Kaip rasti lygiagretainio plotą, jei kampas žinomas. Lygiagretainio plotas

Lygiagretainis yra keturkampis, kurio kraštinės poromis lygiagrečios.

Šiame paveikslėlyje priešingos pusės ir kampai yra lygūs vienas kitam. Lygiagretainio įstrižainės susikerta viename taške ir padalija jį pusiau. Lygiagretainio ploto formulės leidžia rasti vertę per šonus, aukštį ir įstrižaines. Lygiagretainis gali būti pateiktas ir ypatingais atvejais. Jie laikomi stačiakampiu, kvadratu ir rombu.
Pirmiausia pažvelkime į lygiagretainio ploto apskaičiavimo pagal aukštį ir pusę, į kurią jis nuleistas, pavyzdį.

Ši byla laikoma klasikine ir nereikalauja papildomo tyrimo. Geriau atsižvelgti į formulę, kaip apskaičiuoti plotą per dvi puses ir kampą tarp jų. Tas pats metodas naudojamas skaičiavimams. Jei pateikiami šonai ir kampas tarp jų, tada plotas apskaičiuojamas taip:

Tarkime, kad turime lygiagretainį, kurio kraštinės a = 4 cm, b = 6 cm, kampas tarp jų yra α = 30°. Raskime sritį:

Lygiagretainio plotas per įstrižaines

Lygiagretainio ploto formulė naudojant įstrižaines leidžia greitai rasti vertę.
Skaičiavimams jums reikės kampo, esančio tarp įstrižainių, dydžio.

Panagrinėkime lygiagretainio ploto apskaičiavimo naudojant įstrižaines pavyzdį. Pateikiame lygiagretainį, kurio įstrižainės D = 7 cm, d = 5 cm Kampas tarp jų yra α = 30°. Pakeiskime duomenis į formulę:

Lygiagretainio ploto per įstrižainę apskaičiavimo pavyzdys davė puikų rezultatą - 8,75.

Žinodami lygiagretainio ploto formulę per įstrižainę, galite išspręsti daug įdomių problemų. Pažvelkime į vieną iš jų.

Užduotis: Pateiktas lygiagretainis, kurio plotas 92 kvadratiniai metrai. žr. taškas F yra jo šono BC viduryje. Raskime trapecijos ADFB plotą, kuris bus mūsų lygiagretainyje. Pirmiausia pagal sąlygas nupieškime viską, ką gavome.
Pereikime prie sprendimo:

Pagal mūsų sąlygas ah = 92 ir atitinkamai mūsų trapecijos plotas bus lygus

Lygiagretainis vadinamas keturkampiu, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios viena kitai. Pagrindinės užduotys mokykloje šia tema yra lygiagretainio ploto, jo perimetro, aukščio ir įstrižainių skaičiavimas. Nurodytos vertės ir jų skaičiavimo formulės bus pateiktos žemiau.

Lygiagretainio savybės

Priešingos lygiagretainio kraštinės, taip pat priešingi kampai, yra lygūs vienas kitam:
AB = CD, BC = AD,

Lygiagretainio įstrižainės susikirtimo taške yra padalintos į dvi lygias dalis:

AO = OC, OB = OD.

Kampai, esantys šalia bet kurios pusės (gretimi kampai), sudaro 180 laipsnių.

Kiekviena lygiagretainio įstrižainė padalija jį į du vienodo ploto ir geometrinių matmenų trikampius.

Kita nuostabi savybė, kuri dažnai naudojama sprendžiant uždavinius, yra ta, kad lygiagretainio įstrižainių kvadratų suma yra lygi visų kraštinių kvadratų sumai:

AC^2+BD^2=2*(AB^2+BC^2) .

Pagrindinės lygiagretainių ypatybės:

1. Keturkampis, kurio priešingos kraštinės poromis lygiagrečios, yra lygiagretainis.
2. Lygių priešingų kraštinių keturkampis yra lygiagretainis.
3. Keturkampis su lygiomis ir lygiagrečiomis priešingomis kraštinėmis yra lygiagretainis.
4. Jei keturkampio įstrižainės susikirtimo taške dalijamos pusiau, tai yra lygiagretainis.
5. Keturkampis, kurio priešingi kampai poromis lygūs, yra lygiagretainis

Lygiagretainio bisektoriai

Lygiagretainio priešingų kampų pusiausvyros gali būti lygiagrečios arba sutapusios.

Gretimų kampų bisektoriai (greta vienos pusės) susikerta stačiu kampu (statmenu).

Lygiagretaus aukštis

Lygiagretaus aukštis- tai atkarpa, nubrėžta iš kampo, statmeno pagrindui. Iš to išplaukia, kad iš kiekvieno kampo galima nubrėžti du aukščius.

Lygiagretainio ploto formulė

Lygiagretainio plotas yra lygus kraštinės ir į ją nubrėžto aukščio sandaugai. Ploto formulė yra tokia

Antroji formulė yra ne mažiau populiari skaičiavimuose ir apibrėžiama taip: lygiagretainio plotas yra lygus gretimų kraštinių sandaugai ir kampo tarp jų sinusui

Remdamiesi aukščiau pateiktomis formulėmis, žinosite, kaip apskaičiuoti lygiagretainio plotą.

Lygiagretainio perimetras

Lygiagretainio perimetro apskaičiavimo formulė yra

tai yra, perimetras lygus dvigubai kraštinių sumai. Problemos, susijusios su lygiagrečiais, bus aptartos gretimose medžiagose, tačiau kol kas išstudijuokite formules. Dauguma lygiagretainio kraštinių ir įstrižainių skaičiavimo problemų yra gana paprastos ir apsiriboja sinusų teoremos ir Pitagoro teoremos išmanymu.

Lygiagretainis yra keturkampė figūra, kurios priešingos kraštinės yra lygiagrečios ir lygios poromis. Jo priešingi kampai taip pat lygūs, o lygiagretainio įstrižainių susikirtimo taškas dalija jas pusiau, būdamas figūros simetrijos centru. Ypatingi lygiagretainio atvejai yra geometrinės figūros, tokios kaip kvadratas, stačiakampis ir rombas. Lygiagretainio plotą galima rasti įvairiais būdais, priklausomai nuo to, kokie pradiniai duomenys naudojami formuluojant problemą.

1. Paprasčiausiu atveju lygiagretainio plotas apibrėžiamas kaip jo pagrindo ir aukščio sandauga.
   

   S = DC ∙ val

   
   

   kur S yra lygiagretainio plotas;
   a - bazė;
   h yra aukštis, nubrėžtas iki nurodyto pagrindo.

   Šią formulę labai lengva suprasti ir prisiminti, jei pažvelgsite į toliau pateiktą paveikslą.

   

   Kaip matote iš šio paveikslėlio, jei nupjausime įsivaizduojamą trikampį kairėje nuo lygiagretainio ir pritvirtinsime jį dešinėje, rezultatas bus stačiakampis. Kaip žinote, stačiakampio plotas randamas jo ilgį padauginus iš aukščio. Tik lygiagretainio atveju ilgis bus pagrindas, o stačiakampio aukštis bus lygiagretainio aukštis, nuleistas į nurodytą pusę.

2. Lygiagretainio plotą taip pat galima rasti padauginus dviejų gretimų bazių ilgius ir kampo tarp jų sinusą:
   

   S = AD∙AB∙sinα

   
   

   kur AD, AB yra gretimos bazės, sudarančios susikirtimo tašką ir kampą a tarpusavyje;
   α – kampas tarp bazių AD ir AB.

   

3. Lygiagretainio plotą taip pat galite rasti lygiagretainio įstrižainių ilgių sandaugą padalydami per pusę iš kampo tarp jų sinuso.
   

   S = ½∙AC∙BD∙sinβ

   
   

   čia AC, BD yra lygiagretainio įstrižainės;
   β yra kampas tarp įstrižainių.

   

4. Taip pat yra formulė, kaip rasti lygiagretainio plotą per jame įrašyto apskritimo spindulį. Tai parašyta taip:

Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas temas, reikalingas sėkmingai išlaikyti vieningą valstybinį matematikos egzaminą 60-65 balais. Visiškai visos profilio vieningo valstybinio matematikos egzamino 1-13 užduotys. Taip pat tinka išlaikyti bazinį vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo kursas vieningam valstybiniam egzaminui 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti matematikos vieningo valstybinio egzamino 1 dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų iš vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei 100 balų studentas, nei humanitarinių mokslų studentas.

Visa reikalinga teorija. Greiti vieningo valstybinio egzamino sprendimai, spąstai ir paslaptys. Išnagrinėtos visos dabartinės FIPI užduočių banko 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka Vieningo valstybinio egzamino 2018 reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.

Šimtai vieningo valstybinio egzamino užduočių. Žodiniai uždaviniai ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. Teorija, informacinė medžiaga, visų rūšių vieningo valstybinio egzamino užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Aiškūs sudėtingų sąvokų paaiškinimai. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sudėtingų Vieningo valstybinio egzamino 2 dalies uždavinių sprendimo pagrindas.

Lygiagretainio plotas. Daugelyje geometrijos problemų, susijusių su plotų skaičiavimu, įskaitant Vieningo valstybinio egzamino užduotis, naudojamos lygiagretainio ir trikampio ploto formulės. Jų yra keletas, mes pažvelgsime į juos čia.

Būtų per paprasta išvardyti šias formules, jau yra pakankamai informacijos žinynuose ir įvairiose svetainėse. Norėčiau perteikti esmę – kad jūs jų neužsikimštumėte, o suprastumėte ir bet kada galėtumėte lengvai prisiminti. Išstudijavę straipsnyje pateiktą medžiagą suprasite, kad šių formulių mokytis visai nereikia. Kalbant objektyviai, jie taip dažnai atsiranda priimant sprendimus, kad ilgai išlieka atmintyje.

1. Taigi pažiūrėkime į lygiagretainį. Apibrėžimas skamba:

Kodėl taip yra? Tai paprasta! Norėdami aiškiai parodyti formulės reikšmę, atlikime keletą papildomų konstrukcijų, būtent, sukonstruokite aukščius:

Trikampio (2) plotas yra lygus trikampio (1) plotui - antrajam stačiakampių trikampių lygybės ženklui „išilgai kojos ir hipotenuzos“. Dabar mintyse „nukirpkime“ antrąjį ir perkelkime jį perdengiant ant pirmojo - gauname stačiakampį, kurio plotas bus lygus pradinio lygiagretainio plotui:

Yra žinoma, kad stačiakampio plotas yra lygus gretimų jo kraštinių sandaugai. Kaip matyti iš eskizo, viena gauto stačiakampio kraštinė lygi lygiagretainio kraštinei, o kita lygi lygiagretainio aukščiui. Todėl gauname lygiagretainio ploto formulę S = a∙h a

2. Tęskime, dar viena jo ploto formulė. Turime:

Lygiagretainio formulės plotas

Kraštines pažymėkime a ir b, kampas tarp jų γ „gama“, aukštis h a. Apsvarstykite statųjį trikampį: