબાઈ નક્કી કરો એઅને b, અને તેમની ચાલુતા આ રીતે સંબંધિત છે t:p.
26. સેકન્ટ અને સ્પર્શક એક બિંદુથી વર્તુળ તરફ દોરવામાં આવે છે. સ્પર્શકની લંબાઈ નક્કી કરો જો સેકન્ટના બાહ્ય અને આંતરિક ભાગો અનુક્રમે નીચેની સંખ્યાઓ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે: 1) 4 અને 5; 2) 2.25 અને 1.75; 3) 1 અને 2.
27. સ્પર્શક 20 સેમી છે, અને તે જ બિંદુથી દોરવામાં આવેલ સૌથી લાંબો સીકન્ટ 50 સેમી છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા નક્કી કરો.
28. એક સેકન્ટ તેના બાહ્ય ભાગ કરતા 2 1/4 ગણો મોટો હોય છે. તે જ બિંદુ પરથી દોરેલા સ્પર્શક કરતાં તે કેટલી વાર મોટી છે?
29. બે છેદતા વર્તુળોની સામાન્ય તાર વિસ્તરેલી છે, અને ચાલુ રાખવા પર લીધેલા બિંદુ પરથી સ્પર્શકો તેમની તરફ દોરવામાં આવે છે. સાબિત કરો કે તેઓ સમાન છે.
30. કોણ A ની એક બાજુ પર, નીચેના ભાગો એક પછી એક નાખવામાં આવે છે: AB = 6 cm અને BC = 8 cm; અને બીજી બાજુ એક સેગમેન્ટ છે AD = 10 cm એક વર્તુળ બિંદુ B, C અને D દ્વારા દોરવામાં આવ્યું છે. શોધો કે શું રેખા AD આ વર્તુળને સ્પર્શે છે, અને જો નહીં, તો પછી શું બિંદુ D પ્રથમ હશે (A માંથી ગણાય છે) અથવા આંતરછેદનો બીજો બિંદુ.
31. ત્યાં રહેવા દો: સમાન વર્તુળના AB-સ્પર્શક અને ACD-સેકન્ટ. આવશ્યક:
1) CD નક્કી કરો જો AB = 2 cm અને AD = 4 cm;
2) AD નક્કી કરો જો AC:CD = 4:5 અને AB = 12 cm;
3) AB નક્કી કરો જો AB = CD અને AC = હોય એ.
32. 1) તમે પૃથ્વીથી 4 કિમીની ઉંચાઈએ (પૃથ્વીની ત્રિજ્યા = 6370 કિમી છે) સુધી વધતા બલૂન (ફિગ. 41)થી કેટલા દૂર જોઈ શકો છો?
2) માઉન્ટ એલ્બ્રસ (કાકેશસમાં) સમુદ્ર સપાટીથી 5,600 મીટરની ઉંચાઈએ છે, તમે આ પર્વતની ટોચ પરથી કેટલી દૂર જોઈ શકો છો?
3) M - જમીનથી A મીટરની ઊંચાઈ સાથે અવલોકન બિંદુ (ફિગ. 42); પૃથ્વી ત્રિજ્યા R, MT= ડીસૌથી મોટું દૃશ્યમાન અંતર છે. તે સાબિત કરો ડી= √2R h+ h 2
ટિપ્પણી.કારણ કે h 2R ની સરખામણીમાં તેની નાનીતાને કારણે 2 hપરિણામ પર લગભગ કોઈ અસર થતી નથી, તો પછી તમે અંદાજિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો ડી≈ √2R h .
33. 1) એક બિંદુ પરથી આવતી સ્પર્શક અને સીકન્ટ રેખાઓ અનુક્રમે 20 cm અને 40 cm છે; સેકન્ટ કેન્દ્રથી 8 સેમી દૂર છે વર્તુળની ત્રિજ્યા નક્કી કરો.
2) કેન્દ્રથી તે બિંદુ સુધીનું અંતર નક્કી કરો કે જ્યાંથી સ્પર્શક અને સીકન્ટ નીકળે છે, જો તેઓ અનુક્રમે 4 સેમી અને 8 સે.મી.ના સમાન હોય અને સેકન્ટને કેન્દ્રથી દૂર કરવામાં આવે તો
12 સે.મી.
