સંભાવના સિદ્ધાંત. સંભાવના સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડાઓ પર વ્યાખ્યાન નોંધો

§1. સંભાવના સિદ્ધાંત શું અભ્યાસ કરે છે અને તે ક્યારે ઉદ્ભવ્યો? રેન્ડમ પ્રયોગનો ખ્યાલ. પ્રાથમિક પરિણામોની જગ્યા. પ્રકારો અને ઉદાહરણો. સંયોજનશાસ્ત્રના તત્વો. ઘટનાનો ખ્યાલ.

ઐતિહાસિક માહિતી:

ઐતિહાસિક રીતે, સંભાવના સિદ્ધાંત જુગાર (રૂલેટ, ડાઇસ, કાર્ડ્સ, વગેરે) ના સિદ્ધાંત તરીકે ઉદભવ્યો. 17મી સદીના અંતમાં. તેના વિકાસની શરૂઆત પાસ્કલ, બર્નૌલી, મોઇવ્રે, લેપ્લેસ અને પાછળથી (19મી સદીની શરૂઆતમાં) ગૌસ અને પોઈસનના નામો સાથે સંકળાયેલી છે.

રશિયામાં સંભાવના સિદ્ધાંત પરના પ્રથમ અભ્યાસો 19મી સદીના મધ્યભાગના છે અને N.I. જેવા ઉત્કૃષ્ટ ગણિતશાસ્ત્રીઓના નામ સાથે સંકળાયેલા છે. લોબાચેવ્સ્કી, એમ.વી. ઓસ્ટ્રોગ્રેડસ્કી, વી.યા. બુન્યાકોવ્સ્કી (વીમા અને વસ્તી વિષયક એપ્લિકેશન સાથે પાઠ્યપુસ્તક પ્રકાશિત કરનાર પ્રથમમાંથી એક).

સંભાવના સિદ્ધાંતનો વધુ વિકાસ (20મી સદીના 19મી અને વીસના દાયકાના અંતમાં) મુખ્યત્વે રશિયન વૈજ્ઞાનિકો ચેબીશેવ, લ્યાપુનોવ અને મકારોવના નામ સાથે સંકળાયેલો છે. 20મી સદીના 30 ના દાયકાથી, ગણિતની આ શાખાએ વિજ્ઞાન અને ટેક્નોલોજીના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં અરજીઓ શોધીને વિકાસશીલ સમયગાળાનો અનુભવ કર્યો છે. આ સમયે, રશિયન વૈજ્ઞાનિકો બર્નસ્ટેઇન, ખિંચિન અને કોલમોગોરોવે સંભાવના સિદ્ધાંતના વિકાસમાં નોંધપાત્ર યોગદાન આપ્યું હતું. તે 1933 માં 30 વર્ષની ઉંમરે કોલમોગોરોવ હતા, જેમણે ગણિતની અન્ય શાખાઓ (સેટ થિયરી, મેઝર થિયરી, ફંક્શનલ એનાલિસિસ) સાથે તેનું જોડાણ સ્થાપિત કરીને સંભાવના સિદ્ધાંતના સ્વયંસિદ્ધ બાંધકામનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો.

સંભાવના સિદ્ધાંત એ ગણિતની એક શાખા છે જે અભ્યાસ કરે છે રેન્ડમ પ્રયોગોના ગાણિતિક મોડલ, એટલે કે પ્રયોગો, જેના પરિણામો પ્રયોગની શરતો દ્વારા અસ્પષ્ટપણે નક્કી કરી શકાતા નથી. એવું માનવામાં આવે છે કે પ્રયોગનું પુનરાવર્તન (ઓછામાં ઓછું સૈદ્ધાંતિક રીતે) પરિસ્થિતિઓના અપરિવર્તિત સમૂહ હેઠળ ગમે તેટલી વખત થઈ શકે છે, અને પ્રયોગના પરિણામો આંકડાકીય રીતે સ્થિર છે.

રેન્ડમ પ્રયોગનો ખ્યાલ

રેન્ડમ પ્રયોગોના ઉદાહરણો:

1. એકવાર સિક્કો ફેંકો.

2. એકવાર ડાઇસ ટૉસ કરો.

3. કલગીમાંથી બોલની રેન્ડમ પસંદગી.

4. લાઇટ બલ્બના અપટાઇમને માપવા.

5. સમયના એકમ દીઠ PBX પર આવતા કૉલ્સની સંખ્યાને માપવા.

એક પ્રયોગ રેન્ડમ છે જો માત્ર પ્રથમ પ્રયોગના પરિણામની આગાહી કરવી અશક્ય છે, પણ આગળ પણ. ઉદાહરણ તરીકે, કેટલીક રાસાયણિક પ્રતિક્રિયા હાથ ધરવામાં આવે છે, જેનું પરિણામ અજ્ઞાત છે. જો તમે તેને એકવાર હાથ ધરો છો અને ચોક્કસ પરિણામ મેળવો છો, તો પછી સમાન પરિસ્થિતિઓમાં વધુ પ્રયોગો સાથે, રેન્ડમનેસ અદૃશ્ય થઈ જાય છે.

તમે ગમે તેટલા આ પ્રકારના ઉદાહરણો આપી શકો છો. રેન્ડમ પરિણામો સાથેના પ્રયોગોની સમાનતા શું છે? તે તારણ આપે છે કે ઉપરોક્ત દરેક પ્રયોગોના પરિણામોની આગાહી કરવી અશક્ય હોવા છતાં, વ્યવહારમાં તેમના માટે ચોક્કસ પ્રકારની પેટર્ન લાંબા સમયથી જોવામાં આવી છે, એટલે કે: મોટી સંખ્યામાં પરીક્ષણો કરતી વખતે અવલોકન કરેલ ફ્રીક્વન્સીઝદરેક રેન્ડમ ઘટનાની ઘટના સ્થિર થાય છે,તે ઘટનાની સંભાવના તરીકે ઓળખાતી ચોક્કસ સંખ્યાથી ઓછા અને ઓછા તફાવતો.

ઘટના A () ની અવલોકન કરેલ આવર્તન એ ઘટના A ની ઘટનાઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે (
) પરીક્ષણોની કુલ સંખ્યા (N):

ઉદાહરણ તરીકે, વાજબી સિક્કો ફેંકતી વખતે, અપૂર્ણાંક

ખાતે

(
-ગરુડની સંખ્યા, એન- ફેંકવાની કુલ સંખ્યા)

આવર્તન સ્થિરતાનો આ ગુણધર્મ, એક પ્રયોગના પરિણામની આગાહી કરવામાં સમર્થ થયા વિના, પ્રશ્નમાં અનુભવ સાથે સંકળાયેલી ઘટનાના ગુણધર્મોની ચોક્કસ આગાહી કરવા માટે પરવાનગી આપે છે. તેથી, આધુનિક જીવનમાં સંભાવના સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓ માનવ પ્રવૃત્તિના તમામ ક્ષેત્રોમાં પ્રવેશી છે, માત્ર કુદરતી વિજ્ઞાન, અર્થશાસ્ત્રમાં જ નહીં, પણ માનવતામાં પણ, જેમ કે ઇતિહાસ, ભાષાશાસ્ત્ર વગેરે. આ અભિગમ પર આધારિત છે સંભાવનાનું આંકડાકીય નિર્ધારણ.

મુ
(એક ઘટનાની અવલોકન કરેલ આવર્તન તેની સંભાવના તરફ વળે છે કારણ કે પ્રયોગોની સંખ્યા વધે છે, એટલે કે, n સાથે
).

વ્યાખ્યા 1.1: પ્રાથમિક પરિણામ (અથવા પ્રાથમિક ઘટના)પ્રયોગના કોઈપણ સરળ (એટલે ​​​​કે આપેલ અનુભવના માળખામાં અવિભાજ્ય) પરિણામને કૉલ કરો. અમે તમામ પ્રાથમિક પરિણામોના સમૂહને કૉલ કરીશું પ્રાથમિક પરિણામોની જગ્યા.

પ્રાથમિક પરિણામોની જગ્યા બનાવવાનું ઉદાહરણ:

ચાલો નીચેના અવ્યવસ્થિત પ્રયોગને ધ્યાનમાં લઈએ: એક વાર ડાઇસ ફેંકીને, ઉપરની બાજુએ પડેલા પોઈન્ટની સંખ્યાનું અવલોકન કરો. ચાલો તેના માટે પ્રાથમિક પરિણામોની જગ્યા બનાવીએ:

બધા વિકલ્પો સમાવે છે, દરેક વિકલ્પનો દેખાવ અન્યના દેખાવને બાકાત રાખે છે, બધા વિકલ્પો અવિભાજ્ય છે.

પ્રાથમિક પરિણામોની જગ્યા (દરેક પ્રકાર માટેના પ્રકારો અને ઉદાહરણો):

નીચેના ડાયાગ્રામને ધ્યાનમાં લો

અલગ જગ્યાઓ- આ એવી જગ્યાઓ છે જેમાં વ્યક્તિગત પરિણામોને ઓળખી શકાય છે . અલગ મર્યાદિત માંતમે તેમની સંખ્યા ચોક્કસપણે સૂચવી શકો છો.

પ્રાથમિક પરિણામોની અલગ જગ્યાઓના ઉદાહરણો

પ્રયોગ:એક સિક્કો ટૉસ

, ક્યાં

e.i ના ઉત્પાદનમાં સમાવેશ કરી શકાય છે. તેની ધાર પર પડતા સિક્કાનો વિકલ્પ, પરંતુ અમે તેને અસંભવિત તરીકે મોડેલમાંથી બાકાત રાખીએ છીએ (દરેક મોડેલ અમુક અંદાજિત છે)

જો સિક્કો સાચો છે, એટલે કે. કારણ કે તેની સર્વત્ર ઘનતા સમાન છે અને ગુરુત્વાકર્ષણનું અવિસ્થાપિત કેન્દ્ર છે, તેથી પરિણામો "શસ્ત્રોનો કોટ" અને "પૂંછડીઓ" દેખાવાની સમાન તકો ધરાવે છે. જો સિક્કાનું ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર સ્થાનાંતરિત થાય છે, તો તે મુજબ, પરિણામો આવવાની વિવિધ તકો હોય છે.

ટિપ્પણી: જો સમસ્યા સિક્કા વિશે કશું કહેતી નથી, તો તે સાચું હોવાનું માની લેવામાં આવે છે.

પ્રયોગ:બે સિક્કાનો એક ટૉસ.

નોંધ: જો સિક્કા સમાન હોય, તો RG અને GR પરિણામો દૃષ્ટિની રીતે અસ્પષ્ટ છે. તમે એક સિક્કાને પેઇન્ટથી ચિહ્નિત કરી શકો છો અને પછી તે દૃષ્ટિની રીતે અલગ હશે.

મોડેલ વિવિધ રીતે બનાવી શકાય છે:

અથવા આપણે RG, GR ના પરિણામો વચ્ચે તફાવત કરીએ છીએ અને પછી આપણને 4 vars મળે છે

, ક્યાં

આ કિસ્સામાં, જો બંને સિક્કા સાચા હોય, તો બધા વિકલ્પોમાં દેખાવાની સમાન તક હોય છે.

અથવા અમે RG અને GR વિકલ્પો વચ્ચે તફાવત કરતા નથી અને પછી અમે 3 વિકલ્પો સાથે સમાપ્ત કરીએ છીએ.

, ક્યાં

આ કિસ્સામાં, જો બંને સિક્કા સાચા હોય, તો GG અને RR વિકલ્પો કરતાં RG વિકલ્પ દેખાવાની વધુ તક ધરાવે છે, કારણ કે તે બે રીતે લાગુ કરવામાં આવે છે: પ્રથમ સિક્કા પર હથિયારોનો કોટ અને બીજા પર પૂંછડી અને તેનાથી વિપરીત.

પ્રયોગ: 20 વિદ્યાર્થીઓના જૂથમાંથી રેન્ડમ પસંદગી, 5 કોન્ફરન્સમાં મુસાફરી કરવા માટે વ્યક્તિ. પ્રયોગ પરિણામ:ચોક્કસ પાંચ.

પસંદ કરતી વખતે, ફક્ત રચના જ અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે, એટલે કે. આપણે પ્રથમ કોને પસંદ કર્યું, બીજું કોણ પસંદ કર્યું, વગેરેથી કોઈ ફરક પડતો નથી. તે જ સમયે

(20 લોકો પાસેથી વિવિધ રચનાના કેટલા "પાંચ" મેળવી શકાય છે) (ફેક્ટેરિયલ)

(

આ પ્રશ્નનો જવાબ ફરીથી સંયોજનશાસ્ત્રના વિજ્ઞાન દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે.

બધા 15504 વિકલ્પોમાં દેખાવાની સમાન તક છે, કારણ કે પસંદગી રેન્ડમ છે. પ્રયોગ: વિવિધ રકમના બોનસ મેળવવા માટે 20 લોકો, 5 લોકો ધરાવતા વિદ્યાર્થીઓના જૂથમાંથી રેન્ડમ પસંદગી.પ્રયોગનું પરિણામ

1860480 (: ચોક્કસ ઓર્ડર કરેલ ક્વિન્ટપલેટ. પસંદ કરતી વખતે, ફક્ત રચના જ અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ નથી, પણ પસંદગીનો ક્રમ પણ, કારણ કે બોનસનું કદ વ્યક્તિ કેવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે તેના પર આધાર રાખે છે.

