નોંધપાત્ર મર્યાદાઓની ગણતરી. પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા: સિદ્ધાંત અને ઉદાહરણો

બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા માટેનું સૂત્ર લિમ x → ∞ 1 + 1 x x = e છે. લેખનનું બીજું સ્વરૂપ આના જેવું દેખાય છે: લિમ x → 0 (1 + x) 1 x = e.

જ્યારે આપણે બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા વિશે વાત કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે ફોર્મ 1 ∞ની અનિશ્ચિતતાનો સામનો કરવો પડશે, એટલે કે. અનંત ડિગ્રી સુધી એકતા.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ચાલો સમસ્યાઓને ધ્યાનમાં લઈએ જેમાં બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદાની ગણતરી કરવાની ક્ષમતા ઉપયોગી થશે.

ઉદાહરણ 1

મર્યાદા શોધો lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

ઉકેલ

ચાલો જરૂરી સૂત્રને બદલીએ અને ગણતરીઓ કરીએ.

લિમ x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

અમારો જવાબ અનંત શક્તિ માટે એક જ નીકળ્યો. ઉકેલની પદ્ધતિ નક્કી કરવા માટે, અમે અનિશ્ચિતતા કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ચાલો બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા પસંદ કરીએ અને ચલોમાં ફેરફાર કરીએ.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

જો x → ∞, તો t → - ∞.

ચાલો જોઈએ કે બદલી પછી અમને શું મળ્યું:

લિમ x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = લિમ x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = લિમ t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

જવાબ:લિમ x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

ઉદાહરણ 2

મર્યાદા lim x → ∞ x - 1 x + 1 x ની ગણતરી કરો.

ઉકેલ

ચાલો અનંતને બદલીએ અને નીચેના મેળવીએ.

લિમ x → ∞ x - 1 x + 1 x = લિમ x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

જવાબમાં, અમને પાછલી સમસ્યા જેવી જ વસ્તુ ફરીથી મળી, તેથી, અમે ફરીથી બીજી અદ્ભુત મર્યાદાનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. આગળ, આપણે પાવર ફંક્શનના આધાર પર આખો ભાગ પસંદ કરવાની જરૂર છે:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

આ પછી, મર્યાદા નીચેનું સ્વરૂપ લે છે:

લિમ x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = લિમ x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

ચલો બદલો. ચાલો ધારીએ કે t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; જો x → ∞, તો t → ∞.

તે પછી, અમે મૂળ મર્યાદામાં અમને શું મળ્યું તે લખીએ છીએ:

લિમ x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = લિમ x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = લિમ x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = લિમ x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = લિમ x → ∞ 1 + 1 t - 2 t લિમ x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = લિમ x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

આ રૂપાંતર કરવા માટે, અમે મર્યાદાઓ અને સત્તાઓના મૂળભૂત ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કર્યો.

જવાબ:લિમ x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

ઉદાહરણ 3

મર્યાદા lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 ની ગણતરી કરો.

ઉકેલ

લિમ x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = લિમ x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

તે પછી, બીજી મહાન મર્યાદા લાગુ કરવા માટે આપણે ફંક્શનને રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે. અમને નીચે મુજબ મળ્યું:

લિમ x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = લિમ x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = લિમ x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

લિમ x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = લિમ x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = લિમ x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

હવે આપણી પાસે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદમાં સમાન ઘાતાંક છે (છની બરાબર), અનંત પરના અપૂર્ણાંકની મર્યાદા ઉચ્ચ શક્તિઓ પર આ ગુણાંકના ગુણોત્તર જેટલી હશે.

લિમ x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = લિમ x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = લિમ x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 ને બદલીને આપણને બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા મળે છે. આનો અર્થ એ છે કે:

લિમ x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

જવાબ:લિમ x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

તારણો

અનિશ્ચિતતા 1 ∞, એટલે કે. અનંત શક્તિ માટે એકતા એ પાવર-લો અનિશ્ચિતતા છે, તેથી, ઘાતાંકીય શક્તિ કાર્યોની મર્યાદા શોધવા માટેના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને તેને જાહેર કરી શકાય છે.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

ઉપરોક્ત લેખમાંથી તમે જાણી શકો છો કે મર્યાદા શું છે અને તે શું ખાય છે - આ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. શા માટે? તમે નિર્ણાયક શું છે તે સમજી શકતા નથી અને તેમને સફળતાપૂર્વક હલ કરી શકતા નથી; પરંતુ જો તમે મર્યાદા શું છે તે સમજી શકતા નથી, તો વ્યવહારિક કાર્યોને હલ કરવાનું મુશ્કેલ બનશે. સેમ્પલ સોલ્યુશન્સ અને મારી ડિઝાઇન ભલામણોથી પોતાને પરિચિત કરવું પણ એક સારો વિચાર હશે. બધી માહિતી સરળ અને સુલભ સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવી છે.

અને આ પાઠના હેતુઓ માટે અમને નીચેની શિક્ષણ સામગ્રીની જરૂર પડશે: અદ્ભુત મર્યાદાઓઅને ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો. તેઓ પૃષ્ઠ પર મળી શકે છે. માર્ગદર્શિકાઓ છાપવી શ્રેષ્ઠ છે - તે વધુ અનુકૂળ છે, અને ઉપરાંત, તમારે ઘણીવાર તેનો ઑફલાઇન સંદર્ભ લેવો પડશે.

નોંધપાત્ર મર્યાદાઓ વિશે શું વિશેષ છે? આ મર્યાદાઓ વિશે નોંધપાત્ર બાબત એ છે કે તે પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રીઓના મહાન મન દ્વારા સાબિત કરવામાં આવી હતી, અને આભારી વંશજોએ ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, લઘુગણક, શક્તિઓના ઢગલા સાથે ભયંકર મર્યાદાઓથી પીડાય નથી. એટલે કે, મર્યાદા શોધતી વખતે, અમે તૈયાર પરિણામોનો ઉપયોગ કરીશું જે સૈદ્ધાંતિક રીતે સાબિત થયા છે.

ત્યાં ઘણી અદ્ભુત મર્યાદાઓ છે, પરંતુ વ્યવહારમાં, 95% કિસ્સાઓમાં, પાર્ટ-ટાઇમ વિદ્યાર્થીઓ પાસે બે અદ્ભુત મર્યાદાઓ છે: પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદા, બીજી અદ્ભુત મર્યાદા. એ નોંધવું જોઈએ કે આ ઐતિહાસિક રીતે સ્થાપિત નામો છે, અને જ્યારે, ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ "પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા" વિશે વાત કરે છે, ત્યારે તેનો અર્થ આ એક ખૂબ જ વિશિષ્ટ વસ્તુ છે, અને છત પરથી લેવામાં આવેલી કેટલીક રેન્ડમ મર્યાદા નથી.

પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદા

નીચેની મર્યાદાને ધ્યાનમાં લો: (મૂળ અક્ષર "તે" ને બદલે હું ગ્રીક અક્ષર "આલ્ફા" નો ઉપયોગ કરીશ, સામગ્રી પ્રસ્તુત કરવાના દૃષ્ટિકોણથી આ વધુ અનુકૂળ છે).

મર્યાદા શોધવા માટેના અમારા નિયમ અનુસાર (લેખ જુઓ મર્યાદા. ઉકેલોના ઉદાહરણો) આપણે કાર્યમાં શૂન્યને બદલવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ: અંશમાં આપણને શૂન્ય મળે છે (શૂન્યની સાઈન શૂન્ય છે), અને છેદમાં, દેખીતી રીતે, શૂન્ય પણ છે. આમ, અમને ફોર્મની અનિશ્ચિતતાનો સામનો કરવો પડી રહ્યો છે, જે સદભાગ્યે, જાહેર કરવાની જરૂર નથી. ગાણિતિક વિશ્લેષણ દરમિયાન, તે સાબિત થાય છે કે:

આ ગાણિતિક હકીકત કહેવાય છે પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદા. હું મર્યાદાનો વિશ્લેષણાત્મક પુરાવો આપીશ નહીં, પરંતુ અમે તેના વિશેના પાઠમાં તેના ભૌમિતિક અર્થને જોઈશું અનંત કાર્યો.

ઘણીવાર વ્યવહારુ કાર્યોમાં કાર્યોને અલગ રીતે ગોઠવી શકાય છે, આ કંઈપણ બદલતું નથી:

- એ જ પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદા.

પરંતુ તમે અંશ અને છેદ જાતે ફરીથી ગોઠવી શકતા નથી! જો ફોર્મમાં કોઈ મર્યાદા આપવામાં આવી હોય, તો પછી તેને ફરીથી ગોઠવ્યા વિના, સમાન સ્વરૂપમાં હલ કરવી આવશ્યક છે.

વ્યવહારમાં, માત્ર ચલ જ નહીં, પણ પ્રાથમિક કાર્ય અથવા જટિલ કાર્ય પણ પરિમાણ તરીકે કાર્ય કરી શકે છે. એકમાત્ર મહત્વની બાબત એ છે કે તે શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે.

ઉદાહરણો:
, , ,

અહીં,,,, , અને બધું સારું છે - પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદા લાગુ છે.

પરંતુ નીચેની એન્ટ્રી પાખંડ છે:

શા માટે? કારણ કે બહુપદી શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવતું નથી, તે પાંચ તરફ વલણ ધરાવે છે.

માર્ગ દ્વારા, એક ઝડપી પ્રશ્ન: મર્યાદા શું છે? ? જવાબ પાઠના અંતે મળી શકે છે.

વ્યવહારમાં, દરેક વસ્તુ એટલી સરળ હોતી નથી; હમ્મ... હું આ પંક્તિઓ લખી રહ્યો છું, અને એક ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ વિચાર મનમાં આવ્યો - છેવટે, "મુક્ત" ગાણિતિક વ્યાખ્યાઓ અને સૂત્રોને હૃદયથી યાદ રાખવું વધુ સારું છે, આ પરીક્ષણમાં અમૂલ્ય મદદ પૂરી પાડી શકે છે, જ્યારે પ્રશ્ન "બે" અને "ત્રણ" વચ્ચે નિર્ણય લેવામાં આવે છે, અને શિક્ષક વિદ્યાર્થીને કેટલાક સરળ પ્રશ્ન પૂછવાનું નક્કી કરે છે અથવા એક સરળ ઉદાહરણ ("કદાચ તે (ઓ) હજુ પણ શું જાણે છે?!").

ચાલો વ્યવહારુ ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધીએ:

ઉદાહરણ 1

મર્યાદા શોધો

જો અમને મર્યાદામાં સાઈન દેખાય છે, તો આનાથી અમને તરત જ પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા લાગુ કરવાની સંભાવના વિશે વિચારવા તરફ દોરી જવું જોઈએ.

પ્રથમ, અમે મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિમાં 0 ને બદલવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ (આપણે માનસિક રીતે અથવા ડ્રાફ્ટમાં કરીએ છીએ):

તેથી અમારી પાસે ફોર્મની અનિશ્ચિતતા છે સૂચવવાની ખાતરી કરોનિર્ણય લેવામાં. મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળની અભિવ્યક્તિ પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદા જેવી જ છે, પરંતુ આ બરાબર નથી, તે સાઈન હેઠળ છે, પરંતુ છેદમાં છે.

આવા કિસ્સાઓમાં, આપણે કૃત્રિમ તકનીકનો ઉપયોગ કરીને, પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા જાતે ગોઠવવાની જરૂર છે. તર્કની લાઇન નીચે મુજબ હોઈ શકે છે: "આપણી પાસે સાઈન હેઠળ , જેનો અર્થ છે કે આપણે છેદમાં આવવાની પણ જરૂર છે."
અને આ ખૂબ જ સરળ રીતે કરવામાં આવે છે:

એટલે કે, આ કિસ્સામાં છેદને કૃત્રિમ રીતે 7 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે અને તે જ સાત વડે ભાગવામાં આવે છે. હવે અમારું રેકોર્ડિંગ એક પરિચિત આકાર લઈ ગયું છે.
જ્યારે કાર્ય હાથથી દોરવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદાને સરળ પેંસિલથી ચિહ્નિત કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે:

શું થયું? હકીકતમાં, અમારી વર્તુળાકાર અભિવ્યક્તિ એકમમાં ફેરવાઈ ગઈ અને કાર્યમાં અદૃશ્ય થઈ ગઈ:

હવે જે બાકી છે તે ત્રણ માળના અપૂર્ણાંકમાંથી છૂટકારો મેળવવાનું છે:

બહુ-સ્તરીય અપૂર્ણાંકનું સરળીકરણ કોણ ભૂલી ગયું છે, કૃપા કરીને સંદર્ભ પુસ્તકમાં સામગ્રીને તાજું કરો શાળા ગણિત અભ્યાસક્રમ માટે ગરમ સૂત્રો .

તૈયાર છે. અંતિમ જવાબ:

જો તમે પેન્સિલ માર્કસનો ઉપયોગ કરવા માંગતા નથી, તો ઉકેલ આ રીતે લખી શકાય છે:

“

ચાલો પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદાનો ઉપયોગ કરીએ

“

ઉદાહરણ 2

મર્યાદા શોધો

ફરીથી આપણે મર્યાદામાં અપૂર્ણાંક અને સાઈન જોઈએ છીએ. ચાલો અંશ અને છેદમાં શૂન્યને બદલવાનો પ્રયાસ કરીએ:

ખરેખર, આપણી પાસે અનિશ્ચિતતા છે અને તેથી, આપણે પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદાને ગોઠવવાનો પ્રયાસ કરવાની જરૂર છે. વર્ગમાં મર્યાદા. ઉકેલોના ઉદાહરણોઅમે નિયમ પર વિચાર કર્યો કે જ્યારે આપણી પાસે અનિશ્ચિતતા હોય, ત્યારે આપણે અંશ અને છેદને અવયવિત કરવાની જરૂર છે. અહીં તે જ વસ્તુ છે, અમે ઉત્પાદન (ગુણક) તરીકે ડિગ્રીને રજૂ કરીશું:

અગાઉના ઉદાહરણની જેમ, અમે નોંધપાત્ર મર્યાદાઓની આસપાસ પેન્સિલ દોરીએ છીએ (અહીં તેમાંથી બે છે), અને સૂચવે છે કે તેઓ એકતા તરફ વલણ ધરાવે છે:

ખરેખર, જવાબ તૈયાર છે:

નીચેના ઉદાહરણોમાં, હું પેઇન્ટમાં કલા કરીશ નહીં, મને લાગે છે કે નોટબુકમાં સોલ્યુશન કેવી રીતે યોગ્ય રીતે દોરવું - તમે પહેલાથી જ સમજો છો.

