Patikimesnis nei grafinis metodas, aptartas ankstesnėje pastraipoje.

Pakeitimo metodas

Šį metodą naudojome 7 klasėje tiesinių lygčių sistemoms spręsti. 7 klasėje sukurtas algoritmas yra gana tinkamas bet kurių dviejų lygčių (nebūtinai tiesinių) sistemoms spręsti su dviem kintamaisiais x ir y (žinoma, kintamieji gali būti žymimi ir kitomis raidėmis, kas nesvarbu). Tiesą sakant, šį algoritmą naudojome ankstesnėje pastraipoje, kai dviženklio skaičiaus problema atvedė į matematinį modelį, kuris yra lygčių sistema. Šią lygčių sistemą išsprendėme aukščiau naudodami pakeitimo metodą (žr. 1 pavyzdį iš § 4).

Algoritmas, kaip panaudoti pakeitimo metodą sprendžiant dviejų lygčių sistemą su dviem kintamaisiais x, y.

1. Iš vienos sistemos lygties išreikškite y reikšme x.
2. Vietoj y gautą išraišką pakeiskite kita sistemos lygtimi.
3. Išspręskite gautą x lygtį.
4. Pirmajame žingsnyje gautoje išraiškoje nuo y iki x pakeiskite kiekvieną trečiajame žingsnyje rastos lygties šaknį vietoj x.
5. Atsakymą parašykite reikšmių poromis (x; y), kurios buvo rastos atitinkamai trečiame ir ketvirtame žingsnyje.

4) Pakeiskite po vieną rastą y reikšmę į formulę x = 5 - 3. Jeigu tada
5) Duotos lygčių sistemos poros (2; 1) ir sprendiniai.

Atsakymas: (2; 1);

Algebrinis sudėjimo metodas

Šis metodas, kaip ir pakeitimo metodas, jums pažįstamas iš 7 klasės algebros kurso, kur jis buvo naudojamas tiesinių lygčių sistemoms spręsti. Prisiminkime metodo esmę naudodami šį pavyzdį.

2 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

Visus pirmosios sistemos lygties narius padauginkime iš 3, o antrąją lygtį palikime nepakeistą:
Iš pirmosios lygties atimkite antrąją sistemos lygtį:

Algebriškai sudėjus dvi pirminės sistemos lygtis, buvo gauta lygtis, kuri buvo paprastesnė už pateiktos sistemos pirmąją ir antrąją lygtis. Šia paprastesne lygtimi turime teisę pakeisti bet kurią tam tikros sistemos lygtį, pavyzdžiui, antrąją. Tada pateikta lygčių sistema bus pakeista paprastesne sistema:

Šią sistemą galima išspręsti naudojant pakeitimo metodą. Iš antrosios lygties randame šią išraišką vietoj y į pirmąją sistemos lygtį

Belieka pakeisti rastas x reikšmes į formulę

Jei x = 2, tada

Taigi, mes radome du sistemos sprendimus:

Naujų kintamųjų įvedimo metodas

Su naujo kintamojo įvedimo metodu sprendžiant racionaliąsias lygtis su vienu kintamuoju susipažinote 8 klasės algebros kurse. Šio lygčių sistemų sprendimo metodo esmė yra ta pati, tačiau techniniu požiūriu yra keletas ypatybių, kurias aptarsime tolesniuose pavyzdžiuose.

3 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

Įveskime naują kintamąjį Tada pirmąją sistemos lygtį galima perrašyti paprastesne forma: Išspręskime šią lygtį kintamojo t atžvilgiu:

Abi šios reikšmės atitinka sąlygą ir todėl yra racionalios lygties su kintamuoju t šaknys. Bet tai reiškia, kur mes nustatome, kad x = 2y, arba
Taigi, naudojant naujo kintamojo įvedimo metodą, pavyko „susluoksniuoti“ pirmąją gana sudėtingos išvaizdos sistemos lygtį į dvi paprastesnes lygtis:

x = 2 y; y - 2x.

