Pavyzdys Nr.9

Ištirkite eilutės $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)) konvergenciją. $.

Kadangi apatinė sumavimo riba yra 1, tada bendras narys serija rašoma po sumos ženklu: $u_n=\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$. Pirmiausia išsiaiškinkime, ar ši serija yra teigiama, t.y. Ar nelygybė $u_n≥ 0$ yra teisinga? Koeficientas $\frac(1)(\sqrt(n))> 0$, tai aišku, bet kaip dėl arctangento? Arktange nėra nieko sudėtingo: kadangi $\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)) >0$, tada $\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))>0 $ . Išvada: mūsų serija yra teigiama. Taikykime palyginimo kriterijų tirdami šios eilutės konvergencijos klausimą.

Pirmiausia pasirinkite seriją, su kuria lyginsime. Jei $n\to\infty$, tada $\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\į 0$. Todėl $\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\sim\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$. Kodėl taip yra? Jei pažvelgsime į lentelę šio dokumento pabaigoje, pamatysime formulę $\arctg x\sim x$ nuo $x\iki 0$. Naudojome šią formulę, tik mūsų atveju $x=\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$.

Išraiškoje $\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$ arctangentą pakeičiame trupmena $\frac(\pi)(\ sqrt(2n-1))$. Gauname: $\frac(1)(\sqrt(n))\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$. Su tokiomis trupmenomis jau dirbome anksčiau. Atmetę „papildomus“ elementus, gauname trupmeną $\frac(1)(\sqrt(n)\cdot\sqrt(n))=\frac(1)(n^(\frac(1)(2) +\frac (1)(3)))=\frac(1)(n^(\frac(5)(6)))$. Palyginsime su serija $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\frac(5)(6))$ duota serija, naudojant. Kadangi $\frac(5)(6)≤ 1$, tada serija $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\frac(5)(6))$ skiriasi.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)))(\frac(1) (n^\frac(5)(6)))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left|\begin(lygiuotas)&\frac(\pi)(\sqrt(2n-) 1))\į 0;\\&\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\sim\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)).\end(sulygiuotas) \dešinė| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(1)(\sqrt(n))\cdot\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)))(\frac(1)( n^\frac(5)(6))) =\\=\pi\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(n))(\sqrt(2n-1)) =\pi \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(1)(\sqrt(2-\frac(1)(n)))=\pi\cdot\frac(1)(\sqrt(2-0) )=\frac(\pi)(\sqrt(2)). $$

Nuo 0 USD<\frac{\pi}{\sqrt{2}}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$.

Atkreipiu dėmesį, kad šiuo atveju vietoj arctangento bendrosios serijos termino išraiškoje gali būti sinusas, arcsinusas arba liestinė. Sprendimas liktų toks pat.

Atsakymas: serija skiriasi.

10 pavyzdys

Išnagrinėkite eilutę $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(1-\cos\frac(7)(n)\right)$, ar nėra konvergencijos.

Kadangi apatinė sumavimo riba yra 1, bendrasis serijos terminas rašomas po sumos ženklu: $u_n=1-\cos\frac(7)(n)$. Kadangi bet kuriai reikšmei $x$ turime $-1≤\cos x≤ 1$, tada $\cos\frac(7)(n)≤ 1$. Todėl $1-\cos\frac(7)(n)≥ 0$, t.y. $u_n≥ 0$. Mes susiduriame su teigiama serija.

Jei $n\to\infty$, tada $\frac(7)(n)\iki 0$. Todėl $1-\cos\frac(7)(n)\sim \frac(\left(\frac(7)(n)\right)^2)(2)=\frac(49)(2n^2) $. Kodėl taip yra? Jei pažvelgsime į lentelę šio dokumento pabaigoje, pamatysime formulę $1-\cos x \sim \frac(x^2)(2)$ nuo $x\to 0$. Mes naudojome šią formulę, tik mūsų atveju $x=\frac(7)(n)$.

Pakeiskime išraišką $1-\cos\frac(7)(n)$ į $\frac(49)(2n^2)$. Atmetę „papildomus“ elementus, gauname trupmeną $\frac(1)(n^2)$. Būtent su serija $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ palyginsime pateiktas serijas naudodami . Kadangi $2 > 1$, serija $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ susilieja.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(1-\cos\frac(7)(n))(\frac(1)(n^2))=\left|\frac(0)(0 )\right|= \left|\begin (sulygiuotas)&\frac(7)(n)\į 0;\\&1-\cos\frac(7)(n)\sim\frac(49)(2n^ 2).\pabaiga (sulygiuota)\dešinė| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(49)(2n^2))(\frac(1)(n^2))=\frac(49)(2). $$

Nuo 0 USD<\frac{49}{2}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$.

Atsakymas: serija susilieja.

11 pavyzdys

Ištirkite eilutės $\sum\limits_(n=1)^(\infty)n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2$ konvergenciją.

Kadangi apatinė sumavimo riba yra 1, bendrasis serijos terminas rašomas po sumos ženklu: $u_n=n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2$. Kadangi abu faktoriai yra teigiami, tai $u_n >0$, t.y. turime reikalą su teigiama serija.

Jei $n\to\infty$, tada $\frac(3)(n)\iki 0$. Todėl $e^\frac(3)(n)-1\sim\frac(3)(n)$. Mūsų naudojama formulė yra šio dokumento pabaigoje esančioje lentelėje: $e^x-1 \sim x$ ties $x\to 0$. Mūsų atveju $x=\frac(3)(n)$.

Pakeiskime išraišką $e^\frac(3)(n)-1$ į $\frac(3)(n)$, taip gaudami $n\cdot\left(\frac(3)(n)\right )^ 2=\frac(9)(n)$. Pašalinus skaičių, gauname trupmeną $\frac(1)(n)$. Būtent su harmonine seka $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ lyginsime pateiktas eilutes naudodami . Leiskite jums priminti, kad harmonikų serija skiriasi.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2)(\frac(1)(n))=\lim_( n\to\infty)\frac(\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2)(\frac(1)(n^2)) =\left|\frac(0 )(0)\right|=\left|\begin (sulygiuotas)&\frac(3)(n)\į 0;\\&e^\frac(3)(n)-1\sim\frac(3) (n).\pabaiga (sulygiuota)\dešinė| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(9)(n^2))(\frac(1)(n^2))=9. $$

Nuo 0 USD<9<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\left(e^\frac{3}{n}-1\right)^2$.

Atsakymas: serija skiriasi.

12 pavyzdys

Ištirkite eilutės $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$ konvergenciją.

Kadangi apatinė sumavimo riba yra 1, bendrasis serijos terminas rašomas po sumos ženklu: $u_n=\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$. Kadangi bet kuriai $n$ vertei turime $n^3+7 > n^3+5$, tada $\frac(n^3+7)(n^3+5) > 1$. Todėl $\ln\frac(n^3+7)(n^3+5) > 0$, t.y. $u_n > 0 $. Mes susiduriame su teigiama serija.

Šiuo atveju labai sunku pastebėti lygiavertiškumą. Parašykime išraišką po logaritmu šiek tiek kitokia forma:

$$ \ln\frac(n^3+7)(n^3+5)=\ln\frac(n^3+5+2)(n^3+5)=\ln\left(\frac( n^3+5)(n^3+5)+\frac(2)(n^3+5)\right)=\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5)\ teisingai). $$

Dabar matoma formulė: $\ln(1+x)\sim x$ už $x\iki 0$. Kadangi $n\to\infty$ turime $\frac(2)(n^3+5)\į 0$, tada $\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5) \right)\sim\frac(2)(n^3+5)$.

Pakeiskime išraišką $\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$ į $\frac(2)(n^3+5)$. Atmetę „papildomus“ elementus, gauname trupmeną $\frac(1)(n^3)$. Būtent su serija $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^3)$ palyginsime pateiktas serijas naudodami . Kadangi $3 > 1$, serija $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^3)$ susilieja.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\ln\frac(n^3+7)(n^3+5))(\frac(1)(n^3))=\lim_(n \to\infty)\frac(\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5)\right))(\frac(1)(n^3))=\left|\frac( 0)(0)\right|= \left|\begin(lygied)&\frac(2)(n^3+5)\į 0;\\&\ln\left(1+\frac(2)( ) n^3+5)\right)\sim\frac(2)(n^3+5).\pabaiga (sulygiuota)\right|=\\ =\lim_(n\to\infty)\frac(\ frac (2)(n^3+5))(\frac(1)(n^3)) =\lim_(n\to\infty)\frac(2n^3)(n^3+5)=\ lim_ (n\to\infty)\frac(2)(1+\frac(5)(n^3))=\frac(2)(1+0)=2. $$

Nuo 0 USD<2<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\frac{n^3+7}{n^3+5}$.

Atsakymas: serija susilieja.

13 pavyzdys

Naršykite seriją $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n^n)(7^n\cdot n$ на сходимость.!}

Kadangi apatinė sumavimo riba yra 1, bendrasis serijos terminas rašomas po sumos ženklu: $u_n=\frac(n^n)(7^n\cdot n$. Так как $u_n ≥ 0$, то заданный ряд является положительным.!}

Taikymas

Interneto paslaugų svetainė padės internete rasti serijų sumą, tiek skaitinę, tiek funkcinę seriją. Eilių suma matematikams yra kažkas ypatingo, norint suprasti skaitinių dydžių analizę ir perėjimą prie ribos. Apie bendrą serijų sprendimą per pastaruosius kelis šimtmečius buvo pasakyta ir parašyta daug naudingų darbų. Asmeniškai kiekvienam mokytojui svarbi pareiga perteikti savo sukauptas matematikos žinias galutiniam klausytojui, tai yra mokiniui. Rasti tokią serijos sumą 1/n yra taip paprasta, kaip kriaušes gliaudyti. Serija 1/n^2 bus pateikta trumpu užrašu. Kartu su serijų sumos nustatymu internete skaitine seka, svetainė gali rasti vadinamąją dalinę serijos sumą. Tai neabejotinai pravers atliekant analitinius vaizdus, kai reikia išreikšti internetinės serijos sumą ir ją rasti kaip serijos dalinių sumų skaitinės sekos ribos sprendimą. Iš esmės serijos suma yra ne kas kita, kaip atvirkštinė funkcijos išplėtimo į seriją operacija. Sandoriai yra beveik abipusio pobūdžio. Taip atsitinka, kad eilučių konvergencija tiriama baigus matematinės analizės paskaitų kursą po ribų. Rastas serijos sprendimas reiškia jos konvergencijos ar divergencijos tyrimo rezultatą. Šis rezultatas nustatomas vienareikšmiškai. Palyginti su analogais, svetainė turi neabejotinų pranašumų, nes ji gali internete rasti serijų sumą, tiek skaitines, tiek funkcines serijas, o tai leidžia vienareikšmiškai nustatyti pradinės pradinės serijos konvergencijos sritį, naudojant beveik visas mokslui žinomos metodikos. Remiantis eilučių teorija, būtina skaitinės sekos konvergencijos sąlyga visada bus skaitinės sekos bendrojo nario ribos begalybėje lygybė nuliui. Tačiau šios sąlygos nepakanka norint nustatyti skaičių eilučių konvergenciją internete. Šiek tiek nukrypkime nuo aktualios problemos ir pagalvokime apie matematikos serijas iš kitos filosofinės pozicijos. Jums šis serialų sprendimas internetu leis tapti geriausiu skaičiuotuvu ir asistentu kiekvienai dienai. Nėra noro sėdėti per gražias žiemos dienas studijuojant, kai serialo suma akimirksniu yra prieš akis. Jei kam nors reikia nustatyti patį serijos tiražą, pirmą kartą įvedus teisingus duomenis, prireiks kelių sekundžių. Nors panašios svetainės reikalauja atlyginimo už savo paslaugas, mes stengiamės būti naudingi visiems, kurie nori patys išmokti išspręsti pavyzdžius naudodamiesi mūsų paprasta paslauga. Jūsų nuožiūra serijos sprendimą galime pristatyti internetu bet kuriame šiuolaikiniame įrenginyje, tai yra bet kurioje naršyklėje. Taigi surasti ir įrodyti, kad serijos 1/n suma skiriasi iki begalybės, bus paprasta. Visada atsiminkite, kaip 1/n^2 eilutės suma susilieja ir turi didžiulę semantinę reikšmę matematikoje. Tačiau baigtinių eilučių suma paprastai nustatoma panaudojus, pavyzdžiui, integralinį testą arba Raabe testą, apie kurį įprastuose universitetuose žino nedaugelis. Nustatydami eilučių konvergenciją internete, mokslininkai išvedė įvairius pakankamus eilučių konvergencijos arba divergencijos kriterijus. Labiausiai žinomi ir dažniausiai naudojami šie metodai yra D'Alembert testai, Cauchy konvergencijos testas, Raabe konvergencijos testas, skaičių eilučių palyginimo testas, taip pat integralinis tų skaičių konvergencijos testas serijos, kuriose terminų ženklai būtinai griežtai keičiasi, nusipelno ypatingo dėmesio vienas po kito nuo minuso iki pliuso ir atgal, o šių skaičių eilučių absoliučios reikšmės mažėja monotoniškai, tai yra, tiriant serijas Paaiškėjo, kad tokioms skaičių eilutėms pakanka būtino kintamosios eilės konvergencijos ženklo, ty bendrosios dalies riba yra lygi nuliui skaičių eilutėje tokiu būdu Kad būtų lygiavertis kitiems naudojamiems metodams, serijų konvergencija yra didžiulis laiko švaistymas, nes pats procesas apima išsamų funkcijos tyrimą. Yra daug įvairių svetainių, kurios teikia paslaugas, skirtas skaičiuoti serijų sumą internete. taip pat išskaidančios funkcijas serijoje internete bet kuriame tiriamos funkcijos apibrėžimo srities taške. Šiose paslaugose galite lengvai išplėsti funkciją į internetinę seriją, nes naudojama išvestinio skaičiavimo funkcionalumas, tačiau atvirkštinė operacija - rasti internetinės funkcinės serijos, kurios nariai yra ne skaičiai, o funkcijos, sumos, dažnai neįmanoma. praktikoje dėl sunkumų, kylančių dėl reikalingų skaičiavimo resursų trūkumo. Naudokitės mūsų šaltiniu, norėdami apskaičiuoti serijų sumą internete, patikrinti ir įtvirtinti savo žinias. Jei serijų suma skiriasi, mes negausime laukiamo rezultato tolesniems veiksmams atliekant kažkokią bendrą užduotį. To galima išvengti iš anksto pritaikius savo, kaip specialisto, žinias. Galiausiai, negalima nepaminėti, kaip eilutės 1/n suma yra pati paprasčiausia išraiška ir dažnai nurodoma kaip pavyzdys. Net kai norima parodyti tam tikrą konvergencijos požymį byloje, jie tai įrodo eilės 1/n^2 sumai, nes toks vaizdavimas studentams yra skaidrus ir studentai nesipainioja. Kadangi turime sudėtingos bendrosios eilutės termino išraišką, baigtinių eilučių suma būtų naudinga, jei būtų įrodyta, kad jos konvergencija yra didinanti eilutė (palyginti su pradine). Kita vertus, eilučių konvergencija įvyks nepriklausomai nuo pradinių problemos sąlygų. Geriausias sprendimas serijoms gali būti pasiūlytas tik mūsų serviso svetainėje, nes tik mes garantuojame, kad sutaupysite jūsų laiko, koreliuodami skaičiavimo kainą su rezultato naudingumu ir tikslumu. Kadangi reikalaujama eilučių suma daugeliu atvejų gali būti pavaizduota didžiąja eilute, tikslingiau ją ištirti. Vadinasi, eilučių konvergencija nuo didžiosios bendrinės reikšmės aiškiai parodys pagrindinės išraiškos konvergenciją, o aukštųjų mokyklų dėstytojai taip pat gali pasinaudoti mūsų serijų sprendimu internete ir pasitikrinti jos darbą jų kariūnai. Kai kuriais atvejais serijų suma gali būti apskaičiuojama fizikos, chemijos ar taikomosios disciplinos uždavinyje, neužstringant įprastuose skaičiavimuose, kad nenuklystumėte nuo pagrindinės krypties tiriant kokį nors natūralų procesą. Pirmiausia jie paprastai užrašo labiausiai supaprastintą išraišką serijos 1/n sumos forma ir šis metodas yra pagrįstas. Skaičius Pi yra daugelyje skaičiavimo operacijų, tačiau galima sakyti, kad serijos 1/n^2 suma yra klasikinis harmoninės serijos konvergencijos begalybėje pavyzdys. Ką reiškia posakis „baigtinės serijos suma“? O tai reiškia būtent tai, kad jis susilieja ir jo dalinių sumų riba turi konkrečią skaitinę reikšmę. Jeigu pasitvirtina eilučių konvergencija ir tai turi įtakos galutiniam sistemos stabilumui, tuomet galima pakeisti problemos įvesties parametrus ir bandyti dar kartą. Galiausiai norėtume duoti patarimą, kuris iš pirmo žvilgsnio yra netiesioginis, bet labai naudingas praktikoje. Net jei turite pakankamai patirties sprendžiant serijas ir jums nereikia tokių paslaugų serijų sprendimui internetu, siūlome pradėti eilučių sumos paiešką nustatant eilučių konvergenciją. Naudodami svetainę skirkite šiam veiksmui tik minutę, kad skaičiuodami serijų sumą tiesiog nepamirškite šio fakto. Tai nebus per daug! Daug rašyta apie serijų sumą internete matematikos svetainėse, pridėta daug iliustracijų, kaip praėjusiame amžiuje mokslininkai naudojo simbolius serijos sumai žymėti. Apskritai mažai kas pasikeitė, tačiau yra įdomių dalykų. Jei serijos konvergencija internete atrodo neįmanoma, tiesiog patikrinkite įvestus duomenis ir ramiai pakartokite užklausą. Geriau iš pradžių dar kartą patikrinti bendrą serijos terminą. Ir kiekvienas internetinių serialų sprendimas bus nedelsiant rodomas svetainėje, kad gautumėte atsakymą į problemą. Geriausias, pasak ekspertų, daro mokinius reiklesnius renkantis skaičiuotuvą serijoms spręsti. Eilučių, kaip internetinės paslaugos, suma apima eilučių konvergencijos sąvoką, tai yra, baigtinės sumos egzistavimą. Pagrindinės temos, tokios kaip integralai ir išvestinės, pristatomos kartu su šiuo skyriumi, nes visos jos yra glaudžiai susijusios. Pakalbėkime su mumis apie tai, kaip skiriasi 1/n eilutės suma, kai kintamasis linkęs į begalybę. Tačiau kita tokios serijos suma kaip 1/n^2, priešingai, suartės ir įgis baigtinę skaitinę išraišką. Įdomu tyrinėti atvejus, kai baigtinės eilutės suma pateikiama palaipsniui kaip tarpinės dalinės eilutės sumos, palaipsniui didinant kintamąjį vienu, o gal keliais vienetais iš karto. Rekomenduojame patikrinti serijų konvergenciją internete, patiems išsprendus problemas. Tai leis jums išsamiai suprasti temą ir padidinti savo žinių lygį. Niekada nepamirškite apie tai, mes stengiamės tik dėl jūsų. Kartą per pamoką mokytoja parodė, kaip kompiuterinėmis technologijomis spręsti serialus internetu. Turiu pasakyti, kad visiems labai patiko. Po šio incidento skaičiuotuvas buvo paklausus per visą matematikos kursą. Nebūtų nereikalinga patikrinti, kaip serijų suma apskaičiuojama internetiniu skaičiuotuvu per kelias sekundes po to, kai paprašote parodyti rezultatą. Iš karto paaiškės, kuria kryptimi reikia siekti pažangos sprendžiant problemą. Kadangi apie serijų konvergenciją kai kuriuose brangiuose vadovėliuose neparašyta daug, geriau iš interneto atsisiųsti keletą gerų puikių mokslininkų ataskaitų ir dalyvauti mokymo kursuose, naudojant jų metodus. Rezultatas bus geras. Sprendžiant eilutes negalima atmesti paties pirmojo konvergencijos ženklo, ty jos bendrojo nario ribos tendencijos iki nulio. Nors šios sąlygos nepakanka, ji visada būtina. Išspręsto pavyzdžio vientisumas sukelia malonų jausmą mokiniui, kai jis supranta, kad serijų suma buvo apskaičiuota nesiimant užuominų. Vadovėliai yra skirti kaip vadovas, kaip panaudoti savo įgūdžius praktikoje. Pamiršus skaitytą medžiagą, kiekvieną ketvirtadienį bent penkias minutes turite skirti paskaitų skaitymui, kitaip iki sesijos pradžios būsite viską pamiršę, o tuo labiau pamiršite, kaip apskaičiuoti serijos konvergencija. Pradėkite nuo vieno karto ir tada nugalėkite savo tinginystę. Ne veltui mokytojai verčia įrodyti, kaip skirsis serijos 1/n suma. Bet jei visgi serijų 1/n^2 suma bus pateikta kaip kintamoji serija, tada nieko baisaus nenutiks – juk absoliuti serija susilieja! Ir, žinoma, baigtinių serijų suma gali jus ypač sudominti, kai studijuojate šią discipliną savarankiškai. Liūto dalis pavyzdžių išspręsta taikant d'Alemberto metodą, o serijų sprendimas sumažinamas iki ribų apskaičiavimo kaip gretimų jos narių, būtent paskesnės ir ankstesnės, santykio. Todėl linkime sėkmės sprendžiant matematiką ir kad niekada nesuklystumėte! Paimkime kaip pagrindinį vadinamąjį internetinių serialų sprendimą mokslinių nesutarimų dėl pagrindinių principų ir tarpdisciplininių mokslo krypčių įtraukimo kryptimi. Leiskite mums rasti jums atsakymą ir teigiamai pasakyti, kad serijos suma išsprendžiama keliais iš esmės skirtingais metodais, tačiau galiausiai rezultatas yra tas pats. Užuomina apie serijos konvergenciją studentams ne visada akivaizdi, net jei jiems atsakymas yra pasakytas iš anksto, nors, žinoma, tai tikrai pastūmėja juos teisingo sprendimo link. Abstrakcija matematikoje, nors ir yra pirmoje vietoje, yra paremta teorija ir akimirksniu įrodo kai kuriuos neginčijamus faktus. Sprendžiant eilutes internete negalima nepastebėti tokio aspekto kaip pagrindinių teorinių skaičių eilučių konvergencijos principų pritaikomumo arba nepritaikymo ir sudėtingos eilučių sumos pateikimo kokia nors supaprastinta versija, kad išvaizda būtų malonesnė. Tačiau pasitaiko atvejų, kai 1/n eilutės suma susilieja ir mes jūsų nevarginsime šiuo incidentu, nes tereikia vietoj begalybės simbolio pakeisti kokiu nors sveikuoju skaičiumi ir tada visa suma bus sumažinta iki eilinė aritmetinė eilutė. Darni serija yra 1/n^2 serijos suma, tada tinklas iki bet kokios padidintos galios.

Eilės arbatinukams. Sprendimų pavyzdžiai

Sveikinu visus išgyvenusius antraisiais metais! Šioje pamokoje, tiksliau, pamokų serijoje, išmoksime valdyti eilutes. Tema nėra labai sudėtinga, tačiau norint ją įsisavinti, prireiks žinių nuo pirmųjų metų, ypač reikia suprasti kas yra riba, ir sugebėti rasti paprasčiausias ribas. Tačiau viskas gerai, kaip paaiškinu, pateiksiu atitinkamas nuorodas į būtinas pamokas. Kai kuriems skaitytojams matematinių eilučių, sprendimo būdų, ženklų, teoremų tema gali pasirodyti savotiška ir netgi pretenzinga, absurdiška. Tokiu atveju nereikia pernelyg „apkrauti“, mes priimame faktus tokius, kokie jie yra, ir tiesiog mokomės spręsti tipines, įprastas užduotis.

1) Eilės manekenams, o samovarams iškart tenkina :)

Už itin greitą pasiruošimą šiai temai Egzistuoja greitasis kursas pdf formatu, kurio pagalba tikrai per dieną galite tiesiogine prasme „pakelti“ savo praktiką.

Skaičių serijos samprata

Apskritai skaičių serija galima parašyti taip: .
Čia:
– matematinės sumos piktograma;
– bendras serijos terminas(atminkite šį paprastą terminą);
– „skaitiklio“ kintamasis. Žymėjimas reiškia, kad sumavimas atliekamas nuo 1 iki „pliuso begalybės“, tai yra, pirmiausia turime , tada , tada ir taip toliau - iki begalybės. Vietoj kintamojo kartais naudojamas kintamasis arba. Sumavimas nebūtinai prasideda nuo vieno, kai kuriais atvejais jis gali prasidėti nuo nulio, nuo dviejų arba nuo bet kurio natūralusis skaičius.

Pagal „skaitiklio“ kintamąjį bet kurią seriją galima išplėsti:
- ir taip toliau, iki begalybės.

Komponentai - Tai SKAIČIAI kurie vadinami narių eilė. Jei jie visi yra neneigiami (didesnis nei nulis arba lygus nuliui), tada tokia serija vadinama teigiamų skaičių serija.

1 pavyzdys

Tai, beje, jau yra „kovinė“ užduotis - praktikoje gana dažnai reikia užrašyti keletą serijos terminų.

Pirma, tada:
Tada, tada:
Tada, tada:

Procesą galima tęsti neribotą laiką, tačiau pagal sąlygą reikėjo parašyti pirmus tris serijos terminus, todėl užrašome atsakymą:

Atkreipkite dėmesį į esminį skirtumą nuo skaičių seka,
kurioje terminai nėra apibendrinti, bet laikomi tokiais.

2 pavyzdys

Užrašykite pirmąsias tris serijos sąlygas

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys, atsakymas yra pamokos pabaigoje

Net ir iš pirmo žvilgsnio sudėtingą seriją nesunku apibūdinti išplėstine forma:

3 pavyzdys

Užrašykite pirmąsias tris serijos sąlygas

Tiesą sakant, užduotis atliekama žodžiu: mintyse pakeisti į bendrą serialo terminą pirma, tada ir. Kaip rezultatas:

Atsakymą paliekame taip: Geriau nesupaprastinti gautų serijų terminų, tai yra neatlikti veiksmai: , , . Kodėl? Atsakymas yra formoje mokytojui daug lengviau ir patogiau patikrinti.

Kartais įvyksta priešinga užduotis

4 pavyzdys

Čia nėra aiškaus sprendimo algoritmo, jums tiesiog reikia pamatyti modelį.
Šiuo atveju:

Norėdami patikrinti, gautą seriją galima „atrašyti“ išplėstine forma.

Štai pavyzdys, kurį šiek tiek sudėtingiau išspręsti savarankiškai:

5 pavyzdys

Užrašykite sumą sutraukta forma su bendru serijos terminu

Atlikite patikrinimą dar kartą įrašydami seriją išplėstine forma

Skaičių eilučių konvergencija

Vienas iš pagrindinių temos tikslų yra konvergencijos eilučių tyrimas. Šiuo atveju galimi du atvejai:

1) Eilėskiriasi. Tai reiškia, kad begalinė suma yra lygi begalybei: arba sumoms apskritai neegzistuoja, kaip, pavyzdžiui, seriale
(čia, beje, serialo su neigiamais terminais pavyzdys). Pamokos pradžioje buvo rastas geras skirtingų skaičių serijų pavyzdys: . Čia visiškai akivaizdu, kad kiekvienas kitas serijos narys yra didesnis nei ankstesnis ir todėl serija skiriasi. Dar trivialesnis pavyzdys: .

2) Eilėsusilieja. Tai reiškia, kad begalinė suma yra lygi kai kurioms baigtinis skaičius: . Prašome: – ši eilutė suartėja ir jos suma lygi nuliui. Kaip prasmingesnį pavyzdį galime pateikti be galo mažėja geometrinė progresija, mums žinoma nuo mokyklos laikų: . Be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių suma apskaičiuojama pagal formulę: , kur yra pirmasis progresijos narys ir yra jos bazė, kuri paprastai rašoma forma teisinga trupmenomis Šiuo atveju: , . Taigi: Gaunamas baigtinis skaičius, o tai reiškia, kad eilutė suartėja, o tai ir reikėjo įrodyti.

Tačiau didžiąja dauguma atvejų raskite serijos sumą nėra taip paprasta, todėl praktiškai tiriant eilučių konvergenciją naudojami specialūs teoriškai įrodyti ženklai.

Yra keletas eilučių konvergencijos požymių: būtinas serijų konvergencijos testas, palyginimo testai, D'Alemberto testas, Koši testai, Leibnizo ženklas ir kai kurie kiti ženklai. Kada kurį ženklą naudoti? Tai priklauso nuo bendro serialo nario, vaizdžiai tariant, nuo serialo „užpildymo“. Ir labai greitai viską sutvarkysime.

! Norėdami toliau išmokti pamoką, turite gerai supranti kas yra riba ir gerai, kai gali atskleisti tipo neapibrėžtumą. Norėdami peržiūrėti ar studijuoti medžiagą, skaitykite straipsnį Ribos. Sprendimų pavyzdžiai.

Būtinas serijos konvergencijos ženklas

Jei eilutė suartėja, tada jos bendras terminas yra lygus nuliui: .

Atvirkščiai netiesa bendruoju atveju, ty jei , tai serija gali arba suartėti, arba išsiskirti. Ir todėl šis ženklas naudojamas pateisinti skirtumai eilutė:

Jei bendras serijos terminas nelinkęs į nulį, tada serija skiriasi

Arba trumpai: jei , tai serija skiriasi. Visų pirma, įmanoma situacija, kai ribos iš viso neegzistuoja, kaip, pavyzdžiui, riba. Taigi jie iš karto pateisino vienos serijos skirtumą :)

Tačiau daug dažniau besiskiriančios serijos riba yra lygi begalybei, o vietoj „x“ ji veikia kaip „dinaminis“ kintamasis. Atnaujinkime savo žinias: ribos su „x“ vadinamos funkcijų ribomis, o ribos su kintamuoju „en“ – skaitinių sekų ribomis. Akivaizdus skirtumas yra tas, kad kintamasis „en“ įgauna atskiras (nepertraukiamas) natūralias reikšmes: 1, 2, 3 ir kt. Tačiau šis faktas turi mažai įtakos ribų sprendimo metodams ir neapibrėžtumo atskleidimo metodams.

Įrodykime, kad serijos iš pirmojo pavyzdžio skiriasi.
Dažnas serijos narys:

Išvada: eilutė skiriasi

Būtina funkcija dažnai naudojama realiose praktinėse užduotyse:

6 pavyzdys

Turime polinomus skaitiklyje ir vardiklyje. Tas, kuris atidžiai perskaitė ir suprato neapibrėžtumo atskleidimo metodą straipsnyje Ribos. Sprendimų pavyzdžiai, tikriausiai tai pagavau kai didžiausios skaitiklio ir vardiklio laipsniai lygus, tada riba yra baigtinis skaičius .

Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš

Tiriamas serialas skiriasi, nes nėra įvykdytas būtinas eilučių konvergencijos kriterijus.

7 pavyzdys

Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje

Taigi, kai mums suteikiama BET KOKIA skaičių serija, visų pirma mes patikriname (protiškai ar juodraštyje): ar jo bendras terminas linkęs į nulį? Jei ne, formuluojame sprendimą pagal pavyzdžius Nr. 6, 7 ir pateikiame atsakymą, kad serijos skiriasi.

Kokius akivaizdžiai skirtingų serijų tipus svarstėme? Iš karto aišku, kad serialai patinka arba skiriasi. 6 ir 7 pavyzdžių serijos taip pat skiriasi: kai skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianario, o pirmaujanti skaitiklio galia yra didesnė arba lygi vardiklio pirmaujančiajai galiai. Visais šiais atvejais spręsdami ir rengdami pavyzdžius naudojame reikiamą eilučių konvergencijos ženklą.

Kodėl ženklas vadinamas būtina? Supraskite natūraliausiu būdu: kad serija susilietų, būtina, kad jo bendras terminas būtų lygus nuliui. Ir viskas būtų puiku, bet yra daugiau neužtenka. Kitaip tariant, jei bendras serijos terminas linkęs į nulį, TAI NEREIKIA, kad serija susilieja– gali ir susilieti, ir išsiskirti!

Susipažinkite:

Ši serija vadinama harmonikų serija. Prašome prisiminti! Tarp skaičių serijų jis yra prima balerina. Tiksliau balerina =)

Tai nesunku pastebėti , BET. Matematinės analizės teorijoje įrodyta, kad harmonikų serijos skiriasi.

Taip pat turėtumėte prisiminti apibendrintos harmoninės serijos koncepciją:

1) Ši eilutė skiriasi adresu . Pavyzdžiui, serijos , , skiriasi.
2) Ši eilutė susilieja adresu . Pavyzdžiui, serijos , , , susilieja. Dar kartą pabrėžiu, kad beveik visose praktinėse užduotyse mums visai nesvarbu, kokiai, pavyzdžiui, serijų suma lygi, svarbus pats jos suartėjimo faktas.

Tai yra elementarūs faktai iš serijų teorijos, kurie jau buvo įrodyti, ir spręsdami bet kurį praktinį pavyzdį galite drąsiai remtis, pavyzdžiui, serijos skirtumu arba serijos konvergencija.

Apskritai nagrinėjama medžiaga yra labai panaši į netinkamų integralų tyrimas, ir bus lengviau tiems, kurie studijavo šią temą. Na, o kas nesimokė, dvigubai lengviau :)

Taigi, ką daryti, jei bendras serialo terminas yra lygus nuliui? Tokiais atvejais, norėdami išspręsti pavyzdžius, turite naudoti kitus, pakankamai konvergencijos/divergencijos požymiai:

Teigiamų skaičių eilučių palyginimo kriterijai

Atkreipiu jūsų dėmesį, kad čia kalbame tik apie teigiamų skaičių eilutes (su neneigiamomis sąlygomis).

Yra du palyginimo ženklai, vieną iš jų tiesiog vadinsiu palyginimo ženklas, kitas - palyginimo riba.

Pirmiausia pasvarstykime palyginimo ženklas, tiksliau, pirmoji jo dalis:

Apsvarstykite dvi teigiamas skaičių serijas ir . Jei žinoma, kad serialas – susilieja, ir, pradedant nuo kurio nors skaičiaus, tenkinama nelygybė, tada serija taip pat susilieja.

Kitaip tariant: Iš didesnių terminų eilučių konvergencijos seka eilučių su mažesniais terminais konvergencija. Praktikoje nelygybė dažnai galioja visoms vertybėms:

8 pavyzdys

Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Pirma, patikrinkime(protiškai arba juodraštyje) vykdymas:
, o tai reiškia, kad nebuvo įmanoma „išlipti su mažai kraujo“.

Mes žiūrime į apibendrintų harmoninių eilučių „pakelį“ ir, sutelkę dėmesį į aukščiausią laipsnį, randame panašią seriją: Iš teorijos žinoma, kad ji susilieja.

Visiems natūraliems skaičiams galioja akivaizdi nelygybė:

ir didesni vardikliai atitinka mažesnes trupmenas:
, o tai reiškia, remiantis palyginimo kriterijumi, tiriama serija susilieja kartu su šalia .

Jei turite kokių nors abejonių, visada galite išsamiai aprašyti nelygybę! Užrašykime kelių skaičių „en“ sudarytą nelygybę:
Jei, tada
Jei, tada
Jei, tada
Jei, tada
….
o dabar visiškai aišku ta nelygybė įvykdyta visiems natūraliems skaičiams „en“.

Panagrinėkime palyginimo kriterijų ir išspręstą pavyzdį neformaliu požiūriu. Vis dėlto, kodėl serijos susilieja? Štai kodėl. Jei serija susilieja, tada ji turi keletą galutinis suma: . Ir kadangi visi serialo nariai mažiau atitinkančius serijos terminus, tada aišku, kad eilučių suma negali būti didesnė už skaičių, o juo labiau negali būti lygi begalybei!

Panašiai galime įrodyti „panašių“ eilučių konvergenciją: , , ir tt

! Atkreipkite dėmesį, kad visais atvejais vardikliuose turime „pliusų“. Bent vienas minusas gali rimtai apsunkinti atitinkamo produkto naudojimą. palyginimo ženklas. Pavyzdžiui, jei eilutė lyginama taip pat su konvergentine eilute (pirmiesiems nariams išrašykite kelias nelygybes), tada sąlyga iš viso nebus įvykdyta! Čia galite išsisukti ir, pavyzdžiui, pasirinkti kitą konvergencinę seriją palyginimui, tačiau tai sukels nereikalingų išlygų ir kitų nereikalingų sunkumų. Todėl norint įrodyti serijos konvergenciją, ją naudoti yra daug lengviau palyginimo riba(žr. kitą pastraipą).

9 pavyzdys

Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Ir šiame pavyzdyje siūlau pagalvoti patiems antroji palyginimo atributo dalis:

Jei žinoma, kad serialas – skiriasi, ir pradedant nuo tam tikro skaičiaus (dažnai nuo pat pirmos), tenkinama nelygybė, tada serija taip pat skiriasi.

Kitaip tariant: Iš mažesnių terminų eilučių skirtumo išplaukia serijos su didesniais terminais nukrypimas.

Ką reikia padaryti?
Būtina palyginti tiriamas eilutes su skirtingomis harmonikų serijomis. Norėdami geriau suprasti, sukurkite keletą konkrečių nelygybių ir įsitikinkite, kad nelygybė yra teisinga.

Sprendimas ir dizaino pavyzdys yra pamokos pabaigoje.

Kaip jau minėta, praktikoje ką tik aptartas palyginimo kriterijus naudojamas retai. Tikrasis skaičių serijų arkliukas yra palyginimo riba, o naudojimo dažnumu gali tik konkuruoti su d'Alemberto ženklas.

Ribinis testas, skirtas palyginti skaitines teigiamas serijas

Apsvarstykite dvi teigiamas skaičių serijas ir . Jeigu šių eilučių bendrųjų narių santykio riba lygi baigtinis ne nulis skaičius: , tada abi eilutės suartėja arba skiriasi vienu metu.

Kada taikomas ribojimo kriterijus? Apribojantis palyginimo kriterijus naudojamas, kai eilučių „užpildymas“ yra daugianariai. Arba vienas polinomas vardiklyje, arba polinomas ir skaitiklyje, ir vardiklyje. Pasirinktinai polinomai gali būti išdėstyti po šaknimis.

Panagrinėkime eilutę, kurios ankstesnis palyginimo ženklas sustojo.

10 pavyzdys

Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Palyginkime šią seriją su konvergentine eilute. Palyginimui naudojame ribojantį kriterijų. Yra žinoma, kad serijos susilieja. Jei galime parodyti, kad tai lygu baigtinis, ne nulis skaičių, bus įrodyta, kad serijos taip pat suartėja.

Gaunamas baigtinis nulinis skaičius, o tai reiškia, kad tiriama serija yra susilieja kartu su šalia .

Kodėl palyginimui pasirinktas serialas? Jei būtume pasirinkę bet kurią kitą seriją iš apibendrintų harmonikų serijos „narve“, tai mums nebūtų pavykę peržengti ribą. baigtinis, ne nulis skaičiai (galite eksperimentuoti).

Pastaba: kai naudojame ribojantį palyginimo kriterijų, nesvarbu, kokia tvarka sudaryti bendrųjų narių santykį, nagrinėjamame pavyzdyje santykį būtų galima sudaryti ir atvirkščiai: - tai nepakeistų reikalo esmės.