34. 1) એક સામાન્ય બિંદુ પરથી, એક સ્પર્શક અને સેકન્ટ વર્તુળ તરફ દોરવામાં આવે છે. સ્પર્શકની લંબાઈ નક્કી કરો જો તે સેકન્ટના બાહ્ય ભાગ કરતા 5 સેમી મોટી હોય અને તે જ રકમ આંતરિક ભાગ કરતા ઓછી હોય.
2) એક સીકન્ટ અને સ્પર્શક એક બિંદુથી વર્તુળ તરફ દોરવામાં આવે છે. સેકન્ટ બરાબર છે એ, અને તેનો આંતરિક ભાગ બાહ્ય સેગમેન્ટ કરતા સ્પર્શકની લંબાઈથી મોટો છે. સ્પર્શક નક્કી કરો.
36. સ્પર્શક અને સેકન્ટ એક બિંદુથી એક વર્તુળ તરફ દોરવામાં આવે છે. સ્પર્શક એ સેકન્ટના આંતરિક અને બાહ્ય વિભાગો કરતાં અનુક્રમે 2 સેમી અને 4 સેમી મોટી હોય છે, સીકન્ટની લંબાઈ નક્કી કરો.
36. સ્પર્શક અને સેકન્ટ એક બિંદુથી વર્તુળ તરફ દોરવામાં આવે છે. તેમની લંબાઈ નક્કી કરો જો સ્પર્શક સેકન્ટના આંતરિક ભાગ કરતા 20 સેમી ઓછી અને બાહ્ય સેગમેન્ટ કરતા 8 સેમી વધુ હોય.
37. 1) સેકન્ટ અને સ્પર્શક એક બિંદુ પરથી વર્તુળ તરફ દોરવામાં આવે છે. તેમનો સરવાળો 30 સેમી છે, અને સેકન્ટનો આંતરિક ભાગ સ્પર્શક કરતા 2 સેમી ઓછો છે. સેકન્ટ અને ટેન્જેન્ટ નક્કી કરો.
2) એક સીકન્ટ અને સ્પર્શક એક બિંદુથી વર્તુળ તરફ દોરવામાં આવે છે. તેમનો સરવાળો 15 સેમી છે, અને સેકન્ટનો બાહ્ય ભાગ સ્પર્શક કરતા 2 સેમી ઓછો છે. સેકન્ટ અને ટેન્જેન્ટ નક્કી કરો.
38. સેગમેન્ટ AB એ અંતર BC સુધી વિસ્તૃત છે. વર્તુળો AB અને AC પર, વ્યાસ પ્રમાણે બાંધવામાં આવે છે. એક કાટખૂણે BD બિંદુ B પર સેગમેન્ટ AC તરફ દોરવામાં આવે છે જ્યાં સુધી તે મોટા વર્તુળ સાથે છેદે નહીં. બિંદુ C થી, એક સ્પર્શક CK નાના વર્તુળ તરફ દોરવામાં આવે છે. સાબિત કરો કે CD = SC.
39. બે સમાંતર સ્પર્શક અને તેમને છેદતી ત્રીજી સ્પર્શક આપેલ વર્તુળ તરફ દોરવામાં આવે છે. ત્રિજ્યા એ ત્રીજા સ્પર્શકના વિભાગો વચ્ચેનું સરેરાશ પ્રમાણ છે. સાબિત કરો.
40. એક બીજાથી 15 dm ના અંતરે બે સમાંતર રેખાઓ આપેલ છે; તેમની વચ્ચે એક બિંદુ M તેમાંથી 3 dm ના અંતરે આપેલ છે. બિંદુ M દ્વારા વર્તુળ દોરવામાં આવે છે, બંને સમાંતર માટે સ્પર્શક. આ સમાંતરમાંથી એક પર કેન્દ્ર અને બિંદુ M ના અંદાજો વચ્ચેનું અંતર નક્કી કરો.
41. ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં આરએક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ અંકિત થયેલ છે જેની ઊંચાઈ અને આધારનો સરવાળો વર્તુળના વ્યાસ જેટલો છે. ઊંચાઈ નક્કી કરો.
42. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની પરિક્રમા કરેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા નક્કી કરો: 1) જો આધાર 16 સેમી હોય અને ઊંચાઈ 4 સેમી હોય; 2) જો બાજુ 12 dm છે અને ઊંચાઈ 9 dm છે; 3) જો બાજુ 15 મીટર હોય અને આધાર 18 મીટર હોય.
43. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, આધાર 48 dm છે અને બાજુ 30 dm છે. વર્તુળોની ત્રિજ્યા, પરિઘ અને અંકિત, અને તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર નક્કી કરો.