Kas toliau? Ir tada kiekviena iš dviejų gautų paprastų lygčių turi būti nagrinėjama paeiliui sistemoje su lygtimi x 2 - y 2 = 3, kurios mes dar neprisimename. Kitaip tariant, problema kyla sprendžiant dvi lygčių sistemas:

Turime rasti pirmosios, antrosios sistemos sprendimus ir į atsakymą įtraukti visas gautas verčių poras. Išspręskime pirmąją lygčių sistemą:

Pasinaudokime pakeitimo metodu, juolab kad čia jau viskas paruošta: vietoj x į antrąją sistemos lygtį pakeiskime išraišką 2y. Mes gauname

Kadangi x = 2y, atitinkamai randame x 1 = 2, x 2 = 2. Taigi gaunami du duotosios sistemos sprendiniai: (2; 1) ir (-2; -1). Išspręskime antrąją lygčių sistemą:

Vėl panaudokime pakeitimo metodą: raišką 2x vietoj y pakeiskime į antrąją sistemos lygtį. Mes gauname

Ši lygtis neturi šaknų, o tai reiškia, kad lygčių sistema neturi sprendinių. Taigi į atsakymą reikia įtraukti tik pirmosios sistemos sprendinius.

Atsakymas: (2; 1); (-2;-1).

Naujų kintamųjų įvedimo metodas sprendžiant dviejų lygčių su dviem kintamaisiais sistemas naudojamas dviem variantais. Pirmas variantas: vienas naujas kintamasis įvedamas ir naudojamas tik vienoje sistemos lygtyje. Būtent taip atsitiko 3 pavyzdyje. Antrasis variantas: abiejose sistemos lygtyse įvedami ir vienu metu naudojami du nauji kintamieji. Taip bus 4 pavyzdyje.

4 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

Pristatykime du naujus kintamuosius:

Tada atsižvelgkime į tai

Tai leis jums perrašyti pateiktą sistemą daug paprastesne forma, tačiau atsižvelgiant į naujus kintamuosius a ir b:

Kadangi a = 1, tai iš lygties a + 6 = 2 randame: 1 + 6 = 2; 6=1. Taigi, kalbant apie kintamuosius a ir b, gavome vieną sprendimą:

Grįžę prie kintamųjų x ir y, gauname lygčių sistemą

Šiai sistemai išspręsti pritaikykime algebrinio sudėjimo metodą:

Nuo tada iš lygties 2x + y = 3 randame:
Taigi, kalbant apie kintamuosius x ir y, gavome vieną sprendimą:

Užbaikime šią pastraipą trumpa, bet gana rimta teorine diskusija. Jūs jau įgijote tam tikros patirties sprendžiant įvairias lygtis: tiesinę, kvadratinę, racionaliąją, iracionaliąją. Jūs žinote, kad pagrindinė lygties sprendimo idėja yra palaipsniui pereiti nuo vienos lygties prie kitos, paprastesnės, bet lygiavertės pateiktai. Ankstesnėje pastraipoje pristatėme lygčių su dviem kintamaisiais lygiavertiškumo sąvoką. Ši sąvoka taip pat naudojama lygčių sistemoms.

Apibrėžimas.

Dvi lygčių sistemos su kintamaisiais x ir y vadinamos lygiavertėmis, jei jos turi tuos pačius sprendinius arba jei abi sistemos neturi sprendinių.

Visi trys metodai (pakeitimas, algebrinis pridėjimas ir naujų kintamųjų įvedimas), kuriuos aptarėme šiame skyriuje, yra visiškai teisingi lygiavertiškumo požiūriu. Kitaip tariant, taikydami šiuos metodus vieną lygčių sistemą pakeičiame kita, paprastesne, bet lygiaverte pradinei sistemai.

Grafinis lygčių sistemų sprendimo metodas

Mes jau išmokome spręsti lygčių sistemas tokiais įprastais ir patikimais būdais kaip keitimo metodas, algebrinis sudėjimas ir naujų kintamųjų įvedimas. Dabar prisiminkime metodą, kurį jau studijavote ankstesnėje pamokoje. Tai yra, pakartokime tai, ką žinote apie grafinio sprendimo metodą.

Lygčių sistemų grafinio sprendimo metodas apima kiekvienos konkrečios lygties, kuri yra įtraukta į tam tikrą sistemą ir yra toje pačioje koordinačių plokštumoje, grafiko sudarymą, taip pat kur reikia rasti šių taškų susikirtimo vietas. grafikus. Šiai lygčių sistemai išspręsti reikia šio taško koordinatės (x; y).

Reikėtų atsiminti, kad grafinėje lygčių sistemoje įprasta turėti arba vieną teisingą sprendinį, arba begalinį sprendinių skaičių, arba sprendinių apskritai neturi.

Dabar pažvelkime į kiekvieną iš šių sprendimų išsamiau. Taigi, lygčių sistema gali turėti unikalų sprendimą, jei linijos, kurios yra sistemos lygčių grafikai, susikerta. Jeigu šios tiesės lygiagrečios, tai tokia lygčių sistema visiškai neturi sprendinių. Jei sistemos lygčių tiesioginiai grafikai sutampa, tai tokia sistema leidžia rasti daug sprendinių.

Na, o dabar pažvelkime į dviejų lygčių su 2 nežinomaisiais sistemos sprendimo algoritmą naudojant grafinį metodą:

Pirma, pirmiausia sudarome 1-osios lygties grafiką;
Antrasis žingsnis bus grafiko, susieto su antrąja lygtimi, sudarymas;
Trečia, turime rasti grafikų susikirtimo taškus.
Ir kaip rezultatas, mes gauname kiekvieno susikirtimo taško koordinates, kurios bus lygčių sistemos sprendimas.

Pažvelkime į šį metodą išsamiau naudodami pavyzdį. Mums duota lygčių sistema, kurią reikia išspręsti:

Lygčių sprendimas

1. Pirmiausia sudarysime šios lygties grafiką: x2+y2=9.

Tačiau reikia pažymėti, kad šis lygčių grafikas bus apskritimas, kurio centras yra pradžioje, o jo spindulys bus lygus trims.

2. Kitas mūsų žingsnis bus sudaryti tokią lygtį kaip: y = x – 3.

Šiuo atveju turime nutiesti tiesę ir rasti taškus (0;−3) ir (3;0).

3. Pažiūrėkime, ką gavome. Matome, kad tiesė kerta apskritimą dviejuose jos taškuose A ir B.

Dabar mes ieškome šių taškų koordinačių. Matome, kad koordinatės (3;0) atitinka tašką A, o koordinatės (0;−3) – tašką B.

Ir ką mes gauname dėl to?

Skaičiai (3;0) ir (0;−3), gauti, kai tiesė kerta apskritimą, yra būtent abiejų sistemos lygčių sprendiniai. Ir iš to išplaukia, kad šie skaičiai taip pat yra šios lygčių sistemos sprendiniai.

Tai yra, atsakymas į šį sprendimą yra skaičiai: (3;0) ir (0;−3).

Mes jau esame susipažinę su tiesinės lygties dviejuose nežinomuose sąvoka. Lygtys gali būti vienoje užduotyje arba atskirai, arba kelios lygtys vienu metu. Tokiais atvejais lygtys sujungiamos į lygčių sistemą.

Kas yra tiesinių lygčių sistema

Lygčių sistema- tai dvi ar daugiau lygčių, kurioms būtina rasti visus bendrus jų sprendinius. Paprastai, norint parašyti lygčių sistemą, jos rašomos stulpelyje ir brėžiamas vienas bendras riestas skliaustas. Žemiau pateikiamas tiesinių lygčių sistemos įrašas.

(4x + 3m = 6
(2x + y = 4

Šis įrašas reiškia, kad pateikiama dviejų lygčių su dviem kintamaisiais sistema. Jei sistemoje būtų trys lygtys, tada kalbėtume apie trijų lygčių sistemą. Ir taip toliau bet kokiam lygčių skaičiui.

Jei visos sistemoje esančios lygtys yra tiesinės, tai sakome, kad yra pateikta tiesinių lygčių sistema. Aukščiau pateiktame pavyzdyje pateikta dviejų tiesinių lygčių sistema. Kaip minėta aukščiau, sistemoje gali būti bendrų sprendimų. Toliau kalbėsime apie terminą „bendras sprendimas“.

Kokia išeitis?

Dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos sprendimas yra skaičių pora (x,y), kad jei šiuos skaičius pakeisime sistemos lygtimis, tada kiekviena iš sistemos lygčių virsta tikra lygybe.

Pavyzdžiui, turime dviejų tiesinių lygčių sistemą. Pirmosios lygties sprendimas bus visos skaičių poros, kurios tenkina šią lygtį.

