Šiame straipsnyje kalbėsime apie tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimo matricinį metodą, suraskime jo apibrėžimą ir pateiksime sprendimų pavyzdžius.
1 apibrėžimas
Atvirkštinės matricos metodas yra metodas, naudojamas SLAE išspręsti, jei nežinomųjų skaičius lygus lygčių skaičiui.
1 pavyzdys
Raskite n tiesinių lygčių su n nežinomųjų sistemos sprendimą:
11 x 1 + 12 x 2 +. . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n
Matricos įrašymo tipas : A × X = B
čia A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n yra sistemos matrica.
X = x 1 x 2 ⋮ x n – nežinomųjų stulpelis,
B = b 1 b 2 ⋮ b n - laisvųjų koeficientų stulpelis.
Iš gautos lygties reikia išreikšti X. Norėdami tai padaryti, turite padauginti abi kairėje esančios matricos lygties puses iš A - 1:
A – 1 × A × X = A – 1 × B.
Kadangi A - 1 × A = E, tada E × X = A - 1 × B arba X = A - 1 × B.
komentuoti
Atvirkštinė matrica į matricą A turi teisę egzistuoti tik tada, kai tenkinama sąlyga d e t A nėra lygi nuliui. Todėl sprendžiant SLAE atvirkštinės matricos metodu, visų pirma randama d e t A.
Tuo atveju, jei d e t A nėra lygus nuliui, sistema turi tik vieną sprendimo variantą: naudojant atvirkštinės matricos metodą. Jei d e t A = 0, tai sistema negali būti išspręsta šiuo metodu.
Tiesinių lygčių sistemos sprendimo atvirkštinės matricos metodu pavyzdys
2 pavyzdysSLAE sprendžiame atvirkštinės matricos metodu:
2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2
Kaip išspręsti?
- Sistemą užrašome matricinės lygties A X = B forma, kur
A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X = x 1 x 2 x 3, B = 1 3 2.
- X išreiškiame iš šios lygties:
- Raskite matricos A determinantą:
d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25
d e t A nelygu 0, todėl šiai sistemai tinka atvirkštinio matricinio sprendimo metodas.
- Atvirkštinę matricą A - 1 randame naudodami sąjunginę matricą. Apskaičiuojame atitinkamų matricos A elementų algebrinius papildymus A i j:
A 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6,
A 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7,
A 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5,
A 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17,
A 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1,
A 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10,
A 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10,
A 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5,
A 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0.
- Užrašome sąjunginę matricą A *, kurią sudaro matricos A algebriniai papildiniai:
A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0
- Atvirkštinę matricą rašome pagal formulę:
A - 1 = 1 d e t A (A *) T: A - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 ,
- Atvirkštinę matricą A - 1 padauginame iš laisvųjų terminų stulpelio B ir gauname sistemos sprendimą:
X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1
Atsakymas : x 1 = - 1 ; x 2 = 0; x 3 = 1
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Bet kuriai nevienaskaitei matricai A yra unikali matrica A -1 tokia, kad
A*A -1 =A -1 *A = E,
čia E – tos pačios eilės kaip A tapatumo matrica. Matrica A -1 vadinama atvirkštine matricos A.
Jei kas nors pamiršo, tapatybės matricoje, išskyrus įstrižainę, užpildytą vienetais, visos kitos pozicijos užpildomos nuliais, tapatybės matricos pavyzdys:
Atvirkštinės matricos radimas naudojant adjungtinės matricos metodą
Atvirkštinė matrica apibrėžiama pagal formulę:
kur A ij – elementai a ij.
Tie. Norėdami apskaičiuoti atvirkštinę matricą, turite apskaičiuoti šios matricos determinantą. Tada raskite visų jo elementų algebrinius papildymus ir iš jų sukurkite naują matricą. Toliau reikia transportuoti šią matricą. Ir kiekvieną naujosios matricos elementą padalinkite iš pradinės matricos determinanto.
Pažvelkime į kelis pavyzdžius.
Raskite matricos A -1
Sprendimas Raskime A -1 naudodami adjungtinės matricos metodą. Turime det A = 2. Raskime matricos A elementų algebrinius papildinius. Šiuo atveju matricos elementų algebriniai papildiniai bus atitinkami pačios matricos elementai, paimti su ženklu pagal formulę
Turime A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Sudarome adjungtinę matricą
Vežame matricą A*:
Atvirkštinę matricą randame naudodami formulę:
Mes gauname:
Naudodami adjungtinės matricos metodą raskite A -1, jei
Sprendimas Pirmiausia apskaičiuojame šios matricos apibrėžimą, kad patikrintume atvirkštinės matricos egzistavimą. Turime
Čia prie antrosios eilutės elementų pridėjome trečios eilutės elementus, anksčiau padaugintus iš (-1), o tada išplėtėme antros eilutės determinantą. Kadangi šios matricos apibrėžimas skiriasi nuo nulio, tada egzistuoja atvirkštinė matrica. Norėdami sukurti adjungtinę matricą, randame šios matricos elementų algebrinius papildinius. Turime
Pagal formulę
transportavimo matrica A*:
Tada pagal formulę
Atvirkštinės matricos radimas elementariųjų transformacijų metodu
Be atvirkštinės matricos nustatymo metodo, kuris išplaukia iš formulės (adjungtinės matricos metodas), yra ir atvirkštinės matricos radimo metodas, vadinamas elementariųjų transformacijų metodu.
Elementariosios matricos transformacijos
Šios transformacijos vadinamos elementariosios matricos transformacijomis:
1) eilučių (stulpelių) pertvarkymas;
2) eilutės (stulpelio) dauginimas iš kito skaičiaus nei nulis;
3) prie eilutės (stulpelio) elementų pridedami atitinkami kitos eilutės (stulpelio) elementai, anksčiau padauginti iš tam tikro skaičiaus.
Norėdami rasti matricą A -1, sudarome stačiakampę matricą B = (A|E) iš eilių (n; 2n), priskirdami matricai A dešinėje tapatybės matricą E per skiriamąją liniją:
Pažiūrėkime į pavyzdį.
Naudodami elementariųjų transformacijų metodą raskite A -1, jei
Sprendimas sudaro matricą B:
Matricos B eilutes pažymėkime α 1, α 2, α 3. Atlikime tokias transformacijas B matricos eilutėse.
Atvirkštinė duotosios matricos matrica yra tokia matrica, padauginus pradinę, iš kurios gaunama tapatumo matrica: Privaloma ir pakankama atvirkštinės matricos buvimo sąlyga yra ta, kad pradinės matricos determinantas nėra lygus. iki nulio (o tai savo ruožtu reiškia, kad matrica turi būti kvadratinė). Jei matricos determinantas yra lygus nuliui, tada jis vadinamas vienaskaita ir tokia matrica neturi atvirkštinės reikšmės. Aukštojoje matematikoje atvirkštinės matricos yra svarbios ir naudojamos sprendžiant daugybę problemų. Pavyzdžiui, ant rasti atvirkštinę matricą buvo sukonstruotas matricinis lygčių sistemų sprendimo metodas. Mūsų paslaugų svetainė leidžia Apskaičiuokite atvirkštinę matricą internete du metodai: Gauso-Jordano metodas ir naudojant algebrinių priedų matricą. Pirmasis apima daugybę elementariųjų transformacijų matricos viduje, antrasis apima determinanto ir algebrinių priedų skaičiavimą prie visų elementų. Norėdami apskaičiuoti matricos determinantą internete, galite pasinaudoti kita mūsų paslauga - Matricos determinanto skaičiavimas internetu
.Raskite atvirkštinę svetainės matricą
svetainę leidžia rasti atvirkštinė matrica internete greitai ir nemokamai. Svetainėje atliekami skaičiavimai, naudojant mūsų paslaugą, o rezultatas pateikiamas kartu su išsamiu paieškos sprendimu atvirkštinė matrica. Serveris visada pateikia tik tikslų ir teisingą atsakymą. Užduotyse pagal apibrėžimą atvirkštinė matrica internete, būtina, kad determinantas matricos buvo ne nulis, kitaip svetainę praneš, kad atvirkštinės matricos rasti neįmanoma dėl to, kad pradinės matricos determinantas yra lygus nuliui. Užduotis surasti atvirkštinė matrica randama daugelyje matematikos šakų, yra viena iš pagrindinių algebros sąvokų ir matematinė taikomųjų problemų priemonė. Nepriklausomas atvirkštinės matricos apibrėžimas reikalauja didelių pastangų, daug laiko, skaičiavimų ir didelio kruopštumo, kad būtų išvengta rašybos klaidų ar smulkių klaidų skaičiavimuose. Todėl mūsų paslauga rasti atvirkštinę matricą internetežymiai palengvins jūsų užduotį ir taps nepakeičiamu įrankiu sprendžiant matematinius uždavinius. Net jei tu rasti atvirkštinę matricą patys, rekomenduojame patikrinti sprendimą mūsų serveryje. Įveskite savo pradinę matricą mūsų svetainėje Apskaičiuokite atvirkštinę matricą internete ir patikrinkite savo atsakymą. Mūsų sistema niekada nedaro klaidų ir neranda atvirkštinė matrica duotas matmuo režime internete iš karto! Svetainėje svetainę simbolių įrašai leidžiami elementuose matricos, šiuo atveju atvirkštinė matrica internete bus pateikta bendra simboline forma.