44. ત્રિજ્યા છે આર, આ ચાપનો તાર બરાબર છે એ. ડબલ ચાપની તાર નક્કી કરો.
45. વર્તુળની ત્રિજ્યા 8 dm છે; તાર AB 12 dm છે. બિંદુ A દ્વારા સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે, અને બિંદુ B થી સ્પર્શકને સમાંતર BC તાર છે. એરક્રાફ્ટના સ્પર્શક અને તાર વચ્ચેનું અંતર નક્કી કરો.
46. બિંદુ A રેખા MN થી અંતર દ્વારા દૂર કરવામાં આવે છે સાથે. ત્રિજ્યા આપેલ છે આરવર્તુળનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે જેથી તે બિંદુ Aમાંથી પસાર થાય અને MN રેખાને સ્પર્શે. પ્રાપ્ત સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુ અને આપેલ બિંદુ A વચ્ચેનું અંતર નક્કી કરો.
પ્રમેય 111. 1) વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુથી વ્યાસ પર દોરવામાં આવેલ લંબ એ વ્યાસના ભાગો વચ્ચે સરેરાશ પ્રમાણસર હોય છે. આ કાટખૂણે ક્યારેક ઓર્ડિનેટ કહેવાય છે.
2) વ્યાસના અંતને વર્તુળ પરના બિંદુ સાથે જોડતી તાર એ વ્યાસ અને તારને અડીને આવેલા સેગમેન્ટ વચ્ચે સરેરાશ પ્રમાણસર હોય છે.
આપેલ. ચાલો કાટખૂણે સીડીને વર્તુળના અમુક બિંદુ C થી વ્યાસ AB સુધી નીચે કરીએ (ફિગ. 169).
તમારે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે 1) AD/CD = CD/DB, અને એ પણ 2) AD/AC = AC/AB.
પુરાવો. ચાલો બિંદુ C ને AB વ્યાસના છેડા સાથે જોડીએ, પછી બિંદુ C પર જમણો ખૂણો ACB બને છે, જેમાં CD ખંડ એ કાટખૂણાના શિરોબિંદુથી કર્ણાકાર સુધી નીચે પડેલો લંબ છે.
પ્રમેય 100 ના આધારે, નીચેના પ્રમાણ ધરાવે છે:
પ્રમેય 101 પ્રમાણ પર આધારિત:
AD/AC = AC/AB, DB/CB = CB/AB (1)
પરિણામ. તારોના ચોરસને અનુરૂપ વ્યાસના સેગમેન્ટ્સ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
પુરાવો. પ્રમાણથી (1) સમાનતાઓ અનુસરે છે:
AC 2 = AB AD, CB 2 = AB BD
વિભાજન દ્વારા આપણે ક્યાંથી શોધીએ છીએ:
AC 2 /CB 2 = AD/DB.
પ્રમેય 112. છેદતી તારોના ભાગો એકબીજાના વિપરીત પ્રમાણમાં હોય છે.
બે છેદતી તાર AB અને CD (ફિગ. 170) આપેલ છે.
તે સાબિત કરવું જરૂરી છે
એટલે કે પ્રથમ તારનો મોટો ભાગ બીજાના મોટા ભાગ માટે છે કારણ કે બીજા તારનો નાનો ભાગ પ્રથમના નાના ભાગ માટે છે.
પુરાવો. ચાલો બિંદુ A ને C સાથે અને B ને D સાથે જોડીએ, પછી બે સમાન ત્રિકોણ ACE અને DBE બને છે, કારણ કે બિંદુ E પરના ખૂણાઓ લંબરૂપ સમાન છે, ∠CAB = ∠CDB ચાપ CB ના છેડા પર આરામ કરે છે, ∠ACD = ∠ABD ચાપ A.D ના છેડા પર આરામ કરે છે.
ત્રિકોણ ACE અને DBE ની સમાનતા પરથી, પ્રમાણ નીચે મુજબ છે:
BE/DE = CE/AE (a)
પ્રમાણ (a) થી સમાનતા નીચે મુજબ છે:
BE · AE = DE · CE
દર્શાવે છે કે એક તારનાં સેગમેન્ટ્સનું ઉત્પાદન બીજા તારનાં સેગમેન્ટ્સના ગુણાંક જેટલું છે.
પ્રમેય 113. વર્તુળની બહાર એક જ બિંદુ પરથી દોરેલા બે સેકન્ટ્સ તેમના બાહ્ય ભાગોના વિપરિત પ્રમાણસર હોય છે.
