Šiame straipsnyje apžvelgsime, kaip trupmenas paverčiant po kablelio, taip pat apsvarstykite atvirkštinį procesą - dešimtainių trupmenų pavertimą įprastomis trupmenomis. Čia apibūdinsime trupmenų konvertavimo taisykles ir pateiksime išsamius tipinių pavyzdžių sprendimus.
Puslapio naršymas.
Trupmenų konvertavimas į dešimtaines
Pažymėkime seką, kuria nagrinėsime trupmenas paverčiant dešimtainiais.
Pirmiausia pažiūrėsime, kaip pateikti trupmenas su vardikliais 10, 100, 1000, ... kaip po kablelio. Tai paaiškinama tuo, kad dešimtainės trupmenos iš esmės yra kompaktiška paprastųjų trupmenų rašymo forma su vardikliais 10, 100, ....
Po to eisime toliau ir parodysime, kaip parašyti bet kurią paprastąją trupmeną (ne tik tas, kurių vardikliai yra 10, 100, ...) kaip dešimtainę trupmeną. Taip traktuojant paprastąsias trupmenas, gaunamos ir baigtinės, ir begalinės periodinės dešimtainės trupmenos.
Dabar pakalbėkime apie viską iš eilės.
Paprastųjų trupmenų, kurių vardikliai 10, 100, ..., konvertavimas į dešimtaines
Kai kurias tinkamas trupmenas reikia „iš anksto paruošti“ prieš konvertuojant į dešimtaines. Tai taikoma paprastosioms trupmenoms, kurių skaitmenų skaičius yra mažesnis už nulių skaičių vardiklyje. Pavyzdžiui, paprastąją trupmeną 2/100 pirmiausia reikia paruošti konvertuoti į dešimtainę trupmeną, tačiau trupmenai 9/10 paruošti nereikia.
„Preliminarus paruošimas“ tinkamų paprastųjų trupmenų konvertavimui į dešimtaines trupmenas susideda iš skaitiklio kairėje pridėjus tiek nulių, kad bendras ten esančių skaitmenų skaičius taptų lygus nulių skaičiui vardiklyje. Pavyzdžiui, trupmena pridėjus nulius atrodys kaip .
Paruošę tinkamą trupmeną, galite pradėti ją konvertuoti į dešimtainį skaičių.
Duokim taisyklė, kaip paversti tinkamą bendrąją trupmeną, kurios vardiklis yra 10, 100 arba 1 000 ... į dešimtainę trupmeną. Jį sudaro trys žingsniai:
- parašyti 0;
- po jo dedame dešimtainį tašką;
- Užrašome skaičių iš skaitiklio (kartu su pridėtais nuliais, jei juos sudėjome).
Apsvarstykime šios taisyklės taikymą spręsdami pavyzdžius.
Pavyzdys.
Konvertuokite tinkamą trupmeną 37/100 į dešimtainę.
Sprendimas.
Vardiklyje yra skaičius 100, kuris turi du nulius. Skaitiklyje yra skaičius 37, jo žymėjimas yra dviejų skaitmenų, todėl šios trupmenos nereikia ruošti konvertuoti į dešimtainę trupmeną.
Dabar rašome 0, dedame kablelį ir iš skaitiklio užrašome skaičių 37 ir gauname dešimtainę trupmeną 0,37.
Atsakymas:
0,37 .
Norėdami sustiprinti taisyklingų paprastųjų trupmenų su skaitikliais 10, 100, ... konvertavimo į dešimtaines trupmenas įgūdžius, išanalizuosime kito pavyzdžio sprendimą.
Pavyzdys.
Parašykite tinkamą trupmeną 107/10 000 000 dešimtainiu tikslumu.
Sprendimas.
Skaitytuvo skaitmenų skaičius yra 3, o vardiklyje nulių skaičius yra 7, todėl šią bendrąją trupmeną reikia paruošti konvertuoti į dešimtainę. Turime pridėti 7-3=4 nulius į kairę skaitiklyje, kad bendras ten esančių skaitmenų skaičius būtų lygus nulių skaičiui vardiklyje. Mes gauname.
Belieka tik sukurti reikiamą dešimtainę trupmeną. Norėdami tai padaryti, pirmiausia rašome 0, antra, dedame kablelį, trečia, rašome skaičių iš skaitiklio kartu su nuliais 0000107, todėl gauname dešimtainę trupmeną 0,0000107.
Atsakymas:
0,0000107 .
Netinkamos trupmenos nereikalauja jokio pasiruošimo konvertuojant į dešimtaines dalis. Reikėtų laikytis toliau pateiktų nurodymų taisyklės, kaip netinkamas trupmenas su vardikliais 10, 100, ... konvertuoti į dešimtaines:
- užsirašykite skaičių iš skaitiklio;
- Mes naudojame dešimtainį tašką, kad atskirtume tiek skaitmenų dešinėje, kiek pradinės trupmenos vardiklyje yra nulių.
Pažvelkime į šios taisyklės taikymą spręsdami pavyzdį.
Pavyzdys.
