Trapecija yra ypatingas keturkampio atvejis, kai viena kraštinių pora yra lygiagreti. Terminas „trapecija“ kilęs iš graikų kalbos žodžio τράπεζα, reiškiančio „stalas“, „stalas“. Šiame straipsnyje apžvelgsime trapecijos tipus ir jų savybes. Be to, išsiaiškinsime, kaip apskaičiuoti atskirus elementus, pavyzdžiui, lygiašonės trapecijos įstrižainę, vidurio liniją, plotą ir tt Medžiaga pateikiama elementarios populiariosios geometrijos stiliumi, t.y. lengvai prieinama forma. .
Bendra informacija
Pirmiausia išsiaiškinkime, kas yra keturkampis. Ši figūra yra ypatingas daugiakampio, turinčio keturias kraštines ir keturias viršūnes, atvejis. Dvi keturkampio viršūnės, kurios nėra gretimos, vadinamos priešingomis. Tą patį galima pasakyti apie dvi negretimas puses. Pagrindiniai keturkampių tipai yra lygiagretainis, stačiakampis, rombas, kvadratas, trapecija ir deltinis.
Taigi grįžkime prie trapecijos. Kaip jau minėjome, ši figūra turi dvi lygiagrečias puses. Jie vadinami bazėmis. Kitos dvi (nelygiagrečios) yra šoninės pusės. Egzaminų ir įvairių testų medžiagoje dažnai galima rasti problemų, susijusių su trapecijomis, kurių sprendimas dažnai reikalauja, kad mokinys turėtų programoje nenumatytų žinių. Mokyklos geometrijos kursas supažindina mokinius su kampų ir įstrižainių savybėmis, taip pat lygiašonės trapecijos vidurio linija. Tačiau, be to, minėta geometrinė figūra turi ir kitų savybių. Bet apie juos kiek vėliau...
Trapecijos tipai
Yra daug šios figūros tipų. Tačiau dažniausiai įprasta laikyti du iš jų - lygiašonius ir stačiakampius.
1. Stačiakampė trapecija yra figūra, kurios viena iš kraštinių yra statmena pagrindams. Jos du kampai visada lygūs devyniasdešimt laipsnių.
2. Lygiašonė trapecija yra geometrinė figūra, kurios kraštinės yra lygios viena kitai. Tai reiškia, kad kampai prie pagrindų taip pat yra lygūs poromis.
Pagrindiniai trapecijos savybių tyrimo metodikos principai
Pagrindinis principas apima vadinamojo užduočių metodo naudojimą. Tiesą sakant, nereikia įvesti naujų šios figūros savybių į teorinį geometrijos kursą. Jas galima atrasti ir suformuluoti sprendžiant įvairias problemas (geriausia sistemines). Kartu labai svarbu, kad mokytojas žinotų, kokias užduotis vienu ar kitu ugdymo proceso metu reikia skirti mokiniams. Be to, kiekviena trapecijos savybė gali būti pavaizduota kaip pagrindinė užduotis užduočių sistemoje.
Antrasis principas yra vadinamasis spiralinis trapecijos „nepaprastų“ savybių tyrimo organizavimas. Tai reiškia, kad mokymosi proceso metu grįžtama prie individualių tam tikros geometrinės figūros ypatybių. Taip mokiniams lengviau juos atsiminti. Pavyzdžiui, keturių taškų savybė. Tai galima įrodyti tiek tiriant panašumą, tiek vėliau naudojant vektorius. O trikampių, esančių šalia figūros šoninių kraštinių, lygiavertiškumą galima įrodyti taikant ne tik vienodo aukščio trikampių, nubrėžtų toje pačioje tiesėje esančiose kraštinėse, savybes, bet ir naudojant formulę S = 1/2( ab*sinα). Be to, galite dirbti su įbrėžta trapecija arba stačiu trikampiu ant įbrėžtos trapecijos ir pan.
