Paprastai du trikampiai laikomi panašiais, jei jie yra vienodos formos, net jei jie yra skirtingo dydžio, pasukti ar net apversti.
Paveiksle parodytas dviejų panašių trikampių A 1 B 1 C 1 ir A 2 B 2 C 2 matematinis vaizdavimas parašytas taip:
ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2
Du trikampiai yra panašūs, jei:
1. Kiekvienas vieno trikampio kampas lygus atitinkamam kito trikampio kampui:
∠A 1 = ∠ A 2 , ∠ B 1 = ∠ B 2 Ir ∠C 1 = ∠C 2
2. Vieno trikampio kraštinių santykis su atitinkamomis kito trikampio kraštinėmis yra lygus vienas kitam:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$
3. Santykiai dvi puses vienas trikampis į atitinkamas kito trikampio kraštines yra lygūs vienas kitam ir tuo pačiu metu
kampai tarp šių kraštų yra lygūs:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ ir $\angle A_1 = \angle A_2$
arba
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ ir $\angle B_1 = \angle B_2$
arba
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ ir $\angle C_1 = \angle C_2$
Nepainiokite panašių trikampių su vienodais trikampiais. Lygių trikampių kraštinių ilgiai yra vienodi. Todėl sutapusiems trikampiams:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$
Iš to išplaukia, kad visi lygūs trikampiai yra panašūs. Tačiau ne visi panašūs trikampiai yra lygūs.
Nors aukščiau pateiktas žymėjimas rodo, kad norint sužinoti, ar du trikampiai yra panašūs, ar ne, turime žinoti trijų kampų reikšmes arba kiekvieno trikampio trijų kraštinių ilgius, o norint išspręsti panašių trikampių problemas, pakanka žinoti bet kurios trys iš aukščiau paminėtų kiekvieno trikampio verčių. Šie kiekiai gali būti įvairiais deriniais:
1) trys kiekvieno trikampio kampai (nereikia žinoti trikampių kraštinių ilgių).
Arba bent 2 vieno trikampio kampai turi būti lygūs 2 kito trikampio kampams.
Kadangi jei 2 kampai yra lygūs, tada trečiasis kampas taip pat bus lygus (trečiojo kampo reikšmė yra 180 - kampas1 - kampas2).
2) kiekvieno trikampio kraštinių ilgiai (kampų žinoti nereikia);
3) abiejų kraštinių ilgiai ir kampas tarp jų.
Toliau apžvelgsime kai kurių problemų su panašiais trikampiais sprendimą. Pirmiausia apžvelgsime problemas, kurias galima išspręsti tiesiogiai naudojant aukščiau pateiktas taisykles, o tada aptarsime keletą praktinių problemų, kurias galima išspręsti naudojant panašų trikampio metodą.
Praktikuokite problemas su panašiais trikampiais
1 pavyzdys:
Parodykite, kad du trikampiai žemiau esančiame paveikslėlyje yra panašūs. 
Sprendimas:
Kadangi žinomi abiejų trikampių kraštinių ilgiai, čia galima taikyti antrąją taisyklę:
$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$
2 pavyzdys:
Parodykite, kad du duoti trikampiai yra panašūs, ir nustatykite kraštinių ilgius PQ Ir PR.
Sprendimas:
∠A = ∠P Ir ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(kadangi ∠C = 180 – ∠A – ∠B ir ∠R = 180 – ∠P – ∠Q)
Iš to išplaukia, kad trikampiai ΔABC ir ΔPQR yra panašūs. Taigi:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8 USD ir
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14 USD
3 pavyzdys:
Nustatykite ilgį ABšiame trikampyje. 
Sprendimas:
∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED Ir ∠A bendrieji => trikampiai ΔABC Ir ΔADE yra panašūs.
$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rodyklė dešinėn 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$
4 pavyzdys:
Nustatykite ilgį AD(x) geometrinė figūra paveikslėlyje. 
Trikampiai ΔABC ir ΔCDE yra panašūs, nes AB || DE ir jie turi bendrą viršutinį kampą C.
Matome, kad vienas trikampis yra kito mastelio keitimas. Tačiau turime tai įrodyti matematiškai.
