પરસ્પર લંબ વેક્ટર. આપેલ વેક્ટરને લંબરૂપ વેક્ટર શોધવું, ઉદાહરણો અને ઉકેલો

સૂચનાઓ

જો મૂળ વેક્ટરને ડ્રોઇંગમાં લંબચોરસ દ્વિ-પરિમાણીય સંકલન પ્રણાલીમાં દર્શાવવામાં આવ્યું હોય અને ત્યાં એક લંબ બાંધવાની જરૂર હોય, તો પ્લેન પર વેક્ટરની લંબરૂપતાની વ્યાખ્યાથી આગળ વધો. તે જણાવે છે કે નિર્દેશિત ભાગોની આવી જોડી વચ્ચેનો ખૂણો 90° જેટલો હોવો જોઈએ. આવા અસંખ્ય વેક્ટરનું નિર્માણ કરી શકાય છે. તેથી, પ્લેન પર કોઈપણ અનુકૂળ જગ્યાએ મૂળ વેક્ટર પર લંબ દોરો, તેના પર આપેલ ક્રમાંકિત બિંદુઓની લંબાઇ જેટલો ભાગ મૂકો અને તેના એક છેડાને લંબ વેક્ટરની શરૂઆત તરીકે સોંપો. પ્રોટ્રેક્ટર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને આ કરો.

જો મૂળ વેક્ટર દ્વિ-પરિમાણીય કોઓર્ડિનેટ્સ ā = (X₁;Y₁) દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો ધારો કે લંબ વેક્ટરની જોડીનું સ્કેલર ઉત્પાદન શૂન્ય જેટલું હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે તમારે ઇચ્છિત વેક્ટર માટે પસંદ કરવાની જરૂર છે ō = (X₂,Y₂) સમાનતા (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 આ રીતે કરી શકાય છે: કોઈપણ પસંદ કરો X₂ કોઓર્ડિનેટ માટે બિન-શૂન્ય મૂલ્ય, અને સૂત્ર Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁ નો ઉપયોગ કરીને Y₂ કોઓર્ડિનેટની ગણતરી કરો. ઉદાહરણ તરીકે, વેક્ટર ā = (15;5) માટે એક વેક્ટર ō હશે, જેમાં એબ્સીસા એક સમાન હશે અને ઓર્ડિનેટ -(15*1)/5 = -3, એટલે કે. ō = (1;-3).

ત્રિ-પરિમાણીય અને અન્ય કોઈપણ ઓર્થોગોનલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ માટે, વેક્ટર્સની લંબરૂપતા માટે સમાન આવશ્યક અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ સાચી છે - તેમનું સ્કેલર ઉત્પાદન શૂન્ય જેટલું હોવું જોઈએ. તેથી, જો પ્રારંભિક નિર્દેશિત સેગમેન્ટ કોઓર્ડિનેટ્સ ā = (X₁,Y₁,Z₁) દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો ō = (X₂,Y₂,Z₂) પોઈન્ટની ક્રમબદ્ધ જોડી માટે તેને લંબરૂપ એવા કોઓર્ડિનેટ્સ પસંદ કરો જે સ્થિતિ (ā,ō) ને સંતોષે છે. ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. સૌથી સહેલો રસ્તો X₂ અને Y₂ને સિંગલ મૂલ્યો સોંપવાનો છે, અને સરળ સમાનતા Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₂) માંથી Z₂ ની ગણતરી કરવી 1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. ઉદાહરણ તરીકે, વેક્ટર ā = (3,5,4) માટે આ નીચેનું સ્વરૂપ લેશે: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. પછી એબ્સિસા અને ઓર્ડિનેટ લો એક તરીકે લંબ વેક્ટર, અને આ કિસ્સામાં તે -(3+5)/4 = -2 ની બરાબર હશે.

સ્ત્રોતો:

• જો તે લંબ હોય તો વેક્ટર શોધો

તેમને લંબરૂપ કહેવામાં આવે છે વેક્ટર, જેની વચ્ચેનો ખૂણો 90º છે. કાટખૂણે વેક્ટર ડ્રોઇંગ ટૂલ્સનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે. જો તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણીતા હોય, તો વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને વેક્ટર્સની લંબરૂપતાને તપાસી અથવા શોધી શકાય છે.

તમને જરૂર પડશે

• - પ્રોટ્રેક્ટર;
• - હોકાયંત્ર;
• - શાસક.

સૂચનાઓ

આપેલ એક પર લંબરૂપ વેક્ટર બનાવો. આ કરવા માટે, વેક્ટરની શરૂઆતના બિંદુ પર, તેને લંબરૂપ પુનઃસ્થાપિત કરો. આ પ્રોટ્રેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને 90º નો ખૂણો સેટ કરીને કરી શકાય છે. જો તમારી પાસે પ્રોટ્રેક્ટર ન હોય, તો તે કરવા માટે હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરો.