„Nepamokinių“ geometrinės figūros ypatybių naudojimas mokyklos kurso turinyje yra užduotimis pagrįsta jų mokymo technologija. Nuolatinis remtis tiriamomis savybėmis nagrinėjant kitas temas leidžia mokiniams giliau suprasti trapeciją ir užtikrina sėkmę sprendžiant priskirtas problemas. Taigi, pradėkime tyrinėti šią nuostabią figūrą.
Lygiašonės trapecijos elementai ir savybės
Kaip jau minėjome, ši geometrinė figūra turi lygias puses. Jis taip pat žinomas kaip teisinga trapecija. Kodėl jis toks nuostabus ir kodėl gavo tokį pavadinimą? Šios figūros ypatumas yra tas, kad ne tik kraštinės ir kampai prie pagrindų yra vienodi, bet ir įstrižainės. Be to, lygiašonės trapecijos kampų suma yra 360 laipsnių. Bet tai dar ne viskas! Iš visų žinomų trapecijų tik lygiašonis gali būti apibūdintas kaip apskritimas. Taip yra dėl to, kad šios figūros priešingų kampų suma yra lygi 180 laipsnių, ir tik esant tokiai sąlygai galima apibūdinti apskritimą aplink keturkampį. Kita nagrinėjamos geometrinės figūros savybė yra ta, kad atstumas nuo pagrindo viršūnės iki priešingos viršūnės projekcijos į tiesę, kurioje yra šis pagrindas, bus lygus vidurio linijai.
Dabar išsiaiškinkime, kaip rasti lygiašonės trapecijos kampus. Panagrinėkime šios problemos sprendimą, jei žinomi figūros kraštinių matmenys.
Sprendimas
Paprastai keturkampis paprastai žymimas raidėmis A, B, C, D, kur BS ir AD yra pagrindas. Lygiašonės trapecijos kraštinės yra lygios. Darysime prielaidą, kad jų dydis lygus X, o pagrindų dydžiai lygūs Y ir Z (atitinkamai mažesni ir didesni). Norint atlikti skaičiavimą, reikia nubrėžti aukštį H nuo kampo B. Gaunamas stačiakampis trikampis ABN, kur AB yra hipotenuzė, o BN ir AN yra kojos. Apskaičiuojame kojos dydį AN: iš didesnio pagrindo atimame mažesnę, o rezultatą padalijame iš 2. Rašome formulės forma: (Z-Y)/2 = F. Dabar apskaičiuokite ūminį trikampio kampą, naudojame cos funkciją. Gauname tokį įrašą: cos(β) = X/F. Dabar apskaičiuojame kampą: β=arcos (X/F). Be to, žinodami vieną kampą, galime nustatyti antrąjį, tam atliekame elementarią aritmetinę operaciją: 180 - β. Visi kampai yra apibrėžti.
Yra ir antras šios problemos sprendimas. Pirmiausia nuleidžiame nuo kampo į aukštį H. Apskaičiuojame kojos vertę BN. Žinome, kad stačiojo trikampio hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai. Gauname: BN = √(X2-F2). Toliau naudojame trigonometrinę funkciją tg. Dėl to gauname: β = arctan (BN/F). Buvo rastas ūminis kampas. Toliau mes jį apibrėžiame panašiai kaip pirmasis metodas.
Lygiašonės trapecijos įstrižainių savybė
Pirmiausia užsirašykime keturias taisykles. Jei lygiašonės trapecijos įstrižainės yra statmenos, tada:
Figūros aukštis bus lygus bazių sumai, padalytai iš dviejų;
Jo aukštis ir vidurio linija yra vienodi;
Apskritimo centras yra taškas, kuriame ;
Jei šoninė kraštinė yra padalinta pagal liesties tašką į atkarpas H ir M, tai ji lygi šių atkarpų sandaugos kvadratinei šakniai;
Keturkampis, kurį sudaro lietimo taškai, trapecijos viršūnė ir įbrėžto apskritimo centras, yra kvadratas, kurio kraštinė lygi spinduliui;
Figūros plotas lygus pagrindų sandaugai ir pusės pagrindų sumos bei jos aukščio sandaugai.
