આંકડાકીય દલીલની ત્રિકોણ અભિવ્યક્તિનું મૂલ્યાંકન કરો. પાઠ "સંખ્યાત્મક દલીલના ત્રિકોણમિતિ કાર્યો"

વિડિઓ પાઠ "સંખ્યાત્મક દલીલના ત્રિકોણમિતિ કાર્યો" વર્ગમાં વિષયને સમજાવતી વખતે સ્પષ્ટતા પ્રદાન કરવા માટે દ્રશ્ય સામગ્રી પ્રદાન કરે છે. નિદર્શન દરમિયાન, સંખ્યામાંથી ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના મૂલ્યની રચનાના સિદ્ધાંતને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, સંખ્યાબંધ ઉદાહરણો વર્ણવવામાં આવે છે જે શીખવે છે કે સંખ્યામાંથી ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂલ્યોની ગણતરી કેવી રીતે કરવી. આ માર્ગદર્શિકાની મદદથી, સંબંધિત સમસ્યાઓ હલ કરવામાં અને સામગ્રીને યાદ રાખવા માટે કુશળતા વિકસાવવી સરળ છે. મેન્યુઅલનો ઉપયોગ કરવાથી પાઠની અસરકારકતા વધે છે અને શીખવાના લક્ષ્યોને ઝડપથી પ્રાપ્ત કરવામાં મદદ મળે છે.

પાઠની શરૂઆતમાં, વિષયનું શીર્ષક બતાવવામાં આવ્યું છે. પછી કાર્ય અમુક સંખ્યાત્મક દલીલને અનુરૂપ કોસાઇન શોધવાનું છે. તે નોંધ્યું છે કે આ સમસ્યાને સરળ રીતે ઉકેલી શકાય છે અને આ સ્પષ્ટપણે દર્શાવી શકાય છે. સ્ક્રીન મૂળ પર તેના કેન્દ્ર સાથે એકમ વર્તુળ દર્શાવે છે. એ નોંધ્યું છે કે એબ્સીસા અક્ષના હકારાત્મક અર્ધ-અક્ષ સાથે વર્તુળના આંતરછેદનું બિંદુ A(1;0) પર સ્થિત છે. બિંદુ M નું ઉદાહરણ આપવામાં આવ્યું છે, જે દલીલ t=π/3 રજૂ કરે છે. આ બિંદુ એકમ વર્તુળ પર ચિહ્નિત થયેલ છે, અને તેમાંથી એબ્સીસા અક્ષ પર લંબ છે. પોઈન્ટનો મળેલો એબ્સીસા cos t નો કોસાઈન છે. આ કિસ્સામાં, બિંદુનો એબ્સીસા x=1/2 હશે. તેથી cos t=1/2.

ધ્યાનમાં લીધેલા તથ્યોનો સારાંશ આપતાં, એ નોંધ્યું છે કે કાર્ય s=cos t વિશે વાત કરવી અર્થપૂર્ણ છે. નોંધનીય છે કે વિદ્યાર્થીઓને પહેલાથી જ આ કાર્ય વિશે થોડું જ્ઞાન છે. કેટલાક કોસાઇન મૂલ્યોની ગણતરી કરવામાં આવે છે: cos 0=1, cos π/2=0, cos π/3=1/2. આ ફંક્શન સાથે પણ s=sin t, s=tg t, s=ctg t ફંક્શન્સ સંબંધિત છે. તે નોંધ્યું છે કે તેમની પાસે બધા માટે એક સામાન્ય નામ છે - ત્રિકોણમિતિ કાર્યો.

ત્રિકોણમિતિ વિધેયો સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા મહત્વના સંબંધો દર્શાવવામાં આવ્યા છે: મુખ્ય ઓળખ sin 2 t+ cos 2 t=1, સાઈન અને કોસાઈન દ્વારા સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટની અભિવ્યક્તિ tg t=sin t/cos t, જ્યાં t≠π/ kϵZ માટે 2+πk, ctg t= cos t/sin t, જ્યાં kϵZ માટે t≠πk, તેમજ ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ tg t·ctg t=1 જ્યાં kϵZ માટે t≠πk/2 નો ગુણોત્તર.

