આપણું વિશ્વ કેમ સુંદર છે? કારણ કે જીવંત પ્રકૃતિના સ્વરૂપો અને રંગો મોટે ભાગે સંવાદિતાના સામાન્ય નિયમોનું પાલન કરે છે, જે કડક ગાણિતિક વિશ્લેષણ દ્વારા પ્રગટ થાય છે. પ્રકૃતિનો અભ્યાસ કરતી વખતે, આપણે તેમાં વધુ અને વધુ સૌંદર્યલક્ષી લક્ષણો શોધીએ છીએ, જે, એક નિયમ તરીકે, તરત જ નહીં, પરંતુ વિગતવાર ગાણિતિક વિશ્લેષણ પછી પ્રગટ થાય છે.

વ્યક્તિ તેના આકાર દ્વારા તેની આસપાસની વસ્તુઓને અલગ પાડે છે. કોઈ વસ્તુના આકારમાં રસ મહત્વપૂર્ણ આવશ્યકતા દ્વારા નિર્ધારિત કરી શકાય છે, અથવા તે આકારની સુંદરતાને કારણે થઈ શકે છે. ફોર્મ, જે સપ્રમાણતા અને સુવર્ણ ગુણોત્તરના સંયોજન પર આધારિત છે, શ્રેષ્ઠ દ્રશ્ય દ્રષ્ટિ અને સૌંદર્ય અને સંવાદિતાની લાગણીના દેખાવને પ્રોત્સાહન આપે છે.

સમગ્રમાં હંમેશા ભાગોનો સમાવેશ થાય છે, વિવિધ કદના ભાગો એકબીજા સાથે અને સમગ્ર સાથે ચોક્કસ સંબંધમાં હોય છે. સુવર્ણ ગુણોત્તરનો સિદ્ધાંત કલા, વિજ્ઞાન, ટેકનોલોજી અને પ્રકૃતિમાં સમગ્ર અને તેના ભાગોની માળખાકીય અને કાર્યાત્મક પૂર્ણતાનું ઉચ્ચતમ અભિવ્યક્તિ છે.

નવી પરિસ્થિતિમાં કુદરતી ભૂમિતિના નિયમોનો ઉપયોગ કરતી વખતે, ભૌમિતિક બાંધકામોને લગતા વિષયોના અભ્યાસક્રમોનો અભ્યાસ કરવા માટે, અમે અભ્યાસ કરેલા ભૌમિતિક નિયમો પર પુનર્વિચાર કરીએ છીએ અને ભૌમિતિક અંતર્જ્ઞાન વિકસાવીએ છીએ.

વિવિધ સામગ્રીઓના સર્જનાત્મક કાર્યો કરવાની પ્રક્રિયામાં, અમે ભૌમિતિક જ્ઞાન (કલાકારો, આર્કિટેક્ટ્સ, ડિઝાઇનર્સ, વગેરે) ના ઉપયોગના સંભવિત ક્ષેત્રોથી પરિચિત થયા.

માહિતી પ્રદર્શિત કરવાના ગ્રાફિક માધ્યમોનો ઉપયોગ સમાજના તમામ ક્ષેત્રોમાં થાય છે. તેમની પાસે સંપૂર્ણ છબી છે, પ્રતીકવાદ, કોમ્પેક્ટનેસ અને વાંચવાની સંબંધિત સરળતા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. તે ગ્રાફિક છબીઓના આ ગુણો છે જે તેમના વિસ્તૃત ઉપયોગને નિર્ધારિત કરે છે. નજીકના ભવિષ્યમાં, પ્રસ્તુત માહિતીમાંથી અડધાથી વધુને ગ્રાફિકલી રીતે રજૂ કરવામાં આવશે. વર્ણનાત્મક ભૂમિતિ, એન્જિનિયરિંગ ગ્રાફિક્સ અને અન્ય સંબંધિત વિજ્ઞાનના સૈદ્ધાંતિક પાયાના વિકાસથી ગ્રાફિક છબીઓ મેળવવાની પદ્ધતિઓનો વિસ્તાર થયો છે. ગ્રાફિક ઈમેજીસ બનાવવાની અને ડીઝાઈન ડોક્યુમેન્ટેશન બનાવવાની મેન્યુઅલ પદ્ધતિઓ સાથે, કોમ્પ્યુટર પદ્ધતિઓનો વધુને વધુ ઉપયોગ થઈ રહ્યો છે. નવી માહિતી તકનીકોનો ઉપયોગ વિવિધ સોફ્ટવેર ટૂલ્સનો ઉપયોગ કરીને ગ્રાફિક છબીઓની રચના, સંપાદન, સંગ્રહ અને પ્રતિકૃતિને સુનિશ્ચિત કરે છે.

I. બીજગણિત વણાંકો વિશે મૂળભૂત માહિતી

1. એસ્ટ્રોઇડ

એસ્ટ્રોઇડ (ગ્રીક >-સ્ટારમાંથી) એ ફરતા વર્તુળ પરના બિંદુ દ્વારા વર્ણવેલ વળાંક છે જે ત્રિજ્યાના ચાર ગણા નિશ્ચિત વર્તુળની અંદરથી સ્પર્શે છે અને લપસ્યા વિના તેની સાથે ફરે છે. એસ્ટ્રોઇડ દ્વારા મર્યાદિત વિસ્તાર નિશ્ચિત વર્તુળના ક્ષેત્રફળનો આઠમો ભાગ છે અને એસ્ટ્રોઇડની કુલ લંબાઈ આ વર્તુળની ત્રિજ્યાના છ ગણા જેટલી છે.

કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સમાં એસ્ટ્રોઇડનું સમીકરણ:

x + y = R.

એસ્ટ્રોઇડ ગ્રાફ નીચેની રીતે > માં બનાવવામાં આવ્યો હતો:

:: y > 0 (ત્રિજ્યા R = 5) માટે ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવ્યો;

:: ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવ્યો.

2. કાર્ડિયોઇડ

કાર્ડિયોઇડ (ગ્રીક >-હૃદય અને ઇડોસ-વ્યુમાંથી) એ વર્તુળ પરના નિશ્ચિત બિંદુ દ્વારા વર્ણવેલ સપાટ વળાંક છે, જે બહારથી સમાન ત્રિજ્યાના નિશ્ચિત વર્તુળને સ્પર્શે છે અને તેની સાથે લપસ્યા વિના ફરે છે. વળાંકને તેનું નામ હૃદય સાથે સામ્યતાના કારણે પડ્યું.

કાર્ડિયોઇડ ગ્રાફનું નિર્માણ પણ > માં કરવામાં આવ્યું હતું.

3. નેફ્રોઇડ

નેફ્રોઇડ (ગ્રીક હેફ્રોસ-કિડનીમાંથી, ઇડોસ-પ્રજાતિ) એ એક વળાંક છે જે બમણા મોટા વર્તુળ સાથે બહાર ફરતા વર્તુળના નિશ્ચિત બિંદુ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. નેફ્રોઇડના ગુણધર્મોનો સૌપ્રથમ અભ્યાસ 17મી સદીમાં સેક્સન ઉમરાવો E. V. Tschirnhaus દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો. નેફ્રોઇડ બે કાર્ડિયોઇડ્સ ધરાવે છે.

4. પાસ્કલની ગોકળગાય.

પાસ્કલની ગોકળગાય એ પ્લેન બીજગણિત વળાંક છે. એટીન પાસ્કલ (બ્લેઝ પાસ્કલના પિતા) ના નામ પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે, જેમણે સૌપ્રથમ તેની તપાસ કરી હતી. ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં સમીકરણ. જ્યારે l = 2a, કાર્ડિયોઇડ પ્રાપ્ત થાય છે.

II. ગાણિતિક મોડેલિંગની એપ્લિકેશન.

1. સ્ટ્રિંગ ગ્રાફિક્સની રચનાનો ઇતિહાસ

થ્રેડ ગ્રાફિક્સ (અથવા આઇસોથ્રેડ) એ કાર્ડબોર્ડ અથવા અન્ય નક્કર આધાર પર થ્રેડો સાથે વિશિષ્ટ રીતે બનાવવામાં આવેલ ગ્રાફિક છબી છે. થ્રેડ ગ્રાફિક્સને કેટલીકવાર આઇસોગ્રાફિક્સ અથવા કાર્ડબોર્ડ પર ભરતકામ પણ કહેવામાં આવે છે.

શબ્દ > (થ્રેડ ગ્રાફિક્સ અથવા આઇસોથ્રેડ) રશિયામાં વપરાય છે, અંગ્રેજી બોલતા દેશોમાં આ શબ્દસમૂહનો ઉપયોગ થાય છે - કાગળ પર ભરતકામ, જર્મન બોલતા દેશોમાં - શબ્દ.

થ્રેડ ગ્રાફિક્સ, સુશોભન અને લાગુ કલાના પ્રકાર તરીકે, સૌપ્રથમ 17મી સદીમાં ઇંગ્લેન્ડમાં દેખાયા હતા. અંગ્રેજી વણકરો દોરાની વણાટની એક ખાસ રીત લઈને આવ્યા. તેઓએ બોર્ડમાં નખ બાંધ્યા અને ચોક્કસ ક્રમમાં તેમના પર દોરો ખેંચ્યો. પરિણામ એ ઓપનવર્ક લેસ ઉત્પાદનો હતા જેનો ઉપયોગ ઘરને સુશોભિત કરવા માટે કરવામાં આવતો હતો. (એક સંસ્કરણ ઊભું થયું કે આ કાર્યો ફેબ્રિક પરના પેટર્ન માટેના અમુક પ્રકારના સ્કેચ હતા). આધુનિક ઉપભોજ્ય વસ્તુઓ ખૂબ પ્રભાવશાળી ઉત્પાદનો મેળવવાનું શક્ય બનાવે છે.

થ્રેડ ગ્રાફિક્સ કરવાની મૂળ તકનીકની સાથે, થ્રેડ ડિઝાઇનની બીજી દિશા છે - સમાન તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને કાર્ડબોર્ડ (આઇસોથ્રેડ) પર ભરતકામ (ખૂણા અને વર્તુળો ભરવાની તકનીક).

ફિલામેન્ટ ગ્રાફિક્સમાં રસ દેખાયો અને પછી અદૃશ્ય થઈ ગયો. લોકપ્રિયતાના શિખરો પૈકીનું એક 19મી સદીના અંતમાં હતું. સોયકામ પરના પુસ્તકો પ્રકાશિત થયા હતા, જેમાં કાગળ પર ભરતકામની અસામાન્ય પદ્ધતિ વર્ણવવામાં આવી હતી, સરળ અને સરળ, બાળકો માટે સુલભ. કાર્યમાં છિદ્રિત કાર્ડ્સ (તૈયાર નમૂનાઓ) અને ખૂણા, ટાંકા >, > (એમ્બ્રોઇડરીંગ વળાંકો માટે) ભરવાની તકનીકનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. ન્યૂનતમ ભંડોળનો ઉપયોગ કરીને, કોઈપણ (અને સૌથી અગત્યનું બાળકો) રજાઓ માટે ફેન્સી સંભારણું બનાવી શકે છે.

