Tiesinės lygtys dviejuose kintamuosiuose

Pietums mokykloje moksleivis turi 200 rublių. Pyragas kainuoja 25 rublius, o kavos puodelis – 10 rublių. Kiek pyragų ir kavos puodelių galite nusipirkti už 200 rublių?

Pažymėkime pyragų skaičių x, ir kavos puodelių skaičius y. Tada pyragų kaina bus pažymėta išraiška 25 x, o kavos puodelių kaina 10 y .

25x- kaina x pyragaičiai
10y - kaina y kavos puodeliai

Bendra suma turėtų būti 200 rublių. Tada gauname lygtį su dviem kintamaisiais x Ir y

25x+ 10y= 200

Kiek šaknų turi ši lygtis?

Viskas priklauso nuo mokinio apetito. Jei jis perka 6 pyragus ir 5 puodelius kavos, tada lygties šaknys bus skaičiai 6 ir 5.

Teigiama, kad 6 ir 5 reikšmių pora yra 25 lygties šaknys x+ 10y= 200. Rašoma kaip (6; 5), o pirmasis skaičius yra kintamojo reikšmė x, o antrasis – kintamojo reikšmė y .

6 ir 5 nėra vienintelės šaknys, kurios apverčia 25 lygtį x+ 10y= 200 iki tapatybės. Jei pageidauja, už tuos pačius 200 rublių studentas gali nusipirkti 4 pyragus ir 10 puodelių kavos:

Šiuo atveju 25 lygties šaknys x+ 10y= 200 yra reikšmių pora (4; 10).

Be to, moksleivis gali išvis nepirkti kavos, o nusipirkti pyragų už visus 200 rublių. Tada 25 lygties šaknys x+ 10y= 200 bus reikšmės 8 ir 0

Arba atvirkščiai, pirkite ne pyragus, o pirkite kavą už visus 200 rublių. Tada 25 lygties šaknys x+ 10y= 200, reikšmės bus 0 ir 20

Pabandykime išvardyti visas galimas 25 lygties šaknis x+ 10y= 200. Sutikime, kad vertybės x Ir y priklauso sveikųjų skaičių aibei. Ir tegul šios vertės yra didesnės arba lygios nuliui:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Tai bus patogu pačiam studentui. Patogiau pirkti sveikus pyragus nei, pavyzdžiui, kelis sveikus pyragus ir pusę torto. Taip pat patogiau gerti kavą visais puodeliais nei, pavyzdžiui, kelis sveikus puodelius ir pusę puodelio.

Atkreipkite dėmesį, kad nelyginis x jokiomis aplinkybėmis neįmanoma pasiekti lygybės y. Tada vertybės xšie skaičiai bus 0, 2, 4, 6, 8. Ir žinant x galima nesunkiai nustatyti y

Taigi, mes gavome šias verčių poras (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Šios poros yra 25 lygties sprendiniai arba šaknys x+ 10y= 200. Jie paverčia šią lygtį tapatybe.

Formos lygtis ax + by = c paskambino tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais. Šios lygties sprendinys arba šaknys yra reikšmių pora ( x; y), kuris paverčia jį tapatybe.

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad jei tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais yra parašyta formoje ax + b y = c , tada jie sako, kad tai parašyta kanoninis(įprasta) forma.

Kai kurios dviejų kintamųjų tiesinės lygtys gali būti sumažintos iki kanoninės formos.

Pavyzdžiui, lygtis 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) galima atvesti į galvą ax + by = c. Atidarykime skliaustus abiejose šios lygties pusėse ir gaukime 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Terminus, kuriuose yra nežinomųjų, grupuojame kairėje lygties pusėje, o terminus be nežinomųjų – dešinėje. Tada gauname 32x− 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Pateikiame panašius terminus abiejose pusėse, gauname 16 lygtį x+ 8y= 32. Ši lygtis redukuojama į formą ax + by = c ir yra kanoninis.

Anksčiau aptarta 25 lygtis x+ 10y= 200 taip pat yra tiesinė lygtis su dviem kanoninės formos kintamaisiais. Šioje lygtyje parametrai a , b Ir c yra lygios atitinkamai 25, 10 ir 200 reikšmėms.

Tiesą sakant, lygtis ax + by = c turi daugybę sprendimų. Lygties sprendimas 25x+ 10y= 200, jos šaknų ieškojome tik sveikųjų skaičių aibėje. Dėl to mes gavome keletą reikšmių porų, kurios pavertė šią lygtį tapatybe. Tačiau racionaliųjų skaičių aibėje lygtis 25 x+ 10y= 200 turės be galo daug sprendinių.

Norėdami gauti naujas verčių poras, turite paimti savavališką for reikšmę x, tada išreikškite y. Pavyzdžiui, paimkime kintamąjį x reikšmė 7. Tada gauname lygtį su vienu kintamuoju 25×7 + 10y= 200 kuriais galima išreikšti y

Leiskite x= 15. Tada lygtis 25x+ 10y= 200 tampa 25 × 15 + 10y= 200. Iš čia mes tai randame y = −17,5

Leiskite x= –3 . Tada lygtis 25x+ 10y= 200 tampa 25 × (–3) + 10y= 200. Iš čia mes tai randame y = −27,5

Dviejų tiesinių lygčių su dviem kintamaisiais sistema

Dėl lygties ax + by = c galite paimti savavališkas vertes tiek kartų, kiek norite x ir rasti vertes y. Paėmus atskirai, tokia lygtis turės daugybę sprendinių.

Tačiau taip pat atsitinka, kad kintamieji x Ir y sujungti ne viena, o dviem lygtimis. Šiuo atveju jie sudaro vadinamąjį dviejų kintamųjų tiesinių lygčių sistema. Tokia lygčių sistema gali turėti vieną reikšmių porą (arba kitaip: „vieną sprendimą“).

Taip pat gali atsitikti taip, kad sistema apskritai neturi sprendimų. Tiesinių lygčių sistema retais ir išskirtiniais atvejais gali turėti daugybę sprendimų.

Dvi tiesinės lygtys sudaro sistemą, kai reikšmės x Ir yĮveskite į kiekvieną iš šių lygčių.

Grįžkime prie pačios pirmosios 25 lygties x+ 10y= 200. Viena iš šios lygties verčių porų buvo pora (6; 5). Tai atvejis, kai už 200 rublių galėjai nusipirkti 6 pyragus ir 5 puodelius kavos.

Suformuluokime uždavinį taip, kad pora (6; 5) taptų vieninteliu 25 lygties sprendiniu x+ 10y= 200. Norėdami tai padaryti, sukurkime kitą lygtį, kuri sujungtų tą patį x pyragaičiai ir y puodeliai kavos.

Pateikiame problemos tekstą taip:

„Mokslinukas už 200 rublių nusipirko kelis pyragus ir kelis puodelius kavos. Pyragas kainuoja 25 rublius, o kavos puodelis – 10 rublių. Kiek pyragų ir kavos puodelių mokinys nusipirko, jei žinoma, kad pyragų skaičius yra vienetu didesnis už kavos puodelių skaičių?

Pirmąją lygtį jau turime. Tai yra 25 lygtis x+ 10y= 200. Dabar sukurkime sąlygos lygtį „Pyragų skaičius yra vienu vienetu didesnis už kavos puodelių skaičių“ .

Tortų skaičius yra x, o kavos puodelių skaičius yra y. Šią frazę galite parašyti naudodami lygtį x−y= 1. Ši lygtis reikš, kad skirtumas tarp pyragų ir kavos yra 1.

x = y+1. Ši lygtis reiškia, kad pyragų skaičius yra vienu daugiau nei kavos puodelių. Todėl, norint gauti lygybę, prie kavos puodelių skaičiaus pridedamas vienas. Tai galima lengvai suprasti, jei naudosime skalių modelį, į kurį atsižvelgėme tirdami paprasčiausias problemas:

Gavome dvi lygtis: 25 x+ 10y= 200 ir x = y+ 1. Kadangi reikšmės x Ir y, būtent 6 ir 5 yra įtrauktos į kiekvieną iš šių lygčių, tada jos kartu sudaro sistemą. Užrašykime šią sistemą. Jei lygtys sudaro sistemą, tada jos įrėmintos sistemos ženklu. Sistemos simbolis yra garbanotas skliaustas:

Išspręskime šią sistemą. Tai leis mums pamatyti, kaip gauname 6 ir 5 reikšmes. Tokių sistemų sprendimo būdų yra daug. Pažvelkime į populiariausius iš jų.

Pakeitimo metodas

Šio metodo pavadinimas kalba pats už save. Jo esmė yra pakeisti vieną lygtį kita, prieš tai išreiškus vieną iš kintamųjų.

Mūsų sistemoje nieko nereikia išreikšti. Antroje lygtyje x = y+ 1 kintamasis x jau išreikštas. Šis kintamasis yra lygus išraiškai y+1. Tada galite pakeisti šią išraišką į pirmąją lygtį, o ne į kintamąjį x

Pakeitus išraišką y Vietoj to + 1 į pirmąją lygtį x, gauname lygtį 25(y+ 1) + 10y= 200 . Tai tiesinė lygtis su vienu kintamuoju. Šią lygtį gana lengva išspręsti:

Mes radome kintamojo reikšmę y. Dabar pakeiskime šią reikšmę viena iš lygčių ir raskime reikšmę x. Tam patogu naudoti antrąją lygtį x = y+1. Pakeiskime į jį vertę y

Tai reiškia, kad pora (6; 5) yra lygčių sistemos sprendimas, kaip ir norėjome. Mes patikriname ir įsitikiname, kad pora (6; 5) atitinka sistemą:

2 pavyzdys

Pakeiskime pirmąją lygtį x= 2 + yį antrąją lygtį 3 x− 2y= 9. Pirmoje lygtyje kintamasis x lygus išraiškai 2 + y. Vietoj to, pakeiskime šią išraišką į antrąją lygtį x

Dabar suraskime vertę x. Norėdami tai padaryti, pakeiskime vertę yį pirmąją lygtį x= 2 + y

Tai reiškia, kad sistemos sprendimas yra poros reikšmė (5; 3)

3 pavyzdys. Pakeitimo metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Čia, skirtingai nei ankstesniuose pavyzdžiuose, vienas iš kintamųjų nėra aiškiai išreikštas.

Norėdami pakeisti vieną lygtį kita, pirmiausia turite .

Patartina išreikšti kintamąjį, kurio koeficientas yra vienas. Kintamasis turi vieneto koeficientą x, kuris yra pirmoje lygtyje x+ 2y= 11. Išreikškime šį kintamąjį.

Po kintamos išraiškos x, mūsų sistema bus tokios formos:

Dabar pakeiskime pirmąją lygtį antrąja ir raskime reikšmę y

Pakeiskime y x

Tai reiškia, kad sistemos sprendimas yra reikšmių pora (3; 4)

Žinoma, galite išreikšti ir kintamąjį y. Tai nepakeis šaknų. Bet jei išreiškiate y, Rezultatas nėra labai paprasta lygtis, kuriai išspręsti prireiks daugiau laiko. Tai atrodys taip:

Matome, kad šiame pavyzdyje mes išreiškiame x daug patogiau nei išreikšti y .

4 pavyzdys. Pakeitimo metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Išreikškime pirmąja lygtimi x. Tada sistema įgis tokią formą:

y

Pakeiskime yį pirmąją lygtį ir raskite x. Galite naudoti pradinę 7 lygtį x+ 9y= 8, arba naudokite lygtį, kurioje išreiškiamas kintamasis x. Mes naudosime šią lygtį, nes ji yra patogi:

Tai reiškia, kad sistemos sprendimas yra reikšmių pora (5; −3)

Papildymo būdas

Sudėjimo metodas susideda iš lygčių, įtrauktų į sistemą, pridėjimo po termino. Dėl šio papildymo gaunama nauja lygtis su vienu kintamuoju. Ir išspręsti tokią lygtį yra gana paprasta.

Išspręskime šią lygčių sistemą:

Pridėkime pirmosios lygties kairę pusę su antrosios lygties kairiąja. Ir pirmosios lygties dešinė pusė su antrosios lygties dešine puse. Gauname tokią lygybę:

Pažvelkime į panašius terminus:

Dėl to gavome paprasčiausią lygtį 3 x= 27, kurio šaknis yra 9. Žinant reikšmę x galite rasti vertę y. Pakeiskime vertę xį antrą lygtį x−y= 3. Gauname 9 − y= 3. Iš čia y= 6 .

Tai reiškia, kad sistemos sprendimas yra reikšmių pora (9; 6)

2 pavyzdys

Pridėkime pirmosios lygties kairę pusę su antrosios lygties kairiąja. Ir pirmosios lygties dešinė pusė su antrosios lygties dešine puse. Gautoje lygybėje pateikiame panašius terminus:

Dėl to gavome paprasčiausią 5 lygtį x= 20, kurios šaknis yra 4. Žinant reikšmę x galite rasti vertę y. Pakeiskime vertę xį pirmąją 2 lygtį x+y= 11. Gaukime 8+ y= 11. Iš čia y= 3 .

Tai reiškia, kad sistemos sprendimas yra reikšmių pora (4;3)

Papildymo procesas nėra išsamiai aprašytas. Tai turi būti padaryta psichiškai. Sudedant abi lygtys turi būti sumažintos iki kanoninės formos. Tai yra, beje ac + by = c .

Iš nagrinėjamų pavyzdžių aišku, kad pagrindinis lygčių pridėjimo tikslas yra atsikratyti vieno iš kintamųjų. Tačiau ne visada įmanoma iš karto išspręsti lygčių sistemą naudojant sudėjimo metodą. Dažniausiai sistema pirmiausia įvedama į tokią formą, kad būtų galima pridėti į šią sistemą įtrauktas lygtis.

Pavyzdžiui, sistema gali būti išspręstas nedelsiant naudojant papildymo metodą. Sudėjus abi lygtis, terminai y Ir −y išnyks, nes jų suma lygi nuliui. Dėl to susidaro paprasčiausia 11 lygtis x= 22, kurios šaknis yra 2. Tada bus galima nustatyti y lygus 5.

Ir lygčių sistema Sudėjimo metodas negali būti išspręstas iš karto, nes dėl to vienas iš kintamųjų neišnyks. Sudėjus bus gauta 8 lygtis x+ y= 28, kuris turi begalinį sprendinių skaičių.

Jei abi lygties pusės yra padaugintos arba padalytos iš to paties skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui, gausite lygtį, lygiavertę duotajai. Ši taisyklė galioja ir tiesinių lygčių sistemai su dviem kintamaisiais. Vieną iš lygčių (arba abi lygtis) galima padauginti iš bet kurio skaičiaus. Rezultatas bus lygiavertė sistema, kurios šaknys sutaps su ankstesne.

Grįžkime prie pačios pirmosios sistemos, kurioje buvo aprašyta, kiek pyragų ir kavos puodelių nusipirko moksleivis. Šios sistemos sprendimas buvo reikšmių pora (6; 5).

Padauginkime abi į šią sistemą įtrauktas lygtis iš kai kurių skaičių. Tarkime, kad pirmąją lygtį padauginame iš 2, o antrąją – iš 3

Dėl to gavome sistemą
Šios sistemos sprendimas vis dar yra reikšmių pora (6; 5)

Tai reiškia, kad į sistemą įtrauktos lygtys gali būti sumažintos iki formos, tinkamos taikyti sudėjimo metodą.

Grįžkime prie sistemos , kurio negalėjome išspręsti naudodami papildymo metodą.

Pirmąją lygtį padauginkite iš 6, o antrąją iš –2

Tada gauname tokią sistemą:

Sudėkime į šią sistemą įtrauktas lygtis. Komponentų pridėjimas 12 x ir –12 x bus 0, pridėjus 18 y ir 4 y duos 22 y, o sudėjus 108 ir −20 gauname 88. Tada gauname lygtį 22 y= 88, iš čia y = 4 .

Jei iš pradžių sunku galvoje sudėti lygtis, tada galite užrašyti, kaip pirmosios lygties kairioji pusė susilieja su antrosios lygties kairiąja puse, o pirmosios lygties dešinė – su dešiniąja lygties puse. antroji lygtis:

Žinant, kad kintamojo reikšmė y lygus 4, galite rasti vertę x. Pakeiskime yį vieną iš lygčių, pavyzdžiui, į pirmąją 2 lygtį x+ 3y= 18. Tada gauname lygtį su vienu kintamuoju 2 x+ 12 = 18. Perkelkime 12 į dešinę pusę, pakeisdami ženklą, gausime 2 x= 6, iš čia x = 3 .

