ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ. ધ અલ્ટીમેટ ગાઈડ (2019)

સંખ્યા વર્તુળએક એકમ વર્તુળ છે જેના બિંદુઓ ચોક્કસ વાસ્તવિક સંખ્યાઓને અનુરૂપ છે.

એકમ વર્તુળ એ ત્રિજ્યા 1 નું વર્તુળ છે.

સંખ્યા વર્તુળનું સામાન્ય દૃશ્ય.

1) તેની ત્રિજ્યા માપનના એકમ તરીકે લેવામાં આવે છે.

2) આડા અને ઊભા વ્યાસ સંખ્યાના વર્તુળને ચાર ચતુર્થાંશમાં વિભાજિત કરે છે. તેમને અનુક્રમે પ્રથમ, બીજા, ત્રીજા અને ચોથા ક્વાર્ટર કહેવામાં આવે છે.

3) આડા વ્યાસને AC દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, જેમાં A અત્યંત છે અધિકારબિંદુ
ઊભી વ્યાસને BD તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે, જેમાં B સૌથી વધુ બિંદુ છે.
અનુક્રમે:

પ્રથમ ક્વાર્ટર આર્ક AB છે

બીજા ક્વાર્ટર - આર્ક બીસી

ત્રીજા ક્વાર્ટર - આર્ક સીડી

ચોથા ક્વાર્ટર - આર્ક DA

4) સંખ્યા વર્તુળનું પ્રારંભિક બિંદુ બિંદુ A છે.

નંબર વર્તુળ સાથે ગણતરી ઘડિયાળની દિશામાં અથવા ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં કરી શકાય છે.

બિંદુ A થી ગણતરી સામેઘડિયાળની દિશામાં કહેવામાં આવે છે સકારાત્મક દિશા.

બિંદુ A થી ગણતરી દ્વારાઘડિયાળની દિશામાં કહેવાય છે નકારાત્મક દિશા.

સંકલન પ્લેન પર સંખ્યા વર્તુળ.

સંખ્યા વર્તુળની ત્રિજ્યાનું કેન્દ્ર મૂળ (સંખ્યા 0) ને અનુરૂપ છે.

આડો વ્યાસ ધરીને અનુરૂપ છે x, ઊભી - અક્ષ y.

પ્રારંભિક બિંદુ A સંખ્યા વર્તુળટી અક્ષ પર છેxઅને કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે (1; 0).

નંબર વર્તુળ પરના મુખ્ય બિંદુઓના નામ અને સ્થાનો:

નંબર વર્તુળના નામ કેવી રીતે યાદ રાખવું.

સંખ્યાબંધ વર્તુળના મૂળ નામો સરળતાથી યાદ રાખવામાં તમને મદદ કરશે તેવી ઘણી સરળ પેટર્ન છે.

અમે શરૂ કરીએ તે પહેલાં, ચાલો તમને યાદ અપાવીએ: ગણતરી હકારાત્મક દિશામાં હાથ ધરવામાં આવે છે, એટલે કે બિંદુ A (2π) થી ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં.

1) ચાલો સંકલન અક્ષો પરના અત્યંત બિંદુઓથી શરૂ કરીએ.

પ્રારંભિક બિંદુ 2π છે (અક્ષ પરનો સૌથી જમણો બિંદુ એક્સ, બરાબર 1).

જેમ તમે જાણો છો, 2π એ વર્તુળનો પરિઘ છે. આનો અર્થ એ છે કે અડધુ વર્તુળ 1π અથવા π છે. ધરી એક્સવર્તુળને બરાબર અડધા ભાગમાં વહેંચે છે. તદનુસાર, ધરી પર સૌથી ડાબે બિંદુ એક્સ-1 ની બરાબર π કહેવાય છે.

ધરી પર સૌથી વધુ બિંદુ ખાતે, 1 ની બરાબર, ઉપલા અર્ધવર્તુળને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે. આનો અર્થ એ છે કે જો અર્ધવર્તુળ π હોય, તો અર્ધવર્તુળ π/2 છે.

તે જ સમયે, π/2 એ વર્તુળનો એક ક્વાર્ટર પણ છે. ચાલો પહેલાથી ત્રીજા સુધીના આવા ત્રણ ક્વાર્ટર ગણીએ - અને આપણે ધરી પરના સૌથી નીચલા બિંદુ પર આવીશું ખાતે, બરાબર -1. પરંતુ જો તેમાં ત્રણ ક્વાર્ટરનો સમાવેશ થાય, તો તેનું નામ 3π/2 છે.