20 લોકો પાસેથી કેટલા ઓર્ડર કરેલા વિવિધ "ફાઇવ્સ" મેળવી શકાય છે).

(

આ પ્રશ્નનો જવાબ ફરીથી સંયોજનશાસ્ત્રના વિજ્ઞાન દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે. 1860480 બધા

વિકલ્પો દેખાવાની સમાન તકો છે, કારણ કે પસંદગી રેન્ડમ છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે બિનક્રમાંકિત કરતાં વધુ ઓર્ડરવાળા "ફાઇવ્સ" હશે, કારણ કે સમાન રચના સાથે ઘણા ઓર્ડર વિકલ્પો હોઈ શકે છે: આ કિસ્સામાં, 5 લોકોની દરેક રચનામાં 120 વિવિધ ઓર્ડર વિકલ્પો શક્ય છે.

સંયોજનશાસ્ત્રના તત્વો

સામાન્ય ગુણાકાર નિયમ:તે પ્રતિબદ્ધ કરવા માટે જરૂરી છે દોm માર્ગો, બીજો - માર્ગો, વગેરે. ….તે પ્રતિબદ્ધ કરવા માટે જરૂરી છે દો-મી ક્રિયા
માર્ગો પછી ક્રિયાઓનો સંપૂર્ણ ક્રમ હાથ ધરવામાં આવી શકે છે

માર્ગો

પુનઃ ગોઠવણો.

થી ક્રમચયnતત્વોઆ તત્વોના કોઈપણ ઓર્ડર કરેલ સમૂહને કહેવામાં આવે છે.

-n તત્વોના ક્રમચયોની સંખ્યા

સમજૂતી: પ્રથમ તત્વ n રીતે પસંદ કરી શકાય છે, બીજું n-1 રીતે, વગેરે. છેલ્લું તત્વ એક રીતે કરવામાં આવે છે, અને તે સામાન્ય ગુણાકારના નિયમના આધારે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે

પ્લેસમેન્ટ.

થી આવાસnદ્વારાતે પ્રતિબદ્ધ કરવા માટે જરૂરી છે દોકોઈપણ કહેવાય છે ઓર્ડર કરેલ સેટ n તત્વો (m

m દ્વારા n તત્વોના પ્લેસમેન્ટની સંખ્યા (આવા ઓર્ડર કરેલ પસંદગી માટેના વિકલ્પોની સંખ્યા).

સમજૂતી: પ્રથમ તત્વ n રીતે પસંદ કરી શકાય છે, બીજું n-1 રીતે, વગેરે. , અને તેઓ સામાન્ય ગુણાકારના નિયમના આધારે ગુણાકાર થાય છે.

સંયોજનો.

નું સંયોજનnદ્વારાતે પ્રતિબદ્ધ કરવા માટે જરૂરી છે દોકોઈપણ કહેવાય છે અવ્યવસ્થિત સમૂહ n તત્વો ધરાવતી વસ્તીમાંથી અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલ m તત્વો.

સંયોજનો અને પ્લેસમેન્ટ નીચે પ્રમાણે સંબંધિત છે:

(m તત્વોની દરેક રચના માટે અમારી પાસે m! ઓર્ડર કરેલ સેટ છે). આમ,

m ના n તત્વોના સંયોજનોની સંખ્યા (આવી અવ્યવસ્થિત પસંદગી માટેના વિકલ્પોની સંખ્યા

પ્રાથમિક પરિણામોની સતત જગ્યાનું ઉદાહરણ

પ્રયોગ:બે લોકો 12 થી 13 વાગ્યાની વચ્ચે કોઈ ચોક્કસ જગ્યાએ એપોઈન્ટમેન્ટ લે છે અને તેમાંથી દરેક કોઈ પણ રેન્ડમ ક્ષણે આ સમયની અંદર આવી શકે છે. અમે તેમના આગમનની ક્ષણોને ટ્રેક કરીએ છીએ. 2 લોકો આવવા માટેનો દરેક વિકલ્પ 60 ની બાજુવાળા ચોરસમાંથી એક બિંદુ છે (કારણ કે એક કલાકમાં 60 મિનિટ હોય છે).

(પ્રથમ 12 વાગીને x મિનિટે, બીજો 12 વાગીને y મિનિટે આવી શકે છે). ચોરસમાંના તમામ બિંદુઓને ગણી શકાય નહીં અને ફરીથી નંબર આપી શકાય. આ તેનું સતત માળખું છે અને તેથી, આ પ્રયોગમાં પ્રાથમિક પરિણામોની સતત જગ્યા છે.

તેમના પરની ઘટનાઓ અને કામગીરી:

વ્યાખ્યા 1.2

કોઈપણ પ્રાથમિક પરિણામોના સમૂહને ઘટના કહેવામાં આવે છે. સાથેઇવેન્ટ્સ કેપિટલ લેટિન અક્ષરો A, B, C અથવા સૂચકાંકો A 1, A 2, A 3, વગેરે સાથેના અક્ષરો દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે.

નીચેની પરિભાષાનો વારંવાર ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: તેઓ કહે છે કે ઘટના A બની છે (અથવા આવી છે) જો અનુભવના પરિણામે પ્રાથમિક પરિણામોમાંથી કોઈપણ દેખાય છે
.

ઘટનાઓના ઉદાહરણો

ચાલો ડાઇ ફેંકવાના પ્રયોગ પર પાછા ફરીએ. નીચેની ઘટનાઓ ધ્યાનમાં લો:

A=(બિંદુઓની સમાન સંખ્યામાં રોલિંગ)

B=(બિંદુઓની વિષમ સંખ્યામાં રોલિંગ)

C=(બિંદુઓની સંખ્યાને રોલિંગ જે 3 નો ગુણાંક છે)

પછી, અગાઉ રજૂ કરાયેલ નોટેશન મુજબ,

વ્યાખ્યા 1.3

એક ઇવેન્ટ જેમાં તમામ પ્રાથમિક પરિણામોનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે. આપેલ અનુભવમાં આવશ્યકપણે બનેલી ઘટના કહેવાય છે વિશ્વસનીય. તે નિયુક્ત થયેલ છે
તેમજ પ્રાથમિક પરિણામોની જગ્યા.

વિશ્વસનીય ઘટનાનું ઉદાહરણ: ડાઇસ ફેંકતી વખતે, 6 થી વધુ બિંદુઓ દેખાશે નહીં, અથવા ડાઇસ ફેંકતી વખતે, ઓછામાં ઓછો એક બિંદુ દેખાશે.

વ્યાખ્યા 1.4

એક ઇવેન્ટ કે જેમાં એક પણ પ્રાથમિક પરિણામ નથી, એટલે કે. આપેલ અનુભવમાં ક્યારેય ન બને તેવી ઘટનાને અશક્ય કહેવાય છે. તે પ્રતીક દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે  .

અશક્ય ઘટનાનું ઉદાહરણ:બે ડાઇસ ફેંકતી વખતે, વળેલા પોઈન્ટની કુલ સંખ્યા 20 હશે.

ઘટનાઓ પર કામગીરી:

શબ્દસમૂહ, ઓછામાં ઓછી એક ઘટના A અથવા B આવી).

વ્યાખ્યા 1.5ઘટનાઓ A અને B કહેવામાં આવે છે અસંગત,જો તેમનું આંતરછેદ એક અશક્ય ઘટના છે, એટલે કે. AB=  .

ઇવેન્ટ્સ પરની કામગીરી પરના કાર્યનું ઉદાહરણ:

લક્ષ્ય પર ત્રણ ગોળી ચલાવવામાં આવે છે. ઘટનાઓ ધ્યાનમાં લો

(i-th શોટ સાથે હિટ), i=1..3

સમૂહ-સૈદ્ધાંતિક કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને, નીચેની ઘટનાઓને ઘટના A i ના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરો:

A=(ત્રણ હિટ)=

B=(ત્રણ ચૂકી જાય છે)=

C=(ઓછામાં ઓછી એક હિટ)=

D=(ઓછામાં ઓછી એક ચૂકી)=

E=(ઓછામાં ઓછા બે હિટ)=
+
+
+

F=(એક કરતાં વધુ હિટ નહીં)=
++
+

G=(લક્ષ્યને ત્રીજા શૉટ કરતાં વહેલું નહીં ફટકારો)=

આઈડિયા: આગળ આ પ્રકારના કાર્યો હશે: ઘટનાઓની સંભાવનાઓ આપવામાં આવે છે અને તે જરૂરી છે, આ સંભાવનાઓને જાણીને, ઘટના A, B, C, D, E, F, G ની સંભાવનાઓ શોધવા માટે

§2. સંભાવનાનો ખ્યાલ

ઘટનાઓની શક્યતાઓની જથ્થાત્મક રીતે તુલના કરવા માટે, સંભાવનાની વિભાવના રજૂ કરવામાં આવી છે.

વ્યાખ્યા 2.1દરેક ઘટના દો એવિતરિત અનુસારસંખ્યા પી(એ). સંખ્યાત્મક કાર્ય P કહેવાય છે સંભાવના અથવા સંભાવના માપ, જો તે નીચેના સિદ્ધાંતોને સંતોષે છે:

બિન-નકારાત્મકતાનો સ્વતઃ

નોર્મલાઇઝેશનનું સ્વયંસિદ્ધ

ઉમેરાનું સ્વયંસિદ્ધ (વિસ્તૃત)કેટલાકનો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહ્યો છે રેન્ડમ ઘટના ...

પ્રકરણ 1 સંભાવના સિદ્ધાંત

સંભાવના પ્રયોગ. સંભાવના સિદ્ધાંતનો વિષય અને કાર્યો.

કોઈપણ પ્રયોગના પરિણામો એક ડિગ્રી અથવા બીજી સ્થિતિ S ના સમૂહ પર આધાર રાખે છે કે જેના હેઠળ પ્રયોગ હાથ ધરવામાં આવે છે. આ શરતો કાં તો ઉદ્દેશ્ય રૂપે અસ્તિત્વમાં છે અથવા કૃત્રિમ રીતે બનાવવામાં આવી છે (એટલે ​​​​કે, પ્રયોગનું આયોજન કરવામાં આવ્યું છે).

પ્રયોગના પરિણામોની અવલંબન ની ડિગ્રી અનુસાર જે શરતો હેઠળ તે હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું, બધા પ્રયોગોને બે વર્ગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: નિર્ણાયક અને સંભવિત.

ઓ નિર્ધારિત પ્રયોગો-આ એવા પ્રયોગો છે કે જેના પરિણામો આપેલ શરતોના સમૂહના આધારે કુદરતી વિજ્ઞાનના નિયમોના આધારે અગાઉથી અનુમાન કરી શકાય છે.

નિર્ધારિત પ્રયોગનું ઉદાહરણ એ બળ F ના પ્રભાવ હેઠળ દળ m ના શરીર દ્વારા પ્રાપ્ત પ્રવેગકનું નિર્ધારણ છે, એટલે કે, ઇચ્છિત મૂલ્ય પ્રાયોગિક પરિસ્થિતિઓના સમૂહ દ્વારા વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે (એટલે ​​​​કે, શરીર m નો સમૂહ. અને બળ F).

નિર્ણાયક છે, ઉદાહરણ તરીકે, ક્લાસિકલ મિકેનિક્સના નિયમોના ઉપયોગ પર આધારિત તમામ પ્રક્રિયાઓ, જે મુજબ શરીરની હિલચાલ શરીર પર કાર્ય કરતી પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ અને દળો દ્વારા વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે.

ઓ સંભવિત પ્રયોગો (સ્ટોકેસ્ટિક અથવા રેન્ડમ) -પ્રયોગો કે જે સમાન સ્થિર પરિસ્થિતિઓને આધીન મનસ્વી સંખ્યામાં વારંવાર પુનરાવર્તિત થઈ શકે છે, પરંતુ, નિર્ણાયક પ્રયોગથી વિપરીત, સંભવિત પ્રયોગનું પરિણામ અસ્પષ્ટ અને રેન્ડમ છે. તે. શરતોના સમૂહના આધારે સંભવિત પ્રયોગના પરિણામની અગાઉથી આગાહી કરવી અશક્ય છે. જો કે, જો સંભવિત પ્રયોગ સમાન પરિસ્થિતિઓમાં ઘણી વખત પુનરાવર્તિત થાય છે, તો આવા પ્રયોગોના પરિણામોની સંપૂર્ણતા ચોક્કસ પેટર્નનું પાલન કરે છે. સંભાવના સિદ્ધાંત આ પેટર્નનો અભ્યાસ છે (અથવા તેના બદલે, તેમના ગાણિતિક મોડેલો). ચાલો સંભવિત પ્રયોગોના ઘણા ઉદાહરણો આપીએ, જેને ભવિષ્યમાં આપણે ફક્ત પ્રયોગો કહીશું.

