Trikampyje yra vadinamieji keturi svarbūs taškai: medianų susikirtimo taškas. Bisektorių susikirtimo taškas, aukščių susikirtimo taškas ir statmenų bisektorių susikirtimo taškas. Panagrinėkime kiekvieną iš jų.
Trikampio medianų susikirtimo taškas
1 teorema
Ant trikampio medianų sankirtos: trikampio medianos susikerta viename taške ir padalija susikirtimo tašką santykiu $2:1$, pradedant nuo viršūnės.
Įrodymas.
Apsvarstykite trikampį $ABC$, kur $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ yra jo mediana. Kadangi medianos dalija puses per pusę. Apsvarstykite vidurinę liniją $A_1B_1$ (1 pav.).
1 pav. Trikampio medianos
Pagal 1 teoremą $AB||A_1B_1$ ir $AB=2A_1B_1$, taigi $\kampas ABB_1=\kampas BB_1A_1,\ \kampas BAA_1=\kampas AA_1B_1$. Vadinasi, trikampiai $ABM$ ir $A_1B_1M$ yra panašūs pagal pirmojo trikampio panašumo kriterijų. Tada
Panašiai įrodyta, kad
Teorema įrodyta.
Trikampio pusiausvyros susikirtimo taškas
2 teorema
Ant trikampio pusiaukampių sankirtos: trikampio pusiausvyros susikerta viename taške.
Įrodymas.
Apsvarstykite trikampį $ABC$, kur $AM,\BP,\CK$ yra jo pusiausvyros. Tegul taškas $O$ yra pusiausvyros $AM\ ir\ BP$ susikirtimo taškas. Iš šio taško braižykite statmenai trikampio kraštinėms (2 pav.).
2 pav. Trikampio bisektoriai
3 teorema
Kiekvienas neišplėsto kampo bisektoriaus taškas yra vienodu atstumu nuo jo kraštinių.
Pagal 3 teoremą turime: $OX=OZ,\OX=OY$. Taigi $OY=OZ$. Vadinasi, taškas $O$ yra vienodu atstumu nuo kampo $ACB$ kraštinių ir todėl yra ant jo pusiaukampio $CK$.
Teorema įrodyta.
Trikampio statmenų bisektorių susikirtimo taškas
4 teorema
Trikampio kraštinių statmenosios pusės susikerta viename taške.
Įrodymas.
Tegu duotas trikampis $ABC$, $n,\ m,\ p$ jo statmenos pusiausvyros. Tegul taškas $O$ yra statmenų pusiaukampių $n\ ir\ m$ susikirtimo taškas (3 pav.).
3 pav. Trikampio statmenos pusiausvyros
Įrodymui mums reikia šios teoremos.
5 teorema
Kiekvienas atkarpai statmenos pusės taškas yra vienodu atstumu nuo nurodytos atkarpos galų.
Pagal 3 teoremą turime: $OB=OC,\OB=OA$. Taigi $OA=OC$. Tai reiškia, kad taškas $O$ yra vienodu atstumu nuo atkarpos $AC$ galų ir todėl yra ant jo statmenos pusės $p$.
Teorema įrodyta.
Trikampio aukščių susikirtimo taškas
6 teorema
Trikampio aukščiai arba jų plėtiniai susikerta viename taške.
Įrodymas.
Apsvarstykite trikampį $ABC$, kur $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ yra jo aukštis. Nubrėžkite liniją per kiekvieną trikampio viršūnę, lygiagrečią viršūnei priešinga puse. Gauname naują trikampį $A_2B_2C_2$ (4 pav.).
4 pav. Trikampio aukščiai
Kadangi $AC_2BC$ ir $B_2ABC$ yra lygiagretainiai, turintys bendrą kraštinę, tai $AC_2=AB_2$, tai yra, taškas $A$ yra kraštinės $C_2B_2$ vidurio taškas. Panašiai gauname, kad taškas $B$ yra kraštinės $C_2A_2$ vidurio taškas, o taškas $C$ yra kraštinės $A_2B_2$ vidurio taškas. Iš konstrukcijos turime $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Taigi $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ yra trikampio $A_2B_2C_2$ statmenos pusės. Tada pagal 4 teoremą turime, kad aukščiai $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ susikerta viename taške.
