Kuriame išnagrinėjome paprasčiausias išvestines, taip pat susipažinome su diferencijavimo taisyklėmis ir kai kuriais techniniais išvestinių radimo būdais. Taigi, jei nesate labai gerai susipažinę su funkcijų išvestiniais arba kai kurie šio straipsnio punktai nėra visiškai aiškūs, pirmiausia perskaitykite aukščiau pateiktą pamoką. Prašau nusiteikti rimtai – medžiaga nėra paprasta, bet vis tiek stengsiuosi ją pateikti paprastai ir aiškiai.

Praktikoje su sudėtingos funkcijos išvestine tenka susidurti labai dažnai, net sakyčiau, beveik visada, kai duodama užduotis surasti išvestines.

Mes žiūrime į lentelę pagal taisyklę (Nr. 5), skirtą sudėtingos funkcijos diferencijavimui:

Išsiaiškinkime. Visų pirma, atkreipkime dėmesį į įrašą. Čia turime dvi funkcijas – ir , o funkcija, vaizdžiai tariant, yra įdėta į funkciją . Šio tipo funkcija (kai viena funkcija įdėta į kitą) vadinama sudėtinga funkcija.

Paskambinsiu funkcijai išorinė funkcija, ir funkcija – vidinė (arba įdėta) funkcija.

! Šie apibrėžimai nėra teoriniai ir neturėtų būti įtraukti į galutinį užduočių planą. Aš naudoju neformalius posakius „išorinė funkcija“, „vidinė“ funkcija tik tam, kad jums būtų lengviau suprasti medžiagą.

Norėdami išsiaiškinti situaciją, apsvarstykite:

1 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Po sinusu turime ne tik raidę „X“, bet ir visą išraišką, todėl išvestinę iš karto rasti nepavyks. Taip pat pastebime, kad čia neįmanoma taikyti pirmųjų keturių taisyklių, atrodo, kad yra skirtumas, tačiau faktas yra tas, kad sinuso negalima „suplėšyti į gabalus“:

Šiame pavyzdyje iš mano paaiškinimų jau intuityviai aišku, kad funkcija yra sudėtinga funkcija, o daugianomas yra vidinė funkcija (įterpimas) ir išorinė funkcija.

Pirmas žingsnis ką reikia padaryti ieškant sudėtingos funkcijos išvestinės suprasti, kuri funkcija yra vidinė, o kuri išorinė.

Paprastų pavyzdžių atveju atrodo aišku, kad polinomas yra įterptas po sinusu. Bet ką daryti, jei viskas nėra akivaizdu? Kaip tiksliai nustatyti, kuri funkcija yra išorinė, o kuri vidinė? Norėdami tai padaryti, siūlau naudoti šią techniką, kurią galima atlikti mintyse arba juodraštyje.

Įsivaizduokime, kad reiškinio reikšmei apskaičiuoti reikia naudoti skaičiuotuvą (vietoj vieneto gali būti bet koks skaičius).

Ką pirmiausia skaičiuosime? Visų pirma turėsite atlikti šį veiksmą: , todėl daugianomas bus vidinė funkcija:

Antra reikės rasti, taigi sinusas – bus išorinė funkcija:

Po mūsų IŠPARDUOTA naudojant vidines ir išorines funkcijas, laikas taikyti sudėtingų funkcijų diferencijavimo taisyklę .

Pradėkime spręsti. Iš pamokos Kaip rasti išvestinę priemonę? prisimename, kad bet kurios išvestinės sprendinio kūrimas visada prasideda taip – ​​išraišką įdedame skliausteliuose, o viršuje dešinėje darome brūkšnį:

Iš pradžių randame išorinės funkcijos išvestinę (sinusą), pažiūrime į elementariųjų funkcijų išvestinių lentelę ir pastebime, kad . Visos lentelės formulės taip pat taikomos, jei „x“ pakeičiamas sudėtinga išraiška, šiuo atveju:

Atkreipkite dėmesį, kad vidinė funkcija nepasikeitė, mes jo neliečiame.

Na, tai gana akivaizdu

Formulės taikymo rezultatas galutine forma jis atrodo taip:

Pastovus koeficientas paprastai dedamas išraiškos pradžioje:

Jei kyla nesusipratimų, užrašykite sprendimą ant popieriaus ir dar kartą perskaitykite paaiškinimus.

2 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

3 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Kaip visada, užrašome:

Išsiaiškinkime, kur turime išorinę funkciją, o kur – vidinę. Norėdami tai padaryti, bandome (protiškai arba juodraštyje) apskaičiuoti išraiškos reikšmę . Ką daryti pirmiausia? Visų pirma, reikia apskaičiuoti, kam lygi bazė: todėl daugianomas yra vidinė funkcija:

Ir tik tada atliekamas eksponentiškumas, todėl galios funkcija yra išorinė funkcija:

Pagal formulę , pirmiausia reikia rasti išorinės funkcijos išvestinę, šiuo atveju laipsnį. Lentelėje ieškome reikiamos formulės: . Dar kartą kartojame: bet kuri lentelės formulė galioja ne tik „X“, bet ir sudėtingai išraiškai. Taigi sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklės taikymo rezultatas kitas:

Dar kartą pabrėžiu, kad imant išorinės funkcijos išvestinę, mūsų vidinė funkcija nesikeičia:

Dabar belieka rasti labai paprastą vidinės funkcijos išvestinį ir šiek tiek pakoreguoti rezultatą:

4 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys (atsakykite pamokos pabaigoje).