ઉદાહરણ 1

પ્રયોગમાં એક વખત સપ્રમાણ સિક્કો ફેંકવાનો સમાવેશ થવા દો. આ પ્રયોગ પરસ્પર વિશિષ્ટ પરિણામોમાંના એકમાં સમાપ્ત થઈ શકે છે: આર્મ્સનો કોટ અથવા જાળી (પૂંછડીઓ) બહાર પડી જાય છે. જો તમે અનુવાદ અને રોટેશનલ ગતિની પ્રારંભિક ગતિ અને ફેંકવાની ક્ષણે સિક્કાની પ્રારંભિક સ્થિતિને બરાબર જાણો છો, તો તમે ક્લાસિકલ મિકેનિક્સના નિયમો અનુસાર આ પ્રયોગના પરિણામની આગાહી કરી શકો છો. તે. તે નિર્ણાયક હશે. જો કે, પ્રયોગનો પ્રારંભિક ડેટા નિશ્ચિત કરી શકાતો નથી અને તે સતત બદલાતા રહે છે. તેથી, તેઓ કહે છે કે પ્રયોગનું પરિણામ અસ્પષ્ટ છે, રેન્ડમ. જો કે, જો આપણે એક જ સપ્રમાણ સિક્કાને પર્યાપ્ત લાંબા માર્ગ સાથે વારંવાર ફેંકીએ, એટલે કે. જો શક્ય હોય તો, જો આપણે પ્રયોગની અમુક શરતોને સ્થિર રાખીએ, તો તેના પરિણામોની કુલ સંખ્યા ચોક્કસ પેટર્નને આધીન છે: શસ્ત્રોના કોટની સાપેક્ષ આવર્તન, ફેંકવાની આવર્તન (એન-થ્રોની સંખ્યા, એમ 1 - બહાર પડતા શસ્ત્રોના કોટની સંખ્યા, એમ 2 - પૂંછડીઓ).

ઉદાહરણ 2

ચાલો ધારીએ કે આપણે સ્પોર્ટ્સ લોટ્ટો કાર્ડ ભરી રહ્યા છીએ. વિજેતા ડ્રો પહેલા, કેટલી સંખ્યાઓ સાચી રીતે અનુમાન લગાવવામાં આવશે તેની આગાહી કરવી અશક્ય છે. જો કે, સ્પોર્ટ્સ લોટ્ટો ડ્રો યોજવાનો અનુભવ સૂચવે છે કે m (1≤m≤6) નંબરોનું અનુમાન લગાવનારા ખેલાડીઓની સરેરાશ ટકાવારી ચોક્કસ સ્થિર મૂલ્યની આસપાસ વધઘટ થાય છે. આ "પેટર્ન" (નંબરોની આપેલ સંખ્યાને યોગ્ય રીતે અનુમાન લગાવવાની સરેરાશ ટકાવારી) નો ઉપયોગ વિજેતા ભંડોળની ગણતરી કરવા માટે થાય છે.

સંભવિત પ્રયોગોમાં નીચેના સામાન્ય લક્ષણો છે: પરિણામની અણધારીતા; ચોક્કસ જથ્થાત્મક પેટર્નની હાજરી જ્યારે તે સમાન પરિસ્થિતિઓમાં ઘણી વખત પુનરાવર્તિત થાય છે; ઘણા સંભવિત પરિણામો.

ઓ સંભાવના સિદ્ધાંતનો વિષયસંભવિત પ્રયોગોના ગાણિતિક મોડલનું માત્રાત્મક અને ગુણાત્મક વિશ્લેષણ છે, જેને પ્રાયોગિક ડેટાની સ્થિર પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે.

ઓ સંભાવના સિદ્ધાંત-વિજ્ઞાન કે જે અનિશ્ચિતતાની સ્થિતિમાં નિર્ણય લેવા માટે ગાણિતિક મોડલના વિશ્લેષણ સાથે કામ કરે છે.

ઘટનાઓ અને તેમના પર કામગીરી.

સંબંધિત ફ્રીક્વન્સીઝ અને તેમના ગુણધર્મો

સંભાવના સિદ્ધાંતની પ્રાથમિક વિભાવના, અન્ય વિભાવનાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત નથી, પ્રાથમિક પરિણામોની જગ્યા Ω છે. સામાન્ય રીતે, પ્રયોગના માત્ર સંભવિત અવિભાજ્ય પરિણામોને પ્રાથમિક પરિણામોની જગ્યા તરીકે લેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ

1. ધારો કે સપ્રમાણ સિક્કો ફેંકવામાં આવ્યો છે. પછી (હથિયારો અને પૂંછડીઓનો કોટ).

2. ડાઇસ .

3. બે સિક્કા ફેંકવામાં આવે છે.

4. બે ડાઇસ ફેંકવામાં આવે છે. પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા 36 છે.

5. નંબર અક્ષ w પર રેન્ડમ પર એક બિંદુ ફેંકવામાં આવે છે.

6. બે બિંદુઓ પર ફેંકવામાં આવે છે.

y

વ્યાખ્યા.ઘટનાપ્રાથમિક પરિણામો Ω ની જગ્યાનો મનસ્વી સબસેટ A છે. તે પ્રાથમિક પરિણામો કે જે ઘટના A બનાવે છે તેને કહેવામાં આવે છે અનુકૂળઘટના એ.

એક ઘટના A બની હોવાનું કહેવાય છે, જો પ્રયોગના પરિણામે, પ્રાથમિક પરિણામ w A આવે છે, એટલે કે. અનુકૂળ ઘટના એ.

ચાલો ઉદાહરણ 2 જોઈએ. , – પોઈન્ટની વિષમ સંખ્યા ધરાવતી ઘટના; - રોલ કરવામાં આવતા પોઈન્ટની સમાન સંખ્યાનો સમાવેશ કરતી ઇવેન્ટ.

o પ્રાથમિક પરિણામોની સમગ્ર જગ્યા Ω, જો ઘટના તરીકે લેવામાં આવે તો, કહેવાય છે વિશ્વસનીયઘટના, કારણ કે તે કોઈપણ પ્રયોગમાં થાય છે (હંમેશાં).

o ખાલી સેટ (એટલે ​​કે એક સેટ કે જેમાં એક પણ પ્રાથમિક પરિણામ ન હોય) કહેવામાં આવે છે. અશક્યએક ઘટના કારણ કે તે ક્યારેય બનતું નથી.

Ω અને , સિવાયની અન્ય તમામ ઘટનાઓ કહેવામાં આવે છે રેન્ડમ

ઘટનાઓ પર કામગીરી

0.1 રકમઘટના A અને B ને આ સમૂહ A B નું જોડાણ કહેવામાં આવે છે.

- એક ઘટના કે જે બને છે જો અને માત્ર જો ઓછામાં ઓછી એક ઘટના A અથવા B બને.

0.2 કામઘટના A અને B એ સમૂહ A અને B ના આંતરછેદ કહેવાય છે, એટલે કે. A B. AB તરીકે નિયુક્ત.

AB એ એક ઘટના છે જ્યારે A અને B એક સાથે થાય છે.

0.3 તફાવત દ્વારાઘટના A અને B એ સેટ A\B નો તફાવત કહેવાય છે.

A\B એ એક ઘટના છે જે થાય છે<=>જ્યારે A થાય છે અને B થતું નથી.

o ઘટનાઓ A અને B કહેવાય છે અસંગત, જો . જો A અને B અસંગત હોય, તો અમે સૂચવીશું .

o ઘટના A એ ઘટના B નો સમાવેશ કરે છે જો A એ B નો સબસેટ છે, એટલે કે. (જ્યારે A થાય છે, B થાય છે).

o ઘટના કહેવાય છે વિરુદ્ધઘટના એ.

ઉદાહરણ 2. . જ્યારે A ન થાય ત્યારે થાય છે.

o તેઓ કહે છે કે ઘટનાઓ Н 1, Н 2,…, Н n સંપૂર્ણ જૂથ બનાવો, જો Н 1 +Н 2 +…+Н n =Ω (એટલે ​​​​કે Н 1 , Н 2 , Н n અસંગત છે, એટલે કે Н i Н j = જો i≠j).

ઉદાહરણ તરીકે, A અને સંપૂર્ણ જૂથ બનાવો: .

ચાલો ધારીએ કે કેટલાક અવ્યવસ્થિત પ્રયોગો હાથ ધરવામાં આવે છે, જેનું પરિણામ અવકાશ Ω દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. ચાલો N પ્રયોગો કરીએ. Aને અમુક ઘટના ગણવા દો (), N(A) એ તે પ્રયોગોની સંખ્યા છે જેમાં A ઘટના બની હતી.

પછી નંબર કહેવાય છે ઘટના A ની સંબંધિત આવર્તન.

સંભાવના સિદ્ધાંતના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો

Ω એ પ્રાથમિક પરિણામોની જગ્યા બનવા દો. ધારો કે F એ Ω ના સબસેટનો અમુક વર્ગ છે.

o ઘટના એ વર્ગ F થી સંબંધિત Ω નો સબસેટ છે. દરેક ઘટના વાસ્તવિક સંખ્યા P(A) સાથે સંકળાયેલ છે, જેને કહેવાય છે. સંભાવના એ , જેથી ધરીઓ સંતુષ્ટ છે:

સ્વયંસિદ્ધ 1.

Axiom 2., તે. ચોક્કસ ઘટનાની સંભાવના 1 છે.

Axiom 3.(ગણતરીયોગ્ય ઉમેરણ) જો અને , પછી (અસંગત ઘટનાઓ માટે).

સંયોજનશાસ્ત્રના તત્વો

લેમ્મા 1. પ્રથમ જૂથના m તત્વો a 1,…,a m અને બીજા જૂથના n તત્વો b 1, …,b nમાંથી, એક તત્વ ધરાવતા ફોર્મની બરાબર m∙n ક્રમાંકિત જોડી (a i, b j) કંપોઝ કરવાનું શક્ય છે. દરેક જૂથમાંથી.

પુરાવો:

કુલ મળીને અમારી પાસે m∙n જોડીઓ છે.

ઉદાહરણ.ડેકમાં 4 સૂટ છે (હૃદય, સ્પેડ્સ, ક્લબ્સ, હીરા), દરેક સૂટમાં 9 કાર્ડ છે. કુલ n=4∙9=36.

લેમ્મા 2. પ્રથમ જૂથના n 1 તત્વોમાંથી a 1, a 2,…, અને n 1,

n બીજા જૂથના 2 તત્વો b 1, b 2,…, b n 2,

n k-th જૂથના 3 તત્વો x 1 , x 2 ,…, x nk

n 1 ∙ n 2 ∙…∙n k ફોર્મના અલગ-અલગ ક્રમાંકિત સંયોજનો, જેમાં દરેક જૂથમાંથી એક તત્વ હોય છે તે કંપોઝ કરવું શક્ય છે.

1. k=2 માટે, વિધાન સાચું છે (લેમ્મા 1).

2. ધારો કે લેમ્મા 2 k માટે ધરાવે છે. ચાલો તત્વોના k+1 જૂથ માટે સાબિત કરીએ. સંયોજન ધ્યાનમાં લો તેમજ ધારણા k તત્વોના સંયોજનોની સંખ્યા, તેમના n 1 n 2 n k ની ગણતરી કરવાનું શક્ય બનાવે છે. લેમ્મા 1 મુજબ, k+1 તત્વોના સંયોજનોની સંખ્યા n 1 n 2 … n k +1 છે.

ઉદાહરણ.બે ડાઇસ ફેંકતી વખતે N=6∙6=36. ત્રણ ડાઇસ ફેંકતી વખતે N=6∙6∙6=216.

ભૌમિતિક સંભાવનાઓ

ધારો કે સંખ્યા રેખા પર ચોક્કસ સેગમેન્ટ છે અને આ સેગમેન્ટ પર એક બિંદુ રેન્ડમ પર ફેંકવામાં આવ્યો છે. આ બિંદુ પર પડવાની સંભાવના શોધો .

- સીધી રેખા પર ભૌમિતિક સંભાવના.

સમતલ આકૃતિ g ને સમતલ આકૃતિ G નો ભાગ બનવા દો. એક બિંદુ આકૃતિ G પર રેન્ડમ રીતે ફેંકવામાં આવે છે. આકૃતિ g માં આવતા બિંદુની સંભાવના સમાનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

-પ્લેન પર ભૌમિતિક સંભાવના.

અવકાશમાં એક આકૃતિ v છે જે આકૃતિ V નો ભાગ છે. એક બિંદુ આકૃતિ V પર રેન્ડમ રીતે ફેંકવામાં આવે છે. આકૃતિ v માં બિંદુ મેળવવાની સંભાવના સમાનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

- અવકાશમાં ભૌમિતિક સંભાવના.

સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યાનો ગેરલાભ એ છે કે તે અસંખ્ય પરિણામો સાથેના પરીક્ષણોને લાગુ પડતું નથી. આ ખામીને દૂર કરવા માટે, તેઓ પરિચય આપે છે ભૌમિતિક સંભાવનાઓ.

સંભાવનાના ગુણધર્મો

મિલકત 1.અશક્ય ઘટનાની સંભાવના 0 છે, એટલે કે. . .

મિલકત 2.વિશ્વસનીય ઘટનાની સંભાવના 1 છે, એટલે કે. , .

મિલકત 3.કોઈપણ ઘટના માટે. , કારણ કે , પછી અને તેથી .

મિલકત 4.જો ઘટનાઓ A અને B અસંગત છે, તો સરવાળાની સંભાવના સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:

રેન્ડમ ચલો

ઓ રેન્ડમ ચલ Xએક કાર્ય X(w) છે જે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ R ના સમૂહમાં પ્રાથમિક પરિણામો Ω ની જગ્યાને મેપ કરે છે.

ઉદાહરણ.એક સિક્કો બે વાર ઉછાળવા દો. પછી .

ચાલો રેન્ડમ ચલ X ને ધ્યાનમાં લઈએ - પ્રાથમિક પરિણામો Ω ની જગ્યા પર કોટ ઓફ આર્મ્સની ઘટનાઓની સંખ્યા. રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોનો સમૂહ છે: 2,1,0.

રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોનો સમૂહ Ω x દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. રેન્ડમ ચલની મહત્વની લાક્ષણિકતાઓમાંની એક રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય છે.

ઓ રેન્ડમ ચલ Xનું વિતરણ કાર્યવાસ્તવિક ચલ x નું ફંક્શન F(x) કહેવાય છે, જે રેન્ડમ ચલ X, પ્રયોગના પરિણામે, ચોક્કસ નિશ્ચિત સંખ્યા x કરતાં ઓછું મૂલ્ય લેશે તેવી સંભાવના નક્કી કરે છે.

જો આપણે X ને એક્સ-અક્ષ પર રેન્ડમ બિંદુ તરીકે ગણીએ, તો ભૌમિતિક દૃષ્ટિકોણથી F(x) એ સંભાવના છે કે પ્રયોગના પરિણામે રેન્ડમ બિંદુ X બિંદુ x ની ડાબી બાજુએ આવશે.

ઘટનાઓનો સૌથી સરળ પ્રવાહ.

ચાલો રેન્ડમ સમયે બનતી ઘટનાઓને ધ્યાનમાં લઈએ.

ઓ ઘટનાઓનો પ્રવાહરેન્ડમ સમયે બનતી ઘટનાઓનો ક્રમ બોલાવો.

પ્રવાહના ઉદાહરણો છે: ટેલિફોન એક્સચેન્જમાં કૉલ્સનું આગમન, ઇમરજન્સી મેડિકલ એઇડ સ્ટેશન પર, એરપોર્ટ પર એરક્રાફ્ટનું આગમન, ગ્રાહક સેવા એન્ટરપ્રાઇઝ પર ગ્રાહકોનું આગમન, તત્વોની નિષ્ફળતાનો ક્રમ અને અન્ય ઘણા બધા.

પ્રવાહમાં જે ગુણધર્મો હોઈ શકે છે તેમાં, અમે સ્થિરતા, પરિણામોની ગેરહાજરી અને સામાન્યતાના ગુણધર્મોને પ્રકાશિત કરીએ છીએ.

o ઘટનાઓનો પ્રવાહ કહેવાય છે સ્થિર, જો t સમયગાળા દરમિયાન k ઘટનાઓ બનવાની સંભાવના માત્ર k અને t પર આધાર રાખે છે.

આમ, સ્થિરતાની મિલકત એ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે કે કોઈપણ સમયે k ઘટનાઓની સંભાવના માત્ર k સંખ્યા અને અંતરાલની અવધિ t પર આધારિત છે અને તેની ગણતરીની શરૂઆત પર આધાર રાખતી નથી; આ કિસ્સામાં, અલગ-અલગ સમય અંતરાલને અસંબંધિત માનવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમાન સમયગાળાના t=6 સમયના એકમોના સમય અંતરાલ (1, 7), (10, 16), (T, T+6) પર k ઘટનાઓની ઘટનાની સંભાવનાઓ એકબીજાની સમાન છે.

o ઘટનાઓનો પ્રવાહ કહેવાય છે સામાન્ય, જો સમયના અનંત નાના સમયગાળામાં એક કરતાં વધુ ઘટનાઓ ન બની શકે.

આમ, સામાન્યતાની મિલકત એ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે કે ટૂંકા ગાળામાં બે અથવા વધુ ઘટનાઓની ઘટના વ્યવહારીક રીતે અશક્ય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એક જ સમયે એક કરતાં વધુ ઘટના બનવાની સંભાવના વ્યવહારીક રીતે શૂન્ય છે.

o ઘટનાઓના પ્રવાહમાં મિલકત હોવાનું કહેવાય છે કોઈ પરિણામ નથી, જો બિન-ઓવરલેપિંગ સમય અંતરાલોમાં એક અથવા બીજી સંખ્યાની ઘટનાઓની ઘટનાઓની પરસ્પર સ્વતંત્રતા હોય. આમ, કોઈ પરિણામની મિલકત એ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે કે કોઈપણ સમયના અંતરાલ પર k ઘટનાઓની ઘટનાની સંભાવના તેના પર નિર્ભર નથી કે ઘટનાઓ વિચારણા હેઠળના સમયગાળાની શરૂઆત પહેલાના સમયે દેખાય છે કે નહીં. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમયના કોઈપણ સમયગાળામાં k ઘટનાઓની ઘટનાની શરતી સંભાવના, પ્રશ્નના સમયગાળાની શરૂઆત પહેલાં શું થયું તે અંગેની મનસ્વી ધારણા હેઠળ ગણતરી કરવામાં આવે છે (એટલે ​​​​કે, કેટલી ઘટનાઓ દેખાઈ, કયા ક્રમમાં), સમાન છે. બિનશરતી સંભાવના માટે. પરિણામે, પ્રવાહનો ઇતિહાસ નજીકના ભવિષ્યમાં બનતી ઘટનાઓની સંભાવનાને અસર કરતું નથી.

o ઘટનાઓનો પ્રવાહ કહેવાય છે સરળ અથવા પોઈસન, જો તે સ્થિર, સામાન્ય, પરિણામો વિના હોય.

ઓ પ્રવાહની તીવ્રતા λએકમ સમય દીઠ બનતી ઘટનાઓની સરેરાશ સંખ્યા છે.

જો પ્રવાહની સતત તીવ્રતા જાણીતી હોય, તો t સમયગાળા દરમિયાન સરળ પ્રવાહની k ઘટનાઓ બનવાની સંભાવના સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

, . પોઈસનનું સૂત્ર.

આ સૂત્ર સૌથી સરળ પ્રવાહના તમામ ગુણધર્મોને પ્રતિબિંબિત કરે છે, તેથી તેને સૌથી સરળ પ્રવાહનું ગાણિતિક મોડેલ ગણી શકાય.

ઉદાહરણ. PBX દ્વારા પ્રતિ મિનિટ સરેરાશ બે કોલ્સ પ્રાપ્ત થાય છે. સંભાવના શોધો કે 5 મિનિટમાં તમને પ્રાપ્ત થશે: a) બે કૉલ્સ; b) બે કરતા ઓછા કોલ; c) ઓછામાં ઓછા બે કૉલ. કોલ ફ્લો સરળ હોવાનું માનવામાં આવે છે.

સ્થિતિ દ્વારા λ=2, t=5, k=2. પોઈસનના સૂત્ર મુજબ

એ) - આ ઘટના વ્યવહારીક રીતે અશક્ય છે.

બી) - ઘટના વ્યવહારીક રીતે અશક્ય છે, કારણ કે "કોઈ કૉલ પ્રાપ્ત થયો નથી" અને "એક કૉલ પ્રાપ્ત થયો છે" ઘટનાઓ અસંગત છે.

બી) - આ ઘટના લગભગ નિશ્ચિત છે.

વિખેરવાના ગુણધર્મો.

મિલકત 1.સ્થિર મૂલ્ય C નું વિચલન 0.DC=0 છે.

મિલકત 2.અચળ પરિબળને વિક્ષેપ ચિન્હમાંથી વર્ગીકરણ કરીને બહાર લઈ શકાય છે:

મિલકત 3.બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનો તફાવત આ ચલોના ચલોના સરવાળા જેટલો છે:

પરિણામ.કેટલાક સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનો તફાવત આ ચલોના ચલોના સરવાળા જેટલો છે.

પ્રમેય 2. n સ્વતંત્ર અજમાયશમાં ઘટના A ની ઘટનાઓની સંખ્યાનો તફાવત, જેમાંના દરેકમાં ઘટનાની ઘટનાની સંભાવના p સ્થિર હોય છે, તે અજમાયશની સંખ્યા અને ઘટનાની સંભાવનાના ઉત્પાદન અને બિન- એક અજમાયશમાં ઘટનાની ઘટના: .

રેન્ડમ ચલ X એ n સ્વતંત્ર ટ્રાયલ્સમાં ઘટના A ની ઘટનાઓની સંખ્યા છે. , જ્યાં X i એ i-th અજમાયશમાં ઘટનાઓની સંખ્યા છે, પરસ્પર સ્વતંત્ર, કારણ કે દરેક અજમાયશનું પરિણામ અન્યના પરિણામોથી સ્વતંત્ર છે.

કારણ કે MX 1 =p. , તે . દેખીતી રીતે, બાકીના રેન્ડમ ચલોનો તફાવત પણ pq ની બરાબર છે, જ્યાંથી.

ઉદાહરણ. 10 સ્વતંત્ર ટ્રાયલ હાથ ધરવામાં આવે છે, જેમાંના દરેકમાં ઘટના બનવાની સંભાવના 0.6 છે. રેન્ડમ ચલ X નું વિચલન શોધો - આ ટ્રાયલ્સમાં ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા.

n=10; p=0.6; q=0.4.

ઓ રેન્ડમ ચલ X માટે ઓર્ડરની પ્રારંભિક ક્ષણરેન્ડમ ચલ X k ની ગાણિતિક અપેક્ષા કહેવાય છે:

. ખાસ કરીને, .

આ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને, ભિન્નતાની ગણતરી માટેનું સૂત્ર આ રીતે લખી શકાય છે: .

રેન્ડમ ચલ X ની ક્ષણો ઉપરાંત, વિચલન X-XM ની ક્ષણો ધ્યાનમાં લેવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

ઓ ઓર્ડરની કેન્દ્રીય ક્ષણ કેરેન્ડમ ચલ X એ મૂલ્યની ગાણિતિક અપેક્ષા (X-MX) k કહેવાય છે.

. ખાસ કરીને

આથી, .

કેન્દ્રીય ક્ષણની વ્યાખ્યાના આધારે અને ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સૂત્રો મેળવી શકીએ છીએ:

ઉચ્ચ ઓર્ડર પળોનો ભાગ્યે જ ઉપયોગ થાય છે.

ટિપ્પણી.ઉપર નિર્ધારિત ક્ષણો કહેવામાં આવે છે સૈદ્ધાંતિક. સૈદ્ધાંતિક ક્ષણોથી વિપરીત, અવલોકન ડેટામાંથી ગણતરી કરવામાં આવતી ક્ષણોને કહેવામાં આવે છે. પ્રયોગમૂલક

રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમો.

o વેક્ટર, જ્યાં -રેન્ડમ ચલોને n- કહેવાય છે પરિમાણીય રેન્ડમ વેક્ટર.

આમ, રેન્ડમ વેક્ટર પ્રાથમિક પરિણામો Ω→IR n ની જગ્યાને n-પરિમાણીય વાસ્તવિક જગ્યા IR n સાથે મેપ કરે છે.

o કાર્ય

કહેવાય છે રેન્ડમ વેક્ટર વિતરણ કાર્યઅથવા સંયુક્ત વિતરણ કાર્યરેન્ડમ ચલો.

મિલકત 4.

o રેન્ડમ વેક્ટર કહેવાય છે અલગ, જો તેના તમામ ઘટકો અલગ રેન્ડમ ચલો છે.

o રેન્ડમ વેક્ટર કહેવાય છે સતત, જો ત્યાં બિન-નકારાત્મક કાર્ય હોય, તો તેને રેન્ડમ ચલોની વિતરણ ઘનતા કહેવામાં આવે છે જેમ કે વિતરણ કાર્ય .

સહસંબંધ ગુણધર્મો.

મિલકત 1.સહસંબંધ ગુણાંકનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય એકતા કરતાં વધી જતું નથી, એટલે કે. .

મિલકત 2.રેન્ડમ ચલ X અને Y રેખીય સંબંધ દ્વારા સંબંધિત હોવા માટે તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત હોવા માટે. તે. સંભાવના સાથે 1.

મિલકત 3.જો રેન્ડમ ચલો સ્વતંત્ર છે, તો તે અસંબંધિત છે, એટલે કે. r=0.

X અને Y ને સ્વતંત્ર રહેવા દો, પછી ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મ દ્વારા

o બે રેન્ડમ ચલ X અને Y કહેવામાં આવે છે સહસંબંધિત, જો તેમનો સહસંબંધ ગુણાંક શૂન્યથી અલગ હોય.

ઓ રેન્ડમ ચલ X અને Y ને અસંબંધિત કહેવામાં આવે છેજો તેમનો સહસંબંધ ગુણાંક 0 છે.