Panašios trapecijos
Ši tema labai patogi tiriant šio savybes Pavyzdžiui, įstrižainės dalija trapeciją į keturis trikampius, o esantys greta pagrindų yra panašūs, o esantys prie šonų yra vienodo dydžio. Šį teiginį galima pavadinti trikampių savybe, į kuriuos trapecija padalinta jos įstrižainėmis. Pirmoji šio teiginio dalis įrodoma per panašumo ženklą dviem kampais. Norint įrodyti antrąją dalį, geriau naudoti toliau pateiktą metodą.
Teoremos įrodymas
Pripažįstame, kad figūra ABSD (AD ir BS yra trapecijos pagrindai) yra padalinta iš įstrižainių VD ir AC. Jų susikirtimo taškas yra O. Gauname keturis trikampius: AOS - apatiniame pagrinde, BOS - viršutiniame pagrinde, ABO ir SOD šonuose. Trikampiai SOD ir BOS turi bendrą aukštį, jei atkarpos BO ir OD yra jų pagrindai. Pastebime, kad skirtumas tarp jų plotų (P) yra lygus skirtumui tarp šių segmentų: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Todėl PSOD = PBOS/K. Panašiai trikampiai BOS ir AOB turi bendrą aukštį. Jų pagrindu imame CO ir OA segmentus. Gauname PBOS/PAOB = CO/OA = K ir PAOB = PBOS/K. Iš to išplaukia, kad PSOD = PAOB.
Medžiagai įtvirtinti, mokiniams rekomenduojama rasti ryšį tarp gautų trikampių, į kuriuos trapecija padalinta įstrižainėmis, plotų, sprendžiant šį uždavinį. Yra žinoma, kad trikampių BOS ir AOD plotai yra vienodi, reikia rasti trapecijos plotą. Kadangi PSOD = PAOB, tai reiškia PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Iš trikampių BOS ir AOD panašumo išplaukia, kad BO/OD = √(PBOS/PAOD). Todėl PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Gauname PSOD = √ (PBOS*PAOD). Tada PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.
Panašumo savybės
Plėtodami šią temą, galime įrodyti ir kitas įdomias trapecijos ypatybes. Taigi, naudojant panašumą, galima įrodyti atkarpos savybę, kuri eina per tašką, suformuotą šios geometrinės figūros įstrižainių susikirtimo lygiagrečiai su bazėmis. Norėdami tai padaryti, išspręskime šią užduotį: reikia rasti atkarpos RK, kuri eina per tašką O, ilgį. Iš trikampių AOD ir BOS panašumo išplaukia, kad AO/OS = AD/BS. Iš trikampių AOP ir ASB panašumo išplaukia, kad AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Iš čia gauname, kad RO=BS*BP/(BS+BP). Panašiai iš trikampių DOC ir DBS panašumo išplaukia, kad OK = BS*AD/(BS+AD). Iš čia gauname, kad RO=OK ir RK=2*BS*AD/(BS+AD). Atkarpa, einanti per įstrižainių susikirtimo tašką, lygiagreti pagrindams ir jungianti dvi šonines puses, yra padalinta per pusę iš susikirtimo taško. Jo ilgis yra harmoninis figūros pagrindų vidurkis.
Apsvarstykite šią trapecijos savybę, kuri vadinama keturių taškų savybe. Įstrižainių susikirtimo taškai (O), kraštinių tęsinio susikirtimo taškai (E), taip pat pagrindų vidurio taškai (T ir F) visada yra toje pačioje tiesėje. Tai galima lengvai įrodyti panašumo metodu. Gauti trikampiai BES ir AED yra panašūs, o kiekviename iš jų medianos ET ir EJ padalija viršūnės kampą E į lygias dalis. Todėl taškai E, T ir F yra toje pačioje tiesėje. Lygiai taip pat taškai T, O ir Zh yra toje pačioje tiesėje. Visa tai išplaukia iš trikampių BOS ir AOD panašumo. Iš čia daroma išvada, kad visi keturi taškai – E, T, O ir F – bus toje pačioje tiesėje.