Norėdami sustiprinti supratimą apie sudėtingos funkcijos išvestinę, pateiksiu pavyzdį be komentarų, pabandykite tai išsiaiškinti patys, pamąstykite, kur yra išorinė, o kur vidinė funkcija, kodėl užduotys sprendžiamos taip?

5 pavyzdys

a) Raskite funkcijos išvestinę

b) Raskite funkcijos išvestinę

6 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Čia mes turime šaknį, o norint atskirti šaknį, ji turi būti vaizduojama kaip galia. Taigi pirmiausia pateikiame funkciją į diferencijavimui tinkamą formą:

Analizuodami funkciją, darome išvadą, kad trijų narių suma yra vidinė funkcija, o pakėlimas į laipsnį yra išorinė funkcija. Taikome sudėtingų funkcijų diferenciacijos taisyklę :

Laipsnį vėl pavaizduojame kaip radikalą (šaknį), o vidinės funkcijos išvestinei taikome paprastą sumos diferencijavimo taisyklę:

Paruošta. Taip pat galite sumažinti išraišką iki bendro vardiklio skliausteliuose ir užrašyti viską kaip vieną trupmeną. Žinoma, gražu, bet kai gaunate gremėzdiškus ilgus darinius, geriau to nedaryti (lengva susipainioti, padaryti nereikalingą klaidą ir mokytojui bus nepatogu patikrinti).

7 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys (atsakykite pamokos pabaigoje).

Įdomu pastebėti, kad kartais vietoj sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklės galite naudoti koeficiento diferencijavimo taisyklę , tačiau toks sprendimas atrodys kaip neįprastas iškrypimas. Štai tipiškas pavyzdys:

8 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Čia galite naudoti koeficiento diferencijavimo taisyklę , tačiau daug pelningiau išvestinę rasti taikant sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę:

Paruošiame funkciją diferencijuoti - iš išvestinio ženklo iškeliame minusą, o kosinusą keliame į skaitiklį:

Kosinusas yra vidinė funkcija, eksponencija yra išorinė funkcija.
Pasinaudokime savo taisykle :

Randame vidinės funkcijos išvestinę ir iš naujo nustatome kosinusą žemyn:

Paruošta. Nagrinėtame pavyzdyje svarbu nesupainioti ženkluose. Beje, pabandykite tai išspręsti naudodami taisyklę , atsakymai turi sutapti.

9 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys (atsakykite pamokos pabaigoje).

Iki šiol nagrinėjome atvejus, kai sudėtingoje funkcijoje turėjome tik vieną lizdą. Praktinėse užduotyse dažnai galima rasti išvestinių, kur, kaip ir lėlės, viena kitos viduje, vienu metu įdėtos 3 ar net 4-5 funkcijos.

10 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Supraskime šios funkcijos priedus. Pabandykime apskaičiuoti išraišką naudodami eksperimentinę reikšmę. Kaip suskaičiuotume skaičiuotuvą?

Pirmiausia turite rasti , o tai reiškia, kad arcsinusas yra giliausias įterpimas:

Tada šis vieno arcsinusas turėtų būti padalytas kvadratu:

Ir galiausiai septynis padidiname iki galios:

Tai reiškia, kad šiame pavyzdyje turime tris skirtingas funkcijas ir du įterpimus, o vidinė funkcija yra arcsinė, o tolimiausia funkcija yra eksponentinė funkcija.

Pradėkime spręsti

Pagal taisyklę Pirmiausia reikia paimti išorinės funkcijos išvestinę. Žiūrime į išvestinių lentelę ir randame eksponentinės funkcijos išvestinę: Vienintelis skirtumas yra tas, kad vietoj „x“ turime sudėtingą išraišką, kuri nepaneigia šios formulės galiojimo. Taigi, sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklės taikymo rezultatas kitas.

Eksponentinio (e iki x laipsnio) ir eksponentinės funkcijos (a iki x laipsnio) išvestinės formulių įrodymas ir išvedimas. e^2x, e^3x ir e^nx išvestinių skaičiavimo pavyzdžiai. Aukštesnio laipsnio išvestinių finansinių priemonių formulės.

Rodiklio išvestinė yra lygi pačiam eksponentui (e išvestinė iš x laipsnio lygi e laipsnio x):
(1) (e x )′ = e x.

Eksponentinės funkcijos su baze a išvestinė yra lygi pačiai funkcijai, padaugintai iš natūraliojo a logaritmo:
(2) .

Eksponentinio išvestinės formulės išvedimas, e iki x laipsnio

Eksponentinis yra eksponentinė funkcija, kurios bazė yra lygi skaičiui e, kuris yra ši riba:
.
Čia tai gali būti natūralusis skaičius arba realusis skaičius. Toliau išvedame formulę (1) eksponentinio išvestinei.

Eksponentinės išvestinės formulės išvedimas

Apsvarstykite eksponentinį e laipsnį x:
y = e x .
Ši funkcija nustatyta visiems.
(3) .

Raskime jo išvestinę kintamojo x atžvilgiu.
Pagal apibrėžimą išvestinė yra tokia riba: Transformuokime šią išraišką, kad sumažintume ją iki žinomų matematinių savybių ir taisyklių. Norėdami tai padaryti, mums reikia šių faktų:
(4) ;
A) Eksponento ypatybė:
(5) ;
B) Logaritmo savybė:
(6) .
IN)
Tolydžios funkcijos logaritmo tęstinumas ir ribų savybė:Čia yra funkcija, kuri turi ribą ir ši riba yra teigiama.
(7) .

G)
;
.

Antrosios nepaprastos ribos reikšmė:
Taikykime šiuos faktus savo ribai (3). Mes naudojame turtą (4):
.
Padarykime pakaitalą.
.

Tada; .
.

Dėl eksponentinio tęstinumo,
Todėl, kai,.
.

Rezultate gauname:
.
Padarykime pakaitalą.
.

Tada . adresu , . Ir mes turime:

Taikykime logaritmo savybę (5):

.
(8)
Tada

Taikykime savybę (6). Kadangi yra teigiama riba, o logaritmas yra tęstinis, tada: Čia taip pat naudojome antrąją nepaprastą ribą (7). Tada Taigi, mes gavome formulę (1) eksponentinės išvestinei.
;
.
Eksponentinės funkcijos išvestinės formulės išvedimas
.

Didesnės eilės e išvestinės iki x laipsnio

Dabar suraskime aukštesnių eilučių išvestinius. Pirmiausia pažvelkime į eksponentą:
(14) .
(1) .

Matome, kad funkcijos (14) išvestinė yra lygi pačiai funkcijai (14). Diferencijuodami (1), gauname antros ir trečios eilės išvestinius:
;
.

Tai rodo, kad n-osios eilės išvestinė taip pat yra lygi pradinei funkcijai:
.

Aukštesnės eilės eksponentinės funkcijos išvestinės

Dabar apsvarstykite eksponentinę funkciją su laipsnio a pagrindu:
.
Mes radome jo pirmosios eilės išvestinį:
(15) .

Diferencijuodami (15), gauname antros ir trečios eilės išvestinius:
;
.

Matome, kad kiekviena diferenciacija lemia pradinės funkcijos padauginimą iš .
.

Todėl n-osios eilės išvestinė turi tokią formą:

Nuo tada, kai atvykote čia, tikriausiai jau matėte šią formulę vadovėlyje

ir padaryk tokį veidą: Drauge, nesijaudink! Tiesą sakant, viskas yra tiesiog baisu. Jūs tikrai viską suprasite. Tik vienas prašymas – skaitykite straipsnį neskubėdami

, stenkitės suprasti kiekvieną žingsnį. Rašiau kuo paprasčiau ir aiškiau, bet vis tiek reikia suprasti mintį. Ir būtinai išspręskite užduotis iš straipsnio.

Kas yra sudėtinga funkcija?

Įsivaizduokite, kad kraustotės į kitą butą ir dėl to kraunatės daiktus į dideles dėžes. Tarkime, jums reikia surinkti keletą smulkių daiktų, pavyzdžiui, mokyklinę rašymo medžiagą. Jei tiesiog įmesite juos į didžiulę dėžę, jie pasimes, be kitų dalykų. Norėdami to išvengti, pirmiausia įdėkite juos, pavyzdžiui, į maišelį, kurį vėliau įdėkite į didelę dėžutę, o po to užsandarinate. Šis „sudėtingiausias“ procesas parodytas toliau pateiktoje diagramoje:

Atrodytų, ką su tuo turi matematika? Taip, nepaisant to, kad sudėtinga funkcija formuojama LYGIAI TAIP PAT! Tik mes „pakuojame“ ne sąsiuvinius ir rašiklius, o \(x\), o „paketai“ ir „dėžės“ skiriasi.

Pavyzdžiui, paimkime x ir „supakuosime“ į funkciją:

Dėl to, žinoma, gauname \(\cos⁡x\). Tai mūsų „daiktų krepšys“. Dabar įdėkime jį į „dėžutę“ – supakuokite, pavyzdžiui, į kubinę funkciją.

Kas bus galų gale? Taip, teisingai, bus „daiktų maišas dėžutėje“, tai yra „X kosinusas kubo pavidalu“. Gautas dizainas yra sudėtinga funkcija. Nuo paprasto jis skiriasi tuo Vienam X iš eilės taikomi KELI „įtaka“ (paketai).

ir pasirodo tarsi „funkcija iš funkcijos“ – „pakavimas pakuotėje“.

Mokyklos kurse yra labai nedaug šių „paketų“ tipų, tik keturi:

Dabar „supakuosime“ X į eksponentinę funkciją su 7 baze, o tada į trigonometrinę funkciją. Mes gauname:

Dabar du kartus „supakuosime“ x į trigonometrines funkcijas, pirmiausia į ir tada į:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Paprasta, tiesa?

Dabar pats parašykite funkcijas, kur x:
- pirmiausia jis „supakuotas“ į kosinusą, o po to į eksponentinę funkciją su baze \(3\);
- pirmiausia į penktąją laipsnį, o paskui į liestinę;
- pirmiausia logaritmas iki bazės \(4\) , tada į laipsnį \(-2\).

Atsakymus į šią užduotį rasite straipsnio pabaigoje.

Ar galime X „supakuoti“ ne du, o tris kartus? Taip, jokių problemų! Ir keturis, ir penkis, ir dvidešimt penkis kartus. Pavyzdžiui, čia yra funkcija, kurioje x yra „supakuotas“ \(4\) kartus:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Bet tokių formulių mokyklinėje praktikoje nerasi (mokiniams labiau pasisekė – jų gali būti sudėtingiau☺).

Sudėtingos funkcijos „išpakavimas“.

Dar kartą pažiūrėkite į ankstesnę funkciją. Ar galite išsiaiškinti „pakavimo“ seką? Į ką X buvo prikimštas pirmas, į ką tada ir taip iki pat pabaigos. Tai yra, kuri funkcija kurioje yra įdėta? Paimkite popieriaus lapą ir užsirašykite, ką manote. Tai galite padaryti naudodami grandinę su rodyklėmis, kaip rašėme aukščiau, arba bet kokiu kitu būdu.

Dabar teisingas atsakymas: pirmiausia x buvo „supakuotas“ į \(4\)-ą laipsnį, po to rezultatas supakuotas į sinusą, o savo ruožtu į logaritmą į bazę \(2\) , ir galiausiai visa ši konstrukcija buvo įstumta į galios penketą.

Tai yra, jums reikia išvynioti seką ATvirkštine tvarka. Ir štai užuomina, kaip tai padaryti lengviau: iš karto pažvelk į X – nuo ​​jo reikėtų šokti. Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

Pavyzdžiui, čia yra ši funkcija: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Mes žiūrime į X – kas jam atsitiks pirmiausia? Paimta iš jo. Ir tada? Imama rezultato tangentė. Seka bus tokia pati:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Kitas pavyzdys: \(y=\cos⁡((x^3))\). Išanalizuokime – iš pradžių kubavome X, o paskui paėmėme rezultato kosinusą. Tai reiškia, kad seka bus tokia: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Atkreipkite dėmesį, funkcija atrodo panaši į pačią pirmąją (kur yra nuotraukos). Bet tai yra visiškai kitokia funkcija: čia kube yra x (tai yra \(\cos⁡((x·x·x)))\), o kube yra kosinusas \(x\) ( tai yra \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Šis skirtumas atsiranda dėl skirtingų „pakavimo“ sekų.

Paskutinis pavyzdys (su svarbia informacija): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Aišku, kad čia pirmiausia atlikome aritmetinius veiksmus su x, tada iš rezultato paėmėme sinusą: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Ir tai yra svarbus dalykas: nepaisant to, kad aritmetinės operacijos nėra pačios savaime funkcijos, čia jos veikia ir kaip „pakavimo“ būdas. Pasigilinkime į šį subtilumą.

Kaip sakiau aukščiau, paprastose funkcijose x „supakuotas“ vieną kartą, o sudėtingose ​​- dvi ar daugiau. Be to, bet koks paprastų funkcijų derinys (tai yra jų suma, skirtumas, daugyba ar padalijimas) taip pat yra paprasta funkcija. Pavyzdžiui, \(x^7\) yra paprasta funkcija, taip pat ir \(ctg x\). Tai reiškia, kad visi jų deriniai yra paprastos funkcijos:

\(x^7+ ctg x\) – paprastas,
\(x^7· lovelė x\) – paprasta,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – paprastas ir kt.

Tačiau jei tokiam deriniui bus pritaikyta dar viena funkcija, ji taps sudėtinga, nes bus du „paketai“. Žiūrėti diagramą:

Gerai, pirmyn dabar. Parašykite „vyniojimo“ funkcijų seką:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Atsakymai vėl pateikiami straipsnio pabaigoje.

Vidinės ir išorinės funkcijos

Kodėl turime suprasti funkcijų įdėjimą? Ką tai mums duoda? Faktas yra tas, kad be tokios analizės negalėsime patikimai rasti aukščiau aptartų funkcijų išvestinių.

O norint eiti toliau, mums reikės dar dviejų sąvokų: vidinių ir išorinių funkcijų. Tai labai paprastas dalykas, be to, iš tikrųjų juos jau išanalizavome aukščiau: jei prisiminsime savo analogiją pačioje pradžioje, tai vidinė funkcija yra „paketas“, o išorinė – „dėžutė“. Tie. tai, į ką X „įvyniojama“ pirmiausia, yra vidinė funkcija, o į ką „įvyniojama“ vidinė funkcija – jau išorinė. Na, aišku kodėl – ji lauke, vadinasi, išorė.

Šiame pavyzdyje: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funkcija \(\log_2⁡x\) yra vidinė ir
- išorinis.

Ir čia: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) yra vidinis ir
- išorinis.

Užbaikite paskutinę sudėtingų funkcijų analizės praktiką ir pagaliau pereikime prie to, dėl ko visi buvome pradėti – rasime sudėtingų funkcijų išvestinius:

Lentelėje užpildykite tuščias vietas:

Sudėtingos funkcijos išvestinė

Bravo mums, pagaliau pasiekėme šios temos „bosą“ – tiesą sakant, sudėtingos funkcijos išvestinį, o konkrečiai – iki tos labai baisios formulės nuo straipsnio pradžios.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ši formulė skamba taip:

Sudėtinės funkcijos išvestinė yra lygi išorinės funkcijos išvestinės pastovios vidinės funkcijos ir vidinės funkcijos išvestinei sandaugai.

Ir nedelsdami pažiūrėkite į analizavimo diagramą pagal žodžius, kad suprastumėte, ką daryti su kuo:

Tikiuosi, kad terminai „darinė“ ir „produktas“ nesukels jokių sunkumų. „Sudėtinga funkcija“ - mes jau ją sutvarkėme. Svarbiausia yra „išorinės funkcijos išvestinė, palyginti su pastovia vidine funkcija“. kas tai?

Atsakymas: Tai įprastas išorinės funkcijos darinys, kuriame keičiasi tik išorinė funkcija, o vidinė išlieka ta pati. Vis dar neaišku? Gerai, panaudokime pavyzdį.

Turėkime funkciją \(y=\sin⁡(x^3)\). Aišku, kad vidinė funkcija čia yra \(x^3\), o išorinė
. Dabar suraskime išorės išvestinį pastovaus interjero atžvilgiu.

Kas yra darinys?

Darinių lentelė.

Išvestinė yra viena iš pagrindinių aukštosios matematikos sąvokų. Šioje pamokoje supažindinsime su šia sąvoka. Pažinkime vieni kitus, be griežtų matematinių formuluočių ir įrodymų.

Ši pažintis leis jums:

Suvokti paprastų užduočių su išvestiniais esmę;

Sėkmingai išspręskite šias paprasčiausias užduotis;

Pasiruoškite rimtesnėms pamokoms apie išvestines priemones.

Pirma - maloni staigmena.)

Griežtas išvestinės apibrėžimas pagrįstas ribų teorija ir dalykas yra gana sudėtingas. Tai erzina. Tačiau praktinis darinių pritaikymas, kaip taisyklė, nereikalauja tokių plačių ir gilių žinių!

Norint sėkmingai atlikti daugumą užduočių mokykloje ir universitete, pakanka žinoti tik keli terminai- suprasti užduotį ir tik kelios taisyklės- ją išspręsti. Tai viskas. Tai mane džiugina.

Pradėkime susipažinti?)

Terminai ir pavadinimai.

Elementariojoje matematikoje yra daug įvairių matematinių operacijų. Sudėjimas, atimtis, daugyba, eksponencija, logaritmas ir kt. Jei prie šių operacijų pridėsite dar vieną operaciją, elementarioji matematika taps aukštesnė. Ši nauja operacija vadinama diferenciacija.Šios operacijos apibrėžimas ir prasmė bus aptariama atskirose pamokose.

Čia svarbu suprasti, kad diferenciacija yra tiesiog matematinė funkcijos operacija. Paimame bet kokią funkciją ir pagal tam tikras taisykles ją transformuojame. Rezultatas bus nauja funkcija. Ši nauja funkcija vadinama: išvestinė.

Diferencijavimas- veiksmas pagal funkciją.

Darinys- šio veiksmo rezultatas.

Visai kaip pvz. suma- pridėjimo rezultatas. Arba privatus- padalijimo rezultatas.

Žinodami terminus, bent jau galite suprasti užduotis.) Formuluotės yra tokios: rasti funkcijos išvestinę; paimti išvestinę; atskirti funkciją; apskaičiuoti išvestinę ir tt Tai viskas vienas ir tas pats.Žinoma, yra ir sudėtingesnių užduočių, kur išvestinės (diferencijavimo) radimas bus tik vienas iš problemos sprendimo žingsnių.

Išvestinė pažymėta brūkšneliu funkcijos viršuje, dešinėje. kaip tai: y" arba f"(x) arba S"(t) ir taip toliau.

Skaitymas igrek insultas, ef insultas iš x, es insultas iš te, nu supranti...)

Pirminis dydis taip pat gali nurodyti tam tikros funkcijos išvestinę, pavyzdžiui: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" ir tt Dažnai išvestinės yra žymimos diferencialais, tačiau tokio žymėjimo šioje pamokoje nenagrinėsime.

Tarkime, kad išmokome suprasti užduotis. Belieka išmokti juos išspręsti.) Leiskite dar kartą priminti: išvestinės radimas yra funkcijos transformacija pagal tam tikras taisykles. Keista, bet tokių taisyklių yra labai mažai.

Norėdami rasti funkcijos išvestinę, turite žinoti tik tris dalykus. Trys ramsčiai, ant kurių stovi visa diferenciacija. Štai šie trys ramsčiai:

1. Išvestinių (diferencijavimo formulių) lentelė.

3. Sudėtinės funkcijos išvestinė.

Pradėkime eilės tvarka. Šioje pamokoje pažvelgsime į išvestinių išvestinių lentelę.

Darinių lentelė.

Pasaulyje yra be galo daug funkcijų. Tarp šio rinkinio yra funkcijų, kurios yra svarbiausios praktiniam naudojimui. Šios funkcijos randamos visuose gamtos dėsniuose. Iš šių funkcijų, kaip iš plytų, galite sukonstruoti visas kitas. Ši funkcijų klasė vadinama elementarios funkcijos. Būtent šios funkcijos yra mokomos mokykloje - tiesinė, kvadratinė, hiperbolė ir kt.

Funkcijų diferencijavimas „nuo nulio“, t.y. Remiantis išvestinės apibrėžimu ir ribų teorija, tai gana daug darbo reikalaujantis dalykas. O matematikai taip pat yra žmonės, taip, taip!) Taigi jie supaprastino savo (ir mūsų) gyvenimą. Jie prieš mus apskaičiavo elementariųjų funkcijų išvestis. Rezultatas yra išvestinių priemonių lentelė, kurioje viskas yra paruošta.)

Štai ši plokštė skirta populiariausioms funkcijoms. Kairėje yra elementari funkcija, dešinėje - jos išvestinė.

	Funkcija y	Funkcijos y išvestinė y"
1	C (pastovi reikšmė)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n – bet koks skaičius)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	nuodėmė x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	žurnalas a x
	ln x ( a = e)

Šioje išvestinių lentelėje rekomenduoju atkreipti dėmesį į trečią funkcijų grupę. Galios funkcijos išvestinė yra viena iš labiausiai paplitusių formulių, jei ne pati labiausiai paplitusi! Ar suprantate užuominą?) Taip, išvestinių lentelę patartina žinoti mintinai. Beje, tai nėra taip sunku, kaip gali pasirodyti. Pabandykite išspręsti daugiau pavyzdžių, pati lentelė bus prisiminta!)

Kaip suprantate, rasti išvestinės lentelės reikšmę nėra pati sunkiausia užduotis. Todėl labai dažnai tokiose užduotyse yra papildomų lustų. Arba užduoties formuluotėje, arba pradinėje funkcijoje, kurios, atrodo, nėra lentelėje...

Pažvelkime į kelis pavyzdžius:

1. Raskite funkcijos y = x išvestinę 3

Lentelėje tokios funkcijos nėra. Tačiau yra bendros formos galios funkcijos išvestinė (trečioji grupė). Mūsų atveju n=3. Taigi vietoj n pakeičiame tris ir atidžiai užrašome rezultatą:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Tai viskas.

Atsakymas: y" = 3x 2

2. Raskite funkcijos y = sinx išvestinės reikšmę taške x = 0.

Ši užduotis reiškia, kad pirmiausia turite rasti sinuso išvestinę, o tada pakeisti reikšmę x = 0į tą patį darinį. Būtent tokia tvarka! Priešingu atveju atsitinka taip, kad jie iš karto pakeičia nulį į pradinę funkciją... Mūsų prašoma rasti ne pradinės funkcijos reikšmę, o reikšmę jo vedinys. Išvestinė, leiskite man priminti, yra nauja funkcija.

Naudodami planšetinį kompiuterį randame sinusą ir atitinkamą išvestinę:

y" = (sin x)" = cosx

Išvestinėje pakeičiame nulį:

y"(0) = cos 0 = 1

Tai bus atsakymas.

3. Atskirkite funkciją:

Ką, įkvepia?) Išvestinių lentelėje tokios funkcijos nėra.

Leiskite jums priminti, kad norint atskirti funkciją, tiesiog reikia rasti šios funkcijos išvestinę. Jei pamiršite elementariąją trigonometriją, ieškoti mūsų funkcijos išvestinės yra gana varginanti. Lentelė nepadeda...

Bet jei matome, kad mūsų funkcija yra dvigubo kampo kosinusas, tada viskas iš karto pagerės!

Taip, taip! Atminkite, kad pakeiskite pradinę funkciją prieš diferenciaciją visai priimtina! Ir tai labai palengvina gyvenimą. Naudojant dvigubo kampo kosinuso formulę:

Tie. mūsų sudėtinga funkcija yra ne kas kita y = cosx. Ir tai yra lentelės funkcija. Iš karto gauname:

Atsakymas: y" = - sin x.

Pavyzdys pažengusiems absolventams ir studentams:

4. Raskite funkcijos išvestinę:

Išvestinių lentelėje tokios funkcijos, žinoma, nėra. Bet jei prisimena elementarią matematiką, veiksmus su galiomis... Tada šią funkciją visai įmanoma supaprastinti. kaip tai:

O x iki dešimtosios laipsnio jau yra lentelės funkcija! Trečioji grupė, n=1/10. Rašome tiesiai pagal formulę:

Tai viskas. Tai bus atsakymas.

Tikiuosi, kad su pirmuoju diferenciacijos ramsčiu – išvestinių lentele – viskas aišku. Belieka susidoroti su dviem likusiais banginiais. Kitoje pamokoje mokysimės diferencijavimo taisyklių.

Kaip rasti išvestinę, kaip paimti išvestinę? Šioje pamokoje išmoksime rasti funkcijų išvestinius. Tačiau prieš studijuojant šį puslapį primygtinai rekomenduoju susipažinti su metodine medžiagaKarštos formulės mokykliniam matematikos kursui. Informacinį vadovą galima atidaryti arba atsisiųsti puslapyje Matematinės formulės ir lentelės . Taip pat iš ten mums reikėsIšvestinių priemonių lentelė, geriau jį atsispausdinti, dažnai teks remtis ne tik dabar, bet ir neprisijungus.

Valgyti? Pradėkime. Turiu jums dvi naujienas: gerą ir labai gerą. Geros naujienos yra šios: norint sužinoti, kaip rasti išvestines priemones, nereikia žinoti ar suprasti, kas yra išvestinė priemonė. Be to, vėliau tikslingiau suvirškinti funkcijos išvestinės apibrėžimą, matematinę, fizinę, geometrinę išvestinės reikšmę, nes kokybiškam teorijos ištyrimui, mano nuomone, reikia ištirti daugybę kitomis temomis, taip pat šiek tiek praktinės patirties.

O dabar mūsų užduotis yra techniškai įvaldyti tuos pačius darinius. Labai gera žinia yra ta, kad išmokti paimti išvestines yra gana aiškus algoritmas, kaip išspręsti (ir paaiškinti), pavyzdžiui, integralus ar ribas yra sunkiau įvaldyti.

Aš patariu studijuoti temą tokia tvarka: pirma, Šis straipsnis. Tada reikia perskaityti svarbiausią pamoką Sudėtingos funkcijos išvestinė . Šios dvi pagrindinės klasės leis jūsų įgūdžius nuo nulio. Toliau straipsnyje galite susipažinti su sudėtingesniais išvestiniais produktais Sudėtingi dariniai.

Logaritminė išvestinė. Jei juosta per aukšta, pirmiausia perskaitykite tai Paprasčiausios tipinės problemos su išvestinėmis priemonėmis. Be naujos medžiagos, pamoka apima ir kitus, paprastesnius darinių tipus, tai puiki galimybė patobulinti savo diferenciacijos techniką. Be to, bandomuosiuose darbuose beveik visada yra užduočių, kaip rasti netiesiogiai arba parametriškai nurodytų funkcijų išvestinius. Yra ir tokia pamoka: Netiesioginių ir parametriškai apibrėžtų funkcijų išvestinės.

Pabandysiu prieinama forma, žingsnis po žingsnio, išmokyti jus rasti funkcijų išvestinius. Visa informacija pateikiama išsamiai, paprastais žodžiais.

Tiesą sakant, iš karto pažvelkime į pavyzdį: 1 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę Sprendimas:

Tai paprasčiausias pavyzdys, jį rasite elementariųjų funkcijų išvestinių lentelėje. Dabar pažvelkime į sprendimą ir išanalizuokime, kas atsitiko? Ir atsitiko toks dalykas:

turėjome funkciją, kuri dėl sprendimo virto funkcija.

Paprasčiau tariant, norėdami rasti išvestinę

funkcija, ją reikia paversti kita funkcija pagal tam tikras taisykles . Dar kartą pažiūrėkite į išvestinių lentelę – ten funkcijos virsta kitomis funkcijomis. Vienintelis

išimtis yra eksponentinė funkcija, kuri

virsta savimi. Išvestinės radimo operacija vadinamadiferenciacija.

Pažymėjimas: vedinys žymimas arba.

DĖMESIO, SVARBU! Pamiršus uždėti brūkšnį (kur reikia) arba nupiešti papildomą brūkšnį (kur nereikia) – GRŪDŽIA KLAIDA! Funkcija ir jos išvestinė yra dvi skirtingos funkcijos!

Grįžkime prie mūsų išvestinių išvestinių lentelių. Iš šios lentelės pageidautina įsiminti: kai kurių elementariųjų funkcijų diferenciacijos taisyklės ir išvestinės, ypač:

konstantos išvestinė:

Kur yra pastovus skaičius; galios funkcijos išvestinė:

Visų pirma:,,.

Kodėl prisiminti? Šios žinios yra pagrindinės žinios apie išvestines priemones. O jei negalite atsakyti į dėstytojo klausimą „Kas yra skaičiaus išvestinė?“, tuomet studijos universitete jums gali baigtis (man asmeniškai pažįstami du realūs atvejai). Be to, tai yra labiausiai paplitusios formulės, kurias turime naudoti beveik kiekvieną kartą, kai susiduriame su išvestinėmis priemonėmis.

IN Realiai paprasti lentelių pavyzdžiai yra reti, ieškant išvestinių, pirmiausia naudojamos diferenciacijos taisyklės, o po to – elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė.

IN toliau nagrinėsime šį ryšįdiferenciacijos taisyklės:

1) Iš išvestinio ženklo galima (ir reikia) išimti pastovų skaičių

Kur yra pastovus skaičius (konstanta) 2 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Pažiūrėkime į išvestinių sandorių lentelę. Kosinuso išvestinė yra, bet mes turime .

Atėjo laikas naudoti taisyklę, iš išvestinės ženklo išimame pastovų koeficientą:

Dabar konvertuojame kosinusą pagal lentelę:

Na, o rezultatą patartina šiek tiek „šukuoti“ - į pirmą vietą įdėkite minuso ženklą, tuo pačiu atsikratydami skliaustų:

2) Sumos išvestinė lygi išvestinių sumai

Raskite funkcijos išvestinę

Nuspręskime. Kaip tikriausiai jau pastebėjote, pirmas žingsnis, kuris visada atliekamas ieškant išvestinės, yra tai, kad visą išraišką pateikiame skliausteliuose ir viršuje dešinėje dedame pirminį skaičių:

Taikykime antrąją taisyklę:

Atkreipkite dėmesį, kad norint diferencijuoti, visos šaknys ir galios turi būti pavaizduotos formoje , o jei jos yra vardiklyje, tada

perkelti juos aukštyn. Kaip tai padaryti, aptarsiu mano mokymo medžiagoje.

Dabar prisiminkime pirmąją diferenciacijos taisyklę – pastovius veiksnius (skaičius) imame už išvestinės ženklo ribų:

Paprastai sprendimo metu šios dvi taisyklės taikomos vienu metu (kad nereikėtų vėl perrašyti ilgos išraiškos).

Visos funkcijos, esančios po brūkšniais, yra elementarios lentelės funkcijos, naudodamiesi lentele, atliekame transformaciją:

Galite palikti viską kaip yra, nes nebėra potėpių, o vedinys rastas. Tačiau tokios išraiškos paprastai supaprastina:

Patartina visas formos galias vėl pavaizduoti šaknų pavidalu,

laipsniai su neigiamais rodikliais – išmesti į vardiklį. Nors to daryti nereikia, tai nebus klaida.

Raskite funkcijos išvestinę

Pabandykite šį pavyzdį išspręsti patys (atsakykite pamokos pabaigoje).

3) Funkcijų sandaugos išvestinė

Atrodo, kad analogija siūlo formulę ...., bet nuostaba yra tai, kad:

Tai neįprasta taisyklė(kaip, tiesą sakant, kiti) išplaukia iš išvestiniai apibrėžimai. Tačiau kol kas pasiliksime nuo teorijos – dabar svarbiau išmokti išspręsti:

Raskite funkcijos išvestinę

Čia turime dviejų funkcijų sandaugą, priklausomai nuo . Pirmiausia taikome keistą taisyklę, o tada transformuojame funkcijas naudodami išvestinę lentelę:

Sunku? Visai ne, visai prieinama net arbatinukui.

Raskite funkcijos išvestinę

Šioje funkcijoje yra dviejų funkcijų suma ir sandauga – kvadratinis trinaris ir logaritmas. Iš mokyklos prisimename, kad daugyba ir dalyba turi viršenybę prieš sudėjimą ir atimtį.

Čia tas pats. PIRMAI mes naudojame produktų diferenciacijos taisyklę:

Dabar skliausteliui naudojame pirmąsias dvi taisykles:

Taikant diferencijavimo po brūkšniais taisykles, naudojant išvestinių lentelę lieka tik elementarios funkcijos, jas paverčiame kitomis funkcijomis:

Turint tam tikrą patirtį ieškant išvestinių priemonių, atrodo, kad paprastų išvestinių nereikia taip išsamiai aprašyti. Apskritai jie dažniausiai sprendžiami žodžiu, ir iš karto tai užrašoma .

Raskite funkcijos išvestinę Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys (atsakykite pamokos pabaigoje)

4) koeficiento funkcijų išvestinė

Lubose atsidarė liukas, neišsigąskite, tai gedimas. Bet tokia yra žiauri realybė:

Raskite funkcijos išvestinę

Ko čia trūksta – sumos, skirtumo, sandaugos, trupmenos…. Nuo ko pradėti?! Yra abejonių, nėra jokių abejonių, bet BET KOKIU ATVEJU pirmiausia nubrėžiame skliaustus ir įdedame brūkšnį viršuje dešinėje:

Dabar pažvelkime į išraišką skliausteliuose, kaip galime ją supaprastinti? Tokiu atveju pastebime veiksnį, iš kurio pagal pirmąją taisyklę patartina išimti išvestinės ženklą:

Tuo pačiu atsikratome nebereikalingų skaitiklio skliaustų. Paprastai tariant, pastovūs veiksniai ieškant išvestinės