છેદતી રેખાઓનું સમીકરણ. ખૂણાઓ અને બે જાણીતા બિંદુઓ (બિયાંગ્યુલેશન) નો ઉપયોગ કરીને બે રેખાઓના આંતરછેદ બિંદુને શોધવું

શ્રેણીમાંથી પાઠ "ભૌમિતિક અલ્ગોરિધમ્સ"

હેલો પ્રિય વાચક!

ચાલો ભૌમિતિક અલ્ગોરિધમ્સથી પરિચિત થવાનું ચાલુ રાખીએ. છેલ્લા પાઠમાં, અમને બે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાનું સમીકરણ મળ્યું. અમને ફોર્મનું સમીકરણ મળ્યું:

આજે આપણે એક ફંક્શન લખીશું જે, બે સીધી રેખાઓના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને, તેમના આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ (જો એક હોય તો) શોધી કાઢશે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓની સમાનતા ચકાસવા માટે, અમે ખાસ ફંક્શન RealEq() નો ઉપયોગ કરીશું.

પ્લેન પરના બિંદુઓને વાસ્તવિક સંખ્યાઓની જોડી દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. વાસ્તવિક પ્રકારનો ઉપયોગ કરતી વખતે, વિશિષ્ટ કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને તુલનાત્મક કામગીરીને અમલમાં મૂકવાનું વધુ સારું છે.

કારણ જાણીતું છે: પાસ્કલ પ્રોગ્રામિંગ સિસ્ટમમાં વાસ્તવિક પ્રકાર પર કોઈ ઓર્ડર સંબંધ નથી, તેથી ફોર્મ a = b ના રેકોર્ડ્સનો ઉપયોગ ન કરવો વધુ સારું છે, જ્યાં a અને b વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
આજે આપણે “=” (કડક સમાન) ઑપરેશનને અમલમાં મૂકવા માટે RealEq() ફંક્શન રજૂ કરીશું:

ફંક્શન RealEq(Const a, b:Real):બુલિયન; (કડક સમાન) રીઅલઇક શરૂ કરો:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

કાર્ય. બે સીધી રેખાઓના સમીકરણો આપવામાં આવે છે: અને . તેમના આંતરછેદનું બિંદુ શોધો.

ઉકેલ. સ્પષ્ટ ઉકેલ એ રેખા સમીકરણોની સિસ્ટમને હલ કરવાનો છે: ચાલો આ સિસ્ટમને થોડી અલગ રીતે ફરીથી લખીએ:
(1)

ચાલો નીચે આપેલ સૂચન રજૂ કરીએ: , , . અહીં D એ સિસ્ટમનો નિર્ણાયક છે, અને તે નિર્ણાયકો છે જે અનુરૂપ અજ્ઞાત માટેના ગુણાંકના કૉલમને મુક્ત શરતોના કૉલમ સાથે બદલવાથી પરિણમે છે. જો , તો સિસ્ટમ (1) ચોક્કસ છે, એટલે કે, તેની પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે. આ ઉકેલ નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે: , જેને કહેવામાં આવે છે ક્રેમર સૂત્રો. ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે બીજા-ક્રમ નિર્ણાયકની ગણતરી કેવી રીતે કરવામાં આવે છે. નિર્ણાયક બે કર્ણને અલગ પાડે છે: મુખ્ય અને ગૌણ. મુખ્ય કર્ણમાં નિર્ધારકના ઉપરના ડાબા ખૂણેથી નીચેના જમણા ખૂણે દિશામાં લેવાયેલા તત્વોનો સમાવેશ થાય છે. બાજુની કર્ણ - ઉપર જમણી બાજુથી નીચે ડાબી તરફ. દ્વિતીય ક્રમ નિર્ણાયક એ મુખ્ય કર્ણના ઘટકોના ગુણાંકને બાદ કરતા ગૌણ કર્ણના તત્વોના ગુણાંક સમાન છે.

સમાનતા તપાસવા માટે કોડ RealEq() ફંક્શનનો ઉપયોગ કરે છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર ગણતરીઓ _Eps=1e-7 ની ચોકસાઈ સાથે કરવામાં આવે છે.

પ્રોગ્રામ geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(ગણતરી સચોટતા) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real;<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

ફંક્શન RealEq(Const a, b:Real):બુલિયન; (કડક સમાન) રીઅલઇક શરૂ કરો:=Abs(a-b)

અમે એક પ્રોગ્રામ કમ્પાઈલ કર્યો છે જેની મદદથી તમે, રેખાઓના સમીકરણો જાણીને, તેમના આંતરછેદ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી શકો છો.

સંકલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને કેટલીક ભૌમિતિક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, તમારે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા પડશે. મોટેભાગે તમારે પ્લેન પર બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાનું હોય છે, પરંતુ કેટલીકવાર અવકાશમાં બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવાની જરૂર હોય છે. આ લેખમાં આપણે જે બિંદુ પર બે રેખાઓ છેદે છે તેના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા સાથે વ્યવહાર કરીશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

બે રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ એ વ્યાખ્યા છે.

ચાલો પહેલા બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

પ્લેન પરની રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ પરના વિભાગમાં, તે દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે પ્લેન પરની બે રેખાઓ કાં તો એકરૂપ થઈ શકે છે (અને તેઓ અનંતપણે ઘણા સામાન્ય બિંદુઓ ધરાવે છે), અથવા સમાંતર હોઈ શકે છે (અને બે રેખાઓમાં કોઈ સામાન્ય બિંદુ નથી), અથવા છેદે છે. , એક સામાન્ય મુદ્દો છે. અવકાશમાં બે રેખાઓની સાપેક્ષ સ્થિતિ માટે વધુ વિકલ્પો છે - તેઓ એકરૂપ થઈ શકે છે (અનંત ઘણા સામાન્ય બિંદુઓ ધરાવે છે), તેઓ સમાંતર હોઈ શકે છે (એટલે ​​​​કે, એક જ પ્લેનમાં રહે છે અને છેદતી નથી), તેઓ છેદે છે (નથી) સમાન વિમાનમાં આવેલા છે), અને તેઓ એક સામાન્ય બિંદુ પણ હોઈ શકે છે, એટલે કે છેદે છે. તેથી, પ્લેન પર અને અવકાશમાં બે રેખાઓને છેદતી કહેવામાં આવે છે જો તેમની પાસે એક સામાન્ય બિંદુ હોય. છેદતી રેખાઓની વ્યાખ્યામાંથી તે નીચે મુજબ છેરેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને નિર્ધારિત કરવું

: જે બિંદુએ બે રેખાઓ છેદે છે તેને આ રેખાઓના આંતરછેદ બિંદુ કહેવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બે છેદતી રેખાઓનો એકમાત્ર સામાન્ય બિંદુ એ આ રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ છે.

સ્પષ્ટતા માટે, અમે પ્લેન અને અવકાશમાં બે સીધી રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુનું ગ્રાફિકલ ચિત્ર રજૂ કરીએ છીએ.

પૃષ્ઠની ટોચ

પ્લેન પર બે રેખાઓના આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવી.

તેમના જાણીતા સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને પ્લેન પર બે સીધી રેખાઓના આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધતા પહેલા, સહાયક સમસ્યાનો વિચાર કરો. ઓક્સી a અને b ઓક્સી. અમે તે સીધું ધારીશું અનેફોર્મની સીધી રેખા અને સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણને અનુરૂપ છે - પ્રકાર. પ્લેન પર અમુક બિંદુ હોઈ દો, અને અમે બિંદુ છે કે કેમ તે શોધવા માટે જરૂર છેએમ 0

આપેલ રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ.

ચાલો સમસ્યા હલ કરીએ. જો ઓક્સી a અને M0 ઓક્સી, પછી વ્યાખ્યા દ્વારા તે પણ રેખા સાથે સંબંધિત છે અને, એટલે કે, તેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણ અને સમીકરણ બંનેને સંતોષતા હોવા જોઈએ. તેથી, આપણે બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને બદલવાની જરૂર છે - પ્રકાર. પ્લેન પર અમુક બિંદુ હોઈ દો, અને અમે બિંદુ છે કે કેમ તે શોધવા માટે જરૂર છેઆપેલ રેખાઓના સમીકરણોમાં અને જુઓ કે આના પરિણામે બે સાચી સમાનતાઓ આવે છે. જો બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ - પ્રકાર. પ્લેન પર અમુક બિંદુ હોઈ દો, અને અમે બિંદુ છે કે કેમ તે શોધવા માટે જરૂર છેબંને સમીકરણોને સંતોષો અને , પછી રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ છે ઓક્સી a અને, અન્યથા - પ્રકાર. પ્લેન પર અમુક બિંદુ હોઈ દો, અને અમે બિંદુ છે કે કેમ તે શોધવા માટે જરૂર છે .

બિંદુ છે - પ્રકાર. પ્લેન પર અમુક બિંદુ હોઈ દો, અને અમે બિંદુ છે કે કેમ તે શોધવા માટે જરૂર છેકોઓર્ડિનેટ્સ સાથે (2, -3) રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ 5x-2y-16=0અને 2x-5y-19=0?

ચાલો સમસ્યા હલ કરીએ. - પ્રકાર. પ્લેન પર અમુક બિંદુ હોઈ દો, અને અમે બિંદુ છે કે કેમ તે શોધવા માટે જરૂર છેખરેખર આપેલ રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ છે, પછી તેના કોઓર્ડિનેટ્સ રેખાઓના સમીકરણોને સંતોષે છે. ચાલો બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને બદલીને આને તપાસીએ - પ્રકાર. પ્લેન પર અમુક બિંદુ હોઈ દો, અને અમે બિંદુ છે કે કેમ તે શોધવા માટે જરૂર છેઆપેલ સમીકરણોમાં:

અમને બે સાચી સમાનતા મળી છે, તેથી, M 0 (2, -3)- રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ 5x-2y-16=0 a 2x-5y-19=0.

સ્પષ્ટતા માટે, અમે એક રેખાંકન રજૂ કરીએ છીએ જે સીધી રેખાઓ દર્શાવે છે અને તેમના આંતરછેદ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ દૃશ્યમાન છે.

હા, સમયગાળો M 0 (2, -3)રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ છે 5x-2y-16=0 a 2x-5y-19=0.

શું રેખાઓ છેદે છે? 5x+3y-1=0 a 7x-2y+11=0બિંદુ પર M 0 (2, -3)?

ચાલો બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને બદલીએ - પ્રકાર. પ્લેન પર અમુક બિંદુ હોઈ દો, અને અમે બિંદુ છે કે કેમ તે શોધવા માટે જરૂર છેસીધી રેખાઓના સમીકરણોમાં, આ ક્રિયા તપાસ કરશે કે બિંદુ તેના માટે છે કે નહીં - પ્રકાર. પ્લેન પર અમુક બિંદુ હોઈ દો, અને અમે બિંદુ છે કે કેમ તે શોધવા માટે જરૂર છેએક જ સમયે બંને સીધી રેખાઓ:

બીજા સમીકરણથી, જ્યારે બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને તેમાં સ્થાનાંતરિત કરો - પ્રકાર. પ્લેન પર અમુક બિંદુ હોઈ દો, અને અમે બિંદુ છે કે કેમ તે શોધવા માટે જરૂર છેસાચી સમાનતામાં ફેરવાઈ નથી, પછી નિર્દેશ કરો - પ્રકાર. પ્લેન પર અમુક બિંદુ હોઈ દો, અને અમે બિંદુ છે કે કેમ તે શોધવા માટે જરૂર છેલાઇન સાથે સંબંધિત નથી 7x-2y+11=0. આ હકીકત પરથી આપણે તારણ કાઢી શકીએ છીએ કે બિંદુ - પ્રકાર. પ્લેન પર અમુક બિંદુ હોઈ દો, અને અમે બિંદુ છે કે કેમ તે શોધવા માટે જરૂર છેઆપેલ રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ નથી.

ચિત્ર પણ સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે કે બિંદુ - પ્રકાર. પ્લેન પર અમુક બિંદુ હોઈ દો, અને અમે બિંદુ છે કે કેમ તે શોધવા માટે જરૂર છેરેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ નથી 5x+3y-1=0 a 7x-2y+11=0. દેખીતી રીતે, આપેલ રેખાઓ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે એક બિંદુ પર છેદે છે (-1, 2) .

M 0 (2, -3)રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ નથી 5x+3y-1=0 a 7x-2y+11=0.

હવે આપણે સમતલ પર રેખાઓના આપેલા સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાના કાર્ય પર આગળ વધી શકીએ છીએ.

પ્લેન પર લંબચોરસ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમને ઠીક કરવા દો તેમના જાણીતા સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને પ્લેન પર બે સીધી રેખાઓના આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધતા પહેલા, સહાયક સમસ્યાનો વિચાર કરો.અને બે છેદતી રેખાઓ આપી છે ઓક્સી a અનેસમીકરણો અને અનુક્રમે. ચાલો આપેલ રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને આ રીતે દર્શાવીએ - પ્રકાર. પ્લેન પર અમુક બિંદુ હોઈ દો, અને અમે બિંદુ છે કે કેમ તે શોધવા માટે જરૂર છેઅને નીચેની સમસ્યા હલ કરો: બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો ઓક્સી a અનેઆ રેખાઓના જાણીતા સમીકરણો અનુસાર અને .

ડોટ જોદરેક છેદતી રેખાઓથી સંબંધિત છે ઓક્સી a અનેવ્યાખ્યા દ્વારા. પછી રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ ઓક્સી a અનેસમીકરણ અને સમીકરણ બંનેને સંતોષો. તેથી, બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ ઓક્સી a અનેસમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ છે (રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની લેખ ઉકેલવાની પ્રણાલી જુઓ).

આમ, સામાન્ય સમીકરણો દ્વારા સમતલ પર વ્યાખ્યાયિત બે સીધી રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે, તમારે આપેલ સીધી રેખાઓના સમીકરણોથી બનેલી સિસ્ટમ ઉકેલવાની જરૂર છે.

ચાલો ઉદાહરણ ઉકેલ જોઈએ.

સમીકરણો દ્વારા પ્લેન પર લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં વ્યાખ્યાયિત બે રેખાઓના આંતરછેદ બિંદુને શોધો x-9y+14=0 a 5x-2y-16=0.

આપણને રેખાઓના બે સામાન્ય સમીકરણો આપવામાં આવ્યા છે, ચાલો તેમાંથી એક સિસ્ટમ બનાવીએ: ચલના સંદર્ભમાં તેના પ્રથમ સમીકરણને ઉકેલીને સમીકરણોની પરિણામી સિસ્ટમના ઉકેલો સરળતાથી મળી જાય છે. xઅને આ અભિવ્યક્તિને બીજા સમીકરણમાં બદલો:

સમીકરણોની સિસ્ટમનો શોધાયેલ ઉકેલ આપણને બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના ઇચ્છિત કોઓર્ડિનેટ્સ આપે છે.

M 0 (4, 2)- રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ x-9y+14=0 a 5x-2y-16=0.

તેથી, પ્લેન પર સામાન્ય સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત બે સીધી રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા, બે અજાણ્યા ચલો સાથે બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે નીચે આવે છે. પરંતુ જો પ્લેન પરની રેખાઓ સામાન્ય સમીકરણો દ્વારા નહીં, પરંતુ એક અલગ પ્રકારના સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે તો શું (પ્લેન પરની રેખાના સમીકરણોના પ્રકારો જુઓ)? આ કિસ્સાઓમાં, તમે પ્રથમ રેખાઓના સમીકરણોને સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકો છો, અને તે પછી જ આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી શકો છો.

આપેલ રેખાઓના આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધતા પહેલા, અમે તેમના સમીકરણોને સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઘટાડીએ છીએ. રેખાના પેરામેટ્રિક સમીકરણોથી આ રેખાના સામાન્ય સમીકરણમાં સંક્રમણ આના જેવું દેખાય છે:

હવે ચાલો સીધી રેખાના પ્રમાણભૂત સમીકરણ સાથે જરૂરી ક્રિયાઓ કરીએ:

આમ, રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના ઇચ્છિત કોઓર્ડિનેટ્સ એ ફોર્મના સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ છે. અમે તેને ઉકેલવા માટે ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

M 0 (-5, 1)

પ્લેન પર બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાની બીજી રીત છે. જ્યારે એક લાઇન ફોર્મના પેરામેટ્રિક સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને બીજી એક અલગ પ્રકારના રેખા સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે ત્યારે તેનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે. આ કિસ્સામાં, ચલોને બદલે અન્ય સમીકરણમાં x a yતમે સમીકરણોને બદલી શકો છો અને , જ્યાંથી તમે આપેલ રેખાઓના આંતરછેદ બિંદુને અનુરૂપ મૂલ્ય મેળવી શકો છો. આ કિસ્સામાં, રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુમાં કોઓર્ડિનેટ્સ છે.

ચાલો આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અગાઉના ઉદાહરણમાંથી રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ.

રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો અને .

ચાલો સીધી રેખા અભિવ્યક્તિને સમીકરણમાં બદલીએ:

પરિણામી સમીકરણ હલ કર્યા પછી, આપણે મેળવીએ છીએ. આ મૂલ્ય રેખાઓના સામાન્ય બિંદુને અનુલક્ષે છે અને . અમે પેરામેટ્રિક સમીકરણોમાં સીધી રેખાને બદલીને આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરીએ છીએ:
.

M 0 (-5, 1).

ચિત્રને પૂર્ણ કરવા માટે, વધુ એક મુદ્દાની ચર્ચા કરવી જોઈએ.

પ્લેન પર બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધતા પહેલા, આપેલ રેખાઓ ખરેખર છેદે છે તેની ખાતરી કરવી ઉપયોગી છે. જો તે તારણ આપે છે કે મૂળ રેખાઓ એકરૂપ છે અથવા સમાંતર છે, તો પછી આવી રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાનો કોઈ પ્રશ્ન નથી.

તમે, અલબત્ત, આવી તપાસ વિના કરી શકો છો, પરંતુ તરત જ ફોર્મના સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવી શકો છો અને તેને હલ કરી શકો છો. જો સમીકરણોની સિસ્ટમમાં અનન્ય ઉકેલ હોય, તો તે બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ આપે છે જ્યાં મૂળ રેખાઓ છેદે છે. જો સમીકરણોની સિસ્ટમમાં કોઈ ઉકેલો નથી, તો પછી આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે મૂળ રેખાઓ સમાંતર છે (કારણ કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓની આવી કોઈ જોડી નથી. x a y, જે આપેલ રેખાઓના બંને સમીકરણોને એક સાથે સંતોષશે). સમીકરણોની સિસ્ટમમાં અસંખ્ય ઉકેલોની હાજરીથી, તે અનુસરે છે કે મૂળ સીધી રેખાઓ અનંતપણે ઘણા સામાન્ય બિંદુઓ ધરાવે છે, એટલે કે, તેઓ એકરૂપ થાય છે.

ચાલો આ પરિસ્થિતિઓમાં બંધબેસતા ઉદાહરણો જોઈએ.

રેખાઓ અને છેદે છે કે કેમ તે શોધો, અને જો તેઓ છેદે છે, તો આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો.

રેખાઓના આપેલ સમીકરણો સમીકરણોને અનુરૂપ છે અને . ચાલો આ સમીકરણોથી બનેલી સિસ્ટમ હલ કરીએ.

તે સ્પષ્ટ છે કે સિસ્ટમના સમીકરણો એકબીજા દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે (સિસ્ટમનું બીજું સમીકરણ તેના બંને ભાગોનો ગુણાકાર કરીને પ્રથમમાંથી મેળવવામાં આવે છે. 4 ), તેથી, સમીકરણોની સિસ્ટમમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે. આમ, સમીકરણો સમાન રેખાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, અને આપણે આ રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા વિશે વાત કરી શકતા નથી.

સમીકરણો અને લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તેમના જાણીતા સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને પ્લેન પર બે સીધી રેખાઓના આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધતા પહેલા, સહાયક સમસ્યાનો વિચાર કરો.સમાન સીધી રેખા, તેથી આપણે આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા વિશે વાત કરી શકતા નથી.

રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો અને જો શક્ય હોય તો.

સમસ્યાની સ્થિતિ પરવાનગી આપે છે કે લીટીઓ એકબીજાને છેદે નહીં. ચાલો આ સમીકરણોમાંથી એક સિસ્ટમ બનાવીએ. ચાલો તેને ઉકેલવા માટે ગૌસ પદ્ધતિ લાગુ કરીએ, કારણ કે તે આપણને સમીકરણોની સિસ્ટમની સુસંગતતા અથવા અસંગતતા સ્થાપિત કરવાની મંજૂરી આપે છે, અને જો તે સુસંગત હોય, તો ઉકેલ શોધો:

ગૌસ પદ્ધતિના સીધા પસાર થયા પછી સિસ્ટમનું છેલ્લું સમીકરણ ખોટી સમાનતામાં ફેરવાઈ ગયું, તેથી, સમીકરણોની સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલો નથી. આના પરથી આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ કે મૂળ રેખાઓ સમાંતર છે, અને આપણે આ રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા વિશે વાત કરી શકતા નથી.

બીજો ઉકેલ.

ચાલો જોઈએ કે આપેલ રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે.

સામાન્ય વેક્ટર એ રેખા છે, અને વેક્ટર એ રેખાનું સામાન્ય વેક્ટર છે. ચાલો આપણે તપાસીએ કે વેક્ટરની સમન્વયતા માટેની સ્થિતિ અને : સમાનતા સાચી છે, કારણ કે, આપેલ સીધી રેખાઓના સામાન્ય વેક્ટર સમરેખા છે. પછી આ રેખાઓ સમાંતર અથવા સંયોગ છે. આમ, આપણે મૂળ રેખાઓના આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી શકતા નથી.

આપેલ રેખાઓના આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાનું અશક્ય છે, કારણ કે આ રેખાઓ સમાંતર છે.

રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો 2x-1=0અને, જો તેઓ છેદે છે.

ચાલો સમીકરણોની એક સિસ્ટમ બનાવીએ જે આપેલ રેખાઓના સામાન્ય સમીકરણો છે: . સમીકરણોની આ સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક બિનશૂન્ય છે, તેથી સમીકરણોની સિસ્ટમમાં એક અનન્ય ઉકેલ છે, જે આપેલ રેખાઓના આંતરછેદને સૂચવે છે.

રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે, આપણે સિસ્ટમને હલ કરવાની જરૂર છે:

પરિણામી ઉકેલ આપણને રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ આપે છે, એટલે કે, રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુ 2x-1=0અને .

સ્પષ્ટતા માટે, અમે પ્લેન અને અવકાશમાં બે સીધી રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુનું ગ્રાફિકલ ચિત્ર રજૂ કરીએ છીએ.

અવકાશમાં બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવી.

ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન રીતે જોવા મળે છે.

છેદતી રેખાઓ દો ઓક્સી a અનેલંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ઉલ્લેખિત ઓક્સિઝબે છેદતા વિમાનોના સમીકરણો, એટલે કે, એક સીધી રેખા ઓક્સીફોર્મની સિસ્ટમ અને સીધી રેખા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે અને- દો - પ્રકાર. પ્લેન પર અમુક બિંદુ હોઈ દો, અને અમે બિંદુ છે કે કેમ તે શોધવા માટે જરૂર છે- રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ ઓક્સી a અને. પછી નિર્દેશ - પ્રકાર. પ્લેન પર અમુક બિંદુ હોઈ દો, અને અમે બિંદુ છે કે કેમ તે શોધવા માટે જરૂર છેવ્યાખ્યા દ્વારા પણ રેખા સાથે સંબંધ ધરાવે છે ઓક્સીઅને સીધા અને, તેથી, તેના કોઓર્ડિનેટ્સ બંને રેખાઓના સમીકરણોને સંતોષે છે. આમ, રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ ઓક્સી a અનેફોર્મના રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલનું પ્રતિનિધિત્વ કરો. અહીં આપણને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેના વિભાગમાંથી માહિતીની જરૂર પડશે જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યા ચલોની સંખ્યા સાથે મેળ ખાતી નથી.

ચાલો ઉદાહરણોના ઉકેલો જોઈએ.

સમીકરણો દ્વારા અવકાશમાં વ્યાખ્યાયિત બે રેખાઓના આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ અને

ચાલો આપેલ રેખાઓના સમીકરણોમાંથી સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ: આ સિસ્ટમનો ઉકેલ આપણને અવકાશમાં રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના જરૂરી કોઓર્ડિનેટ્સ આપશે. ચાલો સમીકરણોની લેખિત પદ્ધતિનો ઉકેલ શોધીએ.

સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સમાં ફોર્મ છે, અને વિસ્તૃત એક - .

ચાલો મેટ્રિક્સનો ક્રમ નક્કી કરીએ એઅને મેટ્રિક્સ રેન્ક ટી. અમે સગીરોની સરહદની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, પરંતુ અમે નિર્ધારકોની ગણતરીનું વિગતવાર વર્ણન કરીશું નહીં (જો જરૂરી હોય તો, મેટ્રિક્સના નિર્ધારકની ગણતરી લેખનો સંદર્ભ લો):

આમ, મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ વિસ્તૃત મેટ્રિક્સના ક્રમની બરાબર છે અને ત્રણની બરાબર છે.

પરિણામે, સમીકરણોની સિસ્ટમમાં એક અનન્ય ઉકેલ છે.

અમે નિર્ણાયકને પાયાના ગૌણ તરીકે લઈશું, તેથી છેલ્લું સમીકરણ સમીકરણોની સિસ્ટમમાંથી બાકાત રાખવું જોઈએ, કારણ કે તે આધાર ગૌણની રચનામાં ભાગ લેતું નથી. તેથી,

પરિણામી સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધવાનું સરળ છે:

આમ, રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુમાં કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

એ નોંધવું જોઈએ કે સમીકરણોની સિસ્ટમમાં એક અનન્ય ઉકેલ છે જો અને માત્ર જો સીધી રેખાઓ હોય ઓક્સી a અનેછેદવું જો સીધા એ a અનેસમાંતર અથવા ક્રોસિંગ, પછી સમીકરણોની છેલ્લી સિસ્ટમમાં કોઈ ઉકેલો નથી, કારણ કે આ કિસ્સામાં રેખાઓમાં સામાન્ય બિંદુઓ નથી. જો સીધા ઓક્સી a અનેએકરૂપ થાય છે, પછી તેમની પાસે અનંત સંખ્યામાં સામાન્ય બિંદુઓ છે, તેથી, સમીકરણોની સૂચિત સિસ્ટમમાં અનંત સંખ્યામાં ઉકેલો છે. જો કે, આ કિસ્સાઓમાં આપણે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા વિશે વાત કરી શકતા નથી, કારણ કે રેખાઓ છેદતી નથી.

આમ, જો આપણને અગાઉથી ખબર ન હોય કે આપેલ રેખાઓ છેદે છે કે કેમ ઓક્સી a અનેઅથવા નહીં, તો પછી ફોર્મના સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવવી અને તેને ગૌસ પદ્ધતિ દ્વારા હલ કરવી વાજબી છે. જો આપણને અનન્ય ઉકેલ મળે, તો તે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને અનુરૂપ હશે. ઓક્સી a અને. જો સિસ્ટમ અસંગત હોવાનું બહાર આવ્યું છે, તો પછી ડાયરેક્ટ ઓક્સી a અનેછેદશો નહીં. જો સિસ્ટમમાં અનંત સંખ્યામાં ઉકેલો હોય, તો સીધી રેખાઓ ઓક્સી a અનેમેળ

તમે ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યા વિના કરી શકો છો. વૈકલ્પિક રીતે, તમે આ સિસ્ટમના મુખ્ય અને વિસ્તૃત મેટ્રિસિસની રેન્કની ગણતરી કરી શકો છો, અને મેળવેલા ડેટા અને ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેયના આધારે, કાં તો એક જ ઉકેલનું અસ્તિત્વ, અથવા ઘણા ઉકેલોનું અસ્તિત્વ, અથવા તેની ગેરહાજરી વિશે નિષ્કર્ષ કાઢી શકો છો. ઉકેલો તે સ્વાદની બાબત છે.

જો રેખાઓ છેદે છે, તો પછી આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો.

ચાલો આપેલ સમીકરણોમાંથી સિસ્ટમ બનાવીએ: ચાલો તેને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીએ:

તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું છે કે સમીકરણોની સિસ્ટમમાં કોઈ ઉકેલો નથી, તેથી, આપેલ રેખાઓ છેદતી નથી, અને આ રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાનો કોઈ પ્રશ્ન નથી.

આપણે આપેલ લીટીઓના આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી શકતા નથી, કારણ કે આ રેખાઓ છેદતી નથી.

જ્યારે છેદતી રેખાઓ અવકાશમાં રેખાના પ્રામાણિક સમીકરણો અથવા અવકાશમાં રેખાના પેરામેટ્રિક સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે, ત્યારે સૌપ્રથમ તેમના સમીકરણો બે આંતરછેદવાળા વિમાનોના સ્વરૂપમાં મેળવવા જોઈએ, અને તે પછી જ આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો.

બે છેદતી રેખાઓ લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે ઓક્સિઝસમીકરણો અને આ રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો.

ચાલો બે આંતરછેદવાળા વિમાનોના સમીકરણો દ્વારા પ્રારંભિક સીધી રેખાઓને વ્યાખ્યાયિત કરીએ:

રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે, તે સમીકરણોની સિસ્ટમને હલ કરવાનું બાકી છે. આ સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ વિસ્તૃત મેટ્રિક્સના ક્રમ જેટલો છે અને ત્રણની બરાબર છે (અમે આ હકીકત તપાસવાની ભલામણ કરીએ છીએ). ચાલો આપણે આધાર નાના તરીકે લઈએ, તેથી, આપણે સિસ્ટમમાંથી છેલ્લા સમીકરણને દૂર કરી શકીએ છીએ. કોઈપણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પરિણામી સિસ્ટમને હલ કર્યા પછી (ઉદાહરણ તરીકે, ક્રેમરની પદ્ધતિ), અમે ઉકેલ મેળવીએ છીએ. આમ, રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુમાં કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે (-2, 3, -5) .

1. ફંક્શનના આલેખના આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે, તમારે બંને ફંક્શન્સને એકબીજા સાથે સમાન કરવાની જરૂર છે, $ x $ ધરાવતા તમામ શબ્દોને ડાબી બાજુએ ખસેડો અને બાકીનાને જમણી બાજુએ ખસેડો, અને તેના મૂળ શોધવા. પરિણામી સમીકરણ.
2. બીજી પદ્ધતિ એ છે કે સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવવી અને એક ફંક્શનને બીજા ફંક્શનમાં બદલીને તેને હલ કરવી
3. ત્રીજી પદ્ધતિમાં ગ્રાફિકલી વિધેયોનું નિર્માણ અને આંતરછેદ બિંદુને દૃષ્ટિની રીતે નક્કી કરવાનો સમાવેશ થાય છે.

બે રેખીય કાર્યોનો કેસ

બે રેખીય કાર્યોનો વિચાર કરો $f(x) = k_1 x+m_1 $ અને $g(x) = k_2 x + m_2 $. આ કાર્યોને ડાયરેક્ટ કહેવામાં આવે છે. તેમને બનાવવું એકદમ સરળ છે; તમારે કોઈપણ બે મૂલ્યો $ x_1 $ અને $ x_2 $ લેવાની અને $ f(x_1) $ અને $ (x_2) $ શોધવાની જરૂર છે. પછી ફંકશન $ g(x) $ સાથે તે જ પુનરાવર્તન કરો. આગળ, ફંક્શન ગ્રાફના આંતરછેદ બિંદુના સંકલનને દૃષ્ટિની રીતે શોધો.

તમારે જાણવું જોઈએ કે રેખીય ફંક્શનમાં માત્ર એક આંતરછેદ બિંદુ હોય છે અને માત્ર ત્યારે જ જ્યારે $ k_1 \neq k_2 $. નહિંતર, $ k_1=k_2 $ ના કિસ્સામાં વિધેયો એકબીજાના સમાંતર છે, કારણ કે $ k $ એ ઢાળ ગુણાંક છે. જો $ k_1 \neq k_2 $ પરંતુ $ m_1=m_2 $, તો આંતરછેદ બિંદુ $ M(0;m) $ હશે. સમસ્યાઓ ઝડપથી ઉકેલવા માટે આ નિયમ યાદ રાખવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

બે બિનરેખીય કાર્યોનો કેસ

ટિપ્પણીઓ 11

કાર્ય

આ બિંદુઓમાંથી જાણીતા કોઓર્ડિનેટ્સ અને અઝીમથ્સ સાથેના બે બિંદુઓમાંથી રચાયેલી બે સીધી રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને શોધો.

અરજી

પ્રાણીઓની વર્તણૂકનો અભ્યાસ કરવા માટે, રેડિયોટેલેમેટ્રી પદ્ધતિનો વારંવાર ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: અભ્યાસ હેઠળની વસ્તુને રેડિયો ટ્રાન્સમીટરથી ચિહ્નિત કરવામાં આવે છે, જે ચોક્કસ આવર્તનના રેડિયો સિગ્નલને બહાર કાઢે છે, અને પછી સંશોધક, રીસીવર અને પ્રાપ્ત એન્ટેનાનો ઉપયોગ કરીને, હલનચલનનું નિરીક્ષણ કરે છે. આ પદાર્થની. ઑબ્જેક્ટનું ચોક્કસ સ્થાન નિર્ધારિત કરવાની એક સંભવિત રીત છે બિયાંગ્યુલેશન પદ્ધતિ. આ કરવા માટે, સંશોધકે જાણીતા કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુઓમાંથી અભ્યાસ હેઠળના ઑબ્જેક્ટ પર 2 અઝીમથ લેવાની જરૂર છે. ઑબ્જેક્ટનું સ્થાન આ બે અઝીમથ્સના આંતરછેદ બિંદુને અનુરૂપ હશે. બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ કે જેમાંથી અઝીમથ્સ માપવામાં આવે છે તે સેટેલાઇટ નેવિગેટર (જીપીએસ) નો ઉપયોગ કરીને લઈ શકાય છે, અથવા અઝીમથ્સ સંદર્ભ બિંદુઓમાંથી લેવામાં આવે છે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ અગાઉથી જાણીતા છે. આ કિસ્સામાં અઝીમથ એ ટ્રાન્સમીટર દ્વારા ચિહ્નિત કરાયેલ પદાર્થમાંથી નીકળતા સૌથી મજબૂત સિગ્નલના સ્ત્રોત તરફની દિશા છે, જે સામાન્ય રીતે ડિગ્રીમાં માપવામાં આવે છે.

ગણતરી કરતા પહેલા, GPS નો ઉપયોગ કરીને મેળવેલા પોઈન્ટને પ્રોજેકટેડ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં રૂપાંતરિત કરવું જરૂરી છે, ઉદાહરણ તરીકે અનુરૂપ UTM ઝોન આ DNRGarmin નો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે;

અભ્યાસ હેઠળના ઑબ્જેક્ટનું ગણતરી કરેલ સ્થાન વાસ્તવિક સ્થિતિને સૌથી સચોટ રીતે અનુરૂપ બનાવવા માટે, નીચેની બાબતો ધ્યાનમાં લેવી આવશ્યક છે:

1) તમારે નેવિગેટરમાં કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવામાં ભૂલ શક્ય તેટલી નાની ન થાય ત્યાં સુધી રાહ જોવાનો પ્રયાસ કરવો જ જોઇએ.

2) જેથી અઝીમથ્સ વચ્ચેનો કોણ 90 ડિગ્રી (ઓછામાં ઓછો તે 30 થી વધુ અને 150 ડિગ્રીથી ઓછો હોય) તરફ વળે છે.

અઝીમથને જે અંતરથી લેવું જોઈએ તે ટ્રાન્સમીટરની શ્રેણી પર આધારિત છે, અને અંગૂઠાનો નિયમ એ છે કે અઝીમથ નક્કી કરવામાં ભૂલ દર 10 મીટર માટે અભ્યાસ હેઠળની વસ્તુથી અંતર સાથે 1 મીટર વધે છે. 100 મીટરના અંતર સાથે અઝીમથ લેતી વખતે, ભૂલ 10 મીટર હશે જો કે, આ નિયમ સપાટ, ખુલ્લા વિસ્તારોમાં લાગુ પડે છે. તે ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ કે અસમાન ભૂપ્રદેશ અને ઝાડ અને ઝાડીઓની વનસ્પતિ સ્ક્રીન અને સિગ્નલને પ્રતિબિંબિત કરે છે. તમારે જે વસ્તુનો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહ્યો છે તેની નજીકમાં રહેવાનું ટાળવું જોઈએ, કારણ કે પ્રથમ, ખૂબ મજબૂત સિગ્નલ ચોક્કસ અઝીમથ નક્કી કરવાનું મુશ્કેલ બનાવશે, અને બીજું, કેટલાક કિસ્સાઓમાં આંતરછેદ બિંદુની ગણતરી કરવી એ હકીકતને કારણે અશક્ય હશે કે બીજો અઝીમથ તે બિંદુની પાછળથી પસાર થશે જ્યાં પ્રથમ અઝીમથ હતો. લીધેલ. અઝીમથની જોડી લેવા વચ્ચેનો સમય અંતરાલ ઘટાડવો જોઈએ, પરંતુ, અલબત્ત, અભ્યાસ કરવામાં આવતા પ્રાણીની ગતિશીલતા પર આધાર રાખે છે.

ઉકેલ

સમસ્યા સરળ ભૂમિતિનો ઉપયોગ કરીને અને સમીકરણોની સિસ્ટમને હલ કરીને હલ કરવામાં આવે છે.
શરૂ કરવા માટે, બિંદુ અને અઝીમથથી આપણે સીધી રેખાનું સમીકરણ મેળવીએ છીએ, આ માટે:

સામાન્ય સમીકરણમાંથી:

ax + by + c = 0

પૂરી પાડવામાં આવેલ કે બી<>0 આપણને મળે છે

y = kx + d , ક્યાં k=-(a/b) , d=-(c/b)

આમ આપણે મેળવીએ છીએ

k=tan(a)
d=y-tan(a)*x
b=1

k1x + d1 = y
k2x + d2 = y

અમે બે રેખાઓના સામાન્ય બિંદુ (છેદન બિંદુ) ના X અને Y કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવીએ છીએ.

જ્યારે રેખાઓ સમાંતર હોય (k1=k2) હોય ત્યારે સમીકરણ બે વિશિષ્ટ કેસ માટે પ્રદાન કરવું આવશ્યક છે.

કારણ કે આપણે વેક્ટર અથવા કિરણો સાથે વ્યવહાર કરી રહ્યા નથી, એટલે કે, રેખાઓની કોઈ શરૂઆત અને અંત નથી, તેથી તે કહેવાતા, રસના ક્ષેત્રની બહાર રેખાઓના આંતરછેદના કિસ્સામાં પ્રદાન કરવું પણ જરૂરી છે. ખોટા આંતરછેદ. આ સમસ્યાનો ઉકેલ ખોટા બિંદુ a3 થી બિંદુ 2 સુધીના અઝીમુથને માપવા દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે, જો અઝીમથ a3 = a2, તો આંતરછેદ ખોટો છે, પરિણામી બિંદુથી મૂળ 2 પર પાછા ફરતા અઝીમુથ સમાન ન હોવા જોઈએ. મૂળ અઝીમથ્સમાંથી એક.

એવન્યુ ભાષામાં જરૂરી પ્રક્રિયા આના જેવી દેખાય છે:

ઓહ-ઓહ-ઓહ-ઓહ-ઓહ... સારું, તે અઘરું છે, જાણે કે તે પોતાની જાતને વાક્ય વાંચી રહ્યો હોય =) જો કે, છૂટછાટ પછીથી મદદ કરશે, ખાસ કરીને આજથી મેં યોગ્ય એસેસરીઝ ખરીદી છે. તેથી, ચાલો પ્રથમ વિભાગમાં આગળ વધીએ, મને આશા છે કે લેખના અંત સુધીમાં હું ખુશખુશાલ મૂડ જાળવીશ.

બે સીધી રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ

જ્યારે પ્રેક્ષકો કોરસમાં ગાય છે ત્યારે આ કેસ છે. બે સીધી રેખાઓ કરી શકે છે:

1) મેચ;

2) સમાંતર રહો: ​​;

3) અથવા એક બિંદુ પર છેદે છે: .

ડમી માટે મદદ : કૃપા કરીને ગાણિતિક આંતરછેદ ચિહ્ન યાદ રાખો, તે ઘણી વાર દેખાશે. સંકેતનો અર્થ એ છે કે રેખા બિંદુ પરની રેખા સાથે છેદે છે.

બે રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ કેવી રીતે નક્કી કરવી?

ચાલો પ્રથમ કેસથી પ્રારંભ કરીએ:

બે રેખાઓ એકરૂપ થાય છે જો અને માત્ર જો તેમના અનુરૂપ ગુણાંક પ્રમાણસર હોય, એટલે કે, ત્યાં એક નંબર છે "લેમ્બડા" જેમ કે સમાનતાઓ સંતુષ્ટ છે

ચાલો સીધી રેખાઓ ધ્યાનમાં લઈએ અને અનુરૂપ ગુણાંકમાંથી ત્રણ સમીકરણો બનાવીએ: . દરેક સમીકરણ પરથી તે અનુસરે છે કે, તેથી, આ રેખાઓ એકરૂપ થાય છે.

ખરેખર, જો સમીકરણના તમામ ગુણાંક –1 વડે ગુણાકાર કરો (ચિહ્નો બદલો), અને સમીકરણના તમામ ગુણાંક 2 દ્વારા કાપો, તમને સમાન સમીકરણ મળશે:

બીજો કેસ, જ્યારે રેખાઓ સમાંતર હોય છે:

બે રેખાઓ સમાંતર છે જો અને માત્ર જો તેમના ચલોના ગુણાંક પ્રમાણસર હોય: , પરંતુ.

ઉદાહરણ તરીકે, બે સીધી રેખાઓ ધ્યાનમાં લો. અમે ચલો માટે અનુરૂપ ગુણાંકની પ્રમાણસરતા તપાસીએ છીએ:

જો કે, તે તદ્દન સ્પષ્ટ છે કે.

અને ત્રીજો કેસ, જ્યારે રેખાઓ છેદે છે:

બે રેખાઓ છેદે છે જો અને માત્ર જો તેમના ચલોના ગુણાંક પ્રમાણસર ન હોય, એટલે કે, "લેમ્બડા" નું એવું કોઈ મૂલ્ય નથી કે સમાનતાઓ સંતુષ્ટ થાય

તેથી, સીધી રેખાઓ માટે આપણે એક સિસ્ટમ બનાવીશું:

પ્રથમ સમીકરણથી તે અનુસરે છે , અને બીજા સમીકરણમાંથી: , જેનો અર્થ થાય છે સિસ્ટમ અસંગત છે(કોઈ ઉકેલો નથી). આમ, ચલોના ગુણાંક પ્રમાણસર નથી.

નિષ્કર્ષ: રેખાઓ છેદે છે

વ્યવહારિક સમસ્યાઓમાં, તમે હમણાં જ ચર્ચા કરેલ ઉકેલ યોજનાનો ઉપયોગ કરી શકો છો. માર્ગ દ્વારા, તે કોલિનિયરિટી માટે વેક્ટર્સને તપાસવા માટેના અલ્ગોરિધમની ખૂબ જ યાદ અપાવે છે, જેને આપણે વર્ગમાં જોયું વેક્ટર્સની રેખીય (માં) અવલંબનનો ખ્યાલ. વેક્ટર્સનો આધાર. પરંતુ ત્યાં વધુ સંસ્કારી પેકેજિંગ છે:

ઉદાહરણ 1

રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ શોધો:

ઉકેલસીધી રેખાઓના નિર્દેશન વેક્ટરના અભ્યાસના આધારે:

a) સમીકરણોમાંથી આપણે રેખાઓના દિશા વેક્ટર શોધીએ છીએ: .

, જેનો અર્થ છે કે વેક્ટર સમરેખા નથી અને રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે.

માત્ર કિસ્સામાં, હું ક્રોસરોડ્સ પર ચિહ્નો સાથે એક પથ્થર મૂકીશ:

બાકીના લોકો પત્થર પર કૂદીને આગળ વધે છે, સીધા કાશ્ચેઈ ધ ઇમોર્ટલ =)

b) રેખાઓના દિશા વેક્ટર શોધો:

રેખાઓ સમાન દિશા વેક્ટર ધરાવે છે, જેનો અર્થ છે કે તેઓ કાં તો સમાંતર અથવા સંયોગ છે. અહીં નિર્ણાયકની ગણતરી કરવાની જરૂર નથી.

તે સ્પષ્ટ છે કે અજ્ઞાતના ગુણાંક પ્રમાણસર છે, અને .

ચાલો શોધી કાઢીએ કે સમાનતા સાચી છે કે કેમ:

આમ,

c) રેખાઓના દિશા વેક્ટર શોધો:

ચાલો આ વેક્ટરોના કોઓર્ડિનેટ્સથી બનેલા નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ:
, તેથી, દિશા વેક્ટર સમરેખા છે. રેખાઓ કાં તો સમાંતર અથવા સંયોગ છે.

સમપ્રમાણતા ગુણાંક "લેમ્બડા" એ કોલિનિયર ડિરેક્શન વેક્ટરના ગુણોત્તરમાંથી સીધા જ જોવા માટે સરળ છે. જો કે, તે સમીકરણોના ગુણાંક દ્વારા પણ શોધી શકાય છે: .

હવે ચાલો શોધી કાઢીએ કે સમાનતા સાચી છે કે કેમ. બંને મફત શરતો શૂન્ય છે, તેથી:

પરિણામી મૂલ્ય આ સમીકરણને સંતોષે છે (સામાન્ય રીતે કોઈપણ સંખ્યા તેને સંતોષે છે).

આમ, રેખાઓ એકરૂપ થાય છે.

જવાબ આપો:

બહુ જલદી તમે શીખી જશો (અથવા તો પહેલેથી જ શીખી ગયા છો) મૌખિક રીતે ચર્ચા કરેલી સમસ્યાને થોડીક સેકંડમાં ઉકેલવા માટે. આ સંદર્ભમાં, મને સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે કંઈપણ ઓફર કરવામાં કોઈ મુદ્દો દેખાતો નથી; ભૌમિતિક પાયામાં બીજી મહત્વપૂર્ણ ઈંટ મૂકવી વધુ સારું છે:

આપેલ રેખાની સમાંતર રેખા કેવી રીતે બનાવવી?

આ સરળ કાર્યની અજ્ઞાનતા માટે, નાઇટિંગેલ ધ રોબર સખત સજા કરે છે.

ઉદાહરણ 2

સીધી રેખા સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બિંદુમાંથી પસાર થતી સમાંતર રેખા માટે સમીકરણ લખો.

ઉકેલ: ચાલો અક્ષર દ્વારા અજાણી રેખા દર્શાવીએ. સ્થિતિ તેના વિશે શું કહે છે? સીધી રેખા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. અને જો રેખાઓ સમાંતર હોય, તો તે સ્પષ્ટ છે કે સીધી રેખા "tse" ની દિશા વેક્ટર પણ સીધી રેખા "de" બાંધવા માટે યોગ્ય છે.

અમે સમીકરણમાંથી દિશા વેક્ટર લઈએ છીએ:

જવાબ આપો:

ઉદાહરણ ભૂમિતિ સરળ લાગે છે:

વિશ્લેષણાત્મક પરીક્ષણ નીચેના પગલાંઓ સમાવે છે:

1) અમે તપાસીએ છીએ કે રેખાઓ સમાન દિશા વેક્ટર ધરાવે છે (જો રેખાનું સમીકરણ યોગ્ય રીતે સરળ નથી, તો વેક્ટર સમરેખા હશે).

2) ચકાસો કે શું બિંદુ પરિણામી સમીકરણને સંતોષે છે.

મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, વિશ્લેષણાત્મક પરીક્ષણ સરળતાથી મૌખિક રીતે કરી શકાય છે. બે સમીકરણો જુઓ, અને તમારામાંથી ઘણા કોઈ પણ રેખાંકન વિના રેખાઓની સમાંતરતા ઝડપથી નક્કી કરશે.

સ્વતંત્ર ઉકેલો માટેના ઉદાહરણો આજે સર્જનાત્મક હશે. કારણ કે તમારે હજી પણ બાબા યાગા સાથે સ્પર્ધા કરવી પડશે, અને તે, તમે જાણો છો, તમામ પ્રકારની કોયડાઓની પ્રેમી છે.

ઉદાહરણ 3

જો રેખાની સમાંતર બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા માટે સમીકરણ લખો

તેને ઉકેલવા માટે એક તર્કસંગત અને એટલી તર્કસંગત રીત નથી. સૌથી ટૂંકો રસ્તો પાઠના અંતે છે.

અમે સમાંતર રેખાઓ સાથે થોડું કામ કર્યું છે અને પછીથી તેમના પર પાછા આવીશું. એકરૂપ રેખાઓનો કિસ્સો થોડો રસ ધરાવતો નથી, તેથી ચાલો એક સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ જે તમને શાળાના અભ્યાસક્રમમાંથી ખૂબ જ પરિચિત છે:

બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને કેવી રીતે શોધવું?

જો સીધા બિંદુ પર છેદે છે, પછી તેના કોઓર્ડિનેટ્સ ઉકેલ છે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો

રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને કેવી રીતે શોધવું? સિસ્ટમ ઉકેલો.

અહીં તમે જાઓ બે અજ્ઞાત સાથેના બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો ભૌમિતિક અર્થ- આ પ્લેન પર બે છેદતી (મોટાભાગે) રેખાઓ છે.

ઉદાહરણ 4

રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ શોધો

ઉકેલ: ઉકેલવાની બે રીત છે - ગ્રાફિકલ અને વિશ્લેષણાત્મક.

ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ એ છે કે આપેલ રેખાઓને સરળ રીતે દોરવી અને ડ્રોઇંગમાંથી સીધું આંતરછેદ બિંદુ શોધી કાઢવું:

અહીં અમારો મુદ્દો છે: . ચકાસવા માટે, તમારે તેના કોઓર્ડિનેટ્સને રેખાના દરેક સમીકરણમાં બદલવા જોઈએ; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ એ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે. આવશ્યકપણે, અમે ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન તરફ જોયું રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોબે સમીકરણો સાથે, બે અજાણ્યા.

ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ, અલબત્ત, ખરાબ નથી, પરંતુ તેમાં નોંધપાત્ર ગેરફાયદા છે. ના, મુદ્દો એ નથી કે સાતમા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓ આ રીતે નિર્ણય કરે છે, મુદ્દો એ છે કે સાચો અને સચોટ ચિત્ર બનાવવામાં સમય લાગશે. વધુમાં, કેટલીક સીધી રેખાઓ બાંધવી એટલી સરળ નથી, અને આંતરછેદનું બિંદુ પોતે નોટબુક શીટની બહાર ત્રીસમા રાજ્યમાં ક્યાંક સ્થિત હોઈ શકે છે.

તેથી, વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આંતરછેદ બિંદુ શોધવાનું વધુ યોગ્ય છે. ચાલો સિસ્ટમ હલ કરીએ:

સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે, સમીકરણોના ટર્મ-બાય-ટર્મ એડિશનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. સંબંધિત કુશળતા વિકસાવવા માટે, એક પાઠ લો સમીકરણોની સિસ્ટમ કેવી રીતે હલ કરવી?

જવાબ આપો:

ચેક તુચ્છ છે - આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સિસ્ટમના દરેક સમીકરણને સંતોષવા જોઈએ.

ઉદાહરણ 5

જો લીટીઓ છેદે છે તો તેમના આંતરછેદના બિંદુને શોધો.

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. કાર્યને ઘણા તબક્કામાં વિભાજિત કરવું અનુકૂળ છે. સ્થિતિનું વિશ્લેષણ સૂચવે છે કે તે જરૂરી છે:
1) સીધી રેખાનું સમીકરણ લખો.
2) સીધી રેખાનું સમીકરણ લખો.
3) રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ શોધો.
4) જો રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે, તો પછી આંતરછેદનું બિંદુ શોધો.

ક્રિયા અલ્ગોરિધમનો વિકાસ ઘણી ભૌમિતિક સમસ્યાઓ માટે લાક્ષણિક છે, અને હું વારંવાર આના પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશ.

પાઠના અંતે સંપૂર્ણ ઉકેલ અને જવાબ:

અમે પાઠના બીજા વિભાગમાં પહોંચ્યા તે પહેલાં પગરખાંની એક જોડી પણ ખરી ન હતી:

લંબ રેખાઓ. એક બિંદુથી એક રેખા સુધીનું અંતર.
સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો

ચાલો એક લાક્ષણિક અને ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ કાર્ય સાથે પ્રારંભ કરીએ. પ્રથમ ભાગમાં, અમે આની સમાંતર સીધી રેખા કેવી રીતે બનાવવી તે શીખ્યા, અને હવે ચિકન પગ પરની ઝૂંપડી 90 ડિગ્રી ફેરવશે:

આપેલ એકને લંબરૂપ રેખા કેવી રીતે બનાવવી?

ઉદાહરણ 6

સીધી રેખા સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા પર લંબરૂપ સમીકરણ લખો.

ઉકેલશરત દ્વારા તે જાણીતું છે કે. રેખાના નિર્દેશન વેક્ટરને શોધવાનું સરસ રહેશે. લીટીઓ લંબરૂપ હોવાથી, યુક્તિ સરળ છે:

સમીકરણમાંથી આપણે સામાન્ય વેક્ટરને "દૂર" કરીએ છીએ: , જે સીધી રેખાનું નિર્દેશન વેક્ટર હશે.

ચાલો બિંદુ અને દિશા વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાનું સમીકરણ બનાવીએ:

જવાબ આપો:

ચાલો ભૌમિતિક સ્કેચને વિસ્તૃત કરીએ:

હમ્મ... નારંગી આકાશ, નારંગી સમુદ્ર, નારંગી ઊંટ.

ઉકેલની વિશ્લેષણાત્મક ચકાસણી:

1) આપણે સમીકરણોમાંથી દિશા વેક્ટર કાઢીએ છીએ અને મદદ સાથે વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદનઅમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે રેખાઓ ખરેખર કાટખૂણે છે: .

માર્ગ દ્વારા, તમે સામાન્ય વેક્ટરનો ઉપયોગ કરી શકો છો, તે વધુ સરળ છે.

2) ચકાસો કે શું બિંદુ પરિણામી સમીકરણને સંતોષે છે .

ટેસ્ટ, ફરીથી, મૌખિક રીતે કરવા માટે સરળ છે.

ઉદાહરણ 7

જો સમીકરણ જાણીતું હોય તો લંબ રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ શોધો અને સમયગાળો.

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. સમસ્યામાં ઘણી બધી ક્રિયાઓ છે, તેથી બિંદુ દ્વારા ઉકેલ બિંદુ ઘડવાનું અનુકૂળ છે.

અમારી રોમાંચક યાત્રા ચાલુ રહે છે:

બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર

અમારી સામે નદીની એક સીધી પટ્ટી છે અને અમારું કાર્ય સૌથી ટૂંકા માર્ગે પહોંચવાનું છે. ત્યાં કોઈ અવરોધો નથી, અને સૌથી શ્રેષ્ઠ માર્ગ કાટખૂણે સાથે આગળ વધવાનો રહેશે. એટલે કે, એક બિંદુથી એક રેખા સુધીનું અંતર કાટખૂણે ભાગની લંબાઈ છે.

ભૂમિતિમાં અંતર પરંપરાગત રીતે ગ્રીક અક્ષર "rho" દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે: - બિંદુ "em" થી સીધી રેખા "de" સુધીનું અંતર.

બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત

ઉદાહરણ 8

એક બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર શોધો

ઉકેલ: તમારે ફક્ત સૂત્રમાં સંખ્યાઓને કાળજીપૂર્વક બદલવાની અને ગણતરીઓ કરવાની જરૂર છે:

જવાબ આપો:

ચાલો ડ્રોઇંગ બનાવીએ:

બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર એ લાલ સેગમેન્ટની બરાબર લંબાઈ છે. જો તમે 1 યુનિટના સ્કેલ પર ચેકર્ડ પેપર પર ડ્રોઇંગ દોરો છો. = 1 સેમી (2 કોષો), પછી અંતર સામાન્ય શાસક સાથે માપી શકાય છે.

ચાલો સમાન ડ્રોઇંગ પર આધારિત અન્ય કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ:

કાર્ય એ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાનું છે જે સીધી રેખાને સંબંધિત બિંદુ સાથે સપ્રમાણતા ધરાવે છે. . હું જાતે પગલાં ભરવાનું સૂચન કરું છું, પરંતુ હું મધ્યવર્તી પરિણામો સાથે સોલ્યુશન અલ્ગોરિધમની રૂપરેખા આપીશ:

1) રેખાને લંબરૂપ હોય તેવી રેખા શોધો.

2) રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ શોધો: .

આ પાઠમાં બંને ક્રિયાઓની વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

3) બિંદુ એ સેગમેન્ટનો મધ્યબિંદુ છે. આપણે મધ્ય અને એક છેડાના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણીએ છીએ. દ્વારા સેગમેન્ટના મધ્યબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ માટેના સૂત્રોઅમે શોધીએ છીએ.

તે તપાસવું એક સારો વિચાર હશે કે અંતર પણ 2.2 એકમ છે.

અહીં ગણતરીમાં મુશ્કેલીઓ ઊભી થઈ શકે છે, પરંતુ માઇક્રોકેલ્ક્યુલેટર એ ટાવરમાં મોટી મદદ છે, જે તમને સામાન્ય અપૂર્ણાંકની ગણતરી કરવા દે છે. મેં તમને ઘણી વખત સલાહ આપી છે અને તમને ફરીથી ભલામણ કરીશ.

બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર કેવી રીતે શોધવું?

ઉદાહરણ 9

બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો

તમારા પોતાના પર નિર્ણય લેવા માટે આ બીજું ઉદાહરણ છે. હું તમને થોડો સંકેત આપીશ: આને ઉકેલવા માટે અનંત રીતે ઘણી બધી રીતો છે. પાઠના અંતે ડિબ્રીફિંગ, પરંતુ તમારા માટે અનુમાન લગાવવાનો પ્રયાસ કરવો વધુ સારું છે, મને લાગે છે કે તમારી ચાતુર્ય સારી રીતે વિકસિત હતી.

બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો

દરેક ખૂણો જામ છે:


ભૂમિતિમાં, બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણોને નાનો કોણ માનવામાં આવે છે, જેમાંથી તે આપમેળે અનુસરે છે કે તે સ્થૂળ ન હોઈ શકે. આકૃતિમાં, લાલ ચાપ દ્વારા દર્શાવેલ ખૂણાને છેદતી રેખાઓ વચ્ચેનો કોણ ગણવામાં આવતો નથી. અને તેના "લીલા" પાડોશી અથવા વિરુદ્ધ લક્ષી"રાસ્પબેરી" ખૂણો.

જો રેખાઓ કાટખૂણે હોય, તો 4માંથી કોઈપણ ખૂણાને તેમની વચ્ચેના ખૂણા તરીકે લઈ શકાય.

ખૂણા કેવી રીતે અલગ છે? ઓરિએન્ટેશન. સૌપ્રથમ, જે દિશામાં કોણ "સ્ક્રોલ કરેલ" છે તે મૂળભૂત રીતે મહત્વપૂર્ણ છે. બીજું, નકારાત્મક લક્ષી કોણ ઓછા ચિહ્ન સાથે લખાયેલ છે, ઉદાહરણ તરીકે જો .

મેં તમને આ કેમ કહ્યું? એવું લાગે છે કે આપણે ખૂણાના સામાન્ય ખ્યાલ સાથે મેળવી શકીએ છીએ. હકીકત એ છે કે જે સૂત્રો દ્વારા આપણે ખૂણા શોધીશું તે સરળતાથી નકારાત્મક પરિણામમાં પરિણમી શકે છે, અને આનાથી તમને આશ્ચર્ય ન થવું જોઈએ. બાદબાકી ચિહ્ન સાથેનો ખૂણો વધુ ખરાબ નથી, અને તેનો ખૂબ જ ચોક્કસ ભૌમિતિક અર્થ છે. ડ્રોઇંગમાં, નકારાત્મક કોણ માટે, તીર (ઘડિયાળની દિશામાં) વડે તેની દિશા સૂચવવાનું ભૂલશો નહીં.

બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો કેવી રીતે શોધવો?ત્યાં બે કાર્યકારી સૂત્રો છે:

ઉદાહરણ 10

રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો

ઉકેલ a પદ્ધતિ એક

ચાલો સામાન્ય સ્વરૂપમાં સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત બે સીધી રેખાઓ ધ્યાનમાં લઈએ:

જો સીધા કાટખૂણે નથી, તે લક્ષીતેમની વચ્ચેના કોણની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે:

ચાલો છેદ પર ધ્યાન આપીએ - આ બરાબર છે ડોટ ઉત્પાદનસીધી રેખાઓના નિર્દેશન વેક્ટર્સ:

જો , તો સૂત્રનો છેદ શૂન્ય બને છે, અને વેક્ટર ઓર્થોગોનલ હશે અને રેખાઓ લંબરૂપ હશે. તેથી જ ફોર્મ્યુલેશનમાં સીધી રેખાઓની બિન-લંબતા વિશે આરક્ષણ કરવામાં આવ્યું હતું.

ઉપરના આધારે, ઉકેલને બે પગલામાં ઔપચારિક બનાવવાનું અનુકૂળ છે:

1) ચાલો રેખાઓના દિશા વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદનની ગણતરી કરીએ:
, જેનો અર્થ છે કે રેખાઓ લંબરૂપ નથી.

2) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો:

વ્યસ્ત કાર્યનો ઉપયોગ કરીને, કોણ પોતે જ શોધવું સરળ છે. આ કિસ્સામાં, અમે આર્કટેન્જેન્ટની વિચિત્રતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (જુઓ. પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ અને ગુણધર્મો):

જવાબ આપો:

તમારા જવાબમાં, અમે કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરેલ ચોક્કસ મૂલ્ય, તેમજ અંદાજિત મૂલ્ય (પ્રાધાન્યમાં બંને ડિગ્રી અને રેડિયનમાં) સૂચવીએ છીએ.

સારું, માઈનસ, માઈનસ, કોઈ મોટી વાત નથી. અહીં એક ભૌમિતિક ચિત્ર છે:

તે આશ્ચર્યજનક નથી કે કોણ નકારાત્મક અભિગમનો હોવાનું બહાર આવ્યું છે, કારણ કે સમસ્યાના નિવેદનમાં પ્રથમ નંબર સીધી રેખા છે અને કોણનું "અનસ્ક્રુઇંગ" તેની સાથે ચોક્કસપણે શરૂ થયું હતું.

જો તમે ખરેખર સકારાત્મક ખૂણો મેળવવા માંગતા હો, તો તમારે રેખાઓને સ્વેપ કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, બીજા સમીકરણમાંથી ગુણાંક લો. , અને પ્રથમ સમીકરણમાંથી ગુણાંક લો. ટૂંકમાં, તમારે ડાયરેક્ટથી શરૂઆત કરવાની જરૂર છે .