ઉદાહરણ 3

મર્યાદા શોધો

અમે મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિમાં શૂન્યને બદલીએ છીએ:

એક અનિશ્ચિતતા પ્રાપ્ત થઈ છે જેને જાહેર કરવાની જરૂર છે. જો મર્યાદામાં સ્પર્શક હોય, તો તે લગભગ હંમેશા જાણીતા ત્રિકોણમિતિ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સાઈન અને કોસાઈનમાં રૂપાંતરિત થાય છે. ગરમ ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોપૃષ્ઠ પર ગાણિતિક સૂત્રો, કોષ્ટકો અને સંદર્ભ સામગ્રી).

આ કિસ્સામાં:

શૂન્યનો કોસાઇન એક સમાન છે, અને તેમાંથી છુટકારો મેળવવો સરળ છે (તે એક તરફ વળે છે તે ચિહ્નિત કરવાનું ભૂલશો નહીં):

આમ, જો મર્યાદામાં કોસાઇન એક મલ્ટીપ્લિયર છે, તો પછી, આશરે કહીએ તો, તેને એકમમાં ફેરવવાની જરૂર છે, જે ઉત્પાદનમાં અદૃશ્ય થઈ જાય છે.

અહીં કોઈપણ ગુણાકાર અને ભાગાકાર વિના, બધું સરળ બન્યું. પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા પણ એકમાં ફેરવાય છે અને ઉત્પાદનમાં અદૃશ્ય થઈ જાય છે:

પરિણામે, અનંતતા પ્રાપ્ત થાય છે, અને આવું થાય છે.

ઉદાહરણ 4

મર્યાદા શોધો

ચાલો અંશ અને છેદમાં શૂન્યને બદલવાનો પ્રયાસ કરીએ:

અનિશ્ચિતતા પ્રાપ્ત થાય છે (શૂન્યનો કોસાઇન, જેમ આપણે યાદ રાખીએ છીએ, એક સમાન છે)

આપણે ત્રિકોણમિતિ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. નોંધ લો! કેટલાક કારણોસર, આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાની મર્યાદાઓ ખૂબ સામાન્ય છે.

ચાલો સ્થિર પરિબળોને મર્યાદાના ચિહ્નની બહાર ખસેડીએ:

ચાલો પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદા ગોઠવીએ:

અહીં અમારી પાસે માત્ર એક નોંધપાત્ર મર્યાદા છે, જે એકમાં ફેરવાય છે અને ઉત્પાદનમાં અદૃશ્ય થઈ જાય છે:

ચાલો ત્રણ માળની રચનાથી છુટકારો મેળવીએ:

મર્યાદા ખરેખર ઉકેલાઈ ગઈ છે, અમે સૂચવીએ છીએ કે બાકીની સાઈન શૂન્ય તરફ વળે છે:

ઉદાહરણ 5

મર્યાદા શોધો

આ ઉદાહરણ વધુ જટિલ છે, તેને જાતે સમજવાનો પ્રયાસ કરો:

ચલ બદલીને કેટલીક મર્યાદાઓને 1લી નોંધપાત્ર મર્યાદા સુધી ઘટાડી શકાય છે, તમે આ વિશે થોડી વાર પછી લેખમાં વાંચી શકો છો મર્યાદા ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ.

બીજી અદ્ભુત મર્યાદા

ગાણિતિક વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતમાં તે સાબિત થયું છે કે:

આ હકીકત કહેવાય છે બીજી અદ્ભુત મર્યાદા.

સંદર્ભ: અતાર્કિક સંખ્યા છે.

પરિમાણ માત્ર ચલ જ નહીં, પણ જટિલ કાર્ય પણ હોઈ શકે છે. એકમાત્ર મહત્વની બાબત એ છે કે તે અનંતતા માટે પ્રયત્ન કરે છે.

ઉદાહરણ 6

મર્યાદા શોધો

જ્યારે મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળની અભિવ્યક્તિ ડિગ્રીમાં હોય, ત્યારે આ પ્રથમ સંકેત છે કે તમારે બીજી અદ્ભુત મર્યાદા લાગુ કરવાનો પ્રયાસ કરવાની જરૂર છે.

પરંતુ પ્રથમ, હંમેશની જેમ, અમે અભિવ્યક્તિમાં અનંત મોટી સંખ્યાને બદલવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ, જે સિદ્ધાંત દ્વારા આ કરવામાં આવે છે તેની ચર્ચા પાઠમાં કરવામાં આવી છે. મર્યાદા. ઉકેલોના ઉદાહરણો.

