વિતરણના શરતી કાયદા. રીગ્રેશન.

વ્યાખ્યા. દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ (X, Y) ના એક-પરિમાણીય ઘટકોમાંથી એકનો શરતી વિતરણ કાયદો એ તેનો વિતરણ કાયદો છે, જે શરત હેઠળ ગણવામાં આવે છે કે અન્ય ઘટક ચોક્કસ મૂલ્ય લે છે (અથવા અમુક અંતરાલમાં પડે છે). અગાઉના લેક્ચરમાં, અમે અલગ રેન્ડમ ચલો માટે શરતી વિતરણો શોધવા પર જોયું. શરતી સંભાવનાઓ માટેના સૂત્રો પણ ત્યાં આપવામાં આવ્યા છે:

સતત રેન્ડમ ચલોના કિસ્સામાં, શરતી વિતરણો j y (x) અને j X (y) ની સંભાવના ઘનતા નક્કી કરવી જરૂરી છે. આ હેતુ માટે, આપેલ સૂત્રોમાં, અમે ઘટનાઓની સંભાવનાઓને તેમની "સંભાવનાના તત્વો" સાથે બદલીએ છીએ!

dx અને dy દ્વારા ઘટાડા પછી આપણને મળે છે:

તે દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલના એક-પરિમાણીય ઘટકોમાંથી એકની શરતી સંભાવના ઘનતા એ તેની સંયુક્ત ઘનતાના અન્ય ઘટકની સંભાવના ઘનતાના ગુણોત્તર જેટલી છે. આ સંબંધો ફોર્મમાં લખેલા છે

વિતરણ ઘનતાના ગુણાકાર માટે પ્રમેય (નિયમ) કહેવાય છે.

શરતી ઘનતા j y (x) અને j X (y). "બિનશરતી" ઘનતાના તમામ ગુણધર્મો ધરાવે છે.

દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલોનો અભ્યાસ કરતી વખતે, એક-પરિમાણીય ઘટકો X અને Y ની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે - ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને ભિન્નતા. સતત રેન્ડમ ચલ (X, Y) માટે, તેઓ સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

તેમની સાથે, શરતી વિતરણની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે: શરતી ગાણિતિક અપેક્ષાઓ M x (Y) અને M y (X) અને શરતી ભિન્નતા D x (Y) અને D Y (X). આ વિશેષતાઓ ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતાના સામાન્ય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે, જેમાં ઘટનાની સંભાવનાઓ અથવા સંભાવનાની ઘનતાને બદલે શરતી સંભાવનાઓ અથવા શરતી સંભાવનાની ઘનતાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

X = x પર રેન્ડમ ચલ Y ની શરતી ગાણિતિક અપેક્ષા, એટલે કે. M x (Y) એ x નું ફંક્શન છે, જેને રીગ્રેશન ફંક્શન કહેવામાં આવે છે અથવા X પર Y નું રીગ્રેશન કહેવાય છે. તેવી જ રીતે, M Y (X) ને રીગ્રેસન ફંક્શન અથવા ફક્ત Y પર X નું રીગ્રેસન કહેવાય છે. આ ફંક્શન્સના આલેખ છે રીગ્રેશન રેખાઓ (અથવા રીગ્રેશન વક્ર) Y અનુક્રમે X દ્વારા અથવા X દ્વારા Y કહેવાય છે.

આશ્રિત અને સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો.

વ્યાખ્યા.રેન્ડમ ચલ X અને Y ને સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે જો તેમના સંયુક્ત વિતરણ કાર્ય F(x,y) ને આ રેન્ડમ ચલોના વિતરણ કાર્યો F 1 (x) અને F 2 (y) ના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરવામાં આવે, એટલે કે.

નહિંતર, રેન્ડમ ચલ X અને Y ને આશ્રિત કહેવામાં આવે છે.

દલીલો x અને y ના સંદર્ભમાં સમાનતાને બે વાર ભેદ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ

તે સ્વતંત્ર સતત રેન્ડમ ચલ X અને Y માટે, તેમની સંયુક્ત ઘનતા j(x,y) આ રેન્ડમ ચલોની સંભાવનાની ઘનતા j 1 (x) અને j 2 (y) ના ઉત્પાદનની બરાબર છે.

અત્યાર સુધી, અમે X અને Y ચલો વચ્ચેના કાર્યાત્મક સંબંધની વિભાવનાનો સામનો કર્યો છે, જ્યારે એક ચલનું દરેક મૂલ્ય x બીજાના સખત રીતે વ્યાખ્યાયિત મૂલ્યને અનુરૂપ હતું. ઉદાહરણ તરીકે, બે રેન્ડમ ચલો વચ્ચેનો સંબંધ - ચોક્કસ સમયગાળામાં નિષ્ફળ સાધનોની સંખ્યા અને તેમની કિંમત - કાર્યાત્મક છે.

સામાન્ય રીતે, તેઓ એક અલગ પ્રકારની અવલંબનનો સામનો કરે છે, જે કાર્યાત્મક કરતાં ઓછી ગંભીર હોય છે.

વ્યાખ્યા.બે રેન્ડમ ચલો વચ્ચેના સંબંધને સંભવિત (સ્ટોકેસ્ટિક અથવા આંકડાકીય) કહેવામાં આવે છે જો તેમાંથી એકનું દરેક મૂલ્ય બીજાના ચોક્કસ (શરતી) વિતરણને અનુરૂપ હોય.

સંભવિત (સ્ટોકેસ્ટિક) અવલંબનના કિસ્સામાં, તે અશક્ય છે, તેમાંથી એકનું મૂલ્ય જાણીને, બીજાનું મૂલ્ય ચોક્કસ રીતે નક્કી કરવું, પરંતુ તમે માત્ર અન્ય જથ્થાના વિતરણને સૂચવી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, સાધનસામગ્રીની નિષ્ફળતાની સંખ્યા અને તેના નિવારક સમારકામની કિંમત, વ્યક્તિનું વજન અને ઊંચાઈ, શાળાના બાળકનો ટેલિવિઝન પ્રોગ્રામ જોવામાં અને પુસ્તકો વાંચવામાં વિતાવેલો સમય, વગેરે વચ્ચેનો સંબંધ. સંભવિત (સ્ટોકેસ્ટિક) છે.

ફિગ માં. આકૃતિ 5.10 આશ્રિત અને સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ X અને Y ના ઉદાહરણો બતાવે છે.

જેમાંથી આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે m1, m2 એ ઘટકોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ છે X, દ્વિ-પરિમાણીય સામાન્ય રેન્ડમ ચલ (X, Y), σ1, σ2 એ તેમના ઘટકોના પ્રમાણભૂત વિચલનો છે.

અવકાશમાં દ્વિ-પરિમાણીય સામાન્ય ઘનતાનો ગ્રાફ એ સમગ્ર xOy સમતલની ઉપર સ્થિત ટેકરી આકારની સપાટી છે, જ્યારે અનંત સુધી દૂર કરવામાં આવે ત્યારે અસમપ્રમાણ રીતે તેની નજીક આવે છે, કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી ઊભી અક્ષ વિશે સપ્રમાણતા (m1, m2), અને સાથે આ બિંદુએ શિરોબિંદુ. xOy ને લંબરૂપ સમતલ દ્વારા સામાન્ય ઘનતા ગ્રાફની સપાટીનો કોઈપણ વિભાગ ગૌસીયન વળાંક છે.

6.5 બે રેન્ડમ ચલોની અવલંબન અને સ્વતંત્રતા

વ્યાખ્યા. જો ઘટનાઓ X સ્વતંત્ર હોય તો રેન્ડમ ચલ X, Y ને સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે< x и Y < y для любых вещественных x, y. В противном случае случайные величины (X, Y) называются зависимыми.

પ્રમેય. બે રેન્ડમ ચલોની સ્વતંત્રતા માટે સામાન્ય જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ:

FXY (x, y) = FX (x) FY (y)

કોઈપણ વાસ્તવિક x અને y માટે.

આ સ્થિતિ બે ઘટનાઓની સ્વતંત્રતા માટે અલગ રીતે લખેલી જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ છે: P (AB) = P (A) P (B) ઘટનાઓના કિસ્સામાં A = (X< x), B = (Y < y).

પ્રમેય. બે સતત રેન્ડમ ચલોની સ્વતંત્રતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ:

fXY (x, y) = fX (x) fY (y), x, y.

પ્રમેય. બે અલગ રેન્ડમ ચલોની સ્વતંત્રતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ:

p ik= p i · p k

કોઈપણ i = 1, 2, માટે. . . , m; k = 1, 2, . . . , એન.

ટિપ્પણી. સહસંબંધ ગુણાંક ρ થી શૂન્યની સમાનતા એ દ્વિ-પરિમાણીય સામાન્ય રેન્ડમ ચલ (X, Y) ના ઘટકો X, Y ની સ્વતંત્રતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ છે.

6.6 વિતરણના શરતી કાયદા. દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ. રેન્ડમ ચલો વચ્ચેનો સંબંધ

6.6.1 વિતરણના શરતી કાયદા

વ્યાખ્યા. શરતી વિતરણ કાયદો દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ (X, Y) ના એક-પરિમાણીય ઘટકોમાંના એકને તેનો વિતરણ કાયદો કહેવામાં આવે છે, તે શરત હેઠળ ગણવામાં આવે છે કે અન્ય ઘટક ચોક્કસ મૂલ્ય લે છે (અથવા તેમાં આવે છે.અમુક અંતરાલ).

અલગ રેન્ડમ ચલોના કિસ્સામાં, શરતી સંભાવનાઓ શોધવા માટેના સૂત્રોનું સ્વરૂપ છે:

સતત રેન્ડમ ચલોના કિસ્સામાં, આ સૂત્રો ફોર્મ લે છે

તે દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલના એક-પરિમાણીય ઘટકોમાંથી એકની શરતી સંભાવના ઘનતા તેના સંયુક્ત ઘનતાના તેના અન્ય ઘટકની સંભાવના ઘનતાના ગુણોત્તર જેટલી છે.

આ ગુણોત્તર, ફોર્મમાં લખાયેલ છે

fXY (x, y) = fX (x)fX (y) = fX (y)fY (x),

વિતરણ ઘનતાના ગુણાકાર માટે પ્રમેય (નિયમ) કહેવાય છે.

સતત રેન્ડમ ચલના એક-પરિમાણીય ઘટકો મેળવવા માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, અમે શરતી ઘટકો માટે સૂત્રો લખીએ છીએ:

6.6.2 સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ

રેન્ડમ ચલ ϕ(X, Y) ને ધ્યાનમાં લો, જે દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ (X, Y) ના ઘટકો X, Y નું કાર્ય છે. સામાન્ય સૂત્રો માન્ય છે:

એક અલગ કેસ માટે.

અહીં fXY (x, y) એ રેન્ડમ ચલ (X, Y), અને pik = P (X = xi, Y = yk) (i = 1, . . . , m; k = 1, ની સંભાવના ઘનતા છે. , n) - એક અલગ દ્વિ-પરિમાણીય ચલના વિતરણનો નિયમ

આ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, તમે એક અલગ રેન્ડમ ચલના એક-પરિમાણીય ઘટકોના ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપ માટે સૂત્રો લખી શકો છો.

ગાણિતિક અપેક્ષા શોધવા માટેના સૂત્રો છે:

M(Y) = yfXY (x, y)dxdy

સતત રેન્ડમ ચલ માટે;

M(X) = xi pik ;

M(Y) = yk pik

એક અલગ કેસ માટે.

દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલના એક-પરિમાણીય ઘટકોના ભિન્નતાની ગણતરી માટેના સૂત્રોનું સ્વરૂપ છે:

D(Y) = M[(Y − M(Y))2 ] = (yk − M(Y))pik

એક અલગ કેસ માટે.

6.6.3 સહસંબંધ ક્ષણ અને સહસંબંધ ગુણાંક

બે રેન્ડમ ચલોની અવલંબનની કાર્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ ઉપર ઘડવામાં આવી હતી. ચાલો હવે રેન્ડમ ચલો વચ્ચેના સંબંધની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓને ધ્યાનમાં લઈએ.

વ્યાખ્યા. સહસંબંધ ક્ષણ K XY, અન્યથા - સહપ્રસંગ , બે રેન્ડમ ચલ X, Y ને તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓમાંથી આ રેન્ડમ ચલોના વિચલનના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા કહેવામાં આવે છે:

KXY = M[(X − mX )(Y − mY )].

દેખીતી રીતે, KXY = KY X.

KXY ની ગણતરી માટેના સૂત્રો છે:

રેન્ડમ ચલોને સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે જો તેમાંથી એકનો વિતરણ કાયદો અન્ય રેન્ડમ ચલના મૂલ્ય પર આધારિત ન હોય. રેન્ડમ ચલોની અવલંબનનો ખ્યાલ સંભાવના સિદ્ધાંતમાં ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના શરતી વિતરણો તેમના બિનશરતી વિતરણો સમાન છે. ચાલો રેન્ડમ ચલોની સ્વતંત્રતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો નક્કી કરીએ.

પ્રમેય. રેન્ડમ ચલ X અને Y સ્વતંત્ર હોવા માટે, તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે કે સિસ્ટમનું વિતરણ કાર્ય (X, Y) ઘટકોના વિતરણ કાર્યોના ઉત્પાદન સમાન હોય.

વિતરણ ઘનતા માટે સમાન પ્રમેય ઘડી શકાય છે:

પ્રમેય. રેન્ડમ ચલ X અને Y સ્વતંત્ર હોવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે સિસ્ટમની સંયુક્ત વિતરણ ઘનતા (X, Y) ઘટકોની વિતરણ ઘનતાના ઉત્પાદનની સમાન હોય.

રેન્ડમ ચલ X અને Y ની સહસંબંધ ક્ષણ mxy એ આ મૂલ્યોના વિચલનોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા છે.

નીચેના સૂત્રોનો વ્યવહારિક રીતે ઉપયોગ થાય છે:

અલગ રેન્ડમ ચલો માટે:

સતત રેન્ડમ ચલ માટે:

સહસંબંધ ક્ષણ રેન્ડમ ચલો વચ્ચેના સંબંધને દર્શાવવા માટે સેવા આપે છે. જો રેન્ડમ ચલો સ્વતંત્ર હોય, તો તેમની સહસંબંધ ક્ષણ શૂન્યની બરાબર છે.

સહસંબંધ ક્ષણનું પરિમાણ રેન્ડમ ચલ X અને Y ના પરિમાણના ઉત્પાદન સમાન છે. આ હકીકત આ સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાનો ગેરલાભ છે, કારણ કે માપનના વિવિધ એકમો સાથે, વિવિધ સહસંબંધ ક્ષણો પ્રાપ્ત થાય છે, જે વિવિધ રેન્ડમ ચલોની સહસંબંધ ક્ષણોની તુલના કરવાનું મુશ્કેલ બનાવે છે.

આ ખામીને દૂર કરવા માટે, અન્ય લાક્ષણિકતાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે - સહસંબંધ ગુણાંક.

રેન્ડમ ચલ X અને Y નો સહસંબંધ ગુણાંક rxy એ આ મૂલ્યોના પ્રમાણભૂત વિચલનોના ઉત્પાદન સાથેના સહસંબંધ ક્ષણનો ગુણોત્તર છે.

સહસંબંધ ગુણાંક એ પરિમાણહીન જથ્થો છે. સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો સહસંબંધ ગુણાંક શૂન્ય છે.

ગુણધર્મ: બે રેન્ડમ ચલ X અને Y ના સહસંબંધ ક્ષણનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય તેમના ભિન્નતાના ભૌમિતિક સરેરાશ કરતાં વધી જતું નથી.

ગુણધર્મ: સહસંબંધ ગુણાંકનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય એક કરતાં વધુ નથી.

રેન્ડમ ચલોને સહસંબંધિત કહેવામાં આવે છે જો તેમની સહસંબંધ ક્ષણ શૂન્યથી અલગ હોય, અને જો તેમની સહસંબંધ ક્ષણ શૂન્યની બરાબર હોય તો અસંબંધિત કહેવાય છે.

જો અવ્યવસ્થિત ચલો સ્વતંત્ર હોય, તો તે અસંબંધિત હોય છે, પરંતુ અસંબંધિતતા પરથી કોઈ તારણ કાઢી શકતું નથી કે તેઓ સ્વતંત્ર છે.

જો બે જથ્થાઓ નિર્ભર છે, તો તે કાં તો સહસંબંધિત અથવા અસંબંધિત હોઈ શકે છે.

ઘણીવાર, રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમની આપેલ વિતરણ ઘનતામાંથી, વ્યક્તિ આ ચલોની અવલંબન અથવા સ્વતંત્રતા નક્કી કરી શકે છે.

સહસંબંધ ગુણાંક સાથે, રેન્ડમ ચલોની અવલંબનની ડિગ્રી અન્ય જથ્થા દ્વારા વર્ગીકૃત કરી શકાય છે, જેને સહસંબંધ ગુણાંક કહેવામાં આવે છે. સહવર્તી ગુણાંક સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ. રેન્ડમ ચલ X અને Y ની સિસ્ટમની વિતરણ ઘનતા આપવામાં આવી છે.

રેન્ડમ ચલ X અને Y સ્વતંત્ર છે કે કેમ તે શોધો.

આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, અમે વિતરણ ઘનતાને પરિવર્તિત કરીએ છીએ:

આમ, વિતરણ ઘનતાને બે કાર્યોના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જેમાંથી એક માત્ર x પર અને બીજું માત્ર y પર આધારિત છે. તે. રેન્ડમ ચલ X અને Y સ્વતંત્ર છે. અલબત્ત, તેઓ અસંબંધિત પણ હશે.

બે રેન્ડમ ચલ $X$ અને $Y$ને સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે જો એક રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો અન્ય રેન્ડમ વેરીએબલ જે સંભવિત મૂલ્યો લે છે તેના આધારે બદલાતો નથી. એટલે કે, કોઈપણ $x$ અને $y$ માટે ઘટનાઓ $X=x$ અને $Y=y$ સ્વતંત્ર છે. ઘટનાઓ $X=x$ અને $Y=y$ સ્વતંત્ર હોવાથી, પછી સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉત્પાદનના પ્રમેય દ્વારા $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ જમણે)\જમણે)=P \left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$.

ઉદાહરણ 1 . રેન્ડમ વેરિયેબલ $X$ ને એક લોટરી "રશિયન લોટ્ટો" ની ટિકિટોમાંથી રોકડ જીત વ્યક્ત કરવા દો, અને રેન્ડમ વેરિયેબલ $Y$ બીજી લોટરી "ગોલ્ડન કી" ની ટિકિટોમાંથી રોકડ જીતને વ્યક્ત કરે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે રેન્ડમ ચલ $X,\Y$ સ્વતંત્ર હશે, કારણ કે એક લોટરીની ટિકિટોમાંથી જીત બીજી લોટરીની ટિકિટોમાંથી જીતના વિતરણના કાયદા પર આધારિત નથી. એવા કિસ્સામાં જ્યાં રેન્ડમ ચલો $X, \Y$ સમાન લોટરીની જીતને વ્યક્ત કરશે, તો દેખીતી રીતે, આ રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ આશ્રિત હશે.

ઉદાહરણ 2 . બે કામદારો વિવિધ વર્કશોપમાં કામ કરે છે અને વિવિધ ઉત્પાદનોનું ઉત્પાદન કરે છે જે ઉત્પાદન તકનીકો અને વપરાયેલી કાચી સામગ્રી દ્વારા એકબીજા સાથે અસંબંધિત હોય છે. શિફ્ટ દીઠ પ્રથમ કાર્યકર દ્વારા ઉત્પાદિત ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની સંખ્યા માટેના વિતરણ કાયદામાં નીચેનું સ્વરૂપ છે:

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
\ ખામીયુક્ત \ ઉત્પાદનો \ x અને 0 અને 1 \\ ની સંખ્યા
\hલાઇન
સંભાવના & 0.8 અને 0.2 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

શિફ્ટ દીઠ બીજા કાર્યકર દ્વારા ઉત્પાદિત ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની સંખ્યા નીચેના વિતરણ કાયદાનું પાલન કરે છે.

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
\ ખામીયુક્ત \ ઉત્પાદનો \ y અને 0 અને 1 \\ ની સંખ્યા
\hલાઇન
સંભાવના & 0.7 અને 0.3 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

ચાલો શિફ્ટ દીઠ બે કામદારો દ્વારા ઉત્પાદિત ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની સંખ્યા માટે વિતરણ કાયદો શોધીએ.

રેન્ડમ ચલ $X$ એ શિફ્ટ દીઠ પ્રથમ કાર્યકર દ્વારા ઉત્પાદિત ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની સંખ્યા અને $Y$ એ શિફ્ટ દીઠ બીજા કાર્યકર દ્વારા ઉત્પાદિત ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની સંખ્યા હોવા દો. શરત પ્રમાણે, રેન્ડમ ચલો $X, \Y$ સ્વતંત્ર છે.

શિફ્ટ દીઠ બે કામદારો દ્વારા ઉત્પાદિત ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની સંખ્યા રેન્ડમ ચલ $X+Y$ છે. તેના સંભવિત મૂલ્યો $0,\1$ અને $2$ છે. ચાલો એ સંભાવનાઓ શોધીએ કે જેની સાથે રેન્ડમ ચલ $X+Y$ તેની કિંમતો લે છે.

$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\જમણે) =0.8\cdot 0.7=0.56.$

$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\ Y=1\ or\ X=1,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right) )P\left(Y=1\right)+P\left(X=1\right)P\left(Y=0\right)=0.8\cdot 0.3+0.2\cdot 0.7 =0.38.$

$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\ Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\જમણે) =0.2\cdot 0.3=0.06.$

પછી શિફ્ટ દીઠ બે કામદારો દ્વારા ઉત્પાદિત ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની સંખ્યાના વિતરણનો કાયદો:

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
\\ ખામીયુક્ત \ ઉત્પાદનો અને 0 અને 1 અને 2 \\ ની સંખ્યા
\hલાઇન
સંભાવના & 0.56 & 0.38 & 0.06\\
\hલાઇન
\end(એરે)$

અગાઉના ઉદાહરણમાં, અમે રેન્ડમ ચલો $X,\Y$ પર ઓપરેશન કર્યું, એટલે કે, અમને તેમનો સરવાળો $X+Y$ મળ્યો. ચાલો હવે રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ પર ઑપરેશન (ઉમેર, તફાવત, ગુણાકાર) ની વધુ સખત વ્યાખ્યા આપીએ અને ઉકેલોના ઉદાહરણો આપીએ.

વ્યાખ્યા 1. સતત ચલ $k$ દ્વારા રેન્ડમ ચલ $X$ નું ઉત્પાદન $kX$ એ રેન્ડમ ચલ છે જે $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ સમાન સંભાવનાઓ સાથે $kx_i$ મૂલ્યો લે છે. \બિંદુઓ,\n\જમણે)$.

વ્યાખ્યા 2. રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો (તફાવત અથવા ઉત્પાદન) $X$ અને $Y$ એ રેન્ડમ ચલ છે જે $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ અથવા $x_i\cdot y_i$) સ્વરૂપના તમામ સંભવિત મૂલ્યો લે છે. , જ્યાં $i=1 ,\ 2,\dots ,\n$, સંભાવનાઓ સાથે $p_(ij)$ કે રેન્ડમ ચલ $X$ મૂલ્ય $x_i$ લેશે, અને $Y$ મૂલ્ય $y_j$ લેશે:

$$p_(ij)=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right].$$

રેન્ડમ ચલો $X,\Y$ સ્વતંત્ર હોવાથી, સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે સંભવિતતા ગુણાકાર પ્રમેય અનુસાર: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ જમણે) = p_i\cdot p_j$.

ઉદાહરણ 3 . સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો $X,\ Y$ તેમના સંભવિત વિતરણ કાયદા દ્વારા ઉલ્લેખિત છે.

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
x_i & -8 અને 2 અને 3 \\
\hલાઇન
p_i અને 0.4 અને 0.1 અને 0.5 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
y_i અને 2 અને 8 \\
\hલાઇન
p_i અને 0.3 અને 0.7 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

ચાલો રેન્ડમ ચલ $Z=2X+Y$ ના વિતરણનો કાયદો ઘડીએ. રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો $X$ અને $Y$, એટલે કે $X+Y$, એક રેન્ડમ ચલ છે જે $x_i+y_j$ સ્વરૂપના તમામ સંભવિત મૂલ્યો લે છે, જ્યાં $i=1,\2 ,\dots ,\n$ , સંભાવનાઓ સાથે $p_(ij)$ કે રેન્ડમ ચલ $X$ મૂલ્ય $x_i$ લેશે, અને $Y$ મૂલ્ય $y_j$: $p_(ij)=P\left [\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. રેન્ડમ ચલો $X,\Y$ સ્વતંત્ર હોવાથી, સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે સંભવિતતા ગુણાકાર પ્રમેય અનુસાર: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ જમણે) = p_i\cdot p_j$.

તેથી, તેમાં અનુક્રમે $2X$ અને $Y$ રેન્ડમ ચલ માટે વિતરણ કાયદા છે.

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
x_i & -16 અને 4 અને 6 \\
\hલાઇન
p_i અને 0.4 અને 0.1 અને 0.5 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
y_i અને 2 અને 8 \\
\hલાઇન
p_i અને 0.3 અને 0.7 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

સરવાળા $Z=2X+Y$ અને તેમની સંભાવનાઓના તમામ મૂલ્યો શોધવાની સગવડતા માટે, અમે એક સહાયક કોષ્ટક બનાવીશું, જેમાંના દરેક કોષમાં અમે સરવાળા $ ના મૂલ્યો ડાબા ખૂણામાં મૂકીશું. Z=2X+Y$, અને જમણા ખૂણે - આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ રેન્ડમ ચલો $2X$ અને $Y$ના અનુરૂપ મૂલ્યોની સંભાવનાઓને ગુણાકાર કરવાના પરિણામે પ્રાપ્ત થાય છે.

પરિણામે, અમે વિતરણ મેળવીએ છીએ $Z=2X+Y$:

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
z_i & -14 અને -8 અને 6 અને 12 અને 10 અને 16 \\
\hલાઇન
p_i અને 0.12 અને 0.28 અને 0.03 અને 0.07 અને 0.15 અને 0.35 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

રેન્ડમ ઘટનાઓની અવલંબન અને સ્વતંત્રતાની વિભાવનાઓ. શરતી સંભાવના. આશ્રિત અને સ્વતંત્ર રેન્ડમ ઇવેન્ટ્સ માટે સંભાવનાઓ ઉમેરવા અને ગુણાકાર કરવા માટેના સૂત્રો. કુલ સંભાવના સૂત્ર અને બેયસ સૂત્ર.

સંભાવના ઉમેરણ પ્રમેય

ચાલો ઘટનાઓ A અને B ના સરવાળાની સંભાવના શોધીએ (તેમની સુસંગતતા અથવા અસંગતતા ધારીને).

પ્રમેય 2.1.

અસંગત ઘટનાઓની મર્યાદિત સંખ્યાના સરવાળાની સંભાવના તેમની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:

P\(A+B+\ldots+N\)=P\(A\)+P\(B\)+\ldots+P\(N\).ઉદાહરણ 1.

સ્ટોર 44 પુરુષોના જૂતાની જોડી વેચશે તેવી સંભાવના 0.12 છે; 45 મી - 0.04; 46મી અને તેથી વધુ - 0.01. ઓછામાં ઓછા 44 કદના પુરુષોના જૂતાની જોડી વેચવામાં આવશે તેવી સંભાવના શોધો.ઉકેલ.

જો 44 (ઇવેન્ટ A) અથવા 45 (ઇવેન્ટ B) અથવા ઓછામાં ઓછા 46 (ઇવેન્ટ C) ના જૂતાની જોડી વેચવામાં આવે તો જરૂરી ઇવેન્ટ D થશે, એટલે કે ઇવેન્ટ D એ ઘટના A, B, C નો સરવાળો છે. ઘટના A, B અને C અસંગત છે. તેથી, સંભાવનાઓના પ્રમેયના સરવાળા અનુસાર, આપણે મેળવીએ છીએ =0,\!17.

P\(D\)=P\(A+B+C\)=P\(A\)+P\(B\)+P\(C\)=0,\!12+0,\!04 +0,\!01ઉદાહરણ 2.

સ્ટોર 44 પુરુષોના જૂતાની જોડી વેચશે તેવી સંભાવના 0.12 છે; 45 મી - 0.04; 46મી અને તેથી વધુ - 0.01. ઓછામાં ઓછા 44 કદના પુરુષોના જૂતાની જોડી વેચવામાં આવશે તેવી સંભાવના શોધો.ઘટનાઓ "44 સાઈઝ કરતા નાના જૂતાની આગામી જોડી વેચવામાં આવશે" અને "44 સાઈઝ કરતા નાના જૂતાની જોડી વેચવામાં આવશે નહીં" વિરુદ્ધ છે. તેથી, સૂત્ર (1.2) અનુસાર, ઇચ્છિત ઘટનાની સંભાવના

P\(\overline(D)\)=1-P\(D\)=1-0,\!17=0,\!83.

કારણ કે P\(D\)=0,\!17 ઉદાહરણ 1 માં જોવા મળ્યું હતું.

સંભાવનાઓના ઉમેરાનું પ્રમેય 2.1 માત્ર અસંગત ઘટનાઓ માટે જ માન્ય છે. સંયુક્ત ઘટનાઓની સંભાવના શોધવા માટે તેનો ઉપયોગ કરવાથી ખોટા અને ક્યારેક વાહિયાત તારણો થઈ શકે છે, જે નીચેના ઉદાહરણમાં સ્પષ્ટપણે જોવા મળે છે. ઈલેક્ટ્રા લિમિટેડ દ્વારા સમયસર ઓર્ડરનો અમલ 0.7 ની સંભાવના સાથે અનુમાનિત કરીએ. ત્રણ ઓર્ડરમાંથી કંપની ઓછામાં ઓછો એક ઓર્ડર સમયસર પૂર્ણ કરે તેવી સંભાવના કેટલી છે? અમે એવી ઘટનાઓને દર્શાવીએ છીએ કે કંપની અનુક્રમે A, B, C તરીકે પ્રથમ, બીજા અને ત્રીજા ઓર્ડરને સમયસર પૂર્ણ કરશે. જો આપણે ઇચ્છિત સંભાવના શોધવા માટે સંભાવનાઓના ઉમેરાનો પ્રમેય 2.1 લાગુ કરીએ, તો આપણે મેળવીએ છીએ P\(A+B+C\)=0,\!7+0,\!7+0,\!7=2,\!1. ઘટનાની સંભાવના એક કરતા વધુ હોવાનું બહાર આવ્યું છે, જે અશક્ય છે. આ એ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવ્યું છે કે ઘટનાઓ A, B, C સંયુક્ત છે. ખરેખર, સમયસર પ્રથમ ઓર્ડર પૂરો કરવો એ સમયસર અન્ય બેની પરિપૂર્ણતાને બાકાત રાખતું નથી.

ચાલો બે સંયુક્ત ઘટનાઓના કિસ્સામાં સંભાવનાઓ ઉમેરવા માટે એક પ્રમેય ઘડીએ (તેમની સંયુક્ત ઘટનાની સંભાવનાને ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે).

પ્રમેય 2.2.

બે સંયુક્ત ઘટનાઓના સરવાળાની સંભાવના તેમની સંયુક્ત ઘટનાની સંભાવના વિના આ બે ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:

P\(A+B\)=P\(A\)+P\(B\)-P\(AB\).

આશ્રિત અને સ્વતંત્ર ઘટનાઓ. શરતી સંભાવના

આશ્રિત અને સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે. બે ઘટનાઓને સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે જો તેમાંથી એકની ઘટના બીજી ઘટનાની સંભાવનાને બદલતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જો વર્કશોપમાં બે સ્વયંસંચાલિત રેખાઓ કાર્યરત છે, જે ઉત્પાદનની સ્થિતિને કારણે એકબીજા સાથે જોડાયેલી નથી, તો પછી આ રેખાઓના સ્ટોપ્સ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.ઉદાહરણ 3.

સિક્કો બે વાર ફેંકવામાં આવે છે. પ્રથમ અજમાયશ (ઇવેન્ટ A) માં "કોટ ઓફ આર્મ્સ" દેખાવાની સંભાવના બીજી ટ્રાયલ (ઇવેન્ટ B) માં "કોટ ઓફ આર્મ્સ" ના દેખાવ અથવા બિન-દેખાવ પર આધારિત નથી. બદલામાં, બીજી કસોટીમાં "શસ્ત્રોનો કોટ" દેખાવાની સંભાવના પ્રથમ પરીક્ષણના પરિણામ પર આધારિત નથી. આમ, ઘટનાઓ A અને B સ્વતંત્ર છે. અનેક ઘટનાઓ કહેવામાં આવે છેસામૂહિક રીતે સ્વતંત્ર

, જો તેમાંના કોઈપણ અન્ય કોઈ ઘટના પર અને અન્યના કોઈપણ સંયોજન પર આધાર રાખતા નથી. ઘટનાઓ કહેવામાં આવે છે, જો તેમાંથી એક બીજાની સંભાવનાને અસર કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે ઉત્પાદન પ્લાન્ટ એક તકનીકી ચક્ર દ્વારા જોડાયેલા છે. પછી તેમાંથી એકની નિષ્ફળતાની સંભાવના બીજાની સ્થિતિ પર આધારિત છે. એક ઘટના B ની સંભાવના, બીજી ઘટના A ની ઘટનાની ધારણા પર ગણતરી કરવામાં આવે છે, કહેવાય છે શરતી સંભાવનાઘટના B અને P\(B|A\) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

ઘટના A થી ઘટના B ની સ્વતંત્રતા માટેની શરત P\(B|A\)=P\(B\) સ્વરૂપમાં લખેલી છે, અને તેની અવલંબન માટેની શરત - સ્વરૂપમાં P\(B|A\)\ne(P\(B\)). ચાલો ઘટનાની શરતી સંભાવનાની ગણતરી કરવાના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ 4.બોક્સમાં 5 કટર છે: બે પહેરેલા અને ત્રણ નવા. incisors ના બે ક્રમિક નિષ્કર્ષણ કરવામાં આવે છે. બીજા નિષ્કર્ષણ દરમિયાન પહેરવામાં આવેલા કટરની શરતી સંભાવના નક્કી કરો, જો કે પ્રથમ વખત દૂર કરાયેલ કટર બોક્સમાં પાછું ન આવે.

સ્ટોર 44 પુરુષોના જૂતાની જોડી વેચશે તેવી સંભાવના 0.12 છે; 45 મી - 0.04; 46મી અને તેથી વધુ - 0.01. ઓછામાં ઓછા 44 કદના પુરુષોના જૂતાની જોડી વેચવામાં આવશે તેવી સંભાવના શોધો.ચાલો આપણે A દ્વારા પ્રથમ કિસ્સામાં ઘસાઈ ગયેલા કટરના નિષ્કર્ષણને અને \overline(A) નવાના નિષ્કર્ષણ દ્વારા સૂચવીએ. પછી P\(A\)=\frac(2)(5), ~P\(\overline(A)\)=1-\frac(2)(5)=\frac(3)(5). દૂર કરેલ કટર બૉક્સમાં પાછું આપવામાં આવતું ન હોવાથી, પહેરેલા અને નવા કટરની માત્રા વચ્ચેનો ગુણોત્તર બદલાય છે. પરિણામે, બીજા કિસ્સામાં પહેરવામાં આવેલા કટરને દૂર કરવાની સંભાવના અગાઉ કઈ ઘટના બની હતી તેના પર નિર્ભર છે.

ચાલો ઘટના B દ્વારા દર્શાવીએ જેનો અર્થ થાય છે બીજા કિસ્સામાં પહેરેલ કટરને દૂર કરવું. આ ઘટનાની સંભાવનાઓ આ હોઈ શકે છે:

P\(B|A\)=\frac(1)(4),~~~P\(B|\overline(A)\)=\frac(2)(4)=\frac(1)(2) ).

તેથી, ઘટના B ની સંભાવના ઘટના A થાય છે કે નહીં તેના પર આધાર રાખે છે.

સંભાવના ગુણાકાર સૂત્રો

ઘટનાઓ A અને B ને સ્વતંત્ર રહેવા દો, અને આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ જાણીતી છે. ચાલો ઘટના A અને B ને સંયોજિત કરવાની સંભાવના શોધીએ.

પ્રમેય 2.3.

બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંયુક્ત ઘટનાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉત્પાદન જેટલી છે:

P\(AB\)=P\(A\)\cdot P\(B\).

કોરોલરી 2.1.

એકંદરમાં સ્વતંત્ર હોય તેવી અનેક ઘટનાઓની સંયુક્ત ઘટનાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉત્પાદન જેટલી છે: P\(A_1A_2\ldots(A_n)\)=P\(A_1\)P\(A_2\)\ldots(P\(A_n\)).

સ્ટોર 44 પુરુષોના જૂતાની જોડી વેચશે તેવી સંભાવના 0.12 છે; 45 મી - 0.04; 46મી અને તેથી વધુ - 0.01. ઓછામાં ઓછા 44 કદના પુરુષોના જૂતાની જોડી વેચવામાં આવશે તેવી સંભાવના શોધો.ઉદાહરણ 5. ત્રણ બોક્સ 10 ભાગો સમાવે છે. પ્રથમ બોક્સમાં 8 પ્રમાણભૂત ભાગો છે, બીજો - 7, અને ત્રીજો - 9. દરેક બોક્સમાંથી એક ભાગ રેન્ડમ રીતે લેવામાં આવે છે. સંભવિતતા શોધો કે બહાર કાઢવામાં આવેલા ત્રણેય ભાગો પ્રમાણભૂત હશે.. પ્રમાણભૂત ભાગ બીજા બોક્સ (ઇવેન્ટ B) માંથી લેવામાં આવ્યો હોવાની સંભાવના, P\(B\)=\frac(7)(10). ત્રીજા બોક્સ (ઇવેન્ટ C) માંથી પ્રમાણભૂત ભાગ લેવામાં આવ્યો હોવાની સંભાવના, P\(C\)=\frac(9)(10). ઘટનાઓ A, B અને C એકંદરમાં સ્વતંત્ર હોવાથી, પછી ઇચ્છિત સંભાવના (ગુણાકાર પ્રમેય દ્વારા)

P\(ABC\)=P\(A\)P\(B\)P\(C\)=\frac(4)(5)\frac(7)(10)\frac(9)(10) =0,\!504.

ઘટનાઓ A અને B ને નિર્ભર રહેવા દો, અને P\(A\) અને P\(B|A\) સંભાવનાઓ જાણીતી છે. ચાલો આપણે આ ઘટનાઓના ઉત્પાદનની સંભાવના શોધીએ, એટલે કે ઘટના A અને ઘટના B બંને દેખાશે તેવી સંભાવના.

પ્રમેય 2.4.

બે આશ્રિત ઘટનાઓની સંયુક્ત ઘટનાની સંભાવના અન્યની શરતી સંભાવના દ્વારા તેમાંથી એકની સંભાવનાના ઉત્પાદન જેટલી છે, જે ધારણા હેઠળ ગણવામાં આવે છે કે પ્રથમ ઘટના પહેલેથી જ આવી છે:

P\(AB\)=P\(A\)\cdot P\(B|A\);\qquad P\(AB\)=P\(B\)\cdot P\(A|B\)

કોરોલરી 2.2.ઘણી આશ્રિત ઘટનાઓની સંયુક્ત ઘટનાની સંભાવના તેમાંથી એકની સંભાવના અને અન્ય તમામની શરતી સંભાવનાઓના ઉત્પાદનની સમાન છે, અને દરેક અનુગામી ઘટનાની સંભાવના એ ધારણા હેઠળ ગણવામાં આવે છે કે અગાઉની બધી ઘટનાઓ પહેલેથી જ આવી છે. .

સ્ટોર 44 પુરુષોના જૂતાની જોડી વેચશે તેવી સંભાવના 0.12 છે; 45 મી - 0.04; 46મી અને તેથી વધુ - 0.01. ઓછામાં ઓછા 44 કદના પુરુષોના જૂતાની જોડી વેચવામાં આવશે તેવી સંભાવના શોધો.ઉદાહરણ 6. ભઠ્ઠીમાં 5 સફેદ દડા, 4 કાળા અને 3 વાદળી છે. દરેક કસોટીમાં એક બોલને કલગીમાં પરત કર્યા વિના રેન્ડમ પર દોરવાનો સમાવેશ થાય છે. પ્રથમ અજમાયશ (ઇવેન્ટ A) પર સફેદ બોલ, બીજા (ઇવેન્ટ B) પર કાળો દડો અને ત્રીજા (ઇવેન્ટ C) પર વાદળી બોલ દેખાશે તેવી સંભાવના શોધો.પ્રથમ અજમાયશમાં સફેદ બોલ દેખાવાની સંભાવના P\(A\)=\frac(5)(12). બીજા અજમાયશમાં કાળા બોલના દેખાવાની સંભાવના, એવી ધારણા હેઠળ ગણવામાં આવે છે કે પ્રથમ અજમાયશમાં સફેદ બોલ દેખાયો, એટલે કે શરતી સંભાવના P\(B|A\)=\frac(4)(11). ત્રીજી અજમાયશમાં વાદળી બોલના દેખાવાની સંભાવના, એવી ધારણા હેઠળ ગણવામાં આવે છે કે પ્રથમ અજમાયશમાં સફેદ દડો અને બીજામાં કાળો દડો દેખાયો,

P\(C|AB\)=\frac(3)(10)

. જરૂરી સંભાવના

P\(ABC\)=P\(A\)P\(B|A\)P\(C|AB\)=\frac(5)(12)\frac(4)(11)\frac(3) )(10). કુલ સંભાવના ફોર્મ્યુલાપ્રમેય 2.5. કુલ સંભાવના ફોર્મ્યુલા:

જો ઘટના A અસંગત ઘટનાઓના સંપૂર્ણ જૂથની રચના કરતી ઘટનાઓમાંથી એકની ઘટનાની સ્થિતિ હેઠળ જ થાય છે, તો ઘટના A ની સંભાવના દરેક ઘટનાની સંભાવનાઓના ઉત્પાદનના સરવાળા જેટલી છે.

B_1,B_2,\ldots(B_n)

ઘટનાની અનુરૂપ શરતી સંભાવના માટેએસેમ્બલી લાઇન ત્રણ મશીનોમાંથી ભાગો મેળવે છે. મશીનોની ઉત્પાદકતા સમાન નથી. પ્રથમ મશીન તમામ ભાગોના 50% ઉત્પાદન કરે છે, બીજું - 30%, અને ત્રીજું - 20%. પ્રથમ, બીજા અને ત્રીજા મશીન પર ઉત્પાદિત ભાગનો ઉપયોગ કરતી વખતે ઉચ્ચ-ગુણવત્તાવાળી એસેમ્બલીની સંભાવના અનુક્રમે 0.98, 0.95 અને 0.8 છે, એસેમ્બલી લાઇનથી બહાર આવતી એસેમ્બલી ઉચ્ચ ગુણવત્તાની છે તેની સંભાવના નક્કી કરો.

સ્ટોર 44 પુરુષોના જૂતાની જોડી વેચશે તેવી સંભાવના 0.12 છે; 45 મી - 0.04; 46મી અને તેથી વધુ - 0.01. ઓછામાં ઓછા 44 કદના પુરુષોના જૂતાની જોડી વેચવામાં આવશે તેવી સંભાવના શોધો.ચાલો એસેમ્બલ નોડની માન્યતા દર્શાવતી ઘટના A દ્વારા દર્શાવીએ;

B_1, B_2 અને B_3 - ઘટનાઓનો અર્થ છે કે ભાગો અનુક્રમે પ્રથમ, બીજા અને ત્રીજા મશીન પર બનાવવામાં આવ્યા હતા. પછી
P\(B_1\)=0,\!5;~~~~~P\(B_2\)=0,\!3;~~~~~P\(B_3\)=0,\!2;

P\(A|B_1\)=0,\!98;~~~P\(A|B_2\)=0,\!95;~~~P\(A|B_3\)=0,\!8 .

જરૂરી સંભાવના

બેઝ સૂત્ર કુલ સંભાવના ફોર્મ્યુલાઆ સૂત્રનો ઉપયોગ વ્યવહારિક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે થાય છે જ્યારે ઘટના A, કોઈપણ ઘટનાઓ સાથે મળીને દેખાય છે કુલ સંભાવના ફોર્મ્યુલા, ઘટનાઓના સંપૂર્ણ જૂથની રચના, આવી છે અને પૂર્વધારણાઓની સંભાવનાઓનું માત્રાત્મક પુન:મૂલ્યાંકન કરવું જરૂરી છે. . પ્રાયોરી (અનુભવ પહેલા) સંભાવનાઓ P\(B_1\), P\(B_2\), \ldots(P\(B_n\)) જાણીતું પશ્ચાદવર્તી (પ્રયોગ પછી) સંભાવનાઓની ગણતરી કરવી જરૂરી છે, એટલે કે, આવશ્યકપણે, તમારે શરતી સંભાવનાઓ શોધવાની જરૂર છે P\(B_1|A\), P\(B_2|A\),\ldots(P\(B_n|A\))

. પૂર્વધારણા B_j માટે, બેયસનું સૂત્ર આના જેવું દેખાય છે:

P\(B_j|A\)=\frac(P\(B_j\) P\(A|B_j\))(P\(A\)).

કુલ સંભાવના સૂત્ર (2.1) નો ઉપયોગ કરીને આ સમાનતામાં P\(A\) ને વિસ્તરણ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ

P\(B_j|A\)=\dfrac(P\(B_j\)P\(A|B_j\))(\sum\limits_(i=1)^(n)P\(B_i\)P\( A|B_i\)).ઉદાહરણ 8.