Tiesinės lygtys: formulės ir pavyzdžiai. Nelygybės ir jų sprendimas

Tiesinės lygtys yra gana nekenksminga ir suprantama mokyklinės matematikos tema. Tačiau, kaip bebūtų keista, sprendžiant tiesines lygtis klaidų yra tik šiek tiek mažiau nei kitose temose – kvadratinėse lygtyse, logaritmuose, trigonometrijoje ir kt. Daugumos klaidų priežastys yra banalios identiškos lygčių transformacijos. Visų pirma, tai yra ženklų painiava perkeliant terminus iš vienos lygties dalies į kitą, taip pat klaidos dirbant su trupmenomis ir trupmeniniais koeficientais. Taip, taip! Trupmenos taip pat atsiranda tiesinėse lygtyse! Aplinkui. Žemiau mes tikrai išanalizuosime tokias blogas lygtis.)

Na, netraukime katės už uodegos ir pradėkime tai išsiaiškinti, ar ne? Tada mes skaitome ir gilinamės į tai.)

Kas yra tiesinė lygtis? Pavyzdžiai.

Paprastai tiesinė lygtis atrodo taip:

kirvis + b = 0,

Kur a ir b yra bet kokie skaičiai. Bet kokios rūšies: sveikieji skaičiai, trupmenos, neigiami, neracionalūs – gali nutikti visokių dalykų!

Pavyzdžiui:

7x + 1 = 0 (čia a = 7, b = 1)

x – 3 = 0 (čia a = 1, b = -3)

x/2 – 1,1 = 0 (čia a = 1/2, b = -1,1)

Apskritai, jūs suprantate, tikiuosi.) Viskas paprasta, kaip pasakoje. Kol kas... O jei atidžiau pažvelgtum į bendrą žymėjimą ax+b=0, ir truputį pagalvok? Juk a ir b yra bet kokie skaičiai! O jei turėsime, tarkime, a = 0 ir b = 0 (galima paimti bet kokius skaičius!), tai ką mes gausime?

0 = 0

Bet tai dar ne viskas, kas smagu! O jei, tarkime, a = 0, b = -10? Tada paaiškėja, kad tai kažkokia nesąmonė:

0 = 10.

Kas labai labai erzina ir griauna per prakaitą ir kraują įgytą pasitikėjimą matematika... Ypač per testus ir egzaminus. Tačiau iš šių nesuprantamų ir keistų lygybių reikia rasti ir X! Kurio iš viso nėra! Ir čia net gerai pasiruošę studentai kartais gali patekti į vadinamąjį stuporą... Bet nesijaudinkite! Šioje pamokoje taip pat apžvelgsime visus tokius netikėtumus. Ir mes taip pat tikrai rasime X iš tokių lygybių.) Be to, tą patį X galima rasti labai labai paprastai. Taip, taip! Keista, bet tiesa.)

Gerai, tai suprantama. Bet kaip pagal užduoties išvaizdą galite atskirti, kad tai tiesinė lygtis, o ne kokia nors kita lygtis? Deja, ne visada įmanoma atpažinti lygties tipą vien pagal išvaizdą. Esmė ta, kad tiesinėmis vadinamos ne tik ax+b=0 formos lygtys, bet ir visos kitos lygtys, kurios identiškomis transformacijomis vienaip ar kitaip redukuojamos į tokią formą. Kaip žinoti, ar jis sutampa, ar ne? Kol pavyzdžio vargu ar pavyks išspręsti – beveik visai. Tai erzina. Tačiau kai kurių tipų lygtys vienu greitu žvilgsniu galite iš karto įsitikinti, ar jos tiesinės, ar ne.

Norėdami tai padaryti, dar kartą pažvelkime į bendrą bet kurios tiesinės lygties struktūrą:

kirvis + b = 0

Atkreipkite dėmesį: tiesinėje lygtyje Visada yra tik kintamasis x pirmame laipsnyje ir keletas skaičių! Tai viskas! Nieko daugiau. Tuo pačiu metu nėra X kvadrate, kube, po šaknimi, po logaritmu ir kitais egzotiškais dalykais. Ir (svarbiausia!) nėra trupmenų su X vardikliuose! Tačiau trupmenos su skaičiais vardikliuose arba padalijimuose už skaičių- lengvai!

Pavyzdžiui:

Tai tiesinė lygtis. Lygtyje yra tik X iki pirmosios laipsnio ir skaičiai. O aukštesnėse galiose X nėra – kvadratu, kubeliu ir pan. Taip, čia yra trupmenos, bet tuo pačiu yra trupmenų vardikliai tik skaičiai. Būtent - du ir trys. Kitaip tariant, nėra padalijimas iš x.

Ir čia yra lygtis

Jo nebegalima vadinti tiesiniu, nors ir čia yra tik skaičiai ir X iki pirmos laipsnio. Nes, be kita ko, yra ir trupmenos su X vardikliuose. O po supaprastinimų ir transformacijų tokia lygtis gali tapti bet kuo: tiesine, kvadratine – bet kuo.

Kaip išspręsti tiesines lygtis? Pavyzdžiai.

Taigi, kaip išspręsti tiesines lygtis? Skaitykite toliau ir nustebkite.) Visas tiesinių lygčių sprendimas remiasi tik dviem pagrindiniais dalykais. Išvardinkime juos.

1) Elementarių veiksmų ir matematikos taisyklių rinkinys.

Tai yra skliaustų naudojimas, skliaustų atidarymas, darbas su trupmenomis, darbas su neigiamais skaičiais, daugybos lentelės ir pan. Šios žinios ir įgūdžiai reikalingi ne tik tiesinėms lygtims spręsti, bet ir apskritai visai matematikai. Ir jei turite problemų dėl to, prisiminkite žemesnius pažymius. Kitaip tau bus sunku...

2)

Jų yra tik du. Taip, taip! Be to, šios pačios pagrindinės tapatybės transformacijos yra ne tik tiesinių, bet ir apskritai bet kokių matematinių lygčių sprendimo pagrindas! Žodžiu, bet kurios kitos lygties sprendimas – kvadratinės, logaritminės, trigonometrinės, neracionalios ir pan. – kaip taisyklė, prasideda nuo šių pačių pagrindinių transformacijų. Tačiau tiesinių lygčių sprendimas iš tikrųjų baigiasi jomis (transformacijomis). Paruoštas atsakymas.) Taigi nepatingėkite ir pažiūrėkite į nuorodą.) Be to, ten taip pat išsamiai analizuojamos tiesinės lygtys.

Na, manau, laikas pradėti ieškoti pavyzdžių.

Norėdami pradėti, kaip apšilimą, pažvelkime į keletą pagrindinių dalykų. Be jokių frakcijų ar kitų varpelių ir švilpukų. Pavyzdžiui, ši lygtis:

x – 2 = 4 – 5x

Tai klasikinė tiesinė lygtis. Visi X yra daugiausia pirmajame laipsnyje ir niekur nėra padalijimo iš X. Sprendimo schema tokiose lygtyse visada ta pati ir baisiai paprasta: visi terminai su X turi būti renkami kairėje, o visi terminai be X (t. y. skaičiai) – dešinėje. Taigi pradėkime rinkti.

Norėdami tai padaryti, pradedame pirmąją tapatybės transformaciją. Turime judėti -5x į kairę ir -2 į dešinę. Žinoma, pakeitus ženklą.) Taigi perkeliame:

x + 5x = 4 + 2

Štai jums. Pusė mūšio baigta: X buvo surinkti į krūvą, taip pat ir skaičiai. Dabar panašius pateikiame kairėje, o skaičiuojame dešinėje. Mes gauname:

6x = 6

Ko mums dabar trūksta iki visiškos laimės? Taip, kad grynasis X liktų kairėje! Ir šešios trukdo. Kaip jo atsikratyti? Dabar vykdome antrą identišką transformaciją – abi lygties puses padaliname iš 6. Ir – voila! Atsakymas paruoštas.)

x = 1

Žinoma, pavyzdys visiškai primityvus. Norėdami gauti bendrą idėją. Na, nuspręskime ką nors reikšmingesnio. Pavyzdžiui, pažvelkime į šią lygtį:

Pažvelkime į tai išsamiai.) Tai irgi tiesinė lygtis, nors atrodytų, kad čia yra trupmenos. Tačiau trupmenose yra dalijimas iš dviejų ir dalijimas iš trijų, bet nėra dalybos iš išraiškos su X! Taigi spręskime. Naudojant tas pačias identiškas transformacijas, taip.)

Ką turėtume daryti pirmiausia? Su X – į kairę, be X – į dešinę? Iš principo tai įmanoma. Skriskite į Sočį per Vladivostoką.) Arba galite pasirinkti trumpiausią kelią, iš karto naudodami universalų ir galingą metodą. Žinoma, jei žinote tapatybės pokyčius.)