ટિપ્પણી.બે રેન્ડમ ચલોનો સહસંબંધ તેમની અવલંબન સૂચવે છે, પરંતુ અવલંબન હજુ સુધી સહસંબંધને સૂચિત કરતું નથી. બે અવ્યવસ્થિત ચલોની સ્વતંત્રતા પરથી તે અનુસરે છે કે તેઓ અસંબંધિત છે, પરંતુ અસંબંધિતતાથી તે નિષ્કર્ષ કાઢવો હજુ પણ અશક્ય છે કે આ ચલો સ્વતંત્ર છે.

સહસંબંધ ગુણાંક રેન્ડમ ચલોની રેખીય અવલંબન તરફના વલણને દર્શાવે છે. સહસંબંધ ગુણાંકનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય જેટલું વધારે છે, રેખીય અવલંબન તરફનું વલણ વધારે છે.

ઓ અસમપ્રમાણતા ગુણાંકરેન્ડમ ચલ X એ સંખ્યા છે

અસમપ્રમાણતા ગુણાંકનું ચિહ્ન જમણી બાજુની અથવા ડાબી બાજુની અસમપ્રમાણતા દર્શાવે છે.

o રેન્ડમ વેરીએબલ X નું કર્ટોસિસ એ એક સંખ્યા છે.

સામાન્ય વિતરણ વળાંકના સંબંધમાં વિતરણ વળાંકની સરળતાને લાક્ષણિકતા આપે છે.

જનરેટીંગ ફંક્શન્સ

o હેઠળ પૂર્ણાંકરેન્ડમ વેરીએબલ દ્વારા અમારો મતલબ એક અલગ રેન્ડમ ચલ છે જે મૂલ્યો 0,1,2,... લઈ શકે છે.

આમ, જો રેન્ડમ ચલ X એ પૂર્ણાંક છે, તો તેની એક વિતરણ શ્રેણી છે

તેના જનરેટીંગ ફંક્શનને ફંક્શન કહેવામાં આવે છે

x-ચોરસ વિતરણ

X i ને સામાન્ય સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ રહેવા દો, અને તેમાંના દરેકની ગાણિતિક અપેક્ષા શૂન્યની બરાબર છે, અને પ્રમાણભૂત વિચલન (અથવા વિચલન) એક સમાન છે. પછી આ જથ્થાઓના વર્ગોનો સરવાળો સ્વતંત્રતાના k=n ડિગ્રી સાથે X 2 કાયદા અનુસાર વિતરિત. જો આ જથ્થાઓ X i એક રેખીય સંબંધ દ્વારા સંબંધિત હોય, ઉદાહરણ તરીકે, તો સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા k=n-1.

આ વિતરણની ઘનતા ક્યાં છે - ગામા કાર્ય; ખાસ કરીને, Г(n+1)=n!

આ બતાવે છે કે "x અને ચોરસ" વિતરણ એક પરિમાણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે - સ્વતંત્રતા k ની ડિગ્રીની સંખ્યા. જેમ જેમ સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યામાં વધારો થાય છે તેમ, વિતરણ ધીમે ધીમે સામાન્યની નજીક આવે છે.

વિદ્યાર્થી વિતરણ

Z-સામાન્ય રીતે વિતરિત જથ્થો, અને M(Z)=0, G 2 =1, એટલે કે. Z~N(0,1), અને V એ Z થી સ્વતંત્ર જથ્થો છે, જે સ્વતંત્રતાના k ડિગ્રી સાથે X 2 કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે. પછી જથ્થામાં એક વિતરણ હોય છે, જેને t-વિતરણ અથવા વિદ્યાર્થી વિતરણ (અંગ્રેજી આંકડાશાસ્ત્રી ડબલ્યુ. ગોસેટનું ઉપનામ), સ્વતંત્રતાની k ડિગ્રી સાથે કહેવામાં આવે છે. જેમ જેમ સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યામાં વધારો થાય છે તેમ, વિદ્યાર્થીઓનું વિતરણ ઝડપથી સામાન્ય થાય છે.

રેન્ડમ ચલ t ની વિતરણ ઘનતા ફોર્મ ધરાવે છે , .

રેન્ડમ ચલ t પાસે ગાણિતિક અપેક્ષા Mt=0, (k>2) છે.

ફિશર વિતરણ

જો U અને V સ્વતંત્રતા k 1 અને k 2 ની ડિગ્રી સાથે કાયદા X 2 અનુસાર વિતરિત સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ છે, તો મૂલ્યમાં સ્વતંત્રતા k 1 અને k 2 ની ડિગ્રી સાથે ફિશર વિતરણ F છે. આ વિતરણની ઘનતા , ક્યાં

.

ફિશર વિતરણ F બે પરિમાણો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે - સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા.

લાક્ષણિક કાર્યો

0. 1 રેન્ડમ ચલ , જ્યાં i એ કાલ્પનિક એકમ છે, એટલે કે. , અને X અને Y વાસ્તવિક રેન્ડમ ચલ છે, તેને કહેવાય છે જટિલ-મૂલ્યવાનરેન્ડમ ચલ. (i 2 = –1).

0. 2 જટિલ-મૂલ્યવાળા રેન્ડમ ચલ Zની ગાણિતિક અપેક્ષા કહેવામાં આવે છે. ગાણિતિક અપેક્ષાના તમામ ગુણધર્મો જટિલ-મૂલ્યવાળા રેન્ડમ ચલો માટે માન્ય રહે છે.

0. 3 જટિલ-મૂલ્ય ધરાવતા રેન્ડમ ચલ Z 1 =X 1 +iY 1 અને Z 2 =X 2 +iY 2 અનુક્રમે સ્વતંત્ર હોય તો તેને સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે.

મોટી સંખ્યાના કાયદા

રેન્ડમ લક્ષણો

ઓ રેન્ડમ કાર્યએક ફંક્શન X(t), જેનું મૂલ્ય દલીલ t ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે રેન્ડમ ચલ છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, રેન્ડમ ફંક્શન એ એક કાર્ય છે જે, પ્રયોગના પરિણામે, એક અથવા અન્ય ચોક્કસ સ્વરૂપ લઈ શકે છે, જો કે તે અગાઉથી જાણીતું નથી કે કયું.

o પ્રયોગના પરિણામે રેન્ડમ ચલ દ્વારા લેવાયેલ ચોક્કસ સ્વરૂપને કહેવામાં આવે છે રેન્ડમ ફંક્શનનો અમલ.

કારણ કે વ્યવહારમાં, દલીલ t મોટાભાગે અસ્થાયી હોય છે, પછી રેન્ડમ ફંક્શનને અન્યથા કહેવામાં આવે છે રેન્ડમ પ્રક્રિયા.

આકૃતિ રેન્ડમ પ્રક્રિયાના ઘણા અમલીકરણો દર્શાવે છે.

જો આપણે દલીલ t ની કિંમત નક્કી કરીએ, તો રેન્ડમ ફંક્શન X(t) રેન્ડમ ચલમાં ફેરવાઈ જશે, જેને કહેવામાં આવે છે. રેન્ડમ ફંક્શનનો ક્રોસ સેક્શન, સમયને અનુરૂપ ટી. અમે ધારીશું કે ક્રોસ સેક્શનનું વિતરણ સતત છે. પછી આપેલ ટી માટે X(t) વિતરણ ઘનતા p(x; t) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

દેખીતી રીતે, p(x; t) એ રેન્ડમ ફંક્શન X(t) ની સંપૂર્ણ લાક્ષણિકતા નથી, કારણ કે તે T અલગ-અલગ સમયે X(t) ના વિભાગો વચ્ચે અવલંબન વ્યક્ત કરતું નથી. કાર્ય દ્વારા વધુ સંપૂર્ણ વર્ણન આપવામાં આવ્યું છે - રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમની સંયુક્ત વિતરણ ઘનતા , જ્યાં t 1 અને t 2 એ રેન્ડમ ફંક્શનની દલીલ t ના મનસ્વી મૂલ્યો છે. રેન્ડમ ફંક્શન X(t) નું વધુ સંપૂર્ણ પાત્રાલેખન ત્રણ રેન્ડમ ચલ વગેરેની સિસ્ટમની સુસંગત વિતરણ ઘનતા દ્વારા આપવામાં આવશે.

o તેઓ કહે છે કે રેન્ડમ પ્રક્રિયા છે ઓર્ડર n છે, જો તે પ્રક્રિયાના n મનસ્વી વિભાગોના સુસંગત વિતરણની ઘનતા દ્વારા સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે. n રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ, જ્યાં X(t i) એ સમય t i ની ક્ષણને અનુરૂપ પ્રક્રિયાનો ક્રોસ-સેક્શન છે, પરંતુ ક્રોસ-સેક્શનની n કરતાં ઓછી સંખ્યાના સંયુક્ત વિતરણનો ઉલ્લેખ કરીને નિર્ધારિત નથી.

o જો પ્રક્રિયાના મનસ્વી બે ક્રોસ વિભાગોના સંયુક્ત વિતરણની ઘનતા તેને સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત કરે છે, તો આવી પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે. માર્કોવ્સ્કી.

એક રેન્ડમ ફંક્શન X(t) રહેવા દો. કાર્ય એક અથવા વધુ બિન-રેન્ડમ લાક્ષણિકતાઓનો ઉપયોગ કરીને તેનું વર્ણન કરવાનું ઉદ્ભવે છે. તેમાંના પ્રથમ તરીકે, કાર્ય લેવાનું સ્વાભાવિક છે - રેન્ડમ પ્રક્રિયાની ગાણિતિક અપેક્ષા. બીજાને રેન્ડમ પ્રક્રિયાના પ્રમાણભૂત વિચલન તરીકે લેવામાં આવે છે.

આ લાક્ષણિકતાઓ ટીના કેટલાક કાર્યો છે. આમાંથી પ્રથમ તમામ સંભવિત અમલીકરણો માટે સરેરાશ માર્ગ છે. બીજું સરેરાશ માર્ગની આસપાસ રેન્ડમ ફંક્શનની અનુભૂતિના સંભવિત ફેલાવાને દર્શાવે છે. પરંતુ આ લક્ષણો પૂરતા નથી. X(t 1) અને X(t 2) જથ્થાઓની અવલંબન જાણવી મહત્વપૂર્ણ છે. આ અવલંબનને સહસંબંધ કાર્ય અથવા સહસંબંધ ક્ષણનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવી શકાય છે.

બે અવ્યવસ્થિત પ્રક્રિયાઓ થવા દો, જેનાં ઘણા અમલીકરણ આકૃતિઓમાં બતાવવામાં આવ્યા છે.

આ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓમાં લગભગ સમાન ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને પ્રમાણભૂત વિચલનો હોય છે. જો કે, આ વિવિધ પ્રક્રિયાઓ છે. રેન્ડમ ફંક્શન X 1 (t) માટે કોઈપણ અમલીકરણ ધીમે ધીમે t માં ફેરફાર સાથે તેના મૂલ્યોમાં ફેરફાર કરે છે, જે રેન્ડમ ફંક્શન X 2 (t) વિશે કહી શકાય નહીં. પ્રથમ પ્રક્રિયા માટે, ક્રોસ વિભાગો X 1 (t) વચ્ચેની અવલંબન અને ક્રોસ વિભાગો X 2 (t) અને બીજી પ્રક્રિયાની અવલંબન કરતાં વધુ હશે, એટલે કે. કરતાં વધુ ધીમે ધીમે ઘટે છે , વધતા Δt સાથે. બીજા કિસ્સામાં, પ્રક્રિયા તેના ભૂતકાળને ઝડપથી "ભૂલી જાય છે".

ચાલો સહસંબંધ કાર્યના ગુણધર્મો પર ધ્યાન આપીએ, જે રેન્ડમ ચલોની જોડીના સહસંબંધ ક્ષણના ગુણધર્મોને અનુસરે છે.

મિલકત 1.સમપ્રમાણતાની મિલકત.

મિલકત 2.જો રેન્ડમ ફંક્શન X(t) માં નોન-રેન્ડમ ટર્મ ઉમેરવામાં આવે, તો કોરિલેશન ફંક્શન બદલાશે નહીં, એટલે કે. .

ઇચ્છિત ક્રિયાના અમલીકરણ, ચોક્કસ પરિણામ તરફ દોરી જાય છે, તેને પ્રયોગ (અનુભવ) કહેવામાં આવે છે. જો, પ્રયોગનું વર્ણન કરતી પરિસ્થિતિઓના આધારે, તેનું પરિણામ અનુમાનિત છે, તો આવો પ્રયોગ છે નિર્ધારિત. (ઉદાહરણ: ઉપર ફેંકવામાં આવેલો પથ્થર ચોક્કસપણે નીચે પડી જશે. જીવનધોરણમાં વધારો થવાથી માલના વપરાશમાં વધારો થાય છે. સિસ્ટમ યુનિટમાં ભંગાણ કમ્પ્યુટરને અક્ષમ કરે છે.)

પ્રયોગ ગણવામાં આવે છે રેન્ડમ, જો તે જાણીતા પરિણામોના ચોક્કસ સમૂહમાં સમાપ્ત થઈ શકે છે, પરંતુ પ્રયોગ હાથ ધરવામાં આવે તે પહેલાં તે કહેવું અશક્ય છે કે કયો. ટીવી ચોક્કસ રેન્ડમ પ્રયોગો અથવા તેના બદલે મોડેલોની શોધ કરે છે રેન્ડમ પરિણામો સાથે પ્રયોગો. આ કિસ્સામાં, ફક્ત તે જ પ્રયોગો ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે જે શરતોના અપરિવર્તિત સમૂહ હેઠળ ઘણી વખત (ઓછામાં ઓછા સૈદ્ધાંતિક રીતે) પુનરાવર્તિત (પુનઃઉત્પાદિત) થઈ શકે છે. અમે વિચારણા કરીશું ઘટના પરીક્ષણ પરિણામ તરીકે. ઉદાહરણો: 1.શૂટર ઘણા ભાગોમાં વિભાજિત લક્ષ્ય પર ગોળીબાર કરે છે. શોટ એ એક કસોટી છે, લક્ષ્યના ચોક્કસ વિસ્તારને મારવી એ એક ઘટના છે. 2. એક ભઠ્ઠીમાંથી બોલને દૂર કરવો એ એક ચોક્કસ રંગના બોલનો દેખાવ છે. 3. પરીક્ષા પાસ કરવી એ એક કસોટી છે (એક રેન્ડમ પ્રયોગ), ગ્રેડ મેળવવો એ એક ઘટના છે.

કામનો અંત -

આ વિષય વિભાગનો છે:

સંભાવના સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડાઓ પર વ્યાખ્યાન નોંધો

અને ગાણિતિક આંકડા.. વિશેષતા માહિતી સંસાધન વ્યવસ્થાપન માટે..

જો તમને આ વિષય પર વધારાની સામગ્રીની જરૂર હોય, અથવા તમે જે શોધી રહ્યા હતા તે તમને મળ્યું નથી, તો અમે અમારા કાર્યોના ડેટાબેઝમાં શોધનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરીએ છીએ:

પ્રાપ્ત સામગ્રી સાથે અમે શું કરીશું:

જો આ સામગ્રી તમારા માટે ઉપયોગી હતી, તો તમે તેને સામાજિક નેટવર્ક્સ પર તમારા પૃષ્ઠ પર સાચવી શકો છો:

આ વિભાગના તમામ વિષયો:

સંભાવના સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડા અને અર્થશાસ્ત્ર અને વ્યવસ્થાપનમાં તેમની ભૂમિકાનો વિષય
સંભાવના સિદ્ધાંત એ ઉચ્ચ ગણિતના અભ્યાસક્રમનો એક વિશેષ વિભાગ છે જે સામૂહિક સજાતીય રેન્ડમ ઘટનાના ગાણિતિક દાખલાઓના અભ્યાસ સાથે વ્યવહાર કરે છે. જોઈએ

પ્રાથમિક ઘટનાઓની જગ્યા
પરીક્ષણના પરિણામે એક અને માત્ર એક જ ઘટના બનવા દો

સંયુક્ત અને બિન-સંયુક્ત ઘટનાઓ
આપેલ અનુભવમાં બે ઘટનાઓને સંયુક્ત કહેવામાં આવે છે જો તેમાંથી એકની ઘટના બીજી ઘટનાને બાકાત ન રાખે. ઉદાહરણો: અવિનાશી લક્ષ્યને મારવું ડી

ઇવેન્ટ ઓપરેશન્સના ગુણધર્મો
ઇવેન્ટ્સ પરની કામગીરીના કેટલાક ગુણધર્મોને અનુમાનિત કરવામાં આવે છે, અન્ય વેન ડાયાગ્રામનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી મેળવી શકાય છે. અમે આ પ્રોપર્ટીઝના મુખ્ય પુરાવા વિના રજૂ કરીએ છીએ.

ઘટનાઓનું બીજગણિત અને સિગ્મા બીજગણિત
કેટલાક રેન્ડમ પ્રયોગ માટે તમામ પ્રાથમિક પરિણામોની જગ્યા રહેવા દો, જેનું દરેક પરિણામ અનુરૂપ છે

પ્રમેય. સમાન ઘટનાઓની સમાન સંભાવનાઓ હોય છે, એટલે કે. જો, તો પછી
પુરાવો. ખરેખર, ઘટનાનું દરેક પ્રાથમિક પરિણામ એટલું જ પ્રાથમિક છે

ઘટનાની સંભાવનાનું આંકડાકીય નિર્ધારણ. અસમાન પરિણામોના કિસ્સાઓ
સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા મર્યાદિત લાગુ પડે છે. આમ, જો પરીક્ષણ પરિણામો સમાન રીતે શક્ય ન હોય તો તે અસ્વીકાર્ય છે.

ઘણા કિસ્સાઓમાં તે વધુ અનુકૂળ છે
ભૌમિતિક સંભાવનાઓ

અસંખ્ય પરિણામો સાથેના પરીક્ષણો માટે તેની અયોગ્યતા સાથે સંકળાયેલ સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યાના ગેરલાભને દૂર કરવા માટે, ભૌમિતિક સંભાવનાની વિભાવના રજૂ કરવામાં આવી છે.
સંભાવના સિદ્ધાંતનું સ્વયંસિદ્ધ બાંધકામ

સંભવિતતાના તાર્કિક રીતે સંપૂર્ણ સિદ્ધાંતનું નિર્માણ રેન્ડમ ઘટનાની સ્વયંસિદ્ધ વ્યાખ્યા અને તેની સંભાવના પર આધારિત છે. A.N. દ્વારા પ્રસ્તાવિત સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલીમાં. કોલમોગોરોવ, પ્રાથમિક શિક્ષણ
ઇવેન્ટ્સનું સંપૂર્ણ જૂથ

જો કોઈ અવ્યવસ્થિત પ્રયોગના કોઈપણ પરિણામ માટે, આ સમૂહમાં સમાવિષ્ટ ઘટનાઓમાંથી કોઈ એક ચોક્કસપણે થશે, તો જોડી પ્રમાણે અસંગત ઘટનાઓના સમૂહને ઘટનાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ કહેવામાં આવે છે.
શરતી સંભાવના

ઘણા કિસ્સાઓમાં, કેટલીક ઘટનાઓ બનવાની સંભાવનાઓ બીજી ઘટના બની છે કે નહીં તેના પર આધાર રાખે છે.
ઘટનાની સંભાવના, ગણતરી કરો

સંભાવનાઓ ઉમેરવા માટેનું સૂત્ર
પ્રમેય: અસંગત ઘટનાઓની મર્યાદિત સંખ્યાના સરવાળાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે

પ્રમેય: સમૂહમાં સ્વતંત્ર હોય તેવી મર્યાદિત સંખ્યામાં ઘટનાઓના ઉત્પાદનની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉત્પાદનની બરાબર છે
.

ચાલો આપણે આશ્રિત અને બિન-આશ્રિત માટે ઘટનાઓની સંભાવના માટેના સૂત્રોના ઉપયોગના તફાવતને સમજાવીએ.
કુલ સંભાવના ફોર્મ્યુલા

ઘટના માત્ર અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક સાથે થવા દો
બેઝ સૂત્ર

ઘટનાને એક સાથે અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક સાથે થવા દો
સરવાળો અને ઉત્પાદન નિયમો

સરવાળો નિયમ - જો તત્વ aને માર્ગે પસંદ કરી શકાય, અને તત્વ b m રીતે પસંદ કરી શકાય, તો આમાંથી એક
પ્રયોગોમાં બનતી ઘટનાની અસંગત સંભાવનાનો કેસ

અમે ધાર્યું કે દરેક પ્રયોગમાં ઘટના બનવાની સંભાવના સતત છે. વ્યવહારમાં, જ્યારે નિયોડીમિયમમાં પ્રયોગો હાથ ધરવામાં આવે છે ત્યારે વ્યક્તિ ઘણીવાર વધુ જટિલ કેસનો સામનો કરે છે.
ઘટના પ્રવાહનો ખ્યાલ

પોઈસનનું સૂત્ર કતાર સિદ્ધાંતમાં એપ્લિકેશન શોધે છે. તે તીવ્રતા સાથે ઘટનાઓના સરળ પ્રવાહના ગાણિતિક મોડેલ તરીકે ગણી શકાય
કાર્યો અને વિતરણ ઘનતાનો ઉપયોગ કરીને ઇવેન્ટ્સ

રેન્ડમ ચલ અને તેના ગુણધર્મોનું વિતરણ કાર્ય
પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, એક અલગ રેન્ડમ ચલ તેના તમામ સંભવિત મૂલ્યો અને તેમની સંભાવનાઓની સૂચિ દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. આ પદ્ધતિ સતત રેન્ડમ ચલો માટે લાગુ પડતી નથી, કારણ કે તે અશક્ય છે

વિતરણ કાર્યના ગુણધર્મો
ચાલો વિતરણ કાર્યની સંખ્યાબંધ ગુણધર્મો રજૂ કરીએ જે તેની વ્યાખ્યાથી સીધી રીતે અનુસરે છે.

1. વિતરણ કાર્ય અંતરાલમાંથી મૂલ્યો લે છે
સંભાવના ઘનતાના ગુણધર્મો

1. ખરેખર, કારણ કે વિતરણ કાર્ય એ ઘટતું ન થતું કાર્ય છે, તો પછી
રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા

ગાણિતિક અપેક્ષા રેન્ડમ ચલના સરેરાશ અપેક્ષિત મૂલ્યને દર્શાવે છે, એટલે કે. તેના સરેરાશ મૂલ્યની લગભગ સમાન (ગાણિતિક અપેક્ષાનો સંભવિત અર્થ). ક્યારેક આ xનું જ્ઞાન
ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મો

ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મો ઘડતા પહેલા, અંકગણિત કામગીરીનો અર્થ સ્પષ્ટ કરવો જરૂરી છે,
રેન્ડમ ચલ અને તેના ગુણધર્મોનું વિક્ષેપ

વ્યવહારમાં, તેના સરેરાશ મૂલ્યની આસપાસ રેન્ડમ ચલના વિક્ષેપનો અંદાજ કાઢવો ઘણીવાર જરૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે કંપનીઓના શેર સરેરાશ સમાન ડિવિડન્ડ ચૂકવી શકે છે, પરંતુ
પ્રમાણભૂત વિચલન

તેના સરેરાશ મૂલ્યની આસપાસ રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોના વિક્ષેપનો અંદાજ કાઢવા માટે, વિક્ષેપ ઉપરાંત, કેટલીક અન્ય લાક્ષણિકતાઓનો પણ ઉપયોગ થાય છે. આમાં સરેરાશ ચોરસ વિચલનનો સમાવેશ થાય છે
દ્વિપદી વિતરણ, તેની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા

બર્નૌલી યોજનામાં ઘટનાની સંખ્યા માટે રેન્ડમ ચલના વિતરણનો કાયદો છે
ઝેરનું વિતરણ

તે અગાઉ નોંધ્યું હતું કે જો ટ્રાયલની સંખ્યામાં વધારો થતાં ઉત્પાદન સ્થિર રહે છે, તો દ્વિપદી વિતરણ n
ભૌમિતિક વિતરણ

એક અલગ રેન્ડમ ચલમાં ભૌમિતિક વિતરણ હોય છે જો તે મૂલ્યો લે છે
સમાન વિતરણ

સતત રેન્ડમ ચલને સેગમેન્ટ (a,b) પર સમાનરૂપે વિતરિત ગણવામાં આવે છે જો તેની સંભાવના ઘનતાનું સ્વરૂપ હોય તો:
ઘાતાંકીય વિતરણ

સતત રેન્ડમ ચલના ઘાતાંકીય વિતરણને કહેવામાં આવે છે
સામાન્ય વિતરણ અને તેના ગુણધર્મો

સતત રેન્ડમ ચલમાં પરિમાણો સાથે સામાન્ય વિતરણ કાયદો હોય છે
ગૌસીયન કાર્યના ગુણધર્મો

સામાન્ય વિતરણના ઘનતા ગ્રાફને સામાન્ય ગૌસિયન વળાંક કહેવામાં આવે છે.
આપેલ અંતરાલમાં આવતા રેન્ડમ ચલની સંભાવના નક્કી કરવી ઘણીવાર જરૂરી છે. આ સંભાવનાને સીમા બિંદુઓ પર સંભાવના વિતરણ કાર્યમાં તફાવત તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે:

તેની ગાણિતિક અપેક્ષાથી સામાન્ય રેન્ડમ ચલનું વિચલન. ત્રણ સિગ્મા નિયમ
સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલનું તેના ગાણિતિક મૂલ્યમાંથી નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં વિચલન થવાની સંભાવનાની ગણતરી કરવી ઘણી વાર જરૂરી છે.

