1. રેન્ક મેટ્રિક્સ આપવા દો. ચાલો આ મેટ્રિક્સના અનુગામી મુખ્ય સગીરો માટે નીચે આપેલા સંકેતો રજૂ કરીએ:

.

ચાલો ધારીએ કે ગૌસીયન અલ્ગોરિધમની શક્યતા માટેની શરતો ધરાવે છે:

ચાલો ગુણાંકના મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણોની સિસ્ટમ (18) દર્શાવીએ, જેમાં સમીકરણોની સિસ્ટમ ઓછી થાય છે.

ગૌસીયન દૂર કરવાની પદ્ધતિ. મેટ્રિક્સમાં ઉપલા ત્રિકોણાકાર આકાર હોય છે, અને તેની પ્રથમ પંક્તિઓના ઘટકો સૂત્રો (13) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, અને છેલ્લી પંક્તિઓના ઘટકો શૂન્યની સમાન હોય છે:

.

મેટ્રિક્સથી મેટ્રિક્સમાં સંક્રમણ નીચેના પ્રકારનાં ઓપરેશન્સની ચોક્કસ સંખ્યાનો ઉપયોગ કરીને પૂર્ણ કરવામાં આવ્યું હતું: મેટ્રિક્સની મી પંક્તિ મી પંક્તિમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, અગાઉ ચોક્કસ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો. આ ક્રિયા મેટ્રિક્સ દ્વારા ડાબી બાજુએ રૂપાંતરિત થતા મેટ્રિક્સને ગુણાકાર કરવા સમાન છે

. (31)

આ મેટ્રિક્સમાં, મુખ્ય કર્ણ સમાયેલ છે, અને તત્વના અપવાદ સાથે, અન્ય તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન છે.

આમ

,

જ્યાં દરેક મેટ્રિસીસનું સ્વરૂપ (31) હોય છે અને તેથી, 1 ની સમાન કર્ણ તત્વો સાથેનું નીચલું ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ છે.

. (32)

ગૌસિયન એલિમિનેશન પદ્ધતિમાં મેટ્રિક્સ માટે મેટ્રિક્સને ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવશે. બંને મેટ્રિક્સ, અને , મેટ્રિક્સનો ઉલ્લેખ કરીને અનન્ય રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. (32) માંથી તે અનુસરે છે કે જે 1 ની બરાબર કર્ણ તત્વો સાથેનું નીચલું ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ છે (જુઓ પૃષ્ઠ 28).

બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ હોવાથી, પછી (33) માંથી આપણે શોધીએ છીએ:

અમે મેટ્રિક્સને નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ અને ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કર્યું. આ પ્રકારના મેટ્રિક્સને ફેક્ટર કરવાનો પ્રશ્ન નીચેના પ્રમેય દ્વારા સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ થાય છે:

પ્રમેય 1. ક્રમનું કોઈપણ મેટ્રિક્સ, જેમાં પ્રથમ સળંગ આંખના સગીરો શૂન્ય નથી,

, (34)

નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ અને ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે

. (35)

મેટ્રિસિસના પ્રથમ કર્ણ તત્વો અને શરતોને સંતોષતા મનસ્વી મૂલ્યો આપી શકાય છે (36).

મેટ્રિક્સના પ્રથમ કર્ણ તત્વોનો ઉલ્લેખ કરવો અને મેટ્રિક્સના પ્રથમ કૉલમ અને મેટ્રિક્સની પ્રથમ r પંક્તિઓના ઘટકોને વિશિષ્ટ રીતે નિર્ધારિત કરે છે. આ તત્વો માટે નીચેના સૂત્રો લાગુ પડે છે:

, (37)

મેટ્રિક્સની છેલ્લી સ્તંભોના કિસ્સામાં, તમે બધા તત્વોને અલગ-અલગ શૂન્ય પર સેટ કરી શકો છો, અને મેટ્રિક્સની છેલ્લી પંક્તિઓમાં બધા ઘટકોને મનસ્વી મૂલ્યો આપો, અથવા તેનાથી વિપરીત, મેટ્રિક્સની છેલ્લી પંક્તિઓ શૂન્ય સાથે ભરો, અને મેટ્રિક્સની છેલ્લી કૉલમ આર્બિટરી લો.

પુરાવો. ઉત્પાદન (35) તરીકે મેટ્રિક્સ સંતોષકારક સ્થિતિ (34) રજૂ કરવાની શક્યતા ઉપર સાબિત થઈ હતી [જુઓ (33")]

હવે ચાલો અને મનસ્વી નિમ્ન અને ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસ જેનું ઉત્પાદન બરાબર છે. બે મેટ્રિસિસના ઉત્પાદનના સગીરો માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમે શોધીએ છીએ:

ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ હોવાથી, મેટ્રિક્સના પ્રથમ સ્તંભોમાં માત્ર એક જ બિન-શૂન્ય લઘુ ક્રમ હોય છે . તેથી, સમાનતા (38) નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

ચાલો તેને પહેલા અહીં મુકીએ. પછી આપણને મળે છે:

જેમાંથી સંબંધો (36) પહેલાથી જ અનુસરે છે.

અસમાનતા (35) નું ઉલ્લંઘન કર્યા વિના, અમે જમણી બાજુના મેટ્રિક્સને મનસ્વી વિશિષ્ટ વિકર્ણ મેટ્રિક્સ વડે ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ, જ્યારે એક સાથે ડાબી બાજુના મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ. . આ મેટ્રિક્સના સ્તંભોને અનુક્રમે અને મેટ્રિક્સની પંક્તિઓને આના દ્વારા ગુણાકાર કરવા સમાન છે . તેથી, કર્ણ તત્વો , , કોઈપણ મૂલ્યો આપી શકાય છે જે શરતોને સંતોષે છે (36).

,

એટલે કે, પ્રથમ સૂત્રો (37). મેટ્રિક્સના તત્વો માટે બીજા સૂત્રો (37) સંપૂર્ણપણે સમાન રીતે સ્થાપિત થયેલ છે.

ચાલો આપણે એ હકીકત પર ધ્યાન આપીએ કે મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરતી વખતે, મેટ્રિક્સના છેલ્લા કૉલમના ઘટકો અને મેટ્રિક્સની છેલ્લી પંક્તિઓના ઘટકો બંને એકબીજા સાથે ગુણાકાર થાય છે. આપણે જોયું છે કે મેટ્રિક્સની છેલ્લી પંક્તિઓના તમામ ઘટકોને શૂન્ય તરીકે પસંદ કરી શકાય છે. પછી મેટ્રિક્સના છેલ્લા કૉલમના ઘટકો મનસ્વી રીતે પસંદ કરી શકાય છે. તે સ્પષ્ટ છે કે જો આપણે મેટ્રિક્સની છેલ્લી સ્તંભોને શૂન્ય અને મેટ્રિક્સની છેલ્લી પંક્તિઓના ઘટકોને મનસ્વી તરીકે લઈએ તો મેટ્રિક્સનું ઉત્પાદન બદલાશે નહીં.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

સાબિત પ્રમેયમાંથી સંખ્યાબંધ રસપ્રદ પરિણામો આવે છે.