Dalomoji medžiaga (priedas Nr. 1)
Statybos su kompasu ir liniuote be padalų problemos dažniausiai sprendžiamos pagal tam tikrą schemą:
aš. Analizė: schematiškai nubrėžkite norimą figūrą ir užmegzkite ryšius tarp problemos duomenų ir norimų elementų.
II. Pastatas: Pagal planą stato su kompasu ir liniuote.
III. Įrodymas: Įrodykite, kad sudaryta figūra atitinka uždavinio sąlygas.
IV. Studijuoti: Atlikite bet kokių duomenų tyrimą, ar problema turi sprendimą ir, jei taip, kiek sprendimų (neatlikti visose problemose).
Štai keletas elementarių statybos užduočių, kurias apsvarstysime, pavyzdžiai:
1. Atidėkite atkarpą, lygią šiam (ištirta anksčiau).
2. Atkarpai statmenos pusiausvyros konstrukcija:
- sukonstruoti duotosios atkarpos vidurio tašką;
- sukonstruoti tiesę, einančią per nurodytą tašką ir statmeną nurodytai tiesei (taškas gali būti arba nebūti duotoje tiesėje).
3. Kampo bisektoriaus konstrukcija.
4. Kampo, lygaus duotajam, konstravimas.
Atkarpai statmena mediana.
Apibrėžimas: atkarpos statmuo yra tiesė, einanti per atkarpos vidurio tašką ir statmena jai.
Užduotis: „Sukurkite statmeną atkarpos pusiaukraštį“. Pristatymas
O - AB vidurys
Statybos aprašymas ( skaidrės numeris 4):
Sija a; A – sijos pradžia
Perimetras (A; r = m)
Apskritimas a = B; AB = m
1 apskritimas (A; r 1 > m/2)
2 apskritimas (B; r 1)
1 apskritimas 2 apskritimas =
MN ; MN AB = 0, (MN = L)
kur MN AB, O yra AB vidurio taškas
III. Įrodymas(skaidrių numeris 5, 6)
1. Apsvarstykite AMN ir BNM:
AM = MB=BN=AN=r 2 , todėl AM = BN , AN = BM MN yra bendroji pusė
(3 pav.)
Todėl AMN = BNM (iš trijų pusių),
Vadinasi
1 = 2 (pagal apibrėžimą lygus)
3 = 4 (pagal apibrėžimą lygus)
2. MAN ir NBM yra lygiašoniai (pagal apibrėžimą) ->
1 \u003d 4 ir 3 \u003d 2 (pagal lygiašonių savybių savybę)
3. Iš 1 ir 2 taškų -> 1 = 3, todėl MO yra lygiašonių AMB pusiausvyra
4. Taigi mes įrodėme, kad MN yra statmenas atkarpos AB
IV. Studijuoti
Ši problema turi unikalų sprendimą, nes Bet kuri linijos atkarpa turi tik vieną vidurio tašką, o per nurodytą tašką galima nubrėžti vieną tiesę, statmeną duotajam.
Apibrėžimas: geometrinis taškų rinkinys (GMT) yra taškų, turinčių tam tikrą savybę, rinkinys. (Priedas Nr. 2)
Jums žinomas GMT:
- Atkarpos statmuo yra taškai, esantys vienodu atstumu nuo atkarpos galų.
- Kampo bisektorius – taškų rinkinys, vienodu atstumu nuo kampo kraštinių
Taigi įrodykime teoremą:
Teorema: "Kiekvienas statmenos pusės atkarpos taškas yra vienodu atstumu nuo šios atkarpos galų."
(4 pav.)
