પરિમાણો સાથે સમીકરણો: ગ્રાફિકલ ઉકેલ પદ્ધતિ

8-9 ગ્રેડ

આ લેખ પરિમાણો સાથે કેટલાક સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિની ચર્ચા કરે છે, જ્યારે તમારે પરિમાણના આધારે સમીકરણના કેટલા મૂળ છે તે સ્થાપિત કરવાની જરૂર હોય ત્યારે તે ખૂબ જ અસરકારક છે. a.

સમસ્યા 1. સમીકરણ કેટલા મૂળ ધરાવે છે? | | x | – 2 | = a પરિમાણ પર આધાર રાખીને a?

ઉકેલ. કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ (x; y) માં આપણે ફંક્શન y = | ના ગ્રાફ બનાવીશું | x | – 2 | અને y = a. કાર્ય y = | નો આલેખ | x | – 2 | આકૃતિમાં બતાવેલ છે.

ફંક્શન y = a નો ગ્રાફ એ Ox અક્ષની સમાંતર અથવા તેની સાથે એકરૂપ સીધી રેખા છે (જો a = 0).

ડ્રોઇંગમાંથી તે જોઈ શકાય છે કે:

જો a= 0, પછી સીધી રેખા y = a Ox અક્ષ સાથે એકરુપ છે અને કાર્ય y = | નો ગ્રાફ ધરાવે છે | x |
– 2 | બે સામાન્ય મુદ્દાઓ; આનો અર્થ એ છે કે મૂળ સમીકરણમાં બે મૂળ છે (આ કિસ્સામાં, મૂળ શોધી શકાય છે: x 1,2 = d 2).< a < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
જો 0 aજો
જો 0 a= 2, પછી રેખા y = 2 માં ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે ત્રણ સામાન્ય બિંદુઓ છે. પછી મૂળ સમીકરણના ત્રણ મૂળ છે. a> 2, પછી સીધી રેખા y =

મૂળ કાર્યના ગ્રાફ સાથે બે બિંદુઓ હશે, એટલે કે, આ સમીકરણના બે મૂળ હશે. a < 0, то корней нет;
જો a = 0, aજો
જો a> 2, પછી બે મૂળ છે;
= 2, પછી ત્રણ મૂળ;< a < 2, то четыре корня.

જો 0 સમસ્યા 2. સમીકરણ કેટલા મૂળ ધરાવે છે? a પરિમાણ પર આધાર રાખીને a?

| x 2 – 2 | x | – 3 | = a.

ઉકેલ. કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ (x; y) માં આપણે ફંક્શન y = | ના ગ્રાફ બનાવીશું x 2 – 2 | x | – 3 | અને y = a = 0).

કાર્ય y = | નો આલેખ x 2 – 2 | x | – 3 | આકૃતિમાં બતાવેલ છે. ફંક્શન y = a નો આલેખ Ox ની સમાંતર અથવા તેની સાથે એકરૂપ સીધી રેખા છે (જ્યારે

જો a= 0, પછી સીધી રેખા y = aડ્રોઇંગમાંથી તમે જોઈ શકો છો: a Ox અક્ષ સાથે એકરુપ છે અને કાર્ય y = | નો ગ્રાફ ધરાવે છે x2 – 2| x | – 3 | બે સામાન્ય બિંદુઓ, તેમજ સીધી રેખા y = aફંક્શન y = | ના ગ્રાફ સાથે હશે x 2 – 2 | x | – 3 | પર બે સામાન્ય બિંદુઓ a> 4. તેથી, ક્યારે a= 0 અને
– 2 | બે સામાન્ય મુદ્દાઓ; આનો અર્થ એ છે કે મૂળ સમીકરણમાં બે મૂળ છે (આ કિસ્સામાં, મૂળ શોધી શકાય છે: x 1,2 = d 2).< a < 3, то прямая y = a> 4 મૂળ સમીકરણના બે મૂળ છે. aકાર્ય y = | ના ગ્રાફ સાથે ધરાવે છે x 2 – 2 | x | – 3 | aચાર સામાન્ય બિંદુઓ, તેમજ સીધી રેખા y=< a < 3, aપર બનેલ કાર્યના ગ્રાફ સાથે ચાર સામાન્ય બિંદુઓ હશે
જો 0 a= 4. તેથી, 0 પર a= 4 મૂળ સમીકરણ ચાર મૂળ ધરાવે છે.
= 3, પછી સીધી રેખા y =< a < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
જો 0 a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

મૂળ કાર્યના ગ્રાફ સાથે બે બિંદુઓ હશે, એટલે કે, આ સમીકરણના બે મૂળ હશે. a < 0, то корней нет;
જો a = 0, aકાર્યના ગ્રાફને પાંચ બિંદુઓ પર છેદે છે; તેથી, સમીકરણ પાંચ મૂળ ધરાવે છે.
= 2, પછી ત્રણ મૂળ;< a < 3, aજો 3
જો a> 4, પછી બે મૂળ છે;
= 4, પછી ચાર મૂળ;< a < 4, то шесть корней.

= 3, પછી પાંચ મૂળ;

જો 3 a?

ઉકેલ. ચાલો કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવીએ (x; y) પરંતુ પહેલા તેને ફોર્મમાં રજૂ કરીએ:

રેખાઓ x = 1, y = 1 એ ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ છે. કાર્ય y = | નો આલેખ x | + aકાર્ય y = | ના આલેખમાંથી મેળવેલ x | ઓય અક્ષ સાથે એકમો દ્વારા વિસ્થાપન.

કાર્ય આલેખ પર એક બિંદુએ છેદે છે a> – 1; આનો અર્થ એ છે કે આ પરિમાણ મૂલ્યો માટે સમીકરણ (1) પાસે એક ઉકેલ છે.

મુ a = – 1, a= – 2 ગ્રાફ બે બિંદુઓ પર છેદે છે; આનો અર્થ એ છે કે આ પરિમાણ મૂલ્યો માટે, સમીકરણ (1) બે મૂળ ધરાવે છે.
ખાતે – 2< a < – 1, a < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

મૂળ કાર્યના ગ્રાફ સાથે બે બિંદુઓ હશે, એટલે કે, આ સમીકરણના બે મૂળ હશે. a> – 1, પછી એક ઉકેલ;
જો a = – 1, a= – 2, પછી બે ઉકેલો છે;
જો - 2< a < – 1, a < – 1, то три решения.

ટિપ્પણી. સમસ્યા 3 નું સમીકરણ (1) હલ કરતી વખતે, જ્યારે કેસ પર વિશેષ ધ્યાન આપવું જોઈએ a= – 2, કારણ કે બિંદુ (– 1; – 1) ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે સંબંધિત નથી પરંતુ ફંક્શન y = | ના ગ્રાફ સાથે સંબંધિત છે x | + a.

ચાલો બીજી સમસ્યાના ઉકેલ તરફ આગળ વધીએ.

સમસ્યા 4. સમીકરણ કેટલા મૂળ ધરાવે છે?

x + 2 = a| x – 1 |

જો 3 a?

(2) aઉકેલ. નોંધ કરો કે x = 1 એ આ સમીકરણનું મૂળ નથી, કારણ કે સમાનતા 3 = છે a· 0 કોઈપણ પરિમાણ મૂલ્ય માટે સાચું હોઈ શકતું નથી . ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને | દ્વારા વિભાજીત કરીએ x – 1 |(| x – 1 | નંબર 0), પછી સમીકરણ (2) ફોર્મ લેશે

કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ xOy માં આપણે ફંક્શનને પ્લોટ કરીશું aઆ ફંક્શનનો ગ્રાફ આકૃતિમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. કાર્ય y = નો આલેખ a = 0).

મૂળ કાર્યના ગ્રાફ સાથે બે બિંદુઓ હશે, એટલે કે, આ સમીકરણના બે મૂળ હશે. aઓક્સ અક્ષની સમાંતર અથવા તેની સાથે એકરૂપ થતી સીધી રેખા છે (જો
Ј – 1, પછી ત્યાં કોઈ મૂળ નથી;< aજો - 1
જો aЈ 1, પછી એક મૂળ;

> 1, પછી બે મૂળ છે.

ચાલો સૌથી જટિલ સમીકરણને ધ્યાનમાં લઈએ. aસમસ્યા 5. પરિમાણના કયા મૂલ્યો પર

aસમીકરણ

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

ત્રણ ઉકેલો છે? aઉકેલ. 1. આ સમીકરણ માટે પરિમાણનું નિયંત્રણ મૂલ્ય સંખ્યા હશે a= 0, જેના પર સમીકરણ (3) 0 + | સ્વરૂપ લે છે x – 1 | = 0, જ્યાંથી x = 1. તેથી, ક્યારે

= 0, સમીકરણ (3) નું એક મૂળ છે, જે સમસ્યાની શરતોને સંતોષતું નથી. a № 0.

2. જ્યારે કેસ ધ્યાનમાં લો aચાલો સમીકરણ (3) ને નીચેના સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ: a < 0.

x 2 = – | x – 1 |. નોંધ કરો કે સમીકરણમાં ઉકેલો ત્યારે જ હશે જ્યારે aકોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ xOy માં આપણે ફંક્શન y = | ના ગ્રાફ બનાવીશું x – 1 | અને y = a x 2 કાર્ય y = | નો આલેખ x – 1 | આકૃતિમાં બતાવેલ છે. કાર્ય y = નો આલેખ a < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

x 2 એ પેરાબોલા છે જેની શાખાઓ નીચે તરફ નિર્દેશિત છે, ત્યારથી aસમીકરણ (3) માં ત્રણ ઉકેલો ત્યારે જ હશે જ્યારે સીધી રેખા y = – x + 1 ફંક્શન y= ના ગ્રાફની સ્પર્શક હોય.

x 2 a x 0 એ પેરાબોલા y = સાથે સીધી રેખા y = – x + 1 ના સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુના એબ્સીસા છે.

x 2 સ્પર્શક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે

y = y(x 0) + y "(x 0)(x – x 0).

ચાલો સ્પર્શક સ્થિતિઓ લખીએ:

ચાલો બીજી પદ્ધતિનો વિચાર કરીએ. ચાલો એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીએ કે જો સીધી રેખા y = kx + b માં પેરાબોલા y = સાથે એક સામાન્ય બિંદુ હોય a x 2 + px + q, પછી સમીકરણ a x 2 + px + q = kx + b પાસે અનન્ય ઉકેલ હોવો આવશ્યક છે, એટલે કે, તેનો ભેદભાવ શૂન્ય છે. અમારા કિસ્સામાં અમારી પાસે સમીકરણ છે a x 2 = – x + 1 ( aનંબર 0). ભેદભાવપૂર્ણ સમીકરણ

સ્વતંત્ર રીતે ઉકેલવા માટે સમસ્યાઓ

6. પરિમાણના આધારે સમીકરણ કેટલા મૂળ ધરાવે છે a?

1)| | x | – 3 | = a;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = a;
3)| x 2 – 4 | x | + 3 | = a;
4)| x 2 – 6| x | + 5 | = a.

1) જો a<0, то корней нет; если a=0, a>3, પછી બે મૂળ; જો a=3, પછી ત્રણ મૂળ; જો 0<a<3, то четыре корня;
2) જો a<1, то корней нет; если a=1, પછી અંતરાલમાંથી ઉકેલોનો અનંત સમૂહ છે [– 2; a- 1]; જો
> 1, પછી બે ઉકેલો છે; a<0, то корней нет; если a=0, a<3, то четыре корня; если 0<a<1, то восемь корней; если a 3) જો a=1, પછી છ મૂળ; જો a=3, પછી ત્રણ ઉકેલો છે; જો
>3, પછી બે ઉકેલો છે; a<0, то корней нет; если a=0, 4<a<5, то четыре корня; если 0<a< 4, то восемь корней; если a 4) જો a=4, પછી છ મૂળ; જો a=5, પછી ત્રણ મૂળ; જો

>5, તો ત્યાં બે મૂળ છે. a 7. સમીકરણ કેટલા મૂળ ધરાવે છે | x + 1 | = a?

(x – 1) પરિમાણ પર આધાર રાખીને .

નોંધ. x = 1 એ સમીકરણનું મૂળ નથી, તેથી આ સમીકરણ ફોર્મમાં ઘટાડી શકાય છે aજવાબ: જો a > 1, a J -1,<a<0, то два корня; если 0<a=0, પછી એક મૂળ; જો - 1

Ј 1, પછી ત્યાં કોઈ મૂળ નથી. a 8. સમીકરણ x + 1 = કેટલા મૂળ ધરાવે છે a?

| x – 1 |પેરામીટર પર આધાર રાખીને

નોંધ. x = 1 એ સમીકરણનું મૂળ નથી, તેથી આ સમીકરણ ફોર્મમાં ઘટાડી શકાય છે aગ્રાફ દોરો (આકૃતિ જુઓ).<aЈ -1, પછી ત્યાં કોઈ મૂળ નથી; જો - 1 aЈ 1, પછી એક મૂળ; જો

>1, તો ત્યાં બે મૂળ છે.

9. સમીકરણ કેટલા મૂળ ધરાવે છે?

જો 3 a?

2| x | – 1 = a(x – 1)

નોંધ. x = 1 એ સમીકરણનું મૂળ નથી, તેથી આ સમીકરણ ફોર્મમાં ઘટાડી શકાય છે aનોંધ. સમીકરણ ઘડવા માટે ઘટાડો a>2, a J -2,<a<1, то два корня; если 1<a=1, પછી એક મૂળ; જો -2

Ј 2, પછી ત્યાં કોઈ મૂળ નથી.

જો 3 a?

નોંધ. x = 1 એ સમીકરણનું મૂળ નથી, તેથી આ સમીકરણ ફોર્મમાં ઘટાડી શકાય છે aЈ 0, a 10. સમીકરણ કેટલા મૂળ ધરાવે છે?<a<2, то два корня.

i 2, પછી એક મૂળ; જો 0 aસમસ્યા 5. પરિમાણના કયા મૂલ્યો પર

11. પરિમાણના કયા મૂલ્યો પર a x 2 +

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

| x – 2 | = 0 aનોંધ. સમીકરણને x 2 સ્વરૂપમાં ઘટાડવું = –

| x – 2 |. aજવાબ: ક્યારે

જે -8. aસમસ્યા 5. પરિમાણના કયા મૂલ્યો પર

a 12. પરિમાણના કયા મૂલ્યો પર

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

x 2 + | x + 1 | = 0 aનોંધ. સમસ્યાનો ઉપયોગ કરો 5. જો સમીકરણ હોય તો જ આ સમીકરણમાં ત્રણ ઉકેલો છે a x 2 + x + 1 = 0 પાસે એક ઉકેલ છે, અને કેસ

= 0 સમસ્યાની શરતોને સંતોષતું નથી, એટલે કે, જ્યારે કેસ રહે છે

13. સમીકરણ કેટલા મૂળ ધરાવે છે? a

જો 3 a?

x | x – 2 | = 1 – નોંધ. સમીકરણને ફોર્મ –x |x – 2| સુધી ઘટાડો + 1 =

જો 3 a?

a

નોંધ. x = 1 એ સમીકરણનું મૂળ નથી, તેથી આ સમીકરણ ફોર્મમાં ઘટાડી શકાય છે a<0, aનોંધ. આ સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુના આલેખ બનાવો. a>2, પછી બે મૂળ છે; જો 0Ј

Ј 2, પછી એક મૂળ.

જો 3 a?

16. સમીકરણ કેટલા મૂળ ધરાવે છે? નોંધ. આ સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુના આલેખ બનાવો. કાર્યનો આલેખ કરવા માટે

નોંધ. x = 1 એ સમીકરણનું મૂળ નથી, તેથી આ સમીકરણ ફોર્મમાં ઘટાડી શકાય છે aચાલો x + 2 અને x ના સમીકરણોના સ્થિર ચિહ્નના અંતરાલ શોધીએ: a>- 1, પછી એક ઉકેલ; જો<a<–1, то четыре решения; если a= – 1, પછી બે ઉકેલો છે; જો - 3

Ј –3, પછી ત્રણ ઉકેલો છે.

આ વિષય શાળાના બીજગણિત અભ્યાસક્રમનો અભિન્ન ભાગ છે. આ કાર્યનો હેતુ આ વિષયનો વધુ ઊંડાણમાં અભ્યાસ કરવાનો છે, સૌથી વધુ તર્કસંગત ઉકેલને ઓળખવાનો છે જે ઝડપથી જવાબ તરફ દોરી જાય છે. આ નિબંધ અન્ય વિદ્યાર્થીઓને પરિમાણો સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ સમજવામાં મદદ કરશે, આ પદ્ધતિની ઉત્પત્તિ અને વિકાસ વિશે શીખશે.

ડાઉનલોડ કરો:

પૂર્વાવલોકન:

પરિચય2

પ્રકરણ 1. પરિમાણ સાથેના સમીકરણો

પરિમાણ3 સાથે સમીકરણોના ઉદભવનો ઇતિહાસ

વિયેટાનો પ્રમેય 4

મૂળભૂત ખ્યાલો 5

પ્રકરણ 2. પરિમાણો સાથેના સમીકરણોના પ્રકાર.

રેખીય સમીકરણો6

ચતુર્ભુજ સમીકરણો………………………………………………………………7

પ્રકરણ 3. પરિમાણ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ ……………………………………………………… 8

ગ્રાફિક પદ્ધતિ. ઉત્પત્તિનો ઇતિહાસ ………………………………9

ગ્રાફિકલ પદ્ધતિને ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ.................................................. 10

મોડ્યુલસ સાથેના સમીકરણનો ઉકેલ……………………………………………….11

વ્યવહારુ ભાગ………………………………………………………૧૨

નિષ્કર્ષ……………………………………………………………………………….19

સંદર્ભો ………………………………………………………………20

પરિચય.

મેં આ વિષય પસંદ કર્યો કારણ કે તે શાળાના બીજગણિત અભ્યાસક્રમનો અભિન્ન ભાગ છે. આ કાર્યની તૈયારીમાં, મેં આ વિષયના ઊંડા અભ્યાસનું લક્ષ્ય નક્કી કર્યું છે, સૌથી વધુ તર્કસંગત ઉકેલને ઓળખીને જે ઝડપથી જવાબ તરફ દોરી જાય છે. મારો નિબંધ અન્ય વિદ્યાર્થીઓને પરિમાણો સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ સમજવામાં મદદ કરશે, આ પદ્ધતિની ઉત્પત્તિ અને વિકાસ વિશે શીખશે.

આધુનિક જીવનમાં, ઘણી ભૌતિક પ્રક્રિયાઓ અને ભૌમિતિક પેટર્નનો અભ્યાસ ઘણીવાર પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા તરફ દોરી જાય છે.

આવા સમીકરણોને ઉકેલવા માટે, જ્યારે તમારે પરિમાણ α પર આધાર રાખીને સમીકરણમાં કેટલા મૂળ છે તે નિર્ધારિત કરવાની જરૂર હોય ત્યારે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ ખૂબ અસરકારક છે.

પરિમાણો સાથેની સમસ્યાઓ કેવળ ગાણિતિક રસની હોય છે, વિદ્યાર્થીઓના બૌદ્ધિક વિકાસમાં ફાળો આપે છે અને કૌશલ્ય પ્રેક્ટિસ કરવા માટે સારી સામગ્રી તરીકે સેવા આપે છે. તેમની પાસે ડાયગ્નોસ્ટિક મૂલ્ય છે, કારણ કે તેનો ઉપયોગ ગણિતની મુખ્ય શાખાઓના જ્ઞાન, ગાણિતિક અને તાર્કિક વિચારસરણીનું સ્તર, પ્રારંભિક સંશોધન કૌશલ્યો અને ઉચ્ચ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓમાં ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં સફળતાપૂર્વક નિપુણતા મેળવવા માટેની આશાસ્પદ તકો ચકાસવા માટે થઈ શકે છે.

મારા નિબંધમાં વારંવાર આવતા પ્રકારના સમીકરણોની ચર્ચા કરવામાં આવી છે, અને હું આશા રાખું છું કે કામની પ્રક્રિયામાં મેં મેળવેલ જ્ઞાન મને શાળાની પરીક્ષાઓ પાસ કરતી વખતે મદદ કરશે, કારણ કેપરિમાણો સાથે સમીકરણોશાળાના ગણિતની સૌથી મુશ્કેલ સમસ્યાઓમાંની એક યોગ્ય રીતે ગણવામાં આવે છે. તે ચોક્કસપણે આ કાર્યો છે જે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં કાર્યોની સૂચિમાં શામેલ છે.

પરિમાણ સાથે સમીકરણોના ઉદભવનો ઇતિહાસ

ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રી અને ખગોળશાસ્ત્રી આર્યભટ્ટ દ્વારા 499 માં સંકલિત ખગોળશાસ્ત્રીય ગ્રંથ "આર્યભટ્ટિયમ" માં પરિમાણ સાથેના સમીકરણો પરની સમસ્યાઓ પહેલેથી જ આવી હતી. અન્ય ભારતીય વૈજ્ઞાનિક, બ્રહ્મગુપ્ત (7મી સદી), એ એક સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઘટાડીને ચતુર્ભુજ સમીકરણોને ઉકેલવા માટેના સામાન્ય નિયમની રૂપરેખા આપી હતી:

αх 2 + bx = c, α>0

સમીકરણમાંના ગુણાંક, પરિમાણ સિવાય, નકારાત્મક પણ હોઈ શકે છે.

અલ-ખ્વારિઝમી દ્વારા ચતુર્ભુજ સમીકરણો.

બીજગણિત ગ્રંથમાં અલ-ખ્વારિઝમી પરિમાણ a સાથે રેખીય અને ચતુર્ભુજ સમીકરણોનું વર્ગીકરણ આપે છે. લેખક 6 પ્રકારના સમીકરણોની ગણતરી કરે છે, તેમને નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરે છે:

1) "ચોરસ મૂળના સમાન છે," એટલે કે αx 2 = bx.

2) "ચોરસ સંખ્યાઓ સમાન છે", એટલે કે αx 2 = c.

3) "મૂળ સંખ્યા સમાન છે," એટલે કે αx = c.

4) "ચોરસ અને સંખ્યાઓ મૂળ સમાન છે," એટલે કે αx 2 + c = bx.

5) "ચોરસ અને મૂળ સંખ્યા સમાન છે", એટલે કે αx 2 + bx = c.

6) "મૂળ અને સંખ્યાઓ ચોરસ સમાન છે," એટલે કે bx + c = αx 2 .

યુરોપમાં અલ-ખ્વારિઝ્મીના અનુસાર ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેના સૂત્રો સૌપ્રથમ ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી લિયોનાર્ડો ફિબોનાકી દ્વારા 1202માં લખાયેલા "બુક ઓફ અબેકસ"માં નિર્ધારિત કરવામાં આવ્યા હતા.

સામાન્ય સ્વરૂપમાં પરિમાણ સાથે ચતુર્ભુજ સમીકરણને ઉકેલવા માટેના સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ વિએટામાંથી ઉપલબ્ધ છે, પરંતુ વિએટાએ માત્ર હકારાત્મક મૂળને જ ઓળખ્યા. ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રીઓ ટાર્ટાગ્લિયા, કાર્ડાનો, બોમ્બેલી 12મી સદીમાં પ્રથમ ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં સામેલ હતા. સકારાત્મક ઉપરાંત, નકારાત્મક મૂળને પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. માત્ર 17મી સદીમાં. ગિરાર્ડ, ડેસકાર્ટેસ, ન્યુટન અને અન્ય વૈજ્ઞાનિકોના કાર્યોને આભારી, ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની પદ્ધતિએ તેનું આધુનિક સ્વરૂપ ધારણ કર્યું.

વિયેટાનું પ્રમેય

પરિમાણ, ચતુર્ભુજ સમીકરણના ગુણાંક અને તેના મૂળ વચ્ચેના સંબંધને વ્યક્ત કરતું પ્રમેય, જેનું નામ વિએટા છે, તે 1591માં તેમના દ્વારા પ્રથમ વખત ઘડવામાં આવ્યું હતું. નીચે મુજબ: “જો b + d નો ગુણાકાર α બાદ α કરવામાં આવે તો 2 , bc બરાબર છે, પછી α બરાબર b અને બરાબર d.”

વિયેટાને સમજવા માટે, આપણે યાદ રાખવું જોઈએ કે α, કોઈપણ સ્વર અક્ષરની જેમ, અજ્ઞાત (અમારા x) નો અર્થ થાય છે, જ્યારે સ્વરો b, d એ અજાણ્યા માટે ગુણાંક છે. આધુનિક બીજગણિતની ભાષામાં, ઉપરોક્ત વિએટા ફોર્મ્યુલેશનનો અર્થ છે:

જો ત્યાં છે

(α + b)x - x 2 = αb,

એટલે કે, x 2 - (α -b)x + αb =0,

પછી x 1 = α, x 2 = b.

પ્રતીકોનો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવેલા સામાન્ય સૂત્રો દ્વારા સમીકરણોના મૂળ અને ગુણાંક વચ્ચેના સંબંધને વ્યક્ત કરીને, વિયેટાએ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓમાં એકરૂપતા સ્થાપિત કરી. જો કે, વિયેટનું પ્રતીકવાદ હજી પણ તેના આધુનિક સ્વરૂપથી દૂર છે. તે નકારાત્મક સંખ્યાઓને ઓળખતો ન હતો અને તેથી, સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, તેણે ફક્ત એવા કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લીધા કે જ્યાં તમામ મૂળ હકારાત્મક હતા.

મૂળભૂત ખ્યાલો

પરિમાણ - એક સ્વતંત્ર ચલ, જેનું મૂલ્ય નિશ્ચિત અથવા મનસ્વી સંખ્યા તરીકે ગણવામાં આવે છે, અથવા સમસ્યાની સ્થિતિ દ્વારા ઉલ્લેખિત અંતરાલ સાથે સંબંધિત સંખ્યા.

પરિમાણ સાથે સમીકરણ- ગાણિતિકસમીકરણ, દેખાવઅને જેનો ઉકેલ એક અથવા વધુ પરિમાણોના મૂલ્યો પર આધારિત છે.

નક્કી કરો દરેક મૂલ્ય માટે પરિમાણ અર્થ સાથે સમીકરણx ના મૂલ્યો શોધો જે આ સમીકરણને સંતોષે છે, અને એ પણ:

1. 1. સમીકરણના કયા પરિમાણોના મૂલ્યો છે અને પરિમાણોના વિવિધ મૂલ્યો માટે કેટલા છે તેની તપાસ કરો.
2. 2. મૂળ માટે તમામ અભિવ્યક્તિઓ શોધો અને તે દરેક માટે તે પરિમાણ મૂલ્યો સૂચવો કે જેના પર આ અભિવ્યક્તિ ખરેખર સમીકરણનું મૂળ નક્કી કરે છે.

α(x+k)= α +c સમીકરણને ધ્યાનમાં લો, જ્યાં α, c, k, x ચલ જથ્થાઓ છે.

α, c, k, x ચલોના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની સિસ્ટમચલ મૂલ્યોની કોઈપણ સિસ્ટમ છે જેમાં આ સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુ બંને વાસ્તવિક મૂલ્યો લે છે.

A એ α ના તમામ સ્વીકાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ, K એ k ના તમામ સ્વીકાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ, X એ xના તમામ સ્વીકાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ, C એ c ના તમામ સ્વીકાર્ય મૂલ્યોનો સમૂહ. જો દરેક સેટ A, K, C, X માટે આપણે અનુક્રમે, એક મૂલ્ય α, k, c પસંદ કરીએ છીએ અને તેને સમીકરણમાં બદલીએ છીએ, તો પછી આપણે x માટે સમીકરણ મેળવીએ છીએ, એટલે કે. એક અજાણ્યા સાથે સમીકરણ.

ચલો α, k, c, જે સમીકરણને ઉકેલતી વખતે સ્થિર ગણવામાં આવે છે, તેને પરિમાણો કહેવામાં આવે છે, અને સમીકરણ પોતે પરિમાણો ધરાવતું સમીકરણ કહેવાય છે.

પરિમાણો લેટિન મૂળાક્ષરોના પ્રથમ અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે: α, b, c, d, ..., k, l, m, n, અને અજાણ્યાઓને x, y, z અક્ષરો દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે.

સમાન પરિમાણો ધરાવતા બે સમીકરણો કહેવામાં આવે છેસમકક્ષ જો:

a) તેઓ સમાન પરિમાણ મૂલ્યો માટે અર્થપૂર્ણ છે;

b) પ્રથમ સમીકરણનો દરેક ઉકેલ એ બીજાનો ઉકેલ છે અને ઊલટું.

પરિમાણો સાથેના સમીકરણોના પ્રકાર

પરિમાણો સાથેના સમીકરણો છે: રેખીયઅને ચોરસ.

1) રેખીય સમીકરણ. સામાન્ય દૃશ્ય:

α x = b, જ્યાં x અજ્ઞાત છે;α, b - પરિમાણો.

આ સમીકરણ માટે, પરિમાણનું વિશિષ્ટ અથવા નિયંત્રણ મૂલ્ય એ છે કે જેના પર અજ્ઞાતનો ગુણાંક શૂન્ય બને છે.

પરિમાણ સાથે રેખીય સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, જ્યારે પરિમાણ તેના વિશિષ્ટ મૂલ્ય જેટલું હોય અને તેનાથી અલગ હોય ત્યારે એવા કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.

પરિમાણ α નું વિશેષ મૂલ્ય એ મૂલ્ય છેα = 0.

1.જો, અને ≠0, પછી પરિમાણોની કોઈપણ જોડી માટેα અને b તેનો એક અનોખો ઉકેલ છે x =

2.જો, અને =0, પછી સમીકરણ ફોર્મ:0 લે છે x = b . આ કિસ્સામાં મૂલ્ય b = 0 એ વિશિષ્ટ પરિમાણ મૂલ્ય છે b

2.1. ખાતે બી ≠ 0 સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

2.2. ખાતે બી =0 સમીકરણ ફોર્મ લેશે:0 x =0.

આ સમીકરણનો ઉકેલ એ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

પરિમાણ સાથે ચતુર્ભુજ સમીકરણ.

સામાન્ય દૃશ્ય:

α x 2 + bx + c = 0

જ્યાં પરિમાણ α ≠0, b અને c - મનસ્વી સંખ્યાઓ

જો α =1, પછી સમીકરણને ઘટાડેલું ચતુર્ભુજ સમીકરણ કહેવાય છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે

અભિવ્યક્તિ D = b 2 - 4 α c ભેદભાવ કરનાર કહેવાય છે.

1. જો D > 0 હોય, તો સમીકરણ બે અલગ-અલગ મૂળ ધરાવે છે.

2. જો ડી< 0 — уравнение не имеет корней.

3. જો D = 0 હોય, તો સમીકરણ બે સમાન મૂળ ધરાવે છે.

પરિમાણ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ:

1. વિશ્લેષણાત્મક - સીધા ઉકેલની પદ્ધતિ, પરિમાણો વિના સમીકરણમાં જવાબ શોધવા માટે પ્રમાણભૂત પ્રક્રિયાઓનું પુનરાવર્તન.
2. ગ્રાફિક - સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓના આધારે, સંકલન પ્રણાલીમાં અનુરૂપ ચતુર્ભુજ કાર્યના ગ્રાફની સ્થિતિ ગણવામાં આવે છે.

વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ

ઉકેલ અલ્ગોરિધમ:

1. તમે વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પરિમાણો સાથે સમસ્યા હલ કરવાનું શરૂ કરો તે પહેલાં, તમારે પરિમાણના ચોક્કસ સંખ્યાત્મક મૂલ્ય માટે પરિસ્થિતિને સમજવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, પેરામીટર α =1 ની કિંમત લો અને પ્રશ્નનો જવાબ આપો: શું આ કાર્ય માટે જરૂરી પેરામીટર α =1 નું મૂલ્ય છે.

ઉદાહરણ 1. પ્રમાણમાં ઉકેલોએક્સ પરિમાણ m સાથે રેખીય સમીકરણ:

સમસ્યાના અર્થ અનુસાર (m-1)(x+3) = 0, એટલે કે, m= 1, x = -3.

સમીકરણની બંને બાજુઓને (m-1)(x+3) વડે ગુણાકાર કરવાથી, આપણને સમીકરણ મળે છે

અમને મળે છે

તેથી, m= 2.25 પર.

હવે આપણે તપાસવાની જરૂર છે કે જેના માટે m ની કોઈ કિંમતો છે કે કેમ

મળેલ x ની કિંમત -3 છે.

આ સમીકરણને ઉકેલતા, આપણે શોધીએ છીએ કે x એ m = -0.4 સાથે -3 બરાબર છે.

જવાબ: m=1, m =2.25 સાથે.

ગ્રાફિક પદ્ધતિ. મૂળનો ઇતિહાસ

સામાન્ય અવલંબનનો અભ્યાસ 14મી સદીમાં શરૂ થયો હતો. મધ્યયુગીન વિજ્ઞાન શૈક્ષણિક હતું. આ પ્રકૃતિ સાથે, જથ્થાત્મક અવલંબનના અભ્યાસ માટે કોઈ જગ્યા બાકી ન હતી, તે ફક્ત વસ્તુઓના ગુણો અને એકબીજા સાથેના તેમના જોડાણો વિશે હતું. પરંતુ વિદ્વાનોમાં એક શાળા ઊભી થઈ જેણે દલીલ કરી કે ગુણો વધુ કે ઓછા તીવ્ર હોઈ શકે છે (નદીમાં પડી ગયેલી વ્યક્તિનો પોશાક વરસાદમાં ફસાયેલી વ્યક્તિ કરતાં ભીનો હોય છે)

ફ્રેન્ચ વૈજ્ઞાનિક નિકોલાઈ ઓરેસ્મે સેગમેન્ટ્સની લંબાઈ સાથે તીવ્રતા દર્શાવવાનું શરૂ કર્યું. જ્યારે તેણે આ ભાગોને ચોક્કસ સીધી રેખા પર લંબરૂપ મૂક્યા, ત્યારે તેમના છેડા એક રેખા બનાવે છે, જેને તેણે "તીવ્રતાની રેખા" અથવા "ઉપલા ધારની રેખા" (અનુરૂપ કાર્યાત્મક અવલંબનનો ગ્રાફ) "પ્લેનર" નો અભ્યાસ કર્યો હતો ” અને “ભૌતિક” ગુણો, એટલે કે કાર્યો, બે કે ત્રણ ચલો પર આધાર રાખીને.

ઓરેસ્મેની મહત્વપૂર્ણ સિદ્ધિ પરિણામી આલેખને વર્ગીકૃત કરવાનો તેમનો પ્રયાસ હતો. તેમણે ત્રણ પ્રકારના ગુણો ઓળખ્યા: સમાન (સતત તીવ્રતા સાથે), સમાન-અસમાન (તીવ્રતામાં સતત ફેરફારના દર સાથે) અને અસમાન-અસમાન (બધા અન્ય), તેમજ આવા ગુણોના આલેખના લાક્ષણિક ગુણધર્મો.

કાર્યોના ગ્રાફનો અભ્યાસ કરવા માટે ગાણિતિક ઉપકરણ બનાવવા માટે, ચલની વિભાવનાની જરૂર હતી. આ ખ્યાલ ફ્રેન્ચ ફિલસૂફ અને ગણિતશાસ્ત્રી રેને ડેસકાર્ટેસ (1596-1650) દ્વારા વિજ્ઞાનમાં દાખલ કરવામાં આવ્યો હતો. ડેકાર્ટેસ જ બીજગણિત અને ભૂમિતિની એકતા અને ચલોની ભૂમિકા વિશેના વિચારો સાથે આવ્યા હતા અને ડેકાર્ટેસ એક નિશ્ચિત એકમ વિભાગ રજૂ કર્યો હતો અને તેની સાથે અન્ય વિભાગોના સંબંધોને ધ્યાનમાં લેવાનું શરૂ કર્યું હતું.

આમ, તેમના અસ્તિત્વના સમગ્ર સમયગાળા દરમિયાન કાર્યોના આલેખ ઘણા મૂળભૂત પરિવર્તનોમાંથી પસાર થયા છે, જે તેમને તે સ્વરૂપ તરફ દોરી ગયા જેનાથી આપણે ટેવાયેલા છીએ. કાર્યોના આલેખના વિકાસમાં દરેક તબક્કો અથવા તબક્કો એ આધુનિક બીજગણિત અને ભૂમિતિના ઇતિહાસનો અભિન્ન ભાગ છે.

તેમાં સમાવિષ્ટ પરિમાણના આધારે સમીકરણના મૂળની સંખ્યા નક્કી કરવાની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ વિશ્લેષણાત્મક કરતાં વધુ અનુકૂળ છે.

ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ દ્વારા અલ્ગોરિધમનો ઉકેલ

કાર્યનો આલેખ - બિંદુઓનો સમૂહ કે જેના પરએબ્સીસામાન્ય દલીલ મૂલ્યો છે, એ આદેશો- અનુરૂપ મૂલ્યોકાર્યો.

પરિમાણ સાથે સમીકરણો ગ્રાફિકલી ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ:

1. સમીકરણની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર શોધો.
2. અમે α વ્યક્ત કરીએ છીએ x ના કાર્ય તરીકે.
3. કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં આપણે ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવીએ છીએα (x) x ના તે મૂલ્યો માટે કે જે આ સમીકરણની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં સમાવિષ્ટ છે.
4. રેખાના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધવીα =с, કાર્યના ગ્રાફ સાથે

α(x). જો રેખા α =с આલેખને પાર કરે છેα (x), પછી અમે આંતરછેદ બિંદુઓના એબ્સિસાસને નિર્ધારિત કરીએ છીએ. આ કરવા માટે, સમીકરણને હલ કરવા માટે તે પૂરતું છે c = α (x) x ની સાપેક્ષ.

1. જવાબ લખો

મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા

ગ્રાફિકલી પેરામીટર ધરાવતા મોડ્યુલસ સાથે સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, ફંક્શનના ગ્રાફ બનાવવા અને પરિમાણના વિવિધ મૂલ્યો માટેના તમામ સંભવિત કેસોને ધ્યાનમાં લેવા જરૂરી છે.

ઉદાહરણ તરીકે, │х│= a,

જવાબ: જો એ < 0, то нет корней, a > 0, પછી x = a, x = - a, જો a = 0, તો x = 0.

સમસ્યાનું નિરાકરણ.

સમસ્યા 1. સમીકરણ કેટલા મૂળ ધરાવે છે?| | x | - 2 | = એ પરિમાણ પર આધાર રાખીને a?

ઉકેલ. કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ (x; y) માં આપણે ફંક્શન y = | ના ગ્રાફ બનાવીશું | x | - 2 | અને y = a . કાર્ય y = | નો આલેખ | x | - 2 | આકૃતિમાં બતાવેલ છે.

કાર્ય y = નો આલેખα a = 0).

ગ્રાફ પરથી તે જોઈ શકાય છે કે:

જો a = 0, તો સીધી રેખા y = a Ox અક્ષ સાથે એકરુપ છે અને કાર્ય y = | નો ગ્રાફ ધરાવે છે | x | - 2 | બે સામાન્ય મુદ્દાઓ; આનો અર્થ એ છે કે મૂળ સમીકરણમાં બે મૂળ છે (આ કિસ્સામાં, મૂળ શોધી શકાય છે: x 1,2 = + 2).
જો 0< a < 2, то прямая y = α કાર્ય y = | ના ગ્રાફ સાથે ધરાવે છે | x | - 2 | ચાર સામાન્ય બિંદુઓ અને તેથી, મૂળ સમીકરણ ચાર મૂળ ધરાવે છે.
જો a = 2, પછી રેખા y = 2 માં ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે ત્રણ સામાન્ય બિંદુઓ છે. પછી મૂળ સમીકરણના ત્રણ મૂળ છે.
જો a > 2, પછી સીધી રેખા y = a મૂળ કાર્યના ગ્રાફ સાથે બે બિંદુઓ હશે, એટલે કે, આ સમીકરણના બે મૂળ હશે.

જવાબ: જો એ < 0, то корней нет;
જો a = 0, a > 2, તો બે મૂળ છે;
જો a = 2, તો ત્રણ મૂળ છે;
જો 0< a < 2, то четыре корня.

સમસ્યા 2. સમીકરણ કેટલા મૂળ ધરાવે છે?| x 2 - 2 | x | - 3 | = એ પરિમાણ પર આધાર રાખીને a?

ઉકેલ. કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ (x; y) માં આપણે ફંક્શન y = | ના ગ્રાફ બનાવીશું x 2 - 2 | x | - 3 | અને y = a.

કાર્ય y = | નો આલેખ x 2 - 2| x | - 3 | આકૃતિમાં બતાવેલ છે. કાર્ય y = નો ગ્રાફα ઓક્સની સમાંતર સીધી રેખા છે અથવા તેની સાથે સુસંગત છે (જ્યારે a = 0).

ગ્રાફમાંથી તમે જોઈ શકો છો:

જો a = 0, તો સીધી રેખા y = a Ox અક્ષ સાથે એકરુપ છે અને કાર્ય y = | નો ગ્રાફ ધરાવે છે x2 - 2| x | - 3 | બે સામાન્ય બિંદુઓ, તેમજ સીધી રેખા y = a ફંક્શન y = | ના ગ્રાફ સાથે હશે x 2 - 2| x | - 3 | પર બે સામાન્ય બિંદુઓ a > 4. તેથી, a = 0 અને a માટે > 4 મૂળ સમીકરણના બે મૂળ છે.
જો 0< a< 3, то прямая y = a કાર્ય y = | ના ગ્રાફ સાથે ધરાવે છે x 2 - 2| x | - 3 | ચાર સામાન્ય બિંદુઓ, તેમજ સીધી રેખા y= a પર બનેલ કાર્યના ગ્રાફ સાથે ચાર સામાન્ય બિંદુઓ હશે a = 4. તેથી, 0 પર< a < 3, a = 4 મૂળ સમીકરણ ચાર મૂળ ધરાવે છે.
જો a = 3, પછી સીધી રેખા y = a કાર્યના ગ્રાફને પાંચ બિંદુઓ પર છેદે છે; તેથી, સમીકરણ પાંચ મૂળ ધરાવે છે.
જો 3< a< 4, прямая y = α બનાવેલ કાર્યના ગ્રાફને છ બિંદુઓ પર છેદે છે; આનો અર્થ એ છે કે આ પરિમાણ મૂલ્યો માટે મૂળ સમીકરણ છ મૂળ ધરાવે છે.
જો a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α ફંક્શન y = | ના ગ્રાફને છેદતું નથી x 2 - 2 | x | - 3 |.

જવાબ: જો એ < 0, то корней нет;
જો a = 0, a > 4, તો બે મૂળ છે;
જો 0< a < 3, a = 4, પછી ચાર મૂળ;

જો a = 3, પછી પાંચ મૂળ;
જો 3< a < 4, то шесть корней.

સમસ્યા 3. સમીકરણ કેટલા મૂળ ધરાવે છે?

પરિમાણ પર આધાર રાખીને a?

ઉકેલ. ચાલો કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવીએ (x; y)

પરંતુ પહેલા તેને ફોર્મમાં રજૂ કરીએ:

રેખાઓ x = 1, y = 1 એ ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ છે. કાર્ય y = | નો આલેખ x | + a કાર્ય y = | ના આલેખમાંથી મેળવેલ x | ઓય અક્ષ સાથે એકમો દ્વારા વિસ્થાપન.

કાર્ય આલેખ પર એક બિંદુએ છેદે છે a > - 1; આનો અર્થ એ છે કે આ પરિમાણ મૂલ્યો માટે સમીકરણ (1) પાસે એક ઉકેલ છે.

જ્યારે a = - 1, a = - 2 ગ્રાફ બે બિંદુઓ પર છેદે છે; આનો અર્થ એ છે કે આ પરિમાણ મૂલ્યો માટે, સમીકરણ (1) બે મૂળ ધરાવે છે.
ખાતે - 2< a< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

જવાબ: જો એ > - 1, પછી એક ઉકેલ;
જો a = - 1, a = - 2, પછી બે ઉકેલો છે;
જો - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

ટિપ્પણી. સમસ્યાના સમીકરણને હલ કરતી વખતે, જ્યારે કેસ પર ખાસ ધ્યાન આપવું જોઈએ a = - 2, કારણ કે બિંદુ (- 1; - 1) ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે સંબંધિત નથીપરંતુ ફંક્શન y = | ના ગ્રાફ સાથે સંબંધિત છે x | + a

સમસ્યા 4. સમીકરણ કેટલા મૂળ ધરાવે છે?

x + 2 = a | x - 1 |

પરિમાણ પર આધાર રાખીને a?

ઉકેલ. નોંધ કરો કે x = 1 એ આ સમીકરણનું મૂળ નથી, કારણ કે સમાનતા 3 = છે a કોઈપણ પરિમાણ મૂલ્ય માટે 0 સાચું હોઈ શકતું નથી a . ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને | દ્વારા વિભાજીત કરીએ x - 1 |(| x - 1 |0), પછી સમીકરણ સ્વરૂપ લે છેકોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ xOy માં આપણે ફંક્શનને પ્લોટ કરીશું

આ ફંક્શનનો ગ્રાફ આકૃતિમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. કાર્ય y = નો આલેખ a ઓક્સ અક્ષની સમાંતર અથવા તેની સાથે એકરૂપ થતી સીધી રેખા છે (જો a = 0).