પુરાવો:
ચાલો પહેલા ક્રમના કેસ માટે પ્રમેય સાબિત કરીએ 
ન્યૂટનના દ્વિપદી સૂત્ર મુજબ:
ધારીએ છીએ કે આપણે મેળવીએ છીએ
આ સમાનતા (1) પરથી તે અનુસરે છે કે જેમ n વધે છે તેમ, જમણી બાજુના હકારાત્મક પદોની સંખ્યા વધે છે. વધુમાં, જેમ n વધે છે, સંખ્યા ઘટે છે, તેથી મૂલ્યો 
વધી રહ્યા છે. તેથી ક્રમ 
વધી રહી છે, અને (2)*અમે બતાવીએ છીએ કે તે બંધાયેલ છે. સમાનતાની જમણી બાજુના દરેક કૌંસને એક સાથે બદલો, જમણી બાજુ વધશે અને અમને અસમાનતા મળશે
ચાલો પરિણામી અસમાનતાને મજબૂત કરીએ, 3,4,5, ...ને બદલીએ, અપૂર્ણાંકના છેદમાં ઉભા રહીને, નંબર 2 સાથે: આપણે ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોના સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કૌંસમાં સરવાળો શોધીએ છીએ: તેથી 
(3)*
તેથી, ક્રમ ઉપરથી બંધાયેલો છે, અને અસમાનતાઓ (2) અને (3) સંતુષ્ટ છે: 
તેથી, વેરસ્ટ્રાસ પ્રમેય (ક્રમના સંપાત માટે માપદંડ) પર આધારિત, ક્રમ 
એકવિધ રીતે વધે છે અને મર્યાદિત છે, જેનો અર્થ છે કે તેની મર્યાદા છે, જે અક્ષર e દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. તે. 
x ના કુદરતી મૂલ્યો માટે બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા સાચી છે તે જાણીને, અમે વાસ્તવિક x માટે બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા સાબિત કરીએ છીએ, એટલે કે, અમે સાબિત કરીએ છીએ કે 
. ચાલો બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ:
1. x ની દરેક કિંમતને બે હકારાત્મક પૂર્ણાંકો વચ્ચે બંધ કરી દો: ,x નો પૂર્ણાંક ભાગ ક્યાં છે. => =>
જો, તો તેથી, મર્યાદા અનુસાર 
અમારી પાસે છે
મર્યાદાના અસ્તિત્વના માપદંડ (એક મધ્યવર્તી કાર્યની મર્યાદા વિશે) પર આધારિત છે 
2. ચાલો. ચાલો અવેજી બનાવીએ − x = t, પછી
આ બે કિસ્સાઓ પરથી તે અનુસરે છે 
વાસ્તવિક x માટે.
પરિણામો:
9 .) અનંતની સરખામણી. મર્યાદામાં સમકક્ષ લોકો સાથે અનંત સિમલો બદલવા પરનો પ્રમેય અને અનંત સિમલોનાં મુખ્ય ભાગ પરનો પ્રમેય.
વિધેયો a( x) અને b( x) – b.m. ખાતે x ® x 0 .
વ્યાખ્યાઓ.
1)એ( x) કહેવાય છે કરતાં અનંત ઉચ્ચ ક્રમ b (x) જો
લખો: a( x) = ઓ(બી( x)) .
2)એ( x) અને b( x)કહેવાય છે સમાન ક્રમના અનંત, જો
જ્યાં સીÎℝ અને સી¹ 0 .
લખો: a( x) = ઓ(b( x)) .
3)એ( x) અને b( x) કહેવાય છે સમકક્ષ , જો
લખો: a( x) ~ બી( x).
4)એ( x) ક્રમ k સાપેક્ષનું અમર્યાદિત કહેવાય છે
સંપૂર્ણપણે અનંત b( x),
જો અનંત a( x)અને(b( x)) કે સમાન ક્રમ ધરાવે છે, એટલે કે. જો
જ્યાં સીÎℝ અને સી¹ 0 .
પ્રમેય 6 (સમકક્ષ સાથે અનંત વસ્તુઓને બદલવા પર).
દો a( x), b( x), a 1 ( x), b 1 ( x)- b.m x પર ® x 0 . જો a( x) ~ એક 1 ( x), b( x) ~ બી 1 ( x),
તે 
પુરાવો: ચાલો એ( x) ~ એક 1 ( x), b( x) ~ બી 1 ( x), પછી
પ્રમેય 7 (અનંતના મુખ્ય ભાગ વિશે).
દો a( x)અને b( x)- b.m x પર ® x 0 , અને b( x)- b.m કરતાં ઉચ્ચ ઓર્ડર a( x).
= , a ત્યારથી b( x) - a( કરતાં વધુ ક્રમ x), પછી, એટલે કે 
થી તે સ્પષ્ટ છે કે એ( x) + b( x) ~ એ( x)
10) એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય (એપ્સીલોન-ડેલ્ટાની ભાષામાં, ભૌમિતિક મર્યાદા) એકતરફી સાતત્ય. એક અંતરાલ પર, એક સેગમેન્ટ પર સાતત્ય. સતત કાર્યોના ગુણધર્મો.
1. મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ
દો f(x) બિંદુના અમુક પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે x 0 .
વ્યાખ્યા 1. કાર્ય f(x) કહેવાય છે એક બિંદુ પર સતત x 0 જો સમાનતા સાચી છે
નોંધો.
1) પ્રમેય 5 §3 ના આધારે, સમાનતા (1) ફોર્મમાં લખી શકાય છે
શરત (2) - એકતરફી મર્યાદાની ભાષામાં એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્યની વ્યાખ્યા.
2) સમાનતા (1) આ રીતે પણ લખી શકાય છે:
તેઓ કહે છે: "જો કોઈ કાર્ય એક બિંદુ પર સતત હોય x 0, પછી મર્યાદાની નિશાની અને કાર્યને સ્વેપ કરી શકાય છે."
વ્યાખ્યા 2 (e-d ભાષામાં).
કાર્ય f(x) કહેવાય છે એક બિંદુ પર સતત x 0 જો"e>0 $d>0 જેમ કે, શું
જો xઓયુ( x 0 , d) (એટલે કે | x – x 0 | < d),
પછી એફ(x)ÎU( f(x 0), e) (એટલે કે | f(x) – f(x 0) | < e).
દો x, x 0 Î ડી(f) (x 0 - નિશ્ચિત, x -મનસ્વી)
ચાલો સૂચિત કરીએ: ડી x= x - x 0 – દલીલમાં વધારો
ડી f(x 0) = f(x) – f(x 0) – બિંદુએક્સ પર કાર્યનો વધારો 0
વ્યાખ્યા 3 (ભૌમિતિક).
કાર્ય f(x) ચાલુ કહેવાય છે એક બિંદુ પર સતત
x 0
જો આ બિંદુએ દલીલમાં એક અમર્યાદિત વધારો કાર્યમાં અનંત વધારાને અનુલક્ષે છે, એટલે કે
કાર્ય કરવા દો f(x) અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે [ x 0 ; x 0 + d) (અંતરાલ પર ( x 0 - ડી; x 0 ]).
વ્યાખ્યા. કાર્ય f(x) કહેવાય છે એક બિંદુ પર સતત
x 0 અધિકાર
(બાકી
), જો સમાનતા સાચી છે
તે સ્પષ્ટ છે કે f(x) બિંદુ પર સતત છે x 0 Û f(x) બિંદુ પર સતત છે x 0 જમણે અને ડાબે.
વ્યાખ્યા. કાર્ય f(x) કહેવાય છે એક અંતરાલ માટે સતત e ( a; b) જો તે આ અંતરાલના દરેક બિંદુએ સતત હોય.
કાર્ય f(x) સેગમેન્ટ પર સતત કહેવાય છે [a; b] જો તે અંતરાલ પર સતત હોય (a; b) અને બાઉન્ડ્રી પોઈન્ટ પર એક-માર્ગી સાતત્ય ધરાવે છે(એટલે કે બિંદુ પર સતત aજમણી બાજુએ, બિંદુ પર b- ડાબે).
11) બ્રેક પોઈન્ટ, તેમનું વર્ગીકરણ
વ્યાખ્યા. જો કાર્ય f(x) બિંદુ x ના અમુક પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત 0 , પરંતુ આ બિંદુએ સતત નથી, પછી f(x) બિંદુ x પર અવ્યવસ્થિત કહેવાય છે 0 , અને બિંદુ પોતે x 0 બ્રેક પોઈન્ટ કહેવાય છે કાર્યો f(x) .
નોંધો.
1) f(x) બિંદુના અપૂર્ણ પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે x 0 .
પછી કાર્યની અનુરૂપ એકતરફી સાતત્યને ધ્યાનમાં લો.
2) Þ બિંદુની વ્યાખ્યામાંથી x 0 એ ફંક્શનનો બ્રેક પોઈન્ટ છે f(x) બે કિસ્સાઓમાં:
એ) યુ( x 0 , ડી)ઓ ડી(f), પરંતુ માટે f(x) સમાનતા પકડી શકતી નથી
b) U * ( x 0 , ડી)ઓ ડી(f) .
પ્રાથમિક કાર્યો માટે, માત્ર કેસ b) શક્ય છે.
દો x 0 - કાર્ય વિરામ બિંદુ f(x) .
વ્યાખ્યા. બિંદુ x 0 કહેવાય છે વિરામ બિંદુ આઈ પ્રકારની જો કાર્ય f(x)આ બિંદુએ ડાબી અને જમણી બાજુએ મર્યાદિત મર્યાદાઓ છે.
જો આ મર્યાદાઓ સમાન હોય, તો બિંદુ x 0 કહેવાય છે દૂર કરી શકાય તેવું વિરામ બિંદુ , અન્યથા - જમ્પ પોઇન્ટ .
વ્યાખ્યા. બિંદુ x 0 કહેવાય છે વિરામ બિંદુ II પ્રકારની જો ફંક્શનની એકતરફી મર્યાદાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક f(x)આ બિંદુએ સમાન છે¥ અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.
12) વિધેયોના ગુણધર્મ એક અંતરાલ પર સતત (વેયરસ્ટ્રાસના પ્રમેય (સાબિતી વિના) અને કોચી
વેયરસ્ટ્રાસનું પ્રમેય
ફંક્શન f(x) ને અંતરાલ પર સતત રહેવા દો
1)f(x) સુધી મર્યાદિત છે
2) f(x) અંતરાલ પર તેનું સૌથી નાનું અને સૌથી મોટું મૂલ્ય લે છે
વ્યાખ્યા: ફંક્શન m=f ની કિંમત કોઈપણ x€ D(f) માટે m≤f(x) હોય તો તે સૌથી નાનું કહેવાય છે.
કોઈપણ x € D(f) માટે m≥f(x) હોય તો m=f ફંક્શનનું મૂલ્ય સૌથી મોટું કહેવાય છે.
ફંક્શન સેગમેન્ટના કેટલાક બિંદુઓ પર સૌથી નાનું/સૌથી મોટું મૂલ્ય લઈ શકે છે.
f(x 3)=f(x 4)=મહત્તમ
કોચીનું પ્રમેય.
ફંક્શન f(x) ને સેગમેન્ટ પર સતત રહેવા દો અને x ને f(a) અને f(b) વચ્ચે સમાયેલ સંખ્યા થવા દો, પછી ઓછામાં ઓછો એક બિંદુ x 0 € જેમ કે f(x 0)= g
અદ્ભુત મર્યાદાઓ શોધોમર્યાદાના સિદ્ધાંતનો અભ્યાસ કરતા પ્રથમ અને બીજા વર્ષના ઘણા વિદ્યાર્થીઓ માટે જ નહીં, પણ કેટલાક શિક્ષકો માટે પણ તે મુશ્કેલ છે.
પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા માટે ફોર્મ્યુલા
પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદાના પરિણામો
ચાલો તેને સૂત્રોમાં લખીએ
1. 2. 3. 4. પરંતુ નોંધપાત્ર મર્યાદાના સામાન્ય સૂત્રો પોતે પરીક્ષા અથવા પરીક્ષામાં કોઈને મદદ કરતા નથી. મુદ્દો એ છે કે વાસ્તવિક કાર્યો એટલા માટે બનાવવામાં આવ્યા છે કે તમારે હજુ પણ ઉપર લખેલા સૂત્રો પર પહોંચવાની જરૂર છે. અને મોટાભાગના વિદ્યાર્થીઓ કે જેઓ વર્ગો ચૂકી જાય છે, ગેરહાજરીમાં આ અભ્યાસક્રમનો અભ્યાસ કરે છે, અથવા શિક્ષકો છે કે જેઓ હંમેશા તેઓ જે સમજાવે છે તે સમજી શકતા નથી, તેઓ સૌથી પ્રાથમિક ઉદાહરણોની નોંધપાત્ર મર્યાદામાં ગણતરી કરી શકતા નથી. પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદાના સૂત્રોમાંથી આપણે જોઈએ છીએ કે તેમની મદદથી ત્રિકોણમિતિ વિધેયો સાથેના અભિવ્યક્તિઓ માટે શૂન્ય વડે ભાગ્યા પ્રકારના શૂન્યની અનિશ્ચિતતાઓનો અભ્યાસ કરવો શક્ય છે. ચાલો આપણે પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદાના સંખ્યાબંધ ઉદાહરણોનો વિચાર કરીએ, અને પછી બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદાનો અભ્યાસ કરીએ.
ઉદાહરણ 1. ફંક્શન sin(7*x)/(5*x) ની મર્યાદા શોધો
ઉકેલ: જેમ તમે જોઈ શકો છો, મર્યાદા હેઠળનું કાર્ય પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદાની નજીક છે, પરંતુ કાર્યની મર્યાદા ચોક્કસપણે એકની બરાબર નથી. મર્યાદા પરના આ પ્રકારના કાર્યોમાં, વ્યક્તિએ છેદમાં સમાન ગુણાંક સાથેનું ચલ પસંદ કરવું જોઈએ જે સાઈન હેઠળના ચલમાં સમાયેલ છે. આ કિસ્સામાં, ભાગાકાર કરો અને 7 વડે ગુણાકાર કરો 
કેટલાક માટે, આવી વિગત બિનજરૂરી લાગશે, પરંતુ મોટાભાગના વિદ્યાર્થીઓ કે જેમને મર્યાદામાં મુશ્કેલી હોય છે, તે તેમને નિયમોને વધુ સારી રીતે સમજવામાં અને સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીમાં નિપુણતા મેળવવામાં મદદ કરશે.
ઉપરાંત, જો કોઈ કાર્યનું વ્યસ્ત સ્વરૂપ હોય, તો આ પણ પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદા છે. અને બધા કારણ કે અદ્ભુત મર્યાદા એક સમાન છે
આ જ નિયમ 1લી નોંધપાત્ર મર્યાદાના પરિણામોને લાગુ પડે છે. તેથી, જો તમને પૂછવામાં આવે, "પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા શું છે?" તમારે ખચકાટ વિના જવાબ આપવો જોઈએ કે તે એક એકમ છે.
ઉદાહરણ 2. ફંક્શન sin(6x)/tan(11x)ની મર્યાદા શોધો
ઉકેલ: અંતિમ પરિણામ સમજવા માટે, ચાલો ફોર્મમાં ફંક્શન લખીએ 
નોંધપાત્ર મર્યાદાના નિયમો લાગુ કરવા માટે, અવયવો દ્વારા ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરો
આગળ, આપણે મર્યાદાના ગુણાંક દ્વારા ફંક્શનના ઉત્પાદનની મર્યાદા લખીએ છીએ 
જટિલ સૂત્રો વિના, અમને ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની મર્યાદા મળી. સરળ સૂત્રોમાં નિપુણતા મેળવવા માટે, 1 અદ્ભુત મર્યાદાના પરિણામ માટેનું સૂત્ર, 2 અને 4 પરની મર્યાદા શોધવાનો પ્રયાસ કરો. અમે વધુ જટિલ સમસ્યાઓ જોઈશું.
ઉદાહરણ 3: મર્યાદાની ગણતરી કરો (1-cos(x))/x^2
ઉકેલ: અવેજી દ્વારા તપાસ કરતી વખતે, અમને 0/0 ની અનિશ્ચિતતા મળે છે. ઘણા લોકો જાણતા નથી કે આવા ઉદાહરણને એક નોંધપાત્ર મર્યાદામાં કેવી રીતે ઘટાડવું. અહીં ત્રિકોણમિતિ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ 
આ કિસ્સામાં, મર્યાદા સ્પષ્ટ સ્વરૂપમાં પરિવર્તિત થશે 
અમે કાર્યને નોંધપાત્ર મર્યાદાના વર્ગ સુધી ઘટાડવામાં વ્યવસ્થાપિત છીએ.
ઉદાહરણ 4. મર્યાદા શોધો
ઉકેલ: અવેજી કરતી વખતે, અમને પરિચિત લક્ષણ 0/0 મળે છે. જો કે, ચલ શૂન્યને બદલે Pi તરફ વલણ ધરાવે છે. તેથી, પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા લાગુ કરવા માટે, અમે x વેરીએબલમાં આવો ફેરફાર કરીશું જેથી નવું ચલ શૂન્ય પર જાય. આ કરવા માટે, અમે છેદને નવા ચલ તરીકે દર્શાવીએ છીએ Pi-x=y 
આમ, અગાઉના કાર્યમાં આપેલ ત્રિકોણમિતિ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, ઉદાહરણને 1 નોંધપાત્ર મર્યાદા સુધી ઘટાડવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ 5: મર્યાદાની ગણતરી કરો 
ઉકેલ: શરૂઆતમાં તે સ્પષ્ટ નથી કે મર્યાદાને કેવી રીતે સરળ બનાવવી. પરંતુ એક ઉદાહરણ હોવાથી, પછી જવાબ હોવો જોઈએ. ચલ એકતામાં જાય છે તે હકીકત આપે છે, જ્યારે અવેજીમાં, અનંત દ્વારા ગુણાકાર શૂન્ય સ્વરૂપનું લક્ષણ આપે છે, તેથી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સ્પર્શકને બદલવો આવશ્યક છે. 
આ પછી આપણને જરૂરી અનિશ્ચિતતા 0/0 મળે છે. આગળ, અમે મર્યાદામાં ચલોમાં ફેરફાર કરીએ છીએ અને કોટેન્જેન્ટની સામયિકતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ 
છેલ્લા અવેજીઓ અમને નોંધપાત્ર મર્યાદાના કોરોલરી 1 નો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે.
બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા ઘાતાંકીય જેટલી છે
આ એક ક્લાસિક છે જે વાસ્તવિક મર્યાદા સમસ્યાઓ સુધી પહોંચવું હંમેશા સરળ નથી.
ગણતરીમાં તમને જરૂર પડશે મર્યાદા એ બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદાના પરિણામો છે:
1. 
2. 
3. 
4.
બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા અને તેના પરિણામો માટે આભાર, શૂન્યને શૂન્ય વડે શૂન્ય, એકને અનંતની શક્તિ અને અનંતને અનંત વડે ભાગ્યા, અને તે પણ સમાન ડિગ્રી જેવી અનિશ્ચિતતાઓનું અન્વેષણ કરવું શક્ય છે. 
ચાલો સરળ ઉદાહરણો સાથે પ્રારંભ કરીએ.
ઉદાહરણ 6. કાર્યની મર્યાદા શોધો
ઉકેલ: 2જી નોંધપાત્ર મર્યાદાને સીધી રીતે લાગુ કરવાથી કામ થશે નહીં. પ્રથમ, તમારે ઘાતાંકને રૂપાંતરિત કરવું જોઈએ જેથી કરીને તે કૌંસમાં શબ્દના વ્યસ્ત જેવું દેખાય 
આ 2જી નોંધપાત્ર મર્યાદાને ઘટાડવાની અને સારમાં, મર્યાદાના પરિણામ માટે 2જી ફોર્મ્યુલાને ઘટાડવાની તકનીક છે.
ઉદાહરણ 7. કાર્યની મર્યાદા શોધો
ઉકેલ: અમારી પાસે અદ્ભુત મર્યાદાના કોરોલરી 2 ના ફોર્મ્યુલા 3 માટેના કાર્યો છે. શૂન્યને બદલવાથી ફોર્મ 0/0 ની એકવચનતા મળે છે. નિયમની મર્યાદા વધારવા માટે, આપણે છેદને ફેરવીએ છીએ જેથી ચલનો લઘુગણકમાં સમાન ગુણાંક હોય. 
તે સમજવામાં અને પરીક્ષામાં પ્રદર્શન કરવું પણ સરળ છે. મર્યાદાની ગણતરી કરવામાં વિદ્યાર્થીઓની મુશ્કેલીઓ નીચેની સમસ્યાઓથી શરૂ થાય છે.
ઉદાહરણ 8. કાર્યની મર્યાદાની ગણતરી કરો[(x+7)/(x-3)]^(x-2) 
ઉકેલ: આપણી પાસે અનંતની શક્તિ માટે પ્રકાર 1 એકવચન છે. જો તમે મારા પર વિશ્વાસ ન કરો, તો તમે દરેક જગ્યાએ "X" માટે અનંતતાને બદલી શકો છો અને તેની ખાતરી કરી શકો છો. નિયમ બનાવવા માટે, અમે કૌંસમાં છેદ દ્વારા અંશને વિભાજીત કરીએ છીએ, આ કરવા માટે, અમે પહેલા મેનિપ્યુલેશન્સ કરીએ છીએ 
ચાલો અભિવ્યક્તિને મર્યાદામાં બદલીએ અને તેને 2 અદ્ભુત મર્યાદામાં ફેરવીએ 
મર્યાદા 10 ની ઘાતાંકીય શક્તિ જેટલી છે. સ્થિરાંકો કે જે ચલ સાથેના શબ્દો છે, કૌંસ અને ડિગ્રી બંનેમાં, કોઈપણ "હવામાન" રજૂ કરતા નથી - આ યાદ રાખવું જોઈએ. અને જો તમારા શિક્ષકો તમને પૂછે, "તમે સૂચક શા માટે કન્વર્ટ કરતા નથી?" (x-3 માં આ ઉદાહરણ માટે), પછી કહો કે "જ્યારે ચલ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, તો પછી તેમાં 100 ઉમેરો અથવા 1000 બાદ કરો, અને મર્યાદા તે હતી તે જ રહેશે!"
આ પ્રકારની મર્યાદાઓની ગણતરી કરવાની બીજી રીત છે. અમે તેના વિશે આગામી કાર્યમાં વાત કરીશું.
ઉદાહરણ 9. મર્યાદા શોધો 
ઉકેલ: હવે ચાલો અંશ અને છેદમાં ચલ કાઢીએ અને એક લક્ષણને બીજામાં ફેરવીએ. અંતિમ મૂલ્ય મેળવવા માટે અમે નોંધપાત્ર મર્યાદાના કોરોલરી 2 ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ 
ઉદાહરણ 10. કાર્યની મર્યાદા શોધો
ઉકેલ: દરેક જણ આપેલ મર્યાદા શોધી શકતા નથી. મર્યાદાને 2 સુધી વધારવા માટે, કલ્પના કરો કે પાપ (3x) એક ચલ છે, અને તમારે ઘાતાંક ફેરવવાની જરૂર છે 
આગળ, આપણે પાવર ટુ પાવર તરીકે સૂચક લખીએ છીએ 
મધ્યવર્તી દલીલો કૌંસમાં વર્ણવેલ છે. પ્રથમ અને બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદાનો ઉપયોગ કરવાના પરિણામે, અમે ઘાતકમાં ઘાત મેળવ્યું.
ઉદાહરણ 11. કાર્યની મર્યાદાની ગણતરી કરો sin(2*x)/ln(3*x+1)
ઉકેલ: અમારી પાસે ફોર્મ 0/0 ની અનિશ્ચિતતા છે. વધુમાં, આપણે જોઈએ છીએ કે ફંક્શનને બંને અદ્ભુત મર્યાદાઓનો ઉપયોગ કરવા માટે રૂપાંતરિત કરવું જોઈએ. ચાલો અગાઉના ગાણિતિક પરિવર્તનો કરીએ 
આગળ, મુશ્કેલી વિના, મર્યાદા મૂલ્ય લેશે 
જો તમે ફંક્શન્સને ઝડપથી લખવાનું શીખો અને તેને પ્રથમ અથવા બીજી અદ્ભુત મર્યાદામાં ઘટાડી શકો તો તમે સોંપણીઓ, પરીક્ષણો, મોડ્યુલો પર આ રીતે મુક્ત અનુભવશો. જો તમારા માટે મર્યાદા શોધવા માટેની આપેલ પદ્ધતિઓને યાદ રાખવી મુશ્કેલ હોય, તો તમે હંમેશા અમારી પાસેથી મર્યાદાઓ પર ટેસ્ટ પેપર મંગાવી શકો છો.