કોરોલરી 1. મેટ્રિક્સના પ્રથમ સ્તંભોના ઘટકો અને મેટ્રિક્સની પ્રથમ પંક્તિઓ પુનરાવર્તિત સંબંધો દ્વારા મેટ્રિક્સના ઘટકો સાથે સંબંધિત છે:

(41)

સંબંધો (41) મેટ્રિક્સ સમાનતા (35) થી સીધા જ અનુસરે છે;

કોરોલરી 2. જો બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ સંતોષકારક સ્થિતિ છે (34), તો પછી પ્રતિનિધિત્વમાં (35) મેટ્રિસિસ અને આ મેટ્રિસિસના કર્ણ તત્વોને શરતો (36) અનુસાર પસંદ કરવામાં આવે કે તરત જ વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે.

કોરોલરી 3. જો રેન્કનું સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ છે અને

,

નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ ક્યાં છે જેમાં

2. રજૂ કરીએ (35) મેટ્રિક્સમાં શૂન્યની બરાબર છેલ્લી કૉલમના ઘટકો છે. પછી તમે મૂકી શકો છો:

, , (43)

જ્યાં નીચલું છે અને ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ છે; તદુપરાંત, મેટ્રિક્સના પ્રથમ કર્ણ તત્વો અને 1 ની બરાબર છે, અને મેટ્રિક્સના છેલ્લા કૉલમ અને મેટ્રિક્સની છેલ્લી પંક્તિઓના ઘટકો સંપૂર્ણપણે મનસ્વી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. (35) અભિવ્યક્તિઓ (43) માટે અને સમાનતા (36) નો ઉપયોગ કરીને, અમે નીચેના પ્રમેય પર પહોંચીએ છીએ:

પ્રમેય 2. રેન્કનું કોઈપણ મેટ્રિક્સ જેના માટે

,

ચાલો તેને નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ, વિકર્ણ મેટ્રિક્સ અને ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરીએ:

(44)

, (45)

a , માટે મનસ્વી છે; .

3. ગૌસિયન દૂર કરવાની પદ્ધતિ, જેના માટે રેન્ક મેટ્રિક્સ પર લાગુ કરવામાં આવી રહી છે , અમને બે મેટ્રિસિસ આપે છે: 1 ના ત્રાંસા તત્વો સાથેનું નીચલું ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ અને ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ જેના પ્રથમ કર્ણ તત્વો સમાન છે , અને છેલ્લી લીટીઓ શૂન્યથી ભરેલી છે. - મેટ્રિક્સનું ગૌસીયન સ્વરૂપ, - ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ.

મેટ્રિક્સ તત્વોની ચોક્કસ ગણતરી માટે, નીચેની તકનીકની ભલામણ કરી શકાય છે.

જો અમે ગૌસ અલ્ગોરિધમમાં મેટ્રિક્સ પર કરેલા તમામ રૂપાંતરણો (મેટ્રિક્સ દ્વારા નિર્દિષ્ટ) ઓળખ મેટ્રિક્સ પર લાગુ કરીએ તો અમે મેટ્રિક્સ મેળવીશું (આ કિસ્સામાં, સમાન ઉત્પાદનને બદલે, અમારી પાસે સમાન ઉત્પાદન હશે) . તેથી, અમે જમણી બાજુના મેટ્રિક્સને ઓળખ મેટ્રિક્સ અસાઇન કરીએ છીએ:

. (46)

આ લંબચોરસ મેટ્રિક્સમાં ગૌસીયન અલ્ગોરિધમના તમામ રૂપાંતરણોને લાગુ કરીને, અમે બે ચોરસ મેટ્રિક્સ ધરાવતા લંબચોરસ મેટ્રિક્સ મેળવીએ છીએ અને:

આમ, મેટ્રિક્સ (46) પર ગૌસીયન અલ્ગોરિધમ લાગુ કરવાથી મેટ્રિક્સ અને મેટ્રિક્સ બંને મળે છે.

જો બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ છે, એટલે કે, પછી અને . આ કિસ્સામાં, તે (33) થી અનુસરે છે. મેટ્રિક્સને ગૌસ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તેથી વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવાથી નિર્ધારિત અને ગુણાકારમાં ઘટાડો થાય છે, એટલે કે, મેટ્રિક્સના કૉલમ, મેટ્રિક્સ સાથે એકરુપ થાય છે, અને મેટ્રિક્સ મેટ્રિક્સ સાથે એકરુપ થાય છે, અને તેથી સૂત્રો ( 53) અને (54) ફોર્મ લે છે

આ વિષયમાં આપણે મેટ્રિક્સની વિભાવના, તેમજ મેટ્રિસિસના પ્રકારો પર વિચાર કરીશું. આ વિષયમાં ઘણી બધી શરતો હોવાથી, સામગ્રીને નેવિગેટ કરવાનું સરળ બનાવવા માટે હું સંક્ષિપ્ત સારાંશ ઉમેરીશ.

મેટ્રિક્સ અને તેના તત્વની વ્યાખ્યા. નોટેશન.

મેટ્રિક્સ$m$ પંક્તિઓ અને $n$ કૉલમનું કોષ્ટક છે. મેટ્રિક્સના ઘટકો સંપૂર્ણપણે અલગ પ્રકૃતિના પદાર્થો હોઈ શકે છે: સંખ્યાઓ, ચલો અથવા, ઉદાહરણ તરીકે, અન્ય મેટ્રિસિસ. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ માં 3 પંક્તિઓ અને 2 કૉલમ છે; તેના તત્વો પૂર્ણાંકો છે. મેટ્રિક્સ $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(એરે) \right)$ 2 પંક્તિઓ અને 4 કૉલમ સમાવે છે.