Pirmiausia užduodu pagrindinį klausimą: kas šioje lygtyje jums labiausiai atrodo ir kas labiausiai nepatinka? 99 iš 100 žmonių pasakys: trupmenos! Ir jie bus teisūs.) Taigi pirmiausia atsikratykime jų. Saugu ir pačiai lygčiai.) Todėl iš karto pradėkime nuo antroji tapatybės transformacija- nuo daugybos. Iš ko padauginti kairę pusę, kad vardiklis būtų sėkmingai sumažintas? Teisingai, du. O kaip su dešine puse? Už tris! Bet... Matematika – kaprizinga dama. Ji, matai, reikalauja tik padauginti abi puses už tą patį numerį! Kiekvienos dalies padauginimas iš savo skaičiaus neveikia... Ką darysime? Kažkas... Ieškok kompromiso. Siekdami patenkinti savo norus (atsikratyti trupmenų) ir neįžeisti matematikos.) Padauginkime abi dalis iš šešių!) Tai yra iš visų į lygtį įtrauktų trupmenų bendro vardiklio. Tada vienu ypu sumažės ir dviejų, ir trijų!)

Taigi padauginkime. Visa kairioji pusė ir visa dešinė! Todėl naudojame skliaustus. Štai kaip atrodo pati procedūra:

Dabar atidarome tuos pačius skliaustus:

Dabar, pateikdami 6 kaip 6/1, padauginkime šešis iš kiekvienos trupmenos kairėje ir dešinėje. Tai yra įprastas trupmenų dauginimas, bet taip ir bus, aš tai išsamiai aprašysiu:

O čia – dėmesio! Skaitiklį (x-3) dedu skliausteliuose! Taip yra todėl, kad dauginant trupmenas skaitiklis padauginamas visiškai, visiškai! Ir x-3 išraiška turi būti naudojama kaip viena vientisa struktūra. Bet jei skaitiklį rašote taip:

6x – 3,

Bet mes turime viską teisingai ir turime tai užbaigti. Ką daryti toliau? Atidaryti skliaustus kairėje esančiame skaitiklyje? Jokiu būdu! Jūs ir aš padauginome abi puses iš 6, kad atsikratytume trupmenų ir nesijaudintume dėl skliaustų atidarymo. Šiame etape mums reikia sumažinti mūsų trupmenas. Jausdami gilų pasitenkinimą, sumažiname visus vardiklius ir gauname lygtį be trupmenų, eilutėje:

3(x-3) + 6x = 30 – 4x

O dabar galima atidaryti likusius skliaustus:

3x – 9 + 6x = 30 – 4x

Lygtis vis gerėja ir gerėja! Dabar dar kartą prisiminkime apie pirmąją identišką transformaciją. Tiesiu veidu kartojame burtą iš jaunesniųjų klasių: su X - į kairę, be X - į dešinę. Ir pritaikykite šią transformaciją:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

Panašius pateikiame kairėje, o skaičiuojame dešinėje:

13x = 39

Belieka abi dalis padalyti iš 13. Tai yra, vėl taikyti antrą transformaciją. Išskirstome ir gauname atsakymą:

x = 3

Darbas atliktas. Kaip matote, šioje lygtyje pirmą transformaciją (dėmenų perkėlimą) turėjome taikyti vieną kartą, antrąją – du kartus: sprendimo pradžioje naudojome daugybą (iš 6), kad atsikratytume trupmenų, o pabaigoje sprendimo panaudojome padalijimą (iš 13), kad atsikratytume koeficiento prieš X. Ir bet kurios (taip, bet kurios!) tiesinės lygties sprendimas susideda iš tų pačių transformacijų vienoje ar kitoje sekoje. Kur tiksliai pradėti, priklauso nuo konkrečios lygties. Kai kuriose vietose pelningiau pradėti nuo perkėlimo, o kitur (kaip šiame pavyzdyje) nuo daugybos (arba padalijimo).

Dirbame nuo paprastų iki sudėtingų. Dabar panagrinėkime tiesioginį žiaurumą. Su trupmenomis ir skliaustais. Ir aš jums pasakysiu, kaip nepervargti savęs.)

Pavyzdžiui, čia yra lygtis:

Akimirką žiūrime į lygtį, išsigandę, bet vis tiek susilaikome! Pagrindinė problema – nuo ​​ko pradėti? Dešinėje pusėje galite pridėti frakcijas. Skliausteliuose galite atimti trupmenas. Galite padauginti abi dalis iš kažko. Arba padalinti... Taigi kas dar įmanoma? Atsakymas: viskas įmanoma! Matematika nedraudžia nė vieno iš išvardytų veiksmų. Ir nesvarbu, kokią veiksmų ir transformacijų seką pasirinksite, atsakymas visada bus tas pats – teisingas. Nebent, žinoma, kokiu nors žingsniu pažeidžiate savo transformacijų tapatybę ir taip sukuriate klaidų...

Ir kad nesuklystumėte, tokiuose sudėtinguose pavyzdžiuose kaip šis, visada naudingiausia įvertinti jo išvaizdą ir mintyse išsiaiškinti: ką galima padaryti pavyzdyje, kad maksimalus supaprastinti vienu žingsniu?

Taigi išsiaiškinkime. Kairėje vardikliuose yra šešetukai. Asmeniškai man jie nepatinka, be to, juos labai lengva pašalinti. Leiskite padauginti abi lygties puses iš 6! Tada šešetukai kairėje bus sėkmingai sumažinti, trupmenos skliausteliuose dar niekur nedings. Na, viskas gerai. Su jais pakalbėsime šiek tiek vėliau.) Bet dešinėje vardikliai 2 ir 3 bus atšaukti. Būtent šiuo veiksmu (padauginus iš 6) vienu žingsniu pasiekiame maksimalų supaprastinimą.

Po padauginimo visa mūsų blogio lygtis tampa tokia:

Jei tiksliai nesuprantate, kaip atsirado ši lygtis, vadinasi, nelabai gerai supratote ankstesnio pavyzdžio analizę. Ir aš pabandžiau, beje...

Taigi, atskleisime:

Dabar logiškiausias žingsnis būtų atskirti frakcijas kairėje ir siųsti 5x į dešinę. Tuo pačiu dešinėje pusėje pateiksime panašius. Mes gauname:

Jau daug geriau. Dabar kairė pusė pasiruošė daugybai. Iš ko padauginti kairę pusę, kad iš karto sumažėtų ir penki, ir keturi? 20 dieną! Tačiau mes taip pat turime trūkumų abiejose lygties pusėse. Todėl patogiausia bus abi lygties puses padauginti ne iš 20, o iš -20. Tada vienu ypu dings ir minusai, ir trupmenos.

Taigi padauginame:

Kiekvienas, kuris vis dar nesupranta šio žingsnio, reiškia, kad problema nėra lygtyse. Problemos yra pagrinduose! Dar kartą prisiminkime auksinę skliaustų atidarymo taisyklę:

Jei skaičius padauginamas iš kokios nors išraiškos skliausteliuose, tai šis skaičius turi būti padaugintas iš kiekvienos šios išraiškos dalies. Be to, jei skaičius yra teigiamas, tada po išplėtimo išraiškų ženklai išsaugomi. Jei neigiamas, pakeiskite į priešingą:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Mūsų minusai dingo abi puses padauginus iš -20. O dabar kairėje esančius skliaustus su trupmenomis padauginame iš gana teigiamas skaičius 20. Todėl atidarius šiuos skliaustus išsaugomi visi jų viduje buvę ženklai. Bet iš kur kilę skliaustai trupmenų skaitikliuose, jau išsamiai paaiškinau ankstesniame pavyzdyje.

Dabar galite sumažinti trupmenas:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

Atidarykite likusius skliaustus. Vėlgi, mes tai atskleidžiame teisingai. Pirmieji skliaustai padauginami iš teigiamo skaičiaus 4, todėl visi ženklai išsaugomi juos atidarius. Tačiau antrieji skliaustai padauginami iš neigiamas skaičius yra -5, todėl visi ženklai yra atvirkštiniai:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

Liko tik smulkmenos. Su X kairėje, be X dešinėje:

-20x - 15x = 20 - 10 - 12

-35x = -2

Tai beveik viskas. Kairėje jums reikia gryno X, bet skaičius -35 yra kelyje. Taigi mes padalijame abi puses iš (-35). Leiskite jums priminti, kad antroji tapatybės transformacija leidžia mums dauginti ir padalinti abi puses kad ir kas numerį. Įskaitant neigiamus.) Kol jis nėra nulis! Pasidalykite ir gaukite atsakymą:

X = 2/35

Šį kartą X pasirodė trupmeninis. Viskas gerai. Toks pavyzdys.)