AB || DE, CD || AC ir BC || E.C.
∠BAC = ∠EDC ir ∠ABC = ∠DEC
Remiantis tuo, kas išdėstyta pirmiau, ir atsižvelgiant į bendro kampo buvimą C, galime teigti, kad trikampiai ΔABC ir ΔCDE yra panašūs.
Taigi:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rodyklė dešinėn CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57 USD
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57
Praktiniai pavyzdžiai
5 pavyzdys:
Gamykloje naudojama pasvirusi konvejerio juosta gaminiams transportuoti nuo 1 lygio iki 2 lygio, kuris yra 3 metrais aukštesnis nei 1 lygis, kaip parodyta paveikslėlyje. Nuožulnus konvejeris aptarnaujamas iš vieno galo iki 1 lygio, o iš kito galo į darbo vietą, esančią 8 metrų atstumu nuo 1 lygio veikimo taško. 
Gamykla nori atnaujinti konvejerį, kad pasiektų naują lygį, kuris yra 9 metrais virš 1 lygio, išlaikant konvejerio pasvirimo kampą.
Nustatykite atstumą, per kurį turi būti įrengta nauja darbo vieta, kad konvejeris veiktų naujajame gale 2 lygyje. Taip pat apskaičiuokite papildomą atstumą, kurį gaminys nuvažiuos perkeldamas į naują lygį.
Sprendimas:
Pirmiausia pažymėkime kiekvieną sankirtos tašką konkrečia raide, kaip parodyta paveikslėlyje.
Remiantis ankstesniuose pavyzdžiuose pateiktais samprotavimais, galime daryti išvadą, kad trikampiai ΔABC ir ΔADE yra panašūs. Vadinasi,
$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rodyklė dešinėn AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 mln
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m
Taigi naujas punktas turi būti įrengtas 16 metrų atstumu nuo esamo taško.
Ir kadangi konstrukcija susideda iš stačiųjų trikampių, gaminio judėjimo atstumą galime apskaičiuoti taip:
$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$
Panašiai $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
tai yra atstumas, kurį gaminys šiuo metu nuvažiuoja, kai pasiekia esamą lygį.
y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
tai yra papildomas atstumas, kurį gaminys turi nuvažiuoti, kad pasiektų naują lygį.
6 pavyzdys:
Steve'as nori aplankyti savo draugą, kuris neseniai persikėlė į naują namą. Paveiksle pavaizduotas kelių žemėlapis iki Steve'o ir jo draugo namų bei Steve'o žinomi atstumai. Padėkite Steve'ui kuo greičiau patekti į jo draugo namus. 
Sprendimas:
Kelio žemėlapį galima pavaizduoti geometriškai tokia forma, kaip parodyta paveikslėlyje. 
Matome, kad trikampiai ΔABC ir ΔCDE yra panašūs, todėl:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$
Problemos pareiškime teigiama, kad:
AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km ir DE = 5 km
Naudodami šią informaciją galime apskaičiuoti šiuos atstumus:
$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38 km$
Steve'as gali patekti į savo draugo namus šiais maršrutais:
A -> B -> C -> E -> G, bendras atstumas 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km
F -> B -> C -> D -> G, bendras atstumas 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km
F -> A -> C -> E -> G, bendras atstumas 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km
F -> A -> C -> D -> G, bendras atstumas 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km
Todėl maršrutas Nr.3 yra trumpiausias ir gali būti pasiūlytas Steve'ui.
7 pavyzdys:
Triša nori išmatuoti namo aukštį, bet neturi tinkamų įrankių. Ji pastebėjo, kad priešais namą auga medis, ir nusprendė panaudoti savo sumanumą bei mokykloje įgytas geometrijos žinias pastato aukščiui nustatyti. Ji išmatavo atstumą nuo medžio iki namo, rezultatas buvo 30 m. Tada ji atsistojo priešais medį ir pradėjo judėti atgal, kol virš medžio viršūnės tapo matomas viršutinis pastato kraštas. Triša pažymėjo šią vietą ir išmatavo atstumą nuo jos iki medžio. Šis atstumas buvo 5 m.
Medžio aukštis – 2,8 m, o Trišos akių aukštis – 1,6 m. Padėkite Trišai nustatyti pastato aukštį. 
Sprendimas:
Geometrinis uždavinio vaizdas parodytas paveikslėlyje. 
Pirmiausia naudojame trikampių ΔABC ir ΔADE panašumą.
$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rodyklė dešinėn 2,8 \times AC = 1,6 \kartai (5) + AC) = 8 + 1,6 \karto AC $
$(2,8–1,6) \times AC = 8 \Darrow AC = \frac(8) (1,2) = 6,67 $
Tada galime naudoti trikampių ΔACB ir ΔAFG arba ΔADE ir ΔAFG panašumą. Pasirinkime pirmąjį variantą.
$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rodyklė dešinėn H = \frac(1.6 )(0,16) = 10 m$
Dažniausiai užduodami klausimai
Ar galima padaryti antspaudą ant dokumento pagal pateiktą pavyzdį? Atsakymas Taip, tai įmanoma. Atsiųskite nuskaitytą kopiją ar geros kokybės nuotrauką mūsų el. pašto adresu ir mes padarysime reikiamą dublikatą.
Kokius mokėjimo tipus sutinkate?
Atsakymas Už dokumentą galite atsiskaityti jį gavus kurjeriui, patikrinus diplomo užpildymo teisingumą ir įforminimo kokybę. Tai galima padaryti ir pašto įmonių, siūlančių grynųjų pinigų pristatymo paslaugas, biuruose.
Visos pristatymo ir apmokėjimo už dokumentus sąlygos aprašytos skyriuje „Apmokėjimas ir pristatymas“. Taip pat esame pasirengę išklausyti jūsų pasiūlymus dėl dokumento pristatymo ir apmokėjimo sąlygų.
Ar galiu būti tikras, kad po užsakymo nedingsite su mano pinigais? Atsakymas Turime gana ilgametę patirtį diplomų gamybos srityje. Turime keletą svetainių, kurios nuolat atnaujinamos. Mūsų specialistai dirba įvairiose šalies vietose, per dieną parengdami virš 10 dokumentų. Bėgant metams mūsų dokumentai daugeliui žmonių padėjo išspręsti įsidarbinimo problemas arba pereiti į geriau apmokamą darbą. Užsitarnavome klientų pasitikėjimą ir pripažinimą, todėl nėra jokios priežasties tai daryti. Be to, to padaryti tiesiog neįmanoma fiziškai: už užsakymą sumokate iškart, kai gaunate jį į rankas, išankstinio apmokėjimo nėra.
Ar galiu užsisakyti bet kurio universiteto diplomą? Atsakymas Apskritai, taip. Šioje srityje dirbame beveik 12 metų. Per šį laiką buvo suformuota beveik išbaigta beveik visų šalies universitetų išduotų dokumentų, išduotų skirtingais išdavimo metais, duomenų bazė. Tereikia pasirinkti universitetą, specialybę, dokumentą ir užpildyti užsakymo formą.
Ką daryti, jei dokumente radote rašybos klaidų?
Atsakymas Gavę dokumentą iš mūsų kurjerio ar pašto įmonės, rekomenduojame atidžiai patikrinti visus duomenis. Pastebėjus rašybos klaidą, klaidą ar netikslumą, turite teisę diplomo neatsiimti, tačiau apie pastebėtus trūkumus turite pranešti asmeniškai kurjeriui arba raštu, atsiųsdami el.
Dokumentą kuo greičiau pataisysime ir iš naujo išsiųsime nurodytu adresu. Žinoma, siuntimą apmokės mūsų įmonė.
Siekdami išvengti tokių nesusipratimų, prieš pildydami originalią formą, būsimojo dokumento maketą išsiunčiame klientui el. paštu patikrinti ir patvirtinti galutinę versiją. Prieš siųsdami dokumentą kurjeriu ar paštu, taip pat padarome papildomas nuotraukas ir vaizdo įrašus (taip pat ir ultravioletinėje šviesoje), kad galėtumėte aiškiai suprasti, ką galiausiai gausite.
Ką daryti norint užsisakyti diplomą iš jūsų įmonės?
Atsakymas Norėdami užsisakyti dokumentą (pažymėjimą, diplomą, akademinį pažymėjimą ir pan.), turite užpildyti internetinę užsakymo formą mūsų svetainėje arba pateikti savo el. pas mus.
Jei nežinote, ką nurodyti kuriame nors užsakymo formos/anketos laukelyje, palikite juos tuščius. Todėl visą trūkstamą informaciją patikslinsime telefonu.
Naujausios apžvalgos
Aleksejus:
Man reikėjo įgyti diplomą, kad galėčiau įsidarbinti vadybininku. O svarbiausia, kad turiu ir patirties, ir įgūdžių, bet be dokumento negaliu įsidarbinti. Atsidūręs jūsų svetainėje, pagaliau nusprendžiau nusipirkti diplomą. Diplomas buvo baigtas per 2 dienas!! Dabar turiu darbą, apie kurį anksčiau nesvajojau!! Ačiū!
228. Šiame skyriuje daugiausia suprasime atkarpų AB, AC ir kt. žymėjimus, juos išreiškiančius skaičius.
Žinome (226 punktas), kad jei dvi atkarpos a ir b yra pateiktos geometriškai, tada galime sudaryti tarp jų proporcingą vidurkį. Tegu dabar atkarpos pateikiamos ne geometriškai, o skaičiais, t.y. a ir b reiškia skaičius, išreiškiančius 2 duotus atkarpas. Tada vidutinės proporcingos atkarpos radimas bus sumažintas iki skaičiaus x iš proporcijos a/x = x/b, kur a, b ir x yra skaičiai. Iš šios proporcijos gauname:
x 2 = ab
x = √ab
229. Turėkime statųjį trikampį ABC (224 brėžinys).
Nuleiskime statmeną BD iš stačiojo kampo viršūnės (∠B tiesė) į hipotenuzę AC. Tada iš 225 pastraipos žinome:
1) AC/AB = AB/AD ir 2) AC/BC = BC/DC.
Iš čia gauname:
AB 2 = AC AD ir BC 2 = AC DC.
Sudėjus gautas lygybes po gabalėlį, gauname:
AB 2 + BC 2 = AC AD + AC DC = AC(AD + DC).
t.y. hipotenuzę išreiškiančio skaičiaus kvadratas yra lygus skaičių, išreiškiančių stačiojo trikampio kojeles, kvadratų sumai.
Trumpai jie sako: Stačiojo trikampio hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai.
Jei gautą formulę pateiksime geometrinę interpretaciją, gausime mums jau žinomą Pitagoro teoremą (161 punktas):
kvadratas, pastatytas ant stačiojo trikampio hipotenuzės, yra lygus kvadratų, pastatytų ant kojų, sumai.
Iš lygties AB 2 + BC 2 = AC 2 kartais reikia rasti stačiojo trikampio koją, naudojant hipotenuzę ir kitą koją. Mes gauname, pavyzdžiui:
AB 2 = AC 2 – BC 2 ir pan
230. Rastas skaitinis ryšys tarp stačiojo trikampio kraštinių leidžia išspręsti daugybę skaičiavimo uždavinių. Išspręskime kai kuriuos iš jų:
1. Apskaičiuokite lygiakraščio trikampio plotą atsižvelgiant į jo kraštinę.
Tegu ∆ABC (225 brėžinys) yra lygiakraštis ir kiekviena kraštinė išreiškiama skaičiumi a (AB = BC = AC = a). Norėdami apskaičiuoti šio trikampio plotą, pirmiausia turite išsiaiškinti jo aukštį BD, kurį vadinsime h. Žinome, kad lygiakraštyje trikampyje aukštis BD padalija pagrindą AC per pusę, ty AD = DC = a/2. Todėl iš dešiniojo trikampio DBC turime:
BD 2 = BC 2 – DC 2,
h 2 = a 2 – a 2 /4 = 3a 2 /4 (atlikti atimtį).
Iš čia turime:
(daugiklį išimame iš po šaknies).
Todėl, iškvietę skaičių, išreiškiantį mūsų trikampio plotą Q ir žinodami, kad plotas ∆ABC = (AC BD)/2, randame:
Į šią formulę galime pažvelgti kaip į vieną iš lygiakraščio trikampio ploto matavimo būdų: reikia išmatuoti jo kraštinę tiesiniais vienetais, pakelti rastą skaičių kvadratu, gautą skaičių padauginti iš √3 ir padalyti iš 4 – mes gaukite ploto išraišką kvadratiniais (atitinkamais) vienetais.
2. Trikampio kraštinės yra 10, 17 ir 21 eilutės. vienetas Apskaičiuokite jo plotą.
Nuleiskime aukštį h mūsų trikampyje (brėžinys 226) į didesnę kraštinę - jis tikrai praeis trikampio viduje, nes trikampyje bukas kampas gali būti tik priešais didesnę kraštinę. Tada didesnė pusė, = 21, bus padalinta į 2 segmentus, iš kurių vieną pažymime x (žr. brėžinį) - tada kitą = 21 – x. Gauname du stačiuosius trikampius, iš kurių gauname:
h 2 = 10 2 – x 2 ir h 2 = 17 2 – (21 – x) 2
Kadangi kairiosios šių lygčių pusės yra vienodos, tada
10 2 – x 2 = 17 2 – (21 – x) 2
Atlikdami veiksmus gauname:
10 2 – x 2 = 289 – 441 + 42x – x 2
Supaprastinę šią lygtį, randame:
Tada iš lygties h 2 = 10 2 – x 2 gauname:
h 2 = 10 2 – 6 2 = 64
ir todėl
Tada bus rastas reikalingas plotas:
Q = (21 8) / 2 kv. vienetas = 84 kv. vienetas
3. Galite išspręsti bendrą problemą:
kaip apskaičiuoti trikampio plotą pagal jo kraštines?
Tegu trikampio ABC kraštinės išreiškiamos skaičiais BC = a, AC = b ir AB = c (227 brėžinys). Tarkime, kad AC yra didesnė pusė; tada aukštis BD pateks į ∆ABC vidų. Pavadinkime: BD = h, DC = x ir tada AD = b – x.
Iš ∆BDC turime: h 2 = a 2 – x 2 .
Iš ∆ABD gauname: h 2 = c 2 – (b – x) 2,
iš kur a 2 – x 2 = c 2 – (b – x) 2.
Išspręsdami šią lygtį, nuosekliai gauname:
2bx = a 2 + b 2 – c 2 ir x = (a 2 + b 2 – c 2)/2b.
(Pastaroji rašoma remiantis tuo, kad skaitiklį 4a 2 b 2 – (a 2 + b 2 – c 2) 2 galima laikyti kvadratų lygybe, kurią išskaidome į sumos ir skirtumo sandaugą).
Ši formulė transformuojama įvedant trikampio perimetrą, kurį žymime 2p, t.y.
Iš abiejų lygybės pusių atėmę 2c, gauname:
a + b + c – 2c = 2p – 2c arba a + b – c = 2 (p – c):
Taip pat rasime:
c + a – b = 2(p – b) ir c – a + b = 2(p – a).
Tada gauname:
(p išreiškia trikampio pusperimetrą).
Ši formulė gali būti naudojama trikampio plotui apskaičiuoti pagal tris jo kraštines.
231. Pratimai.
232. 229 pastraipoje radome ryšį tarp stačiojo trikampio kraštinių. Panašų ryšį galite rasti įstrižainio trikampio kraštinėms (pridėjus kitą segmentą).
Pirmiausia turėkime ∆ABC (228 brėžinys), kad ∠A būtų ūminis. Pabandykime rasti kraštinės BC, esančios priešais šį smailią kampą, kvadrato išraišką (panašiai kaip 229 pastraipoje radome hipotenuzės kvadrato išraišką).
Sukūrę BD ⊥ AC, iš stačiojo trikampio BDC gauname:
BC 2 = BD 2 + DC 2
Pakeiskime BD2, apibrėždami jį iš ABD, iš kurio turime:
BD 2 = AB 2 – AD 2,
ir pakeiskite segmentą DC per AC – AD (akivaizdu, kad DC = AC – AD). Tada gauname:
BC 2 = AB 2 – AD 2 + (AC – AD) 2 = AB 2 – AD 2 + AC 2 – 2AC AD + AD 2
Sumažinus panašius terminus, randame:
BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2AC AD.
Ši formulė skamba: trikampio kraštinės, esančios priešingos smailiajam kampui, kvadratas yra lygus kitų dviejų jo kraštinių kvadratų sumai, atėmus vienos iš šių kraštinių sandaugą du kartus jos atkarpa nuo smailiojo kampo viršūnės iki aukščio.
233. Dabar tegul ∠A ir ∆ABC (229 brėžinys) yra bukai. Raskime kraštinės BC, esančios priešais bukąjį kampą, kvadrato išraišką.
Sukūrus aukštį BD, dabar jis bus šiek tiek kitaip: 228, kur ∠A yra aštrus, taškai D ir C yra vienoje A pusėje, o čia, kur ∠A yra bukas, bus taškai D ir C. priešingose A pusėse. Tada iš stačiakampio ∆BDC gauname:
BC 2 = BD 2 + DC 2
BD2 galime pakeisti apibrėždami jį iš stačiakampio ∆BDA:
BD 2 = AB 2 – AD 2,
ir atkarpa DC = AC + AD, kas akivaizdu. Pakeisdami gauname:
BC 2 = AB 2 – AD 2 + (AC + AD) 2 = AB 2 – AD 2 + AC 2 + 2AC AD + AD 2
Atlikdami panašių terminų sumažinimą, randame:
BC 2 = AB 2 + AC 2 + 2AC AD,
t.y. trikampio, esančio priešais bukąjį kampą, kraštinės kvadratas yra lygus kitų dviejų jo kraštinių kvadratų sumai, pridėjus vienos iš jų sandaugą du kartus iš jos atkarpos nuo bukojo kampo viršūnės iki aukščio.
Ši formulė, kaip ir 232 pastraipos formulė, turi geometrinę interpretaciją, kurią nesunku rasti.
234. Pastraipų savybių naudojimas. 229, 232, 233, jei pateikiame trikampio kraštines skaičiais, galime sužinoti, ar trikampis turi stačią ar bukąjį kampą.
Statusis arba bukas kampas trikampyje gali būti tik priešais didesnę kraštinę, nesunku išsiaiškinti: šis kampas yra smailus, stačias ar bukas, priklausomai nuo to, ar didesnės kraštinės kvadratas yra mažesnis už; , lygi arba didesnė už kitų dviejų kraštinių kvadratų sumą.
Sužinokite, ar šie trikampiai, apibrėžti jų kraštinėmis, turi stačiąjį ar bukąjį kampą:
1) 15 dm., 13 dm. ir 14 colių; 2) 20, 29 ir 21; 3) 11, 8 ir 13; 4) 7, 11 ir 15.
235. Turėkime lygiagretainį ABCD (230 brėžinys); Sukonstruokime jo įstrižaines AC ir BD bei aukščius BK ⊥ AD ir CL ⊥ AD.
Tada, jei ∠A (∠BAD) yra aštrus, tada ∠D (∠ADC) tikrai yra bukas (nes jų suma = 2d). Iš ∆ABD, kur ∠A laikomas ūminiu, turime:
BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2AD AK,
ir iš ∆ACD, kur ∠D yra bukas, turime:
AC 2 = AD 2 + CD 2 + 2AD DL.
Paskutinėje formulėje atkarpą AD pakeisime jai lygia atkarpa BC, o DL – lygia atkarpa AK (DL = AK, nes ∆ABK = ∆DCL, ką nesunku matyti). Tada gauname:
AC2 = BC2 + CD2 + 2AD · AK.
Pridėjus BD2 išraišką su paskutine AC 2 išraiška, randame:
BD 2 + AC 2 = AB 2 + AD 2 + BC 2 + CD 2,
nes terminai –2AD · AK ir +2AD · AK panaikina vienas kitą. Gautą lygybę galime perskaityti:
Lygiagretainio įstrižainių kvadratų suma lygi jo kraštinių kvadratų sumai.
236. Trikampio vidurio ir pusiausvyros apskaičiavimas iš jo kraštinių. Tegu mediana BM sudaryta trikampyje ABC (231 brėžinys) (t.y. AM = MC). Žinodami kraštines ∆ABC: BC = a, AC = b ir AB = c, apskaičiuokite medianą BM.
Tęskime BM ir atidėkime atkarpą MD = BM. Sujungus D su A ir D su C, gauname lygiagretainį ABCD (tai nesunku išsiaiškinti, nes ∆AMD = ∆BMC ir ∆AMB = ∆DMC).
Iškviečiant medianą BM pagal m, gauname BD = 2m, o tada, naudodamiesi ankstesne pastraipa, turime:
237. Apibrėžto apie apskritimo trikampį spindulio apskaičiavimas. Aplink ∆ABC aprašome apskritimą O (brėžinys 233) Sukonstruokime apskritimo BD skersmenį, stygą AD ir trikampio BH aukštį.
Tada ∆ABD ~ ∆BCH (∠A = ∠H = d - kampas A yra stačiakampis, nes įbrėžtas pagal skersmenį BD, o ∠D = ∠C, kaip nurodyta, remiantis vienu lanku AB). Todėl mes turime:
arba spindulį OB vadindami R, aukštį BH - h, o kraštines AB ir BC, kaip anksčiau, atitinkamai c ir a:
bet plotas ∆ABC = Q = bh/2, iš kur h = 2Q/b.
Todėl R = (abc) / (4Q).
Galime (3 uždavinio 230 punktas) apskaičiuoti trikampio Q plotą pagal jo kraštines. Iš čia galime apskaičiuoti R iš trijų trikampio kraštinių.
238. Į trikampį įbrėžto apskritimo spindulio apskaičiavimas. Įrašykime ∆ABC, kurio kraštinės pateiktos (brėžinys 234), apskritimą O. Sujungę jo centrą O su trikampio viršūnėmis ir kraštinių liestinės taškais D, E ir F apskritimui, mes raskite, kad apskritimo OD, OE ir OF spinduliai yra trikampių BOC, COA ir AOB aukščiai.
Skambindami įbrėžto apskritimo spindulį per r, gauname:
1.4.1. Keturi nuostabūs taškai trikampyje
Trikampio medianos susikerta viename taške ir jame dalijasi santykiu, skaičiuojant nuo viršūnės. Šis taškas vadinamas svorio centru.
Trikampio aukščiai susikerta viename taške. Šis taškas vadinamas ortocentru.
Trikampio pusiausvyros susikerta viename taške. Šis taškas yra įbrėžto apskritimo centras.
Statmenys, nubrėžti į trikampio kraštines per jų vidurio taškus, susikerta viename taške. Šis taškas yra apibrėžto apskritimo centras.
1.4.2. Vidurinė trikampio linija
Lygiagretus pagrindui.
Lygus pusei pagrindo.
Padalija per pusę bet kurią atkarpą, jungiančią trikampio viršūnę su bet kuriuo pagrindo tašku.
1.4.3. Trikampio bisektoriaus savybė
Tegu trikampyje nubraižytas bisektorius (pusiauris padalina pagrindą į dalis, proporcingas kraštinėms).
1.4.4. Trikampio tipo nustatymas pagal jo kraštines
Tegul c yra didžiausia iš trijų trikampio kraštinių.
Jei tada trikampis smailus.
Jei trikampis yra stačiakampis.
Jei trikampis bukas.
1.4.5. Kvadratas
1.4.6. Spindulių R ir r skaičiavimo formulės
1.4.7. Kraštinių ir kampų ryšiai
(kosinuso teorema).
(sinuso teorema).
1.4.8. Trys svarbios srities teoremos
Jei du trikampiai yra panašūs, tada jų plotai yra tokie patys kaip atitinkamų kraštinių kvadratai.
Jei du trikampiai turi lygias bazes, tada plotai yra susieti kaip atitinkami aukščiai.
Jei vienas vieno trikampio aukštis lygus vienam kito trikampio aukščiui, tada plotai yra susieti su kraštinėmis, į kurias nubrėžti šie aukščiai.