આગળ, અમે kϵZ માટે t≠π/2+πk સાથે 1+ tg 2 t=1/ cos 2 t સંબંધના પુરાવાને ધ્યાનમાં લેવાનું સૂચન કરીએ છીએ. ઓળખ સાબિત કરવા માટે, સાઈન અને કોસાઈનના ગુણોત્તરના સ્વરૂપમાં tg 2 t દર્શાવવું જરૂરી છે, અને પછી ડાબી બાજુના શબ્દોને સામાન્ય છેદ 1+ tg 2 t=1+sin 2 t/cos પર લાવવું જરૂરી છે. 2 t = (sin 2 t+cos 2 t)/ cos 2 t. મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખનો ઉપયોગ કરીને, આપણે અંશમાં 1 મેળવીએ છીએ, એટલે કે અંતિમ સમીકરણ 1/ cos 2 t. Q.E.D.

ઓળખ 1+ cot 2 t=1/ sin 2 t એ જ રીતે સાબિત થાય છે, kϵZ માટે t≠πk. અગાઉના પુરાવાની જેમ જ, કોટાંજન્ટને કોસાઇન અને સાઇનના અનુરૂપ ગુણોત્તર દ્વારા બદલવામાં આવે છે, અને ડાબી બાજુના બંને પદોને સામાન્ય છેદ 1+ cot 2 t=1+ cos 2 t/sin 2 t= ( sin 2 t+cos 2 t)/sin 2 t. અંશમાં મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખ લાગુ કર્યા પછી આપણને 1/ sin 2 t મળે છે. આ તે અભિવ્યક્તિ છે જે આપણે શોધી રહ્યા છીએ.

ઉદાહરણોના ઉકેલને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે જેમાં હસ્તગત જ્ઞાન લાગુ કરવામાં આવે છે. પ્રથમ કાર્યમાં, તમારે કિંમત, tgt, ctgt ના મૂલ્યો શોધવાની જરૂર છે, જો sint=4/5 નંબરની સાઈન જાણીતી હોય, અને t અંતરાલ π/2 સાથે સંબંધિત છે< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.

આગળ, અમે સમાન સમસ્યાના ઉકેલને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જેમાં સ્પર્શક tgt = -8/15 જાણીતું છે, અને દલીલ 3π/2 મૂલ્યો સુધી મર્યાદિત છે.

સાઈનનું મૂલ્ય શોધવા માટે, અમે ટેન્જેન્ટ tgt=sint/cost ની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. તેમાંથી આપણે શોધીએ છીએ sint= tgt·cost=(-8/15)·(15/17)=-8/17. કોટેન્જેન્ટ એ સ્પર્શકનું વ્યસ્ત કાર્ય છે તે જાણીને, આપણે ctgt=1/(-8/15)=-15/8 શોધીએ છીએ.

વિડિયો પાઠ "સંખ્યાત્મક દલીલના ત્રિકોણમિતિ કાર્યો" નો ઉપયોગ શાળામાં ગણિતના પાઠની અસરકારકતા વધારવા માટે થાય છે. ડિસ્ટન્સ લર્નિંગ દરમિયાન, આ સામગ્રીનો ઉપયોગ સંખ્યાના ત્રિકોણમિતિ કાર્યોને સમાવિષ્ટ સમસ્યાઓના નિરાકરણમાં કુશળતા વિકસાવવા માટે વિઝ્યુઅલ સહાય તરીકે થઈ શકે છે. આ કુશળતા પ્રાપ્ત કરવા માટે, વિદ્યાર્થીને સ્વતંત્ર રીતે દ્રશ્ય સામગ્રીની તપાસ કરવાની સલાહ આપવામાં આવી શકે છે.

