Kaip greitai apskaičiuoti skaičiaus šaknį. Kaip išgauti daugiaženklio skaičiaus šaknį

Mokiniai visada klausia: „Kodėl matematikos egzamine negaliu naudoti skaičiuoklės? Kaip be skaičiuotuvo išgauti kvadratinę šaknį iš skaičiaus? Pabandykime atsakyti į šį klausimą.

Kaip išgauti kvadratinę šaknį iš skaičiaus be skaičiuoklės pagalbos?

Veiksmas kvadratinė šaknis atvirkštinis kvadratavimo veiksmui.

√81= 9 9 2 =81

Jei paimsite teigiamo skaičiaus kvadratinę šaknį ir gaukite rezultatą kvadratu, gausite tą patį skaičių.

Iš mažų skaičių, kurie yra tikslūs natūraliųjų skaičių kvadratai, pavyzdžiui, 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, žodžiu galima išgauti kvadratines šaknis. Paprastai mokykloje jie moko natūralių skaičių iki dvidešimties kvadratų lentelės. Žinant šią lentelę, nesunku iš skaičių 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 ištraukti kvadratines šaknis. Iš skaičių, didesnių nei 400, galite juos išgauti pasirinkdami pasirinkdami keletą patarimų. Pabandykime pažvelgti į šį metodą su pavyzdžiu.

Pavyzdys: Ištraukite skaičiaus 676 šaknį.

Pastebime, kad 20 2 = 400 ir 30 2 = 900, o tai reiškia 20< √676 < 900.

Natūraliųjų skaičių tikslūs kvadratai baigiasi 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Skaičius 6 pateikiamas 4 2 ir 6 2.
Tai reiškia, kad jei šaknis paimta iš 676, tada ji yra arba 24, arba 26.

Belieka patikrinti: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Atsakymas: √676 = 26 .

Daugiau pavyzdys: √6889 .

Kadangi 80 2 = 6400 ir 90 2 = 8100, tada 80< √6889 < 90.
Skaičius 9 pateikiamas iš 3 2 ir 7 2, tada √6889 yra lygus 83 arba 87.

Patikrinkime: 83 2 = 6889.

Atsakymas: √6889 = 83 .

Jei jums sunku išspręsti taikant atrankos metodą, galite atsižvelgti į radikalią išraišką.

Pavyzdžiui, rasti √893025.

Suskaičiuokime skaičių 893025, atminkite, kad tai padarėte šeštoje klasėje.

Gauname: √893025 = √3 6∙5 2∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Daugiau pavyzdys: √20736. Paskaičiuokime skaičių 20736:

Gauname √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Žinoma, faktorizacijai reikia žinių apie dalijamumo ženklus ir faktorizavimo įgūdžius.

Ir pagaliau yra kvadratinių šaknų ištraukimo taisyklė. Susipažinkime su šia taisykle pavyzdžiais.

Apskaičiuokite √279841.

Norėdami išgauti kelių skaitmenų sveikojo skaičiaus šaknį, padalijame jį iš dešinės į kairę į veidus, turinčius 2 skaitmenis (kairiausiame krašte gali būti vienas skaitmuo). Rašome taip: 27'98'41

Norėdami gauti pirmąjį šaknies skaitmenį (5), paimame kvadratinę šaknį iš didžiausio tobulo kvadrato, esančio pirmame kairėje pusėje (27).
Tada šaknies pirmojo skaitmens kvadratas (25) atimamas iš pirmojo paviršiaus, o kitas veidas (98) pridedamas prie skirtumo (atimamas).
Į kairę nuo gauto skaičiaus 298 parašykite šaknies dviženklį skaitmenį (10), padalykite iš jo visų anksčiau gauto skaičiaus dešimčių skaičių (29/2 ≈ 2), patikrinkite koeficientą (102 ∙ 2 = 204). turėtų būti ne daugiau kaip 298) ir po pirmojo šaknies skaitmens parašykite (2).
Tada gautas koeficientas 204 atimamas iš 298 ir prie skirtumo (94) pridedama kita briauna (41).
Į kairę nuo gauto skaičiaus 9441 parašykite dvigubą šaknies skaitmenų sandaugą (52 ∙2 = 104), padalinkite visų skaičiaus 9441 dešimčių skaičių (944/104 ≈ 9) iš šio sandaugos, išbandykite koeficientas (1049 ∙9 = 9441) turi būti 9441 ir užrašykite jį (9) po antrojo šaknies skaitmens.

Gavome atsakymą √279841 = 529.

Ištraukite panašiai dešimtainių trupmenų šaknys. Tik radikalus skaičius turi būti padalintas į veidus, kad kablelis būtų tarp veidų.

Pavyzdys. Raskite reikšmę √0,00956484.

Tiesiog atminkite, kad jei dešimtainėje trupmenoje yra nelyginis skaičius po kablelio, kvadratinės šaknies iš jos paimti negalima.

Taigi dabar matėte tris būdus, kaip išgauti šaknį. Pasirinkite sau tinkamiausią ir praktikuokite. Norint išmokti spręsti problemas, reikia jas spręsti. Ir jei turite klausimų,.

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Mokiniai visada klausia: „Kodėl matematikos egzamine negaliu naudoti skaičiuoklės? Kaip be skaičiuotuvo išgauti kvadratinę šaknį iš skaičiaus? Pabandykime atsakyti į šį klausimą.

Kaip išgauti kvadratinę šaknį iš skaičiaus be skaičiuoklės pagalbos?

Veiksmas kvadratinė šaknis atvirkštinis kvadratavimo veiksmui.

√81= 9 9 2 =81

Jei paimsite teigiamo skaičiaus kvadratinę šaknį ir gaukite rezultatą kvadratu, gausite tą patį skaičių.

Iš mažų skaičių, kurie yra tikslūs natūraliųjų skaičių kvadratai, pavyzdžiui, 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, žodžiu galima išgauti kvadratines šaknis. Paprastai mokykloje jie moko natūralių skaičių iki dvidešimties kvadratų lentelės. Žinant šią lentelę, nesunku iš skaičių 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 ištraukti kvadratines šaknis. Iš skaičių, didesnių nei 400, galite juos išgauti pasirinkdami pasirinkdami keletą patarimų. Pabandykime pažvelgti į šį metodą su pavyzdžiu.

Pavyzdys: Ištraukite skaičiaus 676 šaknį.

Pastebime, kad 20 2 = 400 ir 30 2 = 900, o tai reiškia 20< √676 < 900.

Natūraliųjų skaičių tikslūs kvadratai baigiasi 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Skaičius 6 pateikiamas 4 2 ir 6 2.
Tai reiškia, kad jei šaknis paimta iš 676, tada ji yra arba 24, arba 26.

Belieka patikrinti: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Atsakymas: √676 = 26 .

Daugiau pavyzdys: √6889 .

Kadangi 80 2 = 6400 ir 90 2 = 8100, tada 80< √6889 < 90.
Skaičius 9 pateikiamas iš 3 2 ir 7 2, tada √6889 yra lygus 83 arba 87.

Patikrinkime: 83 2 = 6889.

Atsakymas: √6889 = 83 .

Jei jums sunku išspręsti taikant atrankos metodą, galite atsižvelgti į radikalią išraišką.

Pavyzdžiui, rasti √893025.

Suskaičiuokime skaičių 893025, atminkite, kad tai padarėte šeštoje klasėje.

Gauname: √893025 = √3 6∙5 2∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Daugiau pavyzdys: √20736. Paskaičiuokime skaičių 20736:

Gauname √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Žinoma, faktorizacijai reikia žinių apie dalijamumo ženklus ir faktorizavimo įgūdžius.

Ir pagaliau yra kvadratinių šaknų ištraukimo taisyklė. Susipažinkime su šia taisykle pavyzdžiais.

Apskaičiuokite √279841.

Norėdami išgauti kelių skaitmenų sveikojo skaičiaus šaknį, padalijame jį iš dešinės į kairę į veidus, turinčius 2 skaitmenis (kairiausiame krašte gali būti vienas skaitmuo). Rašome taip: 27'98'41

Norėdami gauti pirmąjį šaknies skaitmenį (5), paimame kvadratinę šaknį iš didžiausio tobulo kvadrato, esančio pirmame kairėje pusėje (27).
Tada šaknies pirmojo skaitmens kvadratas (25) atimamas iš pirmojo paviršiaus, o kitas veidas (98) pridedamas prie skirtumo (atimamas).
Į kairę nuo gauto skaičiaus 298 parašykite šaknies dviženklį skaitmenį (10), padalykite iš jo visų anksčiau gauto skaičiaus dešimčių skaičių (29/2 ≈ 2), patikrinkite koeficientą (102 ∙ 2 = 204). turėtų būti ne daugiau kaip 298) ir po pirmojo šaknies skaitmens parašykite (2).
Tada gautas koeficientas 204 atimamas iš 298 ir prie skirtumo (94) pridedama kita briauna (41).
Į kairę nuo gauto skaičiaus 9441 parašykite dvigubą šaknies skaitmenų sandaugą (52 ∙2 = 104), padalinkite visų skaičiaus 9441 dešimčių skaičių (944/104 ≈ 9) iš šio sandaugos, išbandykite koeficientas (1049 ∙9 = 9441) turi būti 9441 ir užrašykite jį (9) po antrojo šaknies skaitmens.

Gavome atsakymą √279841 = 529.

Ištraukite panašiai dešimtainių trupmenų šaknys. Tik radikalus skaičius turi būti padalintas į veidus, kad kablelis būtų tarp veidų.

Pavyzdys. Raskite reikšmę √0,00956484.

Tiesiog atminkite, kad jei dešimtainėje trupmenoje yra nelyginis skaičius po kablelio, kvadratinės šaknies iš jos paimti negalima.

Taigi dabar matėte tris būdus, kaip išgauti šaknį. Pasirinkite sau tinkamiausią ir praktikuokite. Norint išmokti spręsti problemas, reikia jas spręsti. Ir jei turite klausimų, registruokitės į mano pamokas.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Instrukcijos

Pasirinkite radikalaus skaičiaus daugiklį, kurio pašalinimas iš apačios šaknis iš tikrųjų yra išraiška – kitaip operacija praras . Pavyzdžiui, jei po ženklu šaknis kai rodiklis lygus trims (kubo šaknis), tai kainuoja numerį 128, tada iš po ženklo galite išimti, pvz. numerį 5. Kartu ir radikalus numerį 128 turės būti padalintas iš 5 kubelių: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Jei trupmeninio skaičiaus buvimas po ženklu šaknis neprieštarauja problemos sąlygoms, tuomet tai įmanoma tokia forma. Jei jums reikia paprastesnio varianto, pirmiausia suskaidykite radikaliąją išraišką į tokius sveikojo skaičiaus veiksnius, kurių vieno kubo šaknis bus sveikasis skaičius numerį m. Pavyzdžiui: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Naudokite norėdami pasirinkti radikalaus skaičiaus veiksnius, jei neįmanoma apskaičiuoti skaičiaus galių jūsų galvoje. Tai ypač pasakytina apie šaknis m, kurio rodiklis didesnis nei du. Jei turite prieigą prie interneto, galite atlikti skaičiavimus naudodami Google ir Nigma paieškos sistemose įmontuotus skaičiuotuvus. Pavyzdžiui, jei reikia rasti didžiausią sveikojo skaičiaus koeficientą, kurį galima paimti iš po kubinio ženklo šaknis skaičiui 250, tada eikite į „Google“ svetainę ir įveskite užklausą „6^3“, kad patikrintumėte, ar galima jį pašalinti iš po ženklo šaknisšeši. Paieškos sistema parodys rezultatą, lygų 216. Deja, 250 negalima padalyti be likučio iš šio numerį. Tada įveskite užklausą 5^3. Rezultatas bus 125, o tai leidžia padalyti 250 į koeficientus 125 ir 2, o tai reiškia, kad jis bus pašalintas iš ženklo šaknis numerį 5, paliekant ten numerį 2.

Šaltiniai:

• kaip jį ištraukti iš po šaknų
• Kvadratinė produkto šaknis

Išimkite jį iš apačios šaknis vienas iš veiksnių yra būtinas situacijose, kai reikia supaprastinti matematinę išraišką. Yra atvejų, kai neįmanoma atlikti reikiamų skaičiavimų naudojant skaičiuotuvą. Pavyzdžiui, jei vietoj skaičių naudojami raidžių žymėjimai kintamiesiems.

Instrukcijos

Suskaidykite radikalią išraišką į paprastus veiksnius. Pažiūrėkite, kuris iš veiksnių kartojasi tiek pat kartų, nurodytas rodikliuose šaknis, ar daugiau. Pavyzdžiui, reikia paimti ketvirtąją a šaknį. Šiuo atveju skaičius gali būti pavaizduotas kaip a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. Rodiklis šaknisšiuo atveju jis atitiks veiksnys a3. Jį reikia išimti iš ženklo.

Jei įmanoma, gautų radikalų šaknis ištraukite atskirai. Ištraukimas šaknis yra algebrinė operacija, atvirkštinė eksponencijai. Ištraukimas šaknis savavališkos laipsnio, raskite skaičių iš skaičiaus, kurį pakėlus iki šios savavališkos laipsnio, bus gautas nurodytas skaičius. Jei ištraukimas šaknis negali būti gaminamas, po ženklu palikite radikalią išraišką šaknis tiesiog taip, kaip yra. Dėl aukščiau nurodytų veiksmų būsite pašalinti iš apačios ženklas šaknis.

Video tema

Atkreipkite dėmesį

Būkite atsargūs rašydami radikalias išraiškas faktorių forma - klaida šiame etape sukels neteisingus rezultatus.

Naudingi patarimai

Išgaunant šaknis patogu naudoti specialias lenteles arba logaritminių šaknų lenteles – taip gerokai sutrumpės laikas, per kurį reikia rasti teisingą sprendimą.

Šaltiniai:

• šaknų ištraukimo ženklas 2019 m

Supaprastinti algebrines išraiškas reikia daugelyje matematikos sričių, įskaitant aukštesnės eilės lygčių sprendimą, diferencijavimą ir integravimą. Naudojami keli metodai, įskaitant faktorizaciją. Norėdami pritaikyti šį metodą, turite rasti ir padaryti bendrą veiksnys už skliausteliuose.

Instrukcijos

Atliekant bendrą daugiklį skliausteliuose- vienas iš labiausiai paplitusių skaidymo būdų. Ši technika naudojama ilgų algebrinių išraiškų struktūrai supaprastinti, t.y. daugianario. Bendrasis skaičius gali būti skaičius, vienanaris arba dvinaris, o norint jį rasti, naudojama daugybos skirstomoji savybė.

Skaičius atidžiai pažiūrėkite į kiekvieno daugianario koeficientus, kad pamatytumėte, ar juos galima padalyti iš to paties skaičiaus. Pavyzdžiui, išraiškoje 12 z³ + 16 z² – 4 tai akivaizdu veiksnys 4. Po transformacijos gausite 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Kitaip tariant, šis skaičius yra rečiausias visų koeficientų sveikųjų skaičių daliklis.

Monomialas Nustatykite, ar tas pats kintamasis yra kiekviename daugianario naryje. Darant prielaidą, kad taip yra, dabar pažiūrėkite į koeficientus, kaip ir ankstesniu atveju. Pavyzdys: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.

Kiekvienas šio daugianario elementas turi kintamąjį z. Be to, visi koeficientai yra skaičiai, kurie yra 3 kartotiniai. Todėl bendras koeficientas bus monomialas 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z – 1).

Dvejetainė.Dėl skliausteliuose bendras veiksnys iš dviejų, kintamasis ir skaičius, kuris yra bendras daugianario. Todėl, jei veiksnys-Benomialas nėra akivaizdus, ​​tada reikia rasti bent vieną šaknį. Pasirinkite daugianario laisvąjį narį, tai yra koeficientas be kintamojo. Dabar taikykite pakeitimo metodą į bendrą visų laisvojo termino sveikųjų skaičių daliklių išraišką.

Apsvarstykite: z^4 – 2 z³ + z² – 4 z + 4. Patikrinkite, ar kuris nors iš sveikųjų skaičių 4 yra z^4 – 2 z³ + z² – 4 z + 4 = 0. Paprastu pakeitimu raskite z1 = 1 ir z2 = 2, o tai reiškia už skliausteliuose galime pašalinti dvejetainius (z - 1) ir (z - 2). Norėdami rasti likusią išraišką, naudokite nuoseklų ilgąjį padalijimą.

Spręsdami įvairius uždavinius iš matematikos ir fizikos kurso, mokiniai ir studentai dažnai susiduria su poreikiu išgauti antrojo, trečiojo ar n-ojo laipsnio šaknis. Žinoma, informacinių technologijų amžiuje tokią problemą išspręsti naudojant skaičiuotuvą nebus sunku. Tačiau pasitaiko situacijų, kai neįmanoma naudotis elektroniniu asistentu.

Pavyzdžiui, daugelis egzaminų neleidžia atsinešti elektronikos. Be to, galite neturėti po ranka skaičiuotuvo. Tokiais atvejais pravartu žinoti bent kai kuriuos radikalų skaičiavimo metodus rankiniu būdu.

Vienas iš paprasčiausių šaknų skaičiavimo būdų yra naudojant specialią lentelę. Kas tai yra ir kaip teisingai jį naudoti?

Naudodami lentelę galite rasti bet kurio skaičiaus kvadratą nuo 10 iki 99. Lentelės eilutėse yra dešimčių reikšmės, o stulpeliuose - vienetų reikšmės. Ląstelėje, esančioje eilutės ir stulpelio sankirtoje, yra dviženklio skaičiaus kvadratas. Norint apskaičiuoti kvadratą 63, reikia rasti eilutę, kurios reikšmė yra 6, ir stulpelį, kurio reikšmė yra 3. Sankryžoje rasime langelį su skaičiumi 3969.

Kadangi šaknies ištraukimas yra atvirkštinė kvadrato operacija, norėdami atlikti šį veiksmą turite padaryti priešingai: pirmiausia suraskite langelį su skaičiumi, kurio radikalą norite apskaičiuoti, tada naudokite stulpelio ir eilutės reikšmes atsakymui nustatyti. . Pavyzdžiui, apskaičiuokite kvadratinę šaknį iš 169.

Lentelėje randame langelį su šiuo skaičiumi, horizontaliai nustatome dešimtis - 1, vertikaliai randame vienetus - 3. Atsakymas: √169 = 13.

Panašiai galite apskaičiuoti kubo ir n-ąsias šaknis naudodami atitinkamas lenteles.

Metodo pranašumas yra jo paprastumas ir papildomų skaičiavimų nebuvimas. Trūkumai yra akivaizdūs: metodas gali būti naudojamas tik ribotam skaičių diapazonui (skaičius, kurio šaknis randama, turi būti nuo 100 iki 9801). Be to, jis neveiks, jei nurodyto numerio nėra lentelėje.

Pirminis faktorizavimas

Jei kvadratų lentelės nėra po ranka arba paaiškėjo, kad su jos pagalba neįmanoma rasti šaknies, galite pabandyti suskaidykite skaičių po šaknimi į pirminius veiksnius. Pirminiai veiksniai yra tie, kurie gali būti visiškai (be liekanos) dalijami tik iš savęs arba iš vieneto. Pavyzdžiai gali būti 2, 3, 5, 7, 11, 13 ir kt.

Pažvelkime į šaknies apskaičiavimą, kaip pavyzdį naudodami √576. Suskirstykime jį į pagrindinius veiksnius. Gauname tokį rezultatą: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Naudodamiesi pagrindine šaknų savybe √a² = a, atsikratysime šaknų ir kvadratų, o tada apskaičiuosime atsakymą: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

Ką daryti, jei kuris nors iš daugiklių neturi savo poros? Pavyzdžiui, apsvarstykite √54 apskaičiavimą. Po faktorizavimo gauname rezultatą tokia forma: √54 = √(2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Nenuimamą dalį galima palikti po šaknimi. Daugumos geometrijos ir algebros uždavinių atveju tai bus laikoma galutiniu atsakymu. Bet jei reikia apskaičiuoti apytiksles vertes, galite naudoti metodus, kurie bus aptarti toliau.

Garnio metodas

Ką daryti, kai reikia bent apytiksliai žinoti, kam lygi išskirta šaknis (jei neįmanoma gauti sveikojo skaičiaus)? Greitas ir gana tikslus rezultatas gaunamas naudojant Heron metodą. Jo esmė yra naudoti apytikslę formulę:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

kur R yra skaičius, kurio šaknį reikia apskaičiuoti, a yra artimiausias skaičius, kurio šaknies reikšmė yra žinoma.

Pažiūrėkime, kaip metodas veikia praktiškai, ir įvertinkime jo tikslumą. Apskaičiuokime, kam lygus √111. Skaičius, artimiausias 111, kurio šaknis žinoma, yra 121. Taigi, R = 111, a = 121. Pakeiskite reikšmes į formulę:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Dabar patikrinkime metodo tikslumą:

10,55² = 111,3025.

Metodo paklaida buvo maždaug 0,3. Jei metodo tikslumą reikia pagerinti, galite pakartoti anksčiau aprašytus veiksmus:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Patikrinkime skaičiavimo tikslumą:

10,536² = 111,0073.

Pakartotinai pritaikius formulę, klaida tapo visiškai nereikšminga.

Šaknies apskaičiavimas ilguoju padalijimu

Šis kvadratinės šaknies vertės nustatymo metodas yra šiek tiek sudėtingesnis nei ankstesni. Tačiau jis yra pats tiksliausias tarp kitų skaičiavimo metodų be skaičiuotuvo.

Tarkime, kad reikia rasti kvadratinę šaknį 4 skaitmenų po kablelio tikslumu. Išanalizuokime skaičiavimo algoritmą savavališko skaičiaus 1308.1912 pavyzdžiu.

1. Padalinkite popieriaus lapą į 2 dalis vertikalia linija, tada nubrėžkite kitą liniją iš jo į dešinę, šiek tiek žemiau viršutinio krašto. Parašykime skaičių kairėje pusėje, suskirstydami jį į grupes po 2 skaitmenis, judėdami į dešinę ir kairę nuo kablelio. Pats pirmasis skaitmuo kairėje gali būti be poros. Jei dešinėje skaičiaus pusėje trūksta ženklo, tuomet reikia pridėti 0. Mūsų atveju rezultatas bus 13 08.19 12.
2. Pažymime didžiausią skaičių, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus pirmajai skaitmenų grupei. Mūsų atveju tai yra 3. Parašykime viršuje dešinėje; 3 yra pirmasis rezultato skaitmuo. Dešinėje apačioje nurodome 3×3 = 9; to reikės tolesniems skaičiavimams. Iš 13 stulpelyje atimame 9, gauname 4 likutį.
3. Kitą skaičių porą priskirkime likusiai 4; gauname 408.
4. Viršuje dešinėje esantį skaičių padauginkite iš 2 ir užrašykite jį apačioje dešinėje, pridėdami prie jo _ x _ =. Gauname 6_ x _ =.
5. Vietoj brūkšnelių reikia pakeisti tą patį skaičių, mažesnį arba lygų 408. Gauname 66 × 6 = 396. Rašome 6 iš viršaus dešinėje, nes tai yra antrasis rezultato skaitmuo. Iš 408 atimkite 396 ir gausime 12.
6. Pakartokime 3–6 veiksmus. Kadangi į apačią perkelti skaitmenys yra trupmeninėje skaičiaus dalyje, viršuje dešinėje po 6 reikia dėti kablelį. Dvigubą rezultatą užrašykime su brūkšneliais: 72_ x _ =. Tinkamas skaičius būtų 1: 721×1 = 721. Užrašykime kaip atsakymą. Atimkime 1219 – 721 = 498.
7. Ankstesnėje pastraipoje nurodytą veiksmų seką atlikime dar tris kartus, kad gautume reikiamą skaičių po kablelio. Jei tolimesniems skaičiavimams nepakanka simbolių, prie esamo skaičiaus kairėje turite pridėti du nulius.

Dėl to gauname atsakymą: √1308.1912 ≈ 36.1689. Jei veiksmą patikrinsite naudodami skaičiuotuvą, galėsite įsitikinti, kad visi ženklai buvo nustatyti teisingai.

Bitinių kvadratinių šaknų skaičiavimas

Metodas yra labai tikslus. Be to, tai gana suprantama ir nereikalauja įsiminti formulių ar sudėtingo veiksmų algoritmo, nes metodo esmė yra pasirinkti teisingą rezultatą.

Išskirkime skaičiaus 781 šaknį. Išsamiai pažvelkime į veiksmų seką.

1. Sužinokime, kuris kvadratinės šaknies reikšmės skaitmuo bus reikšmingiausias. Norėdami tai padaryti, pakelkime kvadratą 0, 10, 100, 1000 ir tt ir išsiaiškinkime, tarp kurių iš jų yra radikalusis skaičius. Mes gauname 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Pasirinkime dešimčių reikšmę. Norėdami tai padaryti, paeiliui didinsime laipsnius 10, 20, ..., 90, kol gausime skaičių, didesnį nei 781. Mūsų atveju gausime 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. rezultato n reikšmė bus 20 ribose< n <30.
3. Panašiai kaip ir ankstesniame žingsnyje, pasirenkama vienetų skaitmens reikšmė. Padėkime kvadratu 21,22, ..., 29 po vieną: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28. Gausime, kad 7824.< n < 28.
4. Kiekvienas paskesnis skaitmuo (dešimtosios, šimtosios ir kt.) apskaičiuojamas taip pat, kaip parodyta aukščiau. Skaičiavimai atliekami tol, kol pasiekiamas reikiamas tikslumas.