આ કરવા માટે, ફોર્મ ભરો, ડેટા પ્રદાન કરો અને ઉદાહરણો સાથે ફાઇલ જોડો. અમે ઘણા વિદ્યાર્થીઓને મદદ કરી છે - અમે તમને પણ મદદ કરી શકીએ છીએ!
ત્યાં ઘણી નોંધપાત્ર મર્યાદાઓ છે, પરંતુ સૌથી પ્રસિદ્ધ પ્રથમ અને બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા છે. આ મર્યાદાઓ વિશે નોંધપાત્ર બાબત એ છે કે તેનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે અને તેમની મદદથી તમે અસંખ્ય સમસ્યાઓમાં જોવા મળતી અન્ય મર્યાદાઓ શોધી શકો છો. આ તે છે જે આપણે આ પાઠના વ્યવહારિક ભાગમાં કરીશું. સમસ્યાઓને પ્રથમ અથવા બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદામાં ઘટાડીને ઉકેલવા માટે, તેમાં રહેલી અનિશ્ચિતતાઓને જાહેર કરવાની જરૂર નથી, કારણ કે આ મર્યાદાઓના મૂલ્યો મહાન ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા લાંબા સમયથી અનુમાનિત કરવામાં આવ્યા છે.
પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદાસમાન ચાપના અનંત ચાપના સાઈનના ગુણોત્તરની મર્યાદા કહેવાય છે, જે રેડિયન માપમાં વ્યક્ત થાય છે:
ચાલો પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા પર સમસ્યાઓ ઉકેલવા તરફ આગળ વધીએ. નોંધ: જો મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળ ત્રિકોણમિતિ કાર્ય હોય, તો આ લગભગ નિશ્ચિત સંકેત છે કે આ અભિવ્યક્તિને પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા સુધી ઘટાડી શકાય છે.
ઉદાહરણ 1.મર્યાદા શોધો.
ઉકેલ. તેના બદલે અવેજી xશૂન્ય અનિશ્ચિતતા તરફ દોરી જાય છે:
.
છેદ સાઈન છે, તેથી, અભિવ્યક્તિને પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદામાં લાવી શકાય છે. ચાલો પરિવર્તન શરૂ કરીએ:
.
છેદ ત્રણ X ની સાઈન છે, પરંતુ અંશમાં માત્ર એક X છે, જેનો અર્થ છે કે તમારે અંશમાં ત્રણ X મેળવવાની જરૂર છે. શેના માટે? પરિચય કરાવવો 3 x = aઅને અભિવ્યક્તિ મેળવો.
અને અમે પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદાની વિવિધતા પર આવીએ છીએ:
કારણ કે આ ફોર્મ્યુલામાં X ને બદલે કયો અક્ષર (ચલ) છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી.
અમે X ને ત્રણ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને તરત જ વિભાજીત કરીએ છીએ:
.
નોંધાયેલ પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા અનુસાર, અમે અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિને બદલીએ છીએ:
હવે આપણે આખરે આ મર્યાદાને હલ કરી શકીએ છીએ:
.
ઉદાહરણ 2.મર્યાદા શોધો.
ઉકેલ. ડાયરેક્ટ અવેજી ફરીથી "શૂન્ય ભાગ્યા શૂન્ય" અનિશ્ચિતતા તરફ દોરી જાય છે:
.
પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા મેળવવા માટે, તે જરૂરી છે કે અંશમાં સાઈન ચિહ્ન હેઠળનો x અને છેદમાં ફક્ત x સમાન ગુણાંક ધરાવે છે. આ ગુણાંકને 2 ની બરાબર થવા દો. આ કરવા માટે, નીચે પ્રમાણે x માટે વર્તમાન ગુણાંકની કલ્પના કરો, અપૂર્ણાંકો સાથે ઑપરેશન કરવાથી, અમે મેળવીએ છીએ:
.
ઉદાહરણ 3.મર્યાદા શોધો.
ઉકેલ. અવેજી કરતી વખતે, આપણે ફરીથી અનિશ્ચિતતા મેળવીએ છીએ "શૂન્ય ભાગ્યા શૂન્ય":
.
તમે કદાચ પહેલાથી જ સમજો છો કે મૂળ અભિવ્યક્તિમાંથી તમે પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદાને પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદાથી ગુણાકાર કરી શકો છો. આ કરવા માટે, આપણે અંશમાં x ના ચોરસ અને છેદમાં સાઈનને સમાન પરિબળોમાં વિઘટિત કરીએ છીએ, અને x અને સાઈન માટે સમાન ગુણાંક મેળવવા માટે, આપણે અંશમાં x ને 3 વડે વિભાજીત કરીએ છીએ અને તરત જ ગુણાકાર કરીએ છીએ. 3 દ્વારા. અમને મળે છે:
.
ઉદાહરણ 4.મર્યાદા શોધો.
ઉકેલ. ફરી એકવાર આપણે અનિશ્ચિતતા મેળવીએ છીએ "શૂન્ય ભાગ્યા શૂન્ય":
.
અમે પ્રથમ બે નોંધપાત્ર મર્યાદાઓનો ગુણોત્તર મેળવી શકીએ છીએ. આપણે અંશ અને છેદ બંનેને x દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ. પછી, જેથી કરીને સાઈન અને xes માટેના ગુણાંક એકરૂપ થાય, આપણે ઉપલા xને 2 વડે ગુણાકાર કરીએ અને તરત જ 2 વડે ભાગીએ, અને નીચલા xને 3 વડે ગુણાકાર કરીએ અને તરત જ 3 વડે ભાગીએ. આપણને મળે છે:
ઉદાહરણ 5.મર્યાદા શોધો.
ઉકેલ. અને ફરીથી "શૂન્ય ભાગ્યા શૂન્ય" ની અનિશ્ચિતતા:
આપણે ત્રિકોણમિતિ પરથી યાદ રાખીએ છીએ કે સ્પર્શક એ સાઈન અને કોસાઈનનો ગુણોત્તર છે, અને શૂન્યનો કોસાઈન એક સમાન છે. અમે પરિવર્તનો હાથ ધરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:
.
ઉદાહરણ 6.મર્યાદા શોધો.
ઉકેલ. મર્યાદાની નિશાની હેઠળનું ત્રિકોણમિતિ કાર્ય ફરીથી પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદાનો ઉપયોગ સૂચવે છે. અમે તેને સાઈન અને કોસાઈનના ગુણોત્તર તરીકે રજૂ કરીએ છીએ.
ઉપરોક્ત લેખમાંથી તમે જાણી શકો છો કે મર્યાદા શું છે અને તે શું ખાય છે - આ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. શા માટે? તમે નિર્ણાયક શું છે તે સમજી શકતા નથી અને તેમને સફળતાપૂર્વક હલ કરી શકતા નથી; પરંતુ જો તમે મર્યાદા શું છે તે સમજી શકતા નથી, તો વ્યવહારિક કાર્યોને હલ કરવાનું મુશ્કેલ બનશે. સેમ્પલ સોલ્યુશન્સ અને મારી ડિઝાઇન ભલામણોથી પોતાને પરિચિત કરવું પણ એક સારો વિચાર હશે. બધી માહિતી સરળ અને સુલભ સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવી છે.
અને આ પાઠના હેતુઓ માટે અમને નીચેની શિક્ષણ સામગ્રીની જરૂર પડશે: અદ્ભુત મર્યાદાઓઅને ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો. તેઓ પૃષ્ઠ પર મળી શકે છે. માર્ગદર્શિકાઓ છાપવી શ્રેષ્ઠ છે - તે વધુ અનુકૂળ છે, અને ઉપરાંત, તમારે ઘણીવાર તેનો ઑફલાઇન સંદર્ભ લેવો પડશે.
નોંધપાત્ર મર્યાદાઓ વિશે શું વિશેષ છે? આ મર્યાદાઓ વિશે નોંધપાત્ર બાબત એ છે કે તે પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રીઓના મહાન મન દ્વારા સાબિત કરવામાં આવી હતી, અને આભારી વંશજોએ ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, લઘુગણક, શક્તિઓના ઢગલા સાથે ભયંકર મર્યાદાઓથી પીડાય નથી. એટલે કે, મર્યાદા શોધતી વખતે, અમે તૈયાર પરિણામોનો ઉપયોગ કરીશું જે સૈદ્ધાંતિક રીતે સાબિત થયા છે.
ત્યાં ઘણી અદ્ભુત મર્યાદાઓ છે, પરંતુ વ્યવહારમાં, 95% કિસ્સાઓમાં, પાર્ટ-ટાઇમ વિદ્યાર્થીઓ પાસે બે અદ્ભુત મર્યાદાઓ છે: પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદા, બીજી અદ્ભુત મર્યાદા. એ નોંધવું જોઈએ કે આ ઐતિહાસિક રીતે સ્થાપિત નામો છે, અને જ્યારે, ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ "પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા" વિશે વાત કરે છે, ત્યારે તેનો અર્થ આ એક ખૂબ જ વિશિષ્ટ વસ્તુ છે, અને છત પરથી લેવામાં આવેલી કેટલીક રેન્ડમ મર્યાદા નથી.
પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદા
નીચેની મર્યાદાને ધ્યાનમાં લો: (મૂળ અક્ષર "તે" ને બદલે હું ગ્રીક અક્ષર "આલ્ફા" નો ઉપયોગ કરીશ, સામગ્રી પ્રસ્તુત કરવાના દૃષ્ટિકોણથી આ વધુ અનુકૂળ છે).
મર્યાદા શોધવા માટેના અમારા નિયમ અનુસાર (લેખ જુઓ મર્યાદા. ઉકેલોના ઉદાહરણો) આપણે કાર્યમાં શૂન્યને બદલવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ: અંશમાં આપણને શૂન્ય મળે છે (શૂન્યની સાઈન શૂન્ય છે), અને છેદમાં, દેખીતી રીતે, શૂન્ય પણ છે. આમ, અમને ફોર્મની અનિશ્ચિતતાનો સામનો કરવો પડી રહ્યો છે, જે સદભાગ્યે, જાહેર કરવાની જરૂર નથી. ગાણિતિક વિશ્લેષણ દરમિયાન, તે સાબિત થાય છે કે:
આ ગાણિતિક હકીકત કહેવાય છે પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદા. હું મર્યાદાનો વિશ્લેષણાત્મક પુરાવો આપીશ નહીં, પરંતુ અમે તેના વિશેના પાઠમાં તેના ભૌમિતિક અર્થને જોઈશું. અનંત કાર્યો.
ઘણીવાર વ્યવહારુ કાર્યોમાં કાર્યોને અલગ રીતે ગોઠવી શકાય છે, આ કંઈપણ બદલતું નથી:
- એ જ પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદા.
પરંતુ તમે જાતે અંશ અને છેદને ફરીથી ગોઠવી શકતા નથી! જો ફોર્મમાં કોઈ મર્યાદા આપવામાં આવી હોય, તો તેને ફરીથી ગોઠવ્યા વિના, સમાન સ્વરૂપમાં હલ કરવી આવશ્યક છે.
વ્યવહારમાં, માત્ર ચલ જ નહીં, પણ પ્રાથમિક કાર્ય અથવા જટિલ કાર્ય પણ પરિમાણ તરીકે કાર્ય કરી શકે છે. તે માત્ર મહત્વનું છે કે તે શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે.
ઉદાહરણો:
, , 
, 
અહીં,,,, 
, અને બધું સારું છે - પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદા લાગુ છે.
પરંતુ નીચેની એન્ટ્રી પાખંડ છે:
શા માટે? કારણ કે બહુપદી શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવતું નથી, તે પાંચ તરફ વલણ ધરાવે છે.
માર્ગ દ્વારા, એક ઝડપી પ્રશ્ન: મર્યાદા શું છે? 
? જવાબ પાઠના અંતે મળી શકે છે.
વ્યવહારમાં, બધું એટલું સરળ નથી હોતું; લગભગ ક્યારેય વિદ્યાર્થીને મફત મર્યાદા ઉકેલવા અને સરળ પાસ મેળવવાની ઓફર કરવામાં આવતી નથી. હમ્મ... હું આ પંક્તિઓ લખી રહ્યો છું, અને એક ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ વિચાર મનમાં આવ્યો - છેવટે, "મુક્ત" ગાણિતિક વ્યાખ્યાઓ અને સૂત્રોને હૃદયથી યાદ રાખવું વધુ સારું છે, આ પરીક્ષણમાં અમૂલ્ય મદદ પૂરી પાડી શકે છે, જ્યારે પ્રશ્ન "બે" અને "ત્રણ" વચ્ચે નિર્ણય લેવામાં આવે છે, અને શિક્ષક વિદ્યાર્થીને કેટલાક સરળ પ્રશ્ન પૂછવાનું નક્કી કરે છે અથવા એક સરળ ઉદાહરણ ("કદાચ તે (ઓ) હજુ પણ શું જાણે છે?!").
ચાલો વ્યવહારુ ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધીએ:
ઉદાહરણ 1
મર્યાદા શોધો
જો અમને મર્યાદામાં સાઈન દેખાય છે, તો આનાથી અમને તરત જ પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા લાગુ કરવાની સંભાવના વિશે વિચારવા તરફ દોરી જવું જોઈએ.
પ્રથમ, અમે મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિમાં 0 ને બદલવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ (આપણે માનસિક રીતે અથવા ડ્રાફ્ટમાં કરીએ છીએ):
તેથી અમને ફોર્મની અનિશ્ચિતતા છે સૂચવવાની ખાતરી કરોનિર્ણય લેવામાં. મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળની અભિવ્યક્તિ પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદા જેવી જ છે, પરંતુ આ બરાબર નથી, તે સાઈન હેઠળ છે, પરંતુ છેદમાં છે.
આવા કિસ્સાઓમાં, આપણે કૃત્રિમ તકનીકનો ઉપયોગ કરીને, પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા જાતે ગોઠવવાની જરૂર છે. તર્કની લાઇન નીચે મુજબ હોઈ શકે છે: "આપણી પાસે સાઈન હેઠળ , જેનો અર્થ છે કે આપણે છેદમાં આવવાની પણ જરૂર છે."
અને આ ખૂબ જ સરળ રીતે કરવામાં આવે છે:
એટલે કે, આ કિસ્સામાં છેદને કૃત્રિમ રીતે 7 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે અને તે જ સાત વડે ભાગવામાં આવે છે. હવે અમારું રેકોર્ડિંગ એક પરિચિત આકાર લઈ ગયું છે.
જ્યારે કાર્ય હાથથી દોરવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદાને સરળ પેંસિલથી ચિહ્નિત કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે:
શું થયું? હકીકતમાં, અમારી વર્તુળાકાર અભિવ્યક્તિ એકમમાં ફેરવાઈ ગઈ અને કાર્યમાં અદૃશ્ય થઈ ગઈ: 
હવે જે બાકી છે તે ત્રણ માળના અપૂર્ણાંકમાંથી છૂટકારો મેળવવાનું છે: 
બહુ-સ્તરીય અપૂર્ણાંકનું સરળીકરણ કોણ ભૂલી ગયું છે, કૃપા કરીને સંદર્ભ પુસ્તકમાં સામગ્રીને તાજું કરો શાળા ગણિત અભ્યાસક્રમ માટે ગરમ સૂત્રો .
તૈયાર છે. અંતિમ જવાબ:
જો તમે પેન્સિલ માર્કસનો ઉપયોગ કરવા માંગતા નથી, તો ઉકેલ આ રીતે લખી શકાય છે:
“
ચાલો પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદાનો ઉપયોગ કરીએ 
“
ઉદાહરણ 2
મર્યાદા શોધો
ફરીથી આપણે મર્યાદામાં અપૂર્ણાંક અને સાઈન જોઈએ છીએ. ચાલો અંશ અને છેદમાં શૂન્યને બદલવાનો પ્રયાસ કરીએ:
ખરેખર, આપણી પાસે અનિશ્ચિતતા છે અને તેથી, આપણે પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદાને ગોઠવવાનો પ્રયાસ કરવાની જરૂર છે. વર્ગમાં મર્યાદા. ઉકેલોના ઉદાહરણોઅમે નિયમ ધ્યાનમાં લીધો કે જ્યારે આપણી પાસે અનિશ્ચિતતા હોય, ત્યારે આપણે અંશ અને છેદને અવયવિત કરવાની જરૂર છે. અહીં તે જ વસ્તુ છે, અમે ઉત્પાદન (ગુણક) તરીકે ડિગ્રીનું પ્રતિનિધિત્વ કરીશું:
અગાઉના ઉદાહરણની જેમ, અમે નોંધપાત્ર મર્યાદાઓની આસપાસ પેન્સિલ દોરીએ છીએ (અહીં તેમાંથી બે છે), અને સૂચવે છે કે તેઓ એકતા તરફ વલણ ધરાવે છે:
ખરેખર, જવાબ તૈયાર છે:
નીચેના ઉદાહરણોમાં, હું પેઇન્ટમાં કલા કરીશ નહીં, મને લાગે છે કે નોટબુકમાં સોલ્યુશન કેવી રીતે યોગ્ય રીતે દોરવું - તમે પહેલાથી જ સમજો છો.
ઉદાહરણ 3
મર્યાદા શોધો
અમે મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિમાં શૂન્યને બદલીએ છીએ:
એક અનિશ્ચિતતા પ્રાપ્ત થઈ છે જેને જાહેર કરવાની જરૂર છે. જો મર્યાદામાં સ્પર્શક હોય, તો તે લગભગ હંમેશા જાણીતા ત્રિકોણમિતિ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સાઈન અને કોસાઈનમાં રૂપાંતરિત થાય છે. ગરમ ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોપૃષ્ઠ પર ગાણિતિક સૂત્રો, કોષ્ટકો અને સંદર્ભ સામગ્રી).
આ કિસ્સામાં:
શૂન્યનો કોસાઇન એક સમાન છે, અને તેમાંથી છુટકારો મેળવવો સરળ છે (તે એક તરફ વળે છે તે ચિહ્નિત કરવાનું ભૂલશો નહીં):
આમ, જો મર્યાદામાં કોસાઇન એક મલ્ટીપ્લિયર છે, તો પછી, આશરે કહીએ તો, તેને એકમમાં ફેરવવાની જરૂર છે, જે ઉત્પાદનમાં અદૃશ્ય થઈ જાય છે.
અહીં કોઈપણ ગુણાકાર અને ભાગાકાર વિના, બધું સરળ બન્યું. પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા પણ એકમાં ફેરવાય છે અને ઉત્પાદનમાં અદૃશ્ય થઈ જાય છે:
પરિણામે, અનંતતા પ્રાપ્ત થાય છે, અને આવું થાય છે.
ઉદાહરણ 4
મર્યાદા શોધો
ચાલો અંશ અને છેદમાં શૂન્યને બદલવાનો પ્રયાસ કરીએ:
અનિશ્ચિતતા પ્રાપ્ત થાય છે (શૂન્યનો કોસાઇન, જેમ આપણે યાદ રાખીએ છીએ, એક સમાન છે)
આપણે ત્રિકોણમિતિ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. નોંધ લો! કેટલાક કારણોસર, આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાની મર્યાદાઓ ખૂબ સામાન્ય છે.
ચાલો સતત પરિબળોને મર્યાદાના ચિહ્નની બહાર ખસેડીએ:
ચાલો પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદા ગોઠવીએ:
અહીં અમારી પાસે માત્ર એક નોંધપાત્ર મર્યાદા છે, જે એકમાં ફેરવાય છે અને ઉત્પાદનમાં અદૃશ્ય થઈ જાય છે:
ચાલો ત્રણ માળની રચનાથી છુટકારો મેળવીએ:
મર્યાદા ખરેખર ઉકેલાઈ ગઈ છે, અમે સૂચવીએ છીએ કે બાકીની સાઈન શૂન્ય તરફ વળે છે:
ઉદાહરણ 5
મર્યાદા શોધો 
આ ઉદાહરણ વધુ જટિલ છે, તેને જાતે સમજવાનો પ્રયાસ કરો:
ચલ બદલીને કેટલીક મર્યાદાઓને 1લી નોંધપાત્ર મર્યાદા સુધી ઘટાડી શકાય છે, તમે આ વિશે થોડી વાર પછી લેખમાં વાંચી શકો છો મર્યાદા ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ.
બીજી અદ્ભુત મર્યાદા
ગાણિતિક વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતમાં તે સાબિત થયું છે કે:
આ હકીકત કહેવાય છે બીજી અદ્ભુત મર્યાદા.
સંદર્ભ: 
અતાર્કિક સંખ્યા છે.
પરિમાણ માત્ર ચલ જ નહીં, પણ જટિલ કાર્ય પણ હોઈ શકે છે. એકમાત્ર મહત્વની બાબત એ છે કે તે અનંતતા માટે પ્રયત્ન કરે છે.
ઉદાહરણ 6
મર્યાદા શોધો
જ્યારે મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળની અભિવ્યક્તિ ડિગ્રીમાં હોય, ત્યારે આ પ્રથમ સંકેત છે કે તમારે બીજી અદ્ભુત મર્યાદા લાગુ કરવાનો પ્રયાસ કરવાની જરૂર છે.
પરંતુ પ્રથમ, હંમેશની જેમ, અમે અભિવ્યક્તિમાં અનંત મોટી સંખ્યાને બદલવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ, જે સિદ્ધાંત દ્વારા આ કરવામાં આવે છે તેની ચર્ચા પાઠમાં કરવામાં આવી છે. મર્યાદા. ઉકેલોના ઉદાહરણો.
તે નોંધવું સરળ છે કે જ્યારે ડિગ્રીનો આધાર છે , અને ઘાત છે , એટલે કે, ફોર્મની અનિશ્ચિતતા છે:
આ અનિશ્ચિતતા બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદાની મદદથી ચોક્કસપણે પ્રગટ થાય છે. પરંતુ, ઘણી વાર થાય છે તેમ, બીજી અદ્ભુત મર્યાદા ચાંદીની થાળી પર રહેતી નથી, અને તેને કૃત્રિમ રીતે ગોઠવવાની જરૂર છે. તમે નીચે પ્રમાણે કારણ આપી શકો છો: આ ઉદાહરણમાં પરિમાણ છે , જેનો અર્થ છે કે આપણે સૂચકમાં પણ ગોઠવવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, અમે આધારને શક્તિમાં વધારીએ છીએ, અને જેથી અભિવ્યક્તિ બદલાતી નથી, અમે તેને શક્તિમાં વધારીએ છીએ:
જ્યારે કાર્ય હાથથી પૂર્ણ થાય છે, ત્યારે અમે પેંસિલથી ચિહ્નિત કરીએ છીએ:
લગભગ બધું તૈયાર છે, ભયંકર ડિગ્રી એક સરસ અક્ષરમાં ફેરવાઈ ગઈ છે:
આ કિસ્સામાં, અમે મર્યાદા આયકનને જ સૂચક પર ખસેડીએ છીએ:
ઉદાહરણ 7
મર્યાદા શોધો
ધ્યાન આપો! આ પ્રકારની મર્યાદા ઘણી વાર જોવા મળે છે, કૃપા કરીને આ ઉદાહરણનો ખૂબ જ કાળજીપૂર્વક અભ્યાસ કરો.
ચાલો મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિમાં અનંત મોટી સંખ્યાને બદલવાનો પ્રયાસ કરીએ:
પરિણામ અનિશ્ચિતતા છે. પરંતુ બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા ફોર્મની અનિશ્ચિતતાને લાગુ પડે છે. શું કરવું? આપણે ડિગ્રીના આધારને કન્વર્ટ કરવાની જરૂર છે. અમે આ રીતે કારણ આપીએ છીએ: અમારી પાસે છેદમાં , જેનો અર્થ છે કે અંશમાં પણ આપણે ગોઠવવાની જરૂર છે.
પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા નીચેની સમાનતા છે:
\begin(સમીકરણ)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \અંત(સમીકરણ)
$\alpha\to(0)$ માટે અમારી પાસે $\sin\alpha\to(0)$ છે, તેઓ કહે છે કે પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા $\frac(0)(0)$ સ્વરૂપની અનિશ્ચિતતા દર્શાવે છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, સૂત્ર (1), ચલ $\alpha$ ને બદલે, કોઈપણ અભિવ્યક્તિ સાઈન ચિહ્ન હેઠળ અને છેદમાં મૂકી શકાય છે, જ્યાં સુધી બે શરતો પૂરી થાય છે:
- સાઈન ચિહ્ન હેઠળ અને છેદમાં એક સાથે અભિવ્યક્તિઓ શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, એટલે કે. $\frac(0)(0)$ ફોર્મની અનિશ્ચિતતા છે.
- સાઈન ચિહ્ન હેઠળ અને છેદમાં અભિવ્યક્તિઓ સમાન છે.
પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદામાંથી કોરોલરીઓનો પણ વારંવાર ઉપયોગ થાય છે:
\begin(સમીકરણ) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(સમીકરણ) \begin(સમીકરણ) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(સમીકરણ) \begin(સમીકરણ) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \અંત(સમીકરણ)
આ પૃષ્ઠ પર અગિયાર ઉદાહરણો ઉકેલવામાં આવ્યા છે. ઉદાહરણ નંબર 1 એ સૂત્રો (2)-(4)ના પુરાવા માટે સમર્પિત છે. ઉદાહરણો નંબર 2, નંબર 3, નંબર 4 અને નંબર 5માં વિગતવાર ટિપ્પણીઓ સાથે ઉકેલો છે. ઉદાહરણો નંબર 6-10માં વર્ચ્યુઅલ રીતે કોઈ ટીપ્પણી વગરના ઉકેલો છે, કારણ કે અગાઉના ઉદાહરણોમાં વિગતવાર સમજૂતી આપવામાં આવી હતી. ઉકેલ કેટલાક ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરે છે જે શોધી શકાય છે.
મને નોંધ લેવા દો કે અનિશ્ચિતતા $\frac (0) (0)$ સાથે ત્રિકોણમિતિ વિધેયોની હાજરીનો અર્થ એ નથી કે પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા લાગુ કરવામાં આવે. કેટલીકવાર સરળ ત્રિકોણમિતિ પરિવર્તનો પૂરતા હોય છે - ઉદાહરણ તરીકે, જુઓ.
ઉદાહરણ નંબર 1
સાબિત કરો કે $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ થી, પછી:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
$\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ અને $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , તે:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) ચાલો ફેરફાર કરીએ $\alpha=\sin(y)$. $\sin(0)=0$ થી, પછી $\alpha\to(0)$ ની સ્થિતિથી આપણી પાસે $y\to(0)$ છે. વધુમાં, શૂન્યની પડોશી છે જેમાં $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, તેથી:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
સમાનતા $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ સાબિત થઈ છે.
c) ચાલો બદલીએ $\alpha=\tg(y)$. ત્યારથી $\tg(0)=0$, પછી શરતો $\alpha\to(0)$ અને $y\to(0)$ સમકક્ષ છે. વધુમાં, શૂન્યની પડોશી છે જેમાં $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, તેથી, બિંદુ a ના પરિણામોના આધારે), આપણી પાસે હશે:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
સમાનતા $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ સાબિત થઈ છે.
સમાનતા a), b), c) નો ઉપયોગ ઘણીવાર પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા સાથે થાય છે.
ઉદાહરણ નંબર 2
મર્યાદાની ગણતરી કરો $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.
ત્યારથી $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ અને $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, એટલે કે. અને અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ વારાફરતી શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, તો પછી અહીં આપણે $\frac(0)(0)$ સ્વરૂપની અનિશ્ચિતતા સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ, એટલે કે. થઈ ગયું. વધુમાં, તે સ્પષ્ટ છે કે સાઈન ચિહ્ન હેઠળ અને છેદમાં અભિવ્યક્તિઓ એકરૂપ થાય છે (એટલે કે, અને સંતુષ્ટ છે):
તેથી, પૃષ્ઠની શરૂઆતમાં સૂચિબદ્ધ બંને શરતો પૂરી થાય છે. તે આનાથી અનુસરે છે કે સૂત્ર લાગુ છે, એટલે કે. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\જમણે))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.
જવાબ આપો: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\જમણે))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
ઉદાહરણ નંબર 3
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ શોધો.
ત્યારથી $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ અને $\lim_(x\to(0))x=0$, તો અમે $\frac સ્વરૂપની અનિશ્ચિતતા સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ (0 )(0)$, એટલે કે થઈ ગયું. જો કે, સાઈન ચિહ્ન હેઠળ અને છેદમાં અભિવ્યક્તિઓ એકરૂપ થતા નથી. અહીં તમારે છેદમાં અભિવ્યક્તિને ઇચ્છિત સ્વરૂપમાં સમાયોજિત કરવાની જરૂર છે. છેદમાં રહેવા માટે આપણને $9x$ની અભિવ્યક્તિની જરૂર છે, પછી તે સાચું બનશે. અનિવાર્યપણે, અમે છેદમાં $9$નું પરિબળ ગુમાવી રહ્યાં છીએ, જે દાખલ કરવું એટલું મુશ્કેલ નથી—માત્ર છેદમાંની અભિવ્યક્તિને $9$ વડે ગુણાકાર કરો. સ્વાભાવિક રીતે, $9$ વડે ગુણાકારની ભરપાઈ કરવા માટે, તમારે તરત જ $9$ વડે ભાગવું પડશે:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
હવે છેદમાં અને સાઈન ચિહ્ન હેઠળના અભિવ્યક્તિઓ એકરૂપ થાય છે. મર્યાદા $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ માટે બંને શરતો સંતુષ્ટ છે. તેથી, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. અને આનો અર્થ એ છે કે:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
જવાબ આપો: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
ઉદાહરણ નંબર 4
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ શોધો.
$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ અને $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, અહીં આપણે ફોર્મની અનિશ્ચિતતા સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ $\frac(0)(0)$. જો કે, પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદાના સ્વરૂપનું ઉલ્લંઘન થાય છે. $\sin(5x)$ ધરાવતા અંશને $5x$ ના છેદની જરૂર છે. આ પરિસ્થિતિમાં, સૌથી સહેલો રસ્તો એ છે કે અંશને $5x$ વડે વિભાજીત કરો અને તરત જ $5x$ વડે ગુણાકાર કરો. વધુમાં, અમે છેદ સાથે સમાન કામગીરી કરીશું, $\tg(8x)$ ને $8x$ વડે ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરીશું:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
$x$ દ્વારા ઘટાડીને અને સતત $\frac(5)(8)$ને મર્યાદા ચિહ્નની બહાર લઈ જવાથી, અમને મળે છે:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
નોંધ કરો કે $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ એ પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા માટેની જરૂરિયાતોને પૂર્ણપણે સંતોષે છે. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ શોધવા માટે નીચેનું સૂત્ર લાગુ પડે છે:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
જવાબ આપો: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
ઉદાહરણ નંબર 5
$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ શોધો.
ત્યારથી $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (યાદ રાખો કે $\cos(0)=1$) અને $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, તો પછી અમે $\frac(0)(0)$ ફોર્મની અનિશ્ચિતતા સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. જો કે, પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા લાગુ કરવા માટે, તમારે અંશમાં કોસાઇનથી છૂટકારો મેળવવો જોઈએ, સાઈન (પછી સૂત્ર લાગુ કરવા માટે) અથવા સ્પર્શક (પછી સૂત્ર લાગુ કરવા માટે) તરફ આગળ વધવું જોઈએ. આ નીચેના રૂપાંતરણ સાથે કરી શકાય છે:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
ચાલો મર્યાદા પર પાછા જઈએ:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos) (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\જમણે) $$
અપૂર્ણાંક $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ પહેલેથી જ પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા માટે જરૂરી ફોર્મની નજીક છે. ચાલો અપૂર્ણાંક $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ સાથે થોડું કામ કરીએ, તેને પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદામાં સમાયોજિત કરીએ (નોંધ કરો કે અંશમાં અને સાઈન હેઠળના અભિવ્યક્તિઓ મેળ ખાતી હોવી જોઈએ):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\જમણે)^2$$
ચાલો વિચારણા હેઠળની મર્યાદા પર પાછા જઈએ:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\જમણે) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) = 25. $$
જવાબ આપો: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
ઉદાહરણ નંબર 6
$\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ શોધો.
ત્યારથી $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ અને $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, પછી અમે અનિશ્ચિતતા સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ $\frac(0)(0)$. ચાલો આપણે તેને પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદાની મદદથી જાહેર કરીએ. આ કરવા માટે, ચાલો કોસાઈનથી સાઈન્સ તરફ જઈએ. ત્યારથી $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, પછી:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
આપેલ મર્યાદામાં સાઇન્સ તરફ જવાથી, અમારી પાસે હશે:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\) frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^) 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
જવાબ આપો: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
ઉદાહરણ નંબર 7
$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ $\alpha\neq ને આધીન મર્યાદાની ગણતરી કરો \ beta$.
વિગતવાર ખુલાસો અગાઉ આપવામાં આવ્યો હતો, પરંતુ અહીં આપણે ફક્ત નોંધીએ છીએ કે ફરીથી અનિશ્ચિતતા છે $\frac(0)(0)$. ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કોસાઈન્સમાંથી સાઈન તરફ જઈએ
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમને મળે છે:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ બીટા(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\જમણે)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\જમણે))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\જમણે))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\જમણે))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\જમણે))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\જમણે)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\જમણે))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\જમણે))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
જવાબ આપો: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ આલ્ફા^2)(2)$.
ઉદાહરણ નંબર 8
$\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ શોધો.
$\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (યાદ રાખો કે $\sin(0)=\tg(0)=0$) અને $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, તો અહીં આપણે $\frac(0)(0)$ ફોર્મની અનિશ્ચિતતા સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. ચાલો તેને નીચે પ્રમાણે તોડીએ:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\જમણે))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\જમણે)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$
જવાબ આપો: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
ઉદાહરણ નંબર 9
$\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))(x-3)\tg\frac(x-3)(2))$ શોધો.
$\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ અને $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, તો પછી $\frac(0)(0)$ ફોર્મની અનિશ્ચિતતા છે. તેના વિસ્તરણ તરફ આગળ વધતા પહેલા, ચલમાં ફેરફાર કરવો એ અનુકૂળ છે કે નવું ચલ શૂન્ય તરફ વળે (નોંધ કરો કે સૂત્રોમાં ચલ $\alpha \to 0$). ચલ $t=x-3$ રજૂ કરવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો છે. જો કે, વધુ પરિવર્તનની સુવિધા માટે (આ લાભ નીચે આપેલા સોલ્યુશન દરમિયાન જોઈ શકાય છે), તે નીચેનું રિપ્લેસમેન્ટ કરવા યોગ્ય છે: $t=\frac(x-3)(2)$. હું નોંધું છું કે આ કિસ્સામાં બંને રિપ્લેસમેન્ટ લાગુ છે, તે માત્ર એટલું જ છે કે બીજું રિપ્લેસમેન્ટ તમને અપૂર્ણાંક સાથે ઓછું કામ કરવાની મંજૂરી આપશે. ત્યારથી $x\to(3)$, પછી $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\જમણે| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\અંત(સંરેખિત)\જમણે| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin) (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\જમણે) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
જવાબ આપો: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
ઉદાહરણ નંબર 10
મર્યાદા શોધો $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.
ફરી એકવાર અમે અનિશ્ચિતતા સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ $\frac(0)(0)$. તેના વિસ્તરણ તરફ આગળ વધતા પહેલા, ચલમાં ફેરફાર એ રીતે કરવો અનુકૂળ છે કે નવું ચલ શૂન્ય તરફ વળે (નોંધ કરો કે સૂત્રોમાં ચલ $\alpha\to(0)$ છે). સૌથી સહેલો રસ્તો $t=\frac(\pi)(2)-x$ ચલ રજૂ કરવાનો છે. ત્યારથી $x\to\frac(\pi)(2)$, પછી $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\જમણે)^2) =\ડાબે|\frac(0)(0)\જમણે| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(સંરેખિત)\જમણે| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\જમણે))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
જવાબ આપો: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\જમણે)^2) =\frac(1)(2)$.
ઉદાહરણ નંબર 11
$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) મર્યાદા શોધો \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
આ કિસ્સામાં આપણે પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદાનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર નથી. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે પ્રથમ અને બીજી બંને મર્યાદાઓમાં માત્ર ત્રિકોણમિતિ કાર્યો અને સંખ્યાઓ શામેલ છે. ઘણીવાર આ પ્રકારના ઉદાહરણોમાં મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળ સ્થિત અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવાનું શક્ય છે. તદુપરાંત, ઉપરોક્ત સરળીકરણ અને કેટલાક પરિબળોના ઘટાડા પછી, અનિશ્ચિતતા અદૃશ્ય થઈ જાય છે. મેં આ ઉદાહરણ ફક્ત એક જ હેતુ માટે આપ્યું છે: તે બતાવવા માટે કે મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની હાજરીનો અર્થ એ નથી કે પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદાનો ઉપયોગ કરવો.
ત્યારથી $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (યાદ રાખો કે $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) અને $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે $\cos\frac(\pi)(2)=0$), તો અમારી પાસે છે $\frac(0)(0)$ ની અનિશ્ચિતતા સાથે વ્યવહાર. જો કે, આનો અર્થ એ નથી કે આપણે પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદાનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર પડશે. અનિશ્ચિતતાને છતી કરવા માટે, તે ધ્યાનમાં લેવું પૂરતું છે કે $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin(x))(1+\sin(x)) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
ડેમિડોવિચની સોલ્યુશન બુક (નં. 475) માં સમાન ઉકેલ છે. બીજી મર્યાદા માટે, આ વિભાગમાં અગાઉના ઉદાહરણોની જેમ, અમારી પાસે $\frac(0)(0)$ ફોર્મની અનિશ્ચિતતા છે. તે શા માટે ઉદભવે છે? તે ઉદભવે છે કારણ કે $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ અને $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. અમે આ મૂલ્યોનો ઉપયોગ અંશ અને છેદમાં સમીકરણોને પરિવર્તિત કરવા માટે કરીએ છીએ. અમારી ક્રિયાઓનો ધ્યેય અંશ અને છેદમાં સરવાળાને ઉત્પાદન તરીકે લખવાનો છે. માર્ગ દ્વારા, ઘણી વખત સમાન પ્રકારમાં ચલ બદલવાનું અનુકૂળ હોય છે, જે એવી રીતે બનાવવામાં આવે છે કે નવું ચલ શૂન્ય તરફ વળે છે (ઉદાહરણ તરીકે, આ પૃષ્ઠ પરના ઉદાહરણો નંબર 9 અથવા નંબર 10 જુઓ). જો કે, આ ઉદાહરણમાં બદલવાનો કોઈ અર્થ નથી, જો કે જો ઈચ્છા હોય તો, ચલ $t=x-\frac(2\pi)(3)$ ને બદલવું એ અમલમાં મૂકવું મુશ્કેલ નથી.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\જમણે )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\જમણે))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\જમણે))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\જમણે)\cdot\left( -\frac(1)(2)\જમણે)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
જેમ તમે જોઈ શકો છો, અમારે પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદા લાગુ કરવાની જરૂર નથી. અલબત્ત, જો તમે ઇચ્છો તો તમે આ કરી શકો છો (નીચે નોંધ જુઓ), પરંતુ તે જરૂરી નથી.
પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદાનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ શું છે? બતાવો\ છુપાવો
પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદાનો ઉપયોગ કરીને અમને મળે છે:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\જમણે))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3))\ જમણે))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\જમણે) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
જવાબ આપો: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