Duota: AB; MO – statmenas bisektorius
Įrodykite: AM = VM
| Įrodymas: 1. MO - statmenas bisektorius (pagal sąlygą) -> O - atkarpos AB vidurio taškas, MOAB 2. Apsvarstykite AMO ir WMO – stačiakampius MO – bendra koja |
AO \u003d VO (O - AB vidurys) -\u003e AMO \u003d BMO (ant 2 kojų) -\u003e AM \u003d VM (pagal vienodų trikampių apibrėžimą, kaip atitinkamos kraštinės) Q.E.D |
Namų darbas: „Įrodykite, kad teorema yra atvirkštinė duotajai“
Teorema: „Kiekvienas taškas, nutolęs vienodu atstumu nuo atkarpos galų, yra ant šios atkarpos statmenos pusės.
(5 pav.)
Duota: AB; MA=MV
Įrodyk: Taškas M yra ant statmeno bisektoriaus
Įrodymas:
Tai. MO – statmenas bisektorius, kuriame yra visi taškai, esantys vienodu atstumu nuo atkarpos galų.
Statmenų trikampio kraštinėms savybė
Jie susikerta viename taške ir šis taškas yra apskritimo aplink trikampį centras, mokysimės aštuntoje klasėje.
Seminaras
Medžiaginė ir techninė įranga:
Platinimas: 29 574 KB
OS: Windows 9x/2000/XP
Svetainė: http://www.ascon.ru
Dabar konstrukciją perkelsime į grafinę kompiuterio aplinką (7 skaidrės numeris)
Anksčiau įgytas žinias ir įgūdžius reikia pritaikyti konkrečiai užduočiai. Pamatysite, kad statybos užtruks ne daugiau laiko nei konstravimas užrašų knygelėje. Be kita ko, įdomu pamatyti, kaip kompiuterinė aplinka vykdo žmonių komandas kurti plokščias figūras. Prieš jus yra priedas Nr. 3, kuriame išsamiai aprašyti jūsų statybos žingsniai. Įkelkite programą ir atidarykite naują piešinį ( skaidrės numeris 8, 9).
Nubraižykite geometrinius objektus, nurodytus uždavinio sąlygoje: spindulys A pradedant tašku A o segmentas lygus m- savavališkas ilgis ( skaidrės numeris 10).
Skirtuko pagalba įveskite brėžinyje sijos, segmento, sijos pradžios pavadinimą "Įrankiai“ tekstas.
Sukurkite apskritimą, kurio spindulys lygus atkarpai m kurio centras yra viršūnėje tam tikru tašku A (skaidrės numeris 11).
m centruotas taške A ( skaidrė Nr. 12, 13).
Sukurkite apskritimą, kurio spindulys lygus atkarpai, kuri yra didesnė nei 1/2 m Norėdami tai padaryti, pasirinkite elementą " Tarp 2 taškų“ (skaidrė Nr. 14, 15, 16).
Per apskritimų susikirtimo taškus M ir N nubrėžti liniją ( skaidrė №17,18).
Naudotos knygos:
- Ugrinovičius N.D. „Informatika. Pagrindinis kursas“ 7 klasė. - M.: BINOM - 2008 - 175 p.
- Ugrinovičius N.D. „Informatikos ir informacinių technologijų seminaras“. Pamoka. - M.: BINOM, 2004-2006. -
- Ugrinovičius N.D. „Kurso „Informatika ir IKT“ dėstymas pradinėse ir vidurinėse mokyklose 8-11 M.: BINOM žinių laboratorija, 2008. - 180 p.
- Ugrinovič ND Kompiuterių dirbtuvės kompaktiniame diske. - M.: BINOM, 2004-2006.
- Boguslavskis A.A., Tretjakas T.M. Farafonovas A.A. "Kompasas - 3D v 5.11-8.0 Seminaras pradedantiesiems" - M .: SOLON - SPAUDA, 2006 - 272 p.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. ir kt. „Geometrija 7-9. Vadovėlis vidurinėms mokykloms "- M: Švietimas 2006 - 384 p.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. ir kt. „7-9 klasių geometrijos tyrimas. Vadovėlio gairės „- M: Išsilavinimas 1997 – 255 p.
- Afanas'eva T.L., Tapilina L.A. „Atanasyan L.S. 8 klasės vadovėlio pamokų planai“. - Volgogradas „Mokytojas“, 2010, 166 p.