Antrosios lygties sprendimas bus skaičių poros, kurios tenkina šią lygtį. Jei yra skaičių pora, kuri tenkina ir pirmąją, ir antrąją lygtis, tada ši skaičių pora bus dviejų tiesinių lygčių sistemos sprendimas dviejuose nežinomuose.

Grafinis sprendimas

Grafiškai tiesinės lygties sprendimas yra visi tam tikros tiesės taškai plokštumoje.

Tiesinių lygčių sistemai turėsime keletą tiesių (pagal lygčių skaičių). O lygčių sistemos sprendimas bus taškas, kuriame VISOS tiesės susikerta. Jei tokio taško nėra, tada sistema neturės sprendimų. Taškas, kuriame susikerta visos tiesės, priklauso kiekvienai iš šių tiesių, todėl sprendimas vadinamas bendruoju.

Beje, sistemos lygčių grafikų braižymas ir jų bendro taško suradimas yra vienas iš lygčių sistemos sprendimo būdų. Šis metodas vadinamas grafiniu.

Kiti tiesinių lygčių sprendimo būdai

Yra ir kitų būdų, kaip išspręsti dviejų kintamųjų tiesinių lygčių sistemas. Pagrindiniai tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemų sprendimo metodai.

Instrukcijos

Papildymo būdas.
Turite parašyti du griežtai vienas po kito:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Savavališkai pasirinktoje (iš sistemos) lygtyje vietoj jau rasto „žaidimo“ įterpkite skaičių 11 ir apskaičiuokite antrąjį nežinomąjį:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Šios lygčių sistemos atsakymas yra x=116, y=11.

Grafinis metodas.
Ją sudaro praktiškai surandant taško, kuriame tiesės matematiškai užrašytos lygčių sistemoje, koordinatės. Abiejų linijų grafikai turi būti braižyti atskirai toje pačioje koordinačių sistemoje. Bendras vaizdas: – y=khx+b. Norint sukurti tiesią liniją, pakanka rasti dviejų taškų koordinates, o x pasirenkamas savavališkai.
Tegu sistema duota: 2x – y=4

Y=-3x+1.
Naudojant pirmąją nubrėžiama tiesė, patogumo dėlei ją reikia užrašyti: y=2x-4. Sugalvokite (lengvesnes) x reikšmes, pakeiskite ją į lygtį, išspręskite ir suraskite y. Gauname du taškus, išilgai kurių nutiesta tiesi linija. (žr. paveikslėlį)
x 0 1

y -4 -2
Tiesi linija sudaroma naudojant antrą lygtį: y=-3x+1.
Taip pat nubrėžkite tiesią liniją. (žr. paveikslėlį)

y 1 -5
Grafike raskite dviejų sukonstruotų tiesių susikirtimo taško koordinates (jei tiesės nesikerta, tai lygčių sistema neturi – taip).

Video tema

Naudingi patarimai

Jei tą pačią lygčių sistemą išspręsite trimis skirtingais būdais, atsakymas bus toks pat (jei sprendimas teisingas).

Šaltiniai:

• 8 klasės algebra
• internete išspręskite lygtį su dviem nežinomaisiais
• Tiesinių lygčių sistemų su dviem sprendimo pavyzdžiai

Sistema lygtys yra matematinių įrašų, kurių kiekviename yra keletas kintamųjų, rinkinys. Yra keletas būdų, kaip juos išspręsti.

Jums reikės

• -liniuote ir pieštukas;
• - skaičiuotuvas.

Instrukcijos

Panagrinėkime sistemos sprendimo seką, kurią sudaro tiesinės lygtys, turinčios formą: a1x + b1y = c1 ir a2x + b2y = c2. Kur x ir y yra nežinomi kintamieji, o b, c yra laisvieji terminai. Taikant šį metodą, kiekviena sistema parodo taškų koordinates, atitinkančias kiekvieną lygtį. Norėdami pradėti, kiekvienu atveju išreikškite vieną kintamąjį kitu. Tada nustatykite kintamąjį x į bet kokį reikšmių skaičių. Pakanka dviejų. Pakeiskite lygtį ir raskite y. Sukurkite koordinačių sistemą, pažymėkite joje gautus taškus ir per juos nubrėžkite liniją. Panašūs skaičiavimai turi būti atlikti ir kitoms sistemos dalims.