હવે આ કળા વિશ્વના ઘણા દેશોમાં પ્રચલિત છે.

આપણા દેશમાં, મુખ્યત્વે માહિતીના હેતુઓ માટે, આઇસોથ્રેડ પર થોડી માહિતી છે: સામયિકોમાં વ્યક્તિગત પ્રકાશનો > 1995 માં, મિન્સ્કના પ્રોફેસર જી. એ. બ્રાનિત્સ્કીનું પુસ્તક > અને એમ. આઇ. નાગીબીનાનું પુસ્તક > આઇસોથ્રેડ પરના નાના પ્રકરણ સાથે પ્રકાશિત થયું હતું. .

ઉપલબ્ધ માહિતીનું વિશ્લેષણ કર્યા પછી, અમે એ શોધવામાં વ્યવસ્થાપિત થયા કે આ પ્રકારની સોયકામ પર ઘણા પુસ્તકો પગલું-દર-પગલાં સૂચનો અને વિચારોના આલ્બમ્સના રૂપમાં પ્રકાશિત થાય છે, જેમાં દરેક જગ્યાએ કાર્યની પ્રજનન પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે.

આઇસોથ્રેડનો ફાયદો એ છે કે તે ઝડપથી થાય છે અને તમે ઘણી રસપ્રદ પેટર્ન સાથે આવી શકો છો. આ પ્રકારની સર્જનાત્મકતા કલ્પના, આંખ, આંગળીઓની સુંદર મોટર કુશળતા, કલાત્મક ક્ષમતાઓ અને સૌંદર્યલક્ષી સ્વાદનો વિકાસ કરે છે. થ્રેડ ગ્રાફિક્સ તકનીકનો ઉપયોગ કરીને, તમે માત્ર સુશોભન પેનલ્સ જ નહીં, પણ શુભેચ્છા કાર્ડ્સ, સંભારણું કવર અને બુકમાર્ક્સ પણ બનાવી શકો છો.

આઇસોથ્રેડ (થ્રેડ ગ્રાફિક્સ અથવા થ્રેડ ડિઝાઇન) માં ઘણી દિશાઓ હોઈ શકે છે:

1) પ્રજનન પદ્ધતિ: નમૂના અનુસાર કાર્ય કરો, પગલું-દર-પગલાની સૂચનાઓ, તૈયાર પેટર્નનું વિતરણ અને ભરતકામ કીટ

2) આંશિક રીતે શોધો (પ્રોજેક્ટ): કાર્ડબોર્ડ પર ગણતરી કરવાનું શીખવું (એટલે ​​​​કે તમારી પોતાની માસ્ટરપીસ બનાવવી), તમારી પોતાની તકનીકો અને સંયોજનો શોધવી, પૃષ્ઠભૂમિ સાથે "રમવું", થ્રેડો - અમલની સામગ્રી સાથે

3) સંયુક્ત - જ્યારે બધું "ABC" થી શરૂ થાય છે, ત્યારે અમે તૈયાર આકૃતિઓ સાથે કામ કરીએ છીએ, પરંતુ સામગ્રીનો પ્રકાર (રંગ) બદલીએ છીએ અને "માસ્ટરપીસ" પર પહોંચીએ છીએ.

2. સ્ટ્રિંગ ગ્રાફિક્સની મૂળભૂત તકનીકો

થ્રેડ ગ્રાફિક્સ અન્ય નામોથી પણ ઓળખાય છે: આઇસોથ્રેડ (એટલે ​​​​કે, થ્રેડ સાથેની છબી), ગ્રાફિક ભરતકામ. તકનીકમાં નિપુણતા મેળવવા માટે, કોણ, વર્તુળ અને ચાપ કેવી રીતે ભરાય છે તે જાણવું પૂરતું છે.

ટેકનીક 1. ખૂણો ભરવા.

કાર્ડબોર્ડની પાછળ એક ખૂણો દોરો અને દરેક બાજુને સમાન સંખ્યામાં ભાગોમાં વિભાજીત કરો. અમે બિંદુઓને પિન અથવા પાતળા awl વડે વીંધીએ છીએ, સોયને દોરો અને ડાયાગ્રામ અનુસાર ભરો.

ટેકનીક 2. વર્તુળ ભરવાનું.

ચાલો હોકાયંત્ર વડે વર્તુળ દોરીએ. ચાલો તેને 12 સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ અને તેને આકૃતિ અનુસાર ભરીએ.

ટેકનીક 3. ચાપ ભરવા.

ચાલો એક ચાપ દોરીએ, તેને સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ અને વિભાજન બિંદુઓ પર પંચર બનાવીએ. સોયને દોરો અને ડાયાગ્રામ મુજબ ભરો

III. સંશોધન કાર્ય.

પ્રોગ્રામમાં બાંધકામો >.

સમસ્યા 1. સેગમેન્ટને n સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરવી.

ઉકેલ 1. 2, 4, 8, 16, વગેરે ભાગોમાં વિભાજન > માં સેગમેન્ટના મધ્યબિંદુઓનું નિર્માણ કરીને કરવામાં આવ્યું હતું.

સોલ્યુશન 2. અમે થેલ્સના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ભાગોની મનસ્વી સંખ્યામાં વિભાગનું વિભાજન પણ કર્યું.

કાર્ય 2. વર્તુળને 6, 12, 24 ભાગોમાં વિભાજીત કરવું.

સોલ્યુશન 1. અમે વર્તુળને ભાગોમાં વિભાજીત કરવાની વિવિધ રીતો શોધી રહ્યા હતા. પ્રોગ્રામમાં > અમે એક વર્તુળ દોર્યું, રેન્ડમ ક્રમમાં પોઈન્ટ્સ મૂક્યા, પરિણામી ખૂણાઓ માપ્યા, અને પછી > જ્યાં સુધી ઇચ્છિત મૂલ્ય પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી બિંદુઓને વર્તુળની આસપાસ ખસેડ્યા. તે એકવિધ અને રસહીન કામ હતું. 12 ભાગોમાં પ્રથમ વિભાજનની ભૂલ તારોની લંબાઈમાં + 0.15 સેમી હતી. અમે પરિસ્થિતિનું વિશ્લેષણ કરવાનું શરૂ કર્યું અને સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે શ્રેષ્ઠ માર્ગો શોધવાનું શરૂ કર્યું. પરિણામે, અમને વર્તુળને 6, 12, 24 ભાગોમાં વિભાજીત કરવા માટે ઘણા ઉકેલો મળ્યા.

ઉકેલ 2. વર્તુળ પર 6 બિંદુઓને ચિહ્નિત કરો, બધા ખૂણાઓને માપો, બિંદુઓને સંરેખિત કરો જેથી દરેક ખૂણો 60 [o] ની બરાબર હોય. પછી, પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને, અમે દરેક ખૂણાના દ્વિભાજકો દોર્યા. પરિણામ 12 ભાગોમાં વિભાજન હતું. અને 24 ભાગોમાં વિભાજીત કરવા માટે, અમે પરિણામી ખૂણાઓના દ્વિભાજકોને ફરીથી દોર્યા. આ બાંધકામની ભૂલ +0.01 ડિગ્રી હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

સોલ્યુશન 3. પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને, અમે સમાન ત્રિજ્યાના 3 વર્તુળો બનાવ્યા (કૉપીનો ઉપયોગ કરીને), તેમને આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે સંયુક્ત કર્યા. વર્તુળોના આંતરછેદ બિંદુઓને ચિહ્નિત કરો. અમે પરિણામી ખૂણાઓ માપ્યા, તેઓ 60 [o] ની બરાબર બહાર આવ્યા. આગળ, અમે 12 અને 24 ભાગોમાં વિભાજન કરવા માટે કોણ દ્વિભાજક બનાવ્યાં. આવા ઉકેલની ભૂલ શૂન્ય છે.

સમસ્યા 3. વર્તુળને 9, 18, 36 ભાગોમાં વિભાજીત કરવું.

અગાઉની સમસ્યાને ઉકેલવા માટે શ્રેષ્ઠ માર્ગ શોધી કાઢ્યા પછી, અમે તે જ રીતે વર્તુળને 9, 18 અને 36 ભાગોમાં વિભાજીત કરવાની રીતો શોધવાનું શરૂ કર્યું. 18 અને 36 ભાગોમાં વિભાજન દ્વિભાજકના બાંધકામનો ઉપયોગ કરીને 9 પોઈન્ટ બાંધ્યા પછી જ કરી શકાય છે.

ઉકેલ. 360 [o] : 9 = 40 [o]. અમે > અર્ધવર્તુળને આશરે 40 [o] ના 4 ચાપ અને 20 [o] ની ચાપમાં વિભાજિત કર્યું. પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને, અમે બિંદુઓને ખસેડીને તમામ જરૂરી કોણ માપન કર્યું. આગળ, અમે બનાવેલ બિંદુઓ પસંદ કર્યા અને, > આદેશનો ઉપયોગ કરીને, બીજા અર્ધવર્તુળ પર વર્તુળના કેન્દ્રની સાપેક્ષ 180 ડિગ્રી બિંદુઓને પ્રતિબિંબિત કર્યા. આ બાંધકામની ભૂલ + 0.04 ડિગ્રી હતી.

સમસ્યા 4. બીજગણિત વણાંકોનું નિર્માણ

એસ્ટ્રોઇડ

સોલ્યુશન 1. નીચેના અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર એસ્ટ્રોઇડ બનાવવામાં આવે છે:

:: ઓર્ડિનેટ અક્ષના બિંદુઓને એબ્સીસા અક્ષના બિંદુઓ સાથે જોડવું જરૂરી છે જેથી વિભાજન સંખ્યાઓનો સરવાળો 10 આપે (ઉદાહરણ તરીકે: 1 અને 9, 2 અને 8, 3 અને 7, વગેરે).

:: કોઓર્ડિનેટ પ્લેનના બાકીના ક્વાર્ટર્સમાં સમાન ક્રમમાં બિંદુઓને જોડો.

ઉકેલ 2. એક વર્તુળ દોરો, લંબ વ્યાસ બનાવો અને દરેક ત્રિજ્યાને સમાન સંખ્યામાં ભાગોમાં વિભાજીત કરો. અમે પાછલા અલ્ગોરિધમ મુજબ સેગમેન્ટ્સ સાથે બિંદુઓને જોડ્યા.