Tebūnie n-osios eilės kvadratinė matrica
Matrica A -1 vadinama atvirkštinė matrica matricos A atžvilgiu, jei A*A -1 = E, kur E yra n-osios eilės tapatumo matrica.
Tapatybės matrica- tokia kvadratinė matrica, kurioje visi elementai išilgai pagrindinės įstrižainės, einantys iš viršutinio kairiojo kampo į apatinį dešinįjį kampą, yra vienetai, o likusieji yra nuliai, pavyzdžiui:
Atvirkštinė matrica gali egzistuoti tik kvadratinėms matricoms tie. toms matricoms, kuriose eilučių ir stulpelių skaičius sutampa.
Atvirkštinės matricos egzistavimo sąlygos teorema
Tam, kad matrica turėtų atvirkštinę matricą, būtina ir pakanka, kad ji nebūtų vienaskaita.
Vadinama matrica A = (A1, A2,...A n). neišsigimęs, jei stulpelių vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi. Tiesiškai nepriklausomų matricos stulpelių vektorių skaičius vadinamas matricos rangu. Todėl galime teigti, kad atvirkštinei matricai egzistuoti būtina ir pakanka, kad matricos rangas būtų lygus jos matmeniui, t.y. r = n.
Atvirkštinės matricos radimo algoritmas
- Įrašykite į lentelę lygčių sistemų sprendimo Gauso metodu matricą A ir dešinėje (vietoj dešiniųjų lygčių pusių) priskirkite jai matricą E.
- Naudodami Jordano transformacijas, sumažinkite matricą A į matricą, susidedančią iš vienetinių stulpelių; šiuo atveju būtina tuo pačiu metu transformuoti matricą E.
- Jei reikia, pertvarkykite paskutinės lentelės eilutes (lygtis), kad po pradinės lentelės matrica A gautumėte tapatybės matricą E.
- Užrašykite atvirkštinę matricą A -1, kuri yra paskutinėje lentelėje po pradinės lentelės matrica E.
Matricai A raskite atvirkštinę matricą A -1
Sprendimas: Įrašome matricą A ir dešinėje priskiriame tapatybės matricą E, naudodami Jordano transformacijas, matricą A redukuojame iki tapatybės matricos E. Skaičiavimai pateikti 31.1 lentelėje.
Skaičiavimų teisingumą patikrinkime pradinę matricą A ir atvirkštinę matricą A padauginę -1.
Matricos daugybos rezultate buvo gauta tapatumo matrica. Todėl skaičiavimai buvo atlikti teisingai.
Atsakymas: 
Matricinių lygčių sprendimas
Matricos lygtys gali atrodyti taip:
AX = B, HA = B, AXB = C,
kur A, B, C yra nurodytos matricos, X yra norima matrica.
Matricinės lygtys išsprendžiamos lygtį padauginus iš atvirkštinių matricų.
Pavyzdžiui, norėdami rasti matricą iš lygties, šią lygtį turite padauginti iš kairėje esančios.
Todėl norėdami rasti lygties sprendimą, turite rasti atvirkštinę matricą ir padauginti ją iš matricos, esančios dešinėje lygties pusėje.
Kitos lygtys sprendžiamos panašiai.
Išspręskite lygtį AX = B, jei 
Sprendimas: Kadangi atvirkštinė matrica yra lygi (žr. 1 pavyzdį)
Matricos metodas ekonominėje analizėje
Kartu su kitais jie taip pat naudojami matricos metodai. Šie metodai yra pagrįsti tiesine ir vektorine matricine algebra. Tokie metodai naudojami sudėtingiems ir daugiamačiams ekonomikos reiškiniams analizuoti. Dažniausiai šie metodai taikomi, kai reikia atlikti lyginamąjį organizacijų ir jų struktūrinių padalinių funkcionavimo vertinimą.
Matricinės analizės metodų taikymo procese galima išskirti kelis etapus.
Pirmajame etape formuojama ekonominių rodiklių sistema ir jos pagrindu sudaroma pradinių duomenų matrica, kuri yra lentelė, kurios atskirose eilutėse rodomi sistemos numeriai (i = 1,2,....,n), o vertikaliuose stulpeliuose – rodiklių skaičiai (j = 1,2,....m).
Antrame etape Kiekviename vertikaliame stulpelyje nurodoma didžiausia iš galimų indikatoriaus verčių, kuri laikoma viena.
Po to visos šioje skiltyje atsispindinčios sumos dalijamos iš didžiausios reikšmės ir sudaroma standartizuotų koeficientų matrica.
Trečiajame etape visi matricos komponentai yra kvadratiniai. Jei jie turi skirtingą reikšmę, kiekvienam matricos rodikliui priskiriamas tam tikras svorio koeficientas k. Pastarųjų vertę nustato ekspertų išvada.
Paskutiniame, ketvirtasis etapas rastos įvertinimo reikšmės Rj yra sugrupuoti pagal jų didėjimo ar mažėjimo tvarką.
Nurodytus matricinius metodus reikėtų naudoti, pavyzdžiui, atliekant įvairių investicinių projektų lyginamąją analizę, taip pat vertinant kitus ekonominius organizacijų veiklos rodiklius.
Tęskime pokalbį apie veiksmus su matricomis. Būtent šios paskaitos studijų metu sužinosite, kaip rasti atvirkštinę matricą. Mokykis. Net jei matematika yra sunki.
Kas yra atvirkštinė matrica? Čia galime padaryti analogiją su atvirkštiniais skaičiais: apsvarstykite, pavyzdžiui, optimistinį skaičių 5 ir jo atvirkštinį skaičių. Šių skaičių sandauga lygi vienetui: . Su matricomis viskas panašiai! Matricos ir atvirkštinės matricos sandauga yra lygi – tapatumo matrica, kuris yra skaitinio vieneto matricos analogas. Tačiau pirmiausia išspręskime svarbią praktinę problemą, būtent, išmokime rasti šią labai atvirkštinę matricą.
Ką reikia žinoti ir mokėti, norint rasti atvirkštinę matricą? Turite mokėti apsispręsti kvalifikacijos. Jūs turite suprasti, kas tai yra matrica ir sugebėti su jais atlikti kai kuriuos veiksmus.
Yra du pagrindiniai atvirkštinės matricos nustatymo būdai:
naudojant algebriniai priedai Ir naudojant elementarias transformacijas.
Šiandien mes išnagrinėsime pirmąjį, paprastesnį metodą.
Pradėkime nuo pačių baisiausių ir nesuprantamų dalykų. Pasvarstykime kvadratas matrica. Atvirkštinę matricą galima rasti naudojant šią formulę:
Kur yra matricos determinantas, yra transponuota atitinkamų matricos elementų algebrinių papildinių matrica.
Atvirkštinės matricos sąvoka egzistuoja tik kvadratinėms matricoms, matricos „du po du“, „trys iš trijų“ ir kt.
Pavadinimai: Kaip jau galbūt pastebėjote, atvirkštinė matrica žymima viršutiniu indeksu
Pradėkime nuo paprasčiausio atvejo – matricos du po du. Dažniausiai, žinoma, reikia „trys iš trijų“, tačiau vis dėlto primygtinai rekomenduoju ištirti paprastesnę užduotį, kad suprastumėte bendrą sprendimo principą.
Pavyzdys:
Raskite atvirkštinę matricos vertę
Nuspręskime. Patogu suskaidyti veiksmų seką taškas po taško.
1) Pirmiausia randame matricos determinantą.
Jei nesuprantate šio veiksmo, perskaitykite medžiagą Kaip apskaičiuoti determinantą?
Svarbu! Jei matricos determinantas yra lygus NULIS– atvirkštinė matrica NEEGZISTUOJA.
Nagrinėjamame pavyzdyje, kaip paaiškėjo, , o tai reiškia, kad viskas tvarkoje.
2) Raskite nepilnamečių matricą.
Norint išspręsti mūsų problemą, nebūtina žinoti, kas yra nepilnametis, tačiau patartina perskaityti straipsnį Kaip apskaičiuoti determinantą.
Nepilnamečių matrica turi tokius pačius matmenis kaip ir matrica, tai yra šiuo atveju.
Belieka rasti keturis skaičius ir įdėti juos vietoj žvaigždučių.
Grįžkime prie mūsų matricos
Pirmiausia pažiūrėkime į viršutinį kairįjį elementą:
Kaip jį rasti nepilnametis?
Ir tai daroma taip: PROTINIAI perbraukite eilutę ir stulpelį, kuriuose yra šis elementas:
Likęs skaičius yra šio elemento nedidelė dalis, kurią rašome savo nepilnamečių matricoje:
Apsvarstykite šį matricos elementą:
Protiškai perbraukite eilutę ir stulpelį, kuriuose rodomas šis elementas:
Lieka šio elemento minorinė dalis, kurią įrašome į savo matricą:
Panašiai atsižvelgiame į antrosios eilės elementus ir randame jų nepilnamečius:
Paruošta.
Tai paprasta. Nepilnamečių matricoje jums reikia PAKEISTI ŽENKLUS du skaičiai:
Tai yra skaičiai, kuriuos aš apskriejau!
– atitinkamų matricos elementų algebrinių priedų matrica.
Ir tiesiog...
4) Raskite perkeltą algebrinių priedų matricą.
– transponuota atitinkamų matricos elementų algebrinių komplementų matrica.
5) Atsakymas.
Prisiminkime savo formulę
Viskas rasta!
Taigi atvirkštinė matrica yra tokia: 
Geriau palikti atsakymą tokį, koks yra. NEREIKIA padalinkite kiekvieną matricos elementą iš 2, nes rezultatas yra trupmeniniai skaičiai. Šis niuansas išsamiau aptariamas tame pačiame straipsnyje. Veiksmai su matricomis.
Kaip patikrinti sprendimą?
Jums reikia atlikti matricos dauginimą arba
Egzaminas: 
Gauta jau minėta tapatumo matrica yra matrica su vienetais pagal pagrindinė įstrižainė o kitose vietose nuliai.
Taigi atvirkštinė matrica randama teisingai.
Jei atliksite veiksmą, rezultatas taip pat bus tapatybės matrica. Tai vienas iš nedaugelio atvejų, kai matricos daugyba yra komutacinė, daugiau informacijos rasite straipsnyje Veiksmų su matricomis savybės. Matricos išraiškos. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad tikrinimo metu konstanta (trupmena) pakeliama į priekį ir apdorojama pačioje pabaigoje – po matricos daugybos. Tai standartinė technika.
Pereikime prie praktikoje įprastesnio atvejo – matricos „trys iš trijų“:
Pavyzdys:
Raskite atvirkštinę matricos vertę 
Algoritmas yra lygiai toks pat kaip ir „du po du“ atveju.
Atvirkštinę matricą randame naudodami formulę: , kur yra atitinkamų matricos elementų algebrinių komplementų transponuota matrica.
1) Raskite matricos determinantą.
Čia atskleidžiamas determinantas pirmoje eilutėje.
Be to, nepamirškite to, vadinasi, viskas gerai - atvirkštinė matrica egzistuoja.
2) Raskite nepilnamečių matricą.
Nepilnamečių matricos matmuo yra „trys iš trijų“ 
, ir turime rasti devynis skaičius.
Atidžiau pažvelgsiu į porą nepilnamečių:
Apsvarstykite šį matricos elementą: 
PROTINIAI perbraukite eilutę ir stulpelį, kuriuose yra šis elementas: 
Likusius keturis skaičius įrašome į determinantą „du po du“. 
Šis du po dviejų determinantas ir yra šio elemento minoras. Jį reikia apskaičiuoti: 
Tai štai, nepilnametis rastas, rašome savo nepilnamečių matricoje: 
Kaip tikriausiai atspėjote, reikia apskaičiuoti devynis du po du determinantus. Procesas, žinoma, yra varginantis, tačiau atvejis nėra pats sunkiausias, gali būti ir blogesnis.
Na, o konsoliduoti – nuotraukose radus kitą nepilnametį: 
Pabandykite patys suskaičiuoti likusius nepilnamečius.
Galutinis rezultatas: 
– atitinkamų matricos elementų nepilnamečių matrica.
Tai, kad visi nepilnamečiai pasirodė neigiami, yra grynai nelaimingas atsitikimas.
3) Raskite algebrinių priedų matricą.
Nepilnamečių matricoje tai būtina PAKEISTI ŽENKLUS griežtai šiems elementams: 
Šiuo atveju:
Negalvojame rasti atvirkštinės matricos „keturi iš keturių“ matricai, nes tokią užduotį gali duoti tik mokytojas sadistas (mokiniui apskaičiuoti vieną „keturi iš keturių“ determinantą ir 16 determinantų „trys iš trijų“ ). Mano praktikoje toks atvejis buvo tik vienas, o testo klientas gana brangiai sumokėjo už mano kankinimus =).
Daugelyje vadovėlių ir vadovų galite rasti šiek tiek kitokį atvirkštinės matricos radimo būdą, tačiau aš rekomenduoju naudoti aukščiau pateiktą sprendimo algoritmą. Kodėl? Nes tikimybė susipainioti skaičiavimuose ir ženkluose yra daug mažesnė.