Kaip matome, tiesinių lygčių (net ir pačių sudėtingiausių) sprendimo principas yra gana paprastas: imame pirminę lygtį ir, naudodami identiškas transformacijas, paeiliui supaprastiname, kol gauname atsakymą. Žinoma, su pagrindiniais dalykais! Pagrindinės problemos čia yra būtent pagrindinių dalykų nesilaikymas (pavyzdžiui, prieš skliaustus yra minusas, o plečiant pamiršta pakeisti ženklus), taip pat banalioje aritmetikoje. Taigi nepamirškite pagrindinių dalykų! Jie yra visos kitos matematikos pagrindas!

Keletas įdomių dalykų, kuriuos reikia padaryti sprendžiant tiesines lygtis. Arba ypatingomis progomis.

Viskas būtų gerai. Tačiau... Tarp tiesinių lygčių yra ir tokių juokingų brangakmenių, kurie jas sprendžiant gali įvaryti į stiprų stuporą. Net puikus studentas.)

Pavyzdžiui, čia yra nekenksmingai atrodanti lygtis:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

Plačiai žiovaujant ir šiek tiek nuobodžiaujant renkame visus X kairėje ir visus skaičius dešinėje:

7x-4x-3x = 5-2-3

Pateikiame panašius, suskaičiuojame ir gauname:

0 = 0

tai viskas! Pateikiau triuko pavyzdį! Ši lygybė pati savaime nekelia jokių prieštaravimų: nulis iš tikrųjų yra lygus nuliui. Bet X trūksta! Be pėdsakų! Ir mes turime įrašyti atsakyme, kam x lygus. Kitu atveju sprendimas neįskaitomas, taip.) Ką daryti?

Nepanikuokite! Tokiais nestandartiniais atvejais į pagalbą ateina pačios bendriausios matematikos sąvokos ir principai. Kas yra lygtis? Kaip išspręsti lygtis? Ką reiškia išspręsti lygtį?

Išspręsti lygtį reiškia rasti Visi kintamojo x reikšmės, kurias pakeitus į originalus lygtis suteiks mums teisingą lygybę (tapatybę)!

Bet mes turime tikrą lygybę tai jau atsitiko! 0=0, tiksliau, niekur!) Galime tik spėlioti, iš kurių X gauname šią lygybę. Kokius X galima pakeisti originalus lygtis, jei, pakeitus, visi jie ar jie vis tiek bus sumažinti iki nulio? Ar dar nesupratote?

Na, žinoma! X gali būti pakeistas bet koks!!! Visiškai bet koks. Pateikite ką tik norite. Bent 1, bent -23, bent 2,7 - nesvarbu! Jų vis tiek bus sumažinta ir dėl to išliks gryna tiesa. Išbandykite, pakeiskite ir įsitikinkite patys.)

Štai jūsų atsakymas:

x – bet koks skaičius.

Moksliniame žymėjime ši lygybė parašyta taip:

Šis įrašas skamba taip: „X yra bet koks tikrasis skaičius“.

Arba kita forma, intervalais:

Sukurkite jį taip, kaip jums labiausiai patinka. Tai teisingas ir visiškai išsamus atsakymas!

Dabar pradinėje lygtyje pakeisiu tik vieną skaičių. Dabar išspręskime šią lygtį:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2

Vėlgi perkeliame sąlygas, suskaičiuojame ir gauname:

7x - 4x - 3x = 5 - 2 - 2

0 = 1

Ir ką jūs manote apie šį pokštą? Buvo įprasta tiesinė lygtis, bet ji tapo nesuvokiama lygybe

0 = 1…

Kalbant moksliškai, mes gavome klaidinga lygybė. Tačiau rusiškai tai netiesa. Kvailos. Nesąmonė.) Nes nulis jokiu būdu nelygus vienetui!

O dabar dar kartą išsiaiškinkime, kokius X duos mums, kai jie bus pakeisti pradinėje lygtyje tikra lygybe? Kuris? Bet nė vieno! Nesvarbu, kokį X pakeisite, viskas vis tiek bus sutrumpinta ir viskas liks šlamštas.)

Štai atsakymas: jokių sprendimų.

Matematiniu žymėjimu šis atsakymas parašytas taip:

Jame parašyta: „X priklauso tuščiam rinkiniui“.

Tokie atsakymai gana dažnai pasitaiko ir matematikoje: ne visada bet kokios lygtys turi iš principo šaknis. Kai kurios lygtys gali iš viso neturėti šaknų. Iš viso.

Štai dvi staigmenos. Tikiuosi, kad dabar staigus X išnykimas iš lygties nepaliks jūsų suglumęs amžinai. Tai gana pažįstama.)

Ir tada išgirstu logišką klausimą: ar jie bus OGE ar vieningame valstybiniame egzamine? Dėl vieningo valstybinio egzamino kaip užduoties – ne. Per daug paprasta. Bet OGE arba tekstinėse problemose - lengvai! Taigi dabar pasitreniruokime ir nuspręskime:

Atsakymai (netvarkingai): -2; -1; bet koks skaičius; 2; nėra sprendimų; 7/13.

Ar viskas pavyko? Puiku! Jūs turite gerą galimybę išlaikyti egzaminą.

Ar kažkas nesutampa? Hm... Žinoma, liūdesys. Tai reiškia, kad kažkur vis dar yra spragų. Arba pagrinduose, arba identiškose transformacijose. Arba tai tik paprasto neatidumo klausimas. Dar kartą perskaitykite pamoką. Nes tai nėra ta tema, kurios taip lengvai būtų galima apsieiti matematikoje...

Sėkmės! Ji tikrai tau nusišypsos, patikėk!)

Tiesinių lygčių sistema yra n tiesinių lygčių sąjunga, kurių kiekvienoje yra k kintamųjų. Tai parašyta taip:

Daugelis, pirmą kartą susidūrę su aukštesne algebra, klaidingai mano, kad lygčių skaičius būtinai turi sutapti su kintamųjų skaičiumi. Mokyklinėje algebroje tai paprastai atsitinka, tačiau aukštesnės algebros atveju tai nėra tiesa.

Lygčių sistemos sprendimas yra skaičių seka (k 1, k 2, ..., k n), kuri yra kiekvienos sistemos lygties sprendimas, t.y. pakeičiant šią lygtį vietoj kintamųjų x 1, x 2, ..., x n, gaunama teisinga skaitinė lygybė.

Atitinkamai, išspręsti lygčių sistemą reiškia surasti visų jos sprendinių aibę arba įrodyti, kad ši aibė tuščia. Kadangi lygčių skaičius ir nežinomųjų skaičius gali nesutapti, galimi trys atvejai:

1. Sistema nenuosekli, t.y. visų sprendinių aibė tuščia. Gana retas atvejis, kurį nesunku aptikti, kad ir kokiu būdu sistema būtų išspręsta.
2. Sistema yra nuosekli ir ryžtinga, t.y. turi tiksliai vieną sprendimą. Klasikinė versija, gerai žinoma nuo mokyklos laikų.
3. Sistema yra nuosekli ir neapibrėžta, t.y. turi be galo daug sprendimų. Tai yra sunkiausias variantas. Neužtenka nurodyti, kad „sistema turi begalinį sprendimų rinkinį“ – būtina apibūdinti, kaip šis rinkinys sudarytas.

Kintamasis x i vadinamas leistinu, jeigu jis įtrauktas tik į vieną sistemos lygtį, ir su koeficientu 1. Kitaip tariant, kitose lygtyse kintamojo x i koeficientas turi būti lygus nuliui.

Jei kiekvienoje lygtyje pasirenkame vieną leistiną kintamąjį, gauname leistinų kintamųjų rinkinį visai lygčių sistemai. Pati sistema, parašyta tokia forma, taip pat bus vadinama išspręsta. Paprastai tariant, vieną ir tą pačią originalią sistemą galima redukuoti iki skirtingų leistinų, tačiau kol kas tai mums nerūpi. Štai leidžiamų sistemų pavyzdžiai:

Abi sistemos yra išspręstos atsižvelgiant į kintamuosius x 1 , x 3 ir x 4 . Tačiau su tokia pačia sėkme galima teigti, kad antroji sistema yra išspręsta x 1, x 3 ir x 5 atžvilgiu. Pakanka perrašyti pačią paskutinę lygtį į formą x 5 = x 4.

Dabar panagrinėkime bendresnį atvejį. Iš viso turėkime k kintamųjų, iš kurių leistini r. Tada galimi du atvejai:

1. Leidžiamų kintamųjų skaičius r lygus bendram kintamųjų k skaičiui: r = k. Gauname k lygčių sistemą, kurioje r = k leidžiami kintamieji. Tokia sistema yra bendra ir apibrėžta, nes x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
2. Leidžiamų kintamųjų skaičius r yra mažesnis už bendrą kintamųjų skaičių k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Taigi aukščiau pateiktose sistemose kintamieji x 2, x 5, x 6 (pirmai sistemai) ir x 2, x 5 (antrajai) yra laisvi. Atvejį, kai yra laisvųjų kintamųjų, geriau suformuluoti kaip teoremą:

Atkreipkite dėmesį: tai labai svarbus dalykas! Priklausomai nuo to, kaip rašote gautą sistemą, tas pats kintamasis gali būti leidžiamas arba nemokamas. Dauguma aukštosios matematikos dėstytojų rekomenduoja kintamuosius rašyti leksikografine tvarka, t.y. didėjančiu indeksu. Tačiau jūs neprivalote laikytis šio patarimo.