Sistema turi unikalų sprendimą, jei sudarytos tiesės susikerta ir turi vieną bendrą tašką. Tai nesuderinama, jei lygiagrečiai vienas kitam. Ir turi be galo daug sprendimų, kai linijos susilieja viena su kita.

Šis metodas laikomas labai vizualiu. Pagrindinis trūkumas yra tas, kad apskaičiuoti nežinomieji turi apytiksles reikšmes. Tikslesnius rezultatus pateikia vadinamieji algebriniai metodai.

Verta patikrinti bet kokį lygčių sistemos sprendimą. Norėdami tai padaryti, pakeiskite gautas kintamųjų vertes. Jo sprendimą taip pat galite rasti naudodamiesi keliais būdais. Jei sistemos sprendimas yra teisingas, tada visi turėtų pasirodyti vienodi.

Dažnai yra lygčių, kuriose vienas iš terminų yra nežinomas. Norėdami išspręsti lygtį, turite atsiminti ir atlikti tam tikrą veiksmų rinkinį su šiais skaičiais.

Jums reikės

• - popieriaus lapas;
• - rašiklis arba pieštukas.

Instrukcijos

Įsivaizduokite, kad prieš jus yra 8 triušiai, o jūs turite tik 5 morkas. Pagalvokite, vis tiek reikia nusipirkti daugiau morkų, kad kiekvienas triušis gautų po vieną.

Pateikime šią problemą lygties forma: 5 + x = 8. Vietoj x pakeisime skaičių 3 Iš tiesų, 5 + 3 = 8.

Kai pakeitėte skaičių x, padarėte tą patį, ką iš 8 atėmėte 5. Taigi, norėdami rasti nežinomas terminas, iš sumos atimkite žinomą terminą.

Tarkime, kad turite 20 triušių ir tik 5 morkas. Išsigalvokime. Lygtis yra lygybė, kuri galioja tik tam tikroms į ją įtrauktų raidžių reikšmėms. Raidės, kurių reikšmes reikia surasti, vadinamos . Parašykite lygtį su vienu nežinomuoju, pavadinkite ją x. Spręsdami triušio uždavinį, gauname tokią lygtį: 5 + x = 20.

Raskime skirtumą tarp 20 ir 5. Atimant skaičių, iš kurio jis atimamas, yra sumažinamas. Skaičius, kuris buvo atimtas, vadinamas , o galutinis rezultatas vadinamas skirtumu. Taigi, x = 20 – 5; x = 15. Triušiams reikia nusipirkti 15 morkų.

Patikrinkite: 5 + 15 = 20. Lygtis išspręsta teisingai. Žinoma, kalbant apie tokius paprastus, tikrinti nereikia. Tačiau kai turite lygtis su triženkliais, keturženkliais ir kt. skaičiais, būtinai turite pasitikrinti, kad būtumėte visiškai tikri dėl savo darbo rezultato.

Video tema

Naudingi patarimai

Norėdami rasti nežinomą minuendą, prie skirtumo turite pridėti potraukį.

Norėdami rasti nežinomą dalį, turite atimti skirtumą iš mažosios dalies.

4 patarimas: kaip išspręsti trijų lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą

Trijų lygčių sistema su trimis nežinomaisiais gali neturėti sprendinių, nepaisant pakankamo lygčių skaičiaus. Galite pabandyti ją išspręsti naudodami pakeitimo metodą arba Cramerio metodą. Cramerio metodas, be sistemos sprendimo, leidžia įvertinti, ar sistema yra išsprendžiama prieš surandant nežinomųjų reikšmes.

Instrukcijos

Pakeitimo metodas susideda iš nuoseklaus vieno nežinomo per du kitus ir gauto rezultato pakeitimo sistemos lygtimis. Pateikiame trijų lygčių sistemą bendra forma:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Išreikškite x iš pirmosios lygties: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - ir pakeiskite antrąja ir trečiąja lygtimis, tada išreikškite y iš antrosios lygties ir pakeiskite trečiąja. Tiesinę z išraišką gausite per sistemos lygčių koeficientus. Dabar eikite „atgal“: pakeiskite z į antrąją lygtį ir išspręskite y, tada pakeiskite z ir y į pirmąją ir išspręskite x. Procesas paprastai parodytas paveikslėlyje prieš surandant z. Tolesnis rašymas bendra forma bus pernelyg sudėtingas, pakeisdami , galite lengvai rasti visus tris nežinomus dalykus.

