10 gudrybių, kaip išspręsti kvadratinę lygtį. Mokslinis darbas „10 kvadratinių lygčių sprendimo būdų“

skaidrė 1

skaidrė 2

skaidrė 3

skaidrė 4

skaidrė 5

skaidrė 6

7 skaidrė

8 skaidrė

9 skaidrė

skaidrė 10

skaidrė 11

skaidrė 12

skaidrė 13

skaidrė 14

skaidrė 15

skaidrė 16

skaidrė 17

Mokykliniame matematikos kurse tiriamos kvadratinių lygčių šaknų formulės, kurių pagalba galima išspręsti bet kokias kvadratines lygtis. Tačiau yra ir kitų kvadratinių lygčių sprendimo būdų, kurie leidžia labai greitai ir racionaliai išspręsti daugelį lygčių. Yra dešimt kvadratinių lygčių sprendimo būdų. Savo darbe kiekvieną iš jų detaliai išanalizavau.

1. METODAS : Kairiosios lygties pusės faktorizavimas.

Išspręskime lygtį

x 2 + 10x - 24 = 0.

Išskaidykime kairę pusę:

x 2 + 10x - 24 \u003d x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

Todėl lygtį galima perrašyti taip:

(x + 12) (x - 2) = 0

Kadangi sandauga lygi nuliui, tai bent vienas jo faktorius yra lygus nuliui. Todėl kairioji lygties pusė išnyksta ties x = 2, taip pat adresu x = - 12. Tai reiškia, kad skaičius 2 Ir - 12 yra lygties šaknys x 2 + 10x - 24 = 0.

2. METODAS : Viso kvadrato pasirinkimo metodas.

Išspręskime lygtį x 2 + 6x - 7 = 0.

Pažymime visą kvadratą kairėje pusėje.

Norėdami tai padaryti, užrašome išraišką x 2 + 6x tokia forma:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

Gautoje išraiškoje pirmasis narys yra skaičiaus x kvadratas, o antrasis yra dviguba x sandauga iš 3. Todėl norint gauti visą kvadratą, reikia pridėti 3 2, nes

x 2+ 2 x 3 + 3 2 \u003d (x + 3) 2.

Dabar transformuojame kairę lygties pusę

x 2 + 6x - 7 = 0,

pridėjus prie jo ir atimant 3 2 . Mes turime:

x 2 + 6x - 7 = x 2+ 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Taigi šią lygtį galima parašyti taip:

(x + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 = 16.

Vadinasi, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 arba x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METODAS :Kvadratinių lygčių sprendimas pagal formulę.

Padauginkite abi lygties puses

ah 2+bx + c = 0, a ≠ 0

4a ir iš eilės turime:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2axb + b 2 ) - b 2 + 4 ak = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b \u003d ± √ b 2 - 4ac,

2ax \u003d - b ± √ b 2 - 4ac,

Pavyzdžiai.

A) Išspręskime lygtį: 4x2 + 7x + 3 = 0.

a = 4,b= 7, c = 3,D = b 2 - 4 ak = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, dvi skirtingos šaknys;

Taigi, esant pozityviam diskriminantui, t.y. adresu

b 2 - 4 ak >0 , lygtis ah 2+bx + c = 0 turi dvi skirtingas šaknis.

b) Išspręskime lygtį: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4,b= - 4, c = 1,D = b 2 - 4 ak = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, viena šaknis;

Taigi, jei diskriminantas lygus nuliui, t.y. b 2 - 4 ak = 0 , tada lygtis

ah 2+bx + c = 0 turi vieną šaknį

V) Išspręskime lygtį: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2,b= 3, c = 4,D = b 2 - 4 ak = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Ši lygtis neturi šaknų.

Taigi, jei diskriminantas yra neigiamas, t.y. b 2 - 4 ak < 0 ,

lygtis ah 2+bx + c = 0 neturi šaknų.

Kvadratinės lygties šaknų (1) formulė ah 2+bx + c = 0 leidžia rasti šaknis bet koks kvadratinė lygtis (jei yra), įskaitant sumažintą ir neišsamią. 1 formulė žodžiu išreiškiama taip: kvadratinės lygties šaknys yra lygios trupmenai, kurios skaitiklis yra lygus antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, plius atėmus šio koeficiento kvadrato kvadratinę šaknį, pirmojo koeficiento sandaugą nepadauginus laisvuoju nariu, o vardiklis yra du kartus didesnis už pirmąjį koeficientą.

4. METODAS: Lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą.

Kaip žinoma, duota kvadratinė lygtis turi formą

x 2+px + c = 0. (1)

Jo šaknys tenkina Vieta teoremą, kuri, kada a =1 turi formą

x 1 + x 2 = - p

Iš to galime padaryti tokias išvadas (šaknų ženklus galima nuspėti iš koeficientų p ir q).

a) Jei apibendrintas terminas q redukuotos lygties (1) yra teigiamas ( q > 0 ), tada lygtis turi dvi to paties ženklo šaknis ir tai yra antrojo koeficiento pavydas p. Jeigu R< 0 , tada abi šaknys yra neigiamos, jei R< 0 , tada abi šaknys yra teigiamos.

Pavyzdžiui,

x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 Ir x 2 = 1, nes q = 2 > 0 Ir p = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 Ir x 2 = - 1, nes q = 7 > 0 Ir p= 8 > 0.

b) Jei laisvas narys q redukuotos lygties (1) yra neigiamas ( q < 0 ), tada lygtis turi dvi skirtingo ženklo šaknis, o didesnė absoliučios vertės šaknis bus teigiama, jei p < 0 , arba neigiamas, jei p > 0 .

Pavyzdžiui,

x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 Ir x 2 = 1, nes q= - 5 < 0 Ir p = 4 > 0;

x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 Ir x 2 = - 1, nes q = - 9 < 0 Ir p = - 8 < 0.

5. METODAS: Lygčių sprendimas „perkėlimo“ metodu.

Apsvarstykite kvadratinę lygtį

ah 2+bx + c = 0, Kur a ≠ 0.

Abi jo dalis padauginę iš a, gauname lygtį

a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Leisti ah = y, kur x = y/a; tada prieiname prie lygties

y 2+pateikė+ ac = 0,

lygiavertis šiam. jo šaknys 1 Ir adresu 2 galima rasti naudojant Vietos teoremą.

Pagaliau gauname

x 1 \u003d y 1 / a Ir x 1 \u003d y 2 / a.

Taikant šį metodą, koeficientas A dauginamas iš laisvojo termino, tarsi jam „įmestas“, todėl vadinamas perdavimo būdas. Šis metodas naudojamas, kai lengva rasti lygties šaknis naudojant Vietos teoremą ir, svarbiausia, kai diskriminantas yra tikslus kvadratas.

Pavyzdys.

Išspręskime lygtį 2x 2 - 11x + 15 = 0.

Sprendimas. Koeficientą 2 „perkelkime“ į laisvąjį terminą, kaip rezultatas, gauname lygtį

y 2 - 11m + 30 = 0.

Pagal Vietos teoremą

y 2 = 6x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Atsakymas: 2,5; 3.

6. METODAS: Kvadratinės lygties koeficientų savybės.

A. Tegu kvadratinė lygtis

ah 2+bx + c = 0, Kur a ≠ 0.

1) Jei, a+b+ c \u003d 0 (t. y. koeficientų suma lygi nuliui), tada x 1 \u003d 1,

x 2 \u003d s/a.

Įrodymas. Abi lygties puses padalijame iš ≠ 0, gauname sumažintą kvadratinę lygtį

x 2 + b/ a x + c/ a = 0.

x 1 + x 2 = - b/ a,

x 1 x 2 = 1 c/ a.

Pagal sąlygą A -b+ c = 0, kur b= a + c. Taigi,

x 1 x 2 \u003d - 1 (- c / a),

tie. x 1 = -1 Ir x 2 =c/ a, kurią mums reikėjo įrodyti.

Pavyzdžiai.

1) Išspręskite lygtį 345 x 2 – 137 x 208 = 0.

Sprendimas. Nes +b+ c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), Tai

x 1 = 1, x 2 =c/ a = -208/345.

Atsakymas: 1; -208/345.

2) Išspręskite lygtį 132x 2 – 247x + 115 = 0.

Sprendimas. Nes +b+ c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), Tai

x 1 = 1, x 2 =c/ a = 115/132.

Atsakymas: 1; 115/132.

B. Jei antrasis koeficientas b = 2 k yra lyginis skaičius, tada šaknų formulė

Pavyzdys.

Išspręskime lygtį 3x2 – 14x + 16 = 0.

Sprendimas. Mes turime: a = 3,b= - 14, c = 16,k = - 7 ;

D = k 2 – ak = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, dvi skirtingos šaknys;

Kopievskajos kaimo vidurinė mokykla

10 kvadratinių lygčių sprendimo būdų

Vadovas: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

matematikos mokytojas

s.Kopyevo, 2007 m

1. Kvadratinių lygčių raidos istorija

1.1 Kvadratinės lygtys senovės Babilone

1.2 Kaip Diofantas sudarė ir išsprendė kvadratines lygtis

1.3 Kvadratinės lygtys Indijoje

1.4 Kvadratinės lygtys al-Khwarizmi

1.5 Kvadratinės lygtys Europoje XIII – XVII a

1.6 Apie Vietos teoremą

2. Kvadratinių lygčių sprendimo metodai

Išvada

Literatūra

1. Kvadratinių lygčių raidos istorija

1.1 Kvadratinės lygtys senovės Babilone

Poreikį spręsti ne tik pirmojo, bet ir antrojo laipsnio lygtis senovėje lėmė poreikis spręsti problemas, susijusias su karinio pobūdžio žemės plotų ir žemės darbų suradimu, astronomijos raida ir pati matematika. Kvadratinės lygtys sugebėjo išspręsti apie 2000 m. e. babiloniečiai.

Taikant šiuolaikinį algebrinį žymėjimą, galima teigti, kad jų dantiraščio tekstuose, be nepilnų, yra, pavyzdžiui, pilnosios kvadratinės lygtys:

X2 + X= ¾; X2 - X= 14,5

Šių lygčių sprendimo taisyklė, nurodyta babiloniečių tekstuose, iš esmės sutampa su šiuolaikine, tačiau nežinoma, kaip babiloniečiai priėjo prie šios taisyklės. Beveik visuose iki šiol rastuose dantiraščio tekstuose pateikiamos tik receptų forma pateiktų sprendimų problemos, nenurodant, kaip jie buvo rasti.

Nepaisant aukšto algebros išsivystymo lygio Babilone, dantiraščio tekstuose trūksta neigiamo skaičiaus sampratos ir bendrų kvadratinių lygčių sprendimo metodų.

1.2 Kaip Diofantas sudarė ir išsprendė kvadratines lygtis.

Diofanto aritmetikoje nėra sistemingo algebros aprašymo, tačiau joje yra sistemingų uždavinių, lydimų paaiškinimų ir išspręstų sudaryti įvairaus laipsnio lygtis.

Rengdamas lygtis, Diofantas sumaniai pasirenka nežinomuosius, kad supaprastintų sprendimą.

Štai, pavyzdžiui, viena iš jo užduočių.

11 užduotis.„Rasti du skaičius žinant, kad jų suma yra 20, o sandauga yra 96“

Diofantas teigia taip: iš uždavinio sąlygos išplaukia, kad norimi skaičiai nėra lygūs, nes jei jie būtų lygūs, tada jų sandauga būtų ne 96, o 100. Taigi vienas iš jų bus daugiau nei pusė jų skaičiaus. suma, t.y. 10+x, kitas yra mažesnis, t.y. 10-ųjų. Skirtumas tarp jų 2x.

Taigi lygtis:

(10 + x) (10 - x) = 96

100-ųjų 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

Iš čia x = 2. Vienas iš norimų skaičių yra 12 , kitas 8 . Sprendimas x = -2 nes Diofanto nėra, nes graikų matematika žinojo tik teigiamus skaičius.

Jei šią problemą išspręsime pasirinkę vieną iš norimų skaičių kaip nežinomą, tada prieisime prie lygties sprendimo

y(20 - y) = 96,

adresu2 – 20 m. + 96 = 0. (2)

Akivaizdu, kad Diofantas supaprastina sprendimą, pasirinkdamas norimų skaičių pusę skirtumo kaip nežinomą; jam pavyksta problemą redukuoti iki nepilnos kvadratinės lygties (1) sprendimo.

1.3 Kvadratinės lygtys Indijoje

Kvadratinių lygčių problemos jau randamos astronominiame trakte „Aryabhattam“, kurį 499 m. sudarė Indijos matematikas ir astronomas Aryabhatta. Kitas indų mokslininkas Brahmagupta (VII a.) išdėstė bendrą kvadratinių lygčių sprendimo taisyklę, sumažintą iki vienos kanoninės formos:

Oi2 + bx = c, a > 0. (1)

(1) lygtyje koeficientai, išskyrus A, taip pat gali būti neigiamas. Brahmaguptos taisyklė iš esmės sutampa su mūsų.

Senovės Indijoje vieši konkursai sprendžiant sudėtingas problemas buvo įprasti. Vienoje iš senų indų knygų apie tokias varžybas rašoma taip: „Kaip saulė savo spindesiu pranoksta žvaigždes, taip išmokęs žmogus pranoksta kito šlovę viešuose susirinkimuose, siūlydamas ir spręsdamas algebrines problemas“. Užduotys dažnai būdavo aprengiamos poetine forma.

Čia yra viena iš garsaus XII amžiaus Indijos matematiko problemų. Bhaskara.

13 užduotis.

„Švelnus beždžionių pulkas ir dvylika vynmedžių...

Suvalgę jėgų, linksminomės. Jie pradėjo šokinėti, kabėti ...

Aštunta jų dalis aikštėje Kiek ten buvo beždžionių,

Pasilinksminimai pievoje. Pasakyk man, šitame pulke?

Bhaskaros sprendimas rodo, kad jis žinojo apie kvadratinių lygčių šaknų dvireikšmes (3 pav.).

13 uždavinį atitinkanti lygtis yra tokia:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara rašo prisidengdamas:

X2 - 64x = -768

ir, norėdamas užpildyti kairę šios lygties pusę iki kvadrato, jis prideda prie abiejų pusių 32 2 , gaunu tada:

X2 - 64x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32)2 = 256,

x – 32 = ± 16,

X1 = 16, x2 = 48.

1.4 Kvadratinės lygtys al-Khorezmi

Al-Khorezmi algebrinis traktatas pateikia tiesinių ir kvadratinių lygčių klasifikaciją. Autorius išvardija 6 lygčių tipus, jas išreikšdamas taip:

1) „Kvadratai lygūs šaknims“, t.y. Oi2 + su =bX.

2) „Kvadratai lygūs skaičiui“, t.y. Oi2 = s.

3) „Šaknys lygios skaičiui“, t.y. ah = s.

4) „Kvadratai ir skaičiai lygūs šaknims“, t.y. Oi2 + su =bX.

5) „Kvadratai ir šaknys lygūs skaičiui“, t.y. Oi2 + bx= s.

6) „Šaknys ir skaičiai lygūs kvadratams“, t.y.bx+ c = kirvis2 .

Al-Khwarizmi, kuris vengė naudoti neigiamus skaičius, kiekvienos iš šių lygčių sąlygos yra sudėjimai, o ne atimtys. Šiuo atveju akivaizdžiai neatsižvelgiama į lygtis, kurios neturi teigiamų sprendimų. Autorius pateikia šių lygčių sprendimo būdus, naudodamas al-jabr ir al-muqabala metodus. Jo sprendimai, žinoma, ne visiškai sutampa su mūsų. Jau nekalbant apie tai, kad tai yra grynai retorinė, reikia pažymėti, kad, pavyzdžiui, sprendžiant nepilną pirmojo tipo kvadratinę lygtį

al-Khorezmi, kaip ir visi matematikai iki XVII amžiaus, neatsižvelgia į nulinį sprendimą, tikriausiai todėl, kad jis neturi reikšmės konkrečiose praktinėse problemose. Spręsdamas visas kvadratines lygtis, al-Khorezmi nustato sprendimo taisykles, o tada geometrinius įrodymus, naudodamas tam tikrus skaitinius pavyzdžius.

14 užduotis.„Kvadratas ir skaičius 21 yra lygūs 10 šaknų. Rasti šaknį" (darant prielaidą, kad x lygties šaknis2 + 21 = 10x).

Autoriaus sprendimas skamba maždaug taip: šaknų skaičių padalinkite per pusę, gausite 5, 5 padauginkite iš savęs, iš sandaugos atimkite 21, lieka 4. Paimkite šaknį iš 4, gausite 2. Iš 5 atimkite 2, jūs gauti 3, tai bus norima šaknis. Arba pridėkite 2 prie 5, o tai duos 7, tai taip pat yra šaknis.

Traktatas al - Khorezmi yra pirmoji mūsų knyga, kurioje sistemingai išdėstyta kvadratinių lygčių klasifikacija ir pateiktos jų sprendimo formulės.

1.5 Kvadratinės lygtys EuropojeXIII- XVIIšimtmečius

Kvadratinių lygčių sprendimo formulės pagal al Khorezmi modelį Europoje pirmą kartą buvo pateiktos „Abako knygoje“, kurią 1202 m. parašė italų matematikas Leonardo Fibonacci. Šis didelės apimties kūrinys, atspindintis tiek islamo šalių, tiek senovės Graikijos matematikos įtaką, išsiskiria tiek išsamumu, tiek pateikimo aiškumu. Autorius savarankiškai sukūrė keletą naujų algebrinių problemų sprendimo pavyzdžių ir pirmasis Europoje pradėjo taikyti neigiamus skaičius. Jo knyga prisidėjo prie algebrinių žinių sklaidos ne tik Italijoje, bet ir Vokietijoje, Prancūzijoje bei kitose Europos šalyse. Daugelis užduočių iš „Abako knygos“ perėjo į beveik visus XVI – XVII a. Europos vadovėlius. ir iš dalies XVIII.

PUSLAPIO LŪŽIS--

Bendra kvadratinių lygčių sprendimo taisyklė, sumažinta iki vienos kanoninės formos:

X2 + bx= su,

visoms galimoms koeficientų ženklų kombinacijoms b, Su Europoje suformulavo tik 1544 m. M. Stiefel.

Vieta turi bendrą kvadratinės lygties sprendimo formulės išvestį, tačiau Vieta atpažino tik teigiamas šaknis. Italų matematikai Tartaglia, Cardano, Bombelli buvo vieni pirmųjų XVI a. Atsižvelkite į teigiamas ir neigiamas šaknis. Tik XVII a. Girardo, Dekarto, Niutono ir kitų mokslininkų darbo dėka kvadratinių lygčių sprendimo būdas įgauna šiuolaikišką išvaizdą.

1.6 Apie Vietos teoremą

Teoremą, išreiškiančią ryšį tarp kvadratinės lygties koeficientų ir jos šaknų, pavadintą Vieta, jis pirmą kartą suformulavo 1591 m. taip: „Jeigu B+ D padaugintas iš A- A2 , lygus BD, Tai A lygus IN ir lygus D».

Norint suprasti Vietą, reikia tai atsiminti A, kaip ir bet kuris balsis, jam reiškė nežinomybę (mūsų X), balsiai IN,D- nežinomybės koeficientai. Šiuolaikinės algebros kalba aukščiau pateikta Vietos formuluotė reiškia: jeigu

(+b)x - x2 = ab,

X2 - (+b)x + ab= 0,

X1 = a, x2 = b.

Išreikšdamas ryšį tarp lygčių šaknų ir koeficientų bendromis formulėmis, parašytomis simboliais, Vietas nustatė lygčių sprendimo metodų vienodumą. Tačiau Vietos simbolika dar toli nuo šiuolaikinės formos. Jis nepripažino neigiamų skaičių, todėl spręsdamas lygtis nagrinėjo tik tuos atvejus, kai visos šaknys yra teigiamos.

2. Kvadratinių lygčių sprendimo metodai

Kvadratinės lygtys yra pagrindas, ant kurio remiasi didingas algebros statinys. Kvadratinės lygtys plačiai naudojamos sprendžiant trigonometrines, eksponentines, logaritmines, iracionaliąsias ir transcendentines lygtis bei nelygybes. Mes visi žinome, kaip spręsti kvadratines lygtis nuo mokyklos (8 klasės) iki baigimo.

Mokykliniame matematikos kurse tiriamos kvadratinių lygčių šaknų formulės, kurių pagalba galima išspręsti bet kokias kvadratines lygtis. Tačiau yra ir kitų kvadratinių lygčių sprendimo būdų, kurie leidžia labai greitai ir racionaliai išspręsti daugelį lygčių. Yra dešimt kvadratinių lygčių sprendimo būdų. Savo darbe kiekvieną iš jų detaliai išanalizavau.

1. METODAS : Kairiosios lygties pusės faktorizavimas.

Išspręskime lygtį

X2 + 10x - 24 = 0.

Išskaidykime kairę pusę:

X2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

Todėl lygtį galima perrašyti taip:

(x + 12) (x - 2) = 0

Kadangi sandauga lygi nuliui, tai bent vienas jo faktorius yra lygus nuliui. Todėl kairioji lygties pusė išnyksta ties x = 2, taip pat adresu x = - 12. Tai reiškia, kad skaičius 2 Ir - 12 yra lygties šaknys X2 + 10x - 24 = 0.

2. METODAS : Viso kvadrato pasirinkimo metodas.

Išspręskime lygtį X2 + 6x - 7 = 0.

Pažymime visą kvadratą kairėje pusėje.

Norėdami tai padaryti, užrašome išraišką x2 + 6x tokia forma:

X2 + 6x = x2 + 2x3.

Gautoje išraiškoje pirmasis narys yra skaičiaus x kvadratas, o antrasis yra dviguba x sandauga iš 3. Todėl norint gauti visą kvadratą, reikia pridėti 32, nes

x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2 .

Dabar transformuojame kairę lygties pusę

X2 + 6x - 7 = 0,

pridedant prie jo ir atimant 32. Turime:

X2 + 6x - 7 = x2 + 2 x 3 + 32 - 3 2 – 7 = (x + 3)2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16.

Taigi šią lygtį galima parašyti taip:

(x + 3)2 – 16 = 0, (x + 3)2 = 16.

Vadinasi, x + 3 - 4 = 0, x1 = 1 arba x + 3 = -4, x2 = -7.

3. METODAS :Kvadratinių lygčių sprendimas pagal formulę.

Padauginkite abi lygties puses

Oi2 + bx + c = 0, a ≠ 0

4a ir iš eilės turime:

4a2 X2 + 4abx + 4ac = 0,

((2h)2 + 2axb+ b2 ) - b2 + 4 ak= 0,

(2ax+b)2 = b2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b2 - 4ac,

Pavyzdžiai.

A) Išspręskime lygtį: 4x2 + 7x + 3 = 0.

a = 4,b= 7, c = 3,D= b2 - 4 ak= 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D> 0, dvi skirtingos šaknys;

Taigi, esant pozityviam diskriminantui, t.y. adresu

b2 - 4 ak>0 , lygtis Oi2 + bx + c = 0 turi dvi skirtingas šaknis.

b) Išspręskime lygtį: 4x2 - 4x + 1 = 0,

a = 4,b= - 4, c = 1,D= b2 - 4 ak= (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D= 0, viena šaknis;

Taigi, jei diskriminantas lygus nuliui, t.y. b2 - 4 ak= 0 , tada lygtis

Oi2 + bx + c = 0 turi vieną šaknį

V) Išspręskime lygtį: 2x2 + 3x + 4 = 0,

a = 2,b= 3, c = 4,D= b2 - 4 ak= 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Tęsinys
--PUSLAPIO LŪŽIS--

Ši lygtis neturi šaknų.

Taigi, jei diskriminantas yra neigiamas, t.y. b2 - 4 ak< 0 ,

lygtis Oi2 + bx + c = 0 neturi šaknų.

Kvadratinės lygties šaknų (1) formulė Oi2 + bx + c = 0 leidžia rasti šaknis bet koks kvadratinė lygtis (jei yra), įskaitant sumažintą ir neišsamią. 1 formulė žodžiu išreiškiama taip: kvadratinės lygties šaknys yra lygios trupmenai, kurios skaitiklis yra lygus antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, plius atėmus šio koeficiento kvadrato kvadratinę šaknį, pirmojo koeficiento sandaugą nepadauginus laisvuoju nariu, o vardiklis yra du kartus didesnis už pirmąjį koeficientą.

4. METODAS: Lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą.

Kaip žinoma, duota kvadratinė lygtis turi formą

X2 + px+ c= 0. (1)

Jo šaknys tenkina Vieta teoremą, kuri, kada a =1 turi formą

/>x1 x2 = q,

x1 + x2 = - p

Iš to galime padaryti tokias išvadas (šaknų ženklus galima nuspėti iš koeficientų p ir q).

a) Jei apibendrintas terminas q redukuotos lygties (1) yra teigiamas ( q> 0 ), tada lygtis turi dvi to paties ženklo šaknis ir tai yra antrojo koeficiento pavydas p. Jeigu R< 0 , tada abi šaknys yra neigiamos, jei R< 0 , tada abi šaknys yra teigiamos.

Pavyzdžiui,

x2 – 3 x+ 2 = 0; x1 = 2 Ir x2 = 1, nes q= 2 > 0 Ir p= - 3 < 0;

x2 + 8 x+ 7 = 0; x1 = - 7 Ir x2 = - 1, nes q= 7 > 0 Ir p= 8 > 0.

b) Jei laisvas narys q redukuotos lygties (1) yra neigiamas ( q< 0 ), tada lygtis turi dvi skirtingo ženklo šaknis, o didesnė absoliučios vertės šaknis bus teigiama, jei p< 0 , arba neigiamas, jei p> 0 .

Pavyzdžiui,

x2 + 4 x– 5 = 0; x1 = - 5 Ir x2 = 1, nes q= - 5 < 0 Ir p= 4 > 0;

x2 – 8 x– 9 = 0; x1 = 9 Ir x2 = - 1, nes q= - 9 < 0 Ir p= - 8 < 0.

5. METODAS: Lygčių sprendimas „perkėlimo“ metodu.

Apsvarstykite kvadratinę lygtį

Oi2 + bx + c = 0, Kur a ≠ 0.

Abi jo dalis padauginę iš a, gauname lygtį

A2 X2 + abx + ac = 0.

Leisti ah = y, kur x = y/a; tada prieiname prie lygties

adresu2 + pateikė+ ac = 0,

lygiavertis šiam. jo šaknys adresu1 Ir adresu 2 galima rasti naudojant Vietos teoremą.

Pagaliau gauname

X1 = y1 /A Ir X1 = y2 /A.

Taikant šį metodą, koeficientas A dauginamas iš laisvojo termino, tarsi jam „įmestas“, todėl vadinamas perdavimo būdas. Šis metodas naudojamas, kai lengva rasti lygties šaknis naudojant Vietos teoremą ir, svarbiausia, kai diskriminantas yra tikslus kvadratas.

Pavyzdys.

Išspręskime lygtį 2x2 – 11x + 15 = 0.

Sprendimas. Koeficientą 2 „perkelkime“ į laisvąjį terminą, kaip rezultatas, gauname lygtį

adresu2 – 11m + 30 = 0.

Pagal Vietos teoremą

/>/>/>/>/>adresu1 = 5 x1 = 5/2 x1 = 2,5

adresu2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.

Atsakymas: 2,5; 3.

6. METODAS: Kvadratinės lygties koeficientų savybės.

A. Tegu kvadratinė lygtis

Oi2 + bx + c = 0, Kur a ≠ 0.

1) Jei, a+b+ c = 0 (t. y. koeficientų suma lygi nuliui), tada x1 = 1,

X2 = s/a.

Įrodymas. Abi lygties puses padalijame iš ≠ 0, gauname sumažintą kvadratinę lygtį

x2 + b/ a x+ c/ a= 0.

/>Pagal Vietos teoremą

x1 + x2 = - b/ a,

x1 x2 = 1 c/ a.

Pagal sąlygą A -b+ c = 0, kur b= a + c. Taigi,

/>x1 + x2 = - A+ b / a \u003d -1 - c / a,

x1 x2 = - 1 (-c/a),

tie. X1 = -1 Ir X2 = c/ a, kurią mums reikėjo įrodyti.

Pavyzdžiai.

Išspręskime lygtį 345x2 - 137x - 208 = 0.

Sprendimas. Nes +b+ c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), Tai

X1 = 1, x2 = c/ a= -208/345.

Atsakymas: 1; -208/345.

2) Išspręskite lygtį 132x2 – 247x + 115 = 0.

Sprendimas. Nes +b+ c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), Tai

X1 = 1, x2 = c/ a= 115/132.

Atsakymas: 1; 115/132.

B. Jei antrasis koeficientas b= 2 k yra lyginis skaičius, tada šaknų formulė

Tęsinys
--PUSLAPIO LŪŽIS--

Pavyzdys.

Išspręskime lygtį 3x2 – 14x + 16 = 0.

Sprendimas. Mes turime: a = 3,b= - 14, c = 16,k= - 7 ;

D= k2 – ak= (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D> 0, dvi skirtingos šaknys;

Atsakymas: 2; 8/3

IN. Sumažinta lygtis

X2 +px+q= 0

sutampa su bendrąja lygtimi, kurioje a = 1, b= p Ir c =q. Todėl sumažintai kvadratinei lygčiai – šaknų formulė

įgauna formą:

Formulę (3) ypač patogu naudoti, kai R- lyginis skaičius.

Pavyzdys. Išspręskime lygtį X2 – 14x – 15 = 0.

Sprendimas. Mes turime: X1,2 =7±

Atsakymas: x1 = 15; X2 = -1.

7. METODAS: Grafinis kvadratinės lygties sprendimas.

Jei lygtyje

X2 + px+ q= 0

perkelkite antrąjį ir trečiąjį terminus į dešinę pusę, gauname

X2 = - px- q.

Sukurkime priklausomybės grafikus y \u003d x2 ir y \u003d - px - q.

Pirmosios priklausomybės grafikas yra parabolė, einanti per pradžią. Antrosios priklausomybės grafikas -

tiesi linija (1 pav.). Galimi šie atvejai:

Tiesė ir parabolė gali susikirsti dviejuose taškuose, susikirtimo taškų abscisės yra kvadratinės lygties šaknys;

Tiesė ir parabolė gali liestis (tik vienas bendras taškas), t.y. lygtis turi vieną sprendinį;

Tiesė ir parabolė neturi bendrų taškų, t.y. kvadratinė lygtis neturi šaknų.

Pavyzdžiai.

1) Išspręskime lygtį grafiškai X2 - 3x - 4 = 0(2 pav.).

Sprendimas. Rašome lygtį į formą X2 = 3x + 4.

Pastatykime parabolę y = x2 ir tiesioginis y = 3x + 4. tiesioginis

y = 3x + 4 galima statyti iš dviejų taškų M (0; 4) Ir

N(3; 13) . Tiesė ir parabolė susikerta dviejuose taškuose

A Ir IN su abscisėmis X1 = - 1 Ir X2 = 4 . Atsakymas : X1 = - 1;

X2 = 4.

2) Išspręskime lygtį grafiškai (3 pav.) X2 - 2x + 1 = 0.

Sprendimas. Rašome lygtį į formą X2 = 2x - 1.

Pastatykime parabolę y = x2 ir tiesioginis y = 2x - 1.

tiesioginis y = 2x - 1 remtis dviem taškais M (0; – 1)

Ir N(1/2; 0) . Tiesė ir parabolė susikerta taške A Su

abscisė x = 1. Atsakymas: x = 1.

3) Išspręskime lygtį grafiškai X2 - 2x + 5 = 0(4 pav.).

Sprendimas. Rašome lygtį į formą X2 = 5x - 5. Pastatykime parabolę y = x2 ir tiesioginis y = 2x - 5. tiesioginis y = 2x - 5 konstruoti iš dviejų taškų M(0; - 5) ir N(2,5; 0). Tiesė ir parabolė neturi susikirtimo taškų, t.y. Ši lygtis neturi šaknų.

Atsakymas. Lygtis X2 - 2x + 5 = 0 neturi šaknų.

8. METODAS: Kvadratinių lygčių sprendimas kompasu ir tiesiuoju.

Grafinis kvadratinių lygčių sprendimo būdas naudojant parabolę yra nepatogus. Jei kuriate parabolę taškas po taško, tai užtrunka daug laiko, o gautų rezultatų tikslumo laipsnis yra mažas.

Siūlau tokį kvadratinės lygties šaknų nustatymo metodą Oi2 + bx + c = 0 naudojant kompasą ir liniuotę (5 pav.).

Tarkime, kad norimas apskritimas kerta ašį

abscisė taškais B(x1 ; 0) Ir D(X2 ; 0), Kur X1 Ir X2 - lygties šaknys Oi2 + bx + c = 0, ir eina per taškus

A(0; 1) Ir C(0;c/ a) y ašyje. Tada pagal sekantinę teoremą turime OB OD= OA OC, kur OC= OB OD/ OA= x1 X2 / 1 = c/ a.

Apskritimo centras yra statmenų susikirtimo taške SF Ir SK, atkurtas akordų vidurio taškuose AC Ir BD, Štai kodėl

1) sukonstruoti taškus (apskritimo centrą) ir A(0; 1) ;

2) nubrėžkite apskritimą su spinduliu SA;

3) šio apskritimo susikirtimo su ašimi taškų abscisės Oi yra pradinės kvadratinės lygties šaknys.

Šiuo atveju galimi trys atvejai.

1) Apskritimo spindulys yra didesnis už centro ordinates (AS> SK, arbaR> a+ c/2 a) , apskritimas kerta x ašį dviejuose taškuose (6 pav., a) B(x1 ; 0) Ir D(X2 ; 0) , Kur X1 Ir X2 - kvadratinės lygties šaknys Oi2 + bx + c = 0.

2) Apskritimo spindulys lygus centro ordinatėms (AS= SB, arbaR= a+ c/2 a) , apskritimas taške paliečia Ox ašį (6 pav., b). B(x1 ; 0) , kur x1 yra kvadratinės lygties šaknis.

Tęsinys
--PUSLAPIO LŪŽIS--

3) Apskritimo spindulys mažesnis už centro ordinates, apskritimas neturi bendrų taškų su abscisių ašimi (6 pav., c), šiuo atveju lygtis neturi sprendinio.

Pavyzdys.

Išspręskime lygtį X2 - 2x - 3 = 0(7 pav.).

Sprendimas. Apskritimo centro taško koordinates nustatykite pagal formules:

Nubraižykime SA spindulio apskritimą, kur A (0; 1).

Atsakymas:X1 = - 1; X2 = 3.

9. METODAS: Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant nomogramą.

Tai senas ir nepelnytai pamirštas kvadratinių lygčių sprendimo būdas, patalpintas 83 p. (žr. Bradis V.M. Keturių reikšmių matematinės lentelės. – M., Enlightenment, 1990).

XXII lentelė. Lygčių sprendimo nomograma z2 + pz+ q= 0 . Ši nomograma leidžia, neišsprendžiant kvadratinės lygties, pagal jos koeficientus nustatyti lygties šaknis.

Kreivinė nomogramos skalė sudaryta pagal formules (11 pav.):

Darant prielaidą OS = p,ED= q, OE = a(visi cm), nuo trikampių panašumo SAN Ir CDF gauname proporciją

iš kur po pakeitimų ir supaprastinimų seka lygtis

z2 + pz+ q= 0,

ir laiškas z reiškia bet kurio lenktos skalės taško etiketę.

Pavyzdžiai.

1) Dėl lygties z2 - 9 z+ 8 = 0 nomograma suteikia šaknis

z1 = 8,0 Ir z2 = 1,0 (12 pav.).

2) Lygtį išsprendžiame naudodami nomogramą

2 z2 - 9 z+ 2 = 0.

Šios lygties koeficientus padaliname iš 2, gauname lygtį

z2 - 4,5 z+ 1 = 0.

Nomograma suteikia šaknis z1 = 4 Ir z2 = 0,5.

3) Dėl lygties

z2 - 25 z+ 66 = 0

koeficientai p ir q yra ne skalėje, atliksime keitimą z= 5 t, gauname lygtį

t2 - 5 t+ 2,64 = 0,

kurią išsprendžiame nomogramos pagalba ir gauname t1 = 0,6 Ir t2 = 4,4, kur z1 = 5 t1 = 3,0 Ir z2 = 5 t2 = 22,0.

10. METODAS: Geometrinis kvadratinių lygčių sprendimo būdas.

Senovėje, kai geometrija buvo labiau išvystyta nei algebra, kvadratinės lygtys buvo sprendžiamos ne algebriškai, o geometriškai. Pateiksiu pavyzdį, kuris išgarsėjo iš al-Khwarizmi „algebros“.

Pavyzdžiai.

1) Išspręskite lygtį X2 + 10x = 39.

Originale ši problema suformuluota taip: „Kvadratas ir dešimt šaknų yra lygūs 39“ (15 pav.).

Sprendimas. Apsvarstykite kvadratą, kurio kraštinė x, jo šonuose statomi stačiakampiai taip, kad kiekvieno iš jų kita kraštinė būtų 2,5, todėl kiekvienos vietos plotas yra 2,5x. Tada gauta figūra papildoma į naują kvadratą ABCD, kampuose užpildant keturis vienodus kvadratus, kurių kiekvieno kraštinė yra 2,5, o plotas - 6,25.

Kvadratas S kvadratas ABCD gali būti pavaizduota kaip plotų suma: pradinis kvadratas X2 , keturi stačiakampiai (4 2,5x = 10x) ir keturi pritvirtinti kvadratai (6,25 4 = 25) , t.y. S= X2 + 10x + 25. Keičiama

X2 + 10 kartų numerį 39 , mes tai suprantame S= 39 + 25 = 64 , iš kur išplaukia, kad aikštės pusė ABCD, t.y. linijos segmentas AB = 8. Norimai pusei X pradinis kvadratas, kurį gauname

2) Bet, pavyzdžiui, kaip senovės graikai išsprendė lygtį adresu2 + 6m - 16 = 0.

Sprendimas parodyta pav. 16, kur

adresu2 + 6y = 16 arba y2 + 6m + 9 = 16 + 9.

Sprendimas. Išraiškos adresu2 + 6m + 9 Ir 16 + 9 geometriškai pavaizduoti tą patį kvadratą ir pradinę lygtį adresu2 + 6m - 16 + 9 - 9 = 0 yra ta pati lygtis. Iš kur mes tai gauname y + 3 = ± 5, arba adresu1 = 2, m2 = - 8 (16 pav.).

3) Išspręskite geometrinę lygtį adresu2 – 6 m. – 16 = 0.

Transformuodami lygtį, gauname

adresu2 - 6m = 16.

Ant pav. 17 rasti išraiškos „vaizdus“. adresu2 - 6u, tie. iš kvadrato, kurio kraštinė yra y, ploto atimkite du kartus kvadrato, kurio kraštinė lygi, plotą 3 . Taigi, jei išraiška adresu2 -6m papildyti 9 , tada gauname kvadrato su kraštine plotą y – 3. Išraiškos pakeitimas adresu2 -6m lygus skaičius 16,

mes gauname: (y - 3)2 = 16 + 9, tie. y - 3 = ± √25, arba y - 3 = ± 5, kur adresu1 = 8 Ir adresu2 = - 2.

Išvada

Kvadratinės lygtys plačiai naudojamos sprendžiant trigonometrines, eksponentines, logaritmines, iracionaliąsias ir transcendentines lygtis bei nelygybes.

Tačiau kvadratinių lygčių vertė slypi ne tik problemų sprendimo elegancija ir trumpumas, nors tai yra labai reikšminga. Ne mažiau svarbu ir tai, kad sprendžiant uždavinius panaudojus kvadratines lygtis, dažnai atrandama naujų detalių, galima daryti įdomių apibendrinimų ir patikslinimų, kuriuos paskatina gautų formulių ir ryšių analizė.

Taip pat norėčiau pastebėti, kad šiame darbe pateikta tema vis dar mažai tyrinėta, jos tiesiog nenagrinėjama, todėl joje gausu paslėptų ir nežinomų dalykų, o tai suteikia puikią galimybę tolimesniam darbui. .

Čia aš apsisprendžiau dėl kvadratinių lygčių sprendimo ir kas,

jei yra kitų būdų juos išspręsti?! Vėlgi, surask gražių raštų, kai kuriuos faktus, patikslinimus, daryk apibendrinimus, atrask viską nauja ir nauja. Bet tai klausimai būsimiems darbams.

Apibendrinant galime daryti išvadą: kvadratinės lygtys vaidina didžiulį vaidmenį plėtojant matematiką. Mes visi žinome, kaip spręsti kvadratines lygtis nuo mokyklos (8 klasės) iki baigimo. Šios žinios mums gali būti naudingos visą gyvenimą.

Kadangi šiuos kvadratinių lygčių sprendimo būdus lengva naudoti, jie tikrai turėtų sudominti matematiką mėgstančius studentus. Mano darbas leidžia kitaip pažvelgti į matematikos mums keliamas problemas.

Literatūra:

1. Alimovas Š.A., Iljinas V.A. ir kt., Algebra, 6-8. Bandomasis vadovėlis 6-8 klasių vidurinei mokyklai. - M., Išsilavinimas, 1981 m.

2. Bradis V.M. Keturių skaitmenų matematikos lentelės vidurinei mokyklai Red. 57-oji. - M., Išsilavinimas, 1990. S. 83.

3. Kružepovas A.K., Rubanovas A.T. Užduočių knyga apie algebrą ir elementariąsias funkcijas. Vadovėlis vidurinėms specializuotoms mokymo įstaigoms. - M., aukštoji mokykla, 1969 m.

4. Okunev A.K. Kvadratinės funkcijos, lygtys ir nelygybės. Vadovas mokytojui. - M., Išsilavinimas, 1972 m.

5. Presman A.A. Kvadratinės lygties sprendimas kompasu ir tiesiuoju. - M., Kvantas, Nr.4/72. S. 34.

6. Solomnikas V.S., Milovas P.I. Matematikos klausimų ir užduočių rinkinys. Red. - 4, pridėkite. - M., Aukštoji mokykla, 1973 m.

7. Khudobin A.I. Algebros ir elementariųjų funkcijų uždavinių rinkinys. Vadovas mokytojui. Red. 2-oji. - M., Išsilavinimas, 1970 m.

anotacija

1. METODAS: Kairiosios lygties pusės faktorinavimas

2. METODAS: viso kvadrato pasirinkimo metodas.

4. METODAS: lygčių sprendimas naudojant Vieta teoremą.

5. METODAS: lygčių sprendimas „perkėlimo“ metodu.

6. METODAS: Kvadratinės lygties koeficientų savybės

7. METODAS: Kvadratinės lygties grafinis sprendimas

8. METODAS: Kvadratinių lygčių sprendimas kompasu ir liniuote.

9. METODAS: Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant nomogramą.

Išvada

Tochilkina Julija

Mokslinis darbas tema „10 kvadratinių lygčių sprendimo būdų“

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Savivaldybės biudžetinė švietimo įstaiga

"Vidurinė mokykla Nr. 59"

10 kvadratinių lygčių sprendimo būdų

(abstraktus darbas)

Baigė: 8A klasės mokinys

MBOU „Barnaulo vidurinė mokykla Nr. 59

Tochilkina Julija

Prižiūrėtojas:

Zacharova Liudmila Vladimirovna,

matematikos mokytojas, MBOU "Vidurinė mokykla Nr. 59"

Barnaulas

Įvadas ……………………………………………………………...2

I. Kvadratinių lygčių raidos istorija ……………………………...3

1. Kvadratinės lygtys senovės Babilone……………………………………4

2. Kaip Diofantas sudarė ir išsprendė kvadratines lygtis……………………5

3. Kvadratinės lygtys Indijoje…………………………………………………6

4. Kvadratinės al-Khwarizmi lygtys ………………………………………….7

5. Kvadratinės lygtys Europoje XIII – XVII a.…………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………..9

6. Apie Vieta teoremą ……………………………………………………………..…….10

……………………….........11

1. Kairiosios lygties pusės išskaidymas į veiksnius…………………............12
2. Viso kvadrato pasirinkimo būdas.…………………………………………………………………………………………………………………
3. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant formules ……………………..………14
4. Lygčių sprendimas taikant Vietos teoremą……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. Lygčių sprendimas perdavimo būdu „………………………………….18

1. Kvadratinės lygties koeficientų savybės……………………………….

7. Kvadratinės lygties grafinis sprendimas………………………..……….. 21

8. Kvadratinių lygčių sprendimas kompasu ir liniuote……….. 24

9. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant nomogramą………………. 26

10. Geometrinis kvadratinių lygčių sprendimo metodas………………….28

III. Išvada …………………………………………………..........................30

Literatūra……………………………………………………………………….….32

Dažnai algebros studentui naudingiau tą patį uždavinį išspręsti trimis skirtingais būdais nei tris ar keturis skirtingus uždavinius. Išsprendus vieną problemą skirtingais metodais, galima lyginant išsiaiškinti, kuris trumpesnis ir efektyvesnis. Taip susidaro patirtis“.

W. Sawyer

1. Įvadas

Lygčių teorija mokykliniame algebros kurse užima pirmaujančią vietą. Jų studijoms skiriama daugiau laiko nei bet kuriai kitai mokyklinio matematikos kurso temai. Taip yra dėl to, kad dauguma gyvenimo užduočių tenka spręsti įvairių tipų lygtis.

Algebros vadovėlyje 8 klasei susipažįstame su kelių tipų kvadratinėmis lygtimis, o jų sprendimą sprendžiame formulėmis. Man kilo klausimas „Ar yra kitų kvadratinių lygčių sprendimo būdų? Kiek sudėtingi šie metodai ir ar jie gali būti naudojami praktiškai? Todėl šiais mokslo metais pasirinkau tyrimo temą, susijusią su kvadratinėmis lygtimis, darbo metu ji vadinosi „10 kvadratinių lygčių sprendimo būdų“.Šios temos aktualumasyra tai, kad algebros, geometrijos, fizikos pamokose labai dažnai susiduriame su kvadratinių lygčių sprendimu. Todėl kiekvienas mokinys turėtų mokėti taisyklingai ir racionaliai spręsti kvadratines lygtis, man tai gali būti naudinga ir sprendžiant sudėtingesnes problemas, taip pat ir 9 klasėje laikant egzaminus.

Darbo tikslas: išmokti spręsti kvadratines lygtis, išmokti įvairių jų sprendimo būdų.

Remdamasis šiuo tikslu, aš nustatiau šiuos dalykus užduotys:

Išstudijuoti kvadratinių lygčių raidos istoriją;

Apsvarstykite standartinius ir nestandartinius kvadratinių lygčių sprendimo būdus;

Nustatyti patogiausius kvadratinių lygčių sprendimo būdus;

Išmokite įvairiais būdais spręsti kvadratines lygtis.

Tyrimo objektas: kvadratinės lygtys.

Studijų dalykas: su pagalba kvadratinių lygčių sprendiniai.

Tyrimo metodai:

Teorinis: literatūros tiriama tema studijavimas;

Interneto informacija.

Analizė: informacija, gauta studijuojant literatūrą;

Rezultatai, gauti įvairiais būdais sprendžiant kvadratines lygtis.

Metodų palyginimas jų panaudojimo racionalumui sprendžiant kvadratines lygtis.

Kvadratinių lygčių raidos istorija.

1. Kvadratinės lygtys senovės Babilone.

Poreikį spręsti ne tik pirmojo, bet ir antrojo laipsnio lygtis senovėje lėmė poreikis spręsti problemas, susijusias su žemės plotų suradimu, karinio pobūdžio žemės darbais, taip pat su astronomijos ir mokslo raida. pati matematika. Kvadratinės lygtys sugebėjo išspręsti apie 2000 m. e. babiloniečiai.

Taikant šiuolaikinį algebrinį žymėjimą, galima teigti, kad jų dantiraščio tekstuose, be nepilnų, yra, pavyzdžiui, pilnosios kvadratinės lygtys:

X 2 + X \u003d ¾; X 2 – X \u003d 14,5

Šių lygčių sprendimo taisyklė, nurodyta babiloniečių tekstuose, iš esmės sutampa su šiuolaikine, tačiau nežinoma, kaip babiloniečiai priėjo prie šios taisyklės. Beveik visuose iki šiol rastuose dantiraščio tekstuose pateikiamos tik receptų forma pateiktų sprendimų problemos, nenurodant, kaip jie buvo rasti.

Nepaisant aukšto algebros išsivystymo lygio Babilone, dantiraščio tekstuose trūksta neigiamo skaičiaus sampratos ir bendrų kvadratinių lygčių sprendimo metodų.

2. Kvadratinės lygtys Graikijoje arba kaip Diofantas sudarė ir sprendė kvadratines lygtis.

Diofanto aritmetikoje nėra sistemingo algebros aprašymo, tačiau joje yra sistemingų uždavinių, lydimų paaiškinimų ir išspręstų sudaryti įvairaus laipsnio lygtis.

Rengdamas lygtis, Diofantas sumaniai pasirenka nežinomuosius, kad supaprastintų sprendimą.

Štai, pavyzdžiui, viena iš jo užduočių.

11 užduotis. „Rasti du skaičius žinant, kad jų suma yra 20, o sandauga yra 96“

Diofantas teigia taip: iš uždavinio sąlygos išplaukia, kad norimi skaičiai nėra lygūs, nes jei jie būtų lygūs, tada jų sandauga būtų ne 96, o 100. Taigi vienas iš jų bus daugiau nei pusė jų skaičiaus. suma, t.y. 10+x , kitas yra mažesnis, t.y. 10-ųjų . Skirtumas tarp jų 2x.

Taigi lygtis:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 – x 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

Taigi x = 2 . Vienas iš norimų skaičių yra 12 , kiti 8 . Sprendimas x = -2 nes Diofanto nėra, nes graikų matematika žinojo tik teigiamus skaičius.

Jei šią problemą išspręsime pasirinkę vieną iš norimų skaičių kaip nežinomą, tada prieisime prie lygties sprendimo

y(20 - y) = 96,

y 2 – 20m + 96 = 0. (2)

Akivaizdu, kad Diofantas supaprastina sprendimą, pasirinkdamas norimų skaičių pusę skirtumo kaip nežinomą; jam pavyksta problemą redukuoti iki nepilnos kvadratinės lygties (1) sprendimo.

3. Kvadratinės lygtys Indijoje.

Kvadratinių lygčių problemos randamos astronominiame trakte „Aryabhattam“, kurį 499 metais sudarė Indijos matematikas ir astronomas Aryabhatta. Kitas indų mokslininkas Brahmagupta (VII a.) išdėstė bendrą kvadratinių lygčių sprendimo taisyklę, sumažintą iki vienos kanoninės formos: ax 2 + bx = c, a > 0. (1)

(1) lygtyje koeficientai, išskyrus A , taip pat gali būti neigiamas. Brahmaguptos taisyklė iš esmės sutampa su mūsų. Senovės Indijoje vieši konkursai sprendžiant sudėtingas problemas buvo įprasti. Vienoje iš senų indų knygų apie tokias varžybas rašoma taip: „Kaip saulė savo spindesiu pranoksta žvaigždes, taip išmokęs žmogus pranoksta kito šlovę viešuose susirinkimuose, siūlydamas ir spręsdamas algebrines problemas“. Užduotys dažnai būdavo aprengiamos poetine forma.

Čia yra viena iš garsaus XII amžiaus Indijos matematiko problemų. Bhaskara.

Užduotis.

„Švelnus beždžionių pulkas ir dvylika vynmedžių...

Suvalgę jėgų, linksminomės. Jie pradėjo šokinėti, kabėti ...

Aštunta jų dalis aikštėje Kiek ten buvo beždžionių,

Pasilinksminimai pievoje. Pasakyk man, šitame pulke?

Bhaskaros sprendimas rodo, kad jis žinojo apie kvadratinių lygčių šaknų dvireikšmes (1 pav.).

Uždavinį atitinkanti lygtis yra tokia:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara rašo prisidengdamas: x 2 - 64x = -768

ir užbaigti kairiąją šio puslapio pusę

lygtis į kvadratą, pridėti prie abiejų pusių 32 2 , tada gaunama: x 2 - 64x + 32 2 \u003d -768 + 1024, 1 pav.

(x – 32) 2 = 256,

x – 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

4. Kvadratinės lygtys al-Khorezmi.

Al-Khorezmi algebrinis traktatas pateikia tiesinių ir kvadratinių lygčių klasifikaciją. Autorius išvardija 6 lygčių tipus, jas išreikšdamas taip:

1) „Kvadratai lygūs šaknims“, t.y. Oi 2 + c = bx.

2) „Kvadratai lygūs skaičiui“, t.y. Oi 2 = s.

3) „Šaknys lygios skaičiui“, t.y. ah = s.

4) „Kvadratai ir skaičiai lygūs šaknims“, t.y. Oi 2 + c = bx.

5) „Kvadratai ir šaknys lygūs skaičiui“, t.y. Oi 2 + bx = c.

6) „Šaknys ir skaičiai lygūs kvadratams“, t.y. bx + c = ax 2 .

Al-Khwarizmi, kuris vengė naudoti neigiamus skaičius, kiekvienos iš šių lygčių sąlygos yra sudėjimai, o ne atimtys. Šiuo atveju akivaizdžiai neatsižvelgiama į lygtis, kurios neturi teigiamų sprendimų. Autorius pateikia šių lygčių sprendimo būdus, naudodamas al-jabr ir al-muqabala metodus. Jo sprendimas, žinoma, ne visiškai sutampa su šiuolaikiniu sprendimu. Jau nekalbant apie tai, kad tai yra grynai retorinė, reikia pažymėti, kad, pavyzdžiui, spręsdamas nepilną pirmojo tipo kvadratinę lygtį, al-Khwarizmi, kaip ir visi matematikai iki XVII amžiaus, neatsižvelgia į nulį. sprendimas tikriausiai todėl, kad konkrečiose praktinėse užduotyse tai nesvarbu. Spręsdamas visas kvadratines lygtis, al-Khorezmi nustato sprendimo taisykles, o tada geometrinius įrodymus, naudodamas tam tikrus skaitinius pavyzdžius.

Užduotis. „Kvadratas ir skaičius 21 yra lygūs 10 šaknų. Rasti šaknį"

(darant prielaidą, kad x lygties šaknis 2 + 21 = 10x).

Autoriaus sprendimas skamba maždaug taip: šaknų skaičių padalinkite per pusę, gausite 5, 5 padauginkite iš savęs, iš sandaugos atimkite 21, lieka 4. Paimkite šaknį iš 4, gausite 2. Iš 5 atimkite 2, jūs gauti 3, tai bus norima šaknis. Arba pridėkite 2 prie 5, o tai duos 7, tai taip pat yra šaknis.

Traktatas al - Khorezmi yra pirmoji mūsų knyga, kurioje sistemingai išdėstyta kvadratinių lygčių klasifikacija ir pateiktos jų sprendimo formulės.

5. Kvadratinės lygtys Europoje XIII - XVII a.

Kvadratinių lygčių sprendimo formulės pagal al Khorezmi modelį Europoje pirmą kartą buvo pateiktos „Abako knygoje“, kurią 1202 m. parašė italų matematikas Leonardo Fibonacci. Šis didelės apimties kūrinys, atspindintis tiek islamo šalių, tiek senovės Graikijos matematikos įtaką, išsiskiria tiek išsamumu, tiek pateikimo aiškumu. Autorius savarankiškai sukūrė keletą naujų algebrinių problemų sprendimo pavyzdžių ir pirmasis Europoje pradėjo taikyti neigiamus skaičius. Jo knyga prisidėjo prie algebrinių žinių sklaidos ne tik Italijoje, bet ir Vokietijoje, Prancūzijoje bei kitose Europos šalyse. Daugelis užduočių iš „Abako knygos“ perėjo į beveik visus XVI – XVII a. Europos vadovėlius. ir iš dalies XVIII.

Bendra kvadratinių lygčių sprendimo taisyklė, sumažinta iki vienos kanoninės formos: x 2 + bx \u003d c,

visoms galimoms koeficientų ženklų kombinacijoms b, c Europoje suformulavo tik 1544 m. M. Stiefel.

Vieta turi bendrą kvadratinės lygties sprendimo formulės išvestį, tačiau Vieta atpažino tik teigiamas šaknis. Italų matematikai Tartaglia, Cardano, Bombelli buvo vieni pirmųjų XVI a. Atsižvelkite į teigiamas ir neigiamas šaknis. Tik XVII a. Girardo, Dekarto, Niutono ir kitų mokslininkų darbo dėka kvadratinių lygčių sprendimo būdas įgauna šiuolaikišką išvaizdą.

6. Apie Vietos teoremą.

Teoremą, išreiškiančią ryšį tarp kvadratinės lygties koeficientų ir jos šaknų, pavadintą Vieta, jis pirmą kartą suformulavo 1591 m. taip: „Jeigu B + D padaugintas iš A – A 2 yra lygus BD, tada A lygus B ir lygus D.

Norint suprasti Vietą, reikia tai atsiminti A , kaip ir bet kuris balsis, jam reiškė nežinomybę (mūsų x), balsės B, D - nežinomybės koeficientai. Šiuolaikinės algebros kalba aukščiau pateikta Vietos formuluotė reiškia: jeigu

(a + b) x - x 2 \u003d ab, t.y.

x 2 - (a + b) x + ab \u003d 0, tada

x 1 = a, x 2 = b.

Išreikšdamas ryšį tarp lygčių šaknų ir koeficientų bendromis formulėmis, parašytomis simboliais, Vietas nustatė lygčių sprendimo metodų vienodumą. Tačiau Vietos simbolika dar toli nuo šiuolaikinės formos. Jis nepripažino neigiamų skaičių, todėl spręsdamas lygtis nagrinėjo tik tuos atvejus, kai visos šaknys yra teigiamos.

II. Kvadratinių lygčių sprendimo būdai

Kvadratinės lygtys yra pagrindas, ant kurio remiasi didingas algebros statinys. Kvadratinės lygtys plačiai naudojamos sprendžiant trigonometrines, eksponentines, logaritmines, iracionaliąsias ir transcendentines lygtis bei nelygybes.Jų pagalba išsprendžiama daug praktinių problemų. Pavyzdžiui, kvadratinė lygtis leidžia apskaičiuoti automobilio stabdymo kelią, raketos galią iškelti į orbitą erdvėlaivį, įvairių fizinių objektų trajektorijas – nuo ​​elementariųjų dalelių iki žvaigždžių.

Mokykloje mokomos kvadratinių lygčių šaknų formulės, kurių pagalba galima išspręsti bet kokias kvadratines lygtis. Tačiau yra ir kitų kvadratinių lygčių sprendimo būdų, kurie leidžia labai greitai ir racionaliai išspręsti kvadratines lygtis. Matematinėje literatūroje radau dešimt kvadratinių lygčių sprendimo būdų ir kiekvieną iš jų savo darbe išanalizavau.

1 apibrėžimas. Kvadratinė lygtis yra ax formos lygtis 2 + bx + c \u003d 0, kur koeficientai a, b, c yra realieji skaičiai, a ≠ 0.

2 apibrėžimas . Pilna kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis, kurioje yra visi trys nariai, t.y. koeficientai in ir c yra nuliniai.

Nebaigta kvadratinė lygtis yra lygtis, kurioje bent vienas iš arba, c koeficientų yra lygus nuliui.

3 apibrėžimas. Kvadratinės lygties ax šaknis 2 + inx + c \u003d 0 vadinama bet kokia kintamojo x reikšme, kurios kvadratinė trinario ax 2 + in + c išnyksta.

4 apibrėžimas . Išspręsti kvadratinę lygtį reiškia surasti ją visą

šaknis arba nustatyti, kad šaknų nėra.

1. Kairiosios lygties pusės faktorizavimas.

Išspręskime lygtį x 2 + 10x - 24 = 0.

Išskaidykime kairę pusę:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

Todėl lygtį galima perrašyti taip:

(x + 12) (x - 2) = 0

Veiksnių sandauga yra lygi nuliui, jei bent vienas iš jo veiksnių yra lygus nuliui.

x + 12 = 0 arba x - 2 = 0

x=-12 x=2

Atsakymas: -12; 2.

1. Viso kvadrato pasirinkimo metodas.

Išspręskime lygtį x 2 + 6x - 7 = 0.

Pažymime visą kvadratą kairėje pusėje:

x 2 + 6x - 7 \u003d x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 9 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 16.

tada šią lygtį galima parašyti taip:

(x + 3) 2 - 16 \u003d 0,

(x + 3) 2 = 16.

x + 3 = 4 arba x + 3 = -4

X 1 = 1 x 2 = -7

Atsakymas: 1; -7.

1. Kvadratinių lygčių sprendimas formulėmis.

Padauginkite abi lygties puses ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0 ties 4a, tada

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac \u003d 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b \u003d ± √ b 2 - 4ac,

2ax \u003d - b ± √ b 2 - 4ac,

1. Taigi, esant pozityviam diskriminantui, t.y. adresu b 2 - 4ac > 0, lygtis ax 2 + bx + c \u003d 0 turi dvi skirtingas šaknis.

2. Jeigu diskriminantas lygus nuliui, t.y. b 2 - 4ac = 0 , tada lygtis turi vieną šaknį.

3. Jei diskriminantas yra neigiamas, t.y. b 2 - 4ac, lygtis ax 2 + bx + c = 0 neturi šaknų.

Kvadratinės lygties šaknų (1) formulė ax 2 + bx + c = 0 leidžia rasti šaknis bet koks kvadratinė lygtis (jei yra), įskaitant sumažintą ir neišsamią. 1 formulė žodžiu išreiškiama taip:kvadratinės lygties šaknys yra lygios trupmenai, kurios skaitiklis yra lygus antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, plius atėmus šio koeficiento kvadrato kvadratinę šaknį, pirmojo koeficiento sandaugą nepadauginus laisvuoju nariu, o vardiklis yra du kartus didesnis už pirmąjį koeficientą.

Pavyzdžiai.

A) Išspręskime lygtį:

4x2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3.

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 7 2 - 4 4 3 \u003d 49 - 48 \u003d 1, D\u003e 0,

Atsakymas: 1; .

b) Išspręskime lygtį:

4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4, b = - 4, c = 1,

D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-4) 2 - 4 4 1 \u003d 16 - 16 \u003d 0, D \u003d 0, lygtis turi vieną šaknį;

Atsakymas:

V) Išspręskime lygtį: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = -13, D

Ši lygtis neturi šaknų.

Atsakymas: nėra šaknų.

1. Lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą.

Teisingai vertas būti dainuojamas eilėmis

Apie šaknų savybes, Vietos teorema.

Sumažinta kvadratinė lygtisvadinama formos lygtimi(1) kur pagrindinis koeficientas yra lygus vienetui.

Pateiktos kvadratinės lygties šaknis galima rasti naudojant šią formulę:

Galite įsiminti šią formulę, įsimindami šį rimą.

P su ženklo atbuline eiga

Padalijame iš 2

Ir nuo šaknies tvarkingai pasirašyti atskirti,

O po šaknimi labai patogu

pusiau kvadratas,

Minusas - ir čia yra mažosios lygties sprendimas.

Į kvadratinę lygtįsumažinti iki sumažintos formos, reikia suskirstyti visus jos narius į a, , Tada

Teisingai vertas būti dainuojamas eilėmis
Apie šaknų savybes, Vietos teorema.
Kuris yra geresnis, tarkime, šio pastovumas:
Padauginate šaknis - ir frakcija yra paruošta:
Skaitiklyje c, vardiklyje a,
Ir šaknų suma taip pat yra trupmena.
Nors atėmus šią trupmeną, kokia bėda...
Skaitiklyje b, vardiklyje a.

Jei paskirsime , tada gauname formos lygtį. Ir formulės () įgaus formą

Taigi: duotosios kvadratinės lygties šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui.

Koeficientai p ir q gali nuspėti šaknų požymius.

A) Jei pirmiau pateiktos lygties (1) apibendrintas terminas q yra teigiamas (q > 0), tai lygtis turi dvi to paties ženklo šaknis ir tai yra antrojo koeficiento pavydas:

Jeigu R , tada abi šaknys yra teigiamos;

Jei p > 0 , tada abi šaknys yra neigiamos.

Pavyzdžiui,

x 2 - 3x + 2 = 0; x 1 = 2 ir x 2 = 1, nes q = 2 > 0 ir p = - 3

x2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 ir x 2 = - 1, nes q = 7 > 0 ir p = 8 > 0.

B) Jei aukščiau pateiktos (1) lygties laisvasis narys q yra neigiamas (q 0 .

Pavyzdžiui,

x 2 - 8x - 9 \u003d 0; x 1 \u003d 9 ir x 2 \u003d - 1, nes q \u003d - 9 ir p = – 8

x 2 + 4x - 5 = 0; x 1 \u003d - 5 ir x 2 \u003d 1, nes q \u003d - 5 ir p = 4 > 0.

1. Lygčių sprendimas „perkėlimo“ metodu.

Apsvarstykite kvadratinę lygtį

Abi jo dalis padauginę iš a, gauname lygtį a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Tegul ax \u003d y, iš kur x \u003d y / a ; tada prieiname prie lygties y 2 + x + ac = 0,

lygiavertis šiam.

Jo šaknys yra 1 ir 2 randame Vieta teoremos pagalba ir galiausiai:

x 1 = y 1 /a ir x 1 = y 2 /a.

Taikant šį metodą, koeficientas A dauginamas iš laisvojo termino, tarsi jam „įmestas“, todėl vadinamasperdavimo būdas. Šis metodas naudojamas, kai lengva rasti lygties šaknis naudojant Vietos teoremą ir, svarbiausia, kai diskriminantas yra tikslus kvadratas.

Pavyzdys.

Išspręskime lygtį 2x 2 - 11x + 15 = 0.

Sprendimas. Koeficientą 2 „perkelkime“ į laisvąjį terminą, kaip rezultatas, gauname lygtį

y 2 - 11m + 30 = 0.

Pagal Vietos teoremą

Y 1 \u003d 5, x 1 \u003d 5/2, x 1 = 2,5

Y2 = 6; x 2 \u003d 6/2; x 2 = 3.

Atsakymas: 2,5; 3.

1. Kvadratinės lygties koeficientų savybės.

1. Tegu duota kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c \u003d 0, kur a ≠ 0.

1. Jei a + b + c \u003d 0 (t. y. koeficientų suma lygi nuliui),

tada x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a.

1. Jei a - b + c \u003d 0, tada x 2 \u003d -1, x 2 \u003d -s / a

Pavyzdžiai.

1. A. Išspręskite lygtį 345 x 2 – 137 x 208 = 0.

Sprendimas. Nes a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), Tai

x 1 = 1, x 2 = c / a = -208/345.

Atsakymas: 1; -208/345.

B. Išspręskite lygtį 132x 2 – 247x + 115 = 0.

Sprendimas. Nes a + b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), Tai

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a = 115/132.

Atsakymas: 1; 115/132.

2) Išsprendžiame lygtį 2x 2 + 3x + 1 \u003d 0. Kadangi 2 - 3 + 1 \u003d 0, tada x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d -c / a \u003d -1/2

Atsakymas: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -1/2.

Šį metodą patogu taikyti kvadratinėms lygtims su dideliais koeficientais.

2. Jei lygties antrasis koeficientas b = 2k yra lyginis skaičius, tada šaknų formulėgalima parašyti formoje

Pavyzdys.

Išspręskime lygtį 3x 2 - 14x + 16 = 0.

Sprendimas. Mes turime: a = 3, b = - 14 (k = -7), c = 16,

D 1 \u003d k 2 - ac \u003d (- 7) 2 - 3 16 \u003d 49 - 48 \u003d 1, D 1\u003e 0, lygtis turi dvi skirtingas šaknis;

Atsakymas: 2; 8/3

Sumažinta lygtis x 2 + px + q \u003d 0 sutampa su bendrąja lygtimi, kurioje a = 1, b = p ir c = q . Todėl redukuotos kvadratinės lygties šaknų formulė įgauna formą

Formulę () patogu naudoti, kai p yra lyginis skaičius.

Pavyzdys. Išspręskime lygtį x 2 - 14x - 15 = 0.

Sprendimas. Turime a=1, b=-14, (k=-7), c=-15.

x 1,2 \u003d 7 ± =7 ± ,

x 1,2 = 15; x 2 \u003d -1.

Atsakymas: x 1 = 15; x 2 \u003d -1.

7.Kvadratinės lygties grafinis sprendimas.

IR Naudodamiesi žiniomis apie kvadratines ir tiesines funkcijas bei jų grafikus, galite išspręsti kvadratinę lygtį su vadinamuoju.funkcinis-grafinis metodas.Be to, kai kurias kvadratines lygtis galima išspręsti įvairiais būdais, apsvarstykite šiuos metodus naudodami vienos kvadratinės lygties pavyzdį.

Pavyzdys. išspręskite lygtį=0

1 kryptis . Nubraižykime funkcijąnaudojant algoritmą.

1) Mes turime:

Vadinasi, parabolės viršūnė yra taškas (1;-4), o parabolės ašis yra tiesė x=1

2) Paimkite du x ašies taškus, simetriškus parabolės ašiai, pavyzdžiui, taškus 2 pav.

X= -1 ir x=3, tada f(-1)=f(3)=0.

3) Per taškus (-1; 0) , (1; -4), (3; 0) nubrėžiame parabolę (2 pav.).

Lygčių šaknysyra parabolės susikirtimo su x ašimi taškų abscisės; taigi lygties šaknys

2 būdas

Transformuokime lygtį į formą.

Ir (3 pav.).

Jie susikerta dviejuose taškuose A(-1;1) ir B(3;9). Lygties šaknys yra taškų A ir B abscisės, o tai reiškia.

3 pav

3 būdas

Lygtis transformuojame į formą.

Sukurkime funkcijų grafikus vienoje koordinačių sistemojeIr (4 pav.) Jie susikerta dviejuose taškuose A(-1;-2) ir B (3;6). Lygties šaknys yra taškų A ir B abscisės, todėl.

4 pav

4 būdas

Tada paverskime lygtį į formątie.

Konstruojame parabolę vienoje koordinačių sistemojeir tiesioginis . Jie susikerta taškuose A(-1;4) ir B(3;4). Lygčių šaknys yra taškų A ir B abscisės, todėl(5 pav.).

5 pav

5 būdas

Abi lygties dalis padaliname iš termino iš x, gauname:

;

.

6 pav

Vienoje koordinačių sistemoje konstruojame hiperbolęir tiesioginis (6 pav.). Jie susikerta dviejuose taškuose A(-1;-3) ir B(3;1). Lygčių šaknys yra taškų A ir B abscisės, todėl.

Pirmieji keturi metodai taikomi bet kuriai formos lygtims

ai 2 + bx + c = 0, o penktasis – tik tiems, kurių c nelygus nuliui.

Grafiniai kvadratinių lygčių sprendimo metodai yra gražūs, tačiau jie nesuteikia 100% garantijos, kad pavyks išspręsti bet kokią kvadratinę lygtį.

8. Kvadratinių lygčių sprendimas kompasu ir

Valdovai.

Siūlau tokį kvadratinės lygties šaknų nustatymo metodą ax 2 + bx + c = 0 naudojant kompasą ir liniuotę (7 pav.).

Tarkime, kad norimas apskritimas kerta ašį

abscisė taškais B (x 1; 0) ir D (x 2; 0), kur x 1 ir x 2 - lygties šaknys ax 2 + bx + c = 0 , ir eina per taškus

A(0; 1) ir C(0; c/a) y ašyje. Tada pagal sekantinę teoremą turime OB OD \u003d OA OC, iš kur OC \u003d OB OD / OA \u003d x 1 x 2 / 1 \u003d c / a.

Apskritimo centras yra statmenų susikirtimo taške SF ir SK , atkurtas akordų vidurio taškuose AC ir BD taip

Taigi:

1) sukonstruoti taškus (apskritimo centrą) ir A(0; 1);

2) nubrėžkite apskritimą su spinduliu SA;

3) šio apskritimo susikirtimo su ašimi taškų abscisės Oi yra pradinės kvadratinės lygties šaknys.

Šiuo atveju galimi trys atvejai.

1) Apskritimo spindulys yra didesnis už centro ordinates(AS > SK arba R > a + c/2a), apskritimas kerta x ašį dviejuose taškuose (8a pav.) B (x 1; 0) ir D (x 2; 0), kur x 1 ir x 2 - kvadratinės lygties šaknys ax 2 + bx + c \u003d 0.

2) Apskritimo spindulys lygus centro ordinatėms(AS = SB arba R = a + c/2a), apskritimas taške paliečia Ox ašį (8b pav.). B (x 1; 0), kur x 1 yra kvadratinės lygties šaknis.

3) Apskritimo spindulys yra mažesnis už centro ordinates

apskritimas neturi bendrų taškų su abscisių ašimi (8c pav.), šiuo atveju lygtis neturi sprendinio.

8 pav

a B C)

Pavyzdys.

Išspręskime lygtį x 2 - 2x - 3 = 0 (9 pav.).

Sprendimas. Apskritimo centro taško koordinates nustatykite pagal formules:

Nubraižykime SA spindulio apskritimą, kur A (0; 1).

Atsakymas: x 1 \u003d - 1; x 2 = 3.

9. Kvadratinių lygčių sprendimas su

Nomogramos.

Tai senas ir šiuo metu užmirštas kvadratinių lygčių sprendimo būdas, patalpintas 83 rinkinio p.: Bradis V.M. Keturių skaitmenų matematinės lentelės. - M., Išsilavinimas, 1990 m.

XXII lentelė. Lygčių sprendimo nomograma z 2 + pz + q = 0. Ši nomograma leidžia, neišsprendžiant kvadratinės lygties, pagal jos koeficientą

raskite lygties šaknis.

Sukurta kreivinė nomogramos skalė

pagal formules (10 pav.):

Darant prielaidąOS = p, ED = q, OE = a(visi cm), nuo

trikampio panašumaiSANIrCDFmes gauname

proporcija

iš kur po pakeitimų ir supaprastinimų seka lygtis

z2 + pz + q = 0,

ir laiškaszreiškia bet kurio lenktos skalės taško etiketę.

Pavyzdžiai.

1) Dėl lygtiesz2 – 9z + 8 = 0nomograma suteikia šaknisz1 = 8,0 Irz2 = 1,0 (11 pav.).

Atsakymas:8,0 ; 1,0.

2) Išspręskime sunomogramoslygtis

2z2 – 9z + 2 = 0.

Padalinkite šios lygties koeficientus iš 2,

gauname lygtįz2 – 4,5z + 1 = 0.

Nomograma suteikia šaknisz1 = 4 Irz2 = 0,5.

Atsakymas: 4; 0.5.

3) Dėl lygtiesz2 – 25z + 66 = 0koeficientai p ir q yra ne skalėje, atliksime keitimąz=5t, gauname lygtįt2 - 5 t + 2,64 = 0,

kurią išsprendžiame nomogramos pagalba ir gaunamet1 = 0,6 Irt2 = 4,4, kurz1 = 5t1 = 3,0 Irz2 = 5t2 = 22,0.

Atsakymas: 3; 22.

10. Geometrinis kvadratinių lygčių sprendimo būdas.

Senovėje, kai geometrija buvo labiau išvystyta nei algebra, kvadratinės lygtys buvo sprendžiamos ne algebriškai, o geometriškai. Pateiksiu pavyzdį, kuris išgarsėjo iš al-Khwarizmi „algebros“.

Pavyzdžiai.

1) Išspręskite lygtįX2 + 10x = 39.

Originale ši problema suformuluota taip: „Kvadratas ir dešimt šaknų yra lygūs 39“ (12 pav.).

Sprendimas.Apsvarstykite kvadratą, kurio kraštinė x, jo šonuose statomi stačiakampiai taip, kad kiekvieno iš jų kita kraštinė būtų 2,5, todėl kiekvienos vietos plotas yra 2,5x. Tada gauta figūra papildoma į naują kvadratą ABCD, kampuose užpildant keturis vienodus kvadratus, kurių kiekvieno kraštinė yra 2,5, o plotas - 6,25.

KvadratasSkvadratasABCDgali būti pavaizduota kaip plotų suma: pradinis kvadratasX2 , keturi stačiakampiai(4 2,5x = 10x)ir keturi pritvirtinti kvadratai(6,25 4 = 25) , t.y.S =X2 + 10x + 25.Keičiama

X2 + 10 kartųnumerį39 , mes tai suprantameS = 39 + 25 = 64, iš kur išplaukia, kad aikštės pusėABCD, t.y. linijos segmentasAB = 8. Norimai puseiXpradinis kvadratas, kurį gauname

2) Bet, pavyzdžiui, kaip senovės graikai išsprendė lygtįadresu2 + 6m - 16 = 0.

Sprendimasparodyta 13. kur

adresu2 + 6y = 16 arba y2 + 6m + 9 = 16 + 9.

Sprendimas.Išraiškosadresu2 + 6m + 9Ir16 + 9 geometriškai pavaizduoti

tas pats kvadratas ir pradinė lygtisadresu2 + 6m - 16 + 9 - 9 = 0yra ta pati lygtis. Iš kur mes tai gaunamey + 3 = ± 5,arbaadresu1 = 2, m2 = - 8 (ryžiai..

pav.13

3) Išspręskite geometrinę lygtįadresu2 – 6 m. – 16 = 0.

Transformuodami lygtį, gauname

adresu2 - 6m = 16.

14 paveiksle randame išraiškos „vaizdus“.adresu2 - 6u,tie. iš kvadrato, kurio kraštinė yra y, ploto atimkite du kartus kvadrato, kurio kraštinė lygi, plotą3 . Taigi, jei išraiškaadresu2 -6mpapildyti9 , tada gauname kvadrato su kraštine plotąy – 3. Išraiškos pakeitimasadresu2 -6mlygus skaičius 16,

mes gauname:(y - 3)2 = 16 + 9, tie.y - 3 = ± √25, arba y - 3 = ± 5, kuradresu1 = 8 Iradresu2 = - 2.

14 pav

Išvada

Atliekant tiriamąjį darbą, manau, kad susidorojau su užsibrėžtu tikslu ir uždaviniais, pavyko apibendrinti ir susisteminti studijuotą medžiagą minėta tema.

Yra daug būdų, kaip išspręsti kvadratines lygtis. Radau 10 būdų, kaip išspręsti kvadratines lygtis. Pažymėtina, kad ne visi yra patogūs spręsti, tačiau kiekvienas iš jų yra savaip unikalus. Kai kurie sprendimai padeda sutaupyti laiko, o tai svarbu sprendžiant testų ir egzaminų užduotis. Dirbdamas su tema išsikėliau uždavinį išsiaiškinti, kurie metodai yra standartiniai, o kurie nestandartiniai.

Taigi,standartiniai metodai(dažniau naudojamas sprendžiant kvadratines lygtis):

• Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant formules
• Vietos teorema
• Grafinis lygčių sprendimas
• Kairiosios pusės faktorius
• Pilnas kvadrato pasirinkimas

Nestandartiniai metodai:

• Sprendimas perkeliant koeficientus
• Kvadratinės lygties koeficientų savybės
• Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant kompasą ir tiesiąją.
• Sprendimas naudojant nomogramą
• Geometrinis būdas

Spręsdamas sau kvadratines lygtis, padariau tokias išvadas: Norint gerai išspręsti bet kurią kvadratinę lygtį, reikia žinoti:

diskriminanto radimo formulė;

kvadratinės lygties šaknų radimo formulė;

šio tipo lygčių sprendimo algoritmai.

galėti:

išspręsti nepilnas kvadratines lygtis;

išspręsti pilnas kvadratines lygtis;

išspręsti duotąsias kvadratines lygtis;

išspręstose lygtyse rasti klaidas ir jas ištaisyti;

atlikti patikrinimą.

Manau, kad mano darbas bus įdomus 8 klasės mokiniams, taip pat tiems, kurie nori išmokti racionaliai spręsti kvadratines lygtis ir gerai pasiruošti baigiamiesiems egzaminams. Per matematikos pamokas bendramoksliams pasakojau kvadratinių lygčių Nr.5 ir 6 sprendimo būdus, vaikinams patiko. Tai bus įdomu ir matematikos mokytojams, nes savo darbe nagrinėjau ne tik kvadratinių lygčių sprendimo būdus, bet ir jų raidos istoriją.

Lliteratūra

1. Mordkovich, A. G. Algebra.8 kl. Vadovėlis ugdymo įstaigoms / A.G. Mordkovičius.-M. : Mnemosyne 2011.-260s.
2. Mordkovičius, A.G. Algebra.8 klasė. Užduočių sąsiuvinis ugdymo įstaigoms / A.G. Mordkovičius.-M. : Mnemosyne 2011.-270s.
3. Glazeris, G.I. Matematikos istorija mokykloje / G.I. Glaser.-M.: Švietimas, 1982 - 340 m.
4. Gusevas, V.A. Matematika. Pamatinė medžiaga / V.A. Gusevas, A.G. Mordkovičius - M.: Švietimas, 1988, 372p.
5. Bradis, V.M. Keturių skaitmenų matematinės lentelės vidurinei mokyklai / V.M., Bradis-M.: Apšvietos, 1990-
6. Vietos teorema – Prieigos režimas:.http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-francua-vieta / Vietos teorema(nuotolinės prieigos ištekliai (internetas)). 2013-12-10.
7. Kvadratinės lygtys – prieigos režimas:http://revolution.allbest.ru/pedagogy/00249255_0.html (nuotolinės prieigos ištekliai (internetas)). 10.01.2014.