સંભાવના સિદ્ધાંત: સૂત્રો અને સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો. સંભાવના સિદ્ધાંત

ઘટનાઓનું શક્ય, સંભવિત અને રેન્ડમમાં વર્ગીકરણ. સરળ અને જટિલ પ્રાથમિક ઘટનાઓની વિભાવનાઓ. ઘટનાઓ પર કામગીરી. રેન્ડમ ઘટના અને તેના ગુણધર્મોની સંભાવનાની ઉત્તમ વ્યાખ્યા. સંભાવના સિદ્ધાંતમાં સંયોજનશાસ્ત્રના તત્વો. ભૌમિતિક સંભાવના. સંભાવના સિદ્ધાંતના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો.

ઘટના વર્ગીકરણ

સંભાવના સિદ્ધાંતની મૂળભૂત વિભાવનાઓમાંની એક ઘટનાનો ખ્યાલ છે. હેઠળ ઘટનાઅનુભવ અથવા કસોટીના પરિણામે આવી શકે તેવી કોઈપણ હકીકતને સમજો. હેઠળ અનુભવ, અથવા પરીક્ષણ, શરતોના ચોક્કસ સમૂહના અમલીકરણનો ઉલ્લેખ કરે છે.

ઘટનાઓના ઉદાહરણો:

- જ્યારે બંદૂકમાંથી ફાયરિંગ કરવામાં આવે ત્યારે લક્ષ્યને મારવું (અનુભવ - શોટ બનાવવો; ઘટના - લક્ષ્યને અથડાવી);
- ત્રણ વખત સિક્કો ફેંકતી વખતે બે પ્રતીકોનું નુકસાન (અનુભવ - ત્રણ વખત સિક્કો ફેંકવો; ઘટના - બે પ્રતીકોનું નુકસાન);
- લક્ષ્યની શ્રેણીને માપતી વખતે નિર્દિષ્ટ મર્યાદામાં માપન ભૂલનો દેખાવ (અનુભવ - શ્રેણી માપન; ઘટના - માપન ભૂલ).

આવા અસંખ્ય ઉદાહરણો આપી શકાય. ઘટનાઓ લેટિન મૂળાક્ષરો વગેરેના મોટા અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

ભેદ પાડવો સંયુક્ત ઘટનાઓઅને અસંગત. ઘટનાઓને સંયુક્ત કહેવામાં આવે છે જો તેમાંથી એકની ઘટના બીજાની ઘટનાને બાકાત ન રાખે. નહિંતર, ઘટનાઓને અસંગત કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે ડાઇસ ફેંકવામાં આવે છે. ઘટના એ પ્રથમ મૃત્યુ પર ત્રણ પોઈન્ટનું નુકસાન છે, ઘટના એ બીજા મૃત્યુ પર ત્રણ પોઈન્ટનું નુકસાન છે. અને - સંયુક્ત ઘટનાઓ. સ્ટોરને સમાન શૈલી અને કદના જૂતાની બેચ પ્રાપ્ત કરવા દો, પરંતુ વિવિધ રંગો. ઇવેન્ટ - અવ્યવસ્થિત રીતે લેવામાં આવેલા બૉક્સમાં કાળા જૂતા હશે, એક ઇવેન્ટ - બૉક્સમાં બ્રાઉન શૂઝ અને - અસંગત ઇવેન્ટ્સ હશે.

ઘટના કહેવાય છે વિશ્વસનીય, જો તે આપેલ પ્રયોગની શરતો હેઠળ થવાની ખાતરી છે.

ઘટનાને અશક્ય કહેવાય છે જો તે આપેલ અનુભવની શરતો હેઠળ ન થઈ શકે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રમાણભૂત ભાગોના બેચમાંથી પ્રમાણભૂત ભાગ લેવામાં આવશે તે ઘટના વિશ્વસનીય છે, પરંતુ બિન-માનક ભાગ અશક્ય છે.

ઘટના કહેવાય છે શક્ય, અથવા રેન્ડમ, જો અનુભવના પરિણામે તે દેખાઈ શકે છે, પરંતુ તે દેખાશે નહીં. રેન્ડમ ઘટનાનું ઉદાહરણ ફિનિશ્ડ ઉત્પાદનોના બેચના નિરીક્ષણ દરમિયાન ઉત્પાદનની ખામીઓની ઓળખ, પ્રોસેસ્ડ પ્રોડક્ટના કદ અને ઉલ્લેખિત ઉત્પાદન વચ્ચેની વિસંગતતા અથવા સ્વયંસંચાલિત નિયંત્રણ સિસ્ટમમાંની એક લિંકની નિષ્ફળતા હોઈ શકે છે. .

ઘટનાઓ કહેવામાં આવે છે સમાન રીતે શક્ય, જો, પરીક્ષણ શરતો અનુસાર, આમાંની કોઈ પણ ઘટના અન્ય કરતા વધુ ઉદ્દેશ્યથી શક્ય નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ઘણા મેન્યુફેક્ચરિંગ પ્લાન્ટ્સને સ્ટોરમાં લાઇટ બલ્બ સપ્લાય કરવા દો (અને સમાન માત્રામાં). આમાંની કોઈપણ ફેક્ટરીઓમાંથી લાઇટ બલ્બની ખરીદી સાથે સંકળાયેલી ઘટનાઓ સમાન રીતે શક્ય છે.

મહત્વનો ખ્યાલ છે ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ. આપેલ પ્રયોગમાં કેટલીક ઘટનાઓ એક સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે જો તેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક પ્રયોગના પરિણામ સ્વરૂપે દેખાવાની ખાતરી હોય. ઉદાહરણ તરીકે, એક ભઠ્ઠીમાં દસ દડા હોય છે, તેમાંથી છ લાલ હોય છે, ચાર સફેદ હોય છે અને પાંચ બોલમાં સંખ્યા હોય છે. - એક ડ્રો દરમિયાન લાલ બોલનો દેખાવ, - સફેદ બોલનો દેખાવ, - સંખ્યા સાથે બોલનો દેખાવ. ઘટનાઓ સંયુક્ત ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે.

ચાલો વિરોધી, અથવા વધારાની, ઘટનાનો ખ્યાલ રજૂ કરીએ. હેઠળ વિરુદ્ધકોઈ ઘટનાને એવી ઘટના તરીકે સમજવામાં આવે છે જે આવશ્યકપણે થવી જોઈએ જો કોઈ ઘટના ન બને. વિરોધી ઘટનાઓ અસંગત છે અને એકમાત્ર શક્ય છે. તેઓ ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો ઉત્પાદિત ઉત્પાદનોના બેચમાં સારા અને ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોનો સમાવેશ થાય છે, તો જ્યારે એક ઉત્પાદન દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે કાં તો સારી - ઘટના અથવા ખામીયુક્ત - ઘટના બની શકે છે.

ઘટનાઓ પર કામગીરી

સંભાવના સિદ્ધાંતમાં અવ્યવસ્થિત ઘટનાઓનો અભ્યાસ કરવા માટે ઉપકરણ અને પદ્ધતિ વિકસાવતી વખતે, ઘટનાઓના સરવાળા અને ઉત્પાદનનો ખ્યાલ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.

સંખ્યાબંધ ઘટનાઓનો સરવાળો, અથવા સંઘ, આ ઘટનાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ઘટનાનો સમાવેશ કરતી ઘટના છે.

ઘટનાઓનો સરવાળો નીચે મુજબ દર્શાવેલ છે:

ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ ઇવેન્ટ પ્રથમ શૉટ વડે લક્ષ્યને અથડાતી હોય, કોઈ ઇવેન્ટ - બીજા સાથે, તો ઘટના સામાન્ય રીતે લક્ષ્યને હિટ કરી રહી હોય, તે કોઈ વાંધો નથી કે કયા શૉટ સાથે - પ્રથમ, બીજો અથવા બંને એકસાથે.

અનેક ઘટનાઓનું ઉત્પાદન અથવા આંતરછેદ એ આ બધી ઘટનાઓની સંયુક્ત ઘટનાનો સમાવેશ કરતી ઘટના છે.

ઘટનાઓનું ઉત્પાદન સૂચવવામાં આવ્યું છે

ઉદાહરણ તરીકે, જો ઘટના એ છે કે લક્ષ્યને પ્રથમ શોટથી ફટકારવામાં આવ્યું છે, ઘટના એ છે કે લક્ષ્ય બીજા શોટથી હિટ થયું છે, તો ઘટના એ છે કે લક્ષ્ય બંને શોટથી હિટ થયું હતું.

ઘટનાઓના સરવાળા અને ઉત્પાદનની વિભાવનાઓ સ્પષ્ટ ભૌમિતિક અર્થઘટન ધરાવે છે. ઇવેન્ટમાં પ્રદેશમાં પ્રવેશવાના બિંદુનો સમાવેશ થવા દો, ઇવેન્ટમાં પ્રદેશમાં પ્રવેશવાનો સમાવેશ થાય છે, પછી ઇવેન્ટમાં ફિગમાં છાંયેલા પ્રદેશમાં પ્રવેશવાના બિંદુનો સમાવેશ થાય છે. 1, અને ઘટના એ છે કે જ્યારે કોઈ બિંદુ ફિગમાં છાંયેલા વિસ્તારને હિટ કરે છે. 2.

રેન્ડમ ઘટનાની સંભાવનાની ઉત્તમ વ્યાખ્યા

ઘટનાઓની તેમની ઘટનાની સંભાવનાની ડિગ્રી અનુસાર જથ્થાત્મક રીતે તુલના કરવા માટે, સંખ્યાત્મક માપ રજૂ કરવામાં આવે છે, જેને ઘટનાની સંભાવના કહેવામાં આવે છે.

ઘટનાની સંભાવના એ એક સંખ્યા છે જે ઘટના બનવાની ઉદ્દેશ્ય સંભાવનાના માપને વ્યક્ત કરે છે.

ઘટનાની સંભાવના પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવશે.

ઘટનાની સંભાવના તેના માટે અનુકૂળ કેસોની સંખ્યાના ગુણોત્તર જેટલી છે, અનન્ય રીતે શક્ય, સમાન રીતે શક્ય અને અસંગત કેસોની કુલ સંખ્યામાંથી, સંખ્યા સાથેએટલે કે

આ સંભાવનાની ઉત્તમ વ્યાખ્યા છે. આમ, ઘટનાની સંભાવના શોધવા માટે, પરીક્ષણના વિવિધ પરિણામોને ધ્યાનમાં લીધા પછી, અનન્ય રીતે શક્ય, સમાન રીતે શક્ય અને અસંગત કેસોનો સમૂહ શોધવા માટે, તેમની કુલ સંખ્યાની ગણતરી કરવી જરૂરી છે, આપેલ માટે અનુકૂળ કેસોની સંખ્યા. ઘટના, અને પછી સૂત્ર (1.1) નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરો.

ફોર્મ્યુલા (1.1) થી તે અનુસરે છે કે ઘટનાની સંભાવના બિન-નકારાત્મક સંખ્યા છે અને તે કેસોની કુલ સંખ્યામાંથી અનુકૂળ સંખ્યાના પ્રમાણના આધારે શૂન્યથી એકમાં બદલાઈ શકે છે:

સંભાવનાના ગુણધર્મો

મિલકત 1. જો તમામ કિસ્સાઓ આપેલ ઘટના માટે અનુકૂળ હોય, તો આ ઘટના ચોક્કસ બનવાની છે. પરિણામે, પ્રશ્નમાંની ઘટના વિશ્વસનીય છે, અને તેની ઘટનાની સંભાવના છે, કારણ કે આ કિસ્સામાં

મિલકત 2. જો આપેલ ઘટના માટે એક પણ કેસ અનુકૂળ ન હોય, તો અનુભવના પરિણામે આ ઘટના બની શકતી નથી. પરિણામે, પ્રશ્નમાંની ઘટના અશક્ય છે, અને તેની ઘટનાની સંભાવના છે, કારણ કે આ કિસ્સામાં:

મિલકત 3. સંપૂર્ણ જૂથ બનાવતી ઘટનાઓની ઘટનાની સંભાવના એક સમાન છે.

મિલકત 4. વિપરીત ઘટનાની ઘટનાની સંભાવના એ જ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે જેમ કે ઘટનાની ઘટનાની સંભાવના:

વિરુદ્ધ ઘટનાની ઘટના માટે અનુકૂળ કેસોની સંખ્યા ક્યાં છે. આથી વિપરીત ઘટના બનવાની સંભાવના એકતા અને ઘટના બનવાની સંભાવના વચ્ચેના તફાવત જેટલી છે:

ઘટનાની સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યાનો મહત્વનો ફાયદો એ છે કે તેની મદદથી ઘટનાની સંભાવનાને અનુભવનો આશરો લીધા વિના પણ તાર્કિક તર્કના આધારે નક્કી કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ 1. ફોન નંબર ડાયલ કરતી વખતે, ગ્રાહક એક અંક ભૂલી ગયો અને તેને રેન્ડમ ડાયલ કર્યો. સાચો નંબર ડાયલ થયો હોવાની સંભાવના શોધો.