ઉકેલ 3. વર્તુળને 6 ભાગોમાં વિભાજીત કરવાની શ્રેષ્ઠ તકનીકમાં નિપુણતા પ્રાપ્ત કર્યા પછી, અમે 6-સ્ટાર એસ્ટ્રોઇડનું નિર્માણ કર્યું.

ઉકેલ 4. 8-સ્ટાર એસ્ટ્રોઇડનું નિર્માણ કાટખૂણાના દ્વિભાજકોનું નિર્માણ કરીને હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું.

કાર્ડિયોઇડ

ઉકેલ. કાર્ડિયોઇડ બનાવવા માટે, આધાર એક વર્તુળ હશે. કાર્ડિયોઇડ નીચેની યોજના અનુસાર બનાવવામાં આવ્યું હતું:

:: એક વર્તુળ દોર્યું અને તેને 36 ભાગોમાં વહેંચ્યું (દરેક 10 ડિગ્રી);

:: બાહ્ય બિંદુઓને 1 થી 36 ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ક્રમાંકિત કરો;

:: આંતરિક બિંદુઓને રેખાકૃતિ 1 અનુસાર ક્રમાંકિત કરવામાં આવે છે;

:: સમાન આંતરિક અને બાહ્ય સંખ્યાઓ સાથે જોડાયેલા બિંદુઓ;

:: પરબિડીયું કાર્ડિયોઇડ હશે.

સ્કીમ 1 સ્કીમ 2

IV. અમારી સર્જનાત્મકતા.

> માં ડિઝાઇન અને મોડેલિંગની મૂળભૂત તકનીકોમાં નિપુણતા પ્રાપ્ત કર્યા પછી, અમે પોતાને ડિઝાઇનર્સ અને કલાકારો તરીકે અનુભવવાનો પ્રયાસ કર્યો. અમે નીચેના કાર્યો વિકસાવ્યા છે અને અમલમાં મૂક્યા છે:

નિષ્કર્ષ, તારણો

>," એરિસ્ટોટલે 2500 વર્ષ પહેલાં નોંધ્યું હતું. અમારા સમકાલીન સુખોમલિન્સ્કી માનતા હતા કે >. અને ગણિત આશ્ચર્ય માટે એક અદ્ભુત વિષય છે.

ઉપલબ્ધ સામગ્રીનો ઊંડાણમાં અભ્યાસ કર્યા પછી, અમે વણાંકો બાંધવાની નવી પદ્ધતિથી પરિચિત થયા - ગાણિતિક ભરતકામ, ભૌમિતિક આકૃતિઓ બાંધવા માટે પરિચિત તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને (કોણ બનાવવું, એક સેગમેન્ટને સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરવું, ચોક્કસ ક્રમમાં જોડાણ બિંદુઓ, વિભાજન) પ્રોગ્રામમાં સમાન ભાગોમાં વર્તુળ >). અમને ગાણિતિક ભરતકામ અને લાંબા સમયથી જાણીતી પ્રકારની સુશોભન અને લાગુ કલા - આઇસોથ્રેડ વચ્ચે અદભૂત સમાનતા મળી.

ઇન્ટરનેટ અને વિશિષ્ટ સાહિત્ય પર આઇસોથ્રેડ ભરતકામ સાથેના ઘણા ફોટોગ્રાફ્સ છે, પરંતુ તેમની સાથે કોઈ આકૃતિઓ જોડાયેલ નથી. અમે નિષ્કર્ષ પર આવ્યા કે ગાણિતિક ભરતકામ એ એક સર્જનાત્મક પ્રક્રિયા છે. સર્જનાત્મક વિચારસરણી, તર્ક અને ધીરજનો ઉપયોગ કરીને અમારા કાર્યમાં નિર્ધારિત ગણિતના મોડેલિંગની મૂળભૂત બાબતોને જાણીને, તમે વ્યક્તિગત > એપ્લાઇડ આર્ટ બનાવી શકો છો.

ગાણિતિક ભરતકામ માત્ર અમને જ નહીં, પરંતુ ઘણા શાળાના વિદ્યાર્થીઓ (છોકરીઓ અને છોકરાઓ બંને) પણ રસ લે છે. અમારું માનવું છે કે આધુનિક માહિતી તકનીકો ગણિત અને કલાને જોડવાનું શક્ય બનાવશે.

એસ્ટ્રોઇડ(ગ્રીક એસ્ટ્રોન - સ્ટાર) - એક વળાંક જે તારાની શૈલીયુક્ત છબી જેવો દેખાય છે.

સૂત્ર x = a* cos(t)^3, y = a* sin(t)^3 એસ્ટ્રોઇડ દોરે છે, જ્યાં ગુણાંક aઆકૃતિના વિસ્તરણને અસર કરે છે.

એપિસાયકલોઇડ્સ

ચાલો બીજા કેસનો વિચાર કરીએ. આપણે વર્તુળને બીજા (સંદર્ભ) વર્તુળની અંદર નહીં, પરંતુ તેની બહારની બાજુએ ફેરવીશું. હવે, તમામ પરિણામી વળાંકો પરિવારના હશે epicycloids(ગ્રીક એપી - ચાલુ, ઉપર). આવા આંકડાઓનો સમાવેશ થાય છે કાર્ડિયોડિડા અને પાસ્કલ કોક્લીઆ

કાર્ડિયોઇડ અને પાસ્કલ કોક્લીઆ

કાર્ડિયોઇડ

જો તમે સમાન ત્રિજ્યા સાથે બે વર્તુળોનો ઉપયોગ કરો છો અને એકને બીજી આસપાસ ફેરવો છો, તો તમને મળશે કાર્ડિયોઇડ(ગ્રીક કાર્ડિયા - હૃદય) - ગણિતશાસ્ત્રીઓ અનુસાર, પરિણામી વળાંક અસ્પષ્ટપણે હૃદય જેવું લાગે છે

ફોર્મ્યુલા r = 2a(1 + cos(theta)) કાર્ડિયોઇડ દોરે છે

લિમાકોન અથવા પાસ્કલની ગોકળગાય

વળાંકો કેવી રીતે વર્તે છે જો આપણે કોઈ બિંદુને રોલિંગ વર્તુળમાંથી નહીં, પરંતુ તેની અંદર લઈએ, તેને કેન્દ્રથી દૂર લઈ જઈએ? પછી આપણને એક વળાંક કહેવાય છે પાસ્કલની ગોકળગાયઅથવા લીમકોના.

લિમાકોનાફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી એટીન પાસ્કલ (વિખ્યાત વૈજ્ઞાનિક બ્લેઝ પાસ્કલના પિતા) દ્વારા શોધ કરવામાં આવી હતી.

ફોર્મ્યુલા r = b + 2a cos(theta) દોરે છે લિમાકોના (પાસ્કલની ગોકળગાય)

b = 2a પર લીમકોનાબને છે કાર્ડિયોડિડોમ .

વણાંકો સાથે અસરો

તેથી, આપણે વર્તુળ, કાર્ડિયોઇડ અને પાસ્કલના ગોકળગાયના સૂત્રો જાણીએ છીએ. તે જોઈ શકાય છે કે સૂત્રો ખૂબ સમાન છે; પ્રથમ અસર મેળવવા માટે તેમને એક ચક્રમાં જોડવાનું બાકી છે

ડિમ x સિંગલ તરીકે, y એકલ તરીકે, b તરીકે સિંગલ

ડિમ ટુ પીઆઈ એઝ સિંગલ, આઈ એઝ સિંગલ, આર એઝ સિંગલ

twoPi = Atn(1) * 8

સ્કેલ (-25, 25)-(25, -25)

b = 0 થી 8 સ્ટેપ 2 માટે

I = 0 થી ટુપીઇ સ્ટેપ 0.01 માટે

R = b + 6 * Cos(I)

col = RGB(255 - 30 * b, 128 + (-1) ^ (b * 1) * b * 60, b * 110)

રેખા (x, y)-સ્ટેપ(0, 0), કોલ, BF

અમારા ઉદાહરણમાં, a એ સ્થિર મૂલ્ય છે, અને b ચક્રમાં b=0 થી b=8 માં બદલાય છે. તમે જુઓ છો કે કેવી રીતે નાનો લૂપ એક બિંદુમાં અધોગતિ પામે છે, અને મોટો તેની ત્રિજ્યાને બમણી કરે છે, કાર્ડિયોઇડમાં ફેરવાય છે.

ચાલો ચિત્રને અંતિમ સ્વરૂપ આપીએ. ચાલો પ્રોગ્રામમાં થોડો ફેરફાર કરીએ અને સુંદર પેટર્ન મેળવીએ

l = 0 થી 200 સ્ટેપ 13 માટે

t = 0 થી 360 પગલું 0.25 માટે

tt = t * pi / 180

x = a * Cos(tt) * Cos(tt) + l * Cos(tt)

y = a * Cos(tt) * Sin(tt) + l * Sin(tt)

લાલ = 255 - 250 * પાપ(0.31 * l)

લીલો = 255 - 250 * પાપ(0.3 * l)

વાદળી = 255 - 250 * પાપ(0.29 * l)

કોલ = RGB(લાલ, લીલો, વાદળી)

જો l મોડ 2 = 0 તો

કોલ = RGB(0, 0, 0)

કોલ = RGB(255, l, 255 - l)

રેખા (x + 190, y + 250)-સ્ટેપ(ss, ss), કોલ, BF

PSet (x + 190, y + 250), કર્નલ

કોન્કોઇડ

ચાલો પાસ્કલના ગોકળગાયને શંકુદ્રુપ તરીકે કલ્પના કરીએ. વણાંકોના સિદ્ધાંતને ધ્યાનમાં લીધા વિના, અમે નીચેની ઢીલી વ્યાખ્યા આપીશું: શંકુદ્રુપ એ ચોક્કસ રીતે ઉલ્લેખિત ચોક્કસ સપાટીઓ સાથે મૂળ વળાંકના દરેક બિંદુને ખસેડીને મેળવવામાં આવેલા બિંદુઓનું ભૌમિતિક સ્થાન છે. પાસ્કલના હેલિક્સ માટે, પ્રારંભિક વળાંક એ સૌથી સામાન્ય વર્તુળ છે, અને બિંદુઓ આ વર્તુળ પર પડેલા બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓ સાથે સ્થાનાંતરિત થાય છે. ચાલો ગ્રાફિકલી સમજાવીએ. આકૃતિમાં આપણે વર્તુળ પર એક નિશ્ચિત બિંદુ પસંદ કરીએ છીએ આરઅને ચલ બિંદુ એમ, જેને આપણે પોઈન્ટને જોડતી રેખા સાથે શિફ્ટ કરીએ છીએ આરઅને એમઅમુક નિશ્ચિત અંતર સુધી એ.