Paraiška Nr.1
Kompaso ir liniuotės konstravimo problemų sprendimo planas.
- Analizė.
- Statyba.
- Įrodymas.
- Studijuoti.
Paaiškinimas
- Atliekant analizę, schematiškai nubraižoma reikiama figūra ir nustatomas ryšys tarp užduoties duomenų ir reikiamų elementų.
- Pagal planą statyba atliekama su kompasu ir liniuote.
- Jie įrodo, kad sukonstruota figūra atitinka problemos sąlygas.
- Atlikite tyrimą: ar problema turi kokių nors duomenų sprendimą ir, jei taip, kiek sprendimų?
Elementarių statybos užduočių pavyzdžiai
- Atidėkite segmentą, lygų duotam.
- Sukurkite atkarpai statmeną pusiausvyrą.
- Sukurkite atkarpos vidurio tašką.
- Sukurkite tiesę, einančią per nurodytą tašką, statmeną duotajai tiesei (Taškas gali būti arba nebūti duotoje tiesėje).
- Sukurkite kampo pusiausvyrą.
- Sukurkite kampą, lygų duotajam.
Paraiška №2
Taškų vieta (GMT) yra taškų, turinčių tam tikrą savybę, rinkinys.
GMT pavyzdžiai:
- Atkarpos statmuo yra taškai, esantys vienodu atstumu nuo atkarpos galų.
- Apskritimas yra taškų, nutolusių vienodu atstumu nuo tam tikro taško – apskritimo centro.
- Kampo pusiausvyra yra taškų, vienodu atstumu nuo kampo kraštinių, rinkinys.
Kiekvienas atkarpai statmenos pusės taškas yra vienodu atstumu nuo šios atkarpos galų.
Ankstesnėje pamokoje nagrinėjome kampo, tiek uždaro trikampyje, tiek laisvo, pusiausvyros savybes. Trikampis apima tris kampus, ir kiekvienam iš jų išsaugomos nagrinėjamos bisektoriaus savybės.
Teorema:
Trikampio pusiausvyros AA 1, BB 1, CC 1 susikerta viename taške O (1 pav.).
Ryžiai. 1. Teoremos iliustracija
Įrodymas:
Apsvarstykite pirmuosius du bisektorius BB 1 ir СС 1 . Jie susikerta, susikirtimo taškas O egzistuoja. Kad tai įrodytumėte, tarkime priešingai: tegul duotosios pusiausvyros nesikerta, tokiu atveju jos yra lygiagrečios. Tada tiesė BC yra sekantas ir kampų suma 
, tai prieštarauja faktui, kad viso trikampio kampų suma yra .
Taigi, egzistuoja dviejų pusių sankirtos taškas O. Apsvarstykite jo savybes:
Taškas O yra kampo bisector , o tai reiškia, kad jis yra vienodu atstumu nuo jo pusių BA ir BC. Jei OK yra statmena BC, OL yra statmena BA, tai šių statmenų ilgiai lygūs -. Be to, taškas O yra ant kampo pusiaukampio ir yra vienodu atstumu nuo jo kraštinių CB ir CA, statmenai OM ir OK yra lygūs.
Gavome tokias lygybes:
, tai yra, visi trys statmenai, nuleisti iš taško O į trikampio kraštines, yra lygūs vienas kitam.
Mus domina statmenų OL ir OM lygybė. Ši lygybė sako, kad taškas O yra vienodu atstumu nuo kampo kraštų, taigi jis yra ant jo pusės AA 1.
Taigi, mes įrodėme, kad visi trys trikampio bisektoriai susikerta viename taške.
Be to, trikampis susideda iš trijų segmentų, o tai reiškia, kad turėtume atsižvelgti į vieno segmento savybes.
Pateiktas AB segmentas. Bet kuri atkarpa turi vidurį, o per jį galima nubrėžti statmeną – jį žymime p. Taigi p yra statmenas bisektorius.
