Skaičių seka yra aritmetinė ir geometrinė. Aritmetinė ir geometrinė progresija

Jei kiekvienas natūralusis skaičius n atitinka tikrąjį skaičių a n , tada jie sako, kad duota skaičių seka :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Taigi, skaitinė seka yra natūralaus argumento funkcija.

Skaičius a 1 paskambino pirmasis sekos narys , numeris a 2 — antrasis sekos narys , numeris a 3 — trečias ir taip toliau. Skaičius a n paskambino n-asis sekos narys , ir natūralusis skaičius n — jo numeris .

Iš dviejų kaimyninių narių a n Ir a n +1 narių sekos a n +1 paskambino vėliau (link a n ), A a n — ankstesnis (link a n +1 ).

Norėdami nurodyti seką, turite nurodyti metodą, leidžiantį rasti sekos narį su bet kokiu skaičiumi.

Dažnai seka pateikiama su n-ojo termino formulės , tai yra formulė, leidžianti nustatyti sekos narį pagal jo skaičių.

Pavyzdžiui,

teigiamų nelyginių skaičių seka gali būti pateikta formule

a n= 2n- 1,

ir kaitaliojimosi seka 1 Ir -1 - formulė

b n = (-1)n +1 . ◄

Seka gali būti nustatyta pasikartojanti formulė, tai yra formulė, išreiškianti bet kurį sekos narį, pradedant kai kuriais, per ankstesnius (vieną ar kelis) narius.

Pavyzdžiui,

Jeigu a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jeigu a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada pirmieji septyni skaitinės sekos nariai nustatomi taip:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekos gali būti galutinis Ir begalinis .

Seka vadinama galutinis jei ji turi baigtinį narių skaičių. Seka vadinama begalinis jei ji turi be galo daug narių.

Pavyzdžiui,

dviženklių natūraliųjų skaičių seka:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

galutinis.

Pirminių skaičių seka:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

begalinis. ◄

Seka vadinama didėja , jei kiekvienas jo narys, pradedant nuo antrojo, yra didesnis už ankstesnįjį.

Seka vadinama silpsta , jei kiekvienas jo narys, pradedant nuo antrojo, yra mažesnis už ankstesnįjį.

Pavyzdžiui,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . yra didėjanti seka;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . yra mažėjanti seka. ◄

Vadinama seka, kurios elementai didėjant skaičiui nemažėja arba, atvirkščiai, nedidėja monotoniška seka .

Visų pirma monotoninės sekos yra didėjančios ir mažėjančios sekos.

Aritmetinė progresija

Aritmetinė progresija vadinama seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, prie kurio pridedamas toks pat skaičius.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

yra bet kurio natūraliojo skaičiaus aritmetinė progresija n sąlyga įvykdyta:

a n +1 = a n + d,

Kur d - kažkoks skaičius.

Taigi skirtumas tarp kito ir ankstesnio tam tikros aritmetinės progresijos narių visada yra pastovus:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Skaičius d paskambino aritmetinės progresijos skirtumas.

Norint nustatyti aritmetinę progresiją, pakanka nurodyti pirmąjį jos narį ir skirtumą.

Pavyzdžiui,

Jeigu a 1 = 3, d = 4 , tada pirmieji penki sekos nariai randami taip:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Aritmetinei progresijai su pirmuoju nariu a 1 ir skirtumas d ją n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Pavyzdžiui,

rasti trisdešimtąjį aritmetinės progresijos narį

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

tada aišku

kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesnių ir paskesnių narių aritmetiniam vidurkiui.

skaičiai a, b ir c yra nuoseklūs tam tikros aritmetinės progresijos nariai tada ir tik tada, kai vienas iš jų yra lygus kitų dviejų aritmetiniam vidurkiui.

Pavyzdžiui,

a n = 2n- 7 , yra aritmetinė progresija.

Naudokime aukščiau pateiktą teiginį. Mes turime:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Vadinasi,

◄

Prisimink tai n -tąjį aritmetinės progresijos narį galima rasti ne tik per a 1 , bet ir visus ankstesnius a k

a n = a k + (n- k)d.

Pavyzdžiui,

Dėl a 5 galima parašyti

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

tada aišku

bet kuris aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrosios, yra lygus pusei šios aritmetinės progresijos narių sumos, vienodu atstumu nuo jos.

Be to, bet kuriai aritmetinei progresijai yra teisinga lygybė:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Pavyzdžiui,

aritmetinėje progresijoje

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, nes

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

Pirmas n aritmetinės progresijos nariai yra lygūs pusės kraštutinių narių sumos sandaugai iš narių skaičiaus:

Iš to visų pirma išplaukia, kad jei būtina terminus sumuoti

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada ankstesnė formulė išlaiko savo struktūrą:

Pavyzdžiui,

aritmetinėje progresijoje 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jei pateikiama aritmetinė progresija, tada dydžiai a 1 , a n, d, n IrS n susietos dviem formulėmis:

Todėl, jei pateikiamos trijų iš šių dydžių reikšmės, tada iš šių formulių nustatomos atitinkamos kitų dviejų dydžių reikšmės, sujungtos į dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą.

Aritmetinė progresija yra monotoniška seka. Kur:

• Jeigu d > 0 , tada jis didėja;
• Jeigu d < 0 , tada jis mažėja;
• Jeigu d = 0 , tada seka bus stacionari.

Geometrinė progresija

geometrinė progresija vadinama seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

yra bet kurio natūraliojo skaičiaus geometrinė progresija n sąlyga įvykdyta:

b n +1 = b n · q,

Kur q ≠ 0 - kažkoks skaičius.