તેને વેક્ટરના પ્રારંભિક બિંદુ પર સેટ કરો. મનસ્વી ત્રિજ્યા સાથે વર્તુળ દોરો. પછી બિંદુઓ પર કેન્દ્રો સાથે બે બનાવો જ્યાં પ્રથમ વર્તુળ એ રેખાને છેદે છે કે જેના પર વેક્ટર છે. આ વર્તુળોની ત્રિજ્યા એકબીજાની સમાન હોવી જોઈએ અને પ્રથમ બાંધવામાં આવેલા વર્તુળ કરતાં મોટી હોવી જોઈએ. વર્તુળોના આંતરછેદના બિંદુઓ પર, એક સીધી રેખા બનાવો જે તેના મૂળના મૂળ વેક્ટરને લંબરૂપ હશે, અને તેના પર આના માટે લંબરૂપ વેક્ટરને પ્લોટ કરો.

વેક્ટર્સ લંબરૂપ હોવાની સ્થિતિ

વેક્ટર કાટખૂણે હોય છે જો અને માત્ર જો તેમનો ડોટ ઉત્પાદન શૂન્ય હોય.

આપેલ બે વેક્ટર a(xa;ya) અને b(xb;yb). જો xaxb + yayb = 0 અભિવ્યક્તિ હોય તો આ વેક્ટર લંબરૂપ હશે.

વેક્ટર સમાંતર હોય છે જો તેમનું ક્રોસ ઉત્પાદન શૂન્ય હોય

પ્લેન પર સીધી રેખાનું સમીકરણ. પ્લેન પર સીધી રેખા પર મૂળભૂત સમસ્યાઓ.

પ્લેન પરની કોઈપણ સીધી રેખા પ્રથમ-ક્રમના સમીકરણ Ax + Bi + C = 0 દ્વારા આપી શકાય છે, અને સ્થિરાંકો A અને B એક જ સમયે શૂન્યની બરાબર નથી, એટલે કે. A2 + B2  0. આ પ્રથમ-ક્રમના સમીકરણને રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. A, B અને C ના સ્થિરાંકોના મૂલ્યોના આધારે, નીચેના વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ શક્ય છે: - C = 0, A  0, B  0 - સીધી રેખા કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળમાંથી પસાર થાય છે - A = 0, B  0, C  0 ( દ્વારા

C = 0) - Oy અક્ષની સમાંતર સીધી રેખા - B = 0, A  0, C  0 ( Ax + C = 0) - Oy અક્ષની સમાંતર સીધી રેખા - B = C = 0, A  0 - સીધી રેખા ઓય અક્ષ સાથે એકરુપ છે - A = C = 0, B  0 - સીધી રેખા ઑક્સ અક્ષ સાથે એકરુપ છે, આપેલ કોઈપણ પ્રારંભિક સ્થિતિને આધારે સીધી રેખાનું સમીકરણ વિવિધ સ્વરૂપોમાં રજૂ કરી શકાય છે.

જો A, B, C લેવલ Ax+By+C=0 માંથી ઓછામાં ઓછો એક ગુણાંક 0 બરાબર હોય, તો સ્તર
કહેવાય છે અપૂર્ણ સીધી રેખાના સમીકરણના સ્વરૂપ દ્વારા વ્યક્તિ તેની સ્થિતિ નક્કી કરી શકે છે
ફ્લેટનેસ OXU. સંભવિત કિસ્સાઓ:
1 C=0 L: Ax+By=0 t. O(0,0) આ સમીકરણને સંતોષે છે, જેનો અર્થ છે કે તે સીધુ છે
મૂળમાંથી પસાર થાય છે
2 A=0 L: Ву+С=0 - સામાન્ય પરિભ્રમણ n=(0,B) અહીંથી OX અક્ષને લંબરૂપ છે
તે અનુસરે છે કે સીધી રેખા OX અક્ષની સમાંતર છે
3 V = 0 L: Ay+C=0 0 - નામાંકિત મૂલ્ય n=(A,0) અહીંથી OY અક્ષને લંબરૂપ છે
તે અનુસરે છે કે સીધી રેખા op-amp ની ધરીની સમાંતર છે
4 A=0, C=0 L: By=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - મૂળમાંથી પસાર થતો નથી અને છેદે છે)
બંને અક્ષો.

આપેલા બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતા પ્લેન પરની સીધી રેખાનું સમીકરણ અને:

વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો.

નિર્ધારકોની ગણતરી

નિર્ધારકોની ગણતરી તેમના જાણીતા ગુણધર્મો પર આધારિત છે, જે તમામ ઓર્ડરના નિર્ધારકોને લાગુ પડે છે. આ ગુણધર્મો છે:

1. જો તમે નિર્ધારકની બે પંક્તિઓ (અથવા બે કૉલમ) ફરીથી ગોઠવો છો, તો નિર્ણાયક ચિહ્ન બદલશે.

2. જો નિર્ણાયકના બે કૉલમ (અથવા બે પંક્તિઓ) ના અનુરૂપ ઘટકો સમાન અથવા પ્રમાણસર હોય, તો નિર્ણાયક શૂન્ય સમાન છે.

3. જો તમે પંક્તિઓ અને સ્તંભોની અદલાબદલી કરીને, તેમનો ક્રમ જાળવી રાખશો તો નિર્ણાયકનું મૂલ્ય બદલાશે નહીં.

4. જો પંક્તિ (અથવા કૉલમ) ના તમામ ઘટકોમાં એક સામાન્ય પરિબળ હોય, તો તેને નિર્ણાયક ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે.

5. નિર્ણાયકનું મૂલ્ય બદલાશે નહીં જો બીજી પંક્તિ (અથવા કૉલમ) ના અનુરૂપ ઘટકોને એક પંક્તિ (અથવા કૉલમ) ના ઘટકોમાં ઉમેરવામાં આવે, સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે.

મેટ્રિક્સ અને તેમની ઉપરની ક્રિયાઓ

મેટ્રિક્સ- સંખ્યાઓના લંબચોરસ કોષ્ટક (અથવા રિંગના ઘટકો) ના રૂપમાં લખાયેલ એક ગાણિતિક ઑબ્જેક્ટ અને તેની અને અન્ય સમાન વસ્તુઓ વચ્ચે બીજગણિત ક્રિયાઓ (ઉમેરો, બાદબાકી, ગુણાકાર, વગેરે) કરવાની મંજૂરી આપે છે. સામાન્ય રીતે, મેટ્રિસિસને દ્વિ-પરિમાણીય (લંબચોરસ) કોષ્ટકો તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. કેટલીકવાર બહુપરિમાણીય મેટ્રિસિસ અથવા બિન-લંબચોરસ મેટ્રિસિસ ગણવામાં આવે છે.

સામાન્ય રીતે, મેટ્રિક્સ લેટિન મૂળાક્ષરોના મોટા અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને રાઉન્ડ કૌંસ “(…)” (ચોરસ કૌંસ “[…]” અથવા ડબલ સીધી રેખાઓ “||…||” સાથે પણ ચિહ્નિત થયેલ છે) સાથે પ્રકાશિત થાય છે. .

સંખ્યાઓ કે જે મેટ્રિક્સ (મેટ્રિક્સ તત્વો) બનાવે છે તે ઘણીવાર મેટ્રિક્સ જેવા જ અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, પરંતુ લોઅરકેસ (ઉદાહરણ તરીકે, a11 એ મેટ્રિક્સ Aનું એક તત્વ છે).

દરેક મેટ્રિક્સ ઘટકમાં 2 સબસ્ક્રિપ્ટ્સ (aij) હોય છે - પ્રથમ "i" એ પંક્તિ નંબર સૂચવે છે જેમાં તત્વ સ્થિત છે, અને બીજું "j" કૉલમ નંબર સૂચવે છે. તેઓ કહે છે “ડાયમેન્શનલ મેટ્રિક્સ”, એટલે કે મેટ્રિક્સમાં m પંક્તિઓ અને n કૉલમ છે. હંમેશા સમાન મેટ્રિક્સમાં

મેટ્રિસિસ પર કામગીરી

ચાલો aij ને મેટ્રિક્સ A ના તત્વો અને bij ને મેટ્રિક્સ B ના તત્વો ગણીએ.

રેખીય કામગીરી:

મેટ્રિક્સ A ને સંખ્યા λ (ચિહ્ન: λA) વડે ગુણાકાર કરવાથી મેટ્રિક્સ B બનાવવામાં આવે છે, જેનાં તત્વો મેટ્રિક્સ A ના દરેક ઘટકને આ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે, એટલે કે, મેટ્રિક્સ B ના દરેક ઘટક સમાન છે

મેટ્રિક્સ A + B નો ઉમેરો એ મેટ્રિક્સ C શોધવાનું કાર્ય છે, જેનાં તમામ ઘટકો મેટ્રિક્સ A અને B ના તમામ અનુરૂપ ઘટકોના જોડીવાર સરવાળા સમાન છે, એટલે કે, મેટ્રિક્સ C ના દરેક ઘટક સમાન છે.

મેટ્રિક્સ A − B ની બાદબાકીને સરવાળે સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, આ એક મેટ્રિક્સ C શોધવાનું કાર્ય છે જેના તત્વો છે

સરવાળો અને બાદબાકી માત્ર સમાન કદના મેટ્રિસિસ માટે માન્ય છે.

ત્યાં એક શૂન્ય મેટ્રિક્સ છે Θ જેમ કે તેને બીજા મેટ્રિક્સ Aમાં ઉમેરવાથી A બદલાતો નથી, એટલે કે

શૂન્ય મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન છે.

બિનરેખીય કામગીરી:

મેટ્રિક્સ ગુણાકાર (હોદ્દો: AB, ઘણી વાર ગુણાકાર ચિહ્ન સાથે) એ મેટ્રિક્સ Cની ગણતરી કરવાની કામગીરી છે, જેનાં ઘટકો પ્રથમ પરિબળની અનુરૂપ પંક્તિ અને બીજાના સ્તંભમાં તત્વોના ઉત્પાદનોના સરવાળા જેટલા હોય છે. .cij = ∑ aikbkj k

પ્રથમ પરિબળમાં બીજામાં પંક્તિઓની સંખ્યા જેટલી જ કૉલમ હોવી આવશ્યક છે. જો મેટ્રિક્સ A પાસે પરિમાણ B - છે, તો તેમના ઉત્પાદનનું પરિમાણ AB = C છે. મેટ્રિક્સ ગુણાકાર વિનિમયાત્મક નથી.

મેટ્રિક્સ ગુણાકાર એ સહયોગી છે. માત્ર ચોરસ મેટ્રિસિસને સત્તાઓ સુધી વધારી શકાય છે.

મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સપોઝિશન (પ્રતીક: AT) એ એક ઓપરેશન છે જેમાં મેટ્રિક્સ મુખ્ય કર્ણની તુલનામાં પ્રતિબિંબિત થાય છે, એટલે કે

જો A એ માપ મેટ્રિક્સ છે, તો AT એ માપ મેટ્રિક્સ છે

જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન

જટિલ કાર્યનું સ્વરૂપ છે: F(x) = f(g(x)), એટલે કે. ફંક્શનનું કાર્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, y = sin2x, y = ln(x2+2x), વગેરે.

જો કોઈ બિંદુ x પર ફંક્શન g(x) નું વ્યુત્પન્ન g"(x) હોય, અને બિંદુ u = g(x) પર ફંક્શન f(u) નું વ્યુત્પન્ન f"(u) હોય, તો તેનું વ્યુત્પન્ન બિંદુ x પર જટિલ કાર્ય f(g(x)) અસ્તિત્વમાં છે અને તે f"(u)g"(x) ની બરાબર છે.

ગર્ભિત કાર્ય વ્યુત્પન્ન

ઘણી સમસ્યાઓમાં, ફંક્શન y(x) સ્પષ્ટ રીતે ઉલ્લેખિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના કાર્યો માટે

નિર્ભરતા y(x) સ્પષ્ટપણે મેળવવી અશક્ય છે.

ગર્ભિત કાર્યના વ્યુત્પન્ન y"(x) ની ગણતરી કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ છે:

તમારે પ્રથમ x ના સંદર્ભમાં સમીકરણની બંને બાજુઓને અલગ પાડવાની જરૂર છે, એમ ધારીને કે y એ x નું વિભેદક કાર્ય છે અને જટિલ કાર્યના વ્યુત્પન્નની ગણતરી માટે નિયમનો ઉપયોગ કરીને;

વ્યુત્પન્ન y"(x) માટે પરિણામી સમીકરણ ઉકેલો.

ચાલો સમજાવવા માટે થોડા ઉદાહરણો જોઈએ.

સમીકરણ દ્વારા આપેલ ફંક્શન y(x) ને અલગ કરો.

ચાલો x ચલના સંદર્ભમાં સમીકરણની બંને બાજુઓને અલગ કરીએ:

શું પરિણામ તરફ દોરી જાય છે

લેપિટલનો નિયમ

હોસ્પીટલનો નિયમ. ફંક્શન f(x) અને g(x) ને પર્યાવરણમાં રહેવા દો. t-ki x0 pr-nye f' અને g' આ ખૂબ જ t-tu x0 ની શક્યતાને બાદ કરતાં. lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0 દો જેથી x®x0 માટે f(x)/g(x) 0/0 આપે. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4), જ્યારે તે ફંક્શન lim(x®x0)f(x)/g(x)= કાર્યના ગુણોત્તરની મર્યાદા સાથે એકરુપ હોય છે લિમ(x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)

44 .1.(અંતરાલ પર વ્યુત્પન્ન ધરાવતા ફંક્શનની એકવિધતા માટેનો માપદંડ) ફંક્શનને ચાલો સતત ચાલુ

(a,b), અને દરેક બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન f"(x) ધરાવે છે. પછી

1)f (a,b) દ્વારા વધે છે જો અને માત્ર જો

2) (a,b) દ્વારા ઘટે છે જો અને માત્ર જો

2. (અંતરાલ પર વ્યુત્પન્ન ધરાવતા ફંક્શનની કડક એકવિધતા માટે પૂરતી સ્થિતિ) ફંક્શનને દો (a,b) પર સતત છે, અને દરેક બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન f"(x) ધરાવે છે. પછી

1) જો પછી f (a,b) પર સખત રીતે વધે છે;

2) જો પછી f (a,b) પર સખત રીતે ઘટે છે.

વાતચીત, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, સાચું નથી. સખત એકવિધ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન અદૃશ્ય થઈ શકે છે. જો કે, બિંદુઓનો સમૂહ જ્યાં વ્યુત્પન્ન શૂન્ય નથી તે અંતરાલ (a,b) પર ગાઢ હોવો જોઈએ. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, તે કરે છે.

3. (અંતરાલ પર વ્યુત્પન્ન ધરાવતા કાર્યની કડક એકવિધતા માટેનો માપદંડ) ચાલો અને વ્યુત્પન્ન f"(x) અંતરાલ પર દરેક જગ્યાએ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. પછી f એ અંતરાલ (a,b) પર સખત રીતે વધે છે જો અને માત્ર જો નીચેની બે શરતો સંતુષ્ટ હોય:

વેક્ટર્સનું ડોટ ઉત્પાદન. વેક્ટર વચ્ચેનો ખૂણો. વેક્ટર્સની સમાંતરતા અથવા લંબરૂપતાની સ્થિતિ.

વેક્ટરનું સ્કેલર ઉત્પાદન તેમની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેના કોણના કોસાઈનનું ઉત્પાદન છે:

નીચેના નિવેદનો બરાબર એ જ રીતે સાબિત થાય છે જેમ કે પ્લાનિમેટ્રીમાં:

બે બિનશૂન્ય વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદન શૂન્ય છે જો અને માત્ર જો વેક્ટર લંબ હોય.

વેક્ટરનો સ્કેલર સ્ક્વેર, એટલે કે, પોતાના અને પોતાનાનું સ્કેલર પ્રોડક્ટ, તેની લંબાઈના ચોરસ જેટલું છે.

સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બે વેક્ટર અને તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા આપવામાં આવેલ સ્કેલર ઉત્પાદનની ગણતરી કરી શકાય છે

વેક્ટર કાટખૂણે હોય છે જો અને માત્ર જો તેમનો ડોટ ઉત્પાદન શૂન્ય હોય. ઉદાહરણ. બે વેક્ટર અને આપેલ છે. જો x1x2 + y1y2 = 0 અભિવ્યક્તિ હોય તો આ વેક્ટર્સ લંબરૂપ હશે. બિન-શૂન્ય વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ એ સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો કોણ છે જેના માટે આ વેક્ટર માર્ગદર્શક છે. વ્યાખ્યા પ્રમાણે, કોઈપણ વેક્ટર અને શૂન્ય વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ શૂન્ય સમાન ગણવામાં આવે છે. જો વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ 90° હોય, તો આવા વેક્ટરને લંબરૂપ કહેવામાં આવે છે. અમે વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ નીચે પ્રમાણે દર્શાવીશું:

આ લેખ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં પ્લેન પરના બે વેક્ટરની લંબરૂપતાનો અર્થ અને વેક્ટરની એક અથવા આખી જોડીને લંબરૂપ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાનો અર્થ દર્શાવે છે. આ વિષય રેખાઓ અને વિમાનોના સમીકરણોને લગતી સમસ્યાઓને લાગુ પડે છે.

અમે બે વેક્ટરની લંબરૂપતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિને ધ્યાનમાં લઈશું, આપેલ વેક્ટરને લંબરૂપ શોધવાની પદ્ધતિને ઉકેલીશું, અને બે વેક્ટરને લંબરૂપ વેક્ટર શોધવાની પરિસ્થિતિઓને સ્પર્શ કરીશું.

Yandex.RTB R-A-339285-1

બે વેક્ટરની લંબરૂપતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ

ચાલો પ્લેન પર અને ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં લંબ વેક્ટર વિશેનો નિયમ લાગુ કરીએ.

વ્યાખ્યા 1

જો બે બિન-શૂન્ય વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ 90 ° (π 2 રેડિયન) બરાબર હોય તો તેને કહેવામાં આવે છે. લંબ.

આનો અર્થ શું છે, અને કઈ પરિસ્થિતિઓમાં તેમની લંબરૂપતા વિશે જાણવું જરૂરી છે?

ડ્રોઇંગ દ્વારા લંબરૂપતાની સ્થાપના શક્ય છે. આપેલ બિંદુઓમાંથી પ્લેન પર વેક્ટરનું કાવતરું કરતી વખતે, તમે તેમની વચ્ચેના ખૂણાને ભૌમિતિક રીતે માપી શકો છો. જો વેક્ટર્સની લંબરૂપતા સ્થાપિત કરવામાં આવે તો પણ, તે સંપૂર્ણ રીતે સચોટ રહેશે નહીં. મોટેભાગે, આ કાર્યો તમને પ્રોટ્રેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને આ કરવાની મંજૂરી આપતા નથી, તેથી આ પદ્ધતિ ફક્ત ત્યારે જ લાગુ પડે છે જ્યારે વેક્ટર વિશે બીજું કંઈ જાણીતું નથી.