ઉકેલ. ચાલો એ ઘટનાને દર્શાવીએ કે જરૂરી નંબર ડાયલ કરવામાં આવ્યો છે. સબ્સ્ક્રાઇબર 10 અંકોમાંથી કોઈપણ ડાયલ કરી શકે છે, તેથી સંભવિત પરિણામોની કુલ સંખ્યા 10 છે. આ પરિણામો એકમાત્ર શક્ય છે (અંકોમાંથી એક ડાયલ થવો જોઈએ) અને સમાન રીતે શક્ય છે (અંક રેન્ડમ પર ડાયલ કરવામાં આવે છે). માત્ર એક જ પરિણામ ઘટનાની તરફેણ કરે છે (ત્યાં માત્ર એક જરૂરી સંખ્યા છે). જરૂરી સંભાવના એ ઘટનાને અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને તમામ પરિણામોની સંખ્યાના ગુણોત્તર જેટલી છે:

સંયોજનશાસ્ત્રના તત્વો

સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, પ્લેસમેન્ટ, ક્રમચયો અને સંયોજનોનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. જો સેટ આપવામાં આવે તો પ્લેસમેન્ટ (સંયોજન)દ્વારા તત્વો એ સમૂહના ઘટકોનો કોઈપણ ક્રમબદ્ધ (અક્રમિત) સબસેટ છે. જ્યારે મૂકવામાં આવે છે ત્યારે કહેવામાં આવે છે પુનર્ગઠનતત્વોમાંથી.

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, એક સેટ આપવામાં આવે. બે ના આ સમૂહના ત્રણ ઘટકોની પ્લેસમેન્ટ છે , , , , , ; સંયોજનો - , , .

બે સંયોજનો ઓછામાં ઓછા એક ઘટકમાં ભિન્ન હોય છે, અને પ્લેસમેન્ટ એ તત્વોમાં અથવા તેઓ જે ક્રમમાં દેખાય છે તેમાં ભિન્ન હોય છે. દ્વારા તત્વોના સંયોજનોની સંખ્યા સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે

દ્વારા તત્વોની પ્લેસમેન્ટની સંખ્યા છે; - તત્વોના ક્રમચયોની સંખ્યા.

ઉદાહરણ 2. 10 ભાગોના બેચમાં 7 પ્રમાણભૂત છે. રેન્ડમ લેવામાં આવેલા 6 ભાગોમાંથી બરાબર 4 પ્રમાણભૂત હોય તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ. સંભવિત પરીક્ષણ પરિણામોની કુલ સંખ્યા 10માંથી 6 ભાગો કાઢવાની રીતોની સંખ્યા જેટલી છે, એટલે કે, 6 ના 10 ઘટકોના સંયોજનોની સંખ્યા જેટલી. ઘટનાને અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (6 વચ્ચે લેવામાં આવેલા ભાગો ત્યાં બરાબર 4 પ્રમાણભૂત છે) નીચે પ્રમાણે નક્કી કરવામાં આવે છે: 4 પ્રમાણભૂત ભાગો 7 પ્રમાણભૂત ભાગોમાંથી જુદી જુદી રીતે લઈ શકાય છે; આ કિસ્સામાં, બાકીના ભાગો બિન-માનક હોવા જોઈએ; બિન-માનક ભાગોમાંથી 2 બિન-માનક ભાગો લેવાની રીતો છે. તેથી, અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા બરાબર છે. પ્રારંભિક સંભાવના ઘટનાને અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને તમામ પરિણામોની સંખ્યાના ગુણોત્તર જેટલી છે:

સંભાવનાની આંકડાકીય વ્યાખ્યા

ફોર્મ્યુલા (1.1) નો ઉપયોગ ઘટનાઓની સંભાવનાઓની સીધી ગણતરી કરવા માટે થાય છે જ્યારે અનુભવ કેસોની પેટર્નમાં ઘટાડો થાય છે. વ્યવહારમાં, સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા ઘણીવાર બે કારણોસર લાગુ પડતી નથી: પ્રથમ, સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા ધારે છે કે કેસોની કુલ સંખ્યા મર્યાદિત હોવી જોઈએ. હકીકતમાં, તે ઘણીવાર મર્યાદિત નથી. બીજું, પ્રયોગના પરિણામોને સમાન રીતે શક્ય અને અસંગત ઘટનાઓના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવું ઘણીવાર અશક્ય છે.

પુનરાવર્તિત પ્રયોગો દરમિયાન ઘટનાઓની આવર્તન અમુક સ્થિર મૂલ્યની આસપાસ સ્થિર થવાનું વલણ ધરાવે છે. આમ, એક ચોક્કસ સ્થિર મૂલ્ય વિચારણા હેઠળની ઘટના સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે, જેની આસપાસ ફ્રીક્વન્સીઝનું જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે અને જે પરિસ્થિતિઓના સમૂહ જે હેઠળ પ્રયોગો હાથ ધરવામાં આવે છે અને ઘટના વચ્ચે ઉદ્દેશ્ય જોડાણની લાક્ષણિકતા છે.

અવ્યવસ્થિત ઘટનાની સંભાવના એ સંખ્યા છે જેની આસપાસ આ ઘટનાની ફ્રીક્વન્સીઝને જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે કારણ કે અજમાયશની સંખ્યા વધે છે.

સંભાવનાની આ વ્યાખ્યા કહેવામાં આવે છે આંકડાકીય

સંભાવના નક્કી કરવાની આંકડાકીય પદ્ધતિનો ફાયદો એ છે કે તે વાસ્તવિક પ્રયોગ પર આધારિત છે. જો કે, તેની નોંધપાત્ર ખામી એ છે કે સંભાવના નક્કી કરવા માટે મોટી સંખ્યામાં પ્રયોગો કરવા જરૂરી છે, જે ઘણી વાર સામગ્રી ખર્ચ સાથે સંકળાયેલા હોય છે. ઘટનાની સંભાવનાની આંકડાકીય વ્યાખ્યા, જો કે તે આ ખ્યાલની સામગ્રીને સંપૂર્ણપણે છતી કરે છે, તે ખરેખર સંભાવનાની ગણતરી કરવાનું શક્ય બનાવતું નથી.

સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા સમાન સંભવિત ઘટનાઓની મર્યાદિત સંખ્યાના સંપૂર્ણ જૂથને ધ્યાનમાં લે છે. વ્યવહારમાં, ઘણી વાર સંભવિત પરીક્ષણ પરિણામોની સંખ્યા અનંત હોય છે. આવા કિસ્સાઓમાં, સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા લાગુ પડતી નથી. જો કે, કેટલીકવાર આવા કિસ્સાઓમાં તમે સંભાવનાની ગણતરી કરવાની બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો. નિશ્ચિતતા માટે, અમે અમારી જાતને દ્વિ-પરિમાણીય કેસ સુધી મર્યાદિત કરીએ છીએ.

વિસ્તારનો ચોક્કસ પ્રદેશ, જેમાં ક્ષેત્રફળનો બીજો વિસ્તાર હોય, પ્લેન પર આપવામાં આવે (ફિગ. 3). એક બિંદુ રેન્ડમ વિસ્તારમાં ફેંકવામાં આવે છે. કોઈ બિંદુ પ્રદેશમાં પડવાની સંભાવના કેટલી છે? એવું માનવામાં આવે છે કે રેન્ડમ પર ફેંકવામાં આવેલ બિંદુ પ્રદેશના કોઈપણ બિંદુને અથડાવી શકે છે, અને પ્રદેશના કોઈપણ ભાગને અથડાવાની સંભાવના તે ભાગના ક્ષેત્રના પ્રમાણસર છે અને તે તેના સ્થાન અને આકાર પર આધારિત નથી. આ કિસ્સામાં, વિસ્તારમાં પ્રવેશવાની સંભાવના

આમ, સામાન્ય કિસ્સામાં, જો રેખા, પ્લેન અથવા અવકાશમાં કોઈ ચોક્કસ ક્ષેત્રની અંદર કોઈ બિંદુના રેન્ડમ દેખાવની શક્યતા આ વિસ્તારની સ્થિતિ અને તેની સીમાઓ દ્વારા નહીં, પરંતુ માત્ર તેના કદ, એટલે કે લંબાઈ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. , વિસ્તાર અથવા વોલ્યુમ, પછી ચોક્કસ પ્રદેશની અંદર આવતા રેન્ડમ બિંદુની સંભાવનાને આ પ્રદેશના કદના ગુણોત્તર અને સમગ્ર પ્રદેશના કદના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમાં આપેલ બિંદુ દેખાઈ શકે છે. આ સંભાવનાની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા છે.

ઉદાહરણ 3. ગોળાકાર લક્ષ્ય સતત કોણીય વેગ પર ફરે છે. લક્ષ્યનો પાંચમો ભાગ લીલો રંગવામાં આવ્યો છે, અને બાકીનો સફેદ છે (ફિગ. 4). લક્ષ્ય પર એવી રીતે ગોળી ચલાવવામાં આવે છે કે લક્ષ્યને ફટકારવું એ વિશ્વસનીય ઘટના છે. તમે લક્ષ્ય સેક્ટર રંગીન લીલા હિટ સંભવિતતા નક્કી કરવાની જરૂર છે.

ઉકેલ. ચાલો સૂચિત કરીએ કે "શોટ સેક્ટર રંગીન લીલો હતો." પછી . સંભવિતતા એ લક્ષ્યના ભાગના વિસ્તારના ગુણોત્તર તરીકે પ્રાપ્ત થાય છે જે લક્ષ્યના સમગ્ર વિસ્તાર સાથે લીલા રંગમાં દોરવામાં આવે છે, કારણ કે લક્ષ્યના કોઈપણ ભાગને હિટ કરવું સમાન રીતે શક્ય છે.

સંભાવના સિદ્ધાંતના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો

રેન્ડમ ઘટનાની સંભાવનાની આંકડાકીય વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે ઘટનાની સંભાવના એ સંખ્યા છે કે જેની આસપાસ પ્રાયોગિક રીતે અવલોકન કરાયેલ આ ઘટનાની ફ્રીક્વન્સીઝને જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે. તેથી, સંભાવના સિદ્ધાંતના સ્વયંસિદ્ધ પરિચય આપવામાં આવે છે જેથી કરીને ઘટનાની સંભાવના આવર્તનના મૂળભૂત ગુણધર્મો ધરાવે છે.

સ્વયંસિદ્ધ 1. દરેક ઘટના ચોક્કસ સંખ્યાને અનુલક્ષે છે જે સ્થિતિને સંતોષે છે અને તેને તેની સંભાવના કહેવામાં આવે છે.

નિઝની નોવગોરોડ સ્ટેટ ટેકનિકલ યુનિવર્સિટી

તેમને એ.ઇ. અલેકસીવા

સંભાવનાના શિસ્ત સિદ્ધાંત પર અમૂર્ત

આના દ્વારા પૂર્ણ: Ruchina N.A gr 10MEnz

દ્વારા ચકાસાયેલ: ગ્લેડકોવ વી.વી.

નિઝની નોવગોરોડ, 2011

સંભાવના સિદ્ધાંત ………………………………………

સંભાવના સિદ્ધાંતનો વિષય………………………

સંભાવના સિદ્ધાંતની મૂળભૂત વિભાવનાઓ………………

રેન્ડમ ઘટનાઓ, ઘટનાઓની સંભાવનાઓ………………………………………………………………

મર્યાદા પ્રમેય ………………………………………

રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ………………………………………………………

ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ ………………………………………………………

વપરાયેલ સાહિત્ય ………………………………………………………………

સંભાવના સિદ્ધાંત

સંભાવના સિદ્ધાંત -એક ગાણિતિક વિજ્ઞાન કે જે કેટલીક રેન્ડમ ઘટનાઓની સંભાવનાઓથી માંડીને પ્રથમ ઘટનાથી સંબંધિત અન્ય રેન્ડમ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ શોધવાની મંજૂરી આપે છે.

એક નિવેદન કે ઘટના સંભાવના સાથે થાય છે , સમાન, ઉદાહરણ તરીકે, 0.75, પોતે અંતિમ મૂલ્યનું પ્રતિનિધિત્વ કરતું નથી, કારણ કે અમે વિશ્વસનીય જ્ઞાન માટે પ્રયત્નશીલ છીએ. અંતિમ જ્ઞાનાત્મક મૂલ્ય એ સંભાવના સિદ્ધાંતના તે પરિણામો છે જે અમને જણાવવા દે છે કે કોઈપણ ઘટનાની ઘટનાની સંભાવના એએકતાની ખૂબ નજીક અથવા (જે સમાન છે) ઘટના ન બનવાની સંભાવના એખૂબ નાનું. "પર્યાપ્ત નાની સંભાવનાઓની અવગણના" ના સિદ્ધાંત અનુસાર, આવી ઘટનાને વ્યવહારીક રીતે ચોક્કસ માનવામાં આવે છે. આ પ્રકારના તારણો કે જેમાં વૈજ્ઞાનિક અને વ્યવહારુ રુચિ હોય છે તે સામાન્ય રીતે એવી ધારણા પર આધારિત હોય છે કે ઘટનાની ઘટના અથવા બિન-ઘટના એઅસંખ્ય અવ્યવસ્થિત પરિબળો પર આધાર રાખે છે, એકબીજા સાથે થોડું સંબંધિત છે . તેથી, અમે એમ પણ કહી શકીએ કે સંભાવના સિદ્ધાંત એ ગાણિતિક વિજ્ઞાન છે જે મોટી સંખ્યામાં રેન્ડમ પરિબળોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા દરમિયાન ઉદ્ભવતા દાખલાઓને સ્પષ્ટ કરે છે.

સંભાવના સિદ્ધાંતનો વિષય

સંભાવના સિદ્ધાંતનો વિષય.અમુક પરિસ્થિતિઓ વચ્ચેના કુદરતી સંબંધનું વર્ણન કરવા માટે એસઅને ઘટના એ,ઘટના અથવા બિન-ઘટના કે જે આપેલ પરિસ્થિતિઓ હેઠળ ચોક્કસ રીતે નક્કી કરી શકાય છે, કુદરતી વિજ્ઞાન સામાન્ય રીતે નીચેની બે યોજનાઓમાંથી એકનો ઉપયોગ કરે છે:

a) જ્યારે પણ શરતો પૂરી થાય છે એસએક ઘટના આવે છે એ.ઉદાહરણ તરીકે, આ ફોર્મમાં શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સના તમામ નિયમો છે, જે જણાવે છે કે શરીર અથવા શરીરની સિસ્ટમ પર કાર્ય કરતી પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ અને દળોને જોતાં, ચળવળ અનન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત રીતે થશે.

b) શરતો હેઠળ એસઘટના એચોક્કસ સંભાવના છે પી(A/S), ની સમાન આર.તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, કિરણોત્સર્ગી કિરણોત્સર્ગના નિયમો જણાવે છે કે દરેક કિરણોત્સર્ગી પદાર્થ માટે ચોક્કસ સંભાવના છે કે આપેલ સમયગાળામાં પદાર્થની આપેલ રકમમાંથી અમુક સંખ્યાનો ક્ષય થશે. એનઅણુ

ચાલો તેને ઘટનાની આવર્તન કહીએ એથી આ શ્રેણીમાં nપરીક્ષણો (એટલે ​​​​કે, થી nશરતોનું પુનરાવર્તિત અમલીકરણ એસ) વલણ h = m/nસંખ્યાઓ mતે પરીક્ષણો જેમાં એઆવ્યા, તેમની કુલ સંખ્યા nઇવેન્ટની ઉપલબ્ધતા એશરતો હેઠળ એસસમાન ચોક્કસ સંભાવના p,તે હકીકતમાં પોતાને પ્રગટ કરે છે કે પરીક્ષણોની લગભગ દરેક પૂરતી લાંબી શ્રેણીમાં ઘટનાની આવર્તન એલગભગ સમાન આર.

આંકડાકીય પેટર્ન, એટલે કે, પ્રકાર (b) ની યોજના દ્વારા વર્ણવેલ પેટર્ન, સૌપ્રથમ ડાઇસ જેવી જુગારની રમતોમાં શોધવામાં આવી હતી. જન્મ અને મૃત્યુના આંકડાકીય દાખલાઓ પણ ઘણા લાંબા સમયથી જાણીતા છે (ઉદાહરણ તરીકે, નવજાત છોકરો હોવાની સંભાવના 0.515 છે). 19મી સદીના અંતમાં અને 20મી સદીના પહેલા ભાગમાં. ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર, જીવવિજ્ઞાન વગેરેમાં મોટી સંખ્યામાં આંકડાકીય કાયદાઓની શોધ દ્વારા ચિહ્નિત થયેલ છે.

વિજ્ઞાનના ક્ષેત્રો કે જે એકબીજાથી ખૂબ જ દૂર છે તેનાથી સંબંધિત આંકડાકીય પેટર્નના અભ્યાસમાં સંભાવના સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓ લાગુ કરવાની શક્યતા એ હકીકત પર આધારિત છે કે ઘટનાઓની સંભાવનાઓ હંમેશા ચોક્કસ સરળ સંબંધોને સંતોષે છે. આ સરળ સંબંધોના આધારે ઘટનાની સંભાવનાઓના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ એ સંભાવના સિદ્ધાંતનો વિષય છે.

સંભાવના સિદ્ધાંતની મૂળભૂત વિભાવનાઓ

સંભાવના સિદ્ધાંતની મૂળભૂત વિભાવનાઓ.સંભાવના સિદ્ધાંતની મૂળભૂત વિભાવનાઓ, ગાણિતિક શિસ્ત તરીકે, કહેવાતા પ્રાથમિક સંભાવના સિદ્ધાંતના માળખામાં સૌથી સરળ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. દરેક ટેસ્ટ ટી,પ્રાથમિક સંભાવના સિદ્ધાંતમાં માનવામાં આવે છે કે તે એક અને માત્ર એક ઘટનામાં સમાપ્ત થાય છે ઇ 1 ,ઇ 2 ,..., ઇએસ (કેસ પર આધાર રાખીને એક રીતે અથવા અન્ય). આ ઘટનાઓને ટ્રાયલ પરિણામ કહેવામાં આવે છે. દરેક પરિણામ સાથે ઇ kસકારાત્મક સંખ્યા સંકળાયેલ છે આર થી - આ પરિણામની સંભાવના. સંખ્યાઓ પી kએક સુધી ઉમેરવું જોઈએ. પછી ઘટનાઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે એ,એ હકીકતમાં સમાવિષ્ટ છે કે "તે થાય છે અથવા ઇ i , અથવા ઇ j ,..., અથવા ઇ k" પરિણામો ઇ i ,ઇ j ,..., ઇ kઅનુકૂળ કહેવાય છે એ,અને વ્યાખ્યા દ્વારા તેઓ સંભાવનાને ધારે છે આર(એ) ઘટનાઓ એ, તેના માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંભાવનાઓના સરવાળા સમાન:

પી(એ) =પી i +પી s +… +પી k . (1)

ખાસ કેસ પી 1 =પી 2 =...પી s = 1/એસસૂત્ર તરફ દોરી જાય છે

આર(એ) =r/s(2)

ફોર્મ્યુલા (2) સંભાવનાની કહેવાતી શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા વ્યક્ત કરે છે, જે મુજબ ઘટનાની સંભાવના એસંખ્યાના ગુણોત્તર સમાન આરપરિણામો સાનુકૂળ એ,નંબર સુધી sબધા "સમાન શક્ય" પરિણામો. સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા ફક્ત "સંભાવના" ની વિભાવનાને "સમાન સંભાવના" ની વિભાવનામાં ઘટાડે છે, જે સ્પષ્ટ વ્યાખ્યા વિના રહે છે.

ઉદાહરણ. બે પાસા ફેંકતી વખતે, 36 સંભવિત પરિણામોમાંથી દરેકને આના દ્વારા સૂચવી શકાય છે ( i,j), જ્યાં i- પ્રથમ ડાઇસ પર વળેલા પોઈન્ટની સંખ્યા, j-બીજા પર. પરિણામો સમાન સંભવિત હોવાનું માનવામાં આવે છે. ઘટના A -“બિંદુઓનો સરવાળો 4 છે”, ત્રણ પરિણામો અનુકૂળ છે (1; 3), (2; 2), (3; 1). આથી, આર(એ) = 3/36= 1/12.

આપેલ કોઈપણ ઘટનાઓના આધારે, બે નવી ઘટનાઓ નક્કી કરી શકાય છે: તેમનું યુનિયન (સરવાળા) અને સંયોજન (ઉત્પાદન).

ઘટના INઇવેન્ટ પૂલિંગ કહેવાય છે એ 1 , એ 2 ,..., એ આર ,-, જો તેનું સ્વરૂપ છે: “આવે છે અથવા એ 1 , અથવા એ 2 ,..., અથવા એ આર ».

ઘટના C ને ઘટનાઓનું સંયોજન કહેવામાં આવે છે એ 1 , એ. 2 ,..., એ આર , જો તેનું સ્વરૂપ છે: “આવે છે અને એ 1 , અને એ 2 ,..., અને એ આર » . ઘટનાઓનું વિલીનીકરણ એ ચિહ્ન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને સંયોજનને ચિહ્ન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આમ, તેઓ લખે છે:

બી = એ 1  એ 2  …  એ આર , સી = એ 1  એ 2  …  એ આર .

ઘટનાઓ એઅને INઅસંગત કહેવામાં આવે છે જો તેમનો એક સાથે અમલ અશક્ય છે, એટલે કે, જો પરીક્ષણ પરિણામોમાં એક પણ અનુકૂળ ન હોય અને એઅને IN

ઘટનાઓને સંયોજિત કરવા અને સંયોજિત કરવાના પરિચયિત ઓપરેશન્સ સંભવિતતા સિદ્ધાંતના બે મુખ્ય પ્રમેય સાથે સંકળાયેલા છે - સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકારના પ્રમેય.

સંભાવના ઉમેરણ પ્રમેય: જો ઘટનાઓ એ 1 ,એ 2 ,...,એ આરએવા છે કે તેમાંના દરેક બે અસંગત છે, તો પછી તેમના જોડાણની સંભાવના તેમની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે.

તેથી, બે ડાઇસ ફેંકવાના ઉપરના ઉદાહરણમાં, ઘટના માં -"બિંદુઓનો સરવાળો 4 થી વધુ નથી", ત્યાં ત્રણ અસંગત ઘટનાઓનું જોડાણ છે એ 2 ,એ 3 ,એ 4, એ હકીકતમાં સમાવિષ્ટ છે કે પોઈન્ટનો સરવાળો અનુક્રમે 2, 3, 4 છે, આ ઘટનાઓની સંભાવના 1/36 છે; 2/36; 3/36. વધારાના પ્રમેય મુજબ, સંભાવના આર(IN) ની સમાન

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

ઘટનાઓ એ 1 ,એ 2 ,...,એ r ને સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે જો તેમાંના દરેકની શરતી સંભાવના, જો અન્યમાંથી કોઈપણ આવી હોય, તો તેની "બિનશરતી" સંભાવના જેટલી હોય.

સંભાવના ગુણાકાર પ્રમેય: ઘટનાઓને સંયોજિત કરવાની સંભાવના એ 1 ,એ 2 ,...,એ r એ ઘટનાની સંભાવના સમાન છે એ 1 , ઘટનાની સંભાવના દ્વારા ગુણાકાર એ 2 એવી શરત હેઠળ લેવામાં આવી હતી એ 1 થયો,..., ઘટનાની સંભાવના દ્વારા ગુણાકાર એ r તે પ્રદાન કર્યું છે એ 1 ,એ 2 ,...,એ r-1 આવી ગયા છે. સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે, ગુણાકાર પ્રમેય સૂત્ર તરફ દોરી જાય છે:

પી(એ 1 એ 2 …એ આર) =પી(એ 1 )પી(એ 2 )· … · પી(એ આર), (3)

એટલે કે, સ્વતંત્ર ઘટનાઓને સંયોજિત કરવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉત્પાદન જેટલી છે. ફોર્મ્યુલા (3) માન્ય રહે છે જો તેના બંને ભાગોમાં કેટલીક ઘટનાઓને તેમના વિરોધીઓ સાથે બદલવામાં આવે.

ઉદાહરણ. પ્રતિ શોટ 0.2 ની હિટ સંભાવના સાથે લક્ષ્ય પર 4 શોટ ફાયર કરવામાં આવે છે. જુદા જુદા શોટ્સમાંથી લક્ષ્યાંકિત હિટ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાનું માનવામાં આવે છે. લક્ષ્યને બરાબર ત્રણ વખત અથડાવાની સંભાવના કેટલી છે?

દરેક પરીક્ષણ પરિણામ ચાર અક્ષરોના ક્રમ દ્વારા સૂચવી શકાય છે [દા.ત., (y, n, n, y) એટલે કે પ્રથમ અને ચોથો શોટ હિટ (સફળતા) અને બીજા અને ત્રીજા શોટ હિટ થયા નથી (નિષ્ફળતા)]. કુલ 2·2·2·2 = 16 પરિણામો હશે. વ્યક્તિગત શોટ્સના પરિણામોની સ્વતંત્રતાની ધારણા અનુસાર, આ પરિણામોની સંભાવનાઓ નક્કી કરવા માટે સૂત્ર (3) અને તેની નોંધનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ. આમ, પરિણામની સંભાવના (y, n. n, n) 0.2·0.8·0.8·0.8 = 0.1024 ની બરાબર સેટ કરવી જોઇએ; અહીં 0.8 = 1-0.2 એ એક શોટ સાથે ચૂકી જવાની સંભાવના છે. "લક્ષ્યને ત્રણ વખત હિટ કરવામાં આવે છે" ઇવેન્ટને પરિણામો (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y) દ્વારા પસંદ કરવામાં આવે છે. (n, y, y, y), દરેકની સંભાવના સમાન છે:

0.2 0.2 0.2 0.8 =...... =0.8 0.2 0.2 0.2 = 0.0064;

તેથી, જરૂરી સંભાવના બરાબર છે

4·0.0064 = 0.0256.

વિશ્લેષિત ઉદાહરણના તર્કનો સારાંશ આપતાં, અમે સંભાવના સિદ્ધાંતના મૂળભૂત સૂત્રોમાંથી એક મેળવી શકીએ છીએ: જો ઘટનાઓ એ 1 , એ 2 ,..., એ nસ્વતંત્ર છે અને દરેક સંભાવના ધરાવે છે p,પછી ઘટનાની સંભાવના બરાબર છે mજેમાંથી સમાન છે

પી n (m)=C n m પી m (1 - પી) n-m ; (4)

અહીં સી n mના સંયોજનોની સંખ્યા દર્શાવે છે nદ્વારા તત્વો mમોટા પ્રમાણમાં nસૂત્ર (4) નો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ મુશ્કેલ બની જાય છે.

પ્રારંભિક સંભાવના સિદ્ધાંતના મૂળભૂત સૂત્રોમાં પણ કહેવાતા છે કુલ સંભાવના સૂત્ર: જો ઘટનાઓ એ 1 , એ 2 ,..., એ આરજોડી પ્રમાણે અસંગત હોય છે અને તેમનું જોડાણ એ વિશ્વસનીય ઘટના છે, પછી કોઈપણ ઘટના માટે INતેની સંભાવના તેમના સરવાળા જેટલી છે.

સંભવના ગુણાકાર પ્રમેય ખાસ કરીને ઉપયોગી છે જ્યારે સંયોજન પરીક્ષણો ધ્યાનમાં લે છે. તેઓ કહે છે કે તે એક પરીક્ષણ છે ટીપરીક્ષણોથી બનેલું છે ટી 1 , ટી 2 ,..., ટી n-1 , ટી n, જો દરેક પરીક્ષણ પરિણામ ટીકેટલાક પરિણામોનું સંયોજન છે એ i ,બી j ,..., એક્સ k ,વાય lસંબંધિત પરીક્ષણો ટી 1 , ટી 2 ,..., ટી n-1 , ટી n. એક અથવા બીજા કારણથી, સંભાવનાઓ ઘણીવાર જાણીતી હોય છે

પી(એ i), પી(બી j /એ i), …,પી(વાય l /એ i બી j …એક્સ k). (5)

સંભાવનાઓમાંથી (5) ગુણાકાર પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, સંભાવનાઓ નક્કી કરી શકાય છે આર(ઇ) બધા પરિણામો માટે ઇસંયુક્ત પરીક્ષણ, અને તે જ સમયે આ પરીક્ષણ સાથે સંકળાયેલ તમામ ઘટનાઓની સંભાવના. વ્યવહારિક દૃષ્ટિકોણથી, બે પ્રકારના સંયુક્ત પરીક્ષણો સૌથી નોંધપાત્ર લાગે છે:

a) પરીક્ષણના ઘટકો સ્વતંત્ર છે, એટલે કે, સંભાવનાઓ (5) બિનશરતી સંભાવનાઓ સમાન છે પી(એ i), પી(બી j),..., પી(વાય l);

b) કોઈપણ કસોટીના પરિણામોની સંભાવનાઓ માત્ર તુરંત પહેલાની પરીક્ષાના પરિણામોથી પ્રભાવિત થાય છે, એટલે કે, સંભાવનાઓ (5) અનુક્રમે સમાન છે: પી(એ i), પી(બી j /એ i),..., પી(વાય i /X k). આ કિસ્સામાં, અમે માર્કોવ સાંકળમાં જોડાયેલા પરીક્ષણો વિશે વાત કરીએ છીએ. સંયુક્ત પરીક્ષણ સાથે સંકળાયેલ તમામ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ અહીં પ્રારંભિક સંભાવનાઓ દ્વારા સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે. આર(એ i) અને સંક્રમણની સંભાવનાઓ પી(બી j /એ i),..., પી(વાય l /X k).

સંભાવના સિદ્ધાંતમાં મૂળભૂત સૂત્રો

સંભાવના સિદ્ધાંતના સૂત્રો.

1. સંયોજનશાસ્ત્રના મૂળભૂત સૂત્રો

a) પુનઃ ગોઠવણી.

\b) પ્લેસમેન્ટ

c) સંયોજનો .

2. સંભાવનાની ઉત્તમ વ્યાખ્યા.

ઘટનાને અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા ક્યાં છે, તે તમામ પ્રાથમિક સમાન સંભવિત પરિણામોની સંખ્યા છે.

3. ઘટનાઓના સરવાળાની સંભાવના

અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરવા માટે પ્રમેય:

સંયુક્ત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરવા માટે પ્રમેય:

4. ઘટનાઓની સંભાવના

સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ગુણાકાર માટે પ્રમેય:

આશ્રિત ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ગુણાકાર માટે પ્રમેય:

,

ઇવેન્ટની શરતી સંભાવના આપેલ છે કે ઇવેન્ટ આવી છે

ઇવેન્ટની શરતી સંભાવના આપેલ છે કે ઇવેન્ટ આવી છે.

કોમ્બીનેટોરિક્સ એ ગણિતની એક શાખા છે જે આપેલ વસ્તુઓમાંથી કેટલા અલગ-અલગ સંયોજનો, અમુક શરતોને આધીન બનાવી શકાય છે તે અંગેના પ્રશ્નોનો અભ્યાસ કરે છે. અવ્યવસ્થિત ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો અંદાજ કાઢવા માટે સંયોજનશાસ્ત્રની મૂળભૂત બાબતો ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે તે તે છે જે અમને ઇવેન્ટ્સના વિકાસ માટે વિવિધ દૃશ્યોની મૂળભૂત રીતે સંભવિત સંખ્યાની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે.

સંયોજનશાસ્ત્રનું મૂળભૂત સૂત્ર

તત્વોના k જૂથો હોવા દો, અને i-th જૂથમાં ni તત્વોનો સમાવેશ થાય છે. ચાલો દરેક જૂથમાંથી એક ઘટક પસંદ કરીએ. પછી આવી પસંદગી કરી શકાય તેવી રીતોની કુલ સંખ્યા N એ સંબંધ N=n1*n2*n3*...*nk દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 1. ચાલો આ નિયમને એક સરળ ઉદાહરણ સાથે સમજાવીએ. તત્વોના બે જૂથો હોવા દો, અને પ્રથમ જૂથમાં n1 ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે, અને બીજામાં - n2 તત્વોનો સમાવેશ થાય છે. આ બે જૂથોમાંથી તત્વોની કેટલી અલગ અલગ જોડી બનાવી શકાય, જેમ કે જોડીમાં દરેક જૂથમાંથી એક તત્વ હોય? ચાલો કહીએ કે આપણે પ્રથમ જૂથમાંથી પ્રથમ તત્વ લીધું અને, તેને બદલ્યા વિના, બીજા જૂથમાંથી ફક્ત ઘટકોને બદલીને, તમામ સંભવિત જોડીમાંથી પસાર થયા. આ તત્વ માટે n2 આવા જોડીઓ છે. પછી આપણે પ્રથમ જૂથમાંથી બીજું તત્વ લઈએ છીએ અને તેના માટે તમામ સંભવિત જોડી બનાવીએ છીએ. n2 આવી જોડીઓ પણ હશે. પ્રથમ જૂથમાં માત્ર n1 ઘટકો હોવાથી, કુલ સંભવિત વિકલ્પો n1*n2 હશે.

ઉદાહરણ 2. જો અંકોને પુનરાવર્તિત કરી શકાય તો 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 અંકોમાંથી કેટલી ત્રણ-અંકની સમાન સંખ્યાઓ બનાવી શકાય?

ઉકેલ: n1=6 (કારણ કે તમે પ્રથમ અંક તરીકે 1, 2, 3, 4, 5, 6 માંથી કોઈપણ સંખ્યા લઈ શકો છો), n2=7 (કારણ કે તમે બીજા અંક તરીકે 0 માંથી કોઈપણ સંખ્યા લઈ શકો છો, 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n3=4 (કારણ કે 0, 2, 4, 6 માંથી કોઈપણ સંખ્યા ત્રીજા અંક તરીકે લઈ શકાય છે).

તેથી, N=n1*n2*n3=6*7*4=168.

કિસ્સામાં જ્યારે બધા જૂથોમાં સમાન સંખ્યામાં તત્વો હોય છે, એટલે કે. n1=n2=...nk=n અમે ધારી શકીએ છીએ કે દરેક પસંદગી એક જ જૂથમાંથી કરવામાં આવી છે, અને પસંદગી પછીનું તત્વ જૂથમાં પાછું આવે છે. પછી તમામ પસંદગી પદ્ધતિઓની સંખ્યા nk ની બરાબર છે આ પસંદગી પદ્ધતિને વળતર સાથેના નમૂના કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ. 1, 5, 6, 7, 8 અંકોમાંથી કેટલી ચાર-અંકની સંખ્યાઓ બનાવી શકાય?

ઉકેલ. ચાર-અંકની સંખ્યાના દરેક અંક માટે પાંચ શક્યતાઓ છે, જેનો અર્થ છે N=5*5*5*5=54=625.

n તત્વો ધરાવતા સમૂહને ધ્યાનમાં લો. અમે આ સમૂહને સામાન્ય વસ્તી કહીશું.

વ્યાખ્યા 1. m દ્વારા n તત્વોની ગોઠવણી એ n તત્વોની વસ્તીમાંથી પસંદ કરેલ m વિવિધ ઘટકોનો કોઈપણ ક્રમબદ્ધ સમૂહ છે.

ઉદાહરણ. બે દ્વારા ત્રણ તત્વો (1, 2, 3) ની વિવિધ ગોઠવણી સેટ (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) હશે. , 2). પ્લેસમેન્ટ તત્વો અને તેમના ક્રમમાં બંને એકબીજાથી અલગ હોઈ શકે છે.

પ્લેસમેન્ટની સંખ્યા n માંથી A, m દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને સૂત્ર દ્વારા ગણતરી કરવામાં આવે છે:

નોંધ: n!=1*2*3*...*n (વાંચો: "en factorial"), વધુમાં, એવું માનવામાં આવે છે કે 0!=1.

ઉદાહરણ 5. કેટલી બે-અંકની સંખ્યાઓ છે જેમાં દસનો અંક અને એકમનો અંક અલગ અને વિષમ છે?

ઉકેલ: કારણ કે જો ત્યાં પાંચ વિચિત્ર અંકો છે, એટલે કે 1, 3, 5, 7, 9, તો આ કાર્ય પાંચ અલગ-અલગ અંકોમાંથી બેને બે અલગ-અલગ સ્થિતિમાં પસંદ કરવા અને મૂકવા માટે આવે છે, એટલે કે. દર્શાવેલ સંખ્યાઓ હશે:

વ્યાખ્યા 2. m ના n તત્વોનું સંયોજન એ n તત્વોની વસ્તીમાંથી પસંદ કરેલ m વિવિધ તત્વોનો કોઈપણ અક્રમબદ્ધ સમૂહ છે.

ઉદાહરણ 6. સમૂહ (1, 2, 3) માટે, સંયોજનો (1, 2), (1, 3), (2, 3) છે.

સંયોજનોની સંખ્યા Cnm દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

વ્યાખ્યા 3. n તત્વોનું ક્રમચય એ આ તત્વોનો કોઈપણ ક્રમબદ્ધ સમૂહ છે.

ઉદાહરણ 7a. ત્રણ ઘટકો (1, 2, 3) ધરાવતા સમૂહના તમામ સંભવિત ક્રમચયો છે: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

n તત્વોના વિવિધ ક્રમચયોની સંખ્યા Pn દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને Pn=n! સૂત્ર દ્વારા ગણતરી કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 8. વિવિધ લેખકોના સાત પુસ્તકોને એક શેલ્ફ પર એક પંક્તિમાં કેટલી રીતે ગોઠવી શકાય?

ઉકેલ: આ સમસ્યા સાત અલગ અલગ પુસ્તકોના ક્રમચયોની સંખ્યા વિશે છે. પુસ્તકો ગોઠવવાની P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 રીતો છે.

ચર્ચા. આપણે જોઈએ છીએ કે વિવિધ નિયમો (ક્રમચયો, સંયોજનો, પ્લેસમેન્ટ) અનુસાર સંભવિત સંયોજનોની સંખ્યાની ગણતરી કરી શકાય છે અને પરિણામ અલગ હશે, કારણ કે ગણતરી સિદ્ધાંત અને સૂત્રો પોતે અલગ છે. વ્યાખ્યાઓને ધ્યાનથી જોતાં, તમે જોશો કે પરિણામ એક સાથે અનેક પરિબળો પર આધારિત છે.

સૌપ્રથમ, કેટલા તત્વોમાંથી આપણે તેમના સેટને જોડી શકીએ છીએ (તત્વોની સંપૂર્ણતા કેટલી મોટી છે).

બીજું, પરિણામ આપણને જોઈતા તત્વોના સેટના કદ પર આધારિત છે.

છેલ્લે, એ જાણવું અગત્યનું છે કે સમૂહમાં તત્વોનો ક્રમ આપણા માટે મહત્વપૂર્ણ છે કે કેમ. ચાલો નીચેના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને છેલ્લા પરિબળને સમજાવીએ.

ઉદાહરણ. વાલી મીટીંગમાં 20 લોકો હાજર છે. જો પેરેન્ટ કમિટિની રચનામાં 5 લોકોનો સમાવેશ થવો જોઈએ તો તેના માટે કેટલા અલગ-અલગ વિકલ્પો છે?

ઉકેલ: આ ઉદાહરણમાં, અમને સમિતિની યાદીમાં નામોના ક્રમમાં રસ નથી. જો, પરિણામે, તે જ લોકો તેનો ભાગ બને છે, તો આપણા માટે અર્થમાં આ સમાન વિકલ્પ છે. તેથી, આપણે 5 ના 20 તત્વોના સંયોજનોની સંખ્યા ગણવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

જો દરેક સમિતિના સભ્ય શરૂઆતમાં કાર્યના ચોક્કસ ક્ષેત્ર માટે જવાબદાર હોય તો વસ્તુઓ અલગ હશે. પછી, સમિતિની સમાન સૂચિ રચના સાથે, તેની અંદર સંભવતઃ 5 છે! ક્રમચયો જે મહત્વ ધરાવે છે. વિવિધ (સંરચના અને જવાબદારીના ક્ષેત્રમાં બંને) વિકલ્પોની સંખ્યા આ કિસ્સામાં 5 ના 20 ઘટકોની પ્લેસમેન્ટની સંખ્યા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

સંભાવનાની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા

રેન્ડમ ટેસ્ટને અમુક ભૌમિતિક પ્રદેશ G (સીધી રેખા, પ્લેન અથવા સ્પેસ પર) માં રેન્ડમ પર કોઈ બિંદુ ફેંકવાની કલ્પના કરીએ. પ્રાથમિક પરિણામો એ G ના વ્યક્તિગત બિંદુઓ છે, કોઈપણ ઘટના એ આ વિસ્તારનો સબસેટ છે, G ના પ્રાથમિક પરિણામોની જગ્યા. આપણે ધારી શકીએ છીએ કે G ના તમામ બિંદુઓ "સમાન" છે અને પછી ચોક્કસ સબસેટમાં આવતા બિંદુની સંભાવના છે. તેના માપ (લંબાઈ, વિસ્તાર, વોલ્યુમ) માટે પ્રમાણસર અને તેના સ્થાન અને આકાર પર આધારિત નથી.

ઘટના A ની ભૌમિતિક સંભાવના સંબંધ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: , જ્યાં m(G), m(A) એ પ્રાથમિક પરિણામો અને ઘટના Aની સમગ્ર જગ્યાના ભૌમિતિક માપ (લંબાઈ, વિસ્તારો અથવા વોલ્યુમો) છે.

ઉદાહરણ. ત્રિજ્યા r () નું વર્તુળ 2d પહોળાઈની સમાંતર પટ્ટીઓ દ્વારા આલેખિત પ્લેન પર રેન્ડમ પર ફેંકવામાં આવે છે, જેની અક્ષીય રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર 2D જેટલું છે. વર્તુળ ચોક્કસ પટ્ટીને છેદે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ. આ પરીક્ષણના પ્રાથમિક પરિણામ તરીકે, આપણે વર્તુળના કેન્દ્રથી વર્તુળની સૌથી નજીકની સ્ટ્રીપની મધ્ય રેખા સુધીના અંતરને ધ્યાનમાં લઈશું. પછી પ્રાથમિક પરિણામોની સંપૂર્ણ જગ્યા એક સેગમેન્ટ છે. સ્ટ્રીપવાળા વર્તુળનું આંતરછેદ ત્યારે થશે જો તેનું કેન્દ્ર સ્ટ્રીપમાં આવે, એટલે કે, અથવા સ્ટ્રીપની ધારથી ત્રિજ્યા કરતા ઓછા અંતરે સ્થિત હોય, એટલે કે.

ઇચ્છિત સંભાવના માટે અમે મેળવીએ છીએ: .

ઘટનાઓનું શક્ય, સંભવિત અને રેન્ડમમાં વર્ગીકરણ. સરળ અને જટિલ પ્રાથમિક ઘટનાઓની વિભાવનાઓ. ઘટનાઓ પર કામગીરી. રેન્ડમ ઘટના અને તેના ગુણધર્મોની સંભાવનાની ઉત્તમ વ્યાખ્યા. સંભાવના સિદ્ધાંતમાં સંયોજનશાસ્ત્રના તત્વો. ભૌમિતિક સંભાવના. સંભાવના સિદ્ધાંતના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો.

1. ઘટનાઓનું વર્ગીકરણ

સંભાવના સિદ્ધાંતની મૂળભૂત વિભાવનાઓમાંની એક ઘટનાનો ખ્યાલ છે. ઘટના એ કોઈપણ હકીકત છે જે અનુભવ અથવા પરીક્ષણના પરિણામે થઈ શકે છે. અનુભવ અથવા કસોટી દ્વારા, અમારો અર્થ ચોક્કસ શરતોના અમલીકરણનો થાય છે.

ઘટનાઓના ઉદાહરણો:

- જ્યારે બંદૂકમાંથી ફાયરિંગ કરવામાં આવે ત્યારે લક્ષ્યને મારવું (અનુભવ - શોટ બનાવવો; ઘટના - લક્ષ્યને અથડાવી);

- ત્રણ વખત સિક્કો ફેંકતી વખતે બે પ્રતીકોનું નુકસાન (અનુભવ - ત્રણ વખત સિક્કો ફેંકવો; ઘટના - બે પ્રતીકોનું નુકસાન);

- લક્ષ્યની શ્રેણીને માપતી વખતે નિર્દિષ્ટ મર્યાદામાં માપન ભૂલનો દેખાવ (અનુભવ - શ્રેણી માપન; ઘટના - માપન ભૂલ).

આવા અસંખ્ય ઉદાહરણો આપી શકાય. ઘટનાઓ લેટિન મૂળાક્ષરો વગેરેના મોટા અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

સંયુક્ત અને બિન-સંયુક્ત ઘટનાઓ વચ્ચે તફાવત કરવામાં આવે છે. ઘટનાઓને સંયુક્ત કહેવામાં આવે છે જો તેમાંથી એકની ઘટના બીજાની ઘટનાને બાકાત ન રાખે. નહિંતર, ઘટનાઓને અસંગત કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે ડાઇસ ફેંકવામાં આવે છે. ઘટના - પ્રથમ મૃત્યુ પર પડતા ત્રણ બિંદુઓ, ઘટના - બીજા મૃત્યુ પર પડતા ત્રણ બિંદુઓ, અને - સંયુક્ત ઘટનાઓ. સ્ટોરને સમાન શૈલી અને કદના જૂતાની બેચ પ્રાપ્ત કરવા દો, પરંતુ વિવિધ રંગો. ઇવેન્ટ - અવ્યવસ્થિત રીતે લેવામાં આવેલ બોક્સ કાળા જૂતા ધરાવતું બહાર આવશે, એક ઇવેન્ટ - બોક્સમાં બ્રાઉન શૂઝ અને - અસંગત ઘટનાઓ હશે.

ઘટનાને વિશ્વસનીય કહેવામાં આવે છે જો તે આપેલ અનુભવની શરતો હેઠળ થવાની ખાતરી હોય.

ઘટનાને અશક્ય કહેવાય છે જો તે આપેલ અનુભવની શરતો હેઠળ ન થઈ શકે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રમાણભૂત ભાગોના બેચમાંથી પ્રમાણભૂત ભાગ લેવામાં આવશે તે ઘટના વિશ્વસનીય છે, પરંતુ બિન-માનક ભાગ અશક્ય છે.

ઘટનાને શક્ય અથવા રેન્ડમ કહેવામાં આવે છે, જો અનુભવના પરિણામે તે દેખાઈ શકે છે, પરંતુ દેખાતી નથી. રેન્ડમ ઘટનાનું ઉદાહરણ ફિનિશ્ડ ઉત્પાદનોના બેચના નિરીક્ષણ દરમિયાન ઉત્પાદનની ખામીઓની ઓળખ, પ્રોસેસ્ડ પ્રોડક્ટના કદ અને ઉલ્લેખિત ઉત્પાદન વચ્ચેની વિસંગતતા અથવા સ્વયંસંચાલિત નિયંત્રણ સિસ્ટમમાંની એક લિંકની નિષ્ફળતા હોઈ શકે છે. .

ઘટનાઓને સમાન રીતે શક્ય કહેવામાં આવે છે જો, પરીક્ષણની શરતો અનુસાર, આમાંની કોઈ પણ ઘટના અન્ય કરતા વધુ ઉદ્દેશ્યથી વધુ શક્ય ન હોય. ઉદાહરણ તરીકે, ઘણા મેન્યુફેક્ચરિંગ પ્લાન્ટ્સને સ્ટોરમાં લાઇટ બલ્બ સપ્લાય કરવા દો (અને સમાન માત્રામાં). આમાંની કોઈપણ ફેક્ટરીઓમાંથી લાઇટ બલ્બની ખરીદી સાથે સંકળાયેલી ઘટનાઓ સમાન રીતે શક્ય છે.

મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલ એ ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ છે. આપેલ પ્રયોગમાં કેટલીક ઘટનાઓ એક સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે જો તેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક પ્રયોગના પરિણામ સ્વરૂપે દેખાવાની ખાતરી હોય. ઉદાહરણ તરીકે, એક ભઠ્ઠીમાં દસ દડા હોય છે, તેમાંથી છ લાલ હોય છે, ચાર સફેદ હોય છે અને પાંચ બોલમાં સંખ્યા હોય છે. - એક ડ્રો દરમિયાન લાલ બોલનો દેખાવ, - સફેદ બોલનો દેખાવ, - સંખ્યા સાથે બોલનો દેખાવ. ઘટનાઓ સંયુક્ત ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે.

ચાલો વિરોધી, અથવા વધારાની, ઘટનાનો ખ્યાલ રજૂ કરીએ. વિપરીત ઘટના એ એક એવી ઘટના છે જે આવશ્યકપણે થવી જોઈએ જો કોઈ ઘટના ન બને. વિરોધી ઘટનાઓ અસંગત છે અને એકમાત્ર શક્ય છે. તેઓ ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો ઉત્પાદિત ઉત્પાદનોના બેચમાં સારા અને ખામીયુક્ત હોય છે, તો જ્યારે એક ઉત્પાદન દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે કાં તો સારું - ઘટના અથવા ખામીયુક્ત - ઘટના બની શકે છે.

2. ઘટનાઓ પર કામગીરી

સંભાવના સિદ્ધાંતમાં અવ્યવસ્થિત ઘટનાઓનો અભ્યાસ કરવા માટે ઉપકરણ અને પદ્ધતિ વિકસાવતી વખતે, ઘટનાઓના સરવાળા અને ઉત્પાદનનો ખ્યાલ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.

સંભાવના સિદ્ધાંતનો ઉદભવ 17મી સદીના મધ્યમાં થયો હતો, જ્યારે ગણિતશાસ્ત્રીઓ જુગારીઓ દ્વારા ઊભી થતી સમસ્યાઓમાં રસ ધરાવતા હતા અને અત્યાર સુધી ગણિતમાં અભ્યાસ કરતા ન હતા. આ સમસ્યાઓ ઉકેલવાની પ્રક્રિયામાં, સંભાવના અને ગાણિતિક અપેક્ષા જેવા ખ્યાલો સ્ફટિકિત થયા. તે જ સમયે, તે સમયના વૈજ્ઞાનિકો - હ્યુજેન્સ (1629-1695), પાસ્કલ (1623-1662), ફર્મેટ (1601-1665) અને બર્નૌલી (1654-1705) ને ખાતરી હતી કે વિશાળ રેન્ડમના આધારે સ્પષ્ટ પેટર્ન ઊભી થઈ શકે છે. ઘટનાઓ અને માત્ર કુદરતી વિજ્ઞાનની સ્થિતિ એ હકીકત તરફ દોરી ગઈ કે લાંબા સમય સુધી જુગાર લગભગ એકમાત્ર નક્કર સામગ્રી જ રહ્યો, જેના આધારે સંભાવના સિદ્ધાંતની વિભાવનાઓ અને પદ્ધતિઓ બનાવવામાં આવી હતી. આ સંજોગોએ ઔપચારિક ગાણિતિક ઉપકરણ પર પણ તેની છાપ છોડી હતી જેના દ્વારા સંભાવના સિદ્ધાંતમાં ઉદ્ભવતી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરવામાં આવ્યું હતું: તે ફક્ત પ્રાથમિક અંકગણિત અને સંયોજન પદ્ધતિઓમાં જ ઘટાડી દેવામાં આવ્યું હતું.

પ્રાકૃતિક વિજ્ઞાન અને સામાજિક પ્રેક્ટિસ (નિરીક્ષણ ભૂલોનો સિદ્ધાંત, શૂટિંગ સિદ્ધાંતની સમસ્યાઓ, આંકડાકીય સમસ્યાઓ, મુખ્યત્વે વસ્તીના આંકડા) ની ગંભીર માંગણીઓને કારણે સંભાવનાના સિદ્ધાંતના વધુ વિકાસ અને વધુ વિકસિત વિશ્લેષણાત્મક ઉપકરણના ઉપયોગની જરૂરિયાત ઊભી થઈ. મોઇવરે (1667-1754), લેપ્લેસ (1749-1827), ગૌસ (1777-1855), પોઈસન (1781-1840) દ્વારા સંભાવના સિદ્ધાંતની વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓના વિકાસમાં ખાસ કરીને નોંધપાત્ર ભૂમિકા ભજવવામાં આવી હતી. ઔપચારિક વિશ્લેષણાત્મક બાજુથી, નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિના નિર્માતા, લોબાચેવ્સ્કી (1792-1856) નું કાર્ય, ગોળા પરના માપમાં ભૂલોના સિદ્ધાંતને સમર્પિત અને બ્રહ્માંડ પર પ્રભુત્વ ધરાવતી ભૌમિતિક સિસ્ટમની સ્થાપનાના ધ્યેય સાથે હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું. , આ જ દિશામાં અડીને છે.

સંભાવના સિદ્ધાંત, ગણિતની અન્ય શાખાઓની જેમ, પ્રેક્ટિસની જરૂરિયાતોમાંથી વિકસિત: અમૂર્ત સ્વરૂપમાં તે સામૂહિક પ્રકૃતિની રેન્ડમ ઘટનાઓમાં અંતર્ગત પેટર્નને પ્રતિબિંબિત કરે છે. આ દાખલાઓ ભૌતિકશાસ્ત્ર અને કુદરતી વિજ્ઞાનના અન્ય ક્ષેત્રો, વિવિધ તકનીકી શાખાઓ, અર્થશાસ્ત્ર, સમાજશાસ્ત્ર અને જીવવિજ્ઞાનમાં અત્યંત મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. સામૂહિક ઉત્પાદનોનું ઉત્પાદન કરતા સાહસોના વ્યાપક વિકાસના સંદર્ભમાં, સંભાવના સિદ્ધાંતના પરિણામોનો ઉપયોગ ફક્ત પહેલેથી જ ઉત્પાદિત ઉત્પાદનોને નકારવા માટે જ નહીં, પણ ઉત્પાદન પ્રક્રિયાને જ (ઉત્પાદનમાં આંકડાકીય નિયંત્રણ) ગોઠવવા માટે પણ થવા લાગ્યો.

સંભાવના સિદ્ધાંતની મૂળભૂત વિભાવનાઓ

સંભાવના સિદ્ધાંત રેન્ડમ ઇવેન્ટ્સ અને રેન્ડમ ચલોને સંચાલિત કરતી વિવિધ પેટર્નને સમજાવે છે અને અન્વેષણ કરે છે. ઘટનાઅવલોકન અથવા અનુભવના પરિણામે કહી શકાય તેવી કોઈપણ હકીકત છે. અવલોકન અથવા અનુભવ એ અમુક પરિસ્થિતિઓની અનુભૂતિ છે જેના હેઠળ કોઈ ઘટના બની શકે છે.

અનુભવનો અર્થ એ છે કે ઉલ્લેખિત સંજોગોનો સમૂહ સભાનપણે બનાવવામાં આવ્યો હતો. અવલોકન દરમિયાન, આ પરિસ્થિતિઓનું નિરીક્ષણ સંકુલ તેને બનાવતું નથી અથવા પ્રભાવિત કરતું નથી. તે ક્યાં તો પ્રકૃતિના દળો દ્વારા અથવા અન્ય લોકો દ્વારા બનાવવામાં આવે છે.

ઘટનાઓની સંભાવનાઓ નક્કી કરવા માટે તમારે શું જાણવાની જરૂર છે

તમામ ઇવેન્ટ્સ કે જે લોકો પોતાની જાતને અવલોકન કરે છે અથવા બનાવે છે તેમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે:

• વિશ્વસનીય ઘટનાઓ;
• અશક્ય ઘટનાઓ;
• રેન્ડમ ઘટનાઓ.

વિશ્વસનીય ઘટનાઓજ્યારે ચોક્કસ સંજોગોનું નિર્માણ થાય ત્યારે હંમેશા થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો અમે કામ કરીએ છીએ, તો અમને તેના માટે ઇનામ મળે છે અને જો અમે પરીક્ષા પાસ કરીએ છીએ, તો અમે વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યામાં સામેલ થવા પર વિશ્વાસ રાખી શકીએ છીએ. ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રમાં વિશ્વસનીય ઘટનાઓ અવલોકન કરી શકાય છે. અર્થશાસ્ત્રમાં, વિશ્વસનીય ઘટનાઓ હાલની સામાજિક રચના અને કાયદા સાથે સંકળાયેલી છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે કોઈ બેંકમાં પૈસા જમા કરાવ્યા હોય અને અમુક ચોક્કસ સમયગાળામાં તે મેળવવાની ઈચ્છા વ્યક્ત કરી હોય, તો અમને પૈસા મળશે. આ એક વિશ્વસનીય ઘટના તરીકે ગણી શકાય.

અશક્ય ઘટનાઓ જો ચોક્કસ શરતો બનાવવામાં આવી હોય તો ચોક્કસપણે થતું નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જો તાપમાન વત્તા 15 ડિગ્રી સેલ્સિયસ હોય તો પાણી સ્થિર થતું નથી, વીજળી વિના ઉત્પાદન હાથ ધરવામાં આવતું નથી.

રેન્ડમ ઇવેન્ટ્સ જ્યારે ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓનો સમૂહ સાકાર થાય છે, ત્યારે તે થઈ શકે છે અથવા ન પણ થઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે એક વખત સિક્કો ફેંકીએ, તો કોટ ઓફ આર્મ્સ પડી શકે છે અથવા ન પણ પડી શકે છે, લોટરી ટિકિટ જીતી શકે છે અથવા નહીં પણ, ઉત્પાદિત ઉત્પાદન ખામીયુક્ત હોઈ શકે છે અથવા ન પણ હોઈ શકે. ખામીયુક્ત ઉત્પાદનનો દેખાવ એ રેન્ડમ ઘટના છે, જે યોગ્ય ઉત્પાદનોના ઉત્પાદન કરતાં વધુ દુર્લભ છે.

રેન્ડમ ઘટનાઓની અપેક્ષિત આવર્તન સંભાવનાની વિભાવના સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે. ઘટનાના દાખલાઓ અને અવ્યવસ્થિત ઘટનાઓની બિન-ઘટનાનો અભ્યાસ સંભાવના સિદ્ધાંત દ્વારા કરવામાં આવે છે.

જો જરૂરી શરતોનો સમૂહ ફક્ત એક જ વાર સાકાર થાય છે, તો પછી અમને રેન્ડમ ઘટના વિશે અપૂરતી માહિતી પ્રાપ્ત થાય છે, કારણ કે તે થઈ શકે છે અથવા ન પણ થઈ શકે છે. જો શરતોનો સમૂહ ઘણી વખત લાગુ કરવામાં આવે છે, તો પછી જાણીતા દાખલાઓ દેખાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આગામી ગ્રાહકને સ્ટોરમાં કયા કોફી મશીનની જરૂર પડશે તે જાણવું ક્યારેય શક્ય નથી, પરંતુ જો લાંબા સમયથી સૌથી વધુ માંગમાં રહેલી કોફી મશીનોની બ્રાન્ડ જાણીતી હોય, તો આ ડેટાના આધારે તે શક્ય છે. માંગને પહોંચી વળવા ઉત્પાદન અથવા પુરવઠો ગોઠવો.

સામૂહિક અવ્યવસ્થિત ઘટનાઓને સંચાલિત કરતી દાખલાઓનું જ્ઞાન આપણને આ ઘટનાઓ ક્યારે બનશે તેની આગાહી કરવાની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અગાઉ નોંધ્યું છે તેમ, સિક્કો ઉછાળવાના પરિણામની અગાઉથી આગાહી કરવી અશક્ય છે, પરંતુ જો સિક્કો ઘણી વખત ફેંકવામાં આવે છે, તો તે આગાહી કરી શકાય છે કે શસ્ત્રોનો કોટ પડી જશે. ભૂલ નાની હોઈ શકે છે.

પ્રાકૃતિક વિજ્ઞાન, સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર, ભૂસ્તરશાસ્ત્ર, ખગોળશાસ્ત્ર, સ્વયંસંચાલિત નિયંત્રણ સિદ્ધાંત, ભૂલ અવલોકન સિદ્ધાંત અને અન્ય ઘણા સૈદ્ધાંતિક અને વ્યવહારિક વિજ્ઞાનની વિવિધ શાખાઓમાં સંભાવના સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. પ્રોબેબિલિટી થિયરીનો વ્યાપક ઉપયોગ ઉત્પાદન આયોજન અને સંગઠન, ઉત્પાદન ગુણવત્તા વિશ્લેષણ, તકનીકી પ્રક્રિયા વિશ્લેષણ, વીમો, વસ્તી આંકડા, જીવવિજ્ઞાન, બેલિસ્ટિક્સ અને અન્ય ઉદ્યોગોમાં થાય છે.

રેન્ડમ ઇવેન્ટ્સ સામાન્ય રીતે લેટિન મૂળાક્ષરો A, B, C, વગેરેના મોટા અક્ષરોમાં સૂચવવામાં આવે છે.

રેન્ડમ ઇવેન્ટ્સ આ હોઈ શકે છે:

• અસંગત;
• સંયુક્ત

ઘટના A, B, C... કહેવાય છે અસંગત , જો એક પરીક્ષણના પરિણામે આમાંની એક ઘટના બની શકે છે, પરંતુ બે અથવા વધુ ઘટનાઓ થઈ શકતી નથી.

જો એક અવ્યવસ્થિત ઘટના બીજી ઘટનાની ઘટનાને બાકાત રાખતી નથી, તો આવી ઘટનાઓને કહેવામાં આવે છે સંયુક્ત . ઉદાહરણ તરીકે, જો કન્વેયર બેલ્ટમાંથી બીજો ભાગ દૂર કરવામાં આવે અને ઘટના A નો અર્થ થાય છે "ભાગ પ્રમાણભૂતને પૂર્ણ કરે છે" અને ઘટના B નો અર્થ છે "ભાગ પ્રમાણભૂતને પૂર્ણ કરતો નથી," તો A અને B અસંગત ઘટનાઓ છે. જો ઇવેન્ટ C નો અર્થ થાય છે "ગ્રેડ II નો એક ભાગ લેવામાં આવ્યો છે," તો આ ઇવેન્ટ ઇવેન્ટ A સાથે સંયુક્ત છે, પરંતુ ઇવેન્ટ B સાથે અસંગત છે.

જો દરેક અવલોકન (પરીક્ષણ) માં અસંગત રેન્ડમ ઘટનાઓમાંથી એક અને માત્ર એક જ ઘટનાઓ થવી જોઈએ, તો આ ઘટનાઓ રચાય છે ઘટનાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ (સિસ્ટમ). .

વિશ્વસનીય ઘટના ઘટનાઓના સંપૂર્ણ સમૂહમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ઘટનાની ઘટના છે.

જો ઘટનાઓ કે જે ઘટનાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ બનાવે છે જોડી પ્રમાણે અસંગત , પછી અવલોકનના પરિણામે આમાંથી માત્ર એક જ ઘટના બની શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, વિદ્યાર્થીએ બે પરીક્ષણ સમસ્યાઓ હલ કરવી આવશ્યક છે. નીચેનામાંથી એક અને માત્ર એક જ ઘટના ચોક્કસપણે બનશે:

• પ્રથમ સમસ્યા હલ થશે અને બીજી સમસ્યા હલ થશે નહીં;
• બીજી સમસ્યા હલ થશે અને પ્રથમ સમસ્યા હલ થશે નહીં;
• બંને સમસ્યાઓ હલ કરવામાં આવશે;
• કોઈપણ સમસ્યા હલ થશે નહીં.

આ ઘટનાઓ રચાય છે અસંગત ઘટનાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ .

જો ઇવેન્ટ્સના સંપૂર્ણ સેટમાં ફક્ત બે અસંગત ઘટનાઓ હોય, તો તેને કહેવામાં આવે છે પરસ્પર વિરુદ્ધ અથવા વૈકલ્પિક ઘટનાઓ

ઘટનાની વિરુદ્ધની ઘટના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક સિક્કાના ટૉસના કિસ્સામાં, સંપ્રદાય () અથવા કોટ ઓફ આર્મ્સ () દેખાઈ શકે છે.

ઘટનાઓ કહેવામાં આવે છે સમાન રીતે શક્ય , જો તેમાંના કોઈને ઉદ્દેશ્ય લાભ નથી. આવી ઘટનાઓ ઘટનાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ પણ બનાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે અવલોકન અથવા પરીક્ષણના પરિણામે, ઓછામાં ઓછી એક સમાન સંભવિત ઘટનાઓ ચોક્કસપણે બનવી જોઈએ.

ઉદાહરણ તરીકે, સિક્કાના એક ટૉસ દરમિયાન સંપ્રદાય અને પ્રતીકની ખોટ, ટેક્સ્ટના એક છાપેલ પૃષ્ઠ પર 0, 1, 2, 3 અને 3 કરતાં વધુ ભૂલોની હાજરી દ્વારા ઘટનાઓનો સંપૂર્ણ જૂથ રચાય છે.

સંભાવનાની વ્યાખ્યાઓ અને ગુણધર્મો

સંભાવનાની ઉત્તમ વ્યાખ્યા.તક અથવા સાનુકૂળ કેસ એ કેસ છે જ્યારે ચોક્કસ સંજોગોના અમલીકરણ દરમિયાન, કોઈ ઘટના એથાય સંભાવનાની ક્લાસિક વ્યાખ્યામાં અનુકૂળ કેસ અથવા તકોની સીધી ગણતરીનો સમાવેશ થાય છે.

શાસ્ત્રીય અને આંકડાકીય સંભાવના. સંભાવના સૂત્રો: શાસ્ત્રીય અને આંકડાકીય

ઘટનાની સંભાવના એઆ ઇવેન્ટ માટે અનુકૂળ તકોની સંખ્યાના ગુણોત્તરને તમામ સમાન સંભવિત અસંગત ઘટનાઓની સંખ્યા સાથે કૉલ કરો એનજે એક જ અજમાયશ અથવા નિરીક્ષણના પરિણામે થઈ શકે છે. સંભાવના સૂત્ર ઘટનાઓ એ:

જો તે સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ છે કે આપણે કઈ ઘટનાની સંભાવના વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, તો સંભાવના નાના અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે પી, ઇવેન્ટ હોદ્દો સ્પષ્ટ કર્યા વિના.

શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા અનુસાર સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે, બધી સમાન રીતે શક્ય અસંગત ઘટનાઓની સંખ્યા શોધવા અને તેમાંથી કેટલી ઘટનાની વ્યાખ્યા માટે અનુકૂળ છે તે નિર્ધારિત કરવું જરૂરી છે. એ.

ઉદાહરણ 1.ડાઇ ફેંકતી વખતે 5 નંબર મેળવવાની સંભાવના શોધો.

ઉકેલ. તે જાણીતું છે કે તમામ છ ચહેરાઓ ટોચ પર સમાપ્ત થવાની સમાન તક ધરાવે છે. નંબર 5 માત્ર એક બાજુ પર ચિહ્નિત થયેલ છે. તમામ સમાન રીતે શક્ય અસંગત ઘટનાઓની સંખ્યા 6 છે, જેમાંથી માત્ર એક જ અનુકૂળ શક્યતા નંબર 5 છે ( એમ= 1). આનો અર્થ એ છે કે નંબર 5 રોલ કરવાની ઇચ્છિત સંભાવના

ઉદાહરણ 2.એક બોક્સમાં સમાન કદના 3 લાલ અને 12 સફેદ દડા હોય છે. એક બોલ જોયા વગર લેવામાં આવ્યો હતો. લાલ બોલ લેવામાં આવે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ. જરૂરી સંભાવના

સંભાવનાઓ જાતે શોધો અને પછી ઉકેલ જુઓ

ઉદાહરણ 3.ડાઇસ ફેંકવામાં આવે છે. ઘટના બી- એક સમાન નંબર રોલિંગ. આ ઘટનાની સંભાવનાની ગણતરી કરો.

ઉદાહરણ 5.એક ભઠ્ઠીમાં 5 સફેદ અને 7 કાળા દડા હોય છે. 1 બોલ અવ્યવસ્થિત રીતે દોરવામાં આવે છે. ઘટના એ- એક સફેદ બોલ દોરવામાં આવે છે. ઘટના બી- એક કાળો બોલ દોરવામાં આવે છે. આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓની ગણતરી કરો.

ક્લાસિકલ પ્રોબેબિલિટીને પ્રાયોર પ્રોબેબિલિટી પણ કહેવામાં આવે છે કારણ કે તેની ગણતરી ટેસ્ટ અથવા અવલોકન શરૂ કરતા પહેલા કરવામાં આવે છે. શાસ્ત્રીય સંભાવનાના પ્રાથમિક સ્વભાવથી, તેની મુખ્ય ખામી નીચે મુજબ છે: માત્ર દુર્લભ કિસ્સાઓમાં, અવલોકનની શરૂઆત પહેલાં, વ્યક્તિ અનુકૂળ ઘટનાઓ સહિત તમામ સમાન સંભવિત અસંગત ઘટનાઓની ગણતરી કરી શકે છે. આવી તકો સામાન્ય રીતે રમતો જેવી પરિસ્થિતિઓમાં ઊભી થાય છે.

સંયોજનો.જો ઘટનાઓનો ક્રમ મહત્વપૂર્ણ નથી, તો સંભવિત ઘટનાઓની સંખ્યા સંયોજનોની સંખ્યા તરીકે ગણવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ 6.ગ્રુપમાં 30 વિદ્યાર્થીઓ છે. ત્રણ વિદ્યાર્થીઓએ કોમ્પ્યુટર સાયન્સ વિભાગમાં જઈને કોમ્પ્યુટર અને પ્રોજેક્ટર લઈ આવવાનું રહેશે. ત્રણ વિશિષ્ટ વિદ્યાર્થીઓ આ કરશે તેવી સંભાવનાની ગણતરી કરો.

ઉકેલ. અમે સૂત્ર (2) નો ઉપયોગ કરીને સંભવિત ઘટનાઓની સંખ્યાની ગણતરી કરીએ છીએ:

ત્રણ વિશિષ્ટ વિદ્યાર્થીઓ વિભાગમાં જશે તેવી સંભાવના:

ઉદાહરણ 7.વેચાણ માટે 10 મોબાઇલ ફોન. તેમાંથી 3માં ખામી છે. ખરીદનારએ 2 ફોન પસંદ કર્યા. બંને પસંદ કરેલા ફોનમાં ખામી હશે તેની સંભાવનાની ગણતરી કરો.

ઉકેલ. તમામ સમાન સંભવિત ઘટનાઓની સંખ્યા સૂત્ર (2) નો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે:

સમાન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમને ઘટના માટે અનુકૂળ તકોની સંખ્યા લાગે છે:

ઇચ્છિત સંભાવના કે બંને પસંદ કરેલા ફોનમાં ખામી હશે.

કાયદાઓનો સિદ્ધાંત જે કહેવાતા શાસન કરે છે. અવ્યવસ્થિત ઘટના. રશિયન ભાષામાં શામેલ વિદેશી શબ્દોનો શબ્દકોશ. ચુડીનોવ એ.એન., 1910 ... રશિયન ભાષાના વિદેશી શબ્દોનો શબ્દકોશ

સંભાવના સિદ્ધાંત- - [એલ.જી. સુમેન્કો. માહિતી ટેકનોલોજી પર અંગ્રેજી-રશિયન શબ્દકોશ. એમ.: સ્ટેટ એન્ટરપ્રાઇઝ TsNIIS, 2003.] ટોપિક્સ ઇન્ફોર્મેશન ટેક્નોલૉજી સામાન્ય રીતે EN પ્રોબેબિલિટી થિયરી થિયરી ઓફ ચાન્સપ્રોબેબિલિટી ગણતરી ... ટેકનિકલ અનુવાદકની માર્ગદર્શિકા

સંભાવના સિદ્ધાંત- ગણિતનો એક ભાગ છે જે વિવિધ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ (સંભાવના અને આંકડા જુઓ) વચ્ચેના સંબંધોનો અભ્યાસ કરે છે. ચાલો આ વિજ્ઞાન સાથે સંબંધિત સૌથી મહત્વપૂર્ણ પ્રમેયની યાદી કરીએ. અનેક અસંગત ઘટનાઓમાંથી એકની ઘટનાની સંભાવના... ... ની બરાબર છે. જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ F.A. Brockhaus અને I.A. એફ્રોન

સંભાવના સિદ્ધાંત- ગાણિતિક એક વિજ્ઞાન જે કેટલીક રેન્ડમ ઘટનાઓની સંભાવનાઓમાંથી (જુઓ), k.l. સાથે સંકળાયેલ રેન્ડમ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે. પ્રથમ સાથે માર્ગ. આધુનિક T.v. A. N. Kolmogorov દ્વારા axiomatics પર આધારિત (સ્વયંતુલિત પદ્ધતિ જુઓ). ચાલુ... રશિયન સમાજશાસ્ત્રીય જ્ઞાનકોશ

સંભાવના સિદ્ધાંત- ગણિતની એક શાખા જેમાં, કેટલીક અવ્યવસ્થિત ઘટનાઓની આપેલ સંભાવનાઓના આધારે, પ્રથમથી કોઈક રીતે સંબંધિત અન્ય ઘટનાઓની સંભાવનાઓ જોવા મળે છે. સંભાવના સિદ્ધાંત રેન્ડમ ચલો અને રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓનો પણ અભ્યાસ કરે છે. મુખ્યમાંથી એક....... આધુનિક કુદરતી વિજ્ઞાનની વિભાવનાઓ. મૂળભૂત શબ્દોની શબ્દાવલિ

સંભાવના સિદ્ધાંત- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. સંભાવના સિદ્ધાંત વોક. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. સંભાવના સિદ્ધાંત, f pranc. théorie des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas

સંભાવના સિદ્ધાંત- ... વિકિપીડિયા

સંભાવના સિદ્ધાંત- એક ગાણિતિક શિસ્ત કે જે રેન્ડમ ઘટનાના દાખલાઓનો અભ્યાસ કરે છે... આધુનિક કુદરતી વિજ્ઞાનની શરૂઆત

સંભાવના સિદ્ધાંત- (સંભાવના સિદ્ધાંત) જુઓ સંભાવના... વિશાળ સમજૂતીત્મક સમાજશાસ્ત્રીય શબ્દકોશ

સંભાવના સિદ્ધાંત અને તેના ઉપયોગો- ("સંભાવનાનો સિદ્ધાંત અને તેની એપ્લિકેશનો,") યુએસએસઆર એકેડેમી ઑફ સાયન્સિસના ગણિત વિભાગનું વૈજ્ઞાનિક જર્નલ. સંભાવના સિદ્ધાંત, ગાણિતિક આંકડાઓના સામાન્ય મુદ્દાઓ અને પ્રાકૃતિક વિજ્ઞાનમાં તેમની એપ્લિકેશનો પરના મૂળ લેખો અને ટૂંકા સંચાર પ્રકાશિત કરે છે અને... ... ગ્રેટ સોવિયેત જ્ઞાનકોશ

પુસ્તકો

• સંભાવના સિદ્ધાંત. , વેન્ટ્ઝેલ ઇ.એસ.. પુસ્તક એ એક પાઠ્યપુસ્તક છે જેઓ નિયમિત કૉલેજ અભ્યાસક્રમના અવકાશમાં ગણિતથી પરિચિત હોય અને સંભાવના સિદ્ધાંતની તકનીકી એપ્લિકેશનમાં રસ ધરાવતા હોય, જેમાં... 1993 UAH (ફક્ત યુક્રેન) માટે ખરીદો
• સંભાવના સિદ્ધાંત. , Ventzel E.S.. આ પુસ્તક પ્રિન્ટ-ઓન-ડિમાન્ડ ટેકનોલોજીનો ઉપયોગ કરીને તમારા ઓર્ડર અનુસાર બનાવવામાં આવશે.

આ પુસ્તક એક પાઠ્યપુસ્તક છે જે સામાન્ય ક્ષેત્રમાં ગણિતથી પરિચિત લોકો માટે બનાવાયેલ છે... સંભાવના સિદ્ધાંત

ઉદાહરણ તરીકે, સિક્કો ફેંકતી વખતે, તમે આગાહી કરી શકતા નથી કે તે કઈ બાજુ પર ઉતરશે. સિક્કો ઉછાળવાનું પરિણામ રેન્ડમ છે. પરંતુ પર્યાપ્ત મોટી સંખ્યામાં સિક્કા ફેંકવા સાથે, ત્યાં એક ચોક્કસ પેટર્ન છે (આર્મ્સનો કોટ અને હેશ માર્ક લગભગ સમાન સંખ્યામાં બહાર આવશે).

સંભાવના સિદ્ધાંતની મૂળભૂત વિભાવનાઓ

કસોટી (અનુભવ, પ્રયોગ) - પરિસ્થિતિઓના ચોક્કસ સમૂહનું અમલીકરણ જેમાં આ અથવા તે ઘટના જોવા મળે છે અને આ અથવા તે પરિણામ રેકોર્ડ કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે: ડાઇસ ફેંકીને સંખ્યાબંધ પોઇન્ટ મેળવો; હવાના તાપમાનમાં તફાવત; રોગની સારવારની પદ્ધતિ; વ્યક્તિના જીવનનો અમુક સમયગાળો.

રેન્ડમ ઇવેન્ટ (અથવા માત્ર એક ઇવેન્ટ) - પરીક્ષણ પરિણામ.

રેન્ડમ ઇવેન્ટ્સના ઉદાહરણો:

ડાઇ ફેંકતી વખતે એક પોઇન્ટ મેળવવો;

ઉનાળામાં હવાના તાપમાનમાં તીવ્ર વધારો સાથે કોરોનરી હૃદય રોગની તીવ્રતા;

સારવાર પદ્ધતિની ખોટી પસંદગીને કારણે રોગની ગૂંચવણોનો વિકાસ;

શાળામાં સફળ અભ્યાસ પછી યુનિવર્સિટીમાં પ્રવેશ.

ઇવેન્ટ્સને લેટિન મૂળાક્ષરોના મોટા અક્ષરોમાં નિયુક્ત કરવામાં આવે છે: એ , બી , સી , …

ઘટના કહેવાય છે વિશ્વસનીય , જો પરીક્ષણના પરિણામે તે આવશ્યકપણે થાય છે.

ઘટના કહેવાય છે અશક્ય , જો પરીક્ષણના પરિણામે તે બિલકુલ થઈ શકતું નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, જો બેચમાંના તમામ ઉત્પાદનો પ્રમાણભૂત હોય, તો તેમાંથી પ્રમાણભૂત ઉત્પાદન કાઢવું ​​એ એક વિશ્વસનીય ઘટના છે, પરંતુ સમાન પરિસ્થિતિઓમાં ખામીયુક્ત ઉત્પાદનને બહાર કાઢવું ​​એ એક અશક્ય ઘટના છે.

સંભાવનાની ક્લાસિકલ વ્યાખ્યા

સંભાવના એ સંભાવના સિદ્ધાંતની મૂળભૂત વિભાવનાઓમાંની એક છે.

ક્લાસિક ઇવેન્ટની સંભાવના ઘટનાની તરફેણ કરતા કેસોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર કહેવાય છે , કેસોની કુલ સંખ્યા સુધી, એટલે કે.

, (5.1)

જ્યાં
- ઘટનાની સંભાવના ,

- ઘટના માટે અનુકૂળ કેસોની સંખ્યા ,

- કેસોની કુલ સંખ્યા.

ઘટનાની સંભાવનાના ગુણધર્મો

કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના શૂન્ય અને એકની વચ્ચે છે, એટલે કે.

વિશ્વસનીય ઘટનાની સંભાવના એક સમાન છે, એટલે કે.

.

અશક્ય ઘટનાની સંભાવના શૂન્ય છે, એટલે કે.

.

(મૌખિક રીતે ઘણી સરળ સમસ્યાઓ હલ કરવાની ઑફર કરો).

સંભાવનાનું આંકડાકીય નિર્ધારણ

વ્યવહારમાં, ઘટનાઓની સંભાવનાઓનું અનુમાન ઘણીવાર કરવામાં આવેલ પરીક્ષણોમાં આપેલ ઘટના કેટલી વાર થશે તેના પર આધારિત છે. આ કિસ્સામાં, સંભાવનાની આંકડાકીય વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ થાય છે.

ઘટનાની આંકડાકીય સંભાવના સંબંધિત આવર્તન મર્યાદા કહેવાય છે (કેસોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર m, ઘટનાની ઘટના માટે અનુકૂળ , કુલ સંખ્યા સુધી પરીક્ષણો કરવામાં આવે છે), જ્યારે પરીક્ષણોની સંખ્યા અનંત તરફ વળે છે, એટલે કે.

જ્યાં
- ઘટનાની આંકડાકીય સંભાવના ,
- ટ્રાયલ્સની સંખ્યા જેમાં ઇવેન્ટ દેખાઈ હતી , - પરીક્ષણોની કુલ સંખ્યા.

શાસ્ત્રીય સંભાવનાથી વિપરીત, આંકડાકીય સંભાવના પ્રાયોગિક સંભાવનાની લાક્ષણિકતા છે. ક્લાસિકલ સંભાવના સૈદ્ધાંતિક રીતે આપેલ પરિસ્થિતિઓ હેઠળ ઘટનાની સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે સેવા આપે છે અને તે જરૂરી નથી કે પરીક્ષણો વાસ્તવિકતામાં કરવામાં આવે. આંકડાકીય સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ ઘટનાની સંભાવનાને પ્રાયોગિક રીતે નક્કી કરવા માટે થાય છે, એટલે કે. એવું માનવામાં આવે છે કે પરીક્ષણો ખરેખર હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા.

આંકડાકીય સંભાવના લગભગ રેન્ડમ ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન જેટલી હોય છે, તેથી, વ્યવહારમાં, સંબંધિત આવર્તનને આંકડાકીય સંભાવના તરીકે લેવામાં આવે છે, કારણ કે આંકડાકીય સંભાવના શોધવાનું વ્યવહારીક રીતે અશક્ય છે.

સંભવિતતાની આંકડાકીય વ્યાખ્યા રેન્ડમ ઘટનાઓને લાગુ પડે છે જેમાં નીચેના ગુણધર્મો હોય છે:

સંભાવના ઉમેરા અને ગુણાકાર પ્રમેય

મૂળભૂત ખ્યાલો

એ) એકમાત્ર સંભવિત ઘટનાઓ

ઘટનાઓ
તેઓને એકમાત્ર સંભવિત કહેવામાં આવે છે જો, દરેક પરીક્ષણના પરિણામે, તેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક ચોક્કસપણે આવશે.

આ ઘટનાઓ ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે ડાઇને ટૉસ કરતી વખતે, એકમાત્ર સંભવિત ઘટનાઓ એક, બે, ત્રણ, ચાર, પાંચ અને છ બિંદુઓવાળી બાજુઓ છે. તેઓ ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે.

b) ઘટનાઓને અસંગત કહેવામાં આવે છે, જો તેમાંથી એકની ઘટના સમાન અજમાયશમાં અન્ય ઘટનાઓની ઘટનાને બાકાત રાખે છે. અન્યથા તેઓ સંયુક્ત કહેવાય છે.

c) વિરુદ્ધબે અનન્ય સંભવિત ઘટનાઓને નામ આપો જે સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે. નિયુક્ત કરો અને .

જી) ઘટનાઓને સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે, જો તેમાંથી એકની ઘટનાની સંભાવના અન્યના કમિશન અથવા બિન-પૂર્ણતા પર આધારિત નથી.

ઘટનાઓ પર ક્રિયાઓ

અનેક ઘટનાઓનો સરવાળો એ ઘટના છે જેમાં ઓછામાં ઓછી એક ઘટનાનો સમાવેશ થાય છે.

જો અને - સંયુક્ત ઘટનાઓ, પછી તેમનો સરવાળો
અથવા
ઘટના A, અથવા ઘટના B, અથવા બંને ઘટનાઓ એકસાથે ની ઘટના સૂચવે છે.

જો અને - અસંગત ઘટનાઓ, પછી તેમનો સરવાળો
ઘટના અથવા ઘટનાનો અર્થ થાય છે , અથવા ઘટનાઓ .

રકમ ઘટનાઓનો અર્થ છે:

અનેક ઘટનાઓનું ઉત્પાદન (છેદન) એ આ બધી ઘટનાઓની સંયુક્ત ઘટનાનો સમાવેશ કરતી ઘટના છે.

બે ઘટનાઓનું ઉત્પાદન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે
અથવા
.

કામ ઘટનાઓ રજૂ કરે છે

અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરવા માટેનો પ્રમેય

બે અથવા વધુ અસંગત ઘટનાઓના સરવાળાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:

બે ઘટનાઓ માટે;

- માટે ઘટનાઓ

પરિણામો:

a) વિરોધી ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો અને એક સમાન:

વિપરીત ઘટનાની સંભાવના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે :
.

b) સંભાવનાઓનો સરવાળો ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ બનાવતી ઘટનાઓ એક સમાન છે: અથવા
.

સંયુક્ત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ઉમેરવા માટેનો પ્રમેય

બે સંયુક્ત ઘટનાઓના સરવાળાની સંભાવના તેમના આંતરછેદની સંભાવનાઓ વિના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે, એટલે કે.

સંભાવના ગુણાકાર પ્રમેય

a) બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે:

b) બે આશ્રિત ઘટનાઓ માટે

જ્યાં
- ઘટનાની શરતી સંભાવના , એટલે કે ઘટનાની સંભાવના , શરત હેઠળ ગણતરી કે ઘટના થયું

c) માટે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ:

.

ડી) ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બનવાની સંભાવના , સ્વતંત્ર ઘટનાઓના સંપૂર્ણ જૂથની રચના:

શરતી સંભાવના

ઘટનાની સંભાવના , ઘટના બની હોવાનું ધારીને ગણતરી કરી , ઘટનાની શરતી સંભાવના કહેવાય છે અને નિયુક્ત થયેલ છે
અથવા
.

શાસ્ત્રીય સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શરતી સંભાવનાની ગણતરી કરતી વખતે, પરિણામોની સંખ્યા અને
ઘટના બને તે પહેલાં એ હકીકતને ધ્યાનમાં રાખીને ગણતરી કરવામાં આવે છે એક ઘટના બની .