Ryžiai. 2. Teoremos iliustracija
Bet kuris taškas, esantis ant statmeno bisektoriaus, yra vienodu atstumu nuo atkarpos galų.
Įrodykite, kad (2 pav.).
Įrodymas:
Apsvarstykite trikampius ir . Jie yra stačiakampiai ir lygūs, nes turi bendrą koją OM, o AO ir OB kojos yra lygios pagal sąlygą, todėl turime du stačiakampius trikampius, kurie yra lygūs dviejose kojose. Iš to išplaukia, kad trikampių hipotenzės taip pat yra lygios, tai yra, ką reikėjo įrodyti.
Atvirkštinė teorema yra teisinga.
Kiekvienas taškas, nutolęs vienodu atstumu nuo atkarpos galų, yra ant šios atkarpos statmenos pusės.
Pateikta atkarpa AB, statmena jai pusiausvyra yra p, taškas M yra vienodu atstumu nuo atkarpos galų. Įrodykite, kad taškas M yra ant atkarpos statmenos pusės (3 pav.).
Ryžiai. 3. Teoremos iliustracija
Įrodymas:
Panagrinėkime trikampį. Jis yra lygiašonis, kaip ir sąlyga. Apsvarstykite trikampio medianą: taškas O yra pagrindo AB vidurio taškas, OM - vidurio taškas. Pagal lygiašonio trikampio savybę mediana, nubrėžta į jo pagrindą, yra ir aukštis, ir pusė. Iš to išplaukia, kad. Bet tiesė p taip pat statmena AB. Žinome, kad į tašką O galima nubrėžti vieną statmeną atkarpai AB, o tai reiškia, kad tiesės OM ir p sutampa, taigi iš to seka, kad taškas M priklauso tiesei p, kurią reikėjo įrodyti.
Tiesioginę ir atvirkštinę teoremas galima apibendrinti.
Taškas yra ant statmenos atkarpos bisektoriaus tada ir tik tada, kai jis yra vienodu atstumu nuo šios atkarpos galų.
Taigi, pakartojame, kad trikampyje yra trys atkarpos ir kiekvienam iš jų taikoma statmeno bisektoriaus savybė.
Teorema:
Trikampio statmenos pusės susikerta viename taške.
Pateikiamas trikampis. Statmenai jo kraštams: P 1 į kraštą BC, P 2 į kraštą AC, P 3 į kraštą AB.
Įrodykite, kad statmenys Р 1 , Р 2 ir Р 3 susikerta taške O (4 pav.).
Ryžiai. 4. Teoremos iliustracija
Įrodymas:
Panagrinėkime du vidurio statmenus P 2 ir P 3, jie susikerta, susikirtimo taškas O egzistuoja. Įrodykime šį faktą prieštaravimu – statmenai P 2 ir P 3 bus lygiagretūs. Tada kampas yra tiesus, o tai prieštarauja faktui, kad trikampio trijų kampų suma yra . Taigi, yra dviejų iš trijų statmenų bisektorių susikirtimo taškas O. Taško O savybės: jis yra ant statmenos pusės AB kraštinės, tai reiškia, kad jis yra vienodu atstumu nuo atkarpos AB galų:. Jis taip pat guli ant statmeno bisector į pusę AC, todėl . Gavome tokias lygybes.
Vidurinis statmenas (mediana statmena arba tarpininkas) yra tiesė, statmena nurodytai atkarpai ir einanti per jos vidurio tašką.Savybės
kur apatinis indeksas rodo kraštinę, į kurią nubrėžtas statmuo, yra trikampio plotas, taip pat daroma prielaida, kad kraštinės yra susijusios su nelygybėmis Ir Kitaip tariant, trikampio atveju mažiausias statmenas bisektorius reiškia vidurinį segmentą.Parašykite apžvalgą apie straipsnį "Vidurinis statmenas"
Pastabos
Ištrauka, apibūdinanti statmeną pusiausvyrą
Kutuzovas, sustojęs kramtyti, nustebęs žiūrėjo į Volzogeną, tarsi nesuprasdamas, kas jam sakoma. Wolzogenas, pastebėjęs des alten Herrn, [senojo džentelmeno (vokiečių)] susijaudinimą, šypsodamasis pasakė:- Nemaniau, kad turiu teisę slėpti nuo jūsų viešpatystės to, ką mačiau... Kariuomenė visiškai sutrikusi...
- Ar matei? Ar matėte? .. - suraukęs kaktą sušuko Kutuzovas, greitai atsistojo ir žengė į Wolzogeną. „Kaip tu drįsti... kaip tu drįsti...“ – sušuko jis, grėsmingais gestais drebėdamas rankomis ir užspringdamas. - Kaip drįsti, mano brangusis pone, man tai pasakyti. Tu nieko nežinai. Pasakykite man generolui Barkliui, kad jo informacija yra neteisinga ir kad tikroji mūšio eiga man, vyriausiajam vadui, žinoma geriau nei jam.
Wolzogenas norėjo kažką paprieštarauti, bet Kutuzovas jį pertraukė.
- Priešas atmušamas kairėje, o įveikiamas dešiniajame flange. Jei blogai matėte, gerbiamasis pone, neleiskite sau sakyti to, ko nežinote. Prašome eiti pas generolą Barclay ir perteikti jam mano būtiną ketinimą rytoj pulti priešą “, - griežtai pasakė Kutuzovas. Visi tylėjo ir girdėjosi vienas sunkus iškvėpusio seno generolo alsavimas. – Visur atmušta, už ką dėkoju Dievui ir mūsų narsiai kariuomenei. Priešas nugalėtas, o rytoj mes jį išvarysime iš šventos rusų žemės, – tarė Kutuzovas, kirsdamas save; ir staiga apsipylė ašaromis. Volzogenas, gūžtelėdamas pečiais ir sukdamas lūpas, tyliai pasitraukė į šalį, stebėdamasis uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [apie šią senojo džentelmeno tironiją. (vokiečių kalba)]
„Taip, čia jis, mano herojus“, – tarė Kutuzovas apkūniam, dailiam juodaplaukiui generolui, tuo metu įžengusiam į piliakalnį. Tai buvo Raevskis, kuris visą dieną praleido pagrindiniame Borodino lauko taške.
Raevskis pranešė, kad kariuomenė yra tvirtai savo vietose ir prancūzai nebedrįso pulti. Jo išklausęs Kutuzovas prancūziškai pasakė:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous pensininkas? [Taigi jūs nemanote, kaip ir kiti, kad turėtume trauktis?]
Viduryje statmena segmentui
1 apibrėžimas . Viduryje statmena segmentui vadinama tiesė, statmena šiai atkarpai ir einanti per jos vidurį (1 pav.).
1 teorema. Kiekvienas atkarpai statmenos pusės taškas yra tokiu pat atstumu nuo galų šis segmentas.
Įrodymas . Apsvarstykite savavališką tašką D, esantį ant atkarpos AB statmenos pusės (2 pav.), ir įrodykite, kad trikampiai ADC ir BDC yra lygūs.
Tiesą sakant, šie trikampiai yra stačiakampiai trikampiai, kurių kojos AC ir BC yra lygios, o kojos DC yra bendros. Iš trikampių ADC ir BDC lygybės išplaukia atkarpų AD ir DB lygybė. 1 teorema įrodyta.
2 teorema (atvirkščiai į 1 teoremą). Jei taškas yra tokiu pat atstumu nuo atkarpos galų, tada jis yra ant šios atkarpos statmenos pusės.
Įrodymas . Įrodykime 2 teoremą metodu „prieštaravimas“. Šiuo tikslu tarkime, kad tam tikras taškas E yra tokiu pat atstumu nuo atkarpos galų, bet nėra šiai atkarpai statmenoje pusiausvyroje. Perkelkime šią prielaidą į prieštaravimą. Pirmiausia panagrinėkime atvejį, kai taškai E ir A yra priešingose statmeno bisektoriaus pusėse (3 pav.). Šiuo atveju atkarpa EA tam tikrame taške kerta statmeną pusiausvyrą, kurią pažymėsime raide D.