બહુવિધ રેન્ડમ ચલો
અત્યાર સુધી, અમે રેન્ડમ ચલોને ધ્યાનમાં લીધા છે જેના સંભવિત મૂલ્યો એક નંબર (વન-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પોઈન્ટની સંખ્યા જે રોલ કરી શકાય છે

દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલની સંભાવના વિતરણનો કાયદો
એક અલગ દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો આ જથ્થાના સંભવિત મૂલ્યોની સૂચિ છે, એટલે કે. વરાળ

બે રેન્ડમ ચલોનું સંયુક્ત વિતરણ કાર્ય
એક કાર્ય જે સંખ્યાઓની દરેક જોડી માટે સંભાવના નક્કી કરે છે

બે રેન્ડમ ચલોના સંયુક્ત વિતરણ કાર્યના ગુણધર્મો
1. સંયુક્ત વિતરણ કાર્યના મૂલ્યો અસમાનતાને સંતોષે છે:

2.
સતત દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ

વિતરણ ઘનતાનો ઉપયોગ કરીને સતત દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલનો ઉલ્લેખ કરી શકાય છે. સંયુક્ત સંભાવના ઘનતા
સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો

બે રેન્ડમ ચલોને સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે જો તેમાંના એકના વિતરણનો કાયદો અન્ય ચલના સંભવિત મૂલ્યો પર આધાર રાખતો નથી.
સહસંબંધ ક્ષણ

રેન્ડમ ચલો વચ્ચેની અવલંબનની લાક્ષણિકતા એ ગાણિતિક સમીકરણ છે.
સહસંબંધ ગુણાંકના ગુણધર્મો

1. 2. જો, તો
ચેબીશેવની અસમાનતા

ચોક્કસ મૂલ્યમાં તેની ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી રેન્ડમ ચલ X નું વિચલન ધન સંખ્યા e કરતાં ઓછી હોય તેવી સંભાવના કરતાં ઓછી નથી
ચેબીશેવનું પ્રમેય

જો જોડી પ્રમાણે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ હોય, અને તેમની ભિન્નતાઓ મર્યાદિત હોય (સતત સંખ્યા C થી વધુ ન હોય), તો પછી ભલે તે ગમે તેટલું નાનું હોય
કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય

સામાન્ય વિતરણ દ્વારા વર્ણવેલ રેન્ડમ ચલોના અત્યંત વ્યાપક વ્યાપનું કારણ એ.એમ. દ્વારા સાબિત થયેલ કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય દ્વારા સમજાવવામાં આવ્યું છે. લ્યાપુનોવ.
વસ્તીના ગુણધર્મોનું વિશ્લેષણ કરવા માટે નમૂના પદ્ધતિ

ગાણિતિક આંકડાશાસ્ત્રનો વિષય અવલોકન પરિણામો પર આધારિત રેન્ડમ ઘટનાઓ અને રેન્ડમ ચલોનો અભ્યાસ છે. વસ્તુઓ અથવા ઘટનાઓનો સમૂહ અમુક રીતે એક થાય છે
વ્યવહારમાં, વિવિધ પસંદગી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જેને બે પ્રકારમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: · પસંદગી કે જેમાં સામાન્ય વસ્તીને ભાગોમાં વિભાજીત કરવાની જરૂર નથી. આનો સમાવેશ થાય છે

અલગ અને સતત રેન્ડમ ચલો માટે વિવિધતા શ્રેણી
સામાન્ય વસ્તીમાંથી નમૂના લેવા દો, અને અભ્યાસ કરવામાં આવતા પરિમાણનું મૂલ્ય અવલોકન કરવામાં આવ્યું હતું

બહુકોણ અને હિસ્ટોગ્રામ
ગ્રાફિકલી રીતે, આંકડાકીય વિતરણ દર્શાવવામાં આવે છે, ખાસ કરીને, બહુકોણ અને હિસ્ટોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને.

આવર્તન બહુકોણ
પ્રયોગમૂલક વિતરણ કાર્ય

એક જથ્થાત્મક લાક્ષણિકતા X ના આંકડાકીય આવર્તનનું વિતરણ જાણીએ, ચાલો આપણે અવલોકનોની સંખ્યા દ્વારા સૂચિત કરીએ
આંકડાકીય અંદાજોના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો

સામાન્ય વસ્તીની કેટલીક માત્રાત્મક લાક્ષણિકતાઓનો અભ્યાસ કરવો જરૂરી છે. ચાલો ધારીએ કે સૈદ્ધાંતિક વિચારણાઓથી તે સ્થાપિત કરવું શક્ય હતું કે n નું વિતરણ શું છે
નમૂના સરેરાશ અને વિચલન

જથ્થાત્મક લાક્ષણિકતા X સંબંધિત સામાન્ય વસ્તીનો અભ્યાસ કરવા માટે કદ n ના નમૂનાને કાઢવા દો.
નમૂનાનો અર્થ

વિશ્વસનીયતા અને આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ
અત્યાર સુધી અમે બિંદુ અંદાજો ધ્યાનમાં લીધા છે, એટલે કે. આવા મૂલ્યાંકન કે જે એક નંબર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. નાના નમૂનાના કદ માટે, બિંદુ અંદાજ હોઈ શકે છે

જાણીતા ભિન્નતા સાથે સામાન્ય વિતરણની ગાણિતિક અપેક્ષા માટે વિશ્વાસ અંતરાલ
સામાન્ય વસ્તીની માત્રાત્મક લાક્ષણિકતા Xને સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવા દો, અને આ વિતરણનું પ્રમાણભૂત વિચલન જાણીતું છે. તેનું મૂલ્યાંકન કરવું જરૂરી છે

અજાણ્યા ભિન્નતા સાથે સામાન્ય વિતરણની ગાણિતિક અપેક્ષા માટે વિશ્વાસ અંતરાલ
સામાન્ય વસ્તીની માત્રાત્મક લાક્ષણિકતા X ને સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવા દો, અને આ વિતરણનું પ્રમાણભૂત વિચલન અજ્ઞાત છે. ટ્રે

સામાન્ય વિતરણના પ્રમાણભૂત વિચલનનો અંદાજ કાઢવા માટે વિશ્વાસ અંતરાલ
વસ્તીના માત્રાત્મક લાક્ષણિકતા X ને સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવા દો અને સુધારેલ નમૂના સરેરાશ k થી અજાણ્યા સામાન્ય પ્રમાણભૂત વિચલનનો અંદાજ કાઢવો જરૂરી છે.

આંકડાકીય પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ
છેલ્લા લેક્ચરમાં, અમે વસ્તીના અજાણ્યા પરિમાણો માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બનાવવાની સમસ્યા પર ધ્યાન આપ્યું. આજે આપણે ગાણિતિક આંકડાઓની મુખ્ય સમસ્યાઓનો અભ્યાસ કરવાનું ચાલુ રાખીશું

ડિસ્ટ્રિબ્યુશનના પ્રકાર માટે પીયર્સનની સારીતા-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટ
જો વિતરણ કાયદો અજ્ઞાત છે, પરંતુ તેનું ચોક્કસ સ્વરૂપ છે તેવું ધારવાનું કારણ છે, તો પછી શૂન્ય આર તપાસો.

(યુઆઈઆર). રીગ્રેસન વિશ્લેષણનો ખ્યાલ
બે અથવા વધુ રેન્ડમ ચલો વિધેયાત્મક અથવા આંકડાકીય રીતે સંબંધિત હોઈ શકે છે (સ્ટોચેસ્ટિકલી)

રીગ્રેસન વિશ્લેષણનો ખ્યાલ
સંબંધોની વિચારણા કરતી વખતે, એક નિયમ તરીકે, એક માત્રા (X) ને સ્વતંત્ર (સ્પષ્ટીકરણ) અને અન્ય (Y) ને આશ્રિત (સમજાયેલ) તરીકે ગણવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, પ્રથમ માં ફેરફાર

લીનિયર રીગ્રેશન
જો રીગ્રેસન ફંક્શન રેખીય છે, તો આપણે રેખીય રીગ્રેસન વિશે વાત કરીએ છીએ. લીનિયર રીગ્રેશન (રેખીય સમીકરણ) એ એક સામાન્ય (અને સરળ) પ્રકારનું અવલંબન છે

પ્રતિનિધિ મોડેલ
સતત વૃદ્ધિ દર સાથે ચલ Y માં ફેરફારોનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે ઘાતાંકીય કાર્યનો ઉપયોગ કરી શકાય છે

(યુઆઈઆર). સહસંબંધ વિશ્લેષણનો ખ્યાલ
આર્થિક ઘટનાઓ અને પ્રક્રિયાઓ એકબીજા સાથે ગાઢ રીતે જોડાયેલા છે અને આ સંબંધનો અભ્યાસ આર્થિક સંશોધનમાં મહત્વની ભૂમિકા ભજવે છે. વ્યક્તિગત અર્થતંત્રોના આંતરસંબંધોનું જ્ઞાન

A. જોડીવાર સહસંબંધ
રેખીય અને બિનરેખીય રીગ્રેશન બંનેનું સમીકરણ હંમેશા જોડાણની નિકટતાના સૂચક સાથે પૂરક છે.

રેખીય રીગ્રેશનનો ઉપયોગ કરતી વખતે
સમગ્ર રીગ્રેસન સમીકરણના મહત્વનું મૂલ્યાંકન

સમગ્ર રીગ્રેસન સમીકરણના મહત્વ (ગુણવત્તા) નું મૂલ્યાંકન ફિશર એફ-ટેસ્ટ (એફ-ટેસ્ટ) નો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, નલ પૂર્વધારણા આગળ મૂકવામાં આવે છે કે ગુણાંક
વ્યક્તિગત રીગ્રેસન પરિમાણોના મહત્વનું મૂલ્યાંકન

દરેક પરિમાણ માટે, તેની પ્રમાણભૂત ભૂલ નક્કી કરવામાં આવે છે. રેખીય રીગ્રેસન ગુણાંકની પ્રમાણભૂત ભૂલ o
B. બહુવિધ સહસંબંધ

મલ્ટીપલ રીગ્રેશનનો વ્યાપકપણે ઉત્પાદન ખર્ચ કાર્યનો અભ્યાસ કરવા, મેક્રો ઈકોનોમિક ગણતરીઓ વગેરેમાં ઉપયોગ થાય છે. આ કિસ્સામાં સહસંબંધ વિશ્લેષણનું મુખ્ય ધ્યેય નિર્માણ કરવાનું છે
(યુઆઈઆર). અલગ સમય માર્કોવ સાંકળો

માર્કોવ સાંકળોનો વ્યાપક ઉપયોગ આર્થિક સંશોધનમાં થાય છે, ખાસ કરીને કતાર પ્રણાલીના અભ્યાસમાં. કતાર પ્રક્રિયાઓના ઉદાહરણોમાં શામેલ છે:
સજાતીય માર્કોવ સાંકળો

માર્કોવ સાંકળ કે જેના માટે રાજ્યમાંથી સંક્રમણની શરતી સંભાવનાને સજાતીય કહેવામાં આવે છે
સંક્રમણ સંભાવનાઓ. ટ્રાન્ઝિશન મેટ્રિક્સ

સંક્રમણ સંભાવના એ રાજ્યમાંથી શરતી સંભાવના છે
માર્કોવ સમાનતા

ચાલો સંભાવના દ્વારા સૂચવીએ કે n પગલાં (ટ્રાયલ) ના પરિણામે સિસ્ટમ રાજ્યમાંથી ખસેડશે
માર્કોવ રેન્ડમ પ્રક્રિયાને સતત-સમયની માર્કોવ સાંકળ કહેવામાં આવે છે જો સિસ્ટમ રાજ્યથી રાજ્યમાં સંક્રમણ નિશ્ચિત સમયે ન થાય.

કોલમોગોરોવ સમીકરણો
સિસ્ટમમાં મર્યાદિત સંખ્યામાં રાજ્યો હોવા દો અને તેમાં બનતી રેન્ડમ પ્રક્રિયા દરેક રાજ્યોમાં સિસ્ટમની ચોક્કસ સંભાવનાઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

માર્કોવિયનના કિસ્સામાં
સિસ્ટમ સ્ટેટ્સની અંતિમ સંભાવનાઓ

જો સિસ્ટમમાં બનતી પ્રક્રિયા લાંબા સમય સુધી ચાલે છે, તો પછી સંભવિતતાઓની મર્યાદિત વર્તણૂક વિશે વાત કરવી અર્થપૂર્ણ છે.
કતારબદ્ધ સિસ્ટમો

સતત સમય સાથેની માર્કોવ રેન્ડમ પ્રક્રિયા કતારબદ્ધ સિસ્ટમ્સ (QS) માટે લાક્ષણિક છે.
QS માં રેન્ડમ સમયે પહોંચતી સેવા વિનંતીઓ

A. નિષ્ફળતાઓ સાથે સિંગલ-ચેનલ મોડેલ
સૌથી સરળ સિંગલ-ચેનલ QS મોડલ વિનંતીઓની રસીદ અને સેવાની અવધિ વચ્ચેના અંતરાલોના બંને સમયગાળાના ઘાતાંકીય વિતરણ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. ઘનતા વિતરિત

B. રાહ સાથે સિંગલ-ચેનલ મોડેલ
QS પાસે હજી પણ એક ચેનલ રહેવા દો, પરંતુ જ્યારે ચેનલ વ્યસ્ત હોય ત્યારે પ્રાપ્ત વિનંતી કતારમાં હોય છે અને સેવાની રાહ જુએ છે.

