ઉકેલ.
નિયમિત ચતુષ્કોણ એક ચોરસ છે.
તદનુસાર, આધારની બાજુ સમાન હશે

વ્યાખ્યા. પ્રિઝમપોલિહેડ્રોન છે, જેની તમામ શિરોબિંદુઓ બે સમાંતર સમતલોમાં સ્થિત છે, અને આ જ બે વિમાનોમાં પ્રિઝમના બે ચહેરા આવેલા છે, જે અનુરૂપ સમાંતર બાજુઓ સાથે સમાન બહુકોણ છે, અને આ વિમાનોમાં ન હોય તેવી તમામ ધારો સમાંતર છે.

બે સમાન ચહેરાઓ કહેવામાં આવે છે પ્રિઝમ પાયા(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

પ્રિઝમના અન્ય તમામ ચહેરાઓ કહેવામાં આવે છે બાજુના ચહેરા(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

બધી બાજુના ચહેરાઓ રચાય છે પ્રિઝમની બાજુની સપાટી .

પ્રિઝમના તમામ બાજુના ચહેરા સમાંતરગ્રામો છે .

જે કિનારીઓ પાયા પર ન હોય તેને પ્રિઝમની બાજુની કિનારીઓ કહેવામાં આવે છે ( એએ 1, BB 1, સીસી 1, ડીડી 1, ઇઇ 1).

પ્રિઝમ કર્ણ એક સેગમેન્ટ છે જેના છેડા પ્રિઝમના બે શિરોબિંદુઓ છે જે એક જ ચહેરા પર આવેલા નથી (AD 1).

પ્રિઝમના પાયાને અને એક જ સમયે બંને પાયા સાથે લંબરૂપને જોડતા સેગમેન્ટની લંબાઈ કહેવાય છે. પ્રિઝમ ઊંચાઈ .

હોદ્દો:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (પ્રથમ, ટ્રાવર્સલ ક્રમમાં, એક પાયાના શિરોબિંદુઓ સૂચવવામાં આવે છે, અને પછી, તે જ ક્રમમાં, બીજાના શિરોબિંદુઓ; દરેક બાજુની ધારના છેડા સમાન અક્ષરો દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે, માત્ર એક આધારમાં પડેલા શિરોબિંદુઓ નિયુક્ત કરવામાં આવે છે. અનુક્રમણિકા વિના અક્ષરો દ્વારા, અને બીજામાં - અનુક્રમણિકા સાથે)

પ્રિઝમનું નામ તેના આધાર પર પડેલી આકૃતિમાં ખૂણાઓની સંખ્યા સાથે સંકળાયેલું છે, ઉદાહરણ તરીકે, આકૃતિ 1 માં આધાર પર એક પંચકોણ છે, તેથી પ્રિઝમ કહેવામાં આવે છે. પંચકોણીય પ્રિઝમ. પરંતુ કારણ કે આવા પ્રિઝમમાં 7 ચહેરા હોય છે, પછી તે હેપ્ટેહેડ્રોન(2 ચહેરા - પ્રિઝમના પાયા, 5 ચહેરા - સમાંતરગ્રામ, - તેના બાજુના ચહેરા)

સીધા પ્રિઝમ્સમાં, એક ચોક્કસ પ્રકાર અલગ પડે છે: નિયમિત પ્રિઝમ.

સીધા પ્રિઝમ કહેવામાં આવે છે સાચું,જો તેના પાયા નિયમિત બહુકોણ હોય.

સમાંતર

લંબચોરસ સમાંતર- જમણી બાજુની સમાંતર પાઈપ જેનો આધાર લંબચોરસ છે.

ગુણધર્મો અને પ્રમેય:

,

જ્યાં d એ ચોરસનો કર્ણ છે;
a ચોરસની બાજુ છે.

પ્રિઝમનો વિચાર આના દ્વારા આપવામાં આવે છે:

• વિવિધ સ્થાપત્ય માળખાં;
• બાળકોના રમકડાં;
• પેકેજિંગ બોક્સ;
• ડિઝાઇનર વસ્તુઓ, વગેરે.

પ્રિઝમની કુલ અને બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર

S સંપૂર્ણ = S બાજુ + 2S મુખ્ય,

જ્યાં એસ સંપૂર્ણ- કુલ સપાટી વિસ્તાર, એસ બાજુ- બાજુની સપાટી વિસ્તાર, એસ આધાર- આધાર વિસ્તાર

સીધા પ્રિઝમની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર આધારની પરિમિતિ અને પ્રિઝમની ઊંચાઈના ગુણાંક જેટલો હોય છે..

એસ બાજુ= P મૂળભૂત * h,

જ્યાં એસ બાજુ- સીધા પ્રિઝમની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર,

પી મુખ્ય - સીધા પ્રિઝમના પાયાની પરિમિતિ,

h એ સીધા પ્રિઝમની ઊંચાઈ છે, જે બાજુની ધારની બરાબર છે.

પ્રિઝમ વોલ્યુમ

પ્રિઝમનું પ્રમાણ પાયાના ક્ષેત્રફળ અને ઊંચાઈના ઉત્પાદન જેટલું હોય છે.

પોલીહેડ્રા

સ્ટીરિયોમેટ્રીના અભ્યાસનો મુખ્ય ઉદ્દેશ અવકાશી સંસ્થાઓ છે. શરીરચોક્કસ સપાટી દ્વારા મર્યાદિત જગ્યાના ભાગને રજૂ કરે છે.

પોલીહેડ્રોનએક એવું શરીર છે જેની સપાટી મર્યાદિત સંખ્યામાં સપાટ બહુકોણ ધરાવે છે. પોલિહેડ્રોનને બહિર્મુખ કહેવામાં આવે છે જો તે તેની સપાટી પરના દરેક સમતલ બહુકોણના પ્લેનની એક બાજુ પર સ્થિત હોય. આવા પ્લેનનો સામાન્ય ભાગ અને પોલિહેડ્રોનની સપાટી કહેવામાં આવે છે ધાર. બહિર્મુખ બહુકોણના ચહેરા સપાટ બહિર્મુખ બહુકોણ છે. ચહેરાની બાજુઓને કહેવામાં આવે છે પોલિહેડ્રોનની કિનારીઓ, અને શિરોબિંદુઓ છે પોલિહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓ.

ઉદાહરણ તરીકે, સમઘન છ ચોરસ ધરાવે છે, જે તેના ચહેરા છે. તેમાં 12 ધાર (ચોરસની બાજુઓ) અને 8 શિરોબિંદુઓ (ચોરસની ટોચ) છે.

સૌથી સરળ પોલિહેડ્રા પ્રિઝમ અને પિરામિડ છે, જેનો આપણે આગળ અભ્યાસ કરીશું.

પ્રિઝમ

પ્રિઝમની વ્યાખ્યા અને ગુણધર્મો

પ્રિઝમસમાંતર અનુવાદ દ્વારા સંયુક્ત સમાંતર સમતલોમાં પડેલા બે સપાટ બહુકોણ અને આ બહુકોણના અનુરૂપ બિંદુઓને જોડતા તમામ સેગમેન્ટ્સનો બનેલો પોલિહેડ્રોન છે. બહુકોણ કહેવાય છે પ્રિઝમ પાયા, અને બહુકોણના અનુરૂપ શિરોબિંદુઓને જોડતા વિભાગો છે પ્રિઝમની બાજુની ધાર.

પ્રિઝમ ઊંચાઈતેના પાયાના વિમાનો વચ્ચેનું અંતર કહેવામાં આવે છે (). પ્રિઝમના બે શિરોબિંદુઓને જોડતો સેગમેન્ટ જે એક જ ચહેરાના નથી તેને કહેવામાં આવે છે પ્રિઝમ કર્ણ(). પ્રિઝમ કહેવાય છે n-કાર્બન, જો તેના આધારમાં n-gon હોય.

કોઈપણ પ્રિઝમમાં નીચેના ગુણધર્મો હોય છે, જે હકીકતથી પરિણમે છે કે પ્રિઝમના પાયા સમાંતર અનુવાદ દ્વારા જોડાયેલા છે:

1. પ્રિઝમના પાયા સમાન છે.

2. પ્રિઝમની બાજુની કિનારીઓ સમાંતર અને સમાન છે.