પ્લેનમાં અથવા અવકાશમાં બે બિન-શૂન્ય વેક્ટરની લંબરૂપતાને સાબિત કરવાના મોટાભાગના કિસ્સાઓ આનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. બે વેક્ટરની લંબરૂપતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ.

પ્રમેય 1

બે બિન-શૂન્ય વેક્ટર a → અને b → સમાનતા a → , b → = 0 ને સંતોષવા માટે શૂન્યના સમાન હોય છે તે તેમની લંબરૂપતા માટે પર્યાપ્ત છે.

પુરાવા 1

આપેલ વેક્ટર a → અને b → કાટખૂણે રહેવા દો, પછી આપણે સમાનતા a ⇀ , b → = 0 સાબિત કરીશું.

ની વ્યાખ્યામાંથી વેક્ટર્સનું ડોટ ઉત્પાદનઆપણે જાણીએ છીએ કે તે બરાબર છે આપેલ વેક્ટરની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઈનનું ઉત્પાદન. શરત પ્રમાણે, a → અને b → લંબ છે, જેનો અર્થ છે કે વ્યાખ્યાના આધારે, તેમની વચ્ચેનો કોણ 90 ° છે. પછી આપણી પાસે a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 છે.

પુરાવાનો બીજો ભાગ

જો કે a ⇀, b → = 0, a → અને b → ની લંબરૂપતા સાબિત કરે છે.

હકીકતમાં, સાબિતી અગાઉના એકની વિરુદ્ધ છે. તે જાણીતું છે કે a → અને b → બિન-શૂન્ય છે, જેનો અર્થ છે કે સમાનતામાંથી a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ આપણે કોસાઈન શોધીએ છીએ. પછી આપણને cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 મળે છે. કોસાઇન શૂન્ય હોવાથી, આપણે તારણ કાઢી શકીએ છીએ કે a → અને b → વેક્ટરનો કોણ a →, b → ^ 90 ° છે. વ્યાખ્યા દ્વારા, આ એક જરૂરી અને પર્યાપ્ત મિલકત છે.

કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર લંબરૂપ સ્થિતિ

પ્રકરણ કોઓર્ડિનેટ્સમાં સ્કેલર ઉત્પાદનઅસમાનતા દર્શાવે છે (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , a → = (a x , a y) અને b → = (b x , b y), સમતલ પર અને (a → ,) સાથેના વેક્ટર માટે માન્ય b → ) = a x · b x + a y · b y વેક્ટર માટે a → = (a x , a y , a z) અને b → = (b x , b y , b z) અવકાશમાં. કોઓર્ડિનેટ પ્લેનમાં બે વેક્ટરની લંબરૂપતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ એ x · b x + a y · b y = 0 છે, ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા માટે a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.

ચાલો તેને વ્યવહારમાં મૂકીએ અને ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 1

બે વેક્ટર a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4) ની લંબરૂપતાની મિલકત તપાસો.

ઉકેલ

આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, તમારે સ્કેલર ઉત્પાદન શોધવાની જરૂર છે. જો સ્થિતિ અનુસાર તે શૂન્યની બરાબર છે, તો તે લંબરૂપ છે.

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . શરત પૂરી થઈ છે, જેનો અર્થ છે કે આપેલ વેક્ટર પ્લેન પર લંબરૂપ છે.

જવાબ:હા, આપેલ વેક્ટર a → અને b → લંબ છે.

ઉદાહરણ 2

સંકલન વેક્ટર i → , j → , k → આપેલ છે. તપાસો કે i → - j → અને i → + 2 · j → + 2 · k → લંબરૂપ હોઈ શકે છે કે કેમ.

ઉકેલ

વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ કેવી રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે તે યાદ રાખવા માટે, તમારે આ વિશેનો લેખ વાંચવાની જરૂર છે લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ.આમ, આપણે શોધીએ છીએ કે આપેલ વેક્ટર i → - j → અને i → + 2 · j → + 2 · k → અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ (1, - 1, 0) અને (1, 2, 2) ધરાવે છે. અમે સંખ્યાત્મક મૂલ્યોને બદલીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .

અભિવ્યક્તિ શૂન્યની બરાબર નથી, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, જેનો અર્થ છે કે વેક્ટર i → - j → અને i → + 2 j → + 2 k → કાટખૂણે નથી, કારણ કે શરત પૂરી થઈ નથી.

જવાબ:ના, વેક્ટર i → - j → અને i → + 2 · j → + 2 · k → કાટખૂણે નથી.

