Случай, когда число уравнений m больше числа переменныхn , путем последовательного исключения неизвестных из уравнений приводится к случаюm = n илиm n . Первый случай рассмотрен ранее.
Во втором случае, когда число уравнений меньше числа неизвестных m n и уравнения независимы, выделяютсяm основных переменных и (n - m )неосновных переменных . Основными являются переменные удовлетворяющие условию: определитель, составленный из коэффициентов при этих переменных, не равен нулю. Основными могут быть различные группы переменных. Общее количество таких групп N равно числу сочетаний изn элементов поm :
Если система имеет хотя бы одну группу основных переменных, то эта система является неопределенной , то есть имеет множество решений.
Если система не имеет ни одной группы основных переменных, то система является несовместной , то есть не имеет ни одного решения.
В том случае, когда система имеет множество решений, среди них выделяют базисное решение.
Базисным
решением
называют такое решение,
в котором неосновные переменные равны
нулю. У системы имеется не более чем
базисных решений.
Решения системы делятся на допустимые инедопустимые .
Допустимыми называют такие решения, у которых значения всех переменных неотрицательны.
Если хотя бы одно значение переменной отрицательно, то решение называют недопустимым .
Пример 4.5
Найти базисные решения системы уравнений
Найдем число базисных решений
.
Итак, среди множества решений системы есть не более трех базисных. Выделим две основные переменные среди трех. Предположим, что это х 1 их 2 . Проверим определитель из коэффициентов при них
.
Так как этот определитель не равен нулю, то переменные х 1 ,х 2 являются основными.
Теперь положим, что х 3 =0. Тогда получим систему в виде
Решим ее по формулам Крамера:
,
.
Итак, первое базисное решение имеет вид
х 1 =1,х 2 =0,х 3 =0 .
Проверим теперь на принадлежность к основным переменные х 1 их 3 .
.
Получим, что х 1 их 3 - вторая группа основных переменных. Положимх 2 =0 и решим систему
,
.
Второе базисное решение имеет вид
х 1 =1,х 2 =0,х 3 =0.
Теперь проверим на принадлежность к основным переменные х 2 их 3 .
то есть переменные х 2 их 3 неосновные. Итак, всего у данной системы оказалось два базисных решения. Оба эти решения допустимые.
Условие совместности системы mлинейных уравненийcnпеременными дается с помощью понятия ранг матрицы.
Ранг матрицы – это число равное наибольшему порядку минора отличного от нуля.
Для матрицы А
минором k -ого порядка служит определитель, составленный из элементов любыхk строк иk столбцов.
Например,
Пример 2
Найти ранг матрицы
Вычислим определитель матрицы
Для этого первую строку умножим на (-4) и сложим со второй строкой, затем первую строку умножим на (-7) и сложим с третей строкой, в результате получим определитель
Т.к. строки
полученного определителя пропорциональны,
то
.
Отсюда видно, что минор 3-его порядка равен 0, а минор 2-ого порядка не равен 0.
Следовательно ранг матрицы r=2.
Расширенная матрица системы имеет вид
Теорема Кронекера - Капелли
Для того, чтобы
линейная система была совместной
необходимо и достаточно, чтобы ранг
расширенной матрицы был равен рангу
основной матрицы
.
Если
,
то система несовместна.
Для совместной системы линейных уравнений возможны три случая:
1)Если
,
то система ЛУ имеет (m-r)
линейно зависимых уравнений, их можно
исключить из системы;
2) Если
,
то система ЛУ имеет единственное решение;
3) Если
,
то система ЛУ имеет множество решений
А 21 х 1 + а 22 х 2 +...+ а 2п х п = b 2 ,
........................................
а s 1 х 1 + а s 2 х 2 +...+ а s п х п = b s .
Будем производить над ней элементарные преобразования. Для этого выпишем матрицу из коэффициентов при неизвестных системы (1) с добавлением столбца свободных членов, другими словами расширенную матрицу Ā для системы (1):
Предположим, что с помощью таких преобразований удалось привести матрицу Ā к виду:
b 22 x 2 +...+b 2 r x r +...+b 2 n x n =c 2 ,......................................
b rr x r +...+b rn x n =c r ,
которая получается из системы (1) с помощью некоторого числа элементарных преобразований и, следовательно, равносильна системе (1). Если в системе (4) r=n
, то из последнего уравнения, имеющего вид b nn x n =c n
(где b nn
≠ 0), находим единственное значение x n
, из предпоследнего уравнения – значение x n-1
(поскольку x n
уже известно) и т.д., наконец, из первого уравнения – значение x
1 . Итак, в случае) r=n
система имеет единственное решение. Если же r
Х 1 =a 1 , r +1 х r +1 +...+a 1n х n +b 1 ,
|
|
............................................
х r =a r , r +1 х r +1 +...+a r n х n +b r .
которая и является по существу общим решением системы (1).
Неизвестные х r+1, ..., х n называются свободными. Из системы (5) можно будет найти значения х1,..., х r.
Приведение матрицы Ā к виду (3) возможно только в том случае, когда исходная система уравнений (1) совместна. Если же система (1) несовместна, то такое приведение невозможно. Это обстоятельство выражается в том, что в процессе преобразований матрицы Ā в ней появляется строка, в которой все элементы равны нулю, кроме последнего. Такая строка соответствует уравнению вида:
0*х 1 +0*х 2 +...+0*х n =b ,
которому не удовлетворяют никакие значения неизвестных, так как b ≠0. В этом случае система несовместна.
В процессе приведения системы (1) к ступенчатому виду могут получаться уравнения вида 0=0. Их можно отбрасывать, так как это приводит к системе уравнений, эквивалентных прежней.
При решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя все преобразования над её строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразований матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.
Решим следующую систему уравнений с 4-мя неизвестными:
2х 1 +5х 2 +4х 3 +х 4 =20,
х 1 +3х 2 +2х 3 +х 4 =11,
2х 1 +10х 2 +9х 3 +7х 4 =40,
3х 1 +8х 2 +9х 3 +2х 4 =37.
Выпишем расширенную матрицу из коэффициентов при неизвестных с добавлением столбца свободных членов.
Произведём анализ строк расширенной матрицы:
К элементам 2-ой строки прибавим элементы 1-ой, делённые на (-2);
Из 3-ей строки вычтем 1-ю строку;
К 4-ой строке прибавим 1-ю, умноженную на (-3/2).
В качестве вычислительного средства воспользуемся инструментами программы Excel– 97 .
1. Включите компьютер.
2. Подождите пока загрузится операционная система Windows , после чего откройте окно MicrosoftExcel .
3. Заполните ячейки таблицы значениями расширенной матрицы (рис. 11.1)
Рис. 11.1 Рис. 11.2
4. Для выполнения выбранного словесного алгоритма производим следующие действия.
· Активизируйте ячейку А5 и с клавиатуры занесите в неё формулу вида =А2+А1/(-2), после чего автозаполнением занесите численные результаты в ячейки В5¸Е5;
· В ячейке А6 разместим результат вычитания 1-ой строки из 3-ей, и снова, пользуясь автозаполнением , заполним ячейки В6¸Е6;
· в ячейке А7 запишем формулу вида =А4+А1*(-3/2) и автозаполнением занесём численные результаты в ячейки В7¸Е7.
5. Снова произведём анализ строк получившихся в результате элементарных преобразований матрицы, чтобы привести её к треугольному виду.
·К 6-ой строке прибавим 5-ю, умноженную на число (-10);
·из 7-ой строки вычтем 5-ю.
Записанный алгоритм реализуем в ячейках А8, А9, после чего скроем 6 и 7 – строки (см. рис. 11.3).
Рис. 11.3 Рис. 11.4
6. И последнее, что нужно сделать, чтобы привести матрицу к треугольному виду – это к 9-ой строке прибавить 8-ю, умноженную на (-3/5), после чего скрыть 9-ю строку (рис. 11.4).
Как вы можете видеть, элементы получившейся матрицы находятся в 1, 5, 8 и 10 строках, при этом ранг получившейся матрицы r = 4, следовательно, данная система уравнений имеет единственное решение. Выпишем получившуюся систему:
2х 1 +5х 2 +4х 3 + х 4 =20,
0,5х 2 + 0,5х 4 =1,
5х 3 +х 4 =10,
Из последнего уравнения легко находим х 4 =0; из 3-го уравнения находим х 3 =2; из 2-го – х 2 =2 и из 1-го – х 1 =1 соответственно.
Задания для самостоятельной работы.
Методом Гаусса решите системы уравнений:
Лабораторная работа № 15. Нахождение корней уравнения f(x)=0
Методы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще древним грекам. Решение уравнений третьей и четвертой степеней были получены усилиями итальянских математиков Ш. Ферро, Н. Тартальи, Дж. Картано, Л. Феррари в эпоху Возрождения. Затем наступила пора поиска формул для нахождения корней уравнений пятой и более высоких степеней. Настойчивые, но безрезультатные попытки продолжались около 300 лет и завершились в 20-х годах ХХ1Х века благодаря работам норвежского математика Н. Абеля. Он доказал, что общее уравне6ие пятой и более высоких степеней неразрешимы в радикалах. Решение общего уравнения n-ой степени
a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n =0, a 0 ¹0 (1)
при n³5 нельзя выразить через коэффициенты с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.
Для неалгебраических уравнений типа
х–cos(x)=0 (2)
задача еще более усложняется. В этом случае найти для корней явные выражения, за редким случаем не удается.
В условиях, когда формулы «не работают», когда рассчитывать на них можно только в самых простейших случаях, особое значение приобретают универсальные вычислительные алгоритмы. Известен целый ряд алгоритмов, позволяющих решить рассматриваемую задачу.
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Уравнения с четырьмя неизвестными может иметь множество вариантов решения. В математике довольно часто приходится сталкиваться с уравнениями такого вида. Чтобы правильно решить такие уравнения необходимо пользоваться всеми особенностями уравнений с целью упрощения и сокращения его решения.
Разберем решение следующего примера:
Выполнив сложение первого и второго уравнения по частям, можно получить весьма простое уравнение:
\ или \
Выполним аналогичные действия со 2 и 3 уравнением:
\ или \
Решаем полученные уравнения \ и \
Получаем \ и \
Полученные числа подставляем в 1 и 3 уравнение:
\ или \
\ или \
Замена этих чисел по второму и четвертому уравнениям даст точно такие же уравнения.
Но это еще не все, поскольку осталось решить 2 равнения с 2 неизвестными. Решение данного типа уравнений вы можете посмотреть в статьях здесь.
Где можно решить уравнение с четырьмя неизвестными онлайн?
Решить уравнение с неизвестными онлайн вы можете на сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