બિંદુઓના પરિણામી કુટુંબો નિશ્ચિત બિંદુના સંદર્ભમાં વર્તુળના શંકુદ્રુપ છે. પ્રોગ્રામ તમને અપેક્ષિત ચિત્રો મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે. પ્રથમ, ચાલો a=0.25R સોંપીએ. (ક્રમશઃ આ મૂલ્ય વધારો.) મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે બે ક્રાંતિ કરવી જરૂરી છે (કેન્દ્રીય કોણ, જેને 0 થી 720 ડિગ્રી સુધી ચલ f તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) - એક બિંદુઓને બહારની તરફ ખસેડે છે, અને બીજી ક્રાંતિ વર્તુળની અંદરના બિંદુઓને ખસેડે છે. મુખ્ય સૂક્ષ્મતા એ વર્તુળના કેન્દ્રિય કોણમાંથી સંક્રમણ છે જેની સાથે આપણે ચક્રમાં પસાર કરીએ છીએ (ચલો f ડિગ્રીમાં અથવા t રેડિયનમાં) આડી સાથે વર્તુળ પરના વર્તમાન બિંદુ સાથે સ્થિર બિંદુને જોડતી રેખાના કોણ સુધી. ધરી (ચલ આલ્ફા)

Form1.ScaleMode = vbPixels

"વર્તુળની ત્રિજ્યા

"વર્તુળ પર બિંદુ

" રશિયન સંસ્કરણ માટે વિભાજક તરીકે અલ્પવિરામનો ઉપયોગ કરો!

a = CSng(Text1.Text) * R

"અમે વળાંક લઈ રહ્યા છીએ

f = 1 થી 720 સ્ટેપ 5 માટે

t = f * pi / 180

x = R * (1 + Cos(t))

જો x > 0 તો આલ્ફા = Atn(y / x)

જો એફ< 360 Then

X1 = x - a * Cos(alfa)

Y1 = y - a * પાપ(આલ્ફા)

X1 = x + a * Cos(alfa)

Y1 = y + a * પાપ(આલ્ફા)

વર્તુળ(X1+190, Y1+250), 2, vbBlue

વર્તુળ(x+190,y+250),2,vbRed

રેખા (x + 190, y + 250)-(X1 + 190, Y1 + 250), vbગ્રીન

સાયક્લોઇડ વળાંકોમાં માત્ર સાયક્લોઇડ, એપી- અને હાઇપોસાયકલોઇડ જ નહીં, પણ નીચે વર્ણવેલ ટ્રોકોઇડ, કાર્ડિયોઇડ અને એસ્ટ્રોઇડનો પણ સમાવેશ થાય છે.  

કોઓર્ડિનેટ્સ X, y આ કિસ્સામાં એસ્ટ્રોઇડ સમીકરણને સંતોષે છે (ફિગ. 91)  

અપવાદ આપે છે (એસ્ટ્રોઇડ)  

જ્યારે p = r = (m = 3) હાઇપોસાયકલોઇડને એસ્ટ્રોઇડ (ફિગ. 64) કહેવામાં આવે છે, અને સમીકરણો x = R os i y = R sin "i અથવા x -y = R સ્વરૂપ લે છે.  

જ્યારે p = r = - (t = 3) હાઇપોસાયકલોઇડને એસ્ટ્રોઇડ (ફિગ. 64) કહેવામાં આવે છે, અને સમીકરણો સ્વરૂપ લે છે  

ફિગ માં. 72 સેગમેન્ટ AB = I એ AB = I ને 0 = 180° ખૂણા પર લિંક કરવા માટે નિશ્ચિત છે. તેથી, બિંદુ Bi દ્વારા દોરવામાં આવેલ એસ્ટ્રોઇડને બિંદુ B દ્વારા દોરવામાં આવેલ એસ્ટ્રોઇડની તુલનામાં કોણ t6 દ્વારા ફેરવવામાં આવે છે,  

ચાલો વિચારણા હેઠળની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ વળાંક પર સ્પર્શક દોરવાના પ્રશ્નની તપાસ કરીએ. ઉપર ઘડવામાં આવેલા નિયમ અનુસાર, એસ્ટ્રોઇડની સ્પર્શક અભિવ્યક્તિ (160) ની જમણી બાજુના અપૂર્ણાંકના છેદની સમાન ક્રેન્ક લાઇન OA પરના એક સેગમેન્ટને કાપી નાખશે. ફિગમાં પ્રસ્તુત મિકેનિઝમના સંબંધમાં. 72, કટ સેગમેન્ટનું કદ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે (172)  

વ્યવહારમાં, ઉત્પાદન પરિસ્થિતિઓમાં એસ્ટ્રોઇડ્સના નિર્માણ માટે, દરેક સીધી રેખા જેમાં આગળ વધી રહી છે  

ફિગ માં. 72 અમે એક મિકેનિઝમ બતાવ્યું જે લિંક 10 ના અંત S અને Si ને બે એસ્ટ્રોઇડ્સ સાથે હલનચલન સાથે પ્રદાન કરે છે, એકને બીજાની સાપેક્ષ 45° દ્વારા ફેરવવામાં આવે છે.  

સમીકરણો (57) અને (58) દ્વારા વર્ણવેલ વળાંક એસ્ટ્રોઇડ-પ્રકારનો વળાંક હશે. આ વળાંકની સમપ્રમાણતા અક્ષો અક્ષ સાથે રચાય છે  

ચાલો આપણે દર્શાવીએ, જેમ કે તે માં કરવામાં આવ્યું હતું, અર્ધ-વિમાન Re5>0 પર એસ્ટ્રોઇડનો બાહ્ય ભાગ  

a = p = 1 લઈને, અમે સમોચ્ચ બનાવીએ છીએ જેમાં એસ્ટ્રોઇડ વિકૃત હતો (ફિગ. 24).  

નિયત માર્ગદર્શિકા p અને q માં સ્લાઇડર્સ / અને 2 સ્લાઇડ, જેની અક્ષો પરસ્પર લંબ છે. ક્રોસ-આકારના સ્લાઇડર 3 માં a અને 6 સ્લાઇડર્સ 1 થી 2 સ્લાઇડ થાય છે, જેની ધરીઓ પણ પરસ્પર લંબરૂપ હોય છે. લિંક 4 સ્લાઇડર 3 સાથે રોટેશનલ જોડી Cમાં પ્રવેશે છે અને ક્રોસ-આકારના સ્લાઇડર 5માં સ્લાઇડ કરે છે, જે લિંક 6 ની ધરી સાથે સ્લાઇડ કરે છે, જે સ્લાઇડર્સ I અને 2 સાથે રોટેશનલ જોડી L અને Bમાં સમાવિષ્ટ છે. જ્યારે સ્લાઇડર્સ I થી 2 માર્ગદર્શિકાઓ સાથે આગળ વધો અને બિંદુ K એ આર્ક એસ્ટ્રોઇડનું વર્ણન કરે છે, જેનું સમીકરણ = જ્યાં 1 - AB. સીધી રેખા આસપાસ વળે છે  

હાઇપોસાયકલોઇડમાં n - -1 cusp પોઈન્ટ છે, જેમાંથી દરેક, તાણ એકાગ્રતાના દૃષ્ટિકોણથી, ક્રેકના અંતની સમકક્ષ છે (ફિગ. PZO એ n = 3 સાથે એસ્ટ્રોઇડ બતાવે છે). આ પ્રકારની ખામીઓ બરડની મજબૂતાઈ નક્કી કરી શકે છે  

એસ્ટ્રોઇડ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધો.  

ફિગ માં. 72 એસ્ટ્રોઇડ્સનું પુનઃઉત્પાદન કરવા માટે રચાયેલ દસ-લિંક મિકેનિઝમ બતાવે છે. એસ્ટ્રોઇડ એ એક સામાન્ય હાઇપોસાયકલોઇડ છે જેમાં મોડ્યુલસ m = અને તે 6ઠ્ઠા ક્રમનો બીજગણિત વળાંક છે. એસ્ટ્રોઇડ નામ  

આમ, ડ્રોઇંગમાં દર્શાવેલ એસ્ટ્રોઇડ્સમાંથી એકની સ્પર્શક બિંદુ C અને 5માંથી પસાર થશે, અને અન્ય સ્પર્શક - બિંદુ C અને S દ્વારા. પરંતુ બિંદુઓ B અને B એ લેમ્બડાના કનેક્ટિંગ રોડ B B ના છેડા છે. હાર્ટે સીધી રેખામાં આકારનું જૂથ. તેથી, અંત B હંમેશા લિંક DDj સાથે સ્લાઇડ કરશે, અને અંત B - બિંદુ C થી DDj પર પુનઃસ્થાપિત કાટખૂણે સાથે. તે અનુસરે છે કે બિંદુ B દ્વારા દોરવામાં આવેલ એસ્ટ્રોઇડ એ લિંક DD ની તમામ સ્થિતિઓનો પરબિડીયું છે. ઉપરોક્તને બિંદુ B દ્વારા પુનઃઉત્પાદિત એસ્ટ્રોઇડ અથવા ત્રિજ્યા I દ્વારા A થી ઘેરાયેલા વર્તુળના કોઈપણ બિંદુ સુધી પણ વિસ્તૃત કરી શકાય છે.  