Įrodykime, kad atkarpa AE yra ilgesnė už atkarpą EB . tikrai,
Taigi tuo atveju, kai taškai E ir A yra priešingose stačiakampio pusėse, gauname prieštaravimą.
Dabar apsvarstykite atvejį, kai taškai E ir A yra toje pačioje statmenos pusiausvyros pusėje (4 pav.). Įrodykime, kad atkarpa EB yra ilgesnė už atkarpą AE . tikrai,
Gautas prieštaravimas užbaigia 2 teoremos įrodymą
Apskritimas, apjuosiantis trikampį
2 apibrėžimas . Apskritimas, apjuosiantis trikampį, vadink apskritimą, einantį per visas tris trikampio viršūnes (5 pav.). Šiuo atveju vadinamas trikampiu į apskritimą įbrėžtas trikampis arba įrašytas trikampis.
Apskritimo, apibrėžto apie trikampį, savybės. Sinuso teorema
| Paveikslas | Piešimas | Nuosavybė |
| Viduriniai statmenai į trikampio šonus |  |
susikerta viename taške
. |
 |
|
|
| centras apibrėžtas apie smailųjį apskritimo trikampį | Centras aprašytas apie smailaus kampo viduje trikampis. | |
| centras apskritimas, apibrėžtas apie statųjį trikampį |  | Centras aprašomas apie stačiakampio formos
hipotenuzės vidurio taškas
. |
| centras apibrėžtas apie bukąjį apskritimo trikampį |  | Centras aprašytas apie bukas apskritimo trikampis guli lauke trikampis. |
 |
|
|
| Kvadratas trikampis |  | S = 2R 2 nuodėmė A nuodėmė B nuodėmė C , |
| Apriboto apskritimo spindulys | Bet kurio trikampio lygybė yra teisinga: |
,| Vidurio statmenai į trikampio kraštines |
Visos statmenos pusiausvyros nubrėžtas į savavališko trikampio kraštines, susikerta viename taške . |
| Apskritimas, apjuosiantis trikampį |
Bet kurį trikampį galima apibrėžti apskritimu. . Aplink trikampį apibrėžiamo apskritimo centras yra taškas, kuriame susikerta visi statmenieji trikampio kraštinės. |
| Apskritimo, apibrėžto apie smailųjį trikampį, centras |
Centras aprašytas apie smailaus kampo apskritimo trikampis guli viduje trikampis. |
| Apskritimo, apibrėžto apie stačią trikampį, centras |
Centras aprašomas apie stačiakampio formos apskritimo trikampis yra hipotenuzės vidurio taškas . |
| Apskritimo, apibrėžto apie bukąjį trikampį, centras |
Centras aprašytas apie bukas apskritimo trikampis guli lauke trikampis. |
Bet kuriam trikampiui galioja lygybės (sinuso teorema):
čia a, b, c – trikampio kraštinės, A, B, C – trikampio kampai, R – apibrėžtojo apskritimo spindulys. |
| Trikampio plotas |
Bet kurio trikampio lygybė yra teisinga: S = 2R 2 nuodėmė A nuodėmė B nuodėmė C , kur A, B, C yra trikampio kampai, S yra trikampio plotas, R yra apibrėžto apskritimo spindulys. |
| Apriboto apskritimo spindulys |
Bet kurio trikampio lygybė yra teisinga: kur a, b, c yra trikampio kraštinės, S yra trikampio plotas, R yra apibrėžto apskritimo spindulys. |
Teoremų apie trikampį apibrėžto apskritimo savybių įrodymai
3 teorema. Visi viduriniai statmenys, nubrėžti į savavališko trikampio kraštines, susikerta viename taške.
Įrodymas . Panagrinėkime du statmenus bisektorius, nubrėžtus į trikampio ABC kraštines AC ir AB, ir pažymime jų susikirtimo tašką su raide O (6 pav.).
Kadangi taškas O yra ant atkarpos AC statmenos pusės, tai pagal 1 teoremą galioja lygybė.