ટેક્સ્ટ ડીકોડિંગ:

પાઠનો વિષય "સંખ્યાત્મક દલીલના ત્રિકોણમિતિ કાર્યો" છે.

કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા t વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત સંખ્યા cos t સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે. આ કરવા માટે તમારે નીચેના કરવાની જરૂર છે:

1) સંખ્યાના વર્તુળને સંકલન સમતલ પર સ્થિત કરો જેથી વર્તુળનું કેન્દ્ર કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ સાથે એકરુપ થાય, અને વર્તુળનો પ્રારંભિક બિંદુ A બિંદુ (1;0) પર આવે;

2) વર્તુળ પર એક બિંદુ શોધો જે સંખ્યા t ને અનુરૂપ છે;

3) આ બિંદુની અબ્સીસા શોધો. આ કારણ ટી.

તેથી, આપણે ફંક્શન s = cos t (es equals cosine te) વિશે વાત કરીશું, જ્યાં t એ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે. અમને પહેલાથી જ આ કાર્યનો થોડો ખ્યાલ આવી ગયો છે:

• કેટલાક મૂલ્યોની ગણતરી કરવાનું શીખ્યા, ઉદાહરણ તરીકે cos 0=1, cos = 0, cos =, વગેરે. (શૂન્યનો કોસાઈન એક બરાબર છે, pi ની કોસાઈન બે બાય શૂન્ય છે, pi ની કોસાઈન બાય ત્રણ છે અડધા સમાન, અને તેથી વધુ).
• અને સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યો એકબીજા સાથે સંકળાયેલા હોવાથી, અમને વધુ ત્રણ કાર્યો વિશે થોડો ખ્યાલ આવ્યો: s = sint; s= tgt; s = ctgt. (es બરાબર sine te, es equals tangent te, es equals cotangent te)

આ તમામ કાર્યોને સંખ્યાત્મક દલીલ t ના ત્રિકોણમિતિ કાર્યો કહેવામાં આવે છે.

સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાઓમાંથી, કેટલાક સંબંધો અનુસરે છે:

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sine square te plus cosine square te બરાબર એક)

2)tgt = t ≠ + πk, kϵZ માટે (સ્પર્શક te એ સાઈન te અને કોસાઈન te ના ગુણોત્તર બરાબર છે અને te બરાબર નથી pi બાય બે વત્તા pi ka, ka zet નો છે)

3) ctgt = t ≠ πk, kϵZ માટે (કોટેન્જેન્ટ te એ કોસાઈન te અને સાઈન te ના ગુણોત્તર બરાબર છે જ્યારે te pi ka ની બરાબર નથી, ka zet નો છે).

4)tgt ∙ ctgt = 1 માટે t ≠ , kϵZ (કોટેન્જેન્ટ te દ્વારા સ્પર્શક te નો ગુણાંક એક સમાન છે જ્યારે te પીક કા સમાન ન હોય, બે વડે ભાગ્યા, ka ઝેટનો છે)

ચાલો વધુ બે મહત્વપૂર્ણ સૂત્રો સાબિત કરીએ:

ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 1. કિંમત શોધો, tgt, ctgt જો sint = અને< t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи)

ઉકેલ. પ્રથમ સંબંધથી આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે કોસાઇન સ્ક્વેર te એ એક બાદબાકી સાઇન સ્ક્વેર ટી બરાબર છે: cos 2 t = 1 - sin 2 t.

આનો અર્થ એ છે કે cos 2 t = 1 -() 2 = (કોસાઇન ચોરસ te નવ પચીસમા ભાગના બરાબર છે), એટલે કે, કિંમત = (કોસાઇન te બરાબર ત્રણ પાંચમા ભાગના) અથવા કિંમત = - (કોસાઇન te બરાબર છે) ઓછા ત્રણ પાંચમા ભાગ). શરત દ્વારા, દલીલ t બીજા ક્વાર્ટરની છે, અને તેમાં cos t< 0 (косинус тэ отрицательный).

આનો અર્થ એ છે કે કોસાઇન te માઇનસ ત્રણ-પાંચમા ભાગની બરાબર છે, કિંમત = - .

ચાલો સ્પર્શક te ની ગણતરી કરીએ:

tgt = = ׃ (-)= - ;(સ્પર્શક te એ સાઈન te અને કોસાઈન te ના ગુણોત્તર સમાન છે, અને તેથી ચાર-પાંચમા ભાગથી ઓછા ત્રણ-પાંચમા ભાગ અને ઓછા ચાર-તૃતીયાંશ સમાન)

તદનુસાર, અમે ગણતરી કરીએ છીએ (સંખ્યા te નો સહસ્પર્શક. કારણ કે કોટેન્જેન્ટ te એ te ના કોસાઇન અને te ના સાઇનના ગુણોત્તર સમાન છે,) ctgt = = - .

(કોટેન્જેન્ટ te એ ઓછા ત્રણ-ચતુર્થાંશ બરાબર છે).

જવાબ: કિંમત = - , tgt= - ; ctgt = - . (જેમ આપણે તેને હલ કરીએ છીએ તેમ અમે જવાબ ભરીએ છીએ)

ઉદાહરણ 2. તે જાણીતું છે કે tgt = - અને< t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt.

ઉકેલ. ચાલો આ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ અને પ્રાપ્ત કરવા માટે આ સૂત્રમાં મૂલ્યને બદલીએ:

1 + (-) 2 = (કોસાઇન ચોરસ te દીઠ એક એકના સરવાળા અને ચોરસ ઓછા આઠ પંદરમા ભાગના બરાબર છે). અહીંથી આપણને cos 2 t = મળે છે

(કોસાઇન ચોરસ te બરાબર બેસો પચીસ બેસો એંશી નવમા ભાગ). આનો અર્થ થાય છે કિંમત = (કોસાઇન તે પંદર સત્તરમી છે) અથવા

કિંમત =. શરત પ્રમાણે, દલીલ t ચોથા ક્વાર્ટરની છે, જ્યાં કિંમત>0 છે. તેથી કિંમત = .(કોસેનસ તે પંદર સત્તરમા ભાગની બરાબર છે)

ચાલો દલીલ sine te ની કિંમત શોધીએ. સંબંધમાંથી (t ≠ + πk, kϵZ માટે tgt = સંબંધ બતાવો) સાઈન te એ સ્પર્શક te અને કોસાઈન te ના ગુણાંક જેટલો છે, પછી દલીલ te..ટેન્જેન્ટ te ની કિંમતને બદલે આઠ પંદરમા ભાગની બરાબર છે. .. શરત પ્રમાણે, અને કોસાઇન તે પહેલા ઉકેલવા સમાન છે, આપણને મળે છે

sint = tgt ∙ કિંમત = (-) ∙ = - , (sine te બરાબર છે ઓછા આઠ સત્તરમા)

ctgt = = - . (કારણ કે કોટેન્જેન્ટ ટે એ ટેન્જેન્ટનો પરસ્પર છે, જેનો અર્થ થાય છે કોટેન્જેન્ટ te માઈનસ પંદર અઢારમા ભાગની બરાબર છે)

વિષય પર પાઠ અને પ્રસ્તુતિ: "સંખ્યાત્મક દલીલ, વ્યાખ્યા, ઓળખનું ત્રિકોણમિતિ કાર્ય"

વધારાની સામગ્રી
પ્રિય વપરાશકર્તાઓ, તમારી ટિપ્પણીઓ, સમીક્ષાઓ, શુભેચ્છાઓ આપવાનું ભૂલશો નહીં. એન્ટી-વાયરસ પ્રોગ્રામ દ્વારા તમામ સામગ્રીની તપાસ કરવામાં આવી છે.

