). Šios formulės leidžia pereiti nuo kampų sinusų ir kosinusų sumos arba skirtumo į kampų sinusų ir (arba) kosinusų sandaugą ir. Šiame straipsnyje pirmiausia išvardinsime šias formules, tada parodysime jų išvedimą ir galiausiai apsvarstysime keletą jų taikymo pavyzdžių.
Puslapio naršymas.
Formulių sąrašas
Užrašykime sinusų ir kosinusų sumos ir skirtumo formules. Kaip suprantate, jų yra keturi: du sinusams ir du kosinusams.
Dabar pateiksime jų formuluotes. Formuluojant sinusų ir kosinusų sumos ir skirtumo formules, kampas vadinamas puse kampų suma ir, o kampas vadinamas pusiau skirtumu. Taigi,
Verta pažymėti, kad sinusų ir kosinusų sumos ir skirtumo formulės galioja bet kokiems kampams ir.
Išvedimo formulės
Norėdami gauti sinusų sumos ir skirtumo formules, galite naudoti sudėjimo formules, ypač formules
sumos sinusas,
sinuso skirtumas,
sumos kosinusas ir
skirtumo kosinusas.
Mums taip pat reikia kampų vaizdavimo formoje 
Ir 
. Šis vaizdas galioja, nes bet kokiems kampams ir .
Dabar pažvelkime į tai išsamiai dviejų kampų sinusų sumos formulės išvedimas malonus .
Pirma, mes pakeičiame bendrą sumą , ir toliau , ir mes gauname. Dabar į 
taikyti sumos formulės sinusą, ir į 
- skirtumo sinuso formulė: 
Sumažinus panašias sąlygas gauname 
. Dėl to mes turime formos sinusų sumos formulę.
Norėdami gauti likusias formules, tiesiog turite atlikti panašius veiksmus. Čia pateikiamos sinusų skirtumo formulės, taip pat kosinusų sumos ir skirtumo formulės: 
Dėl kosinusų skirtumo pateikėme dviejų tipų formules arba 
. Jie lygiaverčiai, nes 
, kas išplaukia iš priešingų kampų sinusų savybių.
Taigi, mes išnagrinėjome visų sinusų ir kosinusų sumos ir skirtumo formulių įrodymus.
Naudojimo pavyzdžiai
Pažvelkime į keletą sinusų ir kosinusų sumos formulių, taip pat sinusų ir kosinusų skirtumo, naudojimo pavyzdžių.
Pavyzdžiui, patikrinkime formos sinusų sumos formulės, imdamos ir , galiojimą. Norėdami tai padaryti, apskaičiuokime pateiktų kampų formulės kairiosios ir dešinės pusės vertes. Nuo ir (jei reikia, žr. sinusų ir kosinusų pagrindinių verčių lentelę), tada . Kada ir mes turime 
Ir 
, Tada. Taigi sinusų sumos formulės kairės ir dešinės pusės reikšmės sutampa, o tai patvirtina šios formulės galiojimą.
Kai kuriais atvejais sinusų ir kosinusų sumos ir skirtumo formulių naudojimas leidžia apskaičiuoti trigonometrinių išraiškų reikšmes, kai kampai skiriasi nuo pagrindinių kampų ( 
). Pateiksime sprendimo pavyzdį, kuris patvirtina šią mintį.
Pavyzdys.
Apskaičiuokite tikslią 165 ir 75 laipsnių sinusų skirtumo reikšmę.
Sprendimas.
Mes nežinome tikslių 165 ir 75 laipsnių sinusų verčių, todėl negalime tiesiogiai apskaičiuoti nurodyto skirtumo vertės. Tačiau sinusų skirtumo formulė leidžia atsakyti į problemos klausimą. Iš tiesų, 165 ir 75 laipsnių kampų pusiausvyra yra lygi 120, o pusė - 45, o tikslios 45 laipsnių sinuso ir 120 laipsnių kosinuso reikšmės yra žinomos.
Taip mes turime 
Atsakymas:
.
Neabejotina, kad pagrindinė sinusų ir kosinusų sumos ir skirtumo formulių reikšmė yra ta, kad jos leidžia pereiti nuo sumos ir skirtumo prie trigonometrinių funkcijų sandaugos (dėl šios priežasties šios formulės dažnai vadinamos formulėmis, skirtomis pereiti nuo suma iki trigonometrinių funkcijų sandaugos). Ir tai savo ruožtu gali būti naudinga, pavyzdžiui, kai trigonometrinių išraiškų konvertavimas arba kada trigonometrinių lygčių sprendimas. Tačiau šios temos reikalauja atskiros diskusijos.