ઉદાહરણ 3

આપેલ વેક્ટર a → = (1, 0, - 2) અને b → = (λ, 5, 1). λ નું મૂલ્ય શોધો કે જેના પર આ વેક્ટર લંબરૂપ છે.

ઉકેલ

આપણે અવકાશમાં બે વેક્ટરની લંબરૂપતાની સ્થિતિનો ઉપયોગ ચોરસ સ્વરૂપમાં કરીએ છીએ, પછી આપણને મળે છે

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

જવાબ:વેક્ટર λ = 2 ની કિંમત પર લંબ છે.

એવા કિસ્સાઓ છે જ્યારે લંબરૂપતાનો પ્રશ્ન જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ હેઠળ પણ અશક્ય છે. બે વેક્ટર પર ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓ પરના જાણીતા ડેટાને જોતાં, તે શોધવાનું શક્ય છે વેક્ટર વચ્ચેનો કોણઅને તેને તપાસો.

ઉદાહરણ 4

A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm સાથે ત્રિકોણ A B → અને A C → લંબરૂપતા માટે વેક્ટર તપાસો.

ઉકેલ

જો વેક્ટર A B → અને A C → લંબ હોય, તો ત્રિકોણ A B C લંબચોરસ ગણવામાં આવે છે. પછી આપણે પાયથાગોરિયન પ્રમેય લાગુ કરીએ છીએ, જ્યાં B C ત્રિકોણનું કર્ણ છે. સમાનતા B C 2 = A B 2 + A C 2 સાચી હોવી જોઈએ. તે અનુસરે છે કે 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. આનો અર્થ એ છે કે A B અને A C ત્રિકોણ A B C ના પગ છે, તેથી, A B → અને A C → લંબ છે.

આપેલ વેક્ટરના લંબરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ કેવી રીતે શોધવા તે શીખવું મહત્વપૂર્ણ છે. આ પ્લેનમાં અને અવકાશમાં બંને શક્ય છે, જો કે વેક્ટર લંબરૂપ હોય.

પ્લેનમાં આપેલ વેક્ટરને લંબરૂપ વેક્ટર શોધવું.

બિન-શૂન્ય વેક્ટર a → પ્લેન પર અસંખ્ય લંબ વેક્ટર હોઈ શકે છે. ચાલો આને સંકલન રેખા પર દર્શાવીએ.

બિન-શૂન્ય વેક્ટર આપેલ a → સીધી રેખા પર પડેલો a. પછી આપેલ b →, રેખા a ને લંબરૂપ કોઈપણ રેખા પર સ્થિત છે, a → માટે લંબરૂપ બને છે. જો વેક્ટર i → એ વેક્ટર j → અથવા કોઈપણ વેક્ટર λ · j → λ સાથે શૂન્ય સિવાયની કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાની સમાન હોય, તો વેક્ટર b → a → = (a x , a y) માટે લંબરૂપ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા ) ઉકેલોના અનંત સમૂહ સુધી ઘટાડવામાં આવે છે. પરંતુ a → = (a x , a y) પર લંબરૂપ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા જરૂરી છે. આ કરવા માટે, નીચેના સ્વરૂપમાં વેક્ટરની લંબરૂપતાની સ્થિતિ લખવી જરૂરી છે: a x · b x + a y · b y = 0. આપણી પાસે b x અને b y છે, જે લંબ વેક્ટરના ઇચ્છિત કોઓર્ડિનેટ્સ છે. જ્યારે x ≠ 0, b y ની કિંમત બિન-શૂન્ય હોય છે, અને b x ની અસમાનતામાંથી ગણતરી કરી શકાય છે a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. x = 0 અને a y ≠ 0 માટે, આપણે b x શૂન્ય સિવાયની કોઈપણ કિંમત અસાઇન કરીએ છીએ અને b y = - a x · b x a y માંથી b y શોધીએ છીએ.

ઉદાહરણ 5

કોઓર્ડિનેટ્સ a → = (- 2 , 2) સાથે વેક્ટર આપેલ છે. આ માટે લંબરૂપ વેક્ટર શોધો.

ઉકેલ

ચાલો ઇચ્છિત વેક્ટરને b → (b x , b y) તરીકે દર્શાવીએ. તેના કોઓર્ડિનેટ્સ એ સ્થિતિમાંથી શોધી શકાય છે કે a → અને b → વેક્ટર લંબરૂપ છે. પછી આપણને મળે છે: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . ચાલો b y = 1 સોંપીએ અને અવેજી કરીએ: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . તેથી, સૂત્રમાંથી આપણને b x = - 2 - 2 = 1 2 મળે છે. આનો અર્થ એ છે કે વેક્ટર b → = (1 2 , 1) એ → માટે લંબરૂપ વેક્ટર છે.

જવાબ: b → = (1 2 , 1) .