મેટ્રિસિસ લખવાની વિવિધ રીતો: બતાવો\ છુપાવો

મેટ્રિક્સ ફક્ત રાઉન્ડમાં જ નહીં, પણ ચોરસ અથવા ડબલ સીધા કૌંસમાં પણ લખી શકાય છે. એટલે કે, નીચેની એન્ટ્રીઓનો અર્થ સમાન મેટ્રિક્સ છે:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(એરે) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(એરે) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

ઉત્પાદન $m\times n$ કહેવાય છે મેટ્રિક્સ કદ. ઉદાહરણ તરીકે, જો મેટ્રિક્સમાં 5 પંક્તિઓ અને 3 કૉલમ હોય, તો અમે $5\ગુણા 3$ના કદના મેટ્રિક્સ વિશે વાત કરીએ છીએ. મેટ્રિક્સ $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ નું કદ $3 \times 2$ છે.

સામાન્ય રીતે, મેટ્રિસિસ લેટિન મૂળાક્ષરોના મોટા અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે: $A$, $B$, $C$ અને તેથી વધુ. ઉદાહરણ તરીકે, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. લાઇન નંબરિંગ ઉપરથી નીચે સુધી જાય છે; કૉલમ - ડાબેથી જમણે. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ $B$ની પ્રથમ પંક્તિમાં ઘટકો 5 અને 3 છે, અને બીજી કૉલમમાં ઘટકો 3, -87, 0 છે.

મેટ્રિસિસના ઘટકો સામાન્ય રીતે નાના અક્ષરોમાં સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ $A$ ના તત્વોને $a_(ij)$ દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે. ડબલ ઇન્ડેક્સ $ij$ મેટ્રિક્સમાં તત્વની સ્થિતિ વિશેની માહિતી ધરાવે છે. નંબર $i$ એ પંક્તિ નંબર છે, અને નંબર $j$ એ કૉલમ નંબર છે, જેના આંતરછેદ પર $a_(ij)$ તત્વ છે. ઉદાહરણ તરીકે, બીજી પંક્તિના આંતરછેદ પર અને મેટ્રિક્સ $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 ની પાંચમી કૉલમ & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ તત્વ $a_(25)= $59:

એ જ રીતે, પ્રથમ પંક્તિ અને પ્રથમ કૉલમના આંતરછેદ પર આપણી પાસે $a_(11)=51$; ત્રીજી પંક્તિ અને બીજી કૉલમના આંતરછેદ પર - તત્વ $a_(32)=-15$ અને તેથી વધુ. નોંધ કરો કે પ્રવેશ $a_(32)$ "એક ત્રણ બે" વાંચે છે, પરંતુ "એક બત્રીસ" નહીં.

મેટ્રિક્સ $A$ ને સંક્ષિપ્ત કરવા માટે, જેનું કદ $m\times n$ છે, $A_(m\times n)$ નો ઉપયોગ થાય છે. તમે તેને થોડી વધુ વિગતમાં લખી શકો છો:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

જ્યાં નોટેશન $(a_(ij))$ મેટ્રિક્સ $A$ ના તત્વો દર્શાવે છે. તેના સંપૂર્ણ વિસ્તૃત સ્વરૂપમાં, મેટ્રિક્સ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) અને a_(12) અને \ldots અને a_(1n) \\ a_(21) અને a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(એરે) \right) $$

ચાલો બીજો શબ્દ રજૂ કરીએ - સમાન મેટ્રિસિસ.

સમાન કદના બે મેટ્રિસિસ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ અને $B_(m\times n)=(b_(ij))$ કહેવાય છે સમાન, જો તેમના અનુરૂપ તત્વો સમાન હોય, એટલે કે. $a_(ij)=b_(ij)$ બધા $i=\overline(1,m)$ અને $j=\overline(1,n)$ માટે.

પ્રવેશ માટે સમજૂતી $i=\overline(1,m)$: show\hide

નોટેશન "$i=\overline(1,m)$" નો અર્થ છે કે પરિમાણ $i$ 1 થી m સુધી બદલાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રવેશ $i=\overline(1,5)$ સૂચવે છે કે પરિમાણ $i$ મૂલ્યો 1, 2, 3, 4, 5 લે છે.

તેથી, મેટ્રિસિસ સમાન બનવા માટે, બે શરતો પૂરી કરવી આવશ્યક છે: કદનો સંયોગ અને સંબંધિત તત્વોની સમાનતા. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ મેટ્રિક્સની બરાબર નથી $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ કારણ કે મેટ્રિક્સ $A$ નું કદ $3\times 2$ અને મેટ્રિક્સ $B$ છે કદ $2\ગુણા $2 ધરાવે છે. ઉપરાંત, મેટ્રિક્સ $A$ એ મેટ્રિક્સ $C=\left(\begin(array)(cc) 5 અને 3\\98 & -87\\8 & ​​0\end(એરે)\right)$ સમાન નથી , ત્યારથી $a_( 21)\neq c_(21)$ (એટલે ​​​​કે $0\neq 98$). પરંતુ મેટ્રિક્સ $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ માટે આપણે સુરક્ષિત રીતે $A= લખી શકીએ છીએ. F$ કારણ કે $A$ અને $F$ બંને માપો અને મેટ્રિસીસના અનુરૂપ ઘટકો એકરૂપ થાય છે.

ઉદાહરણ નંબર 1

મેટ્રિક્સનું માપ નક્કી કરો $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(એરે) \right)$. $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ કયા તત્વો સમાન છે તે દર્શાવો.

આ મેટ્રિક્સમાં 5 પંક્તિઓ અને 3 કૉલમ છે, તેથી તેનું કદ $5\ગુણા 3$ છે. તમે આ મેટ્રિક્સ માટે $A_(5\times 3)$ નો ઉપયોગ પણ કરી શકો છો.

તત્વ $a_(12)$ એ પ્રથમ પંક્તિ અને બીજી કૉલમના આંતરછેદ પર છે, તેથી $a_(12)=-2$. તત્વ $a_(33)$ એ ત્રીજી પંક્તિ અને ત્રીજી કૉલમના આંતરછેદ પર છે, તેથી $a_(33)=23$. તત્વ $a_(43)$ ચોથી પંક્તિ અને ત્રીજા કૉલમના આંતરછેદ પર છે, તેથી $a_(43)=-5$.

જવાબ આપો: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

તેમના કદના આધારે મેટ્રિસિસના પ્રકાર. મુખ્ય અને ગૌણ કર્ણ. મેટ્રિક્સ ટ્રેસ.

ચોક્કસ મેટ્રિક્સ $A_(m\times n)$ આપવા દો. જો $m=1$ (મેટ્રિક્સ એક પંક્તિ ધરાવે છે), તો આપેલ મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે મેટ્રિક્સ-પંક્તિ. જો $n=1$ (મેટ્રિક્સમાં એક કૉલમ હોય છે), તો આવા મેટ્રિક્સને કહેવામાં આવે છે મેટ્રિક્સ-સ્તંભ. ઉદાહરણ તરીકે, $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(એરે) \right)$ એ પંક્તિ મેટ્રિક્સ છે, અને $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(એરે) \right)$ એ કૉલમ મેટ્રિક્સ છે.

જો મેટ્રિક્સ $A_(m\times n)$ એ $m\neq n$ (એટલે ​​​​કે, પંક્તિઓની સંખ્યા કૉલમની સંખ્યા જેટલી નથી) ની સ્થિતિને સંતોષે છે, તો તે ઘણીવાર કહેવાય છે કે $A$ એક લંબચોરસ છે મેટ્રિક્સ ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ નું કદ $2\times 4 છે $, તે. 2 પંક્તિઓ અને 4 કૉલમ સમાવે છે. પંક્તિઓની સંખ્યા કૉલમની સંખ્યા જેટલી ન હોવાથી, આ મેટ્રિક્સ લંબચોરસ છે.

જો મેટ્રિક્સ $A_(m\times n)$ $m=n$ (એટલે ​​​​કે, પંક્તિઓની સંખ્યા કૉલમની સંખ્યા જેટલી હોય) ની સ્થિતિને સંતોષે છે, તો $A$ એ $ નું ચોરસ મેટ્રિક્સ હોવાનું કહેવાય છે. n$. ઉદાહરણ તરીકે, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ એ બીજા-ક્રમનું ચોરસ મેટ્રિક્સ છે; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ એ ત્રીજા ક્રમનું ચોરસ મેટ્રિક્સ છે. સામાન્ય રીતે, ચોરસ મેટ્રિક્સ $A_(n\times n)$ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) અને a_(12) અને \ldots & a_(1n) \\ a_(21) અને a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(એરે) \right) $$

તત્વો $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ ચાલુ હોવાનું કહેવાય છે મુખ્ય કર્ણમેટ્રિસિસ $A_(n\times n)$. આ તત્વો કહેવામાં આવે છે મુખ્ય કર્ણ તત્વો(અથવા માત્ર કર્ણ તત્વો). $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ ચાલુ છે બાજુ (નાની) કર્ણ; તેઓ કહેવામાં આવે છે બાજુના કર્ણ તત્વો. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( એરે) \right)$ અમારી પાસે છે:

$c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ એ મુખ્ય કર્ણ તત્વો છે; તત્વો $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ એ બાજુના કર્ણ તત્વો છે.

મુખ્ય કર્ણ તત્વોનો સરવાળો કહેવાય છે મેટ્રિક્સ દ્વારા અનુસરવામાં આવે છેઅને $\Tr A$ (અથવા $\Sp A$) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે:

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 અને -9 અને 5 અને 6 \end(એરે)\right)$ અમારી પાસે છે:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

વિકર્ણ તત્વોની વિભાવનાનો ઉપયોગ નોન-સ્ક્વેર મેટ્રિસિસ માટે પણ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ $B=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(એરે) \right)$ મુખ્ય કર્ણ તત્વો $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$ હશે.

તેમના તત્વોના મૂલ્યોના આધારે મેટ્રિસિસના પ્રકાર.

જો મેટ્રિક્સ $A_(m\times n)$ ના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય, તો આવા મેટ્રિક્સને કહેવામાં આવે છે નલઅને સામાન્ય રીતે $O$ અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 અને 0 અને 0 \\ 0 અને 0 અને 0 \\ 0 અને 0 અને 0 \end(એરે) \right)$ - શૂન્ય મેટ્રિસિસ.

મેટ્રિક્સ $A_(m\times n)$ ને નીચેનું સ્વરૂપ રહેવા દો:

પછી આ મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે ટ્રેપેઝોઇડલ. તેમાં શૂન્ય પંક્તિઓ ન હોઈ શકે, પરંતુ જો તે અસ્તિત્વમાં છે, તો તે મેટ્રિક્સના તળિયે સ્થિત છે. વધુ સામાન્ય સ્વરૂપમાં, ટ્રેપેઝોઇડલ મેટ્રિક્સ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

ફરીથી, પાછળની નલ રેખાઓ જરૂરી નથી. તે. ઔપચારિક રીતે, અમે ટ્રેપેઝોઇડલ મેટ્રિક્સ માટે નીચેની શરતોને અલગ પાડી શકીએ છીએ:

1. મુખ્ય કર્ણની નીચેના બધા તત્વો શૂન્ય છે.
2. મુખ્ય કર્ણ પર પડેલા $a_(11)$ થી $a_(rr)$ સુધીના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન નથી: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
3. કાં તો છેલ્લી $m-r$ પંક્તિઓના તમામ ઘટકો શૂન્ય છે અથવા $m=r$ (એટલે ​​કે ત્યાં કોઈ શૂન્ય પંક્તિઓ નથી).

ટ્રેપેઝોઇડલ મેટ્રિસિસના ઉદાહરણો:

ચાલો આગળની વ્યાખ્યા તરફ આગળ વધીએ. મેટ્રિક્સ $A_(m\times n)$ કહેવાય છે પગલું ભર્યું, જો તે નીચેની શરતોને સંતોષે છે:

ઉદાહરણ તરીકે, સ્ટેપ મેટ્રિસિસ આ હશે:

સરખામણી માટે, મેટ્રિક્સ $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 અને 0 \end(એરે)\right)$ એ એકેલન નથી કારણ કે ત્રીજી પંક્તિમાં બીજી પંક્તિ જેટલો જ શૂન્ય ભાગ છે. એટલે કે, સિદ્ધાંત "નીચી રેખા, શૂન્ય ભાગ મોટો" નું ઉલ્લંઘન થાય છે. હું ઉમેરીશ કે ટ્રેપેઝોઇડલ મેટ્રિક્સ એ સ્ટેપ્ડ મેટ્રિક્સનો વિશેષ કેસ છે.

ચાલો આગળની વ્યાખ્યા તરફ આગળ વધીએ. જો મુખ્ય કર્ણની નીચે સ્થિત ચોરસ મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય, તો આવા મેટ્રિક્સને કહેવામાં આવે છે. ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ. ઉદાહરણ તરીકે, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(એરે) \right)$ એ ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ છે. નોંધ કરો કે ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યા મુખ્ય કર્ણની ઉપર અથવા મુખ્ય કર્ણ પર સ્થિત તત્વોના મૂલ્યો વિશે કશું કહેતી નથી. તેઓ શૂન્ય હોઈ શકે છે કે નહીં - તે કોઈ વાંધો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(એરે) \right)$ એ પણ ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ છે.

જો મુખ્ય કર્ણની ઉપર સ્થિત ચોરસ મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય, તો આવા મેટ્રિક્સને કહેવામાં આવે છે. નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ. ઉદાહરણ તરીકે, $\left(\begin(array) (cccc) 3 અને 0 અને 0 અને 0 \\ -5 અને 1 અને 0 અને 0 \\ 8 અને 2 અને 1 અને 0 \\ 5 અને 4 અને 0 અને 6 \ end(એરે) \right)$ - નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ. નોંધ કરો કે નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યા મુખ્ય કર્ણની નીચે અથવા તેના પર સ્થિત તત્વોના મૂલ્યો વિશે કશું કહેતી નથી. તેઓ શૂન્ય હોઈ શકે છે કે નહીં - તે કોઈ વાંધો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(એરે) \right)$ અને $\left(\ બિગિન (એરે) (સીસીસી) 0 અને 0 અને 0 \\ 0 અને 0 અને 0\\ 0 અને 0 અને 0 \ એન્ડ(એરે) \right)$ પણ નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસ છે.

ચોરસ મેટ્રિક્સ કહેવાય છે કર્ણ, જો આ મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો જે મુખ્ય કર્ણ પર આવેલા નથી તે શૂન્ય સમાન છે. ઉદાહરણ: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ અંત(એરે)\જમણે)$. મુખ્ય કર્ણ પરના તત્વો કંઈપણ હોઈ શકે છે (શૂન્યની બરાબર છે કે નહીં) - તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી.

વિકર્ણ મેટ્રિક્સ કહેવાય છે એકલ, જો મુખ્ય કર્ણ પર સ્થિત આ મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો 1 ની બરાબર હોય. ઉદાહરણ તરીકે, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(એરે)\right)$ - ચોથા ક્રમની ઓળખ મેટ્રિક્સ; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ એ બીજા ક્રમની ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસ અને લાક્ષણિક સમીકરણ

એક ચોરસ મેટ્રિક્સ જેમાં મુખ્ય કર્ણની નીચે અથવા ઉપર સ્થિત તમામ તત્વો શૂન્ય સમાન હોય તેને ત્રિકોણાકાર કહેવામાં આવે છે. ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ ઉપલા અને નીચલા માળખું હોઈ શકે છે. ઉપલા અને નીચલા સ્વરૂપો અનુક્રમે છે:

, .

ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસમાં સંખ્યાબંધ વ્યવહારિક રીતે મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો છે:

1) ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક તેના ત્રાંસા તત્વોના ઉત્પાદન સમાન છે:

તેથી, ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ માત્ર ત્યારે જ બિન-એકવચન છે જ્યારે તેના મુખ્ય કર્ણના તમામ ઘટકો બિન-શૂન્ય હોય.

2) સમાન બંધારણના ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો સરવાળો અને ઉત્પાદન એ સમાન બંધારણનું ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ પણ છે.

3) એક અવિભાજ્ય ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ આસાનીથી ઊંધી થઈ જાય છે, અને તેના વ્યસ્ત મેટ્રિક્સમાં ફરીથી સમાન બંધારણનું ત્રિકોણાકાર માળખું હોય છે.

4) કોઈપણ બિન-એકવચન મેટ્રિક્સને ફક્ત પંક્તિઓ પર અથવા ફક્ત કૉલમ પર પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સમાં ઘટાડી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સ્થિરતા સિદ્ધાંતમાં જાણીતા હર્વિટ્ઝ મેટ્રિક્સને ધ્યાનમાં લો

.

ઉપલા ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં જવા માટે, અમે નીચેના પ્રાથમિક પરિવર્તનો કરીએ છીએ. બીજી લીટીના દરેક ઘટકમાંથી, તેની ઉપરની પ્રથમ લીટીના તત્વને બાદ કરો, અગાઉ . વડે ગુણાકાર કરેલ. એલિમેન્ટ્સ સાથે સ્ટ્રિંગને બદલે, અમને એલિમેન્ટ્સ સાથે સ્ટ્રિંગ મળે છે જ્યાં , , , ... વગેરે.

ચાલો બાકીની અંતર્ગત લીટીઓમાં સમાન ક્રિયાઓ કરીએ. પછી આપણે રૂપાંતરિત મેટ્રિક્સની ત્રીજી પંક્તિના દરેક ઘટકમાંથી તેની ઉપરના પંક્તિના ઘટકોને બાદ કરીએ છીએ, , વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને બાકીની પંક્તિઓમાં સમાન ક્રિયાઓનું પુનરાવર્તન કરીએ છીએ. અમે આ પ્રક્રિયા અનુસાર પ્રક્રિયા ચાલુ રાખીએ છીએ જ્યાં સુધી mth સ્ટેપ પર આપણને ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ ન મળે

.

આવા પરિવર્તનો અનિવાર્યપણે જમણી બાજુના (અથવા ડાબે) મેટ્રિક્સને કેટલાક અન્ય સહાયક મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર કરવા સમાન છે.

હર્વિટ્ઝ મેટ્રિક્સનું નિર્ધારક

.

બે ત્રિકોણાકાર રાશિઓના ઉત્પાદનમાં કોઈપણ ચોરસ મેટ્રિક્સના વિઘટન વિશે એક પ્રમેય છે. આ પ્રમેય મુજબ, કોઈપણ ચોરસ મેટ્રિક્સને નીચલા અને ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:

,

પૂરી પાડવામાં આવેલ છે કે તેના કર્ણ સગીર બિન-શૂન્ય છે:

, , .

આ વિઘટન અનન્ય છે જો આપણે ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસમાંથી એકના ત્રાંસા તત્વોને ઠીક કરીએ (ઉદાહરણ તરીકે, તેમને એક સમાન સેટ કરો). કોઈપણ ચોરસ મેટ્રિક્સનું નિર્ધારિત ત્રાંસા તત્વો સાથેના બે ત્રિકોણાકારના ઉત્પાદનમાં વિઘટનનો વ્યાપકપણે કોમ્પ્યુટેશનલ પદ્ધતિઓમાં ઉપયોગ થાય છે જ્યારે કમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં આવે છે.

બે ત્રિકોણાકાર રાશિઓના ઉત્પાદન તરીકે મેટ્રિક્સની અનન્ય રજૂઆતને સેલ્યુલર મેટ્રિસિસમાં સામાન્ય કરી શકાય છે. આવા મેટ્રિસિસમાં, તત્વો પોતે મેટ્રિસિસ છે. આ કિસ્સામાં, મેટ્રિક્સને નીચલા અને ઉપલા અર્ધ-ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસના ઉત્પાદનમાં વિઘટિત કરી શકાય છે.

અર્ધ-ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક તેના વિકર્ણ કોષોના ઉત્પાદન સમાન છે.

વિકર્ણ મેટ્રિસિસથી વિપરીત, ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસના ગુણાકારની ક્રિયા સામાન્ય રીતે વિનિમયાત્મક નથી.

કંટ્રોલ થિયરીની કોમ્પ્યુટેશનલ પદ્ધતિઓમાં, માત્ર ત્રિકોણાકાર જ નહીં, પણ કહેવાતા લગભગ ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસ પણ નોંધપાત્ર ભૂમિકા ભજવે છે. ઘણી પદ્ધતિઓ મેટ્રિક્સ વિઘટનનો ઉપયોગ બે મેટ્રિસિસના ઉત્પાદન તરીકે કરે છે, જેમાંથી એક ત્રિકોણાકાર માળખું ધરાવે છે. મેટ્રિક્સ A ને જમણે (ડાબે) લગભગ ત્રિકોણાકાર અથવા હેસેનબર્ગ મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે જો તેના તત્વો નીચેના સંબંધોને સંતોષે છે:

ઉદાહરણ તરીકે, પરિમાણ (4x4) ના જમણા લગભગ ત્રિકોણાકાર આકારના હેસનબર્ગ મેટ્રિક્સનું સ્વરૂપ છે

ચાલો વિચારણા હેઠળના મેટ્રિસિસની ઉપયોગી સુવિધાઓની નોંધ લઈએ, જેનો ઉપયોગ કોમ્પ્યુટેશનલ પદ્ધતિઓમાં થાય છે:

a) સમાન બંધારણના લગભગ ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો સરવાળો સમાન બંધારણનું ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ હશે, પરંતુ ઉત્પાદન નહીં;

b) લગભગ ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સના લાક્ષણિક બહુપદીનું નિર્માણ આર્થિક છે, કારણ કે તેને મનસ્વી મેટ્રિક્સ આકાર કરતાં ઘણી ઓછી ગણતરીની જરૂર છે. ગુણાકારની ક્રિયાઓની સંખ્યા છે , ઉમેરાઓ - ;

c) લગભગ ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સને બે ત્રિકોણાકાર રાશિઓના ઉત્પાદનમાં વિઘટિત કરી શકાય છે, અને વિઘટનમાં મેટ્રિક્સમાંથી એકનું માળખું સરળ હશે, એટલે કે, તે દ્વિકોણીય હશે.

કોમ્પ્યુટર-સહાયિત ડિઝાઇન સિસ્ટમ્સમાં જડિત આધુનિક ઇજનેરી પદ્ધતિઓમાં, મેટ્રિસિસનું ગુણાકાર પ્રતિનિધિત્વ, ઉદાહરણ તરીકે, QR પ્રતિનિધિત્વ, વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. તેનો સાર એ છે કે કોઈપણ ચોરસ મેટ્રિક્સ A ને ઓર્થોગોનલ અને લગભગ ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપોના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

અથવા , (4.4)

જ્યાં Q એ ઓર્થોગોનલ મેટ્રિક્સ છે; આર - જમણે (ઉપલા) ત્રિકોણાકાર આકાર; L એ મેટ્રિક્સનો ડાબો (નીચે) ત્રિકોણાકાર આકાર છે.

પ્રતિનિધિત્વ (4.4) ને QR-વિઘટન કહેવામાં આવે છે (નીચા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સના કિસ્સામાં, QL-વિઘટન) અને મેટ્રિક્સ A માટે અનન્ય છે.

QR અને QL અલ્ગોરિધમ્સ મૂળભૂત રીતે થોડો અલગ છે. તેમનો ઉપયોગ મેટ્રિક્સ તત્વો કેવી રીતે ગોઠવાય છે તેના પર આધાર રાખે છે. જો તેઓ નીચલા જમણા ખૂણામાં કેન્દ્રિત હોય, તો QL અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરવો વધુ અસરકારક છે. જો મેટ્રિક્સ તત્વો ઉપલા ડાબા ભાગમાં કેન્દ્રિત હોય, તો QR અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરવો વધુ યોગ્ય છે. જો કોમ્પ્યુટર પર યોગ્ય રીતે લાગુ કરવામાં આવે તો, ઘણા કિસ્સાઓમાં રાઉન્ડિંગ ભૂલો ગણતરીની ચોકસાઈ પર મોટી અસર કરતી નથી.

જેમાં મુખ્ય કર્ણની નીચેના તમામ તત્વો શૂન્ય સમાન છે.

નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ- એક ચોરસ મેટ્રિક્સ જેમાં મુખ્ય કર્ણની ઉપરના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય છે.

એક ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ(ઉપલા અથવા નીચલા) - એક ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ જેમાં મુખ્ય કર્ણ પરના તમામ ઘટકો એક સમાન હોય છે.

ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે સમીકરણોની રેખીય પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટે થાય છે, જ્યારે નીચેના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમના મેટ્રિક્સને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે:

ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ (વિપરીત) સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી મુશ્કેલ નથી.

ગુણધર્મો

• ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક તેના મુખ્ય કર્ણ પરના તત્વોના ગુણાંક સમાન છે.
• એક ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક એક સમાન છે.
• ક્રમના બિન-એકવચન ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસનો સમૂહ nક્ષેત્રના તત્વો સાથે ગુણાકાર દ્વારા kએક જૂથ બનાવે છે જે સૂચિત છે યુટી(n, k) અથવા યુટી n (k).
• ક્રમના બિન-એકવચન નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસનો સમૂહ nક્ષેત્રના તત્વો સાથે ગુણાકાર દ્વારા kએક જૂથ બનાવે છે જે સૂચિત છે એલ.ટી(n, k) અથવા એલ.ટી n (k).
• ક્ષેત્રના તત્વો સાથે ઉપલા એકત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસનો સમૂહ kપેટાજૂથ બનાવે છે યુટી n (k) ગુણાકાર દ્વારા, જે સૂચવવામાં આવે છે એસયુટી(n, k) અથવા એસયુટી n (k). નીચલા એકકોણાકાર મેટ્રિસિસનું સમાન પેટાજૂથ સૂચવવામાં આવે છે SLT(n, k) અથવા SLT n (k).
• રીંગ k ના તત્વો સાથેના તમામ ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસીસનો સમૂહ સરવાળો, રીંગના તત્વો દ્વારા ગુણાકાર અને મેટ્રિક્સ ગુણાકારના સંદર્ભમાં બીજગણિત બનાવે છે. સમાન વિધાન નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસ માટે સાચું છે.
• સમૂહ યુટી એનઉકેલી શકાય તેવું છે, અને તેનું એકત્રિકોણાકાર પેટાજૂથ એસયુટી એનશૂન્ય

પણ જુઓ

વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન.

2010.

અન્ય શબ્દકોશોમાં "ત્રિકોણ મેટ્રિક્સ" શું છે તે જુઓ:ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ

- — ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ એક ચોરસ મેટ્રિક્સ જેમાં મુખ્ય કર્ણની નીચે અથવા તેની ઉપર સ્થિત તમામ તત્વો શૂન્ય (cf. ડાયગોનલ મેટ્રિક્સ) સમાન હોય છે. પ્રથમ કિસ્સામાં અમારી પાસે ... ...ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ

- એક ચોરસ મેટ્રિક્સ જેમાં મુખ્ય કર્ણની નીચે અથવા તેની ઉપર સ્થિત તમામ ઘટકો શૂન્ય (cf. ડાયગોનલ મેટ્રિક્સ) સમાન હોય છે. પ્રથમ કિસ્સામાં અમે ઉપલા T.m. બીજા નીચલા ભાગમાં... એક ચોરસ મેટ્રિક્સ જેમાં મુખ્ય કર્ણની નીચે (અથવા ઉપર) સ્થિત તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય છે. પ્રથમ કિસ્સામાં, મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ, બીજામાં નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ. T. m નો નિર્ણાયક તેના તમામ ગુણના સમાન છે.

ગાણિતિક જ્ઞાનકોશત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ MOB - ઉત્પાદન પ્રણાલીને અનુરૂપ ઇનપુટ-આઉટપુટ બેલેન્સ (IB) ગુણાંકનું મેટ્રિક્સ જેમાં કોઈપણ ઉત્પાદન તેના પોતાના ઉત્પાદનમાં અને પછીના કોઈપણ ઉત્પાદનમાં ખર્ચ કરી શકાય છે... ...

આર્થિક-ગાણિતિક શબ્દકોશત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ MOB - ઇનપુટ સંતુલન ગુણાંક (IBO) નું મેટ્રિક્સ, ઉત્પાદન પ્રણાલીને અનુરૂપ જેમાં કોઈપણ ઉત્પાદન તેના પોતાના ઉત્પાદનમાં અને તેને અનુસરતા કોઈપણ ઉત્પાદનના ઉત્પાદનમાં ખર્ચ કરી શકાય છે, પરંતુ નહીં... ...

ટેકનિકલ અનુવાદકની માર્ગદર્શિકા

ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ એ એક ચોરસ મેટ્રિક્સ છે જેમાં મુખ્ય કર્ણની નીચે અથવા ઉપરના તમામ ઘટકો શૂન્ય છે. ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનું ઉદાહરણ ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ એ એક ચોરસ મેટ્રિક્સ છે જેમાં મુખ્ય કર્ણની નીચેના બધા ઘટકો શૂન્ય છેત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સને અવરોધિત કરો - ઉત્પાદન પ્રણાલીને અનુરૂપ ઇનપુટ-આઉટપુટ બેલેન્સ (IB) ગુણાંકનું મેટ્રિક્સ જેમાં કોઈપણ ઉત્પાદન તેના પોતાના ઉત્પાદનમાં અને પછીના કોઈપણ ઉત્પાદનમાં ખર્ચ કરી શકાય છે... ...

- એક મેટ્રિક્સ છે જેને સબમેટ્રિસિસમાં એવી રીતે વિભાજિત કરી શકાય છે કે તેના "મુખ્ય કર્ણ" ની એક બાજુ પર, સબમેટ્રિસિસથી બનેલા, ત્યાં શૂન્ય છે. બ્લોક ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસના ઉદાહરણોમાં સમાવેશ થાય છે... ...- એક મેટ્રિક્સ કે જેને સબમેટ્રિસિસમાં એવી રીતે વિભાજિત કરી શકાય છે કે તેના "મુખ્ય કર્ણ" ની એક બાજુ પર, સબમેટ્રિસિસથી બનેલા, ત્યાં શૂન્ય છે. બ્લોક ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સના ઉદાહરણો ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ અને બ્લોક કર્ણ મેટ્રિક્સ છે... - ઇનપુટ સંતુલન ગુણાંક (IBO) નું મેટ્રિક્સ, ઉત્પાદન પ્રણાલીને અનુરૂપ જેમાં કોઈપણ ઉત્પાદન તેના પોતાના ઉત્પાદનમાં અને તેને અનુસરતા કોઈપણ ઉત્પાદનના ઉત્પાદનમાં ખર્ચ કરી શકાય છે, પરંતુ નહીં... ...

મેટ્રિક્સ- તત્વોની સિસ્ટમ (સંખ્યાઓ, કાર્યો અને અન્ય જથ્થાઓ) લંબચોરસ કોષ્ટકના રૂપમાં ગોઠવાય છે જેના પર ચોક્કસ ક્રિયાઓ કરી શકાય છે. કોષ્ટકમાં નીચેનું સ્વરૂપ છે: સામાન્ય રીતે મેટ્રિક્સ તત્વ આને સૂચવવામાં આવે છે... ... - ઉત્પાદન પ્રણાલીને અનુરૂપ ઇનપુટ-આઉટપુટ બેલેન્સ (IB) ગુણાંકનું મેટ્રિક્સ જેમાં કોઈપણ ઉત્પાદન તેના પોતાના ઉત્પાદનમાં અને પછીના કોઈપણ ઉત્પાદનમાં ખર્ચ કરી શકાય છે... ...

મેટ્રિક્સ- લોજિકલ નેટવર્ક ઇનપુટ/આઉટપુટ ચેનલોના આંતરછેદના લંબચોરસ એરે તરીકે ગોઠવેલ છે. - ઇનપુટ સંતુલન ગુણાંક (IBO) નું મેટ્રિક્સ, ઉત્પાદન પ્રણાલીને અનુરૂપ જેમાં કોઈપણ ઉત્પાદન તેના પોતાના ઉત્પાદનમાં અને તેને અનુસરતા કોઈપણ ઉત્પાદનના ઉત્પાદનમાં ખર્ચ કરી શકાય છે, પરંતુ નહીં... ...

મેટ્રિક્સ લંબચોરસના રૂપમાં ગોઠવાયેલ તત્વોની સિસ્ટમ (સંખ્યાઓ, કાર્યો અને અન્ય જથ્થાઓ)... ...

- — ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ એક ચોરસ મેટ્રિક્સ જેમાં મુખ્ય કર્ણની નીચે અથવા તેની ઉપર સ્થિત તમામ તત્વો શૂન્ય (cf. ડાયગોનલ મેટ્રિક્સ) સમાન હોય છે. પ્રથમ કિસ્સામાં અમારી પાસે ... ...ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ

- એક ચોરસ મેટ્રિક્સ જેમાં મુખ્ય કર્ણની નીચે અથવા ઉપરના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય છે.

ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનું ઉદાહરણઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ

નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ- એક ચોરસ મેટ્રિક્સ જેમાં મુખ્ય કર્ણની ઉપરના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય છે.

એક ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ(ઉપલા અથવા નીચલા) - એક ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ જેમાં મુખ્ય કર્ણ પરના તમામ ઘટકો એક સમાન હોય છે.

ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે સમીકરણોની રેખીય પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટે થાય છે, જ્યારે નીચેના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમના મેટ્રિક્સને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે:

ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ (વિપરીત) સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી મુશ્કેલ નથી.

ગુણધર્મો

• ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક તેના મુખ્ય કર્ણ પરના તત્વોના ગુણાંક સમાન છે.
• એક ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક એક સમાન છે.
• ક્રમના બિન-એકવચન ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસનો સમૂહ nક્ષેત્રના તત્વો સાથે ગુણાકાર દ્વારા kએક જૂથ બનાવે છે જે સૂચિત છે યુટી(n, k) અથવા યુટી n (k).
• ક્રમના બિન-એકવચન નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસનો સમૂહ nક્ષેત્રના તત્વો સાથે ગુણાકાર દ્વારા kએક જૂથ બનાવે છે જે સૂચિત છે એલ.ટી(n, k) અથવા એલ.ટી n (k).
• ક્ષેત્રના તત્વો સાથે ઉપલા એકત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસનો સમૂહ kપેટાજૂથ બનાવે છે યુટી n (k) ગુણાકાર દ્વારા, જે સૂચવવામાં આવે છે એસયુટી(n, k) અથવા એસયુટી n (k). નીચલા એકકોણાકાર મેટ્રિસિસનું સમાન પેટાજૂથ સૂચવવામાં આવે છે SLT(n, k) અથવા SLT n (k).
• રીંગ k ના તત્વો સાથેના તમામ ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસીસનો સમૂહ સરવાળો, રીંગના તત્વો દ્વારા ગુણાકાર અને મેટ્રિક્સ ગુણાકારના સંદર્ભમાં બીજગણિત બનાવે છે. સમાન વિધાન નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસ માટે સાચું છે.
• સમૂહ યુટી એનઉકેલી શકાય તેવું છે, અને તેનું એકત્રિકોણાકાર પેટાજૂથ એસયુટી એનશૂન્ય

પણ જુઓ

વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન.

- એક ચોરસ મેટ્રિક્સ જેમાં મુખ્ય કર્ણની નીચેના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય છે.

અન્ય શબ્દકોશોમાં "ઉચ્ચ ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ" શું છે તે જુઓ:

ટેકનિકલ અનુવાદકની માર્ગદર્શિકા

ટેકનિકલ અનુવાદકની માર્ગદર્શિકા

ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ એ એક ચોરસ મેટ્રિક્સ છે જેમાં મુખ્ય કર્ણની નીચે અથવા ઉપરના તમામ ઘટકો શૂન્ય છે. ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનું ઉદાહરણ અપર ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ... વિકિપીડિયા

આ લેખને સુધારવા માટે, તે ઇચ્છનીય છે?: શું લખવામાં આવ્યું છે તેની પુષ્ટિ કરતા અધિકૃત સ્ત્રોતોની ફૂટનોટ્સ લિંક્સના સ્વરૂપમાં શોધો અને ગોઠવો. ફૂટનોટ્સ ઉમેર્યા પછી, સ્ત્રોતોના વધુ ચોક્કસ સંકેતો પ્રદાન કરો. ચિત્રો ઉમેરો... વિકિપીડિયા

સપ્રમાણ સકારાત્મક નિશ્ચિત મેટ્રિક્સનું સ્વરૂપમાં પ્રતિનિધિત્વ જ્યાં કર્ણ પર સખત હકારાત્મક ઘટકો સાથેનું નીચલું ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ છે. કેટલીકવાર વિઘટન સમાન સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે: , ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ ક્યાં છે.... ... વિકિપીડિયા

SFLASH એ 2003 માં NESSIE યુરોપિયન પ્રોજેક્ટ દ્વારા ભલામણ કરાયેલ અસમપ્રમાણ ડિજિટલ હસ્તાક્ષર અલ્ગોરિધમ છે. SFLASH માત્સુમોટો ઇમાઇ(MI) સર્કિટ પર આધારિત છે, જેને C* પણ કહેવાય છે. એલ્ગોરિધમ બહુપરીમાણીય જાહેર કી યોજનાઓના પરિવારનું છે, પછી... ... વિકિપીડિયા એક ચોરસ મેટ્રિક્સ જેમાં મુખ્ય કર્ણની નીચે (અથવા ઉપર) સ્થિત તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય છે. પ્રથમ કિસ્સામાં, મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ, બીજામાં નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ. T. m નો નિર્ણાયક તેના તમામ ગુણના સમાન છે.

ઓર્થોગોનલાઇઝેશન પ્રક્રિયા, યુક્લિડિયન અથવા હર્મિટિયન સ્પેસ V માં વેક્ટર્સની આપેલ રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમ માટે, નિર્માણ માટેનું અલ્ગોરિધમ, V માં સમાન સબસ્પેસ ઉત્પન્ન કરતી નોનઝીરો વેક્ટર્સની ઓર્થોગોનલ સિસ્ટમ. સૌથી પ્રખ્યાત છે... ...સહસંબંધ ગુણાંક - (સહસંબંધ ગુણાંક) સહસંબંધ ગુણાંક બે રેન્ડમ ચલોની નિર્ભરતાનું આંકડાકીય સૂચક છે, સહસંબંધ ગુણાંકના પ્રકારો, સહસંબંધ ગુણાંકના ગુણધર્મો, ગણતરી અને એપ્લિકેશન... ...

નબળી પદ્ધતિ, રેખીય બીજગણિત પ્રણાલીની સિસ્ટમના પુનરાવર્તિત ઉકેલની પદ્ધતિ. સમીકરણો Ax=b, પ્રાથમિક પગલામાં અજાણ્યા વેક્ટરના માત્ર એક ઘટકને બદલવાનો સમાવેશ થાય છે, અને બદલાયેલ ઘટકોની સંખ્યા ચોક્કસ ચક્રીય રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે... એક ચોરસ મેટ્રિક્સ જેમાં મુખ્ય કર્ણની નીચે (અથવા ઉપર) સ્થિત તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય છે. પ્રથમ કિસ્સામાં, મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ, બીજામાં નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ. T. m નો નિર્ણાયક તેના તમામ ગુણના સમાન છે.