Teorema. Jei n lygčių sistemoje kintamieji x 1, x 2, ..., x r yra leidžiami, o x r + 1, x r + 2, ..., x k yra laisvi, tai:

1. Jei nustatysime laisvųjų kintamųjų reikšmes (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), tada rasime reikšmes x 1, x 2, ..., x r, gauname vieną iš sprendimų.
2. Jei dviejuose sprendiniuose laisvųjų kintamųjų reikšmės sutampa, tai ir leidžiamų kintamųjų reikšmės sutampa, t.y. sprendimai yra lygūs.

Kokia šios teoremos prasmė? Norint gauti visus išspręstos lygčių sistemos sprendinius, pakanka išskirti laisvuosius kintamuosius. Tada, priskirdami skirtingas reikšmes laisviesiems kintamiesiems, gausime paruoštus sprendimus. Tai viskas – tokiu būdu galite gauti visus sistemos sprendimus. Kitų sprendimų nėra.

Išvada: išspręsta lygčių sistema visada yra nuosekli. Jei išspręstoje sistemoje lygčių skaičius yra lygus kintamųjų skaičiui, sistema bus apibrėžta, jei mažiau, ji bus neapibrėžta.

Ir viskas būtų gerai, bet kyla klausimas: kaip gauti išspręstą iš pirminės lygčių sistemos? Tam yra

Tiesinė lygtis su nežinomaisiais x 1, x 2, ..., x n yra formos lygtis

A 1 x 1 + a 2 x 2 + …+ a n x n = b;

skaičiai a ir a 2 , a 2 , ..., a n vadinami nežinomųjų koeficientais, skaičius b – laisvasis lygties narys.

Tiesinės lygtys su vienu nežinomu galėjo būti išspręstos dar Senovės Babilone ir Egipte daugiau nei prieš 4 tūkstančius metų. Pacituosime, pavyzdžiui, problemą iš Rhindo papiruso (dar vadinamo Ahmeso papirusu), saugomo Britų muziejuje ir datuojamą 2000–1700 m. pr. Kr e.: „Raskite skaičių, jei žinoma, kad pridėjus 2/3 jo ir iš gautos sumos atėmus jo trečdalį, gaunamas skaičius 10“. Šios problemos sprendimas yra tiesinės lygties sprendimas

x + (2/3)x − (1/3) (x + (2/3)x) = 10, iš kur x = 9.

Pateiksime ir Metrodoro problemą, apie kurio gyvenimą nieko nežinoma, išskyrus tai, kad jis buvo įdomių eiliuotų problemų autorius.

Čia palaidotas Diofantas ir antkapis
Sumaniai skaičiuodamas jis mums pasakys
Kiek ilgas buvo jo gyvenimas.
Dievo įsakymu jis buvo berniukas šeštadalį savo gyvenimo;
Dvyliktoje dalyje tada praėjo šviesi jo jaunystė.
Pridėkime dar septintąją gyvenimo dalį – prieš mus yra Himen židinys.
Praėjo penkeri metai; ir Himenė atsiuntė jam sūnų.
Bet vargas vaikui! Jis beveik negyveno iki pusės
Tie metai, kai mirė tėvas, tie nelaimingi.
Diofantas ketverius metus kentėjo nuo tokio kapo praradimo
Ir jis mirė, gyvenęs dėl mokslo. Pasakyk man,
Kiek Diofantui buvo metų, kai jis mirė?

Tiesinės lygties sprendimas

(1/6)x + (1/12)x + (1/7)x + 5 + (1/2)x + 4 = x,

nustatome, kad x = 84 – tiek metų gyveno Diofantas.

Pats Diofantas daug dėmesio skyrė neapibrėžtoms lygtims (taip vadinamos algebrinės lygtys arba tokių lygčių sistemos su dviem ar daugiau nežinomųjų su sveikųjų skaičių koeficientais, kurioms ieškoma sveikųjų arba racionalių sprendinių; nežinomųjų skaičius turi būti didesnis nei lygčių skaičius). Šios lygtys vadinamos diofantinėmis lygtimis. Tiesa, II–III amžių sandūroje gyvenusiam Diofantui daugiausia rūpėjo aukštesnio laipsnio neapibrėžtosios lygtys.

Algebrinių lygčių sistema, kurios kiekviena turi formą (1), vadinama tiesine sistema. Į sistemą įtrauktų lygčių koeficientai dažniausiai numeruojami dviem indeksais, iš kurių pirmasis yra lygties skaičius, o antrasis (kaip (1)) – nežinomojo skaičius. Pavyzdžiui, formoje parašyta m lygčių sistema su n nežinomųjų

$\liko. \begin (sulygiuotas) ((a)_(11))((x)_(1))+(a)_(12))((x)_(2))+\ltaškai+((a)_ (1n))((x)_(n))=((b)_(1), \\ ((a)_(21))((x)_(1))+((a)_ (22))((x)_(2))+\ltaškai+((a)_(2n))(x)_(n))=((b)_(2)), \\ ((a) )_(m1))((x)_(1))+((a)_(m2))((x)_(2))+\ltaškai+((a)_(mn))((x) _(n))=((b)_(m)). \\ \end(sulygiuotas) \right\)(2)$

Apsvarstykite dviejų tiesinių lygčių sistemą su dviem nežinomaisiais:

$\liko. \begin (sulygiuotas) ((a)_(11))((x)_(1))+(a)_(12))(x)_(2))=((b)_(1) )), \\ ((a)_(21))((x)_(1))+((a)_(22))(x)_(2))=((b)_(2) )), \\ \end(sulygiuotas) \right\)(3)$

Padauginkime pirmąją sistemos (3) lygtį iš 22 ir iš gautos lygties atimkime antrąją, padaugintą iš 12; panašiai antrąją sistemos (3) lygtį padauginame iš 11 ir iš gautos lygties atimame pirmąją, padaugintą iš 21. Po to gauname sistemą:

$\liko. \begin (sulygiuotas) (a 11 a 22 - a 12 a 21)x 2 = a 11 b 2 -b 1 a 21, (a 11 a 22 - a 12 a 21)x 1 = b 1 a 22 - a 12 b 2 , \pabaiga(sulygiuota) \dešinė\)(4)$

$\liko. \begin (lygiuotas) (a_(11)a_(22)−a_(12)a_(21))x_2 = a_(11)b_2−b_1a_(21), \\ (a_(11)a_(22)−a_ (12)a_(21))x_1 = b_1a_(22)−a_(12)b_2, \\ \pabaiga(sulygiuota) \dešinė\)(4)$

kuri yra sistemos (3) pasekmė. Sistema (4) gali būti parašyta formoje

$\liko. \begin (sulygiuotas) Δ⋅x_1=Δ_1, \\ Δ⋅x_2=Δ_2, \\ \end (sulygiuotas) \right\)(5)$

kur ∆ yra matricos, sudarytos iš sistemos koeficientų, determinantas (žr. Determinantą), ∆ i yra matricų, gautų anksčiau pakeitus i-tą stulpelį laisvųjų narių stulpeliu, determinantai, i = 1,2 . Be to, jei ∆ ≠ 0, tada sistema (5) turi unikalų sprendimą:

x 1 = ∆ 1 /∆, x 2 = ∆ 2 /∆.

Tiesioginis pakeitimas patvirtina, kad ši skaičių pora taip pat yra sistemos (3) sprendimas. Taikant tą pačią taisyklę, ieškoma n tiesinių lygčių sistemos su n nežinomųjų sprendinių: jei sistemos ∆ determinantas nėra lygus nuliui, tai sistema turi unikalų sprendinį ir

x i = ∆ i /∆

čia ∆ i yra determinantas matricos, gautos iš matricos, sudarytos iš sistemos koeficientų, pakeičiant i-tą stulpelį joje laisvųjų dėmenų stulpeliu. Aprašyta tiesinių sistemų sprendimo taisyklė vadinama Kramerio taisykle. (G. Cramer – šveicarų matematikas, 1704–1752).