Naudodami panašias trapecijas, galite paprašyti mokinių surasti atkarpos (LS), kuri padalija figūrą į dvi panašias, ilgį. Šis segmentas turi būti lygiagretus pagrindams. Kadangi gautos trapecijos ALFD ir LBSF yra panašios, tai BS/LF = LF/AD. Iš to išplaukia, kad LF=√(BS*AD). Pastebime, kad atkarpos, dalijančios trapeciją į dvi panašias, ilgis lygus figūros pagrindų ilgių geometriniam vidurkiui.
Apsvarstykite šią panašumo savybę. Jis pagrįstas atkarpa, padalijančia trapeciją į dvi lygias figūras. Darome prielaidą, kad trapecija ABSD yra padalinta iš atkarpos EH į dvi panašias. Iš viršūnės B praleidžiamas aukštis, kuris segmentu EN yra padalintas į dvi dalis - B1 ir B2. Gauname: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 ir PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Toliau sudarome sistemą, kurios pirmoji lygtis yra (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2, o antroji (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Iš to išplaukia, kad B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) ir BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Pastebime, kad atkarpos, dalijančios trapeciją į dvi lygias, ilgis yra lygus bazių ilgių kvadratiniam vidurkiui: √((BS2+AD2)/2).
Panašumo išvados
Taigi mes įrodėme, kad:
1. Atkarpa, jungianti trapecijos šoninių kraštinių vidurio taškus, yra lygiagreti AD ir BS ir yra lygi BS ir AD aritmetiniam vidurkiui (trapecijos pagrindo ilgiui).
2. Tiesė, einanti per AD ir BS lygiagrečių įstrižainių susikirtimo tašką O, bus lygi skaičių AD ir BS harmoniniam vidurkiui (2*BS*AD/(BS+AD)).
3. Atkarpa, dalijanti trapeciją į panašias, turi bazių BS ir AD geometrinio vidurkio ilgį.
4. Elementas, dalijantis figūrą į dvi lygias dalis, turi skaičių AD ir BS vidurkio kvadrato ilgį.
Norint įtvirtinti medžiagą ir suprasti ryšį tarp nagrinėjamų segmentų, studentas turi juos sukonstruoti konkrečiai trapecijai. Jis gali lengvai parodyti vidurinę liniją ir atkarpą, kuri eina per tašką O – figūros įstrižainių sankirtą – lygiagrečiai pagrindams. Bet kur bus trečiasis ir ketvirtasis? Šis atsakymas paskatins mokinį atrasti norimą ryšį tarp vidutinių verčių.
Atkarpa, jungianti trapecijos įstrižainių vidurio taškus
Apsvarstykite šią šio paveikslo savybę. Darome prielaidą, kad atkarpa MH yra lygiagreti pagrindams ir dalija įstrižaines. Pavadinkime susikirtimo taškus Ш ir Ш Ši atkarpa bus lygi pusei bazių skirtumo. Pažvelkime į tai išsamiau. MS yra vidurinė ABS trikampio linija, ji lygi BS/2. MSH yra trikampio ABD vidurinė linija, ji lygi AD/2. Tada gauname, kad ShShch = MSh-MSh, todėl ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.
Svorio centras
Pažiūrėkime, kaip šis elementas nustatomas tam tikrai geometrinei figūrai. Norėdami tai padaryti, būtina išplėsti pagrindus priešingomis kryptimis. Ką tai reiškia? Turite pridėti apatinį pagrindą prie viršutinio pagrindo - bet kuria kryptimi, pavyzdžiui, į dešinę. O apatinį pratęsiame viršutinio ilgiu į kairę. Toliau juos sujungiame įstrižai. Šios atkarpos susikirtimo su figūros vidurio linija taškas yra trapecijos svorio centras.
Įbrėžtos ir apribotos trapecijos
Išvardinkime tokių figūrų ypatybes:
1. Trapeciją galima įbrėžti į apskritimą tik tada, kai ji lygiašonė.
2. Aplink apskritimą galima aprašyti trapeciją, jei jų pagrindų ilgių suma lygi kraštinių ilgių sumai.
Apskritimo išvados:
1. Aprašytos trapecijos aukštis visada lygus dviem spinduliams.
2. Aprašytos trapecijos kraštinė stebima nuo apskritimo centro stačiu kampu.
Pirmoji pasekmė yra akivaizdi, tačiau norint įrodyti antrąjį, būtina nustatyti, kad kampas SOD yra teisingas, o tai, tiesą sakant, taip pat nėra sunku. Tačiau žinios apie šią savybę leis naudoti stačiakampį trikampį sprendžiant problemas.
Dabar nurodykime šias pasekmes lygiašonei trapecijai, įbrėžtai apskritime. Nustatome, kad aukštis yra figūros pagrindų geometrinis vidurkis: H=2R=√(BS*AD). Praktikuodamas pagrindinę trapecijos uždavinių sprendimo techniką (dviejų aukščių brėžimo principą), studentas turi išspręsti šią užduotį. Darome prielaidą, kad BT yra lygiašonės figūros ABSD aukštis. Būtina rasti segmentus AT ir TD. Naudojant aukščiau aprašytą formulę, tai padaryti nebus sunku.
Dabar išsiaiškinkime, kaip nustatyti apskritimo spindulį, naudojant apibrėžtos trapecijos plotą. Nuleidžiame aukštį nuo viršūnės B iki pagrindo AD. Kadangi apskritimas įrašytas į trapeciją, tai BS+AD = 2AB arba AB = (BS+AD)/2. Iš trikampio ABN randame sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Gauname PABSD = (BS+BP)*R, tai reiškia, kad R = PABSD/(BS+BP).
Visos trapecijos vidurio linijos formulės
Dabar atėjo laikas pereiti prie paskutinio šios geometrinės figūros elemento. Išsiaiškinkime, kam lygi trapecijos vidurinė linija (M):
1. Per pagrindus: M = (A+B)/2.
2. Per aukštį, pagrindą ir kampus:
M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;
M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.
3. Per aukštį, įstrižaines ir kampą tarp jų. Pavyzdžiui, D1 ir D2 yra trapecijos įstrižainės; α, β - kampai tarp jų:
M = D1*D2*sinα/2Н = D1*D2*sinβ/2Н.
4. Praėjimo plotas ir aukštis: M = P/N.
Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Jei reikia – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismo procese ir (arba) remiantis viešais prašymais arba Rusijos Federacijos valdžios institucijų prašymais – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
\[(\Large(\tekstas(Laisva trapecija)))\]
Apibrėžimai
Trapecija yra išgaubtas keturkampis, kurio dvi kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi kraštinės nėra lygiagrečios.
Lygiagrečios trapecijos kraštinės vadinamos jos pagrindais, o kitos dvi kraštinės – šoninėmis.
Trapecijos aukštis yra statmenas, nubrėžtas iš bet kurio vieno pagrindo taško į kitą pagrindą.
Teoremos: trapecijos savybės
1) Kampų suma šone yra \(180^\circ\) .
2) Įstrižainės padalija trapeciją į keturis trikampius, iš kurių du yra panašūs, o kiti du yra vienodo dydžio.
Įrodymas
1) Nes \(AD\parallel BC\), tada kampai \(\kampas BAD\) ir \(\kampas ABC\) yra vienpusiai šioms linijoms ir skersinei \(AB\), todėl \(\angle BAD +\angle ABC=180^\circ\).
2) Nes \(AD\parallel BC\) ir \(BD\) yra sekantas, tada \(\angle DBC=\angle BDA\) yra skersai.
Taip pat \(\angle BOC=\angle AOD\) kaip vertikali.
Todėl dviem kampais \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).
Įrodykime tai \(S_(\trikampis AOB)=S_(\trikampis COD)\). Tegul \(h\) yra trapecijos aukštis. Tada \(S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triangle ACD)\). Tada: \
Apibrėžimas
Trapecijos vidurio linija yra atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus.
Teorema
Trapecijos vidurio linija lygiagreti pagrindams ir lygi jų pusinei sumai.
įrodymas*
1) Įrodykime paraleliškumą.
Per tašką \(M\) nubrėžkime tiesę \(MN"\parallel AD\) (\(N"\CD\) ). Tada pagal Thaleso teoremą (nuo \(MN"\parallel AD\parallel BC, AM = MB\)) taškas \(N"\) yra atkarpos \(CD\) vidurys. Tai reiškia, kad taškai \(N\) ir \(N"\) sutaps.
2) Įrodykime formulę.
Atlikime \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Leiskite \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).
Tada pagal Thaleso teoremą \(M"\) ir \(N"\) yra atitinkamai atkarpų \(BB"\) ir \(CC"\) vidurio taškai. Tai reiškia, kad \(MM"\) yra \(\triangle ABB"\) vidurinė linija, \(NN"\) yra \(\triangle DCC"\) vidurinė eilutė. Štai kodėl: \
Nes \(MN\parallel AD\parallel BC\) ir \(BB", CC"\perp AD\), tada \(B"M"N"C"\) ir \(BM"N"C\) yra stačiakampiai. Pagal Thaleso teoremą, iš \(MN\parallel AD\) ir \(AM=MB\) išplaukia, kad \(B"M"=M"B\) . Taigi \(B"M"N"C "\) ir \(BM"N"C\) yra lygūs stačiakampiai, todėl \(M"N"=B"C"=BC\) .
Taigi:
\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]
Teorema: savavališkos trapecijos savybė
Pagrindų vidurio taškai, trapecijos įstrižainių susikirtimo taškas ir šoninių kraštinių tęsinių susikirtimo taškas yra toje pačioje tiesėje.
įrodymas*
Su įrodymu rekomenduojama susipažinti išstudijavus temą „Trikampių panašumas“.
1) Įrodykime, kad taškai \(P\) , \(N\) ir \(M\) yra toje pačioje tiesėje.
Nubrėžkime tiesę \(PN\) (\(P\) – šoninių kraštinių plėtinių susikirtimo taškas, \(N\) – \(BC\) vidurys). Tegul jis kerta kraštinę \(AD\) taške \(M\) . Įrodykime, kad \(M\) yra \(AD\) vidurio taškas.
Apsvarstykite \(\trikampis BPN\) ir \(\trikampis APM\) . Jie yra panašūs dviem kampais (\(\angle APM\) – bendras, \(\angle PAM=\kampas PBN\), kaip atitinka \(AD\parallel BC\) ir \(AB\) sekantą). Priemonės: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]
Apsvarstykite \(\trikampis CPN\) ir \(\triangle DPM\) . Jie yra panašūs dviem kampais (\(\angle DPM\) – bendras, \(\angle PDM=\kampas PCN\), kaip atitinka \(AD\parallel BC\) ir \(CD\) sekantą). Priemonės: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]
Iš čia \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Bet \(BN=NC\) todėl \(AM=DM\) .
2) Įrodykime, kad taškai \(N, O, M\) yra toje pačioje tiesėje.
Tegul \(N\) yra \(BC\) vidurio taškas, o \(O\) yra įstrižainių susikirtimo taškas. Nubrėžkime tiesę \(NO\) , ji kirs kraštinę \(AD\) taške \(M\) . Įrodykime, kad \(M\) yra \(AD\) vidurio taškas.
\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) išilgai dviejų kampų (\(\angle OBN=\angle ODM\), esantis skersai ties \(BC\parallel AD\) ir \(BD\) sekante; \(\angle BON=\kampas DOM\) kaip vertikaliai). Priemonės: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]
Taip pat \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Priemonės: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]
Iš čia \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Bet \(BN=CN\) todėl \(AM=MD\) .
\[(\Large(\text(Lygiašonė trapecija)))\]
Apibrėžimai
Trapecija vadinama stačiakampe, jei vienas iš jos kampų yra teisingas.
Trapecija vadinama lygiašone, jei jos kraštinės yra lygios.
Teoremos: lygiašonės trapecijos savybės
1) Lygiašonė trapecija turi vienodus pagrindo kampus.
2) Lygiašonės trapecijos įstrižainės lygios.
3) Du trikampiai, sudaryti iš įstrižainių ir pagrindo, yra lygiašoniai.
Įrodymas
1) Apsvarstykite lygiašonę trapeciją \(ABCD\) .
Iš viršūnių \(B\) ir \(C\) statmenus \(BM\) ir \(CN\) nuleidžiame atitinkamai į šoną \(AD\). Kadangi \(BM\perp AD\) ir \(CN\perp AD\) , tada \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , tada \(MBCN\) yra lygiagretainis, todėl \(BM = CN\) .
Apsvarstykite stačiuosius trikampius \(ABM\) ir \(CDN\) . Kadangi jų hipotenzės yra lygios, o kojelė \(BM\) yra lygi koja \(CN\), šie trikampiai yra lygūs, todėl \(\angle DAB = \angle CDA\) .
2) 
Nes \(AB=CD, \kampas A=\kampas D, AD\)- bendras, tada pagal pirmąjį ženklą. Todėl \(AC=BD\) .
3) Nes \(\trikampis ABD=\trikampis ACD\), tada \(\angle BDA=\angle CAD\) . Todėl trikampis \(\trikampis AOD\) yra lygiašonis. Panašiai įrodyta, kad \(\trikampis BOC\) yra lygiašonis.
Teoremos: lygiašonės trapecijos ženklai
1) Jei trapecijos pagrindo kampai yra vienodi, tada ji yra lygiašonė.
2) Jei trapecijos įstrižainės yra lygios, tada ji yra lygiašonė.
Įrodymas
Apsvarstykite trapeciją \(ABCD\) taip, kad \(\kampas A = \kampas D\) .
Užbaikime trapeciją iki trikampio \(AED\), kaip parodyta paveikslėlyje. Kadangi \(\kampas 1 = \kampas 2\) , tada trikampis \(AED\) yra lygiašonis ir \(AE = ED\) . Kampai \(1\) ir \(3\) yra lygūs lygiagrečių linijų \(AD\) ir \(BC\) ir sekanto \(AB\) atitinkamiems kampams. Panašiai kampai \(2\) ir \(4\) yra lygūs, bet \(\kampas 1 = \kampas 2\), tada \(\kampas 3 = \kampas 1 = \kampas 2 = \kampas 4\), todėl trikampis \(BEC\) taip pat yra lygiašonis ir \(BE = EC\) .
Dėl to \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), tai yra, \(AB = CD\), ką reikėjo įrodyti.
2) Tegu \(AC=BD\) . Nes \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\), tada jų panašumo koeficientą pažymime kaip \(k\) . Tada, jei \(BO=x\) , tada \(OD=kx\) . Panašus į \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .
Nes \(AC=BD\) , tada \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Tai reiškia, kad \(\triangle AOD\) yra lygiašonis, o \(\angle OAD=\angle ODA\) .
Taigi, pagal pirmąjį požymį \(\trikampis ABD=\trikampis ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\)– bendras). Taigi, \(AB=CD\) , kodėl.