Konvertuokite netinkamą trupmeną 56 888 038 009/100 000 į dešimtainę.
Sprendimas.
Pirma, užrašome skaičių iš skaitiklio 56888038009, antra, 5 skaitmenis dešinėje atskiriame kableliu, nes pradinės trupmenos vardiklyje yra 5 nuliai. Dėl to turime dešimtainę trupmeną 568880.38009.
Atsakymas:
568 880,38009 .
Norėdami konvertuoti mišrų skaičių į dešimtainę trupmeną, kurios trupmeninės dalies vardiklis yra skaičius 10, 100, arba 1000, ..., galite konvertuoti mišrų skaičių į netinkamą paprastąją trupmeną, o tada konvertuoti gautą skaičių. trupmeną į dešimtainę trupmeną. Bet taip pat galite naudoti toliau nurodytus dalykus taisyklė, kaip mišrius skaičius, kurių trupmeninis vardiklis yra 10, 100 arba 1000 ..., konvertuoti į dešimtaines trupmenas:
- jei reikia, atliekame pradinio mišraus skaičiaus trupmeninės dalies „preliminarų paruošimą“, skaitiklyje į kairę pridėdami reikiamą nulių skaičių;
- užsirašykite sveikąją pradinio mišraus skaičiaus dalį;
- įdėti dešimtainį tašką;
- Užrašome skaičių iš skaitiklio kartu su pridėtais nuliais.
Pažvelkime į pavyzdį, kuriame atliekame visus būtinus veiksmus, kad mišrus skaičius būtų pateiktas kaip dešimtainė trupmena.
Pavyzdys.
Konvertuokite mišrų skaičių į dešimtainį skaičių.
Sprendimas.
Trupmeninės dalies vardiklyje yra 4 nuliai, o skaitiklyje yra skaičius 17, susidedantis iš 2 skaitmenų, todėl skaitiklio kairėje turime pridėti du nulius, kad skaitmenų skaičius būtų lygus nuliai vardiklyje. Tai padarius, skaitiklis bus 0017.
Dabar užrašome sveikąją pradinio skaičiaus dalį, tai yra skaičių 23, dedame dešimtainį tašką, po kurio įrašome skaičių iš skaitiklio kartu su pridėtiniais nuliais, tai yra, 0017, ir gauname norimą dešimtainį skaičių. trupmena 23,0017.
Trumpai užrašykite visą sprendimą: 
.
Žinoma, buvo galima iš pradžių pavaizduoti mišrų skaičių kaip netinkamą trupmeną ir tada konvertuoti jį į dešimtainę trupmeną. Taikant šį metodą, sprendimas atrodo taip: .
Atsakymas:
23,0017 .
Trupmenų konvertavimas į baigtinius ir begalinius periodinius dešimtainius
Galite paversti ne tik paprastas trupmenas su vardikliais 10, 100, ... į dešimtainę trupmeną, bet ir paprastas trupmenas su kitais vardikliais. Dabar išsiaiškinsime, kaip tai daroma.
Kai kuriais atvejais pradinė paprastoji trupmena lengvai sumažinama iki vieno iš vardklių 10, 100, arba 1000, ... (žr. paprastosios trupmenos perkėlimą į naują vardiklį), po to nesunku pateikti gautą trupmeną kaip dešimtainė trupmena. Pavyzdžiui, akivaizdu, kad trupmeną 2/5 galima sumažinti iki trupmenos, kurios vardiklis yra 10, tam reikia skaitiklį ir vardiklį padauginti iš 2, o tai duos trupmeną 4/10, o tai pagal taisyklės, aptartos ankstesnėje pastraipoje, lengvai konvertuojamos į dešimtainę trupmeną 0, 4.
Kitais atvejais turite naudoti kitą įprastos trupmenos konvertavimo į dešimtainį metodą, kurį dabar apsvarstysime.
Norint paversti paprastąją trupmeną į dešimtainę trupmeną, trupmenos skaitiklis dalijamas iš vardiklio, skaitiklis pirmiausia pakeičiamas lygia dešimtaine trupmena su bet kokiu nulių skaičiumi po kablelio (apie tai kalbėjome skyriuje, lygus ir nelygios dešimtainės trupmenos). Šiuo atveju dalijimas atliekamas taip pat, kaip ir dalijimas natūraliųjų skaičių stulpeliu, o dalinyje dedamas kablelis po kablelio, kai baigiasi visos dividendo dalies dalijimas. Visa tai paaiškės iš toliau pateiktų pavyzdžių sprendimų.
Pavyzdys.
Paverskite trupmeną 621/4 į dešimtainę.
Sprendimas.
Pavaizduokime skaičių skaitiklyje 621 kaip dešimtainę trupmeną, pridėdami po kablelio po kablelio ir kelis nulius. Pirmiausia pridėkime 2 skaitmenis 0, vėliau, jei reikia, visada galime pridėti daugiau nulių. Taigi, mes turime 621,00.
Dabar skaičių 621 000 padalinkime iš 4 stulpeliu. Pirmieji trys žingsniai nesiskiria nuo natūraliųjų skaičių padalijimo iš stulpelio, po kurio gauname tokį paveikslėlį: 
Taip gauname dividendų dešimtainį kablelį, o likusi dalis skiriasi nuo nulio. Tokiu atveju į koeficientą dedame dešimtainį tašką ir toliau dalijame stulpelyje, nekreipdami dėmesio į kablelius: 
Tai užbaigia padalijimą ir gauname dešimtainę trupmeną 155,25, kuri atitinka pradinę paprastąją trupmeną.
Atsakymas:
155,25 .
Norėdami konsoliduoti medžiagą, apsvarstykite kito pavyzdžio sprendimą.
Pavyzdys.
Konvertuokite trupmeną 21/800 į dešimtainę.
Sprendimas.
Norėdami konvertuoti šią bendrąją trupmeną į dešimtainę trupmeną, dešimtainės trupmenos stulpeliu padalijame 21 000... iš 800. Atlikę pirmąjį veiksmą, į koeficientą turėsime įdėti kablelį, o tada tęsti padalijimą: 
Galiausiai gavome likusią 0 dalį, tai užbaigia bendrosios trupmenos 21/400 konvertavimą į dešimtainę trupmeną ir gavome dešimtainę trupmeną 0,02625.
Atsakymas:
0,02625 .
Gali atsitikti taip, kad dalijant skaitiklį iš paprastosios trupmenos vardiklio, liekanos 0 vis tiek negauname. Tokiais atvejais padalijimas gali būti tęsiamas neribotą laiką. Tačiau, pradedant nuo tam tikro žingsnio, liekanos pradeda kartotis periodiškai, kartojasi ir koeficiento skaičiai. Tai reiškia, kad pradinė trupmena paverčiama be galo periodine dešimtaine trupmena. Parodykime tai pavyzdžiu.
Pavyzdys.
Parašykite trupmeną 19/44 kaip dešimtainį skaičių.
Sprendimas.
Norėdami paversti paprastąją trupmeną į dešimtainę, padalinkite iš stulpelio: 
Jau aišku, kad dalijimosi likučiai 8 ir 36 pradėjo kartotis, o koeficiente kartojasi skaičiai 1 ir 8. Taigi pradinė bendroji trupmena 19/44 paverčiama periodine dešimtaine trupmena 0,43181818...=0,43(18).
Atsakymas:
0,43(18) .
Norėdami užbaigti šį klausimą, išsiaiškinsime, kurios paprastosios trupmenos gali būti paverstos baigtinėmis dešimtainėmis trupmenomis, o kurios gali būti konvertuojamos tik į periodines.
Turėkime prieš save neredukuojamą paprastąją trupmeną (jei trupmena redukuojama, tai pirmiausia trupmeną sumažiname), ir turime išsiaiškinti, į kurią dešimtainę trupmeną ją galima paversti – baigtinę ar periodinę.
Akivaizdu, kad jei paprastąją trupmeną galima sumažinti iki vieno iš vardklių 10, 100, 1000, ..., tai gautą trupmeną galima nesunkiai paversti galutine dešimtaine trupmena pagal ankstesnėje pastraipoje aptartas taisykles. Bet į vardiklius 10, 100, 1000 ir t.t. Pateikiamos ne visos paprastosios trupmenos. Tik trupmenos, kurių vardikliai yra bent vienas iš skaičių 10, 100, ..., gali būti redukuojami į tokius vardiklius. O kokie skaičiai gali būti 10, 100, ... dalikliai? Skaičiai 10, 100, ... leis mums atsakyti į šį klausimą, ir jie yra tokie: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1 000 = 2 2 2 5 5 5, .... Iš to išplaukia, kad dalikliai yra 10, 100, 1000 ir kt. Gali būti tik skaičiai, kurių skaidymuose į pirminius veiksnius yra tik skaičiai 2 ir (arba) 5.
Dabar galime padaryti bendrą išvadą apie paprastųjų trupmenų konvertavimą į dešimtaines:
- jei skaidant vardiklį į pirminius veiksnius yra tik skaičiai 2 ir (arba) 5, tai šią trupmeną galima paversti galutine dešimtaine trupmena;
- jei vardiklio plėtinyje, be dvejetų ir penketų, yra ir kitų pirminių skaičių, tai ši trupmena paverčiama begaline periodine dešimtaine trupmena.
Pavyzdys.
Nekonvertuodami įprastų trupmenų į dešimtainius, pasakykite man, kurios iš trupmenų 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 gali būti paverstos galutine dešimtaine trupmena, o kurias galima paversti tik periodine trupmena.
Sprendimas.
Trupmenos 47/20 vardiklis suskaidomas į pirminius koeficientus kaip 20=2·2·5. Šiame išplėtime yra tik dvejetai ir penketukai, todėl ši trupmena gali būti sumažinta iki vieno iš vardklių 10, 100, 1000, ... (šiame pavyzdyje iki vardiklio 100), todėl gali būti konvertuojama į galutinį dešimtainį skaičių. trupmena.
Trupmenos 7/12 vardiklis suskaidomas į pirminius koeficientus kaip 12=2·2·3. Kadangi joje yra pirminis koeficientas 3, kuris skiriasi nuo 2 ir 5, ši trupmena negali būti pavaizduota kaip baigtinis dešimtainis skaičius, bet gali būti konvertuojamas į periodinį dešimtainį skaičių.
Frakcija 21/56 – susitraukiantis, po susitraukimo įgauna formą 3/8. Vardiklio faktorinavimas į pirminius koeficientus turi tris koeficientus, lygius 2, todėl bendrąją trupmeną 3/8, taigi ir lygią trupmeną 21/56, galima paversti galutine dešimtaine trupmena.
Galiausiai trupmenos 31/17 vardiklio išplėtimas yra pats 17, todėl ši trupmena negali būti paversta į baigtinę dešimtainę trupmeną, bet gali būti paversta begaline periodine trupmena.
Atsakymas:
47/20 ir 21/56 galima konvertuoti į baigtinę dešimtainę trupmeną, bet 7/12 ir 31/17 galima konvertuoti tik į periodinę trupmeną.
Paprastosios trupmenos nekonvertuojamos į begalinius neperiodinius dešimtainius
Ankstesnėje pastraipoje pateikta informacija kelia klausimą: „Ar trupmenos skaitiklį padalijus iš vardiklio galima gauti begalinę neperiodinę trupmeną?
Atsakymas: ne. Konvertuojant bendrąją trupmeną, rezultatas gali būti baigtinė dešimtainė trupmena arba begalinė periodinė dešimtainė trupmena. Paaiškinkime, kodėl taip yra.
Iš teoremos apie dalijimąsi su liekana aišku, kad liekana visada yra mažesnė už daliklį, tai yra, jei kurį nors sveikąjį skaičių padalinsime iš sveikojo skaičiaus q, liekana gali būti tik vienas iš skaičių 0, 1, 2 , ..., q−1. Iš to išplaukia, kad stulpeliui padalijus sveikąją bendrosios trupmenos skaitiklio dalį iš vardiklio q, ne daugiau kaip q žingsniuose atsiras viena iš šių dviejų situacijų:
- arba gausime 0 likutį, tai užbaigs padalijimą ir gausime galutinę dešimtainę trupmeną;
- arba gausime jau anksčiau pasirodžiusią liekaną, po kurios likučiai pradės kartotis kaip ir ankstesniame pavyzdyje (kadangi dalijant lygius skaičius iš q gaunamos lygios liekanos, kas išplaukia iš jau minėtos dalijimosi teoremos), tai bus begalinė periodinė dešimtainė trupmena.
Kitų variantų negali būti, todėl paprastąją trupmeną konvertuojant į dešimtainę trupmeną, negalima gauti begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos.
Iš šioje dalyje pateiktų argumentų taip pat matyti, kad dešimtainės trupmenos periodo ilgis visada yra mažesnis už atitinkamos paprastosios trupmenos vardiklio reikšmę.
Dešimtainių skaičių konvertavimas į trupmenas
Dabar išsiaiškinkime, kaip dešimtainę trupmeną paversti įprastąja trupmena. Pradėkime nuo paskutinių dešimtainių trupmenų konvertavimo į paprastąsias trupmenas. Po to mes apsvarstysime begalinių periodinių dešimtainių trupmenų invertavimo metodą. Pabaigoje sakykime apie tai, kad neįmanoma begalinių neperiodinių dešimtainių trupmenų paversti paprastosiomis trupmenomis.
Dešimtainės dalies konvertavimas į trupmenas
Gauti trupmeną, kuri rašoma kaip paskutinis dešimtainis skaičius, yra gana paprasta. Galutinės dešimtainės trupmenos konvertavimo į paprastąją trupmeną taisyklė susideda iš trijų žingsnių:
- pirmiausia į skaitiklį įrašykite duotą dešimtainę trupmeną, prieš tai atmetę dešimtainį tašką ir visus nulius kairėje, jei tokių yra;
- antra, į vardiklį įrašykite vieną ir pridėkite tiek nulių, kiek pradinėje dešimtainėje trupmenoje yra skaitmenų po kablelio;
- trečia, jei reikia, sumažinkite gautą frakciją.
Pažvelkime į pavyzdžių sprendimus.
Pavyzdys.
Paverskite dešimtainį skaičių 3,025 į trupmeną.
Sprendimas.
Jei iš pradinės dešimtainės trupmenos pašalinsime kablelį, gausime skaičių 3 025. Kairėje nėra nulių, kuriuos išmestume. Taigi, norimos trupmenos skaitiklyje įrašome 3 025.
Į vardiklį įrašome skaičių 1, o jo dešinėje pridedame 3 nulius, nes pradinėje dešimtainėje trupmenoje po kablelio yra 3 skaitmenys.
Taigi gavome bendrąją trupmeną 3 025/1 000. Šią trupmeną galima sumažinti 25, gauname 
.
Atsakymas:
.
Pavyzdys.
Paverskite dešimtainę trupmeną 0,0017 į trupmeną.
Sprendimas.
Be kablelio pradinė dešimtainė trupmena atrodo kaip 00017, atmetus nulius kairėje, gauname skaičių 17, kuris yra norimos paprastosios trupmenos skaitiklis.
Vardiklyje rašome vieną su keturiais nuliais, nes pradinė dešimtainė trupmena turi 4 skaitmenis po kablelio.
Dėl to mes turime paprastą dalį 17/10 000. Ši trupmena yra neredukuojama, o dešimtainė trupmena konvertuojama į paprastąją trupmeną.
Atsakymas:
.
Kai pradinės paskutinės dešimtainės trupmenos sveikoji dalis yra ne nulis, ją galima iš karto konvertuoti į mišrų skaičių, apeinant bendrąją trupmeną. Duokim paskutinės dešimtainės trupmenos konvertavimo į mišrų skaičių taisyklė:
- skaičius prieš dešimtainį kablelį turi būti parašytas kaip sveikoji norimo mišraus skaičiaus dalis;
- trupmeninės dalies skaitiklyje reikia įrašyti skaičių, gautą iš pradinės dešimtainės trupmenos trupmeninės dalies, atmetus visus nulius kairėje;
- trupmeninės dalies vardiklyje reikia užrašyti skaičių 1, prie kurio dešinėje pridėkite tiek nulių, kiek pradinėje dešimtainėje trupmenoje yra skaitmenų po kablelio;
- jei reikia, sumažinkite gauto mišraus skaičiaus trupmeninę dalį.
Pažvelkime į dešimtainės trupmenos konvertavimo į mišrų skaičių pavyzdį.
Pavyzdys.
Išreikškite dešimtainę trupmeną 152.06005 kaip mišrų skaičių
Trupmeną galima paversti sveikuoju arba dešimtainiu skaičiumi. Netinkama trupmena, kurios skaitiklis didesnis už vardiklį ir dalijasi iš jo be liekanos, paverčiama sveikuoju skaičiumi, pavyzdžiui: 20/5. Padalinkite 20 iš 5 ir gaukite skaičių 4. Jei trupmena yra tinkama, tai yra, skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, konvertuokite jį į skaičių (dešimtainę trupmeną). Daugiau informacijos apie trupmenas galite gauti mūsų skyriuje -.
Būdai paversti trupmeną į skaičių
- Pirmasis būdas paversti trupmeną į skaičių tinka trupmenai, kurią galima konvertuoti į skaičių, kuris yra dešimtainė trupmena. Pirmiausia išsiaiškinkime, ar galima duotąją trupmeną konvertuoti į dešimtainę trupmeną. Norėdami tai padaryti, atkreipkite dėmesį į vardiklį (skaičius, esantis žemiau linijos arba į dešinę nuo pasvirosios linijos). Jei vardiklis gali būti koeficientas (mūsų pavyzdyje - 2 ir 5), kuris gali būti kartojamas, tada šią trupmeną iš tikrųjų galima konvertuoti į galutinę dešimtainę trupmeną. Pavyzdžiui: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Ši bendroji trupmena bus konvertuojama į skaičių (dešimtainį) su baigtiniu skaičiumi po kablelio. Tačiau trupmena 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) bus paversta skaičiumi su begaliniu skaičiumi po kablelio. Tai yra, tiksliai apskaičiuojant skaitinę reikšmę, gana sunku nustatyti galutinį dešimtainį skaičių, nes tokių ženklų yra be galo daug. Todėl sprendžiant problemas paprastai reikia suapvalinti reikšmę iki šimtųjų ar tūkstantųjų dalių. Tada reikia padauginti ir skaitiklį, ir vardiklį iš tokio skaičiaus, kad vardiklis gautų skaičius 10, 100, 1000 ir tt Pavyzdžiui: 11/40 =(11∙25)/(40∙25) = 275/1000 = 0,275
- Antrasis būdas trupmeną paversti skaičiumi yra paprastesnis: skaitiklį reikia padalyti iš vardiklio. Norėdami pritaikyti šį metodą, mes tiesiog atliekame padalijimą, o gautas skaičius bus norima dešimtainė trupmena. Pavyzdžiui, jums reikia paversti trupmeną 2/15 į skaičių. Padalinkite 2 iš 15. Gauname 0,1333... – begalinė trupmena. Rašome taip: 0.13(3). Jei trupmena yra netinkama trupmena, tai yra, skaitiklis yra didesnis už vardiklį (pavyzdžiui, 345/100), konvertavus ją į skaičių, bus gauta sveikojo skaičiaus reikšmė arba dešimtainė trupmena su visa trupmenine dalimi. Mūsų pavyzdyje jis bus 3,45. Norėdami mišrią trupmeną, pvz., 3 2/7, konvertuoti į skaičių, pirmiausia turite konvertuoti ją į netinkamą trupmeną: (3∙7+2)/7 = 23/7. Tada padalinkite 23 iš 7 ir gaukite skaičių 3,2857143, kurį sumažiname iki 3,29.
Lengviausias būdas trupmeną paversti skaičiumi yra naudoti skaičiuotuvą ar kitą skaičiavimo įrenginį. Pirmiausia nurodome trupmenos skaitiklį, tada paspauskite mygtuką su piktograma „padalyti“ ir įveskite vardiklį. Paspaudę "=" klavišą, gauname norimą skaičių.
Medžiagos trupmenomis ir nuoseklus tyrimas. Žemiau rasite išsamią informaciją su pavyzdžiais ir paaiškinimais.
1. Mišrus skaičius į bendrąją trupmeną.Parašykime skaičių bendra forma:
Prisimename paprastą taisyklę - visą dalį padauginame iš vardiklio ir pridedame skaitiklį, tai yra:
Pavyzdžiai:
2. Priešingai, paprastoji trupmena į mišrųjį skaičių. *Žinoma, tai galima padaryti tik su netinkama trupmena (kai skaitiklis didesnis už vardiklį).
Su „mažais“ skaičiais apskritai nereikia imtis jokių veiksmų, rezultatas „matomas“ iš karto, pavyzdžiui, trupmenos:
*Daugiau informacijos:
15:13 = 1 likutis 2
4:3 = 1 likutis 1
9:5 = 1 likutis 4
Bet jei skaičių yra daugiau, neapsieisite be skaičiavimų. Čia viskas paprasta - skaitiklį padalinkite iš vardiklio su kampu, kol liekana bus mažesnė už daliklį. Padalijimo schema:
Pavyzdžiui:
*Mūsų skaitiklis yra dividendas, vardiklis yra daliklis.
Gauname visą dalį (neužbaigtą koeficientą) ir likusią dalį. Užrašome sveikąjį skaičių, tada trupmeną (skaitiklyje yra likusioji dalis, bet vardiklis išlieka toks pats):
3. Paverskite dešimtainį skaičių į paprastą.
Iš dalies pirmoje pastraipoje, kur kalbėjome apie dešimtaines trupmenas, mes tai jau palietėme. Užrašome taip, kaip girdime. Pavyzdžiui - 0,3; 0,45; 0,008; 4,38; 10.00015
Turime pirmąsias tris trupmenas be sveikosios dalies. O ketvirtas ir penktas tai turi, paverskime juos įprastais, mes jau žinome, kaip tai padaryti:
*Matome, kad trupmenas taip pat galima sumažinti, pavyzdžiui, 45/100 = 9/20, 38/100 = 19/50 ir kt., bet čia to nedarysime. Kalbant apie sumažinimą, žemiau rasite atskirą pastraipą, kurioje mes viską išsamiai išanalizuosime.
4. Paverskite paprastąjį į dešimtainį.
Tai nėra taip paprasta. Su kai kuriomis trupmenomis iš karto akivaizdu ir aišku, ką su ja daryti, kad jis taptų dešimtainiu, pavyzdžiui:
Mes naudojame savo nuostabią pagrindinę trupmenos savybę - skaitiklį ir vardiklį padauginame atitinkamai iš 5, 25, 2, 5, 4, 2 ir gauname:
Jei yra visa dalis, nieko sudėtingo:
Trupmeninę dalį padauginame atitinkamai iš 2, 25, 2 ir 5 ir gauname:
Ir yra tokių, kuriems be patirties neįmanoma nustatyti, kad juos galima paversti dešimtainiais, pavyzdžiui:
Iš kokių skaičių turėtume padauginti skaitiklį ir vardiklį?
Čia vėl į pagalbą ateina patikrintas metodas - padalijimas kampu, universalus metodas, kurį visada galite naudoti norėdami konvertuoti bendrąją trupmeną į dešimtainę:
Tokiu būdu visada galite nustatyti, ar trupmena konvertuojama į dešimtainę. Faktas yra tas, kad ne kiekviena įprasta trupmena gali būti konvertuojama į dešimtainį skaičių, pavyzdžiui, 1/9, 3/7, 7/26 nekeičiami. Kokia tada trupmena, gaunama padalijus 1 iš 9, 3 iš 7, 5 iš 11? Mano atsakymas yra begalinis dešimtainis (apie juos kalbėjome 1 dalyje). Padalinkime:
Tai viskas! Sėkmės tau!
Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas.
Jeigu 497 reikia dalinti iš 4, tai dalindami pamatysime, kad 497 iš 4 nesidalija tolygiai, t.y. lieka likusi padalijimo dalis. Tokiais atvejais sakoma, kad baigta padalijimas su likusia dalimi, o sprendimas parašytas taip:
497: 4 = 124 (1 likutis).
Kairėje lygybės pusėje esantys padalijimo komponentai vadinami taip pat, kaip ir dalijant be liekanos: 497 - dividendas, 4 - skirstytuvas. Vadinamas padalijimo rezultatas, kai padalintas su liekana nepilnas privatus. Mūsų atveju tai yra skaičius 124. Ir galiausiai paskutinis komponentas, kuris nėra įprastame padalinyje, yra likutis. Tais atvejais, kai likučio nėra, vienas skaičius yra padalintas iš kito be pėdsakų arba visiškai. Manoma, kad su tokiu padalijimu likusi dalis yra lygi nuliui. Mūsų atveju likusi dalis yra 1.
Likutis visada yra mažesnis už daliklį.
Dalybą galima patikrinti dauginant. Jei, pavyzdžiui, yra lygybė 64: 32 = 2, tada patikrinimą galima atlikti taip: 64 = 32 * 2.
Dažnai tais atvejais, kai dalijama su likusia dalimi, patogu naudoti lygybę
a = b * n + r,
kur a yra dividendas, b yra daliklis, n yra nepilnasis koeficientas, r yra liekana.
Natūraliųjų skaičių dalinys gali būti parašytas trupmena.
Trupmenos skaitiklis yra dividendas, o vardiklis yra daliklis.
Kadangi trupmenos skaitiklis yra dividendas, o vardiklis yra daliklis, mano, kad trupmenos eilutė reiškia padalijimo veiksmą. Kartais yra patogu rašyti padalijimą kaip trupmeną nenaudojant „:“ ženklo.
Natūraliųjų skaičių m ir n dalybos koeficientas gali būti parašytas trupmena \(\frac(m)(n) \), kur skaitiklis m yra dividendas, o vardiklis n yra daliklis:
\(m:n = \frac(m)(n)\)
Šios taisyklės yra teisingos:
Norint gauti trupmeną \(\frac(m)(n)\), reikia padalinti vienetą į n lygių dalių (akcijų) ir paimti m tokių dalių.
Norint gauti trupmeną \(\frac(m)(n)\), reikia skaičių m padalyti iš skaičiaus n.
Norint rasti visumos dalį, reikia skaičių, atitinkantį visumą, padalyti iš vardiklio ir padauginti rezultatą iš trupmenos, išreiškiančios šią dalį, skaitiklio.
Norėdami rasti visumą iš jos dalies, turite padalyti šią dalį atitinkantį skaičių iš skaitiklio ir padauginti rezultatą iš trupmenos, išreiškiančios šią dalį, vardiklio.
Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami iš to paties skaičiaus (išskyrus nulį), trupmenos reikšmė nepasikeis:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis dalijami iš to paties skaičiaus (išskyrus nulį), trupmenos reikšmė nepasikeis:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ši savybė vadinama pagrindinė trupmenos savybė.
Paskutinės dvi transformacijos vadinamos sumažinant dalį.
Jei trupmenas reikia pavaizduoti kaip trupmenas su tuo pačiu vardikliu, tada šis veiksmas vadinamas suvedus trupmenas į bendrą vardiklį.
Tinkamos ir netinkamos trupmenos. Mišrūs skaičiai
Jau žinote, kad trupmeną galima gauti padalijus visumą į lygias dalis ir paėmus kelias tokias dalis. Pavyzdžiui, trupmena \(\frac(3)(4)\) reiškia tris ketvirtadalius vieneto. Daugelyje ankstesnės pastraipos uždavinių trupmenos buvo naudojamos visumos dalims pavaizduoti. Sveikas protas reikalauja, kad dalis visada būtų mažesnė už visumą, bet kaip su trupmenomis, pvz., \(\frac(5)(5)\) arba \(\frac(8)(5)\)? Akivaizdu, kad tai nebėra įrenginio dalis. Tikriausiai todėl vadinamos trupmenos, kurių skaitiklis yra didesnis už vardiklį arba jam lygus netinkamos trupmenos. Likusios trupmenos, ty trupmenos, kurių skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, vadinamos teisingos trupmenos.
Kaip žinote, bet kokia bendroji trupmena, tiek tinkama, tiek netinkama, gali būti laikoma skaitiklio padalijimu iš vardiklio. Todėl matematikoje, skirtingai nei įprastoje kalboje, terminas „netinkama trupmena“ nereiškia, kad kažką padarėme ne taip, o tik tai, kad šios trupmenos skaitiklis yra didesnis arba lygus vardikliui.
Jei skaičių sudaro sveikoji dalis ir trupmena, tada trupmenos vadinamos mišriomis.
Pavyzdžiui:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 yra sveikoji dalis, o \(\frac(2)(3) \) yra trupmeninė dalis.
Jei trupmenos \(\frac(a)(b) \) skaitiklis dalijasi iš natūraliojo skaičiaus n, tai norint padalyti šią trupmeną iš n, jos skaitiklį reikia padalyti iš šio skaičiaus:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Jei trupmenos skaitiklis \(\frac(a)(b) \) nesidalija iš natūraliojo skaičiaus n, tada norint padalinti šią trupmeną iš n, jos vardiklį reikia padauginti iš šio skaičiaus:
\(\didelis \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Atkreipkite dėmesį, kad antroji taisyklė taip pat galioja, kai skaitiklis dalijasi iš n. Todėl jį galime naudoti, kai iš pirmo žvilgsnio sunku nustatyti, ar trupmenos skaitiklis dalijasi iš n, ar ne.
Veiksmai su trupmenomis. Sudėjus trupmenas.
Su trupmeniniais skaičiais galite atlikti aritmetinius veiksmus, kaip ir su natūraliaisiais skaičiais. Pirmiausia pažiūrėkime, kaip pridėti trupmenas. Lengva pridėti trupmenas su panašiais vardikliais. Raskime, pavyzdžiui, \(\frac(2)(7)\) ir \(\frac(3)(7)\) sumą. Nesunku suprasti, kad \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti tą patį.
Naudojant raides, trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo taisyklę galima parašyti taip:
\(\didelis \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Jei reikia pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausia jas reikia sumažinti iki bendro vardiklio. Pavyzdžiui:
\(\didelis \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Trupmenoms, kaip ir natūraliems skaičiams, galioja komutacinės ir asociatyvinės sudėties savybės.
Sumaišytų frakcijų pridėjimas
Iškviečiami tokie žymėjimai kaip \(2\frac(2)(3)\). mišrios frakcijos. Tokiu atveju vadinamas skaičius 2 visa dalis mišri trupmena, o skaičius \(\frac(2)(3)\) yra jos trupmeninė dalis. Įrašas \(2\frac(2)(3)\) skaitomas taip: „du ir du trečdaliai“.
Padalinę skaičių 8 iš skaičiaus 3, galite gauti du atsakymus: \(\frac(8)(3)\) ir \(2\frac(2)(3)\). Jie išreiškia tą patį trupmeninį skaičių, ty \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Taigi netinkama trupmena \(\frac(8)(3)\) vaizduojama kaip mišri trupmena \(2\frac(2)(3)\). Tokiais atvejais sakoma, kad iš netinkamos trupmenos pabrėžė visą dalį.
Trupmenų atėmimas (trupmeniniai skaičiai)
Trupmeninių skaičių, kaip ir natūraliųjų, atėmimas nustatomas pagal sudėjimo veiksmą: iš vieno skaičiaus atėmus kitą reiškia rasti skaičių, kurį pridėjus prie antrojo gaunamas pirmasis. Pavyzdžiui:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) nuo \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)\)
Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimo taisyklė yra panaši į tokių trupmenų pridėjimo taisyklę:
Norėdami rasti skirtumą tarp trupmenų su tais pačiais vardikliais, turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį iš pirmosios trupmenos skaitiklio ir vardiklį palikti tą patį.
Naudojant raides, ši taisyklė parašyta taip:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Trupmenų dauginimas
Norėdami padauginti trupmeną iš trupmenos, turite padauginti jų skaitiklius ir vardiklius ir įrašyti pirmąjį sandaugą kaip skaitiklį, o antrąjį - kaip vardiklį.
Naudojant raides, trupmenų dauginimo taisyklę galima parašyti taip:
\(\didelis \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Naudodami suformuluotą taisyklę galite padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, iš mišrios trupmenos, taip pat padauginti mišrias trupmenas. Norėdami tai padaryti, turite parašyti natūralųjį skaičių kaip trupmeną, kurios vardiklis yra 1, o mišrią trupmeną - kaip netinkamą trupmeną.
Daugybos rezultatas turėtų būti supaprastintas (jei įmanoma), sumažinant trupmeną ir išskiriant visą netinkamos trupmenos dalį.
Trupmenoms, kaip ir natūraliems skaičiams, galioja komutacinės ir kombinacinės daugybos savybės, taip pat daugybos skirstomoji savybė sudėjimo atžvilgiu.
Trupmenų padalijimas
Paimkime trupmeną \(\frac(2)(3)\) ir „apverskime“ sukeisdami skaitiklį ir vardiklį. Gauname trupmeną \(\frac(3)(2)\). Ši trupmena vadinama atvirkščiai trupmenos \(\frac(2)(3)\).
Jei dabar „atsuksime“ trupmeną \(\frac(3)(2)\), gausime pradinę trupmeną \(\frac(2)(3)\). Todėl tokios trupmenos kaip \(\frac(2)(3)\) ir \(\frac(3)(2)\) vadinamos abipusiai atvirkštinis.
Pavyzdžiui, trupmenos \(\frac(6)(5) \) ir \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) ir \(\frac (18) )(7)\).
Naudojant raides, grįžtamąsias trupmenas galima parašyti taip: \(\frac(a)(b) \) ir \(\frac(b)(a) \)
Tai aišku atvirkštinių trupmenų sandauga lygi 1. Pavyzdžiui: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Naudodami abipuses trupmenas, galite sumažinti trupmenų padalijimą iki daugybos.
Trupmenos padalijimo iš trupmenos taisyklė yra tokia:
Norėdami padalyti vieną trupmeną iš kitos, turite padauginti dividendą iš daliklio atvirkštinės vertės.
Naudojant raides, trupmenų padalijimo taisyklę galima parašyti taip:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Jei dividendas arba daliklis yra natūralusis skaičius arba mišri trupmena, tada norint naudoti trupmenų dalijimo taisyklę, pirmiausia jis turi būti pavaizduotas kaip netinkama trupmena.