બિંદુ A (આકૃતિ 171) થી દોરેલા બે સેકન્ટ્સ AB અને AC આપેલ છે.
તે સાબિત કરવું જરૂરી છે
એટલે કે, પ્રથમ સેકન્ટ બીજા સાથે સંબંધિત છે, જેમ કે બીજાનો બાહ્ય ભાગ પ્રથમ સેકન્ટના બાહ્ય ભાગ સાથે સંબંધિત છે.
પુરાવો. ચાલો બિંદુઓ D ને C સાથે અને B ને E સાથે જોડીએ.
બે ત્રિકોણ ∠ABE અને ∠ADC સમાન છે, કારણ કે કોણ A સામાન્ય છે, B = C સમાન ચાપ DE ના છેડા દ્વારા આધારભૂત છે, તેથી ∠ADC = ∠AEB.
ADC અને ABE ત્રિકોણની સમાનતા પરથી, પ્રમાણ નીચે મુજબ છે:
AC/AB = AD/AE (CHD).
આ જ પ્રમાણથી સમાનતા આવે છે
AC · AE = AB · AD
તે દર્શાવે છે સેકન્ટ અને તેના બાહ્ય સેગમેન્ટનું ઉત્પાદન બીજા સેકન્ટ અને તેના સેગમેન્ટના ઉત્પાદન સમાન છે(જો સેકન્ટ્સ સમાન બિંદુ છોડી દે છે).
પ્રમેય 114. સ્પર્શક સમગ્ર સેકન્ટ અને તેના બાહ્ય ભાગ વચ્ચે સરેરાશ પ્રમાણસર હોય છે.
સ્પર્શક AB અને સેકન્ટ BC આપવામાં આવે છે (ફિગ. 172).
તે સાબિત કરવું જરૂરી છે
પુરાવો. ચાલો બિંદુ A ને બિંદુ C અને D સાથે જોડીએ.
ત્રિકોણ ABC અને ABD સમાન છે, કારણ કે કોણ B સામાન્ય છે, ∠BAD = ∠ACD, તેથી ∠CAB = ∠ADB.
BC/AB = AB/BD (CHD).
આ પ્રમાણથી સમાનતા અનુસરે છે:
AB 2 = BC BD
તે દર્શાવે છે સ્પર્શકનો ચોરસ સેકન્ટ અને તેના બાહ્ય ભાગના ગુણાંક જેટલો છે.
ચક્રીય ચતુષ્કોણની બાજુઓની મિલકત
પ્રમેય 115. વર્તુળમાં કોતરેલા કોઈપણ ચતુષ્કોણમાં, કર્ણનું ઉત્પાદન વિરુદ્ધ બાજુઓના ઉત્પાદનના સરવાળા જેટલું હોય છે.
ટોલેમીના પ્રમેય તરીકે ઓળખાતી આ ધારણા 2જી સદી એડીમાં ટોલેમીની કૃતિ "અલાજેસ્ટે" માં પ્રથમ વખત દેખાય છે.
ચક્રીય ચતુર્ભુજ ABCD (ફિગ. 173) અને દોરેલા કર્ણ AC અને BD આપેલ છે.
આપણે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે AC · BD = AB · CD + BC · AD.
પુરાવો. ચાલો સીધી રેખા BE દોરીએ જેથી કોણ EBC કોણ ABD બરાબર હોય. બે ત્રિકોણ ABD અને BEC સમાન છે, કારણ કે બાંધકામ દ્વારા ∠ABD = ∠CBE, ∠ADB = ∠BCE એ સમાન ચાપ AB પર આરામ કરે છે, તેથી,
આ ત્રિકોણની સમાનતા પરથી પ્રમાણ નીચે મુજબ છે:
BC/BD = EC/AD (a)
ત્રિકોણ ABE અને BCD સમાન છે, કારણ કે બાંધકામ દ્વારા ∠ABE = ∠DBC, ∠BAE = ∠BDC ચાપ BC દ્વારા આધારભૂત છે, તેથી,
∠BEA = ∠BCD.
આ ત્રિકોણની સમાનતા પરથી પ્રમાણ નીચે મુજબ છે:
AB/BD = AE/CD (b)
પ્રમાણ (a) અને (b) થી સમાનતાઓ અનુસરે છે:
BC AD = BD EC
AB · CD = BD · AE
આ સમાનતાઓ ઉમેરીને, અમારી પાસે છે:
બી.સી. AD + AB CD = BD EC + BD AE = BD (EC + AE)
ત્યારથી EC + AE = AC, પછી
બી.ડી · AC = BC · AD + AB · CD (CHT).
પ્રમેય 116. કોઈપણ ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં, કર્ણ એ કર્ણના છેડા પર આધારિત બાજુઓના ઉત્પાદનોનો સરવાળો છે.
ચક્રીય ચતુર્ભુજ ABCD (ફિગ. 174) અને દોરેલા કર્ણ AC અને BD આપેલ છે.
તે સાબિત કરવું જરૂરી છે
BD/AC = (એડી DC + AB BC) / (BC CD + AD AB)
પુરાવો. a) બિંદુ B પરથી આપણે DC ની બરાબર BE ચાપ દોરીએ છીએ અને બિંદુ E ને A, B, D સાથે જોડીએ છીએ.
ચક્રીય ચતુર્ભુજ ABED માટે સમાનતા ધરાવે છે:
AE · BD = AD · BE + AB · DE.
બાંધકામ દ્વારા BE = CD હોવાથી, DE = BC, ત્યારથી ◡DE = ◡DC + ◡CE અને ◡BC = ◡BE + ◡CE.
BE અને DE ને તેમના મૂલ્યો સાથે બદલીને, અમારી પાસે સમાનતા છે:
AE · BD = AD · CD + AB · BC (a)
b) બિંદુ A થી વિલંબ કરવાથી ચાપ BC સમાન ચાપ AF અને બિંદુ F ને બિંદુ A, D, C સાથે જોડવાથી, આપણી પાસે ચતુર્ભુજ AFCD માટે સમાનતા છે:
AC DF = AF CD + AD CF
આ સમાનતામાં, બાંધકામ દ્વારા AF = BC, CF = AB (◡CF = ◡BC + ◡BF અને ◡AB = ◡AF + ◡BF = ◡BC + ◡BF માટે)
AF અને CF ના મૂલ્યોને તેમના મૂલ્યો સાથે બદલીને, અમે સમાનતા શોધીએ છીએ:
AC DF = BC CD + AD AB (b)
સમાનતા (a) અને (b) માં, સેગમેન્ટ્સ AE અને DF સમાન છે, કારણ કે
◡ADE = AD + DE = ◡AD + ◡BC = ◡AD + ◡AF = ◡DAF
સમાનતાઓ (a) અને (b) ને અલગ કરીને, અમે શોધીએ છીએ:
BC/AD = (AD C D + AB · BC) / (BC · CD + AD · AB)(CHTD).
ત્રિકોણ ABC લંબચોરસ છે (ફિગ. 11), C = 90°, CD એ AB માટે લંબ છે, BD અને DA એ કર્ણ AB પરના પગ BC અને AC નું અનુમાન છે. પ્રમેય: 1) કાટખૂણાના શિરોબિંદુથી કર્ણ સુધી દોરવામાં આવેલી ઊંચાઈ એ કર્ણ પરના પગના અંદાજો વચ્ચેનું સરેરાશ પ્રમાણસર મૂલ્ય છે, એટલે કે. ; 2) દરેક પગ એ કર્ણ અને આ પગના કર્ણ પરના પ્રક્ષેપણ વચ્ચેનું સરેરાશ પ્રમાણસર મૂલ્ય છે, એટલે કે, .
પાયથાગોરિયન પ્રમેય. કર્ણનો વર્ગ પગના ચોરસના સરવાળા જેટલો છે.
|
|
પ્રમેય. જો અંદર લેવામાં આવેલા બિંદુ દ્વારા
વર્તુળ, વ્યાસ અને મનસ્વી તાર દોરવામાં આવે છે,
પછી વ્યાસના ભાગોની લંબાઈનું ઉત્પાદન બરાબર છે
પરંતુ તાર સેગમેન્ટની લંબાઈના ઉત્પાદન માટે, એટલે કે. (ફિગ. 12).
|
પરિણામ. છેદતી તારોના વિભાગોની લંબાઈના ઉત્પાદનો સમાન છે, એટલે કે.
પ્રમેય. જો વર્તુળની બહારના બિંદુ પરથી સ્પર્શક અને સેકન્ટ દોરવામાં આવે છે, તો પછી સમગ્ર સીકન્ટ અને તેના બાહ્ય ભાગનું ઉત્પાદન સ્પર્શકના ચોરસ જેટલું છે, એટલે કે. (ફિગ. 13).
|
વ્યાખ્યાઓ. કાટકોણ ત્રિકોણમાં એક્યુટ એંગલની સાઈન એ આ કોણની સામેના પગનો કર્ણાણ સાથેનો ગુણોત્તર છે, કોસાઈન એ કર્ણોની બાજુના પગનો ગુણોત્તર છે, સ્પર્શક એ અડીને બાજુના પગના વિરુદ્ધના પગનો ગુણોત્તર છે, કોટેજન્ટ એ છે. વિરુદ્ધ બાજુના પગનો ગુણોત્તર.
વર્તુળની બહાર બિંદુ A માંથી સ્પર્શક અને સેકન્ટ દોરવામાં આવે છે. A થી સ્પર્શક બિંદુ સુધીનું અંતર 16 સેમી છે, અને A થી વર્તુળ સાથેના સીકન્ટના આંતરછેદના બિંદુઓમાંથી એક સુધીનું અંતર 32 સેમી છે જો સીકન્ટ તેના કેન્દ્રથી 5 સેમી દૂર હોય તો તેની ત્રિજ્યા શોધો.
|
ફિગ માં. 14 AB – કેન્દ્ર O, AD – સેકન્ટ સાથે વર્તુળની સ્પર્શક. OK એ DC માટે લંબ છે, AB = 16 cm, OK = 5 cm પ્રમેય દ્વારા સ્પર્શક અને સેકન્ટ્સ અથવા, AC = 8 cm એક વર્તુળની અંદર છેદતી પ્રમેય દ્વારા, પરંતુ DK = KC , તેથી EP એ તાર DC માટે લંબરૂપ વ્યાસ છે. અમે તે મેળવીશું. આ સમાનતામાં આપણે EK ને , KR બાય , DK ને 12 વડે બદલીએ છીએ, આપણને મળે છે: OE = 13 cm – જરૂરી ત્રિજ્યા.
104. લંબચોરસની બાજુઓ 30 અને 40 cm છે અંતર શોધો
લંબચોરસના શિરોબિંદુથી કર્ણ સુધી જે આ શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતું નથી.
105. સમચતુર્ભુજની પરિમિતિ 1 મીટર છે એક કર્ણ બીજા કરતા લાંબો છે
1 ડીએમ. રોમ્બસના કર્ણની ગણતરી કરો.
વર્તુળમાં, કેન્દ્રની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર 36 અને 48 મીમી લંબાઈની સમાંતર તાર દોરવામાં આવે છે, તેમની વચ્ચેનું અંતર 42 મીમી છે. વર્તુળની ત્રિજ્યાની ગણતરી કરો.
કાટકોણ ત્રિકોણના પગ 5:6 ના ગુણોત્તરમાં છે, કર્ણ 122 સે.મી.
એક બિંદુથી વર્તુળ તરફ દોરવામાં આવેલ સ્પર્શક અને સેકન્ટ પરસ્પર લંબ છે. સ્પર્શક 12 છે, સેકન્ટનો આંતરિક ભાગ 10 છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.
કેન્દ્રથી 25 સેમી દૂર એક બિંદુથી 7 સે.મી.ની ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળ તરફ બે સ્પર્શકણો દોરવામાં આવે છે.
બે કેન્દ્રિત વર્તુળો દ્વારા રચાયેલી રિંગની પહોળાઈ 8 dm છે, વર્તુળોની ત્રિજ્યા શોધો.
વર્તુળની ત્રિજ્યા કેન્દ્રથી દૂરના બિંદુથી 7 સેમી છે
9 સે.મી., એક સેકન્ટ દોરવામાં આવે છે જેથી તે વર્તુળ દ્વારા સમાન ભાગોમાં વિભાજિત થાય. આ સેકન્ટની લંબાઈ શોધો.
વર્તુળની સ્પર્શક 20 સેમી છે, અને તે જ બિંદુથી દોરવામાં આવેલ સૌથી લાંબો સીકન્ટ 50 સેમી છે.
સ્પર્શક અને સેકન્ટ એક બિંદુથી વર્તુળ તરફ દોરવામાં આવે છે, જેની લંબાઈ a છે, અને તેનો આંતરિક ભાગ સ્પર્શકની લંબાઈ દ્વારા બાહ્ય સેગમેન્ટ કરતા મોટો છે. સ્પર્શકની લંબાઈ શોધો.