તે નોંધવું સરળ છે કે જ્યારે ડિગ્રીનો આધાર છે , અને ઘાત છે , એટલે કે, ફોર્મની અનિશ્ચિતતા છે:

આ અનિશ્ચિતતા બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદાની મદદથી ચોક્કસપણે પ્રગટ થાય છે. પરંતુ, ઘણી વાર થાય છે તેમ, બીજી અદ્ભુત મર્યાદા ચાંદીની થાળી પર રહેતી નથી, અને તેને કૃત્રિમ રીતે ગોઠવવાની જરૂર છે. તમે નીચે પ્રમાણે કારણ આપી શકો છો: આ ઉદાહરણમાં પરિમાણ છે , જેનો અર્થ છે કે આપણે સૂચકમાં પણ ગોઠવવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, અમે આધારને શક્તિમાં વધારીએ છીએ, અને જેથી અભિવ્યક્તિ બદલાતી નથી, અમે તેને શક્તિમાં વધારીએ છીએ:

જ્યારે કાર્ય હાથથી પૂર્ણ થાય છે, ત્યારે અમે પેંસિલથી ચિહ્નિત કરીએ છીએ:

લગભગ બધું તૈયાર છે, ભયંકર ડિગ્રી એક સરસ અક્ષરમાં ફેરવાઈ ગઈ છે:

આ કિસ્સામાં, અમે મર્યાદા આયકનને જ સૂચક પર ખસેડીએ છીએ:

ઉદાહરણ 7

મર્યાદા શોધો

ધ્યાન આપો! આ પ્રકારની મર્યાદા ઘણી વાર જોવા મળે છે, કૃપા કરીને આ ઉદાહરણનો ખૂબ જ કાળજીપૂર્વક અભ્યાસ કરો.

ચાલો મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિમાં અનંત મોટી સંખ્યાને બદલવાનો પ્રયાસ કરીએ:

પરિણામ અનિશ્ચિતતા છે. પરંતુ બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા ફોર્મની અનિશ્ચિતતાને લાગુ પડે છે. શું કરવું? આપણે ડિગ્રીના આધારને કન્વર્ટ કરવાની જરૂર છે. અમે આ રીતે કારણ આપીએ છીએ: અમારી પાસે છેદમાં , જેનો અર્થ છે કે અંશમાં પણ આપણે ગોઠવવાની જરૂર છે.

પુરાવો:

ચાલો પહેલા ક્રમના કેસ માટે પ્રમેય સાબિત કરીએ

ન્યૂટનના દ્વિપદી સૂત્ર મુજબ:

ધારીએ છીએ કે આપણે મેળવીએ છીએ

આ સમાનતા (1) પરથી તે અનુસરે છે કે જેમ n વધે છે તેમ, જમણી બાજુના હકારાત્મક પદોની સંખ્યા વધે છે. વધુમાં, જેમ n વધે છે, સંખ્યા ઘટે છે, તેથી મૂલ્યો વધી રહ્યા છે. તેથી ક્રમ વધી રહી છે, અને (2)*અમે બતાવીએ છીએ કે તે બંધાયેલ છે. સમાનતાની જમણી બાજુના દરેક કૌંસને એક સાથે બદલો, જમણી બાજુ વધશે અને અમને અસમાનતા મળશે

ચાલો પરિણામી અસમાનતાને મજબૂત કરીએ, 3,4,5, ...ને બદલીએ, અપૂર્ણાંકના છેદમાં ઉભા રહીને, નંબર 2 સાથે: આપણે ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોના સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કૌંસમાં સરવાળો શોધીએ છીએ: તેથી (3)*

તેથી, ક્રમ ઉપરથી બંધાયેલો છે, અને અસમાનતાઓ (2) અને (3) સંતુષ્ટ છે: તેથી, વેરસ્ટ્રાસ પ્રમેય (ક્રમના સંપાત માટે માપદંડ) પર આધારિત, ક્રમ એકવિધ રીતે વધે છે અને મર્યાદિત છે, જેનો અર્થ છે કે તેની મર્યાદા છે, જે અક્ષર e દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. તે.

x ના કુદરતી મૂલ્યો માટે બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા સાચી છે તે જાણીને, અમે વાસ્તવિક x માટે બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા સાબિત કરીએ છીએ, એટલે કે, અમે સાબિત કરીએ છીએ કે . ચાલો બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ:

1. x ના દરેક મૂલ્યને બે ધન પૂર્ણાંકો વચ્ચે બંધ કરી દો: ,x નો પૂર્ણાંક ભાગ ક્યાં છે. => =>

જો, તો તેથી, મર્યાદા અનુસાર અમારી પાસે છે

મર્યાદાના અસ્તિત્વના માપદંડ (એક મધ્યવર્તી કાર્યની મર્યાદા વિશે) પર આધારિત

2. ચાલો. ચાલો અવેજી બનાવીએ − x = t, પછી

આ બે કિસ્સાઓ પરથી તે અનુસરે છે વાસ્તવિક x માટે.

પરિણામો:

9 .) અનંતની સરખામણી. મર્યાદામાં સમકક્ષ લોકો સાથે અનંત સિમલો બદલવા પરનો પ્રમેય અને અનંત સિમલોનાં મુખ્ય ભાગ પરનો પ્રમેય.

વિધેયો a( x) અને b( x) – b.m. ખાતે x ® x 0 .

વ્યાખ્યાઓ.

1)એ( x) કહેવાય છે કરતાં અનંત ઉચ્ચ ક્રમ b (x) જો

લખો: a( x) = ઓ(બી( x)) .

2)એ( x) અને b( x)કહેવાય છે સમાન ક્રમના અનંત, જો

જ્યાં સીÎℝ અને સી¹ 0 .

લખો: a( x) = ઓ(b( x)) .

3)એ( x) અને b( x) કહેવાય છે સમકક્ષ , જો

લખો: a( x) ~ બી( x).

4)એ( x) ક્રમ k સાપેક્ષનું અમર્યાદિત કહેવાય છે
સંપૂર્ણપણે અનંત b( x), જો અનંત a( x)અને(b( x)) કે સમાન ક્રમ ધરાવે છે, એટલે કે. જો

જ્યાં સીÎℝ અને સી¹ 0 .

પ્રમેય 6 (સમકક્ષ સાથે અનંત વસ્તુઓને બદલવા પર).

દો a( x), b( x), a 1 ( x), b 1 ( x)- b.m x પર ® x 0 . જો a( x) ~ એક 1 ( x), b( x) ~ બી 1 ( x),

તે

પુરાવો: ચાલો એ( x) ~ એક 1 ( x), b( x) ~ બી 1 ( x), પછી

પ્રમેય 7 (અનંતના મુખ્ય ભાગ વિશે).

દો a( x)અને b( x)- b.m x પર ® x 0 , અને b( x)- b.m કરતાં ઉચ્ચ ઓર્ડર a( x).

= , a ત્યારથી b( x) - a( કરતાં વધુ ક્રમ x), પછી, એટલે કે. થી તે સ્પષ્ટ છે કે એ( x) + b( x) ~ એ( x)

10) એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય (એપ્સીલોન-ડેલ્ટાની ભાષામાં, ભૌમિતિક મર્યાદા) એકતરફી સાતત્ય. અંતરાલ પર સાતત્ય, સેગમેન્ટ પર. સતત કાર્યોના ગુણધર્મો.

1. મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ

દો f(x) બિંદુના અમુક પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે x 0 .

વ્યાખ્યા 1. કાર્ય f(x) કહેવાય છે એક બિંદુ પર સતત x 0 જો સમાનતા સાચી છે

નોંધો.

1) પ્રમેય 5 §3 ના આધારે, સમાનતા (1) ફોર્મમાં લખી શકાય છે

શરત (2) - એકતરફી મર્યાદાની ભાષામાં એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્યની વ્યાખ્યા.

2) સમાનતા (1) આ રીતે પણ લખી શકાય છે:

તેઓ કહે છે: "જો કોઈ કાર્ય એક બિંદુ પર સતત હોય x 0, પછી મર્યાદાની નિશાની અને કાર્યને સ્વેપ કરી શકાય છે."

વ્યાખ્યા 2 (e-d ભાષામાં).

કાર્ય f(x) કહેવાય છે એક બિંદુ પર સતત x 0 જો"e>0 $d>0 જેમ કે, શું

જો xઓયુ( x 0 , d) (એટલે ​​​​કે | x – x 0 | < d),

પછી એફ(x)ÎU( f(x 0), e) (એટલે ​​​​કે | f(x) – f(x 0) | < e).

દો x, x 0 Î ડી(f) (x 0 - નિશ્ચિત, x -મનસ્વી)

ચાલો સૂચિત કરીએ: ડી x= x - x 0 – દલીલમાં વધારો

ડી f(x 0) = f(x) – f(x 0) – બિંદુએક્સ પર કાર્યનો વધારો 0

વ્યાખ્યા 3 (ભૌમિતિક).

કાર્ય f(x) ચાલુ કહેવાય છે એક બિંદુ પર સતત x 0 જો આ બિંદુએ દલીલમાં અનંત વધારો ફંક્શનમાં અનંત વધારાને અનુલક્ષે છે, એટલે કે

કાર્ય કરવા દો f(x) અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે [ x 0 ; x 0 + d) (અંતરાલ પર ( x 0 - ડી; x 0 ]).

વ્યાખ્યા. કાર્ય f(x) કહેવાય છે એક બિંદુ પર સતત x 0 અધિકાર (બાકી ), જો સમાનતા સાચી છે

તે સ્પષ્ટ છે કે f(x) બિંદુ પર સતત છે x 0 Û f(x) બિંદુ પર સતત છે x 0 જમણે અને ડાબે.

વ્યાખ્યા. કાર્ય f(x) કહેવાય છે એક અંતરાલ માટે સતત e ( a; b) જો તે આ અંતરાલના દરેક બિંદુએ સતત હોય.

કાર્ય f(x) સેગમેન્ટ પર સતત કહેવાય છે [a; b] જો તે અંતરાલ પર સતત હોય (a; b) અને બાઉન્ડ્રી પોઈન્ટ પર એક-માર્ગી સાતત્ય ધરાવે છે(એટલે ​​કે બિંદુ પર સતત aજમણી બાજુએ, બિંદુ પર b- ડાબે).

11) બ્રેક પોઈન્ટ, તેમનું વર્ગીકરણ

વ્યાખ્યા. જો કાર્ય f(x) બિંદુ x ના અમુક પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત 0 , પરંતુ આ બિંદુએ સતત નથી, પછી f(x) બિંદુ x પર અવ્યવસ્થિત કહેવાય છે 0 , અને બિંદુ પોતે x 0 વિરામ બિંદુ કહેવાય છે કાર્યો f(x) .

નોંધો.

1) f(x) બિંદુના અપૂર્ણ પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે x 0 .

પછી કાર્યની અનુરૂપ એક-માર્ગી સાતત્યને ધ્યાનમાં લો.

2) Þ બિંદુની વ્યાખ્યામાંથી x 0 એ ફંક્શનનો બ્રેક પોઈન્ટ છે f(x) બે કિસ્સાઓમાં:

એ) યુ( x 0 , ડી)ઓ ડી(f), પરંતુ માટે f(x) સમાનતા પકડી શકતી નથી

b) U * ( x 0 , ડી)ઓ ડી(f) .

પ્રાથમિક કાર્યો માટે, માત્ર કેસ b) શક્ય છે.

દો x 0 - કાર્ય વિરામ બિંદુ f(x) .

વ્યાખ્યા. બિંદુ x 0 કહેવાય છે વિરામ બિંદુ આઈ પ્રકારની જો કાર્ય f(x)આ બિંદુએ ડાબી અને જમણી બાજુએ મર્યાદિત મર્યાદાઓ છે.

જો આ મર્યાદાઓ સમાન હોય, તો બિંદુ x 0 કહેવાય છે દૂર કરી શકાય તેવું વિરામ બિંદુ , અન્યથા - જમ્પ પોઇન્ટ .

વ્યાખ્યા. બિંદુ x 0 કહેવાય છે વિરામ બિંદુ II પ્રકારની જો ફંક્શનની એકતરફી મર્યાદાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક f(x)આ બિંદુએ સમાન છે¥ અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.

12) વિધેયોના ગુણધર્મ એક અંતરાલ પર સતત (વેયરસ્ટ્રાસના પ્રમેય (સાબિતી વિના) અને કોચી

વેયરસ્ટ્રાસનું પ્રમેય

ફંક્શન f(x) ને અંતરાલ પર સતત રહેવા દો

1)f(x) સુધી મર્યાદિત છે

2) f(x) અંતરાલ પર તેનું સૌથી નાનું અને સૌથી મોટું મૂલ્ય લે છે

વ્યાખ્યા: ફંક્શન m=f ની કિંમત કોઈપણ x€ D(f) માટે m≤f(x) હોય તો તે સૌથી નાનું કહેવાય છે.

કોઈપણ x € D(f) માટે m≥f(x) હોય તો m=f ફંક્શનનું મૂલ્ય સૌથી મોટું કહેવાય છે.

ફંક્શન સેગમેન્ટના કેટલાક બિંદુઓ પર સૌથી નાનું/સૌથી મોટું મૂલ્ય લઈ શકે છે.

f(x 3)=f(x 4)=મહત્તમ

કોચીનું પ્રમેય.

ફંક્શન f(x) ને સેગમેન્ટ પર સતત રહેવા દો અને x ને f(a) અને f(b) વચ્ચે સમાયેલ સંખ્યા થવા દો, પછી ઓછામાં ઓછો એક બિંદુ x 0 € જેમ કે f(x 0)= g

હવે, શાંત આત્મા સાથે, ચાલો વિચાર કરવા આગળ વધીએ અદ્ભુત મર્યાદા.
જેવો દેખાય છે.

ચલ x ને બદલે, વિવિધ કાર્યો હાજર હોઈ શકે છે, મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તેઓ 0 તરફ વલણ ધરાવે છે.

મર્યાદાની ગણતરી કરવી જરૂરી છે

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આ મર્યાદા પ્રથમ નોંધપાત્ર એક જેવી જ છે, પરંતુ આ સંપૂર્ણ રીતે સાચું નથી. સામાન્ય રીતે, જો તમે મર્યાદામાં પાપ જોશો, તો તમારે તરત જ વિચારવું જોઈએ કે શું પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદાનો ઉપયોગ કરવો શક્ય છે.

અમારા નિયમ નંબર 1 મુજબ, અમે x ને બદલે શૂન્ય બદલીએ છીએ:

અમને અનિશ્ચિતતા મળે છે.

હવે ચાલો પ્રથમ અદ્ભુત મર્યાદાને જાતે ગોઠવવાનો પ્રયાસ કરીએ. આ કરવા માટે, ચાલો એક સરળ સંયોજન કરીએ:

તેથી અમે 7x પ્રકાશિત કરવા માટે અંશ અને છેદ ગોઠવીએ છીએ. હવે પરિચિત નોંધપાત્ર મર્યાદા પહેલેથી જ દેખાઈ છે. નક્કી કરતી વખતે તેને હાઇલાઇટ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે:

ચાલો પ્રથમ નોંધપાત્ર ઉદાહરણના ઉકેલને બદલીએ અને મેળવીએ:

અપૂર્ણાંકને સરળ બનાવવું:

જવાબ: 7/3.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, બધું ખૂબ સરળ છે.

જેવો દેખાય છે , જ્યાં e = 2.718281828... એ અતાર્કિક સંખ્યા છે.

ચલ x ને બદલે વિવિધ કાર્યો હાજર હોઈ શકે છે, મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તેઓ વલણ ધરાવે છે.

મર્યાદાની ગણતરી કરવી જરૂરી છે

અહીં આપણે મર્યાદાના ચિહ્ન હેઠળ ડિગ્રીની હાજરી જોઈએ છીએ, જેનો અર્થ છે કે બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદાનો ઉપયોગ કરવો શક્ય છે.

હંમેશની જેમ, અમે નિયમ નંબર 1 નો ઉપયોગ કરીશું - તેના બદલે x અવેજી:

તે જોઈ શકાય છે કે x પર ડિગ્રીનો આધાર છે, અને ઘાત 4x > છે, એટલે કે. અમે ફોર્મની અનિશ્ચિતતા મેળવીએ છીએ:

ચાલો આપણી અનિશ્ચિતતા જાહેર કરવા માટે બીજી અદ્ભુત મર્યાદાનો ઉપયોગ કરીએ, પરંતુ પહેલા આપણે તેને ગોઠવવાની જરૂર છે. જેમ તમે જોઈ શકો છો, અમારે સૂચકમાં હાજરી હાંસલ કરવાની જરૂર છે, જેના માટે આપણે આધારને 3x ની શક્તિ સુધી વધારીએ છીએ, અને તે જ સમયે 1/3x ની શક્તિ સુધી, જેથી અભિવ્યક્તિ બદલાય નહીં:

અમારી અદ્ભુત મર્યાદાને પ્રકાશિત કરવાનું ભૂલશો નહીં:

કે તેઓ ખરેખર શું છે અદ્ભુત મર્યાદા!
જો તમે હજુ પણ વિશે કોઇ પ્રશ્નો હોય પ્રથમ અને બીજી અદ્ભુત મર્યાદા, પછી ટિપ્પણીઓમાં તેમને પૂછવા માટે નિઃસંકોચ.
અમે દરેકને શક્ય તેટલો જવાબ આપીશું.

તમે આ વિષય પર શિક્ષક સાથે પણ કામ કરી શકો છો.
અમે તમને તમારા શહેરમાં લાયક શિક્ષક પસંદ કરવાની સેવાઓ પ્રદાન કરવા માટે પ્રસન્ન છીએ. અમારા ભાગીદારો તમારા માટે અનુકૂળ શરતો પર ઝડપથી સારા શિક્ષકની પસંદગી કરશે.

પૂરતી માહિતી નથી? - તમે કરી શકો છો!

તમે નોટપેડમાં ગાણિતિક ગણતરીઓ લખી શકો છો. લોગો (http://www.blocnot.ru) સાથે નોટબુકમાં વ્યક્તિગત રીતે લખવું વધુ સુખદ છે.

આ લેખ: "બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા" ફોર્મની અનિશ્ચિતતાઓની મર્યાદામાં પ્રગટ કરવા માટે સમર્પિત છે:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ અને $ ^\infty $.

ઉપરાંત, આવી અનિશ્ચિતતાઓને ઘાતાંકીય કાર્યના લઘુગણકનો ઉપયોગ કરીને જાહેર કરી શકાય છે, પરંતુ આ બીજી ઉકેલ પદ્ધતિ છે, જે બીજા લેખમાં આવરી લેવામાં આવશે.

ફોર્મ્યુલા અને પરિણામો

ફોર્મ્યુલાબીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવી છે: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( where ) e \approx 2.718 $$

તે સૂત્રમાંથી અનુસરે છે પરિણામો, જે મર્યાદાઓ સાથે ઉદાહરણો ઉકેલવા માટે વાપરવા માટે ખૂબ અનુકૂળ છે: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( જ્યાં ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

તે નોંધવું યોગ્ય છે કે બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા હંમેશા ઘાતાંકીય કાર્ય પર લાગુ કરી શકાતી નથી, પરંતુ માત્ર એવા કિસ્સાઓમાં જ્યાં આધાર એકતા તરફ વલણ ધરાવે છે. આ કરવા માટે, પ્રથમ માનસિક રીતે આધારની મર્યાદાની ગણતરી કરો, અને પછી તારણો દોરો. આ બધાની ચર્ચા ઉદાહરણ ઉકેલોમાં કરવામાં આવશે.

ઉકેલોના ઉદાહરણો

ચાલો સીધા સૂત્ર અને તેના પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલોના ઉદાહરણો જોઈએ. અમે એવા કિસ્સાઓનું પણ વિશ્લેષણ કરીશું કે જેમાં ફોર્મ્યુલાની જરૂર નથી. ફક્ત તૈયાર જવાબ લખવા માટે તે પૂરતું છે.

ચાલો એવા કિસ્સાઓ જોઈએ કે જ્યાં સમસ્યા બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા જેવી જ છે, પરંતુ તેના વિના ઉકેલી શકાય છે.

લેખમાં: "બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા: ઉકેલોના ઉદાહરણો" સૂત્ર, તેના પરિણામોનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું હતું અને આ વિષય પર સામાન્ય પ્રકારની સમસ્યાઓ આપવામાં આવી હતી.