Cramerio metodas susideda iš sisteminės matricos konstravimo ir šios matricos determinanto apskaičiavimo bei dar trijų pagalbinių matricų. Sistemos matrica sudaryta iš nežinomų lygčių dalių koeficientų. Stulpelis, kuriame yra skaičiai dešiniosiose lygčių pusėse, stulpelis dešiniosiose pusėse. Jis nenaudojamas sistemoje, bet naudojamas sprendžiant sistemą.

Video tema

Atkreipkite dėmesį

Visos lygtys sistemoje turi pateikti papildomos informacijos, nepriklausančios nuo kitų lygčių. Priešingu atveju sistema bus nepakankamai apibrėžta ir nebus galima rasti vienareikšmiško sprendimo.

Naudingi patarimai

Išsprendę lygčių sistemą, rastąsias reikšmes pakeiskite į pradinę sistemą ir patikrinkite, ar jos tenkina visas lygtis.

Savaime lygtis su trimis nežinomas turi daug sprendinių, todėl dažniausiai jis papildomas dar dviem lygtimis arba sąlygomis. Priklausomai nuo to, kokie yra pradiniai duomenys, labai priklausys sprendimo eiga.

Jums reikės

• - trijų lygčių sistema su trimis nežinomaisiais.

Instrukcijos

Jei dvi iš trijų sistemų turi tik du iš trijų nežinomųjų, pabandykite išreikšti kai kuriuos kintamuosius kitais ir pakeisti juos į lygtis su trimis nežinomas. Jūsų tikslas šiuo atveju yra paversti jį normaliu lygtis su nepažįstamu asmeniu. Jei tai yra , tolesnis sprendimas yra gana paprastas - pakeiskite rastą reikšmę kitomis lygtimis ir suraskite visus kitus nežinomus.

Kai kurias lygčių sistemas iš vienos lygties galima atimti kita. Pažiūrėkite, ar galima padauginti vieną iš arba kintamąjį, kad du nežinomieji būtų atšaukti vienu metu. Jei yra tokia galimybė, pasinaudokite ja, greičiausiai, tolesnis sprendimas nebus sunkus. Atminkite, kad dauginant iš skaičiaus, turite dauginti ir kairę, ir dešinę pusę. Taip pat, atimdami lygtis, turite atsiminti, kad reikia atimti ir dešinę pusę.

Jei ankstesni metodai nepadėjo, naudokite bendrąjį bet kokių lygčių su trimis sprendimo būdą nežinomas. Norėdami tai padaryti, perrašykite lygtis į formą a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Dabar sukurkite x (A) koeficientų matricą, nežinomųjų (X) ir laisvųjų kintamųjų (B) matricą. Atkreipkite dėmesį, kad padauginę koeficientų matricą iš nežinomųjų matricos, gausite laisvųjų terminų matricą, tai yra A*X=B.

Raskite laipsnio (-1) matricą A, pirmiausia surasdami , atkreipkite dėmesį, kad ji neturėtų būti lygi nuliui. Po to gautą matricą padauginkite iš matricos B, todėl gausite norimą matricą X, nurodydami visas reikšmes.

Taip pat galite rasti trijų lygčių sistemos sprendimą naudodami Cramerio metodą. Norėdami tai padaryti, suraskite sistemos matricą atitinkantį trečiosios eilės determinantą ∆. Tada iš eilės raskite dar tris determinantus ∆1, ∆2 ir ∆3, pakeisdami laisvųjų terminų reikšmes vietoj atitinkamų stulpelių reikšmių. Dabar raskite x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Šaltiniai:

• lygčių sprendiniai trijuose nežinomuosiuose

Pradėdami spręsti lygčių sistemą, išsiaiškinkite, kokios tai lygtys. Tiesinių lygčių sprendimo metodai buvo gana gerai ištirti. Netiesinės lygtys dažniausiai neišsprendžiamos. Yra tik vienas ypatingas atvejis, kiekvienas iš jų praktiškai individualus. Todėl sprendimų metodų tyrimą reikėtų pradėti nuo tiesinių lygčių. Tokias lygtis netgi galima išspręsti grynai algoritmiškai.

Instrukcijos

Pradėkite savo mokymosi procesą išmokdami išspręsti dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais X ir Y sistemą eliminuojant. a11*X+a12*Y=b1 (1); a21*X+a22*Y=b2 (2). Lygčių koeficientai nurodomi jų vietą nurodančiais indeksais. Taigi koeficientas a21 pabrėžia tai, kad antroje lygtyje jis rašomas pirmoje vietoje. Pagal visuotinai priimtą žymėjimą sistema rašoma lygtimis, esančiomis viena po kitos ir kartu žymimos riestiniu skliaustu dešinėje arba kairėje (daugiau informacijos žr. 1a pav.).

Lygčių numeracija yra savavališka. Pasirinkite paprasčiausią, pvz., prieš vieną iš kintamųjų yra koeficientas 1 arba bent jau sveikasis skaičius. Jei tai yra (1) lygtis, tada dar išreikškite, tarkime, nežinomą Y kaip X (atvejis, kai neįtraukiamas Y). Norėdami tai padaryti, paverskite (1) į formą a12*Y=b1-a11*X (arba a11*X=b1-a12*Y, kai išskiriama X)), o tada Y=(b1-a11*X)/a12 . Pastarąjį pakeisdami į (2) lygtį, parašykite a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2. Išspręskite šią X lygtį.
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) arba X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21).
Naudodami rastą ryšį tarp Y ir X, pagaliau gausite antrą nežinomą Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21).

Jei sistema būtų nurodyta konkrečiais skaitiniais koeficientais, skaičiavimai būtų ne tokie sudėtingi. Tačiau bendras sprendimas leidžia manyti, kad rasti nežinomieji yra lygiai tokie patys. Taip, ir skaitikliai rodo tam tikrus jų konstrukcijos modelius. Jei lygčių sistemos matmuo būtų didesnis nei du, tai pašalinimo metodas lemtų labai sudėtingus skaičiavimus. Norint jų išvengti, buvo sukurti grynai algoritminiai sprendimai. Paprasčiausias iš jų yra Cramerio algoritmas (Cramerio formulės). Jūs turėtumėte sužinoti bendrą n lygčių lygčių sistemą.

n tiesinių algebrinių lygčių sistema su n nežinomųjų turi formą (žr. 1a pav.). Jame аij yra sistemos koeficientai,
xj – nežinomieji, bi – laisvieji terminai (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Tokią sistemą galima kompaktiškai parašyti matricine forma AX=B. Čia A yra sistemos koeficientų matrica, X yra nežinomųjų stulpelių matrica, B yra laisvųjų dėmenų stulpelių matrica (žr. 1b pav.). Pagal Cramerio metodą kiekvienas nežinomasis xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Koeficientų matricos determinantas ∆ vadinamas pagrindiniu, o ∆i – pagalbiniu. Kiekvienam nežinomam pagalbinis determinantas randamas pagrindinio determinanto i-tą stulpelį pakeičiant laisvųjų terminų stulpeliu. Kramerio metodas, skirtas antros ir trečios eilės sistemoms, išsamiai pateiktas fig. 2.

Sistema yra dviejų ar daugiau lygybių, kurių kiekvienoje yra du ar daugiau nežinomųjų, derinys. Yra du pagrindiniai būdai, kaip spręsti tiesinių lygčių sistemas, kurios naudojamos mokyklos mokymo programoje. Vienas iš jų vadinamas metodu, kitas – papildymo metodu.

Standartinė dviejų lygčių sistemos forma

Sistemos sprendimas papildymo metodu

Pavyzdžiui, tarkime, kad pateikta sistema, susidedanti iš dviejų lygčių. Pirmasis iš jų turi formą 2x+4y=8, antrasis turi formą 6x+2y=6. Vienas iš užduoties atlikimo variantų yra padauginti antrą lygtį iš koeficiento -2, kuris paves į formą -12x-4y=-12. Teisingas koeficiento pasirinkimas yra viena iš pagrindinių užduočių sprendžiant sistemą naudojant pridėjimo metodą, nes tai lemia visą tolesnę nežinomųjų radimo procedūros eigą.

Dabar reikia pridėti dvi sistemos lygtis. Akivaizdu, kad abipusis kintamųjų, kurių koeficientai yra vienodi, bet priešingi pagal ženklą, naikinimas sukels formą -10x=-4. Po to reikia išspręsti šią paprastą lygtį, iš kurios aiškiai matyti, kad x = 0,4.

Paskutinis sprendimo proceso žingsnis yra pakeisti rastą vieno iš kintamųjų reikšmę į bet kurią iš pradinių sistemoje esančių lygybių. Pavyzdžiui, pirmoje lygtyje pakeitę x=0,4, galite gauti išraišką 2*0,4+4y=8, iš kurios y=1,8. Taigi, x=0.4 ir y=1.8 yra pavyzdinės sistemos šaknys.

Norint įsitikinti, kad šaknys buvo rastos teisingai, naudinga patikrinti, rastąsias reikšmes pakeičiant į antrąją sistemos lygtį. Pavyzdžiui, šiuo atveju gauname 0,4*6+1,8*2=6 formos lygybę, kuri yra teisinga.

Video tema

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais turi bendrą formą ax + by + c = 0. Joje a, b ir c yra koeficientai – kai kurie skaičiai; o x ir y yra kintamieji – nežinomi skaičiai, kuriuos reikia rasti.

Tiesinės lygties su dviem kintamaisiais sprendimas yra skaičių x ir y pora, kuriai ax + x + c = 0 yra tikroji lygybė.

Duota tiesinė lygtis dviejuose kintamuosiuose (pavyzdžiui, 3x + 2y – 1 = 0) turi aibę sprendinių, tai yra skaičių porų aibę, kuriai lygtis yra teisinga. Tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais paverčiama y = kx + m formos tiesine funkcija, kuri yra tiesi linija koordinačių plokštumoje. Visų šioje tiesėje esančių taškų koordinatės yra dviejų kintamųjų tiesinės lygties sprendiniai.

Jei pateiktos dvi tiesinės lygtys, kurių forma ax + x + c = 0 ir reikia rasti x ir y reikšmes, kurių abi turės sprendinius, tada mes sakome, kad išspręsti lygčių sistemą. Lygčių sistema parašyta po įprastu riestiniu skliaustu. Pavyzdys:

Lygčių sistema gali neturėti sprendimo, jei tiesės, kurios yra atitinkamų tiesinių funkcijų grafikai, nesikerta (ty lygiagrečios viena kitai). Norint padaryti išvadą, kad sprendimo nėra, pakanka abi tiesines lygtis su dviem kintamaisiais transformuoti į formą y = kx + m. Jei k yra tas pats skaičius abiejose lygtyse, tai sistema neturi sprendinių.

Jei paaiškėja, kad lygčių sistema susideda iš dviejų identiškų lygčių (kurios gali būti akivaizdžios ne iš karto, bet po transformacijų), tada ji turi begalinį sprendinių skaičių. Šiuo atveju kalbame apie neapibrėžtumą.

Visais kitais atvejais sistema turi vieną sprendimą. Šią išvadą galima padaryti iš to, kad bet kurios dvi nelygiagrečios tiesės gali susikirsti tik viename taške. Būtent šis susikirtimo taškas bus ir pirmoje, ir antroje eilutėje, tai yra, jis bus ir pirmosios, ir antrosios lygties sprendimas. Todėl tai yra lygčių sistemos sprendimas. Tačiau būtina numatyti situacijas, kai x ir y reikšmėms yra taikomi tam tikri apribojimai (dažniausiai pagal problemos sąlygas). Pavyzdžiui, x > 0, y > 0. Šiuo atveju, net jei lygčių sistema turi sprendinį, bet netenkina sąlygos, tada daroma išvada, kad lygčių sistema duotomis sąlygomis neturi sprendinių. .

Yra trys lygčių sistemos sprendimo būdai:

1. Pagal atrankos metodą. Dažniausiai tai labai sunku padaryti.
2. Grafinis metodas. Kai koordinačių plokštumoje nubrėžiamos dvi tiesės (atitinkamų lygčių funkcijų grafikai) ir randamas jų susikirtimo taškas. Šis metodas gali neduoti tikslių rezultatų, jei susikirtimo taško koordinatės yra trupmeniniai skaičiai.
3. Algebriniai metodai. Jie yra universalūs ir patikimi.