ત્રિજ્યા R ના વર્તુળમાં સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ અંકિત થયેલ છે, તેની ઊંચાઈ અને આધારનો સરવાળો વર્તુળના વ્યાસ જેટલો છે. ત્રિકોણની ઊંચાઈ શોધો.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, આધાર અને બાજુ અનુક્રમે 48 અને 30 ઇંચ છે. વર્તુળોની ત્રિજ્યાની ગણતરી કરો, પરિક્રમિત અને અંકિત, અને તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેના અંતરની ગણતરી કરો.
ચાલો પહેલા આપેલ વર્તુળ (ફિગ. 288) ના બાહ્ય, બિંદુ A થી દોરેલા સેકન્ટ AC ને ધ્યાનમાં લઈએ. તે જ બિંદુથી આપણે સ્પર્શક AT દોરીએ છીએ. આપણે બિંદુ A અને તેની નજીકના આંતરછેદના બિંદુ વચ્ચેના સેગમેન્ટને વર્તુળના બાહ્ય ભાગ સાથે સેકન્ટ કહીશું (ફિગ. 288 માં સેગમેન્ટ AB), જ્યારે છેદનના બે બિંદુઓમાંથી વધુ દૂર સુધીનો સેગમેન્ટ AC સરળ છે. એક સેકન્ટ. A થી સ્પર્શ બિંદુ સુધીના સ્પર્શક ખંડને સંક્ષિપ્તમાં સ્પર્શક પણ કહેવાય છે. પછી તે વાજબી છે
પ્રમેય. સેકન્ટ અને તેના બાહ્ય ભાગનું ઉત્પાદન સ્પર્શકના ચોરસ જેટલું છે.
પુરાવો. ચાલો બિંદુઓને જોડીએ. ત્રિકોણ ACT અને BT A સમાન છે, કારણ કે શિરોબિંદુ A પરનો કોણ સામાન્ય છે, અને કોણ ACT સમાન છે, કારણ કે તે બંને સમાન ચાપ ટીવીના અડધાથી માપવામાં આવે છે. તેથી, અહીંથી અમને જરૂરી પરિણામ મળે છે:
સ્પર્શક એ સમાન બિંદુ અને તેના બાહ્ય ભાગમાંથી દોરવામાં આવેલ સીકન્ટ વચ્ચેના ભૌમિતિક સરેરાશની બરાબર છે.
પરિણામ. આપેલ બિંદુ A દ્વારા દોરવામાં આવેલ કોઈપણ સેકન્ટ માટે, તેની લંબાઈ અને બાહ્ય ભાગનું ઉત્પાદન સ્થિર છે:
ચાલો હવે આંતરિક બિંદુ પર છેદતી તારોને ધ્યાનમાં લઈએ. નિવેદન સાચું છે:
જો બે તાર એકબીજાને છેદે છે, તો એક તારનાં સેગમેન્ટ્સનું ઉત્પાદન બીજાનાં સેગમેન્ટ્સના ગુણાંક જેટલું છે (એટલે કે સેગમેન્ટ્સ જેમાં તાર છેદાય છે તે બિંદુ દ્વારા વિભાજિત થાય છે).
તેથી, ફિગમાં. 289 તાર AB અને CD બિંદુ M પર છેદે છે, અને આપણી પાસે બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો,
આપેલ બિંદુ M માટે, તેમાંથી પસાર થતી કોઈપણ તારને વિભાજિત કરે છે તે વિભાગોનું ઉત્પાદન સ્થિર છે.
આ સાબિત કરવા માટે, અમે નોંધીએ છીએ કે ત્રિકોણ MBC અને MAD સમાન છે: કોણ CMV અને DMA વર્ટિકલ છે, કોણ MAD અને MCB સમાન ચાપ પર આરામ કરે છે. અહીંથી આપણે શોધીએ છીએ
Q.E.D.
જો આપેલ બિંદુ M કેન્દ્રથી l અંતરે આવેલું છે, તો પછી, તેના દ્વારા વ્યાસ દોરીએ અને તેને તારોમાંના એક તરીકે ધ્યાનમાં લઈએ, તો આપણે શોધી શકીએ છીએ કે વ્યાસના ભાગો અને તેથી અન્ય કોઈપણ તારનું ઉત્પાદન સમાન છે. M માંથી પસાર થતા લઘુત્તમ અર્ધ-તાર (ઉલ્લેખિત વ્યાસને લંબ) ના ચોરસ સુધી.
તારનાં સેગમેન્ટના ગુણાંકની સ્થિરતા પરનો પ્રમેય અને સેકન્ટ અને તેના બાહ્ય ભાગના ઉત્પાદનની સ્થિરતા પરનો પ્રમેય એ એક જ વિધાનના બે કિસ્સાઓ છે કે શું સીકન્ટ્સ બાહ્ય દ્વારા દોરવામાં આવે છે કે નહીં; વર્તુળનો આંતરિક બિંદુ. હવે આપણે એક વધુ લક્ષણ સ્પષ્ટ કરી શકીએ છીએ જે ચક્રીય ચતુષ્કોણને અલગ પાડે છે:
કોઈપણ ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં, કાપેલા ઉત્પાદનો કે જેમાં કર્ણને તેમના આંતરછેદના બિંદુ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે તે સમાન હોય છે.
શરતની આવશ્યકતા સ્પષ્ટ છે, કારણ કે વિકર્ણો પરિક્રમિત વર્તુળના તાર હશે. તે બતાવી શકાય છે કે આ સ્થિતિ પણ પૂરતી છે.
મિલકત 1 . જો વર્તુળના તાર AB અને CD બિંદુ S પર છેદે છે, તો AS BS = CS DS, એટલે કે, DS/BS = AS/CS.
પુરાવો. ચાલો પહેલા સાબિત કરીએ કે ત્રિકોણ ASD અને CSB સમાન છે.
અંકિત ખૂણાઓ DCB અને DAB સમાન છે, જેમ કે સમાન ચાપ દ્વારા સમાવિષ્ટ છે.
ASD અને BSC એંગલ્સ વર્ટિકલ સમાન છે.
દર્શાવેલ ખૂણાઓની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે ત્રિકોણ ASD અને CSB સમાન છે. ત્રિકોણની સમાનતામાંથી પ્રમાણને અનુસરે છે
DS/BS = AS/CS, અથવા AS BS = CS DS,
Q.E.D.
ગુણધર્મ 2. જો બિંદુ P થી વર્તુળ તરફ બે સેકન્ટ દોરવામાં આવે, વર્તુળને અનુક્રમે A, B અને C, D પર છેદે છે, તો AP/CP = DP/BP.
પુરાવો. A અને C એ બિંદુ P ની સૌથી નજીકના વર્તુળ સાથે સેકન્ટ્સના આંતરછેદ બિંદુઓ છે. ત્રિકોણ PAD અને PCB સમાન છે. તેઓ શિરોબિંદુ P પર એક સામાન્ય કોણ ધરાવે છે, અને B અને D ખૂણાઓ સમાન ચાપ પર વિશ્રામી રહેલા, અંકિત કરેલા સમાન છે. ત્રિકોણની સમાનતા પરથી, પ્રમાણ AP/CP = DP/BP અનુસરે છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.
ત્રિકોણની કોણ દ્વિભાજક ગુણધર્મ
ત્રિકોણનો કોણ દ્વિભાજક વિરુદ્ધ બાજુને અન્ય બે બાજુઓના પ્રમાણસર ભાગોમાં વિભાજીત કરે છે.
પુરાવો. CD એ ત્રિકોણ ABC નો દ્વિભાજક છે. જો ત્રિકોણ ABC એ આધાર AB સાથે સમદ્વિબાજુ છે, તો દ્વિભાજકની દર્શાવેલ મિલકત સ્પષ્ટ છે, કારણ કે આ કિસ્સામાં દ્વિભાજક પણ મધ્યક છે. ચાલો સામાન્ય કેસને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે AC BC બરાબર ન હોય. ચાલો A અને B શિરોબિંદુઓમાંથી કાટખૂણે AF અને BE રેખા CD પર છોડીએ. કાટકોણ ત્રિકોણ ACF અને VSE સમાન છે, કારણ કે તેઓ શિરોબિંદુ C પર સમાન તીવ્ર ખૂણા ધરાવે છે.
ત્રિકોણની સમાનતા પરથી, બાજુઓની પ્રમાણસરતા નીચે મુજબ છે: AC/BC = AF/BE. કાટકોણ ત્રિકોણ ADF અને BDE પણ સમાન છે. શિરોબિંદુ D પરના તેમના ખૂણાઓ ઊભી રાશિઓ સમાન છે. સમાનતા પરથી તે નીચે મુજબ છે: AF/BE = AD/BD. અગાઉની સમાનતા સાથે આ સમાનતાને સરખાવતા, આપણને મળે છે: AC/BC = AD/BD અથવા AC/AD = BC/BD, એટલે કે, AD અને BD એ AC અને BC ની બાજુઓના પ્રમાણસર છે.