જેમ જાણીતું છે, એસ્ટ્રોઇડનું ફૂલ, જો બાદની સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર ધ્રુવ તરીકે પસંદ કરવામાં આવે તો, ચાર પાંખડીવાળું ગુલાબ છે. આમ, ફિગમાં ABi = AB સેગમેન્ટ્સને લંબાવવા માટે તે પૂરતું છે. 72 (અથવા ફિગ. 73 માં) AB = ABi = L, આ સાથે મેળવવા માટે  

કુલ ISIO-RY એસ્ટ્રોઇડ પ્રજનન માટે મહત્વપૂર્ણ વ્યાટકિન મિકેનિઝમ  

પાંખના સિદ્ધાંત સાથે સીધા જ સંબંધિત કાર્ય સાથે સમાપ્ત કરવા માટે, અમે જી.એન.ના કાર્યની નોંધ કરીએ છીએ. બાબેવા ઓન ફ્લેટનર રોટર (વૈજ્ઞાનિક નોંધ. સારાટોવ સ્ટેટ યુનિવર્સિટી, ફેકલ્ટી ઓફ એજ્યુકેશન. ટી. વીએચ. અંક 11, 1929), જેમાં લેખક બે ફ્લેટનર રોટર્સના કિસ્સામાં પાંખોનો અભ્યાસ કરવાની સામાન્ય પદ્ધતિ લાગુ કરે છે. માર્ગ દ્વારા, લેખકે બતાવ્યું કે આ કિસ્સામાં ક્ષણોની રેખા એસ્ટ્રોઇડ છે. અંગે

- (ગ્રીક એસ્ટ્રોન સ્ટાર અને ઇડોસ વ્યુમાંથી) એક વર્તુળ પરના બિંદુ દ્વારા વર્ણવેલ સપાટ વળાંક જે ચાર ગણા ત્રિજ્યાના નિશ્ચિત વર્તુળની અંદરથી સ્પર્શે છે અને લપસ્યા વિના તેની સાથે ફરે છે. હાઇપોસાયકલોઇડ્સનું છે. બીજગણિત એસ્ટ્રોઇડ... ... મોટા જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

સંજ્ઞા, સમાનાર્થીની સંખ્યા: 1 વળાંક (56) સમાનાર્થી ASIS નો શબ્દકોશ. વી.એન. ત્રિશિન. 2013… સમાનાર્થી શબ્દકોષ

- (ગ્રીક એસ્ટ્રોન સ્ટાર અને ઇઇડોસ વ્યુમાંથી), વર્તુળ પરના બિંદુ દ્વારા વર્ણવેલ સપાટ વળાંક જે ત્રિજ્યાના ચાર ગણા નિશ્ચિત વર્તુળની અંદરથી સ્પર્શે છે અને લપસ્યા વિના તેની સાથે ફરે છે. હાઇપોસાયકલોઇડ્સનું છે. એસ્ટ્રોઇડ...... જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

- (એસ્ટ્રો... gr. eidos વ્યુ) મેટ. એક પ્લેન વળાંક બીજાની અંદરની બાજુએ સરક્યા વિના ફરતા વર્તુળ પરના બિંદુ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, પ્રથમ કરતા ચાર ગણા ત્રિજ્યા સાથે સ્થિર વર્તુળ; ચાર-પોઇન્ટેડ સ્ટાર જેવો દેખાય છે. નવો શબ્દકોશ... રશિયન ભાષાના વિદેશી શબ્દોનો શબ્દકોશ

સપાટ બીજગણિત ક્રમના વળાંક ti ro, ધાર સુધી, ત્રિજ્યા r ના વર્તુળના બિંદુ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, ત્રિજ્યા R = 4r ના વર્તુળની અંદરની બાજુએ ફરે છે; મોડ્યુલ r=4 સાથે હાઇપોસાયકલોઇડ. કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સમાં સમીકરણ: પેરામેટ્રિક. સમીકરણો... ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ

વક્ર અથવા રેખા એ ભૌમિતિક ખ્યાલ છે જે વિવિધ વિભાગોમાં અલગ રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

વળાંક (રેખા), મૂવિંગ પોઈન્ટ અથવા બોડી દ્વારા છોડવામાં આવેલ ટ્રેસ. સામાન્ય રીતે વળાંકને માત્ર સરળ વક્ર રેખા તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, જેમ કે પેરાબોલા અથવા વર્તુળ. પરંતુ વળાંકની ગાણિતિક વિભાવના સીધી રેખા અને સીધા ભાગોથી બનેલી આકૃતિઓ બંનેને આવરી લે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિકોણ અથવા ચોરસ.

વણાંકોને પ્લેન અને અવકાશીમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. સમતલ વળાંક, જેમ કે પેરાબોલા અથવા સીધી રેખા, બે વિમાનો અથવા એક સમતલ અને શરીરના આંતરછેદ દ્વારા રચાય છે અને તેથી તે સંપૂર્ણપણે એક સમતલમાં રહે છે. અવકાશી વળાંક, ઉદાહરણ તરીકે, હેલિકલ સ્પ્રિંગ જેવા આકારનું હેલિક્સ, પ્લેન સાથે અમુક સપાટી અથવા શરીરના આંતરછેદ તરીકે મેળવી શકાતું નથી, અને તે સમાન સમતલમાં રહેતું નથી. વળાંકોને બંધ અને ખુલ્લામાં પણ વિભાજિત કરી શકાય છે. બંધ વળાંક, જેમ કે ચોરસ અથવા વર્તુળનો કોઈ છેડો નથી, એટલે કે. ગતિશીલ બિંદુ કે જે આવા વળાંક ઉત્પન્ન કરે છે તે સમયાંતરે તેના પાથને પુનરાવર્તિત કરે છે.

વળાંક એ અમુક ગાણિતિક સ્થિતિ અથવા સમીકરણને સંતોષતા બિંદુઓનો લોકસ અથવા સમૂહ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, વર્તુળ એ પ્લેન પરના બિંદુઓનું સ્થાન છે જે આપેલ બિંદુથી સમાન અંતરે છે. બીજગણિતીય સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વણાંકોને બીજગણિતીય વણાંકો કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સીધી રેખા y = mx + b નું સમીકરણ, જ્યાં m એ ઢોળાવ છે અને b એ y-અક્ષ પર રોકાયેલો સેગમેન્ટ છે, બીજગણિત છે.

વક્ર કે જેના સમીકરણો અતીન્દ્રિય કાર્યો ધરાવે છે, જેમ કે લઘુગણક અથવા ત્રિકોણમિતિ વિધેયો, ​​તેને અતીન્દ્રિય વક્ર કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, y = log x અને y = tan x એ અતીન્દ્રિય વળાંકોના સમીકરણો છે.

બીજગણિત વળાંકનો આકાર તેના સમીકરણની ડિગ્રી દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે, જે સમીકરણની શરતોની ઉચ્ચતમ ડિગ્રી સાથે એકરુપ છે.

જો સમીકરણ પ્રથમ ડિગ્રીનું હોય, ઉદાહરણ તરીકે Ax + By + C = 0, તો વળાંક સીધી રેખાનો આકાર ધરાવે છે.

જો બીજી ડિગ્રી સમીકરણ છે, ઉદાહરણ તરીકે,

Ax 2 + By + C = 0 અથવા Ax 2 + બાય 2 + C = 0, પછી વળાંક ચતુર્ભુજ છે, એટલે કે. કોનિક વિભાગોમાંથી એકનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે; આ વળાંકોમાં પેરાબોલાસ, હાયપરબોલાસ, એલિપ્સ અને વર્તુળોનો સમાવેશ થાય છે.

ચાલો શંકુ વિભાગોના સમીકરણોના સામાન્ય સ્વરૂપોની સૂચિ બનાવીએ:

x 2 + y 2 = r 2 - વર્તુળ,

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 - લંબગોળ,

y = કુહાડી 2 - પેરાબોલા,

x 2 /a 2 – y 2 /b 2 = 1 - અતિપરવલય.

ત્રીજા, ચોથા, પાંચમા, છઠ્ઠા, વગેરેના સમીકરણોને અનુરૂપ વક્ર. ડિગ્રીને ત્રીજા, ચોથા, પાંચમા, છઠ્ઠા, વગેરેના વળાંક કહેવામાં આવે છે. ઓર્ડર સામાન્ય રીતે, સમીકરણની ડિગ્રી જેટલી ઊંચી હશે, ખુલ્લા વળાંકમાં વધુ વળાંક હશે.

ઘણા જટિલ વળાંકોને વિશેષ નામો પ્રાપ્ત થયા છે.

સાયક્લોઇડ એ સાયક્લોઇડના જનરેટર તરીકે ઓળખાતી સીધી રેખા સાથે ફરતા વર્તુળ પરના નિશ્ચિત બિંદુ દ્વારા વર્ણવેલ સમતલ વળાંક છે; સાયક્લોઇડમાં પુનરાવર્તિત ચાપની શ્રેણીનો સમાવેશ થાય છે.

એપિસાયકલોઇડ એ તેની બહાર બીજા નિશ્ચિત વર્તુળ પર ફરતા વર્તુળ પરના નિશ્ચિત બિંદુ દ્વારા વર્ણવેલ સમતલ વળાંક છે.

હાઇપોસાયકલોઇડ એ એક નિશ્ચિત વર્તુળ સાથે અંદરથી ફરતા વર્તુળ પર નિશ્ચિત બિંદુ દ્વારા વર્ણવેલ પ્લેન વળાંક છે.

સર્પાકાર એ એક સપાટ વળાંક છે જે એક નિશ્ચિત બિંદુથી (અથવા તેની આસપાસ લપેટીને) ખોલે છે, વળે છે.

ગણિતશાસ્ત્રીઓ પ્રાચીન કાળથી વક્રના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરી રહ્યા છે, અને ઘણા અસામાન્ય વળાંકોના નામો તેમના નામો સાથે સંકળાયેલા છે જેમણે તેનો પ્રથમ અભ્યાસ કર્યો હતો. આ, ઉદાહરણ તરીકે, આર્કિમિડીઝ સર્પાકાર, એગ્નેસી કર્લ, ડાયોક્લેસ સિસોઇડ, નિકોમેડીસ કોકોઇડ અને બર્નૌલી લેમ્નિસ્કેટ છે.

પ્રાથમિક ભૂમિતિના માળખામાં, વળાંકની વિભાવના સ્પષ્ટ રચના પ્રાપ્ત કરતી નથી અને કેટલીકવાર તેને "પહોળાઈ વગરની લંબાઈ" અથવા "આકૃતિની સીમા" તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આવશ્યકપણે, પ્રાથમિક ભૂમિતિમાં, વણાંકોનો અભ્યાસ ઉદાહરણોને ધ્યાનમાં લેવા માટે નીચે આવે છે (, , , વગેરે). સામાન્ય પદ્ધતિઓનો અભાવ, પ્રાથમિક ભૂમિતિ ચોક્કસ વળાંકોના ગુણધર્મોના અભ્યાસમાં ખૂબ ઊંડે ઘૂસી ગઈ (, કેટલાકઅને એ પણ), દરેક કિસ્સામાં વિશેષ તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને.

મોટેભાગે, વળાંકને સેગમેન્ટમાંથી સતત મેપિંગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

તે જ સમયે, વણાંકો અલગ હોઈ શકે છે, ભલે તે હોયમેળ આવા વળાંકો કહેવામાં આવે છેપરિમાણિત વણાંકોઅથવા જો[ a , b ] = , માર્ગો.

કેટલીકવાર વળાંક , એટલે કે લઘુત્તમ સમકક્ષ સંબંધ સુધી નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે જેમ કે પેરામેટ્રિક વણાંકો

જો સતત હોય તો સમકક્ષ હોય છે (ક્યારેક ઘટાડો થતો નથી) hસેગમેન્ટમાંથી [ a 1 ,b 1 ] પ્રતિ સેગમેન્ટ [ a 2 ,b 2], જેમ કે

જે આ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તેને સરળ વણાંકો કહેવામાં આવે છે.