4 pavyzdys. Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Antrąją lygtį padauginkime iš −1. Tada sistema bus tokios formos:

Sudėkime abi lygtis. Komponentų pridėjimas x Ir −x bus 0, pridėjus 5 y ir 3 y duos 8 y, o sudėjus 7 ir 1 gauname 8. Rezultatas yra 8 lygtis y= 8, kurio šaknis yra 1. Žinant, kad reikšmė y lygus 1, galite rasti vertę x .

Pakeiskime yį pirmąją lygtį, gauname x+ 5 = 7, vadinasi x= 2

5 pavyzdys. Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Pageidautina, kad terminai, turintys tuos pačius kintamuosius, būtų išdėstyti vienas po kito. Todėl antroje lygtyje terminai 5 y ir −2 x Pasikeiskime vietomis. Dėl to sistema bus tokia:

Antrąją lygtį padauginkime iš 3. Tada sistema įgis tokią formą:

Dabar pridėkime abi lygtis. Sudėjus gauname 8 lygtį y= 16, kurios šaknis yra 2.

Pakeiskime yĮ pirmąją lygtį gauname 6 x– 14 = 40. Perkelkime terminą −14 į dešinę, pakeisdami ženklą ir gausime 6 x= 54 . Iš čia x= 9.

6 pavyzdys. Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Atsikratykime trupmenų. Pirmąją lygtį padauginkite iš 36, o antrąją iš 12

Gautoje sistemoje Pirmąją lygtį galima padauginti iš –5, o antrąją – iš 8

Sudėkime lygtis gautoje sistemoje. Tada gauname paprasčiausią lygtį −13 y= –156 . Iš čia y= 12. Pakeiskime yį pirmąją lygtį ir raskite x

7 pavyzdys. Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Perkelkime abi lygtis į normalią formą. Čia patogu taikyti proporcingumo taisyklę abiejose lygtyse. Jei pirmoje lygtyje dešinė pusė pavaizduota kaip , o antrosios lygties dešinė pusė kaip , tada sistema įgis tokią formą:

Mes turime proporciją. Padauginkime jo kraštutinius ir vidurinius terminus. Tada sistema įgis tokią formą:

Padauginkime pirmąją lygtį iš −3, o antroje atidarykite skliaustus:

Dabar pridėkime abi lygtis. Sudėjus šias lygtis, gauname lygybę su nuliu iš abiejų pusių:

Pasirodo, sistema turi begalę sprendimų.

Bet mes negalime tiesiog paimti savavališkų vertybių iš dangaus x Ir y. Mes galime nurodyti vieną iš reikšmių, o kita bus nustatyta priklausomai nuo mūsų nurodytos reikšmės. Pavyzdžiui, tegul x= 2. Pakeiskime šią reikšmę sistemoje:

Išsprendus vieną iš lygčių, reikšmė for y, kuris tenkins abi lygtis:

Gauta reikšmių pora (2; -2) patenkins sistemą:

Suraskime kitą vertybių porą. Leiskite x= 4. Pakeiskime šią reikšmę sistemoje:

Galite pasakyti iš akies, kad vertė y lygus nuliui. Tada gauname reikšmių porą (4; 0), kuri atitinka mūsų sistemą:

8 pavyzdys. Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Pirmąją lygtį padauginkite iš 6, o antrąją iš 12

Perrašykime tai, kas liko:

Padauginkime pirmąją lygtį iš −1. Tada sistema įgis tokią formą:

Dabar pridėkime abi lygtis. Sudėjus susidaro 6 lygtis b= 48, kurio šaknis yra 8. Pakaitalas bį pirmąją lygtį ir raskite a

Tiesinių lygčių sistema su trimis kintamaisiais

Linijinė lygtis su trimis kintamaisiais apima tris kintamuosius su koeficientais, taip pat pertraukos terminą. Kanonine forma jis gali būti parašytas taip:

ax + by + cz = d

Ši lygtis turi daugybę sprendimų. Suteikus dviem kintamiesiems skirtingas reikšmes, galima rasti trečią reikšmę. Sprendimas šiuo atveju yra trigubas reikšmes ( x; y; z), kuri lygtį paverčia tapatybe.

Jei kintamieji x, y, z yra tarpusavyje sujungtos trimis lygtimis, tada susidaro trijų tiesinių lygčių su trimis kintamaisiais sistema. Norėdami išspręsti tokią sistemą, galite naudoti tuos pačius metodus, kurie taikomi tiesinėms lygtims su dviem kintamaisiais: pakeitimo metodu ir pridėjimo metodu.

1 pavyzdys. Pakeitimo metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Išreikškime trečiąja lygtimi x. Tada sistema įgis tokią formą:

Dabar atlikime pakeitimą. Kintamasis x yra lygus išraiškai 3 − 2y − 2z . Pakeiskime šią išraišką į pirmąją ir antrąją lygtis:

Atidarykime skliaustus abiejose lygtyse ir pateiksime panašius terminus:

Priėjome tiesinių lygčių sistemą su dviem kintamaisiais. Šiuo atveju patogu naudoti papildymo metodą. Dėl to kintamasis y išnyks ir galėsime rasti kintamojo reikšmę z

Dabar suraskime vertę y. Norėdami tai padaryti, patogu naudoti lygtį − y+ z= 4. Pakeiskite reikšmę z

Dabar suraskime vertę x. Norėdami tai padaryti, patogu naudoti lygtį x= 3 − 2y − 2z . Pakeiskime į jį reikšmes y Ir z

Taigi, reikšmių trigubas (3; -2; 2) yra mūsų sistemos sprendimas. Patikrindami įsitikiname, kad šios reikšmės atitinka sistemą:

2 pavyzdys. Išspręskite sistemą naudodami papildymo metodą

Sudėkime pirmąją lygtį su antrąja, padaugintą iš −2.

Jei antroji lygtis padauginama iš –2, ji įgauna formą −6x+ 6y − 4z = −4 . Dabar pridėkime jį prie pirmosios lygties:

Matome, kad elementariųjų transformacijų rezultate buvo nustatyta kintamojo reikšmė x. Jis lygus vienam.

Grįžkime prie pagrindinės sistemos. Sudėkime antrą lygtį su trečiąja, padauginta iš −1. Jei trečioji lygtis padauginama iš −1, ji įgauna formą −4x + 5y − 2z = −1 . Dabar pridėkime jį prie antrosios lygties:

Gavome lygtį x− 2y= -1 . Į jį pakeiskime vertę x kurį radome anksčiau. Tada galime nustatyti vertę y

Dabar mes žinome reikšmes x Ir y. Tai leidžia nustatyti vertę z. Naudokime vieną iš lygčių, įtrauktų į sistemą:

Taigi, reikšmių trigubas (1; 1; 1) yra mūsų sistemos sprendimas. Patikrindami įsitikiname, kad šios reikšmės atitinka sistemą:

Tiesinių lygčių sistemų sudarymo uždaviniai

Lygčių sistemų sudarymo uždavinys sprendžiamas įvedant kelis kintamuosius. Toliau lygtys sudaromos remiantis uždavinio sąlygomis. Iš sudarytų lygčių jie sudaro sistemą ir ją išsprendžia. Išsprendus sistemą, reikia patikrinti, ar jos sprendimas atitinka problemos sąlygas.

1 problema. Iš miesto į kolūkį išvažiavo automobilis „Volga“. Ji grįžo atgal kitu keliu, kuris buvo 5 km trumpesnis nei pirmasis. Iš viso automobilis į abi puses nukeliavo 35 km. Kiek kilometrų yra kiekvieno kelio ilgis?

Sprendimas

Leiskite x- pirmojo kelio ilgis, y- antrojo ilgis. Jei automobilis nuvažiavo 35 km pirmyn ir atgal, tada pirmąją lygtį galima parašyti kaip x+ y= 35. Ši lygtis apibūdina abiejų kelių ilgių sumą.

Teigiama, kad automobilis grįžo 5 km trumpesniu keliu nei pirmasis. Tada antrą lygtį galima parašyti kaip x− y= 5. Ši lygtis rodo, kad skirtumas tarp kelių ilgių yra 5 km.

Arba antroji lygtis gali būti parašyta kaip x= y+ 5. Mes naudosime šią lygtį.

Kadangi kintamieji x Ir y abiejose lygtyse žymi tą patį skaičių, tada iš jų galime sudaryti sistemą:

Išspręskime šią sistemą naudodami kai kuriuos anksčiau tyrinėtus metodus. Šiuo atveju patogu naudoti pakeitimo metodą, nes antroje lygtyje kintamasis x jau išreikštas.

Pakeiskite antrąją lygtį pirmąja ir raskite y

Pakeiskime rastą vertę y antroje lygtyje x= y+ 5 ir rasime x

Pirmojo kelio ilgis buvo nurodytas per kintamąjį x. Dabar mes atradome jo prasmę. Kintamasis x yra lygus 20. Tai reiškia, kad pirmojo kelio ilgis yra 20 km.

O antrojo kelio ilgį nurodė y. Šio kintamojo reikšmė yra 15. Tai reiškia, kad antrojo kelio ilgis yra 15 km.

Patikrinkim. Pirmiausia įsitikinkime, kad sistema išspręsta teisingai:

Dabar patikrinkime, ar sprendimas (20; 15) atitinka problemos sąlygas.

Teigiama, kad automobilis į abi puses iš viso nuvažiavo 35 km. Sudedame abiejų kelių ilgius ir įsitikiname, kad sprendimas (20; 15) tenkina šią sąlygą: 20 km + 15 km = 35 km

Ši sąlyga: automobilis grįžo atgal kitu keliu, kuris buvo 5 km trumpesnis nei pirmasis . Matome, kad sprendimas (20; 15) taip pat tenkina šią sąlygą, nes 15 km yra trumpesnis nei 20 km 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Sudarant sistemą svarbu, kad kintamieji reikštų tuos pačius skaičius visose į šią sistemą įtrauktose lygtyse.

Taigi mūsų sistemoje yra dvi lygtys. Šios lygtys savo ruožtu turi kintamuosius x Ir y, kurie reiškia tuos pačius skaičius abiejose lygtyse, ty 20 km ir 15 km kelio ilgius.

2 problema. Ant platformos buvo pakrauti ąžuoliniai ir pušiniai pabėgiai, iš viso 300 pabėgių. Yra žinoma, kad visi ąžuoliniai pabėgiai svėrė 1 tona mažiau nei visi pušiniai pabėgiai. Nustatykite, kiek ąžuolinių ir pušinių pabėgių buvo atskirai, jei kiekvienas ąžuolinis pabėgis svėrė 46 kg, o kiekvienas pušies pabėgis 28 kg.

Sprendimas

Leiskite xąžuolas ir y ant platformos buvo pakrauti pušiniai pabėgiai. Jei iš viso buvo 300 miegamųjų, tada pirmąją lygtį galima parašyti kaip x+y = 300 .

Visi ąžuoliniai pabėgiai svėrė 46 x kg, o pušinės svėrė 28 y kg. Kadangi ąžuoliniai pabėgiai svėrė 1 tona mažiau nei pušiniai pabėgiai, antrą lygtį galima parašyti kaip 28y − 46x= 1000 . Ši lygtis rodo, kad ąžuolinių ir pušinių pabėgių masės skirtumas yra 1000 kg.

Tonos buvo perskaičiuotos į kilogramus, nes ąžuolinių ir pušinių pabėgių masė buvo matuojama kilogramais.

Dėl to gauname dvi lygtis, kurios sudaro sistemą

Išspręskime šią sistemą. Išreikškime pirmąja lygtimi x. Tada sistema įgis tokią formą:

Pirmąją lygtį pakeiskite antrąja ir raskite y

Pakeiskime yį lygtį x= 300 − y ir sužinok, kas tai yra x

Tai reiškia, kad ant platformos buvo pakrauta 100 ąžuolinių ir 200 pušinių pabėgių.

Patikrinkime, ar sprendimas (100; 200) atitinka uždavinio sąlygas. Pirmiausia įsitikinkime, kad sistema išspręsta teisingai:

Teigiama, kad iš viso buvo 300 miegamųjų. Sumuojame ąžuolinių ir pušinių pabėgių skaičių ir įsitikiname, kad tirpalas (100; 200) tenkina šią sąlygą: 100 + 200 = 300.

Ši sąlyga: visi ąžuoliniai pabėgiai svėrė 1 tona mažiau nei visi pušiniai pabėgiai . Matome, kad sprendimas (100; 200) taip pat tenkina šią sąlygą, nes ąžuoliniai pabėgiai 46 × 100 kg yra lengvesni nei 28 × 200 kg pušiniai pabėgiai: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

3 problema. Mes paėmėme tris vario ir nikelio lydinio gabalus santykiu 2: 1, 3: 1 ir 5: 1 pagal svorį. Iš jų buvo išlydytas 12 kg sveriantis gabalas, kurio vario ir nikelio santykis buvo 4:1. Raskite kiekvieno pradinio gabalo masę, jei pirmojo masė yra dvigubai didesnė už antrojo.

Instrukcijos

Pakeitimo arba nuoseklaus pašalinimo metodas naudojamas sistemoje, kurioje yra nedaug nežinomųjų. Tai paprasčiausias sprendimo būdas paprastiems. Pirma, iš pirmosios lygties mes išreiškiame vieną nežinomą pagal kitus ir pakeičiame šią išraišką į antrąją lygtį. Antrąjį nežinomąjį išreiškiame iš transformuotos antrosios lygties, gautą pakeičiame trečiąja lygtimi ir pan. kol apskaičiuosime paskutinį nežinomąjį. Tada pakeičiame jo reikšmę į ankstesnę lygtį ir išsiaiškiname priešpaskutinį nežinomąjį ir pan. Apsvarstykite su nežinomaisiais.x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Išreikškime x iš pirmosios lygties: x = 3 - y. Pakeiskime antrąją lygtį: 2(3 - y) - y - 3 = 0
6 - 2y - y - 3 = 0
3–3 m = 0
y = 1
Pakeiskite pirmąją lygtį sistemos(arba x išraiškoje, kuri yra tas pats): x + 1 - 3 = 0. Gauname, kad x = 2.

Termininės atimties (arba sudėjimo) metodas Šis metodas dažnai sumažina sprendinius sistemos ir supaprastinti skaičiavimus. Tai susideda iš nežinomųjų analizavimo tokiu būdu, kad būtų pridėtos (arba atimtos) lygtys sistemos kad iš lygties būtų pašalinti kai kurie nežinomieji. Pažiūrėkime į pavyzdį, paimkime tą pačią sistemą kaip ir pirmajame metode.
x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Nesunku pastebėti, kad y koeficientai yra identiški dydžiu, bet su ženklu, taigi, jei sudėsime dvi lygtis po terminą, tada y galėsime eliminuoti. Atlikime sudėjimą: x + 2x + y - y - 3 - 3 = 0 arba 3x - 6 = 0. Taigi, x = 2. Pakeitę šią reikšmę į bet kurią lygtį, randame y.
Priešingai, galite neįtraukti x. Koeficientai x turi tą patį ženklą, todėl vieną lygtį atimsime iš kitos. Tačiau pirmoje lygtyje x koeficientas yra 1, o antroje - 2, todėl x tiesiog neįmanoma pašalinti. Pirmąją lygtį padauginę iš 2, gauname tokią sistemą:
2x + 2y - 6 = 0
2x - y - 3 = 0
Dabar atimkime antrąjį iš pirmojo lygties nario pagal terminą: 2x - 2x + 2y - (-y) - 6 - (-3) = 0 arba, atvedus panašius, 3y - 3 = 0. Taigi y = 1. bet kurioje lygtyje randame x.

Video tema

2 patarimas: kaip įrodyti tiesinių lygčių sistemos suderinamumą

Vienas iš aukštosios matematikos uždavinių – įrodyti tiesinių lygčių sistemos suderinamumą. Įrodymas turi būti atliktas naudojant Kronker-Capelli teoremą, pagal kurią sistema yra nuosekli, jei jos pagrindinės matricos rangas yra lygus išplėstinės matricos rangui.

Instrukcijos

Užrašykite pagrindinę sistemos matricą. Norėdami tai padaryti, sudėkite lygtis standartine forma (ty sudėkite visus koeficientus ta pačia tvarka, jei kurio nors iš jų trūksta, užrašykite jas tiesiog skaitiniu koeficientu „0“). Išrašykite visus koeficientus lentelės pavidalu, įrašykite skliausteliuose (neatsižvelgiate į laisvus terminus, perkeltus į dešinę).

Lygiai taip pat užrašykite išplėstinę sistemos matricą, tik tokiu atveju dešinėje uždėkite vertikalią juostą ir užrašykite laisvų terminų stulpelį.

Apskaičiuokite pagrindinės matricos rangą, tai yra didžiausias ne nulis minoras. Pirmosios eilės minoras yra bet koks matricos skaitmuo, akivaizdu, kad jis nėra lygus nuliui. Norėdami apskaičiuoti antros eilės nepilnametį, paimkite bet kurias dvi eilutes ir du stulpelius (gausite keturis skaitmenis). Apskaičiuokite determinantą, padauginkite viršutinį kairįjį skaičių iš apatinio dešiniojo, iš gauto skaičiaus atimkite apatinio kairiojo ir viršutinio dešiniojo skaičiaus sandaugą. Turite antros eilės nepilnametį.

Sunkiau apskaičiuoti trečiosios eilės nepilnametį. Norėdami tai padaryti, paimkite bet kokias tris eilutes ir tris stulpelius, gausite devynių skaičių lentelę. Apskaičiuokite determinantą pagal formulę: ∆=a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13-a31a22a13-a12a21a33-a11a23a32 (pirmasis koeficiento skaitmuo yra eilutės numeris, antrasis skaitmuo yra stulpelio numeris). Turite trečios eilės nepilnametį.

Panašiai raskite padidintos matricos rangą. Atkreipkite dėmesį, kad jei lygčių skaičius jūsų sistemoje sutampa su rangu (pavyzdžiui, trys lygtys, o rangas yra 3), nėra prasmės skaičiuoti išplėstinės matricos rangą - jis akivaizdžiai bus lygus šiam skaičiui. . Šiuo atveju galime drąsiai daryti išvadą, kad tiesinių lygčių sistema yra nuosekli.

Video tema

Užduotas klausimas visiškai apima pagrindinį viso kurso „Tiesinė algebra“ tikslą. Todėl atsakymas gali būti pateiktas tik trumpai, be detalių skaičiavimų ir paaiškinimų. Apskritai tiesinės lygtys yra įdomios, nes jas galima išspręsti naudojant grynai algoritminius metodus.

Instrukcijos

M tiesinių algebrinių lygčių sistema su n nežinomųjų turi formą (žr. 1 pav.).
Jame aij – sistemos koeficientai, xj – nežinomieji, bi – laisvieji nariai (i=1, 2, ... , t; j=1, 2, ... , n). Tokia sistema turi praktinę reikšmę tuo atveju, kai jos lygčių skaičius neviršija nežinomųjų skaičiaus, tai yra, kai m≤n. Esmė ta, kad kitu atveju „papildomos“ lygtys turi būti tiesinis likusiųjų derinys. Tai yra tai, kad jie juos tiesiog kartoja. Jei ne, sprendimas neegzistuoja (sistema nesuderinama).

Tokią sistemą galima kompaktiškai parašyti matricine forma AX=B. Čia A yra sistemos koeficientai, X yra nežinomųjų matrica-stulpelis, B yra laisvųjų terminų matrica-stulpelis (žr. 2 pav.). Jei m=n, t.y. yra nežinomųjų skaičius ir lygčių skaičius yra toks pat, tada matrica A yra kvadratinė. Todėl jai apibrėžiama matricos determinanto sąvoka ∆=|A|. |A|≠0 yra atvirkštinė matrica A⁻¹. Jis pagrįstas lygybe AA⁻¹= A⁻¹A=E (E yra tapatybės matrica). Skaičiavimo formulė taip pat pateikta 2 paveiksle. Reikia tik pridurti, kad elementai Aij Ã, vadinami A matricos elementų aij algebriniais papildiniais, apskaičiuojami taip. Paimkite determinantą |A| ir perbraukite eilutę bei stulpelį, kuriame yra elementas aij. Likusius koeficientus parašykite kaip determinantą, kurį padauginkite iš (-1), jei i+j nelyginis. Atitinkamas skaičius yra Aij. Algebriniai priedai rašomi išilgai adjungtinės matricos stulpelių.

Raskite sistemos sprendimą matricos metodu. Norėdami tai padaryti, padauginkite abi sistemos AX=B puses iš A⁻¹ kairėje. Gaukite (A⁻¹A)X=A-¹B, EX=A-¹B arba X=A-¹B. Visos detalės pavaizduotos fig. 3. Tas pats paveikslas rodo

Sprendimas. A= . Raskime r(A). Nes matrica Ir turi tvarką 3x4, tada aukščiausia nepilnamečių eilė yra 3. Be to, visi trečios eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui (patikrinkite patys). Reiškia, r(A)< 3. Возьмем главный pagrindinis nepilnametis = -5-4 = -9 ≠ 0. Todėl r(A) =2.

Pasvarstykime matrica SU = .

Mažoji trečioji tvarka ≠ 0. Taigi r(C) = 3.

Kadangi r(A) ≠ r(C), tada sistema yra nenuosekli.

2 pavyzdys. Nustatykite lygčių sistemos suderinamumą

Išspręskite šią sistemą, jei ji nuosekli.

Sprendimas.

A = , C = . Akivaizdu, kad r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Kadangi detC = 0, tai r(C)< 4. Pasvarstykime nepilnametis trečia tvarka, esantis viršutiniame kairiajame matricos A ir C kampe: = -23 ≠ 0. Taigi r(A) = r(C) = 3.

Skaičius nežinomas sistemoje n=3. Tai reiškia, kad sistema turi unikalų sprendimą. Šiuo atveju ketvirtoji lygtis reiškia pirmųjų trijų sumą ir gali būti nepaisoma.

Pagal Cramerio formules gauname x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Matricos metodas. Gauso metodas

sistema n tiesines lygtis Su n nežinomus dalykus galima išspręsti matricos metodas pagal formulę X = A -1 B (esant Δ ≠ 0), kuris gaunamas iš (2) padauginus abi dalis iš A -1.

1 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

matricos metodas (2.2 skyriuje ši sistema buvo išspręsta naudojant Cramerio formules)

Sprendimas. Δ = 10 ≠ 0 A = - neišsigimusi matrica.

= (patikrinkite tai patys atlikdami reikiamus skaičiavimus).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x= .

Atsakymas: .

Praktiniu požiūriu matricos metodas ir formulės Krameris yra susiję su daugybe skaičiavimų, todėl pirmenybė teikiama Gauso metodas, kurį sudaro nuoseklus nežinomųjų pašalinimas. Norėdami tai padaryti, lygčių sistema sumažinama iki lygiavertės sistemos su trikampe išplėstine matrica (visi elementai, esantys žemiau pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui). Šie veiksmai vadinami judėjimu į priekį. Iš gautos trikampės sistemos kintamieji randami naudojant nuoseklius pakeitimus (atvirkščiai).

2 pavyzdys. Išspręskite sistemą Gauso metodu

(Aukščiau ši sistema buvo išspręsta naudojant Cramerio formulę ir matricos metodą).

Sprendimas.

Tiesioginis judėjimas. Užrašykime išplėstinę matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas sumažinkime ją iki trikampio formos:

~ ~ ~ ~ .

Mes gauname sistema

Atvirkštinis judėjimas. Iš paskutinės lygties randame X 3 = -6 ir pakeiskite šią reikšmę į antrąją lygtį:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Atsakymas: .

2.5. Bendrasis tiesinių lygčių sistemos sprendimas

Pateikiame tiesinių lygčių sistemą = b i(i=). Tegu r(A) = r(C) = r, t.y. sistema yra bendradarbiaujanti. Bet koks r eilės nepilnametis, išskyrus nulį, yra pagrindinis nepilnametis. Neprarasdami bendrumo darysime prielaidą, kad bazinis minoras yra pirmosiose r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) matricos A eilutėse ir stulpeliuose. Atmetę paskutines sistemos m-r lygtis, rašome a. sutrumpinta sistema:

kuri yra lygiavertė originaliam. Įvardinkime nežinomuosius x 1,….x r pagrindinis ir x r +1 ,…, x r laisvą ir perkelkite terminus, kuriuose yra laisvųjų nežinomųjų, į dešinę sutrumpintos sistemos lygčių pusę. Mes gauname sistemą pagrindinių nežinomųjų atžvilgiu:

kuri kiekvienam laisvųjų nežinomųjų verčių rinkiniui x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-r turi tik vieną sprendimą x 1 (C 1 ,…, C n-r),…, x r (C 1 ,…, C n-r), rado Kramerio taisyklė.

Atitinkamas sprendimas sutrumpinta, todėl pradinė sistema turi tokią formą:

X(C1,…, Cn-r) = - bendras sistemos sprendimas.

Jei bendrame sprendime laisviesiems nežinomiesiems priskiriame tam tikras skaitines reikšmes, gauname tiesinės sistemos sprendimą, vadinamą daliniu sprendimu.

Pavyzdys.

Sprendimas Nustatykite suderinamumą ir raskite bendrą sistemos sprendimą . A = .

, C = Taigi Kaip r(A)< 4).

= r(C) = 2 (pažiūrėkite tai patys), tada pradinė sistema yra nuosekli ir turi begalinį sprendinių skaičių (nes r

§1. Tiesinių lygčių sistemos.

Žiūrėti sistemą vadinama sistema m n tiesines lygtis su

nežinomas.
Čia - nežinomas,
- nežinomųjų koeficientai,

- laisvos lygčių sąlygos. Jei visi laisvieji lygčių nariai yra lygūs nuliui, sistema vadinama.vienalytis Sprendimu
, pakeičiant jas į sistemą vietoj nežinomųjų, visos lygtys virsta tapatybėmis. Sistema vadinama jungtis, jei jame yra bent vienas sprendimas. Suderinama sistema, turinti unikalų sprendimą, vadinama tam tikras. Abi sistemos vadinamos lygiavertis, jei jų sprendinių aibės sutampa.

Sistema (1) gali būti pavaizduota matricos forma naudojant lygtį

(2)

.

§2. Tiesinių lygčių sistemų suderinamumas.

Išplėstinę sistemos (1) matricą vadinkime matrica

Kronecker-Capelli teorema. Sistema (1) yra nuosekli tada ir tik tada, kai sistemos matricos rangas yra lygus išplėstinės matricos rangui:

.

§3. Sisteminis sprendimasn tiesines lygtis sun nežinomas.

Apsvarstykite nehomogenišką sistemą n m n nežinomas:

(3)

Cramerio teorema.Jei pagrindinis sistemos determinantas (3)
, tada sistema turi unikalų sprendimą, kurį nustato formulės:

tie.
,

Kur - determinantas, gautas iš determinanto pakeitimas stulpelį į laisvųjų narių stulpelį.

Jeigu
, ir bent vienas iš ≠0, tada sistema neturi sprendimų.

Jeigu
, tada sistema turi be galo daug sprendimų.

Sistema (3) gali būti išspręsta naudojant jos matricos formą (2). Jei matricos rangas A lygus n, t.y.
, tada matrica A turi atvirkštinį
. Matricos lygties dauginimas
į matricą
kairėje gauname:

.

Paskutinė lygybė išreiškia tiesinių lygčių sistemų sprendimo metodą naudojant atvirkštinę matricą.

Pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą naudodami atvirkštinę matricą.

Sprendimas. Matrica
neišsigimęs, nes
, o tai reiškia, kad yra atvirkštinė matrica. Apskaičiuokime atvirkštinę matricą:
.

,

Pratimai. Išspręskite sistemą Cramerio metodu.

§4. Savavališkų tiesinių lygčių sistemų sprendimas.

Tegu pateikta (1) formos nehomogeninė tiesinių lygčių sistema.

Tarkime, kad sistema yra nuosekli, t.y. įvykdyta Kronecker-Capelli teoremos sąlyga:
. Jei matricos rangas
(nežinomų skaičius), tada sistema turi unikalų sprendimą. Jeigu
, tada sistema turi be galo daug sprendimų. Leisk man paaiškinti.

Tegul matricos rangas r(A)= r< n. Nes
, tada yra keletas ne nulio minorinių eilės r. Pavadinkime tai pagrindine minorine. Nežinomieji, kurių koeficientai sudaro pagrindinį mažąjį, bus vadinami pagrindiniais kintamaisiais. Likusius nežinomuosius vadiname laisvais kintamaisiais. Pertvarkykime lygtis ir pernumeruokime kintamuosius taip, kad ši mažoji būtų viršutiniame kairiajame sistemos matricos kampe:

.

Pirma r linijos yra tiesiškai nepriklausomos, likusios išreiškiamos per jas. Todėl šias eilutes (lygtis) galima atmesti. Mes gauname:

Suteikime laisviesiems kintamiesiems savavališkas skaitines reikšmes: . Kairėje pusėje palikime tik pagrindinius kintamuosius, o laisvuosius perkelkime į dešinę.

Gavau sistemą r m r nežinomas, kurio determinantas skiriasi nuo 0. Jis turi unikalų sprendimą.

Ši sistema vadinama bendruoju tiesinių lygčių sistemos (1) sprendimu. Kitu atveju: vadinama pagrindinių kintamųjų išraiška per laisvuosius bendras sprendimas sistemos. Iš jo galite gauti begalinį skaičių privatūs sprendimai, suteikiant laisviesiems kintamiesiems savavališkas reikšmes. Vadinamas konkretus sprendimas, gautas iš bendro sprendimo su nulinėmis laisvųjų kintamųjų reikšmėmis pagrindinis sprendimas. Įvairių pagrindinių sprendimų skaičius neviršija
. Vadinamas pagrindinis sprendimas su neneigiamais komponentais remiant sisteminis sprendimas.

Pavyzdys.

,r=2.

Kintamieji
- pagrindinis,
- nemokamai.

Sudėkime lygtis; išreikškime
per
:

- bendras sprendimas.

- privatus sprendimas
.

- pagrindinis sprendimas, nuoroda.

§5. Gauso metodas.

Gauso metodas yra universalus būdas tirti ir spręsti savavališkas tiesinių lygčių sistemas. Jį sudaro sistemos redukavimas į įstrižainę (arba trikampę), nuosekliai pašalinant nežinomus elementus, naudojant elementarias transformacijas, kurios nepažeidžia sistemų lygiavertiškumo. Kintamasis laikomas neįtrauktu, jei jis yra tik vienoje sistemos lygtyje, kurios koeficientas yra 1.

Elementarios transformacijos sistemos yra:

Lygties padauginimas iš kito skaičiaus nei nulis;

Lygties, padaugintos iš bet kurio skaičiaus, sudėjimas su kita lygtimi;

Lygčių pertvarkymas;

Atmetus lygtį 0 = 0.

Elementariosios transformacijos gali būti atliekamos ne lygtyse, o gautų ekvivalentinių sistemų išplėstinėse matricose.

Pavyzdys.

Sprendimas. Užrašykime išplėstinę sistemos matricą:

.

Atlikdami elementarias transformacijas, kairiąją matricos pusę sumažinsime iki vieneto formos: pagrindinėje įstrižainėje kursime vienetus, o už jos ribų – nulius.

komentuoti. Jeigu, atliekant elementariąsias transformacijas, gaunama 0 formos lygtis = k(Kur Į0), tada sistema nenuosekli.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodu gali būti parašytas forma lenteles.

Kairiajame lentelės stulpelyje pateikiama informacija apie neįtrauktus (pagrindinius) kintamuosius. Likusiuose stulpeliuose pateikiami nežinomųjų koeficientai ir laisvieji lygčių nariai.

Išplėstinė sistemos matrica įrašoma šaltinio lentelėje. Toliau pradedame atlikti Jordano transformacijas:

1. Pasirinkite kintamąjį , kuris taps pagrindu. Atitinkamas stulpelis vadinamas raktų stulpeliu. Pasirinkite lygtį, kurioje šis kintamasis išliks, neįtrauktas į kitas lygtis. Atitinkama lentelės eilutė vadinama raktų eilute. Koeficientas , stovintis raktų eilutės ir raktų stulpelio sankirtoje, vadinamas raktu.

2. Raktų eilutės elementai skirstomi į raktinį elementą.

3. Rakto stulpelis užpildytas nuliais.

4. Likę elementai apskaičiuojami naudojant stačiakampio taisyklę. Sudarykite stačiakampį, kurio priešingose ​​viršūnėse yra pagrindinis elementas ir perskaičiuotas elementas; iš elementų, esančių stačiakampio įstrižainėje su raktiniu elementu, sandaugos atimama kitos įstrižainės elementų sandauga, o gautas skirtumas dalijamas iš pagrindinio elemento.

Pavyzdys. Raskite lygčių sistemos bendrąjį ir pagrindinį sprendinį:

Sprendimas.

Bendras sistemos sprendimas:

Pagrindinis sprendimas:
.

Vienkartinė pakeitimo transformacija leidžia pereiti iš vieno sistemos pagrindo į kitą: vietoj vieno iš pagrindinių kintamųjų į bazę įvedamas vienas iš laisvųjų kintamųjų. Norėdami tai padaryti, laisvo kintamojo stulpelyje pasirinkite pagrindinį elementą ir atlikite transformacijas pagal aukščiau pateiktą algoritmą.

§6. Pamatinių sprendimų paieška

Tiesinių lygčių sistemos pamatinis sprendimas yra pagrindinis sprendimas, kuriame nėra neigiamų komponentų.

Sistemos pamatiniai sprendiniai randami Gauso metodu, kai tenkinamos šios sąlygos.

1. Pradinėje sistemoje visos nemokamos sąlygos turi būti neneigiamos:
.

2. Pagrindinis elementas parenkamas iš teigiamų koeficientų.

3. Jei į bazę įvestas kintamasis turi kelis teigiamus koeficientus, tai pagrindinė eilutė yra ta, kurioje laisvojo nario ir teigiamo koeficiento santykis yra mažiausias.

1 pastaba. Jei pašalinant nežinomuosius atsiranda lygtis, kurioje visi koeficientai yra neteigiami ir laisvasis narys
, tada sistema neturi neneigiamų sprendimų.

2 pastaba. Jei laisvųjų kintamųjų koeficientų stulpeliuose nėra nė vieno teigiamo elemento, perėjimas prie kito pamatinio sprendimo neįmanomas.

Pavyzdys.

Tačiau praktikoje plačiai paplitę dar du atvejai:

– Sistema nenuosekli (nėra sprendimų);
– Sistema yra nuosekli ir turi be galo daug sprendimų.

Pastaba : Terminas „nuoseklumas“ reiškia, kad sistema turi bent tam tikrą sprendimą. Kai kyla problemų, pirmiausia reikia ištirti sistemos suderinamumą, kaip tai padaryti, žr matricų rangas.

Šioms sistemoms naudojamas universaliausias iš visų sprendimo būdų - Gauso metodas. Tiesą sakant, „mokyklos“ metodas taip pat lems atsakymą, tačiau aukštojoje matematikoje įprasta naudoti Gauso metodą nuosekliam nežinomųjų pašalinimui. Tie, kurie nėra susipažinę su Gauso metodo algoritmu, pirmiausia išstudijuokite pamoką Gauso metodas manekenams.

Pačios elementariosios matricos transformacijos yra lygiai tokios pačios, skirtumas bus sprendimo pabaigoje. Pirmiausia pažvelkime į keletą pavyzdžių, kai sistema neturi sprendimų (nenuoseklu).

1 pavyzdys

Kas iš karto patraukia jūsų dėmesį šioje sistemoje? Lygčių skaičius yra mažesnis už kintamųjų skaičių. Jei lygčių skaičius yra mažesnis už kintamųjų skaičių, tada galime iš karto pasakyti, kad sistema yra arba nenuosekli, arba turi be galo daug sprendimų. Ir belieka išsiaiškinti.

Sprendimo pradžia yra visiškai įprasta - užrašome išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementarias transformacijas, pateikiame ją laipsniškai:

(1) Viršutiniame kairiajame žingsnyje turime gauti +1 arba –1. Pirmajame stulpelyje tokių skaičių nėra, todėl eilučių pertvarkymas nieko neduos. Padalinys turės susitvarkyti pats, o tai galima padaryti keliais būdais. Aš padariau taip: prie pirmosios eilutės pridedame trečią eilutę, padaugintą iš -1.

(2) Dabar pirmajame stulpelyje gauname du nulius. Į antrą eilutę pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš 3. Prie trečios eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš 5.

(3) Užbaigus transformaciją, visada patartina pažiūrėti, ar įmanoma supaprastinti gautas eilutes? Gali. Antrą eilutę padalijame iš 2, tuo pačiu antrame žingsnyje gauname reikiamą –1. Trečią eilutę padalinkite iš –3.

(4) Pridėkite antrą eilutę prie trečios eilutės.

Tikriausiai visi pastebėjo blogą liniją, atsiradusią dėl elementarių transformacijų: . Aišku, kad taip negali būti. Iš tiesų, perrašykime gautą matricą Grįžkime prie tiesinių lygčių sistemos:

Jei elementariųjų transformacijų rezultate gaunama formos eilutė, kurioje yra kitas skaičius nei nulis, tai sistema yra nenuosekli (neturi sprendinių).

Kaip užrašyti užduoties pabaigą? Nupieškime balta kreida: „dėl elementarių transformacijų gaunama formos eilutė, kur “ ir atsakykime: sistema neturi sprendinių (nenuosekli).

Jei pagal sąlygą reikia TYRINTI sistemos suderinamumą, tada sprendimą reikia formalizuoti solidesniu stiliumi naudojant koncepciją matricos rangas ir Kronecker-Capelli teorema.

Atkreipkite dėmesį, kad čia nėra jokio Gauso algoritmo atšaukimo – sprendimų nėra ir tiesiog nėra ko rasti.

2 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Dar kartą primenu, kad jūsų sprendimas gali skirtis nuo mano sprendimo, Gauso algoritmas neturi stipraus „stangrumo“.

Dar viena techninė sprendimo savybė: elementarias transformacijas galima sustabdyti nedelsiant, kai tik tokia eilutė kaip , kur . Panagrinėkime sąlyginį pavyzdį: tarkime, kad po pirmosios transformacijos gaunama matrica . Matrica dar nesumažinta iki ešeloninės formos, bet nereikia papildomų elementarių transformacijų, nes atsirado formos eilutė, kur . Reikėtų nedelsiant atsakyti, kad sistema nesuderinama.

Kai tiesinių lygčių sistema neturi sprendinių, tai yra beveik dovana, nes gaunamas trumpas sprendimas, kartais tiesiogine prasme 2–3 žingsniais.

Tačiau viskas šiame pasaulyje yra subalansuota, o problema, kurioje sistema turi be galo daug sprendimų, yra tik ilgesnė.

3 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą

Yra 4 lygtys ir 4 nežinomieji, todėl sistema gali turėti vieną sprendinį arba neturėti sprendinių, arba turėti be galo daug sprendinių. Kad ir kaip ten būtų, Gauso metodas bet kokiu atveju mus atves prie atsakymo. Tai yra jo universalumas.

Pradžia vėl standartinė. Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą:

Tai viskas, ir tu bijojai.

(1) Atkreipkite dėmesį, kad visi skaičiai pirmajame stulpelyje dalijasi iš 2, todėl 2 tinka viršutiniame kairiajame žingsnyje. Prie antrosios eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš –4. Prie trečios eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš –2. Į ketvirtą eilutę pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš –1.

Dėmesio! Daugelį gali suvilioti ketvirtoji eilutė atimti pirma eilutė. Tai galima padaryti, bet tai nėra būtina, patirtis rodo, kad klaidų tikimybė skaičiavimuose padidėja kelis kartus. Tiesiog pridėkite: prie ketvirtos eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš –1 – būtent taip!

(2) Paskutinės trys eilutės yra proporcingos, dvi iš jų gali būti išbrauktos.

Čia vėl turime parodyti padidėjęs dėmesys, bet ar linijos tikrai proporcingos? Saugumo dėlei (ypač arbatinuko atveju) būtų naudinga antrąją eilutę padauginti iš –1, o ketvirtąją padalyti iš 2, taip gaudamos tris identiškas eilutes. Ir tik po to pašalinkite du iš jų.

Dėl elementariųjų transformacijų išplėstinė sistemos matrica redukuojama į laipsnišką formą:

Rašant užduotį į sąsiuvinį, aiškumo dėlei patartina tuos pačius užrašus pasidaryti pieštuku.

Perrašykime atitinkamą lygčių sistemą:

Čia nėra nė kvapo iš „įprasto“ vieno sistemos sprendimo. Blogos linijos taip pat nėra. Tai reiškia, kad tai jau trečias likęs atvejis – sistema turi be galo daug sprendimų. Kartais, atsižvelgiant į sąlygą, reikia ištirti sistemos suderinamumą (t. y. įrodyti, kad sprendimas apskritai egzistuoja), apie tai galite paskaityti paskutinėje straipsnio pastraipoje Kaip rasti matricos rangą? Bet kol kas pereikime prie pagrindų:

Begalinis sistemos sprendinių rinkinys trumpai užrašomas taip vadinama forma bendras sistemos sprendimas .

Bendrąjį sistemos sprendimą randame naudodami Gauso metodo atvirkštinį variantą.

Pirmiausia turime apibrėžti, kokius kintamuosius turime pagrindinis, ir kokie kintamieji nemokamai. Jums nereikia vargti su tiesinės algebros terminais, tiesiog atminkite, kad tokių yra pagrindiniai kintamieji Ir laisvi kintamieji.

Pagrindiniai kintamieji visada „sėdi“ griežtai ant matricos žingsnių.
Šiame pavyzdyje pagrindiniai kintamieji yra ir

Nemokami kintamieji yra viskas likę kintamieji, kurie negavo žingsnio. Mūsų atveju jų yra du: – laisvieji kintamieji.

Dabar tau reikia Visi pagrindiniai kintamieji išreikšti tik per laisvi kintamieji.

Gauso algoritmo atvirkštinė pusė tradiciškai veikia iš apačios į viršų.
Iš antrosios sistemos lygties išreiškiame pagrindinį kintamąjį:

Dabar pažvelkite į pirmąją lygtį: . Pirmiausia į jį pakeičiame rastą išraišką:

Belieka pagrindinį kintamąjį išreikšti laisvais kintamaisiais:

Galų gale gavome tai, ko mums reikėjo - Visi išreiškiami pagrindiniai kintamieji ( ir ). tik per laisvi kintamieji:

Tiesą sakant, bendras sprendimas yra paruoštas:

Kaip teisingai parašyti bendrą sprendimą?
Laisvieji kintamieji į bendrą sprendimą įrašomi „savaime“ ir griežtai savo vietose. Šiuo atveju laisvieji kintamieji turėtų būti rašomi antroje ir ketvirtoje pozicijose:
.

Gautos pagrindinių kintamųjų išraiškos ir akivaizdu, kad reikia parašyti pirmoje ir trečioje pozicijose:

Nemokamų kintamųjų suteikimas savavališkos vertės, galite rasti be galo daug privatūs sprendimai. Populiariausios reikšmės yra nuliai, nes konkretų sprendimą lengviausia gauti. Pakeiskime bendrą sprendimą:

– privatus sprendimas.

Dar viena saldi pora yra tie, pakeiskime juos į bendrą sprendimą:

– dar vienas privatus sprendimas.

Nesunku pastebėti, kad lygčių sistema turi be galo daug sprendimų(nes galime pateikti laisvus kintamuosius bet koks vertės)

Kiekvienas konkretus sprendimas turi tenkinti visiems sistemos lygtis. Tai yra „greito“ sprendimo teisingumo patikrinimo pagrindas. Paimkite, pavyzdžiui, konkretų sprendimą ir pakeiskite jį į kairę kiekvienos pradinės sistemos lygties pusę:

Viskas turi susidėti. Ir su bet kokiu konkrečiu sprendimu, kurį gausite, viskas taip pat turėtų sutapti.

Bet, griežtai kalbant, konkretaus sprendimo patikrinimas kartais apgauna, t.y. koks nors konkretus sprendimas gali patenkinti kiekvieną sistemos lygtį, bet pats bendras sprendimas iš tikrųjų randamas neteisingai.

Todėl bendro sprendimo patikrinimas yra kruopštesnis ir patikimesnis. Kaip patikrinti gautą bendrą sprendimą ?

Tai nėra sunku, bet gana nuobodu. Turime priimti išraiškas pagrindinis kintamieji, šiuo atveju ir , ir pakeiskite juos į kairę kiekvienos sistemos lygties pusę.

Pirmosios sistemos lygties kairėje:

Į kairę antrosios sistemos lygties pusę:


Gaunama dešinioji pradinės lygties pusė.

4 pavyzdys

Išspręskite sistemą Gauso metodu. Raskite bendrą sprendimą ir du konkrečius. Patikrinkite bendrą sprendimą.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Čia, beje, vėlgi lygčių skaičius yra mažesnis nei nežinomųjų, o tai reiškia, kad iš karto aišku, kad sistema bus arba nenuosekli, arba turės begalinį sprendinių skaičių. Kas svarbu pačiame sprendimo procese? Dėmesio, ir dar kartą dėmesio. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Ir dar pora pavyzdžių medžiagai sustiprinti

5 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą. Jei sistemoje yra be galo daug sprendimų, suraskite du konkrečius sprendimus ir patikrinkite bendrą sprendimą

Sprendimas: Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime į laipsnišką formą:

(1) Pridėkite pirmąją eilutę prie antrosios eilutės. Prie trečios eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš 2. Į ketvirtą eilutę pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš 3.
(2) Prie trečios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš –5. Prie ketvirtos eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš –7.
(3) Trečia ir ketvirta eilutės yra vienodos, vieną iš jų išbraukiame.

Štai toks grožis:

Pagrindiniai kintamieji sėdi ant laiptelių, todėl - pagrindiniai kintamieji.
Yra tik vienas nemokamas kintamasis, kuriam nebuvo atliktas žingsnis:

Atvirkščiai:
Išreikškime pagrindinius kintamuosius per laisvąjį kintamąjį:
Iš trečiosios lygties:

Panagrinėkime antrąją lygtį ir pakeiskime ja rastą išraišką:

Panagrinėkime pirmąją lygtį ir pakeiskime rastas išraiškas į ją:

Taip, skaičiuotuvas, skaičiuojantis paprastas trupmenas, vis dar yra patogus.

Taigi bendras sprendimas yra toks:

Dar kartą, kaip tai pasirodė? Laisvasis kintamasis yra teisėtoje ketvirtoje vietoje. Gautos pagrindinių kintamųjų išraiškos taip pat užėmė eilės vietas.

Iš karto patikrinkime bendrą sprendimą. Darbas skirtas juodaodžiams, bet aš jį jau padariau, tad gaudyk =)

Mes pakeičiame tris herojus , , į kairę kiekvienos sistemos lygties pusę:

Gaunamos atitinkamos lygčių dešinės pusės, todėl bendras sprendimas randamas teisingai.

Dabar iš rasto bendro sprendimo gauname du konkrečius sprendimus. Vienintelis nemokamas kintamasis čia yra virėjas. Nereikia sukti galvos.

Tebūnie tada – privatus sprendimas.
Tebūnie tada – dar vienas privatus sprendimas.

Atsakymas: Bendras sprendimas: , privatūs sprendimai: , .

Neturėjau prisiminti apie juodaodžius... ...nes į galvą šovė visokie sadistiniai motyvai ir prisiminiau garsųjį fotošopą, kuriame Ku Klux Klansmen baltais chalatais bėga per aikštę paskui juodaodį futbolininką. Sėdžiu ir tyliai šypsausi. Žinai kaip blaško...

Daug matematikos kenkia, tad panašus galutinis pavyzdys, kaip pačiam tai išspręsti.

6 pavyzdys

Raskite bendrą tiesinių lygčių sistemos sprendimą.

Jau patikrinau bendrą sprendimą, atsakymu galima pasitikėti. Jūsų sprendimas gali skirtis nuo mano sprendimo, svarbiausia, kad bendrieji sprendimai sutaptų.

Tikriausiai daugelis žmonių pastebėjo nemalonų momentą sprendiniuose: labai dažnai, naudojant atvirkštinį Gauso metodą, tekdavo susitvarkyti su paprastosiomis trupmenomis. Praktiškai taip yra daug rečiau. Būkite pasiruošę protiškai ir, svarbiausia, techniškai.

Apsigyvensiu ties kai kuriomis sprendimo ypatybėmis, kurių nepavyko rasti išspręstuose pavyzdžiuose.

Bendrasis sistemos sprendimas kartais gali apimti konstantą (arba konstantas), pavyzdžiui: . Čia vienas iš pagrindinių kintamųjų yra lygus pastoviam skaičiui: . Čia nėra nieko egzotiško, taip atsitinka. Akivaizdu, kad šiuo atveju bet kuriame konkrečiame sprendime pirmoje vietoje bus penki.

Retai, bet yra sistemų, kuriose lygčių skaičius yra didesnis už kintamųjų skaičių. Gauso metodas veikia pačiomis sunkiausiomis sąlygomis, naudojant standartinį algoritmą, išplėstą sistemos matricą reikia ramiai sumažinti iki laipsniškos formos. Tokia sistema gali būti nenuosekli, gali turėti be galo daug sprendimų ir, kaip bebūtų keista, gali turėti vieną sprendimą.