પ્રિઝમની સપાટીમાં પાયાનો સમાવેશ થાય છે અને બાજુની સપાટી. પ્રિઝમની બાજુની સપાટી સમાંતરગ્રામો ધરાવે છે (આ પ્રિઝમના ગુણધર્મો પરથી થાય છે). પ્રિઝમની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર એ બાજુના ચહેરાના વિસ્તારોનો સરવાળો છે.

સીધા પ્રિઝમ

પ્રિઝમ કહેવાય છે પ્રત્યક્ષ, જો તેની બાજુની કિનારીઓ પાયાને લંબરૂપ હોય. નહિંતર પ્રિઝમ કહેવામાં આવે છે વલણ.

જમણા પ્રિઝમના ચહેરાઓ લંબચોરસ છે. સીધા પ્રિઝમની ઊંચાઈ તેના બાજુના ચહેરાઓ જેટલી હોય છે.

સંપૂર્ણ પ્રિઝમ સપાટીબાજુની સપાટીના વિસ્તાર અને પાયાના વિસ્તારોનો સરવાળો કહેવાય છે.

જમણી પ્રિઝમ સાથેતેના આધાર પર નિયમિત બહુકોણ ધરાવતું જમણું પ્રિઝમ કહેવાય છે.

પ્રમેય 13.1. સીધા પ્રિઝમની બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ પરિમિતિના ઉત્પાદન અને પ્રિઝમની ઊંચાઈ (અથવા, જે બાજુની ધાર દ્વારા સમાન છે) સમાન છે.

પુરાવો. જમણા પ્રિઝમના પાર્શ્વીય ચહેરાઓ લંબચોરસ છે, જેના પાયા પ્રિઝમના પાયા પર બહુકોણની બાજુઓ છે, અને ઊંચાઈઓ પ્રિઝમની બાજુની કિનારીઓ છે. પછી, વ્યાખ્યા દ્વારા, બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર છે:

,

સીધા પ્રિઝમના પાયાની પરિમિતિ ક્યાં છે.

સમાંતર

જો સમાંતરગ્રામો પ્રિઝમના પાયા પર આવેલા હોય, તો તેને કહેવામાં આવે છે સમાંતર. સમાંતર નળીવાળા તમામ ચહેરાઓ સમાંતરગ્રામ છે. આ કિસ્સામાં, સમાંતરપાઇપ્ડના વિરોધી ચહેરાઓ સમાંતર અને સમાન છે.

પ્રમેય 13.2. સમાંતર નળીઓના કર્ણ એક બિંદુ પર છેદે છે અને આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા અડધા ભાગમાં વિભાજિત થાય છે.

પુરાવો. બે મનસ્વી કર્ણનો વિચાર કરો, ઉદાહરણ તરીકે, અને . કારણ કે સમાંતર નળીઓના ચહેરા સમાંતરગ્રામો છે, પછી અને , જેનો અર્થ થાય છે To અનુસાર ત્રીજાની સમાંતર બે સીધી રેખાઓ છે. વધુમાં, આનો અર્થ એ છે કે સીધી રેખાઓ અને તે જ પ્લેન (પ્લેન) માં આવેલા છે. આ પ્લેન સમાંતર પ્લેન અને સમાંતર રેખાઓ સાથે છેદે છે અને . આમ, ચતુષ્કોણ એ સમાંતરગ્રામ છે, અને સમાંતરગ્રામના ગુણધર્મ દ્વારા, તેના કર્ણ છેદે છે અને આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા અડધા ભાગમાં વિભાજિત થાય છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર હતી.

જમણી બાજુની સમાંતર નળીઓ કે જેનો આધાર લંબચોરસ હોય તેને કહેવામાં આવે છે લંબચોરસ સમાંતર. લંબચોરસ સમાંતર નળીવાળા બધા ચહેરા લંબચોરસ છે. લંબચોરસ સમાંતર નળીઓની બિન-સમાંતર ધારની લંબાઈને તેના રેખીય પરિમાણો (પરિમાણો) કહેવામાં આવે છે. આવા ત્રણ માપો (પહોળાઈ, ઊંચાઈ, લંબાઈ) છે.

પ્રમેય 13.3. લંબચોરસ સમાંતરમાં, કોઈપણ કર્ણનો ચોરસ તેના ત્રણ પરિમાણના ચોરસના સરવાળા જેટલો હોય છે. (બે વાર પાયથાગોરિયન ટી લાગુ કરીને સાબિત).

એક લંબચોરસ સમાંતર પાઈપ કહેવાય છે જેમાં તમામ કિનારીઓ સમાન હોય છે સમઘન.

કાર્યો

13.1 તેમાં કેટલા કર્ણ છે? n-કાર્બન પ્રિઝમ

13.2 વળેલું ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમમાં, બાજુની કિનારીઓ વચ્ચેનું અંતર 37, 13 અને 40 છે. મોટી બાજુની ધાર અને વિરુદ્ધ બાજુની ધાર વચ્ચેનું અંતર શોધો.

13.3 નિયમિત ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમના નીચલા પાયાની બાજુમાંથી એક પ્લેન દોરવામાં આવે છે, તેમની વચ્ચેના ખૂણા સાથેના ભાગો સાથે બાજુના ચહેરાઓને છેદે છે. પ્રિઝમના પાયા તરફ આ પ્લેનનો ઝોકનો કોણ શોધો.

વ્યાખ્યા 1. પ્રિઝમેટિક સપાટી
પ્રમેય 1. પ્રિઝમેટિક સપાટીના સમાંતર વિભાગો પર
વ્યાખ્યા 2. પ્રિઝમેટિક સપાટીનો લંબ વિભાગ
વ્યાખ્યા 3. પ્રિઝમ
વ્યાખ્યા 4. પ્રિઝમ ઊંચાઈ
વ્યાખ્યા 5. જમણું પ્રિઝમ
પ્રમેય 2. પ્રિઝમની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર

સમાંતરપાઇપ્ડ:
વ્યાખ્યા 6. સમાંતર
પ્રમેય 3. સમાંતર નળીવાળા કર્ણના આંતરછેદ પર
વ્યાખ્યા 7. જમણી બાજુની સમાંતર
વ્યાખ્યા 8. લંબચોરસ સમાંતર
વ્યાખ્યા 9. સમાંતર પાઇપનું માપ
વ્યાખ્યા 10. ઘન
વ્યાખ્યા 11. રોમ્બોહેડ્રોન
પ્રમેય 4. એક લંબચોરસ સમાંતર ના કર્ણ પર
પ્રમેય 5. પ્રિઝમનું વોલ્યુમ
પ્રમેય 6. સીધા પ્રિઝમનું વોલ્યુમ
પ્રમેય 7. લંબચોરસ સમાંતર પાઈપનું વોલ્યુમ

પ્રિઝમએક પોલિહેડ્રોન છે જેના બે ચહેરા (પાયા) સમાંતર પ્લેનમાં આવેલા છે, અને આ ચહેરાઓમાં ન હોય તેવી ધાર એકબીજાની સમાંતર હોય છે.
પાયા સિવાયના ચહેરાઓને કહેવામાં આવે છે બાજુની.
બાજુના ચહેરા અને પાયાની બાજુઓને કહેવામાં આવે છે પ્રિઝમ પાંસળી, ધારના છેડા કહેવામાં આવે છે પ્રિઝમના શિરોબિંદુઓ. બાજુની પાંસળીધાર કે જે પાયા સાથે સંબંધિત નથી તેને કહેવામાં આવે છે. બાજુના ચહેરાઓનું જોડાણ કહેવામાં આવે છે પ્રિઝમની બાજુની સપાટી, અને બધા ચહેરાઓનું જોડાણ કહેવાય છે પ્રિઝમની સંપૂર્ણ સપાટી. પ્રિઝમ ઊંચાઈઉપલા પાયાના બિંદુથી નીચલા પાયાના સમતલ અથવા આ કાટખૂણેની લંબાઇને લંબરૂપ કહેવાય છે. સીધા પ્રિઝમપ્રિઝમ કહેવાય છે જેની બાજુની કિનારીઓ પાયાના વિમાનોને લંબરૂપ હોય છે. સાચોસીધા પ્રિઝમ (ફિગ. 3) કહેવાય છે, જેના પાયા પર એક નિયમિત બહુકોણ આવેલું છે.

હોદ્દો:
l - બાજુની પાંસળી;
પી - આધાર પરિમિતિ;
S o - આધાર વિસ્તાર;
એચ - ઊંચાઈ;
P^ - કાટખૂણે વિભાગ પરિમિતિ;
S b - બાજુની સપાટી વિસ્તાર;
વી - વોલ્યુમ;
Sp એ પ્રિઝમની કુલ સપાટીનો વિસ્તાર છે.

વ્યાખ્યા 2 . પ્રિઝમેટિક સપાટીનો લંબ વિભાગ એ તેની કિનારીઓ પર લંબરૂપ સમતલ દ્વારા આ સપાટીનો એક વિભાગ છે. અગાઉના પ્રમેયના આધારે, સમાન પ્રિઝમેટિક સપાટીના તમામ લંબ વિભાગો સમાન બહુકોણ હશે.

વ્યાખ્યા 3 . પ્રિઝમ એ એક પોલિહેડ્રોન છે જે પ્રિઝમેટિક સપાટીથી બંધાયેલ છે અને બે પ્લેન એકબીજાની સમાંતર છે (પરંતુ પ્રિઝમેટિક સપાટીની કિનારીઓ સાથે સમાંતર નથી)
આ છેલ્લા વિમાનોમાં પડેલા ચહેરાઓને કહેવામાં આવે છે પ્રિઝમ પાયા; પ્રિઝમેટિક સપાટી સાથે જોડાયેલા ચહેરા - બાજુના ચહેરા; પ્રિઝમેટિક સપાટીની કિનારીઓ - પ્રિઝમની બાજુની પાંસળી. અગાઉના પ્રમેયના આધારે, પ્રિઝમનો આધાર છે સમાન બહુકોણ. પ્રિઝમના તમામ બાજુના ચહેરાઓ - સમાંતરગ્રામ; બધી બાજુની પાંસળીઓ એકબીજાની સમાન છે.
દેખીતી રીતે, જો પ્રિઝમ ABCDE નો આધાર અને એક ધાર AA" માપ અને દિશામાં આપવામાં આવે, તો ધાર AA" ની સમાન અને સમાંતર ધાર BB", CC" દોરીને પ્રિઝમ બાંધવું શક્ય છે" .

વ્યાખ્યા 4 . પ્રિઝમની ઊંચાઈ એ તેના પાયા (HH") ના વિમાનો વચ્ચેનું અંતર છે.

વ્યાખ્યા 5 . પ્રિઝમને સીધો કહેવામાં આવે છે જો તેના પાયા પ્રિઝમેટિક સપાટીના લંબ વિભાગો હોય. આ કિસ્સામાં, પ્રિઝમની ઊંચાઈ, અલબત્ત, તેની છે બાજુની પાંસળી; બાજુની કિનારીઓ હશે લંબચોરસ.
પ્રિઝમ્સને તેના આધાર તરીકે સેવા આપતા બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા જેટલી બાજુના ચહેરાઓની સંખ્યા અનુસાર વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. આમ, પ્રિઝમ ત્રિકોણાકાર, ચતુષ્કોણીય, પંચકોણીય, વગેરે હોઈ શકે છે.

પ્રમેય 2 . પ્રિઝમની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર બાજુની ધારના ઉત્પાદન અને કાટખૂણે વિભાગની પરિમિતિ જેટલો છે.
ABCDEA"B"C"D"E" ને આપેલ પ્રિઝમ તરીકે અને તેના લંબ વિભાગને abcde કરવા દો, જેથી વિભાગો ab, bc, .. તેની બાજુની કિનારીઓ પર લંબરૂપ હોય. ચહેરો ABA"B" એક સમાંતર ચતુષ્કોણ છે; તેનો વિસ્તાર એબી સાથે એકરુપ હોય તેવી ઊંચાઈ સુધી બેઝ AA "ના ઉત્પાદનની બરાબર છે; ચહેરાનું ક્ષેત્રફળ ВСВ "С" ઊંચાઈ bc, વગેરે દ્વારા આધાર ВВ" ના ગુણાંક જેટલું છે. પરિણામે, બાજુની સપાટી (એટલે ​​કે બાજુના ચહેરાના વિસ્તારોનો સરવાળો) ઉત્પાદનની બરાબર છે. બાજુની ધારની, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ab+bc+cd+de+ea ની રકમ માટે AA", ВВ", .. વિભાગોની કુલ લંબાઈ.