Nuorodos.
- Algebra: Vadovėlis 9 klasei. vid. mokykla/Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova; Red. S. A. Telyakovsky - M.: Išsilavinimas, 1990. - 272 p.: ISBN 5-09-002727-7
- Bašmakovas M. I. Algebra ir analizės pradžia: vadovėlis. 10-11 klasėms. vid. mokykla – 3 leidimas. - M.: Išsilavinimas, 1993. - 351 p.: iliustr. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 klasėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn ir kt. Red. A. N. Kolmogorovas - 14 leidimas - M.: Išsilavinimas, 2004. - 384 p.: ISBN 5-09-013651-3.
- Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.
Dviejų kampų kosinusų sumos (skirtumo) pavertimas sandauga
Dviejų kampų kosinusų sumai ir skirtumui teisingos šios formulės:
Dviejų kampų kosinusų suma yra lygi šių kampų pusės sumos kosinuso ir pusės skirtumo kosinuso sandaugai.
Skirtumas tarp dviejų kampų kosinusų yra lygus minus du kartus šių kampų pusės sumos sinuso ir pusės skirtumo sinuso sandaugai.
Pavyzdžiai
(1) ir (2) formules galima gauti įvairiais būdais. Įrodykime, pavyzdžiui, formulę (1).
cos α cos β = 1 / 2 .
Tikėdamas ja (α + β) = X , (α - β) = adresu, gauname formulę (1). Šis metodas yra panašus į tą, kuriuo ankstesnėje pastraipoje buvo gauta dviejų kampų sinusų sumos formulė.
2-as metodas. Ankstesnėje pastraipoje formulė buvo įrodyta
Tikėdamas ja α = X +π/2, β = adresu + π/2, gauname:
Bet pagal redukcijos formules nuodėmė ( X+ π / 2) == cos x, sin (y + π / 2) = cos y;
Vadinasi,
Q.E.D.
Kviečiame mokinius patiems įrodyti (2) formulę. Pabandykite rasti bent du skirtingus įrodinėjimo būdus!
Pratimai
1. Apskaičiuokite be lentelių, naudodami dviejų kampų kosinusų sumos ir skirtumo formules:
A). cos 105° + cos 75°. G). cos 11π / 12-cos 5π/12..
b). cos 105° - cos 75°. d). cos 15° -sin 15°.
V). cos 11π / 12+cos 5π/12.. f). nuodėmė π/12+cos 11π / 12.
2 . Supaprastinkite šias išraiškas:
A). cos ( π/3 + α ) + cos ( π/3 - α ).
b). cos ( π/3 + α ) - cos ( π/3 - α ).
3. Kiekviena iš tapatybių
nuodėmė α +cos α = \/ 2 nuodėmė ( α + π/4)
nuodėmė α -cos α = \/ 2 nuodėmė ( α - π/4)
įrodyti bent dviem skirtingais būdais.
4. Pateikite šias išraiškas produktų pavidalu:
A). \/ 2 + 2 cos α . V). nuodėmė x +cos y.
b). \/ 3 - 2 cos α . G). nuodėmė x -cos y.
5 . Supaprastinkite posakį sin 2 ( α - π/8) - cos 2 ( α + π/8) .
6 .Suformuokite šiuos posakius faktoriais (Nr. 1156-1159):
A). 1 + nuodėmė α -cos α
b). nuodėmė α + nuodėmė (α + β) + nuodėmė β .
V). cos α +cos 2α+cos 3α
G). 1 + nuodėmė α +cos α
7. Įrodykite šias tapatybes
8. Įrodykite, kad kampų kosinusai α Ir β lygus tada ir tik tada
α = ± β + 2nπ,
kur n yra koks nors sveikas skaičius.
Dviejų kampų α ir β sinusų ir kosinusų sumos ir skirtumo formulės leidžia pereiti nuo šių kampų sumos į kampų α + β 2 ir α - β 2 sandaugą. Iš karto atkreipkime dėmesį, kad nereikėtų painioti sinusų ir kosinusų sumos ir skirtumo formulių su sumos ir skirtumo sinusų ir kosinusų formulėmis. Žemiau išvardijame šias formules, pateikiame jų išvedžiojimus ir parodome konkrečių problemų taikymo pavyzdžius.
Sinusų ir kosinusų sumos ir skirtumo formulės
Užsirašykime, kaip atrodo sinusų ir kosinusų sumos ir skirtumo formulės
Sinusų sumos ir skirtumo formulės
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Kosinusų sumos ir skirtumo formulės
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β · = 2 sin α + β - α 2
Šios formulės galioja bet kokiems kampams α ir β. Kampai α + β 2 ir α - β 2 vadinami atitinkamai kampų alfa ir beta puse sumos ir pusinės skirtumo. Pateiksime kiekvienos formulės formuluotę.
Sinusų ir kosinusų sumų ir skirtumų formulių apibrėžimai
Dviejų kampų sinusų suma yra lygus šių kampų pusės sumos sinuso ir pusės skirtumo kosinuso sandaugai.
Dviejų kampų sinusų skirtumas yra lygus šių kampų pusės skirtumo sinuso ir pusės sumos kosinuso sandaugai.
Dviejų kampų kosinusų suma yra lygus šių kampų pusės sumos kosinuso ir pusės skirtumo kosinuso sandaugai.
Dviejų kampų kosinusų skirtumas lygi šių kampų pusės sumos sinuso ir pusės skirtumo kosinuso sandaugai, paimtai su neigiamu ženklu.
Sinusų ir kosinusų sumos ir skirtumo išvedimo formulės
Norint išvesti dviejų kampų sinuso ir kosinuso sumos ir skirtumo formules, naudojamos sudėjimo formulės. Išvardinkime juos žemiau
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - nuodėmė α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Taip pat įsivaizduokime pačius kampus kaip pusiau sumų ir pusiau skirtumų sumą.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Tiesiogiai pereiname prie sin ir cos sumos ir skirtumo formulių išvedimo.
Sinusų sumos formulės išvedimas
Sumoje sin α + sin β pakeičiame α ir β aukščiau pateiktomis šių kampų išraiškomis. Mes gauname
sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
Dabar pirmajai išraiškai taikome pridėjimo formulę, o antrajai - kampų skirtumų sinuso formulę (žr. aukščiau pateiktas formules)
nuodėm - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Atidarykite skliaustus, pridėkite panašius terminus ir gaukite reikiamą formulę
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + 2 cos α – β 2
Likusių formulių išvedimo veiksmai yra panašūs.
Sinusų skirtumo formulės išvedimas
sin α - sin β = nuodėmė α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = nuodėmė α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α 2 cos α + β 2
Kosinusų sumos formulės išvedimas
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos β 2 + cos α - β 2
Kosinusų skirtumo formulės išvedimas
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + α 2 sin α – β 2
Praktinių problemų sprendimo pavyzdžiai
Pirmiausia patikrinkime vieną iš formulių, pakeisdami į ją konkrečias kampo reikšmes. Tegu α = π 2, β = π 6. Apskaičiuokime šių kampų sinusų sumos reikšmę. Pirmiausia naudosime trigonometrinių funkcijų pagrindinių verčių lentelę, o tada taikysime sinusų sumos formulę.
1 pavyzdys. Dviejų kampų sinusų sumos formulės patikrinimas
α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Dabar panagrinėkime atvejį, kai kampo reikšmės skiriasi nuo lentelėje pateiktų pagrindinių verčių. Tegul α = 165°, β = 75°. Apskaičiuokime skirtumą tarp šių kampų sinusų.
2 pavyzdys. Sinusų skirtumo formulės taikymas
α = 165 °, β = 75 ° sin α - nuodėmė β = nuodėmė 165 ° - nuodėmė 75 ° sin 165 - nuodėmė 75 = 2 nuodėmė 165 ° - 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Naudodami sinusų ir kosinusų sumos ir skirtumo formules, galite pereiti nuo sumos arba skirtumo į trigonometrinių funkcijų sandaugą. Dažnai šios formulės vadinamos formulėmis, skirtomis pereiti nuo sumos prie sandaugos. Sinusų ir kosinusų sumos ir skirtumo formulės plačiai naudojamos sprendžiant trigonometrines lygtis ir konvertuojant trigonometrines išraiškas.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Pamokos tema. Sinusų suma ir skirtumas. Kosinusų suma ir skirtumas.
(Naujų žinių mokymosi pamoka.)
Pamokos tikslai.
Didaktinis:
išvesti sinusų sumos ir kosinusų sumos formules ir palengvinti jų įsisavinimą sprendžiant uždavinius;
toliau ugdyti trigonometrinių formulių naudojimo įgūdžius ir gebėjimus;
patikrinti medžiagos asimiliacijos laipsnį tema.
Švietimas:
skatinti savarankiško žinių taikymo įgūdžių ugdymą;
ugdyti savikontrolės ir savikontrolės įgūdžius;
tęsti loginio mąstymo ir žodinės matematinės kalbos ugdymo darbus, ieškant iškeltos problemos sprendimo.
Švietimas:
mokyti bendrauti ir klausytis kitų;
ugdyti dėmesingumą ir stebėjimą;
skatinti motyvaciją ir susidomėjimą mokytis trigonometrijos.
Įranga: pristatymas, interaktyvi lenta, formulės.
Pamokos eiga:
Organizacinis momentas. - 2 min.
Pagrindinių žinių atnaujinimas. Kartojimas. – 12 min.
Tikslo nustatymas. – 1 min.
Naujų žinių suvokimas ir suvokimas. – 3 min.
Įgytų žinių pritaikymas. – 20 min.
Pasiekimų analizė ir veiklos korekcija. – 5 min.
Atspindys. - 1 min.
Namų darbai. – 1 min.
1. Organizacinis momentas.(1 skaidrė)
- Labas! Trigonometrija yra viena įdomiausių matematikos skyrių, tačiau daugumai mokinių kažkodėl ji atrodo sunkiausia. Greičiausiai tai galima paaiškinti tuo, kad šiame skyriuje yra daugiau formulių nei bet kurioje kitoje. Norint sėkmingai išspręsti trigonometrijos uždavinius, reikia patikimai žinoti daugybę formulių. Daug formulių jau ištirta, bet pasirodo, kad ne visos. Todėl šios pamokos šūkis bus Pitagoro posakis: „Kas eina, valdo kelią, o kas mąsto, įvaldo matematiką“. Pagalvokim!
2. Bazinių žinių atnaujinimas. Kartojimas.
1) matematinis diktantas su abipusiu patikrinimu(2–5 skaidrės)
Pirma užduotis. Naudojant išmoktas formules paskaičiuoti:
1 variantas
2 variantas
nuodėmė 390 0
kaina 420 0
1 – cos 2 30 0
1 – nuodėmė 2 60 0
сos 120 0∙cos 30 0 + sin 120 0 ∙sin 30 0
sin 30 0 ∙cos 150 0 + cos 30 0 ∙sin 150 0
Atsakymai: ; 1 ; -; ; - ; - 1; 1 ; ; ; 0 ; ; 3. – abipusis patikrinimas.
Vertinimo kriterijai: (darbai pateikiami mokytojui)
„4“ – 10–11
2) probleminė užduotis(6 skaidrė) – mokinio pranešimas.
Supaprastinkite išraišką naudodami trigonometrines formules:
Ar įmanoma šią problemą išspręsti kitaip? (Taip, naudojant naujas formules.)
3. Tikslo nustatymas(7 skaidrė)
Pamokos tema:
Sinusų suma ir skirtumas. Kosinusų suma ir skirtumas. - rašyti į sąsiuvinį
Pamokos tikslai:
išvesti sinusų sumos ir skirtumo, kosinusų sumos ir skirtumo formules;
gebėti juos pritaikyti praktikoje.
4. Naujų žinių suvokimas ir suvokimas. ( 8-9 skaidrė)
Išveskime sinusų sumos formulę: - mokytojas
Likusios formulės įrodomos panašiai: (formulės sumos pavertimui sandauga)
Įsiminimo taisyklės!
Kokios kitos trigonometrinės formulės buvo naudojamos sudėjimo formulėms įrodyti?
5. Įgytų žinių taikymas.(10–11 skaidrės)
Naudojant naujas formules:
1) Apskaičiuokite: (prie lentos) – Koks bus atsakymas? (skaičius)
Diktantas su mokytoju
6. Pasiekimų analizė ir veiklos korekcija.(13 skaidrė)
Diferencijuotas savarankiškas darbas su savikontrole
Apskaičiuokite:
7. Refleksija.(14 skaidrė)
Ar esate patenkintas savo darbu klasėje?
Kokį balą įvertintumėte sau už visą pamoką?
Koks buvo įdomiausias pamokos momentas?
Kur labiausiai teko susikaupti?
8. Namų darbai: išmokti formules, individualias užduotis ant kortelių.
Sumažinimo formulės
Redukcijos formulės leidžia rasti bet kokių kampų (ne tik smailių) trigonometrinių funkcijų reikšmes. Su jų pagalba galite atlikti transformacijas, kurios supaprastina trigonometrinių išraiškų išvaizdą.
1 pav.
Sprendžiant uždavinius, be redukcinių formulių, naudojamos šios pagrindinės formulės.
1) Vieno kampo formulės:
2) Vienų trigonometrinių funkcijų išreiškimas kitomis:
komentuoti
Šiose formulėse prieš radikalo ženklą turi būti $"+"$ arba $"-"$ ženklas, priklausomai nuo to, kuriame kvadrante yra kampas.
Sinusų suma ir skirtumas, kosinusų suma ir skirtumas
Funkcijų sumos ir skirtumo formulės:
Be funkcijų sumos ir skirtumo formulių, sprendžiant uždavinius gali praversti ir funkcijų sandaugos formulės:
Pagrindiniai ryšiai tarp įstrižųjų trikampių elementų
Pavadinimai:
$a$, $b$, $c$ - trikampio kraštinės;
$A$, $B$, $C$ - kampai, priešingi išvardytoms kraštinėms;
$p=\frac(a+b+c)(2) $ - pusiau perimetras;
$S$ – plotas;
$R$ - apibrėžto apskritimo spindulys;
$r$ yra įbrėžto apskritimo spindulys.
Pagrindiniai santykiai:
1) $\frac(a)(\sin A) =\frac(b)(\sin B) =\frac(c)(\sin C) =2\cdot R$ - sinuso teorema;
2) $a^(2) =b^(2) +c^(2) -2\cdot b\cdot c\cdot \cos A$ - kosinuso teorema;
3) $\frac(a+b)(a-b) =\frac(tg\frac(A+B)(2) )(tg\frac(A-B)(2) ) $ - liestinės teorema;
4) $S=\frac(1)(2) \cdot a\cdot b\cdot \sin C=\sqrt(p\cdot \left(p-a\right)\cdot \left(p-b\right)\cdot \ left(p-c\right)) =r\cdot p=\frac(a\cdot b\cdot c)(4\cdot R) $ - srities formulės.
Įstrižų trikampių sprendimas
Sprendžiant įstrižus trikampius reikia nustatyti visus jo elementus: šonai ir kampai.
1 pavyzdys
Duotos trys pusės $a$, $b$, $c$:
1) trikampyje kampams apskaičiuoti gali būti naudojama tik kosinuso teorema, nes tik pagrindinė lanko kosinuso reikšmė yra $0\le \arccos x\le +\pi $ ribose, atitinkančioje trikampį;
3) raskite kampą $B$ taikydami kosinuso teoremą $\cos B=\frac(a^(2) +c^(2) -b^(2) )(2\cdot a\cdot c) $, ir tada atvirkštinė trigonometrinė funkcija $B=\arccos \left(\cos B\right)$;
2 pavyzdys
Duotos dvi kraštinės $a$, $b$ ir kampas $C$ tarp jų:
1) raskite kraštinę $c$ naudodami kosinuso teoremą $c^(2) =a^(2) +b^(2) -2\cdot a\cdot b\cdot \cos C$;
2) raskite kampą $A$ taikydami kosinuso teoremą $\cos A=\frac(b^(2) +c^(2) -a^(2) )(2\cdot b\cdot c) $, ir tada atvirkštinė trigonometrinė funkcija $A=\arccos \left(\cos A\right)$;
3) raskite kampą $B$ naudodami formulę $B=180()^\circ -\left(A+C\right)$.
3 pavyzdys
Duoti du kampai $A$, $B$ ir kraštinė $c$:
1) raskite kampą $C$ naudodami formulę $C=180()^\circ -\left(A+B\right)$;
2) raskite kraštinę $a$ naudodami sinusų $a=\frac(c\cdot \sin A)(\sin C) $ teoremą;
3) raskite kraštinę $b$ naudodami sinusų $b=\frac(c\cdot \sin B)(\sin C) $ teoremą.
4 pavyzdys
Duotos pusės $a$, $b$ ir kampas $B$, priešingos kraštinei $b$:
1) parašykite kosinuso teoremą $b^(2) =a^(2) +c^(2) -2\cdot a\cdot c\cdot \cos B$, naudodami nurodytas reikšmes; iš čia gauname kvadratinę lygtį $c^(2) -\left(2\cdot a\cdot \cos B\right)\cdot c+\left(a^(2) -b^(2) \right)= 0$ kraštinių $c$ atžvilgiu;
2) išsprendę gautą kvadratinę lygtį, teoriškai galime gauti vieną iš trijų atvejų – dvi teigiamas reikšmes pusei $c$, vieną teigiamą pusę $c$, teigiamų reikšmių $c$ pusėje nėra; atitinkamai, problema turės du, vieną arba nulį sprendimų;
3) naudojant konkrečią teigiamą kraštinės $c$ reikšmę, kampą $A$ randame taikydami kosinuso teoremą $\cos A=\frac(b^(2) +c^(2) -a^(2 ) )(2\cdot b\cdot c) $ ir tada atvirkštinė trigonometrinė funkcija $A=\arccos \left(\cos A\right)$;
4) raskite kampą $C$ naudodami formulę $C=180()^\circ -\left(A+B\right)$.