Taigi kito šios geometrinės progresijos nario santykis su ankstesniu yra pastovus skaičius:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Skaičius q paskambino geometrinės progresijos vardiklis.

Norint nustatyti geometrinę progresiją, pakanka nurodyti pirmąjį jos narį ir vardiklį.

Pavyzdžiui,

Jeigu b 1 = 1, q = -3 , tada pirmieji penki sekos nariai randami taip:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ir vardiklis q ją n - terminą galima rasti pagal formulę:

b n = b 1 · q n -1 .

Pavyzdžiui,

rasti septintą geometrinės progresijos narį 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

tada aišku

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

kiekvienas geometrinės progresijos narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesnių ir paskesnių narių geometriniam vidurkiui (proporciniam).

Kadangi teisinga ir atvirkščiai, galioja toks teiginys:

skaičiai a, b ir c yra nuoseklūs tam tikros geometrinės progresijos nariai tada ir tik tada, kai vieno iš jų kvadratas yra lygus kitų dviejų sandaugai, tai yra, vienas iš skaičių yra kitų dviejų geometrinis vidurkis.

Pavyzdžiui,

įrodykime, kad formulės pateikta seka b n= -3 2 n , yra geometrinė progresija. Naudokime aukščiau pateiktą teiginį. Mes turime:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Vadinasi,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

kuris įrodo reikalingą teiginį. ◄

Prisimink tai n geometrinės progresijos terminą galima rasti ne tik per b 1 , bet ir bet kuris ankstesnis terminas b k , kuriam pakanka naudoti formulę

b n = b k · q n - k.

Pavyzdžiui,

Dėl b 5 galima parašyti

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · 2 k,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

tada aišku

b n 2 = b n - k· b n + k

bet kurio geometrinės progresijos nario kvadratas, pradedant nuo antrojo, yra lygus šios progresijos narių, nutolusių nuo jos vienodu atstumu, sandaugai.

Be to, bet kokiai geometrinei progresijai galioja lygybė:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Pavyzdžiui,

eksponentiškai

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , nes

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

Pirmas n geometrinės progresijos nariai su vardikliu q ≠ 0 apskaičiuojamas pagal formulę:

Ir kada q = 1 - pagal formulę

S n= n.b. 1

Atkreipkite dėmesį, kad jei mums reikia susumuoti terminus

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada naudojama formulė:

Pavyzdžiui,

eksponentiškai 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jei pateikiama geometrinė progresija, tada dydžiai b 1 , b n, q, n Ir S n susietos dviem formulėmis:

Todėl, jei pateikiamos bet kurių trijų iš šių dydžių reikšmės, tada iš šių formulių nustatomos atitinkamos kitų dviejų dydžių reikšmės, sujungtos į dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą.

Geometrinei progresijai su pirmuoju nariu b 1 ir vardiklis q vyksta šie dalykai monotoniškumo savybės :

• progresavimas didėja, jei įvykdoma viena iš šių sąlygų:

b 1 > 0 Ir q> 1;

b 1 < 0 Ir 0 < q< 1;

• Progresas mažėja, jei įvykdoma viena iš šių sąlygų:

b 1 > 0 Ir 0 < q< 1;

b 1 < 0 Ir q> 1.

Jeigu q< 0 , tada geometrinė progresija yra ženklų kaitaliojama: jos nelyginiai terminai turi tą patį ženklą kaip ir pirmasis narys, o lyginiai – priešingą ženklą. Akivaizdu, kad kintamoji geometrinė progresija nėra monotoniška.

Pirmojo gaminys n Geometrinės progresijos terminai gali būti apskaičiuojami pagal formulę:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Pavyzdžiui,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Be galo mažėjanti geometrinė progresija

Be galo mažėjanti geometrinė progresija vadinama begaline geometrine progresija, kurios vardiklio modulis yra mažesnis už 1 , tai yra

|q| < 1 .

Atminkite, kad be galo mažėjanti geometrinė progresija gali būti ne mažėjanti seka. Tai tinka šiuo atveju

1 < q< 0 .

Su tokiu vardikliu seka yra kintamoji. Pavyzdžiui,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma įvardykite skaičių, į kurį sueina pirmoji suma n progresavimo terminai su neribotu skaičiaus padidėjimu n . Šis skaičius visada yra baigtinis ir išreiškiamas formule

Pavyzdžiui,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmetinės ir geometrinės progresijos ryšys

Aritmetinė ir geometrinė progresijos yra glaudžiai susijusios. Panagrinėkime tik du pavyzdžius.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Tai

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Pavyzdžiui,

1, 3, 5, . . . — aritmetinė progresija su skirtumu 2 Ir

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . yra geometrinė progresija su vardikliu 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . yra geometrinė progresija su vardikliu q , Tai

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmetinė progresija su skirtumu žurnalas aq .

Pavyzdžiui,

2, 12, 72, . . . yra geometrinė progresija su vardikliu 6 Ir

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetinė progresija su skirtumu lg 6 . ◄

Vida y= f(x), x APIE N, Kur N yra natūraliųjų skaičių aibė (arba natūraliojo argumento funkcija), pažymėta y=f(n) arba y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Vertybės y 1 ,y 2 ,y 3 ,… vadinami atitinkamai pirmuoju, antruoju, trečiuoju, ... sekos nariais.

Pavyzdžiui, dėl funkcijos y= n 2 galima parašyti:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Sekų nustatymo metodai. Sekas galima nurodyti įvairiais būdais, iš kurių trys yra ypač svarbūs: analitinė, aprašomoji ir pasikartojanti.

1. Seka pateikiama analitiškai, jei pateikta jos formulė n- narys:

y n=f(n).

Pavyzdys. y n= 2n- 1 – nelyginių skaičių seka: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Aprašomasis skaitinę seką galima nurodyti taip, kad ji paaiškina, iš kokių elementų seka sudaryta.

1 pavyzdys. "Visi sekos nariai yra lygūs 1." Tai reiškia, kad mes kalbame apie stacionarią seką 1, 1, 1, …, 1, ….

2 pavyzdys. "Seka susideda iš visų pirminių skaičių didėjimo tvarka." Taigi, pateikiama seka 2, 3, 5, 7, 11, …. Šiame pavyzdyje taip nurodant seką, sunku atsakyti, kam lygus, tarkime, 1000-asis sekos elementas.

3. Pasikartojantis būdas nurodyti seką yra tai, kad nurodoma taisyklė, leidžianti apskaičiuoti n-tasis sekos narys, jei žinomi ankstesni jos nariai. Pasikartojančio metodo pavadinimas kilęs iš lotyniško žodžio pasikartojantis- grįžk. Dažniausiai tokiais atvejais nurodoma formulė, leidžianti išreikšti n eilės narį per ankstesnius ir nurodykite 1–2 pradinius sekos narius.

1 pavyzdys y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 jei n = 2, 3, 4,….

Čia y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Matyti, kad šiame pavyzdyje gautą seką taip pat galima nurodyti analitiškai: y n= 4n- 1.

2 pavyzdys y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 jei n = 3, 4,….

Čia: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Šiame pavyzdyje sudaryta seka yra specialiai ištirta matematikoje, nes ji turi daug įdomių savybių ir pritaikymų. Ji vadinama Fibonačio seka – pagal italų matematiką XIII a. Fibonačio seką rekursyviai apibrėžti labai lengva, bet analitiškai labai sunku. n Fibonačio skaičius išreiškiamas eilės skaičiumi pagal šią formulę.

Iš pirmo žvilgsnio formulė n Fibonačio skaičius atrodo neįtikimas, nes formulėje, nurodančioje tik natūraliųjų skaičių seką, yra kvadratinių šaknų, tačiau pirmąsias kelias formules galite patikrinti „rankiniu būdu“ n.

Skaitinių sekų savybės.

Skaitinė seka yra ypatingas skaitinės funkcijos atvejis, todėl sekoms taip pat atsižvelgiama į daugybę funkcijų savybių.

Apibrėžimas . Pasekmė ( y n} vadinamas didėjančiu, jei kiekvienas jo narys (išskyrus pirmąjį) yra didesnis už ankstesnį:

y 1 m. 2 m 3 m. n n +1

Apibrėžimas.Seka ( y n} vadinamas mažėjančiu, jei kiekvienas jo narys (išskyrus pirmąjį) yra mažesnis už ankstesnį:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Didėjančias ir mažėjančias sekas vienija bendras terminas – monotoninės sekos.

1 pavyzdys y 1 = 1; y n= n 2 yra didėjanti seka.

Taigi teisinga sekanti teorema (būdinga aritmetinės progresijos savybė). Skaičių seka yra aritmetinė tada ir tik tada, kai kiekvienas jos narys, išskyrus pirmąjį (ir baigtinės sekos atveju paskutinį), yra lygus ankstesnių ir paskesnių narių aritmetiniam vidurkiui.

Pavyzdys. Kokia verte x skaičiai 3 x + 2, 5x– 4 ir 11 x+ 12 sudaro baigtinę aritmetinę progresiją?

Pagal būdingą savybę pateiktos išraiškos turi tenkinti santykį

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Išsprendus šią lygtį gaunama x= –5,5. Su šia verte x pateiktos išraiškos 3 x + 2, 5x– 4 ir 11 x+ 12 atitinkamai paimkite reikšmes -14,5, –31,5, –48,5. Tai aritmetinė progresija, jos skirtumas yra -17.

Geometrinė progresija.

Skaičių seka, kurios visi nariai yra ne nuliai, o kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, gaunamas iš ankstesnio nario, padauginus iš to paties skaičiaus q, vadinamas geometrine progresija, o skaičiumi q- geometrinės progresijos vardiklis.

Taigi geometrinė progresija yra skaitinė seka ( b n) rekursyviai pateikiami santykiais

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b Ir q- duotus skaičius, b ≠ 0, q ≠ 0).

1 pavyzdys. 2, 6, 18, 54, ... - didėjanti geometrinė progresija b = 2, q = 3.

2 pavyzdys. 2, -2, 2, -2, ... – geometrinė progresija b= 2,q= –1.

3 pavyzdys. 8, 8, 8, 8, … – geometrinė progresija b= 8, q= 1.

Geometrinė progresija yra didėjanti seka, jei b 1 > 0, q> 1 ir mažėja, jei b 1 > 0, 0q

Viena iš akivaizdžių geometrinės progresijos savybių yra ta, kad jei seka yra geometrinė progresija, tai kvadratų seka, t.y.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… yra geometrinė progresija, kurios pirmasis narys yra lygus b 1 2 , o vardiklis yra q 2 .

Formulė n- geometrinės progresijos narys turi formą

b n= b 1 q n– 1 .

Galite gauti baigtinės geometrinės progresijos terminų sumos formulę.

Tegul yra baigtinė geometrinė progresija

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

leisti S n - jos narių suma, t.y.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Tai priimta q Nr 1. Nustatyti S n taikomas dirbtinis triukas: atliekamos kai kurios geometrinės išraiškos transformacijos S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Taigi, S n q= S n +b n q – b 1 ir todėl

Tai yra formulė su umma n geometrinės progresijos narių tuo atveju, kai q≠ 1.

At q= 1 formulė negali būti išvesta atskirai, akivaizdu, kad šiuo atveju S n= a 1 n.

Geometrinė progresija pavadinta todėl, kad joje kiekvienas narys, išskyrus pirmąjį, yra lygus ankstesnių ir vėlesnių terminų geometriniam vidurkiui. Tiesa, nuo

b n = b n- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

vadinasi, b n 2= b n– 1 mlrd + 1 ir ši teorema yra teisinga (būdinga geometrinės progresijos savybė):

skaitinė seka yra geometrinė progresija tada ir tik tada, kai kiekvieno jos nario kvadratas, išskyrus pirmąjį (ir paskutinįjį, jei yra baigtinė seka), yra lygus ankstesnių ir vėlesnių narių sandaugai.

Sekos riba.

Tegul būna seka ( c n} = {1/n}. Ši seka vadinama harmonine, nes kiekvienas jos narys, pradedant nuo antrojo, yra harmoninis vidurkis tarp ankstesnių ir paskesnių narių. Geometrinis skaičių vidurkis a Ir b yra skaičius

Priešingu atveju seka vadinama divergentine.

Remiantis šiuo apibrėžimu, galima, pavyzdžiui, įrodyti, kad egzistuoja riba A=0 harmoninei sekai ( c n} = {1/n). Tegu ε yra savavališkai mažas teigiamas skaičius. Mes svarstome skirtumą

Ar yra toks N kad visiems n≥ N nelygybė 1 /N? Jei imamas kaip N bet koks natūralusis skaičius, didesnis už 1/ε , tada visiems n ≥ N nelygybė 1 /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Kartais labai sunku įrodyti tam tikros sekos ribos egzistavimą. Dažniausiai pasitaikančios sekos yra gerai ištirtos ir išvardytos žinynuose. Yra svarbių teoremų, kurios leidžia daryti išvadą, kad tam tikra seka turi ribą (ir net ją apskaičiuoti), remiantis jau ištirtomis sekomis.

1 teorema. Jei seka turi ribą, tai ji yra ribojama.

2 teorema. Jeigu seka monotoniška ir ribojama, tai ji turi ribą.

3 teorema. Jei seka ( a n} turi limitą A, tada sekos ( ca n}, {a n+ c) ir (| a n|} turi ribas cA, A +c, |A| atitinkamai (čia c yra savavališkas skaičius).

4 teorema. Jei sekos ( a n} Ir ( b n) turi lygias ribas A Ir B pa n + qb n) turi ribą pA+ qB.

5 teorema. Jei sekos ( a n) Ir ( b n) turi lygias ribas A Ir B atitinkamai seka ( a n b n) turi ribą AB.

6 teorema. Jei sekos ( a n} Ir ( b n) turi lygias ribas A Ir B atitinkamai ir papildomai b n ≠ 0 ir B≠ 0, tada seka ( a n / b n) turi ribą A/B.

Anna Chugainova

Kažkas žodį „progresavimas“ traktuoja atsargiai, kaip labai sudėtingą terminą iš aukštosios matematikos skyrių. Tuo tarpu paprasčiausia aritmetinė progresija yra taksi skaitiklio darbas (kur jie vis dar lieka). O suprasti aritmetinės sekos esmę (o matematikoje nėra nieko svarbiau už „suprasti esmę“) nėra taip sunku, išanalizavus keletą elementarių sąvokų.

Matematinė skaičių seka

Įprasta skaičių seka vadinti skaičių seka, kurių kiekviena turi savo numerį.

ir 1 yra pirmasis sekos narys;

ir 2 yra antrasis sekos narys;

ir 7 yra septintasis sekos narys;

ir n yra n-tasis sekos narys;

Tačiau mūsų nedomina joks savavališkas skaičių ir skaičių rinkinys. Sutelksime dėmesį į skaitinę seką, kurioje n-ojo nario reikšmė yra susieta su eilės skaičiumi priklausomybe, kurią galima aiškiai suformuluoti matematiškai. Kitaip tariant: n-ojo skaičiaus skaitinė reikšmė yra tam tikra n funkcija.

a - skaitinės sekos nario reikšmė;

n yra jo serijos numeris;

f(n) yra funkcija, kurios eilės eilė skaičių sekoje n yra argumentas.

Apibrėžimas

Aritmetine progresija paprastai vadinama skaitinė seka, kurioje kiekvienas paskesnis narys yra didesnis (mažesnis) nei ankstesnis tuo pačiu skaičiumi. Aritmetinės sekos n-ojo nario formulė yra tokia:

a n – esamo aritmetinės progresijos nario reikšmė;

a n+1 – kito skaičiaus formulė;

d – skirtumas (tam tikras skaičius).

Nesunku nustatyti, kad jei skirtumas yra teigiamas (d>0), tai kiekvienas paskesnis nagrinėjamos eilutės narys bus didesnis nei ankstesnis, ir tokia aritmetinė progresija bus didėjanti.

Žemiau esančiame grafike nesunku suprasti, kodėl skaičių seka vadinama „didėjančia“.

Tais atvejais, kai skirtumas yra neigiamas (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Nurodyto nario vertė

Kartais reikia nustatyti kokio nors savavališko aritmetinės progresijos nario a n reikšmę. Tai galite padaryti paeiliui apskaičiuodami visų aritmetinės progresijos narių reikšmes, nuo pirmosios iki norimos. Tačiau toks būdas ne visada priimtinas, jei, pavyzdžiui, reikia rasti penkių tūkstantosios ar aštuonios milijoninės dalies vertę. Tradicinis skaičiavimas užtruks ilgai. Tačiau tam tikrą aritmetinę progresiją galima ištirti naudojant tam tikras formules. Taip pat yra n-ojo nario formulė: bet kurio aritmetinės progresijos nario vertė gali būti nustatyta kaip pirmojo progresijos nario suma su progresijos skirtumu, padauginta iš norimo nario skaičiaus, atėmus vieną. .

Formulė yra universali progresavimui didinti ir mažinti.

Duoto nario vertės apskaičiavimo pavyzdys

Išspręskime tokį aritmetinės progresijos n-ojo nario reikšmės radimo uždavinį.

Sąlyga: yra aritmetinė progresija su parametrais:

Pirmasis sekos narys yra 3;

Skaičių serijų skirtumas yra 1,2.

Užduotis: reikia rasti 214 terminų reikšmę

Sprendimas: norėdami nustatyti tam tikro nario vertę, naudojame formulę:

a(n) = a1 + d(n-1)

Pakeitę problemos teiginio duomenis į išraišką, gauname:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Atsakymas: 214-asis sekos narys yra lygus 258,6.

Šio skaičiavimo metodo pranašumai yra akivaizdūs – visas sprendimas užima ne daugiau kaip 2 eilutes.

Tam tikro terminų skaičiaus suma

Labai dažnai tam tikroje aritmetinėje serijoje reikia nustatyti kai kurių jos segmentų verčių sumą. Taip pat nereikia skaičiuoti kiekvieno termino verčių ir tada jų susumuoti. Šis metodas taikomas, jei terminų, kurių sumą reikia rasti, skaičius yra mažas. Kitais atvejais patogiau naudoti šią formulę.

Aritmetinės progresijos nuo 1 iki n narių suma yra lygi pirmojo ir n-ojo narių sumai, padaugintai iš nario skaičiaus n ir padalytai iš dviejų. Jei formulėje n-ojo nario reikšmė pakeičiama išraiška iš ankstesnės straipsnio pastraipos, gauname:

Skaičiavimo pavyzdys

Pavyzdžiui, išspręskime problemą su šiomis sąlygomis:

Pirmasis sekos narys yra nulis;

Skirtumas yra 0,5.

Užduotyje reikia nustatyti serijos terminų sumą nuo 56 iki 101.

Sprendimas. Progresijos sumai nustatyti naudokite formulę:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Pirma, mes nustatome 101 progresijos nario verčių sumą, pakeisdami pateiktas mūsų problemos sąlygas į formulę:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Akivaizdu, kad norint sužinoti progresijos nuo 56 iki 101 terminų sumą, iš S 101 reikia atimti S 55.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Taigi šio pavyzdžio aritmetinės progresijos suma yra tokia:

101 s – 55 \u003d 2 525 – 742,5 \u003d 1 782,5

Aritmetinės progresijos praktinio taikymo pavyzdys

Straipsnio pabaigoje grįžkime prie pirmoje pastraipoje pateiktos aritmetinės sekos pavyzdžio – taksometras (taksi automobilio matuoklis). Panagrinėkime tokį pavyzdį.

Įlipimas į taksi (į kurį įeina 3 km) kainuoja 50 rublių. Už kiekvieną kitą kilometrą mokama 22 rubliai / km. Kelionės atstumas 30 km. Apskaičiuokite kelionės kainą.

1. Išmeskime pirmus 3 km, kurių kaina įskaičiuota į nusileidimo kainą.

30 - 3 = 27 km.

2. Tolesnis skaičiavimas yra ne kas kita, kaip aritmetinių skaičių serijų analizavimas.

Nario numeris yra nuvažiuotų kilometrų skaičius (atėmus pirmuosius tris).

Nario vertė yra suma.

Pirmasis šios problemos terminas bus lygus 1 = 50 rublių.

Progresijos skirtumas d = 22 p.

mus dominantis skaičius - (27 + 1) aritmetinės progresijos nario reikšmė - skaitiklio rodmuo 27 kilometro pabaigoje - 27,999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Savavališkai ilgo laikotarpio kalendoriaus duomenų skaičiavimai yra pagrįsti formulėmis, apibūdinančiomis tam tikras skaitines sekas. Astronomijoje orbitos ilgis geometriškai priklauso nuo dangaus kūno atstumo iki šviestuvo. Be to, įvairios skaitinės eilutės sėkmingai naudojamos statistikoje ir kitose taikomosiose matematikos šakose.

Kita skaičių sekos rūšis yra geometrinė

Geometrinei progresijai būdingas didelis pokyčio greitis, palyginti su aritmetine. Neatsitiktinai politikoje, sociologijoje, medicinoje dažnai, norėdami parodyti didelį konkretaus reiškinio plitimo greitį, pavyzdžiui, ligos epidemijos metu, sakoma, kad procesas vystosi eksponentiškai.

N-asis geometrinių skaičių serijos narys skiriasi nuo ankstesnio, nes jis padauginamas iš pastovaus skaičiaus - vardiklis, pavyzdžiui, pirmasis narys yra 1, vardiklis yra atitinkamai 2, tada:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - dabartinio geometrinės progresijos nario reikšmė;

b n+1 - kito geometrinės progresijos nario formulė;

q yra geometrinės progresijos (pastovaus skaičiaus) vardiklis.

Jei aritmetinės progresijos grafikas yra tiesi linija, tada geometrinė piešia šiek tiek kitokį vaizdą:

Kaip ir aritmetikos atveju, geometrinė progresija turi savavališko nario vertės formulę. Bet kuris n-asis geometrinės progresijos narys yra lygus pirmojo nario sandaugai ir progresijos vardiklio iki laipsnio n, sumažinto vienetu, sandaugai:

Pavyzdys. Turime geometrinę progresiją, kurios pirmasis narys lygus 3, o progresijos vardiklis lygus 1,5. Raskite 5 progresijos narį

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5–1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Tam tikro narių skaičiaus suma taip pat apskaičiuojama naudojant specialią formulę. Pirmųjų n geometrinės progresijos narių suma yra lygi skirtumui tarp n-ojo progresijos nario ir jo vardiklio sandaugos ir pirmojo progresijos nario, padalijus iš vardiklio, sumažinto vienetu:

Jei b n pakeičiamas naudojant aukščiau aptartą formulę, nagrinėjamos skaičių serijos pirmųjų n narių sumos reikšmė bus tokia:

Pavyzdys. Geometrinė progresija prasideda nuo pirmojo nario, kuris lygus 1. Vardiklis nustatomas lygus 3. Raskime pirmųjų aštuonių narių sumą.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

SKAITINĖS SEKOS

ARITMETINĖ IR GEOMETRINĖ PROGRESIJA

Jei kiekvienas natūralusis skaičius n numeris atitiko Xn, tada jie taip sako skaitinė seka X 1, X 2, …, Xn, ….

Skaičių sekos žymėjimas {X n } .

Tuo pačiu ir skaičiai X 1, X 2, …, Xn, … yra vadinami sekos nariai .

Pagrindiniai skaitinių sekų nurodymo būdai

1. Vienas iš patogiausių būdų – nustatyti seką jo bendrojo termino formulė : Xn = f(n), n Î N.

Pavyzdžiui, Xn = n 2 + 2n+ 3 X 1 = 6, X 2 = 11, X 3 = 18, X 4 = 27, …

2. tiesioginis perdavimas ribotas pirmųjų narių skaičius.

Pavyzdžiui, https://pandia.ru/text/80/155/images/image002_9.gif" width="87" height="46 src=">

3. Pasikartojantis ryšys , t.y. formulė, išreiškianti n-dėmenį per ankstesnį vieną ar daugiau narių.

Pavyzdžiui, netoli Fibonačio vadinama skaičių seka

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., kuris nustatomas rekursyviai:

X 1 = 1, X 2 = 1, Xn+1 = xn + xn–1 (n = 2, 3, 4, …).

Aritmetinės operacijos su sekomis

1. suma (skirtumas) sekos ( An) Ir ( mlrd cn } = { an ± mlrd}.

2. dirbti sekos ( An) Ir ( mlrd) vadinama seka ( cn } = { an× mlrd}.

3. Privatus sekos ( An) Ir ( mlrd }, mlrd¹ 0 vadinama seka ( cn } = { an×/ mlrd}.

Skaitinių sekų savybės

1. Seka ( Xn) vadinamas apribota iš viršaus M n nelygybę Xn £ M.

2. Seka ( Xn) vadinamas apribota iš apačios jei yra toks tikrasis skaičius m, kuri visoms gamtos vertybėms n nelygybę Xn ³ m.

3. Seka ( Xn) vadinamas didėja n nelygybę Xn < Xn+1.

4. Seka ( Xn) vadinamas silpsta, jei visoms gamtos vertybėms n nelygybę Xn > Xn+1.

5. Seka ( Xn) vadinamas nedidėjantis, jei visoms gamtos vertybėms n nelygybę Xn ³ Xn+1.

6. Seka ( Xn) vadinamas nemažėjantis, jei visoms gamtos vertybėms n nelygybę Xn £ Xn+1.

Vadinamos didėjančios, mažėjančios, nedidėjančios, nemažėjančios sekos monotoniškas sekos, didinant ir mažinant - griežtai monotoniškas.

Pagrindiniai metodai, naudojami tiriant monotoniškumo seką

1. Naudojant apibrėžimą.

a) Tirtai sekai ( Xn) yra skirtumas

Xn – Xn+1, o tada išsiaiškinama, ar šis skirtumas išlaiko pastovų ženklą bet kuriam n Î N, o jei taip, kokį. Atsižvelgiant į tai, daroma išvada apie sekos monotoniškumą (nemonotoniškumą).

b) pastovaus ženklo sekoms ( Xn) galite užmegzti ryšį Xn+1/Xn ir palyginkite su vienu.

Jei šis santykis visiems n yra didesnis už vienetą, tada griežtai teigiamai sekai daroma išvada apie jos padidėjimą, o griežtai neigiamai - atitinkamai apie jos sumažėjimą.

Jei šis santykis visiems n yra ne mažesnis už vieną, tai griežtai teigiamai sekai daroma išvada, kad ji yra nemažėjanti, o griežtai neigiamai atitinkamai apie nedidėjanti.

Jei šis santykis kai kuriais skaičiais n daugiau nei vienas ir su kitais skaičiais n mažiau nei vienas, tai rodo nemonotonišką sekos pobūdį.

2. Perėjimas prie tikrojo argumento funkcijos.

Tegul reikia ištirti skaitinės sekos monotoniškumą

An = f(n), n Î N.

Įveskime į tikrojo argumento funkciją X:

f(X) = A(X), X³ 1,

ir patikrinkite jo monotoniškumą.

Jei funkcija yra diferencijuojama nagrinėjamame intervale, tada randame jos išvestinę ir tiriame ženklą.

Jei išvestinė yra teigiama, tada funkcija didėja.

Jei išvestinė yra neigiama, tada funkcija mažėja.

Grįžtant prie natūralių argumento verčių, šiuos rezultatus išplečiame į pradinę seką.

Skaičius A paskambino sekos riba Xn, jei bet kuriam savavališkai mažam teigiamam skaičiui e yra toks natūralusis skaičius N kad visiems skaičiams n > N nelygybė | xn – a | < e.

Sumos skaičiavimas n pirmieji sekos nariai

1. Sekos bendrojo nario kaip dviejų ar daugiau posakių skirtumo vaizdavimas tokiu būdu, kad pakeičiant dauguma tarpinių narių sumažėja, o suma gerokai supaprastėja.

2. Patikrinti ir įrodyti jau egzistuojančias formules pirmųjų sekų narių sumoms rasti galima naudoti matematinės indukcijos metodą.

3. Kai kurias sekų problemas galima sumažinti iki aritmetinių arba geometrinių progresijų uždavinių.

Aritmetinė ir geometrinė progresija

Pagrindiniai problemų sprendimo metodai progresuojant

1. Vienas iš labiausiai paplitusių sprendimo būdų aritmetinės progresijos uždaviniai susideda iš to, kad visi progresavimo nariai, susiję su problemos būsena, išreiškiami progresavimo skirtumu d a d Ir A 1.

2. Plačiai paplitęs ir laikomas standartiniu sprendimo būdu geometrinės progresijos problemos , kai visi uždavinio sąlygoje atsirandantys geometrinės progresijos nariai išreiškiami progresijos vardikliu q ir bet kuris jo narys, dažniausiai pirmasis b 1. Remiantis uždavinio sąlygomis, sukompiliuojama ir išsprendžiama sistema su nežinomaisiais q Ir b 1.

Problemų sprendimo pavyzdžiai

1 užduotis .

Duota seka Xn = 4n(n 2 + 1) – (6n 2+1). Raskite sumą sn Pirmas nšios sekos nariai.

Sprendimas. Transformuokime bendro sekos nario išraišką:

Xn = 4n(n 2 + 1) – (6n 2 + 1) = 4n 3 + 4n – 6n 2 – 1 = n 4 – n 4 + 4n 3 – 6n 2 + 4n – 1 =

= n 4 – (n 4 – 4n 3 + 6n 2 – 4n+ 1) = n 4 – (n – 1)4.

sn = x 1 + x 2 + x 3 + … + xn = (14 – 04) + (24 – 14) + (34 – 24) + … + (n 4 – (n – 1)4) = n 4.

2 užduotis .

Duota seka An = 3n+ 2..gif" width="429" height="45">.

Iš čia, A(3n + 5) +B(3n + 2) = 1,

(3A + 3B)n + (5A + 2B) = 1.

n.

n 1 | 3A + 3B = 0,

n0 | 5 A + 2B = 1.

A = 1/3, IN = –1/3.

Taigi, https://pandia.ru/text/80/155/images/image012_2.gif" width="197" height="45">.gif" width="113" height="45">.gif " plotis="39" aukštis="41 src="> An. Ar skaičius 1980 yra šios sekos narys? Jei taip, nustatykite jo numerį.

Sprendimas. Išrašykime pirmąjį nšios sekos nariai:

A 1 = 2, , https://pandia.ru/text/80/155/images/image021.gif" width="63" height="41">.gif" width="108" height="41"> .gif" width="93" height="41">.

Padauginkime šias lygybes:

A 1A 2A 3A 4A 5…an-2an-1an = A 1A 2A 3A 4A 5…an-2an-1.

Iš čia, an = n(n + 1).

Tada, 1980 = n(n+ 1) n 2 + n– 1980 = 0 Û n = –45 < 0, n= 44 О N.

Atsakymas: taip, n = 44.

4 užduotis .

Raskite sumą S = A 1 + A 2 + A 3 + … + An numeriai A 1, A 2, A 3, …,An, kuri bet kokiam natūraliam n patenkinti lygybę sn = A 1 + 2A 2 + 3A 3 + … + nAn = .

Sprendimas. S 1 = a 1 = 2/3.

Dėl n > 1, na = sn – sn–1 = – https://pandia.ru/text/80/155/images/image029_0.gif" width="216" height="48 src=">.

Iš čia, =https://pandia.ru/text/80/155/images/image032.gif" width="244" height="44">,

A(n + 1)(n + 2) + mlrd(n + 2) + Cn(n + 1) = 1

(A + B + C)n 2 + (3A + 2B + C)n + 2A = 1,

Sulyginkite koeficientus prie atitinkamų laipsnių n.

n 2 | A + B + C= 0,

n 1 | 3A + 2B+ C = 0,

n0 | 2 A = 1.

Išspręsdami gautą sistemą, gauname A = 1/2, IN= –1, C = 1/2.

Taigi, https://pandia.ru/text/80/155/images/image034.gif" width="139" height="45 src=">.gif" width="73" height="41">,

kur, , n > 1,

S¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image040_0.gif" width="233" height="45 src=">=.

S¢¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image043_0.gif" width="257" height="45 src=">=.

S = A 1 + A 2 + A 3 + … + An = A 1 +=

=A 1 +https://pandia.ru/text/80/155/images/image047_0.gif" width="72" height="41 src=">= =

5 užduotis .

Raskite didžiausią sekos narį .

Sprendimas. Padėkime mlrd = –n 2 + 8n – 7 = 9 – (n – 4)2, .

Prieš pradėdami spręsti aritmetinės progresijos uždaviniai, apsvarstykite, kas yra skaičių seka, nes aritmetinė progresija yra ypatingas skaičių sekos atvejis.

Skaičių seka yra skaitinė rinkinys, kurio kiekvienas elementas turi savo serijos numerį. Šios aibės elementai vadinami sekos nariais. Sekos elemento eilės numeris nurodomas indeksu:

Pirmasis sekos elementas;

Penktasis sekos elementas;

- "n-tas" sekos elementas, t.y. elementas „stovi eilėje“ numeriu n.

Tarp sekos elemento reikšmės ir eilės skaičiaus yra priklausomybė. Todėl seką galime laikyti funkcija, kurios argumentas yra sekos elemento eilės skaičius. Kitaip tariant, galima sakyti seka yra natūralaus argumento funkcija:

Seka gali būti nurodyta trimis būdais:

1 . Seka gali būti nurodyta naudojant lentelę.Šiuo atveju mes tiesiog nustatome kiekvieno sekos nario reikšmę.

Pavyzdžiui, Kažkas nusprendė užsiimti asmeniniu laiko valdymu ir iš pradžių apskaičiuoti, kiek laiko per savaitę praleidžia „VKontakte“. Įrašydamas laiką į lentelę, jis gaus seką, susidedančią iš septynių elementų:

Pirmoje lentelės eilutėje yra savaitės dienos skaičius, antroje - laikas minutėmis. Matome, kad, tai yra, pirmadienį Kažkas „VKontakte“ praleido 125 minutes, tai yra, ketvirtadienį - 248 minutes, o tai yra, penktadienį, tik 15.

2 . Seka gali būti nurodyta naudojant n-ojo nario formulę.

Šiuo atveju sekos elemento reikšmės priklausomybė nuo jo skaičiaus išreiškiama tiesiogiai kaip formulė.

Pavyzdžiui, jei , tada

Norėdami rasti sekos elemento vertę su nurodytu skaičiumi, elemento numerį pakeičiame į n-ojo nario formulę.

Tą patį darome, jei reikia rasti funkcijos reikšmę, jei argumento reikšmė yra žinoma. Vietoj to funkcijos lygtyje pakeičiame argumento reikšmę:

Jei pvz. , Tai

Dar kartą atkreipiu dėmesį, kad sekoje, priešingai nei savavališkoje skaitinėje funkcijoje, tik natūralusis skaičius gali būti argumentas.

3 . Seka gali būti nurodyta naudojant formulę, kuri išreiškia sekos skaičiumi n nario reikšmės priklausomybę nuo ankstesnių narių reikšmės. Šiuo atveju mums neužtenka žinoti tik sekos nario skaičių, kad rastume jo reikšmę. Turime nurodyti pirmąjį sekos narį arba keletą pirmųjų narių.

Pavyzdžiui, apsvarstykite seką ,

Mes galime rasti sekos narių reikšmes sekoje, pradedant nuo trečio:

Tai yra, kiekvieną kartą norėdami rasti n-ojo sekos nario reikšmę, grįžtame prie ankstesnių dviejų. Šis sekos nustatymo būdas vadinamas pasikartojantis, iš lotyniško žodžio pasikartojantis- grįžk.

Dabar galime apibrėžti aritmetinę progresiją. Aritmetinė progresija yra paprastas ypatingas skaitinės sekos atvejis.

Aritmetinė progresija vadinama skaitine seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, pridedamam tuo pačiu skaičiumi.

Skambina numeriu aritmetinės progresijos skirtumas. Aritmetinės progresijos skirtumas gali būti teigiamas, neigiamas arba nulis.

If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} didėja.

Pavyzdžiui, 2; 5; 8; vienuolika;...

Jei , tada kiekvienas aritmetinės progresijos narys yra mažesnis nei ankstesnis, o progresija yra silpsta.

Pavyzdžiui, 2; -1; -4; -7;...

Jei , tada visi progresijos nariai yra lygūs tam pačiam skaičiui, o progresija yra stacionarus.

Pavyzdžiui, 2;2;2;2;...

Pagrindinė aritmetinės progresijos savybė:

Pažiūrėkime į paveikslėlį.

Mes tai matome

, ir tuo pačiu metu

Sudėjus šias dvi lygybes, gauname:

.

Padalinkite abi lygties puses iš 2:

Taigi kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus dviejų gretimų aritmetiniam vidurkiui:

Be to, nuo

, ir tuo pačiu metu

, Tai

, taigi

Kiekvienas aritmetinės progresijos narys, prasidedantis raide title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

nario formulė.

Matome, kad aritmetinės progresijos nariams galioja tokie ryšiai:

ir, galiausiai

Mes turime n-ojo nario formulė.

SVARBU! Bet kuris aritmetinės progresijos narys gali būti išreikštas ir . Žinodami pirmąjį narį ir aritmetinės progresijos skirtumą, galite rasti bet kurį jos narį.

Aritmetinės progresijos n narių suma.

Savavališkoje aritmetinėje progresijoje terminų sumos, vienodais atstumu nuo kraštutinių, yra lygios viena kitai:

Apsvarstykite aritmetinę progresiją su n narių. Tegul šios progresijos n narių suma lygi .

Pirmiausia sutvarkykite progreso sąlygas skaičių didėjimo tvarka, o tada mažėjimo tvarka:

Suporuokime:

Suma kiekviename skliaustelyje yra , porų skaičius yra n.

Mes gauname:

Taigi, n aritmetinės progresijos narių sumą galima rasti naudojant formules:

Apsvarstykite sprendžiant aritmetinės progresijos uždavinius.

1 . Seka pateikiama pagal n-ojo nario formulę: . Įrodykite, kad ši seka yra aritmetinė progresija.

Įrodykime, kad skirtumas tarp dviejų gretimų sekos narių yra lygus tam pačiam skaičiui.

Gavome, kad dviejų gretimų sekos narių skirtumas nepriklauso nuo jų skaičiaus ir yra konstanta. Todėl pagal apibrėžimą ši seka yra aritmetinė progresija.

2 . Duota aritmetinė progresija -31; -27;...

a) Raskite 31 progresijos narį.

b) Nustatykite, ar skaičius 41 įtrauktas į šią progresiją.

A) Mes tai matome;

Užrašykime savo progresijos n-ojo nario formulę.

Apskritai

Mūsų atveju , Štai kodėl