સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓનો પરિચય. "ગાણિતિક મોડેલિંગ, સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ અને સોફ્ટવેર પેકેજો

ન્યૂનતમ પ્રોગ્રામ

વિશેષતામાં ઉમેદવારની પરીક્ષા

05.13.18 “ગાણિતિક મોડેલિંગ,
સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ અને સોફ્ટવેર પેકેજો"

રાસાયણિક, ભૂસ્તરશાસ્ત્રીય અને ખનિજશાસ્ત્રમાં
અને જૈવિક વિજ્ઞાન

પરિચય

આ પ્રોગ્રામ નીચેની શાખાઓ પર આધારિત છે: કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન; કોમ્પ્યુટેશનલ ગણિત; કમ્પ્યુટર્સ; રસાયણશાસ્ત્ર અને રાસાયણિક તકનીકમાં સાયબરનેટિક્સની પદ્ધતિઓ; રાસાયણિક તકનીકી સિસ્ટમોનું વિશ્લેષણ અને સંશ્લેષણ; રાસાયણિક તકનીકમાં આર્ટિફિશિયલ ઇન્ટેલિજન્સ અને હાઇબ્રિડ નિષ્ણાત સિસ્ટમોનો સિદ્ધાંત; રાસાયણિક તકનીકી પ્રક્રિયાઓનું ગાણિતિક મોડેલિંગ; તકનીકી સિસ્ટમોની વિશ્વસનીયતા અને કાર્યક્ષમતા.

આ કાર્યક્રમ રસાયણશાસ્ત્ર (અકાર્બનિક રસાયણશાસ્ત્ર) માં રશિયન ફેડરેશનના શિક્ષણ મંત્રાલયના ઉચ્ચ પ્રમાણીકરણ કમિશનની નિષ્ણાત કાઉન્સિલ દ્વારા રશિયન યુનિવર્સિટી ઓફ કેમિકલ ટેકનોલોજીની ભાગીદારી સાથે વિકસાવવામાં આવ્યો હતો. .

1. કોમ્પ્યુટેશનલ ગણિતની પદ્ધતિઓ

તફાવત યોજનાઓના સિદ્ધાંતમાંથી સામાન્ય માહિતી.મૂળભૂત ખ્યાલો અને વ્યાખ્યાઓ. અંદાજ. સ્થિરતાની ગણતરી. કન્વર્જન્સ પ્રમેય. ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રની કેટલીક સમસ્યાઓના મર્યાદિત-તફાવત એનાલોગ.

વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવા માટે તફાવત યોજનાઓ બનાવવા માટેની પદ્ધતિઓ.ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વિવિધ પદ્ધતિઓ. એક-પરિમાણીય સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે આધાર કાર્યોનું નિર્માણ. બહુપરીમાણીય સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે આધાર કાર્યોનું નિર્માણ. વેરિએશનલ-ડિફરન્સ અને પ્રોજેક્શન-ગ્રીડ સ્કીમ્સ. પ્રોજેક્શન-ગ્રીડ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બિન-સ્થિર સમસ્યાઓ માટે યોજનાઓનું નિર્માણ.

ગ્રીડ કાર્યોનું પ્રક્ષેપ.બિન-સ્થિર પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ. વિભાજન પદ્ધતિ. એકવચન મેટ્રિસીસ સાથે સિસ્ટમો માટે પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ.

બિન-સ્થિર સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ.સમય-આધારિત ઓપરેટરો સાથે બીજા ક્રમના અંદાજની તફાવત યોજનાઓ. ઉત્ક્રાંતિ પ્રકારનાં અસંગત સમીકરણો. બિન-સ્થિર સમસ્યાઓના વિભાજન માટેની પદ્ધતિઓ. મલ્ટિ કમ્પોનન્ટ કાર્ય વિભાજન. હાયપરબોલિક સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ.

સંયુક્ત સમીકરણો અને વિક્ષેપ પદ્ધતિઓ.મૂળભૂત અને સંયુક્ત સમીકરણો. વિક્ષેપ એલ્ગોરિધમ્સ. ઇજનવેલ્યુ સમસ્યાઓ માટે વિક્ષેપ સિદ્ધાંત પદ્ધતિ. લીનિયર ફંક્શનલ્સ માટે સંયોજક સમીકરણો અને વિક્ષેપ સિદ્ધાંત.

કેટલીક વ્યસ્ત સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે રચના અને સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ.મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ અને ઉદાહરણો. સતત ઓપરેટર સાથે વ્યસ્ત ઉત્ક્રાંતિ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ. સમય આધારિત ઓપરેટર સાથે વિપરિત ઉત્ક્રાંતિ સમસ્યા. વિક્ષેપ સિદ્ધાંત પદ્ધતિઓ પર આધારિત વ્યસ્ત સમસ્યાઓની રચના.

2. ગાણિતિક વિશ્લેષણની સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ

પ્રક્ષેપ અને સંખ્યાત્મક તફાવતની પદ્ધતિઓ.કાર્ય અંદાજિત સમસ્યાનું નિવેદન. લેગ્રેન્જ ઇન્ટરપોલેશન બહુપદી. લેગ્રેન્જ ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીની બાકીની મુદતનો અંદાજ. વિભાજિત તફાવતો અને તેમના ગુણધર્મો. ન્યુટનનું વિભાજિત તફાવત પ્રક્ષેપ સૂત્ર. બહુવિધ ગાંઠો સાથે વિભાજિત તફાવતો અને પ્રક્ષેપ. મર્યાદિત તફાવતોમાં સમીકરણો. ચેબીશેવ બહુપદી. પ્રક્ષેપ સૂત્રની બાકીની મુદતનો અંદાજ ઓછો કરવો. મર્યાદિત તફાવતો. સતત પિચ સાથે કોષ્ટકો માટે ઇન્ટરપોલેશન ફોર્મ્યુલા. કોષ્ટકોનું સંકલન. ઇન્ટરપોલેશન દરમિયાન રાઉન્ડિંગ ભૂલ વિશે. ઇન્ટરપોલેશન ઉપકરણની એપ્લિકેશનો. વ્યસ્ત પ્રક્ષેપણ. સંખ્યાત્મક તફાવત. સંખ્યાત્મક ભિન્નતા સૂત્રોની કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂલ પર. તર્કસંગત પ્રક્ષેપણ.

સંખ્યાત્મક એકીકરણ માટે પદ્ધતિઓ અને અલ્ગોરિધમ્સ.સૌથી સરળ ચતુર્થાંશ સૂત્રો. અનિર્ધારિત ગુણાંકની પદ્ધતિ. ચતુર્થાંશ ભૂલ અંદાજ. ન્યૂટન-કોટ્સ ચતુર્થાંશ સૂત્રો. ઓર્થોગોનલ બહુપદી. ગૌસીયન ચતુર્થાંશ સૂત્રો. પ્રાથમિક ચતુર્થાંશ સૂત્રોની ભૂલનો વ્યવહારુ અંદાજ. ઝડપથી ઓસીલેટીંગ કાર્યોનું એકીકરણ. સેગમેન્ટને સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરીને એકીકરણની ચોકસાઈ વધારવી. ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓના ફોર્મ્યુલેશન પર. ચતુર્થાંશ ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાનું નિવેદન. ચતુર્થાંશ સૂત્રના ગાંઠોના વિતરણનું ઑપ્ટિમાઇઝેશન. નોડ વિતરણના ઑપ્ટિમાઇઝેશનના ઉદાહરણો. અગ્રણી ભૂલ શબ્દ. પ્રાયોગિક ભૂલ આકારણી માટે રંજનો નિયમ. ઉચ્ચ ક્રમના પ્રક્ષેપણ દ્વારા પરિણામનું શુદ્ધિકરણ. અનિયમિત કેસમાં ઇન્ટિગ્રલ્સની ગણતરી. સ્વચાલિત પગલાની પસંદગી સાથે પ્રમાણભૂત પ્રોગ્રામ્સ બનાવવાના સિદ્ધાંતો.

કાર્યની અંદાજિત પદ્ધતિઓ.રેખીય ધોરણવાળી જગ્યામાં શ્રેષ્ઠ અંદાજ. હિલ્બર્ટ સ્પેસમાં શ્રેષ્ઠ અંદાજ અને તેના વ્યવહારિક બાંધકામમાં ઉદ્ભવતા પ્રશ્નો. ત્રિકોણમિતિ પ્રક્ષેપ. ડિસ્ક્રીટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ. ફાસ્ટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ. શ્રેષ્ઠ સમાન અંદાજ. શ્રેષ્ઠ સમાન અંદાજના ઉદાહરણો. શ્રેષ્ઠ સમાન અંદાજ માટે બહુપદી બનાવવા માટેની પુનરાવર્તિત પદ્ધતિ. સ્પ્લાઇન્સનો ઉપયોગ કરીને ઇન્ટરપોલેશન અને અંદાજ. એન્ટ્રોપી અને ઇ - એન્ટ્રોપી.

બહુપરીમાણીય સમસ્યાઓ.અનિર્ધારિત ગુણાંકની પદ્ધતિ. ઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિ અને નિયમિતકરણ. નિયમનનાં ઉદાહરણો. બહુપરિમાણીય સમસ્યાઓને એક-પરિમાણીયમાં ઘટાડવી. ત્રિકોણમાં કાર્યોનું પ્રક્ષેપ. એક સમાન ગ્રીડ પર સંખ્યાત્મક એકીકરણની ભૂલનો અંદાજ. સંખ્યાત્મક સંકલનની ભૂલ માટે નીચો અંદાજ. મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિ. સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે બિન-નિર્ધારિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવાની કાયદેસરતાની ચર્ચા. મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિના કન્વર્જન્સને વેગ આપવો.

બીજગણિતની સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ.અજાણ્યાઓને ક્રમિક રીતે બાકાત રાખવા માટેની પદ્ધતિઓ. પ્રતિબિંબ પદ્ધતિ. સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ. કમ્પ્યુટર પર સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિના અમલીકરણની સુવિધાઓ. b2-ભૂલના વ્યવહારુ અંદાજની પ્રક્રિયા અને કન્વર્જન્સના પ્રવેગક. પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાઓના કન્વર્જન્સ રેટનું ઑપ્ટિમાઇઝેશન. સીડેલ પદ્ધતિ. સૌથી વધુ ઢાળવાળી વંશની પદ્ધતિ. કન્જુગેટ ગ્રેડિયન્ટ પદ્ધતિ. સ્પેક્ટ્રલ સમકક્ષ ઓપરેટર્સનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ. સમીકરણોની સિસ્ટમ અને મેટ્રિસિસની શરતના અંદાજિત ઉકેલમાં ભૂલ. નિયમિતકરણ. ઇજનવેલ્યુઝની સમસ્યા. QR અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને સંપૂર્ણ eigenvalue સમસ્યાનું નિરાકરણ.

બિનરેખીય સમીકરણો અને ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓનું નિરાકરણ.સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ અને સંબંધિત મુદ્દાઓ. બિનરેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટે ન્યૂટનની પદ્ધતિ. ઉતરાણ પદ્ધતિઓ. બહુપરિમાણીય સમસ્યાઓને નીચલા-પરિમાણીય સમસ્યાઓમાં ઘટાડવા માટેની અન્ય પદ્ધતિઓ. સ્થાપના દ્વારા સ્થિર સમસ્યાઓનું નિરાકરણ.

સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો માટે કોચી સમસ્યાને ઉકેલવા માટેની સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ.ટેલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કોચી સમસ્યાનું નિરાકરણ. રંજ-કુટ્ટા પદ્ધતિઓ. પગલાં ભૂલ નિયંત્રણ સાથે પદ્ધતિઓ. એક-પગલાની પદ્ધતિઓ માટે ભૂલ અંદાજ. મર્યાદિત તફાવત પદ્ધતિઓ. અનિર્ધારિત ગુણાંકની પદ્ધતિ. મોડેલ સમસ્યાઓ પર મર્યાદિત-તફાવત પદ્ધતિઓના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ. મર્યાદિત-તફાવત પદ્ધતિઓનું ભૂલ અંદાજ. સમીકરણોની સિસ્ટમોના એકીકરણની સુવિધાઓ. બીજા ક્રમના સમીકરણોના સંખ્યાત્મક એકીકરણ માટેની પદ્ધતિઓ.

સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો માટે સીમા મૂલ્યની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ.બીજા ક્રમના સમીકરણ માટે સીમા મૂલ્યની સમસ્યાને ઉકેલવા માટેની સૌથી સરળ પદ્ધતિઓ. ગ્રીડ સીમા મૂલ્ય સમસ્યાનું ગ્રીનનું કાર્ય. સૌથી સરળ સીમા મૂલ્ય ગ્રીડ સમસ્યાનો ઉકેલ. કોમ્પ્યુટેશનલ અલ્ગોરિધમ્સના બંધ. પ્રથમ ઓર્ડર રેખીય સિસ્ટમો માટે સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓના ફોર્મ્યુલેશનની ચર્ચા. પ્રથમ ક્રમના સમીકરણોની સિસ્ટમો માટે સીમા મૂલ્યની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેના અલ્ગોરિધમ્સ. બિનરેખીય સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓ. ખાસ પ્રકારના અંદાજો. eigenvalues ​​શોધવા માટે મર્યાદિત-તફાવત પદ્ધતિઓ. એકીકરણ નોડ્સના વિતરણનું ઑપ્ટિમાઇઝેશન. વિવિધતાના સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓનું નિર્માણ. અનિયમિત કિસ્સામાં વૈવિધ્યસભર પદ્ધતિઓના કન્વર્જન્સમાં સુધારો. મર્યાદિત-તફાવત સમીકરણ લખવાના સ્વરૂપ પર આધાર રાખીને કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂલનો પ્રભાવ.

આંશિક વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ.ગ્રીડ પદ્ધતિના સિદ્ધાંતની મૂળભૂત વિભાવનાઓ. સૌથી સરળ હાઇપરબોલિક સમસ્યાઓનો અંદાજ. સ્થિર મતભેદનો સિદ્ધાંત. અસંતુલિત ઉકેલો સાથે બિનરેખીય સમસ્યાઓનું સંખ્યાત્મક ઉકેલ. એક-પરિમાણીય પેરાબોલિક સમીકરણ માટે તફાવત યોજનાઓ. લંબગોળ સમીકરણોનો તફાવત અંદાજ. કેટલાક અવકાશી ચલો સાથે પેરાબોલિક સમીકરણો ઉકેલવા. ગ્રીડ લંબગોળ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ.

અભિન્ન સમીકરણો ઉકેલવા માટે સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ.અવિભાજ્ય સમીકરણોને ચતુર્થાંશ સરવાળા સાથે બદલીને અવિભાજ્ય સમીકરણો ઉકેલવા. કર્નલને ડીજનરેટ સાથે બદલીને અભિન્ન સમીકરણો ઉકેલવા. પ્રથમ પ્રકારનું ફ્રેડહોમ અભિન્ન સમીકરણ.

3. લીનિયર પ્રોગ્રામિંગ પદ્ધતિઓ

રેખીય અસમાનતાના સિદ્ધાંતની મૂળભૂત બાબતો.

રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાઓની ગાણિતિક રચના.

રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે સિમ્પ્લેક્સ પદ્ધતિ.સિમ્પ્લેક્સ પદ્ધતિ. ટેબ્યુલર સ્વરૂપમાં સિમ્પ્લેક્સ પદ્ધતિ. સંશોધિત સિમ્પ્લેક્સ પદ્ધતિ. ડ્યુઅલ સિમ્પ્લેક્સ પદ્ધતિ.

રેખીય અસમાનતા અને રેખીય પ્રોગ્રામિંગની લંબાઈ અને સૈદ્ધાંતિક જટિલતા રેકોર્ડ કરો.

દ્વિ પદ્ધતિ, દૂર કરવાની પદ્ધતિ અને છૂટછાટ પદ્ધતિ.સીધી દ્વિ પદ્ધતિ. ફોરિયર-મોટ્ઝકીન નાબૂદી પદ્ધતિ. આરામ પદ્ધતિ.

રેખીય પ્રોગ્રામિંગમાં બહુપદી દ્રાવ્યતા પર વધારાના પરિણામો.કરમરકર દ્વારા વિકસિત બહુપદી રેખીય પ્રોગ્રામિંગ અલ્ગોરિધમ. મજબૂત બહુપદી અલ્ગોરિધમ્સ. Megiddo અલ્ગોરિધમ, એક નિશ્ચિત પરિમાણ સાથે રેખીય. પોલિટોપ્સની ફાઇન ક્લિપિંગ અને રાઉન્ડિંગ.

4. બિનરેખીય પ્રોગ્રામિંગની પદ્ધતિઓ અને અલ્ગોરિધમ્સ

અનિયંત્રિત ઑપ્ટિમાઇઝેશન પદ્ધતિઓ.ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ કર્યા વિના રેખીય શોધ. વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને રેખીય શોધ. રેખીય શોધના અલ્ગોરિધમિક મેપિંગ્સની બંધતા. ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ કર્યા વિના બહુપરીમાણીય શોધ. ઉપયોગ કરીને બહુપરીમાણીય શોધ. સંયુક્ત દિશાઓનો ઉપયોગ કરીને પદ્ધતિઓ.

દંડ અને અવરોધ કાર્યોની પદ્ધતિઓ.પેનલ્ટી ફંક્શનનો ખ્યાલ. દંડ કાર્યોની પદ્ધતિ. અવરોધ પદ્ધતિ.

સંભવિત દિશાઓની પદ્ધતિઓ. Zeutendijk પદ્ધતિ. ઝ્યુટેન્ડિજક પદ્ધતિનું કન્વર્જન્સ વિશ્લેષણ. રોઝન ગ્રેડિયન્ટ પ્રોજેક્શન પદ્ધતિ. વુલ્ફની ઘટેલી ઢાળ પદ્ધતિ. બહિર્મુખ સિમ્પ્લેક્સ Zangwill પદ્ધતિ.

રેખીય પૂરકતા. ચતુર્ભુજ, વિભાજિત અપૂર્ણાંક રેખીય પ્રોગ્રામિંગ.રેખીય પૂરક સમસ્યા. ચતુર્ભુજ પ્રોગ્રામિંગ. વિભાજિત પ્રોગ્રામિંગ. અપૂર્ણાંક રેખીય પ્રોગ્રામિંગ.

5. સંભાવના સિદ્ધાંતના તત્વો
અને ગાણિતિક આંકડા

સંભાવના સિદ્ધાંતની મૂળભૂત વિભાવનાઓ.ઘટના. ઘટનાની સંભાવના. સંભાવનાઓની સીધી ગણતરી. ઘટનાની આવર્તન અથવા આંકડાકીય સંભાવના. રેન્ડમ ચલ. લગભગ અશક્ય અને વ્યવહારીક રીતે ચોક્કસ ઘટનાઓ. વ્યવહારુ નિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત.

સંભાવના સિદ્ધાંતના મૂળભૂત પ્રમેય.મુખ્ય પ્રમેયનો હેતુ. ઘટનાઓનો સરવાળો અને ઉત્પાદન. સંભાવના ઉમેરણ પ્રમેય. સંભાવના ગુણાકાર પ્રમેય. કુલ સંભાવના સૂત્ર. પૂર્વધારણા પ્રમેય (બેયસ સૂત્ર).

પુનરાવર્તિત પ્રયોગો.પ્રયોગોના પુનરાવર્તન પર વિશેષ પ્રમેય. પ્રયોગોના પુનરાવર્તન પર સામાન્ય પ્રમેય.

રેન્ડમ ચલ અને તેમના વિતરણ કાયદા.વિતરણ શ્રેણી. વિતરણ બહુકોણ. વિતરણ કાર્ય. આપેલ વિસ્તારમાં આવતા રેન્ડમ ચલની સંભાવના. વિતરણ ઘનતા. રેન્ડમ ચલોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ. તેમની ભૂમિકા અને હેતુ. સ્થિતિ લાક્ષણિકતાઓ (ગાણિતિક અપેક્ષા, સ્થિતિ, મધ્ય). પળો. વિખેરી નાખવું. પ્રમાણભૂત વિચલન. સમાન ઘનતાનો કાયદો. પોઈસનનો કાયદો.

સામાન્ય વિતરણ કાયદો.સામાન્ય કાયદો અને તેના પરિમાણો. સામાન્ય વિતરણની ક્ષણો. આપેલ ક્ષેત્રમાં આવતા સામાન્ય કાયદાને આધીન રેન્ડમ ચલની સંભાવના. સામાન્ય વિતરણ કાર્ય. સંભવિત (સરેરાશ) વિચલન.

પ્રાયોગિક ડેટાના આધારે રેન્ડમ ચલોના વિતરણના નિયમોનું નિર્ધારણ.ગાણિતિક આંકડાઓની મૂળભૂત સમસ્યાઓ. એક સરળ આંકડાકીય વસ્તી. આંકડાકીય વિતરણ કાર્ય. આંકડાકીય શ્રેણી. હિસ્ટોગ્રામ. આંકડાકીય વિતરણની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ. આંકડાકીય શ્રેણીનું સંરેખણ. સંમતિ માપદંડ.

સંભાવના સિદ્ધાંતના પ્રમેયને મર્યાદિત કરો.મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો અને કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય. ચેબીશેવની અસમાનતા. મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો (ચેબીશેવનું પ્રમેય). સામાન્યકૃત ચેબીશેવનું પ્રમેય. માર્કોવનું પ્રમેય. મોટી સંખ્યાના કાયદાની કોરોલરી: બર્નૌલી અને પોઈસનના પ્રમેય. માસ રેન્ડમ ઘટના અને કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય. લાક્ષણિક કાર્યો. સમાન રીતે વિતરિત શરતો માટે કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય. કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયને વ્યક્ત કરતા સૂત્રો અને તેની વ્યવહારિક એપ્લિકેશનમાં આવી.

પ્રયોગોની પ્રક્રિયા.મર્યાદિત સંખ્યામાં પ્રયોગોની પ્રક્રિયા કરવાની વિશિષ્ટતાઓ. વિતરણ કાયદાના અજાણ્યા પરિમાણો માટે અંદાજ. અપેક્ષા અને ભિન્નતા માટે અંદાજ. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ. આત્મવિશ્વાસની સંભાવના. સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત રેન્ડમ ચલના પરિમાણો માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલો બનાવવા માટેની ચોક્કસ પદ્ધતિઓ. આવર્તન દ્વારા સંભાવનાનો અંદાજ. રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ માટે અંદાજ. ફાયરિંગ પ્રક્રિયા. ઓછામાં ઓછી ચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પ્રાયોગિક અવલંબનનું સ્મૂથિંગ.

6. ગાણિતિક મોડેલિંગ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે માહિતી તકનીકો અને પ્રમાણભૂત સોફ્ટવેર પેકેજોના ઉપયોગની સામાન્ય લાક્ષણિકતાઓ

હેતુ અને માહિતી CASE તકનીકોની લાક્ષણિકતાઓ.

હેતુ અને માહિતી CAPE ટેકનોલોજીની લાક્ષણિકતાઓ.

માહિતી CALS તકનીકોનો હેતુ અને લાક્ષણિકતાઓ.

ગાણિતિક મોડેલિંગ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ઈન્ટરનેટનો ઉપયોગ કરવાની સ્થિતિ અને સંભાવનાઓ.

ઑબ્જેક્ટ-ઓરિએન્ટેડ પ્રોગ્રામિંગ લેંગ્વેજ અને વિઝ્યુઅલ પ્રોગ્રામિંગ ટૂલ્સ ગાણિતિક મોડેલિંગ પ્રોગ્રામ્સના સંકુલ બનાવવા માટેના સાધનો તરીકે.

7. રાસાયણિક તકનીકી પ્રક્રિયાઓના ગાણિતિક મોડેલિંગના સૈદ્ધાંતિક પાયા

જટિલ રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાઓનું ગાણિતિક મોડેલિંગ.પ્રતિક્રિયા પદ્ધતિ વિશે પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ અને ગતિ સ્થિરાંકોનો અંદાજ કાઢવો. ગતિ પરિમાણોનું શુદ્ધિકરણ અને ગતિ પૂર્વધારણાઓનો ભેદભાવ.

આઇસોથર્મલ રિએક્ટરના ગાણિતિક મોડલ.ટ્યુબ્યુલર રિએક્ટર (પ્લગ-ફ્લો રિએક્ટર) અને બેચ રિએક્ટરના મોડલ. સ્ટિરર (આદર્શ મિશ્રણ રિએક્ટર) સાથે ફ્લો રિએક્ટરના મોડલ્સ. ટ્યુબ્યુલર ફ્લો રિએક્ટરના નમૂનાઓ મિશ્રણને ધ્યાનમાં લેતા (પ્રસરણ પ્રકારનું રિએક્ટર).

બિન-ઇસોથર્મલ રિએક્ટરના ગાણિતિક મોડલ . સ્યુડોહોમોજીનીયસ મોડલ્સ. બે તબક્કાના મોડલ. લાક્ષણિક રિએક્ટર મોડ્સનું સ્થિરતા વિશ્લેષણ. પોલીટ્રોપિક રિએક્ટરની શ્રેષ્ઠ તાપમાન પ્રોફાઇલનું નિર્ધારણ. ઓટોથર્મલ રિએક્ટરના મોડલ્સ.

વિજાતીય ઉત્પ્રેરક રિએક્ટરના ગાણિતિક મોડલ.સરળ પ્રતિક્રિયાઓના ગતિશાસ્ત્ર માટે સમીકરણોના સ્વરૂપનું સમર્થન. સરળ પ્રતિક્રિયાઓના ગતિ સમીકરણોની પર્યાપ્તતાની પ્રાયોગિક ચકાસણી માટેની પદ્ધતિ.

ગાણિતિક વિકાસ માટે પ્રાયોગિક અને આંકડાકીય પદ્ધતિઓ ભૌતિક અને રાસાયણિક પ્રક્રિયાઓના નમૂનાઓ. રીગ્રેસન અને સહસંબંધ વિશ્લેષણની પદ્ધતિઓ. શ્રેષ્ઠ પ્રયોગોના આયોજન માટેની પદ્ધતિઓ: સંપૂર્ણ હકીકતલક્ષી પ્રયોગ; અપૂર્ણાંક પ્રતિકૃતિઓ; બીજા ક્રમની ઓર્થોગોનલ યોજનાઓ; બીજા ક્રમની રોટેટેબલ યોજનાઓ; પ્રયોગોના આયોજન માટે સિમ્પ્લેક્સ પદ્ધતિ.

પર્યાપ્ત ગાણિતિક મોડેલો તપાસવા માટેની પદ્ધતિઓ . કોષ્ટકો, હિસ્ટોગ્રામ અને વિતરણ કાર્યોનું નિર્માણ અને વિશ્લેષણ. ક્ષણોની પદ્ધતિ. ઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિ.

લાક્ષણિક રાસાયણિક તકનીકી પ્રક્રિયાઓના ગાણિતિક મોડલ . લાક્ષણિક પ્રવાહ માળખાના ગાણિતિક મોડલ: આદર્શ વિસ્થાપન મોડલ; આદર્શ મિશ્રણ મોડેલો; એક-પેરામીટર અને બે-પેરામીટર પ્રસરણ મોડલ; સેલ મોડેલ; સંયુક્ત મોડેલ. લાક્ષણિક હીટ ટ્રાન્સફર પ્રક્રિયાઓના ગાણિતિક મોડલ: ફ્યુરિયર-કિર્ચહોફ કન્વેક્ટિવ ટ્રાન્સફર સમીકરણો; ફોરિયર ગરમી સમીકરણ; ન્યૂટનનું સમીકરણ; આદર્શ વિસ્થાપન મોડલ; આદર્શ મિશ્રણ મોડેલ; સેલ્યુલર અને પ્રસરણ મોડલ. હીટ એક્સ્ચેન્જર્સના ગાણિતિક મોડલ (પાઈપમાં પાઇપ). લાક્ષણિક માસ ટ્રાન્સફર પ્રક્રિયાઓના ગાણિતિક મોડલ: પરમાણુ અને સંવર્ધક પરિવહન માટે ફિક સમીકરણો; ન્યુટનનું સમીકરણ. નિસ્યંદન સ્તંભોમાં દ્વિસંગી અને મલ્ટિકમ્પોનન્ટ મિશ્રણની વિભાજન પ્રક્રિયાઓના ગાણિતિક મોડલ. ગ્રાફ થિયરીના આધારે પરમાણુઓની સમાનતાનું વિશ્લેષણ કરવાની પદ્ધતિઓ.

8. ગાણિતિક મોડેલિંગની પદ્ધતિઓ, રાસાયણિક તકનીકી પ્રણાલીઓના વિશ્લેષણ અને સંશ્લેષણ માટેના અલ્ગોરિધમ્સ

રાસાયણિક તકનીકી પ્રણાલીઓ (CTS) ના ગાણિતિક મોડેલિંગ અને વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતો ). સીટીએસનું ઓપરેટર-સિમ્બોલિક ગાણિતિક મોડલ. સ્ટેટિક સીટીએસ મોડ્સને ઓળખવા માટેની સીધી પદ્ધતિઓ. રાસાયણિક સાધનોની ડિઝાઇન અને સંચાલનની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની મુખ્ય પદ્ધતિ ગાણિતિક મોડેલિંગ છે. રાસાયણિક ઇજનેરી વિશ્લેષણની સમસ્યાઓ હલ કરવાના નિવેદન અને સિદ્ધાંતો. સીટીએસ વિશ્લેષણના બ્લોક સિદ્ધાંતની લાક્ષણિકતાઓ. રાસાયણિક પદાર્થોના સામગ્રી-ઉષ્મા સંતુલનના સમીકરણોની સિસ્ટમનું સામાન્ય દૃશ્ય. સામગ્રી અને ગરમીના સંતુલનનાં સમીકરણોની પ્રણાલીઓના સંકલન માટે પ્રારંભિક ડેટાની તૈયારી. સામગ્રી અને ગરમીના સંતુલનના સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉકેલના અસ્તિત્વના ચિહ્નો. સીટીએસની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીનું નિર્ધારણ. સીટીએસના રેગ્યુલેટેડ અને ઑપ્ટિમાઇઝિંગ માહિતી ચલોની પસંદગી માટે ભલામણો.

સીટીએસના ટોપોલોજીકલ મોડલ્સ બનાવવાના સિદ્ધાંતો . રાસાયણિક બંધારણોના ટોપોલોજીકલ મોડલ્સનું વર્ગીકરણ અને હેતુ. ગ્રાફ થિયરીના ફંડામેન્ટલ્સ. ગ્રાફનું મેટ્રિક્સ પ્રતિનિધિત્વ. XTS ફ્લો ગ્રાફ. પેરામેટ્રિક ફ્લો ગ્રાફ. સામગ્રી પ્રવાહ આલેખ. થર્મલ ફ્લો આલેખ. વ્યાયામ પ્રવાહ આલેખ. ચક્રીય પ્રવાહ આલેખ. XTS ના માહિતી પ્રવાહ આલેખ. દ્વિપક્ષીય માહિતી આલેખ. માહિતી આલેખ. XTS સિગ્નલ આલેખ. CTS ના માળખાકીય આલેખ.

જટિલ રાસાયણિક પ્રણાલીઓના વિશ્લેષણ અને ઑપ્ટિમાઇઝેશન માટે વિઘટન-ટોપોલોજિકલ પદ્ધતિઓ. રાસાયણિક પદાર્થોનું વિશ્લેષણ કરવા માટે સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓની સામાન્ય લાક્ષણિકતાઓ. બિનરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ અને ગાણિતીક નિયમો: સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ અને તેના ફેરફારો; ન્યુટનની પદ્ધતિ; અર્ધ-ન્યૂટન પદ્ધતિઓ; ન્યૂનતમ પદ્ધતિ; પરિમાણ દ્વારા તફાવતની પદ્ધતિ. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ: રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓની સામાન્ય લાક્ષણિકતાઓ; સીધી પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ. રાસાયણિક ઇજનેરીના બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે વિવિધ સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓની કાર્યક્ષમતા. સમસ્યાની ગાણિતિક રચના અને CTS ઓપ્ટિમાઇઝેશન પદ્ધતિઓનું વર્ગીકરણ. જટિલ રાસાયણિક પ્રણાલીઓને ઑપ્ટિમાઇઝ કરવા માટે બે-સ્તરની પદ્ધતિઓ: બે-સ્તરની પદ્ધતિઓની સામાન્ય વ્યૂહરચના; મધ્યવર્તી ચલોને ઠીક કરવાની પદ્ધતિ; કિંમત પદ્ધતિ; સીટીએસના ડિજિટલ મોડેલિંગ માટે વિશેષ કાર્યક્રમોની સામાન્ય લાક્ષણિકતાઓ.

9. કૃત્રિમ બુદ્ધિ પદ્ધતિઓ
અને નિષ્ણાત સિસ્ટમો બનાવવાના સિદ્ધાંતો

કૃત્રિમ બુદ્ધિ એ નિષ્ણાત સિસ્ટમો બનાવવા માટેનો વૈજ્ઞાનિક આધાર છે . કૃત્રિમ બુદ્ધિના ક્ષેત્રમાં વૈજ્ઞાનિક સંશોધનની આધુનિક દિશાઓ. વૈજ્ઞાનિક અને તકનીકી પ્રવૃત્તિના અનૌપચારિક કાર્યો અને જ્ઞાનના પ્રતિનિધિત્વ મોડેલોનું વર્ગીકરણ. રસાયણશાસ્ત્રમાં અનૌપચારિક સમસ્યાઓ. રાસાયણિક તકનીકી સિસ્ટમોની રચનામાં અનૌપચારિક કાર્યો. રાસાયણિક-તકનીકી પ્રણાલીઓના સંચાલનમાં અનૌપચારિક કાર્યો. હ્યુરિસ્ટિક પ્રોગ્રામિંગ અને ઓટોમેટેડ લર્નિંગ.

અનૌપચારિક સમસ્યાઓના ઉકેલો શોધવા માટે જ્ઞાન રજૂઆતના નમૂનાઓ અને પ્રક્રિયાઓની સામાન્ય લાક્ષણિકતાઓ. જ્ઞાનની રજૂઆતના તાર્કિક અને તાર્કિક-ભાષાકીય મોડલ. જ્ઞાનની રજૂઆતના નેટવર્ક માળખાકીય-ભાષાકીય મોડલ. ફ્રેમ અને ઉત્પાદન નિયમોની સામાન્ય લાક્ષણિકતાઓ. જ્ઞાન પ્રતિનિધિત્વ મોડેલો અને ડેટા મોડેલો વચ્ચેનો સંબંધ. અનૌપચારિક સમસ્યાઓના ઉકેલો શોધવા માટેની પદ્ધતિઓ અને પ્રક્રિયાઓ. કુદરતી ભાષાના નમૂનાઓનો પરિચય. ન્યુરલ નેટવર્કનો ખ્યાલ અને રાસાયણિક તકનીકમાં તેમની એપ્લિકેશન.

અસ્પષ્ટ જ્ઞાન પ્રતિનિધિત્વ મોડેલો અને બિન-નિર્ધારિત નિર્ણય અનુમાન પ્રક્રિયાઓ . રસાયણશાસ્ત્ર અને રાસાયણિક તકનીકમાં અસ્પષ્ટ જ્ઞાનનો ખ્યાલ. અવિશ્વસનીય ડેટા સાથે અચોક્કસ તર્ક માટેની પદ્ધતિઓ. અસ્પષ્ટ અને સંભવિત તર્ક વિશે સામાન્ય માહિતી. ફઝી સેટ થિયરીના મૂળભૂત ખ્યાલો. અસ્પષ્ટ સમૂહોના સિદ્ધાંત પર આધારિત જ્ઞાન રજૂઆતના નમૂનાઓ.

જ્ઞાનની રજૂઆતના માળખાકીય અને ભાષાકીય મોડેલો અને ઉકેલો મેળવવા માટેની પ્રક્રિયા . વર્ગીકરણ અને ફ્રેમ વિકાસના સિદ્ધાંતો. ફ્રેમ અને અનુમાન પ્રક્રિયાઓની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ. સિમેન્ટીક નેટવર્ક્સના વિવિધ વર્ગોના નિર્માણના સિદ્ધાંતો. સિમેન્ટીક નેટવર્ક્સનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલોની અનુમાન લગાવવા માટેની પ્રક્રિયાઓ.

જ્ઞાનની રજૂઆતના તાર્કિક મોડલ અને તાર્કિક અનુમાન પ્રક્રિયાઓ . પ્રેડિકેટ કેલ્ક્યુલસ પર આધારિત જ્ઞાનની રજૂઆતના નમૂનાઓ. આનુમાનિક પ્રણાલીઓમાં ઔપચારિક અનુમાન માટેની પ્રક્રિયાઓ. રીઝોલ્યુશન સિદ્ધાંત પર આધારિત અનુમાન પ્રક્રિયાઓ. પ્રેડિકેટ કેલ્ક્યુલસનું સોફ્ટવેર અમલીકરણ.

ઉત્પાદન સિસ્ટમો અને નિર્ણય આઉટપુટ નિયંત્રણ કામગીરી. ઔપચારિક જ્ઞાન પ્રતિનિધિત્વ પ્રણાલી તરીકે ઉત્પાદન પ્રણાલીની મૂળભૂત વિભાવનાઓ. પ્રોગ્રામિંગ સિસ્ટમ્સ તરીકે પ્રોડક્શન સિસ્ટમ્સની કાર્યાત્મક માળખું. ઉત્પાદન પ્રણાલીઓમાં ઉકેલો શોધવા માટેની વ્યૂહરચનાઓ. સોલ્યુશન્સ માટે મર્યાદિત શોધનો આદેશ આપ્યો છે.

નિષ્ણાત સિસ્ટમ્સ અને બુદ્ધિશાળી પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓનું આર્કિટેક્ચર . નિષ્ણાત સિસ્ટમોના મૂળભૂત ગુણધર્મો. નિષ્ણાત સિસ્ટમોનું આર્કિટેક્ચર. નિષ્ણાત પ્રણાલીઓની કામગીરી અને વર્ગીકરણની પદ્ધતિઓ. નિષ્ણાત સિસ્ટમો વિકસાવવાના મુખ્ય તબક્કાઓ.

આર્ટિફિશિયલ ઇન્ટેલિજન્સ પ્રોગ્રામિંગ લેંગ્વેજ એ નિષ્ણાત સિસ્ટમ્સ વિકસાવવા માટેના સાધનો છે. ભાષા-સોફ્ટવેર ટૂલ્સના મૂળભૂત ખ્યાલો અને વર્ગીકરણ. કાર્યાત્મક પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓની સામાન્ય લાક્ષણિકતાઓ. લોજિક પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓ વિશે મૂળભૂત માહિતી. ઑબ્જેક્ટ-ઓરિએન્ટેડ પ્રોગ્રામિંગનો ખ્યાલ. ઑબ્જેક્ટ-ઓરિએન્ટેડ પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓની લાક્ષણિકતાઓ.

જ્ઞાન પ્રતિનિધિત્વ ભાષાઓની સામાન્ય લાક્ષણિકતાઓ . જ્ઞાનની રજૂઆત માટે ફ્રેમ ભાષાઓ. ઉત્પાદન-લક્ષી પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓ. વ્યાકરણ-સિમેન્ટીક ટેક્સ્ટ પ્રોસેસિંગની ભાષાનો ખ્યાલ.

રાસાયણિક તકનીકમાં નિષ્ણાત પ્રણાલીના મુખ્ય પ્રકારોની લાક્ષણિકતાઓ . શ્રેષ્ઠ રાસાયણિક તકનીકી પ્રણાલીઓના સ્વચાલિત સંશ્લેષણ માટે નિષ્ણાત સિસ્ટમો. રાસાયણિક તકનીકમાં નિષ્ણાત સિસ્ટમોની સલાહ લેવી. રાસાયણિક તકનીકી પ્રક્રિયાઓના સ્વચાલિત નિયંત્રણ અને નિદાન માટે નિષ્ણાત સિસ્ટમ્સ. રસાયણશાસ્ત્રમાં નિષ્ણાત સિસ્ટમો. મુખ્ય ગેસ પરિવહનના પરિસ્થિતિગત નિયંત્રણ માટે બુદ્ધિશાળી સ્વચાલિત સિસ્ટમો. નિષ્ણાત સિસ્ટમો માટે તકનીકી પાઠોના અર્થને સમજવા માટે સિમેન્ટીક-ગાણિતિક મોડેલ.

ગેસ ફ્રેક્શનેશન સિસ્ટમ્સના સંશ્લેષણ માટે હાઇબ્રિડ નિષ્ણાત સિસ્ટમ બનાવવાના સિદ્ધાંતો . ગેસ ફ્રેક્શનેશન સિસ્ટમ્સના સંશ્લેષણ માટે અનૌપચારિક સમસ્યાનું નિવેદન. ગેસ ફ્રેક્શનેશન સિસ્ટમ્સના સ્વયંસંચાલિત સંશ્લેષણ માટે જ્ઞાન રજૂઆતના ઉત્પાદન-ફ્રેમ મોડેલો. ગેસ ફ્રેક્શનેશન સિસ્ટમ્સના સંશ્લેષણ માટે વિઘટન હ્યુરિસ્ટિક-ઉત્પાદન પ્રક્રિયા. લક્ષ્ય ઉત્પાદનોને અલગ કરવા માટે શ્રેષ્ઠ ક્રમ જનરેટ કરવા માટે ઉત્પાદક-કમ્પ્યુટેશનલ અલ્ગોરિધમ.

ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટલ હાઇબ્રિડ નિષ્ણાત સિસ્ટમ "એક્રાન-એક્સટીએસ" નો વિકાસ અને ઉપયોગ. હેતુ, ક્ષમતાઓ અને કામગીરીની રીતો. આર્કિટેક્ચર અને કામગીરી. વપરાશકર્તા અને નિષ્ણાત સિસ્ટમ વચ્ચે બુદ્ધિશાળી સંવાદ.

મૂળભૂત સાહિત્ય

કોમ્પ્યુટેશનલ મેથેમેટિક્સનો માર્ચુક: પ્રોક. ભથ્થું એમ.: નૌકા, 1989.

કોમ્પ્યુટેશનલ ગણિતમાં રાયબેન્કી. એમ.: નૌકા, 1994.

કોબેલકોવ પદ્ધતિઓ. પાઠ્યપુસ્તક ભથ્થું એમ.: નૌકા, 1987.

કહાનેર ડી., મોલર કે., નેશ એસ. સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ અને સોફ્ટવેર. એમ.: મીર, 1998.

સમસ્યાઓ અને કસરતોમાં ટિમોખોવ ઓપ્ટિમાઇઝેશન. એમ.: નૌકા, 1991.

Skhrayver A. રેખીય અને પૂર્ણાંક પ્રોગ્રામિંગનો સિદ્ધાંત. 2 વોલ્યુમમાં. પ્રતિ. અંગ્રેજીમાંથી એમ.: મીર, 1991.

બજાર એમ., શેટ્ટી કે. નોનલાઇનર પ્રોગ્રામિંગ. સિદ્ધાંત અને ગાણિતીક નિયમો. પ્રતિ. અંગ્રેજીમાંથી એમ.: મીર, 1982.

રાસાયણિક તકનીકમાં મિક્સર સિસ્ટમ્સ. સિદ્ધાંતની મૂળભૂત બાબતો, વિકાસ અને એપ્લિકેશનનો અનુભવ. એમ.: રસાયણશાસ્ત્ર, 1995.

મેશાલ્કિન અને રાસાયણિક-તકનીકી સિસ્ટમોનું સંશ્લેષણ. એમ.: રસાયણશાસ્ત્ર, 1991.

સંભાવનાઓનું વેન્ટઝલ. પાઠ્યપુસ્તક યુનિવર્સિટીઓ માટે. 6ઠ્ઠી આવૃત્તિ. ભૂંસી નાખ્યું એમ.: ઉચ્ચ શાળા, 1999.

આધુનિક વિશ્વમાં, ગણિત એ વ્યક્તિ માટે તેની આસપાસના વિશ્વને સમજવા માટેનું એક મહત્વપૂર્ણ સાધન બની રહ્યું છે. ગણિત એ સૈદ્ધાંતિક સંશોધનની મુખ્ય પદ્ધતિ છે અને પ્રાકૃતિક વિજ્ઞાન અને તકનીકમાં એક વ્યવહારુ સાધન છે, ગણિત વિના ગંભીર વૈજ્ઞાનિક અને ઇજનેરી ગણતરીઓ હાથ ધરવી સંપૂર્ણપણે અશક્ય છે. તે કારણ વિના નથી કે જર્મન શાસ્ત્રીય ફિલસૂફીના સ્થાપક, ઇમેન્યુઅલ કાન્ટ (1742 - 1804), એવી દલીલ કરે છે કે "દરેક વ્યક્તિગત પ્રાકૃતિક વિજ્ઞાનમાં વ્યક્તિ વિજ્ઞાનને માત્ર એટલું જ યોગ્ય શોધી શકે છે જ્યાં સુધી વ્યક્તિ તેમાં ગણિત શોધી શકે." ગણિત, વિજ્ઞાન તરીકે, વ્યવહારિક સમસ્યાઓ હલ કરવાની જરૂરિયાતના સંબંધમાં ઉદ્ભવ્યું: જમીન પર માપન, નેવિગેશન, વગેરે. આ કારણે, ગણિત હંમેશા સંખ્યાત્મક ગણિત રહ્યું છે, તેનું લક્ષ્ય સંખ્યાઓના સ્વરૂપમાં સમસ્યાઓના ઉકેલ મેળવવાનું છે. કમ્પ્યુટર્સની રચનાએ ગણિતના વિકાસને નવી પ્રેરણા આપી, નવી શાખાઓ દેખાઈ: "ગાણિતિક અર્થશાસ્ત્ર", "ગાણિતિક રસાયણશાસ્ત્ર", "ગાણિતિક ભાષાશાસ્ત્ર", વગેરે. "ગાણિતિક મોડેલિંગ" ની વિભાવના ઊભી થઈ. શબ્દ " મોડેલ"લેટિનમાંથી આવે છે મોડસ(કોપી, છબી, રૂપરેખા). મોડેલિંગ એ અમુક ઑબ્જેક્ટ A (મૂળ) ને અન્ય ઑબ્જેક્ટ B (મોડલ) સાથે બદલવાનું છે.

ગાણિતિક મોડેલ એ ગાણિતિક વિભાવનાઓનો ઉપયોગ કરીને વાસ્તવિકતાનું સરળ વર્ણન છે. ગાણિતિક મોડેલિંગ એ વાસ્તવિક પ્રક્રિયાઓ અને ઘટનાઓના ગાણિતિક મોડેલો બનાવવા અને અભ્યાસ કરવાની પ્રક્રિયા છે, એટલે કે. ગણિતની ભાષામાં તેમના અંદાજિત વર્ણનોનો ઉપયોગ કરીને વાસ્તવિક દુનિયામાં વસ્તુઓ અને પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસ કરવાની પદ્ધતિ - ગાણિતિક મોડલ્સ. ભૂતકાળના મહાન વૈજ્ઞાનિકોએ તેમના કાર્યોમાં કુદરતી ઘટના (ગાણિતિક મોડેલો) અને તેના સંશોધનના ગાણિતિક વર્ણનના નિર્માણ બંનેને જોડ્યા. જટિલ મોડેલોના વિશ્લેષણ માટે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે નવી, સામાન્ય રીતે સંખ્યાત્મક, પદ્ધતિઓ બનાવવાની જરૂર છે.

એકેડેમિશિયન એ.એ. સમર્સ્કીને ઘરેલું ગાણિતિક મોડેલિંગના સ્થાપક માનવામાં આવે છે. તેમણે વિખ્યાત ત્રિપુટી સાથે ગાણિતિક મોડેલિંગની પદ્ધતિ વ્યક્ત કરી « મોડેલ– અલ્ગોરિધમ– કાર્યક્રમ».

સ્ટેજ 1. મોડલ. અભ્યાસ હેઠળના ઑબ્જેક્ટનું મોડેલ પસંદ કરવામાં આવે છે અથવા બનાવવામાં આવે છે, જે ગાણિતિક સ્વરૂપમાં તેના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મોને પ્રતિબિંબિત કરે છે. સામાન્ય રીતે, વાસ્તવિક પ્રક્રિયાઓના ગાણિતિક મોડલ તદ્દન જટિલ હોય છે અને તેમાં બિનરેખીય કાર્યાત્મક વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમો શામેલ હોય છે. ગાણિતિક મોડેલનો મુખ્ય ભાગ સામાન્ય રીતે આંશિક વિભેદક સમીકરણો હોય છે. ઑબ્જેક્ટ વિશે પ્રારંભિક જ્ઞાન મેળવવા માટે, એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સના પરંપરાગત વિશ્લેષણાત્મક સાધનોનો ઉપયોગ કરીને બનાવેલ મોડેલની તપાસ કરવામાં આવે છે.

સ્ટેજ અલ્ગોરિધમ. કોમ્પ્યુટેશનલ એલ્ગોરિધમને કોમ્પ્યુટર પર બાંધવામાં આવેલ મોડેલને અમલમાં મૂકવા માટે પસંદ કરવામાં આવે છે અથવા વિકસાવવામાં આવે છે, જે મોડેલના મૂળભૂત ગુણધર્મોને વિકૃત ન કરવા જોઈએ અને જે સમસ્યાઓ હલ કરવામાં આવી રહી છે અને ઉપયોગમાં લેવાતા કમ્પ્યુટીંગ સાધનોની લાક્ષણિકતાઓને અનુરૂપ હોવા જોઈએ.

કોમ્પ્યુટેશનલ મેથેમેટિક્સ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને રચાયેલ ગાણિતિક મોડલનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. સ્ટેજ 3.. કાર્યક્રમ કમ્પ્યુટર પર મોડેલ અને અલ્ગોરિધમનો અમલ કરવા માટે સોફ્ટવેર બનાવવામાં આવે છે. બનાવેલ સૉફ્ટવેર ઉત્પાદનમાં ગાણિતિક મોડેલોના સમૂહનો ઉપયોગ કરવાની જરૂરિયાત અને ગણતરીઓના બહુવિધતા સાથે સંકળાયેલ ગાણિતિક મોડેલિંગની સૌથી મહત્વપૂર્ણ વિશિષ્ટતાઓને ધ્યાનમાં લેવી આવશ્યક છે. પરિણામે, સંશોધકને સાર્વત્રિક, લવચીક અને સસ્તું સાધન પ્રાપ્ત થાય છે, જે અજમાયશ સમસ્યાઓના સમૂહને હલ કરીને પ્રથમ ડીબગ, પરીક્ષણ અને માપાંકિત કરવામાં આવે છે. પછી અભ્યાસ હેઠળના પદાર્થના જરૂરી ગુણાત્મક અને માત્રાત્મક ગુણધર્મો અને લાક્ષણિકતાઓ મેળવવા માટે ગાણિતિક મોડેલનો મોટા પાયે અભ્યાસ હાથ ધરવામાં આવે છે. સૂચિત પદ્ધતિ ટેકનોલોજીના સ્વરૂપમાં વિકસાવવામાં આવી હતી. " કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગ એ એક માહિતી ટેકનોલોજી છે જે આસપાસના વિશ્વમાં ઘટનાઓનો અભ્યાસ કરવા માટે રચાયેલ છે જ્યારે સંપૂર્ણ-સ્કેલ પ્રયોગ કાં તો અશક્ય હોય (ઉદાહરણ તરીકે, માનવ સ્વાસ્થ્યનો અભ્યાસ કરતી વખતે), અથવા ખૂબ જોખમી (ઉદાહરણ તરીકે, પર્યાવરણીય ઘટનાનો અભ્યાસ કરતી વખતે), અથવા ખૂબ ખર્ચાળ હોય. અને જટિલ (ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે એસ્ટ્રોફિઝિકલ ઘટનાનો અભ્યાસ કરો). ગાણિતિક મોડેલિંગમાં કોમ્પ્યુટરનો વ્યાપક ઉપયોગ, વિકસિત થિયરી અને નોંધપાત્ર પ્રાયોગિક પરિણામો આપણને વૈજ્ઞાનિક અને વ્યવહારુ સંશોધન માટેની નવી ટેકનોલોજી અને પદ્ધતિ તરીકે કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગની વાત કરવાની મંજૂરી આપે છે. એન્જિનિયરિંગમાં કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગોનું ગંભીર અમલીકરણ હજુ સુધી ખૂબ વ્યાપક નથી, પરંતુ જ્યાં તે વાસ્તવમાં થાય છે (ઉડ્ડયન અને અવકાશ ઉદ્યોગોમાં), તેના ફળો ખૂબ જ નોંધપાત્ર છે. ચાલો પ્રાકૃતિક પ્રયોગની તુલનામાં ગણતરીના પ્રયોગના કેટલાક ફાયદાઓ નોંધીએ. કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગ સામાન્ય રીતે ભૌતિક પ્રયોગ કરતાં સસ્તો હોય છે. આ પ્રયોગ સરળતાથી અને સુરક્ષિત રીતે દખલ કરી શકાય છે. જો જરૂરી હોય તો તે ફરીથી પુનરાવર્તિત થઈ શકે છે અને કોઈપણ સમયે વિક્ષેપિત થઈ શકે છે. આ પ્રયોગ એવી પરિસ્થિતિઓનું અનુકરણ કરી શકે છે જે પ્રયોગશાળામાં બનાવી શકાતી નથી. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, સંપૂર્ણ પાયે પ્રયોગ હાથ ધરવો મુશ્કેલ અને ક્યારેક અશક્ય છે. મોટે ભાગે, સંપૂર્ણ પાયે કુદરતી પ્રયોગ હાથ ધરવા એ વિનાશક અથવા અણધારી પરિણામો (પરમાણુ યુદ્ધ, સાઇબેરીયન નદીઓનું ડાયવર્ઝન) અથવા માનવ જીવન અથવા આરોગ્ય માટે જોખમ સાથે સંકળાયેલું છે. મોટે ભાગે, આપત્તિજનક ઘટનાઓ (પરમાણુ રિએક્ટર અકસ્માત, ગ્લોબલ વોર્મિંગ અથવા આબોહવા ઠંડક, સુનામી, ભૂકંપ) ના સંશોધન અને આગાહી જરૂરી છે. આ કિસ્સાઓમાં, કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગ સંશોધનનું મુખ્ય માધ્યમ બની શકે છે. તેની સહાયથી, તેમની રચનાના તબક્કે નવા, હજી સુધી બનાવેલ માળખાં અને સામગ્રીના ગુણધર્મોની આગાહી કરવી શક્ય બને છે. તે જ સમયે, તે યાદ રાખવું આવશ્યક છે કે કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગના પરિણામોની પ્રયોજ્યતા અપનાવેલ ગાણિતિક મોડેલના માળખા દ્વારા મર્યાદિત છે. ફુલ-સ્કેલ સંશોધનથી વિપરીત, એક કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગ વ્યક્તિને અમુક ચોક્કસ શ્રેણીની સમસ્યાઓનો અભ્યાસ કરીને મેળવેલા પરિણામોને એકઠા કરવાની અને પછી અન્ય ક્ષેત્રોમાં સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે અસરકારક રીતે લાગુ કરવા દે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બિનરેખીય થર્મલ વાહકતાનું સમીકરણ માત્ર થર્મલ પ્રક્રિયાઓ જ નહીં, પણ દ્રવ્યના પ્રસાર, ભૂગર્ભજળની હિલચાલ અને છિદ્રાળુ માધ્યમોમાં ગેસ ગાળણનું પણ વર્ણન કરે છે. આ સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ જથ્થાઓનો માત્ર ભૌતિક અર્થ બદલાય છે. કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગના પ્રથમ તબક્કા પછી, મોડેલને રિફાઇન કરવું જરૂરી બની શકે છે. બીજા તબક્કે, અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી ઘટનામાં વધારાની અસરો અને જોડાણોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, અથવા કેટલીક પેટર્ન અને જોડાણોની અવગણના કરવી જરૂરી બને છે. પછી આ પ્રક્રિયાને ત્યાં સુધી પુનરાવર્તિત કરવામાં આવે છે જ્યાં સુધી તે ચકાસવામાં ન આવે કે જે ઑબ્જેક્ટનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે તેના માટે મોડેલ પર્યાપ્ત છે. સામાન્ય રીતે, ગાણિતિક મોડેલિંગ અને કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગની પ્રક્રિયામાં, વ્યાવસાયિક ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને પ્રોગ્રામરો ઉપરાંત, ચોક્કસ વિષય ક્ષેત્ર (બાયોલોજી, રસાયણશાસ્ત્ર, દવા, વગેરે) ના નિષ્ણાતો ભાગ લે છે. પ્રથમ ગંભીર કમ્પ્યુટિંગ પ્રયોગ યુએસએસઆરમાં 1968 માં વિદ્વાનો એ.એન. ટીખોનોવ અને એ.એ.ના નેતૃત્વમાં વૈજ્ઞાનિકોના જૂથ દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો. સમરા. આ કહેવાતી ટી-લેયર અસરની શોધ હતી (પ્લાઝમામાં તાપમાન વર્તમાન સ્તર જે MHD જનરેટરમાં રચાય છે) - એક એવી ઘટના જે ખરેખર કોઈએ અવલોકન કરી ન હતી. અને માત્ર થોડા વર્ષો પછી પ્રાયોગિક ભૌતિકશાસ્ત્ર પ્રયોગશાળાઓમાં ટી-લેયરની નોંધણી કરવામાં આવી હતી અને ટી-લેયર સાથે MHD જનરેટરના સંચાલનનો સિદ્ધાંત આખરે ટેક્નોલોજિસ્ટ્સ અને એન્જિનિયરોને સ્પષ્ટ થઈ ગયો હતો. સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓના ઉપયોગનું ઉત્તમ ઉદાહરણ નેપ્ચ્યુન ગ્રહની શોધ છે. યુરેનસ એ શનિની બાજુનો ગ્રહ છે, જે ઘણી સદીઓથી સૌથી દૂરનો ગ્રહ માનવામાં આવતો હતો. XIX સદીના 40 ના દાયકા સુધીમાં. સચોટ અવલોકનો દર્શાવે છે કે યુરેનસ બધા જાણીતા ગ્રહોની વિક્ષેપને ધ્યાનમાં લેતા, તેને અનુસરવા જોઈએ તે માર્ગથી ભાગ્યે જ નોંધપાત્ર રીતે વિચલિત થાય છે. લે વેરિયર (ફ્રાન્સમાં) અને એડમ્સ (ઈંગ્લેન્ડમાં) એ સૂચવ્યું કે જો જાણીતા ગ્રહોમાંથી વિક્ષેપ યુરેનસની ગતિમાં વિચલનને સમજાવતું નથી, તો તે હજી સુધી અજાણ્યા શરીરના આકર્ષણથી પ્રભાવિત થાય છે. તેઓએ લગભગ એકસાથે ગણતરી કરી કે યુરેનસની પાછળ ક્યાં કોઈ અજાણ્યું શરીર હોવું જોઈએ જે તેના ગુરુત્વાકર્ષણ સાથે આ વિચલનો ઉત્પન્ન કરે છે. તેઓએ અજાણ્યા ગ્રહની ભ્રમણકક્ષા, તેના સમૂહની ગણતરી કરી અને આકાશમાં તે સ્થાન સૂચવ્યું જ્યાં તે સમયે અજ્ઞાત ગ્રહ સ્થિત હોવો જોઈએ. આ ગ્રહ ટેલિસ્કોપ દ્વારા 1846માં દર્શાવેલ જગ્યાએ મળી આવ્યો હતો. તેને નેપ્ચ્યુન નામ આપવામાં આવ્યું હતું. નેપ્ચ્યુનના માર્ગની ગણતરી કરવામાં લે વેરિયરને છ મહિના લાગ્યા. લાગુ સમસ્યાઓના સંખ્યાત્મક ઉકેલમાં ગણિતશાસ્ત્રીઓ હંમેશા રસ ધરાવે છે. સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓનો વિકાસ તેમના સમયના મહાન વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો: ન્યૂટન, યુલર, લોબાચેવસ્કી, ગૌસ, હર્માઈટ, ચેબીશેવ, વગેરે. તેમના દ્વારા વિકસિત સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ તેમના નામ ધરાવે છે. સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓના વિકાસએ અન્ય વૈજ્ઞાનિક શાખાઓમાં ગણિતના ઉપયોગના અવકાશના સતત વિસ્તરણમાં ફાળો આપ્યો છે અને લાગુ વિકાસ કર્યો છે. કોમ્પ્યુટરના આગમનથી વૈજ્ઞાનિક અને તકનીકી ગણતરીઓની પ્રેક્ટિસમાં સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓના વધુ વ્યાપક પરિચયને શક્તિશાળી પ્રોત્સાહન મળ્યું. કોમ્પ્યુટેશનલ ઓપરેશન્સની ઝડપ લાખો ગણી વધી છે, જેણે ગાણિતિક સમસ્યાઓની વિશાળ શ્રેણીને ઉકેલવાનું શક્ય બનાવ્યું છે જે અગાઉ વ્યવહારીક રીતે વણઉકેલાયેલી હતી. સામાન્ય રીતે, આપેલ ગાણિતિક મોડેલ માટે સંખ્યાત્મક પદ્ધતિનું નિર્માણ બે તબક્કામાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: મૂળ ગાણિતિક સમસ્યાનું વિવેકીકરણ અને કોમ્પ્યુટેશનલ અલ્ગોરિધમનો વિકાસ જે વ્યક્તિને સ્વતંત્ર સમસ્યાનો ઉકેલ શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે. સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ માટે જરૂરિયાતોના બે જૂથો છે. પ્રથમ જૂથ મૂળ ગાણિતિક સમસ્યા માટે સ્વતંત્ર મોડેલની પર્યાપ્તતા સાથે સંકળાયેલું છે, બીજું - હાલની કમ્પ્યુટર તકનીક પર સંખ્યાત્મક પદ્ધતિની શક્યતા સાથે. પ્રથમ જૂથમાં સંખ્યાત્મક પદ્ધતિનું સંકલન, સંરક્ષણ કાયદાના અલગ એનાલોગનું અમલીકરણ અને અલગ સમસ્યાના ઉકેલ માટે ગુણાત્મક રીતે યોગ્ય વર્તન જેવી જરૂરિયાતોનો સમાવેશ થાય છે. ચાલો ધારીએ કે ગાણિતિક સમસ્યાનું અલગ મોડેલ એ મોટી સંખ્યામાં બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ છે. સામાન્ય રીતે, આપણે જેટલું વધુ સચોટ ઉકેલ મેળવવા માંગીએ છીએ, તેટલા વધુ સમીકરણો આપણે લેવાના છે. તેઓ કહે છે કે જો સમીકરણોની સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે, અલગ સમસ્યાનો ઉકેલ મૂળ સમસ્યાના ઉકેલ તરફ વળે તો સંખ્યાત્મક પદ્ધતિ એકરૂપ થાય છે. વાસ્તવિક કોમ્પ્યુટર માત્ર મર્યાદિત સંખ્યામાં સમીકરણો પર કામ કરી શકે છે, તેથી સામાન્ય રીતે વ્યવહારમાં કન્વર્જન્સ પ્રાપ્ત થતું નથી. સ્થિરતા એ ઇનપુટ ડેટા પર સતત અવલંબનનો ઉલ્લેખ કરે છે. સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ માટેની આવશ્યકતાઓનો બીજો જૂથ આપેલ કમ્પ્યુટર પર આપેલ સ્વતંત્ર મોડેલને અમલમાં મૂકવાની સંભાવના સાથે સંબંધિત છે, એટલે કે. સ્વીકાર્ય સમયમાં સંખ્યાત્મક ઉકેલ મેળવવાની ક્ષમતા સાથે. સામાન્ય રીતે, ભૌતિક અને તકનીકી સમસ્યાઓના અભ્યાસમાં ઉદ્દભવતી જટિલ કોમ્પ્યુટેશનલ સમસ્યાઓને સંખ્યાબંધ પ્રાથમિક સમસ્યાઓમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. ઘણી પ્રાથમિક સમસ્યાઓ સરળ હોય છે, તેનો સારી રીતે અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, તેમના માટે સંખ્યાત્મક ઉકેલ પદ્ધતિઓ વિકસાવવામાં આવી છે અને પ્રમાણભૂત ઉકેલ કાર્યક્રમો ઉપલબ્ધ છે. આ પ્રકરણનો હેતુ બીજગણિત અને ગાણિતિક પૃથ્થકરણની મૂળભૂત સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ અને સમસ્યાઓના આંકડાકીય ઉકેલમાં ઊભી થતી સમસ્યાઓના નિર્માણ અને અભ્યાસની પદ્ધતિનો પરિચય કરાવવાનો છે.

કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગ

ગાણિતિક ચંદ્રકનું નિર્માણ એ ઑબ્જેક્ટના અભ્યાસમાં સૌથી મુશ્કેલ અને મહત્વપૂર્ણ તબક્કાઓમાંનું એક છે. ગાણિતિક મોડલ ક્યારેય વિચારણા હેઠળની વસ્તુ સાથે સરખું હોતું નથી અને તેના તમામ ગુણધર્મો અને વિશેષતાઓને વ્યક્ત કરતું નથી. તે સરળીકરણ, આદર્શીકરણ પર આધારિત છે અને ઑબ્જેક્ટના વર્ણનનો અંદાજ છે. તેથી, આ મોડેલના આધારે પ્રાપ્ત પરિણામો હંમેશા અંદાજિત હોય છે. તેમની ચોકસાઈ પત્રવ્યવહારની ડિગ્રી અને મોડેલ અને ઑબ્જેક્ટની પર્યાપ્તતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. પ્રયોજિત ગણિતમાં ચોકસાઈનો પ્રશ્ન સૌથી મહત્વપૂર્ણ છે. જો કે, તે સંપૂર્ણ રીતે ગાણિતિક પ્રશ્ન નથી અને તેને ગાણિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને હલ કરી શકાતો નથી. સત્યનો મુખ્ય માપદંડ પ્રયોગ છે, એટલે કે. વિચારણા હેઠળના પદાર્થ સાથે ગાણિતિક મોડેલના આધારે મેળવેલા પરિણામોની સરખામણી. માત્ર પ્રેક્ટિસ જ વિવિધ કાલ્પનિક મોડલ્સની તુલના કરવાનું અને સૌથી સરળ અને સૌથી વિશ્વસનીય એક પસંદ કરવાનું શક્ય બનાવે છે, વિવિધ મોડલ્સની લાગુ પાડવાના ક્ષેત્રો અને તેમના સુધારણાની દિશા સૂચવે છે. ચાલો આપણે એક ખૂણા પર પ્રારંભિક વેગ સાથે પ્રકાશિત શરીરના માર્ગને નિર્ધારિત કરવા માટે જાણીતી બેલિસ્ટિક્સ સમસ્યાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને મોડેલના વિકાસને ધ્યાનમાં લઈએ. ક્ષિતિજ સુધી. સાથે શરૂ કરવા માટે, ચાલો ધારીએ કે ઝડપ અને શરીરની ફ્લાઇટ રેન્જ નાની છે. પછી ગેલિલિયોનું ગાણિતિક મોડેલ, નીચેની ધારણાઓ પર આધારિત, આ સમસ્યા માટે માન્ય રહેશે:

1) પૃથ્વી એક જડ પ્રણાલી છે;

2) મફત પતન પ્રવેગક
;

3) પૃથ્વી એક સપાટ શરીર છે;

4) કોઈ હવા પ્રતિકાર નથી.

આ કિસ્સામાં, અક્ષો સાથે શરીરની હિલચાલની ગતિના ઘટકો એક્સઅને ખાતેસમાન

અને તેમની રીતો

, (6.2)

જ્યાં t - ચળવળનો સમય.

પ્રથમ સમીકરણમાંથી ટી નક્કી કરીને અને તેને બીજામાં બદલીને, આપણે શરીરના માર્ગનું સમીકરણ મેળવીએ છીએ, જે પેરાબોલા છે.

(6.3)

શરત થી
અમને શરીરની ફ્લાઇટ રેન્જ મળે છે

(6.4)

જો કે, પ્રેક્ટિસ બતાવે છે તેમ, આ મોડેલના આધારે પ્રાપ્ત પરિણામો ફક્ત શરીરના નીચા પ્રારંભિક વેગ પર જ માન્ય છે. વિ<30м/с. С увеличением скоростиફ્લાઇટ રેન્જ ફોર્મ્યુલા (6.1) દ્વારા આપવામાં આવેલા મૂલ્ય કરતાં ઓછી થઈ જાય છે.

ટી પ્રયોગ અને ગણતરી સૂત્ર (6.1) વચ્ચેની આ વિસંગતતા ગેલિલિયોના મોડેલની અચોક્કસતા દર્શાવે છે, જે હવાના પ્રતિકારને ધ્યાનમાં લેતી નથી.

ચોખા. 6.1 - શારીરિક ફ્લાઇટ પાથ

ન્યુટને હવાના પ્રતિકારને ધ્યાનમાં રાખીને બેલિસ્ટિક સમસ્યાના મોડેલને વધુ શુદ્ધ કર્યું. આનાથી નોંધપાત્ર પ્રારંભિક વેગ પર ગોળીબાર કરાયેલા તોપના ગોળાના માર્ગની પૂરતી ચોકસાઈ સાથે ગણતરી કરવાનું શક્ય બન્યું.

સ્મૂથ-બોરથી રાઇફલ્ડ શસ્ત્રોમાં સંક્રમણથી અસ્ત્રોની ઝડપ, શ્રેણી અને ઊંચાઈમાં વધારો કરવાનું શક્ય બન્યું, જેના કારણે સમસ્યાના ગાણિતિક મોડલને વધુ શુદ્ધ કરવામાં આવ્યું. નવા ગાણિતિક મોડેલમાં, ગેલિલિયોના મોડેલમાં બનાવેલી તમામ ધારણાઓને સુધારી દેવામાં આવી હતી, એટલે કે. પૃથ્વીને હવે સપાટ અને જડ પ્રણાલી તરીકે ગણવામાં આવતી ન હતી, અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સતત હોવાનું માનવામાં આવતું ન હતું.

સમસ્યાના ગાણિતિક મોડેલના અનુગામી સુધારણા સંભાવના સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓના ઉપયોગ સાથે સંકળાયેલ છે. આ એ હકીકતને કારણે હતું કે અસ્ત્રો, બંદૂકો, ચાર્જ અને પર્યાવરણના પરિમાણો, સહનશીલતા અને અન્ય કારણોસર, યથાવત રહેતા નથી, પરંતુ રેન્ડમ વધઘટને આધિન છે.

ક્રમિક રિફાઇનમેન્ટ્સ અને સુધારાઓના પરિણામે, એક ગાણિતિક મોડેલ બનાવવામાં આવ્યું હતું જે બાહ્ય બેલિસ્ટિક્સની સમસ્યાનું સંપૂર્ણ અને સચોટ વર્ણન કરે છે. શૂટિંગ પરિણામો સાથે તેના ડેટાની સરખામણીએ સારો કરાર દર્શાવ્યો.

આ ઉદાહરણ ઑબ્જેક્ટના ગાણિતિક મોડેલના સર્જન, વિકાસ અને શુદ્ધિકરણના તબક્કાઓ દર્શાવે છે, જે સતત સરખામણી અને પ્રેક્ટિસ દ્વારા ચકાસણી સાથે હોય છે, એટલે કે. વાસ્તવિક વસ્તુ અથવા ઘટના સાથે. તે મોડેલ અને ઑબ્જેક્ટ દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવેલ પરિણામો વચ્ચેનો અપૂરતો સારો કરાર છે જે મોડેલમાં વધુ સુધારણાનું કારણ બને છે.

પૃષ્ઠ 1

હીટ ટ્રાન્સફર અને પ્રવાહી પ્રવાહ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ તકનીકી ઉપકરણોના વિશ્લેષણ અને વિકાસમાં સંખ્યાત્મક મોડેલિંગ પદ્ધતિઓ મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. અનુકૂળ કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રોગ્રામ્સમાં અમલમાં મૂકાયેલી આવી પદ્ધતિઓ, તેમના ઝડપી અમલીકરણ અને ખર્ચ-અસરકારકતાને કારણે પ્રાયોગિક માપનો વાસ્તવિક વિકલ્પ રજૂ કરે છે. સંખ્યાત્મક પૃથ્થકરણમાં ભૌમિતિક લાક્ષણિકતાઓ, ભૌતિક ગુણધર્મો, સીમાની સ્થિતિઓ પરનો વાસ્તવિક ડેટા હોઈ શકે છે અને તાપમાન, વેગ અને અન્ય ક્ષેત્રો તેમજ તેમના સંબંધિત પ્રવાહો વિશે સંપૂર્ણ અને વિગતવાર માહિતી પ્રદાન કરી શકે છે. વ્યવહારમાં, કેટલાક કિસ્સાઓમાં, ઉપકરણોનું વિશ્લેષણ અને ડિઝાઇન સંપૂર્ણપણે કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. કેટલાક પ્રાયોગિક સંશોધનો ઇચ્છિત હોય તેવા સંજોગોમાં, સંખ્યાત્મક સિમ્યુલેશનનો ઉપયોગ પ્રયોગોની ડિઝાઇન અને ડિઝાઇનમાં તેમની કિંમતમાં નોંધપાત્ર ઘટાડો કરવા અને પરિણામોને વિસ્તારવા અને સમૃદ્ધ બનાવવા માટે કરી શકાય છે.  

ગતિશીલ સંખ્યાત્મક મોડેલિંગ પદ્ધતિઓ આપેલ શરતો હેઠળ મોડેલ સિસ્ટમ્સના વર્તનનું અનુકરણ કરે છે, અને આ સંદર્ભમાં, સંખ્યાત્મક મોડેલિંગ વાસ્તવિક પ્રયોગ જેવું જ છે.  

ભૌતિક અને રાસાયણિક સંશોધનની પ્રેક્ટિસમાં મોલેક્યુલર સિસ્ટમ્સ (સંખ્યાત્મક પ્રયોગો) ના સંખ્યાત્મક મોડેલિંગની પદ્ધતિઓનો વધુને વધુ ઉપયોગ થાય છે. જો કે, સૌથી અદ્યતન કોમ્પ્યુટર ટેક્નોલોજી સાથે પણ હજારો કરતાં વધુ ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરનારા કણો ધરાવતી સિસ્ટમોની વર્તણૂકનું વિગતવાર અનુકરણ કરવું અશક્ય છે. મોડેલિંગ માટે સૌથી અનુકૂળ વસ્તુઓ એ સિસ્ટમો છે જેમાં પ્રમાણમાં ઓછી સંખ્યામાં પરમાણુઓનો સમાવેશ થાય છે. આ કાર્યમાં આપણે પાણીના અણુઓના મોડેલિંગ ક્લસ્ટરો વિશે વાત કરીશું, જેમાં મુખ્ય ધ્યાન આવા ક્લસ્ટરોની માળખાકીય લાક્ષણિકતાઓ પર આપવામાં આવશે.  

પ્રકરણ 5 સીમા સ્તરો, જેટ્સ અને ચેનલોમાં પ્રવાહના સંખ્યાત્મક મોડેલિંગ માટેની પદ્ધતિઓ માટે સમર્પિત છે.  

કોમ્પ્યુટેશનલ મિકેનિક્સ અને ગાણિતિક ઑપ્ટિમાઇઝેશનની આધુનિક સિદ્ધિઓનો ઉપયોગ કરીને મુખ્ય પાઇપલાઇન સિસ્ટમ્સની કામગીરીની સલામતી અને કાર્યક્ષમતા વધારવાની સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે રચાયેલ વૈજ્ઞાનિક ખ્યાલ, કમ્પ્યુટિંગ તકનીકો અને સંખ્યાત્મક મોડેલિંગ પદ્ધતિઓની રૂપરેખા મોનોગ્રાફમાં છે. મોનોગ્રાફમાં પ્રસ્તુત સામગ્રી વાચકને મુખ્ય પાઇપલાઇન્સના સંખ્યાત્મક મોડેલિંગના સૂચિત મૂળભૂત સિદ્ધાંતોનો વિગતવાર અભ્યાસ કરવાની મંજૂરી આપે છે.  

પ્લાઝ્મા ફિઝિક્સ જેટલી સંખ્યાત્મક મોડેલિંગ પદ્ધતિઓ દ્વારા ભૌતિકશાસ્ત્રના અન્ય કોઈ ક્ષેત્રમાં ઊંડાણપૂર્વક પ્રવેશ કરવામાં આવ્યો નથી. આજે, સંખ્યાત્મક મોડેલિંગ પદ્ધતિઓનો આશરો લીધા વિના, આધુનિક સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રની વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓ પર આધાર રાખીને, પ્લાઝ્મા પ્રક્રિયાઓનું પૂરતું વર્ણન કરવું ફક્ત અકલ્પ્ય છે. આ એક તરફ, પ્લાઝ્મા પ્રક્રિયાઓની જટિલતા અને વિવિધતા દ્વારા અને બીજી તરફ, પ્લાઝ્મા ડાયનેમિક્સના સુસ્થાપિત મોડેલની હાજરી દ્વારા સમજાવવામાં આવ્યું છે - વ્લાસોવ-મેક્સવેલ મોડેલ, જેની મદદથી આ પ્રક્રિયાઓ કરી શકે છે. ચોકસાઈની કોઈપણ ડિગ્રી સાથે માત્રાત્મક રીતે વર્ણવવામાં આવશે. તેથી, ખૂબ જ જટિલ અને ખર્ચાળ ભૌતિક પ્રયોગો હાથ ધરવાનું ટાળવા માટે, પ્લાઝ્મા ભૌતિકશાસ્ત્રના ક્ષેત્રના સંશોધકોએ લાંબા સમય પહેલા, 25 વર્ષ પહેલાં, વ્લાસોવ-મેક્સવેલ મોડેલ પર આધારિત પ્લાઝ્મા પ્રક્રિયાઓનું વિશ્લેષણ કરવા માટે અસરકારક સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ વિકસાવવાનું શરૂ કર્યું, અને સંખ્યાત્મક પ્રયોગોમાં પ્રચંડ સફળતા મેળવી.  

આ પ્રાયોગિક મુદ્દાઓ ઉપરાંત, સંખ્યાત્મક મોડેલિંગ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને સ્વ-પ્રસરણ ગુણાંકની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિઓ છે. મોલેક્યુલર ડાયનેમિક્સની પદ્ધતિ અત્યંત ફળદાયી છે. અને તેમ છતાં તે મોડેલ સિસ્ટમ્સ સાથે કામ કરે છે, પ્રાપ્ત પરિણામો પરમાણુ ગતિશીલતાના મિકેનિઝમ્સ અને રાજ્ય પરિમાણોના પ્રભાવની પેટર્નને સ્પષ્ટ કરવા માટે ઉપયોગી છે. ઇન્ટરમોલેક્યુલર સંભવિત કાર્યોની યોગ્ય પસંદગીના કિસ્સામાં, પ્રાયોગિક કાર્યોની નજીકના પરિણામો પ્રાપ્ત થાય છે.  

પ્રકાશન માટે આ પુસ્તકની તૈયારી દરમિયાન, નેવિઅર-સ્ટોક્સ સમીકરણો પર આધારિત હાઇડ્રોડાયનેમિક પ્રક્રિયાઓ, ગરમી અને માસ ટ્રાન્સફરના આંકડાકીય મોડેલિંગ માટેની પદ્ધતિઓ સંબંધિત ઘણા નવા પ્રકાશનો દેખાયા. અમે ફક્ત થોડા ઉમેરાઓ કરીશું જે અહીં ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલા મુદ્દાઓની સૌથી નજીક છે. આ કાર્યમાં, વૈકલ્પિક ત્રિકોણાકાર પદ્ધતિનો ઉપયોગ સ્ટ્રીમ ફંક્શનના સંદર્ભમાં ચોથા ક્રમના સમીકરણ માટે સ્થિર સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે થાય છે.  

વાદળો અને વાદળ વાતાવરણના ગુણધર્મો પર આધાર રાખીને સૌર કિરણોત્સર્ગના પ્રવાહની વર્તણૂકના દાખલાઓનો અભ્યાસ સંખ્યાત્મક મોડેલિંગ પદ્ધતિઓ (મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિ), પરિવહન સમીકરણોના સંખ્યાત્મક ઉકેલો અને એસિમ્પ્ટોટિક સંબંધોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવ્યો હતો.  

આ પુસ્તકનું ભાષાંતર ઉચ્ચ લાયકાત ધરાવતા નિષ્ણાતો દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું જેઓ પ્લાઝ્મા ફિઝિક્સ થિયરી અને ન્યુમેરિકલ મોડેલિંગ પદ્ધતિઓ, ખાસ કરીને લાર્જ પાર્ટિકલ પદ્ધતિ, જે પ્લાઝ્મા ફિઝિક્સમાં સૌથી સામાન્ય છે, બંને પદ્ધતિઓમાં અસ્ખલિત છે. તે વાચકોની એકદમ વિશાળ શ્રેણી માટે બનાવાયેલ છે, પ્લાઝ્મા ફિઝિક્સનો અભ્યાસ કરતા વિદ્યાર્થીઓથી લઈને વૈજ્ઞાનિકો સુધી કે જેઓ આ પુસ્તકમાં પોતાના માટે ઘણી ઉપયોગી અને રસપ્રદ વસ્તુઓ મેળવશે.  

તે ચોક્કસપણે માહિતી આધારની નબળાઈઓ હતી જેણે વિશ્લેષણાત્મક અભિગમોને સંપૂર્ણ રીતે સક્ષમ બનાવ્યો, અમારા મતે, આગાહી સમસ્યાઓના સંખ્યાત્મક મોડેલિંગ માટેની પદ્ધતિઓમાં વૈકલ્પિક અથવા અસરકારક ઉમેરો. આગાહીના સૌથી મહત્વપૂર્ણ તત્વ - સ્કીમેટાઇઝેશન માટે, અહીં વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓ સામાન્ય રીતે સ્પષ્ટ પસંદગી આપવી જોઈએ.  

કોસ્મિક રે ટ્રાન્સપોર્ટ સમીકરણ અને વાસ્તવિક હાઇડ્રોડાયનેમિક્સ વચ્ચેનું જોડાણ સૌપ્રથમ સ્વ-સમાન હાઇડ્રોડાયનેમિક સોલ્યુશનનો ઉપયોગ કરીને સ્થાપિત કરવામાં આવ્યું હતું, પરંતુ હવે આ જોડાણ સંખ્યાત્મક સિમ્યુલેશન પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે. વધુમાં, એવી ધારણા હેઠળ અપેક્ષિત કોસ્મિક કિરણોના વાસ્તવિક સ્પેક્ટ્રમની ગણતરી કરવી શક્ય હતું કે આંચકાના તરંગો પર પ્રવેગક કહેવાતા સ્વ-સમાન સેડોવ તબક્કા દરમિયાન થાય છે, જ્યારે સુપરનોવા ઊર્જા સંરક્ષિત હોય છે અને આંચકાના આગળના ભાગમાં રહે છે.  

એ નોંધવું જોઈએ કે બીમનું અનુકરણ કરતા કણોની સંખ્યા 102 ના ક્રમ પર છે, જે સંપૂર્ણ સંખ્યાત્મક અનુકરણ પદ્ધતિમાં કણોની આવશ્યક સંખ્યા કરતા ઓછા તીવ્રતાના બે ઓર્ડર છે. આમ, પ્લાઝ્મામાં ઓછી ઘનતાવાળા ઇલેક્ટ્રોનના મોનોએનર્જેટિક બીમની છૂટછાટ અર્ધ-રેખીય અંદાજના ઉપયોગ માટે પૂરતા મૂલ્યો vTb સુધી વેગ અવકાશમાં વિતરણ કાર્યના એકદમ ઝડપી વિસ્તરણ તરફ દોરી જાય છે, અને તબક્કાઓ. મોજાને અસ્તવ્યસ્ત થવાનો સમય છે.  

અહીં સંખ્યાત્મક મોડેલિંગ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવો ખૂબ જ ઉપયોગી છે.  

બ્રહ્માંડની રચનાના નમૂનાઓ, ગુરુત્વાકર્ષણ અસ્થિરતાના સિદ્ધાંત પર આધારિત, સામાન્ય રીતે કાર્બનની રચનાનું ખૂબ જ સારી રીતે વર્ણન કરે છે. .  

1.ગાણિતિક મોડેલિંગ અને લાગુ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે કમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ.

આધુનિક વિજ્ઞાન અને ટેક્નોલોજીમાં, ગાણિતિક મોડેલિંગ મહત્વની ભૂમિકા ભજવે છે, પ્રયોગોને બદલીને વાસ્તવિક વસ્તુઓતેમની સાથે પ્રયોગો ગાણિતિક મોડેલો.

ગાણિતિક મોડેલોઆસપાસના વિશ્વની અસાધારણ ઘટનાની માનવ સમજણ માટેનું એક મુખ્ય સાધન છે. ગાણિતિક મૉડલોને અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી ઘટનામાં સહજ મૂળ પેટર્ન અને જોડાણો તરીકે સમજવામાં આવે છે. આ સૂત્રો અથવા સમીકરણો, નિયમોના સેટ અથવા ગાણિતિક સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવેલા સંમેલનો હોઈ શકે છે. અનાદિ કાળથી, ગણિત, મિકેનિક્સ, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને કુદરતી વિજ્ઞાનના અન્ય ચોક્કસ વિજ્ઞાનોમાં, ગાણિતિક મોડેલોનો ઉપયોગ તેઓ જે અસાધારણ અભ્યાસ કરે છે તેનું વર્ણન કરવા માટે કરવામાં આવતો હતો. આમ, ન્યૂટનના નિયમો સૂર્યની આસપાસના ગ્રહોની ગતિના દાખલાઓને સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત કરે છે. મિકેનિક્સના મૂળભૂત નિયમોનો ઉપયોગ કરીને, અવકાશયાનની ગતિનું વર્ણન કરતા સમીકરણો બાંધવા પ્રમાણમાં સરળ છે, ઉદાહરણ તરીકે, પૃથ્વીથી ચંદ્ર સુધી. જો કે, સરળ સૂત્રોના રૂપમાં તેમનો ઉકેલ મેળવવો શક્ય નથી.

ગાણિતિક મોડેલિંગ માટે કોમ્પ્યુટરના ઉપયોગે "સમસ્યાનું નિરાકરણ" નો ખ્યાલ જ બદલી નાખ્યો છે. આ પહેલા, સંશોધક ગાણિતિક મોડેલ લખીને સંતુષ્ટ હતા. અને જો તે હજી પણ સાબિત કરવામાં સક્ષમ હતો કે સૈદ્ધાંતિક રીતે ઉકેલ (એલ્ગોરિધમ) અસ્તિત્વમાં છે, તો પછી આ પૂરતું હતું જો કોઈ એક પ્રાથમિકતા માનતો હોય કે મોડેલે અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી ઘટનાનું પર્યાપ્ત રીતે વર્ણન કર્યું છે. કારણ કે, એક નિયમ તરીકે, ત્યાં કોઈ સરળ સૂત્રો નથી કે જે મોડેલની વર્તણૂકનું વર્ણન કરે છે, અને તેથી, મોડેલ દ્વારા વર્ણવેલ ઑબ્જેક્ટ, એકમાત્ર રસ્તો એ છે કે બાબતને ગણતરીમાં ઘટાડવા અને ઉકેલવા માટે સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવો. સમસ્યાઓ

હાલમાં, કોમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ કરીને અભ્યાસ કરવામાં આવતા ઑબ્જેક્ટના ગાણિતિક મોડલના નિર્માણ અને વિશ્લેષણના આધારે જટિલ સમસ્યાઓનો અભ્યાસ કરવા માટેની તકનીક વિકસાવવામાં આવી છે. આ સંશોધન પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગ.

ગાણિતિક મોડેલિંગ અને કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગનો ઉપયોગ આજે માત્ર ચોક્કસ વિજ્ઞાન અને ટેક્નોલોજીમાં જ નહીં, પરંતુ આર્થિક વિજ્ઞાન, સમાજશાસ્ત્ર અને અન્ય ઘણા ક્ષેત્રોમાં પણ થાય છે જે પરંપરાગત રીતે ગણિત અને કમ્પ્યુટરથી દૂર માનવામાં આવે છે. કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગ શા માટે જરૂરી છે? જટિલ પદાર્થોની રચના, ઉદાહરણ તરીકે, પરમાણુ, અવકાશ અને અન્ય ઘણા, ગણતરીઓની પ્રચંડ માત્રાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, એરોડાયનેમિક્સ અને ન્યુક્લિયર ફિઝિક્સની ઘણી લાગુ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે, તે કરવું જરૂરી છે

વધુ અંકગણિત કામગીરી. આધુનિક તકનીકો ઘણીવાર મર્યાદિત મોડ્સનો ઉપયોગ કરે છે જેમાં જટિલ બિનરેખીય પરિબળોને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર હોય છે. માં ઑબ્જેક્ટની વર્તણૂકનો અભ્યાસ કરવો ઘણીવાર જરૂરી છે

આત્યંતિક અને કટોકટીની પરિસ્થિતિઓ, જે સંપૂર્ણ પાયે પ્રયોગ દ્વારા વ્યવહારીક રીતે અશક્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે પરમાણુ વિસ્ફોટો, માનવસર્જિત આફતોના પરિણામો અને અન્ય ઘણી પરિસ્થિતિઓમાં અભ્યાસ કરતી વખતે.

2. કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગ અને તેના તબક્કા.

ગાણિતિક મોડેલિંગમાં કોમ્પ્યુટરનો વ્યાપક ઉપયોગ અને એકદમ શક્તિશાળી સૈદ્ધાંતિક અને પ્રાયોગિક આધાર અમને વૈજ્ઞાનિક અને પ્રયોજિત સંશોધનમાં નવી તકનીક અને પદ્ધતિ તરીકે ગણતરીના પ્રયોગની વાત કરવાની મંજૂરી આપે છે.

કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગ કમ્પ્યુટર પર ઑબ્જેક્ટના ગાણિતિક મોડેલ પરનો પ્રયોગ છે, જેમાં કેટલાક પરિમાણોના આધારે મોડેલના અન્ય પરિમાણોની ગણતરી કરવામાં આવે છે અને તેના આધારે, ગાણિતિક મોડેલ દ્વારા વર્ણવેલ ઘટનાના ગુણધર્મો વિશે તારણો દોરવામાં આવે છે.