Matuojant vienu vienetu, tada hipotenuzę išreiškiančio skaičiaus kvadratas yra lygus išreikštų skaičių kvadratų sumai spausdami kojas.
Ši teorema paprastai išreiškiama sutrumpintai taip:
Hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai.
Šį ryšį pirmasis pastebėjo graikų geometras Pitagoras (VI a. pr. Kr.), todėl jis vadinasi - Pitagoro teorema .
Teorema.
smailusis kampas, yra lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai, neskaičius bet kurios iš šių kraštinių dvigubos sandaugos iš jos atkarpos nuo smailiojo kampo viršūnės iki aukščio.
Leiskite BSU- trikampio kraštinė ABSU(1 pav. ir 2 pav.), esantis priešais smailųjį kampą A, Ir BD- aukštis nuleistas iš bet kurios kitos pusės, pavyzdžiui, ant ASU(arba jo tęsinys) reikalaujama įrodyti, kad:
B.C. 2 = AB 2 + AC 2-2AS. AD.
Iš stačiųjų trikampių BDC Ir ABD išvedame:
BC 2= BD 2+DSU 2 [ 1 ] ;
BD 2= AB 2 – AD 2 [ 2] .
Kitoje pusėje: DSU= AC-AD(1 pav.) arba DSU= AD-AC(2 pav.). Abiem atvejais už DSU 2 gauname tą pačią išraišką:
DSU 2 = (ASU-AD) 2 = ASU 2 - 2ASU . AD + AD 2 ;
DSU 2 = (AD-ASU) 2 = AD 2 - 2AD . ASU + ASU 2 .
Vietoj to pakeičiama lygybe BD 2 Ir DC 2 jų išraiškas iš lygybių ir gauname:
BC 2= AB 2 - A D 2 + ASU 2 - 2 ASU . AD + A D 2 .
Tai lygybė, sumažinus narių skaičių -AD 2 Ir + AD 2 , ir būtent tai reikėjo įrodyti.
komentuoti.Įrodyta teorema išlieka teisinga net tada, kai kampas SU tiesioginis. Tada segmentinis CD eis į nulį, t.y. AC taps lygus AD, ir mes turėsime:
BC 2= AB 2+ ASU 2 - 2ASU 2 = AB 2 – ASU 2 .
Kas atitinka teoremą apie kvadratinė hipotenuzė.
Teorema.
Trikampyje kraštinės, esančios priešingos bukojo kampo viršūnės, kvadratas yra lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai, pridėjus bet kurios iš šių kraštinių sandaugą du kartus iš jos tęsinio nuo bukojo kampo viršūnės. į aukštį.Įrodymas yra panašus į ankstesnį.
Pasekmė.
Iš paskutinių trijų teoremų darome išvadą, kad trikampio kraštinės kvadratas yra lygus kitų kraštinių kvadratų sumai, mažesnis arba didesnis už ją, priklausomai nuo to, ar priešingas kampas yra stačias, smailusis ar bukas.
Tai reiškia priešingą teiginį: trikampio kampas bus stačias, smailus arba bukas, priklausomai nuo to, ar priešingos kraštinės kvadratas yra lygus, mažesnis ar didesnis už kitų kraštinių kvadratų sumą.
Trikampio aukščio apskaičiavimas pagal jo kraštines.
Pažymime aukštį, nukritusį į trikampio kraštinę a ABSU, per h a. Norėdami jį apskaičiuoti, pirmiausia iš lygties:
b 2 = a 2 + nuo 2-2aSu’ .
Raskite bazinį segmentą c':
.
Tada iš DABD nustatome kojos aukštį:
.
Lygiai taip pat galite nustatyti aukščius h b ir h c, nuleistus į b ir c puses.
Trikampio medianų apskaičiavimas pagal jo kraštines.
Pateikiame trikampio kraštines ABSU ir reikia apskaičiuoti jos medianą BD. Norėdami tai padaryti, išplėskime jį iki atstumo DE = BD ir laikotarpis E susieti su A Ir SU. Tada gauname lygiagretainį ABCE.
Jai pritaikę ankstesnę teoremą, randame: BE 2 = 2 AB 2 + 2 BC 2 -AC 2.
