Tegul duota reikšmė yra teigiama skaičių serija$ \sum_(n=1) ^\infty a_n $. Suformuluokime būtinas ženklas serijų konvergencija:
- Jei serija suartėja, tada jos bendrojo termino riba yra lygus nuliui: $$ \lim _(n \to \infty) a_n = 0 $$
- Jei serijos bendrojo nario riba nėra lygi nuliui, tada serija skiriasi: $$ \lim _(n \to \infty) a_n \neq 0 $$
Apibendrinta harmonikų serija
Ši serija parašyta taip: $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n^p) $. Be to, priklausomai nuo $p$, serija suartėja arba skiriasi:
- Jei $ p = 1 $, tai serija $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n) $ skiriasi ir vadinama harmonine, nepaisant to, kad bendras terminas $ a_n = \frac(1 )( n) \iki 0 USD. Kodėl taip yra? Pastaboje teigiama, kad būtinas kriterijus neduoda atsakymo apie konvergenciją, o tik apie eilučių divergenciją. Todėl jei kreipsimės pakankamai įrodymų, pavyzdžiui, Koši integralo testas, tada paaiškės, kad serija skiriasi!
- Jei $ p \leqslant 1 $, tada serija skiriasi. Pavyzdys, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n)) $, kuriame $ p = \frac(1)(2) $
- Jei $p > 1$, tada serija suartėja. Pavyzdys, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n^3)) $, kuriame $ p = \frac(3)(2) > 1 $
Sprendimų pavyzdžiai
1 pavyzdys |
Įrodykite serijos $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(n)(6n+1) $ skirtumą |
Sprendimas |
Serija teigiama, užrašome bendrą terminą: $$ a_n = \frac(n)(6n+1) $$ Apskaičiuojame ribą nuo $ n \to \infty $: $$ \lim _(n \to \infty) \frac(n)(6n+1) = \frac(\infty)(\infty) = $$ Vardiklio skliausteliuose išimame $ n $ ir sumažiname jį: $$ = \lim_(n \to \infty) \frac(n)(n(6+\frac(1)(n))) = \lim_(n \to \infty) \frac(1)(6 + \frac(1)(n)) = \frac(1)(6) $$ Kadangi nustatėme, kad $ \lim_(n\to \infty) a_n = \frac(1)(6) \neq 0 $, būtinas Koši testas netenkinamas, todėl serija skiriasi. Jei negalite išspręsti savo problemos, atsiųskite ją mums. Mes suteiksime detalus sprendimas. Galėsite stebėti skaičiavimo eigą ir gauti informacijos. Tai padės jums laiku gauti pažymį iš savo mokytojo! |
Atsakymas |
Serialas skiriasi |
Pavyzdys Nr.9
Ištirkite eilutės $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)) konvergenciją. $.
Kadangi apatinė sumavimo riba yra 1, bendrasis serijos terminas rašomas po sumos ženklu: $u_n=\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n) -1))$ . Pirmiausia išsiaiškinkime, ar ši serija yra teigiama, t.y. Ar nelygybė $u_n≥ 0$ yra teisinga? Koeficientas $\frac(1)(\sqrt(n))> 0$, tai aišku, bet kaip dėl arctangento? Arktange nėra nieko sudėtingo: kadangi $\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)) >0$, tada $\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))>0 $ . Išvada: mūsų serija yra teigiama. Taikykime palyginimo kriterijų tirdami šios eilutės konvergencijos klausimą.
Pirmiausia pasirinkite seriją, su kuria lyginsime. Jei $n\to\infty$, tada $\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\į 0$. Todėl $\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\sim\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$. Kodėl taip yra? Jei pažvelgsime į lentelę šio dokumento pabaigoje, pamatysime formulę $\arctg x\sim x$ nuo $x\iki 0$. Naudojome šią formulę, tik mūsų atveju $x=\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$.
Išraiškoje $\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$ arctangentą pakeičiame trupmena $\frac(\pi)(\ sqrt(2n-1))$. Gauname: $\frac(1)(\sqrt(n))\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$. Su tokiomis trupmenomis jau dirbome anksčiau. Atmetę „papildomus“ elementus, gauname trupmeną $\frac(1)(\sqrt(n)\cdot\sqrt(n))=\frac(1)(n^(\frac(1)(2) +\frac (1)(3)))=\frac(1)(n^(\frac(5)(6)))$. Palyginsime su serija $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\frac(5)(6))$ duota serija, naudojant. Kadangi $\frac(5)(6)≤ 1$, tada serija $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\frac(5)(6))$ skiriasi.
$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)))(\frac(1) (n^\frac(5)(6)))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left|\begin(lygiuotas)&\frac(\pi)(\sqrt(2n-) 1))\į 0;\\&\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\sim\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)).\end(sulygiuotas) \dešinė| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(1)(\sqrt(n))\cdot\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)))(\frac(1)( n^\frac(5)(6))) =\\=\pi\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(n))(\sqrt(2n-1)) =\pi \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(1)(\sqrt(2-\frac(1)(n)))=\pi\cdot\frac(1)(\sqrt(2-0) )=\frac(\pi)(\sqrt(2)). $$
Nuo 0 USD<\frac{\pi}{\sqrt{2}}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$.
Atkreipiu dėmesį, kad šiuo atveju vietoj arctangento bendrosios serijos termino išraiškoje gali būti sinusas, arcsinusas arba liestinė. Sprendimas liktų toks pat.
Atsakymas: serija skiriasi.
10 pavyzdys
Išnagrinėkite eilutę $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(1-\cos\frac(7)(n)\right)$, ar nėra konvergencijos.
Kadangi apatinė sumavimo riba yra 1, bendrasis serijos terminas rašomas po sumos ženklu: $u_n=1-\cos\frac(7)(n)$. Kadangi bet kuriai reikšmei $x$ turime $-1≤\cos x≤ 1$, tada $\cos\frac(7)(n)≤ 1$. Todėl $1-\cos\frac(7)(n)≥ 0$, t.y. $u_n≥ 0$. Mes susiduriame su teigiama serija.
Jei $n\to\infty$, tada $\frac(7)(n)\iki 0$. Todėl $1-\cos\frac(7)(n)\sim \frac(\left(\frac(7)(n)\right)^2)(2)=\frac(49)(2n^2) $. Kodėl taip yra? Jei pažvelgsime į lentelę šio dokumento pabaigoje, pamatysime formulę $1-\cos x \sim \frac(x^2)(2)$ nuo $x\to 0$. Mes naudojome šią formulę, tik mūsų atveju $x=\frac(7)(n)$.
Pakeiskime išraišką $1-\cos\frac(7)(n)$ į $\frac(49)(2n^2)$. Atmetę „papildomus“ elementus, gauname trupmeną $\frac(1)(n^2)$. Būtent su serija $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ palyginsime pateiktas serijas naudodami . Kadangi $2 > 1$, serija $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ susilieja.
$$ \lim_(n\to\infty)\frac(1-\cos\frac(7)(n))(\frac(1)(n^2))=\left|\frac(0)(0 )\right|= \left|\begin (sulygiuotas)&\frac(7)(n)\į 0;\\&1-\cos\frac(7)(n)\sim\frac(49)(2n^ 2).\pabaiga (sulygiuota)\dešinė| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(49)(2n^2))(\frac(1)(n^2))=\frac(49)(2). $$
Nuo 0 USD<\frac{49}{2}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$.
Atsakymas: serija susilieja.
11 pavyzdys
Ištirkite eilutės $\sum\limits_(n=1)^(\infty)n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2$ konvergenciją.
Kadangi apatinė sumavimo riba yra 1, bendrasis serijos terminas rašomas po sumos ženklu: $u_n=n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2$. Kadangi abu faktoriai yra teigiami, tai $u_n >0$, t.y. turime reikalą su teigiama serija.
Jei $n\to\infty$, tada $\frac(3)(n)\iki 0$. Todėl $e^\frac(3)(n)-1\sim\frac(3)(n)$. Mūsų naudojama formulė yra šio dokumento pabaigoje esančioje lentelėje: $e^x-1 \sim x$ ties $x\to 0$. Mūsų atveju $x=\frac(3)(n)$.
Pakeiskime išraišką $e^\frac(3)(n)-1$ į $\frac(3)(n)$, taip gaudami $n\cdot\left(\frac(3)(n)\right )^ 2=\frac(9)(n)$. Pašalinus skaičių, gauname trupmeną $\frac(1)(n)$. Būtent su harmonine seka $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ lyginsime pateiktas eilutes naudodami . Leiskite jums priminti, kad harmonikų serija skiriasi.
$$ \lim_(n\to\infty)\frac(n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2)(\frac(1)(n))=\lim_( n\to\infty)\frac(\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2)(\frac(1)(n^2)) =\left|\frac(0 )(0)\right|=\left|\begin (sulygiuotas)&\frac(3)(n)\į 0;\\&e^\frac(3)(n)-1\sim\frac(3) (n).\pabaiga (sulygiuota)\dešinė| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(9)(n^2))(\frac(1)(n^2))=9. $$
Nuo 0 USD<9<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\left(e^\frac{3}{n}-1\right)^2$.
Atsakymas: serija skiriasi.
12 pavyzdys
Ištirkite eilutės $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$ konvergenciją.
Kadangi apatinė sumavimo riba yra 1, bendrasis serijos terminas rašomas po sumos ženklu: $u_n=\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$. Kadangi bet kuriai $n$ vertei turime $n^3+7 > n^3+5$, tada $\frac(n^3+7)(n^3+5) > 1$. Todėl $\ln\frac(n^3+7)(n^3+5) > 0$, t.y. $u_n > 0 $. Mes susiduriame su teigiama serija.
Šiuo atveju labai sunku pastebėti lygiavertiškumą. Parašykime išraišką po logaritmu šiek tiek kitokia forma:
$$ \ln\frac(n^3+7)(n^3+5)=\ln\frac(n^3+5+2)(n^3+5)=\ln\left(\frac( n^3+5)(n^3+5)+\frac(2)(n^3+5)\right)=\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5)\ teisingai). $$
Dabar matoma formulė: $\ln(1+x)\sim x$ už $x\iki 0$. Kadangi $n\to\infty$ turime $\frac(2)(n^3+5)\į 0$, tada $\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5) \right)\sim\frac(2)(n^3+5)$.
Pakeiskime išraišką $\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$ į $\frac(2)(n^3+5)$. Atmetę „papildomus“ elementus, gauname trupmeną $\frac(1)(n^3)$. Būtent su serija $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^3)$ palyginsime pateiktas serijas naudodami . Kadangi $3 > 1$, serija $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^3)$ susilieja.
$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\ln\frac(n^3+7)(n^3+5))(\frac(1)(n^3))=\lim_(n \to\infty)\frac(\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5)\right))(\frac(1)(n^3))=\left|\frac( 0)(0)\right|= \left|\begin(lygied)&\frac(2)(n^3+5)\į 0;\\&\ln\left(1+\frac(2)( n^3+5)\right)\sim\frac(2)(n^3+5).\end(sulygiuotas)\right|=\\ =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac (2)(n^3+5))(\frac(1)(n^3)) =\lim_(n\to\infty)\frac(2n^3)(n^3+5)=\lim_ (n\to\infty)\frac(2)(1+\frac(5)(n^3))=\frac(2)(1+0)=2. $$
Nuo 0 USD<2<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\frac{n^3+7}{n^3+5}$.
Atsakymas: serija susilieja.
13 pavyzdys
Naršykite seriją $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n^n)(7^n\cdot n$ на сходимость.!}
Kadangi apatinė sumavimo riba yra 1, bendrasis serijos terminas rašomas po sumos ženklu: $u_n=\frac(n^n)(7^n\cdot n$. Так как $u_n ≥ 0$, то заданный ряд является положительным.!}
Eilės manekenams. Sprendimų pavyzdžiai
Sveikinu visus išgyvenusius antraisiais metais! Šioje pamokoje, tiksliau, pamokų serijoje, išmoksime valdyti eilutes. Tema nėra labai sudėtinga, tačiau norint ją įsisavinti, prireiks žinių nuo pirmųjų metų, ypač reikia suprasti kas yra riba, ir sugebėti rasti paprasčiausias ribas. Tačiau viskas gerai, kaip paaiškinu, pateiksiu atitinkamas nuorodas į būtinas pamokas. Kai kuriems skaitytojams matematinių eilučių, sprendimo būdų, ženklų, teoremų tema gali pasirodyti savotiška ir netgi pretenzinga, absurdiška. Tokiu atveju nereikia pernelyg „apkrauti“, mes priimame faktus tokius, kokie jie yra, ir tiesiog mokomės spręsti tipines, įprastas užduotis.
1) Eilės manekenams, o samovarams iškart tenkina :)
Už itin greitą pasiruošimą šiai temai Egzistuoja greitasis kursas pdf formatu, kurio pagalba tikrai per dieną galite tiesiogine prasme „pakelti“ savo praktiką.
Skaičių serijos samprata
Apskritai skaičių serija galima parašyti taip: .
Čia:
– matematinės sumos piktograma;
– bendras serijos terminas(atminkite šį paprastą terminą);
– „skaitiklio“ kintamasis. Žymėjimas reiškia, kad sumavimas atliekamas nuo 1 iki „pliuso begalybės“, tai yra, pirmiausia su mumis, tada, tada ir taip toliau - iki begalybės. Vietoj kintamojo kartais naudojamas kintamasis arba. Sumavimas nebūtinai prasideda nuo vieno, kai kuriais atvejais jis gali prasidėti nuo nulio, nuo dviejų arba nuo bet kurio natūralusis skaičius.
Pagal „skaitiklio“ kintamąjį bet kurią seriją galima išplėsti:
- ir taip toliau, iki begalybės.
Komponentai - Tai SKAIČIAI kurie vadinami narių eilė. Jei jie visi yra neneigiami (didesnis nei nulis arba lygus nuliui), tada tokia serija vadinama teigiamų skaičių serija.
1 pavyzdys
Tai, beje, jau yra „kovinė“ užduotis - praktikoje gana dažnai reikia užrašyti keletą serijos terminų.
Pirma, tada:
Tada, tada:
Tada, tada:
Procesą galima tęsti neribotą laiką, tačiau pagal sąlygą reikėjo parašyti pirmus tris serijos terminus, todėl užrašome atsakymą:
Atkreipkite dėmesį į esminį skirtumą nuo skaičių seka,
kurioje terminai nėra apibendrinti, bet laikomi tokiais.
2 pavyzdys
Užrašykite pirmąsias tris serijos sąlygas
Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys, atsakymas yra pamokos pabaigoje
Net ir iš pirmo žvilgsnio sudėtingą seriją nesunku apibūdinti išplėstine forma:
3 pavyzdys
Užrašykite pirmąsias tris serijos sąlygas
Tiesą sakant, užduotis atliekama žodžiu: mintyse pakeisti į bendrą serialo terminą pirma, tada ir. Kaip rezultatas:
Atsakymą paliekame taip: Geriau nesupaprastinti gautų serijų terminų, tai yra neatlikti veiksmai: , , . Kodėl? Atsakymas yra formoje mokytojui daug lengviau ir patogiau patikrinti.
Kartais įvyksta priešinga užduotis
4 pavyzdys
Čia nėra aiškaus sprendimo algoritmo, jums tiesiog reikia pamatyti modelį.
Šiuo atveju:
Norėdami patikrinti, gautą seriją galima „atrašyti“ išplėstine forma.
Tačiau čia yra pavyzdys, kurį šiek tiek sudėtingiau išspręsti savarankiškai:
5 pavyzdys
Užrašykite sumą sutraukta forma su bendru serijos terminu
Atlikite patikrinimą dar kartą įrašydami seriją išplėstine forma
Skaičių eilučių konvergencija
Vienas iš pagrindinių temos tikslų yra konvergencijos eilučių tyrimas. Šiuo atveju galimi du atvejai:
1) Eilėskiriasi. Tai reiškia, kad begalinė suma yra lygi begalybei: arba sumoms apskritai neegzistuoja, kaip, pavyzdžiui, seriale
(čia, beje, serialo su neigiamais terminais pavyzdys). Pamokos pradžioje buvo rastas geras skirtingų skaičių serijų pavyzdys: . Čia visiškai akivaizdu, kad kiekvienas kitas serijos narys yra didesnis nei ankstesnis ir todėl serija skiriasi. Dar trivialesnis pavyzdys: .
2) Eilėsusilieja. Tai reiškia, kad begalinė suma yra lygi kai kurioms baigtinis skaičius: . Prašome: – ši eilutė suartėja ir jos suma lygi nuliui. Kaip prasmingesnį pavyzdį galime pateikti be galo mažėja geometrinė progresija, mums žinoma nuo mokyklos laikų: . Be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių suma apskaičiuojama pagal formulę: , kur yra pirmasis progresijos narys ir yra jos bazė, kuri paprastai rašoma forma teisinga trupmenomis Šiuo atveju: , . Taigi: Gaunamas baigtinis skaičius, o tai reiškia, kad eilutė suartėja, o tai ir reikėjo įrodyti.
Tačiau didžiąja dauguma atvejų raskite serijos sumą nėra taip paprasta, todėl praktiškai tiriant eilučių konvergenciją naudojami specialūs teoriškai įrodyti ženklai.
Yra keletas eilučių konvergencijos požymių: būtinas serijų konvergencijos testas, palyginimo testai, D'Alemberto testas, Koši testai, Leibnizo ženklas ir kai kurie kiti ženklai. Kada kurį ženklą naudoti? Tai priklauso nuo bendro serialo nario, vaizdžiai tariant, nuo serialo „užpildymo“. Ir labai greitai viską sutvarkysime.
! Norėdami toliau išmokti pamoką, turite gerai supranti kas yra riba ir gerai, kai gali atskleisti tipo neapibrėžtumą. Norėdami peržiūrėti ar studijuoti medžiagą, skaitykite straipsnį Ribos. Sprendimų pavyzdžiai.
Būtinas serijos konvergencijos ženklas
Jei eilutė suartėja, tada jos bendras terminas yra lygus nuliui: .
Atvirkščiai netiesa bendruoju atveju, ty jei , tai serija gali arba suartėti, arba išsiskirti. Ir todėl šis ženklas naudojamas pateisinti skirtumai eilutė:
Jei bendras serijos terminas nelinkęs į nulį, tada serija skiriasi
Arba trumpai: jei , tai serija skiriasi. Visų pirma, galima situacija, kai ribos iš viso nėra, pvz riba. Taigi jie iš karto pateisino vienos serijos skirtumą :)
Tačiau daug dažniau besiskiriančios serijos riba yra lygi begalybei, o vietoj „x“ ji veikia kaip „dinaminis“ kintamasis. Atnaujinkime savo žinias: ribos su „x“ vadinamos funkcijų ribomis, o ribos su kintamuoju „en“ – skaitinių sekų ribomis. Akivaizdus skirtumas yra tas, kad kintamasis „en“ įgauna atskiras (nepertraukiamas) natūralias reikšmes: 1, 2, 3 ir kt. Tačiau šis faktas turi mažai įtakos ribų sprendimo metodams ir neapibrėžtumo atskleidimo metodams.
Įrodykime, kad serijos iš pirmojo pavyzdžio skiriasi.
Dažnas serijos narys:
Išvada: eilutė skiriasi
Būtina funkcija dažnai naudojama realiose praktinėse užduotyse:
6 pavyzdys
Turime polinomus skaitiklyje ir vardiklyje. Tas, kuris atidžiai perskaitė ir suprato neapibrėžtumo atskleidimo metodą straipsnyje Ribos. Sprendimų pavyzdžiai, tikriausiai tai pagavau kai didžiausios skaitiklio ir vardiklio laipsniai lygus, tada riba yra baigtinis skaičius .
Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš
Tiriamas serialas skiriasi, nes nėra įvykdytas būtinas eilučių konvergencijos kriterijus.
7 pavyzdys
Išnagrinėkite eilutes konvergencijai
Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje
Taigi, kai mums suteikiama BET KOKIA skaičių serija, visų pirma mes patikriname (protiškai ar juodraštyje): ar jo bendras terminas linkęs į nulį? Jei ne, formuluojame sprendimą pagal pavyzdžius Nr. 6, 7 ir pateikiame atsakymą, kad serijos skiriasi.
Kokius akivaizdžiai skirtingų serijų tipus svarstėme? Iš karto aišku, kad serialai patinka arba skiriasi. 6 ir 7 pavyzdžių serijos taip pat skiriasi: kai skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianario, o pirmaujanti skaitiklio galia yra didesnė arba lygi vardiklio pirmaujančiajai galiai. Visais šiais atvejais spręsdami ir rengdami pavyzdžius naudojame reikiamą eilučių konvergencijos ženklą.
Kodėl ženklas vadinamas būtina? Supraskite natūraliausiu būdu: kad serija susilietų, būtina, kad jo bendras terminas būtų lygus nuliui. Ir viskas būtų puiku, bet yra daugiau neužtenka. Kitaip tariant, jei bendras serijos terminas linkęs į nulį, TAI NEREIKIA, kad serija susilieja– gali ir susilieti, ir išsiskirti!
Susipažinkite:
Ši serija vadinama harmonikų serija. Prašome prisiminti! Tarp skaičių serijų jis yra prima balerina. Tiksliau balerina =)
Tai nesunku pastebėti , BET. Matematinės analizės teorijoje įrodyta, kad harmonikų serijos skiriasi.
Taip pat turėtumėte prisiminti apibendrintos harmoninės serijos koncepciją:
1) Ši eilutė skiriasi adresu . Pavyzdžiui, serijos , , skiriasi.
2) Ši eilutė susilieja adresu . Pavyzdžiui, serijos , , , susilieja. Dar kartą pabrėžiu, kad beveik visose praktinėse užduotyse mums visai nesvarbu, kokiai, pavyzdžiui, serijų suma lygi, svarbus pats jos suartėjimo faktas.
Tai yra elementarūs faktai iš serijų teorijos, kurie jau buvo įrodyti, ir spręsdami bet kurį praktinį pavyzdį galite drąsiai remtis, pavyzdžiui, serijos skirtumu arba serijos konvergencija.
Apskritai nagrinėjama medžiaga yra labai panaši į netinkamų integralų tyrimas, ir bus lengviau tiems, kurie studijavo šią temą. Na, o kas nesimokė, dvigubai lengviau :)
Taigi, ką daryti, jei bendras serialo terminas yra lygus nuliui? Tokiais atvejais, norėdami išspręsti pavyzdžius, turite naudoti kitus, pakankamai konvergencijos/divergencijos požymiai:
Teigiamų skaičių eilučių palyginimo kriterijai
Atkreipiu jūsų dėmesį, kad čia kalbame tik apie teigiamų skaičių eilutes (su neneigiamomis sąlygomis).
Yra du palyginimo ženklai, vieną iš jų tiesiog vadinsiu palyginimo ženklas, kitas - palyginimo riba.
Pirmiausia pasvarstykime palyginimo ženklas, tiksliau, pirmoji jo dalis:
Apsvarstykite dvi teigiamas skaičių serijas ir . Jei žinoma, kad serialas – susilieja, ir, pradedant nuo kurio nors skaičiaus, tenkinama nelygybė, tada serija taip pat susilieja.
Kitaip tariant: Iš didesnių terminų eilučių konvergencijos seka eilučių su mažesniais terminais konvergencija. Praktikoje nelygybė dažnai galioja visoms vertybėms:
8 pavyzdys
Išnagrinėkite eilutes konvergencijai
Pirma, patikrinkime(protiškai arba juodraštyje) vykdymas:
, o tai reiškia, kad nebuvo įmanoma „išlipti su mažai kraujo“.
Mes žiūrime į apibendrintų harmoninių eilučių „pakelį“ ir, sutelkę dėmesį į aukščiausią laipsnį, randame panašią seriją: Iš teorijos žinoma, kad ji susilieja.
Visiems natūraliems skaičiams galioja akivaizdi nelygybė:
ir didesni vardikliai atitinka mažesnes trupmenas:
, o tai reiškia, remiantis palyginimo kriterijumi, tiriama serija susilieja kartu su šalia .
Jei turite kokių nors abejonių, visada galite išsamiai aprašyti nelygybę! Užrašykime kelių skaičių sudarytą nelygybę „en“:
Jei, tada
Jei, tada
Jei, tada
Jei, tada
….
o dabar visiškai aišku ta nelygybė įvykdyta visiems natūraliems skaičiams „en“.
Panagrinėkime palyginimo kriterijų ir išspręstą pavyzdį neformaliu požiūriu. Vis dėlto, kodėl serijos susilieja? Štai kodėl. Jei serija susilieja, tada ji turi keletą galutinis suma: . Ir kadangi visi serialo nariai mažiau atitinkančius serijos terminus, tada aišku, kad eilučių suma negali būti didesnė už skaičių, o juo labiau negali būti lygi begalybei!
Panašiai galime įrodyti „panašių“ eilučių konvergenciją: , , ir tt
! Atkreipkite dėmesį, kad visais atvejais vardikliuose turime „pliusų“. Bent vienas minusas gali rimtai apsunkinti atitinkamo produkto naudojimą. palyginimo ženklas. Pavyzdžiui, jei eilutė lyginama taip pat su konvergentine eilute (pirmiesiems nariams išrašykite kelias nelygybes), tada sąlyga iš viso nebus įvykdyta! Čia galite išsisukti ir, pavyzdžiui, pasirinkti kitą konvergencinę seriją palyginimui, tačiau tai sukels nereikalingų išlygų ir kitų nereikalingų sunkumų. Todėl norint įrodyti serijos konvergenciją, ją naudoti yra daug lengviau palyginimo riba(žr. kitą pastraipą).
9 pavyzdys
Išnagrinėkite eilutes konvergencijai
Ir šiame pavyzdyje siūlau pagalvoti patiems antroji palyginimo atributo dalis:
Jei žinoma, kad serialas – skiriasi, ir pradedant nuo tam tikro skaičiaus (dažnai nuo pat pirmos), tenkinama nelygybė, tada serija taip pat skiriasi.
Kitaip tariant: Iš mažesnių terminų eilučių skirtumo išplaukia serijos su didesniais terminais nukrypimas.
Ką reikia padaryti?
Būtina palyginti tiriamas eilutes su skirtingomis harmonikų serijomis. Norėdami geriau suprasti, sukurkite keletą konkrečių nelygybių ir įsitikinkite, kad nelygybė yra teisinga.
Sprendimas ir dizaino pavyzdys yra pamokos pabaigoje.
Kaip jau minėta, praktikoje ką tik aptartas palyginimo kriterijus naudojamas retai. Tikrasis skaičių serijų arkliukas yra palyginimo riba, o naudojimo dažnumu gali tik konkuruoti su d'Alemberto ženklas.
Ribinis testas, skirtas palyginti skaitines teigiamas serijas
Apsvarstykite dvi teigiamas skaičių serijas ir . Jeigu šių eilučių bendrųjų narių santykio riba lygi baigtinis ne nulis skaičius: , tada abi eilutės suartėja arba skiriasi vienu metu.
Kada taikomas ribojimo kriterijus? Apribojantis palyginimo kriterijus naudojamas, kai eilutės „užpildas“ yra daugianariai. Arba vienas polinomas vardiklyje, arba polinomas ir skaitiklyje, ir vardiklyje. Pasirinktinai polinomai gali būti išdėstyti po šaknimis.
Panagrinėkime eilutę, kurios ankstesnis palyginimo ženklas sustojo.
10 pavyzdys
Išnagrinėkite eilutes konvergencijai
Palyginkime šią seriją su konvergentine eilute. Palyginimui naudojame ribojantį kriterijų. Yra žinoma, kad serijos susilieja. Jei galime parodyti, kad tai lygu baigtinis, ne nulis skaičių, bus įrodyta, kad serijos taip pat suartėja.
Gaunamas baigtinis nulinis skaičius, o tai reiškia, kad tiriama serija yra susilieja kartu su šalia .
Kodėl palyginimui pasirinktas serialas? Jei būtume pasirinkę bet kurią kitą seriją iš apibendrintų harmonikų serijos „narve“, tai mums nebūtų pavykę pasiekti ribą baigtinis, ne nulis skaičiai (galite eksperimentuoti).
Pastaba: kai naudojame ribojantį palyginimo kriterijų, nesvarbu, kokia tvarka sudaryti bendrųjų narių santykį, nagrinėjamame pavyzdyje santykį būtų galima sudaryti ir atvirkščiai: - tai nepakeistų reikalo esmės.