સંશોધકોની એક ટીમ - ચોક્કસ વિષય ક્ષેત્રના નિષ્ણાતો, સૈદ્ધાંતિક ગણિતશાસ્ત્રીઓ, કોમ્પ્યુટર વૈજ્ઞાનિકો, લાગુ વૈજ્ઞાનિકો અને પ્રોગ્રામરો - એક કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગ હાથ ધરવામાં સામેલ છે. આ

અને પરિણામોની પ્રક્રિયા. અહીં તમે કામ સાથે સામ્યતા જોઈ શકો છો

નિયંત્રણ પ્રયોગો, સીરીયલ પ્રયોગો હાથ ધરવા, પ્રાયોગિક ડેટાની પ્રક્રિયા કરવી અને તેમના અર્થઘટન વગેરે. આમ, મોટી જટિલ ગણતરીઓ હાથ ધરવા એ કોમ્પ્યુટર પર હાથ ધરવામાં આવેલ પ્રયોગ અથવા કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગ ગણવો જોઈએ.

ભૌતિક, રાસાયણિક, વગેરે. કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગ;

સંપૂર્ણ પાયાના પ્રયોગની તુલનામાં ગણતરીત્મક પ્રયોગ ખૂબ સસ્તો અને વધુ સુલભ છે, તેની તૈયારી અને અમલીકરણમાં ઓછો સમય જરૂરી છે, તેને ફરીથી કરવું સરળ છે અને તે વધુ વિગતવાર માહિતી પ્રદાન કરે છે. વધુમાં, કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગ દરમિયાન, સીમાઓ જાહેર કરવામાં આવે છે

ગાણિતિક મૉડલની પ્રયોજ્યતા જે વ્યક્તિને કુદરતી પરિસ્થિતિઓમાં પ્રયોગની આગાહી કરવાની મંજૂરી આપે છે. તેથી, કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગનો ઉપયોગ તે ગાણિતિક મોડેલો પૂરતો મર્યાદિત છે જે સંશોધનમાં સામેલ છે. આ કારણોસર, કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગ કુદરતી પ્રયોગને સંપૂર્ણપણે બદલી શકતો નથી, અને આ પરિસ્થિતિમાંથી બહાર નીકળવાનો માર્ગ તેમના વાજબી સંયોજનમાં રહેલો છે. આ કિસ્સામાં, ગાણિતિક મોડેલોની વિશાળ શ્રેણીનો ઉપયોગ જટિલ પ્રયોગ કરવા માટે થાય છે: સીધી સમસ્યાઓ, વ્યસ્ત સમસ્યાઓ, ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓ, ઓળખ સમસ્યાઓ.

જટિલ લાગુ સમસ્યાઓ ઉકેલવાના સાધન તરીકે કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગનો ઉપયોગ દરેક ચોક્કસ કાર્ય અને દરેક ચોક્કસ વૈજ્ઞાનિક ટીમના કિસ્સામાં તેની પોતાની વિશિષ્ટ વિશેષતાઓ ધરાવે છે. તેમ છતાં, સામાન્ય લાક્ષણિકતા મૂળભૂત લક્ષણો હંમેશા સ્પષ્ટપણે દૃશ્યમાન હોય છે, જે અમને આ પ્રક્રિયાના એકીકૃત માળખા વિશે વાત કરવાની મંજૂરી આપે છે. હાલમાં, કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગના તકનીકી ચક્રને સામાન્ય રીતે સંખ્યાબંધ તકનીકી તબક્કાઓમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. અને જો કે આ વિભાગ મોટાભાગે મનસ્વી છે, તે અમને સૈદ્ધાંતિક સંશોધન હાથ ધરવાની આ પદ્ધતિના સારને વધુ સારી રીતે સમજવાની મંજૂરી આપે છે.

આમ, કોઈપણ પ્રયોગની જેમ, ગણતરીત્મક પ્રયોગ આચારના અમુક નિયમોનું પાલન કરે છે. યોજનાકીય રીતે, કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગના તબક્કાઓને નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે:

ચોખા. B. 1. કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગની યોજના

કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગનો આધાર ત્રિપુટી છે: મોડેલ - પદ્ધતિ (એલ્ગોરિધમ) - પ્રોગ્રામ. પ્રથમ કેટલીક ધારણાઓ સાથે બાંધવામાં આવે છે ઑબ્જેક્ટનું ભૌતિક મોડેલ.ભૌતિક મોડેલ એ વિચારણા હેઠળની ઘટના પર લાદવામાં આવેલા નિયંત્રણો, ધારણાઓ અને સરળીકરણોની શ્રેણી છે. નીચેનું વર્ણન કરે છે ગાણિતિક મોડેલ. ગાણિતિક મોડેલ એ એક સમીકરણ, સમીકરણોની સિસ્ટમ અથવા સમીકરણોની સિસ્ટમોનો સમૂહ છે જે ભૌતિકનું વર્ણન કરે છે.

મોડેલ સમીકરણોની આ પ્રણાલીઓને પછી હલ કરવી આવશ્યક છે. પહેલેથી જ ઉલ્લેખ કર્યો છે તેમ, તમારે સામાન્ય રીતે ઉપયોગ કરવો પડશે સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ. સંખ્યાત્મક પદ્ધતિને સમૂહ તરીકે સમજવામાં આવે છે સ્વતંત્ર મોડેલ, કમ્પ્યુટર પર અમલમાં મૂકાયેલ છે, અને કોમ્પ્યુટેશનલ અલ્ગોરિધમ, તમને વિવેકપૂર્ણ સમસ્યા હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે. સંખ્યાત્મક પદ્ધતિને અમલમાં મૂકવા માટે, પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓમાંથી એકમાં પ્રોગ્રામ વિકસાવવો અથવા એપ્લિકેશન પ્રોગ્રામ્સના તૈયાર પેકેજનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. હાલમાં, એપ્લિકેશન સોફ્ટવેર પેકેજો છે, જેમ કે MathCAD, Matlab, Maple, Mathematica અને અન્ય, જે તમને મોટાભાગની વ્યવહારિક રીતે આવતી સમસ્યાઓ હલ કરવા દે છે. જો કે, સમસ્યાની સક્ષમ રચના, ઉકેલની પદ્ધતિની તર્કસંગત પસંદગી અને પરિણામોના યોગ્ય અર્થઘટન માટે સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓનું ગંભીર જ્ઞાન જરૂરી છે. ડીબગીંગ પછી પ્રોગ્રામ્સ બનાવવામાં આવે છે કમ્પ્યુટર ગણતરીઓ(સામાન્ય રીતે ગણતરીના ઘણા પ્રકારો હાથ ધરવા જરૂરી છે, જેના માટે કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગની યોજના કરવી જરૂરી છે) અને પરિણામોનું વિશ્લેષણ. પરિણામો પ્રાપ્ત કર્યા પછી, વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટની કામગીરીની પ્રક્રિયા સાથેના કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગના પરિણામોના પત્રવ્યવહારની તપાસ કરવામાં આવે છે અને, જો જરૂરી હોય તો, સંતોષકારક પરિણામો ન આવે ત્યાં સુધી ગણતરીત્મક પ્રયોગ યોજનાના ઘટકોને શુદ્ધ કરવામાં આવે છે (ફિગ. B.1). મેળવ્યું.

3. સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ

વ્યાપક અર્થમાં, સંખ્યાત્મક પદ્ધતિ, ઉપર જણાવ્યા મુજબ, કોમ્પ્યુટર પર અમલમાં મૂકાયેલ એક અલગ મોડેલ અને એક કોમ્પ્યુટેશનલ અલ્ગોરિધમના સંયોજન તરીકે સમજવામાં આવે છે જે વિવેકિત સમસ્યાને ઉકેલવા માટે પરવાનગી આપે છે.

એક અને સમાન ગાણિતિક મોડલ ઘણા અલગ મોડલ અને કોમ્પ્યુટેશનલ અલ્ગોરિધમ્સ, એટલે કે સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે. સંખ્યાત્મક પદ્ધતિ પસંદ કરતી વખતે, આવશ્યકતાઓના બે જૂથો ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ:

અલગ મોડેલ ગાણિતિક મોડેલ માટે પૂરતું હોવું જોઈએ;

સંખ્યાત્મક પદ્ધતિ કમ્પ્યુટર પર સાચી અને અમલમાં મૂકી શકાય તેવી હોવી જોઈએ.

પર્યાપ્તતાને સુનિશ્ચિત કરવા માટે, સ્વતંત્ર મોડેલમાં ગુણધર્મો હોવા આવશ્યક છે સંખ્યાત્મક પદ્ધતિનું સંકલન, સ્વતંત્ર સંરક્ષણ એનાલોગનું અમલીકરણ અને ઉકેલનું ગુણાત્મક રીતે યોગ્ય વર્તન.

ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાત્મક પદ્ધતિના કન્વર્જન્સનો અર્થ એ થાય છે કે જેમ જેમ એકીકરણ અંતરાલનું વિભાજન પગલું ઘટતું જાય છે તેમ, સંખ્યાત્મક એકીકરણની ચોકસાઈ વધે છે. વિવિધ ગાણિતિક મોડેલો ભૌતિક સંરક્ષણ કાયદાઓની અભિવ્યક્તિ છે, તેથી, એક અલગ મોડેલ માટે, સંરક્ષણ કાયદાઓ પણ સંતુષ્ટ હોવા જોઈએ. એક અલગ મોડેલની ગુણાત્મક રીતે સાચી વર્તણૂકનો અર્થ એ છે કે, મોડેલની વર્તણૂકની સ્વતંત્ર પ્રકૃતિને લીધે, વાસ્તવિક સિસ્ટમની વર્તણૂકની કેટલીક વિગતો ખોવાઈ નથી.

સંખ્યાત્મક પદ્ધતિની શુદ્ધતામતલબ કે અલગ સમસ્યા વિશિષ્ટ રીતે ઉકેલી શકાય તેવી અને ઇનપુટ ડેટા ભૂલો અને ગણતરીની ભૂલો માટે પ્રતિરોધક હોવી જોઈએ. કમ્પ્યુટર પર સંખ્યાત્મક પદ્ધતિની અનુભૂતિકમ્પ્યુટરની મેમરી અને ઝડપ દ્વારા મર્યાદિત. કોમ્પ્યુટેશનલ અલ્ગોરિધમને કોમ્પ્યુટર સંસાધનો પર વાજબી માંગણી કરવી આવશ્યક છે. ઉદાહરણ તરીકે, રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટે ક્રેમરની ગાણિતિક રીતે સાચી પદ્ધતિ વાસ્તવિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે સંપૂર્ણપણે અયોગ્ય છે: જો આપણે ધારીએ કે દરેક અંકગણિત ક્રિયા 10 − 6 સેમાં કરવામાં આવે છે, તો ક્રેમરની પદ્ધતિને ઉકેલવામાં એક મિલિયન વર્ષથી વધુ સમય લાગશે. 20 અજાણ્યાઓ સાથે સિસ્ટમ. તે જ સમયે, સૌથી સરળ ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, આ સિસ્ટમ સેકન્ડના અપૂર્ણાંકમાં ઉકેલવામાં આવશે.

સંકુચિત અર્થમાં, હેઠળ સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓગાણિતિક સમસ્યાઓના અંદાજિત નિરાકરણ માટેની પદ્ધતિઓ સમજો, જે સંખ્યાઓ પર મર્યાદિત સંખ્યામાં પ્રાથમિક ક્રિયાઓ કરવા માટે ઉકળે છે. પ્રાથમિક કામગીરીમાં અંકગણિત કામગીરીનો સમાવેશ થાય છે, સામાન્ય રીતે અંદાજે કરવામાં આવે છે, તેમજ સહાયક કામગીરી - મધ્યવર્તી પરિણામો રેકોર્ડ કરવા, કોષ્ટકોમાંથી પસંદગી કરવી વગેરે. સંખ્યાઓ અમુક પોઝિશનલ નંબર સિસ્ટમ (દશાંશ, દ્વિસંગી, વગેરે) માં અંકોના મર્યાદિત સમૂહ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. આમ, સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓમાં સંખ્યા રેખાને સંખ્યાઓની એક અલગ સિસ્ટમ (ગ્રીડ) દ્વારા બદલવામાં આવે છે; સતત દલીલ કાર્યને ગ્રીડમાં તેના મૂલ્યોના કોષ્ટક દ્વારા બદલવામાં આવે છે; સતત કાર્યો પર કાર્યરત વિશ્લેષણ કામગીરીને ગ્રીડમાંના કાર્યોના મૂલ્યો પર બીજગણિત કામગીરી દ્વારા બદલવામાં આવે છે.

"સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ" કોર્સનો હેતુ સૈદ્ધાંતિક પાયાનો અભ્યાસ કરવાનો છે અને કોમ્પ્યુટેશનલ સમસ્યાઓ હલ કરવામાં અને કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગો કરવા માટે વ્યવહારુ કુશળતા પ્રાપ્ત કરવાનો છે.