Jei ∆ = 0, tai ir ∆ 1, ir ∆ 2 turi išnykti (kitaip (5), o ypač (3) neturi sprendinių). Jeigu tenkinama sąlyga ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = 0, jei atitinkami koeficientai nežinomiems ir sistemos (3) lygties laisviesiems nariams yra proporcingi, tai sistema turės be galo daug sprendinių; jei bent vienas iš nežinomųjų koeficientų skiriasi nuo nulio (pavyzdžiui, jei a 12 ≠ 0), tada x 1 gali būti laikomas bet kuriuo, tada

x 2 = b 1 /a 12 − a 11 x 1 / a 12

Belieka išanalizuoti atvejį, kai sistema turi formą

$\liko. \begin (lygiuotas) 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ \end (sulygiuotas) \right\)$

kurio atsakymas akivaizdus: jei b 1 = b 2 = 0, tai sprendimas yra bet kokia skaičių pora, kitaip sprendinių nėra.

Bendruoju atveju n lygčių sistemai su n nežinomųjų, kai ∆ ≠ 0, sistema turi unikalų sprendimą, kurį, kaip jau minėta, galima rasti naudojant Cramerio taisyklę. Jei ∆ = 0 ir bent vienas iš determinantų ∆ i skiriasi nuo nulio, sistema yra nenuosekli (tai yra, ji neturi sprendinių). Tuo atveju, kai ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = ... = ∆ n = 0, sistema gali būti nenuosekli arba turėti be galo daug sprendinių. Gana sunku nustatyti, kuris iš šių dviejų atvejų yra realizuotas naudojant determinantus, ir mes to nenagrinėsime. Praktikoje Kramerio taisyklė paprastai nenaudojama tiesinėms sistemoms spręsti. Dažniausiai šiems tikslams naudojamas Gauso metodas (žr. Nežinoma išimtis).

Kaip žinoma, tiesinė lygtis a 1 x 1 + a 2 x 2 = b apibrėžia tiesę plokštumoje (x 1 ; x 2) tuo atveju, kai bent vienas iš koeficientų a 1 ir a 2 skiriasi nuo nulis. Jei plokštumoje imtume dvi tieses, tai galimi tokie atvejai (žr. pav.): 1) tiesės yra lygiagrečios ir neturi bendrų taškų, o tada sistema neturi sprendinių; 2) tiesės susikerta, tada sistema turi vieną sprendinį; 3) tiesės sutampa, ir tada sistema turi be galo daug sprendinių. Tačiau dvi „atsitiktinai“ paimtos linijos „paprastai“ susikirs, t.y., kaip taisyklė, dviejų tiesinių lygčių sistema su dviem kintamaisiais turės vieną sprendimą. Bet kuris taškas tam tikroje tiesėje plokštumoje atitinka „sistemos“ (sudarytos iš vienos lygties) sprendimą, t. y. paprastai įvyksta 3 atvejis (2 atvejis neįmanomas, o 1 atvejis realizuojamas, jei imsime lygtį 0 x 1 + 0 x 2 = b, kur b ≠ 0, o tai neapibrėžia tiesės plokštumoje). Jei plokštumoje paimame 3 ar daugiau eilučių, tai, paprastai kalbant, jos visos gali sutapti arba pereiti per vieną tašką, tačiau, kaip taisyklė, pasitaiko pirmasis atvejis – tiesės neturi bendro taško.

Pirmiausia turite suprasti, kas tai yra.

Yra paprastas apibrėžimas tiesinė lygtis, kuris pateikiamas įprastoje mokykloje: „lygtis, kurioje kintamasis atsiranda tik pirmuoju laipsniu“. Bet tai nėra visiškai teisinga: lygtis nėra tiesinė, ji net iki to nesumažėja, ji redukuojasi į kvadratinę.

Tikslesnis apibrėžimas yra toks: tiesinė lygtis yra lygtis, kurią naudojant lygiavertės transformacijos gali būti sumažintas iki formos , kur title="a,b in bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

Tiesą sakant, norint suprasti, ar lygtis yra tiesinė, ar ne, pirmiausia ją reikia supaprastinti, ty pateikti tokią formą, kad jos klasifikacija būtų vienareikšmė. Atminkite, kad su lygtimi galite daryti ką norite, jei tik ji nekeičia savo šaknų – štai kas. lygiavertis konvertavimas. Paprasčiausi lygiaverčiai transformacijos apima:

1. atidarymo skliausteliuose
2. atneša panašius
3. padauginus ir (arba) padalijant abi lygties puses iš nulinio kito skaičiaus
4. pridedant ir (arba) atimant iš abiejų to paties skaičiaus ar išraiškos pusių*

1 pavyzdys:
(atverkime skliaustus)
(pridėkite prie abiejų dalių ir atimkite/perkelkite keičiant skaičiaus ženklą į kairę, o kintamuosius į dešinę)
(duokime panašius)
(padalinkite abi lygties puses iš 3)

Taigi gauname lygtį, kurios šaknys yra tokios pačios kaip ir pradinė. Priminsime tai skaitytojui "išspręskite lygtį"- reiškia surasti visas jo šaknis ir įrodyti, kad kitų nėra, ir "lygties šaknis"- tai skaičius, kuris, pakeitus nežinomąjį, lygtį pavers tikra lygybe. Na, o paskutinėje lygtyje labai paprasta rasti skaičių, kuris lygtį paverčia tikrąja lygybe – tai yra skaičius. Joks kitas skaičius nesudarys tapatybės pagal šią lygtį. Atsakymas:

2 pavyzdys:
(padauginkite abi lygties puses iš , įsitikinę, kad nedauginame iš : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(atverkime skliaustus)
(perkelkime sąlygas)
(duokime panašius)
(abi dalis padaliname iš )

Maždaug taip išsprendžiamos visos tiesinės lygtys. Jaunesniems skaitytojams greičiausiai šis paaiškinimas pasirodė sudėtingas, todėl siūlome versiją "tiesinės lygtys 5 klasei"

Tiesinės lygtys dviejuose kintamuosiuose

Pietums mokykloje moksleivis turi 200 rublių. Pyragas kainuoja 25 rublius, o kavos puodelis – 10 rublių. Kiek pyragų ir kavos puodelių galite nusipirkti už 200 rublių?

Pažymėkime pyragų skaičių x, ir kavos puodelių skaičius y. Tada pyragų kaina bus pažymėta išraiška 25 x, o kavos puodelių kaina 10 y .

25x- kaina x pyragaičiai
10y - kaina y puodeliai kavos

Bendra suma turėtų būti 200 rublių. Tada gauname lygtį su dviem kintamaisiais x Ir y

25x+ 10y= 200

Kiek šaknų turi ši lygtis?

Viskas priklauso nuo mokinio apetito. Jei jis perka 6 pyragus ir 5 puodelius kavos, tada lygties šaknys bus skaičiai 6 ir 5.

Teigiama, kad 6 ir 5 reikšmių pora yra 25 lygties šaknys x+ 10y= 200. Rašoma kaip (6; 5), o pirmasis skaičius yra kintamojo reikšmė x, o antrasis – kintamojo reikšmė y .

6 ir 5 nėra vienintelės šaknys, kurios apverčia 25 lygtį x+ 10y= 200 iki tapatybės. Jei pageidauja, už tuos pačius 200 rublių studentas gali nusipirkti 4 pyragus ir 10 puodelių kavos:

Šiuo atveju 25 lygties šaknys x+ 10y= 200 yra reikšmių pora (4; 10).

Be to, moksleivis gali išvis nepirkti kavos, o nusipirkti pyragų už visus 200 rublių. Tada 25 lygties šaknys x+ 10y= 200 bus reikšmės 8 ir 0

Arba atvirkščiai, pirkite ne pyragus, o pirkite kavą už visus 200 rublių. Tada 25 lygties šaknys x+ 10y= 200, reikšmės bus 0 ir 20

Pabandykime išvardyti visas galimas 25 lygties šaknis x+ 10y= 200. Sutikime, kad vertybės x Ir y priklauso sveikųjų skaičių aibei. Ir tegul šios vertės yra didesnės arba lygios nuliui:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Tai bus patogu pačiam studentui. Patogiau pirkti sveikus pyragus nei, pavyzdžiui, kelis sveikus pyragus ir pusę torto. Taip pat patogiau gerti kavą visais puodeliais nei, pavyzdžiui, kelis sveikus puodelius ir pusę puodelio.

Atkreipkite dėmesį, kad nelyginis x jokiomis aplinkybėmis neįmanoma pasiekti lygybės y. Tada vertybės xšie skaičiai bus 0, 2, 4, 6, 8. Ir žinant x galima nesunkiai nustatyti y

Taigi, mes gavome šias verčių poras (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Šios poros yra 25 lygties sprendiniai arba šaknys x+ 10y= 200. Jie paverčia šią lygtį tapatybe.

Formos lygtis ax + by = c paskambino tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais. Šios lygties sprendinys arba šaknys yra reikšmių pora ( x; y), kuris paverčia jį tapatybe.

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad jei tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais yra parašyta formoje ax + b y = c , tada jie sako, kad tai parašyta kanoninis(normali) forma.

Kai kurios dviejų kintamųjų tiesinės lygtys gali būti sumažintos iki kanoninės formos.

Pavyzdžiui, lygtis 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) galima atvesti į galvą ax + by = c. Atidarykime skliaustus abiejose šios lygties pusėse ir gaukime 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Terminus, kuriuose yra nežinomųjų, grupuojame kairėje lygties pusėje, o terminus be nežinomųjų – dešinėje. Tada gauname 32x− 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Pateikiame panašius terminus abiejose pusėse, gauname 16 lygtį x+ 8y= 32. Ši lygtis redukuojama į formą ax + by = c ir yra kanoninis.

Anksčiau aptarta 25 lygtis x+ 10y= 200 taip pat yra tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais kanonine forma. Šioje lygtyje parametrai a , b Ir c yra lygios atitinkamai 25, 10 ir 200 reikšmėms.

Tiesą sakant, lygtis ax + by = c turi daugybę sprendimų. Lygties sprendimas 25x+ 10y= 200, jos šaknų ieškojome tik sveikųjų skaičių aibėje. Dėl to mes gavome keletą reikšmių porų, kurios pavertė šią lygtį tapatybe. Tačiau racionaliųjų skaičių aibėje lygtis 25 x+ 10y= 200 turės be galo daug sprendinių.

Norėdami gauti naujas verčių poras, turite paimti savavališką for reikšmę x, tada išreikškite y. Pavyzdžiui, paimkime kintamąjį x reikšmė 7. Tada gauname lygtį su vienu kintamuoju 25×7 + 10y= 200 kuriais galima išreikšti y

Leiskite x= 15. Tada lygtis 25x+ 10y= 200 tampa 25 × 15 + 10y= 200. Iš čia mes tai randame y = −17,5

Leiskite x= –3 . Tada lygtis 25x+ 10y= 200 tampa 25 × (–3) + 10y= 200. Iš čia mes tai randame y = −27,5

Dviejų tiesinių lygčių su dviem kintamaisiais sistema

Dėl lygties ax + by = c galite paimti savavališkas vertes tiek kartų, kiek norite x ir rasti vertes y. Paėmus atskirai, tokia lygtis turės daugybę sprendinių.

Tačiau taip pat atsitinka, kad kintamieji x Ir y sujungti ne viena, o dviem lygtimis. Šiuo atveju jie sudaro vadinamąjį dviejų kintamųjų tiesinių lygčių sistema. Tokia lygčių sistema gali turėti vieną reikšmių porą (arba kitaip: „vieną sprendimą“).

Taip pat gali atsitikti taip, kad sistema apskritai neturi sprendimų. Tiesinių lygčių sistema retais ir išskirtiniais atvejais gali turėti daugybę sprendimų.

Dvi tiesinės lygtys sudaro sistemą, kai reikšmės x Ir yĮveskite į kiekvieną iš šių lygčių.

Grįžkime prie pačios pirmosios 25 lygties x+ 10y= 200. Viena iš šios lygties reikšmių porų buvo pora (6; 5). Tai atvejis, kai už 200 rublių galėjai nusipirkti 6 pyragus ir 5 puodelius kavos.

Suformuluokime uždavinį taip, kad pora (6; 5) taptų vieninteliu 25 lygties sprendiniu x+ 10y= 200. Norėdami tai padaryti, sukurkime kitą lygtį, kuri sujungtų tą patį x pyragaičiai ir y puodeliai kavos.

Pateikiame problemos tekstą taip:

„Studentas už 200 rublių nusipirko kelis pyragus ir kelis puodelius kavos. Pyragas kainuoja 25 rublius, o kavos puodelis – 10 rublių. Kiek pyragų ir kavos puodelių mokinys nusipirko, jei žinoma, kad pyragų skaičius yra vienetu didesnis už kavos puodelių skaičių?

Pirmąją lygtį jau turime. Tai yra 25 lygtis x+ 10y= 200. Dabar sukurkime sąlygos lygtį „Pyragų skaičius yra vienu vienetu didesnis už kavos puodelių skaičių“ .

Tortų skaičius yra x, o kavos puodelių skaičius yra y. Šią frazę galite parašyti naudodami lygtį x−y= 1. Ši lygtis reikš, kad skirtumas tarp pyragų ir kavos yra 1.

x = y+1. Ši lygtis reiškia, kad pyragų skaičius yra vienu daugiau nei kavos puodelių. Todėl, norint gauti lygybę, prie kavos puodelių skaičiaus pridedamas vienas. Tai galima lengvai suprasti, jei naudosime svarstyklių modelį, kurį atsižvelgėme tirdami paprasčiausias problemas:

Gavome dvi lygtis: 25 x+ 10y= 200 ir x = y+ 1. Kadangi reikšmės x Ir y, būtent 6 ir 5 yra įtrauktos į kiekvieną iš šių lygčių, tada jos kartu sudaro sistemą. Užrašykime šią sistemą. Jei lygtys sudaro sistemą, tada jos įrėmintos sistemos ženklu. Sistemos simbolis yra riestiniai skliaustai:

Išspręskime šią sistemą. Tai leis mums pamatyti, kaip gauname 6 ir 5 reikšmes. Tokių sistemų sprendimo būdų yra daug. Pažvelkime į populiariausius iš jų.

Pakeitimo metodas

Šio metodo pavadinimas kalba pats už save. Jo esmė yra pakeisti vieną lygtį kita, prieš tai išreiškus vieną iš kintamųjų.

Mūsų sistemoje nieko nereikia išreikšti. Antroje lygtyje x = y+ 1 kintamasis x jau išreikštas. Šis kintamasis yra lygus išraiškai y+1. Tada galite pakeisti šią išraišką į pirmąją lygtį, o ne į kintamąjį x

Pakeitus išraišką y Vietoj to + 1 į pirmąją lygtį x, gauname lygtį 25(y+ 1) + 10y= 200 . Tai tiesinė lygtis su vienu kintamuoju. Šią lygtį gana lengva išspręsti:

Mes radome kintamojo reikšmę y. Dabar pakeiskime šią reikšmę viena iš lygčių ir raskime reikšmę x. Tam patogu naudoti antrą lygtį x = y+1. Pakeiskime į jį vertę y

Tai reiškia, kad pora (6; 5) yra lygčių sistemos sprendimas, kaip ir norėjome. Mes patikriname ir įsitikiname, kad pora (6; 5) atitinka sistemą:

2 pavyzdys

Pakeiskime pirmąją lygtį x= 2 + yį antrąją lygtį 3 x− 2y= 9. Pirmoje lygtyje kintamasis x lygus išraiškai 2 + y. Vietoj to, pakeiskime šią išraišką į antrąją lygtį x

Dabar suraskime vertę x. Norėdami tai padaryti, pakeiskime vertę yį pirmąją lygtį x= 2 + y

Tai reiškia, kad sistemos sprendimas yra poros reikšmė (5; 3)

3 pavyzdys. Pakeitimo metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Čia, skirtingai nei ankstesniuose pavyzdžiuose, vienas iš kintamųjų nėra aiškiai išreikštas.

Norėdami pakeisti vieną lygtį kita, pirmiausia turite .

Patartina išreikšti kintamąjį, kurio koeficientas yra vienas. Kintamasis turi vieneto koeficientą x, kuris yra pirmoje lygtyje x+ 2y= 11. Išreikškime šį kintamąjį.

Po kintamos išraiškos x, mūsų sistema bus tokios formos:

Dabar pakeiskime pirmąją lygtį antrąja ir raskime reikšmę y

Pakeiskime y x

Tai reiškia, kad sistemos sprendimas yra reikšmių pora (3; 4)

Žinoma, galite išreikšti ir kintamąjį y. Tai nepakeis šaknų. Bet jei išreiškiate y, Rezultatas nėra labai paprasta lygtis, kuriai išspręsti prireiks daugiau laiko. Tai atrodys taip:

Matome, kad šiame pavyzdyje mes išreiškiame x daug patogiau nei išreikšti y .

4 pavyzdys. Pakeitimo metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Išreikškime pirmąja lygtimi x. Tada sistema įgis tokią formą:

y

Pakeiskime yį pirmąją lygtį ir raskite x. Galite naudoti pradinę 7 lygtį x+ 9y= 8, arba naudokite lygtį, kurioje išreiškiamas kintamasis x. Mes naudosime šią lygtį, nes ji yra patogi:

Tai reiškia, kad sistemos sprendimas yra reikšmių pora (5; −3)

Papildymo būdas

Sudėjimo metodas susideda iš lygčių, įtrauktų į sistemą, pridėjimo po termino. Dėl šio papildymo gaunama nauja lygtis su vienu kintamuoju. Ir išspręsti tokią lygtį yra gana paprasta.

Išspręskime šią lygčių sistemą:

Pridėkime pirmosios lygties kairę pusę su antrosios lygties kairiąja. Ir pirmosios lygties dešinė pusė su antrosios lygties dešine puse. Gauname tokią lygybę:

Pažvelkime į panašius terminus:

Dėl to gavome paprasčiausią lygtį 3 x= 27, kurio šaknis yra 9. Žinant reikšmę x galite rasti vertę y. Pakeiskime vertę xį antrą lygtį x−y= 3. Gauname 9 − y= 3. Iš čia y= 6 .

Tai reiškia, kad sistemos sprendimas yra reikšmių pora (9; 6)

2 pavyzdys

Pridėkime pirmosios lygties kairę pusę su antrosios lygties kairiąja. Ir pirmosios lygties dešinė pusė su antrosios lygties dešine puse. Gautoje lygybėje pateikiame panašius terminus:

Dėl to gavome paprasčiausią 5 lygtį x= 20, kurios šaknis yra 4. Žinant reikšmę x galite rasti vertę y. Pakeiskime vertę xį pirmąją 2 lygtį x+y= 11. Gaukime 8+ y= 11. Iš čia y= 3 .

Tai reiškia, kad sistemos sprendimas yra reikšmių pora (4;3)

Papildymo procesas nėra išsamiai aprašytas. Tai turi būti padaryta psichiškai. Sudedant abi lygtys turi būti sumažintos iki kanoninės formos. Taip sakant ac + by = c .

Iš nagrinėjamų pavyzdžių aišku, kad pagrindinis lygčių pridėjimo tikslas yra atsikratyti vieno iš kintamųjų. Tačiau ne visada įmanoma iš karto išspręsti lygčių sistemą naudojant sudėjimo metodą. Dažniausiai sistema pirmiausia įvedama į tokią formą, kad būtų galima pridėti į šią sistemą įtrauktas lygtis.

Pavyzdžiui, sistema galima nedelsiant išspręsti pridedant. Sudėjus abi lygtis, terminai y Ir −y išnyks, nes jų suma lygi nuliui. Dėl to susidaro paprasčiausia 11 lygtis x= 22, kurios šaknis yra 2. Tada bus galima nustatyti y lygus 5.

Ir lygčių sistema Sudėjimo metodas negali būti išspręstas iš karto, nes dėl to vienas iš kintamųjų neišnyks. Sudėjus bus gauta 8 lygtis x+ y= 28, kuris turi begalinį sprendinių skaičių.

Jei abi lygties pusės yra padaugintos arba padalytos iš to paties skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui, gausite lygtį, lygiavertę duotajai. Ši taisyklė galioja ir tiesinių lygčių sistemai su dviem kintamaisiais. Vieną iš lygčių (arba abi lygtis) galima padauginti iš bet kurio skaičiaus. Rezultatas bus lygiavertė sistema, kurios šaknys sutaps su ankstesne.

Grįžkime prie pačios pirmosios sistemos, kurioje buvo aprašyta, kiek pyragų ir kavos puodelių nusipirko moksleivis. Šios sistemos sprendimas buvo reikšmių pora (6; 5).

Padauginkime abi į šią sistemą įtrauktas lygtis iš kai kurių skaičių. Tarkime, kad pirmąją lygtį padauginame iš 2, o antrąją – iš 3

Dėl to gavome sistemą
Šios sistemos sprendimas vis dar yra reikšmių pora (6; 5)

Tai reiškia, kad į sistemą įtrauktos lygtys gali būti sumažintos iki formos, tinkamos taikyti sudėjimo metodą.

Grįžkime prie sistemos , kurio negalėjome išspręsti naudodami papildymo metodą.

Pirmąją lygtį padauginkite iš 6, o antrąją iš –2

Tada gauname tokią sistemą:

Sudėkime į šią sistemą įtrauktas lygtis. Komponentų pridėjimas 12 x ir –12 x bus 0, pridėjus 18 y ir 4 y duos 22 y, o sudėjus 108 ir −20 gauname 88. Tada gauname lygtį 22 y= 88, iš čia y = 4 .

Jei iš pradžių sunku galvoje sudėti lygtis, galite užrašyti, kaip pirmosios lygties kairioji pusė susilieja su antrosios lygties kairiąja puse, o pirmosios lygties dešinė – su dešiniąja lygties puse. antroji lygtis:

Žinant, kad kintamojo reikšmė y lygus 4, galite rasti vertę x. Pakeiskime yį vieną iš lygčių, pavyzdžiui, į pirmąją 2 lygtį x+ 3y= 18. Tada gauname lygtį su vienu kintamuoju 2 x+ 12 = 18. Perkelkime 12 į dešinę pusę, pakeisdami ženklą, gausime 2 x= 6, iš čia x = 3 .

4 pavyzdys. Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Antrąją lygtį padauginkime iš −1. Tada sistema bus tokios formos:

Sudėkime abi lygtis. Komponentų pridėjimas x Ir −x bus 0, pridėjus 5 y ir 3 y duos 8 y, o sudėjus 7 ir 1 gauname 8. Rezultatas yra 8 lygtis y= 8, kurio šaknis yra 1. Žinant, kad reikšmė y lygus 1, galite rasti vertę x .

Pakeiskime yį pirmąją lygtį, gauname x+ 5 = 7, vadinasi x= 2

5 pavyzdys. Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Pageidautina, kad terminai, turintys tuos pačius kintamuosius, būtų išdėstyti vienas po kito. Todėl antroje lygtyje terminai 5 y ir −2 x Pasikeiskime vietomis. Dėl to sistema bus tokia:

Antrąją lygtį padauginkime iš 3. Tada sistema įgis tokią formą:

Dabar pridėkime abi lygtis. Sudėjus gauname 8 lygtį y= 16, kurios šaknis yra 2.

Pakeiskime yĮ pirmąją lygtį gauname 6 x– 14 = 40. Perkelkime terminą −14 į dešinę, pakeisdami ženklą ir gausime 6 x= 54 . Iš čia x= 9.

6 pavyzdys. Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Atsikratykime trupmenų. Pirmąją lygtį padauginkite iš 36, o antrąją iš 12

Gautoje sistemoje Pirmąją lygtį galima padauginti iš –5, o antrąją – iš 8

Sudėkime lygtis gautoje sistemoje. Tada gauname paprasčiausią lygtį −13 y= –156 . Iš čia y= 12. Pakeiskime yį pirmąją lygtį ir raskite x

7 pavyzdys. Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Perkelkime abi lygtis į normalią formą. Čia patogu taikyti proporcingumo taisyklę abiejose lygtyse. Jei pirmoje lygtyje dešinė pusė pavaizduota kaip , o antrosios lygties dešinė pusė kaip , tada sistema įgis tokią formą:

Mes turime proporciją. Padauginkime jo kraštutinius ir vidurinius terminus. Tada sistema įgis tokią formą:

Padauginkime pirmąją lygtį iš –3, o antrojoje atidarykite skliaustus:

Dabar pridėkime abi lygtis. Sudėjus šias lygtis, gauname lygybę su nuliu iš abiejų pusių:

Pasirodo, sistema turi begalę sprendimų.

Bet mes negalime tiesiog paimti savavališkų vertybių iš dangaus x Ir y. Mes galime nurodyti vieną iš reikšmių, o kita bus nustatyta priklausomai nuo mūsų nurodytos reikšmės. Pavyzdžiui, tegul x= 2. Pakeiskime šią reikšmę sistemoje:

Išsprendus vieną iš lygčių, reikšmė for y, kuris tenkins abi lygtis:

Gauta reikšmių pora (2; -2) patenkins sistemą:

Suraskime kitą vertybių porą. Leiskite x= 4. Pakeiskime šią reikšmę sistemoje:

Galite pasakyti iš akies, kad vertė y lygus nuliui. Tada gauname reikšmių porą (4; 0), kuri atitinka mūsų sistemą:

8 pavyzdys. Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Pirmąją lygtį padauginkite iš 6, o antrąją iš 12

Perrašykime tai, kas liko:

Padauginkime pirmąją lygtį iš −1. Tada sistema įgis tokią formą:

Dabar pridėkime abi lygtis. Sudėjus susidaro 6 lygtis b= 48, kurio šaknis yra 8. Pakaitalas bį pirmąją lygtį ir raskite a

Tiesinių lygčių sistema su trimis kintamaisiais

Linijinė lygtis su trimis kintamaisiais apima tris kintamuosius su koeficientais, taip pat pertraukos terminą. Kanonine forma jis gali būti parašytas taip:

ax + by + cz = d

Ši lygtis turi daugybę sprendimų. Suteikus dviem kintamiesiems skirtingas reikšmes, galima rasti trečią reikšmę. Sprendimas šiuo atveju yra trigubas reikšmes ( x; y; z), kuri lygtį paverčia tapatybe.

Jei kintamieji x, y, z yra tarpusavyje sujungtos trimis lygtimis, tada susidaro trijų tiesinių lygčių su trimis kintamaisiais sistema. Norėdami išspręsti tokią sistemą, galite naudoti tuos pačius metodus, kurie taikomi tiesinėms lygtims su dviem kintamaisiais: pakeitimo metodu ir pridėjimo metodu.

1 pavyzdys. Pakeitimo metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Išreikškime trečiąja lygtimi x. Tada sistema įgis tokią formą:

Dabar atlikime pakeitimą. Kintamasis x yra lygus išraiškai 3 − 2y − 2z . Pakeiskime šią išraišką į pirmąją ir antrąją lygtis:

Atidarykime skliaustus abiejose lygtyse ir pateiksime panašius terminus:

Priėjome tiesinių lygčių sistemą su dviem kintamaisiais. Šiuo atveju patogu naudoti papildymo metodą. Dėl to kintamasis y išnyks ir galėsime rasti kintamojo reikšmę z

Dabar suraskime vertę y. Norėdami tai padaryti, patogu naudoti lygtį − y+ z= 4. Pakeiskite reikšmę z

Dabar suraskime vertę x. Norėdami tai padaryti, patogu naudoti lygtį x= 3 − 2y − 2z . Pakeiskime į jį reikšmes y Ir z

Taigi, reikšmių trigubas (3; -2; 2) yra mūsų sistemos sprendimas. Patikrindami įsitikiname, kad šios reikšmės atitinka sistemą:

2 pavyzdys. Išspręskite sistemą naudodami papildymo metodą

Sudėkime pirmąją lygtį su antrąja, padaugintą iš −2.

Jei antroji lygtis padauginama iš –2, ji įgauna formą −6x+ 6y − 4z = −4 . Dabar pridėkime jį prie pirmosios lygties:

Matome, kad elementariųjų transformacijų rezultate buvo nustatyta kintamojo reikšmė x. Jis lygus vienam.

Grįžkime prie pagrindinės sistemos. Sudėkime antrą lygtį su trečiąja, padauginta iš −1. Jei trečioji lygtis padauginama iš −1, ji įgauna formą −4x + 5y − 2z = −1 . Dabar pridėkime jį prie antrosios lygties:

Gavome lygtį x− 2y= -1 . Į jį pakeiskime vertę x kurį radome anksčiau. Tada galime nustatyti vertę y

Dabar mes žinome reikšmes x Ir y. Tai leidžia nustatyti vertę z. Naudokime vieną iš lygčių, įtrauktų į sistemą:

Taigi, reikšmių trigubas (1; 1; 1) yra mūsų sistemos sprendimas. Patikrindami įsitikiname, kad šios reikšmės atitinka sistemą:

Tiesinių lygčių sistemų sudarymo uždaviniai

Lygčių sistemų sudarymo uždavinys sprendžiamas įvedant kelis kintamuosius. Toliau lygtys sudaromos remiantis uždavinio sąlygomis. Iš sudarytų lygčių jie sudaro sistemą ir ją išsprendžia. Išsprendus sistemą, reikia patikrinti, ar jos sprendimas atitinka problemos sąlygas.

1 problema. Iš miesto į kolūkį išvažiavo automobilis „Volga“. Ji grįžo atgal kitu keliu, kuris buvo 5 km trumpesnis nei pirmasis. Iš viso automobilis į abi puses nukeliavo 35 km. Kiek kilometrų yra kiekvieno kelio ilgis?

Sprendimas

Leiskite x- pirmojo kelio ilgis, y- antrojo ilgis. Jei automobilis nuvažiavo 35 km pirmyn ir atgal, tada pirmąją lygtį galima parašyti kaip x+ y= 35. Ši lygtis apibūdina abiejų kelių ilgių sumą.

Teigiama, kad automobilis grįžo 5 km trumpesniu keliu nei pirmasis. Tada antrą lygtį galima parašyti kaip x− y= 5. Ši lygtis rodo, kad skirtumas tarp kelių ilgių yra 5 km.

Arba antroji lygtis gali būti parašyta kaip x= y+ 5. Mes naudosime šią lygtį.

Kadangi kintamieji x Ir y abiejose lygtyse žymi tą patį skaičių, tada iš jų galime sudaryti sistemą:

Išspręskime šią sistemą naudodami kai kuriuos anksčiau tyrinėtus metodus. Šiuo atveju patogu naudoti pakeitimo metodą, nes antroje lygtyje kintamasis x jau išreikštas.

Pakeiskite antrąją lygtį pirmąja ir raskite y

Pakeiskime rastą vertę y antroje lygtyje x= y+ 5 ir rasime x

Pirmojo kelio ilgis buvo nurodytas per kintamąjį x. Dabar mes atradome jo prasmę. Kintamasis x yra lygus 20. Tai reiškia, kad pirmojo kelio ilgis yra 20 km.

O antrojo kelio ilgį nurodė y. Šio kintamojo reikšmė yra 15. Tai reiškia, kad antrojo kelio ilgis yra 15 km.

Patikrinkim. Pirmiausia įsitikinkime, kad sistema tinkamai išspręsta:

Dabar patikrinkime, ar sprendimas (20; 15) atitinka problemos sąlygas.

Teigiama, kad automobilis į abi puses iš viso nuvažiavo 35 km. Sudedame abiejų kelių ilgius ir įsitikiname, kad sprendimas (20; 15) tenkina šią sąlygą: 20 km + 15 km = 35 km

Ši sąlyga: automobilis grįžo atgal kitu keliu, kuris buvo 5 km trumpesnis nei pirmasis . Matome, kad sprendimas (20; 15) taip pat tenkina šią sąlygą, nes 15 km yra trumpesnis nei 20 km 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Sudarant sistemą svarbu, kad kintamieji reikštų tuos pačius skaičius visose į šią sistemą įtrauktose lygtyse.

Taigi mūsų sistemoje yra dvi lygtys. Šios lygtys savo ruožtu turi kintamuosius x Ir y, kurie reiškia tuos pačius skaičius abiejose lygtyse, ty 20 km ir 15 km kelio ilgius.

2 problema. Ant platformos buvo pakrauti ąžuoliniai ir pušiniai pabėgiai, iš viso 300 pabėgių. Yra žinoma, kad visi ąžuoliniai pabėgiai svėrė 1 tona mažiau nei visi pušiniai pabėgiai. Nustatykite, kiek ąžuolinių ir pušinių pabėgių buvo atskirai, jei kiekvienas ąžuolinis pabėgis svėrė 46 kg, o kiekvienas pušinis pabėgis 28 kg.

Sprendimas

Leiskite xąžuolas ir y ant platformos buvo pakrauti pušiniai pabėgiai. Jei iš viso buvo 300 miegamųjų, tada pirmąją lygtį galima parašyti kaip x+y = 300 .

Visi ąžuoliniai pabėgiai svėrė 46 x kg, o pušinės svėrė 28 y kg. Kadangi ąžuoliniai pabėgiai svėrė 1 tona mažiau nei pušiniai pabėgiai, antrą lygtį galima parašyti kaip 28y − 46x= 1000 . Ši lygtis rodo, kad ąžuolinių ir pušinių pabėgių masės skirtumas yra 1000 kg.

Tonos buvo perskaičiuotos į kilogramus, nes ąžuolinių ir pušinių pabėgių masė buvo matuojama kilogramais.

Dėl to gauname dvi lygtis, kurios sudaro sistemą

Išspręskime šią sistemą. Išreikškime pirmąja lygtimi x. Tada sistema įgis tokią formą:

Pirmąją lygtį pakeiskite antrąja ir raskite y

Pakeiskime yį lygtį x= 300 − y ir sužinok, kas tai yra x

Tai reiškia, kad ant platformos buvo pakrauta 100 ąžuolinių ir 200 pušinių pabėgių.

Patikrinkime, ar sprendimas (100; 200) atitinka uždavinio sąlygas. Pirmiausia įsitikinkime, kad sistema tinkamai išspręsta:

Teigta, kad iš viso buvo 300 miegamųjų. Sumuojame ąžuolinių ir pušinių pabėgių skaičių ir įsitikiname, kad tirpalas (100; 200) tenkina šią sąlygą: 100 + 200 = 300.

Ši sąlyga: visi ąžuoliniai pabėgiai svėrė 1 tona mažiau nei visi pušiniai pabėgiai . Matome, kad sprendimas (100; 200) taip pat tenkina šią sąlygą, nes ąžuoliniai pabėgiai 46 × 100 kg yra lengvesni nei 28 × 200 kg pušiniai pabėgiai: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

3 problema. Mes paėmėme tris vario ir nikelio lydinio gabalus santykiu 2: 1, 3: 1 ir 5: 1 pagal svorį. Iš jų buvo išlydytas 12 kg sveriantis gabalas, kurio vario ir nikelio santykis buvo 4:1. Raskite kiekvieno pradinio gabalo masę, jei pirmojo masė yra dvigubai didesnė už antrojo.