વિશ્લેષણાત્મક વ્યાખ્યાઓ

વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમોમાં તે સાબિત થયું છે કે કાર્ટેશિયન લંબચોરસ (અથવા તો સામાન્ય સંલગ્ન) માં લખેલી લીટીઓ વચ્ચે બીજી ડિગ્રીના સામાન્ય સમીકરણ દ્વારા સંકલન થાય છે.

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

(જ્યાં ઓછામાં ઓછા એક ગુણાંક A, B, C શૂન્યથી અલગ છે), ફક્ત નીચેની આઠ પ્રકારની રેખાઓ જોવા મળે છે:

એ) લંબગોળ;

b) હાયપરબોલ;

c) પેરાબોલા (બીજા ક્રમના બિન-ડિજનરેટ વણાંકો);

ડી) છેદતી રેખાઓની જોડી;

e) સમાંતર રેખાઓની જોડી;

f) સાંયોગિક રેખાઓની જોડી (એક સીધી રેખા);

g) એક બિંદુ (બીજા ક્રમની અધોગતિ રેખાઓ);

h) એક "રેખા" જેમાં કોઈ પણ બિંદુ નથી.

તેનાથી વિપરિત, દર્શાવેલ આઠ પ્રકારોમાંથી પ્રત્યેકની કોઈપણ રેખા કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સમાં કેટલાક બીજા-ક્રમના સમીકરણ દ્વારા લખવામાં આવે છે. (વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમોમાં તેઓ સામાન્ય રીતે નવ (આઠ નહીં) પ્રકારના શંકુ વિભાગો વિશે વાત કરે છે, કારણ કે તેઓ "કાલ્પનિક લંબગોળ" અને "કાલ્પનિક સમાંતર રેખાઓની જોડી" વચ્ચે તફાવત કરે છે - ભૌમિતિક રીતે આ "રેખાઓ" સમાન છે, કારણ કે બંને એક બિંદુ સમાવતું નથી, પરંતુ વિશ્લેષણાત્મક રીતે તે વિવિધ સમીકરણો દ્વારા લખવામાં આવે છે.) તેથી, (અધોગતિ અને બિન-અધોગતિ) શંકુ વિભાગોને બીજા ક્રમની રેખાઓ તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.

INપ્લેન પરના વળાંકને બિંદુઓના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છેએફ ( x , y ) = 0 . તે જ સમયે, કાર્ય માટેએફ પ્રતિબંધો લાદવામાં આવે છે જે બાંહેધરી આપે છે કે આ સમીકરણમાં અનંત સંખ્યામાં વિવિધ ઉકેલો છે અને

ઉકેલોનો આ સમૂહ "પ્લેનનો ટુકડો" ભરતો નથી.

બીજગણિત વણાંકો

વણાંકોનો એક મહત્વપૂર્ણ વર્ગ તે છે જેના માટે કાર્ય છેએફ ( x , y ) છેબે ચલોમાંથી. આ કિસ્સામાં, સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વળાંકએફ ( x , y ) = 0 , કહેવાય છે.

1લી ડિગ્રીના સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત બીજગણિત વણાંકો છે.

ડિગ્રી 2 નું સમીકરણ, અસંખ્ય ઉકેલો ધરાવે છે, તે નક્કી કરે છે, એટલે કે, અધોગતિ અને બિન-અધોગતિ.

3જી ડિગ્રી સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વળાંકોના ઉદાહરણો: , .

4 થી ડિગ્રી વણાંકોના ઉદાહરણો: અને.

6ઠ્ઠી ડિગ્રી વળાંકનું ઉદાહરણ: .

સમાન ડિગ્રીના સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વળાંકનું ઉદાહરણ: (મલ્ટીફોકલ).

ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત બીજગણિત વણાંકો ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. તે જ સમયે, જો વિચારણા હાથ ધરવામાં આવે તો તેમનો સિદ્ધાંત વધુ સુમેળભર્યો બને છે. આ કિસ્સામાં, બીજગણિતીય વળાંક ફોર્મના સમીકરણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

એફ ( z 1 , z 2 , z 3 ) = 0 ,

જ્યાં એફ- ત્રણ ચલોનો બહુપદી જે બિંદુઓ છે.

વણાંકોના પ્રકાર

પ્લેન કર્વ એ એક વળાંક છે જેમાં તમામ બિંદુઓ સમાન પ્લેનમાં આવેલા છે.

(સરળ રેખા અથવા જોર્ડન ચાપ, સમોચ્ચ પણ) - પ્લેન અથવા સ્પેસના બિંદુઓનો સમૂહ જે એક-થી-એક અને રેખા વિભાગો સાથે પરસ્પર સતત પત્રવ્યવહારમાં હોય છે.

પાથ માં એક સેગમેન્ટ છે.

વિશ્લેષણાત્મક વણાંકો કે જે બીજગણિત નથી. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, વણાંકો કે જે વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય (અથવા, બહુપરીમાણીય કિસ્સામાં, કાર્યોની સિસ્ટમ) ની સ્તર રેખા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.

સાઈન વેવ,

ચક્રવાત,

આર્કિમિડીઝ સર્પાકાર,

ટ્રેક્ટર,

સાંકળ રેખા,

હાયપરબોલિક સર્પાકાર, વગેરે.

1. વણાંકો વ્યાખ્યાયિત કરવા માટેની પદ્ધતિઓ:

વિશ્લેષણાત્મક - વળાંક ગાણિતિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે;

ગ્રાફિક - વળાંક ગ્રાફિકલ માહિતી વાહક પર દૃષ્ટિની રીતે ઉલ્લેખિત છે;

ટેબ્યુલર - વળાંક પોઈન્ટની ક્રમિક શ્રેણીના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે.

પેરામેટ્રિક (વક્રના સમીકરણને સ્પષ્ટ કરવાની સૌથી સામાન્ય રીત):

જ્યાં - સરળ પરિમાણ કાર્યોt, અને

(x") 2 + (y") 2 + (z") 2 > 0 (નિયમિતતાની સ્થિતિ).

આનો ઉપયોગ કરીને વળાંકના સમીકરણની અસ્પષ્ટ અને સઘન રજૂઆતનો ઉપયોગ કરવો ઘણીવાર અનુકૂળ હોય છે:

જ્યાં ડાબી બાજુએ વળાંકના બિંદુઓ છે, અને જમણી બાજુ કેટલાક પરિમાણ પર તેની નિર્ભરતા નક્કી કરે છે t. કોઓર્ડિનેટ્સમાં આ એન્ટ્રીને વિસ્તૃત કરવાથી, અમે ફોર્મ્યુલા (1) મેળવીએ છીએ.

1. ચક્રવાત.

સાયક્લોઇડના અભ્યાસનો ઇતિહાસ એરિસ્ટોટલ, ટોલેમી, ગેલિલિયો, હ્યુજેન્સ, ટોરીસેલી અને અન્ય જેવા મહાન વૈજ્ઞાનિકો, ફિલસૂફો, ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને ભૌતિકશાસ્ત્રીઓના નામ સાથે સંકળાયેલો છે.

ચક્રવાત(માંથીκυκλοειδής - રાઉન્ડ) -, જેને સીધી રેખામાં સરક્યા વિના વર્તુળની સીમા પર પડેલા બિંદુના માર્ગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. આ વર્તુળને જનરેટિંગ કહેવામાં આવે છે.

વળાંકો બનાવવાની સૌથી જૂની પદ્ધતિઓમાંની એક કાઇનેમેટિક પદ્ધતિ છે, જેમાં વક્ર બિંદુના માર્ગ તરીકે મેળવવામાં આવે છે. એક વક્ર કે જે વર્તુળ પર નિશ્ચિત બિંદુના માર્ગ તરીકે મેળવવામાં આવે છે, સીધી રેખા સાથે સરક્યા વિના, વર્તુળ અથવા અન્ય વળાંક સાથે, તેને સાયક્લોઇડલ કહેવામાં આવે છે, જેનો ગ્રીકમાંથી અનુવાદ થાય છે, જેનો અર્થ થાય છે ગોળ, વર્તુળની યાદ અપાવે છે.

ચાલો પહેલા કેસને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે વર્તુળ સીધી રેખા સાથે વળે છે. સીધી રેખામાં સરક્યા વિના વર્તુળ પર નિશ્ચિત બિંદુ દ્વારા વર્ણવેલ વળાંકને ચક્રવાત કહેવાય છે.

ત્રિજ્યા R ના વર્તુળને સીધી રેખા a સાથે ફેરવવા દો. C એ એક વર્તુળ પર નિશ્ચિત બિંદુ છે, જે સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે A સ્થિત છે (ફિગ. 1). ચાલો વર્તુળની લંબાઈ જેટલો એક સેગમેન્ટ AB ની રેખા પર કાવતરું કરીએ, એટલે કે. AB = 2 π R. આ સેગમેન્ટને 8 સમાન ભાગોમાં A1, A2, ..., A8 = B દ્વારા વિભાજીત કરો.

તે સ્પષ્ટ છે કે જ્યારે વર્તુળ, સીધી રેખા a સાથે ફરતું હોય છે, ત્યારે એક ક્રાંતિ થાય છે, એટલે કે. 360 ફરે છે, પછી તે પોઝિશન (8) લેશે, અને બિંદુ C પોઝિશન A થી પોઝિશન B પર જશે.

જો વર્તુળ અડધી સંપૂર્ણ ક્રાંતિ કરે છે, એટલે કે. 180 વળે છે, પછી તે સ્થિતિ (4) લેશે, અને બિંદુ C ઉચ્ચતમ સ્થાન C4 પર જશે.

જો વર્તુળ 45 ના ખૂણા દ્વારા ફરે છે, તો વર્તુળ સ્થિતિ (1) પર જશે, અને બિંદુ C સ્થિતિ C1 પર જશે.

આકૃતિ 1 વર્તુળના પરિભ્રમણના બાકીના ખૂણા, 45 ના ગુણાંકને અનુરૂપ સાયક્લોઇડના અન્ય બિંદુઓ પણ બતાવે છે.

બાંધેલા બિંદુઓને સરળ વળાંક સાથે જોડીને, આપણે વર્તુળની એક સંપૂર્ણ ક્રાંતિને અનુરૂપ સાયક્લોઇડનો એક વિભાગ મેળવીએ છીએ. આગામી ક્રાંતિ પર, સમાન વિભાગો મેળવવામાં આવશે, એટલે કે. સાયક્લોઇડમાં સમયાંતરે પુનરાવર્તિત વિભાગનો સમાવેશ થશે જેને સાયક્લોઇડની કમાન કહેવાય છે.

ચાલો સાયક્લોઇડ (ફિગ. 2) ના સ્પર્શકની સ્થિતિ પર ધ્યાન આપીએ. જો કોઈ સાયકલ સવાર ભીના રસ્તા પર સવારી કરે છે, તો વ્હીલમાંથી આવતા ટીપાઓ સ્પર્શક રીતે સાયક્લોઈડ તરફ ઉડી જશે અને, ઢાલની ગેરહાજરીમાં, સાયકલ સવારની પીઠને છાંટી શકે છે.

ચક્રવાતનો અભ્યાસ કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ ગેલિલિયો ગેલિલી (1564 - 1642) હતા. તે તેના નામ સાથે પણ આવ્યો.

સાયક્લોઇડના ગુણધર્મો:

સાયક્લોઇડમાં અસંખ્ય નોંધપાત્ર ગુણધર્મો છે. ચાલો તેમાંથી કેટલાકનો ઉલ્લેખ કરીએ.

મિલકત 1. (બરફ પર્વત.) 1696 માં, I. બર્નૌલીએ સૌથી ઊભો વંશનો વળાંક શોધવાની સમસ્યા ઊભી કરી, અથવા, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મુસાફરી કરવા માટે બરફની સ્લાઇડનો આકાર કેવો હોવો જોઈએ તેની સમસ્યા ઊભી કરી. પ્રારંભિક બિંદુ A થી અંતિમ બિંદુ B સુધી ટૂંકા સમયમાં (ફિગ. 3, a). ઇચ્છિત વળાંકને "બ્રેચિસ્ટોક્રોન" કહેવામાં આવતું હતું, એટલે કે. ટૂંકા સમયનો વળાંક.

તે સ્પષ્ટ છે કે બિંદુ A થી બિંદુ B સુધીનો સૌથી ટૂંકો રસ્તો AB સેગમેન્ટ છે. જો કે, આવી રેક્ટીલિનીયર હિલચાલ સાથે, ઝડપ ધીમે ધીમે પ્રાપ્ત થાય છે અને વંશમાં વિતાવેલો સમય મોટો થાય છે (ફિગ. 3, બી).

જેટલો ઊંચો ઉતરે છે, તેટલી ઝડપ વધે છે. જો કે, સીધા ઉતરાણ સાથે, વળાંક સાથેનો માર્ગ લંબાય છે અને તેથી તેને પૂર્ણ કરવામાં લાગતો સમય વધે છે.

આ સમસ્યાનું નિરાકરણ કરનારા ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં આ હતા: જી. લીબનીઝ, આઈ. ન્યૂટન, જી. લ'હોપિટલ અને જે. બર્નૌલી. તેઓએ સાબિત કર્યું કે ઇચ્છિત વળાંક એ ઊંધી સાયક્લોઇડ છે (ફિગ. 3, એ). આ વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા બ્રેકીસ્ટોક્રોનની સમસ્યાને ઉકેલવામાં વિકસાવવામાં આવેલી પદ્ધતિઓએ ગણિતમાં નવી દિશા - વિવિધતાઓની ગણતરી માટે પાયો નાખ્યો.

મિલકત 2. (લોલક સાથેની ઘડિયાળ.) સામાન્ય લોલક સાથેની ઘડિયાળ ચોક્કસ રીતે ચાલી શકતી નથી, કારણ કે લોલકના કંપનનો સમયગાળો તેના કંપનવિસ્તાર પર આધાર રાખે છે: કંપનવિસ્તાર જેટલો મોટો તેટલો સમયગાળો. ડચ વિજ્ઞાની ક્રિસ્ટીઆન હ્યુજેન્સ (1629 – 1695) એ વિચાર્યું કે લોલકના તાર પર બોલને કયા વળાંકને અનુસરવું જોઈએ જેથી કરીને તેના ઓસિલેશનનો સમયગાળો કંપનવિસ્તાર પર આધારિત ન હોય. નોંધ કરો કે સામાન્ય લોલકમાં, જે વળાંક સાથે બોલ ખસે છે તે એક વર્તુળ છે (ફિગ. 4).

અમે જે વળાંક શોધી રહ્યા હતા તે ઊંધી સાયક્લોઇડ હોવાનું બહાર આવ્યું. જો, ઉદાહરણ તરીકે, ઊંધી સાયક્લોઇડના આકારમાં ખાઈ બનાવવામાં આવે છે અને તેની સાથે એક બોલ શરૂ કરવામાં આવે છે, તો ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રભાવ હેઠળ બોલની ગતિનો સમયગાળો તેની પ્રારંભિક સ્થિતિ અને કંપનવિસ્તાર (ફિગ. 5) પર આધારિત રહેશે નહીં. ). આ ગુણધર્મ માટે, સાયક્લોઇડને "ટૉટોક્રોન" પણ કહેવામાં આવે છે - સમાન સમયનો વળાંક.

હ્યુજેન્સે સાયક્લોઇડના આકારમાં કિનારીઓ સાથે લાકડાના બે પાટિયા બનાવ્યા, જે ડાબી અને જમણી બાજુએ થ્રેડની હિલચાલને મર્યાદિત કરે છે (ફિગ. 6). આ કિસ્સામાં, બોલ પોતે ઊંધી સાયક્લોઇડ સાથે આગળ વધશે અને આમ, તેના ઓસિલેશનનો સમયગાળો કંપનવિસ્તાર પર આધારિત રહેશે નહીં.

સાયક્લોઇડના આ ગુણધર્મથી, ખાસ કરીને, તે અનુસરે છે કે ઊંધી સાયક્લોઇડના આકારમાં બરફની સ્લાઇડ પર ગમે તે સ્થાનેથી આપણે આપણું વંશ શરૂ કરીએ છીએ, આપણે અંતિમ બિંદુ સુધી તે જ સમય પસાર કરીશું.

ચક્રવાત સમીકરણ

1. α - વર્તુળના પરિભ્રમણનો કોણ, જે રેડિયનમાં દર્શાવવામાં આવે છે તેના સંદર્ભમાં સાયક્લોઇડ સમીકરણ લખવું અનુકૂળ છે, નોંધ કરો કે α એ સીધી રેખામાં જનરેટિંગ વર્તુળ દ્વારા પસાર કરાયેલા પાથ સમાન છે.

x=rα– આરપાપ α

y=r – r cos α

2. ચાલો આડી સંકલન અક્ષને સીધી રેખા તરીકે લઈએ કે જેની સાથે ત્રિજ્યાનું સર્કલ જનરેટ કરે છે આર.

સાયક્લોઇડ પેરામેટ્રિક સમીકરણો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે

x = rt – આરપાપ t,

y = આર – આર cos t.

આમાં સમીકરણ:

વિભેદક સમીકરણને હલ કરીને સાયક્લોઇડ મેળવી શકાય છે:

સાયક્લોઇડની વાર્તામાંથી

સાયક્લોઇડ પર ધ્યાન આપનાર પ્રથમ વૈજ્ઞાનિકવી, પરંતુ આ વળાંકમાં ગંભીર સંશોધન ફક્ત માં જ શરૂ થયું હતું.

સાયક્લોઇડનો અભ્યાસ કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ ગેલિલિયો ગેલિલી (1564-1642), પ્રખ્યાત ઇટાલિયન ખગોળશાસ્ત્રી, ભૌતિકશાસ્ત્રી અને શિક્ષક હતા. તે "સાયક્લોઇડ" નામ સાથે પણ આવ્યો, જેનો અર્થ થાય છે "વર્તુળની યાદ અપાવે છે." ગેલિલિયોએ પોતે સાયક્લોઇડ વિશે કંઈ લખ્યું નથી, પરંતુ આ દિશામાં તેમના કાર્યનો ઉલ્લેખ ગેલિલિયોના વિદ્યાર્થીઓ અને અનુયાયીઓ દ્વારા કરવામાં આવ્યો છે: વિવિયાની, ટોરીસેલી અને અન્ય. પ્રખ્યાત ભૌતિકશાસ્ત્રી અને બેરોમીટરના શોધક ટોરીસેલીએ ગણિતમાં ઘણો સમય ફાળવ્યો હતો. પુનરુજ્જીવન દરમિયાન કોઈ સાંકડી નિષ્ણાત વૈજ્ઞાનિકો ન હતા. એક પ્રતિભાશાળી માણસે ફિલસૂફી, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતનો અભ્યાસ કર્યો અને દરેક જગ્યાએ તેને રસપ્રદ પરિણામો મળ્યા અને મોટી શોધો કરી. ઇટાલિયનો કરતાં થોડા સમય પછી, ફ્રેન્ચ લોકોએ સાયક્લોઇડને ઉપાડ્યો, તેને "રૂલેટ" અથવા "ટ્રોકોઇડ" કહે છે. 1634 માં, રોબરવલે - ભીંગડાની પ્રસિદ્ધ પ્રણાલીના શોધક - સાયક્લોઇડની કમાન અને તેના આધારથી બંધાયેલા વિસ્તારની ગણતરી કરી. ગેલિલિયોના સમકાલીન દ્વારા સાયક્લોઇડનો નોંધપાત્ર અભ્યાસ હાથ ધરવામાં આવ્યો હતો. વચ્ચે, એટલે કે, વણાંકો જેના સમીકરણ સ્વરૂપમાં લખી શકાતા નથી x , y, સાયક્લોઇડ એ અભ્યાસ કરાયેલો પૈકી પ્રથમ છે.

સાયક્લોઇડ વિશે લખ્યું:

ખીલા પર ફરતા ટેબલ પર રમાતી એક જુગારની રમત એક લીટી એટલી સામાન્ય છે કે સીધી રેખા અને વર્તુળ પછી કોઈ લાઇન વધુ વારંવાર આવતી નથી; તે દરેકની નજર સમક્ષ ઘણી વાર રૂપરેખા આપવામાં આવે છે કે કોઈને આશ્ચર્ય થવું જોઈએ કે પ્રાચીન લોકોએ તેનો વિચાર કર્યો ન હતો... કારણ કે તે પૈડાના ખીલા દ્વારા હવામાં વર્ણવેલ માર્ગ સિવાય બીજું કંઈ નથી.

નવા વળાંકે ઝડપથી લોકપ્રિયતા મેળવી અને ગહન વિશ્લેષણને આધિન કરવામાં આવ્યું, જેમાં આનો સમાવેશ થાય છે, , ન્યુટન,, બર્નૌલી ભાઈઓ અને 17મી-18મી સદીના વિજ્ઞાનના અન્ય દિગ્ગજો. સાયક્લોઇડ પર, તે વર્ષોમાં દેખાતી પદ્ધતિઓ સક્રિયપણે સન્માનિત કરવામાં આવી હતી. હકીકત એ છે કે સાયક્લોઇડનો વિશ્લેષણાત્મક અભ્યાસ બીજગણિતીય વણાંકોના વિશ્લેષણની જેમ સફળ થયો તેટલી મોટી છાપ પડી અને બીજગણિત અને અતીન્દ્રિય વળાંકોના "સમાન અધિકારો" ની તરફેણમાં એક મહત્વપૂર્ણ દલીલ બની. એપિસાયકલોઇડ

કેટલાક પ્રકારના સાયક્લોઇડ્સ

એપિસાયકલોઇડ - બિંદુ A નો માર્ગ, D વ્યાસના વર્તુળ પર પડેલો છે, જે ત્રિજ્યા R (બાહ્ય સંપર્ક) ના માર્ગદર્શક વર્તુળ સાથે સરક્યા વિના ફરે છે.

એપિસાયક્લોઇડનું નિર્માણ નીચેના ક્રમમાં કરવામાં આવે છે:

કેન્દ્ર 0 થી, 000=R+r સમાન ત્રિજ્યા સાથે સહાયક ચાપ દોરો;

બિંદુઓ 01, 02, ... 012 થી, કેન્દ્રોથી, ત્રિજ્યા r ના વર્તુળો દોરો જ્યાં સુધી તેઓ A1, A2, ... A12 બિંદુઓ પર સહાયક ચાપ સાથે છેદે નહીં, જે એપિસાયકલોઇડથી સંબંધિત છે.

હાયપોસાયકલોઇડ

હાયપોસાયકલોઇડ એ D વ્યાસના વર્તુળ પર પડેલા બિંદુ A નો માર્ગ છે, જે ત્રિજ્યા R (આંતરિક સ્પર્શકતા) ના માર્ગદર્શક વર્તુળ સાથે સરક્યા વિના ફરે છે.

હાઇપોસાયકલોઇડનું નિર્માણ નીચેના ક્રમમાં કરવામાં આવે છે:

ત્રિજ્યા r નું જનરેટ કરતું વર્તુળ અને ત્રિજ્યા Rનું નિર્દેશક વર્તુળ દોરવામાં આવે છે જેથી તેઓ બિંદુ A ને સ્પર્શે;

જનરેટીંગ વર્તુળને 12 સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, પોઇન્ટ 1, 2, ... 12 મેળવવામાં આવે છે;

કેન્દ્ર 0 થી, 000=R-r સમાન ત્રિજ્યા સાથે સહાયક ચાપ દોરો;

કેન્દ્રીય કોણ a એ સૂત્ર a =360r/R દ્વારા નક્કી થાય છે.

માર્ગદર્શક વર્તુળના ચાપને, કોણ a દ્વારા મર્યાદિત, 12 સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરો, પોઇન્ટ 11, 21, ...121 મેળવો;

કેન્દ્ર 0 થી, બિંદુઓ 11, 21, ...121 દ્વારા સીધી રેખાઓ દોરવામાં આવે છે જ્યાં સુધી તેઓ 01, 02, ...012 બિંદુઓ પર સહાયક ચાપ સાથે છેદે નહીં;

કેન્દ્ર 0 થી, જનરેટીંગ વર્તુળના વિભાજન બિંદુઓ 1, 2, ... 12 દ્વારા સહાયક ચાપ દોરવામાં આવે છે;

બિંદુઓ 01, 02, ...012 થી, કેન્દ્રોથી, ત્રિજ્યા r ના વર્તુળો દોરો જ્યાં સુધી તેઓ A1, A2, ... A12 બિંદુઓ પર સહાયક ચાપ સાથે છેદે છે, જે હાઇપોસાયકલોઇડ સાથે સંબંધિત છે.

1. કાર્ડિયોઇડ.

કાર્ડિયોઇડ ( καρδία - હૃદય, કાર્ડિયોઇડ એ એક ખાસ કેસ છે "કાર્ડિયોઇડ" શબ્દ 1741 માં કેસ્ટિલન દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો.

જો આપણે વર્તુળ અને તેના પર એક બિંદુને ધ્રુવ તરીકે લઈએ, તો જો આપણે વર્તુળના વ્યાસના સમાન ભાગોને પ્લોટ કરીએ તો જ આપણે કાર્ડિયોઇડ મેળવીશું. જમા થયેલ સેગમેન્ટના અન્ય કદ માટે, કોનકોઇડ્સ વિસ્તરેલ અથવા ટૂંકા કાર્ડિયોઇડ્સ હશે. આ વિસ્તરેલ અને ટૂંકા કાર્ડિયોઇડ્સને અન્યથા પાસ્કલ કોક્લીઆ કહેવામાં આવે છે.

કાર્ડિયોઇડ ટેકનોલોજીમાં વિવિધ એપ્લિકેશનો ધરાવે છે. કાર્ડિયોઇડ આકારોનો ઉપયોગ કાર માટે તરંગી અને કેમ્સ બનાવવા માટે થાય છે. ગિયર્સ દોરતી વખતે તેનો ઉપયોગ ક્યારેક થાય છે. વધુમાં, તેનો ઉપયોગ ઓપ્ટિકલ ટેકનોલોજીમાં થાય છે.

કાર્ડિયોઇડના ગુણધર્મો

2) કાર્ડિયોઇડ બીજી રીતે મેળવી શકાય છે. વર્તુળ પર એક બિંદુ ચિહ્નિત કરો વિશેઅને ચાલો તેમાંથી એક બીમ દોરીએ. જો બિંદુ પરથી એઆ કિરણને વર્તુળ સાથે છેદન કરો, એક સેગમેન્ટ બનાવો AM,વર્તુળના વ્યાસ જેટલી લંબાઈ, અને કિરણ બિંદુની આસપાસ ફરે છે વિશે, પછી બિંદુ એમકાર્ડિયોઇડ સાથે આગળ વધશે.

3) આપેલ વર્તુળ પર કેન્દ્રો ધરાવતા અને તેના નિશ્ચિત બિંદુમાંથી પસાર થતા તમામ વર્તુળો માટે કાર્ડિયોઇડને વળાંક સ્પર્શક તરીકે પણ રજૂ કરી શકાય છે. જ્યારે ઘણા વર્તુળો બાંધવામાં આવે છે, ત્યારે કાર્ડિયોઇડ જાણે પોતે જ બનેલું હોય તેવું લાગે છે.

4) કાર્ડિયોઇડ જોવાની એક સમાન ભવ્ય અને અણધારી રીત પણ છે. આકૃતિમાં તમે વર્તુળ પર એક બિંદુ પ્રકાશ સ્ત્રોત જોઈ શકો છો. વર્તુળમાંથી પ્રકાશ કિરણો પ્રથમ વખત પ્રતિબિંબિત થયા પછી, તેઓ સ્પર્શકને કાર્ડિયોઇડ તરફ પ્રવાસ કરે છે. હવે કલ્પના કરો કે વર્તુળ એક કપની ધાર છે; બ્લેક કોફી કપમાં રેડવામાં આવે છે, જેનાથી તમે તેજસ્વી પ્રતિબિંબિત કિરણો જોઈ શકો છો. પરિણામે, કાર્ડિયોઇડ પ્રકાશના કિરણો દ્વારા પ્રકાશિત થાય છે.

1. એસ્ટ્રોઇડ.

એસ્ટ્રોઇડ (ગ્રીક એસ્ટ્રોન - સ્ટાર અને ઇડોસ - વ્યુમાંથી), વર્તુળ પરના બિંદુ દ્વારા વર્ણવેલ સપાટ વળાંક જે ચાર ગણા ત્રિજ્યાના નિશ્ચિત વર્તુળની અંદરથી સ્પર્શે છે અને લપસ્યા વિના તેની સાથે વળે છે. હાઇપોસાયકલોઇડ્સનું છે. એસ્ટ્રોઇડ એ 6ઠ્ઠા ક્રમનું બીજગણિત વળાંક છે.

સમગ્ર એસ્ટ્રોઇડની લંબાઈ નિશ્ચિત વર્તુળની છ ત્રિજ્યા જેટલી છે, અને તેના દ્વારા મર્યાદિત વિસ્તાર નિશ્ચિત વર્તુળના ત્રણ-આઠમા ભાગનો છે.

એસ્ટ્રોઇડની ટોચ પર દોરેલા નિશ્ચિત વર્તુળના બે પરસ્પર લંબ ત્રિજ્યા વચ્ચે બંધાયેલ એસ્ટ્રોઇડનો સ્પર્શક ખંડ, બિંદુ કેવી રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યો હતો તે ધ્યાનમાં લીધા વિના, નિશ્ચિત વર્તુળની ત્રિજ્યાની બરાબર છે.

એસ્ટ્રોઇડના ગુણધર્મો

ચાર છેકસ્પા .

બિંદુ 0 થી પરબિડીયું સુધી આર્ક લંબાઈ

એસ્ટ્રોઇડ 6ઠ્ઠો ક્રમ છે.

એસ્ટ્રોઇડ સમીકરણો

એસ્ટ્રોઇડ બનાવવાની પદ્ધતિ

અમે બે પરસ્પર લંબ સીધી રેખાઓ દોરીએ છીએ અને લંબાઈના ભાગોની શ્રેણી દોરીએ છીએઆર , જેના છેડા આ રેખાઓ પર આવેલા છે. આકૃતિ આવા 12 સેગમેન્ટ્સ દર્શાવે છે (જેમાં પરસ્પર લંબરૂપ સીધી રેખાઓના સેગમેન્ટો પણ સામેલ છે). આપણે જેટલા વધુ સેગમેન્ટ્સ દોરીશું, તેટલા વધુ સચોટ આપણને વળાંક મળશે. ચાલો હવે આ બધા સેગમેન્ટ્સનું પરબિડીયું બનાવીએ. આ પરબિડીયું એસ્ટ્રોઇડ હશે.

1. નિષ્કર્ષ

કાર્ય વિવિધ સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત અથવા કેટલીક ગાણિતિક સ્થિતિને સંતોષતી વિવિધ પ્રકારના વળાંકો સાથે સમસ્યાઓના ઉદાહરણો પૂરા પાડે છે. ખાસ કરીને, સાયક્લોઇડલ વણાંકો, તેમને વ્યાખ્યાયિત કરવાની પદ્ધતિઓ, બાંધકામની વિવિધ પદ્ધતિઓ, આ વળાંકોના ગુણધર્મો.

સાયક્લોઇડલ વળાંકોના ગુણધર્મો ઘણીવાર ગિયર્સમાં મિકેનિક્સમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે, જે મિકેનિઝમ્સમાં ભાગોની મજબૂતાઈમાં નોંધપાત્ર વધારો કરે છે.