2) હવે ચાલો બાકીના મુદ્દાઓ પર આગળ વધીએ. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: બધા વિરોધી બિંદુઓ સમાન છેદ ધરાવે છે - અને આ અક્ષની તુલનામાં વિરોધી બિંદુઓ છે ખાતે, બંને અક્ષોના કેન્દ્રને સંબંધિત છે અને અક્ષને સંબંધિત છે એક્સ. આ અમને ક્રોમિંગ વિના તેમના બિંદુ મૂલ્યો જાણવામાં મદદ કરશે.

તમારે ફક્ત પ્રથમ ક્વાર્ટરના બિંદુઓનો અર્થ યાદ રાખવાની જરૂર છે: π/6, π/4 અને π/3. અને પછી આપણે કેટલીક પેટર્ન "જોઈશું":

- ધરી સાથે સંબંધિત ખાતે બીજા ક્વાર્ટરના બિંદુઓ પર, પ્રથમ ક્વાર્ટરના બિંદુઓની વિરુદ્ધ, અંશમાં સંખ્યાઓ છેદના કદ કરતાં 1 ઓછી છે. ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ π/6 લો. અક્ષની તુલનામાં તેની વિરુદ્ધનો બિંદુ ખાતેપણ છેદમાં 6 અને અંશમાં 5 (1 ઓછું) છે. એટલે કે, આ બિંદુનું નામ છે: 5π/6. π/4 સામેના બિંદુમાં છેદમાં 4 અને અંશમાં 3 છે (4 કરતાં 1 ઓછો) - એટલે કે, તે બિંદુ 3π/4 છે.
π/3 સામેના બિંદુમાં પણ છેદમાં 3 છે, અને અંશમાં 1 ઓછો છે: 2π/3.

- સંકલન અક્ષોના કેન્દ્રને સંબંધિતબધું જ બીજી રીતે છે: વિરુદ્ધ બિંદુઓના અંશમાંની સંખ્યાઓ (ત્રીજા ક્વાર્ટરમાં) છેદના મૂલ્ય કરતાં 1 મોટી છે. ચાલો ફરીથી બિંદુ π/6 લઈએ. કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં તેની સામેના બિંદુમાં પણ છેદમાં 6 છે, અને અંશમાં સંખ્યા 1 વધુ છે - એટલે કે, તે 7π/6 છે.
બિંદુ π/4 ની સામેના બિંદુમાં પણ છેદમાં 4 છે, અને અંશમાં સંખ્યા 1 વધુ છે: 5π/4.
બિંદુ π/3 ની સામેના બિંદુમાં પણ છેદમાં 3 છે, અને અંશમાં સંખ્યા 1 વધુ છે: 4π/3.

- ધરી સાથે સંબંધિત એક્સ(ચોથા ક્વાર્ટર)બાબત વધુ જટિલ છે. અહીં તમારે છેદના મૂલ્યમાં 1 ઓછી સંખ્યા ઉમેરવાની જરૂર છે - આ સરવાળો વિરુદ્ધ બિંદુના અંશના સંખ્યાત્મક ભાગ જેટલો હશે. ચાલો ફરી π/6 થી શરુ કરીએ. ચાલો છેદમાં 6 ની બરાબર કિંમત ઉમેરીએ જે આ સંખ્યા કરતા 1 ઓછી છે - એટલે કે, 5. આપણને મળે છે: 6 + 5 = 11. આનો અર્થ એ છે કે તે ધરીની વિરુદ્ધ છે એક્સબિંદુના છેદમાં 6 અને અંશમાં 11 હશે - એટલે કે, 11π/6.

બિંદુ π/4. આપણે છેદની કિંમતમાં 1 ઓછી સંખ્યા ઉમેરીએ છીએ: 4 + 3 = 7. આનો અર્થ એ થાય કે તે ધરીની તુલનામાં તેની વિરુદ્ધ છે. એક્સબિંદુના છેદમાં 4 અને અંશમાં 7 છે - એટલે કે, 7π/4.
બિંદુ π/3. છેદ 3 છે. આપણે 3 માં એક નાની સંખ્યા ઉમેરીએ છીએ - એટલે કે, 2. આપણને 5 મળે છે. આનો અર્થ એ છે કે તેની સામેના બિંદુના અંશમાં 5 છે - અને આ બિંદુ 5π/3 છે.

3) ક્વાર્ટર્સના મધ્યબિંદુઓના બિંદુઓ માટે બીજી પેટર્ન. તે સ્પષ્ટ છે કે તેમનો છેદ 4 છે. ચાલો અંશ પર ધ્યાન આપીએ. પ્રથમ ક્વાર્ટરના મધ્ય ભાગનો અંશ 1π છે (પરંતુ તે 1 લખવાનો રિવાજ નથી). બીજા ક્વાર્ટરના મધ્યનો અંશ 3π છે. ત્રીજા ક્વાર્ટરના મધ્યનો અંશ 5π છે. મધ્ય-ચોથા ક્વાર્ટરનો અંશ 7π છે. તે તારણ આપે છે કે મધ્યમ ક્વાર્ટરના અંશમાં ચડતા ક્રમમાં પ્રથમ ચાર વિચિત્ર સંખ્યાઓ હોય છે:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
આ પણ ખૂબ જ સરળ છે. તમામ ક્વાર્ટરના મધ્યબિંદુઓ છેદમાં 4 ધરાવતા હોવાથી, આપણે તેમના સંપૂર્ણ નામો પહેલેથી જ જાણીએ છીએ: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

સંખ્યાના વર્તુળની વિશેષતાઓ. સંખ્યા રેખા સાથે સરખામણી.

જેમ તમે જાણો છો, સંખ્યા રેખા પર, દરેક બિંદુ એક સંખ્યાને અનુરૂપ છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ લીટી પર બિંદુ A 3 ની બરાબર છે, તો તે હવે કોઈપણ અન્ય સંખ્યાની બરાબર થઈ શકશે નહીં.

તે સંખ્યા વર્તુળ પર અલગ છે કારણ કે તે એક વર્તુળ છે. ઉદાહરણ તરીકે, વર્તુળના બિંદુ A થી બિંદુ M પર આવવા માટે, તમે તેને સીધી રેખા પર કરી શકો છો (માત્ર એક ચાપ પસાર કરો છો), અથવા તમે સમગ્ર વર્તુળની આસપાસ જઈ શકો છો, અને પછી બિંદુ M પર આવી શકો છો. નિષ્કર્ષ:

બિંદુ M અમુક સંખ્યા t ની બરાબર થવા દો. જેમ આપણે જાણીએ છીએ, વર્તુળનો પરિઘ 2π છે. આનો અર્થ એ છે કે આપણે વર્તુળ પર બિંદુ t ને બે રીતે લખી શકીએ છીએ: t અથવા t + 2π. આ સમકક્ષ મૂલ્યો છે.
એટલે કે, t = t + 2π. માત્ર એટલો જ તફાવત છે કે પ્રથમ કિસ્સામાં તમે વર્તુળ બનાવ્યા વિના તરત જ બિંદુ M પર આવ્યા છો, અને બીજા કિસ્સામાં તમે વર્તુળ બનાવ્યું છે, પરંતુ તે જ બિંદુ M પર સમાપ્ત થયું છે. તમે આવા બે, ત્રણ અથવા બેસો બનાવી શકો છો વર્તુળો જો આપણે અક્ષર દ્વારા વર્તુળોની સંખ્યા દર્શાવીએ n, પછી આપણને એક નવી અભિવ્યક્તિ મળે છે:
t = t + 2π n.

તેથી સૂત્ર:

મ્યુનિસિપલ શૈક્ષણિક સંસ્થા માધ્યમિક શાળા નંબર 1

KHMAO-યુગરા

પાઠ વિકાસ

10મા ધોરણમાં

બીજગણિત અને વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતો પર

નાડેઝડા મિખૈલોવના

ગણિત શિક્ષક

સોવેત્સ્કી

વિષય: ત્રિકોણમિતિ

ત્રિકોણમિતિ કાર્યો

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો

ત્રિકોણમિતિ પરિવર્તન

નંબર સર્કલ ચાલુ

સંકલન વિમાન

બ્લોક મોડ્યુલર ટેકનોલોજીનો ઉપયોગ કરીને વિષય શીખવવામાં આવે છે.

આ પાઠ નવી સામગ્રી શીખવા માટેનો એક પાઠ છે. તેથી, પાઠનો મુખ્ય સમય નવી સામગ્રી શીખવા માટે સમર્પિત છે, અને વિદ્યાર્થીઓ આ મોટાભાગનું કામ સ્વતંત્ર રીતે કરે છે.

પાઠમાં વિદ્યાર્થીઓની પ્રવૃત્તિઓના પ્રકાર: આગળનું, સ્વતંત્ર અને વ્યક્તિગત કાર્ય.

પાઠમાં ઘણું કામ કરવાની જરૂર હોવાથી અને વિદ્યાર્થીઓની પ્રવૃત્તિઓના પરિણામોનું નિરીક્ષણ કરવું આવશ્યક હોવાથી, જ્ઞાનને અપડેટ કરવા અને નવી સામગ્રી શીખવાના તબક્કે ઇન્ટરેક્ટિવ વ્હાઇટબોર્ડનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર નંબર સર્કલના ઓવરલેની વધુ વિઝ્યુઅલ રજૂઆત માટે અને તાલીમ સત્રના અંતે શૈક્ષણિક સામગ્રીની સામગ્રી પર પ્રતિબિંબ માટે, પાવર પોઈન્ટ પ્રેઝન્ટેશનનો પણ ઉપયોગ થાય છે.

શૈક્ષણિક

સ્વતંત્ર રીતે જ્ઞાન મેળવતા શીખો

પાલનપોષણ

સંયમ, જવાબદારી, ખંત કેળવો

વિકાસશીલ

વિશ્લેષણ, તુલના, સામ્યતાઓ બનાવવાનું શીખો

પાઠ યોજના:

1) સંસ્થાકીય ક્ષણ, વિષય, પાઠ 2 નો હેતુ મિનિટ

2) જ્ઞાન અપડેટ કરવું 4 મિનિટ.

3) નવી સામગ્રી શીખવી 30 મિનિટ.

4) પ્રતિબિંબ 3 મિનિટ

5) પાઠ 1 નો સારાંશ મિનિટ

સંસ્થાકીય ક્ષણ

સંખ્યા વર્તુળ

સંકલન વિમાન

કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર નંબર વર્તુળને ધ્યાનમાં લો; એકસાથે બે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો; પછી વર્તુળના અન્ય મુખ્ય બિંદુઓના સંકલન મૂલ્યોના કોષ્ટકોને સ્વતંત્ર રીતે કમ્પાઇલ કરો;

સંખ્યાના વર્તુળ પરના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાની તમારી ક્ષમતાનું પરીક્ષણ કરો.

જ્ઞાન અપડેટ કરવું

9મા ધોરણના ભૂમિતિ અભ્યાસક્રમમાં અમે નીચેનાનો અભ્યાસ કર્યો

સામગ્રી:

એકમ અર્ધવર્તુળ (R = 1) પર, અમે કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે બિંદુ M ગણીએ છીએ એક્સઅને ખાતે

ભૂમિતિના પાઠ્યપુસ્તકમાંથી અવતરણો

એકમ વર્તુળ પરના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાનું શીખ્યા પછી,

ચાલો સરળતાથી તેમના અન્ય નામો પર આગળ વધીએ: સાઈન અને કોસાઈન્સ, એટલે કે.

મુખ્ય વિષય પર - ત્રિકોણમિતિ

પ્રથમ કાર્ય ઇન્ટરેક્ટિવ વ્હાઇટબોર્ડ પર આપવામાં આવે છે, જ્યાં વિદ્યાર્થીઓએ બોર્ડ પર તેમની આંગળી વડે ખેંચીને નંબર વર્તુળ પરના સ્થળોએ બિંદુઓ અને તેમની અનુરૂપ સંખ્યાઓ મૂકવાની જરૂર છે.

કાર્ય 1

અમને પરિણામ મળ્યું:

બીજું કાર્ય ઇન્ટરેક્ટિવ બોર્ડ પર આપવામાં આવે છે. જવાબો "પડદા" વડે બંધ કરવામાં આવે છે અને જેમ જેમ તેઓ ઉકેલાય છે તેમ જાહેર થાય છે.

કાર્ય 2

કાર્યનું પરિણામ:

નવી સામગ્રી શીખવી

ચાલો એક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ લઈએ અને તેના પર એક નંબરનું વર્તુળ મૂકીએ જેથી તેમના કેન્દ્રો એકરૂપ થાય અને વર્તુળની આડી ત્રિજ્યા OX અક્ષની સકારાત્મક દિશા સાથે એકરુપ થાય (પાવર પોઈન્ટ પ્રેઝન્ટેશન)

પરિણામે, આપણી પાસે એવા બિંદુઓ છે જે નંબર સર્કલ અને કોઓર્ડિનેટ પ્લેન બંનેના છે. ચાલો આમાંના એક મુદ્દાને ધ્યાનમાં લઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ M (પાવર પોઈન્ટ પ્રેઝન્ટેશન)

એમ(t)

ચાલો આ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સનું કાવતરું કરીએ

ચાલો એકમ વર્તુળ પર આપણા રસના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ, જેને આપણે છેદ 4, 3, 6 અને અંશ π સાથે અગાઉ ધ્યાનમાં લીધા હતા.

સંખ્યાને અનુરૂપ એકમ વર્તુળ પરના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો અને તે મુજબ કોણ

કાર્ય 3

(પાવર પોઈન્ટ પ્રેઝન્ટેશન)

ચાલો બિંદુની ત્રિજ્યા અને કોઓર્ડિનેટ્સનું નિરૂપણ કરીએ

પાયથાગોરિયન પ્રમેય દ્વારા આપણી પાસે છે એક્સ 2+ x 2 = 12

પરંતુ ત્રિકોણના ખૂણા π/4 = 45° છે , આનો અર્થ એ છે કે ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે અને x = y

સંખ્યાઓ (કોણ) ને અનુરૂપ એકમ વર્તુળ પરના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો

કાર્ય 4

(પાવર પોઈન્ટ પ્રેઝન્ટેશન)

અર્થ ખાતે= 1/2

પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર

ત્રિકોણ કર્ણોમાં સમાન છે

અને તીવ્ર કોણ, જેનો અર્થ છે કે તેમના પગ સમાન છે

અગાઉના પાઠમાં, વિદ્યાર્થીઓને સંખ્યાના વર્તુળો અને વિવિધ કોષ્ટકોની ખાલી જગ્યાઓ સાથે પત્રકો પ્રાપ્ત થયા હતા.

પ્રથમ કોષ્ટક ભરો.

કાર્ય 5

(ઇન્ટરેક્ટિવ વ્હાઇટબોર્ડ)

પ્રથમ, કોષ્ટકમાં 2 અને 4 ના ગુણાંકવાળા વર્તુળના બિંદુઓ દાખલ કરો.

પરિણામ તપાસી રહ્યું છે:

(ઇન્ટરેક્ટિવ વ્હાઇટબોર્ડ)

પોઈન્ટના કોઓર્ડિનેટ્સ માટે ઉપર મેળવેલ સેગમેન્ટ્સની લંબાઈનો ઉપયોગ કરીને, બિંદુ કયા ક્વાર્ટરમાં સ્થિત છે તેના આધારે, કોઓર્ડિનેટ ચિહ્નોને ધ્યાનમાં લઈને, કોષ્ટકમાં આ બિંદુઓના ઑર્ડિનેટ અને એબ્સિસાસ જાતે ભરો.

કાર્ય 6

વિદ્યાર્થીઓમાંથી એક મેળવેલ પરિણામોને નામ આપે છે, બાકીના તેમના જવાબો સાથે તપાસે છે, પછી સફળતાપૂર્વક પરિણામોને સુધારવા માટે (કારણ કે આ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ પછીથી કૌશલ્ય વિકસાવવા અને વિષય પરના જ્ઞાનને વધુ ગાઢ બનાવવા માટે કરવામાં આવશે), યોગ્ય રીતે પૂર્ણ થયેલ ટેબલ બતાવવામાં આવે છે. ઇન્ટરેક્ટિવ બોર્ડ પર.

પરિણામ તપાસી રહ્યું છે:

(ઇન્ટરેક્ટિવ વ્હાઇટબોર્ડ)

બીજું કોષ્ટક ભરો.

કાર્ય 7

(ઇન્ટરેક્ટિવ વ્હાઇટબોર્ડ)

પ્રથમ, કોષ્ટકમાં વર્તુળના બિંદુઓ દાખલ કરો જે 3 અને 6 ના ગુણાંક છે

પરિણામ તપાસી રહ્યું છે:

(ઇન્ટરેક્ટિવ વ્હાઇટબોર્ડ)

કોષ્ટકમાં આ બિંદુઓના ઑર્ડિનેટ અને એબ્સિસિસ જાતે ભરો

કાર્ય 8

પરિણામ તપાસી રહ્યું છે:

(ઇન્ટરેક્ટિવ વ્હાઇટબોર્ડ)

(પાવર પોઈન્ટ પ્રેઝન્ટેશન)

ચાલો એક ટૂંકું ગાણિતિક શ્રુતલેખન કરીએ અને પછી સ્વ-નિયંત્રણ કરીએ.

1) એકમ વર્તુળના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો:

વિકલ્પ 2

1 વિકલ્પ

2) એકમ વર્તુળના પોઈન્ટનો એબ્સીસા શોધો:

1) એકમ વર્તુળ પરના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો

વિકલ્પ 2

1 વિકલ્પ

2) એકમ વર્તુળ પરના બિંદુઓના એબ્સીસા શોધો

તમારી જાતને પરીક્ષણ કરો

3) એકમ વર્તુળના બિંદુઓના ઓર્ડિનેટ્સ શોધો:

તમારા માટે, તમે 4 પૂર્ણ થયેલા ઉદાહરણો માટે "5" ચિહ્નિત કરી શકો છો,

3 ઉદાહરણો માટે “4” અને 2 ઉદાહરણો માટે “3” ચિહ્નિત કરો

પાઠનો સારાંશ

1) ભવિષ્યમાં, બિંદુઓ અને ખૂણાઓના સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટિન્જેન્ટના મૂલ્યો શોધવા માટે, પૂર્ણ કરેલ કોષ્ટકોમાંથી પ્રથમ ત્રિમાસિક ગાળાના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સના મૂલ્યો શીખવા જરૂરી છે કારણ કે આગળ આપણે પ્રથમ ક્વાર્ટરના બિંદુઓના મૂલ્યો દ્વારા અન્ય તમામ બિંદુઓના સંકલન મૂલ્યોને વ્યક્ત કરવાનું શીખીશું;

2) પરીક્ષણ માટે સૈદ્ધાંતિક પ્રશ્નો તૈયાર કરો.

ગૃહકાર્ય:

પાઠ સારાંશ

જે વિદ્યાર્થીઓએ પાઠમાં સૌથી વધુ સક્રિય રીતે કામ કર્યું હોય તેમને ગ્રેડ આપવામાં આવે છે. બધા વિદ્યાર્થીઓના કાર્યને ગ્રેડ આપવામાં આવતું નથી, કારણ કે પાઠ દરમિયાન ભૂલો તરત જ સુધારવામાં આવે છે. શ્રુતલેખન સ્વ-નિયંત્રણ માટે કરવામાં આવ્યું હતું;

વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ ભૌમિતિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે સમાન તકનીકો પ્રદાન કરે છે. આ કરવા માટે, આપેલ અને માંગવામાં આવેલા તમામ બિંદુઓ અને રેખાઓ એક સંકલન સિસ્ટમને સોંપવામાં આવે છે.

સંકલન પ્રણાલીમાં, દરેક બિંદુને તેના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા અને દરેક લીટી - બે અજાણ્યાઓ સાથેના સમીકરણ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે, જેનો આ રેખા આલેખ છે. આમ, ભૌમિતિક સમસ્યાને બીજગણિતમાં ઘટાડવામાં આવે છે, જ્યાં તમામ ગણતરી પદ્ધતિઓ સારી રીતે વિકસિત છે.

વર્તુળ એ એક વિશિષ્ટ ગુણધર્મ સાથેના બિંદુઓનું ભૌમિતિક સ્થાન છે (વર્તુળ પરનો દરેક બિંદુ એક બિંદુથી સમાન દૂર હોય છે, જેને કેન્દ્ર કહેવાય છે). વર્તુળનું સમીકરણ આ ગુણધર્મને પ્રતિબિંબિત કરતું હોવું જોઈએ અને આ સ્થિતિને સંતોષે છે.

વર્તુળના સમીકરણનું ભૌમિતિક અર્થઘટન એ વર્તુળની રેખા છે.

જો તમે કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં વર્તુળ મૂકો છો, તો વર્તુળ પરના તમામ બિંદુઓ એક શરતને સંતોષે છે - તેમાંથી વર્તુળના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર વર્તુળ જેટલું અને સમાન હોવું જોઈએ.

એક બિંદુ પર કેન્દ્ર સાથે વર્તુળ એ અને ત્રિજ્યા આર તેને કોઓર્ડિનેટ પ્લેનમાં મૂકો.

જો કેન્દ્ર સંકલન કરે છે (a;b) , અને વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ (x;y) , તો વર્તુળના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

જો વર્તુળની ત્રિજ્યાનો વર્ગ વર્તુળ અને તેના કેન્દ્ર પરના કોઈપણ બિંદુના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેના તફાવતોના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય, તો આ સમીકરણ એ પ્લેન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં વર્તુળનું સમીકરણ છે.

જો વર્તુળનું કેન્દ્ર મૂળ સાથે એકરુપ હોય, તો વર્તુળની ત્રિજ્યાનો વર્ગ વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સના ચોરસના સરવાળા જેટલો હોય છે. આ કિસ્સામાં, વર્તુળનું સમીકરણ આ સ્વરૂપ લે છે:

વર્તુળના સમીકરણ વિશે સમસ્યાઓ ઉકેલવાના ઉદાહરણો

કાર્ય. આપેલ વર્તુળ માટે સમીકરણ લખો

ઉકેલ.
ચાલો વર્તુળના સમીકરણ માટે સૂત્ર તરફ વળીએ:
R 2 = (x-a) 2 + (y-b) 2

ચાલો મૂલ્યોને સૂત્રમાં બદલીએ.
વર્તુળ ત્રિજ્યા R = 4
વર્તુળના કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ (શરત અનુસાર)
a = 2
b = -3

અમને મળે છે:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
અથવા
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

કાર્ય. શું બિંદુ વર્તુળના સમીકરણ સાથે સંબંધિત છે?

ઉકેલ.
જો કોઈ બિંદુ વર્તુળનું હોય, તો તેના કોઓર્ડિનેટ્સ વર્તુળના સમીકરણને સંતોષે છે.
આપેલ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેનો બિંદુ વર્તુળનો છે કે કેમ તે ચકાસવા માટે, આપેલ વર્તુળના સમીકરણમાં બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને બદલો.

સમીકરણમાં ( x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
ચાલો, સ્થિતિ અનુસાર, બિંદુ A(2;3) ના કોઓર્ડિનેટ્સને બદલીએ, એટલે કે
x = 2
y=3

ચાલો પરિણામી સમાનતાનું સત્ય તપાસીએ
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 સમાનતા ખોટી છે

તેથી આપેલ બિંદુ સંબંધ નથીવર્તુળનું આપેલ સમીકરણ.

પ્રસ્તુતિ પૂર્વાવલોકનોનો ઉપયોગ કરવા માટે, એક Google એકાઉન્ટ બનાવો અને તેમાં લોગ ઇન કરો: https://accounts.google.com

સ્લાઇડ કૅપ્શન્સ:

સંકલન સમતલમાં સંખ્યા વર્તુળ

ચાલો પુનરાવર્તન કરીએ: એકમ વર્તુળ એ સંખ્યાનું વર્તુળ છે જેની ત્રિજ્યા 1 છે. R=1 C=2 π + - y x

જો સંખ્યા વર્તુળનો બિંદુ M સંખ્યા t ને અનુરૂપ હોય, તો તે t+2 π k ફોર્મની સંખ્યાને પણ અનુરૂપ છે, જ્યાં k એ કોઈપણ પૂર્ણાંક (k ϵ Z) છે. M(t) = M(t+2 π k), જ્યાં k ϵ Z

મૂળભૂત લેઆઉટ પ્રથમ લેઆઉટ 0 π y x બીજું લેઆઉટ y x

x y 1 A(1, 0) B (0, 1) C (- 1, 0) D (0, -1) 0 x>0 y>0 x 0 x 0 y

ચાલો બિંદુને અનુરૂપ બિંદુ M ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ. 1) 2) x y M P 45° O A

પ્રથમ લેઆઉટના મુખ્ય બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D y x

M P x y O A ચાલો બિંદુ M ને અનુરૂપ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ. 1) 2) 30°

M P ચાલો બિંદુ M ને અનુરૂપ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ. 1) 2) 30° x y O A B

સમપ્રમાણતાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ છીએ જે y x ના ગુણાંક છે

બીજા લેઆઉટના મુખ્ય બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ x y x y y x

ઉદાહરણ સંખ્યાના વર્તુળ પરના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો. ઉકેલ: P y x

ઉદાહરણ નંબર વર્તુળ પર ઓર્ડિનેટ સાથે બિંદુઓ શોધો ઉકેલ: y x ​​x y x y

કસરતો: સંખ્યાના વર્તુળ પરના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો: a) , b) . સંખ્યાના વર્તુળ પર એબ્સીસા સાથે બિંદુઓ શોધો.

મુખ્ય બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 પ્રથમ લેઆઉટના મુખ્ય બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ x y x y મુખ્યના કોઓર્ડિનેટ્સ બીજા લેઆઉટના બિંદુઓ

વિષય પર: પદ્ધતિસરના વિકાસ, પ્રસ્તુતિઓ અને નોંધો

બીજગણિત પર ડિડેક્ટિક સામગ્રી અને ગ્રેડ 10 (પ્રોફાઇલ સ્તર) માં વિશ્લેષણની શરૂઆત "સંકલન પ્લેન પર સંખ્યા વર્તુળ"

વિકલ્પ 1.1 સંખ્યા વર્તુળ પર બિંદુ શોધો: A) -2∏/3B) 72. સંખ્યા વર્તુળનો કયો ક્વાર્ટર બિંદુ 16.3 શોધે છે.

જો તમે કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર એકમ નંબર વર્તુળ મૂકો છો, તો તમે તેના બિંદુઓ માટે કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી શકો છો. સંખ્યા વર્તુળ એવી રીતે સ્થિત થયેલ છે કે તેનું કેન્દ્ર પ્લેનની ઉત્પત્તિ સાથે મેળ ખાય છે, એટલે કે બિંદુ O (0; 0).

સામાન્ય રીતે એકમ નંબર વર્તુળ પર વર્તુળના મૂળને અનુરૂપ બિંદુઓ ચિહ્નિત કરવામાં આવે છે.

• ક્વાર્ટર - 0 અથવા 2π, π/2, π, (2π)/3,
• મધ્યમ ક્વાર્ટર - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• ક્વાર્ટરનો ત્રીજો ભાગ - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર, તેના પર એકમ વર્તુળના ઉપરના સ્થાન સાથે, તમે વર્તુળના આ બિંદુઓને અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી શકો છો.

ક્વાર્ટર્સના છેડાઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે ખૂબ જ સરળ છે. વર્તુળના બિંદુ 0 પર, x કોઓર્ડિનેટ 1 છે, અને y સંકલન 0 છે. આપણે તેને A(0) = A (1; 0) તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.

પ્રથમ ક્વાર્ટરનો અંત ધન y-અક્ષ પર સ્થિત હશે. તેથી, B (π/2) = B (0; 1).

બીજા ક્વાર્ટરનો અંત નકારાત્મક અર્ધ-અક્ષ પર છે: C (π) = C (-1; 0).

ત્રીજા ક્વાર્ટરનો અંત: D ((2π)/3) = D (0; -1).

પરંતુ ક્વાર્ટર્સના મધ્યબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ કેવી રીતે શોધી શકાય? આ કરવા માટે, કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવો. તેનું કર્ણ એ વર્તુળના કેન્દ્ર (અથવા મૂળ) થી ક્વાર્ટર વર્તુળના મધ્યબિંદુ સુધીનો એક સેગમેન્ટ છે. આ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે. વર્તુળ એકમ હોવાથી, કર્ણ 1 ની બરાબર છે. આગળ, વર્તુળ પરના બિંદુથી કોઈપણ ધરી સુધી લંબ દોરો. તેને x અક્ષ તરફ રહેવા દો. પરિણામ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે, જેના પગની લંબાઈ વર્તુળ પરના બિંદુના x અને y કોઓર્ડિનેટ્સ છે.

એક ક્વાર્ટર વર્તુળ 90º છે. અને અડધો ક્વાર્ટર 45º છે. કર્ણને ચતુર્થાંશના મધ્યબિંદુ તરફ દોરવામાં આવતું હોવાથી, મૂળથી વિસ્તરેલ કર્ણો અને પગ વચ્ચેનો ખૂણો 45º છે. પરંતુ કોઈપણ ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 180º છે. પરિણામે, કર્ણ અને બીજા પગ વચ્ચેનો ખૂણો પણ 45º રહે છે. આ એક સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણમાં પરિણમે છે.

પાયથાગોરિયન પ્રમેયમાંથી આપણે સમીકરણ x 2 + y 2 = 1 2 મેળવીએ છીએ. x = y અને 1 2 = 1 હોવાથી, સમીકરણ x 2 + x 2 = 1 માં સરળ બને છે. તેને ઉકેલવાથી, આપણને x = √½ = 1/√2 = √2/2 મળે છે.

આમ, બિંદુ M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2) ના કોઓર્ડિનેટ્સ.

અન્ય ક્વાર્ટર્સના મધ્યબિંદુઓના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સમાં, ફક્ત ચિહ્નો બદલાશે, અને મૂલ્યોના મોડ્યુલો સમાન રહેશે, કારણ કે જમણો ત્રિકોણ ફક્ત ફેરવવામાં આવશે. અમને મળે છે:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

વર્તુળના ક્વાર્ટર્સના ત્રીજા ભાગના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરતી વખતે, એક કાટખૂણો ત્રિકોણ પણ બાંધવામાં આવે છે. જો આપણે બિંદુ π/6 લઈએ અને x-અક્ષ પર કાટખૂણે દોરીએ, તો કર્ણ અને x-અક્ષ પર પડેલા પગ વચ્ચેનો ખૂણો 30º હશે. તે જાણીતું છે કે 30º ના ખૂણાની સામે પડેલો પગ અડધા કર્ણોની બરાબર છે. આનો અર્થ એ થયો કે આપણને y સંકલન મળ્યું છે, તે ½ બરાબર છે.

કર્ણની લંબાઈ અને એક પગને જાણીને, પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આપણે બીજો પગ શોધીએ છીએ:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

આમ T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

પ્રથમ ત્રિમાસિક (π/3) ના બીજા ત્રીજા ભાગના બિંદુ માટે, અક્ષને y અક્ષ તરફ લંબ દોરવાનું વધુ સારું છે. પછી મૂળ પરનો કોણ પણ 30º હશે. અહીં x સંકલન અનુક્રમે ½, અને y ની બરાબર હશે, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

ત્રીજા ક્વાર્ટરના અન્ય બિંદુઓ માટે, સંકલન મૂલ્યોના સંકેતો અને ક્રમ બદલાશે. બધા બિંદુઓ કે જે x અક્ષની નજીક છે તેમની પાસે મોડ્યુલસ x સંકલન મૂલ્ય √3/2 ની બરાબર હશે. તે બિંદુઓ કે જે y અક્ષની નજીક છે તેમની પાસે મોડ્યુલસ y મૂલ્ય √3/2 ની બરાબર હશે.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)