ચાલો ધારીએ કે આ સિસ્ટમ (કતાર + સેવા

મલ્ટિચેનલ મોડલ્સ

ચાલો આપણે નિષ્ફળતાઓ સાથે મલ્ટિ-ચેનલ QS ના કેસને ધ્યાનમાં લેવા માટે પોતાને મર્યાદિત કરીએ.મલ્ટિ-ચેનલમાં

સંભાવના જગ્યા એ એ.એન. કોલમોગોરોવના અક્ષીયશાસ્ત્રમાં રેન્ડમ પ્રયોગ (અનુભવ)નું ગાણિતિક મોડેલ છે. સંભાવના સ્પેસમાં સંભાવના સિદ્ધાંતના માધ્યમનો ઉપયોગ કરીને તેના ગાણિતિક વિશ્લેષણ માટે જરૂરી રેન્ડમ પ્રયોગના ગુણધર્મો વિશેની તમામ માહિતી શામેલ છે. સંભાવના સિદ્ધાંતમાં કોઈપણ સમસ્યા ચોક્કસ સંભાવના જગ્યાના માળખામાં ઉકેલવામાં આવે છે, જે શરૂઆતમાં સંપૂર્ણપણે ઉલ્લેખિત છે. સમસ્યાઓ કે જેમાં સંભાવનાની જગ્યા સંપૂર્ણપણે નિર્દિષ્ટ નથી, અને ગુમ થયેલ માહિતી અવલોકન પરિણામોમાંથી મેળવવી આવશ્યક છે, તે ગાણિતિક આંકડાઓના ક્ષેત્રની છે. વ્યાખ્યા:

સંભાવના જગ્યા

ટ્રિપલ છે, જ્યાં:

નોંધ કરો કે માપની સિગ્મા-એડિટિવિટીની છેલ્લી મિલકત નીચેનામાંથી કોઈપણ ગુણધર્મોની સમકક્ષ છે (સીમિત ઉમેરણ સહિત અન્ય તમામ ગુણધર્મોની પરિપૂર્ણતાને આધિન) અલગ. સ્વતંત્ર સંભાવના જગ્યાઓના કિસ્સામાં, ઘટનાઓને સામાન્ય રીતે તમામ સંભવિત સબસેટ તરીકે ગણવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, સંભાવના સુયોજિત કરવા માટે, દરેક પ્રાથમિક પરિણામને સંખ્યા સોંપવી જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે જેથી તેમનો સરવાળો 1 ની બરાબર હોય. પછી કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના નીચે પ્રમાણે નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે:

આવી જગ્યાનો એક મહત્વપૂર્ણ વિશિષ્ટ કેસ છે સંભાવનાઓને સ્પષ્ટ કરવાની ઉત્તમ રીત, જ્યારે પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા મર્યાદિત હોય અને તે બધાની સમાન સંભાવના હોય. પછી કોઈપણ ઘટનાની સંભાવનાને તેની શક્તિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (એટલે ​​​​કે પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા, અનુકૂળઆપેલ ઘટના) પ્રાથમિક પરિણામોની કુલ સંખ્યા માટે:

જો કે, તે હંમેશા યાદ રાખવું જરૂરી છે કે આ પદ્ધતિને લાગુ કરવા માટે, તે ખાતરી કરવી જરૂરી છે કે પ્રાથમિક પરિણામો ખરેખર સમાન રીતે સંભવિત છે. આ કાં તો પ્રારંભિક સ્થિતિ તરીકે ઘડવામાં આવવી જોઈએ, અથવા આ હકીકત હાલની પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓમાંથી સખત રીતે અનુમાનિત હોવી જોઈએ.

લીટી પર સંભવિત જગ્યાઓ

રેન્ડમ ચલોના અભ્યાસમાં લીટી () પર સંભવિત જગ્યાઓ કુદરતી રીતે ઊભી થાય છે. આ કિસ્સામાં, સામાન્ય કિસ્સામાં, રેખાના કોઈપણ ઉપગણોને ઘટનાઓ તરીકે ધ્યાનમાં લેવાનું હવે શક્ય નથી, કારણ કે આવા વિશાળ વર્ગ પર સંભવિતતા માપનો ઉલ્લેખ કરવો સામાન્ય રીતે અશક્ય છે જે જરૂરી સ્વયંસિદ્ધિઓને સંતોષે છે. કાર્ય કરવા માટે પૂરતી ઘટનાઓનું સાર્વત્રિક સિગ્મા બીજગણિત એ બોરેલ સેટનું સિગ્મા બીજગણિત છે: બધા ખુલ્લા સમૂહો ધરાવતું સૌથી નાનું સિગ્મા બીજગણિત. સમકક્ષ વ્યાખ્યા એ તમામ અંતરાલો ધરાવતી સૌથી નાની સિગ્મા બીજગણિત છે. આપેલ સિગ્મા બીજગણિત પર સંભાવના માપનો ઉલ્લેખ કરવાની સાર્વત્રિક રીત રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાર્ય દ્વારા છે.

મર્યાદિત-પરિમાણીય અવકાશમાં સંભાવના જગ્યાઓ

ઘણા પ્રાથમિક પરિણામો સાથેની સંભાવના જગ્યાઓ રેન્ડમ વેક્ટરના અભ્યાસમાંથી કુદરતી રીતે ઊભી થાય છે. આ કિસ્સામાં, ઘટનાઓનું સાર્વત્રિક સિગ્મા બીજગણિત એ બધા ખુલ્લા સમૂહો દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ બોરેલ સિગ્મા બીજગણિત પણ છે. મૂળભૂત રીતે, આ કેસ એક સીધી રેખાના કેસથી ઘણો અલગ નથી.

મૂળભૂત ખ્યાલો 1 ટીવી

1. 
   રેન્ડમ પ્રયોગ મોડેલ.
2. 
   ઇવેન્ટ્સ (રેન્ડમ ઇવેન્ટ્સ) અને તેમના ગુણધર્મો.
3. 
   સંભાવના અને તેના ગુણધર્મો.
4. 
   શરતી સંભાવના.
5. 
   ઘટનાઓની સ્વતંત્રતા.
6. 
   કુલ સંભાવના સૂત્ર.
7. 
   બેયસનું સૂત્ર.

1. 
   રેન્ડમ પ્રયોગ મોડેલ , સંભાવના જગ્યા.

આવા પ્રયોગનું મોડેલ સાથે છે ઑબ્જેક્ટના ત્રિપુટી પર સંમત થયા (Ω , એ ,પી):

Ω = { ω } - પ્રાથમિક પરિણામોની જગ્યા, પ્રયોગના તમામ સંભવિત પ્રાથમિક પરિણામોનો સમૂહ . વિવિધ પ્રાથમિક પરિણામો એકસાથે એકસાથે થઈ શકતા નથી.

એ = { A, B,...} - ઘટના વર્ગ,અમને રસ હોય તેવી ઘટનાઓનો સંપૂર્ણ સેટ .
દરેક ઘટનાપ્રયોગના સંભવિત પ્રાથમિક પરિણામોનો ચોક્કસ સબસેટ છે.

આર - સંભાવના માપઘટનાઓ પ્રયોગ .
દરેક ઘટના માટે એતેની સંભાવના નક્કી થાય છે આર(એ), એક નિયમ અનુસાર ગણતરી .

1. 
   ઇવેન્ટ પ્રોપર્ટીઝ :

પૂર્ણતાઘટના વર્ગ એ અર્થ:

એ) દરેક ઘટના સાથે એઅમે તેના પર પણ વિચાર કરી રહ્યા છીએ વધુમાં- ઇવેન્ટમાં સમાવેલ ન હોય તેવા પ્રયોગના તમામ સંભવિત પ્રાથમિક પરિણામોનો સમાવેશ કરતી ઇવેન્ટ એ;

બી) કોઈપણ બે ઘટનાઓ સાથે એ અને INઅમે તેમની સમીક્ષા કરી રહ્યા છીએ સંગઠન
, અને આંતરછેદ
.

પરિણામો:



કહેવાય છે વિશ્વસનીયએક ઘટના, અને કહેવાય છે અશક્યઘટના

જો =, તો ઘટનાઓ એઅને INકહેવાય છે અસંગત.

1. 
   સંભાવનાઓના ગુણધર્મો :

• 
  ક્લાસિકલ સંભાવના. જો

બી) તમામ પ્રાથમિક પરિણામો  ઘટનાઓ ( પ્રાથમિક ઘટનાઓ), ω  એ .

સી) તમામ પ્રાથમિક ઘટનાઓની સંભાવનાઓ સમાન છે ( સમાન સંભાવના માપ), આર(ω ) = 1 / n .

પછી કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના એમાં પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યાના પ્રમાણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે એ( એ) માં પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા પર Ω . આર(એ) =  એ ⁄  Ω  .

• 
  ભૌમિતિક સંભાવના. જો પ્રાથમિક પરિણામોની જગ્યા પર હોય Ω મર્યાદિત બિન-નકારાત્મક માપ આપવામાં આવે છે s (· ), પછી કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના એમાપના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે એ,s (એ), હદ સુધી Ω , s (Ω ). આર(એ) = s (એ) ⁄ s (Ω ).
• 
  વિતરણ ઘનતા.જો

બી) બિન-નકારાત્મક કાર્ય આપવામાં આવે છે આર (ω ), (આર (ω ) ≥ 0 ), વિસ્તાર સાથે ( s (· )) આંકડા વી Ω , શેડ્યૂલ દ્વારા મર્યાદિત આર (ω ) અને સંખ્યા અક્ષ Ω , ની સમાન 1 (s (વી Ω ) = 1).

એ) કાર્ય આર (ω ) કહેવાય છે વિતરણ ઘનતા.

બી) કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના એ⊆ Ω વિસ્તાર દ્વારા આપવામાં આવે છે s (વી એ) ગ્રાફ દ્વારા મર્યાદિત આકૃતિ આર (ω ) ટુકડાઓમાં એસંખ્યા અક્ષ અને સંખ્યા અક્ષ Ω . આર(એ) = s (વી એ).

1. 
   શરતી સંભાવના .

1. 
   ઘટનાઓની સ્વતંત્રતા .

ત્રણ ઘટનાઓ સામૂહિક રીતે સ્વતંત્રજો:
એ) તેમાંથી દરેક બે સ્વતંત્ર છે, અને
b) દરેક બે ઘટનાઓને ત્રીજી ઘટના સાથે સ્વતંત્ર રીતે જોડીને.

એકંદરે સ્વતંત્રતાનો ખ્યાલ એ જ રીતે મોટી સંખ્યામાં ઘટનાઓ સુધી વિસ્તરે છે.

1. 
   ઇવેન્ટ્સનું સંપૂર્ણ જૂથ .

1. 
   કુલ સંભાવના સૂત્ર.

આર(એ)) = ∑ i [પી(એન i)· આર(એ એન i)].

ઘટનાની સંભાવનાની ગણતરી આ ઘટનાની શરતી સંભાવનાઓના ભારિત સરવાળા તરીકે કરી શકાય છે, જો કે ઘટનાઓના સંપૂર્ણ જૂથમાંથી ઘટનાઓ આવી હોય, જ્યાં સંપૂર્ણ જૂથમાંથી અનુરૂપ ઘટનાઓની સંભાવનાઓને વેઇટીંગ ગુણાંક તરીકે લેવામાં આવે.

1. 
   બેઝ સૂત્ર .

આર એ (એન થી) = (આર(એએન થી)) ⁄ (આર(એ)) = (આર(એએન થી)) ⁄ (∑ i [પી(એન i)· આર(એ એન i)]).

1. 
   રેન્ડમ પ્રયોગના લાક્ષણિક મોડલ.

U(2). સૌથી સરળ અર્ન મોડલ.

બે બોલ વડે કલશમાંથી એક બોલ પાછો મેળવવો. આ મોડેલ બર્નૌલી મોડેલની સમકક્ષ છે IN (½).

યુ(n) અથવા આર(n). ક્લાસિક અર્ન મોડલ.

કલગીમાંથી બોલ પાછો મેળવવો nપુનઃક્રમાંકિત બોલ. પ્રાથમિક પરિણામ – પ્રાથમિક ઘટના – દોરેલા બોલની સંખ્યા. પ્રાથમિક ઘટનાઓની સમાન સંભાવના વિતરણ સાથે ક્લાસિકલ સંભાવના.

યુ(n; તે પ્રતિબદ્ધ કરવા માટે જરૂરી છે દો) . ભઠ્ઠીનું મોડેલ.
કલગીમાંથી બોલ પાછો મેળવવો તે પ્રતિબદ્ધ કરવા માટે જરૂરી છે દોસફેદ અને ( n – તે પ્રતિબદ્ધ કરવા માટે જરૂરી છે દો) કાળા દડા.
આ મોડેલ બર્નૌલી મોડેલની સમકક્ષ છે IN (તે પ્રતિબદ્ધ કરવા માટે જરૂરી છે દો / n).

1. 
   રેન્ડમ પ્રયોગોનો ક્રમ .

યુ(n *n). ક્રમિક નિષ્કર્ષણ અને સાથે એક કલગીમાંથી બે બોલનું વળતર nબોલ

યુ(2 * 2). અનુક્રમિક નિષ્કર્ષણ અને બે બોલ સાથેના કલશમાંથી બે બોલનું વળતર. આ મોડેલ દ્વિપદી મોડેલની સમકક્ષ છે IN (2; પી).

યુ(n *(n -1)). સાથે કલશમાંથી બે બોલ પરત કર્યા વિના સતત નિષ્કર્ષણ nબોલ