ગ્રેડ 10 માટે ઈન્ટિગ્રલ ઓનલાઈન સ્ટોરમાં ટીચિંગ એઈડ્સ અને સિમ્યુલેટર
પરિમાણો સાથે બીજગણિત સમસ્યાઓ, ગ્રેડ 9-11
સોફ્ટવેર પર્યાવરણ "1C: મેથેમેટિકલ કન્સ્ટ્રક્ટર 6.1"

આપણે શું અભ્યાસ કરીશું:
1. સંખ્યાત્મક દલીલની વ્યાખ્યા.
2. મૂળભૂત સૂત્રો.
3. ત્રિકોણમિતિ ઓળખ.
4. સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે ઉદાહરણો અને કાર્યો.

સંખ્યાત્મક દલીલના ત્રિકોણમિતિ કાર્યની વ્યાખ્યા

ચાલો મૂળભૂત સૂત્રો યાદ કરીએ:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. બાય ધ વે, આ ફોર્મ્યુલાનું નામ શું છે?

$tg(t)=\frac(sin(t))(cos(t))$, $t≠\frac(π)(2)+πk$ સાથે.
$ctg(t)=\frac(cos(t))(sin(t))$, $t≠πk$ માટે.

ચાલો નવા સૂત્રો મેળવીએ.

ત્રિકોણમિતિ ઓળખો

હવે ચાલો ઓળખની બંને બાજુઓને $sin^2(t)$ વડે વિભાજીત કરીએ.
અમને મળે છે: $\frac(sin^2(t))(sin^2(t))+\frac(cos^2(t))(sin^2(t))=\frac(1)(sin^ 2 (t))$.
ચાલો રૂપાંતર કરીએ: $1+(\frac(cos(t))(sin(t))^2=\frac(1)(sin^2(t)).$
અમને એક નવી ઓળખ મળે છે જે યાદ રાખવા યોગ્ય છે:
$ctg^2(t)+1=\frac(1)(sin^2(t))$, $t≠πk$ માટે.

અમે બે નવા ફોર્મ્યુલા મેળવવામાં સફળ થયા. તેમને યાદ રાખો.
આ સૂત્રોનો ઉપયોગ થાય છે જો, ત્રિકોણમિતિ કાર્યના કેટલાક જાણીતા મૂલ્યમાંથી, અન્ય કાર્યના મૂલ્યની ગણતરી કરવી જરૂરી હોય.

સંખ્યાત્મક દલીલના ત્રિકોણમિતિ કાર્યો પર ઉદાહરણો ઉકેલવા

$cos(t) =\frac(5)(7)$, $sin(t)$ શોધો; $tg(t)$; તમામ ટી માટે $ctg(t)$.

ઉકેલ:

$sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
પછી $sin^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sin^2(t)=1-(\frac(5)(7))^2=1-\frac(25)(49)=\frac(49-25)(49)=\frac(24) (49)$.
$sin(t)=±\frac(\sqrt(24))(7)=±\frac(2\sqrt(6))(7)$.
$tg(t)=±\sqrt(\frac(1)(cos^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(25)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(25)-1)=±\sqrt(\frac(24)(25))=±\frac(\sqrt(24))(5)$.
$ctg(t)=±\sqrt(\frac(1)(sin^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(24)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(24)-1)=±\sqrt(\frac(25)(24))=±\frac(5)(\sqrt(24))$.

ઉદાહરણ 2.

$tg(t) = \frac(5)(12)$, $sin(t)$ શોધો; $cos(t)$; $ctg(t)$, બધા $0 માટે

ઉકેલ:
$tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$.
પછી $\frac(1)(cos^2(t))=1+\frac(25)(144)=\frac(169)(144)$.
અમને તે $cos^2(t)=\frac(144)(169)$ મળે છે.
પછી $cos^2(t)=±\frac(12)(13)$, પરંતુ $0 પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં કોસાઇન પોઝિટિવ છે. પછી $cos(t)=\frac(12)(13)$.
અમને મળે છે: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac(5)(12)*\frac(12)(13)=\frac(5)(13)$.
$ctg(t)=\frac(1)(tg(t))=\frac(12)(5)$.

સ્વતંત્ર રીતે ઉકેલવા માટે સમસ્યાઓ