જો ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશ વિશે પ્રશ્ન ઉઠાવવામાં આવે છે, તો સમસ્યા સમાન સિદ્ધાંત અનુસાર હલ થાય છે. આપેલ વેક્ટર a → = (a x , a y , a z) માટે અસંખ્ય લંબ વેક્ટર હોય છે. આને ત્રિ-પરિમાણીય સંકલન પ્લેન પર ઠીક કરશે. આપેલ → લીટી પર પડેલું a. સીધા a ને લંબરૂપ સમતલ α દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, પ્લેન αમાંથી કોઈપણ બિન-શૂન્ય વેક્ટર b → a → માટે લંબરૂપ છે.

બિન-શૂન્ય વેક્ટર a → = (a x , a y , a z) માટે b → લંબરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા જરૂરી છે.

ચાલો b → કોઓર્ડિનેટ્સ b x , b y અને b z સાથે આપીએ. તેમને શોધવા માટે, બે વેક્ટરની લંબરૂપતાની સ્થિતિની વ્યાખ્યા લાગુ કરવી જરૂરી છે. સમાનતા a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 સંતુષ્ટ હોવી આવશ્યક છે. શરતમાંથી a → બિન-શૂન્ય છે, જેનો અર્થ છે કે કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી એકનું મૂલ્ય શૂન્યની બરાબર નથી. ચાલો ધારીએ કે a x ≠ 0, (a y ≠ 0 અથવા a z ≠ 0). તેથી, અમને આ સંકલન દ્વારા સમગ્ર અસમાનતા a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ને વિભાજીત કરવાનો અધિકાર છે, અમે અભિવ્યક્તિ b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y મેળવીએ છીએ. + a z · b z a x . અમે b y અને b x કોઓર્ડિનેટ્સને કોઈપણ મૂલ્ય અસાઇન કરીએ છીએ, સૂત્રના આધારે b x ની કિંમતની ગણતરી કરીએ છીએ, b x = - a y · b y + a z · b z a x. ઇચ્છિત લંબ વેક્ટર પાસે મૂલ્ય a → = (a x, a y, a z) હશે.

ચાલો ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને સાબિતી જોઈએ.

ઉદાહરણ 6

કોઓર્ડિનેટ્સ a → = (1, 2, 3)  સાથે વેક્ટર આપેલ છે. આપેલ વેક્ટરને લંબરૂપ વેક્ટર શોધો.

ઉકેલ

ચાલો ઇચ્છિત વેક્ટરને b → = (b x , b y , b z) વડે દર્શાવીએ. વેક્ટર લંબરૂપ છે તે શરતના આધારે, સ્કેલર ઉત્પાદન શૂન્યની બરાબર હોવું જોઈએ.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

જો કિંમત b y = 1, b z = 1 હોય, તો b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. તે અનુસરે છે કે વેક્ટર b → (- 5 , 1 , 1) ના કોઓર્ડિનેટ્સ. વેક્ટર b → એ આપેલ એકને લંબરૂપ વેક્ટરમાંથી એક છે.

જવાબ: b → = (- 5 , 1 , 1) .

બે આપેલ વેક્ટરને લંબરૂપ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવી

આપણે ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાની જરૂર છે. તે નોન-કોલિનિયર વેક્ટર a → (a x , a y , a z) અને b → = (b x , b y , b z) માટે લંબરૂપ છે. જો વેક્ટર a → અને b → સમરેખા હોય, તો સમસ્યામાં a → અથવા b → માટે લંબરૂપ વેક્ટર શોધવા માટે તે પૂરતું હશે.

હલ કરતી વખતે, વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની વિભાવનાનો ઉપયોગ થાય છે.

વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન a → અને b → એ વેક્ટર છે જે a → અને b → બંને માટે એકસાથે લંબ છે. આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, વેક્ટર ઉત્પાદન a → × b → વપરાય છે. ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા માટે તેનું સ્વરૂપ a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z છે

ચાલો એક ઉદાહરણ સમસ્યાનો ઉપયોગ કરીને વેક્ટર ઉત્પાદનને વધુ વિગતવાર જોઈએ.

ઉદાહરણ 7

વેક્ટર b → = (0, 2, 3) અને a → = (2, 1, 0) આપેલ છે. એકસાથે ડેટાને લંબરૂપ કોઈપણ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો.

ઉકેલ

ઉકેલવા માટે, તમારે વેક્ટર્સનું વેક્ટર ઉત્પાદન શોધવાની જરૂર છે. (કૃપા કરીને ફકરાનો સંદર્ભ લો મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકની ગણતરીવેક્ટર શોધવા માટે). અમને મળે છે:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

જવાબ: (3 , - 6 , 4) - વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ જે આપેલ a → અને b → માટે વારાફરતી કાટખૂણે હોય છે.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો